Построение лучевых разложений за поверхностями разрывов деформаций и их использование в алгоритмах расчетов ударного деформирования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗИНОВЬЕВ Павел Владимирович

ПОСТРОЕНИЕ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ЗА ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗРЫВОВ ДЕФОРМАЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В АЛГОРИТМАХ РАСЧЕТОВ УДАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Л

Владивосток 2004

Работа выполнена в Дальневосточном государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Буренин Анатолий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коробейников Сергей Николаевич

кандидат физико-математических наук, Тахтеев Владимир Алексеевич

Ведущая организация: Вычислительный центр ДВО РАН

Защита состоится 23 апреля 2004 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А.Гузев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Импульсное или ударное воздействие на материалы издавна используется для изготовления и упрочнения изделий из них (ковка, высокоскоростная штамповка и др.). Скоротечность таких переходных процессов деформирования заставляет, чаще всего, судить о них лишь по эффектам, которые с их помощью достигаются. Математическое моделирование подобных процессов динамики деформирования также наталкивается на значительные математические трудности. Главной из них оказывается сопутствующее таким процессам принципиально нелинейное явление возникновения и распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн). В отличие от газовой динамики, где это явление наиболее изучено, в деформируемых твердых телах наряду с деформациями изменения объема (как в газе) присутствуют и деформации изменения формы. Особенности процесса распространения последних по деформируемой среде отличны от таковых для объемных деформаций. В общем случае процессы распространения деформаций изменения объема и формы взаимозависимы. В газовой динамике обозначена проблема выделения поверхностей разрывов при численных расчетах гиперзвуковых течений газа, решению которой посвящаются специальные алгоритмические приемы, включаемые в программы расчетов. Взаимосвязанность одновременно распространяющихся деформаций формы и объема не позволяет перенести эти приемы в динамику деформирования, поэтому существующие методы расчетов, нестационарных краевых задач динамики деформируемых твердых тел основываются, преимущественно, на схемах сквозного счета. При существенной псстациопарности задачи (взаимодействие ударных волн между собой и с преградами) алгоритмическое размывание (искусственная вязкость) волновых фронтов может приводить к недопустимым количественным и даже качественным погрешностям. Приближенные аналитические методы решения краевых задач динамики деформирования, являясь по своей сути асимптотиче-

РОС. ь . чЛЛЬНАЯ

»> >ТЕКА

•г.. * .ербург

гоо&рк

сними, представляют разложения решений либо при малом послеударном времени, либо при малой интенсивности удара. В настоящей работе предлагается использовать в расчетных краевых задачах динамики деформирования специально построенные прифронтовые лучевые разложения решений именно для целей выделения поверхностей разрывов. Это и определяет актуальность данной работы.

Целью работы является: предложить на примере простейшей модели деформируемой среды, а именно несжимаемой упругой, методы построения прифронтовых лучевых разложений за возможными поверхностями разрывов деформаций, включая случай криволинейных и расходящихся лучей; указать алгоритмические приемы использования построенных таким способом прифронтовых асимптотик для целей выделения поверхностей разрывов в численных расчетах ударного деформирования.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:

• лучевым методом получено приближенное решение краевой задачи ударного деформирования плоского предварительно нродеформиро-ванного массива;

• метод построения приближенных решений краевых задач ударного деформирования лучевым методом обобщен на случай криволинейных и расходящихся лучей;

• в качестве примера применения предложенного метода впервые получено приближенное решение краевой задачи об антиплоском движении несжимаемой упругой среды, ударно нагружаемой по границе эллипсоидальной цилиндрической полости в ней;

• указан способ конструирования неявной конечно-разностной схемы расчетов ударного деформирования несжимаемого плоского упругого массива с предварительными деформациями, которая за счет включения в нее прифронтовой лучевой асимптотики позволяет от-

слеживать на каждом временном шаге положение как ударной волны нагрузки, так и ударной волны поворота;

• на примере антиплоского движения несжимаемой упругой среды предложена неявная конечно-разностная схема расчетов нсодпомер-ных краевых задач динамики деформирования с криволинейными и расходящимися лучами.

Достоверность полученных результатов обоснована последовательным и корректным использованием классических подходов механики деформируемого твердого тела, математической физики, теории особых движущихся поверхностей разрывов, включая геометрические и кинематические условия совместности разрывов производных высших порядков; использованием при конструировании конечно-разностных схем расчетов общепринятых вычислительных процедур и строгих математических выкладок при построении прифронтовых лучевых разложений.

Применение и практическая значимость работы обусловлены внедрением современных вычислительных методик и програмных комплексов в практику расчетов технологических процессов изготовления и упрочнения изделий и элементов конструкций. Предложенные методы позволяют отказаться, в случае выделения поверхностей разрывов, от использования методик, основанных на схемах сквозного счета. Результатом внедрения новых методов расчета существенно нестационарных процессов (ковка, пробивание отверстий и др.) могут оказаться оптимальные технологические режимы ударного воздействия.

На защиту выносятся:

• обобщение лучевого метода построения приближенных решений краевых задач ударного деформирования на неодномерный случай;

• алгоритмическое включение прифронтовых лучевых разложений за поверхностями разрывов деформаций в конечно-разпостпыс схемы расчетов ударного деформирования;

• приближенные и численные решения новых краевых задач динамики несжимаемой упругой среды.

Апробация.Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), Дальневосточной математической школе семинаре им. Золотова (Владивосток, 2001 г., 2003 г.), Международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и математи-ки"(Воронеж, 2002 г.), Региональной научной конференции аспирантов и молодых ученых стран АТР (Владивосток, 2002 г.), XXIX, XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics"(St.Petersburg 2002, 2003), Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003 г.), Международной конференции "Забабахинские научные чтения"(Снежинск, Челябинская обл., 2003 г.), Международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики"(Хабаровск, 2003 г.), объединенных семинарах кафедры математического моделирования и информатики ДВГТУ и лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАГТУ ДВО РАН.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 12 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (117 наименований). Общий объем работы 95 страниц, в том числе 19 рисунков, включенных в текст

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной работе приведен краткий обзор литературы, характеризующий современное состояние исследуемой проблемы. Отмечается заметный вклад в разработке подходов к разрешению проблемы отечественных ученых (Баженов В.Г., Вогульский И.О., Бу-раго Н.Г., Буренин A.A., Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д., Волчков Ю.М., Кондауров В.И., Коробейников С.Н., Кукуджанов В.Н., Куликовский

А.Г., Куропатенко В.Ф., Одиноков В.И., Рагозина В.Е., Римский В.Н., Россихин Ю.А., Садовский В.М., Холодов A.C., Чернынгов А.Д., Шити-кова М.В. и др).

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней обсуждаются особенности постановок краевых задач динамики несжимаемой упругой среды. Данная модель выбирается в качестве простейшей с целыо предложить на таком примере методы приближенного решения краевых задач и алгоритмы численных расчетов с выделением поверхностей разрывов деформаций. В качестве исходной принимается система уравнений:

dut du, . i .

vi = = -Qi + VjU,tj; 2Oij = {Uij + Ujti - UkjUk,,);

dvi . 8W n ,

p-fo = ; = ~P\0,j + [ökj - 2akj); ^

W = (a-ß)h + al2 + 67? - Xhh - nA + dl\ +...; - h = oi,i', h = ocijüji.

Здесь щ, v%—компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды; ati-,, ^-компоненты тензоров деформаций Альманси и напряжений Эйлера-Коши; р—плотность среды; pj—неизвестное добавочное гидростатическое давление; 6tJ— символ Кронекера; W—упругий потенциал (плотность распределения внутренней энергии); ц, а, b, d—упругие постоянные среды. Точками в (1), как всюду в дальнейшем, обозначены слагаемые более высокого порядка по компонентам градиента перемещений, индексом после запятой- дифференцирование по соответствующей пространственной координате.

В рассматриваемом кусочно-изоэнтропичсском приближении для упругой среды соотношения (1) выполняются всюду, где функции, входящие в (1), дифференцируемы. На поверхностях разрывов деформаций законы сохранения приводят к алгебраическим соотношениям, связывающих разрывы производных ut. Наряду с такими ограничениями па разрывы возникают ограничения на разрывы производных щ первого (соотношения Адамара) и более высоких порядков, следующие из гао-

метрии поверхности разрывов и ее кинематики. Они имеют реккурент-ный характер и используются при построении приближенных решений.

Во второй главе рассмотрена одномерная краевая задача о деформации плоского бесконечного массива 0 ^ < Н (Н-жесткая стенка) при его ударном нагружении. Полагается, что начальное деформированное состояние задано зависимостями: щ = щ = 0; щ = 5(х1 — Я); 5^соп81;. Это произвольное одномерное однородное деформированное состояние, так как выполнимость последних соотношений достигается выбором системы координат. Считается, что начиная с момента времени Ь = 0, граница слоя 11 = 0 движется по закону

£М<М) = 0; £/а(0,0 = -5Я + «2о« + ^;

Ъ * (2)

При г>зо ф 0 непосредственно с момента времени < = 0 от граничной плоскости Х\ = 0 отделяются две плоскости £1 и Ег (рис. 2) разрывов деформаций. Действительно, динамические условия совместности разрывов в рассматриваемом случае плоских одномерных удар-

Рис. 1.

ных волн сводятся к соотношениям

оо оо к к

Тв £ 7ктпк + К: - та) И £ £ (-1)'"1 К = 0; (3) к=0 й=0 »=1 7=1

тй = [«ад]; « = 2.3; т = «2,1;

7о = М! 71 = а + Ь + й + х; ■••; а-г] — числовые коэффициенты.

Отсюда следует условие существования плоскостей разрывов, как следствие условий разрешимости системы уравнений (3):

00

X] 1к [т*] т^д = 0. (4)

*-1

-► "а

г »

1/5 = 0.1/3 »1/,'''

Ч2-!(Ц-Н) г,

И] =0 «,-н

Согласно (4) возможны лишь два случая. В первом из них гд = 0. Следовательно, возможен плоскополяризованный разрыв, изменяющий только интенсивность предварительного сдвига. Его плоскость поляризации определяется только предварительными деформациями. Такие плоскости разрывов называются волнами нагрузки. Скорость распространения этой волны определяется зависимостью:

сот2)~х £ 2къ (Я2"-1 - (5 - т) 2к - 1) Г , (5) к=1 )

где 5 = и^д.

Второй возможный случай связан с условием [т\ = 0, т.е. па такой плоскости разрывов не может измениться интенсивность предварительного сдвига, но изменяется его направленность. Скорость распространения такой плоскости разрывов вычисляется следующей зависимостью:

оо ч £

р-'Ё^п1} • (6)

ы о J

Асимптотические лучевые разложения решения задачи при малых Ь ищутся в виде:

в области между и Е2:

в области между Ег и нагружаемой границей:

и.<2)

\д2и2

У2 =

Э[/2

Г№1

<эг2

1Е1

Х2 =

ш 1 -

ДО

ад

21

* = Г*.

и>2 —

д2и3

д?

Коэффициенты Хъ хг, </?ь 4>г, ^ъ ^2 являются неизвестными, но они должны удовлетворять динамическим и кинематическим условиям совместности. Если считать XI и ш\ независимыми, то из условий совместности разрывов можно получить зависимости вида:

- ¿ь ( £х1 £хЛ

Х.+1 -Ф.+1 \Х1, й . Л2 ) ,

/ ¿XI М б'х 1 ¿^Л

- -¿р.... дГ,■^г) ;

Представим функции Х1> в виде:

(9)

XI = XI

—

+

¿=0

+-

«=0

¿XI

¿0)1 ¿г

< + ... = Хю Н—+

<=о

4 + ... = а;ю +

«=о

10

(10)

4 + .

В этом случае скорости ударных волн определяются как функции от времени. Кроме того, функцией по времени становятся перемещения (7) и (8) и, если сравнить их с граничными условиями (2), то можно вычислить все неизвестные в (Ю)постоянные. Но построенное таким способом приближенное решение справедливо только при малых

Описанный метод построения приближенных лучевых решений возможно перенести на случай неодномерного движения среды. Во втором параграфе второй главы рассмотрена задача об антинлоском движении несжимаемой среды, ударно нагружаемой по границе эллиптического отверстия в ней. Для удобства данную задачу будем решать в эллиптической криволинейной системе координат х1, х2, хя. Ограничения

на криволинейные координаты:—а2 ^ я2 ^ —б2 ^ х1 < со. а,6—большая и малая полуоси эллипса в начальный момент времени. Приближенное лучевое решение задачи найдено в виде:

С/з

= (хю+

37ХщХ20 1,11 "2^2--2

1 +

7Xio\ /хс2 )

Г—х*хх

~ 2X20 I t ■

-Х2ХХ

2аЬс(\ + Щ

j Xl\/—X2

' 2 abe

(П)

Здесь с2 = —, vi—компонента вектора нормали к поверхности разры-Р

ва; хм, Х20~константы лучевого разложения, полностью определяемые при малых временах из граничных условий; hal3—поверхностный метрический тензор; у'—поверхностные координаты.

В третьей главе диссертационной работы предложен метод построения неявных конечно-разностных схем расчетов, включающих в себя лучевые разложения решения за поверхностями разрывов деформаций в качестве начальных и краевых условий. Для иллюстрации метода рассмотрим простейшую задачу об ударном нагружении упругого полупространства, не имеющего предварительные деформации.

Считаем, что в области ODE (рис. 2) поле перемещений полностью| определено, т.е. известны константы прифронтового лучевого разложения решения. Линия OD (фронт волны) тоже определена при малых временах. При других временах, когда ударная волна отошла от границы на большое расстояние, константы неизвестны и использовать лучевое разложение нельзя.

Разобьем область г > r¿, 0 < у < G (£) di, сеткой с шагом Дт по безразмерному времени и с шагом Ау по безразмерной пространствен-

Рис. 2.

ной координате. Для реализации схемы считаем, что в области, близко прилегающей к фронту ударной волны (РКБ11С2 см.рис. 2), можно воспользоваться лучевым разложением решения. Для остальных узлов сетки записываются уравнения движения точек среды в конечно-разностной аппроксимации. Это позволяет на каждом временном шаге составить и итерационным методом решить замкнутую систему нелинейных алгебраических уравнений и найти не только перемещения за фронтом ударной волны, но и константы лучевого разложения и определить положение фронта ударной волны нагрузки.

Во втором параграфе третьей главы численно решена одномерная задача о деформации плоского бесконечного массива. На каждом временном шаге были определены положения ударных волн нагрузки и поворота, а также константы лучевого разложения решения (7), (8) Хю, Х20, ^ю, 0>20-

Описанный метод перенесен на случай криволинейных и расходящихся лучей. В третьем параграфе третьей главы получено численное решение задачи об антиплоском движении несжимаемой упругой среды. Считая решение (11) справедливым в области, близко прилегающей к фронту ударной волны, были найдены константы лучевого асимптотического разложения хю, Х20 и определено положение фронта ударной волны нагрузки.

Все результаты представлены в виде графиков. Отметим, что численные конечно-разностные схемы неявные.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получено приближенное решение одномерной задачи нелинейной динамической теории упругости об ударном нагружении плоского несжимаемого предварительно продеформированного упругого массива. На таком примере указаны особенности построения прифронтовых лучевых разложений решений за ударными волнами нагрузки и поворота.

2. Метод построения лучевых разложений решений краевых задач динамики деформируемых сред обобщен на случай криволинейных и расходящихся лучей. Таким способом получено приближенное решение краевой задачи антиплоского движения несжимаемой упругой среды, нагружаемой по границе эллипсоидальной цилиндрической полости в ней.

3. Разработана вычислительная методика, основанная на конструировании неявной конечно-разностной схемы расчетов, включающей в себя приближенное асимптотическое решение в качестве начального и прифронтовую асимптотику для целей выделения поверхностей разрывов. Это позволяет не только находить иоле перемещений в области, удаленной от фронта ударной волны, но и указывать положения фронтов ударных волн на каждом шаге вычислений.

4. С помощью разработанного на такой основе алгоритма были численно решены одномерные задачи об ударном нагружении несжимаемого упругого полупространства и бесконечного продеформированного массива.

5. Вычислительная методика перенесена на случай криволинейных и расходящихся лучей. Численно решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды, нагружаемой ударно по границе помещенной в ней эллипсоидальной цилиндрической полости.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зиновьев П.В., Лебедева Н.Ф.Исследование прифронтовых разложений в конструировании разностных схем расчетов деформирования // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. - Екатеринбург, УрО РАН. - 2001. - С. 277-278.

2. Зиновьев П.В., Лебедева Н.Ф. Использование прифронтовых разложений в конечно-разностной аппроксимации уравнений деформиру-

емых сред // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. - Владивосток: Даль-наука. - 2001. - С.75-76.

3. Буренин А.А., Зиновьев П.В., Лебедева Н.Ф. Использование лучевой прифронтовой асимптотики в конструировании разхностных схем расчетов динамики упругой среды // Международная школа-семинар "Современные проблемы механики и прикладной математики". - Воронеж: ВГУ. - 2003. - С.38-46.

4. Зиновьев П.В. Построение численных решений в динамических задачах ударного деформирования // Материалы региональной научной конференции аспирантов и молодых ученых стран АТР "Молодежь и научно-технический прогресс Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 2002.

- С.83.

5. Zinovyev P.V., Lebedeva N.F. The constructing of difference schemes of calculations in dynamic of elastic medium with use of radial front asymptotics // XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics". Russia. - St.Petersburg: Institute of Problems of Mechanical Engineering. - 2003. - P.672-677.

i

6. Burenin A.A., Zinovyev P.V., Lebedeva N.F. Construction of approximate solution of the non-stationary one-dimensional axially symmetric tasks of dynamics of an incompressible elastic medium // XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics". Russia. -StPetersburg: Institute of Problems of Mechanical Engineering. - 2003.

- P.134-138.

7. Буренин A.A., Зиновьев П.В., Рагозина B.E. Об одной возможности алгоритмического выделения поверхностей разрывов в расчетах ударного деформирования // Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела . Сборник докладов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2003. - С.33-36.

8. Буренин А.А., Зиновьев П.В., Рагозина В.Е Об одной возможности выделения поверхностей разрывов скоростей в численных расчетах ударного деформирования // Забабахинскис научные чтения. Международная конференция. Тезисы - г. Снежинск, Челябинская область: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ. - 8-12 сентября 2003. - С.237.

9. Буренин А.А., Зиновьев П.В., Рагозина В.Е Выделение поверхностей разрывов лучевым методом в задачах динимики упругих сред // Сборник докладов международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики",- Хабаровск: Изд-во ХГТУ - 2003. - Р.64-66.

10. Зиновьев П.В. Использование численных методов для выделения поверхностей разрывов в задачах динамики деформируемых сред // Международная школагсеминар им. акад. Золотона Е.В. Тезисы до-f кладов. (Владивосток, 31 августа-6 сентября). - Владивосток: "Даль-

наука". - 2003. - С.113-114. , 11. Zinovyev P.V., Lebedeva N.F. То a problem of allocation of surfaces

of break in numerical methods dynamics of deformable médium /,/ XXXI Summer School "Advanced Problems in Mcchanics". Russia. -St.Petersburg: Institute of Problems of Mechanical Engineering. - 2003. - P.100.

12. Буренин A.A., Зиновьев П.В. К проблеме выделения поверхностей разрывов в численных методах динамики деформируемых сред // Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию А.Ю.Ишлинского,-Москва: "Физматлит".- 2003.- С. 146-155.

Личный вклад автора. Работы {4, 10] выполнены автором лично. В [1, 2, 3, 5, 6] автор участвовал в постановке задач и выполнял все необходимые численные расчеты. В [4, 7, 8, 8, 9, И, 12] автор участвовал в постановке задач,проведении аналитических'и численных вычислений.

Г) у Г) у ^

РНБ Русский фонд

2006^4 980

и

[

Зиновьев Павел Владимирович

ПОСТРОЕНИЕ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ЗА ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗРЫВОВ ДЕФОРМАЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В АЛГОРИТМАХ РАСЧЕТОВ УДАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Автореферат

Подписано к печати 17.03.2004 г. Усл.п.л. 0.8 Уч.-изд.л. 0.7 Формат 60*84/16. Тираж 100. Заказ 1L

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВ Владивосток, Радио, 5.

о 5 АПР 2004

Введение

Глава 1 Адиабатическое приближение для нелинейной упругой среды. Ударные волны.

1.1 Модель нелинейного упругого тела.

1.2 Ударные волны в несжимаемой упругой среде.

Глава 2 Построение приближенных решений краевых задач динамики несжимаемой упругой среды.

2.1 Ударное нагружение плоского массива.

2.2 Антиплоское движение несжимаемой упругой среды.

Глава 3 Использование прифронтовых лучевых разложений в численных расчетах ударного деформирования.

3.1 Методика расчетов со включением прифронтового лучевого разложения в конечно-разностную схему.

3.2 Модификация предлагаемой методики на случай двух ударных волн, движущихся с близкими скоростями.

3.3 Особенности переноса методики на случай криволинейных и расходящихся лучей.

Импульсное или ударное воздействие на материал используется для изготовления и упрочнения изделий из них (ковка, высокоскоростная штамповка, пробивание точных отверстий в поверхностных конструкционных элементах, сварка взрывом и др.). Скоротечность таких переходных процессов деформирования заставляет, чаще всего, судить о них лишь по эффектам, которые с их помощью достигаются. Математическое моделирование подобных процессов динамики деформирования также наталкивается на значительные трудности. Такие трудности являются не только преградами расчетного характера, связанными с количественным описанием особенностей процесса интенсивного деформирования, но, главным образом, проблемами постановочными. Главной из них оказывается сопутствующее таким процессам принципиально нелинейное явление возникновения и распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн). В отличие от газовой динамики, где это явление наиболее изучено, в деформируемых твердых телах наряду с деформациями изменения объема (как в газе) присутствуют и деформации изменения формы. Особенности процесса распространения последних по деформируемой среде отличны от таковых для объемных деформаций. В общем случае процессы распространения деформаций изменения объема и формы взаимозависимы. В газовой динамике обозначена проблема выделения поверхностей разрывов при численных расчетах гиперзвуковых течений газа, решению которой посвящаются специальные алгоритмические приемы, включаемые в программы расчетов. Взаимосвязанность одновременно распространяющихся деформаций формы и объема не позволяет перенести эти приемы в динамику деформирования, поэтому существующие методики расчетов нестационарных краевых задач динамики деформируемых твердых тел основываются, преимущественно, на схемах сквозного счета. При существенной нестационарности задачи (взаимодействие ударных волн между собой и с преградами) алгоритмическое размывание (искусственная вязкость) волновых фронтов может приводить к недопустимым количественным и даже качественным погрешностям. Простейшей моделью, в рамках которой имеется возможность изучить взаимовлияние таких двух процессов распространения деформаций, является модель нелинейной упругой среды.

Теория упругости, как и другие разделы механики сплошной среды, является нелинейной по своей сути. Началом этой теории послужили работы, выполненные Л. Эйлером, Г. Кирхгофом, О. Коши, Д. Грином и другими. Однако развивалась она главным образом как линейная теория (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. В основном исследования были направлены на разработку математического аппарата для решения краевых задач. Весомый вклад в развитие этой области науки внесли отечественные ученые Г.В. Колосов, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савин, С.К. Соболев, М.А.

Лаврентьев.

Первой работой, полностью посвященной именно нелинейной теории упругости, является работа Ф.Д. Мурнагана [111]. Детальное изучение основ нелинейной теории упругости принадлежит В.В. Новожилову [71], М.А. Био [103], Л.И. Седову [81, 82, 83], А.А. Ильюшину [48], Г. Каудереру [50], В. Прагеру [73], И.И. Гольденблату [33], А. Грину и Д. Адкинсу [34], Л.А. Толоконникову [85], Е.М. Черных [93, 94, 95], А.И. Лурье [65, 66], Д.Д. Ивлеву [46, 47], К. Трусделу [88], Л. Трелоару [87], Г.С. Тарасьеву [84]. Здесь не отмечены работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов отмечена в работе В.В. Новожилова, Л.А. Толоконникова и К.Ф. Черных [72]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности лежит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [15, 37], нелинейная акустика [39, 78] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем в обзоре уделим внимание последней проблеме.

К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [100, 101, 102], Чжу БоТе [105, 106] и Е.М. Черных [93, 94, 95]. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в недеформированной упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В дальнейшем эту задачу подробно рассмотрел Д. Б. Карп [49]. В [102] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения и при отсутствии предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [10], в которой проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских ударных волн показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде. Любое первое исследование всегда связано с допущениями так или иначе упрощающие задачу. Так и в этом случае были наложены ограничения на деформированное состояние перед ударной волной (среда в работах Д. Бленда недефор-мирована). Однако это ни в коем случае не умаляет заслуги Д. Бленда в развитии нелинейной теории упругости.

В отечественной науке также проводились подобные исследования. Первыми из них следует отметить работы Е.М. Черных [93, 94, 95]. Им рассмотрены условия существования ударных волн [93] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающий большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси, при этом учитывая нелинейность в кинематических соотношениях. Развитием данного направления исследования послужили работы А.Д. Чернышова [96] и Г.Ф. Филатова [89, 90, 91]. В них получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.

В семидесятые-восьмидесятые годы были получены новые важные результаты, причем их отличием от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения, рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [35]. Важными следует признать работы A.A. Буренина и А.Д. Чернышова [26, 27], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемплена для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [5, 29, 35, 36, 40, 66, 89, 90, 91, 101, 108, 110, ИЗ, 115]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости.

Чжу-Бо-Те [105, 106] рассмотрел распространение ударных волн в случае несжимаемой упругой среды. Им была впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [17, 59, 60, 61, 63, 74, 75, 107].

Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова [55, 56, 57, 58]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюционности разрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика по постановке краевых задач с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [114].

Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [109] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [97] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской деформации. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г.И. Быковцевым и его учениками [8Г 9]. В [80] изучаются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [92] рассматриваются материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию.

Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 24, 25, 26, 28, 80, 38, 49, 57, 59, 60, 94, 18], в которых рассматривались автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод. Одним из вариантов метода возмущений является метод последовательного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. На основе решения эволюционного уравнения квазипростых волн У.К. Нигул и Ю.К. Энгельбрехт исследовали [99, 67, 68, 70] возможность и время возникновения ударных одномерных волн при непрерывных воздействиях. Метод сращиваемых асимптотических разложений на основе решения эволюционных уравнений, предложен A.A. Бурениным и обобщен В.Е. Рагозиной в [74]. В [75] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.

Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Прифронтовые асимптотики можно построить, исходя из динамических, кинематических и геометрических условий совместности на движущихся поверхностях разрывов. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Адамара. Дальнейший вклад внесли Т. Томас [86], Г.И. Быковцев [7] и Д.Д. Ивлев [47]. Метод построения асимптотических разложений решения краевых задач динамики называется авторами лучевым [7] по аналогии с методом коротковолновых асимптотик [6]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают реккурентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Такой подход был независимо и в различных формах предложен Г.И. Быковцевым и Д. Ахенбахом, Д. Редди в шестидесятых годах прошлого века. В дальнейшем Г.И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [7, 8, 9, 40, 64, 77, 98]. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в работе Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [112]. Эту обзорную статью они посвятили светлой памяти своего учителя Г.И. Быковцева.

При численном решении нестационарных задач основные проблемы возникают тогда, когда необходимо рассчитывать разрывные решения. В настоящее время существует два основных подхода к расчету скачков решения: схемы с выделением разрыва и методы сквозного счета. Метод выделения разрыва, позволяющий рассчитывать разрывные решения без размывания скачков, был предложен С.К. Годуновым и основан на использовании подвижных сеток. В расчетной области, с помощью известного соотношения на скачке, выделяется поверхность разрыва. Течение за фронтом является гладким и расчет его по явным или неявным схемам не вызывает больших проблем. Метод широко и эффективно используется при расчете газодинамических течений, для которых характерно присутствие различных поверхностей разрыва, положение и конфигурация которых неизвестны.

При выборе численной схемы сквозного счета для исследования распространения ударных волн и их взаимодействия нужно отдать предпочтение схемам повышенного порядка точности, позволяющим более точно описывать картину течения, экономить время решения задач на ЭВМ. Однако, линейные разностные схемы второго и выше порядка аппроксимации немонотонны: возникающие при расчете разрывных решений нефизичные осцилляции существенно искажают картину течения. Помехи, вызванные немонотонностью, для ряда задач принципиальны. Это приводит к необходимости разработки специальных способов борьбы с ними.

Одним из способов подавления нефизичных эффектов является процедура введения в дифференциальные уравнения дополнительных членов, называемых искусственной вязкостью. Другой основан на процедуре монотонизации, представляющую собой подстройку численного алгоритма в зависимости от характера решения на предыдущем временном слое. В результате строится нелинейная разностная схема, сохраняющая высокий порядок точности. К этому семейству методов можно отнести алгоритмы, предложенные И.О. Вогульским [11,12,13].

С.К. Годунов предложил метод для расчета одномерных и многомерных задач газовой динамики. На каждом слое решение рассматривается как кусочно-постоянное, а для вычисления некоторых вспомогательных величин на промежуточных этапах используются формулы распада произвольного разрыва. На основе метода Годунова и его модификаций получено решение ряда задач динамической теории упругости как в плоской геометрии, так и в криволинейных системах координат [76]. Существенная сложность определяющих уравнений твердого тела и специфика этих задач не позволяют непосредственно переносить результаты из области гидромеханики на задачи твердого тела. Подробный обзор и анализ различных подходов к решению динамической теории упругости и пластичности можно найти в работе Афанасьева С.Б. и Баженова В.Г. [3]. Существующие методы решения задач динамики твердых тел можно представить в виде трех направлений: методы конечных элементов, характеристические и сеточно-характеристические методы, сеточные или конечно-разностные методы.

Под методами конечных элементов понимают подходы, основанные на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами на основе механики в вариационной форме, минуя стадию формулировки краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемых твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы Афанасьева С.Б., Баженова В.Г., Кочеткова A.B. и др. [4], Вогульского И.О. [14], Бураго Н.Г. и Кукуджанова В.Н. [16], Коробейникова С.Н. [54].

Как сочетание и обобщение методов конечных элементов; и вариационно-разностных можно упомянуть дискретно-вариационный метод, разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композиционных средах. Характеристические и сеточно-характеристические методы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный характеристический метод. Среди работ, посвященных применению сеточно-характеристических методов для решения динамических задач деформирования упругих и упругопластических тел, можно указать работы Кондаурова В.И. и Кукуджанова В.Н. [51], Кондаурова В.И., Петрова И.Б., Холодова A.C. [52, 53].

Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это наиболее разработанный и часто используемый способ численного интегрирования задачи. Алгоритм представляет собой пересчет известного решения с нижнего слоя по времени (начиная с известных начальных условий) на следующий верхний слой. Известны и многослойные методы, когда в вычисление решения на некотором шаге участвуют несколько предыдущих слоев.

В зависимости от того, дает ли такое вычисление непосредственно значения искомых величин на верхнем слое или же для их определения необходимо решать систему перевязанных между собой уравнений, различают явные или неявные схемы.

В пользу применения неявных схем при решении динамических задач говорит тот факт, что в большинстве своем неявные схемы абсолютно устойчивы, что позволяет вести-интегрирование с большим шагом по времени. Кроме того, им может быть отдано предпочтение при решении задач с сильной неоднородностью рассчитываемого течения, так как использование в этом случае явных схем связано с большим различием величины шага интегрирования в разных точках области, что приводит к необходимости использования малого шага по времени. Однако, при расчете волновых процессов с большими градиентами, на шаг по времени все равно возникают ограничения, вызванные соображениями точности, которые не позволяют выбирать его достаточно крупным. Сеточным методам посвящены работы Вогульского И.О., Волчкова Ю.М., Иванова Г.В., Кургузова В.Д. [30, 31, 32]. В [79] Садовский В.М. провел численное моделирование разрывных решений задач динамики упругопластических сред на основе теории вариационных неравенств. Преимуществом такого подхода является то, что единообразно формулируются в виде вариационных неравенств как ограничения, содержащиеся в определяющих соотношениях упруго-пластических сред, так и кинематические ограничения на контактных границах. В [79] предложен ряд численных алгоритмов решения задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств. Полный обзор работ, посвященный численному моделированию динамических задач, приводится в [45].

В настоящей работе предлагается использовать специально построенные прифронтовые лучевые разложения для расчета краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Она состоит из трех глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней обсуждаются особенности постановок краевых задач динамики несжимаемой упругой среды. Выписываются условия существования ударных волн, вычисляются скорости их распространения в зависимости от предварительных деформаций и характера производимого воздействия.

Во второй главе для решения краевых задач динамики деформирования предлагается лучевой метод. Таким образом было получено приближенное решение краевой задачи ударного деформирования плоского предварительно продеформированного массива. Наличие предварительных деформаций вызывает наряду с ударными волнами нагрузки существование ударных волн поворота, которые вносят специфику в построение лучевых разложений. Методика построения приближенных решений краевых задач ударного деформирования лучевым методом обобщена на случай криволинейных и расходящихся лучей. В качестве примера применения данной обобщенной методики получено приближенное решение краевой задачи об антиплоском движении несжимаемой упругой среды, ударно нагружаемой по границе эллипсоидальной цилиндрической полости в ней.

В третьей главе указаны алгоритмические приемы использования построенных прифронтовых асимптотик для целей выделения поверхностей разрывов в численных расчетах ударного деформирования. Построены неявные конечно-разностные схемы расчетов ударного деформирования несжимаемого плоского упругого массива с предварительными деформациями и без них, которая за счет включения в них прифронтовых лучевых асимптотик позволяет отслеживать на каждом временном шаге положения как ударной волны нагрузки, так и ударной волны поворота. На примере антиплоского движения несжимаемой упругой среды предложена неявная конечно-разностная схема расчета неодномерных краевых задач динамики деформирования с криволинейными и расходящимися лучами.

В главах используется двойная нумерация формул, первый номер-номер главы. На протяжении всей главы нумерация сквозная, рисунки и графики помещены в тексте. При численных расчетах использовались стандартные процедуры, поэтому объяснение методов и программ отсутствует.

Заключение

В первой главе:

1. Рассмотрены основные соотношения нелинейной динамической теории упругости.

2. Выписаны динамические, геометрические и кинематические условия совместности разрывов.

3. Указаны условия, при которых возможно существование ударной волны нагрузки и ударной волны поворота.

Во второй главе:

1. Решена задача об ударном нагружении несжимаемого плоского массива, имеющего предварительные деформации. На основе лучевого метода было найдено приближенное асимптотическое решение в области за фронтом волны поворота.

2. Для достаточно малых времен получены выражения для скоростей распространения ударных волн нагрузки и поворота.

2. Решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды. Найдено поле перемещений за фронтом ударной волны нагрузки и вычислена скорость этой ударной волны.

В третьей главе:

1. Разработана вычислительная методика, основанная на конструировании неявной конечно-разностной схемы расчетов, включающей в себя приближенное асимптотическое решение в качестве начального. Это позволяет не только находить поле перемещений в области, удаленной от фронта ударной волны, но и указывать положения фронтов ударных волн на каждом шаге вычислений.

2. С помощью описанного алгоритма были численно решены задачи об ударном нагружении упругого полупространства как имеющего, так и не имеющего предварительные деформации.

3. Вычислительная методика перенесена на случай криволинейных и расходящихся лучей. Численно решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды.

1. Агапов И.Е., Белогорцев A.M., Буренин A.A., Резунов A.B. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно упругого материала // Прикл. механика и техн. физика. - 1989. -№. - С. 146-150.

2. Агапов И.Е., Буренин A.A., Резунов A.B. О соударении двух нелинейно-упругих тел с плоскими границами //В кн. Прикладные задачи механики деформ.сред. Владивосток: ДВО АН СССР. -1990. - С.206-215.

3. Афанасьев С.Б., Баженов В.Г., Кочетков A.B. и др. Пакет прикладных программ "Динамика-1". // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьковский гос. ун-т. - 1986. - Вып. 33. - С. 21-29.

4. Багдоедов А.Г., Мовсесян JI.A. К вопросу определения ударной волны в нелинейных задачах теории упругости // Изв. АН Арм. ССР1968. -21, т. С.19-24.

5. Бабич В.М. Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. // М.: Наука. 1972. - 456с.

6. Бабичева JI.A., Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. Лучевой метод решения динамических задач в упруговязкопластических средах // ПММ. Т.З, вып.1. - 1973. - С.145-155.

7. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. К исследованию нестационарных поверхностных волн в нелинейно-упругих средах // Прикладная механика. 1981 - Т. 17, №12. - С.27-33.

8. Бестужева Н.П., Дурова В.Н. Волны разрывов при конечных деформациях упругих материалов // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1983. - №2. - С.102-108.

9. Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. - 1972. - 183с.

10. Вогульский И. О. Монотонная схема второго порядка решения задач динамики упругих тел. // М. 1986. - Деп. в ВИНИТИ. - 1986 -№64.

11. Вогульский И. О. Об одном семействе явных монотонных схем решения задач динамики упругих тел. Красноярск: ВЦ СО АН СССР. - 1986. - С. 42-54с.

12. Вогульский И.О. Построение монотонной схемы решения задач для гиперболических уравнений. // Красноярск, Препринт ВЦ СО АН СССР 1982.-№26.

13. Вогульский И.О. Повышение точности решения плоских динамических задач упругости в рамках аппроксимации линейными полиномами.// М. 1986. - Деп. в ВИНИТИ. - 1986 - №65.

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. // М.: Физматгиз. 1961.

15. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ "АСТРА". // М., Препринт/ АН СССР. Институт проблем механики -1988. №326.

16. Буренин A.A. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства // Прикл. механика. 1985. - Т. 21, №5. - С.3-8.

17. Буренин A.A., Дудко О.В., Манцыбора A.A. О распространении обратимых деформаций по среде с накопленными необратимыми деформациями. // ПМТФ. 2002. - Т. 43.№5. - С.162-170.

18. Буренин A.A., Зиновьев П.В. К проблеме выделения поверхностей разрывов в численных методах динамики деформируемых сред // Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию А.Ю.Ишлинского.- Москва: "Физматлит".- 2003.- С. 146-155.

19. Буренин A.A., Лапыгин В.В. Автомодельная задача об ударном на-гружении упругого полупространства // Прикл. матем. и механика. 1979. - Т. 43. Вып. 4. - С.722-729.

20. Буренин A.A., Лапыгин B.B. Об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от плоской жесткой границы нелинейной упругой среды. Прикл. матем. и техн. физика. -1985. - Вып. 4. т - С.125-129.

21. Буренин A.A., Лапыгин В.В., Чернышов А.Д. К решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости. // В кн.: Нелинейные волны деформации. Матер, межд. симп. -Таллин. 1978. - Т.2. - С.25-28.

22. Буренин A.A., Нгуен Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн при плоской конечной деформации. // ПММ. -1973. Т.37. Вып. 5. - С.900-904.

23. Буренин A.A., Шаруда В.А. Одномерный переходный волновой процесс деформации при ударном нагружении упругого полупространства. // Изв.АН СССР. Механика тв. тела 1984. - №1. — С.40-44.

24. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. // Киев: Наукова думка. 1981. - 216 с.

25. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики. // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск. - 1984. - Вып.66. -С.60-68.

26. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. // М.: Наука. 1969. - 336 с.

27. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. // М.: Мир. 1965. - 456 с.

28. Гринфельд М.А. Распространение слабых и ударных волн в нелинейно-упругой среде // В кн. Нелинейные волны деформации. Матер, межд. симп. Таллин 1978. - Т.2. - С.54-57.

29. Гринфельд М.А. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в нелинейно-упругом материале. // ПММ. 1978. -Т.42. Вып.5. - С.883-898.

30. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. // Киев: Наукова думка. 1973. - 273 с.

31. Дудко О.В. Автомодельная задача об одномерном ударном на-гружении упругого массива с предварительными деформациями и микронарушениями. //В сб. Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ - 1996. - Вып. 117. Сер.5. -С.17-20.

32. Зарембо JT.K., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. // М.: Наука. 1966. - 519 с.

33. Заварзина H.A., Филатов Г.Ф. Об ударных волнах в деформированной упругой среде. //В кн. Нелинейные волны деформации. Матер, межд. симп. Таллин. 1978. - Т.2. - С.70-73.

34. Зиновьев П.В. Использование численных методов для выделения поверхностей разрывов в задачах динамики деформируемых сред // Международная школа-семинар им. акад. Золотова Е.В. Тезисы докладов. (Владивосток, 31 августа-6 сентября). Владивосток:

35. Дальнаука". 2003. - С.113-114.

36. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Вогульский И.О. и др. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. // Новосибирск: Изд-во Сиб. унив. 2002. - 352 с.

37. Ивлев Д.Д. К построению теории упругости. // Докл. Ан СССР. -1961. Т. 138. Ш. - С.1321-1324.

38. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющего пластического тела. // М.: Наука. 1971. - 231 с.

39. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. Изд. 2-ое испр. и до-полн. // М.: Изд-во МГУ. 1978. - 287 с.

40. Карп Д.Б. О сферической ударной волне постоянной интенсивности в изотропном упругом пространстве. // В сб. Прикладные задачимеханики деформируемых сред. Владивосток. 1991. - С.230-243.

41. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Гос. изд-во иностр. лит. -1961.- 777 с.

42. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упругопластиче-ской среды с конечными деформациями. // Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР. -1978. - С.85-121.

43. Кондауров В.И., Петров И.В., Холодов A.C. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упруго-пластическую преграду. // ПМТФ.Динамика сплошной среды. -1984. №4. - С. 132-139.

44. Кондауров В.И., Петров И.Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения. // Докл. АН СССР. 1985. - Т.285. - №6. - С. 13441347.

45. Коробейников С.Н. Многоцелевая вычислительная программа по решению задач линейной теории упругости. // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск. 1986. - Вып. 75. - С.78-89.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Б.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропныхнелинейно-упругих средах. ПММ. - 1982. - Т. 44. Вып. 3. - С. 523-534.

47. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде. // ПММ. 1982. - Т. 46. Вып. 5. - С.831-840.

48. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства. // ПММ. 1985. - Т. 49. Вып. 2. - С.284-291.

49. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны, возникающие при изменении напряжений на границе упругого полупространств. //В кн. Вопросы нелинейной механики сплошных сред. Таллин: Валгус. 1985. - С. 135-145.

50. Лебедева Н.Ф. Одномерная автомодельная задача распространения ударных возмущений по несжимаемой упругой среде // В сб.: Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1993. - Вып. 3. Сер. 5. - С.30-33.

51. Ленский Э.В. Об ударной адиабате плоского продольно-сдвигового разрыва. // Вестник МГУ. Сер. матем. и механика. 1981 - №1. -С.94-96.

52. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно-упругой среде. // Вестник МГУ. Сер. матем. и механика. 1983 - №3. - С.80-86.

53. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории нелинейной упругости. // М.: Изд-во МГУ. 1983. 71 с.

54. Лимарев А.Е., Мешков С.И., Чигарев A.B. К расчету интенсив-ностей волновых фронтов в неоднородной вязко-упругой среде. // МДТТ. Куйбышевский ун-т. 1975. - Вып. 1. - С.104-107.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. // М.: Наука. 1980. -512 с.

56. Лурье М.В. Использование вариационного принципа для изучения распространения поверхностей разрыва в сплошной среде. // ПММ. 1969. -Т. 33. Вып. 4. - С.693-699.

57. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел. // Таллин: Изд-во АН ЭССР. 1972. -174 с.

58. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Возникновение ударных волн в упругом пространстве при одномерных нелинейных переходныхволновых процессах, возбуждаемых непрерывным воздействием. // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №5. - С.69-82.

59. Нигул У.К. Эхо-сигналы от упругих объектов. // Таллин: Валгус. -1976. Т. 1. - 325 с.

60. Новацкий В. Теория упругости. // М.: Мир. 1975. - 872 с.

61. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.// М.: Го-стехиздат. 1948. - 211 с.

62. Новожилов В.В., Толоконников JI.A., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. //В кн.: Механика в СССР за 50 лет. -М.:Наука. 1972. Т.З. - С.71-78.

63. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Гос. изд-во иностр. лит. - 1963. - 311с.

64. Рагозина В.Е. Об одном подходе в использовании метода возмущений для построения решения нелинейных динамических задач с ударными волнами. // В сб.: Проблемы естествознания и производства. -Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1995. Вып. 115. - С. 17-20.

65. Римский B.K. Сравнительная характеристика численных методов решения контактных задач динамической теории упругости. // Математические методы в механике. Кишинев. - 1980. - С.98-110.

66. Россихин Ю. А. Лучевой метод решения динамических задач в упруго-вязко-пластических телах. // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. -т. - С.175-179.

67. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.:Наука - 1975. - 288 с.

68. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упруго-пластических сред. // М.: Наука. Физматлит. 1997.

69. Свешникова Е.И. Квазипоперечные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации. // ПММ. 1983. -Т. 47.Вып.4. - С.673-678.

70. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. - 1977. - 440 с.

71. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. // М.: Физмат-гиз. 1962. - 284 с.

72. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. Изд-ие 2-ое испр. и дополн. // М.: Наука. 1973. - Т.1. 536 с. - Т.2. 584 с.

73. Тарасьев Г.С. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. // Прикл. механика. -1971. Т.7.№2. - С.26-33.

74. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. // М.: Высшая школа. —1979. 318 с.

75. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. // М.: Мир. 1964. - 308 с.

76. Трелоар Л. Физика упругости каучука. // М.: Гос. изд. иностр. лит. 1953. - 240 с.

77. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. - 1975. - 592 с.

78. Филатов Г.Ф. Об устойчивости сильных разрывов в нелинейной теории упругости. // Сб. научн. трудов фак-та ПММ. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1971. - Вып.1. - С.62-64.

79. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругости. // Сб. научн. трудов фак-та ПММ. Воронеж: Изд-во ВГУ. — 1971. Вып.2. - С.137-142.

80. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде. ПМТФ. - 1972. -Т.3. - С. 186-188.

81. Хан X. Теория упругости.// М.: Мир. 1988. - 344 с.

82. Черных Е.М. О распространении волн в упругой среде с конечными деформациями. // Изв. АН СССР. МТТ. 1967 - №. - С.74-79.

83. Черных Е.М. Автомодельная задача об ударном нагружении нелинейно-упругого материала. // ПММ. 1967. - Т. 31. Вып.5. -С.793-799.

84. Черных Е.М. Термодинамические соотношения на поверхности сильного разрыва в упругой среде при конечных деформациях. // Докл. АН СССР. Т. 177. №3. - С.546-549.

85. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях. // ПММ. -1970. Т.34. Вып. 5. - С.885-890.

86. Чугайнова А.П. Стационарные квазипоперечные простые и ударные волны в слабоанизотропной нелинейно-упругой среде. // ПММ. 1991. Т.55. Вып. 3. - С. 486-492.

87. Шаталов А.Г. Разрывные решения в связанной задаче термоупругости. // Механика деформ. сред. Куйбышевский ун-т. 1979. -С.85-90.

88. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. // М.: Наука. 1981. - 256 с.

89. Bland D.R. Dilatational waves and shocks in large displacement isentropic dynamical elasticity. //J. Mech. Phys. Solids. 1964. -V.12. - P.245-267.

90. Bland D.R. Finite elastodynamics. // J. Inst. Mach. Applic. 1966. -P.327-342.

91. Bland D.R. Recent progress in Applied Mechanics, the folke odquist volume. // Stochholm 1967. - P.91-124.

92. Biot M.A. Mechanics of incremental deformation. // New York: Willey. 1965. - 504 p.

93. Chy Boa-Teh. Finite amplitude waves in incompressible pefetly elastic materials. // J. Mech. Phys. Solids. 1964. -V.12. -N.l. - P.45-57.

94. Chy Boa-Teh. Transverse chock waves in incompressible elastic solids. // J. Mech. Phys. Solids. 1967. - V.15. - N.l. - P.l-14.

95. Collins W.D. One dimentional non-linear wave propagation in incompressible elastic materials. // Quart. J. Mech. Appl. Mach. -1966. V.19. - P.236-241.

96. Davison L. Propagation of plane waves of finite amplitude in elastic solids. // J. Mech. Phys. Solids. 1966. -V.14. - P.249-270.

97. Haruda A. On the solution to the riemann for arbitrary hyperbolic system of consevation laws. // Publ. of the Inst, of geophysics of Polich academy of sciences. -Sep A. -(98). -Warszava. 1976. - 124 p.

98. Hsu J.C.K., Clifton R.J. Waves of combined stress. //J. Mech. Phys. Solids. 1974. - V. 22. - N 4. - P.255-266.

99. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. // New-York: Willy: London: Chapman. 1951. - 140 p.

100. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Ray method for solving dynamic problems connected with propagation of wave surfaces of strong and weak discontinuities. // Appl. Mech. Rev. V. 48. - №1. - 1995. -P. 1-39.

101. Ting T.C.T. Propagation of diccontinnities of all orders in nonlinear media. // In: Rec. fdf. in Eng. Sci./ Chang T.S. Massachusetts: Sci. Publ. Iuc. 1975. -5. - P.101-110.

102. Yogchi Li., Ting T.C.T. Plane waves in simple elastic solids and discoutinuos dependence of solution on boundary conditions. // Ins. J. Sol. Struct. 1983. - V. 19. - P.989-1008.

103. Wesolovski Z. Shock wave in non-linear elastic material. // In: XVII Pol. Conf. Szlyrk. 1975. Abstr. - S. 1., S.a. - P.225.