Динамика деформирования материалов с предварительными большими необратимыми деформациями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Поверхности разрывов обратимых деформаций

1.1 Модель упругопластической среды с большими деформациями

1.2 Соотношения на поверхностях разрывов деформаций

1.3 Одномерные плоские поверхности разрывов обратимых деформаций

Глава 2 Одномерные автомодельные задачи динамики упругопластических сред

2.1 Ударное нагружение полупространства с однородным распределением остаточных напряжений.

2.2 Нестационарная задача о разгрузке упругопластического полупространства

2.3 Задача о сферической продольной ударной волне постоянной интенсивности в упругопластическом теле.

2.4 Задача о сходящейся к центру ударной волне.

Глава 3 Плоская автомодельная задача о разгрузке упругопластического полупространства

3.1 Основные соотношения плоских автомодельных задач

3.2 Постановка задачи о разгрузке упругпластического полупространства

3.3 Результаты численных экспериментов.

Одной из основополагающих гипотез при моделировании деформирования материалов является гипотеза существования свободного состояния. Таким способом приходят к определению деформаций, отсчитывая их от данного состояния, где они полагаются равными нулю. Также нулевыми в свободном состоянии считаются и напряжения. Из-за различных неоднородностей, присущих реальным материалам, осуществить однородное свободное состояние в них на практике не представляется возможным. В процессах предварительной обработки и изготовления изделий (прокатка, штамповка) материалы могут приобретать значительные необратимые деформации. Такие деформации могут явиться причиной остаточных напряжений, которые не полностью могут быть сняты соответствующими технологическими приемами (отжиг, закаливание). Следует заметить, что некоторые из отмеченных эффектов имеют принципиально нелинейный характер и описать их можно лишь в рамках теории больших упругопласти-ческих деформаций.

При построении упругойластической теории, допускающей большие деформации, одной из принципиальных трудностей является выбор разделения экспериментально наблюдаемых полных деформаций на экспериментально не измеряемые обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) составляющие. До сих пор не существует общепринятого мнения по этому поводу, и модели больших упругопластических деформаций принципиально различаются именно таким разделением.

Первая попытка разрешить данную проблему была предпринята Л.И. Седовым [95]. Предполагалось, как и в классической теории, аддитивное представление тензора полных деформаций через упругие и пластические тензоры деформаций. Вектор перемещений в этом случае также полагался представимым в виде суммы упругой и пластической части. Критика данного подхода хорошо известна и даже по объему в научной механической литературе, пожалуй, чрезмерна.

Большой прорыв в развитии упругопластической теории конечных деформаций сделало предположение E.H. Lee [121] о мультипликативной представимости разложения градиента полных деформаций df дг др р р dfo dpdfQ е р' где fo, f - радиус-векторы начального и текущего положений точки деформируемой среды, р - радиус-вектор этой же точки в состоянии разгрузки. Таким образом, вводится так называемое состояние разгрузки, которое однозначно связано с начальным и текущим состоянием среды и не зависит от процесса разгрузки. Определяется такое состояние среды с точностью до жесткого вращения, однако [52], при таком повороте могут нарушаться и принцип материальной индифферентности и принцип термодинамической допустимости. В частности, попытку E.H. Lee перенести этот прием на случай малой упругой анизотропии [123] следует признать неудачной.

Дальнейшее развитие идеи E.H. Lee содержится в статьях Кондауро-ва В.И. и Кукуджанова В.Н. [46], Кондаурова В.И. [43]. В рамках построенной на таком предположении [121] модели конечных упругопластических деформаций изучались закономерности распространения волн напряжений [45, 48] и предлагались способы расчетов в нестационарных задачах необратимого деформирования твердых тел [44, 46]. Заслугой авторов данных статей является не только исправление неточностей в подходе E.H. Lee, но, что особенно существенно, конкретизация модельных зависимостей с целью решения конкретных краевых задач.

Подход, предложенный E.H. Lee, получил широкое распространение и использовался во многих последующих работах [122, 58, 131, 136, 127, 35, 118, 120, 116, 125, 137, 126]. Предпринимался ряд попыток распространить кинематику E.H. Lee на анизотропные упругопластические материалы с кристаллической внутренней структурой [116, 120, 125]. Заметим еще раз, что в [52] перенос представления E.H. Lee для обратимых и необратимых деформаций на анизотропные среды является некорректным. И, как следствие, данная ошибка E.H. Lee присуща и перечисленным работам последователей. Кроме того, А.Е. Green и P.M. Naghdi [119] обратили внимание на то, что в кинематике E.H. Lee не удается образовать тензор необратимых деформаций таким, чтобы он не менялся в процессах разгрузки. Однако, попытку исправления, предпринятую ими, также следует признать неудачной, поскольку в модели, которую они построили, теперь уже закон связи напряжений с необратимыми деформациями существенно зависит от пластических деформаций. А это, в свою очередь, не позволяет использовать соотношения модели для практических нужд, так как конкретизировать такой закон с помощью экспериментов не представляется возможным. В работе [130] S. Nemat-Nasser показал, что кинематика

A.Е. Green и P.M. Naghdi [119] опирается на тензоры деформаций, не выражающиеся однозначно через метрический тензор, что делает такую теорию сомнительной. Сами же они, как и ранее Л.И. Седов [95], предлагают разделить вектор перемещений на упругую и пластическую составляющие. Данное разделение оказалось не лучшим, поскольку введенные тензоры не инвариантны при жестких вращениях.

В монографии В.И. Левитаса [52] суммированы результаты исследований Киевской школы механиков [53, 54, 55, 56, 69, 72]. Построенная

B.И. Левитасом кинематика конечных упругопластических деформаций свободна от многих неточностей предшественников, но основополагающей гипотезой ее построения, остается положение E.H. Lee о существовании разгрузочного состояния. В результате оказались необходимыми дополнительные ограничения [124], освобождающие теорию от зависимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки. На сегодняшний день это, пожалуй, наиболее продвинутая теория, сведенная до приложений [71, 73] с численными расчетами конкретных краевых задач [57, 70].

В работе Г.И. Быковцева и A.B. Шитикова [26] впервые был предложен иной подход к построению кинематики, не использующий понятие промежуточной конфигурации. В этом случае определение обратимых и необратимых деформаций задается дифференциальными зависимостями. В процессах разгрузки в построенной таким способом модели веделяется лишь то состояние, начиная с которого данные процессы осуществляются. Таким способом удалось добиться, чтобы любое состояние в процессах разгрузки не зависело от характера самого процесса, а определялось только параметрами его начала.

Иной подход к моделированию материалов допускающих большие необратимые деформации, основанный на положениях неравновесной термодинамики (а процесс пластического деформирования является существенно неравновесным) предложен в работе В.П. Мясникова [68]. Понятия тензоров обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций вводятся также дифференциальными зависимостями посредством построенных соответствующим образом уравнений переноса. Тензор полных деформаций принимается в виде суммы данных тензоров, характеризующих внутреннюю структуру среды и являющихся основными внутренними термодинамическими параметрами наряду с энтропией. Таким образом, отмечается, что способ разбиения деформаций на обратимую и необратимую части не принципиален для построения модели. Дальнейшая конкретизация связана только с удобствами математического описания. В данной работе отличие упругих деформаций от пластических связано только с тем, в каком из уравнений переноса и каким способом поставлен источник данного внутреннего термодинамического параметра. Для понимания механического и термодинамического смысла вводимых гипотез при построении теории конечных упругопластических деформаций работа В.П. Мясникова [68] незаменима. В ней предельно просто и ясно указаны свойства материалов, закладываемые в модель, и в каком качестве они предстают при использовании формализма феноменологической термодинамики необратимых процессов.

Развитие идеи Г.И. Быковцева и дальнейшая конкретизация модельных соотношений содержится в работе A.A. Буренина, J1.B. Ковтанюк [15,17, 18]. В рамках построенной на такой основе модели решен ряд стационарных задач упругопластической среды [39, 40]. Этот же подход развивается с использованием термодинамики и на основе сформулированного вариационного принципа в статье A.B. Шитикова [109].

Для изучения влияния предварительных необратимых деформаций принципиально необходимо воспользоваться нелинейной теорией больших деформаций. С этой целью выбирается теория, построенная A.A. Бурениным и JI.B. Ковтанюк [17, 18] на основе предложений Г.И. Быковцева и В.П. Мясникова. Связан такой выбор еще и с тем, что принятая в [17, 18] дополнительная упрощающая гипотеза о независимости внутренней энергии от необратимых деформаций сводит теорию к конкретной математической модели без введения дополнительных по сравнению с общеизвестными параметров, которые требовали бы своего экспериментального измерения.

Особенности процесса распространения деформаций по упругопластическим телам целенаправлено и интенсивно изучались в течение всего послевоенного периода прошлого века. Первой принципиально важной следует признать здесь публикацию Х.А. Рахматулина [75], посвященную особенностям возникновения и закономерностям распространения волн разгрузки. Обзор ранних работ по теме, посвященных, главным образом, одномерным волнам нагрузки и разгрузки в упругопластических стержнях подготовлен Х.А. Рахматулиным и Г.С. Шапиро [80] и М.И. Рейтманом и Г.С. Шапиро [81] и освобождает нас от детального их анализа. Отметим лишь объемное теоретическое исследование Р. Хилла [104], посвященное законемерностям распространения слабых волн (поверхностей разрывов ускорений), и экспериментально-теоретическое исследование Д. Манделя [64], в котором было замечено, что передним фронтом распространеющих-чя деформаций всегда является упругий предвестник (слабая или бездис-сипативная продольная ударная волна).

В самом начале шестидесятых годов XX века Т. Томас [100] предложил весьма эффективный метод изучения поверхностей разрывов, основанный на обобщении условий совместности Адамара на случай разрывных функций. Ограничения на возможные разрывы полевых функций на движущихся поверхностях, следующие из геометрии поверхности и ее кинематики, были названы Т. Томасом геометрическими и кинематическими условиями совместности разрывов. Оказалось, что с помощью таких условий совместности можно не только получить условия существования разных типов поверхностей разрывов, но и проследить за характером изменения интенсивности разрыва в процессе распространения этих поверхностей. Полученные на такой основе обыкновенные дифференциальные уравнения для интенсивностей разрывов получили впоследствии название уравнений затухания.

Х.А. Рахматулиным был подготовлен также обзор работ по распространению упругопластических волн [76]. В него вошли первые работы по волнам нагрузки и разгрузки в упругопластических телах [31, 32, 34, 62, 76, 78, 79, 97, 104, 106, 110, 111, 128, 129, 139] и др. и работы, посвященные решению краевых задач динамики упругопластического деформирования (главным образом, автомодельных) [13, 14, 28, 77, 98] и др.

Заметим, что изучение поверхностей разрывов ускорений [27, 31, 104, 105] не встретило в теории упругопластических материалов дополнительных математических трудностей, в то время как исследование поверхностей разрывов скоростей из-за изначальной формулировки задачи на стадии пластического течения в скоростях деформаций натолкнулось на сложность, связанную с записью характеристической системы уравнений в терминах разрывов напряжений и скоростей перемещений. В решении данной проблемы наметилось два пути. В первом из них, представленном работами А.Д.Чернышова [106, 107], соотношения в разрывах записывались после решения задачи о структуре ударной волны. При этом диссипатив-ный механизм деформирования в ударной волне дополнялся учетом вязких свойств среды, исчезающих при выходе из отмеченной структуры. Таким способом удается записать недостающее интегральное соотношение, связывающее разрывы напряжений обратимых и необратимых деформаций.

Г.И Быковцевым и Л.Д. Кретовой предложен был другой прием получения недостающего соотношения [32]. Предполагалось, что деформирование в ударной волне подчинено принципу максимального роста энтропии. Экстремальность процесса привела не только к возможности записать недостающее соотношение, но и к существенно упрощающему все рассмотрения результату о неизменности главных осей тензора напряжений при деформировании в переходном слое ударной волны. Заметим, что этот же результат был получен В.М. Садовским при использовании в изучении поверхностей разрывов деформаций вариационных неравенств [88, 90, 93].

Поверхности разрывов скоростей изучались впоследствии при учете упрочнения [90, 107], сжимаемости [16] и разных представлениях для поверхностей нагружения. Однако, использовалась при этом математическая модель упругопластического деформирования Прандтля-Рейса или ее некоторые обобщения, не выходящие за рамки малых деформаций.

Поверхности разрывов скоростей при больших деформациях тел рассматривались только в рамках модели упругой среды [12, 19, 20, 49, 50, 59, 102, 103, 115, 138]. Именно результаты таких исследований существенно повлияли на формулировку задач настоящей работы.

По-видимому, одной из первых решенных задач динамики упруго-пластической среды с объемными волнами явилась работа Г.Г. Блейха и Дж. Нельсона [13] о косом ударе по упругопластическому полупространству. При мгновенно приложенной, но постоянной в дальнейшем нагрузке такая задача оказалась автомодельной. С помощью рассчитанной комбинации ударных и простых волн решение такой задачи было построено полуобратным методом. Позднее Г.Г. Блейхом и А.Т. Мэтьюзом [14] была рассмотрена плоская автомодельная задача о движении нагрузки по упругопластическому полупространству. Данная задача независимо была рассмотрена также A.M. Скобеевым и JI.M. Флитманом [98]. Ряд автомодельных задач об отражении ударных волн от плоских преград и о взаимодействии ударных волн были рассмотрены В.А. Баскаковым [7, 8, 9, 10] и А.Г. Быковцевым [22, 23, 24, 25]. Автомодельные квазистационарные задачи о внедрении клина в упругопластическую среду рассмотрел П.Н. Сыгуров [99].

Теория особых поверхностей в деформируемых средах, начало которой было положено работами Адамара и Т. Томаса, была закончена Г.И.

Быковцевым и его учениками (JI.A. Бабичевой, И.А. Власовой, Н.Г. Шаталовым, В.Н. Дуровой, А.П. Бестужевой) [30]. Это дало возможность предложить весьма эффективный метод решения неавтомодельных задач динамики деформируемых сред, названный авторами лучевым методом [5]. Данный подход позволил изучить поверхностные нестационарные волны в упругопластических телах [11].

Созданию численных процедур решения задач динамики деформируемых сред с пластическими свойствами много внимания уделили А.Н. Кукуджанов [48, 46], M.J1. Уилкинс [101], В.М. Садовский [94].

Целью настоящей работы является изучение условий существования закономерностей распространения бездиссипативных поверхностей разрывов и простых волн в предварительно необратимо продеформированных упругопластических телах, допускающих большие необратимые деформации. Некоторые результаты настоящей работы представлены в публикациях [21, 65, 36, 63].

Первая глава посвящена изучению условий существования поверхностей сильных разрывов (упругих ударных волн) в материалах с большими необратимыми деформациями. В первом параграфе вводятся основные соотношения модели конечных упругопластических деформаций. Для описания такой среды используется модель, предложенная Г.И. Быковцевым, A.A. Бурениным, Л.В.Ковтанюк [15].

Во втором параграфе непосредственно записываются соотношения, описывающие динамическое деформирование на ударных волнах, рассматриваются условия совместности разрывов (геометрические, кинематические, динамические), накладывающие ограничения на изменение величин, претерпевающих разрыв на ударной волне. Используя данные условия совместности разрывов и определяющие соотношения модели упругопластической среды, выводится система уравнений, связывающая разрывы компонент градиента вектора перемещений точек среды на такой ударной волне. Условия разрешимости такой системы при известных предварительных пластических деформациях, движении среды перед ударной волной и известной геометрии поверхности разрывов позволяют записать условия существования возможных типов ударных волн, а также определить их плоскости поляризации.

В третьем параграфе производится исследование полученной системы уравнений в разрывах для случая одномерного деформирования упру-гопластической среды. Показано, что ударные возмущения распространяются в среду посредством плоских ударных волн. Условия возникновения таких ударных волн следуют из условий разрешимости системы уравнений в разрывах, записанной для одномерного случая. Наличие больших необратимых деформаций в упругопластической модели влияет на процессы последующего упругого деформирования, поэтому, в отличие от классической линейной теории упругости, в данном случае ударное изменение объема и формы на поверхностях сильных разрывов может происходить одновременно. Таким образом, в настоящем параграфе получено, что передними фронтами распространения деформаций могут быть три типа плоских волн: квазипродольная, квазипоперечная и волна круговой поляризации. Первая волна несет в среду комбинированное изменение продольных и сдвиговых деформаций, причем она в большей степени изменяет объемные деформации, чем деформации изменения формы. Вторая волна также несет в среду одновременное изменение объема и формы, но, в отличие от первой, изменяются на ней в основном сдвиговые деформации. Волна круговой поляризации изменяет согласно производимому воздействию направленность существующего предварительного сдвига. Вычислены скорости каждой из возможных одномерных ударных волн. Для постановки конкретных краевых задач необходимо заранее знать вид возможной волновой картины, поэтому в данном параграфе присутствуют некоторые рассуждения о соотношениях между скоростями их распространения. Несомненно, что первой волной в теле всегда будет распространяться квазипродольная ударная волна (если такая вообще имеет место), несущая в среду изменение, по большей части, объемных деформаций. В отношении двух других ударных волн нельзя с точностью сказать, какая из них будет первой, до момента решения конкретной краевой задачи. Это вносит определенные сложности при решении задач, так как оказываются возможными две постановки: 1) скорость квазипоперечной ударной волны больше скорости волны круговой поляризации, 2) скорость волны круговой поляризации больше скорости квазипоперечной ударной волны. Реализация одного из возможных вариантов устанавливается только в процессе численного счета в зависимости от условий поставленной краевой задачи.

Вторая глава посвящена постановкам и решению ряда одномерных автомодельных краевых задач упругого деформирования сред с большими необратимыми деформациями. В первом 9параграфе, согласно анализу, проведенному в первой главе, поставлено и решено несколько автомодельных одномерных задач. В соответствии с численными расчетами, проведенными в данных задачах, получено, что скорость распространения квазипродольной ударной волны больше скорости ударной волны круговой поляризации. Рассмотрены различные граничные условия для данной задачи, при которых могут существовать различные волновые картины (с тремя, двумя и одной ударной волной).

Во втором параграфе второй главы рассматривается одномерное автомодельное движение в случае сферической симметрии. Поставлена и численно решена автомодельная задача о расхождении сферической ударной волны, на которой в процессе ее движения интенсивность сдвига остается постоянной величиной.

В третьем параграфе решается подобная задача для случая сходящейся сферической ударной волны постоянной интенсивности.

В третьей главе изучается плоское автомодельное движение среды на примере задачи о ступенчатой разгрузке упругопластического полупространства движущейся со сверхсейсмической скоростью вдоль его границы. Согласно динамическим законам движения среды, получена система дифференциальных уравнений, описывающая плоское автомодельное движение точек упругопластической среды. Решение данной системы описывает процессы происходящие в области простой волны, передний и задний фронты которой являются поверхностями разрывов ускорений. Также согласно тривиальному решению данной системы описывается поведение среды в областях между простыми или ударными волнами. Для плоского движения, согласно условиям совместности разрывов и основным модельным соотношениям, получена система уравнений в разрывах, решение которой при известном деформированном состоянии перед ударной волной описывает условия существования и скорости распространения ударных волн. Используя полученные результаты, поставлена и численно решена плоская автомодельная задача о разгрузке упругопластического полупространства. При ее решении рассматриваются две возможные постановки: а) после первой простой волны Римана также идет простая волна, б) следом за простой волной Римана идет квазипоперечная ударная волна. Выяснение реализации первой или второй волновой картины осуществляется на основе условия эволюционности. Численное решение данной задачи представленно в работе в виде графиков.

1. На основе анализа системы уравнений в разрывах на поверхности раз рывов обратимых деформаций в упругопластической среде с большими необратимыми деформациями получены условия суш;ествования трех типов ударных волн и вычислены скорости их распространения в за висимости от предварительных деформаций.2. Для случая плоских одномерных ударных волн указан механический смысл возможных поверхностей разрывов так, что одна из них несет в среду преимуш,ественно деформации изменения объема (квазипродоль ная волна), вторая - изменение интенсивности сдвиговых деформаций (квазипоперечная волна) и третья - изменение направленности пред варительных сдвиговых деформаций (волна круговой поляризации).3. Вычислены скорости распространения данных поверхностей разрывов и установлены соотношения между ними; показано, в частности, что квазипродольная ударная волна в любом случае имеет скорость боль шую по сравнению со скоростью волны круговой поляризации. Показа но, что квазипродольная и квазипоперечная ударные волны являются плоскополяризованными и указаны положения данных плоскостей в зависимости от предварительных деформаций.4. На основе полученных результатов проведены постановки и получе ны решения одномерных краевых задач динамики упругопластической среды: об ударной нагрузке и мгновенной разгрузке упругопластиче ского полупространства с предварительными большими необратимыми деформациями, о сферической ударной волне постоянной интенсивно 106 сти, распространяющейся по среде с необратимыми деформациями.5. Изучены условия существования и закономерности распространения поверхностей бездиссипативных разрывов в условиях плоских конеч ных деформаций.6. Поставлена и численно решена задача о ступенчатой разгрузке упруго пластического полупространства. Проведенный вычислительный экс перимент при решении данной автомодельной задачи показал, что раз грузка среды преимущественно осуществляется с помощью простых центрированных волн разгрузки.

1. Аннин Б.Д., Садовский В.М. Численное решение динамической контактной задачи о деформировании пакета упругопластических плит // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГ СО АН СССР. -1986. - Вып.75. - С.27-36.

2. Аннин Б.Д., Садовский В.М. Динамика слоистых упругопластических плит / / Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР. - 1987. - С.56-60.

3. Бабичева JI.A. Лучевой метод в динамике упруговязкопастической среды // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Воронеж. - 1973. - 114с.

4. Бабичева JI.A., Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. Лучевой метод решения динамических задач в упруговязкопластических средах // ПММ. -Т.З, вып.1. 1973.

5. Бабичева Л.А., Вервейко Н.Д. О распространении цилиндрического импульса по границе упруговязкопластической среды // Труды НИИ мат. Воронеж, ун-та. 1971. - Вып.4. - С.96-100.

6. Баскаков В.А. К задаче отражения безвихревых ударных волн от границы упругопластического полупространства //Сб. научных трудовфакультета прикладной математики и механики Воронежского университета. 1971. - Вып.1. - С.39-49.

7. Баскаков В.А. Об отражении плоских сдвиговых волн от свободной поверхности в упрочняющейся среде // В сб.: Распространение упругих и упругопластических волн. Алма-Ата: Наука. - 1973. - С.65-72.

8. Баскаков В. А. Об автомодельных упругопластических решениях в задаче преломления плоских волн // Труды НИИ математики Воронежского университета. 1973. - Вып.8. - С.58-63.

9. Баскаков В.А. О плоскополяризованном волновом движении упруго-пластической среды // Изв. Воронежского гос. пед. ун-та. 1978. -Вып.200. - С.84-87.

10. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. Волны сильного разрыва на поверхности пластически деформирующегося тела // Механика деформируемого твердого тела. Куйбышев: КГУ. - 1977. - С.65-68.

11. Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. -1972.- 183с.

12. Блейх Г.Г., Нельсон Дж. Плоские волны в упругопластическом полупространстве, вызванные совместным действием нормальной и касательной поверхностных нагрузок // ПММ. М.: Мир. - 1966. - JV91. -С. 145-156.

13. Блейх Г.Г., Мэтьюз А.Т. Движение со сверхсейсмической скоростью ступенчатой нагрузки по поверхности упругопластического полупространства // Сб. пер. "Механика". 1968. - №1(107). - С.123-155.

14. Буренин A.A., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1996. - 347. - №2. - С.199-201.

15. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. Об одном варианте несжимаемого упругопластического тела, допускающего большие деформации // Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1995. - С.5-9.

16. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. О простейшей модели упругопласти-ческой среды при конечных деформациях //Сб. тез. докл. XXXIV юбилейной научн.-техн. конференции ДВГТУ. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1994. - С.121-122.

17. Буренин A.A., Нгуен Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругой среде при конечной деформации // ПММ. -1973. 37, вып.5. - С.854-858.

18. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1973. - 42, вып.4. - С.711-717.

19. Буренин A.A., Дудко О.В., Манцыбора A.A. О распространении обратимых деформаций по среде с накопленными необратимыми деформациями // ПМТФ. 2002. -Т.43. - №5. - С.162-170.

20. Быковцев А.Г. Преломление плоскополяризованных волн на границе раздела упругого и упругопластического полупространства // ПММ. 1985. - Т.49, вып.2. - С.307-325.

21. Быковцев А.Г. О преломлении волны сдвига в нелинейно-упругое и упругопластическое полупространство // ПММ. 1986. - Т. 50, вып.З. - С.490-497.

22. Быковцев А.Г. О преломлении ударных волн чистого сдвига в упругопластическое полупространство // ПММ. 1989. - Т.53, вып.2. -С.309-318.

23. Быковцев А.Г. Моделирование процесса преломления поперечных сейсмических волн в грунте // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток. - 1991. - С.191-205.

24. Быковцев Г.И., Шитиков A.B. Конечные деформации упругопласти-ческих сред // Докл. АН СССР. 1990. - 311. - №1. - С.59-62.

25. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. О распространении волн в упруговяз-копластической среде // МТТ. 1966. - №4. - С.111-123.

26. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. Отражение сдвиговой волны граничной плоскостью, свободной от напряжений // В сб.: IV Всес. симпозиум по распространению упругих и упругопластических волн. Тезисы докладов. Кишинев: АН Молд. ССР. - 1968. - С. 18-19.

27. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука. - 1971. - 232с.

28. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. - 1998. - 232с.

29. Быковцев Г.И., Кретова Л.Д. О волнах ускорений в идеальных упругопластических телах // МТТ. 1967. - №1. - С.102-110.

30. Быковцев Г.И., Кретова Л.Д. О распространении ударных волн в упругопластических средах // ПММ. 1972. - 36. - №1. - С. 106-116.

31. Васидзу К. Вариационные принципы в теории упругости и пластичности. М.: Мир. - 1978. - 542с.

32. Викторов В.В., Добровольский И.Г., Шапиро Г.С., Наяр Е.М. О распространении упругопластических и упруговязкопластических волн //В сб.: Волны в неупругих средах. Кишенев: АН Молдавск. ССР. -1970. - С.32-46.

33. Горовой В.А., Асатурян А.Ш. Теория пластичности пористых сред с конечными деформациями // Докл. АН УССР. Сер.А. - 1981. -№5. - С.39-42.

34. Дудко О.В., Манцыбора A.A. Поверхности разрывов обратимых деформаций в упругопластических средах // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике / Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН. - 2001. - С.241.

35. Ивлев Д.Д. Об уравнениях линеаризованных пространственных задач теории идеальной пластичности // Докл. АН СССР. 1960. - 130. -№. - С.1232-1235.

36. Ковтанюк JI.B. О "залечивании" цилиндрического концентратора напряжений // Сб. тез. докл. XXXVII научн.-техн. конференции ДВГ-ТУ. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1997. - С.21-23.

37. Ковтанюк JI.B., Полоник М.В. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала //В сб. Проблемы механики сплошной среды. Владивосток. - 1998. - С.94-113.

38. Ковшов А.Н. О преломлении упругой волны в упругопластическое полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №6. - С.82-88.

39. Колесников В.А. Косой удар по поверхности упругопластического полупространства // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - №6. - С.71-76.

40. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // ПМТФ. 1982. - №4. - С.133-139.

41. Кондауров В.И. Численный метод решения многомерных задач динамики неупругих тел с конечными деформациями // Автореф. дис. канд. физ-мат. наук. М. - 1974. - 13с.

42. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Распространение волн напряжений и некоторые дополнительные неравенства теории упруговязкопласти-ческих сред с конечными деформациями // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1985. - №1. - С.128-133.

43. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Ч исленное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упругопластических сред. -М.:Мир. 1975. - С.38-84.

44. Коншур В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука. СО. - 1990. - 198с.

45. Кукуджанов В.Н. Неустановившиеся задачи динамики упругопластических сред // Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. М. - 1981. - 35с.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства // ПММ. 1985 - Т.49, вып.2. - С.248-291.

47. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: "Московский лицей". - 1998. - 412с.

48. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев.: Наукова думка. - 1987. - 232с.

49. Левитас В.И. К теории больших упругопластических деформаций // Докл. АН УССР. Сер. А. 1983. - №11. - С.48-53.

50. Левитас В.И. О методе построения теории пластичности // Проблемы прочности. 1980. - №4. - С.85-90.

51. Левитас В.И. Определяющие уравнения в скоростях для изотропных и анизотропных упругопластических материалов при конечных деформациях // Докл. АН УССР. Сер. А. -1986. №6. - С.35-38.

52. Левитас В.И. Теория больших упругопластических деформаций при высоком давлении // Проблемы прочности. 1986. - №8. - С.6-94.

53. Левитас В.И., Шестаков С.И., Душинская Г.В. Исследование несущей способности элементов аппарата высокого давления цилиндрического типа // Физика и техника высоких давлений. 1984. - №15. - С.43-46.

54. Леманн Т. О теории неизотермических упругопластических и упруш-вязопластических деформаций // Проблемы теории пластичности. -М.: Мир. 1976. - С.69-90.

55. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории нелинейной упругости (комбинированные нелинейно-упругие волны). М.: Изд-во МГУ. - 1983. - 71с.

56. Лионе Ж. О неравенствах в частных производных // Успехи матем. наук. 1971. - Т.26, вып.2(158). - С.205-263.

57. Лурье А.И. Дифференцирование по тензорному аргументу // В сб. Вопросы математической физики. Л.: Наука. - 1976. - С.48-57.

58. Ляхов Г.М., Покровский Г.И. Взрывные волны в грунтах. М.: Госгортехиздат. - 1962. - 103с.

59. Макин P.A., Манцыбора A.A. Задача о разгрузке упругопластиче-ского тела при малых деформациях // Сборник тезисов докладов научно-технической конференции "Вологдинские чтения". Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 2000. - С. 14.

60. Мандель Д. Пластические волны в неограниченной трехмерной среде // Сб. переводов "Механика". 1963. - №5(81). - С.151-179.

61. Манцыбора A.A. Распространение одномерных плоских ударных волн по упругопластической среде при конечных деформациях // Дальневосточная школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докл. -Владивосток: Дальнаука. 2001. - С.77-78.

62. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязкопластической среды // ПММ. -1965. Т.29. - №. - С.468-492.

63. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткой л астических сред, -М.: Наука. 1981. - 208с.

64. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. - JH. - С.8-13.

65. Новиков Н.В., Левитас В.И. Моделирование термопластического течения материалов в аппаратах высокого давления // Вестн. АН УССР. 1985. - т. - С.7-17.

66. Новиков Н.В., Левитас В.И., Лещук A.A. Численное моделирование зон стабильности материалов в рабочем объеме АВД // Сверхтвердые материалы. 1984. - №4. - С.3-8.

67. Новиков Н.В., Левитас В.И., Полотняк С.Б., Золотарев P.A. Напряженно-деформированное состояние элементов АВД с алмазными наковальнями // Влияние высоких давлений на структуру и свойства сверхтвердых материалов. Киев: ИСМ АН УССР. - 1985. -С.65-70.

68. Новиков Н.В., Левитас В.И., Розенберг O.A. Об экспериментальном подтверждении усиленного постулата идеальной пластичности при квазимонотонном нагружении // Докл. АН УССР. Сер. А. 1985. -т. - С.31-34.

69. Новиков Н.В., Левитас В.И., Шестаков С.И. Исследование напряженного состояния силовых элементов аппаратов высокого давления // Проблемы прочности. 1984. - №11. - С.43-48.

70. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1981. - 344с.

71. Рахматулин Х.А. О распространении волны разгрузки // ПММ. -1945. 9. - Ж. - С.91-100.

72. Рахматулин Х.А. Обзор работ по распространению упругопластиче-ских волн // Сб. Прочность и пластичность. М.: Наука. - 1971. -С.301-316.

73. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: ГИФМЛ. - 1961. - 396с.

74. Рахматулин Х.А., Жубаев Н.Ж. К распространению упругопласти-ческих волн нагрузки сжатия и сдвига // Изв. АН КазССР. Сер. физ. -мат. 1975. - №5. - С.64-72.

75. Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Сабодаж А.Ф., Филиппов И.Г. Двумерные задачи по неустановившемуся движению сжимаемых сред. -Ташкент: ФАН. 1969. - 109с.

76. Рахматулин Х.А., Шапиро Г.С. Распространение возмущений в нелинейно-упругой среде // Изв.АН СССР.ОТН. 1955. - Вып.2. -С.68-89.

77. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Динамическая теория пластичности // В сб.: Упругость и пластичность / Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. М. 1968. -С.7-111.

78. Садовский В.М. Динамическое деформирование круглой упругопла-стической плиты, лежащей на абсолютно жестком основании // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО СССР. - 1983. -Вып.61. - С.107-112.

79. Садовский В.М. О динамической корректности теории упруго-идеальнопластического течения // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. - 1983. - Вып.63. - С.147-151.

80. Садовский В.М. Численное решение осесимметричной динамической контактной задачи о деформировании пакета упругопластических плит // Деп. в ВИНИТИ. 1985. - №5728-85Деп. - 69с.

81. Садовский В.М., Анин Б.Д., Баев Л.В., Леонов В.П., Меньшикова Г.В. Осесимметричное деформирование упругопластической плиты под действием взрывной нагрузки // Динамика сплошной среды. -Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1986. - Вып.62. - С.114-125.

82. Садовский В.М. Численное решение упругопластических задач динамики на основе постановки в виде вариационных неравенств // Деп. в ВИНИТИ. 1989. - №923.- В89. - 59с.

83. Садовский В.М. Вариационные и квазивариационные неравенства упругопластических задач динамики // Деп в ВИНИТИ. 1990. -№1780.- В89. - 59с.

84. Садовский В.М. Гиперболические вариационные неравенства в задачах динамики упругопластических тел // ПММ. 1991. - Т.55. - №6. -С.1041-1048.

85. Садовский В.М. Алгоритмы "корректировки"решения в задачах динамического деформирования упругопластических тел // Моделирование в механике сплошных сред. Красноярск: Краснояр. ун-т. -1992. - С.29-39.

86. Садовский В.М. К теории распространения упругопластических волн в упрочняющихся средах // ПМТФ. 1994. -№5. - С.166-172.

87. Садовский В.М. Упругопластические ударные волны при условии пластичности Треска-Сен-Венана // Научные исследования на математическом факультете. Красноярский гос. ун-т. -Деп в ВИНИТИ. -1995. - №1072.- В95. - С.237-246.

88. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред. М.: Изд-во ин-та машиноведения АН СССР. - 1997.

89. Садовский В.М. Методы решения выриационных задач механики. -Новосибирск: Изд-во Сиб. отдел. РАН. 1998. - 184с.

90. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз. -1962. - 284с.

91. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. Изд. 2-е исправ. и доп. -М.: Наука. 1973. - Т.1. - 536с., Т.2. - 584с.

92. Скобеев A.M. О пластической волне сдвига // ПММ. 1968. - 32. -№3. - С.502-504.

93. Скобеев A.M., Флитман Л.М. Подвижная нагрузка на неупругой полуплоскости. ПММ. - 1970. - 34. - т. - С. 189-192.

94. Сыгуров П.Н. Автомодельное решение плоских задач динамики идеальных упругопластических сред при условии пластичности Треска // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Куйбышев. - 1984. - 147с.

95. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир. - 1964. - 308с.

96. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. - 1967. - С.212-263.

97. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругости / / Сб. научн. тр. факультета ПММ. Воронеж: Изд-во В ГУ. -1971. - Вып.2. - С.137-142.

98. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде // ПМТФ. 1972. - Т.З. - С.186-188.

99. Хилл Р. Волны ускорений в твердых телах // Сб. пер. "Механика". -1963. №4. -С. 105-122.

100. Хилл Р. Соотношения на разрывах в механике деформируемых твердых тел // Сб. пер. "Механика". 1963. - №3. - С.117-142.

101. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругопластиче-ской среде // ПММ. 1969. - 33. - №1. - С.143-147.

102. Чернышов А.Д., Лимарев А.Е. О распространении ударных волн в упругопластической среде с упрочнением // ПММ. 1971. - 35. -№6. - С1083-1088.

103. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Сб. пер. "Механика". 1957. - №1. - С. 102-122.

104. Шитиков A.B. О вариационном принципе построения уравнений упругопластичности при конечных деформациях // ПММ. 1995. -59. - №1. - С.158-161.

105. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформаций. М.: Наука. - 1981. - 256с.

106. Эстрин М. И. Об уравнениях динамики сжимаемой пластической среды // Докл. АН СССР. 1960. - 135. - №1. - С.36-39.

107. Эстрин M.И. Уравнения динамической задачи пластичности при плоском напряженном состоянии // Труды ЦНИИ строит, констр. Акад. стр. и архит. СССР. 1962. - Вып. 10. - С.75-83.

108. Annin B.D., Sadovskii V.M. The numerical research of the layered elastic-plastic plates dynamic deformation J J Explosion and Shock Waves. -1991. V.ll. - N3. - P.206-216.

109. Annin B.D., Sadovsky V.M, A numerical analysis of laminated elastic-plastic plates under dynamic loading // Composites Science and Technology. 1992. - V.45. - P.241-246.

110. Chy Boa Teh. Transverse shock waves in incompressible elastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1967. - V.15. - N1. - P.l-14.

111. Dafalias Y.F. The plastic spin concept and a simple illustration of its role in finite plastic transformations // Mech. Mater. 1984. - 3. - P.223-233.

112. Dudko O.V., Mantsibora A.A. About one self-model problem of elastic deformation of media with doscontinuities // Abstract of the Second International Student's Congress of the Asia-Pacific Region Countries. -Vladivostok: FESTU. 1997. - P.71-72.

113. Freund L.B. Constitutive equations for elastic-plastic materials at finite strain // Int. J. Solids and Struct. 1970. - 6. - N8. - P.1193-1209.

114. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain // Int. J. Eng. Sci. 1971. - 9. - N12. - P.1219-1229.

115. Kratochvil J. Finite-strain theory of inelastic behavior of crystalline solids // Foundations of plasticity / Ed A. Sawczuk. Leiden: Noordhoff. -1973. - P.401-415.

116. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. - 36. - N1. - P.l-6.

117. Lee E.H., Mallett R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite deformatio plasticity // Trans. ASME: J. Appl. Vech. 1983. - 50. -N3. - P.554-560.

118. Lee E.H., McMeeking R.M. Concerning elastic and plastic components of deformation // Int. J. Solids and Struct. 1980. - 16. - N8. - P.715-721.

119. Levitas V.I. On the theory of large elastoplastic deformations // Mitt. Inst. Mech. Ruhr. -Univ., Bochum. 1994. - N93. - P.34-37.

120. Loret B. On the effects of plastic rotation in the finite deformation of anisotropic elastoplastic materials // Mech. Mater. 1983. - N2. - P.278-304.

121. Lubarda V.A. Elastoplastic constitutive analysis with the yeld surface in strain space //J. Mech. and Phys. Solids. 1994. - 42. - N6. - P.931-952.

122. Lubarda V.A., Lee E.H. A correct definition elastic and plastic deformation and its computational significance // Trans. ASME: J. Appl. Mech. -1981. 48. - N1. - P.35-40.

123. Mandel Jean. Sur les surfaces de diseon indefini // J. r. Acad. Sci. -1961. 252. - N17. - P.2505-2507.

124. Mandel Jean. Sur les ondes ordinaires dana un milieu indefini elastoplas-tique // C. r. Acad. Sci. 1961. - 252. - N15. - P.2574-2576.

125. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elasticity // Int. J. Solids and struct. 1979. - 15. - N2. -P.155-166.

126. Show M.C. Strain hardening of large plastic strain // Numer. Mech. Form. Processes. Swansea. - 1982. - P471-479.

127. Sadovskii V.M. To the problem of Constructing Weak Solutions in Dy-mamic Elastoplasticity // Int. Ser. Numerical Math. 1992. - V.106. -P.283-291.

128. Sadovskii V.M. Algorithms of solution correction in dynamic elasto-plastic problems // Modelling Measurement. Control. B. 1993. -V.47. - N4. -P.l-10.

129. Sadovskii V.M. To the problem of constructing weak solutions in dynamic elastoplasticity // Int. conference "Free boundery problems in continuum mechanics" (abstracts). -Novosibirsk, USSR. - 1991. - P.104.

130. Sidoroff F. Incremental constitutive equations for large strain elastoplasticity // Int. J. Eng. Sci. 1982. - 20. - N1. - P.19-26.

131. Viem N.H. Constitutive equations for finite deformations of elastic-plastic metallic solids with included anisotropy // Arch. Mech. 1992. - 44. -N5-6. - P.585-594.

132. Wesolovski Z. Shock wave in non-linearelastic material // In: XVII Pol. Solid Mech. Conf. Szozirk. 1975. Abstr. -S.l. S.a. - P.225.

133. Wlodardczyk E. Propagation and reflection of a plane and spherical shockwave in an elastic-plastic body and abarotropic liquid // Proc. Vibrat. Probl. Polish. Fcad. Sci. 1964. - 5. - N4. - P.349-375.