Плоские автомодельные задачи динамики деформирования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

004613876

па правах рукописи

ПОТЯНИХИН Дмитрий Андреевич

ПЛОСКИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ 2010

Владивосток - 2010

004613876

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН Буренин Анатолий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Россихин Юрий Алексеевич

доктор технических наук, профессор Сыгуров Петр Николаевич

Ведущая организация: Сибирский государственный аэрокосмический

университет имени академика М.Ф. Решетнева, г. Красноярск

Защита состоится « 23 » ноября 2010 г. в 930 часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.' E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан «22» октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

О.В. Дудко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Автомодельные задачи с математической точки зрения оказываются простейшими среди существенно нестационарных задач динамики сплошных сред, поэтому, как правило, именно они в первую очередь получают свое решение. В газовой динамике такие решения достаточно давно стали достоянием учебников. Динамика деформирования твердых тел обратилась к таким задачам существенно позже. Это обусловлено двумя основными причинами. Первая из них заключается в том, что механика деформируемых твердых тел долгое время развивалась в качестве линейной теории, в отличие от газовой динамики, в которой изначально за основу была взята нелинейная математическая модель. Вторая и главная причина заключается в том, что в деформируемых средах наряду с деформациями изменения объема необходимо возникают и распространяются по среде деформации изменения формы. При учете в динамике таких сред их нелинейных свойств оказалось, что процессы распространения деформаций изменения объема и формы неразделимы, и взаимодействие их является качественным нелинейным эффектом, влияющим уже на постановочную часть динамических задач. Тогда как в газовой динамике целый ряд постановочных вопросов решает теорема Цемплена о возникновении только ударных волн сжатия и невозможности существования поверхностей разрывов при растяжении (подобные следствия дают и условия эволюционное™ разрывов, и условия существования их структуры), в динамике деформирования твердых тел такого однозначного ответа не существует. Более того, присутствует возможность получить различные решения одной и той же динамической автомодельной краевой задачи при разных комбинациях распространяющихся ударных и простых волн. Термодинамические ограничения (аналог теоремы Цемплена) в существовании различных ударных волн и ограничения, следующие из условий их эволюционности, в динамике деформируемых тел не имеют, в отличие от газовой динамики, ярко выраженного механического смысла. Поэтому их использование возможно только в процессе решения соответствующих задач, что и было проделано в настоящей диссертации. Ответ же на вопрос о способе распространения граничных возмущений по деформируемым телам важен не только для корректных постановок автомодельных задач, но и в общем случае. Все это и предопределяет актуальность проведенного исследования.

Целью работы является разработка и изучение алгоритма, позволяющего определять единственное решение плоских автомодельных задач динамики деформирования нелинейной упругой среды при помощи термодинамического условия совместности и условия эволюционности сильных разрывов.

К основным научным результатам диссертации относятся:

- постановки и решения новых краевых задач нелинейной динамической теории упругости;

- предложения алгоритмических приемов в выборе осуществляемого решения, следуя условиям эволюционности ударных волн и термодинамическим ограничениям на их существование;

- указание пороговых значений параметров соударения, при которых происходит перестройка в волновой картине распространяющихся деформаций;

- расчетные значения коэффициентов сухого трения и скоростей соударения, при которых осуществляется жесткая спайка соударяемых тел либо их проскальзывание.

Научная новизна результатов диссертации состоит в способе использования ограничений, следующих из условий эволюционное™ ударных волн и законов термодинамики.

Достоверность результатов диссертации основана на использовании классических методов механики сплошных сред и математической физики, известных численных методов, совпадении при предельном переходе с классическими линейными аналитическими решениями.

Практическая значимость. Современная инженерная практика в связи с усложнением технологических приемов нуждается не только в количественном, но и в качественном описании характера процесса деформирования. Особенно остро проблема понимания происходящих процессов стоит при изучении возникающих волновых поверхностей при динамическом импульсном деформировании технологических образцов, что обусловлено сложностью проведения экспериментов. В связи с этим полученные результаты диссертации могут найти практическое применение при постановке более сложных, неавтомодельных задач в качестве начальных приближений, а также при подготовке и проведении экспериментов в сейсмологии, нелинейной акустике, при испытании ответственных технологических узлов. Результаты исследования могут быть использованы при постановке опытов с нелинейными волнами в твердых телах и служить основой для вычисления упругих модулей конструкционных материалов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2006 - 2008,2010);

- Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2003,2004, 2007);

- региональная научно-техническая конференция «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2004,2007);

- Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009);

- научно-техническая конференция «Вологдинские чтения» (Владивосток, 2006);

- Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009);

- Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010);

Диссертация в целом докладывалась на семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., профессора A.A. Буренина и на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (110 наименований). Общий объем работы -106 страниц, в том числе 29 рисунков, включенных в текст.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение к работе содержит краткий обзор литературы, посвященной моделированию нестационарных волновых процессов в нелинейно упругих средах. Особое внимание уделено автомодельным решениям задач ударного деформирования. Отмечается вклад А.Г. Куликовского, Е.И. Свешниковой, А.П. Чугайновой, A.A. Буренина, Г.И. Быковцева, А.Д. Чернышова, П.Н. Сыгурова, Т.Р. Блейка, Дж. Ф. Уилсона, В.В. Лапыгина, И.Е. Агапова, В.А. Баскакова, Вервейко Н.Д., A.B. Резунова, A.B. Колокольчикова, Е.М. Черных, О.В. Дудко, A.A. Манцыборы в решение автомодельных задач теории упругости и теории упругопластичности. Отталкиваясь от представленных в литературном обзоре результатов, формулируются цель и задачи предпринимаемого исследования. Здесь же представлена структура диссертации по главам.

Первая глава диссертации носит вводный характер и содержит теоретические сведения, необходимые для моделирования нестационарных процессов в твердых телах. В § 1.1 приведены основные соотношения математической модели адиабатически деформируемой сжимаемой нелинейно упругой среды: v,=ü,+Vju.j, н-,.=у(+удя 2atj = utj + ujt - utJutJ, cry = pw;,

= Jl-2/, +2/,2-2/2-h, (1)

Po Щк Ра V 3 3

В соотношениях (1) un v,, w, — компоненты векторов перемещений, скоростей и ускорений точек среды; atJ, ov - компоненты тензора деформаций Альманси и тензора напряжений Эйлера-Коши; р0, р - плотность материала в начальном и текущем состоянии соответственно; 8Ц - символ Кронекера. Упругий потенциал изотропной среды W определяется инвариантами тензора деформаций 1и /2, /3; X, ц, к, х, г) - упругие модули (Я и ц - параметры Ламе). Латинский индекс после запятой обозначает частное дифференцирование по пространственной координате =3m/ät/), точкой обозначена частная производная по времени (ш = Зт/5/). Здесь и далее принято правило суммирования по повторяющимся индексам. Система (1) определяет движение среды всюду, где входящие в нее функции непрерывны и дифференцируемы требуемое число раз.

В § 1.2 приводятся условия совместности разрывов на ударных волнах и волнах ускорений. На ударных волнах параметры напряженно-деформированного состояния и движения точек среды связаны динамическими и кинематическими условиями совместности разрывов первого порядка: № = [",] = -<?[«,>, при [и,] = 0. (2)

На поверхностях разрывов ускорений необходимо потребовать выполнения условий совместности разрывов второго порядка:

К,] = Р>,]> = при [и,] = 0, [и,,] = 0. (3)

5

В условиях (2), (3) квадратными скобками обозначен скачок функции на поверхности: [/я] = т* -т~, т* - предельное значение функции т перед поверхностью разрывов, т~ - за поверхностью, п] - компоненты единичной нормали

к поверхности волны, С — скорость распространения соответствующей поверхности разрывов.

При отсутствии теплопроводности (адиабатическое приближение) единственным необратимым процессом в среде остается ударная волна. Условие неубывания энтропии на поверхности сильных разрывов приводит к термодинамическому условию совместности:

>0. (4)

2 Pj

Аналогом соотношения (4) в газовой динамике является теорема Цемплена, запрещающая существование ударных волн разрежения.

В § 1.3 записаны модельные соотношения упруго деформируемого твердого тела в предположении плоского деформированного состояния. Анализируя модельные соотношения (1) совместно с условиями (2), (3), можно показать, что в нелинейно упругой среде с принятым выше потенциалом W в условиях плоского деформированного состояния возможно существование двух типов плоских ударных волн - квазипродольных, на которых преобладает изменение объемных деформаций, и квазипоперечных, вызывающих преимущественно сдвиговые деформации, а также волн Римана, передним и задним фронтами которых являются плоские волны разрывов ускорений. При этом скорость распространения объемных деформаций всегда больше, чем скорость распространения дополнительного сдвига.

Во второй главе диссертации приведены решения плоских автомодельных задач о косом отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от границы упругого полупространства. В § 2.1 граница полупространства полагается жестко закрепленной, § 2.2 - свободной.

Рассмотрим последовательность решения плоских автомодельных задач на примере задачи о косом отражении продольной ударной волны от жесткой преграды. Пусть плоская ударная волна I, постоянной интенсивности г, =[u¡ ;]«1<1|«у) («/'' - компоненты единичной нормали к 2,), распространяясь в недеформированной среде с постоянной скоростью G,, падает под некоторым углом Д < 90° на плоскую жестко закрепленную границу L нелинейно упругого полупространства (рис. 1).

Прямоугольная декартова система координат выбирается таким образом, чтобы вектор нормали пт к плоскости волны имел только две ненулевые компоненты: л«1» *0, и"' ф0, «з'1 =0. В этом случае вектор перемещений точек среды с компонентами щ=щ{x¡,x2,x3,t), и2 = u2(x¡,x2,x3,í), и3 = 0 будет параллелен координатной плоскости СЦх2. Если описывать распространение ударной волны в подвижной системе координат, движущейся поступательно с постоянной скоростью S = Gl/sin/3l параллельно оси Охг, то в предположении постоянства интенсивности разрывов на волне I, движение упругой среды ав-томодельно.

ь 0 5 I 0 5

X7' *

я)

О Б ь 0 ,

/ г*, @ х1 * *2 К Е

б)

г)

Рис. 1. Математически возможные волновые картины взаимодействия плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности с жестко закрепленной границей упругого полупространства

Представим ненулевые компоненты вектора перемещений в виде и, = х] ■ /*"(£), и2=х1- Ф(£), где £ = (хг - 50/- автомодельная переменная, /*"(£) и Ф(£) - первая и вторая компоненты безразмерного вектора перемещений в координатном пространстве Тогда в системе определяющих соотношений (1) можно перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к однородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций и Ф(£):

[сП<Г)+м>'(£) = о,

где А, В, С, Б - функции от ¿;, Г, У7', Ф, Ф' и упругих модулей среды.

Условие существования нетривиального решения системы (5)

АБ - ВС = 0 (6)

может выполняться либо при некотором значении £ = (что соответствует ударной волне), либо в целом интервале £ и определяют по-

ложение двух слабых волн разрывов ускорений, которые являются передним и задним фронтами волны Римана). В областях тривиального решения ненулевые параметры могут быть выражены через произвольные константы интегрирования а, Ъ, е, / системы (5):

(5)

-Ъ,

и, 2 = а, иг, = /,

-5а

{\-Ь){\-е)-а/

(1-6)(1-е)-а/ р0

2

Компоненты тензора напряжений не приводим из-за их очевидной громоздкости.

Условия совместности разрывов, записанные с использованием введенных автомодельных параметров процесса ударного деформирования, допускают существование в рамках поставленной задачи плоских ударных волн (квазипродольных и квазипоперечных) и простых волн (передним и задним фронтами которых являются плоские волны разрывов ускорений), а также областей постоянства параметров напряженно-деформированного состояния, каждой из которых соответствуют свои значения констант интегрирования a, b, е, f.

Волновая картина, возникающая в области, ограниченной плоскостями L и X,, с математической точки зрения может состоять из различных комбинаций плоских ударных волн и волн Римана. Характер возникающей волновой картины определяется задаваемыми значениями интенсивности г, и угла падения Д волны Е,.

В зоне 1 (рис. 1, а-г) параметры напряженно-деформированного состояния и движения точек среды определяются из условий совместности разрывов (2) на

ai = f\ = ri s¡nЛ cosЛ> fy = ~r\cos2 Л» е\ ~~т\ sin2 Л- (8)

Здесь и далее нижний индекс у констант интегрирования а, Ъ, е, / соответствует нумерации областей их постоянства на рис. 1. Передним отраженным фронтом оказывается либо квазипродольная ударная волна Х2, положение которой определяется значением = - ctg Д, (рис. 1, а, б), либо простая волна Римана <f e[^2+,cf2] (рис. 1, в, г), вносящие основной вклад в изменение объемных деформаций. Следом может распространяться либо квазипоперечная ударная волна Е3, соответствующая значению = - ctg Д, (рис. 1, в, г), либо центрированная волна £ е[£3+,£3"~] (рис. 1, б, г), влияющие в основном на производимый сдвиг.

Решение краевой задачи в случае отражения двух ударных волновых фронтов Z2 и £3 (рис. 1, а) заключается в определении значений £3 и констант интегрирования а, Ъ, е, / в областях 2 и 3 из замкнутой системы нелинейных алгебраических уравнений, включающей условия совместности разрывов (2) на ударных волнах 12 и I, с учетом отсутствия движения точек среды на жестко закрепленной границе L.

Решение краевой задачи в случае отражения ударной волны 12 и простой волны <f е[£3+,£3~] (рис. 1, б) состоит в определении положения ударного фронта <f2, переднего и заднего фронтов и констант интегрирования а, Ь, е, f в областях 2 и 3, а также функций F(g) и Ф(£) в области волны Римана. Выполним вычисления в следующей последовательности.

Шаг 1. Следуя условиям совместности (2) на 12, получаем систему из четырех алгебраических уравнений относительно неизвестных <f2, а2, Ь2, е2, /2. Таким образом, в зоне 2 все параметры, определяющие движение среды, выражаются через один неизвестный параметр ¿f2. Задавая его произвольно, выбрав

в качестве первого приближения решение в постановке с ударными волнами (рис. 1, а), находим а2, Ьг, е,, /2.

Шаг 2. Подставляя в условие (6) параметры движения в зоне 2, находим

Шаг 3. Решение в области простой волны строится путем интегрирования по автомодельному параметру £, системы обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящей из условия (6) и одного из равенств (5):

АО-ВС = 0.

Для численного интегрирования системы (9) предлагается использовать неявную конечно-разностную схему с трехточечным шаблоном

с постоянным шагом А. Разобьем отрезок [£3+,на п равных частей точками = >#(!)>--• = - Тогда = и Ф(() = Ф(£(„) - значения функ-

ций и Ф(£) в точках деления.

Производные функций /<"(£) и Ф(£) во внутренних узлах (1 < / < и — 1) аппроксимируются конечно-разностными формулами

Кп=с^ч» - ^М))/(2Й), =- щ,+-^-„У А2,

Фо, =(Ф„+„ -Ф(,-„)/(2А)> Ф-, =(Ф(,+1) -2Ф(0 +Ф(М))/А2. В граничных узлах используем представление

= (-3^(0) + 4/^ - ^Ц)/(2А), ф;0) = (-ЗФ(0) + 4Ф(1) - Ф(2))/(2А),

4/г(п_1) + ) /(2А), Ф(„) = (ЗФ(„) - 4Ф(Л_1, + Ф(„-2)

(П)

В первом узле £(0) = (на переднем фронте простой волны)

/>) = + ¿2. ф(0) = + Л. ^0, = д2' Ф'(0) = е2 - В каждом внутреннем узле

требуется записать два дифференциальных уравнения (9), заменяя

производные по формулам (10). Таким образом, получается замкнутая система уравнений относительно неизвестных Ф(() (0 </'<«). Решив ее, вычисляем

производные /¡¡'п), Ф'м согласно (11).

Шаг 4. Решение краевой задачи заканчиваем, если Р[я) = Ф'(л) = 0 (следствие отсутствия движения точек среды на закрепленной границе Ь). Заметим, что условие остановки счета при решении другой краевой задачи будет отличаться от указанного. В противном случае, корректируя значения положения ударной волны , шага интегрирования А и количество отрезков разбиения я,

добиваемся выполнения на заднем фронте ^ простой волны условия =Ф'(„) = 0. Константы интегрирования а, Ь, е, / в области 3 находим из соотношений = + Ь,, Ф(п) = + /3, = а}, ф;я) = е3.

Решение краевой задачи в случае отражения простой волны ^ и

ударной волны Х3 (рис. 1,в) и в случае отражения двух волн Римана £ и е(рис. 1, г) строится аналогично. Решение задачи в по-

становке с двумя отраженными ударными волнами (рис. 1, а) можно получить всегда, в то время как остальные решения (рис. 1, б, в, г) при определенных параметрах задачи не существуют.

Шаг 5. Получив все математически возможные решения краевой задачи (в общем случае четыре), сравниваем их между собой. На каждой ударной волне проверяем выполнение термодинамического условия совместности (4). Если соотношение (4) не выполняется при некоторой постановке, то такую постановку исключаем из числа возможных. Еще одним ограничением на существование ударных волн является условие эволюционности. Если в результате сопоставления двух решений оказывается, что фронт ударной волны занимает промежуточное положение внутри веера простой волны, то считаем ударную волну неэволюционной, и выбираем решение с волной Римана.

Серия вычислительных экспериментов проводились для нелинейной упругой среды с различными упругими модулями; значения параметров падающей волны варьировались в интервалах 0 < Д < 80°, 0,001 < г, < 0,03. Оказалось, что квазипоперечная ударная волна Е3 всегда оказывается внутри веера центрированной волны £, е [£ (рис. 1,6, г), т.е. волновые картины, показанные на рис. 1, а, в, не возникают. Построены графики зависимостей параметров напряженно-деформированного состояния от параметров падающей волны Д, г,.

'I ?1 о

11 -0.02 --. X + 2 и -0.04 -

- 0.015Р 0.01 -

А + 2/1 0.005 ■ 0 :

-3.5 -3 -2.5

-3.5 -3 -2.5

-0.5 0 0.5

-0.5 0 0.5

/. + 2.11 -0.02 ■ -0.03 -

-3.5 -3 -2.5

_I_I_

-0.5 0 0.5

Р: Ра

1 Ь

-3.5 -3 -2.5

-0.5 0 0.5

-3.5 -3 -2.5

-0.5 0 0.5

-3 5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Рис. 2. Распределение параметров напряженно-деформированного состояния, соответствующее волновой картине с отраженными квазипродольной ударной волной 12 и центрированной волной £ (Д =30', г, =0,02)

Распределение параметров напряженно-деформированного состояния, типичное для волновой картины с отраженной квазипродольной ударной волной Х2 и центрированной волной (рис.1, б), получено при Д=30°,

г, =0,02 и показано на рнс.2. В качестве исходных данных были выбраны нормированные упругие модули Л/(Я + 2//) = 0.4, ///(Я + 2ц) = 0.3, аг/(Л + 2//) = —1.0, ¿/(Л+ 2//) = -1.5, 77/(Я + 2^) = -2.0. На графиках напряжения отнесены к (Я + 2//), скорости - к с, = ^¡(Я + 2/и)/ра. На квазипродольной ударной волне £2 происходит скачок уплотнения, на простой волне £ е уровень объемных деформаций уменьшается.

При малых значениях угла падения Д реализуется волновая картина, представленная на рис. 1, б. Существует некоторое критическое значение угла падения Д*, при превышении которого квазипродольная ударная волна 12 оказывается внутри веера простой волны, т.е. реализуется волновая картина с двумя простыми волнами (рис. 1, г). Это критическое значение зависит от упругих модулей и увеличивается с ростом интенсивности волны X,. Например, при указанных упругих модулях значению интенсивности г, =0,01 соответствует угол Д* »64,54°, значению г, =0,02 - угол Д* «65,70°. При дальнейшем увеличении угла падения наступает такой момент, когда постановка задачи в автомодельной формулировке становится невозможной.

Рис. 3. Волновые картины взаимодействия плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности со свободной границей упругого полупространства

В § 2.2 приведено решение задачи плоской автомодельной задачи о косом отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от свободной границы упругого полупространства (рис. 3). Так же, как в предыдущей задаче, с математической точки зрения возможны четыре различных варианта распространения деформаций (на рис. 3 указаны только реализуемые волновые картины). Задача решалась методом, описанным выше. Отличие заключается в граничных условиях, задаваемых на границе ¿ : помимо отсутствия нормальных напряжений следует учитывать ее движение. Вычислительные эксперименты показывают, что первой отраженной волной является волна Ри-мана. Следом за ней, в зависимости от параметров падающей волны Е, и упругих модулей среды, может распространяться либо квазипоперечная ударная волна (рис. 3, а), либо волна Римана (рис. 3, б).

В третьей главе приведены решения задач о соударении тел с плоскими границами. В § 3.1 рассмотрено соударение абсолютно твердого и нелинейно упругого тел. Пусть неподвижное упругое тело I занимает полупространство дг, > 0 (рис. 4). Его границу обозначим через . Абсолютно твердое тело II с плоской границей ¿2, двигаясь с постоянной скоростью = {^0,у20}, сталкива-

ется с первым так, что появляется общая граница двух тел ОЬ. На участке ОЬ выполняется закон сухого трения, т.е. возможно как проскальзывание граничных плоскостей взаимодействующих тел, так и их жесткая сцепка.

Пусть скорость движения точки О (начала подвижной системы координат вдоль оси Ох2) достаточно большая, чтобы возникающие при столкновении волновые фронты не могли отделиться от точки О. В задачах о соударении удобно выбрать автомодельную переменную в = - х2), т.е. обратную введенной ранее переменной Представление ненулевых компонент вектора перемещений в виде м, = (Й-.х2)^(0), и2=(Я-х2)-Ф(в) позволяют преобразовать уравнение движения упругой среды к однородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций Р(в) и Ф(0), аналогичной системе (5). Решение задачи производится по описанному §2.1 алгоритму и включает проверку термодинамического условия совместности и условия эволюционности для ударных волн.

Рис. 4. Волновые картины в задаче о соударении абсолютно твердого и нелинейно упругого

тел

Передним фронтом всегда оказывается продольная ударная волна X,, положение которой соответствует значению в1 = (рис. 4, а, б). Следом за ней, в зависимости от параметров задачи и упругих модулей, может распространяться либо квазипоперечная ударная волна Е2, отвечающая значению в2 (рис. 4, а), либо центрированная волна £?е[£?2,02] (рис. 4, б).

Серия вычислительных экспериментов позволила изучить зависимость напряженно-деформированного состояния от скорости соударения ={у10,у20}, угла соударения ср и коэффициента трения к на границе ОЬ. При этом каждая волновая картина может соответствовать как жесткой сцепке двух тел, так и их проскальзыванию на границе ОЬ.

В § 3.2 приведено решение еще одной задачи о соударении двух тел, но, в отличие от предыдущей, здесь оба тела полагаются нелинейно упругими. Механические свойства упругих тел в общем случае различны, им соответствуют различные значения упругих постоянных.

Выбирая автомодельную переменную как в § 3.1 и представляя компоненты вектора перемещений в виде ui=(St-x1)^F(0) + glt, u2=(St-x2)■Ф(в) + g2t (для неподвижного тела = £2 = 0, для ударяющего тела g^ = у|0, g2 = у20 ), определяем допустимые комбинации волн, возникающие в соударяющихся телах (они представлены на рис. 5).

Рис. 5. Волновые картины в задаче о соударении двух нелинейно упругих тел

Как и в предыдущей задаче, построены графики зависимостей параметров напряженно-деформированного состояния в областях между волнами в соударяющихся телах от скорости соударения ?0 ={^0,у20}, угла соударения <р и коэффициента трения к на границе ОЬ.

Рис. 6. Влияние коэффициента трения к на параметры напряженно-деформированного состояния

На рис. 6 показано изменение скоростей v2 в зонах деформирования 2 и 3, а также компоненты стп тензора напряжений в зоне 1 в зависимости от коэффициента трения к. Для каждого фиксированного набора параметров v10, v20, (р и упругих модулей существует критическое значение коэффициента трения к = к', в котором графики функций имеют излом. При к < к' происходит скольжение граничных плоскостей соударяющихся тел, значение к = к' соответствует наступлению жесткого контакта. При построении графиков использовались параметры v10 = 0,5с,, v20 = 0,3с,, <p = Y\ механические свойства соударяющихся тел выбраны одинаковыми. Интересно отметить, что при моделировании соударения двух упругих тел с одинаковыми механическими свойствами напряженно-деформированное состояние в них будет в общем случае различным.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построен алгоритм решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости, позволяющий выбрать единственное решение из множества математически допустимых на основе критериев термодинамической совместности и эволюционности ударных волн. Проверка критериев производится непосредственно во время численных расчетов.

2. Получены численные решения автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от жестко закрепленной и свободной границ упругого полупространства, проведен их анализ.

3. Получены численные решения автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о соударении абсолютно твердого и нелинейно упругого тел с плоскими границами, а также о соударении двух нелинейно упругих тел с плоскими границами, проведен их анализ. Отмечено существование пороговых значений для параметров задач, при которых изменяется характер взаимодействия тел на общей границе: либо происходит проскальзывание, либо жесткий контакт.

4. Установлена эквивалентность термодинамического условия совместности и условия эволюционности ударных волн в плоских автомодельных краевых задачах.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельная задача нелинейной динамической теории упругости о взаимодействии продольной ударной волны с жесткой преградой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № 2. С. 27-37.

2. Дудко О.В., Потянихин Д.А. О косом ударе жестким телом, имеющим плоскую границу, по нелинейному упругому полупространству // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4, 4.2. С. 32-40.

3. Потянихин Д.А. Косое отражение ударной волны от жесткой границы в нелинейной упругой среде // XXXII Дальневосточная математическая школа-

семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Изд-во «Дальнаука», 2007. С. 146-147.

4. Дудко О.В., Потянихин Д.А. О решении автомодельных краевых задач динамики ударного деформирования упругих сред // XXXIII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Изд-во «Дальнаука», 2008. С. 197.

5. Дудко О.В., Потянихин Д.А. О соударении абсолютно твердого и нелинейно упругого тел // Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009), 25-31 мая 2009 г., Алушта. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. С.284-286.

6. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельная задача о косом ударе жестким телом по нелинейному упругому полупространству // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 1-4 июня, 2009. Самара: СамГТУ. Ч. 1.С. 100-103.

7. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Плоская автомодельная задача об ударе абсолютно твердым телом по упругому полупространству // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. Ч. 1. С. 156-158.

8. Потянихин Д.А. Задача о соударении двух упругих полупространств // Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике: материалы конференции, Владивосток, 19-21 ноября 2009 г. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2009. С. 72.

9. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Соударение двух упругих полупространств //'" Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2010. С. 135-137.

10. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельное отражение плоской ударной волны от свободной границы // Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике»: тезисы докладов. Новосибирск: ИГИЛ СО РАН, 2010. С. 102-103.

11. Потянихин Д.А. О критериях выбора единственного решения в автомодельных задачах динамики деформирования упругих тел // XXXV Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. Владивосток: ИАГТУ ДВО РАН, 2010. С. 621-627.

12. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Плоская автомодельная задача о соударении двух упругих тел. // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. Воронеж: Из-дательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. С. 144-146.

Личный вклад автора. Работы [3, 8, 11] выполнены автором лично. В работах [1, 2, 4—7, 9, 10, 12] автор участвовал в постановке краевых задач и выполнил все необходимые вычисления.

ПОТЯНИХИН ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ

ПЛОСКИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Автореферат

Подписано к печати 20.10.2010. Усл. п. л. 0.8 Уч.-изд. л. 0.7

Формат 60x84/16._Тираж 100. Заказ 33.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН Владивосток, Радио, 5.

Введение

1 Основные уравнения модели нелинейной динамической теории упругости

1.1 Кинематические соотношения, законы сохранения.

1.2 Соотношения в разрывах на ударных волнах и волнах ускорений

1.3 Ударные волны в условиях плоской деформации.

2 Плоские автомодельные задачи об отражении ударной волны от границы нелинейно упругого полупространства

2.1 Задача об отражении плоской продольной ударной волны от жесткой стенки.

2.2 Задача об отражении плоской продольной ударной волны от свободной границы.

3 Плоские автомодельные задачи о соударении упругих тел

3.1 Задача о косом ударе жестким телом по упругому полупространству

3.2 Задача о соударении двух нелинейно упругих полупространств

Автомодельные задачи с математической точки зрения оказываются простейшими среди существенно нестационарных задач динамики сплошных сред. Как правило, в различных разделах механики именно автомодельные задачи удается решить в первую очередь. В газовой динамике такие решения давно стали достоянием учебников. Динамика деформирования твердых тел обратилась к таким задачам существенно позже. Это обусловлено двумя основными причинами. Первая из них заключается в том, что механика деформируемых твердых тел долгое время развивалась в качестве линейной теории, в отличие от газовой динамики, в которой изначально за основу была взята нелинейная математическая модель. Вторая и главная причина заключается в том, что в деформируемых средах наряду с деформациями изменения объема необходимо возникают и распространяются по среде деформации изменения формы. При учете в динамике таких сред их нелинейных свойств оказалось, что процессы распространения деформаций изменения объема и формы неразделимы, и взаимодействие их является качественным нелинейным эффектом, влияющим уже на постановочную часть динамических задач.

Интерес исследователей к построению нелинейных математических моделей динамической теории упругости возник во второй половине XX века в связи с развитием математического аппарата: появились методы решения систем квазилинейных уравнений [28, 68, 76, 77], эволюционных уравнений [70, 100], совершенствовались модификации метода возмущений [9, 3

51, 65]. Другой предпосылкой для развития исследований в нелинейной динамике деформирования твердых тел стало появление вычислительной техники и, как следствие, бурное развитие численных методов.

Необходимо отметить вклад в создание нелинейной теории В.В. Новожилова [67], Ф.Д. Мурнагана [103], Л.И. Седова [81, 82], М.А. Био [97], В. Прагера [75], Г. Каудерера [47], А.Е. Грина и Дж. Адкинса [33], И.И. Гольденблата [32], А. Синьорини [105], Р.С. Ривлина [104], Д. Бленда [8], Л.А. Толоконникова [84], К.Ф. Черных [89, 90], А.Н. Гузя [34, 35], С.К. Годунова [31], У.К. Нигула [66].

Распространение ударных волн в деформируемых телах является существенно нелинейным процессом. С середины 60-х годов прошлого века появились работы, посвященные изучению распространения ударных волн (волн сильных разрывов) с учетом нелинейных эффектов [8, 11, 16, 17, 52, 53, 60, 61, 79, 86, 87, 98, 99, 108-110]. Теорию распространения плоских ударных волн в нелинейно-упругих средах можно считать практически завершенной областью математической физики. Основная заслуга здесь принадлежит А.Г. Куликовскому и Е.И. Свешниковой [53, 52], Э.В. Ленскому [59-62], Т. Тингу [106]. А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова провели замкнутое исследование условий существования и закономерностей распространения плоских ударных волн, изучили условия эволюционнос-ти разрывов на плоскости. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в упругой среде на примере плоских волн в адиабатическом приближении при линеаризации определяющей системы уравнений.

Он проводил изучение ударных волн в переменных Лагранжа в предположении отсутствия предварительных деформаций. Он также рассмотрел продольные ударные волны со сферической симметрией, получил автомодельное решение задачи с ударной волной постоянной интенсивности. Д. Бленд также исследовал цилиндрические продольные волны в случае изо-энтропического приближения в недеформированной среде [8]. A.A. Буренин рассмотрел динамику нелинейно упругих сред при ударных воздействиях в предположении адиабатичности процесса деформирования. Им были вычислены скорости распространения ударных волн в упругой среде как функции предварительных деформаций, интенсивностей волн и упругих свойств среды. Получены условия на геометрию волны и предварительные деформации, при которых возможно существование продольных, квазипродольных, квазипоперечных, нейтральных волн. Проведен термодинамический анализ необратимого процесса на ударных волнах.

В изучении слабых волн удалось продвинуться дальше, поскольку такая задача сводится , по существу к линейной. Здесь необходимо отметить работы К. Трусделла [107], 3. Весоловского [24, 25], Н.П. Бестужевой, Г.И. Быковцева и В.Н. Дуровой [5].

Не существует единого строгого определения волны. В различных постановках задач механики сплошных сред оно варьируется. Можно дать различные частные определения. Под волной можно понимать любое решение динамической теории упругости или акустики, такие как функционально-инвариантные решения, синусоидальные бегущие волны, поверхностные волны и т.д. Некоторые авторы под волной понимают ту изменяющуюся во времени часть пространства, где сосредоточены особенности решения. Именно это представление о волне как о поверхности, на которой решения или их частные производные терпят разрыв, принятое в настоящей работе, позволило исследователям существенно продвинуться в решении задач динамики сплошных сред. Основной математический аппарат, необходимый для исследования распространения волновых поверхностей, был заложен в работах Римана, Гюгонио, Адамара. Адамар создал теорию совместности разрывов, в рамках которой с помощью кинематических и геометрических условий совместности первого порядка выражаются скачки всех частных производных первого порядка функции, непрерывной при переходе через волновую поверхность [101]. Такой метод значительно сокращает число неизвестных в определяющих соотношениях. Дальнейшее развитие метод Адамара получил в работах Т. Томаса [85],- Г.И. Быковцева и Д.Д. Ивлева [46] и других исследователей. Законченная теория рекуррентных условий совместности разрывов, обобщенная на случай произвольной криволинейной системы координат, появилась совсем недавно в работе В.Е. Рагозиной и Е.А. Герасименко [29].

Как и в других разделах механики, первые решения задач динамики деформирования твердых тел были автомодельными. Эти решения, несмотря на существенные накладываемые ограничения, оказываются очень полезными. Они дают представление об особенностях распространения волновых явлений, которые необходимо учитывать уже на стадии постановки более сложных, неавтомодельных задач. Более того, автомодельные решения могут быть использованы в этих задачах в качестве начальных приближений.

Решения автомодельных [80] задач динамики нелинейно упругой среды приведены в [1, 2, 10, 13, 14, 15, 18, 54, 88, 91, 94]. В работе К.О. Перс-сона [71] рассматривается случай косого удара как по жидкой стенке, так и по деформируему телу, обладающему линейной упругостью.

Значительный интерес исследователей вызвали автомодельные задачи теории упругопластичности [4, 6, 7, 20, 22, 48, 49, 50, 64, 71, 78, 83]. В работах Блейха с соавторами [6, 7] рассмотрены плоские автомодельные задачи при условии пластичности Мизеса. Отражение сдвиговой волны в двумерной постановке изучалось в [20], рассмотренное далее для различных сред в [4].

В последнее время при решении автомодельных задач в модель твердого тела включаются эффекты, обусловленные дисперсией волн, анизотропией и вязкостью среды [56-58, 79, 94, 95]. Автомодельные движения разномодульной упругой среды изучались в [12].

Настоящая диссертация является продолжением работ, выполненных А.А. Бурениным и его соавторами [2, 14].

Уравнения нелинейной теории упругости относятся к классу гиперболических систем, выражающих законы сохранения. Известно, что существуют гиперболические системы уравнений, такие, что построение решений автомодельных задач с использованием непрерывных решений и ударных волн оказывается неоднозначным. Для выделения единственных, физически обоснованных решений необходимо учитывать дополнительные ограничения. Проблемам выбора решения в случае неединственности решений различных задач механики и математической физики посвящены работы O.A. Олейник, С.К. Годунова, Г.Я. Галина и других авторов [26, 27, 30, 55, 69, 102]. В настоящей работе выбор единственного решения из числа математически возможных связан с термодинамическим условием совместности сильных разрывов, выражающим неубывание энтропии при необратимых процессах на ударных волнах, а также с условием эволюционное™ ударных волн.

Первая глава носит вводный характер и содержит теоретические сведения, необходимые для моделирования нестационарных процессов в упругих телах. В первом параграфе приведены основные соотношения математической модели адиабатически деформируемой сжимаемой нелинейно упругой среды. Уравнения теории упругости получены как локальные следствия законов сохранения. В качестве меры деформаций выбран тензор конечных деформаций Альманси. Механические свойства деформируемой изотропной среды определяются упругим потенциалом в форме Мур-нагана [103]. Для упругой среды использовано адиабатическое приближение [8]. Этот широко распространенный при решении динамических задач подход объясняется тем, что скорость распространения тепловых эффектов в твердых телах существенно меньше скорости распространения ударных возмущений.

Во втором параграфе вводится определение ударной волны как особой движущейся поверхности, на которой производные компонент вектора перемещений точек упругой среды претерпевают разрыв первого рода. Рассматриваются условия совместности разрывов (кинематические, геометрические, динамические и термодинамические), накладывающие определенные ограничения на скачки параметров напряженно-деформированного состояния на ударных волнах и волнах ускорений. Динамические условия совместности сильных разрывов выражают законы сохранения на ударных волновых фронтах, где локальные следствия законов сохранения не справедливы. Термодинамическое условие совместности разрывов было получено в работе A.A. Буренина и А.Д. Чернышова [17] как следствие второго закона термодинамики в результате анализа необратимого процесса на ударной волне. Из него следует аналог известной в газовой динамике теоремы Цемплена о существовании только квазипродольных ударных волн сжатия.

В третьем параграфе сформулированы модельные соотношения динамически деформируемой нелинейно упругой среды для случая плоского деформированного состояния. В упругой среде с принятым потенциалом при плоских деформациях возможно существование двух типов плоских ударных волн - квазипродольных, на которых преобладает изменение объемных деформаций, и квазипоперечных, вызывающих преимущественно сдвиговые деформации.

Вторая глава посвящена постановкам и решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о взаимодействии плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности с границей упругого полупространства. В первом параграфе граница упругого полупространства полагается жестко закрепленной, а во втором — свободной. Рассмотрение уравнения автомодельного движения упругой среды позволяет сделать вывод о неединственности решения данных задач. Математически возможные волновые картины взаимодействия ударной волны с границей упругого полупространства состоят из различных комбинаций отраженных плоских ударных волн и простых центрированных волн Ри-мана, передними и задними фронтами которых являются плоские волны разрывов ускорений.

Предложен расчетный алгоритм, основанный на одновременном решении задачи при всех возможных постановках (т.е. для всех математически возможных волновых картин) при заданных граничных условиях. Вывод о том, какое решение считать реализуемым, т.е. физически обоснованным, делается в результате сопоставления полученных решений задачи. В качестве критериев выбора единственного решения приняты термодинамическое условие совместности разрывов и условие эволюционности ударных волн. Для решения уравнения движения упругой среды в области волн Римана применяется неявная конечно-разностная схема. Численные решения рассмотренных задач представлены в виде графиков, сделаны выводы качественного характера.

В третьей главе приведены решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о соударении двух тел, плоские границы которых не параллельны. В первом параграфе рассмотрено соударение абсолютно твердого и нелинейно упругого тел, а во втором параграфе оба соударяющихся тела считаются нелинейно упругими. Для решения данных задач также предложен вычислительный алгоритм, основанный на одновременном решении задачи при всех математически возможных комбинациях ударных фронтов и волн Римана, возникающих в упругих телах при соударении. Критериями выбора решения также являются термодинамическое условие совместности разрывов и условие эволю-ционности ударных волн. На основе графиков, иллюстрирующих численные решения задач, сделаны выводы качественного характера.

Заключение содержит краткий обзор основных полученных результатов.

Используется двойная нумерация формул, первая цифра обозначает номер главы. Нумерация рисунков и графиков, включенных в текст, сквозная.

Основные результаты работы опубликованы в [36-44, 72-74].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построен алгоритм решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости, позволяющий выбрать единственное решение из множества математически допустимых. В качестве критериев выбора единственного решения приняты условие эволюционности ударных волн и термодинамическое условие совместности разрывов, которое является следствием второго закона термодинамики и выражает неубывание энтропии в необратимом процессе на ударной волне. Алгоритм предполагает одновременное решение краевой задачи при всех возможных постановках и последующий выбор единственного физически обоснованного в результате сопоставления этих решений. Для решения уравнения движения упругой среды в области волн Римана применяется неявная конечно-разностная схема.

2. Проведены постановки и получены численные решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от жестко закрепленной и свободной границ упругого полупространства. Решения иллюстрированы графиками, сделаны выводы качественного характера. Отмечено существование пороговых значений для параметров задачи, при которых происходит изменение волновой картины.

3. Проведены постановки и получены численные решения плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости о соударении абсолютно твердого и нелинейно упругого тел с плоскими границами, а также о соударении двух нелинейно упругих тел с плоскими границами, проведен их анализ. Отмечено существование пороговых значений для параметров задач, при которых изменяется характер взаимодействия тел на общей границе: либо происходит проскальзывание, либо жесткий контакт.

4. В рассмотренных плоских автомодельных краевых задачах установлена эквивалентность условия эволюционности ударных волн и термодинамического условия совместности разрывов.

1. Агапов Е.И., Белогорцев А.И., Буренин A.A., Резуиов A.B. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно-упругого материала // ПММ. 1989. №6. С. 146-150.

2. Агапов Е.И., Буренин A.A., Резунов A.B. О соударении двух нелинейно-упругих тел с плоскими границами // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР. 1990. С. 206-215.

3. Баскаков, В. А. Пластическое деформирование среды при взаимодействии сдвиговых ударных волн // ПМТФ. 1982. № 2. С. 127-133.

4. Баскаков В.А., Быковцев Г.И. Об отражении плоскополяризованной волны от свободной поверхности в упрочняющейся упругопластиче-ской среде // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 3. №1. С. 71-72.

5. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. К исследованию нестационарных поверхностных волн в нелинейно упругих средах // Прикл. механика. 1981. Т.17. №12. С. 27-33.

6. Блейх Г.Г., Мэтыоз А.Т. Движение со сверхсейсмической скоростью ступенчатой нагрузки по поверхности упругопластического полупространства // Механика: Сб. пер. 1968. №1 (107). С. 123-155.

7. Блейх Г.Г., Нельсон Дж. Плоские волны в упругопластическом полупространстве, вызванные совместным действием нормальной и касательной поверхностных нагрузок // ПММ. 1966. №1. С. 145—156.

8. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972. - 184 с.

9. Бондарь А.Г. Приближенное замкнутое решение нелинейного волнового уравнения // Прикл. механика. 1969. Т. 5. №7. С. 103-106.

10. Буренин A.A. Движение ступенчатой нагрузки со сверхсейсмической скоростью по границе нелинейно -упругого полупространства // Тр. НИИ матем., Воронеж: Изд -во ВГУ. 1973. Вып.8. С. 1-5.

11. Буренин A.A. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства // Прикл. механика. 1985. Т. 21. №5. С. 3-8.

12. Буренин A.A., Дудко О.В. О распространении ударных возмущений в предварительно деформированной разномодульной упругой среде // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела: Сборник научных трудов. Владивосток: ИМиМ ДВО РАН. 1997. С. 20-35.

13. Буренин A.A., Лапыгин В.В. Автомодельная задача об ударном на-гружении упругого полупространства // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 722-729.

14. Буренин A.A., Лапыгин В.В. Об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от плоской жесткой границы нелинейной упругой среды // ПМТФ. 1985. №5. С. 125-129.

15. Буренин A.A., Лапыгин В.В., Чернышов А.Д. К решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости // В кн.: Нелинейные волны деформаций. Материалы международного симпозиума. Таллин. 1978. Т.2. С. 25-28.

16. Буренин A.A., Нгуэн Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругой среде при плоской конечной деформации // ПММ. 1973. Т.37. Вып.5. С. 900 -904.

17. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т.42. Вып.4. С. 711-717.

18. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Взаимодействие ударной волны с границей раздела двух сред с нелинейными свойствами //В кн.: Нелинейные и тепловые эффекты при переходных волновых процессах. Тр. симпозиума / Горький-Таллин. 1973. Т.2. С. 44 -51.

19. Быковцев А.Г. О преломлении ударных волн чистого сдвига в упруго-пластическое полупространство // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 309-318

20. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. Отражение сдвиговой волны граничной плоскостью, свободной от напряжений //IV Всесоюз. симпозиум по распространению упругих и упругопластических волн: Тез. докл. Кишенев, 1968. С. 18-19.

21. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998. - 523 с.

22. Быковцев Г.И., Колокольчиков A.B., Сыгуров П.Н. Автомодельные решения уравнений динамики идеального упругопластического тела при условии пластичности Треска // ПМТФ. 1984. №6. С. 148—156.

23. Быковцев Г.И., Кретова Л.Д. О распространении ударных волн в упругопластических средах // ППМ. 1972. Т. 36. Вып. 1. С. 106-116.

24. Весоловский 3. Волны ускорений при конечных деформациях упругих материалов // Механика. Сб. перев. иностр. статей. 1973. №4. С. 143152.

25. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. -Киев: Наукова думка, 1981. 216 с.

26. Галин Г.Я. К теории ударных волн // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 55-58.

27. Галин Г.Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния // Доклады АН СССР. 1958. Т. 119. №6. С. 1106-1109.

28. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. №9. С. 87-158.

29. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневосточный матем. журнал. 2004. Т. 5. № 1. С. 100-109.

30. Годунов С.К. О неединственности "размазывания" разрывов в решениях квазилинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. Т. 136 №2. С. 272-273.

31. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М: Наука. 1978. - 336 с.

32. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. - 336 с.

33. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир. 1965. - 456 с.

34. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 1. Общие вопросы. Киев: Наук, думка. 1986. - 376 с.

35. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2. Закономерности распостранения. Киев: Наук, думка. 1986. - 536 с.

36. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельная задача нелинейной динамической теории упругости о взаимодействии продольной ударной волны с жесткой преградой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № С. 27-37.

37. Дудко О.В., Потянихин Д.А. О косом ударе жестким телом, имеющим плоскую границу, по нелинейному упругому полупространству // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4, ч.2. С. 32-40.

38. Дудко О.В., Потянихин Д.А. Автомодельное отражение плоской ударной волны от свободной границы // Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике": тезисы докладов. Новосибирск: ИГИЛ СО РАН, 2010. С. 102-103.

39. Золочевский A.A. Определяющие уравнения нелинейного деформирования с тремя инвариантами напряженного состояния // Прикл. механика. 1990. Т. 26. N №3. С. 74-80.

40. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. - 232 с.

41. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Гос. изд-во иностр. лит. 1961. 777 с.

42. Ковшов, А. Н. О преломлении упругой волны в упругопластическое полупространство //Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №6 С. 82-88.

43. Ковшов, А. Н., Скобеев А. М. Отражение пластической волны, падающей под углом на жесткую стенку // Изв. АН СССР, МТТ. 1973. М. С. 54-59.

44. Кондауров, В. И. Отражение плоской поперечной волны от свободной границы полупространства //В кн.: Труды научной конф. МФТИ. Сер. Аэромеханика. Процессы управления. Долгопрудный. 1973. С. 105-111.

45. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. - 275 с.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей. 1998. - 412 с.

47. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейных упругих средах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 523-534.

48. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства // ПММ. 1985. Т.49. Вып.2. С. 284 -291.

49. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об устойчивости квазипоперечных ударных волн в анизотропных упругих средах // ПММ. 2000. Т.64. Вып. 6. С. 1020-1026.

50. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. №6. С. 1119-1126.

51. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией. 2007. Современные проблемы математики. М.: МИАН. Вып. 7. - 150 с.

52. Ленский Э.В. Ударная волна при продольно-крутильном ударе // Газовая и волновая динамика. Москва. 1979. . С. 320-326.

53. Ленский Э.В. Об ударной адиабате плоского ударно-сдвигового разрыва // Вестник МГУ, серия Математика, Механика. 1981. Т.36. №1. С. 94-96.

54. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории нелинейной упругости (комбинированные нелинейно упругие волны). М.: Изд-во МГУ, 1983. - 71 с.

55. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно упругой среде // Вестник МГУ. Сер. матем. и механика, 1983. №3. С. 80-86.

56. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

57. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по унругопластическому полупространству //

58. Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4, ч.2. С. 136-142.

59. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. - 445 с.

60. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел. Таллин: Изд-во АН ЭССР. 1972. - 174 с.

61. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостех-издат. 1948. - 211 с.

62. Олейник O.A. Об одном классе разрывных решений квазилинейных уравнений первого порядка // Научн. докл. высшей школы. Физ.-мат. науки. 1958. №3. С. 91-98.

63. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейногоуравнения. Успехи математических наук. 1959. Т. 14. №2(86). С. 159-164.

64. Пелиновский Ю.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус. 1984. - 164 с.

65. Перссон К.О. Давление в ударной волне при косом соударении. Теоретическое исследование //В кн.: Нестационарные процессы в деформируемых телах. М.: Мир. 1976. С. 132-149.

66. Потянихин Д.А. Косое отражение ударной волны от жесткой границы в нелинейной упругой среде // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Изд-во "Дальнаука", 2007. С. 146-147.

67. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Гос. изд-во иностр. лит. 1963. - 311 с.

68. Рождественский B.JI. Разрывные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. №6. С. 59-117.

69. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука. 1978. - 688 с.

70. Сабодаш П.Ф., Тихомиров H.A., Навал И.К. Автомодельные движения физически нелинейной упругой среды, вызванные локальным выделением энергии //В кн.: Нелин. волны деформаций. Матер, межд.еимп. Таллин. 1978. Т. 2. С. 145-148.

71. Свешникова Е.И. Ударные волны в слабоанизитропном кпругом несжимаемом материале // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 144-153.

72. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Изд. 8-е, переработанное. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". 1977. 440 с.

73. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз. 1962. - 284 с.

74. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2 /Изд. 2-е исправ. и доп. М.: Наука, 1973. Т. 1. - 536 с. Т. 2. - 584 с.

75. Скобеев, A.M., Флитман Л.М. Подвижная нагрузка на неунругой полуплоскости // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 1. С. 189-192.

76. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа. 1979. - 318 с.

77. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир. 1964. - 308 с.

78. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругости // Сб. научн. тр. факультета ПММ. Воронеж: Изд -во ВГУ, 1971. Вып. 2. С. 137-142.

79. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде // ПМТФ. 1972. Т. 3. С. 186-188.

80. Черных Е.М. Автомодельная задача об ударном нагружении нелинейно упругого материала // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 793-799.

81. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикл. механика. 1977. Т. 13. №1. С. 3-30.

82. Черных К.Ф., Шубина И.Н. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов //В кн.: Механика эластомеров. Краснодар. 1977. Т. 1. С. 54-64.

83. Чугайнова А.П. Автомодельная задача о действии бегущей нагрузки на границу нелинейного упругого слабоанизотропного полупространства // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 102-109.

84. Чугайнова А.П. О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границе упругого полупространства // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1990. Т.25. №3. С. 187-189.

85. Чугайнова А.П. О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве // ПММ. 1988. Т.52. Вып. 4. С. 692-697.

86. Чугайнова А.П. О взаимодействии нелинейных волн в слабоанизотропной упругой среде // ПММ. 1993. Т.57. Вып. 2. С. 75-81.

87. Чугайнова А.П. Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 147. №2. С. 240-256.

88. Эигельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформаций. М.: Наука. 1981. - 256 с.

89. Biot М.А. Mechanics of incremental deformations. New York: Willey. 1965. - 504 p.

90. Chy Boa-Teh. Transverse shock waves in incompressible elastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. №1. P. 1-14.

91. Chy Boa-Teh. Finite amplitude waves in incompressible perfectly elastic materials // J. Mech. Phys. Solids. 1964. V.12. №. P. 45-57.

92. Engelbrecht J. Nonlinear wave processes of deformation in solids. L: Pitman. 1983. - 217 p.

93. Hadamard, J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations de Vhydrodynamique. Paris. Librairie Scientifique A Hermann, 1903.

94. Kulikovskii, A.G.; Chugainova, A.P.; Sveshnikova, E.I. On the nonuniqueness of solutions to the nonlinear equations of elasticity theory //J. Eng. Math. 55, №1-4, 97-110 (2006).

95. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Willy; London: Chapman. 1951. - 140 p.

96. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformation of isotropic materials. Experiments of the deformations of rubber // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1951. V. A 243. P 251-288.

97. Signorini A. Transformazioni termoelastiche finite // Mem. 2a. Ann. Mat. Pura Appl. 1949. V. 30. P 1-72.

98. Ting T.C.T. Propagation of diccontinnities of all orders in nonlinear media // In: Rec. fdf. in Eng. Sci./ Chang T.S. Massachusetts: Sci. Publ. Iuc, 1975. V. 5. P. 101-110.

99. Trusdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Rat. Mech. Anal. 1961. V. 8, №4. P. 263-296.

100. Wesolovski Z. Shock wave in non-linear elastic material // In: XVII Pol. Solid Mech. Conf. Szozirk. 1975. Abstr. S.l, S.a., P.225.

101. Wesolovski Z., Burger W. Shock wave in incompressible elastic solid // Reol. Acta. 1975. V.16. P. 631-640.

102. Yogchi Li, Ting T.C.T. Plane waves in simple elastic solids and discontinuos dependence of solution on boundary conditions // Int. J. Sol. Struct. 1983. V.19. №11. P. 989-1008.