Асимптотический анализ распространения нестационарных волн в подкрепленных оболочках вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г Г и од

1 ШОЯ^Ш&ский государственный университет

им. н.г.чернышевского

На правах рукописи

копнин андреи юрьевич

асимптотический анализ распространения нестационарных волн в подкрепленных оболочках вращения.

Специальность 01.02.04. -- механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сар-'.тог 1937 г.

Работа выполнена в Саратовском государственном университете.

Научный руководитель'- доктор физико-математических наук,

профессор Коссович Л.Ю. Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки и техники РФ,

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

на заседании диссертационного совета К 063.74.04 при Саратовском государственном университете по адресу: 410026 Саратов, Астраханская, 83, СГУ. механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан "22- " 1997г.

Отзывы на автореферат (2 экз.) просим присылать по адресу: -'ПС026 Саратов, Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультот.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

доктор технических наук, профессор Рассудов В.М., кандидат физико-математических наук, Захаров Д.Д.

Защита состоится

час.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современное развитие многих отраслей производства, таких как строительная индустрия, авиастроение, судостроение, машиностроение, приборостроение требует широко.'.' использования оболочечных конструкций, работающих в условиях высоких давлений, температур и скоростей. Необходимость в высокой надежности работы машин и механизмов, в существенном снижении материалоемкости производства определяют высокие требования к точности расчета конструкций на прочность.

Для технических сооружений и конструкций большое значение имеет изучение колебательных процессов, происходящих вследствие непрерывного возрастания мощности и быстроходности машин и механизмов, увеличения воздействий динамических нагрузок на элементы машин и сооружений. Вместе с тем наблюдается стремление к лучшему использованию несущей способности конструкций и уменьшению ил teca.

Закономерности распространения возмущений в сплошных средах

представляют значительный интерес для многих областей науки и

техники. Круг явлений в окружающем мире, которые можно

достаточно полно описать на основе волновых подставлений, чрезвычайно шир.'К.

Распространение нестационарных волн б слое и цилиндре было предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований, ведущихся уже более столетия. Однако отсутствие в течение длительного времени интереса к исследованию ¡íi"^.'-:.-.! расприотранени - н'>лн в слое и цилиндр;- н рамка;-: тг-лй-.-1»к>й теории упруг- vi • 1 определенной мере был-' «.-рязан- ■ .....и. что

эффекты. для описания которых было бы недостаточно приближенных теорий пластин и стержней, не проявлялись в практически используемых элементах конструкций. За последние десятилетия, однако, ситуация существенно изменилась. Появление новых материалов и разработка способов эффективного возбуждения волнового поля создали условия для чрезвычайно широкого применения явления волноводного распространения в ряде сооружений и конструкций. Знание закономерностей распространения волн в изотропных цилиндрах и пластинах является основой для анализа и систематизации данных, относящихся к практически используемым системам.

Основы теории оболочек заложены трудами В.З.Власова, А.Л.Гольденвейзера, А.И.Лурье, В.Б.Новожилова. Одними из наиболее актуальных вопросов механики деформируемого твердого тела в настоящее время являются вопросы, связанные с расчетом оболочек на динамические воздействия. Особое место в теории оболочек и пластан занимают задачи нестационарной динамики и, в частности, вопросы связи нестационарного и установившегося процессов.

Выбор темы исследования обусловлен необходимостью разработки аналитических методов изучения неоднородного по изменяемости напряженно-деформированного состояния <. далее НДС) подкрепленных оболочек вращения при ударных воздействиях на торец, что можно реализовать с помощью теорий и методов, разработанных А.Л.Гольденвейзером, П. Е. Товетиком. Л. Ю.Коссовичем, Ю.Д.Каплуновым и другими авторами.

Цель работы:

- Исследовать нестационарное волновое НДС подкрепленных оболочек вращения при действии на их тор^ц ударных нагрузок, а также

)

разработать аналитические методы (на базе асимптотического подхода) изучения такого НДС.

- Использовать асимптотически оптимальные уравнения двумерных составляющих Кирхгофа-Лява, динамического погранслоя и квазистатического погранслоя типа Сен-Венана для описания нестационарного НДС оболочек и подкреплений, использующихся в различных областях Фазовой плоскости.

- Разработать методы решения краевых задач для составляющих НДС на примере подкрепленной цилиндрической оболочки.

Научная новизна и значение результатов. В диссертации представлен асимптотический подход в нестационарной теории подкрепленных оболочек вращения, основанный на расчленениии НДС на составляющие (безмоментная, моментная, динамический и квазистатический погранслои) с разными показателями изменяемости. Установлены области действия в фазовой плоскости всех составляющих.

Разработана схемы расчленения нестационарного НДС подкрепленных оболочек вращения:

- разработаны методы расчленения НДС в кольцах подкрепления;

- разработаны методы расчленения НДС для всей конструкции;

Разработаны методы решения краевых задач для безмоментной и

моментной составляющих Кирхгофа--Лява.

Выявлен характер влияния динамического и квазистатического погранслоев на НДС колец.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью аппробированных методов вывода уравнений безмоментной и моментной составляющих из двумерных уравнений теории Кирхгофа-Лява, уравнений динамического погранслоя из трехмерных уравнений теории

упругости, подтверждается непротиворечивостью полученных результатов для рассматриваемых типов ударных нагрузок и их сравнением с известными работами других авторов, физическими соображениями, переходом полученных асимптотических решений к известным решениям.

Практической значение работы состоит в расши]*нии области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов на подкрепленные оболочки вращения.

Представленные методы необходимы для расчета тонкостенных конструкций на прочность в авиастроении, судостроении и других отраслях промышленности при проектировании конструкций, подверженных быстроиз меняющимся во ь<емени воздействиям. Разработанные эффективные аналитически'- методы рек'ния представленных в работе задач позволит решить актуальный для практики расчета конструкций на прочность ьоп|/ое еездания надежных численно-аналитических методов иееледорания динамического напряженно-деформированного состояния подкре! имнных осколочек, вращения.

Аппробация работы. Основные результаты исследований,

и1-|гтп лиоииру пиг^^тлгпат |мм гтм иI' ЦП П.-:. птз/^,м Ртлпмм

и>1.«1 Ю1 II 11ЛЛ I» Дг1и^^у1йцг|г1, 1 11.4 1 С * I Г! \-1 1 ГI

Саратовской международной летней школе ио проблемам механики ■сплошной среди (Саратов, 1994, 1996 на научных семинарах |'а'1едри мат«мачмчеокой теории упругсчгт и биомеханики Саратовского государственного университета 1333 -1397

Публикации. По теме диссертации опубликовано ? ¡аботы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит иг введения, четырех глав, заключения и списка литература ( 70 наименований), содержит 112 листов текста и 16 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор исследований волновых процессов деформации в оболочках и пластинах, сформулирована тема и цель диссертации, дано краткие описание работы по главам.

В главе 1 рассматриваются свойства решения нестационарной задачи теории упругости для полубесконечной оболочки. Рассматривается НДС полубесконччной оболочки вращения, вызванное ударной нагрузкой, приложенной к торцу. При этом в оболочке возникает сложная система волн Первичные волны, обусловленные непосредственно торцевой нагрузкой, порождают волны, многократно отраженные от лицевых поверхностей Ограничимся изучением процесса распространения волн в промежутке времени от момента приложения нагрузки до момента, когда они достигают1 противоположного торца и отражаются от него.

Для описания такого НДС ставится краевая задача. Требуется решить систему уравнений трехмерной теории упругости при начальных условиях покоя:

аУ.

V. = —1 =-- 0. ■ / - (1)

I ОI.

при граничных условиях, определяивих приложенную нагрузку на 'горце, и при граничных уе.удаиях, определяющих сободные от напряжений лицевые поверхности ._ч>л!к-чки:

п ~ п - с> - (2)

13 гл

Момент приложения нагрузки ечитг'ч чул^мм, ч нагруженный конец зададим координатой £о=0.

Рассматриваемые на практике ударно прикладываемые воздействия математически моделируются с помощью разрывных функций. Внезапно прикладываемые на торец воздействия представляются ступенчатой функцией Хевисайда. При этом имеи'Г место конечные разрывы скорости некоторых перемещений, нексггорые де'Мормации и напряжения. Разрывы распространяется вдоль хадектери.стик системы уравнений движения и особенность решения распространяется на Ф>ронте волны.

Для изучения раенространеним волн в данной конструкции воспользуемся методом, использующим приближенные двумерные теории, предложенным в работе Л.Ю. 1Соссог-'П1,а: применяется метод расчленения его на составляющие с различными показателями изменяемости. Известно, ч'!о показатели изменяемости в различных участках возмущенной области на Фазовой плоскости значительно отличаются друг от друга. Так, ь начальной -.власти и в окрестности Фронтов волн показатели изменяемости нг-ляются величинами, большими или равными единицы, а с удалением от этих зон изменяемость уменьшается и принимает значени.-, строго меньшие единицы. Таким образом, вдали от Фронтон к-лн и начальной области решение строится с помощью уравнений двумерной теории Кирхгофа-Ляьи. Двумерное решение ищется б рил-.' наложения безмоментной и моментной составляющих, удовл»тво{-яюших :здгенциальной и нетангенци.чльной частям граничных условий В о^г-.-лкюти фронтов волн и ь начальной области решение отроится с п.-мищью уравнений динамического погранолоя. Для динамического ¡¡огранслоя выделяют дна типа: плоский У, антиплск-х'ий. Решен и;» .'К-; него ищутся в виде изложения симметричного и • *»ч-пку-имм" ¡', очного по нормальной координате частей.

Приведены уравнения -.'-гной и моментной состзьляющих

Кирхгофа-Лява, динамического плоского погранслоя и квазистатического погранслоя типа Сен-Венана.

В главе 2 описываются модельные задачи для составных тонких пластин. В первом параграфе рассматривается стационарное НДС тонкой пластины ступенчато переменной толщины, подвергнутой двухстороннему торцевому сжатию. Поставлены граничные условия на торцах конструкции и на участке контакта элементов конструкции.

НДС данной конструкции описывается одномерной теорией растяжения пластин и уточняется в окрестности стыка элементов с помощью статического погранслоя типа Сен-Венана.

Граничные условия на стыке с учетом статического погранслоя типа Сен-Венана имеют вид:

т

1 + V

2П

О,

Е

1

1+ V

Х_ I- к*,.

гп

1+ V

О,

Е *

-О*11

1+ V

I 2 | >

I 2 | <Н^

(3)

п г>

. * ( 2>

П П и*111

+ /? и*'2' = Н г;*'1' + I? и*'". \г\ < Н , 11 1 1 л 1

1 3

\г\ < Н^

где и*<1>_ безразмерные напряжения и перемещения в ¿-ом

элементе, /? - полутолщина элемента, перемещения точек

срединной поверхности в безразмерной с|орме, /?- характерная длина элементов конструкции, £ и у - модули Юнга и коэффициенты

V I

Пуассона ¿"-того элемента, через Г обозначено контактное значение нормального усилия в безразмерной Форме.

(2Ь ) и

г

Представим погранслой во второй (более толстой) пластине в виде наложения двух типов погранелоя: погранслоя, отвечающего осредненным значениям напряжений и перемещений в зоне контакта с протяженностью порядка толщины второй пластины погранслоя, уточняющего значения напряжений в зоне контакта с протяженностью порядка толщины первой пластины (2^). Тогда, учитывая малость толщины по сравнению с толщиной 2Ь_.

пренебрежем влиянием на НДС погранслоя второго типа. Это соответствует принятию такой модели НДС конструкции, когда НДС более тонкого элемента в зоне контакта описывается только элементарной теорией растяжения, а более толстого элемента -элементарной теорией растяжения и статическим погранслоем. Тогда решения для погранслоя первого типа будут удовлетворять следующим условиям на стыке:

Е

1+ V

Г

2П

2

1

П

1

I г- I > I г | < к.

Математически такая модель

определяется

малым

вкладом

иогранслойних перемещений в граничные условия (3) и (3> .

Приводен анализ влияние погранслоя на НДС пластины бмльыей толщины построением решения задачи для полуполосн гч> методике М И Гусейн-Заде.

На рис.; представлены графики распределения по нормал ь.-й координате приведенных значений напряжений

о

=

1 h

i

h

T.

для погранслоя первого типа: кривые 1,2,3 представляют напряжения в сечениях £<2>= 0.2,0.4,0.8 соответственно при 1> = 0.3, д =0.1.

Далее описано нестационарное волновое НДС составной пластины при продольном ударном воздействии. Рассчатривется класс

конструкций, описанных в переом параграфе, но длина правой пластины стремится к сесконечно'.-ти. Пусть * начальный момент времени на торец конструкции накладывается ударное продольное воздействие тангенциальна о ¡ига.

Записываем граничные условия ч- торце при х = 0: <7(1>= - I Hit). (5)

где НИ) - функция Хевисайда.

Граничные условия на стыке элементов аналогичны граничным условиям, описанным в первом параграфе второй главы.

Рассмотрим нестационарное НДС составной пластины в моменты времени, когда передний Фронт волны прошел стык на расстояние, значительно большее толщин стыкованных пластан. Тогда в соответствии с общей схемой расчленения волнового НДС в оболочках и пластинах на составляющие с различными показателями изменяемости, изложенной в общем случае в последующей главе, принимаем следующую схему описания НДС: НДС данной конструкции в районе стыка элементов описывается с помощью наложения решения по одномерной теории растяжения пластин и квазистатического погранслоя типа Сен-Венана, а на некотором удалении от стыка (вне окрестности Фронта волны) только одномерной теорией.

Методом прифронтовой асимптотики получены формулы для исходных оригиналов от озображений по Лапласу продольных усилий.

Представлены соотношения интенсивностей падающей, отраженной и прошедшей волн.

В завершении данной главы рассматривается стационарное НДС составной пластаны при изгибном воздействии. НДС данной конструкции описывается одномерной теорией изгиба пластин и уточняется в окрестности стыка элементов с помощью статического погранслоя типа Сен-Венана. Приведен анализ влияния погранслоя на НДС пластины большей толщины построением решения задачи для полуполосы по методике, описанной в первом параграфе данной главы.

В целом вторая глава наглядно демонстрирует методы определения НДС, разработанные для оболочек вращения, на примере пластин ступенчато переменной толщины.

-13В главе 3 проводится исследование нестационарного НДС подкрепленной оболочки вращения при ударных продольных воздействиях тангенциального топа. Для указанного типа воздействия приведена схема расчленения нестационарного НДС. Строится безмоментная составляющая двумерного рск-ки.ч, удовлетворяющая тангенциальным граничным условиям. Резидентная составляющая описывает волну сжатия (с фронтом, яьлякяцигч--' гвазиФронтом с точки зрения трехмерной теории упругости-' и волну • •лнига. Поставленная кра<-ьая задача дешаетея с помедо "•■года интегрального ^«образования Лапласа по временной переменн-й Решение ищется в виде наложения волн, инициируемых границ>чи соседних элементов конструкции. Каждая из волн определяется с».-:-»'*>нтиой составляющей Кирхгофа-Дява, динамическим погранежч-м и квазистатическим мог'ранслоем типа Сен-Венана. Используя мегод-., описанные во второй главе. исследовано влияния п.»'---^ го симметричного еру?«статического погранслоя типа Сен-Ре на"..- —> нестационарное НДС кольца.

Проведенные исследования позволили •:•>!• ."'-г- важные выводы о характере НДС конструкции. Основной е- '«понентой является безмоментная составляющая Кирхгофа- Лява, для озолоченных

элементов, так и для подкреплений ■■ рч'лгм^-р"- «*?мых кьк короткие сУ.лочки ). Поскольку динамич-ский •ПННСЖ'Й в каждой элементарной волне имеет место в р-.(й<"'не !-,!• •■'■•;чонта и впереди от н-1-0, то для получения полного |-йения ' .'Вной компоненте пристраивается в соответствующих обл-;"' ■<• ■¡•азовой члечжоети

;е;!!-ние ДЛЯ ДИНамИЧеСКОГО ИОГГ«|К'Л-Я : .....У- е "УЩ"'-'П/"ННЬ!е по

►-••личине значения только в узких о^естн' ■• ^-ауифронта и фронта В'\'!ны расширения >, а в случае колец .....спорпую компоненту

накладывается квазистатический погранслой первого типа.

В заключении данной главы приведены модельные задачи для подкрепленных цилиндрических оболочек с несколькими подкреплениями. Причем на левой границе торцевого подкрэпления

Т1 А

0,06 0.С6 0.04 0,03 0.СС

0.2

0.3

0.1

о

Рис. 2

рассматривалось как ударное, так и ударно-импульсное воздействие тангенциал! ного типа

На рис.2 представлено распределение Г* вдоль с{*динн'»й поверхности цилиндрической оболочки, подкрепленной на торц..-кольцом, при 4.' - 0.012, г: = 0.0012, в момент времени т'~

1 2 о

0.28. Графики 1,2,3 представляют здесь случаи, когда, соответственно, кольцо и оболочка сделаны из алюминия и стат. стали и стали, стали и алюминия. Фигуры наглядно иллк^трируит роль торцевого кольца как подкрепления: сравнивая продольны-, усилия в оболочку о подкреплением и без него, видим. чк-

подкрепление приводит к уменьшению по величине скачка усилия на квазифронте первой элементарной волны, и энергия передается в оболочку порциями, трансформируя тот скачок на квазифронте, который был бы в случае отсутствия подкрепления, в ступенчатую пологую Форму, наклон которой зависит от соотношения свойств шпангоута и оболочки. Чем больше жесткость материала ¡сольца по сравнению с оболочкой, том медлен** передается энергия.

т, А

0.06

0.05

0,03 -0,02 0,01

Т--1---1-==—

0.1 02 0,3 Cfi

Рис. 3

На рис. 3 предстае..'""- !!" распределение Г* для конструкции с двумя подкрепляющими элементами при с = е- - 0.012, ег = е4 =• 0.0012, (материал оболочек и колец - сталь Ч а также r¿2>= 0.28. Видно, что энергия во ьтору>; • ••"«.'лочку передается гораздо более медленно, чем это было в случае •»дн-.-гс подкрепления, но в первом оболочке возможна аккумуляция -ч'-ргии.

кг случае наг*-;-'•«•'>• «1кнуж—н>.чч- типа рассмотренные

передачи энергии в оболочку определяют важное свойство снижения

Ti k

0,04 0.03 0,02 0,01 О -0,01 -0,02

0,2

0,3

РИС.4.

уровня усилия в оболочках по сравнению с уровнем приложенной к торцу нагрузки: снижение тем больше, чем меньше длительность импульса. На рис. 4. приведен график продольного усилия в момент времени г^2>= 0.28, для цилиндрической оболочки, подкрепленной торцевым кольцом, при импульсной нагрузке Жг^г>) - И(т'ог'-Лто) (продолжительность импульса Atq равна 0.15 материал оболочки и кольца - сталь, г^ = 0.012, ег = 0.0012).

В главе 4 рассматривается задача об ударном продольном воздействии изгибающего типа. Для указанного типа воздействия приведена схема расчленения нестационарного НДС подкрепленных оболочек вращения, ^умерное решение по теории Кирхгофа-Лява ищется в виде моментной составляющей, удовлетворяющей нетангенциальным граничным условиям. Обращение изображений

произведено методом разложениея изображений по •' отрицательным степеням корня квадратного из параметра преобразования Лапласа, приводящее к разложению по функциям От с и о ^ , введенных Л.Ю. Коссовичем и функциям ОЕт с и ОЕт , введенным в настоящей ¡«боте.

Используя, методы, описанные во второй и третьей ' "главах, исследовано влияние плоского симметричного квазистатического погранслоя типа Сен-Венана на нестационарное НДС кольца.

Проведенные исследования позволили сделать важные выводы о характере НДС конструкции. Основной ее компонентой является моментная составляющая Кирхгофа-Лява, как для оболочечных элементов, так и для подкреплений ( рассматриваемых как короткие оболочки ). Для получения полного решения к основной компоненте пристраивается в соответствующей области фазовой плоскости решение для динамического погранслоя ( имеющее существенные значения только в узкой окрестности фронта ), а в случае колец на основную .компоненту накладывается квазистатический погранслой первого типа.

Приведены решения конкретных задач.

На рис. 5 представлено распределение С* вдоль срединной поверхности конструкции ( подкрепленная на торце цилиндрическая оболочка ) при е = 0.01, е^ = 0.001, в момент времени т(0г)= 0.09.

Графики 1,2,3 представляют здесь случаи, когда, соответственно, кольцо и оболочка сделаны из алк-миния и стали, оЧ'али и стали, стали и алюминия.

Анализ решений позволяет сделать вывод: больщ-ч.ч разница толщин элементов обуславливает, что НДС в кольце для одной падающей элементарной волны близко к НДС.кольца со сводный краем.

.5.

Аналогично.большая разница толщин элементом обуславливает то, что НДС в оболочке для одной элементарной волны близко к НДС кольца с закрепленным краем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Использование общей схемы расчленения НДС на двумерные составляющие Кирхгофа-Лява. динамический и квазистатический погранслои позволило [^гоботать методику асимптотического исследования нестационарного НДС подкрепленных оболочек вращения

для ударных торцевых воздействий.

2. На примере подкрепленной цилиндрической оболочки построены аналитические решения краевых задач для всех составляющих НДС, определяющие волновой процесс во всех областях фазовой плоскости.

3. Выявлен характер влияния динамического и квазистатического погранслоя на НДС колец.

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Березин В.Л., Копнин А.Ю., Коссович Л. Ю. "Расчет вибро

перегруз'ки подкрепленной цилиндрической оболочки при ударном поперечном воздействии на кольцо подкрепления". Тезисы докладов и сообщений на 1-й Международной летней школе по проблемам механики

сплошной среды. Изд-во Саратовского ун-та 1995, с. 6-7.

2. ¡Сопнин А.Ю., Коссович Л.Ю. "Исследование нестационарного

НДС подкрепленных оболочек вращения при ударных продольных воздействиях тангенциального типа". Межвузовский сборник научных трудов. Изд-во Саратовского ун-та. 1995 г., с. 9-29.

3. Копнин А.Ю., Коссович Л.Ю. , Петраковский С.А. "Нестационарные изгибные волновые процессы в подкрепленных оболочках вращения при ударных краевых воздействиях". МТТ 1^6, 1996, с 127-138.