Учет влияния скошенности края и анизотропии материала на формирование нестационарных погранслоев в цилиндрических оболочках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОСТОЙ КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В СКОШЕННОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение полугеодезической системы координат

1.3 Основные уравнения теории оболочек в полугеодезической системе координат

1.4 Решение уравнения динамического простого краевого эффекта

2. ПОГРАНСЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ КВАЗИФРОНТА В СКОШЕННОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

2.1 Вывод уравнения погранслоя в окрестности квазифронта

2.2 Модельная задача

3. ПОГРАНСЛОЙ В ОКРЕСТНОСТЯХ ФРОНТОВ ВОЛН В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

3.1 Постановка задачи

3.2 Погранслой в окрестности фронта волны расширения

3.3 Погранслой в окрестности фронта волны сдвига I типа

3.4 Погранслой в окрестности фронта волны сдвига II типа

3.5 Модельные задачи

4. ПОГРАНСЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ КВАЗИФРОНТА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

4.1 Вывод уравнения погранслоя в окрестности квазифронта

4.2 Модельная задача

Современное развитие многих отраслей производства, таких как авиа- и ракетостроение, машиностроение, строительная индустрия, требует широкого использования оболочечных конструкций, работающих в условиях высоких давлений и скоростей. Для технических сооружений и конструкций большое значение имеет изучение колебательных процессов, происходящих вследствие непрерывного возрастания мощности и быстроходности машин и механизмов, увеличения воздействий динамических нагрузок на элементы машин и сооружений.

Изучение статики и динамики цилиндрических оболочек, являющихся простейшими представителями геометрических структур, является предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований, ведущихся уже более столетия. Поскольку нахождение точного аналитического решения соответствующих трехмерных задач сопряжено с почти непреодолимыми трудностями, наиболее важным является вопрос о построении приближенных методов расчета. Существующие методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным условно делятся на методы гипотез и разложения по толщине и асимтотические методы.

Вопросу построения теории изотропных и анизотропных оболочек на основе метода гипотез посвящена обширная литература. Отметим среди них монографии С.А.Амбарцумяна [8,9], В.З.Власова [12], А.И.Лурье [50], В.В.Новожилова [60] и др.

Многие важные результаты, полученные в теории оболочек за последние десятилетия, объективно связаны с использованием асимптотических методов. Если метод гипотез начал использоваться с 4 самого начала становления теории оболочек, то асимптотические методы получили интенсивное развитие лишь с шестидесятых годов. Это объясняется в частности тем, что замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности показывает, что математические уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных. Математическая теория таких уравнений начала развиваться лишь с сороковых годов, хотя такие уравнения и раньше встречались в других областях механики и физики. Оттуда перешли в математическую литературу понятия погранслоя, сращивания и др. В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены уравнения такого вида.

Направление исследований, связанное с асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной теории упругости развивалось в работах А.Л.Гольденвейзера [13, 19], А.Грина [80], Б.Новотны [78] и др.

Основополагающие понятия показателя изменяемости напряженно-деформированного состояния (НДС) по пространственным координатам и операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости связаны в первую очередь с работами А.Л.Гольденвейзера [13-25]. При рассмотрении статических задач, посвященных построению двумерной теории оболочек, вводился малый безразмерный параметр, равный отношению толщины оболочки к характерному радиусу. Введение данных величин сделало возможным построение для статических задач основного итерационного процесса, который приводит в первых приближениях к двумерным теориям оболочек. Было показано, что дополнительный итерационный процесс приводит к принципиально новым теориям - теории плоского и антиплоского погранслоев. Одним из важных результатов, связанных с 5 построением итерационного процесса, явилась возможность асимптотической оценки погрешности двумерных теорий, теорий пластин и оболочек, связанной со значениями показателей изменяемости НДС.

В основу всех известных приближенных методов статики оболочек положена классификация [19], в которой различаются интегралы, соответствующие безмоментным, чисто моментным напряженным состояниям, краевым эффектам, НДС с большой изменяемостью и т.д.

Асимптотические методы в теории анизотропных пластин и оболочек получили свое развитие в работах Л.А.Агаловяна [1,2]. В [1] изложена теория анизотропных пластин и оболочек на основе асимптотического метода интегрирования уравнений пространственной задачи теории упругости. Была выявлена связь полученных уравнений с уравнениями прикладных теорий, изучен пограничный слой и выявлена его связь с принципом Сен-Венана, указан класс задач, когда принцип Сен-Венана выполняется точно. Асимптотический подход позволил обосновать классическую теорию анизотропных оболочек, оценить асимптотическую погрешность двумерной теории оболочек в зависимости от показателей изменяемости и анизотропии.

Особую сложность проблема обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным краевым задачам математической физики имеет в динамических задачах. Переходные процессы деформации имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. При этом можно выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами волн. На фронте волны часть компонент НДС или их производные разрывны. В случае, если нагрузки задаются достаточно гладкими по времени функциями, влиянием этих разрывов 6 на напряженное состояние можно пренебречь. Теоретический и прикладной интерес представляет изучение НДС в окрестностях фронтов волн для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.

Результаты исследований по изучению динамики упругих плит и оболочек изложены в работах [3,5-7,28,53-59,87] и др.

Динамике тонких упругих оболочек посвящены работы А.Л.Гольденвейзера [18,22]. В работе [18] для интегралов двумерных динамических уравнений теории оболочек была введена классификация, аналогичная статическому случаю. Было показано, что в динамике при построении классификации необходимо учитывать изменяемость напряженного состояния по времени. В работе [23] рассмотрены динамические трехмерные уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Получена связь данных интегралов и интегралов двумерных уравнений теории оболочек и теории погранслоя. В работе [25] проведен асимптотический анализ краевого НДС тонкой упругой оболочки. В зависимости от характера краевого закрепления получена асимптотика вклада погранслоев в формирование краевых явлений. Была показана возможность использования сдвиговых теорий для уточнения расчета краевых НДС. В работе [26] сформулирован модифицированный принцип Сен-Венана, обуславливающий затухание асимптотически главной части НДС, вызванный системой сил, приложенной к торцу тонкого упругого тела. Получены условия выполнения модифицированного принципа Сен-Венана и изучена возможность их использования при построении итерационных процессов интегрирования общих уравнений теории упругости. 7

Асимптотический метод был применен также для изучения свободных колебаний оболочек на основе двумерной классической теории оболочек. Им посвящены работы А.Л.Гольденвейзера, Ю.Д.Каплунова, В.Б.Лидского, Е.П.Товстика [14,16,17,20-22,34,67,68] и др.

Однако до недавнего времени асимтотические методы недостаточно полно использовались при решении задач нестационарной динамики оболочек. Это объясняется следующими фактами. На задачи нестационарной динамики оболочек нельзя формально перенести понятие показателя изменяемости искомого решения. Изменяемость решения оказывается неоднородной в различных частях области определения: если вдали от точки приложения нагрузки и фронта волны она невелика, то вблизи этих областей она, монотонно возрастая, становится большой. Таким образом, сами понятия показателей изменяемости НДС по времени и в пространстве требуют глубокого исследования. Кроме того, изменяемость НДС вблизи точки приложения нагрузки и вблизи фронта волны заведомо выходит за рамки применимости двумерной теории оболочек. Следовательно, в задачах нестационарной динамики не проходит асимптотический метод расчленения НДС в классической форме. При решении нестационарных задач проводится расчленение напряженного состояния на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени. Это позволяет построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, которые имеют более простой вид по сравнению с исходными.

Одними из первых работ, связанных с изучением динамического НДС оболочек и использованием метода расчленения были работы Н.А.Алумяэ, Л. Поверуса, У.К.Нигула [4-7,55-59,87]. В [4] исследовался 8 осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванный действием краевой нагрузки, меняющейся во времени по синусоидальному закону. В [5] краевая нагрузка на оболочку задавалась во времени функцией Хевисайда, а по дуговой координате менялась по закону косинуса. В [4] асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу позволило разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты. В [5] расчленение напряженных состояний проводилось с учетом показателя изменяемости по времени.

Работа У.К.Нигула [58] посвящена изучению начального этапа переходных процессов деформации упругих круговых цилиндрических оболочек, вызванных торцевой нагрузкой, которая действует или возрастает до максимального значения за время, которое соизмеримо со временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки или меньше этого времени. На основании анализа переходных процессов деформации плит была получена следующая качественная картина деформации: в момент приложения ударной нагрузки к торцу в оболочке возникает сложная система первичных волн, как продольных, так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь оболочки. При этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении, взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою очередь, порождают вторичные волны, причем каждая из волн порождает и продольную и поперечную отраженную волну. Таким образом, в оболочке возникает сложная система волн. Поскольку с течением времени количество волн катастрофически растет, отдельное построение и анализ числа элементарных волн практически неосуществимы. Поэтому при расчете тонкостенных конструкций следует изучать вклад не отдельно взятой волны, а суммировать вклад 9 всех волн пакета. В данной работе выявлены области и условия применимости приближенных теорий для аппроксимации суммарного вклада отдельных волн, проведено численное сопоставление решений по теории упругости и по приближенным теориям. В [58,59,87] приведены результаты исследований по изучению областей применимости теории Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко при осесимметричной деформации оболочек вращения, вызванной локальной нагрузкой, проанализированы результаты использования методов перевала, стационарной фазы, конечных разностей и прифронтовой асимптотики. Один из главных выводов, сформулированных в данных работах, заключается в том, что характер НДС существенно зависит от изменяемости воздействия во времени.

В работе Вегко\у^ Н.М. [77] решалась задача об определении осесимметричных напряжений, возникающих в результате удара полубесконечной упругой цилиндрической оболочки, двигающейся с осевой скоростью по направлению к жесткой преграде. С помощью безмоментной теории были получены не только главный член асимптотического разложения для больших значений времени, но и дополнительные члены. Это позволило оценить точность решения для точек, находящихся далеко позади фронта волны. Кроме того, было получено решение, имеющее силу вблизи фронта волны.

В работе [54] А.П.Малышева и В.И.Паничкина рассматривались одномерные волновые процессы в оболочках вращения, возникающие при действии быстроизменяющихся нагрузок. В работе показано, что величина разрыва на фронте продольной волны остается постоянной. Полученные результаты демонстрируют разделение НДС оболочки на безмоментное состояние и краевой эффект. В [55] А.П.Малышевым рассматривалось распространение осесимметричных волн в

10 цилиндрических оболочках по безмоментной теории. Решения уравнений были получены с помощью интегралов Френеля.

Динамике стержней и пластин посвящены работы В.В.Новожилова и Л.И.Слепяна [61,65,66]. В них изучались свойства аналитических решений задач при рассмотрении переходных волновых процессов в стержнях и пластинах, анализировалась работа принципа Сен-Венана. Было показано, что главная часть деформаций, которая соответствует внезапно приложенным самоуравновешанным по сечению нагрузкам, локализируется вблизи фронтов волн и того сечения, где приложена нагрузка. Проведенный анализ областей действия различных теорий позволил использовать для решения задач в начале движения и в окрестностях фронтов волн разные методы.

При решении задач нестационарной динамики большинство используемых методов основывается на применении интегральных преобразований Лапласа и Фурье. В работах [10,11] Н.Д.Векслер для получения решения в начальные промежутки времени использовал метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений по Лапласу в ряды по отрицательным степеням параметра преобразования. С удалением от фронтов использовались методы перевала и стационарной фазы. Разнообразные методы обращения решения двумерных задач для стержней и пластин и безмоментных задач для цилиндрических оболочек, основанные на аналитических свойствах интегральных преобразований, освящены в [65,66].

Значительный вклад в развитие асимптотических методов решения нестационарных задач теории оболочек внесли работы Л.Ю.Коссовича. [39-43]. Исследования нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводилось в [39] с использованием понятия показателя изменяемости, введенного А.Л.Гольденвейзером. Рассматривался один из важных классов нестационарных задач - задач о распространении

11 волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. В работе [39] исследовались осесимметричные волновые процессы в оболочках вращения. Были выделены тангенциальная составляющая, описывающая распространение волны растяжения-сжатия, и нетангенциальная, описывающая распространение изгибной и сдвиговой волн. В случае неосесимметричных воздействий в [40] проведено исследование областей согласования интегралов теории Кирхгофа-Лява, описывающих НДС в областях оболочки, примыкающих к торцу и погранслоя, описывающего напряженное состояние в прифронтовых областях. Установление областей согласования динамического краевого эффекта, описываемого теорией Киргофа-Лява, и антисимметричной составляющей быстроизменяющегося прифронтового поля было проведено в [41]. Здесь же определены зоны действия приближенных теорий и расположения областей согласования этих теорий.

В монографии [42] были разработаны асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочки вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на безмоментную, моментную составляющие и погранслой с различными показателями изменяемости. Были установлены области действия в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и плоского обратносимметричного погранслоя. Была показана связь различного типа асимптотик двумерных решений со свойствами областей их применимости. На основании такого анализа был разработан подход к получению таких > асимптотик без использования интегральных преобразований.

Универсальный характер разработанных в [42] асимптотических методов позволил обобщить асимптотический подход к решению волновых задач в оболочках вращения на случай других типов ударных

12 воздействий в различных областях фазовой плоскости [38,44,83-85]. В [85] найдено приближенное решение для поперечных длинноволновых низкочастотных приближений в случае ударной нагрузки изгибающего типа. Уравнения для этих приближений получены методом асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости. Найдены асимптотические представления изгибающего момента для различных моментов времени. Показано, что с ростом времени решение стремится к решению, соответствующему статическому случаю.

Несмотря на значительное количество работ, посвященных применению асимптотических методов к задачам динамики оболочек в двумерной постановке, асимптотический вывод двумерных уравнений из трехмерных уравнений теории упругости ранее не был осуществлен. В работе Ю.Д.Каплунова, И.В.Кирилловой, Л.Ю.Коссовича [37] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Были получены предельные двумерные системы.

Колебаниям оболочек посвящены работы А.Л.Гольденвейзера и Ю.Д.Каплунова. В [22] в рамках трехмерной теории упругости рассматривалась задача об установившихся колебаниях тонкой упругой осесимметричной оболочки вращения произвольного очертания под действием краевой нагрузки, меняющейся по гармоническому закону. Исследовался вопрос об использовании равноизменяющихся решений уравнений теории упругости для приближенного использования вынужденных колебаний оболочек при частотах, исключающих применение теории Кирхгофа-Лява. В [21] было установлено, что при достаточно больших значениях частоты вынужденных колебаний двумерная теория оболочек становится неприемлемой, т.е. существуют критические значения частот, при превышении которых изменяемость в

13 меридиональном направлении оказывается существенно большей, чем в направлении параллелей.

Исследования Ю.Д.Каплунова [32-34,82] внесли существенный вклад в изучение нестационарных волновых процессов.

В [32] к построению двумерных уравнений теории оболочек, описывающих высокочастотные НДС малой изменяемости, применялся метод асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости, были установлены области применимости и погрешность полученных уравнений. Исследования высокочастотных колебаний оболочки вращения проводились в [33]. Вынужденные стационарные колебания оболочек вращения, вызванные высокочастотными краевыми нагрузками, рассматривались в [34].

В [35] Ю.Д.Каплуновым и Е.В.Нольде проводился асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин. В отличие от большинства работ, посвященных асимптотическому построению двумерной динамической теории пластин, два безразмерных асимптотических параметра (показатель изменяемости и показатель динамичности) полагались независимыми.

Принципиально новым является результат, приведенный в [82]. Было показано, что для определения НДС оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уравнения теории Кирхгофа-Лява с учетом оператора приведенной инерции. Уточнение этих уравнений позволяет расширить область применимости классической двумерной теории.

Значительное время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел ограничивалась случаями пластины, круговой цилиндрической оболочки и оболочки вращения. Работа [36] посвящена асимптотическому исследованию

14 распространения волн в тонкой упругой оболочке общего очертания при краевом ударном воздействии. Было предложено срединную поверхность произвольных оболочек относить не к линиям кривизны, а к полугеодезической системе координат и изучать процесс распространения волн вдоль геодезических. Исследовались качественные особенности НДС оболочки, была обоснована возможность полного описания волнового процесса с помощью асимптотических приближенных теорий (двумерных теорий оболочек, теории динамического погранслоя, теории высокочастотных НДС малой изменяемости). Приведены асимптотические формулы для описания волны изгиба.

Результаты исследований в области асимптотической теории тонких упругих тел обобщены Ю.Д.Каплуновым, Л.Ю.Коссовичем, Е.В.Нольде в монографии [81]. На основе трехмерных уравнений теории упругости получены асимптотически оптимальные уравнения низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющие в совокупности описать как стационарные, так и нестационарные динамические процессы. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек, рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Выведены асимтотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, в окрестности квазифронта.

Данная диссертационная работа посвящена анализу влияния скошенности края и анизотропии материала на формирование нестационарных погранслоев в круговых цилиндрических оболочках.

Первая глава посвящена изучению динамического простого краевого эффекта в скошенной цилиндрической оболочке. В первом параграфе формулируется постановка задачи. Во втором параграфе на срединной

15 поверхности скошенной оболочки строится полугеодезическая система координат. В качестве первого семейства координатных линий выбирается двухпараметрическое семейство геодезических, ортогональных скошенному краю оболочки. Приводится связь между введенными криволинейными и декартовыми координатами. Найдены ограничения на область применимости построенной системы координат в зависимости от угла скоса. Получены аналитические выражения для коэффициентов первой и второй квадратичной форм, для радиусов кривизны в направлении координатных линий, а также для геодезической кривизны координатных линий второго семейства. Показано, что при нулевом угле скоса данная криволинейная система координат переходит в геодезическую, координатные линии которой совпадают с линиями кривизны. В третьем параграфе приводятся уравнения теории оболочек, записанные во введенной на срединной поверхности системе координат. Четвертый параграф данной главы посвящен решению уравнения динамического простого краевого эффекта. Решение уравнения проводится с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. Обращение преобразования Лапласа при малых значениях времени проводится с помощью разложения по отрицательным степеням корня из параметра преобразования. Получено асимптотическое представление изгибающего момента в виде разложения по функциям специального вида [42]. При больших значениях времени обращение преобразования осуществляется с помощью метода перевала. Показано, что в данном случае решение может быть представлено в виде суперпозиции двух решений: найденного по методу перевала и соответствующего статическому случаю.

Вторая глава посвящена построению уравнения погранслоя в окрестности квазифронта в скошенной круговой цилиндрической

16 оболочке. В первом параграфе выводится уравнение погранслоя. Для вывода используются уравнения теории оболочек, приведенные в первой главе, с учетом оператора приведенной инерции [81], записанного для случая растяжения полосы. Во втором параграфе приведена модельная задача нахождения решения уравнения погранслоя в окрестности квазифронта на примере продольного усилия в случае продольного воздействия тангенциального типа.

В третьей главе изучается волновой процесс в круговых цилиндрических оболочках из трансверсально-изотропного материала. Рассматривается случай, когда направление трансверсальной изотропии совпадает с осью цилиндрической поверхности и перпендикулярно торцу, к которому приложена ударная нагрузка. В первом параграфе приводятся основные уравнения и формулируется задача. Во втором параграфе методом асимптотического интегрирования строятся асимптотически оптимальные уравнения погранслоя в окрестности фронта волны расширения. В третьем и четвертом параграфах аналогичные уравнения получены для погранслоев в окрестности фронтов волн сдвига при различных ударных воздействиях. В пятом параграфе формулируются краевые задачи для асимптотически главных компонент НДС, а также приводятся решения модельных задач. Решение находится с помощью двукратных интегральных преобразований: Лапласа - по времени и Фурье - по продольной координате. При обращении преобразования Лапласа используется метод прифронтовой асимптотики, а при обращении преобразования Фурье - теория вычетов.

В четвертой главе методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости выводится уравнение погранслоя в окрестности квазифронта в трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки в случае торцевого воздействия

17 тангенциального типа. Для вывода используются уравнения, приведенные в первом параграфе третьей главы. Во втором параграфе приводится решение модельной задачи.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45,7276].

18

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Построена полугеодезическая система координат на срединной поверхности цилиндрической оболочки, учитывающая скос края оболочки. Показано, что при нулевом угле скоса построенная криволинейная система координат переходит в геодезическую, координатные линии которой совпадают с линиями кривизны. Таким образом, результаты, полученные для скошенных оболочек могут естественным образом сравниваться с известными результатами для нескошенных круговых цилиндрических оболочек.

2. Для скошенных круговых цилиндрических оболочек изучен динамический простой краевой эффект. Получено асимптотическое представление изгибающего момента при различных значениях времени и углах скоса оболочки.

3. Построено уравнение погранслоя в окрестности квазифронта для скошенных круговых цилиндрических оболочек. Построено решение модельной задачи.

4. Построены уравнения погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига в трансверсально-изотропных цилиндрических оболочках, сформулированы и решены краевые задачи.

5. Получено уравнение погранслоя в окрестности квазифронта в трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке. Получено решение модельной задачи. Для всех рассматриваемых модельных 4 задач приведены результаты численных расчетов.

Выражаю искреннюю благодарность научному руководителю профессору Ю.Д.Каплунову.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Агаловян J1.A. Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек // ПММ. 1966. Т.ЗО. Вып. 2. С.388-398.

2. Агаловян JI.A. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек: М.: Физматлит; 1997, 414 с.

3. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965.-№ 1.-C.3-63.

4. Алумяэ H.A. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1961.-№ 3.- С.171-181.

5. Алумяэ H.A., Поверус JL Переходый процесс деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. -1963.-№ 1.- С.13-23.

6. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966.- С.883-889.

7. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972. - С.227-266.

8. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: % Физматгиз,1961. -384 с.

9. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука. 1974. 466 с.110

10. Векслер Н.Д. Исследование фронтовых разрывов при осесимметричной деформации оболочек вращения и круглой плиты // Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Материалы Всесоюзн. симпозиума, Тарту, 1967. С. 41-49.

11. Векслер Н.Д. Распространение упругих волн в цилиндрической оболочке при осесимметричной деформации // Тр. 8-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1973.- С.420-423.

12. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения к технике. -М.-Л: Гостехиздат, 1949. 784 с.

13. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ/Г.27. Вып. 4.1963. С.593-608.

14. Гольденвейзер А.Л. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ, ,Т.30. Вып. 1.1966. С.94-108.

15. Гольденвейзер А.Л. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки // ПММ, Т.ЗЗ. Вып.6. 1969. С.996-1028.

16. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний упругой оболочки // Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л., 1970. С. 121-128.

17. Гольденвейзер А.Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ Т.34. Вып. 5. 1970. С.952-956.

18. Гольденвейзер А.Л. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ, Т.37. Вып.4. 1973. С.591-603.

19. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1976,512 с.

20. Гольденвейзер А.Л., Лидский А.Л., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979. 384 с.1.l

21. Гольденвейзер A.JI. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССР МТТ. № 5, 1987. С.168-177.

22. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Динамический погранслой в ■ задачах колебаний оболочек // Изв. АН СССР МТТ. № 4, 1988. С. 151162.

23. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек// Изв. АН СССР МТТ. № 5, 1990. С. 126-138.

24. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР МТТ. № 6,1990. С.124-128.

25. Гольденвейзер А.Л. О краевом напряженно-деформированном состоянии упругих оболочек // Изв. АН Эстонии. Физ.Матем. Вып. 42. №1,1993. С.32-44.

26. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ, Т.58. Вып.6. 1994. С.96-108.

27. Григолюк Э.И., .Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Т.5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек.- М., 1973. 272 с.

28. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.- Киев, 1981.283 с.

29. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М. Наука, 1974.

30. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей.Ч.1. М.: Гостехиздат, 1947. 512 с.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1961. 707 с.

32. Каплунов Ю.Д. Интегрирование уравнений динамического погранслоя // Изв. АН СССР. МТТ. № 1, 1990. С.148-160.112

33. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. № 5, 1990. С.147-157.

34. Каплунов Ю.Д. Колебания оболочек вращения при высокочастотном краевом возбуждении // Изв. АН СССР. МТТ. № 6, 1991. С.151-159.

35. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Двухпараметрический асимптотический анализ динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин //ПММ, Т.56. Вып.5. 1992. С.750-755.

36. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. АН России. МТТ. № 6, 1992. С.156-167.

37. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ, Вып.1. Т.57. 1993. С.83-91.

38. Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Динамический погранслой в окрестности фронта поперечной волны изгиба. Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. II Международной конференции. Ростов-на-Дону. 1996. С.92-96.

39. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения. Изв. АН СССР. МТТ, №3, 1983. С.143-148.

40. Коссович Л.Ю. Области согласования интегралов Кирхгофа-Лява и динамического нерегулярного погранслоя в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Тр. 13-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин.- Таллин, Т.3,1983. С.90-95.

41. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Изв. АН СССР МТТ. №5,1984. С.142-146.113

42. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек.- Саратов: Издательство Саратовского университета, 1986.176с.

43. Коссович Л.Ю. Метод расчленения нестационарного напряженного состояния в оболочках вращения // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, Т.2.1987. С.98-103.

44. Коссович Л.Ю., Никонов A.B. Нестационарная задача теории оболочек при ударно приложенной осциллирующей нагрузке тангенциального типа// в сб. «Механика деформируемых сред» -Издательство Саратовского университета, 1993. Вып. 11. - С.85-102.

45. Коссович Л.Ю., Шевцова Ю.В. Погранслои в окрестности фронтов волн в трансверсально изотропном упругом слое // Тр. IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 1998. С.54-57.

46. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М., 1974.- 224 с.

47. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат,1957. 463 с.

48. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука. 1977. 416 с.

49. Лехницкий С.Г. Упругое равновесие трансверсально изотропного ■ • слоя и толстой плиты // ПММ. 1962. Т.26. Вып.4. С.687-696.

50. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947. -252 с.

51. Маделунг Э. Математический аппарат физики (справочное руководство). М.: Физматгиз, 1961. 618 с.

52. Мак-Конел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963, 412 с.114

53. Малышев А.П. Волновые процессы в упругой тонкостенной цилиндрической оболочке при внезапном приложении силы к ее торцу // Изв. АН СССР. МТТ. № 2 1969. .138-141.

54. Малышев А.П., Паничкин В.И. Нелинейные волновые процессы в оболочках вращения // Изв. АН СССР. МТТ. № 5, 1976. С.175-178.

55. Нигул У.К. Колебания кругоцилиндрической упругой оболочки, вызванное действием сосредоточенного импульса // Тр. Таллинского полит, ин-та.- Сер.А, №171. Вып.2. 1960. С.37-57.

56. Нигул У.К. Применение трехмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты при кратковременно действующей краевой нагрузке// ПММ, Т.27. Вып.6., 1963. С.583-588.

57. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты // Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963.-№ 3.- С.345-384.

58. Нигул У.К. О применимости приближенных теорий при переходных процессах деформаций круговых цилиндрических оболочек // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966.- С.593-599.

59. Нигул У.К. Сопоставление анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // ПММ, Т.ЗЗ. Вып.2., 1969. С.308-322.

60. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 413 с.

61. Новожилов В.В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней // ПММ, Т.29. Вып.2., 1965. С.261-281.

62. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Гостехиздат, 1956. 260 с.

63. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.115

64. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1989. -478 с.

65. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л., 1972. 374 с.

66. Слепян Л.И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.

67. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочек вращения // Исследования по упругости и цластичности. Л., 1965., С.117-122.

68. Товстик П.Е. Интегралы уравнений неосесимметричных колебаний тонкой оболочки вращения // Исследования по упругости и пластичности. Л., № 5. 1966., С.45-56.

69. Товстик П.Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. С.-П.: Изд-во С.-П. ун-та, 1995. 184 с.

70. Федорюк М.В. Метод перевала. М., 1977. 468 с.

71. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М., 1983. 352 с.

72. Шевцова Ю.В. Динамический простой краевой эффект в скошенной круговой цилиндрической оболочке // в сб. «Механика деформируемых сред». Саратов, 1997. Вып. 13. - С.83-87.

73. Шевцова Ю.В. Влияние скошенности края на нестационарное напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки. Деп.в ВИНИТИ 04.10.00 №2550-В00. Саратов. 2000. 19 с.

74. Шевцова Ю.В. Погранслои в окрестности фронтов волн в трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке. Деп.в ВИНИТИ 04.10.00 №2551-В00. Саратов. 2000. 13 с.

75. Шевцова Ю.В. Погранслой в окрестности квазифронта в трансверсально изотропной цилиндрической оболочке // «Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с116агрессивными средами». Межвузовский научный сборник. СГТУ, Саратов. 2000. •

76. Шевцова Ю.В. Погранслой в окрестности квазифронта в скошенной круговой цилиндрической оболочке //«Математика, механика». Сборник научных трудов. СГУ. Саратов. 2000.

77. Berkowitz Н.М. Longitudinal impact of a semi-infinite elastic cylindrical shell // J. Appl. Mech. 1963. - Vol. 30. - № 3. - 347-354.

78. Bohuslav Novotny On the asymptotic integration of the three-dimensional non-linear equations of thin elastic shells and plates // Int.J.Solids Structures. 1970. Vol.6. P.433-451.

79. Goldenveizer A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Timoshenko-Reissner type theories of plates and shells // Intern. J. Solids and Structures. V.30. №5, 1993. P/675-694.

80. Green A.E. Boundary layer equations in the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc., Ser.A. 1962. Vol. 269. №1339.

81. Kaplunov Ju.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press. 1998.226 p.

82. Kaplunov Ju.D. On the quasi-front in two-dimensional shell theories. C.R. Acad. Sci.Paris, t.313, II, 1991. P.731-736.

83. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at elastic wave propagation in thin shells of revolution. ZAMM76, S5, 1996. P.249-250.

84. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation in thin shells of revolution. «Asymptotics in mechanics» (Aim'96). Proceedings of the Second International Conference. Saint-Petersburg, 1997. P.121-128.

85. Kossovich L.Yu., Parfenova Ya.A. Flexural transient waves in shells of revolution: An asymptotic approach // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). -2000.-51.-p.611-628.117

86. Markham M. Measurement of elastic constants of fibre composites by ultrasonics //Composites 1. 1970. P. 145-149.

87. Nigul U. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates//Int. J.Solids and Structures. Vol.l969.P.607-627.

88. Rogerson G.A., Kossovitch L.Yu. Approximations of the dispersion relation for an elastic plate composed of strongly anisotropic elastic material. J. Sound Vibration. 1999. Vol.225, N2. P. 283-305.

89. Spencer A.J.M. Deformations of fibre-reinforced materials. Clarendon Press: Oxford, 1972.