Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧУГАЙНОВА Анна Павловна

КЛАССИЧЕСКИЕ И НЕКЛАССИЧЕСКИЕ РАЗРЫВЫ И ИХ СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ И ДИССИПАЦИЕЙ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

003065687

Работа выполнена в отделе механики Математического института им В А Стеклова РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

академик Левин Владимир Алексеевич

(Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН),

доктор физико-математических наук, Симонов Игорь Валентинович (Институт проблем механики РАН),

доктор физико-математических наук,

профессор Брушлинский Константин Владимирович

(Институт прикладной математики им.М В Келдыша РАН)

Ведущая организация:

Институт гидродинамики им М А Лаврентьева Сибирского отделения РАН

Защита состоится: "_ /и М^-Л^/гЛ^ 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002 240 01 при Институте проблем механики РАН по адресу 119526, Москва, пр-т Вернадского, д 101, корп 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН

Автореферат разослан "_" _ 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 240 01,

кандидат физико-математических наук ¿у ЕЯ Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Проблема адекватного математического описания нелинейных волн в сплошных средах с учетом влияния реальных факторов является одной их центральных в механике Потребности практики приводят к необходимости использования все более сложных математических моделей, учитывающих комплексное взаимодействие разнообразных процессов, происходящих в сплошной среде Классические модели, использовавшиеся при изучении волн, усложняются путем включения в рассмотрение новых физических эффектов Исследование поведения таких сложных сред, описываемых системами уравнений высокого порядка, требует развития новых методов и средств анализа

Во многих случаях основной вклад в развитие нелинейных волновых процессов в сплошных средах вносят крупномасштабные возмущения, эволюция которых может быть описана, как правило, нелинейными гиперболическим уравнениями Влияние мелкомасштабных процессов, таких как дисперсия и диссипация, проявляется в узких высокоградиентных зонах, моделируемых в рамках гиперболических уравнений поверхностями разрыва основных параметров течения

Существенным этапом исследования является необходимый во многих случаях выход за рамки гиперболических уравнений и использование усложненных уравнений с целью изучения поведения решений в высокоградиентных областях

Диссертация посвящена изучению нелинейных волн в упругих и вязко-упругих средах Нелинейные волны в упругих средах изучались ранее в работах Д Р Бленда, Э В Ленского, А Г. Куликовского, Е И Свешниковой, Н И Гвоздовской, В И Ерофеева, А И Потапова, Н В Кукуджанова, А А Буренина Одной из основных проблем, изучаемых в диссертации, является проблема неединственности решений системы уравнений нелинейной теории упругости Проблемам выбора решения в случае неединственности решений различных задач, связан-

ных с гиперболическими уравнениями в частных производных, посвящены работы О А Олейник, С К Годунова, Г Я Галина, Н Д Введенской, В Ф Дьяченко, И М Гельфанда, А.А Вармина, В С Успенского, В А Левина, И Б Бахолдина, В В Маркова, С Ф Осинкина и других авторов

В работах А Г Куликовского и Е И Свешниковой [1,2], А Г Куликовского и Н И Гвоздовской [3] были рассмотрены нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах при различных предположениях относительно множества допустимых разрывов (то есть разрывов, используемых при построении решений) и была обнаружена неединственность решений классических автомодельных задач Множество допустимых разрывов определялось как множество разрывов со стационарной структурой Было выявлено, что неединственность имеет место при учете в структуре вязких напряжений, а если помимо вязкости в структуре разрывов существенную роль играет дисперсия, то неединственность решений становится многократной Вопросы, оставшиеся невыясненными 1) какое из автомодельных решений в случае их неединственности и при каких дополнительных условиях представляет асимптотику неавтомодельного решения при больших временах, 2) устойчивы ли построенные решения, 3) совпадает ли множество разрывов, имеющих структуру, с множеством разрывов, которые могут реально существовать

Цель работы.

Основной целью работы является изучение нестационарных решений системы уравнений нелинейной теории упругости с дополнительными членами, описывающими мелкомасштабные явления диссипации или совместно дисперсии и диссипации

Главное внимание уделено решению задач, для которых в рамках гиперболической модели нелинейной теории упругости имеет место неединственность решений (под решением задачи в рамках гиперболи-

ческой модели понимается решение, построенное из непрерывных решений уравнений нелинейной теории упругости и разрывов, имеющих стационарную структуру)

Численное решение соответствующим образом поставленных задач имело целью проследить формирование решений упомянутых уравнений в частных производных, формирование структур разрывов и выход с течением времени решений на асимптотическую форму, которую можно сопоставить с автомодельными решениями гиперболической модели Кроме того, численное исследование решений уравнений в частных производных позволяет исследовать вопрос об устойчивости возникающих решений, а также выяснить, не возникают ли в процессе выхода решения с ростом времени на автомодельную асимптотику других форм, не предусмотренных соответствующей гиперболической моделью В частности, в диссертации обнаружены решения, содержащие нестационарные периодические по времени структуры разрывов

Научная новизна результатов.

Все представленные в диссертации и содержащиеся в работах автора результаты являлись новыми в момент их опубликования

Постановка изучаемых проблем является новой Эти проблемы, как упомянуто выше, возникли как необходимое естественное продолжение предшествующих работ, выполненных авторами одной и той же научной школы Особенной новизной отличается проблема описания решений в случае множественной неединственности, имеющей место в случае гиперболической модели, учитывающей мелкомасштабные процессы дисперсии и диссипации

Научная новизна заключена также в глубине проработки вопроса о том, как устанавливается асимптотическая форма решения, какие факторы влияют на установление той или иной автомодельной асимптотики, устойчива ли асимптотическая форма решения Имеется только одна область, где подобные вопросы проработаны не менее детально -

это теория детонации в газах (см , например, [4])

Изучение устойчивости и формирования метастабильной ударной волны кардинально важно для утверждения о неоднозначности образования автомодельных асимптотик в случае вязко-упругих сред

Научная и практическая значимость.

В настоящее время изучение нелинейных механических динамических процессов приобретает большое значение в связи с использованием в современной технике сложных конструкционных материалов с нелинейными свойствами Кроме того, значительная часть используемых материалов обладает анизотропией, причем анизотропия свойств среды может быть обусловлена предварительной деформацией Анизотропия материалов, даже если она невелика, может существенно влиять на развитие динамических процессов, особенно при наличии нелинейности

Исследование динамических процессов в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией тесно связано с развитием различных отраслей науки и техники, в частности, с интенсивным применением взрывных работ, а также с изучением сейсмических и геотектонических явлений

Полученные в диссертации результаты подтвердили и обосновали точку зрения, что уравнения нелинейной теории упругости сами по себе не могут дать однозначного ответа при решении задачи о распаде произвольного разрыва Проведенные численные исследования продемонстрировали зависимость типа возникающих решений от мелкомасштабных эффектов, не учитываемых уравнениями нелинейной теории упругости, позволили выявить и качественно исследовать влияние "сглаживания" начального разрыва, зависящего от предыстории его образования Эти результаты должны учитываться в численных методах для нелинейной теории упругости

Полученные в диссертации многочисленные решения позволяют ка-

явственно представлять картину возникающих в различных задачах нелинейных волн и асимптотических решений, описываемых уравнениями нелинейной теории упругости Результаты могут быть использованы при постановке опытов с нелинейными волнами в упругих средах и создают математическую основу для построения решений различных динамических задач для нелинейно упругих и вязко-упругих материалов

Полученные в качестве асимптотик при больших временах автомодельные решения могут служить основой для нахождения неавтомодельных нестационарных решений (например, по методу, предложенному в [5])

Методы исследований.

В работе использовались известные методы механики сплошных сред, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы численного моделирования

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях семинара Института Механики МГУ по механике сплошных сред под руководством академика А Г Куликовского, д ф -м н А А Бармина и д ф -м н В П Карликова, на семинаре Института Проблем Механики РАН по динамике сплошной среды под руководством академика А Г Куликовского, д ф -м н В Н Кукуджанова и д ф -м н ИВ Симонова, на общеинститутском семинаре Математического института им В А Стеклова РАН, на общеинститутском семинаре Института Вычислительной Математики РАН, на общеинститутском семинаре Института теоретической и математической физики Российского федерального ядерного центра - Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (Саров), на VII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г), на Всероссийской научной школе "Нелинейные волны - 2002" (Нижний Новгород,

2002 г), на Всероссийской конференции, посвященной 80-летию академика Г Г Черного (Москва, МГУ, 2003 г), на XI школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2003 г), на Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций, посвященной памяти А И Весницкого (Нижний Новгород, 2004 г), на Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика Л В Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред построение и изучение" (Новосибирск, 2004 г), на зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005 г), на Международ-► ной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М А Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005 г), на шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005 г), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, МГУ, 2006 г), на XI Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород 2006 г), на XXI Всероссийской конференции "Аналитические методы в газовой динамике САМГАД-2006" (Санкт-Петербург, 2006 г)

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27-45]

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, трех приложений, списка литературы из 61 наименования Объем работы 193 страницы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, формулируются цели работы

Уравнения нелинейной теории упругости относятся к классу гиперболических систем, выражающих законы сохранения Ввиду этого в решениях возникают особенности, приводящие к образованию разрывов на которых должны выполняться граничные условия в виде равенств, следующие из законов сохранения, связывающие искомые функции по разные стороны разрыва Если не предполагается выполнения других соотношений на разрыве, отличных от законов сохранения, то разрыв при выполнении некоторых неравенств, выражающих условие неубывания энтропии и корректности граничных условий на разрыве, будем называть классическим или ударной волной В ряде случаев оказывается необходимым рассмотрение и введение в решения задач неклассических, особых разрывов, на которых кроме соотношений, следующих из законов сохранения, должны выполняться также некоторые дополнительные соотношения

Известно, что существуют гиперболические системы уравнений, такие, что построение решений автомодельных задач с использованием непрерывных решений и ударных волн оказывается неоднозначным [6-8]) Неоднозначность с "гиперболической" точки зрения имеет место также при построении решений автомодельных задач, связанных с распространением особых разрывов, свойства которых заведомо не определяются только законами сохранения Для выделения единственных, физически обоснованных решений гиперболическая система уравнений дополнялась членами, которые пренебрежимо малы в областях, где изменение решений характеризуется некоторым большим или конечным пространственным масштабом I, а в узких областях, ширины много меньше Ь, оказывают существенное влияние на реше-

ние, делая его непрерывным Такую систему уравнений будем называть расширенной или полной системой уравнений Разрывам в решениях гиперболических систем уравнений соответствуют узкие переходные зоны в решениях полных систем уравнений Решение полной системы уравнений внутри переходной зоны называется структурой разрыва Требование существования структуры разрывов приводит к выделению разрывов, которые часто рассматриваются как реально существующие [9]

К особым разрывам относятся хорошо известные фронты горения в газах [10], которые распространяются по горючей смеси так, что относительная скорость газа с обеих сторон от фронта меньше скорости звука. В качестве дополнительного условия на фронте обычно задается скорость фронта по отношению к газу перед фронтом Эта скорость теоретически определяется как условие существования структуры фронта горения с учетом химической кинетики, теплопроводности и вязкости Известны и другие задачи, в решениях которых существенную роль играют особые разрывы В частности, исследованы разрывы, требование существования структуры которых приводит к нескольким дополнительным условиям, как, например, это имеет место, если газ, проходя через разрыв, приобретает или теряет электропроводность в присутствии магнитного поля [11-13]

Если известно, что особые фронты не входят в решение, то требование существования структуры у используемых разрывов в ряде случаев приводит к отбрасыванию некоторой части ударных волн, в результате чего решение задачи может стать единственным, как это показано в [7,8] При этом может оказаться, что требование допустимости выделяет то или иное множество разрывов в зависимости от мелкомасштабных процессов, которые тем самым определяют решение задач в целом Это было продемонстрировано на примерах [14,15], а в [16] приведен пример гиперболической системы, для которой требование допустимости разрывов не приводит к единственности решений

Во всех перечисленных случаях проводился выход за рамки гиперболической системы уравнений, причем добавляемые в эти уравнения члены существенно влияли на множество допустимых разрывов и их свойства, и, следовательно, и на решения задач в целом Поэтому оказывается недостаточным знание только вида гиперболических уравнений, а,требуется знание полной системы уравнений, которая описывает, как крупномасштабные, так и мелкомасштабные явления Однако, при рассмотрении явлений с точки зрения крупного масштаба, часто бывает достаточно меньшего объема дополнительных сведений Например, как уже упомянуто, в задачах с фронтами горения достаточно знания скорости этих фронтов Будем называть гиперболической моделью гиперболическую систему уравнений для описания непрерывных решений и множество разрывов, которые могут использоваться при построении решений Эти разрывы будем называть допустимыми

Множество допустимых разрывов для одной и той же гиперболической системы уравнений может определяться различным образом, порождая разные гиперболические модели В идеале множество допустимых разрывов совпадает с множеством разрывов, которые могут физически осуществляться Однако, последнее не всегда заранее известно Уже упоминалось, что во многих случаях множество допустимых разрывов определяется, как множество разрывов, которым соответствует решение задачи о структуре в рамках некоторой полной системы уравнений При этом обычно дополнительно считается, что структура одномерна и стационарна, то есть представляется бегущей волной Такой подход к определению множества допустимых разрывов будет использоваться ниже в этой работе Однако, в главе 4 будет показано, что при определенных условиях структура разрывов не представляется бегущей волной, а в ней происходят внутренние периодические колебания Внутренние колебания и неодномерность движения внутри структуры ранее изучались в других задачи механики сплошных сред и, в частности, в теории горения и детонации [4] Существуют также автомо-

дельные задачи, решения которых не существуют в рамках разумно определяемого множества допустимых разрывов [17]

Уравнения нелинейной теории упругости [18,19] представляют собой квазилинейную гиперболическую систему уравнений в частных производных, выражающую законы сохранения массы, импульса и энергии Если в среде помимо упругих имеются также вязкие напряжения, то система приобретает свойства параболичности Оказалось, что многие, упомянутые выше, особенности поведения решений уравнений, выражающих законы сохранения, присущи уравнениям нелинейной теории ь упругости В тех случаях, когда в мелкомасштабных явлениях проявляются эффекты дисперсии, обнаружены новые свойства решений, которые, несомненно, имеют место для других систем уравнений, мелкомасштабные явления в которых включают в себя диссипацию и дисперсию Наибольший интерес представляют задачи, для которых гиперболическая модель дает неединственное решение Эти случаи подробно исследованы в предлагаемой работе с помощью численного построения решений полных систем уравнений с частными производными с выявлением гиперболических асимптотик

Глава 1. В главе 1 формулируется постановка задачи о плоских одномерных нелинейных волнах в слабоанизотропных средах Содержание главы 1 носит вводный характер, основано на результатах, полученных А Г Куликовским и Е И Свешниковой, не содержит результатов автора диссертации

В изотропных упругих средах волны малых возмущений, рассматриваемые в линейном приближении, делятся на продольные и поперечные [18,19] В продольных волнах движение среды происходит по нормали к фронту волны, а в поперечных - в направлениях, параллельных фронту Если нелинейность и анизотропия среды малы, то свойства волн меняются мало В продольных волнах появляется малая поперечная составляющая движения, а в поперечных - малая продоль-

ная Такие волны называются соответственно квазипродольными и квазипоперечными. Как было выяснено [1,13], наиболее интересное поведение уже в случае малой нелинейности проявляют квазипоперечные волны

Свойства упругой среды определяются зависимостью ее внутренней энергии от деформации и энтропии Ввиду предполагаемой малости деформаций внутренняя энергия представляется всюду в дальнейшем в виде многочлена по деформациям, причем в разложении по деформациям учитывались члены до четвертой степени включительно Среда предполагалась слабоанизотпропной и свойства анизотропии в силу ее малости учитывались лишь в квадратичных членах Эта модель используется всюду ниже при рассмотрении квазипоперечных волн

Для описания слабонелинейных квазипоперечных волн в слабоанизотропном упругом теле, распространяющихся в одну сторону, была получена приближенная система уравнений [21], которая используется в диссертации

_ дШа _ , ч

иа— ^^ —ua{x,t),

R{ui, U2) = ~f(ul + и\) + - ul) - i«(«f + u\f, (2)

/, g, к = const

Здесь wa - компоненты вектора перемещения, g - малый параметр анизотропии, к - постоянная с размерностью скорости, которая характеризует нелинейные эффекты, / - характеристическая скорость при отсутствии нелинейности и анизотропии (то есть при к = 0, 5 = 0) Функция R выступает в качестве упругого потенциала Знак упругой константы к существенно влияет на поведение квазипоперечных простых и ударных волн Знак g считается совпадающим со знаком к, что возможно за счет выбора нумерации переменных щ, (см (2)) В системе уравне-

ний (1) оставлены только главные члены, отвечающие за нелинейность и анизотропию

Для рассматриваемых ниже малых значений иа система (1) представляет собой гиперболическую систему с двумя семействами характеристик, которые соответствуют квазипоперечным волнам, распространяющимся в положительном направлении оси х

Уравнения (1) выражают сохранение поперечных компонент импульса в изучаемых волнах и им соответствуют соотношения на разрывах

- И->а] = 0, а = 1,2 (3)

Здесь \¥ = ¿х/сИ - скорость разрыва по лагранжевой координате Квадратными скобками обозначены скачки соответствующих величин на фронте разрыва

В главе 1 показано, что при наличии общего типа малой анизотропии свойств среды, имеющей место в плоскостях постоянной фазы (волновой анизотропии), поведение нелинейных квазипоперечных волн, а также решений начально-краевых задач качественным образом отличается от случаев, когда такая анизотропия отсутствует, как это имеет место в магнитной гидродинамике [20] или в частных случаях в упругой среде [18] Важно заметить, что наличие анизотропии в упругой среде может рассматриваться как случай общего положения, поскольку она проявляется и в исходно изотропной среде, подвергнутой предварительной деформации В пунктах 1 1 и 1 2 приведены результаты исследований поведения волн Римана и ударных волн в такой среде В пункте 1 3 проведен анализ автомодельной задачи о волнах в нелинейно-упругом полупространстве, возбуждаемых внезапным изменением касательных напряжений на границе полупространства Такую задачу часто называют задачей о поршне Анализ проводился в предположении, что допустимые разрывы - это ударные волны

Одной из основных особенностей нелинейной теории упругости является неединственность решений задач [1,13] Упомянутая задача о

дП диа

поршне может иметь два решения в некоторой области задаваемых параметров Решения этих задач строились из автомодельных волн Ри-мана и ударных волн, то есть разрывов, удовлетворяющих условиям корректности Лакса [22] (условиям корректности или эволюционности, в предположении, что соотношения на разрывах представлены только законами сохранения)

Автомодельная задача, изученная в п 1 3, - это одновременно задача о распаде произвольного разрыва для обсуждаемой системы уравнений Решение задачи о распаде произвольного разрыва для системы уравнений теории упругости содержит две системы квазипоперечных волн, распространяющихся в разные стороны. Число решений этой задачи может достигать четырех [1]

Глава 2. В рамках нелинейной теории упругости нет оснований для предпочтения одного из упомянутых решений в случае неединственности решений автомодельной задачи о поршне В главе 2 для выбора единственного автомодельного решения модель упругого тела рассматривается как предел вязко-упругого (модель Кельвина-Фойхта) при вязкости, стремящейся к нулю

Расширенная система уравнений, описывающая распространение квазипоперечных волн малой амплитуды в одну сторону, которая снабжена членами, описывающими влияние вязкости, имеет вид

Уравнения (4) записаны в том же приближении, что и (1) и отличаются от них только наличием правой части, где ц - коэффициент вязкости, считающийся постоянным Функция Я(щ, щ) имеет вид (2) В пункте 2 1 изучена стационарная структура разрывов, то есть структура, которая представляется бегущей волной Показано, что разрывам, удовлетворяющим условиям Лакса, соответствуют решения, представляющие их упруго-вязкую структуру и что нет других раз-

рывов со структурой Таким образом, исследование вязкой структуры ударных волн не привело к сокращению множества допустимых разрывов (ударных волн), использовавшихся в п 1 3 для построения решений, и к единственности решений автомодельных задач

В пункте 2 2 [27,28] представлены результаты численного решения неавтомодельных задач о поршне в случаях, когда соответствующая автомодельная задача имеет неединственное решение Если решается система уравнений (4) с учетом вязкости в случае, когда граничные условия меняются в течение конечного интервала времени, а затем остаются неизменными, то при больших временах можно ожидать формирования автомодельной асимптотики Численные эксперименты показали, что может реализовываться любое из имеющихся автомодельных решений, и качественно описано при каких условиях (то есть функциях задающих изменение граничных условий) какая автомодельная асимптотика возникает Если величину вязкости устремить к нулю, то интервал времени, в течении которого следует определенным образом менять граничные условия для формирования автомодельной асимптотики того или иного типа, можно также устремить к нулю В пределе при вязкости, обращающейся в нуль, и граничных условиях, меняющихся мгновенно, нет критерия для выбора автомодельного решения

Еще одна группа вопросов, ответы на которые могли бы привести к выделению единственного решения автомодельных задач в гиперболической постановке, - это изучение устойчивости волн, входящих в автомодельные решения В случае к > 0, который изучен подробно, одна из ударных волн вызывает особые подозрения Если состояния впереди и сзади этой ударной волны задать как начальные условия в задаче о распаде произвольного разрыва, то в последующее время с точки зрения гиперболической модели возможны два решения Эта волна либо продолжит свое существование, либо она распадется и далее решение будет представлено некоторой системой волн, имеющих различные скорости

В связи с этим в главе 2 построены решения задачи о взаимодействии ударных волн между собой (п 2 3) и с неоднородностями фона (п 2 5, п 2 7) [29-33,36-38] Рассматривались задачи, когда одна ударная волна догоняет другую, причем обе ударные волны представлялись своими стационарными структурами. Также изучались задачи о встречном столкновении ударных волн Во всех случаях, когда после взаимодействия ударных волн с точки зрения гиперболической модели существовало решение с "подозрительной" ударной волной, результатом численного эксперимента было формирование при больших временах решения именно с такой асимптотикой При взаимодействии с неоднородностями фона "подозрительная" ударная волна, представленная своей стационарной структурой, проявляла незаурядную устойчивость (п 2 5) ее распад происходил только при взаимодействии с достаточно большими и протяженными возмущениями фона Это позволяет квалифицировать эту ударную волну как мегпастабилъную

В пункте 2 7 [38] рассмотрена двумерная устойчивость упомянутой выше метастабильной ударной волны по отношению к двумерным возмущениям Слабые ударные волны эффективно взаимодействуют только с возмущениями, имеющими близкую ориентацию, то есть слабо зависящими от тангенциальной координаты Исследование таких решений было проведено с помощью выведенных в п 2 6 простых уравнений, аналогичных известным уравнениям Хохлова-Заболотской и Кадомцева-Петвиашвили В отличие от последних, в рассматриваемом случае - это система двух уравнений, которая имеет вид

х

диа д {Ж^и^Л д2иа , [ &гиа . .

жо

Уравнения (5) отличаются от уравнений (4) только вторым слагаемым в правой части уравнений (5), учитывающим слабую зависимость решения от переменной у Коэффициент в, равен половине характеристической скорости изучаемых волн в линейной изотропной среде

Функция Н(щ, щ) имеет прежний вид (2)

Численно построены решения с начальными данными, периодическими по переменной вдоль фронта Часть этого фронта представляла невозмушенную стационарную структуру ударной волны, а другая часть - результат ее необратимого распада на систему волн, взятую из решения одномерной задачи Оказалась, что если отрезок невозмущенного фронта достаточно велик, то невозмущенная структура восстанавливается всюду Таким образом, взаимодействие с неодномерными возмущениями подтвердило квалификацию изучаемой ударной волны » как метастабильной и, следовательно, имеющей право на существование Заметим, что в ряде работ (см , например, [23]) метастабильные разрывы считаются нереализующимися Этим предположением достигается единственность решений задач, которая, как показали упомянутые выше исследования, отсутствует, если рассматривать гиперболическую модель среды, как предел вязко-упругой при характерном масштабе Ь —оо (или, что то же самое, при вязкости, стремящейся к нулю)

В пункте 2 4 [30] аналитически и численно изучено явление, имеющее место при взаимодействии ударной волны с догоняющей ее волной Римана При определенных условиях происходит распад ударной волны и образование на ее месте некоторой определенной системы волн

В пункте 2 6 [35] в линейном приближении аналитически исследуется устойчивость квазипоперечных ударных волн по отношению к произвольно ориентированным возмущениям Показано, что быстрые квазипоперечные ударные волны устойчивы

Глава 3. Главы 3 и 4 посвящены изучению нелинейных волн в упругих средах, в которых в мелкомасштабных процессах наряду с диссипацией большое значение имеет дисперсия Как известно, дисперсионные эффекты возникают в уравнениях, описывающих волны в упругих композитах [24] Кроме того, дисперсия характерна для волн, распространя-

ющихся в стержнях [25] Вообще, дисперсионные эффекты появляются, когда свойства изучаемых объектов характеризуются или некоторым линейным размером, или характерным временем

Как было показано [26], влияние мелкомасштабной дисперсии (наряду с вязкостью) приводит к колебаниям в стационарных структурах ударных волн (которые рассматриваются как бегущие волны) Если состояние за ударной волной, движущейся по заданному состоянию с заданной скоростью, не определяется законами сохранения однозначно (что характерно для не слишком простых гиперболических уравнений), то наличие колебаний в стационарных структурах кардинально меняет множество допустимых разрывов Действительно, как показано в главах 3 и 4, интегральная кривая уравнений, описывающих стационарную структуру разрыва, вышедшая из особой точки типа седла, соответствующей состоянию перед разрывом, за счет влияния дисперсии испытывает колебания, прежде чем приходит в особую точку, соответствующую одному из возможных состояний за разрывом, соответствующих особым точкам типа устойчивых фокусов Если этих колебаний много, то достаточно малого изменения параметров, например, скорости разрыва, чтобы колебания закончились в другой особой точке, соответствующей другому возможному состоянию за разрывом При промежуточном значении скорости интегральная кривая приходит в третью особую точку типа седла, которая также может соответствовать состоянию за разрывом Поскольку приход интегральной кривой из начальной седловой точки в конечную также седловую особую точку возможен только при выделенных значениях скорости разрыва, то соответствующий разрыв является особым разрывом Описанные особенности поведения структуры разрывов приводят к тому, что множество допустимых разрывов состоит из многих частей, число которых тем больше, чем больше относительное влияние дисперсии в мелкомасштабных явлениях по сравнению с диссипацией Кроме того, появляются особые разрывы

В главе 3 [42-44] исследуются нелинейные волны в одной из моделей упругого композита Гиперболическая часть выбирается такой жб^ как в предыдущих главах Для описания мелкомасштабных явлений в качестве диссипативных членов, как и в главе 2, взяты вязкие члены, а в качестве дисперсионных членов - дисперсионные члены с производными по координате второго, самого низкого порядка дифференцирования, одной из моделей, описывающей волны в композите [24]

ц,т = сопв!;, ц > 0, т/р » 1

Система (6) отличается от (4) тем, что учитывает дисперсионные эффекты, которые существенны при описании структуры разрывов Члены, описывающие дисперсию, содержат множитель т. Члены, содержащие /х, обуславливают диссипацию При написании системы (6) предположено, что при малой нелинейности члены, описывающие дисперсию и диссипацию сохраняют тот же вид, что и в линейных волнах

Множители т и /1 стоят при старших производных в системе (6), поэтому при изучении крупномасштабных явлений эта система будет совпадать с системой (1) Вид функции Я(щ, щ) предполагается таким же, как и в системе (1)(см (2)).

Аналитически и численно исследованы стационарные структуры разрывов и на этом основании исследовано множество допустимых разрывов (п 3 1)

Показано, что с помощью допустимых разрывов и волн Римана можно построить множество решений одной и той же автомодельной задачи, такой как задача о распаде произвольного разрыва или автомодельная задача о распространении волн в полупространстве (задача о "поршне") Число особых разрывов и, как следствие, число возможных

решений автомодельной задачи неограниченно растет вместе с ростом относительного влияния дисперсии по сравнению с диссипацией (п 3 2)

Для выявления единственного физически обоснованного решения исследовались решения задачи для полной системы уравнений с учетом вязкости и дисперсии с начальными данными в виде различным образом сглаженных ступенек При этом численно строились нестационарные решения полной системы уравнений в частных производных (6) с целью нахождения автомодельных асимптотик при больших временах и изучения зависимости реализующейся асимптотики от вида функций, задающих сглаживание ступеньки Показано, что подбором этих функций можно реализовать любую асимптотику Если ограничиться монотонными функциями, сглаживающими ступеньку, то реализуется одна из двух комбинаций волн, возникающих при заданных граничных условиях (п 3 3) Эти комбинации содержат особые разрывы с простейшими структурами Структуры других особых разрывов имеют более сложное строение и эти разрывы возникают в решениях при более сложном, немонотонном задании сглаживающих функций

Глава 4. Похожие результаты дает проведенное в главе 4 исследование продольных нелинейных волн в упругом стержне со сложной нелинейностью [39,45] Нелинейные волны малой амплитуды описываются уравнением, отличающимся от уравнения, ранее изучавшемся в [7],наличием члена с третьей производной от неизвестной функции, обеспечивающего дисперсионные эффекты

и = дт/дх - продольная деформация, т - продольное перемещение точек стержня, /л - коэффициент вязкости, т - коэффициент дисперсии При распространении очень длинных волн оба члена в правой части становятся малыми по сравнению с членами в левой части и при

ди д(р{и) _ д2и дги ф{и) — и4 — и2

— т-г—5

(7)

(8)

пренебрежении правой частью уравнение (7) приобретает вид

д(р(и) ди

Р)

Здесь с(и) - характеристическая скорость Уравнение (9) допускает разрывные решения Заметим, что при преобразовании Галилея к с(и) прибавляется постоянная, а функция ср(и) приобретает линейное по и слагаемое

Уравнение (9) (также как и (7)) выражает закон сохранения, поэтому соответствующее соотношение на разрыве можно записать в виде

Здесь IV - скорость разрыва, квадратными скобками обозначена разность значений функций за и перед разрывом

Сложная нелинейность создает условия для существования трех различных ударных волн, распространяющихся по одному и тому же состоянию с одной и той же скоростью Мелкомасштабная дисперсия, если ее влияние велико в сравнении с вязкими эффектами, приводит к тому, что стационарная структура разрывов приобретает колебательный характер При этом, так же, как и в главе 3, множество допустимых разрывов приобретает сложное строение и появляются особые разрывы Так же, как и в главе 3, гиперболическая модель приводит к многократной неединственности решений

Численные решения задач с начальными данными в виде сглаженной ступеньки показали, что можно так выбрать функцию, задающую сглаживание, что происходит выход решения на асимптотику, представляющую любое из автомодельных решений гиперболической модели Однако, если сглаживание начальных условий монотонно, то возникает асимптотика, содержащая особый разрыв с простейшей монотонной структурой во всех случаях, в которых существует соответствующее автомодельное решение (наряду с другими) В отличие от задач главы 3,

решение с таким особым разрывом существует не при любых условиях при х = ±оо В тех случаях, когда такое решение отсутствует, а существуют решения с особыми разрывами, имеющими более сложные стационарные структуры, осуществляется совсем другая асимптотика, состоящая из одной ударной волны с нестационарной структурой, внутри которой происходят незатухающие со временем периодические колебания

Заключение. В заключении изложены основные результаты и выводы Основная часть результатов работы связана с проблемой неединственности решений нелинейной теории упругости

Приложение 1 и приложение 2 содержат материал, не являющийся результатами автора, который приведен для удобства ознакомления с результатами диссертации. В приложении 3 подробно описаны численные методы, которые использовались при получении результатов диссертации

Приложение 1. При изучении особенностей поведения квазипоперечных волн использовалась не система уравнений нелинейной теории упругости, а приближенная упрощенная система, состоящая из двух гиперболических уравнений, описываюшая распространение двух взаимодействующих между собой квазипоперечных волн Эта система справедлива, когда волны, связанные с другими семействами характеристик достаточно малы Вывод этой системы получен в работе А Г Куликовского [21] и дается в приложении 1 Решения упрощенной системы уравнений тем меньше отличаются от решений системы уравнений теории упругости, чем меньше амплитуда рассматриваемых волн Упрощенные уравнения - это аналог уравнений Хопфа в случае, когда описываемые возмущения связаны не с одним, а с двумя семействами характеристик

В приложении 1 (п 6 3) указываются условия подобия одномерных решений нелинейной теории упругости для одномерных задач с малыми возмущениями и доказывается, что обнаруженная неединственность

может иметь место в исходно изотропной однородной среде при сколь угодно малых отклонениях от ненапряженного состояния

Приложение 2. В приложении 2 приведены результаты работы А Г Куликовского и Е И. Свешниковой [2], в которой обоснованы причины неединственности решений системы уравнений нелинейной теории упругости и сформулировано достаточное условие неединственности или несуществования решений произвольной гиперболической системы, выражающей законы сохранения

Приложение 3. В данном приложении описаны разностные схемы нелинейных уравнений теории упругости и методы решения систем алгебраических уравнений, к которым сводятся эти разностные схемы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Главные результаты диссертации заключаются в подробном исследовании проблемы неединственности решений уравнений нелинейной теории упругости Эта неединственность была обнаружена ранее для ряда автомодельных задач, решения которых строились из волн Ри-мана уравнений нелинейной теории упругости и разрывов, имеющих стационарную структуру, при тех или иных предположениях относительно процессов, происходящих внутри структуры

В диссертации проведено подробное численное исследование неавтомодельных задач для уравнений нелинейной теории упругости с введенными в них членами, учитывающими вязкость или одновременно вязкость и дисперсию, асимптотика решений которых при больших временах должна представляться одним из множества упомянутых выше автомодельных решений (без вязкости и дисперсии). В случае неединственности автомодельных решений такое исследование может дать основание для выбора автомодельного решения при тех или иных дополнительных условиях В этом направлении получены следующие результаты

1. В случае, когда уравнения нелинейной теории упругости дополнены вязкими членами (вязко-упругая среда Кельвина-Фойхта), при рассмотрении задач связанных с распространением слабонелинейных квазипоперечных волн при наличии малой анизотропии показано, что асимптотический выход решений уравнений, описывающих эти волны, на то или иное автомодельное решение задачи о "поршне" (автомодельных решений может быть два) или задачи о распаде произвольного разрыва (автомодельных решений может быть четыре) зависит от функций, задающих сглаживание разрыва в начальных или граничных условиях На качественном уровне выяснено, какое сглаживание начального разрыва приводит к той или иной автомодельной асимптотике Исследованы результаты взаимодействия ударных волн с учетом их структур и указан тип возникающей асимптотики Продемонстрирована устойчивость по отношению к одномерным возмущениям конечной амплитуды структур ударных волн, а также устойчивость по отношению к двумерным возмущениям структуры ударной волны, названной метастабиль-ной, устранение которой из множества допустимых разрывов могло бы привести к единственности решений Таким образом, выяснено, что в автомодельной (гиперболической) постановке отсутствует возможность в общем случае сделать однозначный выбор между автомодельными решениями задач нелинейной теории упругости, хотя в частном случае взаимодействия ударных волн тип возникающего асимптотического решения в диссертации указан

2. В случае, когда уравнения нелинейной теории упругости дополнены членами, ответственными за вязкость и дисперсию (одна из моделей композита) и рассматриваются квазипоперечные слабонелинейные волны при малой анизотропии, число возможных решений автомодельных задач, которые строятся из волн Римана и разрывов, имеющих структуру, зависит от соотношения между коэффициентами дисперсии и вязкости и может быть большим Множественность решений связана

с существованием имеющих структуру особых разрывов, на которых кроме соотношений, вытекающих их законов сохранения, должны выполняться дополнительные соотношения.

Проведенные в диссертации численные исследования неавтомодельных задач для уравнений в частных производных, учитывающих дисперсию и вязкость, привели к следующим результатам относительно возникающих при больших временах автомодельных асимптотик При подходящем подборе функций, задающих сглаживание разрыва в начальных данных, возможно осуществление любого из автомодельных решений задачи о распаде произвольного разрыва как асимптотики неавтомодельной задачи Если сглаживающие функции монотонны, то в качестве асимптотик возникают решения, содержащие особые разрывы с простейшими структурами Структуры ударных волн и особых разрывов устойчивы по отношению к возмущениям конечной амплитуды

Так же как в случае 1, гиперболическая модель, основанная на уравнениях нелинейной теории упругости и допустимых разрывах, имеющих структуру, в которой существенны эффекты вязкости и дисперсии, не дает оснований для выбора определенного автомодельного решёния из имеющегося множества автомодельных решений

3. При распространении продольных волн по вязкоупругому стержню со сложной нелинейностью и естественной дисперсией (связанной с ограниченностью размеров стержня) гиперболическая модель, основанная на упругих волнах Римана и разрывах со стационарной структурой, приводит как и в случае 2 к множественной неединственности, связанной с существованием особых разрывов

Проведенное в диссертации численное исследование неавтомодельных задач для уравнений в частных производных, описывающих продольные волны в вязко-упругом стержне, как и в предыдущих случаях показало, что с ростом времени решение задачи с начальными

данными в виде сглаженной ступеньки стремится к асимптотическим формам, состоящим из разрывов и непрерывных частей, где вязкость и дисперсия несущественны Распоряжаясь функцией, задающей сглаживание ступеньки, оказывается возможным получить в качестве асимптотики любое из упомянутых выше автомодельных решений Однако, если сглаживающая функция монотонна, то в качестве асимптотики не образуются автомодельные решения с особыми разрывами, имеющими сложную стационарную структуру, а реализуется автомодельное решение, содержащее особый разрыв с простейшей стационарной структурой В тех случаях, когда ступенька такова, что решение, содержащее особый разрыв с простейшей стационарной структурой, отсутствует, возникает решение, состоящее из одного разрыва с нестационарной структурой в которой происходят внутренние периодические колебания

Таким образом, как и в случаях 1 и 2, гиперболическая модель для волн в стержне не способна выделить единственное решение из множества возможных автомодельных решений задачи о распаде произвольного разрыва Новым, по сравнению со случаями 1 и 2, в задаче о распространении продольных волн в упругом стержне со сложной нелинейностью является существование разрывов с нестационарной колебательной структурой Разрывы с нестационарной колебательной структурой должны быть включены в множество допустимых разрывов

4. Во всех изученных случаях получено множество численных решений, которые дают представление о строении и свойствах возникающих волновых картин в упругих средах, что может оказаться полезным при исследовании различных задач нелинейной теории упругости В частности, могут представлять интерес результаты расчета распада метастабильной ударной волны при взаимодействии с волной Римана достаточно большой интенсивности Результаты также могут оказаться полезными при изучении волновых явлений в других моделях сплош-

ных сред, поскольку многие из выявленных характерных особенностей поведения решений не связаны со спецификой теории упругости, а относятся ко многим моделям с достаточно сложной гиперболической частью, допускающей распространение по заданному состоянию не менее трех различных разрывов с одной и той же скоростью

5. Вывод о том, что выход неавтомодельного решения на ту или иную асимптотику регулируется деталями постановки неавтомодельной задачи, которые отсутствуют в автомодельной постановке, необходимо учитывать при разработке численных методов Это означает, что если, например, требуется в рамках гиперболической модели рассчитать какой-то процесс, в котором по мере его развития возникают произвольные разрывы (например, при столкновении ударных волн), то имеется две возможности Либо процесс распада этих разрывов следует каждый раз рассчитывать как неавтомодельную асимптотику для уравнений, усложненных учетом мелкомасштабных явлений, либо, может быть в ряде случаев удастся путем классификации условий возникновения произвольных разрывов и соответствующего численного эксперимента заранее предсказать, каков будет результат распада в изучаемых процессах

Пример последнего подхода продемонстрирован при рассмотрении задачи о взаимодействии ударных волн (представленных их вязкими структурами), когда выяснен тип автомодельного решения, возникающего как асимптотика неавтомодельного решения

Выражаю глубокую благодарность моему учителю академику Андрею Геннадьевичу Куликовскому за внимание, помощь и многолетнее сотрудничество

Список литературы

[1] Куликовский А Г, Свешникова Е И Нелинейные волны в упругих средах М Моек Лицей 1998 412 с

[2] Куликовский А Г, Свешникова Е И Признак несуществования и неединственности решений автомодельных задач механики сплошной среды ПММ 2001 Т 65 Вып 6 С 971-982

[3] Куликовский А Г, Гвоздовская НИ О влиянии дисперсии на множество допустимых разрывов в механике сплошной среды Труды МИАН 1998 Т223 С 63-73

[4] Левин В А , Марков В В, Журавская ТА, Осинкин С Ф Нелинейные волновые процессы при инициировании и распространении газовой детонации Труды МИАН 2005 Т 251 С 200-214

[5] Буренин А А , Рагозина ВЕК построению приближенных решений краевых задач ударного деформирования Известия РАН МТТ 2006 №6

[6] Галин Г Я Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния Доклады АН СССР 1958 Т 119 №6 С 1106-1109

[7] Олейник ОАО единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения УМН 1959 Т 14 № 2(86) С 159-164

[8] Галин Г Я К теории ударных волн Доклады АН СССР 1959 Т 127 № 1 С 55-58

[9] Гельфанд И.М Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений УМН 1959 Т14 №2(86) С 87-158

[10] Зельдович Я Б, Баренблатт Г И, Либрович В Б , Махвиладзе Г М Математическая теория горения и взрыва М Наука 1980 487с

[11] Бармин А А , Куликовский А Г Об ударных волнах, ионизующих газ, находящийся в электомагнитном поле Доклады АН СССР 1968 Т 178 № 1 С 55-58

[12] Куликовский А Г О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами Волны рекомбинации ПММ 1968. Т 32 Вып 6 С 1125-1131

[13] Куликовский А Г, Погорелое Н В, Семенов А Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений М Физматлит, 2001 607 с

[14] Годунов С К О неединственности "размазывания" разрывов в решениях квазилинейных систем Доклады АН СССР 1961 Т 136 №2 С 272-273

[15] Дьяченко В Ф К задаче Коши для квазилинейных систем Доклады АН СССР 1961 Т 136 № 1 С 16-17

[16] Введенская Н Д Пример неединственности обобщенного решения квазилинейной системы уравнений Доклады АН СССР 1961 Т 136 № 3 С 532-534

[17] Бармин А А , Успенский В С. Развитие пульсационных режимов в одномерных нестационарных МГД-течениях с выключением электропроводности. Известия АН СССР МЖГ 1986 Т 21 №4

[18] Бленд Д Р Нелинейная динамическая теория упругости. М Мир 1972 183 с

[19] Седов Л И Механика сплошной среды М Наука 1994 т 2 560 с

[20] Куликовский А Г, Любимов ГА. Магнитная гидродинамика М Логос 2005 325 с

[21] Куликовский А Г Об уравнениях, описывающих распространение нелинейных квазипоперечных волн в слабоанизотропном упругом теле ПММ 1986 Т 50 Вып 4 С 597-604

[22] Lax, Р D Hyperbolic systems of conservation laws Comm Pure Appl Math 1957 V 10 P 537-566

[23] Рождественский Б JI, Яненко Н Н Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике М Наука 1978 687 с

[24] Бахвалов Н С, Эглит М 9 Эффективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах Доклады РАН 2000 Т370 MC 1-4

[25] Релей Д В Теория звука М Гостехиздат 1955

[26] Куликовский А Г О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов Доклады АН СССР 1984 Т 275 №6 С 1349-1352

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

27. Чугайнова АЛО формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве Прикладная математика и механика 1988 Т 52 Вып 4 С 692-697

28. Чугайнова А П О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границу упругого полупространства Известия АН СССР Механика твердого тела 1990 Т 25 № 3 С 187-189

29. Чугайнова А П О взаимодействии нелинейных волн в слабоанизотропной упругой среде Прикладная математика и механика 1993 Т 57 Вып 2 С 149-156

30. Чугайнова А П О перестройке нелинейной упругой волны в среде с малой анизотропией Известия РАН Механика твердого тела 1993 Т 28 Вып 5 С 75-81

31. Гвоздовская НИ, Куликовский А Г, Свешникова Е И, Чугайнова А П Нелинейные волны в твердых телах Вестник Московского университета Серия 1 Математика, механика 1996 Вып 6 С 12-19

32. Куликовский А.Г, Чугайнова А П Исследование распада нелинейной волны в вязкоупругой среде при взаимодействии с неоднород-ностями фона Отчет Института Механики МГУ №4472 1996г 63с

33. Куликовский А Г, Чугайнова А.П Об условиях распада нелинейной волны в вязкоупругой среде Журнал вычислительной математики и математической физики 1998 Т 38, № 2 С 315-323

34. Чугайнова А П. О существовании инвариантов Римана в одномерных уравнениях нелинейной теории упругости Прикладная математика и механика 1999 Т 63 Вып 4 С 655-661

35. Куликовский А.Г, Чугайнова А П Об устойчивости квазипоперечных ударных волн в анизотропных упругих средах Прикладная математика и механика 2000 Т 64 Вып 6 С 1020-1026

36. Куликовский А Г, Свешникова Е И, Чугайнова А П О неединственности решений нелинейной теории упругости В сб Модели механики сплошной среды Материалы XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 27 июня - 3 июля 2002 г) Труды математического центра им Н И Лобачевского Том 16 Стр 6-25

37. A G Kuhkovskii, А Р Chugamova, ЕI Sveshnikova Methastable Shock Waves m the Problems of Nonlinear Elasticity Theory Abstracts 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics August 1923,2002, Moscow, Russia, pp 20-21

38. Куликовский А Г, Чугайнова А П Об устойчивости к двумерным возмущениям метастабильной ударной волны в вязкоупругой среде Прикладная математика и механика 2002 Т 66 Вып 1 С 109117

39. Куликовский А Г, Чугайнова А П. Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений Журнал вычислительной математики и математической физики 2004 Т 44 №6 С 1119-1126

40. Куликовский А Г, Свешникова Е И, Чугайнова А П Некоторые проблемы нелинейной динамической теории упругости Труды Математического института им В А Стеклова РАН 2005 Т 251 С 173-199

41. A G Kulikovskn, АР. Chugamova, EI Sveshmkova On the nonuniqueness of solutions to the nonlinear equations of elasticity theory Journal of Engineering Mathematics 2006 Volume 55, Numbers 1-4 / August pp 97-110

42. Чугайнова А П Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией Теоретическая и математическая физика 2006 Т 147 №2 С 240-256

43. Чугайнова А П Автомодельные асимптотики волновых задач и структуры неклассических разрывов в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией Прикладная математика и механика 2007 Т 71 Вып 5 С 775-787

44. Куликовский А Г, Чугайнова А.П Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией Современные проблемы математики МИАН 2007 Вып 7 150 с

45. Куликовский А Г, Чугайнова А П Влияние эффектов мелкомасштабных дисперсии и диссипации на формирование автомодельных решений крупного масштаба В сборнике Информатика неограниченные возможности и возможные ограничения Современные проблемы исследования быстропротекающих процессов и явлений катастрофического характера К 75-летию В П Коробей-никова Москва Наука 2007 С 62-74

Подписано в печать 24 08 2007 г Исполнено 27 08 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 638 Тираж ЮОэкз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 www autoreferat.ru

0.1 Введение.

1 Глава 1.

Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах.

1.1 Волны Римана.

1.2 Ударные волны.

1.3 Автомодельные задачи и неединственность решения.

2 Глава 2.

Нелинейные волны в вязкоупругих средах и проблемы устойчивости ударных волн.

2.1 Структура квазипоперечных ударных волн.

2.2 Одномерные нестационарные решения. Описание решений в условиях неединственности автомодельных асимптотик.

2.3 Взаимодействие нелинейных волн в слабоанизотропной среде.

2.4 Перестройка нелинейной упругой волны в среде с малой анизотропией.

2.5 Исследование устойчивости структуры ударных волн в вязкоупругой среде при взаимодействии с одномерными неоднородностями.

2.6 Устойчивость быстрых квазипоперечных ударных волн.

2.7 Устойчивость к двумерным возмущениям метастабильной ударной волны в вязкоупругой среде.

3 Глава 3.

Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией.

3.1 Структура разрывов.

3.2 Неединственность решений автомодельной волновой задачи.

3.3 Построение автомодельных асимптотик в области неединственности как предела нестационарных решений системы уравнений в частных производных.

3.4 Выводы.

4 Глава 4.

Неклассические разрывы при распространении продольных волн в вязко-упругих стержнях со сложной нелинейностью.

4.1 Разрывы со стационарной структурой.

Задача о распаде произвольного разрыва.

4.2 Описание численных экспериментов.

4.3 Выводы.

Проблема адекватного математического описания нелинейных волн в сплошных средах с учетом влияния реальных факторов является одной их центральных в механике. Потребности практики приводят к необходимости использования все более сложных математических моделей, учитывающих комплексное взаимодействие разнообразных процессов, происходящих в сплошной среде. Классические модели, использовавшиеся при изучении волн, усложняются путем включения в рассмотрение новых физических эффектов. Исследование поведения таких сложных сред, описываемых системами уравнений высокого порядка, требует развития новых методов и средств анализа.

Во многих случаях основной вклад в развитие нелинейных волновых процессов в сплошных средах вносят крупномасштабные возмущения, эволюция которых может быть описана, как правило, нелинейными гиперболическим уравнениями. Влияние мелкомасштабных процессов, таких как дисперсия и диссипация, проявляется в узких высокоградиентных зонах, моделируемых в рамках гиперболических уравнений поверхностями разрыва основных параметров течения.

Существенным этапом исследования является необходимый во многих случаях выход за рамки гиперболических уравнений и использование усложненных уравнений с целью изучения структуры разрывов и для выбора единственного решения в случае, когда решения гиперболической системы неединственны.

Предлагаемая работа посвящена изучению задач, связанных с распространением одномерных нелинейных волн в упругих средах при различных дополнительных предположениях относительно процессов, происходящих в структуре ударных волн и в других высокоградиентных слоях. Обнаружено сложное поведение решений, содержащих разрывы, во многом не совпадающее с поведением нелинейных волн в других ранее исследованных случаях. Обнаруженные особенности решений не связаны с какой-либо спецификой уравнений теории упругости, а являются общим случаем для достаточно сложных гиперболических систем уравнений.

Уравнения нелинейной теории упругости относятся к классу гиперболических систем, выражающих законы сохранения. Ввиду этого в решениях возникают особенности, приводящие к образованию разрывов на которых должны выполняться граничные условия в виде равенств, следующие из законов сохранения, связывающие искомые функции по разные стороны разрыва. Если не предполагается выполнения других соотношений на разрыве, отличных от законов сохранения, то разрыв при выполнении некоторых неравенств, выражающих условие неубывания энтропии и корректности граничных условий на разрыве, будем называть классическим или ударной волной. В ряде случаев оказывается необходимым рассмотрение и введение в решения задач неклассических, особых разрывов, на которых кроме соотношений, следующих из законов сохранения, должны выполняться также некоторые дополнительные соотношения.

Известно, что существуют гиперболические системы уравнений, такие, что построение решений автомодельных задач с использованием непрерывных решений и ударных волн оказывается неоднозначным см., например, [1-3]). Неоднозначность с "гиперболической" точки зрения имеет место также при построении решений автомодельных задач, связанных с распространением особых разрывов, свойства которых заведомо не определяются только законами сохранения. Для выделения единственных, физически обоснованных решений гиперболическая система уравнений дополнялась членами, которые пренебрежимо малы в областях, где изменение решений характеризуется некоторым большим или конечным пространственным масштабом Ь, а в узких областях, ширины много меньше Ь, оказывают существенное влияние на решение, делая его непрерывным. Такую систему уравнений будем называть расширенной или полной системой уравнений. Разрывам в решениях гиперболических систем уравнений соответствуют узкие переходные зоны в решениях полных систем уравнений. Решение полной системы уравнений внутри переходной зоны называется структурой разрыва. Требование существования структуры разрывов приводит к выделению разрывов, которые часто рассматриваются как реально существующие [4].

К особым разрывам относятся хорошо известные фронты горения в газах [5], которые распространяются по горючей смеси так, что относительная скорость газа с обеих сторон от фронта меньше скорости звука. В качестве дополнительного условия на фронте обычно задается скорость фронта по отношению к газу перед фронтом. Эта скорость теоретически определяется как условие существования структуры фронта горения с учетом химической кинетики, теплопроводности и вязкости. Известны и другие задачи, в решениях которых существенную роль играют особые разрывы. В частности, исследованы разрывы, требование существования структуры которых приводит к нескольким дополнительным условиям, как, например, это имеет место, если газ, проходя через разрыв, приобретает или теряет электропроводность в присутствии магнитного поля [6-8].

Если известно, что особые фронты не входят в решение, то требование существования структуры у используемых разрывов в ряде случаев приводит к отбрасыванию некоторой части ударных волн, в результате чего решение задачи может стать единственным, как это показано в [2,3]. При этом может оказаться, что требование допустимости выделяет то или иное множество разрывов в зависимости от мелкомасштабных процессов, которые тем самым определяют решение задач в целом. Это было продемонстрировано на примерах [9,10], а в [11] приведен пример гиперболической системы, для которой требование допустимости разрывов не приводит к единственности решений.

Во всех перечисленных случаях проводился выход за рамки гиперболической системы уравнений, причем добавляемые в эти уравнения члены существенно влияли на множество допустимых разрывов и их свойства, и, следовательно, и на решения задач в целом. Поэтому оказывается недостаточным знание только вида гиперболических уравнений, а требуется знание полной системы уравнений, которая описывает, как крупномасштабные, так и мелкомасштабные явления. Однако, при рассмотрении явлений с точки зрения крупного масштаба, часто бывает достаточно меньшего объема дополнительных сведений. Например, как уже упомянуто, в задачах с фронтами горения достаточно знания скорости этих фронтов. Будем называть гиперболической моделью гиперболическую систему уравнений для описания непрерывных решений и множество разрывов, которые могут использоваться при построении решений. Эти разрывы будем называть допустимыми.

Множество допустимых разрывов для одной и той же гиперболической системы уравнений может определяться различным образом, порождая разные гиперболические модели. В идеале множество допустимых разрывов совпадает с множеством разрывов, которые могут физически осуществляться. Однако, последнее не всегда заранее известно. Уже упоминалось, что во многих случаях множество допустимых разрывов определяется, как множество разрывов, которым соответствует решение задачи о структуре в рамках некоторой полной системы уравнений. При этом обычно дополнительно считается, что структура одномерна и стационарна, то есть представляется бегущей волной. Такой подход к определению множества допустимых разрывов будет использоваться ниже в этой работе. Однако, в главе 4 будет показано, что при определенных условиях структура разрывов не представляется бегущей волной, а в ней происходят внутренние периодические колебания. Внутренние колебания и неодномерность движения внутри структуры ранее изучались в других задачи механики сплошных сред и, в частности, в теории горения и детонации [12-17].

Излагаемые ниже результаты относятся к проблеме нелинейных волн в упругих средах и могут иметь, таким образом, прикладное значение. Уравнения нелинейной теории упругости [18, 19] представляют собой квазилинейную гиперболическую систему уравнений в частных производных, выражающую законы сохранения массы, импульса и энергии. Если в среде помимо упругих имеются также вязкие напряжения, то система приобретает свойства параболичности. Оказалось, что многие, упомянутые выше, особенности поведения решений уравнений, выражающих законы сохранения, присущи уравнениям нелинейной теории упругости. В тех случаях, когда в мелкомасштабных явлениях проявляются эффекты дисперсии, обнаружены новые свойства решений, которые, несомненно, имеют место для других систем уравнений, мелкомасштабные явления в которых включают в себя диссипацию и дисперсию. Наибольший интерес представляют задачи, для которых гиперболичкская модель дает неединственное решение. Эти случаи подробно исследованы в предлагаемой работе с помощью численного построения решений полных систем уравнений с частными производными с выявлением гиперболических асимптотик.

В изотропных упругих средах волны малых возмущений, рассматриваемые в линейном приближении, делятся на продольные и поперечные [18,19]. В продольных волнах движение среды происходит по нормали к фронту волны, а в поперечных - в направлениях, параллельных фронту. Если нелинейность и анизотропия среды малы, то свойства волн меняются мало. В продольных волнах появляется малая поперечная составляющая движения, а в поперечных - малая продольная. Такие волны называются соответственно квазипродольными и квазипоперечными. Как было выяснено в [21] (см. также [8]), наиболее интересное поведение уже в случае малой нелинейности проявляют квазипоперечные волны. Ниже, в главах 1-3, дается обзор результатов исследования нелинейных квазипоперечных волн малой амплитуды в упругих и вязко-упругих слабоанизотропных средах. Глава 4 посвящена изучению распространения нелинейных продольных волн в стержнях, когда существенны эффекты дисперсии.

Свойства упругой среды определяются зависимостью ее внутренней энергии от деформации и энтропии. Ввиду предполагаемой малости деформаций внутренняя энергия представляется всюду в дальнейшем в виде многочлена по деформациям, причем в разложении по деформациям учитывались члены до четвертой степени включительно. Среда предполагалась слабоанизотпропной и свойства анизотропии в силу ее малости учитывались лишь в квадратичных членах. Эта модель используется всюду ниже при рассмотрении квазипоперечных волн.

В главе 1 показано, что при наличии общего типа малой анизотропии свойств среды, имеющей место в плоскостях постоянной фазы (<волновой анизотропии), поведение нелинейных квазипоперечных волн, а также решений начально-краевых задач качественным образом отличается от случаев, когда такая анизотропия отсутствует как это имеет место в магнитной гидродинамике [20] или в частных случаях в упругой среде [18]. Важно заметить, что наличие анизотропии в упругой среде может рассматриваться как случай общего положения, поскольку она проявляется и в исходно изотропной среде, подвергнутой предварительной деформации. В пунктах 1.1 и 1.2 приведены результаты исследований поведения волн Римана и ударных волн в такой среде. В пункте 1.3 проведен анализ автомодельной задачи о волнах в нелинейно-упругом полупространстве, возбуждаемых внезапным изменением касательных напряжений на границе. Такую задачу часто называют задачей о поршне. Анализ проводился в предположении, что допустимые разрывы это ударные волны.

Одной из основных особенностей нелинейной теории упругости является неединственность решений задач [21] (см. также [8]). Упомянутая задача о поршне может иметь два решения в некоторой области задаваемых параметров. Решения этих задач строились из автомодельных волн Римана и ударных волн, то есть разрывов, удовлетворяющих условиям корректности Лакса [22] (условиям корректности или эволюцион-ности, в предположении, что соотношения на разрывах представлены только законами сохранения).

При изложении результатов в главы 1 использовалась не система уравнений теории упругости, а приближенная упрощенная система, состоящая из двух гиперболических уравнений, описывающая распространение двух взаимодействующих между собой квазипоперечных волн. Эта система справедлива, когда волны, связанные с другими семействами характеристик достаточно малы. Вывод этой системы дается в Приложении 1. Решения упрощенной системы уравнений тем меньше отличаются от решений системы уравнений теории упругости, чем меньше амплитуда рассматриваемых волн. Упрощенные уравнения - это аналог уравнений Хопфа в случае, когда описываемые возмущения связаны не с одним, а с двумя семействами характеристик. Автомодельная задача, изученная в п. 1.3, - это одновременно задача о распаде произвольного разрыва для обсуждаемой системы уравнений. Решение задачи о распаде произвольного разрыва для системы уравнений теории упругости содержит две системы квазипоперечных волн, распространяющихся в разные стороны. Число решений этой задачи может достигать четырех [21].

В главах 2 и 3 используются расширенные системы уравнений, описывающие распространение квазипоперечных волн малой амплитуды в одну сторону, причем в главе 2 эта система снабжается членами, описывающими влияние вязкости, а в главе 3 - влияние вязкости и дисперсии. Эти системы могут рассматриваться как аналоги уравнений Бюргерса и Кортевега-де Фриза- Бюргерса.

В Приложении 1 (п. 6.3) указываются условия подобия одномерных решений нелинейной теории упругости для одномерных задач с малыми возмущениями и доказывается, что обнаруженная неединственность может иметь место в исходно изотропной однородной среде при сколь угодно малых отклонениях от ненапряженного состояния.

В Приложении 2 установлены причины неединственности решений системы уравнений нелинейной теории упругости и получено легко проверяемое достаточное условие неединственности или несуществования решений произвольной гиперболической системы, выражающей законы сохранения.

В главе 2 (см. также Приложение 1) в уравнения движения добавлены члены, описывающие вязкие напряжения (модель упруго-вязкой среды Кельвина-Фойхта) и используется система уравнений для квазипоперечных волн, распространяющихся в одну сторону. В пункте 2.1 изучена стационарная структура разрывов, то есть структура, которая представляется бегущей волной. Показано, что разрывам, удовлетворяющим условиям Лакса, соответствуют решения, представляющие их упруго-вязкую структуру и что нет других разрывов со структурой. Таким образом, исследование вязкой структуры ударных волн не привело к сокращению множества допустимых разрывов, использовавшихся в п. 1.3 для построения решений, и к единственности решений автомодельных задач.

В пункте 2.2 представлены результаты численного решения неавтомодельных задач о поршне с неединственной автомодельной асимптотикой. Если решается система уравнений в частных производных с учетом вязкости в случае, когда граничные условия меняются в течение конечного интервала времени, а затем остаются неизменными, то при больших временах можно ожидать формирование автомодельной асимптотики. Численные эксперименты показали, что может реализовываться любое из имеющихся автомодельных решений, и качественно описано при каких условиях (то есть функциях задающих изменение граничных условий) какая автомодельная асимптотика возникает. Если величину вязкости устремить к нулю, то интервал времени, в течении которого следует определенным образом менять граничные условия для формирования автомодельной асимптотики того или иного типа, можно также устремить к нулю. В пределе при вязкости, обращающейся в нуль, не остается критерия для выбора автомодельного решения.

Еще одна группа вопросов, ответы на которые могли бы привести к выделению единственного решения автомодельных задач в гиперболической постановке, - это изучение устойчивости волн, входящих в автомодельные решения. Одна из ударных волн вызывает особые подозрения. Если состояния впереди и сзади этой ударной волны задать как начальные условия в задаче о распаде произвольного разрыва, то в последующее время с гиперболической точки зрения возможны два решения. Эта волна либо продолжит свое существование, либо она распадется и далее решение будет представлено некоторой системой волн, имеющих различные скорости.

В связи с этим в главе 2 рассмотрены задачи о взаимодействии ударных волн между собой (п. 2.3) и с неоднородностями фона (п. 2.5, п. 2.7). Рассматривались задачи, когда одна ударная волна догоняет другую, причем обе ударные волны представлялись своими стационарными структурами. Также изучались задачи о встречном столкновении ударных волн. Во всех случаях, когда после взаимодействия ударных волн с гиперболической точки зрения существовало решение с "подозрительной" ударной волной, результатом численного эксперимента было формирование при больших временах решения именно с такой асимптотикой. При взаимодействии с неоднородностями фона "подозрительная" ударная волна, представленная своей стационарной структурой, проявляла незаурядную устойчивость (п. 2.5). Её распад происходил только при взаимодействии с достаточно большими и протяженными возмущениями фона. Это позволяет квалифицировать эту ударную волну как метастабилъную.

В пункте 2.7 рассмотрена двумерная устойчивость упомянутой выше метастабильной ударной волны по отношению к двумерным возмущениям. Слабые ударные волны эффективно взаимодействуют только с возмущениями, имеющими близкую ориентацию, то есть слабо зависящими от тангенциальной координаты. Исследование таких решений было проведено с помощью выведенных в [24] простых уравнений, аналогичных известным уравнениям Хохлова-Заболотской и Кадомцева-Петвиашвили. В отличие от последних, в рассматриваемом случае - это система двух уравнений. Численно строились решения с начальными данными, периодическими по переменной вдоль фронта. Часть этого фронта представляла невозмущенную стационарную структуру ударной волны, а другая часть - результат её необратимого распада на систему волн, взятую из решения одномерной задачи. Оказалась, что если отрезок невозмущенного фронта достаточно велик, то невозмущенная структура восстанавливается всюду. Таким образом, взаимодействие с неодномерными возмущениями подтвердило квалификацию изучаемой ударной волны как метастабильной и, следовательно, имеющей право на существование. Заметим, что в ряде работ (см., например, [23]) метастабильные разрывы считаются нереализующимися. Этим предположением достигается единственность решений задач, которая, как показали упомянутые выше исследования, отсутствует, если рассматривать гиперболическую модель среды, как предел вязко-упругой при характерном масштабе Ь —» оо (или, что то же самое, при вязкости, стремящейся к нулю).

В пункте 2.4 аналитически и численно изучается явление, имеющее место при взаимодействии ударной волны с догоняющей её волной Ри-мана. При определенных условиях происходит распад ударной волны и образование на её месте некоторой определенной системы волн.

В пункте 2.6 в линейном приближении исследуется устойчивость квазипоперечных ударных волн по отношению к произвольно ориентированным возмущениям. Показано, что быстрые квазипоперечные ударные волны устойчивы.

Главы 3 и 4 посвящены изучению нелинейных волн в упругих средах, в которых в мелкомасштабных процессах наряду с диссипацией большое значение имеет дисперсия. Как известно, дисперсионные эффекты возникают в уравнениях, описывающих волны в упругих композитах [25]. Кроме того, дисперсия характерна для волн, распространяющихся в стержнях [26]. Вообще, дисперсионные эффекты появляются, когда свойства изучаемых объектов характеризуются или некоторым линейным размером, или характерным временем.

Как было показано [27], влияние мелкомасштабной дисперсии (наряду с вязкостью) приводит к колебаниям в стационарных структурах ударных волн (которые рассматриваются как бегущие волны). Если состояние за ударной волной, движущейся по заданному состоянию с заданной скоростью, не определяется законами сохранения однозначно (что характерно для не слишком простых гиперболических уравнений), то наличие колебаний в стационарных структурах кардинально меняет множество допустимых разрывов. Действительно, как показано в главах 3 и 4, интегральная кривая уравнений, описывающих стационарную структуру разрыва, вышедшая из особой точки, соответствующей состоянию перед разрывом, за счет влияния дисперсии испытывает колебания, прежде чем приходит в особую точку, соответствующую одному из возможных состояний за разрывом. Если этих колебаний много, то достаточно малого изменения параметров, например, скорости разрыва, чтобы колебания закончились в другой особой точке, соответствующей другому возможному состоянию за разрывом. При промежуточном значении скорости интегральная кривая приходит в третью особую точку, также соответствующую состоянию за разрывом. Интегральные кривые, входящие в нее, образуют линию или поверхность, разделяющие множества интегральных кривых, входящих в упомянутые выше первые две особых точки. Поскольку приход интегральной кривой в эту особую точку возможен только при выделенных значениях скорости разрыва, то соответствующий разрыв является особым разрывом. Описанные особенности поведения структуры разрывов приводят к распаду множества допустимых разрывов на много частей, число которых тем больше, чем больше относительное влияние дисперсии в мелкомасштабных явлениях по сравнению с диссипацией. Кроме того, появляются приблизительно в том же количестве особые разрывы.

В главе 3 исследуются нелинейные волны в одной из моделей упругого композита. Гиперболическая часть выбирается такой же, как в предыдущих главах. Для описания мелкомасштабных явлений в качестве диесипативных членов, как и в главе 2, взяты вязкие члены, а в качестве дисперсионных членов - дисперсионные члены с производными по координате второго, самого низкого порядка дифференцирования, из модели, описывающей волны в композите [25]. Аналитически и численно исследованы стационарные структуры разрывов и на этом основании исследовано множество допустимых разрывов (п. 3.1).

Показано, что с помощью допустимых разрывов и волн Римана можно построить множество решений одной и той же автомодельной задачи, таких как задача о распаде произвольного разрыва и автомодельная задача о распространении волн в полупространстве (задача о "поршне"). Число особых разрывов и, как следствие, число возможных решений автомодельной задачи неограниченно растет вместе с ростом относительного влияния дисперсии по сравнению с диссипацией (п. 3.2).

Для выявления единственного физически обоснованного решения исследовались решения задачи для полной системы уравнений с учетом вязкости и дисперсии с начальными данными в виде различным образом сглаженных ступенек. При этом численно строились нестационарные решения полной системы уравнений в частных производных с целью нахождения автомодельных асимптотик при больших временах и изучения зависимости реализующейся асимптотики от вида функций, задающих сглаживание ступеньки. Показано, что если не накладывать никаких ограничений на эти функции, то можно реализовать любую асимптотику. Если ограничиться монотонными функциями, сглаживающими ступеньку, то можно выделить две комбинации волн, возникающие в заданных граничных условиях (п. 3.3). Эти комбинации содержат особые разрывы с простейшими структурами. Структуры других особых разрывов имеют более сложное строение и эти разрывы возникают в решениях при более сложном задании сглаживающих функций.

Похожие результаты дает проведенное в главе 4 исследование продольных нелинейных волн в упругом стержне со сложной нелинейностью. Нелинейные волны малой амплитуды описываются уравнением, отличающимся от уравнения, ранее изучавшимся в [2], наличием члена с третьей производной от неизвестной функции, обеспечивающего дисперсионные эффекты. Сложная нелинейность создает условия для существования трех различных ударных волн, распространяющихся по одному и тому же состоянию с одной и той же скоростью. Мелкомасштабная дисперсия, если ее влияние велико в сравнении с вязкими эффектами, приводит к тому, что стационарная структура разрывов приобретает колебательный характер. При этом, так же, как и в главе 3, множество допустимых разрывов приобретает сложное строение и появляются особые разрывы. Так же, как и в главе 3, гиперболическая модель, приводит к многократной неединственности решений.

Численные решения задач с начальными данными в виде сглаженной ступеньки показали, что можно так выбрать функцию, задающую сглаживание, что происходит выход решения на асимптотику, представляющую любое из автомодельных решений гиперболической модели. Однако, если сглаживание начальных условий монотонно, то возникает асимптотика, содержащая особый разрыв с простейшей монотонной структурой во всех случаях, в которых существует соответствующее автомодельное решение (наряду с другими). В отличие от задач главы 3, решение с таким особым разрывом существует не при любых условиях при х = ±оо. В тех случаях, когда такое решение отсутствует, а существуют решения с особыми разрывами, имеющими более сложные стационарные структуры, осуществляется совсем другая асимптотика, состоящая из одной ударной волны с нестационарной структурой, внутри которой происходят незатухающие со временем периодические колебания.

Таким образом, в предлагаемой работе проанализированы процессы распространения квазипоперечных волн малой амплитуды в нелинейно упругих средах при двух различных предположениях о характере мелкомасштабных процессов. В случае, когда эти процессы представлены вязкостью, автомодельная задача о поршне в некоторой области задаваемых параметров имеет два решения, которые строятся с использованием непрерывных решений гиперболических уравнений и разрывов, имеющих стационарную структуру. В случае, когда в мелкомасштабных процессах большую роль играет дисперсия, это кардинально меняет множество допустимых разрывов, а у автомодельных задач, при построении решений которых используются допустимые разрывы, появляется много решений. Аналогичными свойствами обладают продольные волны в упругих стержнях со сложной нелинейностью.

С помощью построения численных решений уравнений в частных производных, учитывающих мелкомасштабные процессы, проанализирован процесс выхода решений на ту или иную асимптотику и зависимость реализующейся асимптотики от параметров неавтомодельной задачи, которые отсутствуют в автомодельной гиперболической постановке. В случае учета вязкости проверена устойчивость метастабиль-ных разрывов.

Проблемам слабонелинейных волн в анизотропных упругих средах, помимо упоминавшихся монографий [8,21], посвящены обзоры [28-31].

4.3 Выводы.

Таким образом, в результате численных экспериментов было выяснено, что наряду с разрывами в решениях уравнения (4.3), имеющих стационарную структуру, описываемую уравнением (4.2), существуют разрывы, имеющие нестационарную структуру. Поскольку возмущения не мо

Рис. 4.7: </?*(«)• гут уходить на бесконечность в силу диссипативности уравнения (4.2), то равенство (4.4) остается справедливым по отношению к средней скорости разрыва.

Колебательная нестационарная структура разрыва может существовать при тех же условиях при х = ±оо , что и стационарная. Стационарные структуры устойчивы по отношению к возмущениям, не превышающим некоторого порога. Это утверждение относится также к структуре особых разрывов за исключением особого разрыва с простейшей монотонной структурой, которая не разрушалась при всех рассматриваемых возмущениях.

Решения обобщенной задачи о распаде произвольного разрыва при более или менее произвольной функции, задающей начальные данные в виде сглаженной ступеньки, представляют собой при больших временах нестационарные решения с периодической колебательной структурой, если при заданных параметрах задачи такое решение имеет место. Это говорит о том, что автомодельная асимптотика, содержащая разрывы с периодической колебательной структурой, имеет большую область притяжения в пространстве функций, задающих сглаживание ступеньки в начальных условиях, чем область притяжения автомодельных асимптотик с ударными волнами, имеющими стационарную структуру при тех же значениях параметров задачи.

Таким образом, проведенные расчеты показали, что при заданных значениях параметров и1, ик, т/ц2 может существовать много автомодельных решений задачи о распаде произвольного разрыва, которые являются асимптотиками соответствующих задач с учетом дисперсии и диссипации. При этом к известным ранее решениям, содержащим разрывы со стационарной структурой присоединились решения, содержащие разрывы с нестационарной периодической колебательной структурой, обнаруженные численно.

5 Заключение.

Основная часть результатов работы связана с проблемой неединственности решений нелинейной теории упругости. Было обнаружено (п. 1.3), что решения автомодельных задач, состоящие из волн Римана и эволюционных разрывов с неубывающей энтропией (ударных волн) неединственны. Показано, что эта неединственность может иметь место при сколь угодно малых отклонениях от однородного ненапряженного состояния (Приложение 1). Такая ситуация ранее не встречалась при рассмотрении задач механики сплошных сред. Сформулирован признак неединственности или несуществования решений автомодельных задач для уравнений, выражающих законы сохранения, с помощью достаточно просто проверяемого условия, приведенного в Приложении 2.

Результаты главы 2 связаны с попыткой избавиться от неединственности решений уравнений, описывающих нелинейные квазипоперечные волны в упругой среде, путем введения дополнительной гипотезы о так называемой исчезающей вязкости. При этом решения уравнений теории упругости рассматриваются как предел решений уравнений вязко-упругости при вязкости, стремящейся к нулю. Однако, как требования существования структуры разрывов, так и требования устойчивости структуры метастабильных разрывов (то есть разрывов, которым законы сохранения не препятствуют распасться на систему волн) не привели к каким-либо выводам, способным выделить единственные решения в задачах нелинейной теории упругости. В главе 2 показано, что осуществление того или иного решения или распада метастабильной волны зависит от деталей постановки начальных и граничных условий на отрезках осей х или £ длины которых пропорциональны вязкости, и исчезают при вязкости, стремящейся к нулю.

Аналитически доказана линейная устойчивость квазипоперечных ударных волн по отношению к произвольно ориентированным возмущениям.

В качестве второго варианта поведения нелинейных квазипоперечных волн в главе 3 рассмотрен случай, когда в мелкомасшабных процессах, происходящих в упругой среде, помимо вязкости существенную роль играет дисперсия. Требование существования структуры квазипоперечных разрывов выделяет при этом в качестве допустимых разрывов сложно устроенное множество, существенно отличающееся от соответствующего множества при отсутствии дисперсии. При этом оказываются допустимыми особые разрывы, скорость распространения которых принимает дискретный набор значений. Число этих дискретных значений тем больше, чем больше относительная роль дисперсии по сравнению с вязкостью в структуре ударных волн. Показано, что число решений автомодельной задачи об упругих волнах в полупространстве, строящихся из волн Римана и допустимых разрывов может быть велико и тем больше, чем больше относительная роль дисперсии в мелкомасштабных процессах.

Численно исследовались неавтомодельные задачи с автомодельной асимптотикой как нестационарные решения уравнений в частных производных, описывающих как крупномасштабные, так и мелкомасштабные процессы. Выявлено, что параметры и функции, характеризующие неавтомодельность определяют асимптотику решения при больших временах. Показано, что в качестве асимптотики может оказаться любое из автомодельных решений. Сделаны выводы о том, какие автомодельные асимптотики реализуются при достаточно простом выборе функций, характеризующих неавтомодельность задачи.

Другая модель, в которой существенную роль играют мелкомасштабные дисперсионные эффекты, описывает распространение продольных волн в вязко-упругих стержнях со сложной нелинейностью. В случае этой модели так же, как и в случае распространения квазипоперечных волн в упругой среде с мелкомасштабной дисперсией, имеют место те же эффекты - сложное строение множества допустимых разрывов, многократная неединственность решений, полученных из непрерывных волн и разрывов, имеющих структуру в виде бегущей волны, а также выявленная при численном построении решений неавтомодельных задач зависимость вида автомодельной асимптотики от параметров и функций, не входящих в автомодельную постановку задачи. Однако имеется отличие. При определенных условиях в асимптотике появляются разрывы, структура которых не представляется бегущей волной, а испытывает внутренние периодические колебания.

На основании проведенных исследований можно сделать вывод, что сложное строение множества допустимых разрывов и множественность автомодельных решений систем уравнений, выражающих законы сохранения, следует ожидать при выполнении двух условий. Необходимо, чтобы по заданному состоянию перед разрывом с одной и той же скоростью мог распространяться более чем один разрыв, удовлетворяющий условиям, следующим из законов сохранения. Кроме того, необходимо мо, чтобы мелкомасштабная дисперсия существенно превосходила диссипацию в структурах разрывов, что обеспечивает колебания внутри стационарной структуры разрыва.

Во всех рассмотренных случаях, происходит ли отбор допустимых разрывов с помощью введения мелкомасштабной вязкости, или одновременно вязкости и дисперсии, существует область параметров, для которых в рамках гиперболической модели оказывается неединственным решение автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва. Выход неавтомодельного решения на ту или иную асимптотику регулируется деталями постановки неавтомодельной задачи, которые отсутствуют в автомодельной постановке. Это означает, что если, например, требуется в рамках гиперболической модели рассчитать какой-то процесс, в котором по мере его развития возникают произвольные разрывы (например, при столкновении ударных волн), то имеется две возможности. Либо процесс распада этих разрывов следует каждый раз рассчитывать как неавтомодельную асимптотику для уравнений, усложненных учетом мелкомасштабных явлений, либо, может быть в ряде случаев удастся путем классификации условий возникновения произвольных разрывов и соответствующего численного эксперимента заранее предсказать, каков будет результат распада в изучаемых процессах.

Пример последнего подхода продемонстрирован в пункте 2.3, где при рассмотрении задачи о взаимодействии ударных волн выяснен тип автомодельного решения, возникающего как асимптотика неавтомодельного решения.

1. Галин Г. Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния. Доклады АН СССР. 1958. Т. 119. №6. С. 1106-1109

2. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Успехи математических наук. 1959. Т. 14. № 2(86). С. 159-164

3. Галин Г.Я. К теории ударных волн. Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 55-58

4. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук. 1959. Т.14. №2(86). С.87-158

5. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука. 1980. 487 с.

6. Бармин A.A., Куликовский А.Г. Об ударных волнах, ионизующих газ, находящийся в электомагнитном поле. Доклады АН СССР. 1968. Т. 178. № 1. С. 55-58

7. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации. Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. Вып. 6. С. 1125-1131

8. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 607 с.

9. Годунов C.K. О неединственности "размазывания" разрывов в решениях квазилинейных систем. Доклады АН СССР. 1961. Т. 136. № 2. С. 272-273

10. Дьяченко В.Ф. К задаче Коши для квазилинейных систем. Доклады АН СССР. 1961. Т. 136. № 1. С. 16-17

11. Введенская Н.Д. Пример неединственности обобщенного решения квазилинейной системы уравнений. Доклады АН СССР. 1961. Т. 136. № 3. С. 532-534

12. Седов Л.И., Коробейников, Марков В.В. Теория распространения взрывных волн. Труды математического института им. В.А. Стек-лова АН СССР. 1986. Т.175. С.178-216

13. Левин В.А., Марков В.В., Оеинкин С.Ф. Инициирование детонации в водородовоздушной смеси взрывом сферического заряда ТНТ. Физика горения и взрыва. 1995. Т.31. №2. С.91-95

14. Левин В.А., Марков В.В., Оеинкин С.Ф. Моделирование инициирования детонации в горючей смеси газов электрическим разрядом. Химическая физика. 1984. Т.З. Ш. С.611-613

15. Левин В.А., Марков В.В., Оеинкин С.Ф. Восстановление детонации с помощью разрушающейся оболочки. Доклады РАН. 1997. Т.352. М. С.333-335

16. Левин В.А., Марков В.В., Журавская Т.А, Оеинкин С.Ф. Нелинейные волновые процессы при инициировании и распространении газовой детонации. Труды математического института им. В. А. Стек-лова РАН. 2005. Т.251. С.200-214

17. Бармин A.A., Успенский B.C. Развитие пульсационных режимов в одномерных нестационарных МГД-течениях с выключением электропроводности. Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. Т.26.№4. С.115-122

18. Bland D.R. Nonlinear Dinamic Elasticity. Toronto, etc. Waltham, 1969 = Бленд Д.P. Нелинейная динамическая теория упругости. M.: Мир. 1972. 183 с.

19. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1994. т.2 560 с.

20. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Логос. 2005. 325 с.

21. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. Лицей. 1998. 412 с

22. Lax, P.D. Hyperbolic systems of conservation laws. Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. P. 537-566

23. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.:Наука. 1978. 687 с.

24. Куликовский А.Г., Чугайнова А. П. Об устойчивости квазипоперечных ударных волн в анизотропных упругих средах. Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. Вып. 6. С. 1020-1026

25. Бахвалов Н.С., Эглит, М.Э. Эффективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах. Доклады РАН. 2000. Т.370. М.С.1-4.

26. Релей Д.В. Теория звука. М.: Гостехиздат. 1955.

27. Куликовский А.Г. О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов. Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. №6. С.1349-1352.

28. Куликовский А.Г. О нелинейных волнах малой амплитуды в анизотропном упругом теле. Труды Математического института им.

29. B.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 268-303

30. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., Чугайнова А.П. Некоторые проблемы нелинейной динамической теории упругости. Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН. 2005. Т.251.1. C.173-199

31. A.G. Kulikovskii, А.P. Chugainova, E.I. Sveshnikova On the nonuniqueness of solutions to the nonlinear equations of elasticity theory. Journal of Engineering Mathematics. 2006. Volume 55, Numbers 1-4 / August, pp. 97-110

32. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией. 2007. Современные проблемы математики. Москва. МИАН. Вып.7. 150 с.

33. Лохин В.В., Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов. Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 597-629.

34. Куликовский А.Г. Об уравнениях, описывающих распространение нелинейных квазипоперечных волн в слабоанизотропном упругомтеле. Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50, вып. 4. С. 597-604.

35. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно упругой среде. Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 642-646.

36. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде. Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 5. С. 831-840.

37. Ландау Л.В., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.6. Гидродинамика. 1986. М. Наука. 661 с.

38. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства. Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. Вып. 2. С. 284-291

39. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О распаде произвольного начального разрыва в упругой среде. Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 1007-1012

40. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Признак несуществования и неединственности решений автомодельных задач механики сплошной среды. Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 6. С. 971-982

41. Куликовский А.Г. Особенности поведения нелинейных квазипоперечных волн в упругой среде при малой анизотропии. Труды Ма-тематичксого института им. В.А. Стеклова.1989. Т. 186. С. 132-139.

42. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О структуре квазипоперечных упругих ударных волн. Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 6. С. 926-932

43. Чугайнова А.П. Исследование структуры квазипоперечных ударных волн для определенного класса упругих сред. В сб.: Проблемы механики, экологии, технологии. М.: Наука. 1991

44. Чугайнова А.П. О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве. Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Был. 4. С. 692-697

45. Чугайнова А.П. О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границу упругого полупространства. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. Т. 25. № 3. С. 187-189

46. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики.М. Наука. 1978. 687с.

47. Чугайнова А.П. О взаимодействии нелинейных волн в слабоанизотропной упругой среде. Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 149-156

48. Чугайнова А.П. О перестройке нелинейной упругой волны в среде с малой анизотропией. Известия РАН. Механика твердого тела. 1993. Т. 28. Вып. 5. С. 75-81

49. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об условиях распада нелинейной волны в вязкоупругой среде. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 2. С. 315-323.

50. Кадомцев В.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах. Доклады АН СССР. 1970. Т. 192. № 4. С. 753-756.

51. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков. Акустический журнал. 1969. Т. 15, № 1. С. 40-47.

52. Егорушкин С.А., Куликовский А.Г. Об устойчивости решений некоторых краевых хадач для гиперболических уравнений. Прикладная математика и механика. 1992. Т.56. Вып.1. С.40-51.

53. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об устойчивости к двумерным возмущениям метастабильной ударной волны в вязкоупругой среде. Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, Вып. 1. С. 109— 117.

54. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т.44. №6. С.1119-1126.

55. Куликовский А.Г., Гвоздовская Н.И. О влиянии дисперсии на множество допустимых разрывов в механике сплошной среды. Труды Математичксого института им. В.А. Стеклова. 1998. Т.223. С.63-73.

56. Чугайнова А.П. Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией. Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 147.№2.С.240-256.

57. Чугайнова А. П. Автомодельные асимптотики волновых задач и структуры неклассических разрывов в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией. 2007. Прикладная математика и механика. (Статья принята к печати).

58. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами: Волны рекомбинации. 1968. Прикладная математика и механика. Т. 32. Вып. 6. С. 1125-1131.

59. П. Жермен Курс механики сплошных сред. 1983. М.: Высшая школа. 400 с.

60. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М. Физматгиз. 1962.

61. Самарский A.A. Теория разностных схем. М. Наука. 1977. 656 с.

62. Бахолдин И.Б. Бездиссипативные разрывы в механике сплошной среды. М. Физматлит. 2004. 318 с.