Анализ нестационарных волн в наследственно-упругих стержнях и оболочках с ростом времени: асимптотический подход

Черненко, Варвара Петровна

Анализ нестационарных волн в наследственно-упругих стержнях и оболочках с ростом времени: асимптотический подход тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Черненко, Варвара Петровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Анализ нестационарных волн в наследственно-упругих стержнях и оболочках с ростом времени: асимптотический подход»

Автореферат диссертации на тему "Анализ нестационарных волн в наследственно-упругих стержнях и оболочках с ростом времени: асимптотический подход"

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

ЧЕРНЕНКО Варвара Петровна

АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН В НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ И ОБОЛОЧКАХ С РОСТОМ ВРЕМЕНИ: АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2006

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Коссович Л.Ю.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Товстик П.Е. доктор физико-математических наук, профессор Ковалев В. А.

Ведущая организация: НИИ механики и прикладной математики Ростовского государственного университета

Защита состоится " " ^¿¿А^^-- 2006 г. в ч. ¿О мин,

на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 в Саратовском

государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, IX корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан " февраля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент &Шевцова Ю.В.

2оов

гб7& 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время проблемы теории линейной вязкоупругости привлекают особое внимание многих исследователей и инженеров в связи с использованием полимерных материалов и пластмасс в различных отраслях производства и строительной индустрии. В то же время во многих областях техники, в том числе в авиационной и ракетной, конструкции из наследственно-упругих материалов подвергаются импульсным воздействиям, при этом в деформируемом материале происходят волновые процессы. Задачи о распространении волн в стержнях в одномерной постановке представляют большой интерес в связи с тем, что стержни являются основным видом образцов, используемых в экспериментальных исследованиях свойств материалов при высоких скоростях нагружения. Результаты выполненных в диссертации исследований относятся к перспективному научному направлению, связанному с моделированием процесса распространения нестационарных волн в тонкостенных элементах конструкций, выполненных из современных материалов, и включают разработку новых асимптотических методов.

Цель работы: разработка асимптотических методов исследования нестационарных задач применительно к наследственно-упругим стержням и цилиндрическим оболочкам с ростом времени.

Из поставленной цели вытекают следующие задачи:

- применение метода расчленения нестационарного напряженно-деформированного состояния (НДС) на составляющие;

- вывод уравнений погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью (фронта) и погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью (квазифронта).

Научная новизна. В диссертации впервые:

- предложена схема расчленения НДС, возникающего в наследственно-упругом стержне при ударном торцевом воздействии, на составляющие, приведена схема зон применимости различных типов асимптотик;

- разработаны асимптотические методы построения уравнений погранслоёв в окрестности фронта и квазифронта волны в наследственно-упругом стержне;

- разработан асимптотический метод построения уравнений состояния безмоментной составляющей для наследственно-упругих оболочек на базе трехмерных динамических уравнений теории наследственной упругости: получена асимптотика НДС в этой области, установлена зависимость неизвестных величин от нормальной координаты, получены двумерные уравнения безмоментной составляющей для асимптотически главных и

асимптотически второстепенных компонег гНДС^ациональна* |

БИБЛИОТЕКА | С. Петербург 09

***** /А (Г

- показано применение полученных уравнений при решении задач для цилиндрических оболочек, выполненных из наследственно-упругого материала при ударных продольных воздействиях тангенциального типа;

- показано применение методов компьютерной математики при решении краевых задач о распространении нестационарных продольных волн в наследственно-упругих стержнях и цилиндрических оболочках.

Достоверность результатов

обеспечивается:

- использованием известной модели Работнова наследственно-упругих материалов;

- применением при получении приближенных теорий и решении поставленных краевых задач точных и апробированных асимптотических методов;

- строгостью используемых математических методов;

- применением методов компьютерной математики и подтверждается:

- соответствием результатов расчета физической природе моделируемых процессов;

- непротиворечивостью полученных результатов.

Практическая значимость состоит в расширении области применимости асимптотических методов исследования нестационарного НДС на случай наследственно-упругих оболочек. Представленные методы можно применять для расчета тонкостенных конструкций, выполненных из материала, обладающего механическими свойствами, описываемыми в рамках теории наследственной упругости, подверженных действию ударных нагрузок. Разработанные в работе асимптотические методы решения поставленных краевых задач позволят решить вопрос создания надежных численно аналитических методов исследования динамического НДС наследственно-упругих тонких стержней и оболочек.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на

- конференции механико-математического факультета "Актуальные проблемы математики и механики", Саратов, Россия, 2005;

- V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела", Саратов, Россия, 2005;

- Международной конференции "Вычислительная механика деформируемого твердого тела", Москва, Россия, 2006;

- семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Струюура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, включающего 87 наименований, и содержит 101 страницу наборного текста, 20 рисунков, 2 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся анализ состояния вопроса и обзор работ в области исследований нестационарных волновых процессов в наследственно-упругих стержнях и оболочках, а также работ, касающихся асимптотических методов исследования нестационарного НДС в упругих и наследственно-упругих оболочках, формулируются тема и цель диссертации, даётся краткое описание работы по главам.

Первая глава посвящается анализу нестационарного волнового НДС в наследственно-упругом стержне, вызванного ударным продольным воздействием на его торец.

В первом параграфе рассматриваются некоторые сведения из общей теории наследственной теории упругости. Приводятся выражения для мгновенной и длительной скоростей продольной волны еис„, соответственно, распространяющейся в изотропном наследственно-упругом стержне:

где р - плотность материала, Е и Еа - мгновенный и длительный модули упругости, соответственно. Приводятся обоснование выбора модели и параметра дробности.

Во втором параграфе ставится краевая задача о распространении нестационарных продольных волн напряжения в полубесконечном наследственно-упругом стержне. Уравнение состояния берется в интегрально-операторной форме с дробно-экспоненциальным ядром Работнова: дц(*,<) 1

Уравнение движения имеет вид:

да(х,<) дги(х,1) 0

(2)

(3)

дх г д(г

В (2), (3) принимаются следующие обозначения: и - перемещение, а -нормальное напряжение, * - продольная координата, I - время, £(*-/.) -разностное ядро ползучести Работнова:

где к>0, Р>0 - параметры материала.

Рассматривается процесс распространения волн в промежутке времени от

момента приложения нагрузки до момента отражения волн от противоположного торца стержня. Тогда граничное условие на противоположном торце не ставится, и стержень считается полубесконечным. Также считается, что стержень находится в начальном состоянии покоя. В данной задаче начальные условия записываются через напряжения, т.к. из системы (2), (3) получается одно разрешающее уравнение относительно напряжения.

В разрешающее уравнение вводятся безразмерные переменные £ и г

x = t = Lr/c, (5)

безразмерное напряжение а'

ст = £ст* (6)

и безразмерные параметры /Г и

0 = (ь/сУ*гГ,к = (1/сУ«гк\ где L - характерный множитель, имеющий размерность длины. Тогда разрешающее уравнение принимает следующий вид:

Рассматривается случай, когда в масштабе времени затухания процесса член с наследственным оператором в уравнении (7) асимптотически равноправен с "динамическими" членами. Граничное условие с учетом (5) и (6) имеет вид:

а(0,г) = /*#(г), (8)

где V = I/E, Н(т) - единичная функция Хевисайда от времени, I - амплитуда воздействия.

Начальные условия с учетом (5) и (б) имеют вид:

о. (9)

В дальнейшем звездочки у безразмерных величин опускаются.

В третьем параграфе краевая задача (7) - (9) решается точно с помощью методов теории функции комплексной переменной: изображение напряжения находится с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени, оригинал - с помощью формулы Меллина и контурного интегрирования.

Решение краевой задачи (7) - (9) в изображениях по Лапласу имеет вид:

Г Г _

- / а-—ехр s

-s

Js + уЗ + Г ■fs+p

(10)

где ^ - параметр интегрального преобразования Лапласа, сг - изображение по Лапласу напряжения.

После обращения изображения (10) точное решение имеет вид:

а(4,т)=1' 1--J-exp

РЦ ip+f)-

;U(p+F\P+[f^f)- р-р(р +7) i

dp.

(П)

Полученное решение (11) численно анализируется с ростом времени г и при различных значениях параметра р. Результаты расчетов приводятся в виде графиков. Как показали численные исследования, картина распространения нестационарных волн в наследственно-упругом полубесконечном стержне выглядит следующим образом. Сначала идёт волна с мгновенной скоростью с, за фронтом сигнал быстро затухает по экспоненциальному закону. По мере приближения к квазифронту волны, распространяющейся с длительной скоростью (квазифронту), интенсивность сигнала возрастает до величины /*, а за квазифронтом остаётся постоянной. Значит, при достаточно больших значениях времени в наследственно-упругом стержне возмущение распространяется без затухания с длительной скоростью ск. Учитывая, что

Последний параграф первой главы посвящается расчленению нестационарного волнового НДС на составляющие. Для фиксированного времени г = const НДС можно расчленить на четыре зоны применимости различных типов асимптотик: зону квазиупругого решения, погранслой в окрестности квазифронта, зону малоамплитудного решения, погранслой в окрестности фронта. Приводится схема применимости различных типов асимптотик.

Вторая глава посвящается исследованию погранслоя в окрестности фронта волны в наследственно-упругом стержне с помощью асимптотических методов.

В первом параграфе находится асимптотика точного решения (11) в окрестности фронта путем разложения показателя степени экспоненты в изображении (10) в ряд по отрицательным степеням параметра s. Оставляя первые два члена разложения, изображение по Лапласу напряжения получается в виде:

Пользуясь таблицей преобразования Лапласа, оригинал изображения (12) принимает вид:

Ет=р{р + кУЕ,

из формул (1) получается:

(12)

Если учесть, что при 0 <%<т

еф\

Ко

(Ьс,

то асимптотика точного решения в окрестности фронта (13) принимает вид:

■¿я

Мг-4)

-51П -—

¿Г

/ J

(14)

о ■* V ^

Результаты численных расчетов точного решения (11) и асимптотики (14) приводятся в виде графиков.

Во втором параграфе выводится уравнение погранслоя в окрестности фронта. Краевая задача (7) - (9) рассматривается с ростом времени. В уравнение (7) вводятся масштабированные переменные

г = Ттт

4=Т4т,

(15)

где Т»1 - характерное масштабное время, гг и (г ■ величины порядка единицы. Затем в рассмотрение вводятся характеристические переменные.

Разрешающее уравнение записывается без учёта асимптотически малых членов и интегрируется по у, затем производится переход к масштабированным переменным 4т и тт ■ Учитывая асимптотику ядра ползучести Работнова

К(г-г'У

возвращаясь к исходным переменным | и т, получается уравнение погранслоя в окрестности фронта

да да р'фа , Ър 1 V 1 да ,

+ ~--— -«/Г.--— <Т+-7= -ТТГ-{¡Т.

дт 4 ¡84 4 4^0J(т-т.)V2 д4 ( 3 д V_1_

<т(1т. = 0.

(16)

Порядок уравнения (16) на единицу меньше порядка точного уравнения (7). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (7)) получается более простое ядро Абеля (уравнение (16)).

Третий параграф посвящается решению краевой задачи для погранслоя в окрестности фронта. К краевой задаче для уравнения (16) с граничным условием (8) и начальными условиями (9) применяется интегральное преобразование Лапласа по времени. Решение краевой задачи в изображениях по Лапласу получается в виде:

- л*1 а = 1 -ехр

ър

1 +

(17)

4-77 45

Показатель степени экспоненты в выражении (17) раскладывается в ряд по отрицательным степеням параметра 5. Ограничиваясь двумя членами разложения, получается выражение для изображения напряжения, совпадающее с (12), что показывает применимость предложенных асимптотических методов.

С помощью метода перевала исследуется вопрос о сращивании различных приближений.

Третья глава посвящается исследованию погранслоя в окрестности квазифронта волны в наследственно-упругом стержне с помощью асимптотических методов.

В первом параграфе находится асимптотика точного решения (11) в окрестности квазифронта путем разложения показателя степени экспоненты в изображении (10) в ряд по положительным степеням параметра 5. Оставляя первые два члена разложения, изображение по Лапласу напряжения получается в виде:

- Г

<т = -

-ехр

-Ах^+Вз1 £

(18)

где кс - безразмерная длительная скорость, определяемая по формуле

1 „ 4/3 + 3

А = -

2р{р + 1)кс' ~ 8/?г(/* + 0Ч'

Используя для обращения формулу Меллина, путем деформирования первоначального контура интегрирования, находится оригинал изображения (18) в виде:

<т = Г

1 ® I (( в Л

— Г—ехр - г - — \р + ВЕр' *°Р 1. и к<)

ат {А£рт)1р

(19)

Результаты численных расчетов точного решения (11) и асимптотики (19) приводятся в виде графиков.

Во втором параграфе выводится уравнение погранслоя в окрестности квазифронта. При выводе этого уравнения используется аппарат операторов дробного дифференцирования. В общем случае п - ая дробная производная порядка у имеет вид:

л." 'г

<1х"1 т{п-у\х-х.у-где п = {/]+1, у = \у]+{у}, [у] - целая часть у, 0<{/}<1 - дробная часть у.

Учитывая формулу интегрального преобразования Лапласа дробных производных

0уи = ,

где 5 - параметр преобразования Лапласа по переменной х,,н асимптотику ядра ползучести Работнова

Ь Р"

разрешающее уравнение (8) получается в виде: д2<т 1 д2а 1 д2 д? кгс дт2

•НГ

й"'2а

= 0.

(20)

Р 8т2

Краевая задача (20), (8), (9) рассматривается с ростом времени. В уравнение (20) вводятся масштабированные переменные (15). Затем в рассмотрение вводятся характеристические переменные у = Т*3(тт-{т/кс), т,=тт. Разрешающее уравнение записывается без учёта асимптотически малых членов и интегрируется по у, затем производится переход к масштабированным переменным |г и тт. Возвращаясь к исходным переменным £ и г, записывая разрешающее уравнение без дробных производных, получается уравнение погранслоя в окрестности квазифронта:

1 б*сг кс дтс 1 да-

ЧКР+Т)7* дт ¡(т

----Г СТ =0. (21)

4Р(Р + \)4я дт ¡(т- т,)^

Порядок уравнения (21) на единицу меньше порядка точного уравнения (7). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (7)) получается более простое ядро Абеля (уравнение (21)).

Третий параграф посвящается решению краевой задачи для погранслоя в окрестности квазифронта. К краевой задаче для уравнения (21) с граничным условием (8) и начальными условиями (9) применяется интегральное преобразование Лапласа по времени. Решение краевой задачи в изображениях

с д£ + дт+2р2(р+1) дт2

<1т.~

по Лапласу получается в виде:

- Г

а -—ехр

5 4/?(/?+1) 2/72 (/? + !)

1--

г*

(22)

Щр+1)

Показатель степени экспоненты в выражении (22) раскладывается в ряд по положительным степеням параметра 5. Ограничиваясь двумя членами разложения, получается выражение для изображения напряжения, совпадающее с (19), что показывает применимость предложенных асимптотических методов.

С помощью метода перевала исследуется вопрос о сращивании различных приближений.

Четвертая глава посвящается анализу нестационарного волнового НДС в наследственно-упругой цилиндрической оболочке для безмоментной составляющей в случае продольного воздействия тангенциального типа на торец оболочки.

В первом параграфе ставится краевая задача, описывающая такое НДС, в случае наследственно-упругой оболочки вращения в общем виде, т.е. выписываются полная система трехмерных уравнений теории наследственной упругости и соответствующие задаче граничные и начальные условия. Уравнения состояния берутся в интегрально-операторной форме с дробно-экспоненциальным ядром Работнова (4). Уравнения движения имеют тот же вид, что и в теории упругости, т.к. они не зависят от механических свойств материала.

Во втором параграфе производится асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений с целью получения двумерных разрешающих уравнений в усилиях и перемещениях для безмоментной составляющей (случай, когда показатель изменяемости ^ равен показателю динамичности а).

Следуя схеме метода асимптотического интегрирования, разработанной для упругого случая в работах Л.Ю. Коссовича и Ю.Д. Каплунова, в трехмерных разрешающих уравнениях производится растяжение масштабов независимых переменных по следующим формулам:

а, = Лг}"£„а} = Л^,/ = Лс^ц'т. (23)

Здесь = 1,2; г) = А / Л « 1 - малый параметр тонкостенности; 2Л -толщина оболочки, Я - характерное значение радиусов кривизны срединной поверхности оболочки; а{,а2 - параметры линий кривизны срединной поверхности, а, - расстояние сгг срединной поверхности по нормали, сг -скорость продольной волны, определяемая по формуле

Сг ~ 1/20+у)Р '

где Е - мгновенное значение модуля упругости, V - мгновенное значение коэффициента Пуассона.

Считается, что дифференцирование по безразмерным переменным не меняет асимптотического порядка исходных величин.

В дальнейшем предполагается, что 0 <г-с<а, где г и с - показатели интенсивности параметров Р и к. При данном условии процесс асимптотического интегрирования аналогичен случаю упругой задачи.

Асимптотика НДС оболочки бер&гся в виде:

V, = + Л1), V, = Л(/7У3° + /7^),

ст„ = Е(а°и + 77<Т£), ац = Е(ст° + 77^), (24)

°31 = Е(т)^а°г1 + Т72"Ч). = Е(Л2-гяо°п + Л^ст») .

Здесь v, - перемещения, ау - компоненты тензора напряжений и считается, что

все величины с индексами "О" и "1" имеют одинаковый асимптотический порядок.

Пренебрегая членами порядка 0(т]2'2<1) в уравнениях теории наследственной упругости и интегрируя их по устанавливается зависимость неизвестных величин от нормальной координаты подобно случаю теории упругости:

- стз, +Ь "и >°эз-0зз °зз > (все величины с индексом в скобках не зависят от переменной <£"), а также выводятся уравнения связи между ними.

Уравнения связи между компонентами НДС позволяют записать разрешающие уравнения в усилиях и перемещениях в виде:

А, да, А; das А, А, да,v ' '' А, А, да, у dt1 Т. Т2 , ,dlw Л Л, Л, Л

v ¿?ау Л, Л,4/

где г *у = 1,2, А,,Я,, 1 = 1,2,3 - коэффициенты первой квадратичной формы и

главные радиусы кривизны срединной поверхности, Г*- резольвентный оператор, ядром которого является дробно-экспоненциальное ядро Работнова (4):

Г* •/(<)= }*(/-<*)/«>',

7) - продольные усилия, - сдвигающие усилия, и, - тангенциальные

перемещения, и> - нормальное перемещение точек срединной поверхности, определяемые формулами

Т, = 2ЕИа(ц), = 2ЕИа(?),

м, =Л77?у<°\ И'=-Л/72«У<0). В третьем параграфе ставится осесимметричная краевая задача, описывающая нестационарное волновое НДС для безмоментной составляющей

в наследственно-упругой цилиндрической оболочке. Рассматривается продольное воздействие тангенциального типа на торец оболочки.

Положив в (25) А, = 1, Л, = °о, Аг = Л, Яг = Я, где Л - радиус срединной поверхности цилиндра, получается полная система двумерных уравнений динамической теории наследственной упругости для цилиндрической оболочки.

В рассмотрение вводятся безразмерные переменные £ и т

t = — , с,

где а, - координата вдоль образующей срединной поверхности цилиндра, с, -продольная скорость двумерной волны, определяемая по формуле

"Vo-Уг)р'

безразмерные усилия Т* (/=1,2) и перемещения и', w'

Т, =т~~гТ'' "i = Ru'i' w = Rw' > l-v

безразмерные параметры /Г и к'

Р = {Щс)»гр\к = {К1сГгк\ Тогда система разрешающих уравнений принимает вид:

К fX-o

2 ¿г2

(i-v2;

ди' , чди' .

2 о

(26)

=г; - ут; - Ц^ '\к.{т - г.й'Лг..

* о

Граничные условия на торце £ = 0, соответствующие рассматриваемому типу воздействия в двумерной форме, берутся в виде:

Т;=1'Н(т), IV* =0, (27)

где I' =1(1-у2)/Е.

)

Начальные условия имеют вид:

и, = —- = уу =-= 0 при г = 0.

дт дх

Таким образом, краевая задача, описывающая такое НДС, ставится следующим образом. Требуется решить систему динамических уравнений (26) при начальных условиях покоя (28) и при граничных условиях (27), определяющих нагрузку на торце.

Предполагается, что картина распространения продольной волны в наследственно-упругой цилиндрической оболочке при данном типе воздействия совпадает с картиной распространения волны в наследственно-упругом стержне. Поэтому краевая задача (26) - (28) решается точно в изображениях по Лапласу. Используя метод расчленения НДС на составляющие аналогично наследственно-упругому стержню, находятся оригиналы для двух зон: для погранслоя в окрестности фронта и погранслоя в окрестности квазифронта. В первом случае оригинал изображения продольного усилия Т{ ищется путем разложения изображения в ряд по отрицательным степеням параметра преобразования и имеет вид:

✓ ч

Т,=Ге-*еф

где

а = -

\-v-v2

1-у2

Если учесть, что при 0<£ <т то (29) принимает вид:

4р(у*-у3 +у-1)-У +2у3 -6у2 + 2у+ 2 8(1-*^

(29)

{Чг-4

-8111'

я; х

<Ьс,

1 — I-ЯП

л о X

<1х

(30)

Во втором случае оригинал изображения продольного усилия 7[ ищется путем разложения изображения в ряд по положительным степеням параметра преобразования и имеет вид:

7;=Г

1 - -]-ехр[- (г - -

. яоР 1

(31)

где

А =

Р г, 4/?-1 1

Приводятся результаты численных расчетов для найденных усилий (30) и (31) с ростом времени в виде графиков.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведен анализ нестационарного НДС при продольном ударном воздействии в наследственно-упругом стержне. Получено точное решение и показано применение метода расчленения НДС на составляющие. Приведена схема применимости различных типов асимптотик. Все исследования проводились для модели Работнова.

2. Разработан асимптотический метод получения приближенного уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью в

к наследственно-упругом стержне.

3. Разработан асимптотический метод получения приближенного уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью в наследственно-упругом стержне.

4. Путем асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории наследственной упругости выведены асимптотически оптимальные уравнения безмоментной составляющей для наследственно-упругой оболочки вращения.

5. Разработаны методы решения краевой задачи для безмоментной составляющей в случае наследственно-упругой цилиндрической оболочки при продольных ударных воздействиях тангенциального типа. Все исследования проводились для модели Работнова.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Анофрикова Н.С., Коссович Л.Ю., Черненко В.П. Асимптотические методы построения решений в окрестностях фронтов волны в вязкоупругом стержне при больших значениях времени // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - Т.5. - Вып. 1. - С. 82-89.

2. Анофрикова Н.С., Черненко В.П. Нестационарные продольные волны в вязкоупругих стержнях // Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела: Тез. докл. V Росс. конф. с междунар. участ. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 15.

3. Анофрикова Н.С., Черненко В.П. Нестационарные продольные волны в вязкоупругих стержнях // Тр. V Росс. конф. с междунар. участ. "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела", Саратов, 23-25 августа 2005 г. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 36-39.

4. Черненко В.П., Анофрикова Н.С. Уравнение погранслоя для вязкоупругого стержня в окрестности фронта волны с длительной скоростью // Матем. Механ.: Сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - Вып. 7. - С. 202-204.

5. Анофрикова Н.С., Гуреева Е.В., Черненко В.П. Асимптотическое , интегрирование трехмерных уравнений состояния в случае наследственно-1 упругой тонкостенной оболочки // Тр. Междунар. конф. "Вычислительная

механика деформируемого твердого тела", Москва, 31 января-2 февраля 2006 г. - Москва: Изд-во Моск. гос. ун-та путей сообщ., 2006.

26 7Е

^"2678

Подписано к печати 31.01,2006г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл.печл. 1. Тираж 100. Заказ № 116.

Отпечатано с оригинал-макета в ООО «Ладога-ПРИНТ» 410012, г. Саратов, ул. Московская 160. тел.: (845-2) 507-888

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Черненко, Варвара Петровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Решение краевой задачи о распространении продольных волн в наследственно-упругом стержне.

1.1. Некоторые сведения из общей теории наследственной упругости.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Построение точного решения с помощью интегрального преобразования Лапласа и контурного интегрирования.

1.4. Применение метода расчленения напряженно-деформированного состояния на составляющие.

ГЛАВА 2. Погранслой в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью: наследственно-упругий стержень.

2.1. Асимптотика точного решения в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью.

2.2. Уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью.

2.3. Решение задачи для погранслоя.

ГЛАВА 3. Погранслой в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью: наследственно-упругий стержень.

3.1. Асимптотика точного решения в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью.

3.2. Уравнение погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью.

3.3. Решение задачи для погранслоя.

ГЛАВА 4. Решение осесимметричной задачи о распространении продольных волн в наследственно-упругой цилиндрической оболочке.

4.1. Постановка краевой задачи для наследственно-упругой оболочки вращения.

4.2. Вывод асимптотически оптимальных двумерных разрешающих уравнений для безмоментной составляющей.

4.3. Модельная задача для наследственно-упругой цилиндрической оболочки.

Введение диссертация по механике, на тему "Анализ нестационарных волн в наследственно-упругих стержнях и оболочках с ростом времени: асимптотический подход"

Теория ползучести в широком смысле слова объединяет все модели сплошной среды, для которых определяющие уравнения между напряжениями и деформациями учитывают зависимость от времени. Эта теория имеет большое прикладное значение и применяется при изучении многих материалов (металлов, сплавов, бетонов, полимеров и т.д.), находящихся в поле внешних напряжений. Значительное место в теории ползучести занимают реологические модели и наследственно-упругие соотношения, составляющие основу наследственной теории упругости.

Большое количество материалов, используемых в строительстве и технике, обладает наследственно-упругими свойствами. Поэтому проблемы наследственной теории упругости привлекают в последнее время особое внимание многих исследователей и инженеров в связи с использованием полимерных материалов и пластмасс в различных отраслях производства и строительной индустрии.

Принципиальные основы линейной наследственной теории упругости были сформулированы JI. Больцманом. Основа этой теории заключается в том, что деформация в данный момент времени зависит от всех предшествующих напряжений. Далее В. Вольтерра дал не только строгое математическое обоснование этих идей, но существенно развил теорию дальше, распространив ее на анизотропный и нелинейный случаи [87]. Он предложил использовать аппарат теории линейных интегральных уравнений с переменным верхним пределом для описания физических процессов, сопровождающихся последействием.

Следует отметить, что основное распространение получила наследственная теория упругости при медленных процессах деформирования, что привело к развитию теории ползучести и ее приложений в различных областях техники и строительства. В данной области получено много важных результатов [34, 49, 50]. В то же время во многих областях техники, в том числе в авиационной и ракетной, конструкции из наследственно-упругих материалов подвергаются импульсным воздействиям, при этом в деформируемом материале происходят волновые процессы.

Исследование волновых процессов в наследственно-упругих средах является весьма сложной проблемой, что связано, главным образом, со сложностью математической постановки динамических задач наследственной теории упругости. Поэтому в области динамики наследственно-упругих сред получено весьма ограниченное число частных результатов при решении простейших задач.

Классическая основа теории волн напряжений в сплошных средах, в частности наследственно-упругих, изложена в книгах [9, 21, 35]. Большая часть работ по распространению волн в наследственно-упругих телах ограничивается одномерными задачами [27,41, 54, 72, 73, 81-83].

Задачи о распространении волн в стержнях в одномерной постановке представляют большой интерес в связи с тем, что стержни являются основным видом образцов, используемых в экспериментальных исследованиях свойств материалов при высоких скоростях нагружения. Кроме того, одномерная задача является наиболее простой и ее можно в значительной мере исследовать аналитическими методами, что позволяет ясно представить особенности задач распространения волн в наследственно-упругой среде и апробировать асимптотические методы, которые в дальнейшем будут распространены на неодномерные задачи.

Глауз и Ли [75] исследовали модель, состоящую из элементов Фойхта и Максвелла, соединенных последовательно. Ими был рассмотрен вязкоупругий стержень полубесконечной длины, который приводился в движение с постоянной скоростью. Для решения поставленной задачи использовался метод характеристик, и для зависимости напряжений, деформаций и скоростей частиц от времени и координат были получены численные решения.

Ахенбахом и Редди [71] получено решение для ступенчатой функции нагружения асимптотическим методом. Их решение представляет собой функцию времени в фиксированной точке после того, как через нее прошло возмущение.

В работе [74] решение задачи о распространении ударных волн в изотропных линейных вязкоупругих материалах было получено в результате приближенного обращения преобразования Лапласа с использованием метода перевала и впервые выведено выражение для затухания на фронте волны.

Круш И.И. [43] применил интегральные операторы специального вида для исследования вынужденных колебаний геометрически нелинейных упруго-наследственных систем, поведение которых описывается символико-дифференциальным аналогом уравнения Дюффинга.

Кристенсен в работе [42] исследовал изотермическое распространение возмущений в полубесконечных стержнях. Некоторые результаты были обобщены на случай распространения плоских возмущений в трехмерной среде. Получены скорости распространения и затухания изотермических гармонических волн в трехмерной среде.

Монография [63] посвящена изучению динамического поведения упругих и вязкоупругих сред. В данной работе решена задача о распространении нестационарных продольных волн в вязкоупругом стержне с помощью интегрального преобразования Лапласа и принципа соответствия. Материал стержня описывается моделью Максвелла, внешняя нагрузка задается с помощью S - функции Дирака.

Филипповым И.Г. и Чебаном В.Г. [65] выведены уравнения колебания круглых стержней с учетом вязкости материала стержня, влияния окружающей среды и температуры. Изложенная в их монографии теория колебания стержней основана на рассмотрении стержня как трехмерного тела, т.е. на точной постановке трехмерной математической задачи колебания при внешних усилиях, вызывающих тот или иной ее вид.

В [64] исследуется широкий класс волновых задач в вязкоупругих средах. В частности, приводятся решения задач о распространении плоских волн в вязкоупругих стержнях переменного сечения, в неоднородных и составных стержнях с помощью метода рядов [62].

В статье [61] предлагается метод решения динамических задач для вязкоупругих сред, основанный на введении потенциальных функций и преобразовании уравнений движения. Связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций линейная дифференциальная.

Случай продольных колебаний стержня конечной длины постоянного поперечного сечения из вязкоупругого материала, свойства которого описывает модель стандартного линейного тела, впервые был рассмотрен А.Ю. Ишлинским [29]. Позже Соколовский [57] решал подобную задачу для полубесконечного стержня, интегрирование проводилось им численно с использованием метода характеристик. Впервые аналитическое решение этой задачи было получено Моррисоном [84]. Он использовал непосредственно теоремы операционного исчисления для нахождения обратного преобразования Лапласа-Карсона.

В книге [53] выведено уравнение вынужденных колебаний вязкоупругого стержня, вынуждающая сила представлена синусоидальным законом. Материал стержня описывается моделью стандартного линейного тела.

Ударные волны в наследственно-упругих средах изучались Работновым Ю.Н. в работах [50, 51] с помощью метода разрывов.

Рассмотрены вопросы о скорости распространения и затухания ударных волн в вязкоупругих средах. Аналогичные вопросы были рассмотрены и в работе [76].

В работе [47] рассматриваются интегральные уравнения нестационарных колебаний теории вязкоупругости в общем виде. Под вязкоупругостью понимается любая модель среды, так или иначе учитывающая диссипацию энергии при ее движении, нагрузка является произвольной функцией времени, представимой интегралом Фурье.

Наряду с вопросами построения определяющих реологических связей между напряжениями и деформациями в прикладных задачах наследственной теории упругости возникает вопрос о конкретизации вида ядер интегральных соотношений Больцмана-Вольтерра. Критерием правильного выбора служат экспериментальные данные, получаемые при статических и динамических испытаниях. Рабонтову [48] удалось построить класс функций, которые можно назвать экспоненциальными функциями дробного порядка. В наследственной теории упругости в качестве ядер интегральных операторов наиболее эффективными в теоретическом и практическом отношении оказываются дробно-экспоненциальные функции Работнова, обладающие интегрируемой особенностью в начальный момент времени (слабосингулярные функции). Эти ядра дают бесконечно большую скорость ползучести в момент приложения нагрузки, а соответствующие им функции распределения нагрузки являются непрерывными и испытывают размытие с изменением параметра дробности [20]. Этот параметр учитывает структурные изменения, связанные с различными видами обработки материалов. В статье [46] показана возможность использования таких дробно-экспоненциальных функций в динамических задачах теории линейной вязкоупругости.

Для анализа процессов ползучести и релаксации, скорости которых имеют особенность в начале процесса, с помощью наследственной теории

Колтуновым в [33] предлагается использовать ядро и резольвенту в виде ряда. Также им отмечается, что с помощью предлагаемых функций при соответствующем выборе их параметров можно описывать как ограниченную, так и неограниченную ползучесть.

В последнее время слабосингулярные функции, используемые в качестве ядер интегральных операторов, стали широко применятся при решении динамических задач. Наличие слабой сингулярности этих ядер в начальный момент времени обуславливает ряд особенностей в динамическом поведении таких сред по сравнению с обычными моделями Максвелла и стандартного линейного тела.

В [24] решается задача о распространении свободно-затухающих колебаний упруго-наследственных систем. В качестве наследственного ядра взято слабосингулярное ядро Абеля. Решение задачи ищется с помощью интегрального преобразования Лапласа с последующим применением метода контурного интеграла. Полученный результат сравнивается с решением аналогичной задачи для модели Максвелла.

Известно, что слабосингулярным функциям с различными видами нагружения эквивалентны реологические модели с дробными производными по времени [56, 69]. В [10] решаются задачи о распространении волн напряжения в одномерных полубесконечных линейных вязкоупругих средах, свойства которых описываются наследственными ядрами Абеля и Работнова и соответствующими им реологическими моделями Максвелла и стандартного линейного тела, записанными в дробных производных. При решении задач используются преобразования Лапласа и Фурье, переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью метода контурного интегрирования. При решении задач основное внимание уделяется влиянию параметра дробности на коэффициент затухания. Аналогичные исследования проводятся в [25].

В статьях [26] и [28] решение задачи о распространении волн напряжения в составных стержнях постоянной и переменной толщины при приложении к концу стержня импульсной нагрузки получено методами теории функции комплексной переменной. Наследственные свойства вязкоупругой части стержня характеризуются слабосингулярным яром Работнова и моделью стандартного линейного тела. В работе [86] эта задача решается методом малого параметра, функция ползучести используется в виде непосредственного обобщения материала Максвелла.

В [19] рассматривается задача об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду: определяется смещение точек стержня после удара и температурная зависимость отскока. Материал стержня описывается моделями Работнова и стандартного линейного тела.

Быковцевым Г.И. и Вервейко Н.Д. [14] получены соотношения, описывающие изменения интенсивностей волн в процессе их распространения в упруго-вязко-пластическом теле. В случае удара тела по полубесконечному стержню, материал которого обладает вязкоупругими и вязкопластическими свойствами, Зверевым [23] получено решение с помощью операционного метода [70] и показано, что скорость деформации в начале удара бесконечна.

Филипповым И.Г. и Кудайназаровым К. [67] выведены общие уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Полученные уравнения используются для решения прикладных задач в работах [44, 66].

Сложность уравнений наследственной теории упругости для оболочек, не позволяет получить точные аналитические решения, и поэтому используются различные приближенные методы, основанные на приближении, как исходных уравнений, так и исходных решений. Специфика изучения волновых процессов в тонкостенных конструкциях заключается в том, что из-за многократного отражения отдельных волн от лицевых поверхностей описать и воспринять волновую картину как наложение элементарных волн очень трудно. Поэтому следует разрабатывать и применять методы, основанные на суммировании вклада отдельных волн. Одним из таких методов является использование приближенных двумерных теорий.

Большую эффективность при изучении колебаний тонких оболочек имеют асимптотические методы, при этом до недавнего времени возможности этих методов не были использованы достаточно полно в нестационарной динамике оболочек. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математические уравнения теории вязкоупругости для тонких оболочек, как и в случае теории упругости, относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности.

Большое количество работ посвящено применению метода расчленения напряженно-деформированного состояния (НДС). Общие вопросы применения этого метода изложены в работах A.JI. Гольденвейзера [15-17]; В.В. Болотина [11-13]; П.Е. Товстика [59, 60].

Поскольку решение нестационарных задач тонких оболочек обладает неоднородной изменяемостью, как по времени, так и по направлению распространения возмущении, то к исследованию напряженного состояния можно подойти с позиции расчленения его на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени. Это дает возможность построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, имеющие гораздо более простой вид по сравнению с исходными.

Впервые метод расчленения нестационарного НДС был рассмотрен в работе Н.А. Алумяэ [1], исследовавшего осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванной действиями краевой нагрузки, изменяющейся во времени по синусоидальному закону. Асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу дало возможность разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты. Аналогичные выводы были сделаны в работе И.А. Алумяэ и Л. Поверуса [2], где краевая нагрузка на цилиндрическую оболочку изменялась по времени как функция Хевисайда, а по дуговой координате - по закону косинуса. В процессе решения задачи производилось расчленение напряженных состояний с учетом показателя изменяемости по времени. В результате проведенных исследований было показано, что тангенциальные характеристики деформации оболочки при переходном процессе могут быть определены с помощью безмоментной теории, когда этот процесс вызывается тангенциальными факторами па неасимптотическом крае оболочки.

Долгое время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел была ограничена случаями пластины и круговой цилиндрической оболочки. Лишь сравнительно недавно в работах Л.Ю. Коссовича [36-40] были представлены асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочек вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на составляющие (безмоментную, моментную и динамический погранслой) с различными показателями изменяемости. Исследование нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводилось с использованием фундаментального понятия показателя изменяемости, введенного А.Л.Гольденвейзером [18]. Рассматривался класс задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. Были рассмотрены области применимости в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и динамического плоского симметричного погранслоя, моментной составляющей и динамического плоского обратносимметричного погранслоя. Разработан подход к получению асимптотик без использования интегральных преобразований, основываясь только на физическом смысле. Корректность предложенной схемы расчленения НДС была доказана в [39], там же предложены эффективные методы определения всех составляющих.

Большой вклад в разработку асимптотически приближенных теорий и исследование нестационарных волновых процессов в оболочках и пластинах внесли публикации Ю.Д. Каплунова. В [30] методом асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости построены двумерные уравнения, описывающие высокочастотные НДС малой изменяемости в оболочках. Установлена область применимости и погрешность предложенных уравнений.

В работе [79] было показано, что для построения НДС тонкой оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений теории коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уточненные уравнения классической двумерной теории.

Изучение нестационарного волнового процесса в тонкой оболочке общего очертания при краевом ударном воздействии проведено в работе [31]. На основе приближенных теорий выявлены качественные особенности нестационарного НДС оболочки и определены границы областей применимости различных теорий. Получены простые асимптотические формулы для описания распространения волны изгиба.

В работе Ю.Д. Каплунова, И.В. Кирилловой и JI.IO. Коссовича [32] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двумерные системы уравнений.

Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем и Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [80]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Для моделирования нестационарных волновых процессов выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волны расширения и сдвига, окрестности квазифронта.

Исследованием нестационарных волн в вязкоупругих оболочках с помощью асимптотических методов занимались Анофрикова Н.С. и Коссович Л.Ю. [7, 8]. Все исследования проводились для материалов, вязкоупругие свойства которых описывались соотношениями, взятыми в дифференциальной форме. Путем асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории вязкоупругости были выведены асимптотически оптимальные уравнения длинноволновой низкочастотной составляющей, для случая оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны были получены уравнения динамического погранслоя в окрестности фронта волны расширения. Также был разработан асимптотический метод получения приближенных уравнений динамического погранслоя в окрестности квазифронта.

То обстоятельство, что уравнения движения наследственно-упругих оболочек совпадают с уравнениями движения упругих оболочек, а уравнения состояния при некоторых ограничениях на порядки наследственно-упругих характеристик обобщают соответствующие уравнения теории упругости, и позволило применить к исследованию нестационарных волн в наследственно-упругих оболочках асимптотические методы.

Данная работа посвящена изучению нестационарных волн в наследственно-упругих тонких стержнях и оболочках с помощью точных и асимптотических методов, а также методов компьютерной математики. В отличие от описанных ранее работ в данной работе исследуются новые эффекты, возникающие в наследственно-упругих стержнях и оболочках в случае нестационарного волнового НДС с ростом времени. Все теоретические выводы и задачи в диссертации относятся к изотропным материалам при изотермических условиях.

В первой главе рассматривается тонкий полубесконечный стержень из наследственно-упругого материала, свойства которого описываются моделью Работнова [50], т.е. выбирается интегрально-операторная форма записи уравнения состояния. В качестве ядра интегрального оператора берется дробно-экспоненциальная функция Работнова. Ставится краевая задача при ударном продольном воздействии на торец стержня, с помощью методов теории функции комплексной переменной находится точное решение поставленной задачи. Найденное решение численно анализируется с ростом времени. Результаты численных расчетов приводятся в виде графиков, и описывается общая картина распространения нестационарных волн в наследственно-упругом стержне. Применяется метод расчленения НДС на составляющие, приводится схема зон применимости различных типов асимптотик.

Вторая глава посвящена исследованию погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью (фронта). В данной зоне находится асимптотика точного решения, полученного в Главе 1, выводится и решается уравнение погранслоя в окрестности фронта. С помощью метода перевала исследуется вопрос о сращивании различных приближений. Решения, полученные по точной и приближенной теориям, сравниваются между собой. Приводятся результаты численных расчетов в виде графиков.

В третьей главе проводится аналогичное Главе 2 исследование погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью (квазифронта). С помощью метода перевала исследуется вопрос о сращивании различных приближений, показывается переход асимптотики для погранслоя в окрестности квазифронта в асимптотику для квазиупругой зоны.

В Главе 4 рассматривается тонкостенная оболочка вращения, выполненная из наследственно-упругого материала с условием упругого объемного расширения. Свойства материала оболочки описываются моделью Работнова. Для нее задается асимптотика НДС, устанавливается зависимость напряжений и перемещений от нормальной координаты и выводятся асимптотически оптимальные двумерные разрешающие уравнения в усилиях и перемещениях. Рассматривается случай, соответствующий безмоментному типу НДС, т. е. когда показатели изменяемости по продольной координате и динамичности равны. В настоящей работе уравнения безмоментной составляющей получаются в результате асимптотического интегрирования трехмерных уравнений динамической наследственной теории упругости.

Полученная система двумерных уравнений состояния и движения записывается для наследственно-упругой цилиндрической оболочки, и ставится оссесиметричная краевая задача о распространении продольных нестационарных волн. Рассматривается продольное воздействие тангенциального типа на торец оболочки. Решение поставленной задачи находится с помощью асимптотических методов. Приводятся результаты численных расчетов с ростом времени в виде графиков.

В заключении диссертации формулируются основные выводы.

Научная новизна. В диссертации впервые:

- разработаны асимптотические методы построения уравнений погранслоев в окрестностях фронта и квазифронта в наследственно-упругом стержне;

- разработан асимптотический метод построения уравнений состояния в интегрально-операторной форме безмоментной составляющей для наследственно-упругих оболочек на базе трехмерных динамических уравнений наследственной теории упругости: получена асимптотика НДС в этой области, установлена зависимость неизвестных величин от нормальной координаты, получены двумерные уравнения безмоментной составляющей для асимптотически главных и асимптотически второстепенных компонент НДС;

Практическая значимость работы состоит в расширении области применимости асимптотических методов исследования нестационарного НДС на случай наследственно-упругих оболочек. Представленные методы можно применять для расчета тонкостенных конструкций, выполненных из материала, обладающего механическими свойствами, описываемыми в рамках наследственной теории упругости, подверженных действию ударных нагрузок. Разработанные в работе асимптотические методы решения поставленных краевых задач позволят решить вопрос создания надежных численно аналитических методов исследования динамического НДС наследственно-упругих тонких стержней и оболочек.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на

- Международной конференции "Вычислительная механика деформируемого твердого тела", Москва, Россия, 2006;

По материалам диссертации опубликованы работы [3-6, 68].

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе для построения уравнений и исследования нестационарного волнового НДС в наследственно-упругих стержнях и оболочках при ударных продольных воздействиях используются точные и асимптотические методы. Основные результаты исследований заключаются в следующем:

2. Разработан асимптотический метод получения приближенного уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью в наследственно-упругом стержне.

3. Разработан асимптотический метод получения приближенного уравнения погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью в наследственно-упругом стержне.

4. Путем асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений наследственной теории упругости выведены асимптотически оптимальные уравнения безмоментной составляющей для наследственно-упругой оболочки вращения.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Черненко, Варвара Петровна, Саратов

1.Алумяэ Н.А. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. -1961. - № 3. - С. 171-181.

2. Алумяэ Н.А., Поверус Л. Переходый процесс деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963.- № 1. - С. 13-23.

3. Анофрикова Н.С., Черненко В.П. Нестационарные продольные волны в вязкоупругих стержнях // Труды V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела". Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 36-39.

4. Анофрикова Н.С., Гуреева Е.В., Черненко В.П. Асимптотическое интегрирование трехмерных уравнений состояния в случае наследственно-упругой тонкостенной оболочки // Труды Международной конференции

5. Вычислительная механика деформируемого твердого тела". М.: Изд-во Москов. госуд. ун-та путей сообщ., 2006. - Т. 1. - С. 26-29.

6. Бажанова Н.С., Коссович JI.IO. Погранслой в окрестности фронта волны расширения вязкоупругих оболочках вращения // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. - С. 22-26.

7. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2000. - № 2. - С. 17-24.

8. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. 200 с.

9. Блитштейн Ю.М., Мешков С.И. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинев: Штиинца, 1977. 205 с.

10. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // ПММ.- Т. 24. Вып. 5. - 1960. - С. 831-842.

11. Болотин В.В. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ. Т. 34. - Вып. 5. - 1970. - С. 952-956.

12. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний // ПМ. Т. 8. - Вып. 4. - 1972.- С. 3-29.

13. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. О распространении вон в упруго-вязко-пластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1966. - № 4. - С. 111-123.

14. Гольденвейзер А.Л. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ. 1966. - Т. 30. - Вып. 1. - С. 94-108.

15. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний упругой оболочки // Проблемы механики твердого деформируемого тела. -Л., 1970.-С. 121-128.

16. Гольденвейзер А.Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ 1970. - Т. 34. - Вып. 5. - С. 952-956.

17. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512 с.

18. Гонсовский В.Л., Мешков С.И., Россихин Ю.А. Удар вязкоупругого стержня о жесткую преграду // ПМ. Т.8. - Вып. 10. - 1972. - С. 71-76.

19. Даринский Б.М., Мешков С.И. Сингулярные ядра наследственности и релаксационно-ретрадиционные спектры // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. -№ 3. - С. 134-140.

20. Дейвис P.M. Волны напряжений в твёрдых телах. М.: ИЛ, 1961. - 103 с.

21. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М., 1958. 207 с.

22. Зверев И.Н. Распространение возмущений в вязко-упругом и вязко-пластическом стержне // ПММ. Т. 14. - Вып. 3. - 1950. - С. 295-302.

23. Зеленев В.М., Мешков С.И., Россихин Ю.А. Затухающие колебания упруго наследственных систем со слабосингулярными ядрами // ПМТФ.- 1970.-№2.-С. 104-108.

24. Зеленев В.М., Мешков С.И., Россихин Ю.А. О влиянии параметра сингулярности Эг функции на затухающие колебания наследственноупругих систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. - № 3. - С. 115-117.

25. Зеленев В.М., Поленов B.C. Волны напряжений в составном полубесконечном стержне // ПМТФ. 1971. - № 4. - С. 116-120.

26. Иванов В.А. К теории распространения волны напряжения в полубесконечном упруго-вязком стержне // Тр. Ленинград, политех, инст.- Ленинград: Машиностроение, 1967. № 278. - С. 24-28.

27. Ильясов М.Х. Распространение нестационарных волн в вязкоупругом стержне переменной толщины // Распространение возмущений в упругих и неупругих стержнях и оболочках. Научные труды. М.: Изд-во МГУ, 1975.-С. 47-51.

28. Ишлинский А.Ю. Продольные колебания стержней при наличии линейного закона последействия и релаксации // ПММ. Т. 4. - Вып. 1. -1940.-С. 79-92.

29. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. - № 5. - С. 147-157.

30. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. АН России. МТТ. 1992. - № 6. -С. 156-167.

31. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ 1993. - Вып. 1. - Т. 57. - С. 83-91.

32. Колтунов М.А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации // Механика полимеров, 1966. № 4. - С. 483-497.

33. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая шк., 1976. 277 с.

34. Кольский Г. Волны напряжения в трердых телах. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 192 с.

35. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Изв. АН СССР. МТТ. -1983. -№3. С. 143-148.

36. Коссович Л.Ю. Области согласования интегралов Кирхгофа-Лява и динамического нерегулярного погранслоя в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Тр. 13-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Таллин, 1983. - Т. 3. - С. 90-95.

37. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. - № 5. - С. 142-146.

38. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1986. 176 с.

39. Коссович Л.Ю. Метод расчленения нестационарного напряженного состояния в оболочках вращения // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, 1987. Т. 2. - С. 98-103.

40. Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Решение задачи о нестационарных продольных волнах в тонком вязкоупругом стержне // Механика деформируемых сред. Межвуз. сб. нучн. ст. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2002.-№14.-С. 93-98.

41. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 340 с.

42. Круш И.И Интегро-операторный метод исследования деформирующих свойств упруго-наследственных систем // Изв. АН СССР. Механика. -1965.-№6.-С. 90-94.

43. Кудайназаров К. Продольный удар по круговой цилиндрической оболочке // Изв. АН УзССР. Сер. тех. науки. 1990. - № 3. - С. 31-37.

44. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: Изд-во МГУ, 1982. 151 с.

45. Мешков С.И. Интегральное представление дробно-экспоненциальных функций и их приложение к динамическим задачам линейной вязкоупругости // ПМТФ. 1970. - № 1. - С. 103-110.

46. Пупырев В.А. Интегральные уравнения динамической вязкоупругости. -Ленинград: Изд-во ЛПИ, 1978. 80 с.

47. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. -1948.-Т. 12.-Вып. 1.-С. 53-62.

48. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

49. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.

50. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

51. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 464 с.

52. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем деформирующихся со временем. Ленинград: Изд-во технико - теоретич. лит., 1949. 252 с.

53. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд-во МГУ, 1885.416 с.

54. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функции комплексной переменной. М.: Наука, 1974. 320 с.

55. Слонимский Г.Л. О законе деформации высоко пластичных полимерных тел//ДАН СССР, 1961.-Т. 140.-№2.-С. 343-346.

56. Соколовский В.В. Распространение упруго-вязко-пластических волн в стержнях // ПММ. 1948. - Т. 12. - Вып. 3. - С. 261-280.

57. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М., 1979. 832 с.

58. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочек вращения // Исследования по упругости и пластичности. Л., 1965. - С. 117-122.

59. Товстик П.Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. С.-П.: Изд-во С.-П. ун-та, 1995. 184 с.

60. Филиппов И.Г. Об одном методе решения уравнений движения вязкоупругих сред // Механика полимеров, 1973. №3. - С. 429-435.

61. Филиппов И.Г. О некоторых математических методах решения динамических задач линейной теории вязкоупругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1978.-№5.-С. 206.

62. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзакабилов С.М. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред. Ташкент: Изд-во Фан УзССР, 1979. 236 с.

63. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983. 269 с.

64. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев: Штиинца, 1988. 189 с.

65. Филиппов И.Г., Кудайиазаров К. Уточненные уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // ПМ. 1990. - Т. 26. - № 2. - С. 63-70.

66. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Краевые задачи продольных колебаний круглых цилиндрических оболочек // ПМ. 1998. - Т. 34. - № 12. -С. 34-41.

67. Черненко В.П., Анофрикова Н.С. Уравнение погранслоя для вязкоупругого стержня в окрестности фронта волны с длительной скоростью // Математика. Механика: Сб. науч. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - Вып. 7. - С. 202-204.

68. Шермергор Т.Д. Об использовании операторов дробного дифференцирования для описания наследственных свойств материалов // ПМТФ.- 1966.-№6.-С. 118-121.

69. Эфрос A.M., Данилевский A.M. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков: ОНТИ, 1937. 383 с.

70. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on Wave Propagation in Lineary Viscoelastic Media//Z. Angew. Math. Phys. 1967. -Vol. 18. - P. 141.

71. Berry D.S. A Note of Stress Pulses in Viscoelastic Rods // Phil. Mag. 1958. -Vol. 3, '25.-P. 100-102.

72. Berry D.S., Hunter S.C. The Propagation of Dynamic Stresses in Viscoelastic rods // J. Mech. and Phys. Solids. 1956. - Vol. 4, l2. - P. 72-95.

73. Chu B.T. Stress Waves in Isotropic Linear Viscoelastic Materials // J. Mech. -1962.-Vol. 1,4.-P. 439-461.

74. Glauz R.D., Lee E.H. Transient Wave Analisis in a Linear Time-Dependent Material // J. Appl. Phys. 1954. - Vol. 25, '8. - P. 947-553.

75. Fisher G.M.S., Gurtin M.E. Wave propagation in the linear theory of viscoelasticity //Quart. Appl. Math. 1965. - Vol. 23, '257. - P. 257-263.

76. Herrera I., Gurtin M.E. A Correspondence principle for viscoelastic wave propagation // Quart. Appl. Math. 1965. - Vol. 23, № 3. - P. 235.

77. Hua Zhuxin, Uni-axial stress response of three-dementional viscoelastic body in the integral form // Mech. and Pract. 1992.- Vol. 14, № 4.- pp. 46-47.

78. Kaplunov Ju.D. On the quasi-front in two-dimensional shell theories. C.R. Acad. Sci.Paris. -1991. -1. 313, II. P. 731-736.

79. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. Academic Press, San Diego, 1998. 226 p.

80. Kolsky H. Propagation of stress pulses in viscoelastic solids // Phil. Mag. -1956.-Vol. 1,'8,-P. 693-709.

81. Lee E.H., Kanter I. Wave Propagation in Finite Rods of Viscoelastic Material // J. Appl. Phys. 1953. - Vol. 24, '9. - P. 1115-1122.

82. Lee E.H., Morrison J.A. A comparison of the propagation of longitudinal waves in rods of viscoelastic materials // J. Polymer Sci. 1956. - Vol. 19, '91. - P. 93-110.

83. Morrison J.A. Wave Propagation in Rods of Voigt Material and Viscoelastic Materials with Three Parameter Models // Quart. Appl. Math. 1956. - Vol. 14, '2.-P. 153-169.

84. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Applications of fractional calculus to dynamic problems // Appl. Mech. Rev.- 1997.-Vol. 50, 4. P. 16-18.

85. Valanis K.C. Wave propagation in viscoelastic solids with measured relaxation or creep function // Proc. 4th Int. Congr. on Rheology. London, 1963.

86. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differentional Equations. New York, 1959. 226 p.