Диссипативные разрывы и автомодельные задачи в динамике необратимо сжимаемых упругопластических материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

00461¿В^

Семенов Кирилл Тихонович

ДИССИПАТИВНЫЕ РАЗРЫВЫ И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ДИНАМИКЕ НЕОБРАТИМО СЖИМАЕМЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ 2010

Владивосток 2010

004613875

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель: чл.-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор Буренин Анатолий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шитикова Марина Вячеславовна

Защита состоится 23 ноября 2010 года в 14 часов на заседании регионального диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан 22 октября 2010 г.

доктор технических наук, профессор Сыгуров Петр Николаевич

Ведущая организация: Институт вычислительного

моделирования СО РАН

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

О.В.Дудко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации продиктована необходимостью первоначальных сведений о поверхностях разрывов необратимых деформаций при постановке краевых задач динамики упругопластических сред. Если в случае пластически несжимаемых материалов такими сведениями фундаментальная механики неупругого деформирования располагает, то при модельном учете их необратимой сжимаемости имеющихся сведений совершенно недостаточно. На движущихся в среде поверхностях разрывов деформаций необходимо поставить краевые условия для систем дифференциальных уравнений динамики, поэтому при постановке краевых задач важно знать условия возникновения возможных поверхностей разрывов в зависимости от предварительных напряженных состояний, вычислять скорости движения возникающих поверхностей разрывов. Некоторые ответы на подобные вопросы при кусочно-линейных условиях пластичности, учитывающих пластическую сжимаемость материалов, даны в настоящей диссертации.

Цель данной работы состоит в получении условий возникновения и закономерностей распространения диссипативных поверхностей разрывов в необратимо сжимаемых упругопластических средах при кусочно-линейных условиях пластичности; в постановке и решении ряда автомодельных краевых задач в рамках исследуемой модели пластической сжимаемости.

Научная новизна полученных результатов связана с тем, что впервые изучены условия возникновения диссипативных разрывов в упругопластических средах, когда снимается классическое ограничение о пластической несжимаемости материала. При этом оказалось, что число различных типов поверхностей разрывов, по сравнению с классическим случаем, существенно возрастает, скорости распространения возможных поверхно-

стей разрывов становятся отличными от случая пластической несжимаемости. Классическое решение Блейха-Нельсона обобщается на случай, когда допускается необратимое изменение объема. Впервые приведена постановка плоской автомодельной задачи о косом ударе жестким телом по пластически сжимаемому полупространству и получено ее замкнутое решение.

Достоверность полученных результатов определяется использованием классических подходов механики деформируемого твердого тела при математическом моделировании динамики необратимого деформирования среды.

Практическая значимость результатов диссертации определяется потребностью инженерной практики в расчетах технологических приемов, связанных с импульсными или ударными воздействиями на необратимо деформируемые материалы (скоростная штамповка, пробивание отверстий и др.). Расчетная необходимость в постановках модельных задач динамики деформирования диктует потребность в предварительных сведениях об условиях возникновения разных типов разрывов деформаций, о скоростях их продвижений и др.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приводиться в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 96 наименований. Общий объем работы 101 страница, в том числе из 32 рисунков, включенных в текст.

Апробация результатов диссертации. Отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе-семинаре им. ак. Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2008 г., 2010 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина (г. Владивосток, 2009 г.), на III сессии Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела (Саратов, 2009 г.). Диссертация в целом

докладывалась на объединенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН "Механика сплошных сред"под руководством чл.-корр. РАН A.A. Буренина.

Введение к работе содержит краткий обзор литературы, описывающий тематику предпринятого исследования. Особое внимание уделено работам, посвященным изучению распространения упругопластических волн, динамике грунтов, построению математических моделей упругопластических сред. Отмечено важное значение работ отечественных ученых Рахматули-на Х.А., Шапиро Г.С., Быковцева Г.И.,Григоряна С.С., Кукуджанова В.Н., Чернышева А.Д., Сыгурова П.Н.,Веревейко Н.Д., Баскакова В.А., Скобее-ва A.M., Кретовой Л.Д.,Жубаева Н.Ж., Садовского В.М., Быковцева А.Г., Каменяржа Я. А. и др. Показан значительный вклад в развитие теории волн в упругопластических средах Манделя Д., Хилла Р., Томаса Т., Шилда Р., Блейха Г.Г., Нельсона Дж., Перссона К.О. и др. Здесь же сформулированы цель работы, ее научная новизна, представлено содержание диссертации по главам.

В первой главе диссертации рассматриваются основные соотношения упругопластической среды при малых деформациях. Описываются зависимости на поверхностях разрывов, накладывающие ограничения на изменения величин, претерпевающих разрыв. Рассматривается вопрос о неизменности главных направлений тензора напряжения при переходе через поверхность разрыва.

Модель идеального упругопластического тела в малых деформациях описывается в § 1.1 посредством следующих соотношений

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

где а^, щ, щ, ец, ее^-, - компоненты тензора напряжений, векторов перемещений и скоростей точек среды, тензора малых деформаций и его упругих и пластических составляющих, тензора скоростей пластических деформаций соответственно; Лид- параметры Ламе; к - константа, определяющая предел текучести при чистом сдвиге идеально-пластической среды; р - плотность среды; - символ Кронекера; Хг ~ вектор плотности распределения массовых сил; точкой обозначена производная функции по времени; / - функция, задающая поверхность текучести (пластический потенциал); ф3 - неизвестные строго положительные функции кинематических переменных.

В § 1.2 рассматривается вопрос об условиях совместности разрывов (геометрических, кинематических и динамических), которые описываются следующими соотношениями:

= 0, = Р», - С)И, (2)

= - С) + [е]) - [ф,.

Здесь квадратными скобками обозначен скачок функции на поверхности разрывов: [ш] = т+ — тГ, где т+ и т~ - значения функции перед и за фронтом поверхности разрывов соответственно; ур - криволинейные координаты на поверхности разрывов; дар = - компоненты

ковариантного и контравариантного метрических тензоров поверхности Е, движущейся со скоростью С? в направлении своей единичной нормали Р с

компонентами ц; — - дельта-производная функции по времени.

Ы

Обобщение принципа максимума Мизеса на диссипативный процесс на поверхности разрыва приводится в § 1.3. Следствием чего, в условиях принятой модели (1), является неизменность главных направлений тензора напряжений при переходе через поверхность разрывов.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрена математическая модель упругопластического деформирования при произвольном кусочно-линейном условии пластичности. Получены условия возникновения и закономерности распространения диссипативных разрывов в подобных средах.

Для произвольной грани замкнутой кусочно-линейной поверхности текучести можно записать

а! сг1 + а2 02 + «з 0з = к, (3)

где (7( - главные значения тензора напряжений. Ребро поверхности текучести будет задано системой уравнений

с*1 ел + а2 02 + а3 = к, . .

/З1ст1+р2р2+р3а3^к. В соотношениях (3) и (4) коэффициенты щ и $ (г = 1,2,3) - постоянные, связанные с выбором конкретной грани или конкретного ребра. Эти постоянные становятся известными при выборе конкретного условия на-гружения (например Кулона-Мора и т.д.)'--

В процессе получения решений предполагается, что единственным дис-сипативным процессом, допускаемым средой, включая также процессы на ударной волне, является пластическое течение. Также полагается, что поверхность разрыва является тонким переходным слоем шириной 2/г, а вектор единичной нормали к поверхности разрывов сонаправлен с положительным направлением оси Так как толщина переходного слоя считается малой, а характер ударного перехода связан с резким изменением параметров движения среды в зависимости от нормальной к волне координаты хз, то следуя условиям Адамара считаем, что производными функций по Х\ и Х2 в записи уравнений движения точек среды в переходном слое можно пренебречь по сравнению с производными по ж3. Данное обстоятельство позволяет получить одномерную систему уравнений, описывающую движение среды в ударном фронте.

Изучению условий возникновения и закономерностей распространения диссипативных разрывов при условии пластичности, соответствующему грани поверхности текучести (3) посвящен §2.1. Положим, что в среде при выбранных условиях распространяется поверхность разрывов. Тогда используя соотношения (1), (3) получим систему уравнений в разрывах -с ([стх] Щ + [<т2] тщт± + [ст3] щщ) - А дц [и3]-

-ц ц + [У]} + 9ц = О, (ц-рс2) К] + (А + ц)[у3] щ - ва = 0, (5)

% = А Ф 5ц(а 1 + аг + а3) + 2 ц Ф (а! Щ + а2 т^ + а3 щщ), [01] + аъ [<г2] + а3 [<г3] = О,

к

где Ф = / Ф <&с3; и, гп{ и щ - направляющие косинусы главных осей тензора -/1

напряжений.

Система (5) является системой нелинейных уравнений и получение ее решений, в принципе, нетривиально. Однако, данную систему можно представить в виде множества систем линейных уравнений, причем каждая из таких линейных систем характеризуется определенным набором направляющих косинусов и, тп{, щ. Именно этот набор направляющих косинусов и определяет возможность возникновения диссипативного разрыва.

В § 2.2 рассматривается поведение диссипативных разрывов при условии пластичности, соответствующему ребру поверхности текучести (4). Из соотношений (1), (4) можно вывести систему уравнений, описывающую необратимое деформирование в случае, когда напряжения соответствуют ребру поверхности текучести.

-с ([0-1] Щ + [<т2] т;тп^ + [<т3] щп- А[и3]-

-м (М ч + Ы + щ = о,

(6)

(ц - р с ) + (А + /¿)[г>3] щ - Т]а = О,

щ = А <%(Ф1 (01 + а3 + а3) + Ф2 (А +0з + Рз))+

+2/1 Фх (ai klj + с*2 mimj + аз

+2 Ц Ф2 (Р\ klj + rriiTrij + /?3 UiTlj),

Qi [cti] + а2 [а2] + аз И] = 0, рх [а{\ + /?2 [ог2] + /?3 [^з] = О, h h где Фх = / Фх^з, $2 = / Ф2<£гз--Л -h

В процессе решения систем уравнений (5) и (6) установлено, что в рамках рассмотренной математической модели упругопластической среды, для условий пластичности, соответствующих грани (3) и ребру (4) поверхности текучести, возможно существование продольных, поперечных и комбинированных диссипативных разрывов. Необходимым условием существования продольных разрывов является коллинеарность нормали к поверхности разрыва одному из главных направлений тензора напряжений. В случае поперечных и комбинированных разрывов необходимо, чтобы нормаль к поверхности разрыва была ортогональна одному из главных направлений тензора напряжений.

В §2.3 в качестве примера использования математической модели, рассмотренной в первом и втором параграфе второй главы, изучается поведение диссипативных разрывов при условиях пластичности, соответствующих граням и ребрам пирамиды Ишлинского-Ивлева:

2

mîtx\ai - а\ + да = -к, (7)

г о

где а = -(<7i + <т2 + аз), q - константа материала, о

Поверхность текучести (7) - это пирамида в пространстве главных напряжений. Ее основанием является шестиугольник максимального приведенного касательного напряжения. Слагаемое qa отвечает за объемное деформирование материала.

Отметим, что учет пластической сжимаемости в соотношении (7) приводит не только к уточнениям значений для скоростей продвижения по-

верхностей разрывов, но и увеличивает число возможных разрывов, которые могут распространяться с разными скоростями. Так, например, из условия пластичности (7) следует возможность существования семи продольных ([их] = [иг] = 0, [из] ф 0) диссипативных разрывов. Скорости продвижения этих поверхностей определяются соотношениями

2==/х (ЗХ+2р)(д ± I)2 (2ц + 3\)(д±1)2ц

° р д2(ЗХ+2ц)+Зр, ' С 3 р (2 д д2 + 4 /х + 3 А д2)' 2 _ 4 р (ЗХд2±ЗХд + ЗХ + 2цд2±2р,д + 5р) 2_м ЗХ+2ц ° ~3 р (2м<?2 + 4/х + ЗАд2) ' С ~р д2{ЗХ+2р,)+Зц'

При исключении пластической сжимаемости (д = 0) получаем извест-

, ЗА+ 2/г ЗА+ 5^

ные в литературе значения: с =-, с = —--.

Зр 3 р

Более интересным оказывается случай существования диссипативных комбинированных разрывов ([их] ф 0, [1)2] = 0 и [г>з] ф 0), движущихся со скоростями, меньшими скорости упругой сдвиговой волны. Для скоростей распространения таких разрывов имеем два возможных значения:

2 ___(2д + ЗА)(д±1)У_

° р (ЗА<?2±6Ад+12А + 2/гд2±4^ + 11д)'

При стремлении д к нулю (переход к пластической несжимаемости) для

скоростей продвижения данных разрывов получаем одно значение, ранее

„ р. 3\ + 2ц

неизвестное в литературе: <г = — ——-——.

к ^ р 12Х + 11ц

В § 2.4 описываются диссипативные разрывы, при условиях пластичности, соответствующих граням и ребрам пирамиды Кулона-Мора:

^ тах|<т; — <7]\ + дсг = к, (8)

2 г

которая, как и условие (7), тоже определяет пластически сжимаемую среду. Поверхность текучести (8) - это пирамида в пространстве главных напряжений, основанием которой в девиаторной плоскости является шестиугольник Треска.

При заданном условии пластичности (8) возможно существование пяти продольных ([их] = [иг] = 0, [из] ф 0) диссипативных разрывов, значения

скоростей которых приведены ниже

с2 = .

1 ц (12\д2±18\д + 9\ + 8цд2±12цд + 9р)

3 р{2цд2 + Зр,+ЗХд2)

1 ц (3 А + 2/ц) (3 + 2д)2 2 1 р (12\д2 + ЭЛ + 8р,д2 + 1Ър) Зр (9/х + 8м92 + 12д2А)' С~3 р (2цд2 + + ЗАд2)

2_ 1 А (48д2А + 18д-48/хд + 32^д2+27А-72Ад) ° ~3 р (9 д + 8 /х д2 + 12 д2Л) '

Если исключить пластическую сжимаемость, то получим скорости распространения диссипативных разрывов, известные в классической теории:

, Х+р, „ \ + 2(1 ЗА + 2/х

с' =-, с2 =-, с2 = —--.

р р Зр

В случае комбинированных диссипативных разрывов, значения для их скоростей распространения определяются следующими соотношениями

, (2 /л + 3 А) (2 д ± З)2 /х

с =

р (12 А д2 ± 36 А + 36 А + 8 /и д2 ± 24 д д + 27 ' При отсутствии в соотношениях пластической сжимаемости (д = 0),

получим известное в литературе значение скорости распространения по. , ¿¿(ЗА 4-2

верхности разрывов: сг — —;-

р( 4\ + Зц)

Имеется еще одно особое решение, описывающее комбинированный

разрыв

, (2^ + 3 А) д2р Л_,М(А+/г)

^ . ».л, * = з-

р (ЗАд2 + 9А + 2/хд2 + 9м)' д(2ц + ЗХ)'

Заметим, что отмечаемая поверхность разрыва невозможна при исключении пластической сжимаемости.

Третья глава диссертации посвящена постановкам и решениям автомодельных краевых задач динамики идеального упругопластического тела. Приводятся решения одномерной и плоской автомодельных задач. На таких примерах изучаются особенности процесса распространения граничных возмущений по упругопластической среде. Отличительной особенностью строящихся решений от известных является то, что материал считается пластически сжимаемым, это обеспечивается выбором соответствую-

п

щих поверхностей текучести в виде пирамиды Ишлинского-Ивлева (7) или пирамиды Кулона-Мора (8).

Согласно уравнениям, описывающим поведение среды, изменение

упругих деформаций происходит на ударных волнах, распространяющихся А + 2ц (1

со скоростями с =-и с = —. Показано, что изменение пластических

Р Р

деформаций осуществляется посредством простых волн Римана, то есть, в некотором слое Согласно полученным результатам, возможно су-

ществование двух простых волн: одна из них ; £1") располагается между безвихревой и эквиволюмиальной ударными волнами, а другая -

между эквиволюмиальной ударной волной и границей упругопластическо-го полупространства. В процессе решения конкретной краевой задачи возможны случаи, когда одновременно существует два слоя с пластическими деформациями, либо только один (в зависимости от констант среды, начальных и граничных условий).

В §3.1 рассмотрена одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по упругопластическому полупространству. При этом в рамках численного эксперимента показано, что пластическое деформирование осуществляется посредством только одного пластического слоя, расположенного между эквиволюмиальной ударной волной и границей упругопласти-ческого полупространства.

В §3.2 приведено решение плоской автомодельной задачи о косом ударе жестким телом по упругопластическому полупространству, с условием пластичности, описываемом гранью поверхности текучести (8), при этом необратимое деформирование осуществлялось посредством двух пластических слоев (Рис.1).

Ниже (Рис.2) представлены графики изменения некоторых компонент тензора пластических деформаций на простой волне

Рис.1 Волновая картина при ударе жестким телом по упругопластическому полупространству

О

-0,0002 -0,0004 -0,0006 -0,0008 е?! -0,0010 -0,0012 -0,0014 -0,0016 -0,0018

0,8156 0,8158 ^0,8160 ' "" 0,8156 0,8158 " 0,8160

Рис.2 Изменение пластических деформаций в области простой волны

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены условия существования различных типов диссипатив-ных разрывов в необратимо сжимаемых упругопластических средах в зависимости от вида напряженно-деформированного состояния среды и упругопластических свойств материала, связанных с различными кусочно-линейными условиями пластичности, частными случаями которых являются условия пластичности Кулона-Мора и Ишлинского-Ивлева.

2. Вычислены скорости продвижения возможных поверхностей разрывов в зависимости от упругих и пластических постоянных среды.

3. Поставлена и решена одномерная автомодельная задача динамики упругопластической среды: об ударе жестким телом по пластически сжимаемому полупространству, находящемуся в свободном состоянии.

4. В рамках пластической сжимаемости рассмотрена и решена плоская автомодельная задача о косом ударе жестким телом по свободному упру-гопластическому полупространству.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Семенов К.Т. Поверхности разрывов деформаций в необратимо сжимаемых материалах // Вестник ЧГПУ имени И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельных состояний. Чебоксары: Изд-во ЧГПУ. 2007. №3. С. 126-141.

2. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Плоская автомодельная задача о деформировании упругопластического полупространства // Сборник тезисов докладов XXXIII Дальневосточной математической школы-семинара им. академика Е.В. Золотова. Владивосток, 29 августа - 4 сентября 2008 г. Владивосток: Дальнаука. 2008. С. 221-222.

3. Семенов К.Т., Дудко О.В. Диссипативные ударные волны в упруго-пластической среде при кусочно-линейных поверхностях нагружения // Сборник тезисов докладов XXXIII Дальневосточной математической школы-семинара им. академика Е.В. Золотова. Владивосток, 29 августа - 4 сентября 2008. г. Владивосток: Дальнаука. 2008. С. 231-232.

4. Буренин A.A., Дудко О.В., Семенов К.Т. Об условиях существования поверхностей разрывов необратимых деформаций в упругопластиче-ских средах // Прикл. механика и техн. физика. 2009. Т. 50. №5. С. 176-185. ISSN 0869-5032.

5. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Одномерная автомодельная задача о деформации упругопластического полупространства // Успехи механики сплошных сред. Тезисы Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина. Владивосток: Дальнаука, 2009. 29 сентября - 5 октября 2009 г. С. 93 - 94. ISBN 978-5-8044-0986-0

6. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Описание диссипативных разрывов в пластически сжимаемых средах // Сб. статей: Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные технологии в машиностроении. Комс.-на-Амуре: ИМиМ ДВО РАН. 2009 Вып.З. Часть 1. С 176 - 189. ISBN 978-5-7442-1463-0.

7. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по упругопластическому полупространству // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4, ч. 2. С. 136-142.

Личный вклад автора. Работа [1] выполнена автором лично. В работах [2, 5, 6, 7] автор участвовал в постановке краевых задач и проведении аналитических вычислений, также автором были выполнены все численные расчеты. В работах [3, 4] автором были получены ограничения на предварительные напряжения, при которых существуют диссипа-тивные разрывы, вычислены скорости их продвижения.

СЕМЕНОВ Кирилл Тихонович

ДИССИПАТИВНЫЕ РАЗРЫВЫ И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ДИНАМИКЕ НЕОБРАТИМО СЖИМАЕМЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Автореферат

Подписано к печати 20.10.2010 г. Усл.п.л. 0.8 Уч.-изд.л. 0.7 Формат 60*84/16. Тираж 100. Заказ 34.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5.

Введение.

Глава 1. Основные соотношения модели.

§1.1. Определяющие соотношения упругопластической среды.

§1.2. Условия совместности на поверхности разрывов.

§1.3. Обобщение принципа максимума Мизеса при диссипативном процессе на поверхности разрывов.

Глава 2. Диссипативные разрывы в упругопластической среде.

§2.1. Диссипативные разрывы при условии пластичности, соответствующем грани поверхности текучести.

§2.2. Диссипативные разрывы при условии пластичности, соответствующем ребру поверхности текучести.

§2.3. Диссипативные разрывы при условиях пластичности, определяемых пирамидой Ишлинского-Ивлева.

§2.4. Диссипативные разрывы при условиях пластичности, определяемых пирамидой Кулона-Мора.

Глава 3. Автомодельные задачи динамики сжимаемой упругопластической среды.

§3.1. Нормальный удар по пластически сжимаемому полупространству.

§3.2. Плоская автомодельная задача о косом ударе жестким телом по пластически сжимаемому полупространству.

Потребность инженерной практики в расчетах технологических приемов, связанных с импульсными или ударными воздействиями на необратимо деформируемые материалы (скоростная штамповка, пробивание отверстий и др.)5 важность оценки последствий взрывов и землетрясений обуславливают актуальность развития теории упругопластических сред. Необходимость в постановках модельных задач динамики деформирования диктует потребность в предварительных сведениях об условиях возникновения разных типов разрывов деформаций, о скоростях их продвижений и др. Если в случае пластически несжимаемых материалов такими сведениями фундаментальная механики неупругого деформирования располагает, то при модельном учете их необратимой сжимаемости имеющихся сведений совершенно недостаточно. На движущихся в среде поверхностях разрывов деформаций необходимо поставить краевые условия для систем дифференциальных уравнений динамики, поэтому важно при постановке краевых задач знать условия возникновения возможных поверхностей разрывов в зависимости от предварительных напряженных состояний, вычислять скорости движения возникающих поверхностей разрывов.

Начало теоретическому рассмотрению вопросов о распространении упругопластических волн было положено работой Рахматулина Х.А. [59], посвященной особенностям поведения волн разгрузки. В работах Манде л я [54, 92, 93] показано, что скорости распространения пластических волн не только не превышают скорости распространения упругих волн, но, в случае неоднородной среды, величины скоростей пластических волн лежат между величинами скоростей упругих волн или по крайней мере равны им, а в случае изотропной среды выделяется поперечная нейтральная волна, скорость распространения которой совпадает со скоростью упругой экви-валюминальной волны. Отметим также объемную теоретическую работу Р. Хилла [81], посвященную закономерностям распространения слабых волн (поверхностей разрывов ускорений). Многочисленные результаты, описывающие поведение одномерных волн, распространяющихся в упругопла-стических телах, представлены в обзорах и монографиях отечественных и зарубежных авторов [29, 60, 61, 64, 67, 89, 95].

Большой интерес представляют работы, посвященные распространению двух- и трехмерных волн. Основные результаты, полученные в этом направлении, связаны с использованием метода изучения поверхностей разрывов, предложенного в шестидесятых годах XX века Т. Томасом [79]. Обобщив условия совместности Адамара на случай разрывных функций, Томас вывел геометрические и кинематические условия совместности разрывов, с помощью которых удалось не только получить условия существования разных типов поверхностей разрывов, но и проследить за характером изменения интенсивности разрыва в процессе распространения этих поверхностей. Полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения впоследствии получили название уравнений затухания.

Большой обзор работ [60], по распространению упругопластических волн, был подготовлен Х.А. Рахматулиным. В него вошли первые работы по волнам нагрузки и разгрузки в упругопластических телах [27, 28, 29, 53, 62, 63, 74, 81, 83, 86, 87, 92, 93, 96] и др., а также работы, посвященные решению краевых задач динамики упругопластического деформирования [14, 15, 23, 61, 75] и др.

В качестве обобщения теории идеальной пластичности Треска-Сен-Венана на сыпучие сжимаемые среды в работах [30, 35] использовалась модель Ишлинского. Дальнейшее развитие данного подхода к рассмотрению сжимаемых сыпучих сред получено в работах [45, 46, 66, 65, 82, 85], где описывается дилатансионная пластическая модель упрочняющегося сыпучего материала. В работе Друкера [90] была рассмотрена модель, в которой в качестве пластического потенциала было предложено взять гладкое условие Кулона-Мора - критерий Мизеса-Шлейхера [31], что явило собой обобщение теории идеальной пластичности Мизеса на сыпучие дилатиру-ющие среды. В дальнейшем Д.Д, Ивлев и Г.И. Быковцев [25] рассмотрели модель, в основе которой лежит понятие поверхности нагружения и ассоциированного или неассоциированного закона течения. Статически определимые задачи сыпучих сред были решены В.В. Соколовским [76, 77]. Модель упрочняющейся сыпучей среды, основанная на условии нагружении Мизеса-Шлейхера и условии далатансии была рассмотрена в работе [94]. С.С. Григоряном в работе [32] была рассмотрена модель сыпучей пластически сжимаемой среды при условии пластичности Мизеса и предположении, что если элемент среды испытывает необратимые изменения объема, то давление при этом связано с плотностью.

Поверхности разрывов скоростей в упругопластических телах исследовались в работах А.Д. Чернышева [83, 84], где соотношения в разрывах записывались после решения задачи о структуре ударной волны. При этом диссипативный механизм деформирования на ударной волне дополнялся учетом вязких свойств среды, исчезающих при выходе из отмеченной структуры. Таким образом удалось записать недостающее выражение, связывающее разрывы напряжений обратимых и необратимых деформаций.

Другой прием записи недостающего соотношения был предложен Г.И. Быковцевым и Л.Д. Кретовой в работе [28]. В предположении, что дефор5 мирование на ударной волне подчинено принципу максимального роста энтропии, экстремальность процесса привела не только к возможности записать недостающее соотношение, но и к существенно упрощающему все рассмотрение результату о неизменности главных осей тензора напряжений при деформировании в переходном слое ударной волны. В частности, были найдены скорости распространения упругопластических ударных волн в изотропных средах при условиях пластичности Мизеса и Треска-Сен-Венана. В дальнейшем результаты этой работы использовались при построения широкого класса точных решений [1, 2, 6, 7, 26, 33, 34, 43, 44, 91].

Аналогичный результат был получен В.М. Садовским при использовании в изучении поверхностей разрывов деформаций вариационных неравенств [69, 70, 72].

Поверхности разрывов скоростей впоследствии изучались в рамках математической модели упругопластического деформирования Прандтля-Рейса или ее некоторых обобщений, при учете упрочнения [72, 84], сжимаемости [16, 17, 73] и разных представлений для поверхностей нагружений.

В работе [15] Г.Г. Блейхом и Дж. Нельсоном была решена автомодельная задача о косом ударе по упругопластическому полупространству. Полученные в замкнутой форме решения при переменной x/t выражены через эллиптические интегралы, при этом были проанализированы различные случаи решения поставленной задачи в зависимости от интенсивности поверхностных нагрузок и коэффициента Пуассона. С помощью комбинации ударных и простых волн решение такой задачи было получено поуобрат-ным методом. Позже плоская автомодельная задача о движении нагрузки по упругопластическому полупространству была независимо решена Г.Г. Блейхом, А.Т. Метьюзом [14], и A.M. Скобеевым и JI.M. Флитманом [75]. б

Позднее В.А. Баскаков [9, 10, 11, 12] и А.Г. Быковцев [19, 20, 21, 22] рассмотрели ряд автомодельных задач об отражении ударных волн от плоских преград и о взаимодействии ударных волн. Автомодельные квазистационарные задачи о внедрении клина в упругопластическую среду рассмотрел П.Н. Сыгуров [78]. В дальнейшем задачи об распространении упруго-пластических волн в пластически сжимаемой среде были рассмотрены в работах [55, 56].

Г.И. Выковцевым и его учениками (ЛА. Бабичевой, И.А. Власовой, Н.Г. Шаталовым, В.Н. Дуровой, А.П. Бестужевой) [3, 4, 24] была изучена теория особых поверхностей в деформируемых средах, что позволило предложить эффективный метод решения неавтомодельных задач динамики деформируемых сред, так называемый лучевой метод. Данный подход позволил изучить поверхностные нестационарные волны в упругопластических телах [13].

Созданию численных процедур решения задач динамики деформируемых сред с пластическими свойствами много занимались А.Н. Куку-джанов [51, 52], М.Л. Уилкинс [80], В.М. Садовский [68, 71].

В работах [29, 53, 60, 63, 57] рассматривались вопросы распространения радиальных и сдвиговых цилиндрических упругопластических волн. Сферические ударные волны при кусочно-непрерывных линейных связях между компонентами тензоров напряжений и и деформаций, были изучены в работах [61, 96].

С помощью лучевого метода по степеням расстояний от фронтов эк-виволюминальной и безвихревой волн в работе [5] рассмотрена задача о распространении цилиндрических волн от кольцевого импульса на поверхности упругопластического полупространства, распространяющегося со сверхзвуковой скоростью. Решение задачи о внезапном нагружении ин7 тенсивной нагрузкой сферической плоскости в упругопластическом полупространстве в работах [8, 88] ищется разностными методами.

В работе [42] Д.Д. Ивлев рассмотрел пространственную задачу теории идеальной пластичности при условии пластичности, соответствующему ребру призмы Треска, и установил, что в каждой точке имеется конус характеристических направлений, совпадающих с направлениями максимальных касательных напряжений. Также в этой работе Д.Д. Ивлев обратил внимание на возможность получения замкнутой системы уравнений в случае плоского деформирования на ребрах и гранях условия пластичности Треска.

Задачи о распространении и отражении упругопластических волн в полупространстве в случае одномерной постановки рассматривались в работах [37, 38, 39, 40, 41, 36, 57]. Автомодельная задача преломлении упругой волны в упругопластическом полупространстве, при условии пластичности Кулона, была рассмотрена А.Н. Ковшовым [48]. В работе [50] аналогичная задача была решена при условии пластичности Мизеса. Отражению пластической волны в упругопластическом полупространстве при условии пластичности Мизеса посвящена работа А.Н. Ковшова и A.M. Скобеева [49], а для грунтов, описываемых соотношениями С.С. Григоряна - работа [47]. Решения получены в виде интегралов от параметров с неизвестными пределами интегрирования, являющимися границами областей пластичности, которые отыскиваются из алгебраических уравнений. К.О. Перссон в работе [58] рассмотрел поведение упругопластических возмущений в среде на примере решения ряда задач о о столкновении двух пластинок.

Целью настоящей работы является изучение условий возникновения и закономерностей распространения диссипативных поверхностей разрывов в упругопластической среде с произвольными кусочно-линейными условия8 ми пластичности, при этом особое внимание уделяется необратимо сжимаемым средам; в постановке и решении ряда автомодельных краевых задач в рамках исследуемой модели пластической сжимаемости.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению особенностей существования поверхностей разрывов в упругопластической среде. Рассмотрены зависимости, накладывающие ограничения на изменения величин, претерпевающих разрыв. В первом параграфе вводятся определяющие соотношения упругопластической среды при малых деформациях. Во втором параграфе первой главы непосредственно изучается процесс распространения возмущений по среде, для чего рассматриваются условия совместности разрывов (геометрические, кинематические и динамические), которые обязаны выполняться для величин, претерпевающих разрыв. В третьем параграфе первой главы приводится обобщение принципа максимума Мизеса на диссипативный процесс на поверхности разрыва. Следствием введенной гипотезы является неизменность главных напряжений при переходе через поверхность разрывов.

Во второй главе диссертационной работы непосредственно рассмотрена математическая модель упругопластического деформирования при произвольном кусочно-линейном условии пластичности. Для подобных сред получены условия возникновения и закономерности распространения дис-сипативных разрывов, вычислены их скорости.

Для произвольной грани замкнутой кусочно-линейной поверхности текучести можно записать где - главные значения тензора напряжений. Ребро поверхности текучести будет задано системой уравнений сих сг\ + а2 02 + а3 <т3 = к,

0.1)

1 (71 + + аз 03 = к

А. 0-1 + А> & + &оз = к

0.2)

В соотношениях (0.1) и (0.2) коэффициенты аг- и ft (г = 1,2,3) - постоянные, связанные с выбором конкретной грани или конкретного ребра. Эти постоянные становятся известными при выборе конкретного условия нагружения (например, Кулона-Мора и т.д.)

Первый и второй параграфы второй главы посвящены изучению поведения диссипативных разрывов при условиях пластичности, соответствующих грани (0.1) и ребру (0.2) поверхности текучести, соответственно.

В третьем параграфе второй главы в качестве примера использования математической модели, рассмотренной в первом и втором параграфе второй главы, описываются диссипативных разрывов при условиях пластичности, определяемых гранями и ребрами пирамиды Ишлинского-Ивлева, т.е. соотношения

2 . . тах|сгг- — сг\ + qa — -к, (0.3) г 3 где а = — (<Ji + <72 + сг3), q - константа, отвечающая за пластическую сжио маемость материала.

В четвертом параграфе второй главы рассматривается поведение диссипативных разрывов, когда условия пластичности задаются гранями и ребрами пирамиды Кулона-Мора i шах|сг^ - dj\ + qa = к, (0.4)

Za t которая, как и условие (0.3) определяет пластически сжимаемую среду.

Отметим, что учет пластической сжимаемости в соотношениях пластичности для моделей, рассмотренных в третьем и четвертом параграфах второй главы, приводит не только к уточнениям значений для скоростей продвижения поверхностей разрывов, но и увеличивает число возможных разрывов,которые могут распространяться с разными скоростями.

Третья глава диссертации посвящена постановкам и решениям автомодельных краевых задач динамики идеального упругопластического тела. Приводятся решения одномерной и плоской автомодельных задач на примере нагрузки упругопластического полупространства, рассматриваются процессы распространения возмущений в упруго-пластической среде. Отличительной особенностью представленных задач является то, что материал считается пластически сжимаемым, это обеспечивается выбором соответствующих поверхностей текучести в виде пирамиды Ишлинского-Ивлева (0.3) и пирамиды Кулона-Мора (0.4).

Согласно уравнениям, описывающим поведение среды, изменение упругих деформаций происходит на ударных волнах. Скорость одной из них будет совпадать со скоростью движения безвихревой волны, скорость движения другой волны совпадает со скоростью распространения эквиволю-миальной волны. Изменение же пластических деформаций осуществляется посредством простых волн Римана, то есть, в некотором слое. Из полученных результатов следует возможность существование двух простых волн: одна из них располагается между безвихревой и эквиволюмиальной ударными волнами, а другая - между эквиволюмиальной ударной волной и границей упругопластического полупространства. В процессе решения конкретной краевой задачи возможны случаи, когда одновременно существует два слоя с пластическими деформациями, либо только один (в зависимости от выполнения условия пластичности в соответствующей области).

В первом параграфе третьей главы рассмотрена одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по упругопластическому полупространству, являющимся пластически сжимаемым. При этом в рамках численного эксперимента показано, что в силу выбранных констант материала, начальных и граничных условий среды пластическое деформирование осуществляется посредством только одного пластического слоя, расположенного между эквиволюмиальной ударной волной и границей упругопластического полупространства. В втором параграфе третьей главы решена плоская автомодельная задача о косом ударе жестким телом по упругопластическому полупространству, при этом в процессе решения было показано, что необратимое деформирование осуществляется посредством двух пластических слоев. Представленные задачи были решены численно, результаты расчетов показаны на графиках.

Заключение

1. Получены условия существования разных типов поверхностей разрывов необратимых деформаций в упругопластических средах в зависимости от вида напряженно-деформированного состояния перед поверхностями разрывов и упругопластических свойств среды, связанных с различными кусочно-линейными условиями пластичности, частными случаями которых являются условия Кулона-Мора и Ишлинского-Ивлева. В процессе решения полученных систем уравнений установлено, что в рамках рассмотренной математической модели упругопластической среды возможно существование продольных, поперечных и комбинированных диссипатив-ных разрывов. Необходимым условием существования продольных разрывов является коллинеарность нормали к поверхности разрыва одному из главных направлений тензора напряжений. В случае поперечных и комбинированных разрывов необходимо, чтобы нормаль к поверхности разрыва была ортогональна одному из главных направлений тензора напряжений.

2. Вычислены скорости продвижения возможных поверхностей разрывов в упругопластической среде в зависимости от констант среды.

3. Поставлена и решена одномерная автомодельная задача динамики упругопластического деформирования: об ударе жестким телом по свободному, пластически сжимаемому полупространству. Пластическая сжимаемость среды, при этом, моделируется путем принятия в качестве поверхности текучести пирамиды Ишлинского-Ивлева. Изменение пластических деформаций в среде, обусловленное константами материала, начальными и граничными условиями, осуществляется посредством одного пластического слоя, расположенного между границей тела и эквиволюмиальной упругой волной.

4. В рамках пластической сжимаемости рассмотрена и решена плоская автомодельная задача о косом ударе жестким телом по упругопластическо-му полупространству, находящемуся свободном состоянии. Пластическая сжимаемость материала задается путем выбора в качестве поверхности текучести пирамиды Кулона-Мора. При этом, в силу выбранных начальных, граничных условий и параметров среды, было показано, что пластические деформации изменяются посредством двух пластических слоев, один из которых расположен между двумя упругими волнами, а второй между границей тела и эквиволюмиальной упругой волной.

1. Афанасьев С.Б. Об аналитическом описании волнового упруго-пластического процесса соударения пластин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд. Горьковского ун-та. 1979. №13. С.90-94.

2. Афанасьев С.Б. Автомодельные решения задачи о распаде разрыва в упругопластической среде // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд. Горьковского ун-та. 1990. №44. С.40-46.

3. Бабичева Л.А. Лучевой метод в динамике упруговязкопластической среды: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Воронеж. 1973. - 114с.

4. Бабичева Л.А., Быковцев Г.И., Веревейко Н.Д. Лучевой метод решения динамических задач в упруговязкопластических средах // ПММ. Т.З, вып.1. 1973. С.145-155.

5. Бабичева Л.А., Веревейко Н.Д. О распространении цилиндрического импульса по границе упруговязкопластической среды // Труды НИИ мат. Воронеж, ун-та. 1971. Вып.4. С.90-100.

6. Балашов Д.Б. О простых волнах уравнений Прандтля-Рейса // ПММ. 1992. Т.56, №1. С.124-133.

7. Балашов Д.Б. О распаде разрыва в линейно упрочняющейся упруго-пластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1993. №2. С. 121-131.91

8. Барпиев А. Проникновение клина в пластическую полуплоскость // Исследования по интегро-дифференициальным уравнениям. Фрунзе. 1980. №13. С.350-360.

9. Баскаков В.А. К задаче отражения безвихревых ударных волн от границы упругопластического полупространства // Сб. научных трудов факультета прикл. математики и механики Воронежского университета. 1971. Вып.1. С.39-49.

10. Баскаков В.А. Об автомодельных упругопластических решениях в задаче преломления плоских волн // Труды НИИ математики Воронежского университета. 1973. Вып.8 С.58-63.

11. Баскаков В.А. Об отражении плоских сдвиговых волн от свободной поверхности в упрочняющейся среде // В сб.: Распространение упругих и упругопластических волн. Алма-Ата: Наука. 1973. С.65-72.

12. Баскаков В.А. О плоскополяризованном волновом движении упруго-пластической среды // Изв. Воронежского гос. пед. ун-та. 1978. Вып.200. С.84-87.

13. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. Волны сильного разрыва на поверхности пластически деформирующегося тела // МДТТ. Куйбышев: КГУ. 1977. С.65-68.

14. Блейх Г.Г., Мэтьюз А.Т. Движение со сверхсейсмической скоростью ступенчатой нагрузки по поверхности упругопластического полупространства // Сб. пер. "Механика". 1968. №1(107). С.123-155.

15. Блейх Г.Г., Нельсон Дж. Плоские волны в упругопластическом полупространстве, вызванные совместным действием нормальной и касательной поверхностных нагрузок // ПММ. М.: Мир. 1966. №1. С.145-156.

16. Буренин A.A., Быковцев Г.И., Рычков В.А. Поверхность разрывов скоростей в динамике необратимо сжимаемых сред // Проблемы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. К 60-летию акад. В. П. Мясникова. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 1996. С.106-127.

17. Буренин A.A., Дудко О.В., Семенов К.Т. Об условиях существования поверхностей разрывов необратимых деформаций в упругопластичес-ких средах // ПМТФ. 2009. Т.50. №5. С. 176-185.

18. Буренин A.A., Чернышев А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т.42, вып.4 С.711-717.

19. Быковцев А.Г. Моделирование процесса преломления поперечных сейсмических волн в грунте // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток. 1991. С. 191-205.

20. Быковцев А.Г. Преломление плоскополяризованных волн на границе раздела упругого и упругопластического полупространства // ПММ. 1985. Т.49, вып.2. С.307-325.

21. Быковцев А.Г. О преломлении волны сдвига в нелинейноупругое и упругопластическое полупространство // ПММ. 1986. Т.50, вып.З. С.490-497.

22. Быковцев А.Г. О преломлении ударных волн чистого сдвига в упруго-пластическое полупространство // ПММ. 1989. Т.53, вып.2. С.309-318.

23. Быковцев Г.И., Веревейко Н.Д. Отражение сдвиговой волны граничной плоскостью, свободной от напряжений // В сб.: IV Всес. сипозиум по распространению упругих и упруголпастических волн. Тезисы докладов. Кишинев: АН Молд. ССР. 1968. С. 18-19.

24. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука. 1998. - 232с.

25. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука. 1971. - 231с.

26. Быковцев Г.И., Колокольчиков A.B., Сыгуров П.Н. Автомодельные решения уравнений динамики идеального упругопластического тела при условии пластичности Треска // ПМТФ. 1984. №6. С.148-156.

27. Быковцев Г.И., Кретова Л.Д. О волнах ускорений в идеальных упру-гопластических телах // МТТ. 1967. №1. С.102-110.

28. Быковцев Г.И., Кретова Л.Д. О распространении ударных волн в упру-гопластических средах // ПММ. 1972. Т.36, №1. С.106-116.

29. Викторов В.В., Добровольский И.Г., Шапиро Г.С., Наяр Е.М. О распространения упругопластических и упруговязкопластических волн // В сб.: Волны в неупругих средах. Кишинев: АН Молдавск. ССР. 1970. С.32-46.

30. Гениев Г.А., Эстрин М.И. Динамика пластической и сыпучей среды. -М.: Стройиздат. 1972. 216с.

31. Глухов Ю.М., Кулинич Ю.В., Рыков Г.В. Некоторые результаты экспериментальных исследований механических характеристик песчан-ного грунта при статических нагрузках // ПМТФ. 1978. №3. С. 165-169.

32. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // ПММ. 1960. 24. №6. С.1057-1082.

33. Друянов Б.А. Обобщенные решения динамической теории пластичности и термопластичности // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, №5. С. 10731075.

34. Друянов Б.А. О сильных разрывах в сжимаемых пластических средах // Реологические модели и процессы деформирования пористых, порошковых и композиционных материалов. Киев: Наукова думка. 1985. С.23-33.

35. Ишлинский А.Ю. О плоском движении песка // Укр. мат. ж-л. 1954. №4. С.430-441.

36. Жубаев Н.Ж. О распространении плоских ударных волн нагрузки и нагрузка-разгрузка в деформационной модели грунта // Вест. АН К аз.ССР, серия физ.-мат. 1963. №9. С.78-84.

37. Зволинский Н.В. Отражение и преломление плоской пластической волны при наличии граничной плоскости // ПММ. 1967. 31. №5. С.848-860.

38. Зволинский Н.В. Плоские взрывные волны в упругопластической среде // Докл. АН СССР. 1964. 156, №1. С.40-42.

39. Зволинский Н.В., Рыков Т.В. Отражение и преломление плоских пластических волн // Докл. АН СССР. 1965. 161, №5. С.1041-1043.

40. Зволинский Н.В., Рыков Т.В. Отражение пластической волны от преграды // ПММ. 1963. 27, №1. С.91-108.

41. Зволинский Н.В., Рыков Т.В. Отражение плоской пластической волны и преломление на границе двух полупространств // ПММ. 1965. 29, №4. С.672-680.

42. Ивлев Д.Д. Об уравнениях линеаризованных пространственных задач теории идеальной пластичности // Докл. АН СССР. 1960. 130, №6. С.1232-1235.

43. Каменярж Я.А. О простых волнах и распаде разрыва в упругопластической среде с условием Мизеса // ПММ. 1972. Т. 36, №2. С.320-329.95

44. Кириленко Г.А. Метод разрывов для идеальной пластически упрочняющейся среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд. Горьковского ун-та. 1984. С.44-51.

45. Коврижных A.M. Вариант теории пластических деформаций горных пород // ФТПРПИ. 1988. №. С.3-8.

46. Коврижных A.M. Пластическое деформирование упрочняющихся материалов при сложном нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 140-146.

47. Ковшов А.Н. Об отражении упругопластической волны от свободной поверхности // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №4. С.116-121.

48. Ковшов А.Н. О преломлении упругой волны в упругопластическом полупространстве // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №6. С.82-88.

49. Ковшов А.Н., Скобеев A.M. Отражение пластической волны, падающей под углом на жесткую стенку // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. №1. С.54-59.

50. Кондауров В.И. Отражение плоской поперечной волны от свободной границы полупространства //В кн. Труды 18 науч. конф. МФТИ. 1972. Сер. Аэромеханика. Процессы управления. Долгопрудный. 1973. С.105-111.

51. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир. 1975. С.38-84.

52. Кукуджанов В.Н. Неустановившиеся задачи динамики упруго-пластических сред: Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М. 1981. -35с.

53. Ляхов Г.М., Покровский Г.И. Взрывные волны в грунтах. М.: Госгор-техиздат. 1962. - 103с.

54. Мандель Д. Пластические волны в неограниченной трехмерной среде // Сб. переводов "Механика". 1963. №5(81). С.151-179.

55. Манцыбора A.A., Семенов К.Т. Одномерная автомодельная задача об ударе жестким телом по упругопластическому полупространству // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т.9, вып.4, ч.2. С.136-142.

56. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир. 1978. - 304с.

57. Перссон К.О. Давление в ударной волне при косом соударении. Теоретическое исследование // Нестационарные процессы в деформируемых телах. М.: Мир. 1976. С.132-150.

58. Рахматулин Х.А. О распространения волны разгрузки // ПММ. 1945. Т.9, М. С.91-100.

59. Рахматулин Х.А. Обзор работ по распространению упругопластиче-ских волн // Сб. Прочность и пластичность. М.: Наука. 1971. С.301-316.

60. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: ГИМФЛ. 1961. - 396с.

61. Рахматулин Х.А., Жубаев Н.Ж. К распространению упругопластических волн нагрузки сжатия и сдвига // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1975 №5. С.64-72.

62. Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Сабодаж А.Ф., Филиппов И.Г. Двумерные задачи по неустановившемуся движению сжимаемых сред. Ташкент: ФАН. 1969. 109с.

63. Рахматулин Х.А., Шапиро Г.С. Распространение возмущений в нелинейно-упругой и неупругой среде // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. Вып.2. С.69-89.

64. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов / / ПМТФ. 1977. №3. С.156-174.

65. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Кинематика деформирования сыпучести среды с невязким трением // ПМТФ. 1974. №4. С. 119-124.

66. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Динамическая теория пластичности //В сб. Упругость и пластичность. 1966 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР) М. 1968. С.7-111.

67. Садовский В.М. Алгоритм "корректировки" решения в задачах динамического деформирования упругопластических тел / / Моделирование в механике сплошных сред. Красноярск.: Изд. Краснояр. унта. 1992. С.29-39.

68. Садовский В.М. Гиперболические вариационные неравенства в задачах динамики упругопластических тел // ПММ. 1991. Т.55, №6. С. 10411048.

69. Садовский В.М. К теории распространения упругопластических волн в упрочняющихся средах // ПМТФ. 1994. №5. С. 166-172.98

70. Садовский В.М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Изд. Сиб. отдел. РАН. 1998. 184с.

71. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упруго-пластических сред. М.: Наука. 1997. 208с.

72. Семенов К.Т. Поверхности разрывов деформаций в необратимо сжимаемых материалах // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельных состояний. Чебоксары: Изд-во ЧГПУ. 2007. №3. С. 126-141.

73. Скобеев A.M. О пластической волне сдвига // ПММ. 1968. 32. №3. С.502-504.

74. Скобеев A.M., Флитман JI.M. Подвижная нагрузка на неупругой полуплоскости // ПММ. 1970. 34. т. С.189-192.

75. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Физматгиз. 1960. -243с.

76. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш.шк. 1969. - 608с.

77. Сыгуров П.Н. Автомодельное решение плоских задач динамики идеальных упругопластических сред при условии пластичности Треска: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Куйбышев. 1984. 147с.

78. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир. 1964. - 308с.

79. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. С.212-263.

80. Хилл Р. Волны ускорений в твердых телах // Сб. переводов "Механика". 1963. №3. С.117-142.

81. Христианович С.А. Деформация упрочняющегося пластического материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №2. С.148-174.

82. Чернышев А.Д. О распространении ударных волн в упругопластиче-ской среде // ПММ. 1969. 33. №1. С. 143-147.

83. Чернышев А.Д., Лимарев А.Е. О распространении ударных волн в упругопластической среде с упрочнением // ПММ. 1971. 35. №6. С.1083-1088.

84. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния // Числ. методы МСС. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1973. Т.4, №4. С. 150-162.

85. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейный волны деформаций. М.: Наука. 1981. - 256с.

86. Эстрин М.И. Об уравнениях динамики сжимаемой пластической среды // Докл. АН СССР. 1960. 135. №1. С.36-39.

87. Carg Sabodh К. Numerical solutions for spherical elastic-plastic wave propagation // Z. Angewandte Math and Phys. 1968. 19. №5. P.778-787.

88. Devis R.M. Stress waves in solids // Surveys in Mechanics. Cambridge Univ. Press. 1956. pp.64-138.

89. Druker D.C., Pranger W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quart. Appl. Math. 1952. 10, №2. pp.157-165.

90. Klifton R.J. Dynamic plasticity // Trans. ASME., ser. E: J. Appl. Mech. 1983. №48. pp.941-952.

91. Mandel Jean. Sur les surfaces de deseon indefini // C.r. Acad.Sci. 1961.252. №17. pp.2505-2507.

92. Mandel Jean. Sur les ondes ordinaries dana un milieu indefini elastoplatique // C.r. Acad.Sci. 1961. 252. №15. pp. 2574-2576.

93. Rudnisri I.W., Rice I.R. Conditions of the localisation of deformation in pressure-sensitive dilatant materials //I. Mech. Phys. Solids. 1975. 23, №6. ppl070-1082.

94. Trusdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Ration. Mech. and Analysis. 1961. 8, №4. pp. 263-296.

95. Wlodardczyk E. Propagation and reflection of a plane and spherical shockwave in an elastic-plastic body and abarotropic liquid // Proc. Vibrat. Probl. Polish. Fcad. Sci. 1964. 5. №4. P.349-375.