Ударные волны в средах с дисперсией и диссипацией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Гвоздовская Наталья Ивановна

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ И ДИССИПАЦИЕЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Куликовский

МОСКВА — 1999

Содержание

Введение.........................................3

1 Продольные нелинейные волны в упругих стержнях 18

1.1 Модель явлений крупного масштаба....................18

1.2 Модель движений умеренно большого масштаба ... 21

1.3 Структура разрывов, допустимые разрывы............22

1.4 Неединственность автомодельных решений............25

2 Квазипоперечные ударные волны в упругих средах

с внутренней структурой 26

2.1 Основные уравнения ......................................26

2.2 Априорная эволюционность.

Задача о структуре ударных волн......................30

2.3 Выводы о структуре и множестве допустимых разрывов ........................................................33

3 Исследование волн Римана в анизотропных упругих

средах и ферромагнетиках 40

3.1 Постановка задачи ........................................40

3.2 Исследование системы, описывающей волны Римана . 47

4 Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках 53

4.1 Модель явлений крупного масштаба....................53

4.2 Условия эволюционности и условие неубывания энтропии ......................................................56

4.3 Структура электромагнитных ударных волн..........59

4.4 Качественное исследование в случае малого угла между магнитным полем и нормалью к плоскости фронта волны..............................................64

4.5 Результаты численного решения задачи о структуре 71

4.6 Неединственность автомодельных решений............76

Выводы............................................................78

Литература.................................................82

Введение

В механике сплошных сред большую роль играют ударные волны [1-5]. Они обычно моделируются поверхностями разрыва величин, характеризующих среду, на которых выставляются условия, следующие из "законов сохранения" и из условия неубывания энтропии. Образование ударных волн связано с влиянием нелинейности, приводящей к " опрокидыванию" распространяющихся волн (или " градиентной катастрофе" [5]). Однако обращению градиентов в бесконечность препятствуют различные более мелкомасштабные процессы и, в частности, процессы, связанные с диссипацией. В результате взаимодействия (противоборства) нелинейности и мелкомасштабных явлений возникает узкая переходная зона, называемая структурой ударной волны.

Важность изучения структуры разрывов связана с тем, что не все разрывы, удовлетворяющие законам сохранения и условию неубывания энтропии могут реально осуществляться. Кроме того, могут существовать разрывы, на которых естественным образом возникают дополнительные (не связанные с законами сохранения) граничные условия (известный пример - фронт горения). Одно из наиболее жестких требований, которые предъявляются к разрывам

- требование существования решения, описыващего структуру разрыва. Такие разрывы называют допустимыми [6]. Как показано в [7] множество допустимых разрывов может зависеть от процессов, происходящих в структуре. Это известно также из теории горения и детонации в газах [8, 9, 10, 11].

В связи с современным развитием и все более широким использованием материалов с нелинейными свойствами и сложным внутренним строением (таких, например, как композитные материалы), которое приводит к дисперсии волн, а также в связи с изучением поверхностных волн и волн в различных технических устройствах и конструкциях возникает потребность в изучении распространения нелинейных волн при наличии дисперсии [12, 13, 14, 15]. Поэтому наряду с диссипативными процессами дисперсия также должна учитываться при изучении структуры разрывов.

Исходным пунктом, определившем тему диссертации явилась работа [16], в которой на примере модельного уравнения было показано, что наличие дисперсии, проявляющееся в структуре разрывов, может приводить к тому, что множество допустимых разрывов приобретает сложное дисперсное строение, зависящее от соотношения между дисперсией и диссипацией в структуре.

Целью диссертации является исследование конкретных задач механики и физики, обладающих подобным множеством допустимых разрывов. При этом, наряду с результатами, относящимися к поведению ударных волн в конкретных средах, может предста-

вить интерес также демонстрация распространенности изучаемого явления.

В диссертации изучено распространение продольных волн в стержнях [17], распространение квазипоперечных волн в композите [18] и распространение нелинейных электромагнитных волн в магнетиках [19, 20, 21].

В рассмотренных случаях явления крупного масштаба описываются нелинейными гиперболическими уравнениями, выражающими законы сохранения. Это делает необходимым введение разрывов, на которых должны выполняться соотношения, следующие из интегральной записи упомянутых уравнений крупного масштаба [1, 4, 22]. При заданном состоянии перед разрывом, изучается множество состояний за всеми возможными разрывами, удовлетворяющими этим соотношениям (ударная адиабата).

Наряду с уравнениями крупномасштабных явлений существуют более полные, детальные уравнения, которые кроме явлений крупного масштаба описывают также и явления мелкого масштаба. Эти уравнения используются для описания процессов, происходящих в узких зонах, которые с точки зрения крупного масштаба заменяются разрывами. Допустимыми, как обычно, считаются те разрывы, которым соответствует одномерное непрерывное решение типа бегущей волны упомянутых более полных уравнений [6]

- решение задачи о структуре разрыва 1. При фиксированном состоянии перед разрывом множество состояний за допустимыми разрывами представляет только часть ударной адиабаты (допустимая часть ударной адиабаты), которая, вообще говоря, может зависеть от процессов происходящих в структуре волны, то есть от членов исходных уравнений, отбрасываемых при переходе к упрощенным уравнениям крупного масштаба. В основных рассмотренных ранее классических моделях, используемых в газовой динамике [23], магнитной гидродинамике [24], теории упругости [25], теории детонации и горения [8, 9, 10, 11], допустимая часть ударной адиабаты имеет более или менее простое строение.

В рассмотренных в диссертации примерах существенным обстоятельством является присутствие достаточно большой дисперсии, такой, что интегральная кривая, описывающая структуру разрыва совершает хотя бы несколько колебаний. При существовании трех или большего числа точек на ударной адиабате, соответствующих одному и тому же значению скорости разрыва из некоторого интервала, наличие дисперсии приводит к тому, что допустимая часть ударной адиабаты имеет сложное строение. На некоторых априори эволюционных интервалах ударной адиабаты выделяются отдельные короткие отрезки, т.е. эти интервалы превращаются хДля осуществимости допустимых разрывов необходимым условием является устойчивость решений, представляющих структуру. Исследование устойчивости таких решений представляет отдельную и достаточно сложную задачу, которая в диссертации не рассматривается. Не рассматриваются также фронты с неодномерными и нестационарными структурами.

в штриховую линию, а на одном из априори неэволюционных интервалов появляется множество отдельных точек, см. например рис. 1, 4, 8 (допустимые разрывы соответствуют отдельным точкам и точкам, принадлежащим штрихам). Расположение штрихов и точек, длина штрихов и их число определяются процессами внутри структуры. Чем более дисперсия превалирует над диссипацией внутри структуры разрыва, тем больше отдельных отрезков и точек содержит допустимая часть ударной адиабаты. При стремлении относительной роли диссипации (по отношению к дисперсии) к нулю, число штрихов и точек стремится к бесконечности.

Заметим, что достаточно большая дисперсия и наличие трех точек на ударной адиабате, соответствующих заданной скорости разрыва, представляют один из случаев общего положения в механике сплошной среды. Прежде всего это относится к требованию существования трех точек, соответствующих заданной скорости разрыва, которое эквивалентно наличию хотя бы двух точек Жуге Ш = с+ на связной части ударной адиабаты, поскольку в этих точках IV достигает экстремальных значений [25, 26, 27].

Естественно модель крупномасштабных явлений (упрощенную гиперболическую систему дифференциальных уравнений, выражающую законы сохранения, и связанные с ними соотношения на разрывах) дополнить требованием, чтобы разрывы принадлежали множеству допустимых разрывов. Однако, в рассмотренных в диссертации примерах выясняется, что так определенная модель дает неединственное решение стандартных автомодельных задач,

таких как задача о распаде произвольного разрыва.

Можно предположить, что реализация того или иного автомодельного решения зависит от деталей, исчезающих в автомодельной постановке задачи, поскольку для более полной системы уравнений, обеспечивающей непрерывность решений, можно ожидать единственности решений. Это означает, что для получения единственных решений необходима более глубокая детализация постановок нестационарных задач, чем это имеет место в определенной выше модели крупного масштаба.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Глава 1 посвящена изучению распространения продольных волн в стержнях. Этот вопрос представляет большой практический интерес, поскольку стержни являются элементами многих машин и конструкций, подвергающихся в процессе работы динамическим воздействиям.

Изучение одномерных волн в стержнях ранее проводилось в рамках консервативных процессов или близких к ним, т.е. когда влиянием диссипации можно пренебречь. Линейный случай рассматривался например, в [28]. С учетом малой нелинейности общего вида этот вопрос был изучен теоретически в [29, 30, 31, 32, 33]. Конечность диаметра стержня вносит существенную дисперсию такого типа, что в случае отсутствия диссипации в стержне могут распространяться уединенные волны-солитоны. Это было подтверждено экспериментально [34, 35]. Способность наблюдавшего-

ся солитона распространяться без искажений говорит о том, что в эксперименте влияние дисперсии превышало влияние диссипации.

В стержне из упруго-пластического материала влияние на размывание фронта волны сил поперечной инерции и сил вязкости (которое исследовалось в [36]) сравнивается в [32].

В главе 1 проведено изучение волн в стержне с учетом дисперсии и диссипации. При этом выбран специальный, ранее не рассматривавшийся, случай нелинейной зависимости напряжений в стержне от деформаций. Предполагалось, что график этой зависимости имеет две точки перегиба (рис. 1). Изучалось распространение бегущих волн, представляющих структуру разрывов. Ударные волны при подобном строении ударной адиабаты рассматривались в газе [23] но с учетом только диссипативных эффектов в структуре.

Уравнение, описывающее структуру ударных волн в стержне при выбранной нелинейности с учетом дисперсии и диссипации с точностью до обозначений совпало с уравнением, исследованным ранее [16], где изучалась структура разрывов решений модельного уравнения первого порядка (с учетом дисперсии и диссипации при описании структуры). Было показано, что допустимая часть ударной адиабаты имеет сложное строение. Она состоит из отрезков, расположенных на априори эволюционных частях ударной адиабаты, и отдельных точек (на одной из априори неэволюционных частей), соответствующих некоторому множеству выделенных значений скорости разрыва. Отметим, что выбор специального вида

нелинейности, сделанный в этом примере для получения сложного строения множества допустимых разрывов, обусловлен тем, что в каждую сторону идет по одному семейству характеристик при крупномасштабном описании волн. В последующих примерах, главы 2-4, где в каждую сторону распространяется по два семейства характеристик, в такого рода предположениях нет необходимости.

При построении решений в крупномасштабном приближении естественно ограничиться использованием только допустимых разрывов. Показано, что при достаточно большом отношении параметра дисперсии к параметру диссипации наличие отдельных точек на множестве допустимых разрывов приводит к множественной неединственности решений автомодельных задач.

Глава 2 посвящена изучению структуры квазипоперечных ударных волн малой амплитуды в слабоанизотропной упругой среде, обладающей внутренним строением, которое порождает дисперсию волн. Описание крупномасштабных непрерывных движений и соотношения на разрывах, выражающие законы сохранения - те же, что и в обычной нелинейной теории упругости. Наличие дисперсии моделируется введением в уравнения теории упругости членов с высшими производными [37]. Кроме того, при описании структуры учитывается диссипация, представленная в уравнениях вязкими членами.

Уравнения, получающиеся введением в крупномасштабные уравнения упомянутых дополнительных членов, используются при описании структуры разрывов. При учете только вязкости струк-

тура ударной волны рассматривалась в [25, 38]. В этом случае все априорно эволюционные разрывы и только они имеют структуру.

В главе 2 исследовано влияние дисперсии на структуру разрывов и множество допустимых разрывов. Множество допустимых разрывов исследовано качественно [18] (с помощью аналогии с движением тяжелой материальной точки в потенциальном поле сил [16]) в случае положительного и отрицательного параметра аэ, характеризующего нелинейность .

При аэ > 0 на одном из априори неэволюционных отрезков ударной адиабаты появляется множество отдельных точек, соответствующих некоторому дискретному множеству значений скорости разрыва, а один из априори эволюционных отрезков, соответствующих быстрым ударным волнам, разбивается на отдельные короткие интервалы. Число отдельных точек и интервалов стремится к бесконечности при стремлении внутри структуры относительной роли вязкости (по отношению к дисперсии) к нулю (см. рис. 4 а). Аналогично предыдущей задаче наличие отдельных точек дает возможность неединственного построения решений стандартных автомодельных задач, в рамках крупномасштабного приближения.

При зе < 0 множество допустимых разрывов имеет другое строение. Один из априори эволюционных интервалов ударной адиабаты, соответствующий медленным ударным волнам состоит из большого числа коротких отрезков, разделяющих области, где структура разрыва не существует. Также может найтись та-

кое значение скорости разрыва, что будет существовать структура "промежуточной" ударной волны, т.е. на априори неэволюционном интервале появляется одна точка (ЛГ на рис. 4 б).

В главах 3 и 4 изучаются нелинейные волны в анизотропных магнетиках. В главе 3 показано, что уравнения крупномасштабного приближения, описывающие эти волны, а также основные соотношения на разрывах, могут быть приведены к виду, совпадающему с соответствующими уравнениями для некоторой несжимаемой упругой среды [25, 39, 40, 41]. Поэтому исследование непрерывных крупномасштабных решений для электромагнитных волн является одновременно исследованием таких же волн в некоторой соответствующей упругой среде, и наоборот.

В главе 3 рассматриваются волны Римана в нелинейной упругой среде и в анизотропном ферромагнетике. Решения типа волн Римана необходимы при построении решений автомодельных задач, поэтому несмотря на простоту представляют интерес и играют существенную роль в задачах механики [25, 42, 43]. Волны Римана в нелинейной упругой среде изучались в [44, 45, 46].

Если магнетик обладает малой анизотропией в плоскости фронта волны, а направление магнитного поля мало отличается от нормали к этой плоскости, то для изучения волн Римана (и ударных волн) в магнетике можно воспользоваться готовыми результатами, относящимися к слабонелинейным волнам в слабоанизотропной упругой среде [25, 45, 47, 48].

В диссертации исследовано также поведение волн Римана в случае конечного, не малого, угла между магнитным полем и нормалью к волне в магнетике с анизотропией типа "легкая ось".

Решения системы, описывающей распространение волн Римана в этом случае, исследованы численно при большом наборе параметров. Исследовано условие опрокидывания волн, найдены особые точки системы, изучено поведение интегральных кривых.

В главе 4 исследуются электромагнитные ударные волны и их структура в анизотропном ферромагнетике. Ранее электромагнитные ударные волны подробно изучались в изотропных средах [49, 50, 51]. Для описания структуры электромагнитных ударных волн используется уравнение Ландау-Лифшица с учетом диссипации [52, 53, 54]. Уравнение Ландау-Лифшица ус