Асимптотика энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СРУМОВА ФРИЗА ВАХИДОВНА

АСИМПТОТИКА ЭНЕРГИИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

ТИПА

01.01.02- Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 О МДЗ ^^

Душанбе 2012

005042468

Работа выполнена в Таджикском национальном университете Республики Таджикистан

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

академик АН РФ, профессор Ильин Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Исмати Мухаммаджон

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В.Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

Защитасостоится 23 мая 2012 в II00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01. при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РТ. . .

Автореферат разослан 2012 г.

доктор физико-математических наук, Мухсинов Абдулкосим

доктор физико-математических наук, Сафаров Джумабой

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы ■,...

Актуальность темы. Во введении обосновывается актуальноЩ^м:, и излагаются основные результаты диссертации. Асимттл^ энерга^ некоторых классов уравнений гиперболического типа в „осле«™

ГИЯ ПРИ™,фИ<ГГаПЬИОе ВПИМЙ™ математиков, физйк^Ти^Г

в———

Несмотря на широкое научное и практическое применение данного м, тернала, углубленное исследование их свойств Гфсдставляе^ а™ " пым и в настоящее время. В частности, новые ^пекти^т^ ользование линейной системы уравнений Максвелла первого порядк Мадссв^и^еНИЯ аснмптотнки эпеРгии дая ивтнейпойсистты'ур^щ^Л

РпботГв'Г И60'" ТГ^ЗУСтС °™ИС основополагающие

Н.Марк^:кк.М^ИВнПЕ

Б.'м.Ле1штана! " ^ А.В.Ско^,

Цель и задачи исследования. Цель настоящей работы заключат 2: ——их формул энергии, 1уче '

Г <™'™> Д™ решения лилейных и нелинейных урав^Г , частных производных. л^чыши в

Методика исследования. Основными методами исследования явились метод разложения по собственным функциям дифференцийГьх операторов, метод Фурье или меТОд рвения переме™, ные методь, теории функций, функционального анализа „ матсмати£ск й Физики. Рассматриваются дискретный и непрерывные спектры Научная новизна

1. Вычислена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником колебаний, для уравнений высшего порядка

2. Вычислена асимптотика энергии, излученной в пространство• почти периодическим источником электромагнитных воли, для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка.

3. Установлена асимптотика энергии, излученной почти периодическим ' источником электромагнитных колебаний в волноводе, дая линейной си-^ -стсмы уравнений Максвелла первого порядка.

4. Вычислены асимптотики энергии для решения волнового уравнения

во внешней области "ловугаечного" типа.

5. Получена асимптотика энергии дли абстрактной задачи Коши, симметрической гиперболической системы, для абстрактного волнового уравнения и для волноводов.

6. Вычислена асимптотика энергии для эволюционной стохастической системы уравнений.

7. Вычислена асимптотика энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний.

8. Исследованы резонансные свойства энергии, излученной распределенным по Пуассону точечным источником колебаний.

9. Вычислена асимптотика энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши.

10. Вычислена асимптотика энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний.

11. Вычислена асимптотика энергии для решения уравнения генерации звука в жидкости.

12. Дано обоснование обобщенного метода Римана (т.е. теории рядов Фурье по фундаментальной системе функций полигармоничсского оператора).

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные па основе данной работы, носят теоретической характер и могут быть применены для дальнейшего изучения аналогичных задач получения асимптотики энергии, излученной различными источниками, для решений уравнений с частными производными и для линейных либо нелинейных систем уравнений Максвелла, эволюционных стохастических систем уравнений. Результаты работы можно использовать в теории поля, теории упругости, теории рассеяния, при изучении задач физики плазмы, в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье.

Исследования автора также имеют большое практическое значение в математической физике, могут быть использованы при обосновании метода разделения переменных при решении краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на. научном семинаре под руководством академика РАН В.А. Ильина, профессора Ш.А. Алимова, профессора A.A. Арсеньева (МГУ), на Всесоюзном симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (г.Душанбе, октябрь 1972г.), на Республиканской научной конференции по уравнениям математической физики (Душанбе, 27-28 сентября 1983г.), на Всесоюзной конференции но теории функций и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 27 декабря

1987г.).па Всесоюзной школе молодых ученых "Функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент, 11-17 мая1988г.), на Республиканской научной конференции, посвященной памяти Т.Собиропа "О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений". (Душанбе, 1990г), на Международной научной конференции, посвященной 10-йгодовщипе Независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М.А. Субханкулона "Методы теории функций и их приложения" (Душанбе, 5-7 сентября 2000 г.), на Республиканской научно-теоретической конференции, посвященной 70-летию профессора М.М. Каримовой "Современные проблемы теории функций, дифференциальных уравнений и их приложения" (Душанбе, 2007г.), на Республиканской научной конференции, посвященной 00-летию образования ТГНУ и 70-летию академика АН РТ Н.Р. Раджа-бона" Дифференциалькые и интегральные уравнения" (Душанбе, 2008г.), на Ежегодных апрельских научно-практических конференциях ТГНУ. (Душанбе, 1970-2008 гг.), па Международной конференции "Наука и современное образование, проблемы и перспсктины", посвященной 60-летию ТГНУ (Душанбе, 2008г), па Международной научной конференции "Современные проблемы физики", посвященной Году образования и технического знания (Душанбе, 2010г.) и на научном семинаре член-корр., профессора Х.Х.Муминоиа, па седьмой научно-практической конференции (Прага 2011г.). 4 '

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и списка литературы. Работа изложена на 152 страницах машинописного текста.

Библиография насчитывает 74 наименования.

При написании работы придерживались следующего правила. Для обозначения теорем, лемм, иногда, и определений используется тройная нумерация: первая - главы, вторая- помер параграфа, третья - текущий помер утверждения.

В первой главе дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам.

Во второй глаье вычислена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником колебаний при Ь —> оо.

В параграфе 1 этой главы вычислена асимптотика анергии, излученной почти периодическим источником колебаний при < -> оо в произвольной А'- мерной области [1],[2|,[14|. Рассматривается уравнение

■<к, = - то )• /(ж.¿). . (i)

где T - неотрицательное самосопряженное расширение оператора (—Д)т" в произвольной N- мерной,области, N- >,2, отвечающее нулевым краевым условиям, а свободной член f(x,t) есть почти периодическая функция, удовлетворяющая условию

по

f{x,t) = exp(iu.'„t),

: 'I ■■■•: ■ n=l

-OO < U)n < OO, aJn /• 0.

Для уравнения (1) рассматриваем следующую задачу: вычислить асимптотику энергии

E(t) =< (-Д)т v,ti> + < 4t,vt >

ггри t > оо решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

tf(a-,i)U> = 0, tft(a;,i) |г=() = о

и краевым условиям

«С,0 1г-0. _|Р_„..... I^t-O.

где п- внешняя нормаль к границе области.

Рассматриваем ограниченную N— мерную область G, граница которой Г предполагается бесконечно гладкой.

Пусть i)(x.l) с- 1){Т), : a f(x,t) е D(Tn), {/3n} - система собственных чисел, aпцлная система им соответствующих ортонор-мированны'х собственных функций расширения TaL2(G), fn(t)~ коэффициенты Фурье функции .системе { Un(x)} , W£mr, г- целое число - пространство С.Л. Соболева функций с нормой ||-||1у2т,

Теорема. EcAiiY^\[as\\W2mr1,<1o^ylhN<2rnr, mo

lim £ < (--Д)'!'УЛ tf > + < r)u §t >=

' 1 * ' " . " 2

•Ж=ы G

и если р ({ } , {ßn}) > 0 , E(t) <С,С не зависит от t.

Рассмотрим случай неограниченной цилиндрической области С с сечением П, граница которой бесконечно гладкая. Обозначим через {а,,}систему собственных чисел и К(Р)}- соответствующую систему собственных функций расширения Т в Ь\П), отвечающего нулевым краевым условиям.

оо

Теорема. 1) Пусть £ ||а.,||11Мтг < оо

• 4

< пи-, тогда

р [< (-Л)т1/, V > + < ъ >] = 0(1): г

• оо.

оо

2) Пусть £ (1 + |ш4|) || а.11^», < оо и р{{ап} , }) > тогда

Ит I [ < (-Д)- „ > + < ^ >] =

+ 1 - а£)|5

+

Я) Пусть £ (1 + К1) \\а.\\щ..... < ОО и

2

ЖМ}) П К}, {К|} \ {ап} и {«„} \ {|ш,|}) >0(

тогда

3

Нт Г /2 [ < (-Д)т $ > +

< ^ >

- ^ £ ч/Ы 1(а»)п(о)

В §2 вычислена асимптотика энергии при 1, —> оо в слое 7?2 х [0, /]. Теорема. 1) Пусть £ |К||И? < оо, 2г > N - 1, тогда

оо.

Д2х [О,/]

оо

Пусть £ (1 + |^|) || а.11,^ < оо и р ( , | |) > 0, тогда \ I ( I <) |2 + | V, 1? (х, «) |2) =

Л2х 1»,'1

а при | üj.

'sl - l

lim \ [ (\M^t)\2 + \Vxi)(x,t)\2)dx^-^- 1(«0Ло)|2.

f-,0° t J ib7r i

J?2x [0,1]

oo

3) Пусть J2 (1 + ) II as\\w?r < oo и

.5-1

Тогда

Г3'2 J (К(М)!2+ \Vxti(x,t)\2)dx = o(l), f-oo.

Л2х[о,(]

Основные результаты главы 1 опубликованы в работе [2].

В главе III вычислена асимптотика энергии для решения линейной системы уравнений Максвелла.

В первом параграфе этой главы рассматривается поведение энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн.

Рассматривается следующая начально-краевая задача для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка [3], [4], [15].

£ fmiМ) = гЬ + j(x,t),

\m2(x,t) J "" \m2(x,t) mi(a;,i) = 0, m2(x,t) = 0, t = 0, ■вх x nii(x) = ¡i-dx x m2(x) liean ,0</i<°°)

i9x x rn2(x) |ieön = 0, fi = oo.

Здесь ßx - нормаль, rn\(x), m2(x) — соответственно электрические и магнитные поля;

тх (х, £), т2(х, /.), Цх, «) = ^ 7п (х) ехр [го;п<],

п

О < и/п < оо, - трехмерные векторные функции

(то}, иг?, то?), (т', то|, т^), (¿'¿,2У3) соответственно. гЬ = г ( ° гЫ \

\ ~гоЬ 0 у

- самосопряженный эллиптический оператор первого порядка, действующий в Г2) ,где И - открытая область в 11л .содержащая внешность некоторой сферы, причем граница области П принадлежит классу Л'1'") а >

О- ' '

Энергией Е(V) называем интеграл

m,i{x,i) т2(ж, i)

rfa-,

1'ДС

т, (х, £)

^ I — классическое решение рассматриваемой за,цачи

Теорема. Пусть 1) ]п (х) е Ь'2(П), 2) и>„ ф 0 для всех п и шп есть точка Лебега функции 5(^п)(г). Тогда

lim Г1 Е (t)

i—oo v '

(2 „)-

м

Y1 s (<*>»)•

Во втором параграфе этой главы доказана следующая теорема-

оо

Теорема. 1) Пусть £ || [[ < оо, г > 1, тогда

2

tic = oil), t —> +оо.

«=1

8я-

/ j mx{x,t)

t2 J

m2(x,t)

2} Пусть J2 (l + w„) ЦлЛ^г < oo u iiif |ш„ — ASJ > 0, moMt

lim (STTty1 f

t—>oo 4 ' J

П

rrii(.r, i) m2{x,t)

dx ■

¡■Si E K) - A2)-V* [(.7n)s v^I^Af I2 +

A„<w„

+ (i-Xsi-v/^A!)!2].

3) Пусть (1 + Шп) || jn II Wf- < oo

и расстояние между множествами

{w„} П {А.,} , { UJn} \ {A,} U {А.,} \ { OJn}

положительно, тогда

йь'^ №*)-': j\ f* = ^ Е vsr| (i„),(«)|5

В главе 4 исследуется поведение интеграла энергии для волноного уравнения при í —> оо во внешности области "ловушечного" типа. Изучаемому вопросу посвящена работа [5].

Рассматривается Í2'- замкнутая ограниченная область в N - мерном евклидовом пространстве n- Граница области díV предполагается достаточно гладкой. Область П3- связная компонента множества R\<\ (íV U П3). Область Я содержится в П', имеет связное дополнение и мало отличается от ÍÍ'. Здесь f(x,t) € С™ {Rn \ Я') при t > 0 и непрерывна в Il,x\ü' - [(),оо).

Рассматриваем смешанную задачу

- Ад = f(x,t), х е RN\n', t > 0, il{x,t) е С {Rn\Q! х [0, оо)], é{x, +0) = tп (з;, +0) = 0, х 6 Rn\ П', д (х, t) = 0, х е ГRn\ü'.

Пусть

ы± (х, п, л/А) = ехр (г (п, х) \/А)+

+qj(n, A, ü,x)

- решение задачи рассеяния вблизи резонанса.

ы?(п, Aj, 0)= //±(А, íl) (1 - /*f (A, íí))-1 • А, О), функция

<7j (п, А, Л)голоморфпапо Апри ÍÍ —> П'вметрике

Функции uf, ef удовлетворяют следующим условиям:

W~bj\<o№ d(fi)-*0, a {il)-* 0,

(J(«))à —0,

ef (n, fi) -> 0, d{ fi) —» 0 Uni - (exp(z(n, )VX) + A, fi) Il 0,

lia

d(n) 0.

(Uout- решение задачи рассеяния дня области Ü:i )

Здесь функция uf (п, А, П ) оо при к2 _> Л

Пусть /(х) е Ii1 \ jy^ тогда в L2 (RN \ jy) существует

/ U±(x,k) f(x)dx= /(fc, il'), ЛдД"'

Я(/)(г,П')= / |(/V, «fr, „=*

M = 1 1 I 1*1'

причем

оо

J S (/) (г, Cl')dr = у | (/)(*, ) |2 Л = (27r)W Г ш Ux<oq

Теорема. Пусть l)fn(x) € L2 (RN\ П'),

^ 2)ш„ ф 0 для вссхп, \шп\ есть точка Лебега функции S(/„) (г, fi').

м

П=1

В главе пятой вычислена асимптотика энергии при t -> оо для решения абстрактной задачи Коши.

В параграфе один рассматривается Я- комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением <,>. Рассматривается абстрактная задача Коши (см [6]).

— и И) = 1Ьи, и|£=о = «0! (И

где Ь- самосопряженный оператор с областью определения О(Ь).

Тогда. ы(<) = ехр (ИЬ)иц- решение рассматриваемой задачи. Энергией для решения этой задачи называем функцию

Е{г) = || и ||2 = < и, и > . Рассматриваем следующую задачу Коши: 6

<И

= Ни + /(<!), и |а=о = 0 .

Ее решение имеет вид:

и

I.

(*) = J ехр [г(1, ~ т)Ц/(т) с!т,

где интеграл понимается в смысле Вохнсра, т. е. как предел интегральных сумм вида:

£ ехр [г(£ — т)1<] /(т7) |Дт3|.

т,-е[о,«], Дт,-е М

Назовем энергией для решения рассматриваемой задали функцию (см.[61)

В(и(*)) =

(

У ехр [»(« - т)Ь]/(г)

¿т

Теорема. Пусть ап £ Я0, шп ф О б1м всех п, шп 6 <т(£), шп- точка Лебега функции

Тогда

Ьп(Х) = < £\ап, (1п>'.

N

= I Ьп(Шп)-

Ж*)

11Ш --

£—+оо t

п=1

Во нтором параграфе вычислена асимптотика энергии при t —> оо для симметрической гиперболической системы. Рассматривается система уравнений

М{х= + 1Впи + !-

ОТ

Вычислена асимптотика энергии по формуле

1ип = - ) Ьп(шп),

п— 1

где

= <

Ы

Е

т,) т,»

В третьем параграфе вычислена асимптотика эиергии при £ —> оо для абстрактного волнового уравнения. #0 - гильбертово пространство скалярным произведением ( , ), В - самосопряженный, положительно-

определенный оператор в Н0, В /2 - положительный квадратный корень из оператора В.

В пространстве #0 рассматриваем абстрактное волновое уравнение

д^ + й^ = /(<), с^ |<=0 = ^ Ь=о = 0.

Теорема. Пусть ап е #„, ип ф 0 для всех п, шп € а (В), шп-■точка Лебега функции Ьп(Х), тогда

г Е О * г. , N

Й2, "Г = 2 ^ ^^

П=1

В четвертом параграфе В = (Л, + А2) - самосопряженный положительно - определенный оператор вЯц.В пространстве Я0 рассматриваем абстрактное волновое уравнение.

дп V + (А + А2) у = /(«), |(=0 = <р |(=0 = 0 .

Теорема. Пусть ап е Я0, шп ф 0 для всех п, шп е ег((П1 + «2) /2) г/. шп-точка Лебега функции Ьп(Х), тогда

1нп - 1 ^

8 2-, ~-ГГ

(—>оо Ь й -4 . . ¿/О

Об асимптотике энергии случайных источников колебаний

В первом параграфе этой главы рассматривается; следующая задача ]17]

^ = ди + £ /п(х) ехр (ад, х е Л3\ Д

Н=о"=о, §? и =0,

где /п(х)— случайные функции со значениями в Ь2(ЯЛ), ■дп— случайные (функции со значениями в

Я1.

Энергией называем интеграл

= I [|«£ «)|2 + I ^и (х, I) I2] Ох.

я3 .

Теорема. Если граница области д О - достаточно гладкая (достаточно, чтобы она была дважды дифференцируема) и область (О) содержит внешность сферы, случайные величины /п(х)идп независимы: если М | т?п = ■дт] = 0, п ф т, для любого п М 1> 0 и все реализации /п(х) принадлежат Б), то для математической о ожидания анергии Е(Ь) справедлива формула

= з ^ £ м ^

г—»оо с *■—^

71=1

где

Л* та) (№.!)] = Л/

{ 11/(«"О | 2 гЧп |Г=К| | , п = щ.

Во втором параграфе вычислена асимптотика энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши [7]

£ «(«) = И + /(<), « |(=о =0,

N

ДО = Е «в схр (г п=1

где ап- случайная функция со значениями и , случайная функция со значениями в Я1.

Утверждение. При больших временах асимптотика математического ожиданья энергии (I) будет такой, как если бы /(£) и /(¿') были независимы,

t t , . .,. , AfE(t)= f dr J dr' J exp [¿A(r — r')]v4(A) S(r—r')dX = t j A(X)dX.

<> 11 °{L) . . *{L)

Тогда

нш =

<-» OO t

a(L)

J Л(А) dX.

В третьем параграфе вычислена, асимптотика энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний.

Пусть R3- трехмерное евклидово пространство, П - открытая область и Я3, которая содержит внешность некоторой сферы. Граница области i2 принадлежит классу а > 0.

Рассматривается смешанная задача

дЧ

д-р ~ Ai? = f(x, t).

Здесь f(x, t) — f A(x, q) exp [iu(q)t]d(i(q), ß(q)~ случайная мера Пуассона с интенсивностью vi(q)\ i)(x, 0) =0,

1/1(1, о) = 0, хе п, Цх, t) = о, х е пр.

Пусть i)- классическое решение задачи. Вопрос о существовании и единственности решения дано в работах

A.A. Арееньева. Энергией назовем интеграл.

W) = J Ol2 + t)f]dx.

п

Теорема. Если ш 6 С (R3), 0 < а < \ш \ < b < оо п Vq A{x,q) €

тпо для математического о'лсидаиия энергии справедлива формула ¡8]

Um = (2тг)-3 7Г Jm(q) |M f |i(nr)| 2 r2dn |г=ы(9)] dq.

В четвертом параграфе этой главы вычислена асимптотика энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений [9].

Рассмотрена начально-краевая задача для эволюционной стохастической системы уравнений:

t t = J ||_°д 10|| -в\1т + J <т(х, т) dWr,

о о

= i>(|| Voll) .

Здесь

t

J er (ж, т) dwT —

о

интеграл

m t

X) f (ж) exp (idkT)du>l A.-1 0

стохастический, (Тк(х), ехр (гд^т)- предсказуемое функции, белый шум, представляющий собой виперовский процесс: на Л1, || 10|| — самосопряженный эллиптический оператор в Ь2 (О), где £>— открытая область в II'1, содержащая внешность некоторой сферы, граница которой принадлежит классу а > 0. Пусть классическое решение рас-

сматриваемой задачи.

Теорема. Пусть случайные, фг/нкции - независимы, М(?9П =

— 0, п ф т, )1 (|1?п|) > 0) для любого п и все реализации гг^(х) £ С^(Д3\£>), тогда

к

П = Щ-

В пятом параграфе этой главы изучены резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний [10].

Iim ш>={2п)-*,

t^oo t К '

£м /

\crk{nr)f r2dn |r==t?i

Рассматривается смешанная задала

0-A«? = /(ar,i),i> О,

f(x, t) = f А(х, q) exp {iuj{q)t} dfi(q), где fi(q)~ случайная мера Пуассона с интенсивностью тп(д),

0(х, 0 е С [ЯлЛ П' х [0, оо)], хе HN\n',

+0) = +0) = 0, 19(1,t) =0, are PRN\il'. Теорема. Если и е C(RN), 0 < а < \ш \ < b < оо,

A(x,q) eC0(RN) v„ .

dq.

В шестом параграфе этой главы вычислена асимптотика энергии, излученной по внешнюю среду источникам шума |39].

Пусть «д: - Я мерное евклидово пространство (Ы > 3), Г2- открытая

область в , которая содержит внешность некоторой сферы. Граница

области П принадлежит классу Л(1'°\ а > 0. Рассматриваем смешанную задачу

■0(х,О)=О, 01(х,О) = О, хвП, г?(М)=0, же Пр.

Здесь е > 0- малый параметр, источник шума, который пред-

ставим в виде

t

f(t,x) = Ji J а(х,т) d,w (т),

о

Ь>(т) - шшеровский процесс, а <т(.т,т) есть непрерывная функция от со значениями в £2(/?з).

Энергией решения задачи назовем интеграл

т

E(t) - J (10t {x, t) I2 + I (X, t) I 2)dx.

J!

Теорема. 1. Если a(x, т) не зависит от т, тпо

lim МШ = М( [ \а(х) I 2dx).

t->oо £ J

2. При /-» л/е/

M(ß(f) ) = е / J dr M(\a(k, r) \2)dk-о

t7

-2e f a'fc /dr cos I к I (i - t) M (| o(k, r) |2) о

и если a(x, т) м.е зависит■ от, t, m.o

lim М(Е{-)) = tM{ f | er {x) |2 dx).

c~>o e J

3. Если a{x, t) = a(x)e~eTS, mo

lira M ^E — /\a(x^2(lx-

В седьмой главе изучается поведение энергии при акустическом рассеянии.

Рассматривается сметанная задача для уравнения акустики [21]. Ar) - ¿rht = £ fn{x) схр{Mnt), х G R\D,

71-1

19 |^o = 0, § |t=0 = 0, 4{x,t)\XzaD = Q -

Теорема. Пуст.ь граница облает,и OD дост аточно гладкая и D содержит внешность сферы. Пусть fn(x) G L2(D), ф 0 для всех п, |$„| есть точка Лебега функции S(fn)(r). Тогда

lim £ 5(/„) (|0„|),

1-.00 „=]

■.■/<;:..' ■ ■ ■ ^М",;). »¡¡¡Л,; ■

Вычислена также .^Шйтотйкй^псргии ;Длк решений'Мшгово'й уравнения генерации звука в жидкости [40].

Теорема:-Пусть'■граница области дО'достаточно гладкая и область

О содержит опешуюстй сферы:■ Пусть-/„'(ж) 6 I? (£>) , иЛф 0 для всех

п и |и„| есть точка Лебега функцйи Б (/„,) (г), тогда

где

5(/п)(М) = I |(/) (пг)\\Чп, п = А

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Срумова Ф. В.'Об абсолютной и равномерной сходимостй'обобгцен-ного интеграла Фурье / Ф.В.Срумова // Дифференциальный уравнения. - 1971.-Т.7,№7.-С.1333 -1338.

2. Срумова Ф.В. Вычисление асимптотики энергии, :излучеяной"почти периодическом источником колебаний при 4 —» сю / Ф.ВУСрумЬва// Дифференциальные уравнения,- 1977.-Т.13, №7,- С. 1272-1280.

3. Срумова Ф.В.Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных ,;]золн /Ф.В. Срумова// Дифференциальные уравнений,- 1980.-Т.16. №3 -С 560 -563. ...... ; -

4. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе / Ф.В. Срумова //Дифференциальные уравнения.-1982.-Т. 18, №11-С 1999 - 2001.

5. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии во всем пространстве/ Ф-В. Срумова//Дифференциальные уравнепия.-1984.-Т. 20 №4 -С 719 - 721.

6. Срумова Ф.В. Функционал энергии для абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1984.-Т.24, №8,- С.1129 - 1135.

7. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Копти /Ф.В. Срумова //Дифференциальные уравнения.- 1989.-Т.25, №1.-С. 177-178.

8. Срумова Ф.В.Об асимптотике энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В. Срумова //Журн. вычисл. математики и мат. физики. -1989.-Т. 29, №4.-С. 626 - 627.

9. Срумова Ф. В. Вычисление асимптотики энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений / Ф.В. Срумова // Журц. вычисл. математики и мат. физики. -1989.-Т.5, N«5.-0. 794 795.

10. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний/Ф.В. Срумова//Журн. вы-числ.матсм. и матем.физ.-1991.-Т.30,№7.-С.Ю92 - 1093.

11. Срумова Ф. В. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье / Ф.В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР.-1970.-Т. 13, №1.- С. 11-14.

12. Срумова Ф.В. О спектральных разложениях, связанных с полигармо-пическим оператором /Ф.В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР.-1972,-Т. 15, №6.-С. 10-12.

13-; Срумова Ф.В. О принципе локализации для рядов Фурье по фундаментальной системе функций полигармопического оператора /Ф.В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР,- 1972.-Т. 15, №9.-С. 15-18.

14. Срумова Ф. В. К вопросу о вычислении асимптотики энергии, излученной почти периодическим источником колебаний при £ —+ оо /Ф.В.Срумова//Докл. АН ТаджССР.-1976.-Т.19, №11.-С.7 - 9.

15. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн/ Ф.В.

' Срумова // Докл. АН Тадж ССР.-1978.-Т. 21, №5.-С. 18 - 20.

16. Срумова Ф. В. О суммируемости обобщенным методом Римана рядов Фурье но фундаментальной системе функций полигармонического оператора /Ф.В. Срумова/УСборник грудон .механико-математического факультета ТГУ по теории функций и функциональному анализу. -Душанбе, 1979,- С. 61-63.

17' ^172'» п °б аСИМ/'Т0ТИКе ЭНСР™ случайных источников колебаний /Ф.В. Срумова//Докл. АН Тадж ССР.-1986.-Т. 29, №19.-С. 724

~ / ¿О.

18. Срумша ФЛ !. Вычисление асимптотики энергии при больших временах /Ф.В. Срумова,- Душанбе, 1991,- 88 с.

19. Срумова Ф.В. Энергия для одной абстрактной задачи Конги/Ф В Срумова // Конференция по уравнениям математической физики' -Душанбе,1983.-С. 97 - 98.

20. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии случайных источников колебании для одной абстрактной задали Коши /Ф.В. Срумова // Те зисы докладов всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально - дифференциальных уравнений,ДуШа„бе, 1987.-С.

21. Срумова ф. В Поведение энергии „ри акустическом рассеянии /Ф.В.Срумова //Гезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых Функциональные методы в прикладной математике и математической физике".-Ташкспт, 1988,- С. 82-83.

22. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В. Срумова // Матери алы республиканской конференции, посвящсшюй памяти Т Собиро-ва О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений",- Душанбе, 1990.-С. 171-172

23. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В.Срумова //Тезисы докладов научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава,- Душанбе,1991.-С. 11.

24. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство источником шума/Ф.В. Срумова //Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их пр штожения". - Куляб, 1991,- С. 154.

25. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний /Ф.В. Срумова // Тезисы докладов апрельской научно - теоретической конференции професеорско- преподавательского состава. Душанбе, 1992.-С. 12.

26. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником шума /Ф.В. Срумова //Международная конференция "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами",- Душанбе, 1996.-С. 84.

27. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии, излученной расположенным по Пуассону точечным источником колебаний /Ф.В. Срумова // Вклад женщин-ученых Таджикистана в науку .-Душанбе, 1996.-С. 46-47.

28. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной распределенным по Пуассону точечным источником колебаний/Ф.В. Срумова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения".- Душанбе, 1998.-С.80.

29. Срумова Ф.В. О поведении энергии решения абстрактной задачи Ко-ши при больших временах /Ф.В. Срумова // Материалы международной научной конференции, посвященной 10 '"годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М.А. Суб-ханкулова "Методы теории функций и их приложения".- Душанбе,

2000.-'С. 41.

30. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для симметрической гиперболической системы уравнений/ Ф.В. Срумова// Материалы научно - теоретической конференции професеорско преподавательского состава и студентов,- Душанбе,

2001.- С. 23.

31. Срумова Ф. В. Поведение энергии решения волнового уравнения генерации звука в жидкости /Ф.В. Срумова // Материалы научно - теоретической конференции профессорско-преподавательского состава.-Душанбе, 2003.-С. 12.

32. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для решения абстрактного волнового уравнения /Ф.В. Срумова // Материалы научно-теоретической конференции профессорского состава и студентов, посвященной 80- летиго города Душанбе "

Душанбе символ мира, пауки и просвещения".- Душанбе'Мм -41-С.22. ' ¡Г-

33. Срумова Ф.В. Вычисление асимптотики энергии при акустическом рассеянии /Ф.В. Срумова // Материалы научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов, посвященной 60-летию победы в Великой отечественной войне "Во имя мира и счастья на земле",- Душанбе, 2005. Ч.1.-С. 13.

34. Срумова Ф.В. О резонансных свойствах энергии, излученной случайными источниками колебаний в трехмерном пространстве/Ф.В. Срумова/ /Материалы научно теоретической конференции профсссор-еко - преподавательского состава и студентов, посвященной " 15 - ой годовщине независимости Республики Таджикистан", "2700 - лстию Куляба и году арийской цивилизации",- Душанбе, 200G. 4.1.-C.1G.

35. Srumova F.V. Resonance properties of energy in the whole space / Ф.В. Срумова//Матерналы конференции профессорско - преподавательского состава и студентов, посвященной 800-летию поэта великого мыслителя Мавлопо Джалолудщпга Балхи. Душанбе, 2007 -С 5354.

36. Srumova F.V. Calculation of energy asymptotic emitted to the space by near periodic source of electromagnetic wave/ Ф.В. Срумова // Материалы научно- теоретической конференции. Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений и их приложения, посвященной 70-летию М.М. Каримовой.-Душапбе, 2007.-С. GO - 61.

37. Срумова Ф.В. Об одной начально-краевой задаче для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка /Ф.В. Срумова//Материалы республиканской научной конференции, посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70-летию академика АН РТ Рад жабо па Н.Р.Душанбе, 2008.-С. 78-79.

38. Срумова Ф.В. Об одной начально-краевой задаче для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка /Ф.В. Срумова // Материалы международной конференции "Наука и современное образование, проблемы и перспективы", посвященной 60-летию ТГНУ-Душанбе 2008.-С.30-32.

39. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии; излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний / Ф.В. Срумова // Докл. АН Респ. Таджикистан,- 2010.-Т. 53, №1.-С. 25-27.

-10. Срумова Ф.В. Вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости / Ф.В. Срумова// Докл. АН Респ. Таджикистан.-2010.-Т. 53, №10.-С. 767-769.

Сдано в набор 21.02.2012 г. Подписано в печать 22.02.2012 г. Формат 60x84 '/,„. Заказ № 62. Тираж 100 Отпечатано в типографии ТНУ, ул. Лахупш 2.

Введение.^.-.-.-. .тт^. .т. .77.

Глава 1.

Обзор литературы.24

§ 1. О разрешимости смешанных задач.25

§ 2. Об исследованиях, относящихся к волновому уравнению (Ь = А, где А -оператор Лапласа).39

Глава II. Вычисление асимптотики энергии, излученной почти периодическим источником колебаний при / —>• оо.58

§ 1. Вычисление асимптотики энергии при I с» в произвольной ТУ- мерной области.60-69.

§ 2. Вычисление асимптотики энергии при / —» оо в слое Д2х[0,/].69

Глава Ш. Вычисление асимптотики энергий для решения линейной системы уравнений Максвелла.75

§ 1. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн.80

§ 2. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе.86

Глава IV. Резонансные свойства энергии во всем пространстве.91

§ 1. Постановка задачи.92

§ 2. Об асимптотике энергии для волнового уравнения при / —» оо во внешности области «ловушечного» типа.94

Глава V. Энергия для абстрактной задачи Коши.97

§ 1. Асимптотика энергии при г оо для решения абстрактной задачи Коши.97

§ 2. Пример вычисления асимптотики энергии при Г —> оо для симметрической гиперболической системы.104

§ 3. Вычисление асимптотики энергии при t —» оо для абстрактного волнового уравнения.106

§ 4. Вычисление асимптотики-энергии при оо для ~ волновода.110

Глава VI. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний.113

§ 1. Асимптотика математического ожидания случайной величины E(t) при t ->• оо.113

§ 2. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши.117

§ 3. Об асимптотике энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний.122

§ 4. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний.124

§ 5. Вычисление асимптотики энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений.127

§ 6. Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний (источником шума).129

Глава VII. Поведение энергии при акустическом рассеянии и вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости.136

§ 1. Вычисление асимптотики энергии для решения уравнения акустики.136

§ 2. Вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости.139

Асимптотика энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа в последние десятилетия привлекает пристальное внимание математиков, физиков и инженеров, которое объясняется в первую очередь перспективами использования данного материала.

Несмотря на широкое научное и - практическое применение данного материала, углубленное исследование их свойств представляется актуальным и в настоящее время. Новые перспективы открывает использование асимптотики энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа для некоторых классов нелинейных уравнений гиперболического типа , а именно для нелинейных уравнений колебательных процессов и нелинейной системы уравнений Максвелла.

Цель и задачи исследования. Цель настоящей работы в установлении асимптотических формул энергии, излученной различными источниками для решения некоторых классов линейных и нелинейных уравнений гиперболического типа, в частности, использование системы уравнений Максвелла первого порядка для вычисления асимптотики энергии для нелинейной системы уравнений Максвелла.

Методика исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики. Рассматриваются дискретный и непрерывные спектры.

Научная новизна

1. Вычислена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником колебаний, для уравнений высшего порядка.

2. Вычислена асимптотика энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн, для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка.

3. Установлена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе,-для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка.

4. Вычислены асимптотики энергии для решения волнового уравнения во внешней области «ловушечного» типа.

5.Получены асимптотики энергии для абстрактной задачи Коши, симметрической гиперболической системы, для абстрактного волнового уравнения и для волноводов.

6. Вычислена асимптотика энергии для эволюционной стохастической системы уравнений.

7. Вычислена асимптотика энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний.

8. Исследованы резонансные свойства энергии, излученной распределенным по Пуассону точечным источником колебаний.

9. Вычислена асимптотика энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши.

10. Вычислена асимптотика энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний.

11. Вычислена асимптотика энергии для решения уравнения генерации звука в жидкости.

12. Дано обоснование обобщенного метода Римана (т.е. теории рядов Фурье по фундаментальной системе функций полигармонического оператора).

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные на основе данной работы, носят теоретической характер и могут быть применены для дальнейшего изучения аналогичных задач получения асимптотики энергии, излученной различными источниками, для решений уравнений с частными производными и для линейных либо нелинейных систем уравнений Максвелла, эволюционных стохастических систем уравнений. Результаты работы можно использовать в теории поля, теории упругости, теории рассеяния, при изучении задач физики плазмы, в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье.

Исследования автора также имеют большое практическое значение в математической физике, могут быть использованы при обосновании метода разделения переменных при решении краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Научном семинаре под руководством академика РАН В.Ат Ильина, профессора Ш.А. Алимова7профессора A.A. Арсеньева (МГУ), на Всесоюзном симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Душанбе, 1972 г.), на Республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, (Душанбе, 1983г.), на Всесоюзной конференции по теории функций и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, (Душанбе, 1987г.), на Всесоюзной школе молодых ученых «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике», (Ташкент, 1988г.), на Республиканской научной конференции, посвященной памяти Т.Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений». (Душанбе, 1990г.), на Международной научной конференции, посвященной 10-й годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М.А. Субханкулова «Методы теории функций и их приложения», (Душанбе, 2000г.), на Республиканской научно- теоретической конференции, посвященной 70-летию профессора М.М. Каримовой «Современные проблемы теории функций, дифференциальных уравнений и их приложения» (Душанбе, 2007г.), на Республиканской научной конференции, посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70-летию академика АН РТ Раджабова Н.Р. «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Душанбе, 2008г.),на Ежегодных апрельских научно- практических конференциях ТГНУ. (Душанбе, 1970 - 2008 гг.),на Международной конференции «Наука и современное образование, проблемы и перспективы», посвященной 60-летию ТГНУ (Душанбе,2008г), на Международной научной конференции « Современные проблемы физики», посвященной Году образования и технического знания (Душанбе, 2010г.) и на Научном семинаре член - корр., профессора Х.Х. Муминова, на седьмой научно-практической конференции (Прага, 2011г.).

Выражаю большую благодарность академику РАН В.А. Ильину и профессору A.A. Арсеньеву за внимание к данной работе.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 40 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и списка литературы.

1. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнении / В.А. Ильин //Успехи математических наук.- 1960.-Т. 15, вып. 2.-С. 97-154.

2. Ильин В.А. Об эквивалентности систем обобщенных и классических собственных функций / В. А. Ильин, И.А. Шишмарев // Изв. АН СССР. Сер. математ.- 1960.-Т. 24, №5.-С. 757-774.

3. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения/ O.A. Ладыженская .-М., 1953.-279 с.

4. Носов В.Р. О смешанной задаче для гиперболического уравнения в нормальном цилиндре / В.Р. Носов// Изв. АН СССР. Сер. математ.-1965.-Т. 29, вып. 4.-С. 861-876.

5. Кенджаев И.К. К вопросу об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье и о разрешимости смешанных задач для гиперболического • и параболического уравнений: Дис.канд. физ. мат. наук/И.К. Кенджаев.-Душанбе,1969.- 49с.

6. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики/ Н.М. Гюнтер.- М.: Гостехиздат, 1953.-416с.

7. Соболев С.Л. О почти периодичности решении волнового уравнения/ С.Л. Соболев // Докл. АН СССР.- 1945.-Т.48, №8.-С.570-573.

8. Волков Д.М. Билинейные интегралы линейных гиперболических задач/ Д.М Волков // Изв. АН СССР. Сер. математ.-1951.-Т.15,№1-С.-75-90.

9. Смолицкий Х.Л. Предельная задача для волнового уравнения / Х.Л. Смолицкий // Докл. АН СССР.-1950.-Т.73,№3.-С.-463-466.

10. Ладыженская О. А. О методе Фурье для волнового уравнения/О. А. Ладыженская // Докл. АН СССР.-1950.-Т.75, №6.-С.-765-768.

11. Ильин В.А. К вопросу об обосновании метода Фурье для уравнения колебаний/ В.А. Ильин // Успехи математ. наук.-1957.-Т.12, вып. 4.-С.-269-296.

12. Арсеньев A.A. О поведении энергии решения волнового уравнения при больших временах / A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ. физики.- 1970.-Т. 10, №4. С.-1037-1041.

13. Арсеньев A.A. О поведении обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения в области, близкой к замкнутой /A.A. Арсеньев // Докл. АН СССР.-1969.-Т.185, №3.-С.-495-498.

14. Арсеньев A.A. О поведении обобщенного по C.JI. Соболеву решения смешанной задачи для волнового уравнения в областях, близких к замкнутым/ А.А.Арсеньев//Журн. вычислит, математики и математ. физики.-1969.-Т.9, №5.-С.-1094-1101.

15. Арсеньев A.A. Об особенностях аналитического продолжения и резонансных свойствах решения задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца / A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ. физики.-1972.-Т. 12, №1.-С.-112-139.

16. Арсеньев А. А. О существовании резонансных полюсов и резонансов при рассеянии в случае краевых условий 2 и 3 рода/А.А.Арсеньев//Журн. вычислит, математики и математ. физики.-1976.-Т. 16, №3.-С.716-724.

17. Schenk N.A. Eigenfunction expansion and Scattering theory for the wave equation in on exterior region /N.A. Schenk //Arch. Rat. Mech. and Analysis.-1966.V. 21, №3.-P.-121-150.

18. JkebeT. Eigenfunction expansion Associated with the Schrodinger Operators and their Applications to scattering theory / T. Jkebe // Archive for national Mech. and Anal.-1960.-V.5, №1 .-P.-1-34.

19. Schmidt G. Spectral and Scattering theory for Maxwell's/ G. Schmidt //Arch. Rational Mech. and Anal.-1968.-V. 28, №4.-P.-284-322.

20. Ладыженская O.A. О решении нестационарных операторных уравнений/ O.A. Ладыженская// Математический сборник.-1956.-Т. 59, №4.-С.-491-524.

21. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье для системы уравнений теории упругости: Дис. канд. физ.мат. наук/М. Исматов. -Душанбе, 1970.-67с.

22. Арсеньев A.A. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником колебаний/ A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ.физики.-1975.-Т.10, №4.С.1062-1066.

23. Михайлов В.П. Об асимптотическом поведении при /-> оо решений некоторых нестационарных граничных задач / В.П. Михайлов// Докл. АН СССР.-1965.-Т. 162, №3.-С.506-509.

24. Пыжьянов A.M. О форме оператора рассеяния для системы уравнений Максвелла / A.M. Пыжьянов // Дифференц. уравнения.-1974.-Т. 10, №6.-С. 1091 -1102.

25. Фелсен Л. Излучение и рассеяние волн / Л. Фелсен,Н. Маркувиц.-М.: Мир, 1970.-547с.

26. Ахиезер H.H. Лекции по теории аппроксимации / Н.Н.Ахиезер.-М.: Наука, 1965.- 407с.

27. Mochizuki К. Spectral and Scattering theory for symmetric hyperbolic system in an exterior domain/ K.Mochizuki// Pubis. Res. Just.Math. Sci.-1969.-V.5, №2.-P.-219-258.

28. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы/ Б.Л. Розовский.-М.: Наука. 1983.-208с.

29. Ратанов Н.Е. Стабилизации стохастических решений гиперболических уравнений второго порядка / Н.Е. Ратанов // Успехи математ.наук.-1984.-Т.39, вып. 1.-С.-151-152.

30. Арсеньев А.А.О двух математических моделях описания пучка заряженных частиц в газе / А. А. Арсеньев // Математ. моделирование.-1989.-Т. 1, №9.-С.-101-106.

31. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана стохастическими уравнениями / A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ. физ.-1988.-Т.28, №4.-С.-560-567.

32. Лямшев Л.М. Об одном механизме генерации подводных акустических шумов при штиле в океане /Л.М. Лямшев, А.В.Фурдуев //Радиационная акустика.-М.,1987.-С. 46-51.

33. Гихман И.И.,Скороход А.В.Введение в теорию случайных процессов /И.И.Гихман, A.B. Скороход.-М.: Наука, 1977.-568 с.

34. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям /Б.М.Левитан. М.; Л.,1950.- 159 с.

35. Срумова Ф.В. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье / Ф. В. Срумова // Дифференциальные уравнения. 1971.-Т.7, №7.-С.1333 -1338.

36. Срумова Ф.В. Вычисление асимптотики энергии, излученной почти периодическом источником колебаний при í->oо /Ф.В.Срумова//Дифференциальные уравнения.- 1977.-Т.13, № 7.-С. 1272-1280.

37. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн / Ф.В. Срумова//Дифференциальные уравнения.- 1980.-Т.16, № З.-С. 560 563.

38. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе/Ф.В.Срумова// Дифференциальные уравнения.-1982.-Т. 28, № 11.-С. 1999-2001.

39. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии во всем пространствё/Ф.В. Срумова // Дифференциальные уравнения.-1984.-Т. 20, № 4.-С.719 721.

40. Срумова Ф.В.Функционал энергии для абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Журн. вычисл. математики и мат. физики.- 1984.-Т.27, № 8.-С.1129- 1135.

41. Срумова Ф.В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Дифференциальные уравнения.-1989.-Т.25, № 1.-С. 177-178.

42. Срумова Ф.В.Об асимптотике энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В.Срумова //Журн. вычисл. математики и мат.физики.-1989.-Т.29, № 4.-С. 626 627.

43. Срумова Ф.В. Вычисление асимптотики энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений/ Ф.В. Срумова //Журн. вычисл. математики и мат.физики.-1989.-Т.5,№5.-С.794-795.

44. Срумова Ф. В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний/ Ф.В. Срумова//Журн. вычисл.матем. и матем. физ.-1991.-Т. 30, № 7.-С. 1092- 1093.

45. Срумова Ф.В. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье / Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР.-1970.-Т. 13, № 1.-С. 11-14.

46. Срумова Ф.В. О спектральных разложениях, связанных с полигармоническим оператором/ Ф.В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР.-1972.-Т. 15, № 6.-С. 10-12.

47. Срумова Ф.В. О принципе локализации для рядов Фурье по фундаментальной системе функций полигармонического оператора / Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР.- 1972.-Т. 15, №9.-С. 15-18.

48. Срумова Ф.В. К вопросу о вычислении асимптотики энергии, излученной почти периодическим источником колебаний при х 00/Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР. -1976.-Т. 19, №11.-С.7-9.

49. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн/ Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР.-1978.-Т. 21, № 5.-С. 18-20.

50. Срумова Ф.В.Об асимптотике энергии случайных источниковколебаний/ Ф.В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР.- 1986.-Т. 21, № 29.-С. 721 -725.

51. Срумова Ф.В. Вычисление асимптотики энергии при больших временах/ Ф.В. Срумова.- Душанбе, 1991.- 88 с.

52. Срумова Ф. В. Энергия для одной абстрактной задачи Коши/ Ф.В. Срумова //Конференция по уравнениям математической физики.-Душанбе, 1983 .-С. 97 98.

53. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для одной абстрактной задачи Коши/ Ф.В. Срумова //Тезисы докладов всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально- дифференциальных уравнений.-Душанбе, 1987.-С. 111-112.

54. Срумова Ф. В. Поведение энергии при акустическом рассеянии /Ф.В.Срумова//Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике».-Ташкент, 1988.-С. 82-83.

55. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В. Срумова/ЛГезисы докладов научно теоретической конференции профессорско - преподавательского состава.-Душанбе, 1991 .-С. 11.

56. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство источником шума/Ф.В.Срумова //Тезисы докладов республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».-Куляб, 1991.-С. 154.

57. Срумова Ф.В.Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний / Ф.В. Срумова // Тезисы докладов апрельской научно теоретической конференции профессорско-преподавательского состава. -Душанбе,1992.-С. 12.

58. Срумова Ф.В.Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником шума / Ф. В. Срумова //Международная конференция «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами».-Душанбе, 1996.-С. 84.

59. Срумова Ф.В. Резонансные свойства энергии, излученнойслучайно расположенным по Пуассону точечным источником колебаний /Ф.В.Срумова//Вклад женщин- ученых Таджикистана в науку.- Душанбе, 1996.-С. 46-47.

60. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной распределенным по Пуассону точечным источником колебанийФ.В.Срумова//Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения».-Душанбе, 1998.-С.80.

61. СрумоваФ.В. Поведение энергии решения волнового уравнения генерации звука в жидкости / Ф.В. Срумова/ /Материалы научно теоретической конференции профессорско-преподавательского состава.- Душанбе, 2003.-С. 12.

62. Срумова Ф.В.Обасимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний / Ф.В. Срумова //Докл.АН Респ. Таджикистан.- 2010.-Т. 53, №1.-С. 25-27.

63. Срумова Ф.В.Вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости /Ф.В. Срумова //Докл. АН Респ. Таджикистан.-2010.-Т. 53, №10.-С. 767-769.