Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ 6 РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ

1.1. Оцениваемые величины

1.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования в случае естественного малого параметра

1.3. Поиск параметров асимптотического интегрирования в случае формального малого параметра

1.4. Связь между асимптотическим анализом и теорией групп

1.5. Выводы 44 РАЗДЕЛ 2. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

2.1. Нахождение параметров асимптотического интегрирования

2.2. Построение процедур последовательных приближений

2.3. Прифронтовая асимптотика

2.4. Медленноизменяющиеся асимптотики

2.5. Выводы 69 РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

3.1. Введение параметров асимптотического интегрирования

3.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования

3.3. Построение процедуры последовательных приближений

3.4. Обобщенное плоское напряженное состояние

3.5. Уточненное плоское напряженное состояние

3.6. Классические уравнения изгиба пластины

3.7. Уравнения изгиба пластины с учетом сдвига и инерции вращения

3.8. Уравнения типа Тимошенко

3.9. Выводы

РАЗДЕЛ 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЕРЕХОДНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТОНКОМ СЛОЕ

4.1. Асимптотико-групповой анализ уточненных дифференциальных уравнений плоского напряженного состояния

4.2. Решение задачи о распространении продольной одномерной волны в слое

4.3. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений изгиба пластины с учетом сдвига и инерции вращения

4.4. Решение задачи о действии внезапно приложенного изгибающего момента на торец полубесконечной пластины

4.5. Решение задачи о действии внезапно приложенной перерезывающей силы на торец полубесконечной пластины

4.6. Решение задач в рамках классической теории изгиба пластины

4.6.1. Вычисление вспомогательных интегралов

4.6.2. Действие внезапно приложенного изгибающего момента

4.6.3. Действие внезапно приложенной перерезывающей силы

4.7. Решение задач в рамках теории типа Тимошенко

4.8. Выводы 202 РАЗДЕЛ 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В

КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

5.1. Введение параметров асимптотического интегрирования

5.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования

5.3. Построение процедуры последовательных приближений

5.4. Коэффициенты уравнений теории упругости в специализированной системе координат

5.5. Вывод динамических уравнений теории оболочек

5.6. Безразмерная форма динамических уравнений теории оболочек

5.7. Коэффициенты уравнений теории упругости в произвольной системе координат

5.8. Динамические уравнения теории оболочек в произвольной системе координат

5.9. Выводы

РАЗДЕЛ 6. АСИМПТОТИКО-ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ УТОЧНЕННЫХ

УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

6.1. Построение процедуры последовательных приближений

6.2. Прифронтовые асимптотики

6.3. Быстроизменяющиеся напряженно-деформированные состояния

6.4. Уравнения изгиба пологой оболочки

6.5. Варианты безмоментных уравнений оболочки

6.6. Квазиодномерные уравнения изгиба оболочки

6.7. Выводы

РАЗДЕЛ 7. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ

ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

7.1. Уравнения цилиндрической оболочки

7.2. Решение задач о действии внезапно приложенных изгибающего момента и продольного усилия на торец полубесконечной оболочки

7.3. Решение задачи о действии внезапно приложенной перерезывающей силы на торец полубесконечной оболочки

7.4. Исследование прифронтовых зон

7.5. Приграничная асимптотика для случая продольной нагрузки

7.6. Приграничные асимптотики для случаев изгибных нагрузок

7.7. Выводы

В теории дифференциальных уравнений - как обыкновенных, так и в частных производных - видную роль играют два подхода, Один, основанный на использовании каких-либо соображений симметрии и математически связанный с применением теории групп; другой, основанный на упрощении рассматриваемых уравнений и известный как асимптотический анализ.

Как известно, применение теории групп к проблеме решения алгебраических уравнений произвольной степени в радикалах связано, в первую очередь, с именем Э. Галуа. В дальнейшем работы Э. Галуа были продолжены и развиты К. Жорданом.

Ученик К. Жордана С. Ли рассмотрел задачу применения методов теории групп к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. С. Ли были заложены основы теории непрерывных групп преобразований. Широкий класс непрерывных групп известен ныне под его именем.

Однако в дальнейшем получили развитие, в первую очередь, теоретические аспекты теории групп [74,94,104]. Те же результаты, которые касались связи теории групп с исследованием дифференциальных уравнений, были временно забыты.

Как указывает Л.В. Овсянников [67], это объясняется несколькими обстоятельствами. Во-первых, задача нахождения группы преобразований, допускаемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, оказалась, вообще говоря, не проще, чем задача интегрирования этой системы. Во-вторых, аппарат С. Ли не позволял решать краевые задачи теории дифференциальных уравнений, поскольку изучению в нем подвергались только локальные свойства семейства решений в окрестности некоторой точки. В-третьих, оказалось, что хотя теория С. Ли применима не только к изучению обыкновенных дифференциальных уравнений, но и к изучению дифференциальных уравнений в частных производных, произвольно взятая система таких уравнений не допускает обычно никакой группы преобразований, кроме тривиальной, состоящей из одного тождественного преобразования.

Задачу возрождения теории С. Ли применительно к конкретным системам дифференциальных уравнений, возникающим в прикладных вопросах, поставил перед собой Л.В. Овсянников [67-70]. Оказалось, что имеется целый ряд проблем, решение которых может быть плодотворным при помощи методов теории групп. Это, в первую очередь, относится к изучению дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в различных задачах механики и физики.

Уравнения, описывающие какие-либо конкретные физические процессы, как правило, допускают нетривиальные группы преобразований, позволяющие глубже изучить свойства этих уравнений. Основным результатом Л.В. Овсянникова было развитие теории инвариантно-групповых решений. В рамки этой теории попадает большинство ранее известных частных решений уравнений механики; были найдены также некоторые новые решения задач гидроаэромеханики. В дальнейшем ряд результатов был получен и для задач теории упругости и пластичности [9].

Тем не менее, чаще всего оказывается, что и при изучении конкретных задач группа преобразований, допускаемая заданной системой уравнений, является сравнительно "бедной" и сведения, полученные о системе уравнений с помощью методов теории групп, не являются новыми или даже носят тривиальный характер.

В работе [68] Л.В. Овсянников отметил, что упрощенные системы уравнений, используемые для моделирования некоторой заданной системы, допускают, как правило, более широкие группы преобразований, чем исходная система. Там же была поставлена задача нахождения общих принципов моделирования данной системы уравнений более простой системой, допускающей более широкую группу по сравнению с исходной системой.

Иными словами, Л.В. Овсянников поставил задачу о нахождении связи между теорией групповых свойств дифференциальных уравнений и методами асимптотического анализа.

Под асимптотическим анализом понимается очень большая область исследований, связанная с теми или иными упрощениями, производимыми в процессе решения уравнений (см., например, [57]). Совершенно невозможно дать в рамках настоящего введения обзор всех вариантов асимптотического анализа, поэтому остановимся очень кратко только на некоторых вопросах, связанных с теорией пластин и оболочек.

Уравнения оболочек содержат естественный малый параметр, равный отношению толщины оболочки к какому-либо из ее радиусов; это позволяет во многих случаях использовать упрощенные уравнения — моментные, безмоментные, полубезмоментные и так далее. Применение таких уравнений широко распространено, поэтому можно считать, что теория оболочек и асимптотический анализ неразрывно связаны [6,7,2124,27,29,46,56,65,66,75,89-91,93,95,109,110,112,119-122,124].

Особо выделяется современное направление обоснования уравнений пластин и оболочек при помощи асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости [15,43,109,110,112,113,121,122, 124]. Здесь следует особо отметить труды А.Л. Гольденвейзера [25-28] и представителей его школы [31,37-41,111].

Все применения асимптотического анализа к теории оболочек (как и к другим теориям) отличаются общей особенностью. Оценки весов тех или иных членов уравнений производятся, как правило, на основе интуитивных соображений, требующих значительной предварительной информации об искомом решении. Такой подход оправдывает себя в относительно простых случаях (относительно, потому что простых задач здесь не бывает), но приводит к значительным проблемам с увеличением сложности задач. Труднопреодолимые проблемы возникают даже тогда, когда целью асимптотического анализа является не получение новых результатов, а обоснование уже известных, например, уравнений пластин и оболочек, полученных на базе каких-то гипотез.

Теоретическим вопросам, связанным с обоснованием ряда проблем, возникающих при асимптотическом анализе, посвящены работы [17-20].

Выделим особо класс динамических задач, поскольку в них все указанные проблемы обостряются.

Как известно, классические динамические уравнения изгиба пластин и оболочек являются уравнениями параболического типа, то есть им соответствует бесконечно большая скорость распространения возмущения.

После того как С.П. Тимошенко вывел уравнения изгиба балки, учитывающие эффекты сдвига от перерезывающей силы и инерции вращения [90], с целью уточнения высоких частот колебаний, было замечено, что эти уравнения имеют гиперболический тип, то есть описывают распространение возмущений с конечной скоростью.

Появились работы, например, [92,106-108], посвященные исследованию распространения нестационарных волновых процессов в балке типа Тимошенко.

Я.С. Уфлянд [92] и Р. Миндлин [117] применили идеи С.П. Тимошенко к выводу уточненных уравнений динамики пластин. Это стимулировало дальнейшие исследования в области получения уравнений пластин и оболочек типа Тимошенко [1,2,123], а также еще более точных уравнений [33, 43,75,78-82,88].

Значительный вклад в исследования нестационарных задач пластин и оболочек внесла научная школа под руководством H.A. Алумяэ [16,10-14,48,58-64], В качестве основного инструмента решения задач в ней были приняты интегральные преобразования. Асимптотические методы применялись в процессе обращения искомых функций.

Особо здесь следует выделить исследования У.К. Нигула [48,5864}, рассматривавшего вопросы обоснования динамических уравнений пластин и оболочек при помощи решения трехмерных уравнений теории упругости с применением различных аналитических и численных методов.

Интегральные преобразования как основной инструмент решения задач применялись также в работах Л.И. Слепяна [88].

Подробные обзоры исследований по динамике пластин и оболочек можно найти, например, в работах [3,30]. Остановимся на некоторых из существующих здесь проблем.

Использование интегральных преобразований, даже в сочетании с асимптотическим анализом, приводит к своим трудностям. В докладах H.A. Алумяэ [5] и У.К. Нигула [64] было указано на отсутствие прогресса в решении двумерных задач теории оболочек, то есть таких, в которых решение зависит от двух пространственных координат. В качестве актуальных указывались задачи о распространении упругих волн от точки приложения сосредоточенной силы или от края кругового выреза в цилиндрической оболочке типа Тимошенко.

Для решения подобных задач нужны были новые идеи. Отметим, в связи с этим, работы Л.И. Маневича [50-55], который один из первых обнаружил, что ситуации типа основного состояния и погранслоя могут возникать в самых различных задачах, далеких от традиционных областей применения асимптотического анализа. Он же выяснил, с позиций асимптотического анализа, необходимость совместного применения асимптотического анализа и теории групп.

Дело в том, что в асимптотическом анализе отсутствует четкий критерий упрощения, достигаемого при отбрасывании тех или иных членов уравнений. Легко можно представить ситуацию, когда отбрасывание каких-то членов может испортить уравнения, а не упростить их.

В связи с этим Л.И. Маневич предложил считать критерием истинного упрощения при асимптотическом анализе уравнений расширение допускаемой группы преобразований [53]. Более того, он предложил считать расширение допускаемой группы преобразований целью асимптотического анализа, поскольку это создает новые возможности при решении уравнений. Отметим также широкое использование в работах Л.И. Маневича критерия минимального упрощения.

Таким образом, подход Л.И. Маневича можно считать встречным по отношению к подходу Л.В. Овсянникова в проблеме сочетания теории групповых свойств дифференциальных уравнений и асимптотического анализа.

Именно использование идей Л.И. Маневича позволило автору достичь эффективных результатов при решении одномерных и двумерных задач о распространении нестационарных волновых процессов в рамках теории пластин и оболочек типа Тимошенко. Сочетание методов асимптотического анализа и теории групп [96-99] позволило, в частности, решить и задачу, поставленную H.A. Алумяэ и У.К. Нигулом.

Здесь нужно отметить, что в принципе, все методы решения дифференциальных уравнений так или иначе основаны на теории групп. В работе [16] показано, что все широко распространенные элементарные и специальные функции связаны с представлениями некоторых групп преобразований.

Использование тригонометрических функций в интегральных преобразованиях опирается на группы переносов по пространственным координатам и времени. Такие группы допускаются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Но при этом в основу кладутся стационарные частные решения уравнений; решения нестационарных задач строятся в виде суперпозиций решений стационарных задач, что и порождает соответствующие проблемы.

В отличие от этого, решение всех задач в работах [96-99] ищется в виде рядов функций, инвариантных относительно растяжений пространственной координаты и времени (автомодельных). При этом уже в первом приближении определяются разрывы на фронтах распространяющегося возмущения, а последующие приближения позволяют описать и зоны, удаленные от фронтов, вплоть до нагруженной границы.

Для дальнейшего развития предложенного метода необходимо было преодолеть некоторые проблемы. Во-первых, оказалось, что малоперспективно тратить усилия на исследования прифронтовых зон в рамках теории типа Тимошенко. Результаты многочисленных трудов различных исследователей привели, к этому времени, к пониманию того, что уравнения типа Тимошенко, несмотря на свой гиперболический тип, непригодны для описания принципиально трехмерных прифронтовых зон. Они дают как неправильные скорости распространения фронтов, так и неверные картины распределения напряженно-деформированного состояния по толщине слоя.

Во-вторых, предложенное сочетание методов теории групп и асимптотического анализа требовало более глубокого обоснования и разработки технологии применения для менее очевидных случаев, чем исследование прифронтовых зон.

Естественным было применение асимптотико-группового анализа вначале для вывода уравнений пластин и оболочек, более точных, чем уравнения типа Тимошенко, а затем уже для решения этих уравнений с исследованием как быстроизменяющихся прифронтовых зон, так и мед-ленноизменяющихся приграничных и других зон с полным охватом всей возмущенной области.

Решению этих задач и посвящена данная работа.

Главное препятствие, которое пришлось преодолевать при синтезе теории групп и асимптотического анализа оказалось, как ни странно, связанным с сильной развитостью этих двух теорий. Их самостоятельное развитие привело к значительным результатам, но осуществлялось в формах, мало пригодных к стыковке.

Поэтому для совместного применения методов теории групп и асимптотического анализа пришлось, фактически, создать заново простейшие варианты этих методов. Особенно это касается теории групп. Применяемые здесь группы преобразований являются, чаще всего, даже не локальными группами Ли, а просто группами алгебраических преобразований. При этом исследуемые дифференциальные уравнения рассматриваются как алгебраические, а дифференциальные операторы воспринимаются как числовые множители.

Именно такие упрощения и позволили решить поставленные задачи. При этом появилась возможность алгоритмизации асимптотико-группового анализа с решением такой сложной задачи, как поиск параметров асимптотического интегрирования, формальным методом с применением ЭВМ.

Несмотря на относительную простоту, предлагаемый здесь метод обладает высокой эффективностью. С его помощью удалось как получить новые, асимптотически обоснованные варианты динамических уравнений пластин и оболочек, так и продемонстрировать достоинства этих уравнений путем решения, на их основе, ряда задач. Во всех случаях решения разыскиваются как инвариантно-групповые и результаты доводятся до наглядных графических представлений и замкнутых асимптотических формул для прифронтовых и приграничных зон.

Указанная выше простота применяемого аппарата облегчает его восприятие. От читателя практически не требуются специальные знания в области теории инвариантно-групповых решений и асимптотического анализа; все необходимые сведения весьма просты и излагаются по мере применения.

Актуальность темы

Несмотря на значительное развитие в настоящее время численных методов решения задач с применением ЭВМ, аналитические методы сохраняют большое значение. Совместное применение методов теории групп и асимптотического анализа позволяет значительно увеличить возможности решения сложных задач математической физики при помощи аналитических методов, а также совместного применения аналитических и численных методов. Особенно это относится к задачам, в которых имеются зоны с различной изменяемостью искомых величин по пространственным аргументам и времени, например, зоны типа основного состояния и пограничного слоя.

Применение разработанных методов решения задач уже нашло и может найти дальнейшее применение в расчетах на прочность в авиационной и космической технике и в других современных наукоемких областях техники.

Связь работы с научными программами, планами, темами

Работа производилась в соответствии с планом госбюджетных работ № 21-1 Г/95 Министерства образования Украины.

Цель и задачи исследования

- построение синтетического метода, объединяющего методы теории групп и асимптотического анализа.

- получения, при помощи предлагаемого метода, асимптотически обоснованных вариантов динамических уравнений теории пластин и оболочек на базе трехмерных уравнений теории упругости

- решения конкретных задач об излучении нестационарных упругих волн в пластинках и оболочках с использованием как известных, так и вновь предлагаемых уравнений и сравнения получаемых по различным теориям результатов.

Научная новизна полученных результатов

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработан синтетический метод, объединяющий основные идеи теории групп и асимптотического анализа и позволяющий повысить степень практической применимости теории групп и теоретической обоснованности асимптотического анализа;

- при помощи предложенного метода построены уточненные варианты двумерных динамических уравнений теории пластин и оболочек, отличительной особенностью которых является то, что скорости распространения фронтов волн всех видов, в соответствии с этими уравнениями, совпадают со скоростями распространения фронтов аналогичных волн в соответствии с трехмерными уравнениями теории упругости.

- последовательное применение асимптотико-группового анализа позволило решить ряд нестационарных задач об излучении упругих волн как в рамках известных, так и вновь предлагаемых уравнений.

- проведен сравнительный анализ полученных решений; показано, что решения на основе вновь предлагаемых уточненных уравнений демонстрируют ряд качественных эффектов, не фиксируемых известными уравнениями и позволяющими глубже изучить картину распространения нестационарных волновых процессов в тонком слое.

Практическое значение полученных результатов

Главным результатом работы является построение методики асимптотико-группового анализа, которая может найти применение к решению самых разнообразных задач, в которых применяются алгебраические и дифференциальные уравнения, как минимум, всех, в которых применяются известные ранее методы асимптотического анализа.

Благодаря сочетанию с теорией групп вновь предлагаемая методика значительно облегчает решение ряда принципиальных вопросов асимптотического анализа: поиск параметров асимптотического интегрирования; указание асимптотически обоснованных границ применения получаемых упрощенных уравнений; построения решений упрощенных уравнений; проверки соблюдения всех асимптотических оценок для построенных решений.

Построенные уточненные динамические уравнения пластин и оболочек могут найти применение к решению как теоретических, так и практических задач.

Проведен асимптотический анализ не только вновь предлагаемых, но и известных уравнений теории пластин и оболочек, что позволило уточнить сферы обоснованного применения этих уравнений.

Личный вклад соискателя

Идея обоснования асимптотического анализа при помощи методов теории групп была впервые сформулирована Л.И. Маневичем [53]. Соискателю принадлежит практическая разработка этой идеи и ее воплощение в решение реальных задач. При этом рассматривались два главных типа задач. Во-первых, вывод двумерных уравнений теории пластин и оболочек на основе асимптотико-группового анализа трехмерных уравнений теории упругости. Во-вторых, решение задач об излучении нестационарных упругих волн на основе как ранее известных, так и вновь полученных уточненных уравнений.

Некоторые из приведенных в диссертации задач легли в основу кандидатской диссертации И.А. Скрыпник [83], выполненной под руководством В.И. Пожуева и автора.

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (1968г., Москва), на VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (1969г., Днепропетровск), на 1-м Украинско-польском научном семинаре по механике материалов и конструкций (1993г., Днепропетровск), на международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (1995г., Мелитополь), на городском семинаре по механике г. Таллинна под руководством проф. Нигула У.К., на семинаре Института проблем механики АН СССР под руководством проф. Гольденвейзера А.Л., на семинаре Московского государственного университета под руководством акад. Работнова Ю.Н., на семинаре Вычислительного Центра АН СССР под руководством акад. Моисеева H.H., на семинаре Московского Института стали и сплавов под руководством проф. Треногина В.А., на семинаре Ленинградского государственного университета под руководством проф. Товстика П.Е., на семинаре Ленинградского государственного университета под руководством проф. Барандева Р.Г., на семинаре Ленинградского педагогического института под руководством проф. Матвеева Н.М., на семинаре Института Гидродинамики СО АН СССР под руководством проф. Ибрагимова Н.Х., на семинаре Института Гидродинамики СО АН СССР под руководством проф. Аннина Б.Д. В целом диссертация докладывалась на научных семинарах кафедр: программного обеспечения и математического моделирования Запорожской государственной инженерной академии (1996г.), теоретической механики Днепропетровского государственного университета (1996г.), семинаре Днепропетровского университета под руководством акад. HAH Украины Мосса-ковского В.И. (1996г.); на семинаре Института гидромеханики HAH Украины под руководством проф. Селезова И.Т. (1997г.). на семинаре Харьковского политехнического университета под руководством акад. HAH Украины Рвачева В.Л. (1997г.) и на семинаре Киевского государственного университета под руководством член.-корр. HAH Украины Улитко А.Ф. (1997 г.); на семинаре Института механики HAH Украины под руководством акад. HAH Украины Григоренко Я.М. (1998 г.); на семинаре Института математики HAH Украины под руководством д.ф.-м.н. Никитина А.Г. (1999 г.); на семинаре Института проблем механики РАН под руководством проф. Александрова В.М.

18

Публикации

Материалы диссертации практически полностью опубликованы в монографии [103]. Основные материалы диссертации опубликованы также в работах [51-55,71-73,76,77,84-87,96,98-103].

1. Айнола Л.Я. О расчетных моделях упругих пластинок для динамических задач.//Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. -1963. - № 1. - С. 31-37.

2. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек./ /Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем и техн. наук. 1965. - № 3. - С. 337-344.

3. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек.//Изв АН ЭстССР. сер. физ.-матем. и техн. наук. -1965. № 1. - С. 3-63.

4. Алумяэ H.A. О применимости метода расчленения напряженно-деформированного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки.//Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1961. - № 3. - С. 171-181.

5. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластинок./Труды VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Баку, 1966. М., «Наука», 1966. - С. 53-69.

6. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок./Механика в СССР за 50 лет, т. III. М., «Наука», 1972. - С. 227-266.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М., Физматгиз, 1961. - 266 с.

8. Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М., «Наука», 1985. — 221 с.

9. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашев С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск, Изд. «Наука», Сибирское отделение, 1985. - 142 с.

10. Векслер Н.Д. Исследование фронтовых разрывов при осесимметрич-ной деформации оболочек вращения и круглой плиты./Переходныепроцессы деформации оболочек и пластин. Материалы Всесоюзн. симпозиума. Тарту, 1967. Таллин, Изд. АН ЭстССР, 1967. - С. 4149.

11. Векслер Н.Д. Осесимметричные нестационарные процессы деформации оболочек вращения.//Изв. АН ЭстССР. Физика*Математика. -1968. № 1. - С. 34-39.

12. Векслер Н.Д. О распространении упругих волн в оболочках вращения переменной толщины при осесимметричной деформации.// Прикл. мех. 1968. - т. 4, № 4. - С. 53-59.

13. Векслер Н.Д. Распространение упругих волн в оболочках вращения при осесимметричной деформации.//Изв. АН СССР. МТТ. 1971. -№ 3. - С. 163-166.

14. Векслер Н.Д., Нигул У.К. К теории волновых процессов при осесимметричной деформации сферической оболочки.//Изв. АН СССР. Инж. ж. 1966. - № 1. - С. 74-80.

15. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., «Наука», 1982. - 288 с.

16. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М., «Наука», 1965. - 347 с.

17. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром./ /Успехи матем. наук. 1957. - т. 12, вып. 5(77). - С. 3122.

18. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотика решения некоторых краевых задач с осциллирующими граничными условиями.//ДАН СССР. 1958. - т. 120, № 1. - С. 45-79.

19. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решений задач с быстро осциллирующими граничными условиями для уравнений с частными производными.//ДАН СССР. 1958. - № 4. - С. 91-148.

20. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями.//Успехи ма-тем. наук 1960. - т. 15, вып. 4(94). - с. 27-95.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее применение в технике. -M.-J1., Гостехиздат, 1949. 784 с.

22. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. M.-JI., Гостехиздат, 1956. - 419 с.

23. Ворович И.И. Общие проблемы пластин и оболочек./Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1966. - С. 287-301.

24. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин./Труды Второго Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Механика твердого тела. М., «Наука», 1966. -С. 116-136.

25. Гольденвейзер A.J1. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.//ПММ. 1962. - т. 26, вып. 4. - С. 662-686.

26. Гольденвейзер A.JT. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.//ПММ. 1963. - т. 27, вып. 4. - С. 593-608.

27. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М., «Наука», 1976. - 510 с.

28. Гольденвейзер A.JL, Колос A.B. К построению двумерных уравнений теории упругих тонких пластинок.//ПММ 1965. - т. 29, вып. 1. -С. 337-354.

29. Гольденвейзер A.JL, Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., «Наука», 1979. - 384 с.

30. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. М., ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

31. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ граничных и начальных условий в динамике тонких пластинок. //ПММ 1978 - т. 42, вып. 5. С. 54-63.

32. Дэйвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. Пер. с англ. — М., ИЛ, 1961. 328 с.

33. Дубинкин М.В. О распространении волн в бесконечных плитах. //ПММ. 1959. - 23, вып. 5. - С. 984-987.

34. Жупиев А.Л., Шамровский А.Д. Решение некоторых динамических задач плоской теории упругости.//Гидроаэромеханика и теория упругости. Изд. Днепропетровск, ун-та. - 1973. - вып. 16. - С. 83-89.

35. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., «Наука», 1971. - 576 с.

36. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. К., «Наукова думка», 1987. - 208 с.

37. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек.//ПММ. 1993. Т. 57. С. 83-91.

38. Квасников Б.Н. Интегрирование уравнений тонких оболочек с быстро и медленноизменяющимися коэффициентами.//Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. Прикл. мех. Вып. 8 СПб,: Изд-во С.Петерб. ун-та. 1990. С. 163-172.

39. Квасников Б.Н. Об условиях существования полубезмоментного напряженного состояния.//Труды Ленингр. ин-та инж. ж.-д. трансп. 1997. Вып 407. С. 140-152.

40. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та. 1986. 176 с.

41. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.//Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №5. С. 142-146.

42. Юльчевський М.О. Основш ргвняння р1вноваги пружних оболонок i деяш методи "ix штегрування./3б!рник праць шституту математики АН УРСР, № 4-6, 1940. - С. 77-91.

43. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. К., Изд. АН УССР, 1963. - 174 с.

44. Кильчевский H.A. Теория нестационарных динамических процессов в оболочках.//Прикл. мех. 1968 - т. 4, вып. 8. - С. 1-18.

45. Кильчевский H.A., Издебская Г.А., Киселевская JI.M. Лекции по аналитической механике оболочек. К., «Вища школа», 1974. - 232 с.

46. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М., «Высшая школа», 1972. - 296 с.

47. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М., ИЛ, 1955. — 235 с.

48. Кутсер М., Нигул У. О применении символического метода А.И. Лурье в динамике плит при деформации, симметричной относительно срединной поверхности.//Изв. АН ЭстССР. 1965. - т. 14, № 3. -С. 385-392.

49. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки, изд. 2. М., Гостехиздат, 1957. - 248 с.

50. Маневич Л.И. Инвариантно-групповые решения и проблема нормальных колебаний.//В сб. Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск. - 1971. - вып 13. С. 140-146.

51. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды./III Всесоюзный съезд по теоретич. и прикл. механике. Аннотации докладов. — М., «Наука», 1968. С. 45

52. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды./Вопросы прочности, надежности и разрушения механических систем. Днепропетровск, 1969. - С. 15-25.

53. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. Применение методов теории групп к решению динамических задач для ортотропных пластин./Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969, М., «Наука», 1970. - С. 408-412.

54. Маневич Л.И., Шамровский А.Д. Групповой анализ динамических уравнений плоской задачи теории упругости./V Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и упруго-пластических волн. Тезисы докладов. Алма-Ата, 1971. - С 64.

55. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957. - 433 с.

56. Найфэ А. Введение в теорию возмущений. М., «МИР», 1984. -535 с.

57. Нигул У.К. Применение трехмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты при кратковременно действующей краевой нагрузке.//ПММ. — 1963. т. 27, вып. 6. -С. 1044-1056.

58. Нигул У.К. Асимптотическая теория статики и динамики упругих круговых цилиндрических оболочек и анализ точности различных вариантов теории Кирхгофа-Лява./Теория оболочек и пластин. Ереван, изд. АН АрмССР, 1964. - С. 738-742.

59. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных процессов изгиба упругой плиты.//Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1965. - № 3. - С. 345-384.

60. Нигул У.К. О применимости приближенных теорий при переходных процессах деформации круговых цилиндрических оболочек./Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, М., «Наука», 1966. - С. 593-599.

61. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных процессов в оболочках и пластинках по теории упругости и приближенным теориям.//ПММ. 1969. - т. 33, вып. 2. - С. 308-322.

62. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин./ Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок.- Днепропетровск. М., «Наука», 1970. С. 846-883.

63. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. J1., «Судпромгиз», 1962.- 374 с.

64. Новожилов В.В., Финкельштейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек.//ПММ. 1943. - т. VII, вып. 5. - С. 331 — 340.

65. Овсянников JI.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Изд. СО АН СССР, Новосибирск, 1962. 241 с.

66. Овсянников JI.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск, изд. НГУ, 1966. - 131 с.

67. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М., «Наука», 1978. 399 с.

68. Овсянников JI.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики./Общая механика. Итоги науки и техники. М., 1975, вып. 2. - С. 79-113.

69. Пожуев В.И., Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Распространение антиплоской самоуравновешенной упругой волны от границы полупространства. //Изв. РАН, МТТ. 1996. - № 2. - С. 124-133.

70. Пожуев В.И., Шамровский А.Д., Скрыпник И.А. Уточненное исследование распространения плоских волн в упругом слое на основе двумерных уравнений//Изв. вузов. Строительство. 1996. - №7. - С. 44-48.

71. Пожуев В.И., Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Автомодельные решения классических динамических уравнений цилиндрического изгиба пластины.//Прикладная механика. 1998. - Том 34, №2. С. 50-59.

72. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., «Наука», 1973. - 519 с.

73. Рейснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Пер. с англ. Под ред. Э.И. Григолюка./Упругие оболочки. М., Изд. иностр. лит., 1962. - С. 7-65.

74. Селезов I.T. Про поперечш коливання пластини.//ДАН УРСР. -1960. № 9. - С. 1190-1193.

75. Селезов I.Т. Про Гшотези, якi лежать в ochobI уточнених р1внянь по-перечних коливань пластин i деяш особливост1 цих р1внянь./ / Прикл. мехашка. 1961. - т. VII, вип. 5. - С. 538-546.

76. Селезов И.Т. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках./Труды конференции по теории пластин и оболочек. -Казань, 1961. С. 347-352.

77. Селезов И.Т. О волнах в цилиндрической оболочке./Теория пластин и оболочек. Труды Всесоюзной конференции. Львов. К., изд. АН УССР, 1962. - С. 249-253.

78. Селезов И.Т. Изучение волновых процессов в цилиндрической оболочке на основании обобщенной теории.//Прикл. мех. 1963. - т. 9, вып. 5. С. 71-80.

79. Скрыпник И.А. Двумерное моделирование процессов распространения трехмерных упругих волн в плоском слое. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Запорожье, 1996. 139 с.

80. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости для случая антиплоских волн./Theoretical Foundation in Civil Engineering. Тезисы докл. междун. конф. Dnepropetrovsk. Warsaw, 1993. - С. 44-49.

81. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Двумерное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое./Математическое моделирование физико-механических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995. - С. 43-50.

82. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Двумерное моделирование трехмерных поперечных и изгибных волн в плоском слое./ Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995. - С. 51-56.

83. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Графическое моделирование волновых процессов в пластинах и оболочках. / Современные проблемыгеометрического моделирования. Тез. докл. междун. н. практ. конф. -Мелитополь, 1995. С. 164.

84. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Изд. «Судостроение», Ленинград, 1972. - 374 с.

85. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М.-Л., Гостехиздат, 1948.- 437 с.

86. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959. - 328 с.

87. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер. с англ. под ред. Г.С. Шапиро. М,. Физматгиз, 1963. - 635 с.

88. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин.//ПММ. 1948. - т. VII, вып. 3. - С. 267300.

89. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., Госстройиздат, 1961.- 306 с.

90. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М. -Л. ГИТТЛ, 1940. - 427 с.

91. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. В 2-х частях. Ч. 1-2. -Изд. ЛГУ, 1962-1964. 578 с.

92. Шамровский А.Д. Применение методов теории групп к решению задач теории пластин типа Тимошенко.//Гидроаэромеханика и теория упругости Днепропетровск - 1972. - вып 14. - С. 157-164.

93. Шамровский А.Д. Применение методов теории групп к исследованию волновых процессов в упругих пластинах и оболочках. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.- Днепропетровск, 1972. 127 с.

94. Шамровский А.Д. Распространение упругих волн от края кругового выреза в цилиндрической оболочке типа Тимошенко.//Изв. АН СССР, МТТ. 1974. - № 4. - С. 69-79.

95. Шамровский А.Д. Исследование прифронтовых зон в задаче о распространении упругих волн от края кругового выреза в цилиндрической оболочке типа Тимошенко.//Изв. АН СССР, МТТ. 1976. -№ 6. - С. 59-67.

96. Шамровский А.Д. Алгоритм поиска параметров асимптотического интегрирования в задачах теории пластинок./Изв. АН СССР, МТТ. -1978. №5. - С. 193.

97. Шамровский А.Д. Асимптотическое интегрирование статических уравнений теории упругости в декартовых координатах с автоматизированным поиском параметров интегрирования.//ПММ. 1979. -том. 43, вып. 5. - С. 859-868.

98. Шамровский А.Д. Алгоритм поиска упрощенных моделей сложных систем./Вопросы механики и прикладной математики, вып. 3. — Изд. Томского ун-та, 1981. С. 13-26.

99. Шамровский А.Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости. Запорожье: Изд. ЗГИА, 1997. -169 с.

100. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М., ИЛ, 1947. - 359 с.

101. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука», 1968. - 344 с.

102. Во1еу В.A., Chao С.С. Some solutions of the Timoshenko beam equations.//J. Appl. Mech. 1955. - v. 22, N 4. - C. 579-586.

103. Boley B.A., Chao C.C. Timoshenko beams under dynamic load.//J. Appl. Mech. 1958. - v. 25. № 1. - C. 123-132.

104. Flugger W., Zajac E.E. Bending impact waves in beams.//Ingr. Arch.- 1959 v. 28. - C. 59-70.

105. Green A.E. On the linear theory of thin elastic shells.//Proc. Roy. Soc. A. 1962. - v. 266, 3Mb 1325. - C. 711-717.

106. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on the linear theory of shells. //Quart. Journ. Mech. And Applied Math. Vol. XVIII. Pt. 3. - 1965.- C. 257-276.

107. Kaplunow Ju., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press. 1998. 226 c.

108. Koiter W.T. Foundations and basic equations of shell theory./A Survey of recent progress. Theory of thin shells, 2nd simp. Copenhagen, 1967. Spring-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1969. - C 45-71.

109. Koiter W.T., Simmons T.G. Foundations of shell theory./Appl. Mech. Proc. of 13th Intern. Congr. of theoretical and Appl. Mech. SpringVerlag, Berlin-Heideiberg-New York, 1973. - C 217-240.

110. Medic M.A. On classical plate-theory and wave propagation.//J. Appl. Mech. 1961. - v. 28, N 2. - C. 223-228.

111. Miklowitz J. Transient wave propagation in elastic rods and plates.// J. Geophys. Res. 1964 - v. 68, № 4. - C. 1190-1192.

112. Miclowitz J. Elastic wave propagation. /Applied Mech. Survey. -Spartan Books, Washington, D.S., 1966. 120 c.

113. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates.//J. Appl. Mech. 1951. - v. 18, № 1. - C. 31-38.

114. Mindlin R.D. Waves and vibrations in isotropic elastic plates.//Struct. Mech. Proc. 1st Sympos. on Naval Struct. Mech. Pergamon Press, 1960. - C 37-41.

115. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells.//Quart. Appl. Math. 1957. - v. 14, № 4. - C. 369-380.

116. Naghdi P.M. A new derivation of the general equations of elastic shells.//Int. J. Engng. Sci. 1963. - v. 1. - C. 51-60.

117. Naghdi P.M. Foundation of elastic shell theory.//Progress in solid mechanics, v. 4. North-Holland publishing company, Amsterdam. -1963. - C. 64-81.

118. Naghdi P.M. Further results in the derivation of the general equations of elastic shells.//Int. J. Engng. Sci. 1964. - v. 2. - C. 41-66.319

119. Naghdi P.M., Cooper R.M. Propagation of elastic waves in cylyndrical shells including the effects of transverse shear and rotatory inertia.//J. Acoust. Soc. Amer. 1956 - v. 28, № 1. - C. 56-63.

120. Reissner E. On the foundation of the theory of elastic shells. /Appl. Mech. Proc. of the 11th Int. Congr. of Appl. Mech. Munich (1964), (1966). C. 13-31.