Метод возмущений в динамике деформирования несжимаемых упругих сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ииоиьо107 ИВАНОВА Юлия Евгеньевна

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИИ В ДИНАМИКЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕСЖИМАЕМЫХ УПРУГИХ СРЕД

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 МАП 2007

Владивосток - 2007

003060107

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

доктор физико-математических наук, профессор Буренин Анатолий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Намм Роберт Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент Шаруда Владимир Алексеевич

Тихоокеанский океанологический институт им В И Ильичева Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита состоится « ^ » мая 2007 года в ^ часов ^^ минут на заседании диссертационного совета ДМ 005 007 02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу 690041, г Владивосток, ул Радио, 5, аудитория 510, тел/факс(8-4232) 310452, E-mail dm00500702@iacp dvo ru, URL http //www iacp dvo ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан <Jjj> апреля 2007 г

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Ученый секретарь

диссертационного совета

кан ш ют физико-математических наук

Дудко О В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации определяется тем, что в ней предпринято исследование закономерностей распространения по деформируемому телу деформаций изменения формы В то время как такие закономерности в распространении объемных деформаций достаточно изучены, включая диссипативные и диспсрсионпыс. эффекты, для которых соответствующие эволюционные уравнения (квазипростых both Бюргерса, Кортвега де Вриза и др ) давно стали классическими, аналогичные уравнения в распространении деформаций изменения формы практически не изучались

Ранее (работы Буренина А А , Шаруды В А , Рагозиной В Е ) было указано, что эволюционные уравнения следуют в динамике деформирования в качестве соотношений, описывающих поведение решений краевых задач за поверхностями разрывов Это области внутренних разложений решения сингулярной задачи метода возмущений Установить этот же факт для нелинейных краевых задач динамики, связанных с преимущественным распространением по среде деформаций изменения формы получить соответствующие эволюционные уравнения и предложить для решения краевых задач нелинейной динамической теории упругости несжимаемой среды модифицированный вариант метода сращиваемых асимптотических разложений следует признать актуальной задачей механики деформирования Эти же обстоятельства определяют цель и задачи диссертации

К основным научным результатам диссертации относятся

- сведение краевых задач ударного деформирования несжимаемой упругой среды к сингулярным задачам метода возмущений,

- вывод эволюционных уравнений, описывающих деформирование за поверхностью разрывов скоростей перемещений,

- разработка методики построения приближенных решений краевых задач динамики несжимаемой упругой среды, связанной со сращиванием разложений и построением равномерно пригодного разложения,

- решение ряда одномерных и двумерных краевых задач динамики нелинейной несжимаемой упругой среды

Научная новизна полученных результатов связана с тем, что впервые указано отличие в эволюционных уравнениях, описывающих нелинейные закономерности в

распространении граничных возмущений по деформируемым телам, для случаев распространения объемных деформаций и деформаций изменения формы В последнем случае предложен приближенный метод решения краевых задач ударного деформирования и построены разложения решений ряда конкретных краевых задач динамики несжимаемой упругой среды

Достоверность результатов диссертации предопределяется строгим следованием формализму метода возмущений и использованием классических представлений в магматическом моделировании динамики несжимаемой упругой среды

Практическая значимость результатов работы определяется необходимостью в сведениях о закономерностях распространения ударных граничных возмущений по деформируемым телам для постановки соответствующих краевых задач и расчета в технологиях изготовления и упрочнения изделий, использующих высокоскоростные импульсные и ударные воздействия (пробивка отверстий, высокоскоростное соударение, поверхностное упрочнение, ковка)

Апробация результатов диссертаиии Отдельные результаты реферируемой работы докладывались и обсуждались на Всероссийской математической школе-семинаре имени академика Е В Золотова (Владивосток, 2002, 2003, 2004, Хабаровск, 2005), V и VII Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001, 2003), Региональной научно-технической конференции «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2001, 2002, 2003, 2004), научно-технической конференции «Вологдинские чтения» (Владивосток, 2003) Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В П Мясникова (Владивосток, 2006) Диссертация в целом докладывалась на семинаре лаборатории механики сформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН под руководством д ф -м н , профессора А А Буренина

Публикации по работе По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из/-^наименований Общий объем работы -страниц в том числе 6 рисунков, включенных в текст

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации приводится краткий обзор литературы, описывающий тематику предпринимаемого исследования Отмечается роль эволюционных уравнений в математическом совместном описании нелинейных, диссипативиых и дисперсионных эффектов в распространении деформаций по твердым телам Указывается, что эволюционные уравнения следуют в качестве уравнений для внутренних разложений в сингулярных задачах метода возмущений При этом присутствие! качественное отличие в этих уравнениях для случаев распространения объемных и сдвиговых деформаций Отмечены успехи в изучении закономерностей распространения объемных деформаций, связанные с изучением эволюционных уравнений в paooiax Буренина А А , Гельфанда И М , Джеффри А , Заболотской Е А , Зарембо Л К , Липатова А Н , Островского JI А , Остроумова Г А , Рагозиной В Е , Рождественского Б Л , Руденко О В , Солуяна С И , Хохлова Р В , Шаруды В А , Энгельбрехта 10 К , Япенко Н Н На основе литературного обзора формулируются цель и задачи исследования предпринятого в диссертации

В первой главе диссертации, носящей вводный характер, записываются основные уравнения математической модели несжимаемой упругой среды вычисляются скорости распространения возможных поверхностей разрывов деформаций изменения формы, указываются условия их существования

Поведение динамически деформируемой нелинейно-упругой изотропной несжимаемой среды в переменных Эйлера х, определяется замкнутой системой уравнений, представленной в первом параграфе

v, = и, +ultjvj, 2а,j ={ui,j+uj,i-4j*k,j)> aij j = + j)>

c dW i _ . \ , , 8u, Bu,

aij=-Psij+-^{skj-2akj)> А = «н. h = aijaji> (1)

W = (a - //)/[ + al2 + bl\ - KlxI2 - 0I\ + cl\ + dl\ + yt/,2/2 + , где и,, v,, a,j, atJ — компоненты вектора перемещений, вектора скорости, тензора деформаций Альманси и тензора напряжений Коши соответственно, р— функция добавочного гидростатического давления, р —const — плотность среды,

упругий потенциал, а, ц, Ь, к, 0, c,d,k~ упругие модули среды (fx- модуль сдвига), /j, /2 — инварианты тензора деформаций

Во втором параграфе приводятся геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов на ударных волнах

[p(v^-G)] = 0, [<rlj]vj=p{v)vj-G)[vl\,

[т,j ] = ЧУj + gaP [™\а xJtp, [т] = т+-т~,

г , 5\т\ Эх, г и

[m\ = -Grj + -^-, ^ = lm,jjvj' 8ap=xl,axi,p- cc,P,y = \,2,

1 лс m*, m~ - предельные значения функции перед и за фронтом поверхности разрывов .£(/) соответственно, - поверхностные координаты на ■£(/), gQjg - компоненты первой квадратичной формы на •¿'(/), G — скорость продвижения Vj -компоненты единичного вектора нормали к £(t), направленной в сторону ее движения, у — дельта-производная по времени

В третьем параграфе, следуя (2), указываются два вида возможных одномерных плоских волн в несжимаемой упругой среде Это плоскополяризованная и нейтральная волны Их скорости соответственно равны

/ = "2,1 +"3,1 • T2=["2,l]> «1=0,5//, а2 =0,25(a + b + d + к), (3)

В (3) принято, что ось х\ совпадает с направлением движения поверхности разрывов, а ось х2 с направлением предварительных деформаций (только и2 \ отлична от пуля)

В четвертом параграфе поручены сходным образом скорости ударных волн в за 1ачах ангиплоского деформирования с присутствием предварительных деформаций

и без них, в задаче скручивающего деформирования, в задаче с одновременным присутствием и антиплоского деформирования, и скрутки

В пятом параграфе вычислена скорость ударной вотны в задаче антиплоскою деформирования, вызванного ударным воздействием на границу произвольной цилиндрической полости в среде

Во второй главе диссертации проведено решение приближенным аналитическим методом ряда одномерных краевых задач ударного деформирования несжимаемой нелинейно-упругой среды Указан способ сведения такого типа задач к сингулярной задаче метода возмущений, прифронтовые асимптотики которой строятся на основе эволюционных уравнений

В первом параграфе построено решение одномерной задачи о плоской чтарной волне нагружения Во втором, третьем и четвертом параграфах получены решышя одномерных краевых задач со сходящимися и расходящимися цилиндрическими ударными волнами в среде об антиплоском нагружепии цилиндрическом гкпосш (или цилиндра), основанием которой является окружность, о скручивающем деформировании среды и задачи о винтовом движении ее точек вследствие удара В пятом параграфе найдено решение одномерной краевой задачи об антиплоском нагружении цилиндрической полости в среде, в которой присутствуют предварительные деформации, по типу сходные с искомыми Предварительные деформации определяются на основании уравнений равновесия Все задачи решались методом сращиваемых асимптотических разложений Для всех задач построено равномерно пригодное разложение по малому параметру до третьего порядка включительно определено положение переднего фронта поперечной ударной волны

Приведем здесь в качестве иллюстрации выше сказанному постановку и решение одномерной задачи об антиплоском движении среды, нагружаемой по границе цилиндрической полости Полагаем, что в момент времени / = 0 по границе цитинд-рической полости в среде производится ударное нагружение Возникающее при этом поле перемещений и = и2 (г,/), иг =и^=0 определяется соотношениями

1 а + — и,гл—и, г г

а 2_ 1 Г С1

2

, Уд = С01Ш > 0, а = С01Ш,

и|г=л(,)=0, = 0 = с{\ + ат2},

О

г1-=/?(г) = [""•]■ " = (а + Ь + к-+</)/Г1, С2 = 1лр~х,

где /'у - диаметр полости, Уд, а - граничные скорость и ускорение точек среды Из (4) следует, что с момента / = 0 по среде начинает движение ударная волна, положение которой задается функцией /ф)

Для перехода к методу возмущений необходимо ввести безразмерные переменные Их удобно выбрать в следующем виде

2/

г - г0 _4 г-щ-а -3 , ч и (У0 уз

5 = ——г , /л =---£■ , ч>{5,т) =—е/2-, £= , (5)

го г0 г0 С]

где б - малый параметр задачи

Записывая в переменных (5) уравнения движения и условия на гд и представив т) рядом по степеням малого параметра, методом последовательных приближений попучим решение, называемое внешним

и> = /0 (тп)5 - т + £ {-/о (т)з2 + (т)+

||/о - Ж™)*2 + /2 | + {-^/о'(»О*4 -|/02 Н/о Н*3 +

9 1 (6)

/ГН*3 - Гг П*2 + /з («)* + ■^ },

где /¡(т) (; = 0,1,2,3)- неизвестные функции Для учета остальных краевых условии и определения неизвестных функций построим дополнительное (внутреннее) разложение решения задачи С этой целью изменим масштаб пространственной пере-

4

мепной, считая и = с $ Именно при таком выборе масштаба для переменной п в нулевом приближении внутренней задачи приходим к эволюционному уравнению Запишем уравнение движения и условия на фронте ударной волны (4) в переменных п, т, и'

{lw,nm +£3w,nn j|l + 3as3 (w,m +£3w,n j I + 3aw,mm [w,m +£3w,n j

2

+

3

= 0, (7)

1 + n 1 + n

где y(n)— функция, определяющая положение фронта ударной волны

Представляя w рядом по степеням £, согласованным с (7), в нулевом приближении получаем следующую задачу

Уравнение для определения Wq — эволюционное по типу Отметим принципиальное отличие данного уравнения от уравнения квазипростых волк, задающего нелинейные искажения в распространении объемных деформаций Такое отличие определяется тем, что и'о,т в (8) присутствует во второй степени, а не в первой, как в классическом случае В этом заключается основное качественное отличие в эволюции деформаций изменения формы от эволюции объемных деформаций При этом одновременно определяется положение фронта ударной волны у(п) решением обыкновенного дифференциального уравнения, которое так же, как и w, уточняется на каждом шаге метода Приведем общее решение (8) и его частное решение, соответствующее поставленным краевым условиям

= /го (1 + п)Уг , Ч/2= (1 + и)1п(1 + п)-т,

■5

. . Am а А 1п(1 + п) . . а л, . wQ(m,n) =-v-----*-¡4, y0(n) = -A¿\n{\ + n), (9)

(1 + и)/2 L (1 + и)/2 1

где /¡о = wQ,m, А— неизвестная константа На основании правила аддитивного сопоставления получим такие значения для неизвестных константы и функции

/0(ш) = 0, А = -1 (10)

Для построения второго приближения решается следующая задача

2™1>пт +Зам\ >тт ™1>т + ) + Ы0,пп +6аы0,пт = °>

1 + 7! 1 + 71

у{(п) = ащ),т(щ),п+*\,т)--а2м>$т. (11)

Решение (11) строится аналогично нулевому приближению внутреннего разложения решения Таким образом, задача решена во внутреннем и внешнем разложении до третьего порядка по е, затем проведено сращивание полученных рядов

В третьей главе рассматривается антиплоская краевая двумерная задача динамики несжимаемой нелинейно-упругой среды Вследствие ударного воздействия по границе цилиндрической полости с произвольным контуром Ц) по среде, начиная с / = О, распространяется ударная волна и возникает поле перемещений и = «з х2, /1 Задача решается в выбранной специальным образом ортогональной

криволинейной системе координат На плоскости задаем криволинейную

координатную сетку /, у, где координата I откладывается вдоль прямолинейного луча, построенного в каждой точке контура в направлении вектора нормали, координата у определяется вдоль контура По координатной линии I выбирается натуральная параметризация, поэтому компонента метрического тензора ^ \ = 1 Краевая задача для уравнения движения относительно функции ,х2 сводится к

сингулярной задаче метода возмущений Во внутреннем приближении решения получается эволюционное уравнение относительно искомой функции, в которое координата эйконала входит в качестве параметра Решение было получено до третьей степени малого параметра включительно

Аппроксимация лучей прямолинейными отрезками предполагает итерационное применение результатов, при котором полученное решение определяется для областей <1 <11 и </</,, чго позволяет отразить искривление лучевых линий Также следует отметить, что для линеаризованной задачи эти прямые задают лучевые направления Для конкретизации полученных общих соотношений рассмотрено решение поставленной задачи с эллиптическим контуром ¿д

В четвертой главе работы получено решение одномерной краевой задачи динамики нелинейно-упругой среды о плоской ударной волне нагружения с учетом малой вязкости в модельных соотношениях Предполагалось, что в результате ударного воздействия по среде распространялась структурная ударная волна Вязкость среды оказывает принципиальное влияние на поведение материала в областях интенсивного изменения деформаций (при наличии больших градиентов скоростей)

В первом и втором параграфах построено решение одномерной краевой задачи об ударном нагружении нелинейно-упругого полупространства (xj > 0) Для внесения вязкости в модель нелинейно-упругой несжимаемой среды к основному упругому элементу добавим элемент вязкости Тогда компонента тензора напряжений в задаче о чистом сдвиге запишется в виде

Л ~

сг21 =/ли,\+аи,\ +Pv,\+ , a = a + b + K+d, (12)

где Р — коэффициент вязкости, v = у2 ~ скорость точек среды В результате получим следующую краевую задачу

и,п\\ + аи2\ +ри,п = иС~2, а = а!ц, Р = Р!ц,

, 2 °3) и\х _о = vo'+ 0,5а/ , Vo = const > 0, а = const

Решение этой краевой задачи строилось методом сращиваемых асимптотических разложений Во внешнем разложении (вдали от ударной волны) влиянием малой вязкости пренебрегаем, она учитывается только в прифронтовой области, так как именно в ней значителен градиент скорости движения точек среды В безразмерных переменных

n = av0C~3, т = avg'С-1 (xj -Ct), w=ovq2u, £ = (v0C-1|2 (14) получим следующую внутреннюю задачу

2\v,nm +e4w,nn +Ъа[£4w,n +w,m) \eSw,nn +2eA

V ' [ > (15)

-:2&[£*wmnm+2sAw,nmm +vv,m(nmJ = 0, & = 0,5aPM~W^~4

В нулевом приближении движение точек среды в структурном слое описывается модифицированным уравнением Бюргерса

к,п = -1,5а/г к,т+9И,

>тт >

(16)

Уравнение отличается от уравнения Бюргерса наличием квадрата в первом слагаемом, именно он позволяет учесть отличие в закономерностях распространения деформаций изменения формы от закономерностей распространения деформаций изменения объема Для уравнения (16) было найдено частное решение вида «бегущей волны»

где А, X - неизвестные константы, которые были вычислены после сращивания внешнего и внутреннего разложений

1 Предложен способ сведения краевых задач ударного деформирования несжимаемой упругой среды к сингулярным задачам метода возмущений внутреннее (прифронтовое) разложение строится на основе решения эволюционного уравнения, а положение поверхности разрывов уточняется на каждом шаге метода посредством решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, следующего при последовательном использовании метода возмущений

2 Показано принципиальное отличие эволюционного уравнения, описывающего нелинейные эффекты при распространении деформаций изменения формы, от уравнения для объемных деформаций

3 Разработан вариант метода возмущений, приспособленный для решения краевых задач ударного деформирования несжимаемых материалов, основанный на процедуре сращивания разложений решения во внутренней (прифронтовой) и внешней областях

4 Построены приближенные решения ряда конкретных одномерных и двумерных краевых задач динамики несжимаемой упругой среды

5 На основе учета вязкостных свойств несжимаемой среды получено эволюционное уравнение (аналог уравнения Бюргерса), описывающее интенсивное формоизменение в окрестности поверхности разрывов деформаций Следуя частному

(17)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

решению данного уравнения, получено решение краевой задачи со структурной ударной волной

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Иванова Ю Е Использование прифронтовых асимптотик при построении приближенных решений краевых задач // V Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию тезисы докладов Владивосток «Дальнаука», 2001 С 6

2 Ulyia Е Ivanova, Victoria Е Ragozina Front asymptotics behind load shock waves in the incompressible médium and their use in constructmg approximate boundary problem solution // 5th International Student's Congress of the Asia-Pacifïc Région Countries "Young People & Techmcal Progress" Russia Vladivostok FESTU, 2001

С 151-152

3 Иванова Ю E Метод сращиваемых асимптотических разложений в динамике несжимаемой упругой среды // «Молодежь и научно-технический прогресс» материалы региональной научно-технической конференции Владивосток Изд-во ДВГТУ, 2002 Ч 3 С 85

4 Иванова Ю Е , Рагозина В Е Использование эволюционных уравнений динамики несжимаемых упругих сред при построении прифронтовых разложений решений задач с цилиндрической симметрией // Дальневосточная школа-семинар имени академика Е В Золотова тезисы докладов Владивосток «Дальнаука», 2002 С 76

5 Иванова 10 Е Метод возмущений при построении приближенных решений неодномерных краевых задач динамики деформирования // VII Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию тезисы докладов Владивосток «Дальнаука», 2003 С 10-11

6 Иванова 10 Е, Рагозина В Е Метод возмущений в краевых задачах ударного деформирования несжимаемых упругих сред // Дальневосточный математический журнал Владивосток «Дальнаука», 2003 Т 4, №1 С 71-77

7 Иванова 10 Е , Рагозина В Е Эволюционные уравнения в лучевых координатах для многомерных динамических задач в нелинейно-упругих несжимаемых сре-

дах // Дальневосточная школа-семинар имени академика Е В Золотова тезисы докладов Владивосток, 31 августа - 6 сентября 2003 г Владивосток «Дальнау-ка», 2003 С 123-125

8 Uliya Е Ivanova, Victotya Е Ragozina Perturbation method in dynamics of an anti-flat motion of an incompressible elastic medium // Materials of the Fifth International Young Scholars' Forum of the Asia Pacific Region Countries Vladivostok, Russia, 2326 September, 2003 Vladivostok, 2003 Part 1 P 207-209

9 Иванова Ю E, Рагозина В E Метод возмущений в анализе структуры ударной волны // «Молодежь и научно-технический прогресс» материалы региональной научно-технической конференции Владивосток Изд-во ДВГТУ, 2004 Ч 1 С 161-162

10 Иванова ЮЕ Метод возмущений в динамике несжимаемых упругих сред // Дальневосточная школа-семинар имени академика Е В Золотова тезисы докладов Владивосток, 6-11 сентября, 2004 г Владивосток Изд-во ДВГУ, 2004 С 103

11 Иванова Ю Е Метод возмущений в одномерных нестационарных динамических задачах в цилиндрической системе координат // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова тезисы докладов Хабаровск, 21-27 августа, 2005 г Хабаровск Изд-во ДВГУПС, 2005 С 158

12 Иванова 10 Е О структуре ударной волны деформаций изменения формы//Материалы Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В П Мясникова Владивосток, 25-30 сентября 2006 г Владивосток Изд-во ИАПУ ДВО РАН, 2006 С 52-54

13 Иванова ЮЕ Эволюционные уравнения в описании ударных движений несжимаемой упругой среды // Вестник ДВО РАН Владивосток «Дальнаука», 2006 №4(128) С 118-122

14 Иванова ЮЕ Моделирование сдвиговых процессов ударного деформирования на основе эволюционных уравнений // «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» тезисы докладов Всероссийской конференции Новосибирск Изд-во Новосибирского государственного технического университета, 2006 С 54

15 Иванова 10 Е Метод возмущений в решении задач ударного деформирования в нелинейно-упругих несжимаемых средах // «Математическое моделирование в естественных науках» тезисы докладов 15-й Всероссийской конференции молодых ученых Пермь, 4-7 октября 2006г Пермь Изд-во Пермского государственного технического университета, 2006 С 42

16 Иванова Ю Е , Рагозина В Е Об ударных осесимметрических движениях несжимаемой упругой среды при ударных воздействиях // Прикладная механика и техническая физика Новосибирск Изд-во СО РАН, 2006 Т 47, № 6 С 144-151 Личный вклад автора Работы [1, 3, 5, 10-15] выполнены автором лично В работах [2, 4, 6-9, 16] автор участвовала в постановке краевых задач и провела необходимые аналитические вычисления

Иванова Юлия Евгеньевна

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕСЖИМАЕМЫХ УПРУГИХ СРЕД

Автореферат

Подписано к печати 12 04 2007 т Уел п л 0 8 Уч-издл 0 7

Формат 60x84/16 Тираж 100 Заказ 29

Издано ИАПУ ДВО РАН Владивосток, Радио, 5 Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН 690041, Владивосток, Радио, 5

Введение.

Глава 1 Условия существования и закономерности распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде.

1.1 Адиабатическое приближение для упругой среды. Несжимаемая упругая среда.

1.2 Геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов.

1.3 Плоские одномерные ударные волны в несжимаемой упругой среде.

1.4 Ударные волны в упругой несжимаемой среде при деформировании с осевой симметрией.

1.5 Неодномерные ударные волны в несжимаемой упругой среде.

Глава 2 Метод возмущений в решениях одномерных задач ударного деформирования несжимаемой упругой среды.

2.1 Сингулярная задача метода возмущений для плоской ударной волны нагружения.

2.2 Расходящиеся цилиндрические ударные волны.

2.3 Сходящиеся цилиндрические ударные волны.

2.4 Одномерное действие скручивающего удара и антиплоского ударного деформирования.

2.5 Влияние предварительных деформаций на антиплоское деформирование несжимаемой упругой среды.

Глава 3 Неодномерное ударное деформирование несжимаемой упругой среды.

3.1 Уравнения динамики несжимаемой упругой среды в отсутствии осевой симметрии.

3.2 Метод возмущений в неодномерном движении несжимаемой упругой среды и эволюционное уравнение.

3.3 Об ударном нагружении несжимаемой упругой среды по эллиптической цилиндрической поверхности.

Глава 4 Об учете вязкостных свойств несжимаемой среды, подвергаемой ударному нагружению.

4.1 Основные исходные зависимости, определяющие движение несжимаемой упругой среды.

4.2 Метод возмущений и задача о структуре ударной волны.

В основу описания любого реального процесса должна быть положена математическая модель. Высокоскоростные процессы изготовления и упрочнения изделий такие, как ковка, штамповка, пробивание точных отверстий в поверхностных конструкционных элементах, сварка взрывом и другие связаны с импульсным или ударным воздействием на материал. Математическое моделирование таких процессов связано со значительными математическими трудностями, так как им сопутствует явление возникновения и распространения поверхностей разрыва деформаций (ударных волн). При решении нестационарных задач о распространении возмущений по твердым телам помимо общих трудностей, связанных с нелинейностью получающихся систем уравнений в частных производных и с необходимостью находить обобщенные решения краевых задач, возникают такие явления, как зависимость скорости распространения возмущений от характера предварительного воздействия на среду и от интенсивности этого воздействия, изменение начальной интенсивности и искажение волнового фронта; а также, в отличие от газовой динамики, присутствие двух типов волн: продольной и поперечной которые изменяют как объем, так и форму тела. В общем случае процессы их распространения взаимосвязаны. Такие задачи являются нелинейными по своей сути. Для упрощения модели вводится допущение о пренебрежительно малых диссипативных факторах, сопровождающих нестационарный процесс деформирования. Эти предположения позволяют провести описание напряженно-деформированного состояния на основе модели нелинейно-упругой среды.

Если основной интерес исследования связан с особенностями распространения деформаций изменения формы (здесь нет аналогии с газовой динамикой, так как в газовой динамике отсутствуют деформации изменения формы), то можно ввести допущение о дополнительной внутренней геометрической связи такой, что невозможно изменение объема любого элемента деформируемого тела, то есть оно полагается несжимаемым. В этом случае простейшей моделью для изучения деформаций изменения формы является модель несжимаемого нелинейно-упругого тела. Заметим, что такая идеализированная модель достаточно хорошо описывает поведение ряда реальных материалов. Каучукоподобные материалы, некоторые полимеры по своим свойствам традиционно относят к несжимаемым и упругим. Свойства несжимаемых динамических процессов в механике деформируемого твердого тела изучались значительно медленнее, чем, например, в нелинейной акустике, что позволяет отнести проблему постановки и методов решения обобщенных нестационарных задач динамики несжимаемых упругих сред к актуальным проблемам современной математики и механики.

Основы теории упругости, как и механики сплошных сред, были заложены в позапрошлом веке и связаны с именами Л. Эйлера, Г. Кирхгофа, О. Коши, Дж. Грина, Лагранжа и др. Эти основы были изначально нелинейны (нелинейная связь между напряжениями и деформациями); но до начала прошлого века развивался линейный вариант теории упругости (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.), которая в 20-30-е годы прошлого столетия приобрела «классическую» форму. Среди отечественных ученых, которые внесли выдающийся вклад в развитие этой теории следует отметить Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савина, С.К. Соболева, М.А. Лаврентьева и др.

Основными факторами, которые послужили толчком для развития нелинейной теории являются: во-первых, создание математических методов изучения решений с разрывными поверхностями, принадлежащее Т. Томасу [100] и его школе, основы которых были заложены еще Адамаром; во-вторых, разработка различных вариантов метода возмущений Пуанкаре, Лайтхиллом [125], Ван-Дайком [25], Коулом [62]; в третьих, исследования возможностей, заложенных в эволюционных уравнениях (Ю.К. Энгельбрехт, Фридман, Пелиновский [86]); в четвертых, получение фундаментальных результатов по обобщенным решениям систем квазилинейных уравнений [29, 90].

Первой работой, полностью посвященной нелинейной теории упругости, является монография Ф.Д. Мурнагана [126]. Детальное изучение основ нелинейной теории упругости принадлежит Л.И. Седову [96-98], В.В. Новожилову [83], В. Прагеру [87], Д. Бленду [7, 114-116], А.И. Лурье [76], P.C. Ривлину [128], К.Ф. Черных [107-109], С.Л Годунову [33], У.К. Нигулу [7981], Д.Д. Ивлеву [54-56], Л.А. Толоконникову [99], М.А. Био [ИЗ], A.A. Ильюшину [57], Г. Каудереру [59], К. Трусделлу [101], И.И. Гольденбланту [34], А. Грину и Дж. Адкинсу [35] и др. Перечислим основные области теории упругости, в которых исследование возможно провести только в нелинейной постановке. Это теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций, нелинейная акустика и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем уделим особое внимание последней проблеме, так как она связана с содержанием данной работы.

С середины 60-х годов прошлого века появились работы, посвященные изучению распространения ударных волн (волн сильных разрывов) с учетом нелинейных эффектов. Среди них можно выделить работы Д. Бленда, Чжу-Бо-Те [120, 121], Е.М. Черных, А.Д. Чернышева [110], Г.Ф. Филатова [103105].

Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в упругой среде на примере плоских волн в адиабатическом приближении при линеаризации определяющей системы уравнений. Он проводил изучение ударных волн в переменных Лагранжа в предположении отсутствия предварительных деформаций. Он также рассмотрел продольные ударные волны со сферической симметрией, получил автомодельное решение задачи с ударной волной постоянной интенсивности. Д. Бленд также исследовал цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения в недеформиро-ванной среде [7]. В случае плоских ударных волн он показал невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде; указал возможность существования ударных волн круговой поляризации (на этой волне не меняется модуль сдвиговых деформаций).

Чжу-Бо-Те исследовал особенности распространения ударных волн в несжимаемых упругих средах [120, 121]. В его работах впервые была получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн в зависимости от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины им было получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Следует отметить ряд работ других ученых, посвященный исследованию проблем распространения ударных волн в несжимаемых упругих средах [10,70-73, 88, 89].

Первые работы среди отечественных ученых, проводивших подобные исследования (ударные волны) принадлежат Е.М. Черных. Им были рассмотрены условия существования ударных волн и в рамках неогуковской модели упругой среды (материал подчиняется закону Гука, но допускает большие деформации) было получено решение автомодельной задачи. Такая геометрически нелинейная модель получалась при замене в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси с учетом нелинейности в кинематических соотношениях. Позже для такой же модели А.Д. Чернышевым и Г.Ф. Филатовым были получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн.

В 70-80-е годы прошлого века были получены новые значительные результаты; происходит отказ от многих ограничений, в рамках которых проводились вышеизложенные исследования: в более общей форме выбираются определяющие соотношения, изучаются задачи с предварительными деформациями, вычисляются скорости распространения ударных волн, рассматривается вопрос о поляризации волн. Был решен ряд автомодельных задач [108,

15, 16, 67]. A.A. Буренин и А.Д. Чернышев получили новые результаты, являющиеся обобщением ранее сказанного [16, 17]. Изучение проводилось в рамках квадратичной модели, то есть были сняты все ограничения, которые были присущи первым моделям (сняты все ограничения на вид предварительных деформаций, в более общей форме были выбраны основные соотношения). Были указаны условия существования продольных, квазипродольных ударных волн, вычислены скорости их распространения, проведен термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне. Для некоторых материалов был получен аналог теоремы Цемплена для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Показано, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим ряд работ, в которых были рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости [77,103,104,105,115,130].

В 80-е годы прошлого века появляются новые значительные результаты в исследовании распространения плоских волн в деформированной упругой среде. Главная заслуга здесь принадлежит А.Г. Куликовскому и Е.И. Свешниковой [64-68], Т. Тингу [130, 133]. Ими было проведено замкнутое исследование условий существования и закономерностей распространения плоских ударных волн, изучены условия эволюционности разрывов на плоскости. Было обнаружено существование новых видов эволюционных квази-поперчных ударных волн с неубывающей до нуля конечной интенсивностью, явление нарушения поляризации волн и др. Исследования проводились на основе девяти константной теории упругости в переменных Лагранжа.

Э.В. Ленский [72-74] в своих исследованиях проделал подобную работу для упругой среды с упругим потенциалом, состоящим из двух слагаемых, каждое из которых зависело только от одного (первого ли второго) инварианта тензора деформаций. Работы перечисленных авторов сделали изучение плоских ударных волн в нелинейно-упругих средах завершенной областью математической физики.

В конце 80-х начале 90-х годов основной интерес исследований был перенесен на процессы ударного деформирования в более сложных средах. Работы в этой области принадлежат А.Г. Куликовскому [63], Е. И. Свешниковой [94,95], Ю. А. Россихину [91], X. Хану [106].

В 90-е годы - начале века продолжаются исследования в области нелинейно-упругого деформирования.

В [69] А. Г. Куликовский и Е. И. Свешникова рассматривают нелинейные волны в упругих и вязкоупругих средах с учетом анизотропии материала, которая считается малой. Основное внимание они уделяют изучению квазипоперечных волн, которые обнаруживают нестандартное поведение даже при малой амплитуде. Полученные ими результаты, касающиеся волн малой амплитуды, могут считаться в основном законченными и достаточно полными. Авторы также обсуждают проблемы, связанные с имеющей место не единственностью решений упругих задач. Также было рассмотрено влияние вязких напряжений на распространение упругих волн, исследована структура квазипоперечных ударных волн на основе модели вязкоупругой среды Кель-вина-Фойхта в одномерной постановке.

В [20] А. А. Буренин рассматривает динамику упругих сред при ударных воздействиях. Им были вычислены скорости распространения ударных волн в упругой среде, как функции предварительных деформаций, интенсив-ностей волн и упругих свойств среды. Получены условия на геометрию волны и предварительные деформации, при которых возможно существование продольных, квазипродольных, квазипоперечных, нейтральных волн. Проведен термодинамический анализ необратимого процесса на ударных волнах. Проведены постановки, численные решения и их анализ ряда автомодельных задач нелинейной динамической теории. Предложена методика построения приближенных решений неавтомодельных задач динамики нелинейно-упругих сред, основанная на методе возмущений (распространена на случай структурных ударных волн) и лучевом методе. Решены некоторые автомодельные и неавтомодельные задачи динамики несжимаемой упругой среды.

Для построения решений задач динамики твердых тел помимо аналитических методов применялись численные методы решения. Существующие методы численного решения таких задач можно представить в виде трех направлений: методы конечных элементов, характеристические и сеточно-характеристические методы, сеточные или конечно-разностные методы. Первое направление используют в основном для решения статических задач и задач, описывающих нестационарные процессы в деформируемых твердых телах. Оно представлено работами следующих отечественных ученых: Афанасьева С.Б., Баженова В.Г., Кочеткова A.B. и др. [3, 4], Вогульского И.О., Бураго Н.Г. и Кунуджаного В.Н. [8], Коробейникова С.Н. [61] и др.

Решению динамических задач деформирования упругих и упругопла-стических тел на основе сеточно-характеристических методов посвящены работы Кондаурова В.И. и Кукуджанова В.Н., Кондаурова В.И., Петрова И.Б., Холодова A.C. [60].

Явные и неявные схемы сеточных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для неё. Здесь следует отметить работы Вогульского И.О., Волчкого Ю.М., Иванова Г.В., Кургузова В.Д. [26-28]. Полный обзор работ, посвященный численному моделированию динамических задач, приводится в [39].

Аналитическое решение краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами рассматривается в следующих работах [1, 2, 9, 14-16, 21, 94, 36, 58, 67, 70, 71, 93, 108, 11]. Главным образом это автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных задач применяются разные модификации метода возмущений и лучевой метод.

Метод возмущений - это метод приближённого решения задач, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе «возмущающих» те или иные исходные решения. В качестве «возмущающих» величин могут быть некоторые параметры, либо координаты пространство-время. Метод возмущений берет свое начало от работ Пуанкаре, давшего ряд приближённых решений задачи о трёх телах в небесной механике. Позднее этот метод нашел распространение в различных разделах механики, математики, физики. В механике сплошных сред метод возмущений нашёл широкое применение в гидро- и газодинамике: монография Ван-Дайка [25]. Необходимо отметить также работы Найфе [78], Коула [62], Ва-зова [24], О'Малли [127], Кэрриера [119], Жермена, Ивлева и Ершова [56] и др.

Различные методы возмущений нашли широкое применение и при решении краевых задач нелинейной теории упругости. Главным образом использовались два подхода. Один из этих методов был широко использован для решения большого числа задач У.К. Нигулом и его учениками [79-81]. Это метод последовательного интегрирования системы линейных уравнений первого порядка с правой частью, которая определялась предыдущими приближениями. Другой метод был использован в работах Ю.К. Энгельбрехта [82]. Здесь исходная краевая задача сводится к интегрированию более простого, чем исходное уравнение задачи, но сохраняющего нелинейную структуру уравнения, называемого эволюционным. Под эволюционным уравнением в [86] понимается уравнение первого порядка по времени и произвольного порядка по координатам. При таком подходе уже на первом шаге метода удается получить нелинейные эффекты переходных процессов. В обоих методах решение приводится только до моментов возникновения ударных волн.

В [22-23] A.A. Буренин, В.А. Шаруда предложили использовать двух масштабное разложение с выделением прифронтового разложения на основе пошагового интегрирования неоднородной системы волновых уравнений с последующим построением равномерно пригодного разложения решения. Построение решений нестационарных задач за движущейся поверхностью разрывов является разделом механики деформируемого твёрдого тела, развивающимся в настоящее время. Первые результаты в этом направлении были получены Г.И. Быковцевым [5, 6], Д.Д. Ивлевым [54-56] и A.A. Бурениным [118]. Метод построения приближенного решения, предложенный Г.И. Быковцевым, один из вариантов лучевого метода, заключается в разложении в ряд Тейлора относительно координат движущейся поверхности разрыва. Коэффициентами этого ряда являются неизвестные разрывы. В результате задача сводится к интегрированию на каждом шаге обыкновенного дифференциального уравнения для коэффициентов этого ряда. Для этого потребовалось обобщить теорию движущихся поверхностей разрывов, развитую Адамаром и Т.Томасом. Г.И. Быковцеву и его ученикам удалось решить ряд нестационарных задач механики деформируемого твердого тела [5, 6, 75]. Квалифицированный обзор по методу лучевых рядов представлен в работе Россихина Ю.А., Шитиковой М.В. [129]. A.A. Буренин развил теорию построения приближённых решений нестационарных задач для случая упругих нелинейных сред. Сложность построения таких решений заключается в том, что в этом случае уже не удаётся получить обыкновенные дифференциальные уравнения на каждом шаге из-за того, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде. Подход, основанный A.A. Бурениным, заключается в построении приближенного асимптотического решения за поверхностью разрыва, основываясь либо на методе возмущений, либо на методе прифронтовых лучевых разложений. Этими методами им было получено решение ряда неавтомодельных краевых задач динамики нелинейных упругих сред с ударными волнами. Впервые была показана применимость метода возмущений для решения задач со структурными ударными волнами [19]. Среди последних работ, посвящённых этой тематике, можно выделить работы учеников A.A. Буренина, Лебедевой Н.Ф. [70, 71], Зиновьева П.В. [12, 13], Рагозиной В.Е. [88, 89], Герасименко Е.А. [30-32]. В работе Лебедевой Н.Ф. получено приближённое решение неавтомодельных одномерных задач, основанное на построении лучевых разложений: задачи об ударе по несжимаемому деформированному упругому слою и об ударном деформировании толстостенной трубы из несжимаемого высокоэластичного материала. Этим же методом в работе Зиновьева П.В. были решены задачи об ударном нагружении несжимаемого плоского массива, имеющего предварительные деформации (решение строилось в области за фронтом волны поворота); об антиплоском движении несжимаемой упругой среды. Основное внимание в работе П.В. Зиновьева уделялось дополнению лучевых разложений численными схемами расчетов в удалённой от фронта волны области. Действительно, как и любой другой метод, лучевой метод и асимптотические разложения не свободны от ограничений. Для первого это малость отклонения времени от времени прихода переднего фронта возмущения и, как следствие, пригодность лучевого ряда в прифронтовой области. Для асимптотик важным ограничением является малость создаваемого в начале ударного воздействия (малость интенсивности волны). Для расширения области применения таких приближённых решений разные авторы используют свои приёмы. К примеру, регуляризация лучевых рядов предлагается Россихиным Ю.А., Шитиковой М.В. [118]. Включение этих рядов в расчетные схемы дает возможность анализа решения во всей послеволновой области. Отметим, что эта методика может служить альтернативой методу малой вязкости, методу распада разрыва [33]. П.В. Зиновьевым разработана вычислительная методика, основанная на конструировании неявной конечно-разностной схемы расчётов, включающей в себя приближенное асимптотическое решение в качестве начального. Что позволило указать положение фронтов ударных волн на каждом шаге вычислений. С помощью описанного алгоритма численно решены задачи об ударном нагружении упругого полупространства; методика перенесена на случай криволинейных и расходящихся лучей; численно решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды.

В [18, 88, 89] В.Е. Рагозиной был решён ряд задач на основе метода сращиваемых асимптотических разложений с включением решения эволюционных уравнений. Эта модификация метода возмущений позволяет на каждом шаге метода не только строить решение за поверхностью разрывов, но и последовательно определять положение фронта ударной волны. Данным методом решён ряд задач ударного деформирования упругой среды (задача о нормальном ударе по нелинейно-упругому полупространству, задачи о нормальном ударе по внутренней поверхности цилиндрического и сферического отверстий в пространстве, задача о косом ударе по нелинейно-упругому полупространству).

Настоящая работа является продолжением исследования возможности использования метода возмущений в решении динамических задач ударного деформирования. В ней рассматривается ряд задач деформирования несжимаемой упругой среды.

Первая глава содержит некоторые общие сведения из нелинейной теории упругости. В ней приведены основные модельные соотношения нелинейно-упругой изотропной несжимаемой среды. Рассмотрены, как следствия динамических условий совместности, условия существования и скорости распространения плоских ударных волн, цилиндрических ударных волн для задач с осевой симметрией, а также получена формула для скорости ударной двумерной антиплоской волны.

Во второй главе проведено решение приближенным аналитическим методом ряда одномерных краевых задач ударного деформирования несжимаемой нелинейно-упругой среды: одномерной задачи о плоской ударной волне, одномерных краевых задач со сходящимися и расходящимися цилиндрическими ударными волнами: об антиплоском нагружении цилиндрической полости (или цилиндра) в среде, основанием которой является окружность; о скручивающем ее деформировании и задачи о винтовом движении точек среды, как следствие удара, одномерной краевой задачи об антиплоском нагружении цилиндрической полости в среде, в которой присутствуют предварительные деформации, по типу сходные с искомыми. Предварительные деформации определяются на основании уравнений равновесия. Указан способ сведения такого типа задач к сингулярной задаче метода возмущений, прифронтовые асимптотики которой строятся на основе эволюционных уравнений. Ранее такие эволюционные уравнения, описывающие распространение объемных деформаций, рассматривались в работах Буренина A.A., Гельфан-да И.М. [29], Джеффри А. [122-124], Заболотской Е.А., Хохлова Р.В. [37], За-рембо JI.K. [38], Островского JI.A. [84], Остроумова Г.А. [85], Рагозиной В.Е., Рождественского Б.Л., Яненко H.H. [90], Руденко О.В., Солуяна С.И. [92], Шаруды В.А. [22, 23], Энгельбрехта Ю.К. [111]

В третьей главе рассматривалось решение двумерной антиплоской краевой задачи об ударном нагружении цилиндрической полости с произвольным направляющим контуром и контуром в форме эллипса. Решение строилось в выбранной специальным образом лучевой ортогональной криволинейной системе координат, где лучи аппроксимируются прямолинейными отрезками, что предполагает итерационное применений результатов или малый период времени, для которого проводилось вычисление.

В четвертой главе получены решения одномерной краевой задачи о плоской ударной волне нагружения динамики нелинейно-упругой среды с учетом малой вязкости в модельных соотношениях. Предполагалось, что в результате ударного воздействия по среде распространялась структурная ударная волна. Вязкость среды оказывает принципиальное влияние на поведение материала в областях интенсивного изменения деформаций (при наличии больших градиентов скоростей).

По теме диссертации было опубликовано 16 работ [40-53,131,132]. В главах используется двойная нумерация формул, первый номер - номер главы. На протяжении всей главы нумерация сквозная, рисунки помещены в текст.

1. Агапов И.Е., Белогорцев A.M., Буренин А.А., Резунов А.В. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно упругого материала Прикл. механика и техн. физика, 1989. .№6. 146-150.

2. Агапов И.Е., Буренин А.А., Резунов А.В. О соударении двух нелинейно-упругих тел с плоскими границами В кн. Прикладные задачи механики деформ. сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1990. 206-215.

3. Афанасьев СБ., Баженов В.Г. О численном решении одномерных нестационарных задач упругопластического деформирования сплошных сред методом Годунова Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьковский гос. ун-т., 1985. Вып. 31. 59-65.

4. Афанасьев СБ., Баженов В.Г., Кочетков А.В. и др. Пакет прикладных программ "Динамика-1" Прикладные проблемы прочностии пластичности. Горький: Горьковский гос. ун-т., 1986. Вып. 33. 21-29.

5. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. К исследованию нестационарных поверхностных волн в нелинейно-упругих средах Прикладная механика, 1981. Т. 17, 12. 27-33.

6. Бестужева Н.П., Дурова В.П. Волны разрывов при конечных деформациях упругих материалов Изв. АН СССР. Механика тв. тела, 1983. Хо 2. 102-108.

7. Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: «Мир», 1972. 183с. 134

8. Буренин А. А. Об одной возможности построения приближенных решений нестационарных задач динамики упругих сред при ударных воздействиях. Дальневосточный мат. сборник, 1999. Вып. 8. С 49-72.

9. Буренин А. А. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства Прикл. механика, 1985. Т. 21, Х5. 3-8.

10. Буренин А.А., Дудко О.В., Манцыбора А.А. О распространении обратимых деформаций по среде с накопленными необратимыми деформациями ПМТФ, 2002. Т. 43. №5. 162-170.

11. Буренин А.А., Зиновьев П.В. К проблеме выделения поверхностей разрывов в численных методах динамики деформируемых сред Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию А.Ю.Ишлинского. Москва: «Физматлит», 2003. 146-155.

12. Буренин А. А., Зиновьев П. В., Рагозина В. Е. Об одной возможности алгоритмического выделения поверхностей разрывов в расчетах ударного деформирования.// Всерос. школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Сборник докладов. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2003. 33-36.

13. Буренин А.А., Лапыгин В.В. Автомодельная задача об ударном нагружении упругого полупространства Прикл. матем. и механика, 1979. Т. 43. Вып. 4. 722-729. 135

14. Буренин А.А., Лапыгин В.В., Чернышев А.Д. К решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости В кн.: Нелинейные волны деформации. Матер, межд. симп. Таллин, 1978. Т.2. 25-28.

15. Буренин А.А., Нгуен Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн при плоской конечной деформации ПММ, 1973. Т.37. Вып. 5. 900-904.

16. Буренин А.А., Рагозина В. Е. О прифронтовых асимптотиках в нелинейной динамической теории упругости. Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций. Владивосток: «Дальнаука», 1988. 225-240.

17. Буренин А.А., Россихин Ю.А. О влиянии вязкости на характер распространения плоской продольной волны ПМТФ, 1990. 6. 13-17.

18. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве ПММ, 1978. Т. 42. Вып. 4. 711-717.

19. Буренин А.А., Шаруда В.А. Одномерный переходный волновой процесс деформации при ударном нагружении упругого полупространства Изв. АН СССР. Механика тв. тела, 1984. J T 1. N» 40-44.

20. Буренин А.А., Шаруда В.А. Косой удар по упругому полупространству//Изв. АНСССР. МТТ, 1984. 6. 172-174.

21. Буренин А.А., Шаруда В.А. Метод сраш;иваемых асимтотиче136

22. Вазов В.А. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. М.: «Мир», 1968. 464с. 25. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: «Мир», 1967.239с.

23. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Алгоритм расщепления плоской задачи динамики упругого деформирования с учетом хрупкого разрушения Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1983. Вып.61. 36-48.

24. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1984. Вып.66. С .60-68.

25. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Численное решение задач динамического упругопластического деформирования на основе аппроксимации линейными полиномами Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VII Всесоюзной конференции. Новосибирск: ИТНМ СО АН СССР, 1982. 233-247.

26. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений Успехи матем. наук, 1959. Т. 14, 9. 87-158.

27. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн 137

28. Герасименко Е.А. Лучевой метод решения краевых задач ударного деформирования Вестник ДВО РАН. Владивосток: «Дальнаука», 2006. №4. 112-117.

29. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движуш,ихся поверхностях Дальневосточный математический журнал. Владивосток: «Дальнаука», 2004. Т. 5, 1. 100-109.

30. Годунов К. Элементы механики сплошной среды. М.: «Наука», 1978.303с.

31. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: «Наука», 1969.336с.

32. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: «Мир», 1965. 456с.

33. Дудко О.В. Автомодельная задача об одномерном ударном нагружении упругого массива с предварительными деформациями и микронарушениями В сб. Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996. Вып. 117. Сер.5. 17-20.

34. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазипростые волны в нелинейной акустике ограниченных пучков Акуст. ж., 1969. Т. 15, I e 40-47.

35. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение

36. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Вогульский И.О. и др. Численное 138

37. Иванова Ю.Е. Использование прифронтовых асимптотик при построении приближенных решений краевых задач V Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию: тезисы докладов. Владивосток: «Дальнаука», 2001. 6,

38. Иванова Ю.Е. Метод возмущений в динамике несжимаемых упругих сред Дальневосточная щкола-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток, 6-11 сентября, 2004 г. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 2004. 103.

39. Иванова Ю.Е. Метод возмущений в одномерных нестационарных динамических задачах в цилиндрической системе координат Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Хабаровск, 21-27 августа, 2005 г. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. 158.

40. Иванова Ю.Е. Метод возмущений в решении задач ударного деформирования в нелинейно-упругих несжимаемых средах «Математическое моделирование в естественных науках»: тезисы докладов 15-й Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 4-7 октября 2006г. Пермь: Изд-во Пермского государственного технического университета, 2006. 42.

41. Иванова Ю.Е. Метод возмущений при построении приближенных решений неодномерных краевых задач динамики деформирования VII Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию: тезисы докладов. Владивосток: «Дальнаука», 2003. 10-11.

42. Иванова Ю.Е Метод сращиваемых асимптотических разложений 139

43. Иванова Ю.Е. Моделирование сдвиговых процессов ударного деформирования на основе эволюционных уравнений «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций»: тезисы докладов Всероссийской конференции. Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного технического университета, 2006. 54.

44. Иванова Ю. Е. О структуре ударной волны деформаций изменения формы Материалы Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70летию со дня рождения академика В.П. Мясникова. Владивосток, 25-30 сентября 2006 г. Владивосток: Изд-во ИАПУ ДВО РАН,2006. 5 2 5 4

45. Иванова Ю.Е. Эволюционные уравнения в описании ударных движений несжимаемой упругой среды Вестник ДВО РАН. Владивосток: «Дальнаука», 2006. 4 (128). 118 122.

46. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Использование эволюционных уравнений динамики несжимаемых упругих сред при построении прифронтовых разложений решений задач с цилиндрической симметрией Дальневосточная школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: «Дальнаука», 2002. 76.

47. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е Метод возмущений в анализе структуры ударной волны «Молодежь и научно-технический прогресс»: материалы региональной научно-технической конфе140

48. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Метод возмущений в краевых задачах ударного деформирования несжимаемых упругих сред Дальневосточный математический журнал. Владивосток: «Дальнаука», 2003. Т. 4, N2\. 71-77.

49. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Об ударных осесимметрических движениях несжимаемой упругой среды при ударных воздействиях Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. Т. 47, Ш 6. 144-151.

50. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Эволюционные уравнения в лучевых координатах для многомерных динамических задач в нелинейно-упругих несжимаемых средах Дальневосточная школасеминар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток, 31 августа 6 сентября 2003 г. Владивосток: «Дальнаука», 2003. 123-125.

51. Ивлев Д.Д. К построению теории упругости Докл. Ан СССР, 1961. Т. 138.Х2 6.С. 1321-1324.

52. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющего пластического тела. М.: «Наука», 1971. 231с.

53. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: «Наука», 1978. 208с.

54. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. Изд. 2-ое испр. и дополн. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287с.

55. Карп Д.Б. О сферической ударной волне постоянной интенсивности в изотропном упругом пространстве В сб. Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток, 230-243. 141 1991.

56. Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в унругопластическую преграду ПМТФ. Динамика сплошной среды, 1984.№4. 132-139.

57. Коробейников Н. Многоцелевая вычислительная программа по решению задач линейной теории упругости Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1986. Вып. 75. 78-89.

58. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: «Мир», 1972.275с.

59. Куликовский А.Г. Влияние малой анизотропии на свойства ударных волн в сжимаемой упругой среде ПММ, 1995. Т. 5, 5. 793-798.

60. Куликовский А.Г. Особенности поведения нелинейных квазипоперечных волн в упругой среде при малой анизотропии Тр. Мат. Ин-та АН СССР, 1989. 186. 132-139.

61. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах НММ, 1982. Т. 44. Вып. 3. 523534.

62. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде ПММ, 1982. Т. 46. Вып. 5. 831840.

63. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о 142

64. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны, возникаюш1ие при изменении напряжений на границе упругого полупространств В кн. Вопросы нелинейной механики сплошных сред. Таллин: «Валгус», 1985. 135-145.

65. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: «Московский Лицей», 1998. 412с.

66. Лебедева Н.Ф. Одномерная автомодельная задача распространения ударных возмущений по несжимаемой упругой среде В сб.: Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1993. Вып. 3. Сер. 5. 30-33.

67. Лебедева Н.Ф., Леухина Ю.П., Манцибора А.А. Одномерная задача взаимодействия плоскополяризованных сдвиговых ударных волн в несжимаемой упругой среде В сб.: Нроблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996. Вып. 117. Сер. 5. 29-32.

68. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории нелинейной упругости. М.: Изд-во МГУ, 1983. 71с.

69. Ленский Э.В. Об ударной адиабате плоского продольно- сдвигового разрыва Вестник МГУ. Сер. матем. и механика, 1981. I e 94-96.

70. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно-упругой среде Вестник МГУ. Сер. матем. и механика, 1983. №3. 80-86.

71. Лимарев А.Е., Мешков СИ., Чигарев А.В. К расчету интенсивностей волновых фронтов в неоднородной вязко-упругой среде МДТТ. Куйбышевский ун-т, 1975. Вып. 1. 104-107. 143

72. Лурье М.В. Использование вариационного принципа для изучения распространения поверхностей разрыва в сплошной среде НММ, 1969. Т. 33, Вып. 4. 693-699.

74. Нигул У.К. Точные решения квазилинейного волнового уравнения и область применимости метода последовательного интегрирования неоднородных волновых уравнений Изв. АН СССР. МТТ, 1975. МЗ. 76-83.

75. Нигул У.К. Отклонение решения квазилинейного волнового уравнения от решения линейного уравнения в области непрерывных первых производных НММ, 1973. Т.37. Вып. 3. 434-447.

76. Нигул У.К. Асимптотическое описание процесса формирования нелинейного искажения одномерных импульсов в слоистой среде НММ, 1976. Т. 40. Вып. 6. -1093-1103.

77. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Возникновение ударных волн в упругом пространстве при одномерных нелинейных переходных волновых процессах, возбуждаемых непрерывным воздействием Изв. АН СССР. МТТ, 1972. «5. 69-82. 78. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: «Гостехиздат», 1948. 211с.

79. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны в океане В кн.: Нелинейные волны. М.: «Наука», 1979. 292-323.

80. Остроумов Г.А. Основы нелинейной акустики. Л.: Изд-во ЛГУ, 144

81. Пелиновский E.H., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин.: «Валгус», 1984. 156с.

83. Рагозина В.Е. Об одном нодходе в использовании метода возмущений для построения решения нелинейных динамических задач с ударными волнами В сб.: Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1995. Вып. 115. 17-20.

84. Рагозина В.Е., Воронин И.И., Вековшинин Е.Л. Об использовании прифронтовой асимптотики в численных решениях динамических задач теории упругости с ударными волнами В кн.: Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1995. Вып.115. 25-27.

85. Рождественский Б.Л., Яненко Н.П. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М.: «Наука», 1968. 592

86. Россихин Ю. А. О равномерной пригодности лучевых разложений в задачах, связанных с распространением ударных волн в слабоанизотропной упругой среде Изв. АН СССР. МТТ, 1989.

87. Руденко О.В., Солуян СИ. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: «Наука», 1975. 288с.

88. Сабодаш П.Ф., Тихомиров Н.А., Навал И.К. Автомодельные движения физически нелинейной упругой среды, вызванные локальным выделением энергии Нелинейные волны деформации 145

89. Свешникова Е.И. Квазипоперечные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации ПММ, 1983. Т. 47. Вып.4. 673-678.

90. Свешникова Е.И. Ударные волны в слабо анизотропном упругом несжимаемом материале ПММ, 1994. Т. 58, 3. 144-153.

91. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: «Наука», 1977. 440с.

93. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. Изд-ие 2-ое испр. и дополн. М.: «Наука», 1973. Т.1. 536с. Т.2. 584с.

94. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: «Высшая школа», 1979. 318с.

95. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: «Мир», 1964. 308с.

96. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: «Мир», 1975. 592с.

97. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: «Мир», 1977. 622с.

98. Филатов Г.Ф. Об устойчивости сильных разрывов в нелинейной теории упругости Сб. научн. трудов фак-та ПММ. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1971. Вып.1. 62-64.

99. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругости Сб. научн. трудов фак-та ПММ. Воронеж: Изд-во 146

100. Филатов Г.Ф, О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде ПМТФ, 1972. Т.З. 186-188. 106. 107. Хан X. Теория упругости. М.: «Мир», 1988. 344с. Черных Е.М. О распространении волн в упругой среде с конечными деформациями Изв. АН СССР. МТТ, 1967. .№4. 74-79.

101. Черных Е.М. Автомодельная задача об ударном нагружении нелинейно-упругого материала ПММ, 1967. Т. 31, Вып.5. 793799.

102. Черных Е.М. Термодинамические соотношения на поверхности сильного разрыва в упругой среде при конечных деформациях Докл. АН СССР, Т. 177. №3. 546-549.

103. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях ПММ, 1970. Т.34. Вып. 5. 885-890.

104. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: «Наука», 1981.256с.

105. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: «Физматгиз», 1962.516с.

106. Biot М.А. Mechanics of incremental deformation. New York: Willey, 1965.504р.

107. Bland D.R. Dilatational waves and shocks in large displacement isentropic dynamical elasticity J. Mech. Phys. Solids, 1964. V.12. P. 245-267.

108. Bland D.R. Finite elastodynamics J. Inst. Mach. Applic, 1966. P. 327-342. 147

109. Bretherton F.P. Slow viscous motion round a cylinder in a simple shear. J. Fluid Mech., 1962.12. P. 591-613.

110. Burenin A.A., Rossihin Yu.A., Shitikova M.V. A Ray solving boundary-volue problems connected with the propogation of finite amplitude shock waves Nonlinear theory and its applications. Int. Symp., Hawaii, 1993.

111. Carrier G.F. Singular Perturbation theory and geophysics, SIAM Rev. 12,1970. P. 175-193. 120. Chy Boa-Teh. Finite amplitude waves in incompressible perfectly elastic materials J. Mech. Phys. Solids, 1964. V.I2. I. P. 45-57. 121. Chy Boa-Teh. Transverse chock waves in incompressible elastic solids//J. Mech. Phys. Solids, 1967. V.15. Ж I. P. 1-14.

112. Jeffrey A., Kakutani T. Weak nonlinear dispersive waves: a discussion centered around the Korteweg-de Vries equation. SIAM Rev., 1972. V. 14. P. 582-643.

113. Jeffrey A., Kawahara T. Asymptotic methods in nonlinear wave theory. London, Pitman. 1982. 256 P.

114. Jeffrey A., Engelbrecht J. Nonlinear dispersive waves in a relaxing medium Wave Motion, 1980. V. 2. №3. P. 255-266.

115. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solution to physical problems uniformly valid Phil. Mag. 7. 44. 1949. P. 1179-1201.

116. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New-York: Willy: London: Chapman, 1951.140 p. 148

117. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformation of isotropic materials. Experiments of the deformation of rubber Phil. Roy. Soc. London, 1951. V. A 243. P. 251-288.

118. Rossikhin Y.A., Shitikova M.V. Ray method for solving dynamic problems connected with propagation of wave surfaces of strong and weak discontinuities. Appl. Mech. Rev., 1995. V. 48. 1. P. 1-39.

119. Ting T.C.T. Propagation of diccontinnities of all orders in nonlinear media In: Rec. fdf. in Eng. Sci./ Chang T.S. Massachusetts: Sci. Publ. Iuc, 1975. V. 5. P. 101-110.

120. Ulyia E. Ivanova, Victoria E. Ragozina. Front asymptotics behind load shock waves in the incompressible medium and their use in constructing approximate boundary of problem solution 5th Region Russia. International Students Congress Countries "Young People the Asia-Pacific Progress". Technical Vladivostok: FESTU, 2001. C. 151-152.

121. Uliya E. Ivanova, Victotya E. Ragozina. Perturbation method in dynamics of an antiflat motion of an incompressible elastic medium Materials of the Fifth International Young Scholars Forum of the Asia Pacific Region Countries. Vladivostok, Russia, 23-26 September, 2

124. Yogchi Li., Ting T.C.T. Plane waves in simple elastic solids and discoutinuos dependence of solution on boundary conditions Ins. J. Sol. Struct., 1983. V. 19. P. 989-1008. 149