Упругие, реологические и теплофизические эффекты в прямолинейных течениях материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПАНЧЕНКО Галина Леонидовна

УПРУГИЕ, РЕОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЯХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 КОН 7

<1

Чебоксары-2014

005549792

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Владивостокский государственный университет экономики и сервиса»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Ковтанюк Лариса Валентиновна

Официальные оппоненты: Кирсанов Михаил Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ», профессор кафедры теоретической механики и мехатроники

Филатов Геннадий Федорович, доктор физико-математических наук, профессор, Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, профессор кафедры математики

Ведущая организация: ФГБУН «Институт механики сплошных сред УрО

РАН», г. Пермь

Защита состоится «19» июня 2014 г. в 1200 часов на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И .Я. Яковлева» по адресу: 428000, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева», http://vvww.chgpu.edu.ru/zaschita-dissertaciy. Электронная версия автореферата размещена на сайте ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации http://vak2.ed.gov.ru и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» http://www.chgpu.edu.ru.

Автореферат разослан «УУ» ¿ЮЯ- 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Используемые технологические приемы обработки материалов термомеханическим воздействием (прокатка, скоростная штамповка, волочение и др.) могут осуществляться в условиях пристеночного скольжения. При достаточно больших скоростях скольжения невозможно пренебречь разогревом поверхности за счет трения, более того, в пристеночных областях развивающееся вязкопластическое течение также не является изотермическим. Следовательно, приходим к необходимости использования для моделирования подобных технологий связанной математической модели термоупругопластических деформаций. При этом в таких пристеночных областях течения хотя бы необратимые деформации нельзя считать малыми. Следовательно, адекватной моделью для подобных технологических процессов становится математическая модель больших деформаций. Развитие фундаментальной механики деформирования привело к возможности постановок задач данного класса. В настоящей работе изучаются особенности постановок некоторых таких модельных задач и приводятся их решения. Таким образом, актуальность в рассмотрении таких задач диктуется не только нуждами в развитии фундаментальной теории больших деформаций материалов, но и ответом на вызов технологической практики, связанный с потребностью в моделировании соответствующих технологий.

Цель работы. Изучить особенности постановок и получить решения простейших связанных термомеханических задач теории больших деформаций, учитывая упругие, пластические и вязкие свойства деформируемых материалов при их прямолинейных течениях.

К основным научным результатам диссертации относятся:

- решения краевых задач теории больших упруговязкопластических деформаций о прямолинейных течениях материала в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями в случаях, когда одна из поверхностей (внутренняя или внешняя) движется, причем на одной из поверхностей выполняется условие проскальзывания материала, а на другой -условие жесткой спайки, а также, когда на обеих поверхностях возможно проскальзывание материала;

- постановка и решение краевой задачи термоупругопластичности о сползании тяжелого слоя с наклонной плоскости при его нагреве за счет вязкопластического течения, обусловленного зависимостью предела текучести материала слоя от температуры;

- постановка и решение последовательности связанных задач термоупруговязкопластичности о развитии течения в слое материала, находящегося в условиях нарастающего чистого сдвига, когда неоднородность напряженного состояния слоя вызывается тепловыделением за счет трения о его граничную поверхность; о течении материала слоя при постоянной нагрузке, о торможении течения и его остановке при уменьшающейся нагрузке вплоть до полной разгрузки и охлаждении материала слоя до комнатной температуры;

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

- получено решение новой задачи теории больших упруговязкопластических деформаций о прямолинейном движении среды в зазоре между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, связанное с возможностью проскальзывания с сухим и вязким трением на внешней или внутренней поверхности или на обеих сразу. Рассмотрены все постановочные возможности (6 случаев), и указаны в каждом случае момент зарождения течения и закономерности

продвижения упругопластических границ при развитии течения и его торможении до полной остановки;

- решением связанной задачи термоупруговязкопластичности установлены параметры явления сползания тяжелого слоя с теплоизолированной наклонной плоскости, вызванного развитием вязкопластического течения за счет зависимости предела текучести материала от температуры при ее повышении на свободной поверхности слоя;

- последовательностью новых связанных задач термоупруговязкопластичности о чистом сдвиге изучен процесс развития течения за счет разогрева слоя при трении его поверхности о шероховатую подложку; установлены закономерности продвижения упруговязкопластических границ, как при развитии течения, так и при его замедлении до полной остановки.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании классических подходов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред. Используемая математическая модель больших упруговязкопластических деформаций может считаться достаточно апробированной. Из нее в частном случае при переходе к малым деформациям следуют соотношения классической модели типа Прандтля - Рейса. При решении конкретных краевых задач дополнительные гипотезы не использовались, большинство полученных зависимостей являются точными в рамках используемой модели, а применяемые численно-аналитические процедуры являются общепризнанными.

Применение и практическая ценность работы. Увеличение температуры и скорости протекания технологических приемов формования профилей приводит к заметному повышению поверхностной температуры металла, вплоть до оплавления. Предварительный натяг оснастки может вызвать неконтролируемый процесс приповерхностного течения формуемого материала, выводящий технологию на недопустимые режимы. Подобные технологические приемы для своего модельного описания с необходимостью требуют учета в математических моделях связанности процессов деформирования и тепловыделения. При этом часто отсутствует возможность положить деформации малыми. В диссертации предпринята попытка поставить и решить ряд модельных задач для данных целей.

Важным этапом формования моделей, изготовляемых из парафина с разными полимерными добавками, является разогрев их поверхностей за счет трения до температуры плавления. Это необходимо для того, чтобы могли заполниться парафином вогнутости пресс-формы, и упрочнилась поверхность модели. Решением модельных задач предпринималась попытка совершенствования технологии прессования моделей. Эти задачи могут оказаться полезными также в технологиях порошковой металлургии.

Полученные решения также могут оказаться полезными для тестирования алгоритмов и программ численных расчетов. Расчетная сложность интенсивного формоизменения с учетом вязкопластических течений в неизотермических условиях продиктована не только существенной нелинейностью математической модели процесса, но и, главное, присутствием движущихся границ, разделяющих область деформирования на части, в которых деформирование и течение подчинено разным системам уравнений в частных производных. В таких случаях требуются специальные алгоритмические приемы. Полученные численно-аналитические решения с успехом могут послужить такой цели.

Апробация результатов диссертаиии. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- X Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011);

- XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий» (Пермь, 2009);

- Региональная научно-практическая конференция «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2010);

- Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010);

- XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2010);

- Конференция-семинар «Актуальные направления в механике сплошных сред» (Санкт - Петербург, 2012);

- XI Международный Форум студентов, аспирантов и молодых ученых стран Азиатско-Тихоокеанского региона (Владивосток, 2012);

- Восемнадцатая Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2013).

Диссертация в целом докладывалась на семинарах отдела механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН под руководством чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., профессора A.A. Буренина.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (200 наименований). Общий объем работы - 170 страниц, в том числе 78 рисунков, включенных в текст.

Публикаичи. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященный моделированию больших упругопластических деформаций. Теория больших деформаций упругопластических материалов является одним из интенсивно развивающихся направлений современной механики. Отмечается значительный вклад в развитие теории отечественных и зарубежных исследователей A.A. Буренина, Г.И. Быковцева, Д.Д. Ивлева, JI.B. Ковтанюк, В.Н. Кондаурова, С.Н. Коробейникова, В.И. Левитаса, В.П. Мясникова, Н.В. Новикова, В.А. Пальмова, A.A. Поздеева, A.A. Рогового, П.В. Трусова, А.Д. Чернышова, A.B. Шитикова, R.J. Clifton, А.Е. Green, R. Hill, J. Kratochvil, E.H. Lee, P.M. Naghdi, S. Nemat-Nasser, W. Prager, F. Sidoroff и др. На основе проведенного литературного обзора сформулированы цели и задачи диссертации. Здесь же приводится структура диссертации по главам.

Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней приводятся основные соотношения используемой модели больших упруговязкопластических деформаций, включая нензотермический случай, предложенной A.A. Бурениным, Г.И. Быковцевым, Л.В. Ковтанюк, В.П. Мясниковым и A.B. Шитиковым.

В § 1.1 строится кинематика больших упругопластических деформаций. В декартовой прямоугольной системе пространственных эйлеровых координат xi обратимая (упругая) и необратимая (пластическая) компоненты тензора полных деформаций Альманси dv определяются дифференциальными уравнениями изменения (переноса) в виде

= е, ((** -£* + z/< К +ty -e'j ~zkJ))

DPy _ „_ р_ р Dn„ _ dn„ Dt ~ » Рл' k> lkPkJ' Dt dt

1 / \ du, ди, du,

et = ~\vu +V/A vI=-J7 = -J7 + uI,jvJ " ~ —

dt dt '' 8xj'

ma =ец +а{Т-Т0)59, rt =-{yl,j~Vjj)+zt[esk,m,k).

В соотношениях (1) un vf - компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды; сц = mf/ — ^ mik mkj, рц - обратимые и необратимые составляющие тензора d~; D/Dt - оператор используемой объективной производной по времени, которая приведена для произвольного тензора пе?, r:j - компоненты тензоров скоростей пластических деформаций и вращений; нелинейная составляющая z^ тензора вращений в работе выписана полностью. Согласно (1) тепловое расширение считаем обратимым, так что et/ - линейная часть тензора упругих деформаций; а -коэффициент линейного расширения; Т - текущая температура; Т0 - комнатная температура тела в свободном состоянии. В процессах разгрузки (е? =0) все изменения компонент тензора рц связаны с поворотом системы координат. Компоненты тензора полных деформаций Альманси согласно (1) представляются в форме

dt +Pij -mbPkj-Pikmtj + mikPksm!j. (2)

В § 1.2, следуя законам термодинамики, приводятся определяющие соотношения между напряжениями и деформациями в областях обратимого деформирования, течения и разгрузки и уравнения баланса энтропии. Принимается гипотеза о независимости термодинамического потенциала (свободной энергии) от необратимых деформаций.

Предполагается, что необратимые деформации в материале накапливаются при достижении напряженным состоянием поверхности нагружения, которая в условиях принимаемого принципа максимума Мизеса является пластическим потенциалом. Ассоциированный закон пластического течения при этом записывается в форме

Р{<т9.е;)=к, Д = я(^,р,)>0, (3)

где к - предел текучести, atJ - компоненты тензора напряжений Эйлера-Коши.

В § 1.3 проводится конкретизация определяющих соотношений. Для несжимаемой среды компоненты тензора напряжений ov. связаны с обратимыми деформациями формулами, аналогичными формулам Мурнагана в нелинейной теории упругости

1 8W

= + —-——(А, - 2dk,) при ри = О, ' * 1 + 3 peddx kj к' "

а„=-Р.5,,+—---——{s,; -/и,.,) при р„Ф 0, (4)

" 1 + 3 рвдть1' kj/ F У" W

Упругий потенциал (плотность распределения свободной энергии) IV = для изотропной среды принимается в форме

W = -2/i/, -ßJ2 + Ы\ + (h-p]JlJ1 -+ i'fl/, + + vl61 -K^Jß2-K2jfe-icij2e-v2e\

Lk при p„ = 0,

(5)

L\=dii> Li =Jijdß, h

12 =CiJCJi-

[h при Pu * 0,

В зависимостях (4) и (5) P, Pt — добавочные гидростатические давления; ¡л -

модуль сдвига, b, £, v, v,, /с,, к2, къ

■ другие термомеханические постоянные,

которые не имеют ярко выраженного механического смысла, но могут быть определены экспериментально; Ц, Ь2 - инварианты тензора полных деформаций Альманси; /,,/,- инварианты тензора обратимых деформаций.

Уравнение теплопроводности в области обратимого деформирования записывается следующим образом:

(1 + ßx6 + ß1dkk + fhe.jdji = q 8 9

ßl..

V\

в области разгрузки принимает форму

d9

dxjdxj

.51 v'i '

ßi=~

V + ДГз

Vi

(l + ßxe + ftctt)— + ßiSijCji = q в пластической области имеет вид (1 + ßxe + ßlCik + ßl (£iJ - s§ \:ri = q

82Ö dxjdxj '

д2в dxjöxj

1

2vi'

и ji'

(6)

(7)

(8)

Рис. 1

между двумя жесткими

o.os

где q - коэффициент температуропроводности.

В качестве пластического потенциала используется условие пластичности Треска, обобщенное на случай учета вязких свойств материала на стадии пластического течения материала

тах|сг(-сг;| = 2А: + 27Ш1х|г-/'|. (9)

Здесь т/ - коэффициент вязкости, cTj, главные значения

тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций.

Во второй главе диссертации получены решения задач о прямолинейном течении упруговязкопластического материала коаксиальными цилиндрическими поверхностями.

Деформирование происходит за счет движения одного из цилиндров. На одной из граничных поверхностей выполняется условие жесткой спайки, а на другой -условие проскальзывания. В § 2.1.1 приводится постановка задачи в случае, когда равноускоренно движется внутренний жесткий цилиндр радиуса r = r0 ( v = a{t), а внешний цилиндр радиуса r = R закреплен (рис. 1):

5,09 10,15 15.22 2(Ш 25 j Рис. 2

(Ю)

Здесь и = и2(г,1) и у = у2(/-,/) - единственные отличные от нуля компоненты векторов перемещений и скоростей. В дальнейшем будем использовать цилиндрическую систему координат г, <р, г. Считаем, что до некоторого момента времени 1 = 1* на границе г = г0 выполняется условие прилипания, т.е. материал удерживается за счет

сухого трения с коэффициентом трения покоя /:

И-/ЫЦ«>. (и)

В момент времени ¡ = 1* неравенство (11) обратится в равенство. В таком движении потребуем выполнение условия проскальзывания

(12)

где £ - коэффициент вязкого трения, [у] -разность скоростей жесткого цилиндра и

0.48466 0.48452 0.4К43» 0,48424 0.484

4Д 4,3 Рис. 3

материала в его окрестности. Следует отметить, что от выбранного значения радиального напряжения сг„, которое задает начальное поджатие, зависит, что начнется раньше - проскальзывание материала в окрестности внутреннего цилиндра или вязкопластическое течение на нем же. В данном случае значение агг выбирается таким образом, чтобы проскальзывание материала начиналось раньше.

К-

0,0001 0,000075 0.00005 0,000025 0

хо\

€

— -

0,08 0,264 0,448 0.632 0,816 1

Рис. 4

0,04

0,03 0.02 0,01 0

I

г*

\ \

0.08 0.264 0,448^x^0.632 0,816

"¡Г Рис. 5

Решается задача об упругом деформировании материала, предшествующем вязкопластическому течению.

Дальнейшее деформирование

материала с момента времени I = 10 > I* в условиях развивающегося

вязкопластического течения изучается в § 2.1.2. Для нахождения параметров напряженно-деформированного состояния уравнения равновесия (квазистатическое приближение) интегрируются в области вязкопластического течения г0 < г < г, (/) ив области обратимого деформирования /-,(/)- ^ - ^ ■ Для определения

упругопластической границы г,(()

вследствие непрерывности напряжений, деформаций, скоростей и перемещений получено обыкновенное дифференциальное уравнение. Также рассматривается вязкопластическое течение при равномерном движении цилиндра (v = а,/,). Для определения новой упругопластической границы r2 (t), отделяющей область течения ra <r< r2(t) от области упругого деформирования r2(t)<r < R также получено дифференциальное уравнение. На рис. 2 и 3 показаны изменения границ rjR и r2/R в зависимости от безразмерного времени т = а11г/г0. Распределение перемещений u/R в моменты времени т = т'0 (т'0<т*), т = т* и г = г0 показано на рис. 4.

0,114

0.0855

0,057

0,0285

в

момента

2.1.3 с времени

некоторого

t = ty

0,08 0,264

0,632 0,816

рассматривается торможение

цилиндра до полной остановки = — а2(1 —12)). Область

деформирования при этом состоит из области продолжающегося вязкопластического течения

г0<г<гг (Г), области

г3 (/) < г < г2 (12), в которой пластическая деформация рп_ не изменяется, и области обратимого

0,448 Рис. 7

деформирования rг[t2)<r<R. Граница г}(1) достигает поверхности г = г0 раньше, чем скорость жесткого цилиндра станет равной нулю. При этом в материале будет происходить разгрузка с уменьшением по модулю напряжения пока скорость жесткого цилиндра не станет равной нулю (I = 1к) и затем не выполнится условие прилипания =0 ( / = /4). С этого момента времени параметры

напряженно-деформированного состояния перестают изменяться. Перемещения в моменты времени т = т[ (г0 < г[ < г,), г = г, и г = г, показаны на рис. 5. Изменение упругопластической границы г}/Л изображено на рис. 6. Рис. 7 иллюстрирует распределение перемещений в моменты времени г = г, (г1<т[ < г,), г = г" <г3*<г3)и г = г4.

В § 2.1.4 решена аналогичная задача в случае движения внешнего жесткого цилиндра. В § 2.2 рассмотрены две подобные задачи с проскальзыванием материала в окрестности внешнего жесткого цилиндра при движении одной из поверхностей. В отличие от предыдущих задач, рассматривается случай, когда проскальзывание при r = R начинается одновременно с пластическим течением при г = г0. В § 2.3 решены два последних постановочных варианта, когда проскальзывание материала возможно в окрестностях обоих жестких цилиндров при движении одного из них.

Несмотря на различия в перемещениях и скоростях, области вязкопластического течения развиваются одинаково, как при движении внутреннего цилиндра, так и при движении внешнего. Рассчитаны поля напряжений, деформаций, скоростей и перемещений. Соответствующие графики приведены в тексте диссертации.

В третьей главе диссертации решается краевая задача термоупругопластичности о сползании тяжелого

0N

9/1 _L.

Рис. 8

слоя высоты И с наклонной плоскости при его нагреве (рис. 8). Эффект сползания обусловлен развитием вязкопластического течения за счет зависимости предела текучести материала слоя от температуры.

В § 3.1 рассматривается обратимое деформирование. Полагаем, что в промежуток времени 0</<г*, пока пластическое течение отсутствует, краевые условия задачи имеют вид

2=о=0,

J22\x2~h

= 0,

дв/дх2

= 0.

(13) вектора

В (13) и = щ{х2) - единственная отличная от нуля компонента перемещений, G(l) - задаваемая функция (в расчетах полагалась линейной).

Известно, что предел текучести к существенно зависит от температуры. Эта зависимость носит нелинейный характер и в диссертации выбирается в следующей форме

к = кв{\-{в1вР,У\ (14)

где к0 - предел текучести при комнатной температуре, 0р1 - температура плавления.

е

2,1843

2,18421

2,18413

2,18422 2,18424 2,18426 2,18428 2,1843 Рис. 9

2,18405

У / У / ^ s .

v> s ' ^ - S S jS

i7 т:

0

0,25 0,5 Рис. 10

0,75

Условие пластичности (9), записанное для данной задачи в виде сг12|^ ^ = k(t*), впервые выполнится на плоскости х2 = 0. Это условие позволяет найти момент начала пластического течения t *. Для решения упругой задачи использовались встроенные функции пакета Mathematica.

В § 3.2 изучается вязкопластическое течение материала слоя. Начиная с момента времени t = t*, от границы х2 = 0 развивается область течения, которая занимает слой 0 < х2 < r(t), в слое r(t) < х2 < h материал деформируется обратимо. Уравнение теплопроводности в области обратимого деформирования (6) отличается от уравнения теплопроводности в области течения (8). Причем температура в и ее производная дв/дх2 непрерывны на упругопластической границе r(t), положение которой заранее неизвестно. Из условия равенства нулю скоростей пластических деформаций на упругопластической границе следует уравнение для определения значения r(t), в которое входит неизвестная функция в. Для решения двух уравнений теплопроводности и уравнения для /■(/) была разработана неявная конечно-разностная схема, реализованная затем в пакете Mathematica с использованием метода прогонки. Сходимость данной конечно-разностной схемы проверялась прогонами модели на сужающихся сетках. По найденным при помощи данной конечно-разностной схемы полям температуры рассчитаны поля деформаций, скоростей и перемещений. Решение найдено в интервале по времени t*<,t<tpl, где

1р1 - момент времени, когда верхняя граница слоя нагреется до температуры плавления.

0,25

0,5 Рис. 12

0,75

7;

На рис. 9 показано изменение границы г/И со временем т. Распределение температуры в моменты времени г = г *, г = г, (г, >г*)и т = тр, изображено на рис. 10. Рис. 11 и 12 приведены перемещения в моменты времени г = г * и т = т ,.

В четвертой главе диссертации рассматривается последовательность связанных задач

термоупруговязкопластичности о

развитии течения в плоском слое несжимаемого материала,

расположенного на горизонтальной жесткой поверхности и находящегося в условиях нарастающего чистого сдвига.

В § 4.1 приводится постановка задачи и рассматривается упругое деформирование материала. На верхней границе слоя ставятся следующие

т,=1«>24х?4 23,25

30,26 37.27 Рис. 13

44,28 ^7=51,29

краевые условия

(15)

121.т2=А " * ¿а1*2=Л

где 1 и ао - задаваемые постоянные. Пока напряжение ег12 < /сг22, на нижней границе упруговязкопластического слоя выполняются условия прилипания

1дг2=0

1д:2=0

= 0.

(16)

При увеличении со временем напряжения ет,2 согласно первому соотношению (15) первоначально происходит только упругое деформирование материала. В момент времени / = I * на жесткой стенке х2 = 0 может начаться либо вязкопластическое течение, либо проскальзывание материала. Примем для постоянной а0 неравенство а0 < к//, тогда проскальзывание материала при х2 - 0 начнется раньше, чем вязкопластическое течение. Условия прилипания (16) заменяются краевым условием

(«и-/Он-$^.0= 0- <17)

Вследствие выполнения условия проскальзывания (17), начиная с момента времени 1 = 1', в материале слоя начнется разогрев за счет трения о жесткую поверхность. Примем краевые условия для температуры

Э0/&21_„=0, ^,.=0. (18)

где у - задаваемая постоянная величина.

2,2 1,65

и

0,55 0

О

r(x'J r(xj

ч

— * — . — —__ _ _

О

0,2

0,4 0.6 Рис. 14

ïï¥

1

ТГ- F

н

ч io \ ;

ь

0,2

0,4 0,6 Рис. 15

0,8

'h

Решены задачи об упругом деформировании материала в изотермическом и неизотермическом случае. Вычислен момент начала пластического течения .

В § 4.2 рассматривается вязкопластическое течение материала слоя при дальнейшем увеличении напряжения <т„. Начиная с момента времени / = , от границы .х2 = 0 развивается область течения, занимающая слой 0 < хг < r(t), в слое r{t) < х2 < h материал деформируется обратимо. Заметим, что первое краевое условие (18) справедливо до некоторого момента времени t = tpl, в который температура на границе слоя хг = 0 станет равной температуре плавления. Начиная с момента времени t = tpl, первое условие (18) необходимо заменить условием

(19)

,е

2,68 2,59 2.5 2.412,32-

\

•/V h_

2,64

2,61 2,58

0,2

0,4 0,6 Рис. 16

0,8

Vh

2.55L

К7

Х7 ^

,уХк

ОД

0,4 0,6 Рис. 17

0,8

1-7;

Начиная с момента времени / = /2, напряжение ст12 далее не изменяется (ст,2| 2=а и в § 4.3 изучается вязкопластическое течение материала при

постоянном напряжении. Изменение в режиме нагружения приводит к возникновению новой упругопластической границы г,(г), которая с момента времени 1 = 12 и до некоторого момента I = 13 движется вниз от стационарной поверхности г(1г), т.е. происходит разгрузка среды, а с момента времени 1 = /3 меняет направление и движется вверх. В момент времени {= граница гх (I) выходит на стационарную границу г(/2) и продолжает двигаться дальше.

В § 4.4 рассматривается течение при уменьшающемся напряжении (<ги| = и)> > 0) и разгрузка среды. Возникает новая граница гг(/),

которая сначала движется вниз от стационарной границы г(1А), а затем меняет направление и движется вверх. Затем в момент времени / = /6 граница г2(1) перестает увеличиваться и возникает новая граница г3(г), движущаяся вниз. В некоторый момент времени ^ = tpr вновь выполнится условие прилипания сг|2_0 = /сг22_о и

при дальнейшем уменьшении напряжения материал начнет остывать. Краевое условие для температуры (19) изменится на следующее

где ух - задаваемая постоянная. В момент времени I = /7 граница г3(/) достигнет нижнего края слоя х2 = 0, а в момент времени / = 1к компонента тензора напряжений (Т12 станет равной нулю.

г(ту

0,12975 0,1225 0,11525 0,108

О

0,2

А ч

'Х1

0,4 0,6 Рис. 18

0.8

0,4 0,6 Рис. 19

0,8

х2 -7;

В § 4.5 рассматривается охлаждение материала, которое связано с заданием потока тепла на верхней границе слоя

зв/ах2\^ = г2'. (21)

где у2 — известная постоянная величина.

Изменение упругопластических границ в зависимости от времени приведено на рис. 13. Изменения температуры в процессе деформирования показаны на рис. 14, 15, 16 и 17. Распределения перемещений в моменты времени г = г,, г = т'2 (г, < т'2 < т2) и г = г2 изображены на рис. 18. На рис. 19 показаны перемещения в конечный момент времени, когда слой полностью остыл.

На всех этапах деформирования для нахождения распределения температуры, а также положения неизвестных границ использовались конечно-разностные схемы. По найденным полям температуры рассчитаны деформации, скорости и перемещения. Соответствующие графики приведены в диссертации.

В заключении приведены основные результаты диссертации, состоящие в следующем:

1. В рамках модели больших упруговязкопластических деформаций получены решения краевых задач о прямолинейных течениях несжимаемого упруговязкопластического материала, находящегося в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Одна из поверхностей движется. Рассмотрены все шесть постановочных возможностей: В первом случае движется внутренняя поверхность, на ней же выполняется условие проскальзывания, в то время как на внешней поверхности задано условие жесткой спайки. Во втором случае движется внешняя поверхность, на которой выполняется условие жесткой спайки, а на внутренней поверхности возможно проскальзывание материала. Третья и четвертая задачи - условие проскальзывания выполняется на

внешней поверхности, а на внутренней задано условие жесткой спайки. В третьем случае движется внутренний цилиндр, а в четвертом - внешний. В последних двух вариантах - движется внутренняя или внешняя поверхность, проскальзывание возможно в окрестностях обоих граничных поверхностей. Рассмотрены упругое деформирование материала, развивающееся вязкопластическое течение при равноускоренном и равномерном движениях граничных поверхностей, торможение и процесс разгрузки при равнозамедленном движении поверхностей.

2. Указаны условия зарождения и закономерности развития вязкопластических течений. Показано, что пластическое течение всегда начинается в окрестности внутреннего цилиндра, и области пластического течения развиваются одинаково, как при движении внутреннего цилиндра, так и при движении внешнего. Получены законы продвижения упругопластических границ, рассчитаны поля деформаций, напряжений, скоростей и перемещений, как в областях течения, так и в областях обратимого деформирования.

3. Получено решение краевой задачи термоупругопластичности о сползании тяжелого слоя с наклонной плоскости при его нагреве. Причиной сползания является развивающееся вязкопластическое течение. В рамках теории больших деформаций указана закономерность продвижения упругопластической границы, а также вычислены напряжения, деформации и скорости деформаций, как в области термоупругого деформирования, так и в области течения. Для численного решения уравнений теплопроводности использовалась конечно-разностная схема. С ее помощью удалось получить распределение температуры в области обратимого деформирования и области вязкопластического течения, а также выявить закономерность изменения неизвестной заранее упругопластической границы. По найденным полям температуры рассчитаны деформации, скорости деформаций и перемещения точек слоя.

4. Получено решение последовательности неизотермических связанных задач о деформировании слоя упруговязкопластического материала, к верхней границе которого приложена сдвиговая нагрузка. При движении материал трется о шероховатую поверхность, что вызывает его разогрев. Рассмотрены упругое деформирование, зарождение и развитие течения материала слоя, а также течение при постоянной нагрузке, торможение течения и его остановка при уменьшающейся нагрузке вплоть до полной разгрузки и охлаждение слоя до комнатной температуры. Поля температур получены с помощью конечно-разностных схем. По найденным значениям температуры рассчитаны деформации, скорости деформаций и перемещения точек материала слоя.

5. Для решения неизотермических задач были разработаны неявные конечно-разностные схемы для неравномерных сеток с неизвестными движущимися упругопластическими границами. Данные схемы позволяют получить распределение температуры в области течения, в области обратимого деформирования и в области разгрузки, а также положение неизвестной упругопластической границы на каждом шаге по времени. Сходимость конечно-разностных схем была проверена прогонами модели на сужающихся сетках.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. К моделированию больших упруговязкопластических деформаций с учетом теплофизических эффектов II Известия АН. Механика твердого тела. - 2010. - № 4. - С. 107-120.

2. Ковтанюк JI.B., Панченко Г.Л., Устинова A.C. Прямолинейные и вискозиметрические течения упруговязкопластических материалов и возможность

учета в них теплофизических эффектов // Вестник Нижегородского университета. -2011. - №4. - Часть 5. - С. 2244-2246.

3. Панченко ГЛ. О прямолинейном течении в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в условиях одностороннего прилипания // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2011. - Т. 4. - № 4. - С. 86-96.

4. Ковтанюк Л.В., Панченко ГЛ. Неизотермическое деформирование упруговязкопластического плоского тяжелого слоя // Сиб. журн. индустр. матем. -2013,-16:1.-С. 56-65.

Статьи и материалы конференций

5. Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. Упругие и теплофизические эффекты, сопровождающие антиплоское вязкопластическое течение // Механика сплошных сред как основа современных технологий // XVI Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 24 - 27 февраля 2009 г. Тезисы докладов. - Изд-во ИМСС УрО РАН. - С. 194.

6. Панченко ГЛ., Ковтанюк Л.В. Развитие прямолинейного неизотермического вязкопластического течения. Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы региональной научно-практической конференции, Владивосток, апрель - июль 2010, Издательство ДВГТУ, 2010. Часть 2. Секция 6: Фундаментальные механико-математические науки и их приложения. - С 11-16.

7. Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. Влияние трения на прямолинейные осесимметрические течения. // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. 22 - 24 июня, 2010 г. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского госуниверситета.-2010.-С. 181-182.

8. Панченко ГЛ. Вязкопластическое течение среды, расположенной в зазоре между коаксиальными цилиндрическими поверхностями // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. (Электронный ресурс). Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010.-С. 601-607.

9. Панченко Г.Л. Учет теплофизических эффектов при интенсивном необратимом деформировании материала // Материалы конференции-семинара «Актуальные направления в механике сплошных сред». 02-06 июля 2012 г. - Санкт-Петербург.

10.Панченко Г.Л. Прямолинейное неизотермическое течение в цилиндрическом слое при условии одностороннего прилипания // Материалы XI Международного Форума студентов, аспирантов и молодых ученых стран Азиатско-Тихоокеанского региона. Владивосток, май, 2012 г.

1 \ .Ковтанюк Л.В., Панченко ГЛ. Вязкопластическое течение при нагреве упруговязкопластического плоского тяжелого слоя // Восемнадцатая Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2013 г. - С. 379-380.

Личный вклад автора. Работы [3, 8, 9, 10] выполнены автором самостоятельно. В работах [1, 2, 4-7, 11] автор участвовала в постановке задач, разработке алгоритмов решения и выполняла все необходимые вычисления.

Автореферат разрешен к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 15.04.14 г. Подписано в печать 15.04.14. Формат 60X84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ. № //¿г

Отпечатано в отделе полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И

СЕРВИСА»

На правах рукописи 04201456326 „—

Панченко Галина Леонидовна

УПРУГИЕ, РЕОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЯХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Ковтанюк Л.В.

Владивосток - 2014

Содержание

Введение........................................................................................................................................................................4

Глава 1. Основные соотношения математической модели больших

упругопластаческих деформаций........................................................................16

1.1. Кинематика больших упругопластических деформаций.... 17

1.2. Определяющие законы..........................................................................................21

1.3. Конкретизация определяющих законов......................... 25

Глава 2. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в условиях возможного проскальзывания материала............................................................ 34

2.1. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внутренней поверхности.................................... 35

2.1.1. Постановка задачи, обратимое деформирование....... 35

2.1.2. Вязкопластическое течение................................. 39

2.1.3.Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды.................................................................... 46

2.1.4. Деформирование среды при движении внешнего жесткого цилиндра........................................................ 52

2.2. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внешней поверхности....................................... 61

2.2.1. Обратимое деформирование и вязкопластическое течение................................................................. 61

2.2.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды............................................................... 65

2.2.3. Деформирование среды при движении внешнего цилиндра........................................................................... 70

2.3. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое при возможном двустороннем проскальзывании материала................................................................. 76

2.3.1. Обратимое деформирование и вязкопластическое течение.................................................................. 76

2.3.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды................................................................. 81

2.3.3. Деформирование среды при движении внешнего жесткого цилиндра........................................................ 87

Глава 3. Неизотермическое деформирование упруговязкопластиче-

ского плоского тяжелого слоя......................................... 95

3.1. Обратимое деформирование........................................ 96

3.2. Вязкопластическое течение........................................ 100

Глава 4. Неизотермическое деформирование упруговязкопластиче-

ского плоского горизонтального слоя.............................. 106

4.1. Постановка задачи. Упругое деформирование................. 106

4.2. Развивающееся вязкопластическое течение..................... 113

4.3. Течение при постоянном напряжении........................... 120

4.4. Течение при уменьшающемся напряжении и разгрузка среды.......................................................................... 128

4.5. Охлаждение............................................................ 145

Заключение............................................................................... 148

Список литературы..................................................................... 151

Введение

При математическом моделировании процессов необратимого деформирования материалов упругие свойства материала обычно не учитываются. Обратимые деформации считают малыми по сравнению с необратимыми и ими можно пренебречь. Для описания таких процессов служит модель жест-ковязкопластического тела Шведова-Бингама. В этой модели считается, что вязкопластическое течение начинается при достижении напряженным состоянием поверхности текучести. Материал разделяется на части, в которых он не деформируется, и области течения. Границы, разделяющие такие области, заранее не известны. В прошлом столетии был разработан математический аппарат для расчетов параметров вязкопластических течений. Можно отметить метод последовательных приближений, предложенный A.B. Резу-новым и А.Д. Чернышовым [108], подход, основанный на вариационном исчислении, разработанный П.П. Мосоловым и В.П. Мясниковым [80, 81]. С помощью модели Шведова-Бингама получен ряд аналитических решений задач, в том числе о прямолинейных течениях [23, 82, 116].

В современной технологической практике в расчетах режимов интенсивного формоизменения металлов при обработке их термомеханическим воздействием (прокатка, скоростная штамповка, волочение и др.) должны учитываться упругие свойства материалов. Так как именно упругие свойства и связанные с ними обратимые деформации могут вызывать заметные геометрические изменения в форме и объеме продеформированных сред в процессах разгрузки. Также по упругим деформациям производится расчет остаточных напряжений, которые оказывают существенное влияние на характеристики готовых изделий в процессе эксплуатации и для их снятия требуются специальные технологические приемы: отпуск, отжиг и др.

Используемые технологические приемы обработки материалов термомеханическим воздействием могут осуществляться в условиях пристеночно-

го скольжения. При достаточно больших скоростях скольжения невозможно пренебречь разогревом поверхности за счет трения, более того, в пристеночных областях развивающееся вязкопластическое течение также не является изотермическим. Следовательно, приходим к необходимости использования для моделирования подобных технологий связанной математической модели термоупругопластических деформаций. При этом в таких пристеночных областях течения хотя бы необратимые деформации считать малыми нельзя. Следовательно, адекватной моделью для подобных технологических процессов становится математическая модель больших деформаций. Развитие фундаментальной механики деформирования привело к возможности постановок задач данного класса. В настоящей работе изучаются особенности постановок некоторых таких модельных задач и приводятся их решения. Таким образом, актуальность в рассмотрении таких задач диктуется не только нуждами в развитии фундаментальной теории больших деформаций материалов, но и ответом на вызов технологической практики, связанный с потребностью в моделировании соответствующих технологий.

Учет упругих, реологических и тепло физических свойств приводит к существенно нелинейной задаче математической физики с неизвестными движущимися упругопластическими границами, отделяющими области упругого деформирования от областей вязкопластического течения. Решение такой задачи связано с некоторыми проблемами. Первая проблема связана с тем, что область деформирования разделяется на подобласти, в которых решение краевых задач строится разными способами. В области пластического течения задача решается в скоростях, в то время как в области обратимого деформирования - в перемещениях. При этом на упругопластической границе напряжения, скорости и перемещения должны быть непрерывны. Но найти перемещения в области вязкопластического течения по скоростям не всегда возможно [30-32]. Вторая проблема - выбор математической модели больших упругопластических деформаций. До настоящего времени, несмот-

ря на то, что предложено достаточное количество моделей [159, 160], общепризнанной математической модели больших упругопластических деформаций фундаментальная механика не имеет по двум причинам. Первая - определение обратимых и необратимых деформаций. Полные деформации материала можно измерить экспериментально. Но вот их составляющие - упругую и пластическую по отдельности измерить нельзя. Поэтому исследователь сам решает, каким образом он разделит полные деформации на обратимую и необратимую составляющие. При обобщении теории пластического течения [33, 34, 40, 41, 118, 121, 122, 124] на случай учета конечных упруго-пластических деформаций возникает вторая проблема - определение тензора скоростей пластических деформаций, без которого нельзя записать ассоциированный закон пластического течения. Тензор скоростей необратимых деформаций обычно определяют с помощью какой-либо объективной производной по времени от тензора пластических деформаций (Яумана, Олдройда, Трусдела и др. [4]). В [4, 140, 150, 151] этот вопрос решается путем проведения экспериментов. Однако такой подход не может быть обобщен на другие виды деформирования, и нет гарантии, что наиболее подходящая в данном случае производная была выбрана. В связи с этим существует много моделей больших упругопластических деформаций.

Первой работой, в которой изучалась кинематика конечных упругопластических деформаций, является монография Л.И. Седова [117]. В ней предложено представлять тензор полных деформаций как сумму тензоров упругих и пластических деформаций, а вектор перемещений - в виде суммы упругой и пластической частей. Но такой подход не является математически корректным.

Сильное влияние на развитие теории больших упругопластических деформаций оказало предложение Е. Ли [168] представить градиент полной деформации в следующем виде

дг0 др дг0

где г0 и - радиус-векторы начального и текущего положений точки деформируемой среды, р - радиус-вектор этой же точки в состоянии разгрузки, Ре и Рр — градиенты упругой и пластической деформации. Однако при разложении р, принятом в [168] принципы материальной индифферентности и термодинамической допустимости выполняются только для изотропных материалов, а для анизотропных не имеют места. Несмотря на недостатки в подходе Е. Ли, его идеи получили свое развитие [28, 55, 65, 66, 91, 127, 142, 149, 153, 155, 156, 165, 168, 189].

А. Грин и Р. Нахди в своих работах [155, 156] пытались исправить недостатки кинематики Е. Ли, а также обобщить модель на анизотропный случай. В этих работах предлагается разделение полных деформаций Е на обратимую Ее и необратимую Ер составляющие как Е = Ее + Ер. Из-за такого

представления закон упругости становится сильно зависимым от необратимых деформаций, а такую теорию практически не возможно конкретизировать.

В работах [126, 173] получены обобщения кинематики Ли на термоуп-ругопластические среды. В работе [173] в изотропном случае градиент термоупругой деформации Рс раскладывается на произведения градиентов упругой Рсе и температурной деформации Р0 (аналогично разложению Ли[168]): Рс =РееР0, причем ввиду изотропии Р0 — шаровой тензор. При принятии такого соотношения возникают проблемы, связанные с инвариантностью относительно вращения в промежуточной конфигурации. В работе [126] аналогичное разложение приведено для изотропного терможестко пластического материала Рр0 = Р0Рр. В работе [187] для термоупругопластиче-ского материала, по аналогии с работами Грина и Нахди [155, 156], принято аддитивное разложение Е-Ее+Ер+Е0, где Е0 — мера температурной де-

формации. Однако имеющиеся в таких подходах недостатки не устранились добавлением температурных градиентов деформаций [126, 173] и температурных деформаций [187].

Кондауров В.И. и Кукуджанов В.Н. в статьях [55, 62] строят модель конечных упругопластических деформаций, учитывающей вязкие свойства материалов на стадии пластического течения. В рамках построенной модели рассматривались закономерности распространения волн напряжений [57, 61] и предлагались методы расчетов нестационарных задач упругопластического деформирования твердых тел [56, 62]. Авторы данных работ исправили неточности в подходе Ли, а также конкретизировали модельные зависимости для решения конкретных краевых задач.

Р. Клифтон в своей работе [149] использует следующее разложение

Г = Г Г.

р е

Это разложение отличается от разложения Е. Ли порядком следования сомножителей.

С. Немат-Нассер [183] в качестве исходного принимает разложение вектора перемещений и в виде суммы обратимой ис и пластической ир составляющих.

Исследования Киевской школы механиков [66-69, 84] обобщены в монографии В.И. Левитаса [65]. Построенная В.И. Левитасом кинематика конечных упругопластических деформаций не содержит большинство недостатков предшественников. Однако свою теорию В.И. Левитас строит на положении Е. Ли о существовании разгрузочного состояния. Поэтому оказалось нужным ввести дополнительные ограничения, которые освободили теорию от зависимости упругих деформаций от пластических в процессах разгрузки. В своей монографии [65] В.И. Левитас значительное внимание уделяет проблеме выбора объективной производной для связи скоростей пластических деформаций с тензором необратимых деформаций. Чтобы избавиться от не-

однозначности в выборе объективной производной В.И. Левитас ввел новую объективную производную, названную Я — производной. С ее помощью стало возможным обобщить определяющие зависимости в случае деформирования без конечных поворотов на общий случай. Таким образом, проблема неоднозначного выбора из общетеоретической проблемы переходит в задачу конкретизации модели на уровне простых нагружений. С помощью данной теории получен ряд численных решений краевых задач [72, 73, 86-89].

А.Д. Чернышов в своей работе [127] предложил использовать законы термодинамики в построении модели конечных упругопластических деформаций. Модельные соотношения основаны на идее Е. Ли об алгебраическом разделении деформаций на упругую и пластическую составляющие с использованием гипотезы существования единственного разгрузочного состояния. В качестве разгрузочного состояния автор предлагает для каждой частицы среды считать предельным состоянием ее состояние при неограниченном измельчении разгруженного тела. Возникает вопрос, как такое состояние рассчитать? Здесь опять же остается проблема выбора объективной производной.

А.А. Роговой с учениками в своих работах [60, 88, 109] принимают за разгрузочное состояние то же, что и в [127]. Отмечается, что так же как и в разложении Е. Ли [168] и его последователей [55, 65, 183] данное состояние не является единственно возможным и подчеркивается, что необоснованно принимать условие зануления неупругих конечных поворотов. С целью уточнения кинематики больших упругопластических деформаций предлагается рассматривать процесс накопления деформаций как последовательное наложение малых упругих и пластических деформаций на конечные. Таким образом, все проблемы, связанные с разделением деформаций на упругие и пластические переходят на уровень приращения деформаций, где необратимыми принимаются деформации до некоторой промежуточной конфигурации, полученной при неизменяющихся напряжениях, а обратимыми - от

промежуточной до текущей конфигурации. Так как упругие и пластические деформации можно считать малыми, то при наложении считается, что упругие и пластические деформации в сумме дают полные. Вводом промежуточной конфигурации принимается гипотеза о том, что обратимые деформации не влияют в малом на процесс приобретения необратимых. В работах [110— 112] такая модель была обобщена на случай учета температурных эффектов.

Теория, изначальные предположения которой отличаются от модели Е. Ли, были разработана на Дальнем Востоке A.A. Бурениным, Г.И. Быковце-вым, Л.В. Ковтанюк, В.П. Мясниковым и А.И. Шитиковым [5, 24, 54, 83]. В работе В.П. Мясникова [83] на основе законов неравновесной термодинамики предложены определяющие соотношения для необратимо деформируемых материалов. Предлагается упругие и пластические деформации считать параметрами состояния. Для таких параметров состояния выписываются дифференциальные уравнения их изменения (переноса). В этом случае не возникает проблемы выбора объективной производной, так как дифференциальные уравнения переноса соответствующих тензоров деформаций содержат тензоры скоростей их изменения, входящих в уравнения в качестве источников. С использованием такого подхода способ разделения полных деформаций на упругую и пластическую составляющие оказывается непринципиальным. В работе Г.И. Быковцева и A.B. Шитикова [24] определение обратимых и необратимых деформаций основано на постулировании для них дифференциальных уравнений их изменения. Здесь отсутствует понятие промежуточной (разгрузочной) конфигурации, любое состояние разгрузки определяется только его начальными параметрами и не зависит от характера деформирования. В работе [5] представлена математическая модель больших упругопластических деформаций. В этой модели обратимые и необратимые деформации определяются через уравнения переноса. Делается предположение, что тензор необратимых деформаций в процессах разгрузки не изменяется, в то время как его компоненты меняются так же, как и при жестком

вращении тела. Теория значительно упрощается при использовании предположения, что термодинамические