Асимптотический вывод двух типов приближения динамических уравнений теории упругости для тонких оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

КИРИЛЛОВА Ирина Васильевна

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ВЫВОД ДВУХ ТИПОВ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК.

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1998

Диссертационная работа выполнена на кафедре математической теории

упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Каплунов Ю.Д., доктор технических наук профессор Маслов Н.М. доктор физико-математических наук профессор Никитин Л.В., доктор технических наук профессор Кузнецов В. В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный университет.

Защита состоится «. н _» « ИИ?^» 1998г. в 15.30 назаседании Диссертационного Совета К 063.74.04 при Саратовском Государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского

Государственного университета.

Автореферат разослан « 7 » « » 1998г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук,

доцент П.Ф. Недорезов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. На современном этапе развития производства многие его отрасли, такие как строительная индустрия, авиа и ракетостроение, судостроение, машиностроение, требуют широкого использования оболочечных конструкций, подверженных динамическим нагрузкам. При этом практические нужды выводят на первое место фундаментальные проблемы обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным краевым задачам математической физики, точность перехода и оценку возникающих погрешностей. Особую сложность эта проблема имеет в динамических задачах.

Переходные процессы деформации имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. В ней можно при этом выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами волн. На фронте волны некоторые компоненты напряжений и деформаций или их производные разрывны, и если нагрузки являются достаточно гладкими по времени функциями, то роль этих разрывов в напряженно-деформируемом состоянии (НДС) несущественна. Теоретический и прикладной интерес напряженное состояние в окрестности фронтов волн представляет для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.

Сложность уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения и поэтому используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений.

Существенный вклад в разработку теории и методов исследования НДС тонких оболочек внесли труды В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова. Вопросы расчета НДС оболочек при динамических

воздействиях составляют в настоящее время один из наиболее актуальных классов задач механики деформируемого твердого тела с присущими этому классу математическими моделями и методами расчета. Важное место при исследовании динамических процессов в тонких оболочках получили методы, основанные на понятии изменяемости НДС, позволяющие выяснить характер исследуемых процессов, обусловленный малостью относительной толщины оболочки. Особое место в теории оболочек и пластин занимают задачи нестационарной механики.

Выбор темы исследования обусловлен необходимостью завершения работы над схемой расчленения нестационарного НДС оболочек вращения на составляющие с различными показателями изменяемости, описанной в трудах А.Л. Гольденвейзера, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича: требовалось завершить разработку некоторых общих вопросов теории длинноволновых низкочастотных колебаний и теории динамического погранслоя в окрестностях фронтов волн.

Цель работы:

- построение асимптотически оптимальных уравнений длинноволновой низкочастотной безмоментной составляющей,

- построение асимптотически оптимальных уравнений длинноволновой низкочастотной изгибной составляющей,

- построение асимптотически оптимальных уравнений динамического погранслоя в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига,

- доказательство согласования динамического погранслоя и коротковолнового высокочастотного приближения,

- разработка методов определения динамического погранслоя в задачах о распространении волн в составной цилиндрической оболочке при ударных торцевых воздействиях.

Научная новизна и значение результатов. В диссертации впервые построены оптимальные уравнения длинноволновой низкочастотной безмоментной и изгибной составляющих, а также впервые рассмотрены различные аспекты теории динамического погранслоя, касающиеся вопросов построения асимптотически оптимальных разрешающих уравнений, доказательства корректности применения динамического погранслоя в общей схеме расчленения нестационарного волнового НДС на составляющие с различными показателями изменяемости и построения методов решения краевых задач для погранслоя.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью метода асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости для случаев низкочастотной длинноволновой составляющей и динамического погранслоя, строгими методами решения краевых задач для динамического погранслоя при различных видах краевых ударных воздействий, доказательством согласования решений для динамического погранслоя и квазиплоской задачи и подтверждается непротиворечивостью полученных результатов для рассматриваемых типов ударных нагрузок и сравнением результатов с известными работами других авторов, физическими соображениями, переходом полученных асимптотических решений к известным решениям.

Практическое значение работы состоит в завершении построения схемы эасчленения нестационарного НДС оболочек вращения на составляющие с различными показателями изменяемости.

Разработаны положения асимптотической теории нестационарных ¡адач для упругих оболочек, подверженных действию ударных нагрузок, необходимые для расчета тонкостепных конструкций на прочность в

авиастроении, судостроении, машиностроении и других отраслях промышленности.

Обобщение полученных результатов на построение решения для нестационарного НДС в подкрепленных оболочках вращения позволит завершить построение асимптотической теории нестационарных волновых процессов в подкрепленных тонкостенных конструкциях.

Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, доложены на:

1. «The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics». Hamburg. 1995.

2. II Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на- Дону. 1996г.

3. «Asymptotics in mechanics», (AiM'96). Proceedings of the Second International Conference. Saint-Petersburg. 1996.

4. «3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference», Stockholm. 1997.

5. семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Публикации . По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, включающего 75 наименований. Общий объем работы 122 стр., 18 рисунков.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор асимптотических исследований динамических процессов деформации в оболочках, сформирована тема и цель диссертации, дано краткое описание работы по главам.

В главе 1 поставлена задача о нестационарном НДС в полубесконечной оболочке вращения (рис. 1), вызванном ударными нагрузками на торец оболочки.

Приведены уравнения трехмерной теории упругости в криволинейной системе координат, являющиеся базовыми для вывода асимптотически эптимальных уравнений длинноволнового низкочастотного приближения и динамического погранслоя. Рассматривается действие ударной нагрузки, приложенной к краю и зависящей от времени как единичная функция Кевисайда. Изучаются три типа воздействия, названные, в соответствии с слассификацией У.К. Нигула, продольными воздействиями тангенциального 1 изгибающего типа и нормальным воздействием.

Троанализировано применение приближенных теорий для всех усматриваемых видов воздействий, основанное на свойстве

Рис. 1

неоднородности НДС по направлению распространения фронта волны и I времени. Используются безмоментная и моментная составляющие, теорр Кирхгофа-Лява, квазиплоская (квазисимметричная

квазиантисимметричная) задача теории упругости, описываем! уравнениями коротковолнового низкочастотного приближени динамический погранслой в окрестностях фронтов волн расширения сдвига и в окрестности квазифронта, а также квазистатический погранслс типа Ссн-Венана. Приведены схемы, показывающие области применимое! приближенных теорий в фазовой плоскости для всех типов воздействий, также схемы формирования решения с помощью приближенных теорий дз продольного усилия, изгибающего момента и перерезывающей сши Обсуждена корректность предложенной схемы расчленения. Доказательсп согласования квазиплоской задачи и динамического погрансло проведенное в диссертации, завершают ее обоснование.

В главе 2 проведено асимптотическое интегрирование динамически уравнепий теории упругости, в результате чего получены асимптотичесь оптимальные двумерные уравнения низкочастотной длинноволновс составляющей, соответствующие как уравнениям безмоментной и изгибне составляющих, так и полным уравнениям теории Кирхгофа-Лява для тоню оболочек произвольной формы.

Для проведения процесса асимптотического интегрирования введены ц показатель изменяемости НДС по координатам срединной поверхности и а показатель динамичности (изменяемость по времени). Введен безразмерные переменные с,,- координаты срединной поверхности, С, нормальная координата и т - временная переменная, характер изующк растяжение масштаба в соответствии с изменяемостью и динамичностью связанные со своими размерными аналогами а)5а3, X соотношениями

где Я - характерное значение радиусов кривизны срединной поверхности оболочки, р - плотность, Е - модуль Юнга, г) = Ь / II - малый параметр гопкостенности (Ь - полутолщина оболочки).

Рассматриваются два случая, соответствующие безмоментной и изгибной составляющим, имеющих место при различных соотношениях между показателями изменяемости и динамичности. В первый случай укладываются так называемые безмоментные и плоскостные интегралы двумерных уравнений теории Кирхгофа-Лява, а во второй случай - изгибно-плоскостные и изгибные интегралы. Для безмоментных интегралов прогиб и тангенциальные перемещения имеют одинаковый порядок, для плоскостных интегралов асимптотический порядок тангенциальных перемещений больше асимптотического порядка прогиба, а в случае изгибных и изгибно-плоскостиых интегралов - наоборот.

В случае ц = а (соответствует безмоментной составляющей) перемещения V. и несимметричные напряжения ти имеют следующую асимптотику

У.^ИП'К + ПУ!), т^Щт^ + лт!),

у3 = 1*7^3°+

(2) ¡^=1,2.

Здесь считается, что все величины с индексами нуль и единица имеют одинаковый асимптотический порядок. Величины с индексами нуль задают НДС, симметричное относительно срединной поверхности оболочки (т°, тЦ, V,0 - четные функции С,; т°3, - нечетные функции С,), а величины с индексом единица - НДС, антисимметричное относительно срединной

поверхности (т],т'ртз, V? - нечетные функции С,; т|3,Уз - четные функцш

О-

Асимптотика компонент НДС в случае ц=(1+а)/2 (соответствуе! изгибпой составляющей) задается следующим образом

у^КфЛУ+у'), т^Еп'-'СП^+т;), х1з — Ет]2'24 (т1т°3 + т|3),

уз = Г^'П4 (т1Лгз + уз)>

(3

Величины с индексами нуль и единица имеют тот же смысл, что и ] формуле (2). Затем устанавливается полиномиальный закон измененге напряжений и перемещений по нормальной координате для каждой напряжения и перемещения. Выведены уравнения в двумерной форм! относительно усилий, моментов и перемещений точек срединно] поверхности. Отмечено, что в рамках рассматриваемой асимптотическо) погрешности, соответствующей погрешности теории Кирхгофа-Лява следует учитывать поперечное обжатие, которое имеет вид

т = -^(Т, + Т2), (4)

где V - коэффициент Пуассона, Т,, Т3 - нормальные усилия.

В третьей главе проводится построение уравнений динамического погранслоя в окрестностях фронтов волн. Рассматривается класс оболоче вращения, имеющих плоские передние фронты волн - оболочки вращени нулевой гауссовой кривизны (цилиндрические и конические). Разме] областей применимости уравнений динамического погранслоя

крестностях фронтов волн имеет порядок квадрата относительной олщины.

Первый параграф посвящен выводу асимптотически оптимальных равнений динамического погранслоя в окрестности фронта волны 1асширения. При продольных воздействиях тангенциального и изгибающего ипов именно фронт волны расширения несет главный разрыв нормального гапряжения, отражающий скачок напряжения на торце в начальный момент ¡ремени. Вывод уравнений основан на введении характеристической геременной, определяющей расстояние до фронта.

х =

1 (Ч Л ♦ _

Определена асимптотика НДС погранслоя:

V? = ЯтК, V™ = Кц^, Vз™ = Ят^,

ст™ = Ет1ч0*,, = ЕтГ'ст"22, ст™ = Ег]"1^, (6)

—.та г? * ^.т 2-р Т7^Л-Р *

~де величины со звездочками имеют один и тот же асимптотический торядок, р - показатель изменяемости НДС по окружной координате (р < q). Асимптотика (6) выявляет асимптотически главные компоненты -тродолыюе тангенциальное перемещение и нормальные напряжения. Асимптотически главная подсистема замкнута относительно этих компонент I разрешающее уравнение второго порядка относительно продольного тангенциального перемещения описывает распространение только одной волны - волны расширения.

Во втором параграфе выводятся асимптотически оптимальные сравнения динамического погранслоя в окрестности фронта волны сдвига,

описывающего распространение главного разрыва касательного напряжения Вводится характеристическая переменная, определяющая расстояние дс фронта волны сдвига.

Определена асимптотика:

°п= Есг*], о™=ЕС'221 а3п;=Еа;з, (6)

о 1з = Еп'а«, о; = Е п'-'с;, а" = Ел2"'®;,,

Асимптотически главными компонентами НДС являются касательно! напряжение и нормальное перемещение. Относительно этих компонент выведена асимптотически главная подсистема уравнений.

В третьем параграфе решены модельные задачи для динамическоп пограцелоя при всех рассматриваемых видах воздействий.

Рис.2

Рис. 3

Рис.4

При решении используются интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. При обратном преобразовании трименяется теорема о вычетах и метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений Лапласа по отрицательным ;тепеням параметра преобразования и представлении решения в виде ряда ю функциям Бесселя.

На рис. 2-4 приведены графики решения для продольного усилия Т изгибающего момента в,и перерезывающей силы Ы,, соответствующе трем типам задач, в зависимости от характеристических координат в мома времени ^ = 1,2,3 при т) = 0,01, V- 03. Здесь

г, =—, к = -*- =

с,1 с, _ I 1-2у _ Е(1- у)

Б.' " с, ]12(1 - V)' +' °2

с, - скорость волны расширения по трехмерной теории, с2 - скорость волн сдвига.

Четвертая глава посвящена анализу согласования динамически погранслоя и коротковолнового высокочастотного приближения, ч-необходимо для завершения доказательства рассматриваемой схем расчленения нестационарного НДС тонких оболочек на составляющие различными показателями изменяемости и динамичности.

Сначала, в первом параграфе главы, рассматривается согласован] решений для динамического погранслоя в окрестности фронта волн расширения и решения для квазиплоской задачи теории упругости: п{ воздействии тангенциального типа последняя является квазисимметрично а при воздействии изгибающего типа - квазиантисимметрично Доказательство проводится на основе преобразований уравнен! квазиплоскон задачи методом, аналогичным выводу уравнения д. динамического погранслоя: уравнения квазиплоской задачи преобразуют при стремлении продольной координаты к прифронтовой зо] протяженностью порядка квадрата относительной толщины оболочки. Как в третьей главе, вводится характеристическая переменная, задающ расстояние до фронта, оцениваются компоненты НДС и выводят асимптотически главная и второстепенная подсистемы разрешают!

>авнений. Проведенный анализ показывает полную аналогию в ;имптотике компонент НДС квазиплоской задачи и динамического эгранслоя при приближении к области применимости уравнений шамического погранслоя, а также полное совпадение самих уравнений, аким образом, строго доказан переход решений для квазиплоской задачи в гшепие для динамического погранслоя при стремлении продольной зординаты к прифронтовой области порядка квадрата относительной шцины.

ятая глава диссертации посвящена применению разработанной теории инамического погранслоя к решению теоретически и практически важных щач о динамическом погранслое в составных цилиндрических оболочках.

Построение асимптотически приближенной теории динамического огранслоя позволило существенно упростить постановку контактных инамических задач для всех типов динамического погранслоя. Решения для аждого типа волн (отраженной и прошедшей) ищутся методом двойных нтегральных преобразований Лапласа и Фурье. Получены уравнения для еизвестных асимптотически главных напряжений на границе. Для случая алой области контакта на основе упрощающих предположений о поведении энтактных напряжений в зависимости от нормальной координаты получены ростые асимптотические решения.

Задачи решены для продольного воздействия тангенциального типа и ормального воздействия. Отметим, что предложенный подход можно спользовать для исследования динамического погранслоя в подкрепленных болочках.

'спорные результаты и выводы. В диссертационной работе шмптотический метод используется для построения уравнений и анализа естационарного волнового НДС оболочек при различных типах ударных

воздействий. Основные результаты исследований заключаются I следующем:

1. На основе общей схемы расчленения НДС оболочек вращения нг составляющие с различивши показателями изменяемости методов асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругосп выведены асимптотически оптимальные уравнения длинноволново{ низкочастотной составляющей и для случая оболочек вращения нулево! гауссовой кривизны выведены асимптотически оптимальные уравненю динамического погранслоя.

2. Доказано, что при стремлении продольной координаты к областя\ применимости динамического погранслоя уравнения для коротковолновы> высокочастотных составляющих преобразуются к виду уравнений дл> погранслоя, что обеспечивает переход решения квазиплоских задач £ решение для погранслоя и полную корректность предложенной общей схемь: расчленения НДС на составляющие.

3. Разработаны методы решения краевых задач для динамической: погранслоя в составных оболочках вращения: применение разработанное теории динамического погранслоя позволило максимально упростит! постановку и приближенное решение динамической контактной задачи.

Выражаю глубокую благодарность моим научным руководителям профессору Ю. Д. Каплунову и профессору Н.М. Маслову.

Основные положения диссертации отражены в работах

1. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.10. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек//МТТ - 1993.-Т.57.-Вып. 1.-е. 83-91.

Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Динамический погранслой в окрестности фронта поперечной волны изгиба. Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. II Международной конференции. Ростов-на-Дону. 1996г, с. 92-96.

Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation in thin shells of revolution. «Asymptotics in mechanics», (AiM'96). Proceedings of the Second International Conference. Saint-Petersburg, 1997, p.p. 121-128.

Kirillova I.V., Kossovich L. Yu. Dynamic boundary layer at elastic wave propagation in thin shells of revolution. ZAMM76 (1996), S5 p.p. 249-250. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Transient stress in shells: an asymptotic approach. Book of Abstracts. «3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference», Stockholm. 1997,p.325.

Кириллова И.В. Области согласования динамического погранслоя и коротковолнового высокочастотного приближения// Сб. трудов СГАУ «Математическое моделирование и управление в технических системах», Саратов, 1998, с. 3-11.

Тираж 100 экз.