Одномерные нестационарные задачи об ударном нагружении несжимаемых упругих сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

2 !\ МАР 1ЯЯ7

На правах рукописи

Лебедева Наталья Федоровна

ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ОБ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ НЕСЖИМАЕМЫХ УПРУГИХ СРЕД

01.02.04. - Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссерташш-па сонсканге ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 1997 .

Работа выполнена на кафедре математического моделирования и информатики Дальневосточного государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.А. Буренин

• Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Хромов

кандидат физико-математических наук Г.В. Попов

Ведущая организация: Дальневосточный государственный

университет

Защита состоится У ¥ ¿2/Л- на здседашш

диссертационного . совета Д. . 002.06.07 при Президиуме Дащ>невосточно1 о отделения Российской Академии наук по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан ^^/¡гк/Сс— 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы, Нсстационарнь!е задачи о распространении возмущений по сплошным средам являются нелинейными по своей суш. При переходе к деформируемым твердым телам ' возможность математического моделирования процессов распространения деформаций, осуществление постановок и выбор метода решения соответствующих краевых задач еще более затруднителен. В этом случае, па общие трудности, связанные с нелинейностью получающихся систем уравнений в частных производных и с необходимостью находить обобщенные решения краевых задач накладывается еще сложность, определяемая одновременным существованием, по существу, двух взаимодействующих процессов распространения деформаций: изменения объема и деформации изменения формы. Глазным упрощающим приемом, когда основной интерес связан с особенностями распространения деформаций изменения формы является допущение о дополнительной внутренней геометрической связи такой, что невозможно изменение объема любого элемента деформируемого тела, т.е. оно полагается несжимаемым. Другой упрощающей идеализацией служит допущение об пренебрежительно малых днссипагивных факторах, сопровождающих существенно нестационарный процесс деформирования. В этом случае деформируемое тело моделируется нелинейно упругой средой. Учет; сжимаемости тел при деформировании, как п учет усложненных реологических свойств материалов бесспорно приведет' к своим особенностям н новым закономерностям. Однако следует надеяться, что основные качественные особенности процесса, выявленные в модели идеализированно», т.е. в модели несжимаемого упругого тела, будут сохраняться и в усложненных моделях. Более того, постановки и методы решения краевых задач во многом можно будет перенести и на такие усложненные случаи. Остается только отметить, что модель несжимаемого упругого тела сама по себе часто достаточно хорошо описывает поведение реальных материалов. Каучукоподобные материалы, некоторые полимеры по своим свойствам традиционно относят к несжимаемым и упругим. Вышеизложенное подотчет отнести проблему постановок и методов решения обобщенных нестационарных краевых задач динами/н несжимаемых упругих сред к актуальным проблемам современно!! математики и механики.

} Уел мо; аботы является:

• изучение условий сущесгзоаашы и закономерностей распространения поверхностей разрывов деформаций в несжимаемой упругой среде, как необходимых условий для корректных постановок нестационарных краевых задач об ударных воздействиях на упругие тела;

• постановка и решение рада простейших одномерных модельных задач;

• описание особенностей методов решения таких краевых задач.

Научная ношпна полученных результатов заключается в следующем:

• изучены условия существования ударных волн нагрузки и ударной волны поворота в несжимаемой упругой среде и получены на этой основе решения нескольких краевых задач;

• проанализированы ограничения, накладываемые вторым законом термодинамики в необратимых процессах распространения плоскостей разрывов, на условия нх существования;

• исследованы особенности постановок и решений одномерных автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости; ^

• на примере решения модельных крэевых задач с плоскими и цилиндрическими ударными волнами продемонстрированы особенности построения лучевых разложений решения за волной на; рузкн и волной поворота.

Лр^тгоупяс-сгь ' 1;олучеиг8?.;у упультятоп. Основанием ■ служит использование классических подходов механшеи сплошных сред. Достоверность определяется строгостью математических выкладок и приемов, соответствием результатов численных -экспериментов полученным прежде аналитическим. выводам, внутренней ' непротиворечивостью и непосредственным следованием из полученных решений результатов классической теории упругости.

'» ГуГ'.стпчагкат* значимость работы. Нелинейные эффекты при распространении граничных возмущении по деформируемым телам необходимо приводят к качественным изменениям в постановках соответствующих краевых задач. Следовательно, даже в случаях,' когда деформации можно считать малыми, в расчетах на дшшллческую прочность, следует пользоваться нелинейными моделями. В ^том случае оказываются необходимыми сведения о характере процесса распространения деформаций; приступая к постановке краевой задачи исследователь обязан заведомо знать о

возможности, возникновения, поверхностей разрывов, их виде, особенностях их взаимодействия с границами среды и между собой, иметь возможность выбора в методах решения таких краевых задач. Настоящая работа представляет собой попытку п рамках модели нелинейной упругой среды дать ответы хотя бы на часть подобных вопросов.

Следует отметить, что несмотря на то, что технологические приемы, связанные.с импульсным воздействием на деформируемые тела (высокоскоростная штамповка, пробивание отверстий, сзарка взрывом, ударнее упрочнение поверхностей изделий и др.) вошли в инженерную практику, адекватных математических моделей таких процессов до сих пор не создано. Это главным образом связано с недостаточностью сведений об особенностях модельных представлений таких существенно нестационарных процессов. Хочется надеяться, что результаты работы помогут создателям подобных технологий хотя бы на качественном уровне • понять и оценить особенности процессов, которые они используют.

Апробация. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались:

• на научно-технических конференциях Дальневосточного Государственного технического университета (г. Владивосток, 1993, 1994,1995,1996 гг.);

• на первом международном конгрессе стран Азиатско-Тихоокеанского региона (г. Владивосток, октябрь 1*995 г.);

Работа в целом была доложена на семинарах:.

• в институте автоматики и процессов управления ДВО РАН,

• в Дальневосточном государственно!! техническом университете (кафедра математического моделирования и информатики).

Публикации го р-'Лоте. По теме диссертации опубликовано 3 работ. Структура и о(н ем рчботм, Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основная часть работы содержит [05 страниц машинописного текста, 16 рисунков. Список литературы включает 103 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной, работе приведен краткий обзор литературы, отражающий современное .состояние исследуемой проблемы. Таким способом определяется место настоящего исследования, обосновывается его актуальность, формулируется цель диссертационной работы, указываются пути возможного использования ■ ее результатов.

В обзоре литературы 1 основное внимание удслечо особенностям построения моделей нелинейных упругих сред, изучению на основе таких моделей особенностей процесса распространения деформаций по деформируемым упругим телам. Отмечается видный вклад в теорию нелинейной теории упругости отечественных ученых В.В. Новожилова, Л.И. Седова, М.А. Толокошшкова, К.Ф. Черных, И.И. Гольденблата, Д.Д. Ивлева, А.И. Лурье, Г.С. Тарасьсва и зарубежных ученых Ф. Мурнагана, В. Прагера, А. Сшюрини и др. Проблема распространения ударных граничных возмущений с учетом нелинейных эффектов рассматривалась в работах Д. Бленда, 3. Весолопского, Т. Тинга, Чжу Боте, Т. Райта, Е.М. Черных, А.Д. Чернышова, A.A. Буренина, В.А. Баскакова, Г.Ф. Филатова, А.Г. Куликовского, Г.И. Быковцева, Е.И. Свешниковой, Э.В. Ленского, М.А. Гринфельда, Ю.К. Энгельбрехта, В.В. Лапыгина.

В пер ^.ч"; гя-лое. работы рассмотрены одномерные. задачи приводящие к возникновению и сзапмодейстзшо различных типов плоских волн. Вь-писаны условия, существования ударных волн, вычислены скорости их распространения в зависимости от предварительных деформаций и характера производимого воздействия.

В качестве исходной модели несжимаемой упругой среды выбрана модель описываемая- следующей зависимостью упругого потенциала V/ от инвариантов 1\ и тензора деформаций Альманси

W - (а - |л)/] + а/2 + Ы\ - xhh ~ W + cIi + dl2 + klfl2+...

В (1) И/ - компоненты вехтора перемещений, \1,а,Ь,х,щс,й,к -упругие модули среды. Согласно (1) для описания движения среды выбирается представление Эйлера, т.е. ») и ЛС/ -пространственные координаты точек среды. Соотношение (1) является разложением функции IV - Гг^/] ,/3) в ряд Тейлора относительно свободного состояния. Оно замыкает систему кинематических уравнений и уравнений, следующих из законов сохранения:

®ш-Р + <2>

О и 2еч);

ОН! дщ

и,- 1 ■= —и, - —

. дх} э/

Отметим, что в моделировании упругих свойств несжимаемых сред часто в (1) ограничиваются лишь первым слагаемым (лишь ц отлично

от нуля). Такую зависимость при использовании переменных Лагранжа называют, упругим потенциалом Трелоара. Двухконсгантную зависимость (только ц 5« 0 и а & 0) называют потенциалом Муни. Необходимость явного выписывания последующих слагаемых вызвана тем обстоятельством, что ряд исследуемых нелинейных эффектов даже при незначительных деформациях оказывается зависимым от упругих модулей до четвертого порядка включительно. Для несжимаемой среды можно показать что первый инвариант тензора деформаций Альманси необходимо отрицателен (/[ й 0) в процессе деформирования, а второй инвариант остается положительным (/2 а 0). Поэтому перед некоторыми слагаемыми в (1) выбран знак "минус" с тем, чтс5ы упругие модули можно было бы считать положительными.

Следствием динамических и кинематических условии совместное!!! разрывов

-<;)]-о,

[/^Г-С-^+С-1^ V,+ у°1»ф(вх|,р , (3)

Ы-ф' И-г.-/-,

аВ га

в случае плоских одномерных ударных волн (и, «/(*})) являются соотношения:

оо . ос к к

-.У,

аЛ £3) ГлР\

Уо-и; х;

Отсюда следует условие существования плоскостей разрывов, как следствие условий разрешимости системы уравнений (4):

2у*[тЛ](тз(«2+,,-с2)-х2(Из+Л -Т3))~ 0. (5)

Согласно (5) возможны лишь два случая. В первом из них

(6)

«2,1 - «2,1 Т2

Следовательно, возможен плоскополяризованный разрыв изменяющий только интенсивность предварительного сдвига. Его плоскость поляризации определяется только предварительными

деформациями. Такие плоскости разрывов в дальнейшем называем ударными волнами нагрузки. Скорость распространения данной плоскости разрывов определяется зависимостью

22Лу * (*2к 1 ~ (* ~ т)2Л",) лЗ 4 '

1/

(7)

где азд-0.

Второй возможный случай свпзаи с условием 0, т.е. на такой

плоскости разрывов не может измениться интенсивность предварительного сдвига, но изменяется его направленность. Скорость распространения такой плоскости разрывов вычисляется следующей зависимостью

00

уит

(8)

Модель несжимаемого упругого тела описанная соотношениями (!) и (2) является изоэнтропичсской. Однако на поверхностях разрывов деформаций, где соотношения (2) кесправедливы, энтропия может претерпевать скачкообразное изменение. Следствием второго закона термодинамики 0) является, так называемое, термодинамическое услозие совместности разрывов. В случае плоских ударных волн нагрузки можно показать, что оно сводится к неравенству

V V Г-1)^ ГI; - Л —

г 0.

(9)

Неравенство (9) заведомо выполняется, если среда перед ударной волной нагрузки переформирована. Если перед плоскостью разрывов

.V = ,у+ ?4 0, то достаточным условием того, чтобы (0) было выполнено, является неравенство тл'<0. Это означает, что возможны то.и,ы>

ударные волны нагрузки, приводящие к развитию имеющихся сдвиговых деформаций. Ударные волны разгрузки оказываются согласно (9) термодинамически невозможными. Таким образом, для ударных волн нагрузки выполняется аналог теоремы Цемплена, имеющей место в газовой динамике.

Проведенное решение простейших краевых задач о нагрузке и разгрузке несжимаемого упругого полупространства показало, что выводы, следующие из законов термодинамики, оказываются в полном' соответствии со свойствами системы дифференциальных уравнений, описывающих эти прёцессы. Действительно, при нагрузке полупространства возможно решение задачи только с ударной волной нагрузки и наоборот при решении нестационарной задачи о разгрузке среды, подверженной деформации сдвига, ударные волны не возникают, т.е. имеется возможность построить решение, в котором деформации являются непрерывными функциями. Следовательно, аналогия с газовой динамикой здесь остается полной, более того в случае автомодельности задачи разгрузха среды связана с распространением простых волн Римана.

Проведенные исследования свойств плоских ударных волн позволили поставить и решить автомодельную задачу об ударном нагружении предварительно деформированного полупространства. Пусть предварительные деформации определяются следующими постоянными значениями отличных от. нуля компонент тензора градиента перемещения «2,1 " *20» и3,1 ™ *30 Положим, что с момента

времени * - 0 ударное нагружение на граничной плоскости ДС| «• 0 » . ** приводит к изменению этих значений «2,1 ®22» и3,1532> которые и

в дальнейшем остаются постоянными. Тогда при т^ > {гп - «2,1 + "з,1) передним фронтом распространяющегося возмущения

необходимо будет ударная волна нагрузки. Деформированное состояние, оставляемое такой • волной постоянной интенсивности определяется значениями «2,1 " $21> и3,1 " «31-.Эти значения обязаны быть связаны

2 2 *20 ' •

зависимостью +«31 " к - -=5г-. Следом за ударной волной

«30

нагрузги распространяется удзрная волна поворота, на которой «2,1 и

»3(1 скачкообразно изменяются от значений $21 и 531 Д° значений 522 и

^32 • Когда же /«2 < Шд ударная полна нагрузки не возникает и обязана быть замененной центрированной простой волной. Показано, что скорость ударной волны поворота всегда меньше скорости распространения заднего фронта простой волны. Центрированная волна так же остается поляризованной в плоскости предварительных сдвиговых деформаций. В области центрированной волны щд и Н31 непрерывно

изменяются от значений и 530 Д° значений $21 н *31>

2 2 2 Я21 Л20 удовлетворяющим тем же условиям + " т2> "

Изменение направленности сдвига согласно производимому удару возможно только скачкообразно на ударной волне поворота.

В работе также рассмотрена автомодельная задача о движущихся навстречу друг другу ударных волн нагрузхи, поляризованных а различных плоскостях. Пусть ударная волна нагрузки, распространяющаяся от границы Х\ «• 0 оставляет за собой напряженно-деформированное состояние:

оп\ ^ " огн; "глЦ.о - 5о -

00 (10) ом-ои-^Ау*^-1 .

в момент времени * - 0 . сталкивается с волной нагрузки, распространяющейся от границы Х\ - /. Напряженно-деформированное состояние за последней ударной волной определяется соотношениями:

«2д| пг.\\Чш1 ш5>

со

о21 -п-тк;

™ (И)

X

Согласно результатам, описанным выше в случаи их взаимодействия возможны только отраженные и преломленные ударные волны, а простые волны но возникают. В результате взаимодействия двух ударных, волн нагрузки, вследствие различия их плоскостей поляризации необходимо возникают две ударные еолны нагрузки и две ударные волны поворота, Задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Приведены численные расчеты, в результате которых определяются псе параметры напряженно-деформированного состояния за каждой из ударных волн, возникших в результате взаимодействия исходных.

Вторая главп диссертацио^.чой работы посвящена численному исследованию автомодельных задач с цилиндрическими ударными волнами постоянной интенсивности. Рассмотрены случаи сходящейся и расходящейся ударной волны нагрузки. В процессе распространения скручивающей ударной волны нагрузки на ее интенсивность влияют два фактора: изменение кривизны фронта и дальнейшее послеударное воздействие. Исследование решения автомодельной задачи с ударными волнами постоянной интенсивности представляется важным с целью ответа на вопрос о взаимном превалировании этих факторов, ведь рассматриваемое решение является таким, когда они уравновешиваются.

В результате численного решения задачи получены графические зависимости об изменении граничных воздействий со временем, позволяющие выполнить условие постоянства интенсивности ударной волни.

В третьей глаг.е диссертации для решения пеавтомодельиых одномерных задач предлагается приближенные метод решения, основанный па построении лучевых разложений. Классический прием построчили лучевых разложений за поверхностями разрывов основывается на интегрировании рекуррентных дифференциальных \ равнений, называемых уравнениями затухания. Этот прием немо:::,мьл.чеч в рлбогах Лж. Дхсиилха. Л- Рсдд», Г.И. Быковцевь*, Ю.А.

Росснхина, &Д. Вервейко, А.Г. Шаталова, Ю.Н. Подильчука, Ю.К. Рубцова, H.A. Заварзшшй, Н.П. Бестужевой, В.Н. Дуровой и др.. Однако в случае ударных волн в нелинейных средах такой классический прием оказался неприменимым. В 1990 году A.A. Бур.ешшым и J.O.A. Росснхиным была предложена модификация метода и решена простейшая задача об ударе по недеформированному полупространству. Ниже этот прием распространяется: на случай ненулевых предварительных деформаций в несжимаемой упругой среде и на случай цилиндрических ударных волн. Наличие предварительных деформаций оказывается здесь принципиальным, поскольку они вызывают, наряду с ударными волнами нагрузки, существование ударных волн поворота, которые вносят свою специфику в построение лучевых разложений.

Поясним существо метода на краевой задаче с плоскими ударными волнами. Пусть упругий несжимаемый слой занимает- бесконечную область 0 ¿ .V] s / положим, что граница .tj - / является жесткой, а на границе Xj '■= 0 приложено напряжение, создающее постоянное и одномерное напряженно деформированное состояние: оц

°31ra(i31> е13 ~е31 Ш2И3,1 " 24'0» и1,1—0 (в СИЛУ условия несжимаемости). Тогда поле перемещении среды имеет лишь одну отличную от нуля компоненту

Из -*(*!-/). (12)

Заметим, что такое напряженно деформированное состояние является общим, а выполнимость записанных выше соотношений достигается соответствующим выбором снуемы координат.

Пусть начиная с момента времени t - 0 на границе Xj-'0 действует дополнительная ударная нагрузка, так что она начинает двигаться по закону:

■"«М- 2т/-'"1

л-1

/12+£| >0.

Последнее условие (13) связано с тем, чтобы ударные волны возникали непосредственно с момента времени t -0. При ■= 0

ударные волны могут возникнуть в процессе распространения плоскостей разрывов ускорений. Как уже отмечалось, в этом случае можно построить рекуррентные уравнения затухания и, следовательно, не существует отличия от классического лучевого метода Г.И. Быковцева. Целью же настоящей главы является модифицировать метод таким образом, чтобы было возможно построение лучевых разложений за ударными волнами. Если только и^ тождественно не равно нулю, то в результате граничного воздействия (13) будут распространяться две плоскости разрывов ^ и 00 скоростями и <*2 соответственно.

При этом' ^ (<?1><»2) необходимо будет волной нагрузки, а ^ -волной поворота. Тогда решение можно будет искать в виде:

,.<0

«Г-Хм

* « ('-/слт)-*"" * « Мс^т) ;

Ьък)

"Х22

¡С2Я)

4«

,-Ш....

« <

оЪМ

I *

№<Ч>)

(14)

*

'Ооху

г-Г-^-

В (14) .Г-Ж,, Х31 Ш["3,ш] на 2, - Х32-[«3,^] "а ' 7.22 "а ' в[иЗ/2>] на 2, • ш32 ~[«3/2;] на ^ ,

'"22 " ] Т-. • Таким образом (14) представляет собой

разложение функций 112(^1,-)• 0 в ряд типа Тейлора на

движущихся плоскостях разрывов. Коэффициенты этого ряда являются величинами разрывов скоростей и их производных. Эти разрывы обязаны удовлетворять динамическим и кинематическим условиям совместности. Следовательно решение системы дифференциальных уравнении, являющейся следствием законов сохранения и кинематических соотношений заменяется таким образом задачей но отысканию коэффициентов рядов (14). Это означает, что мы требуем только точного выполнения законов сохранения на поверхностях ^ и

22 и выполнения граничных условий (13). В этом и состоит

приближенный характер получаемых решений.

Следуя динамическим и кинетическим условиям- совместности разрывов первого порядка на можно установить связь ме5хду 0)3) и

6 - производной Хз1

^-^««(К^ХЗЕ + с-2*!!) 05)

Оказывается, что соотношения (15) являются рекуррентными, т.е.

(»,.-,„ .:..<')> , (16) а>з1-т?Л Ч^-Ка+и]-

Отмегтнм, что изменение интенсивности плосхих волн является

чисто нелинейным эффектом. В линейной теории --- ™ 0. Согласно

б *

(16) 5 - производная любого порядка вычисляется в зависимости от (Ь)

величин разрывов (*>3| .

На ^ Х32 н Х22 пе могут быть произвольными,, оги связаны

условием неизменности интенсивности предварительного сдвига, т.е. у_22 можно считать известным, если известны предварительные деформации и

X32- Д-1151 5 - производной /32 аналогично (15) из динамических условий совместности следует

22. _ Ц |ш /в + С-1Х22 V + с-1 V 5 / ц I V А / (П)

5Х32 _

И

+ ш32(ы3>1 +С_1Х323}-

Соотношения вида (17) можно получить для 5 - производной от Хзг любого порядка

5АХ32 6

Если теперь принять

« .1 к./.

V _ . 1 6 Х31 Х31--

V * О Х31

к11 ы1

V 1 б-'хзг

(-о

/Л

/-О

(19)

то с помощью этих рядов скорости волн также вычислятся степенным рядом по времени, но тогда при .Г} = О соотношение (14) будет представлено также степенными рядами по времени. Если эти ряды сраинить с граничными условиями (13), то с учетом (16) и (18) удается найти все неизвестные постоянные.

На существо предложенной методики получения приближенного решения не сказывается то обстоятельство, что граннчное условие задано в перемещениях. Однако существенно предположение о малости послеударного времени, впрочем последнее часто определяется существом нестационарно!! задачи.

Таким способом решена также одномерная задача с ппмнилрпчсс'кой симметрией. Известно, что в таком случае

интенсивность волны изменяется и в линейной теории, за счет изменения кривизны поверхности. В нашем случае получены формулы уточняющие эти зависимости, за счет учета нелинейности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Вычислены скорости распространения плоскополяризованныч ударных волн нагрузки и ударных волн поворота, распространяющихся в несжимаемой упругой среде, в зависимости' от предварительных деформаций и интенсивностей волн.

2. Указаны условия существования одномерных ударных роли нагрузки и ударных волн поворота в несжимаемой упругой среде.

3. Изучены уел с зия существования ударных волн, следующие из законов термодинамики. Показано, что такие ограничения согласованы со свойствами системы дифференциальных уравнений.

■ 4. Ранен ряд автомодельных задач с плоскими н цилиндрическими ударными волнами: сб ударе по недеформированному полупространстпу, об ударней нагрузке однородно деформированного полупространства, об ударном нагруженни плоского деформируемого бесконечного мпсснва, о взаимодействии ударных волн нагрузки поляричезанных п различных плоскостях, о расходящейся п сходящейся цилиндрических ударных волнах постоянной интенсивности.

5. Для решения неавтомодсльнмх задач предложена модификация лучепого метода.

6. Получено приближенное решение одномерной задачи об ударе по несжимаемому деформированному упругому слою.

1. Получено приближенное решение задачи об ударном деформировании толстостенной трубы из несжимаемого высокоэластичного материала.^

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лебедева Н.Ф. Одномерная автомодельная задача распространения ударных возмущений по несжимаемой упругой среде // Проблемы естествознания и производства, Владивосток: Из д-р о ДВГТУ, 1<>Т>. - С. 30-33. (Тр. ДВГТУ; Вып. 3, сер. .5).

2. Лебедева Н.Ф. О взаимодействии плоской ударной волны с плоской границей несжимаемого упругого тела // ХХХШ Юбилейная научно-техническая конференция преподавателей ДВГТУ, Владивосток, ноябрь 1993 г. Сб. тез. докл. 4.1. С.84.

3. Лебедева Н.Ф. Отражение плоской ударной волны от свободной поверхности // XXXIV научно-техническая конференция преподавателей ДВГТУ, Владивосток, ноябрь 1994 г. Сб. тез. докл. 4.2. С Л 24.

. 4. Лебедева Н.Ф., Леухнна ЮЛ., Манцыбора A.A. Одномерная задача взаимодействия плосконоляризоаанных сдвиговых ударных волн в несжимаемой упругой среде И Проблемы естествознания и производства, Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996. - С. 29-32. (Тр. ДВГТУ; Вып. 117, сер. 5).

5. Лебедева Н.Ф. Лучевой метод построения приближенного решения за ударной волной II XXXVII научно-техническая конференция преподавателей ДВГГУ, Владивосток, ноябрь 1996 г. Сб. тез. докл. С.6-7.

6. Лебедева Н.Ф., Чуйко В.М. Об одной пороговой задаче нелинейной динамической теории упругости // XXXVII научно-техническая конференция преподавателей ДВГТУ, Владивосток, ноябрь 1996 г. Сб. тез. докл. С.5.

7. Лебедева Н.Ф., Леухина Ю.П., Манцыбора A.A. О взаимодействии двух волн нагрузки. // XXXVII научно-техническая конференция преподавателей ДВГТУ, Владивосток, ноябрь 1996 г. Сб. тез. докл. С.4.

8. N. Lebedeva, V. Chuyko. The ray method of approximation solution construction of dynamic nonstationary problem of incomprcssed solid medium //The second international Congress of the Asian-Pacific Region Countries, FESTU, Vladivostok, Russia, 1997.

Личный г» км я л автора. Работы 1, 2, 3, 5 выполнены автором лично. В работах 4, 6, 7, 8 автором проведена постановка задач, получены системы разрешающих уравнений, выбраны методы расчетов. Соавторы работ (студенты кафедры математического моделирования и информатики) участвовали в проведении численных расчетов и в представлении их результатов.