Метод построения лучевых разложений решений краевых задач нелинейной динамической теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГЕРАСИМЕНКО Екатерина Андреевна

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 МАП 2007

Владивосток - 2007

003060108

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Буренин Анатолий Александрович

Официальные оппоненты

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Гузев Михаил Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент Зиновьев Павел Владимирович

Ведущая организация

Воронежский государственный университет

Защита состоится «//» мая 2007 года в /3 часов ЗС минут на заседании диссертационного совета ДМ 005 007 02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу 690041, г Владивосток, ул Радио, 5, аудитория 510, тел/факс(8-4232) 310452, E-mail dm00500702@iacp dvo ru, URL http //www iacp dvo ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан « Л » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Дудко О В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации Нестационарные задачи динамики деформирования в своей основе являются принципиально нелинейными, поскольку с необходимостью сопровождаются таким нелинейным эффектом, как возникновение и распространение поверхностей разрывов деформаций (ударных волн) Следовательно, для таких задач необходим соответствующий математический аппарат Для деформируемых твердых тел, в отличие от газовой динамики, ситуация еще более усложняется необходимостью изучения двух взаимодействующих процессов распространения граничных возмущений распространения объемных деформаций и деформаций изменения формы Развитие приближенных методов имеет здесь, наряду с их самоценностью, еще и важное значение в качестве алгоритмической основы численных исследований Эти обстоятельства предопределяют актуальность исследования, проведенного в диссертации, поскольку в нем развивается аналитический метод построения разложений решений за поверхностями разрывов, называемый лучевым методом

Лучевой метод основывается на теории условий совместности разрывов Эти ограничения на возможные разрывы диктуются законами сохранения, геометрией и кинематикой движущейся по деформированной среде поверхности разрывов На наличие геометрических и кинематических ограничений на возможные разрывы указывал еще Дж Адамар, Т Томасом были записаны такие ограничения для производных функций, терпящих разрыв Позднее Г И Быковцевым и его учениками была развита теория рекуррентных соотношений на разрывы производных любого порядка по времени и пространственной координате, что и позволило предложить им лучевой метод построения приближенных решений, который развивается в настоящей работе Таким образом, иелью настоящей диссертации является развитие лучевого метода решения существенно нестационарных задач нелинейной динамики деформирования на основе обобщения теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях в нелинейно-упругих средах

Вытекающие из заданной цели задачи, таким образом, связаны с построением замкнутой теории условий совместности разрывов при задании движения деформируемой среды в произвольной криволинейной системе координат (обобщением теории Г И Быковцева и его учеников) и на такой основе с развитием лучевого метода К задачам настоящей диссертации отнесем и иллюстрацию предлагаемого приближенного метода на примерах решения новых краевых задач нелинейной динамической теории упругости

К основным результатам диссертации относятся

- завершенная теория рекуррентных условий совместности разрывов функций и их производных при задании движения деформируемой среды в произвольной криволинейной системе координат,

- развитие на такой основе приближенного метода построения лучевых разложений за поверхностями разрывов деформаций,

- решение ряда конкретных краевых задач динамики деформирования нелинейно-упругой среды

Научная новизна результатов диссертационной работы связана с

- завершением теории рекуррентных условий совместности разрывов функций и их производных до любого порядка на движущихся поверхностях, потребовавшей новых корректных определений понятий дельта-дифференцирования по времени,

- обобщением методики построения лучевых разложений на случай криволинейных и расходящихся лучей,

- предложением использовать в разложениях интенсивностей разрывов сведений об их зависимости от кривизны фронта,

- решением новых краевых задач нелинейной динамической теории упругости Достоверность полученных результатов обоснована использованием классических подходов механики деформируемого твердого тела, методов математической физики и современной геометрии

Практическая значимость результатов диссертационной работы обусловлена насущной необходимостью технологической практики в математическом аппарате, который послужил бы надежной алгоритмической основой для расчетов процессов интенсивного и импульсного или ударного деформирования в технологиях изготовления и упрочнения изделий и элементов конструкций

Апробаиия результатов диссертации Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийской математической школе-семинаре имени академика Е В Золотова (Владивосток, 2003, 2004, Хабаровск, 2005), Научно-технической конференции «Вологдинские чтения» (Владивосток, 2003), Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В П Мясникова (Владивосток, 2006), Fifth, Sixth International Young Scholars' Forum of the Asia - Pacific Region Countries (Vladivostok, 2003, 2005), Всероссийской конференции «Аналитические методы в газовой динамике» САМГАД - 2006 (Санкт-Петербург, 2006) Диссертация в целом доклады-

валась на семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН под руководством д ф -м н , профессора А А Буренина

Публикаиии по работе По теме диссертации опубликовано 14 работ, список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из /3? наименований Общий объем работы страниц, в том числе рисунка, включенных в текст

Введение к работе содержит краткий обзор литературы, посвященной проблемам моделирования волновых процессов в нелинейно-упругих средах при импульсных и ударных воздействиях Большое внимание уделено развитию лучевого метода, одному из наиболее эффективных в исследовании сингулярных поверхностей, являющихся необходимым элементом в постановке таких задач Отмечается вклад в развитие метода Алексеева А С , Ахенбаха Дж , Бабича В M , Бестужевой H П , Бул-дырева В С , Буренина А А , Быковцева Г И , Вервейко А Д , Власовой И А , Дуровой В H , Зиновьева П В , Кукуджанова В H , Молоткова И А , Подильчука 10 H , Росси-хина 10 А , Рубцова Ю К, Хилла Р , Шагалова А Г , Шитиковой M В , Reddy D , Sun С , Truesdell С и др Здесь же представлено содержание диссертации по главам

В первой главе рассматривается модель нелинейно-упругой среды, приводятся некоторые необходимые сведения из тензорного анализа в евклидовом пространстве и соотношения на поверхностях сильных разрывов Изложение материала проводится в криволинейной пространственной системе координат Общая система уравнений, описывающая динамическое поведение нелинейно-упругой среды в переменных Эйлера, имеет вид

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

yl=ul + u[jvJ, cr^pfv'+v;,^),

v' + vltJvJ

О , k I P dW ( , 2atJ = m, + Uj>( -uklu, (Jj =--- ôk -2ak ),

PO daJk v '

0)

h = aU I2 = a'Jai> h = a'jaiai'

IV = — 1\+ ///2 +11\12 + т!х + л/3 + + Г)1\1г + к1\1з + %1\ + ,

Ал2

где и', V1 - компоненты векторов перемещений и скорости точек среды, ау и ег'-' -компоненты тензоров деформаций Альманси и напряжений Эйлера-Коши, р и -плотность среды в текущем и свободном состоянии, ^(/1,/2,/з) - упругий потенциал изотропной среды, Л, ц, I, т, п, 77, к, % - упругие модули Для несжимаемой среды (р = Ро) лишь два инварианта /], /2 оказываются независимыми, а в формулу Мурнагана следует ввести неизвестную функцию добавочного гидростатического давления

На ударных волнах должны выполняться динамические условия совместности, как следствия интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии

где индекс "+" означает величину, вычисляемую непосредственно перед поверхностью разрыва 2(7), О - скорость Е(7) в направлении ее единичной нормали с компонентами V1, е - плотность внутренней энергии, - компоненты вектора теплового потока В дальнейшем рассмотрим движение поверхности , заданной урав-

дальнейшем греческие индексы принимают значения 1,2 Кроме (2), разрывы функций и их производных на поверхностях разрыва связаны геометрическими и кинематическими условиями совместности Однако существующая теория таких ограничений изложена в декартовой пространственной системе координат, в то время как многие задачи эффективнее решаются в пространственных криволинейных системах координат, выбор которых диктуется конкретными краевыми условиями С целью получения аналогичных условий совместности для произвольной криволинейной системы координат потребовалось, прежде всего, обобщение операции 6 - дифференци-

(2)

нениями х' = х'(у\у2,(), каждая точка которой движется в направлении своей нормали с сохранением постоянных значений у^, у2, так что х'(у^ ,1) = йу1 Здесь и в

рования тензорного поля, которая определяется по-разному в зависимости от типа тензорного поля (пространственный, поверхностный или смешанный) Но в каждом случае 8 • производная должна определять тензорный объект, для предельного перехода от криволинейных координат к декартовым 5 -производные не должны противоречить друг другу

Приведем, к примеру, следующую операцию 8 -дифференцирования для смешанного тензора

На основании правил подобных (3) получены дифференциальные соотношения, отражающие динамику изменения геометрических характеристик поверхности касательных векторов и вектора нормали, первой, второй и третьей квадратичных форм Рассмотрены некоторые свойства 8 -производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т д Условия совместности разрывов первого порядка в криволинейной системе координат выражаются формулами

где / — компоненты некоторого тензорного поля, определенного в рассматриваемой области и, в частности, на 2(<) Также в первой главе получены рекуррентные формулы для разрывов производных к -го порядка, которые здесь не приводим только в силу их громоздкости Отметим, что область применения полученных формул не ограничивается тематикой настоящей работы Они имеют универсальный характер в евклидовом пространстве и могут применяться при решении динамических задач со слабыми волнами или же для задач, включающих стационарные поверхности разрывов и т д

Вторая глава посвящена изучению закономерностей распространения одномерных цилиндрических ударных волн в нелинейно-упругих средах Из литературы хорошо известны описания таких процессов для плоских волн Важным результатом здесь явилось разделение фронта деформаций изменения формы на квазипоперечную ударную волну и нейтральную ударную волну (волну круговой поляризации) Оказывается, что это справедливо только для данного идеального случая, наличие кривизны

(3)

волнового фронта не допускает такого эффекта Опираясь на результаты, полученные в первой главе, проведем изучение цилиндрических волн в наиболее удобной здесь

системе координат х' = г, х2 = ф, X* = г В рассматриваемом случае иг=иг(/",0. иф = Иф(г,<), и2 = и2(г,1) Основной характеристикой разрыва считаем волновой

вектор с компонентами г' которые для нашей задачи в физических коор-

динатах принимают вид

г л Г т г 1 диг Ф ди2

т>=[«г>Д Тф=[ифг], т2=[и2Г], иф>г=-^-, «г>г=— (5)

Проецируя второе из уравнений (2), являющееся следствием закона сохранения импульса, на нормаль и касательные направления к и предполагая нелинейные эффекты слабыми, можно представить искомые скорости в виде рядов, зависящих от предварительных деформаций и компонент волнового вектора На основании (2) оказываются возможными три типа ударных волн Первая из них будет квазипродольной при наличии в среде предварительных деформаций она имеет как продольную, так и поперечную составляющую волнового вектора, но последняя оказывается величиной второго порядка малости относительно продольной Скорости такой волны в

линейном приближении соответствует С] = ^(Я + 2/л)р§' Остальные две волны квазипоперечные на них изменяются главным образом сдвиговые деформации и уже затем объемные На одной из поперечных волн основная составляющая вектора разрывов соответствует антиплоскому деформированию, на другой изменяются прежде всего скручивающие деформации Ответить на вопрос о том, какая из поперечных волн движется быстрее, в общем случае оказывается невозможным Такой сравнительный анализ был проведен для двух часто встречающихся случаев предварительных деформаций в среде 1) и* Ф 0, и2Ф 0, Ыф = 0, 2) и* Ф 0, иф Ф 0, и2 = 0 Оказалось, что квазипоперечная волна, на которой в основном меняется т2, движется быстрее, чем волна, на которой преобладает Тф Ни одна из сдвиговых волн не воспроизводит эффекта нейтральности, наблюдаемого в случае плоских ударных волн, т е в представленной здесь задаче на каждой поперечной волне меняется не только интенсивность, но и направляющие предварительных сдвиговых деформаций

В третьей главе рассматриваются одномерные задачи о нормальном ударе по внутренней поверхности цилиндрического или сферического отверстий в недеформи-рованном нелинейно-упругом пространстве Приближенные решения этих и после-

дующих задач строятся с помощью лучевого метода Точное решение для поля перемещений заменяется в окрестности Е(7) рядом вида

00 |

и11 (г, () = и1 (г,/) - X . / > Ь,

(б)

го

дпи

т

В (6) под и(г,/) подразумевается любая из компонент иг, иф, и2 Индексом "I обозначена область перед фронтом волны, а индексом "II" - область за ударной полной Для коэффициентов этого ряда <а„(0 может быть получена бесконечная сис!счл обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений затухания) на основании рекуррентных условий совместности из главы 1 Однако непосредственное интегрирование здесь невозможно, тк каждое к-е уравнение содержит неизвестный разрыв сок+\(1) следующего шага Преодоление этой трудности возможно при повторном разложении скачков искомых функций в ряды по 8 -производным в окрестности начального момента времени

00 , Г.& гк

пК' я, к я,к

8кС0„

А=0*' 81к ' 81к 81к

®яО = »,¡(0),

(7)

/=0

коэффициенты которых - неизвестные константы соп§ - впоследствии определяются по граничным условиям, в чем состояло предложение А А Буренина и Ю А Россн-хина Такой выбор момента времени предполагает, что решение строится для млнлч послеударных времен В пределах квадратичного по времени анализа в (7) можно ограничиться представлением

8со10

о?

(8)

Так в задаче о расходящейся продольной цилиндрической ударной волне с граничными условиями

,2

, у0>0, = (9)

и.

аГ

11«)

= £(0, ^0, g(t) = v0í+ — +

записывая уравнение движения в разрывах, на первом шаге метода получим

1 пи^

81

С,

где А , В, О - безразмерные коэффициенты, зависящие от упругих модулей среды и от искомой функции й)](/) В (10) входит величина , определяющая кривизну волнового фронта, что отличает задачу от случая плоской волны Если в (10) положи 1ь / = О, можно выразить одну из неизвестных величин через остальные, например ¿«10 /Л через ¿У]о и со20 Тогда, подставляя в краевое условие (9) ряд (6), в котором скачки производных представлены с помощью (8), определим й?ю и ©20 > ПРИ" равнивая коэффициенты при одинаковых степенях I Совместно с полем перемещении определяется функциональная зависимость вида /£=/£(/) или свя" зывающая г и ? на переднем фронте волны

"г =-{«10+^1^1+ |(/_^)_1(®20+ .)(/-/£)2+ ,

1Ъ = СГ1 (1 + АСГЧо + р2с\2со\0 + Г1 (г - Ц)) -

^ ' (11)

-^СГ3(А+2АСГЧ+ )х

х(1 + /7,СГ1«10 + У92СГ2£»120+ ) \г-гЬ)2+ ,

1де ¡5\ и /?2 являются функциями упругих модулей Для сферических продольных волн в (10) будет входить средняя кривизна поверхности, что приведет к более быстрому затуханию интенсивности, чем для цилиндрических волн

В четвертой главе строятся решения одномерных задач о поперечных цилиндрических ударных волнах, создаваемых антиплоским или скручивающим деформированием цилиндрической полости в нелинейно-упругой несжимаемой среде Условие несжимаемости принято с целью выделения сдвиговых деформационных процессов без влияния на них предварительного объемного деформирования Ударное воздействие по гд приводит к появлению поперечной ударной волны с момента времени 1 = 0 С к'дивием дифференциальных законов сохранения будет система двух уравнений, например, в случае антиплоского деформирования (иг = иф =0, и2 =«7(г,?)) получим

Uzjrr (1 + з Pulr)

v / f r ri

C2 (12) + + + = °> c2=(m> j .

где a, J3, у - функции упругих модулей В системе (12) основным является первое уравнение, решение которого может быть найдено независимо от второго Затем по известному полю перемещений из второго уравнения определяется добавочное гидростатическое давление p{r,t), для которого из динамических условий сопмеспккш

следует граничное условие [оУг]]^, =0 При скручивающем деформировании получаем аналогичную систему уравнений относительно p(r,t) и функции угла поворота y/(r,t) Применение лучевого метода в этих задачах имело такие же характерные этапы и особенности, как и в третьей главе На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в автомодельных задачах В этом сп\час определение коэффициентов лучевого ряда сводится на каждом шаге к решению алгебраических уравнений, а ряд по лучевым координатам - к ряду по автомодельной переменной в окрестности ее фронтового значения

В пятой главе рассмотрена двумерная задача об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая 2 2

ветвь гиперболы Lq = Xj > а Результатом ударного воздействия на Lq

aL bL

будут граничные перемещения

a(y)t2

иг\ц=МУ)1 + 2 + (13)

где у = Х\ - параметр вдоль Lq С целью упрощения дальнейших выкладок положим здесь Vq = const, а = 0 Поле перемещений в окрестности T.(t) б>дем искать п пи iс

СО j

ii'J(s,y,t)^uIz(s,y,t)-YJ—(OnСУ,i0L ('-ъУ,

и' £

п=1

1 (14)

¿4 , д"и7

dtn

т

где 5 - расстояние вдоль луча, у - координата эйконала Обычная схема лучевого метода приводит на первом шаге к уравнению

3 2аС2 2С0\С02 + 2С2Я(1 + 0 5асо}с2 2)

& 2 + Зсса)\С22 -1 5а2со?С2 4 +

которое в данном случае еще необходимо дополнить уравнениями для 8-производиых кривизны волнового фронта Н(у,С) и компоненты поверхностного

метрического тензора а1'(у,/) Тогда получим систему трех дифференциальных

> равнений относительно четырех неизвестных щ, со2, Н, а'' Предположим, что в силу малой нелинейности задачи ее решение незначительно отличается от решения сходной линеаризованной задачи Тогда, заменяя величину со2 на ее линейное приближение, получим замкнутую систему уравнений, которую можно решить приближенно с помощью метода разложения по малому параметру Такой алгоритм хотя и заставляет поступиться более простыми алгебраическими соотношениями на искомые функции при / = О но точнее отражает характер процесса, когда кривизна волнового фронта быстро изменяется со временем Декартовы координаты поверхности Ц() в зависимости от времени задаются соотношениями

*,(У,0 = Х,0(У)+ , х10(у) = у, х20(у)=-^у2-а2, (16)

О

причем компоненты вектора нормали V, сами зависят от текущего положения волнового фронта Однако результаты предыдущих вычислений позволяют получить замк-н\тую систему уравнений относительно V, и касательных векторов к £(0 Время, за коюрое по фиксированному лучу будет пройдено расстояние .у, вычисляется по формуле

=77~н--——^-у1п(1-2#(0).у) (17)

С2 47/(0)0)

Подстановка найденных величин а>\ и со2 в (14), с учетом (17) позволяет выписать приближенное лучевое разложение поля перемещений за ударной волной

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1 С целью описания волн произвольной геометрии проведено уточнение понятия операции депьта-дифференцирования тензорных полей для пространственной криволинейной системы координат Получены соотношения для дельта-производных основных геометрических характеристик поверхности

2 Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка

3 Установлены закономерности распространения одномерных цилиндрических ударных волн малой интенсивности в упругих средах Вычислены скорости возможных ударных волн в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций Показано, что в отличие от плоских одномерных волн цилиндрические поверхности разрывов круговой поляризации невозможны

4 Рекуррентные условия совместности разрывов позволили обобщить методику построения лучевых разложений решения краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат Таким способом получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта

5 Получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными вотнами цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии на границе нипищричс-ской полости На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в автомодельных задачах

6 Получено приближенное решение двумерной задачи об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы На данном примере указаны особенности обобщения метода лучевых разложений на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся Предлагается заменить на А:-ом шаге построения лучевого разложения разрыв к + 1-го порядка его линейным приближением (решением линеаризованиои задачи) Таким способом совместно с полем перемещений определяется конструкция лучей и геометрия волнового фронта

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Герасименко Е А , Рагозина В Е Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн // Вестник Самарского государственного университета — Естественнонаучная серия Самара Изд-во «Самарский университет», 2006 №6/1(46) С 94-113

2 Герасименко Е А Лучевой метод решения краевых задач ударного деформирования//Вестник ДВО РАН Владивосток «Дальнаука», 2006 №4 С 112-117

3 Герасименко Е А , Рагозина В Е Геометрические и кинематические ограничения па разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневосточный математический журнал Владивосток «Дальнаука», 2004 Т 5, № 1 С 100-109

4 Герасименко Е А Особенности одномерных осесимметричных задач ударного деформирования в нелинейно-упругих средах // XV Всероссийская конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» тезисы докладов Пермь, 4-7 октября 2006 г Пермь Изд-во Пермского государственного технического университета, 2006 С 25

5 Герасименко Е А О построении приближенных решений одномерных задач ударного деформирования с неплоскими поверхностями разрывов // Материалы Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В П Мясникова Владивосток, 25-30 сентября 2006 г Владивосток Изд-во ИАПУ ДВО РАН, 2006 С 35-36

6 Герасименко Е А Лучевой метод решения одномерных задач ударного деформирования в нелинейно-упругих средах // XXI Всероссийская конференция «Анали-тичсские методы в газовой динамике» (САМГАД - 2006) тезисы докладов Санкт-Петербург, 5-10 июля 2006 г Новосибирск Изд-во ИГиЛ СО РАН, 2006 С 25-26

7 Gerasimenko Е A Approximate solutions of boundary problems including shock waves in nonlinear-elastic mediums // XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2006) book of abstracts June 25 - July 1, 2006, St Petersburg (Repino), Russia Saint- Petersburg Institute of Problems of Mechanical Engineering, 2006 P 36

8 Gerasimenko E A Motion regularities of cylindrical one-dimensional shock waves in compressible elastic medium // Materials of Sixth International Young Scholars' Forum ol the Asm - Pacific Region Countries Vladivostok, Russia, 27 - 30 September, 2005 Vladivostok FESTU, 2005 Parti P 158-159

9 Герасименко E А Об особенностях распространения одномерных цилиндрических ударных волн // Дальневосточная математическая школа-семинар им академика ЕВ Золотова тезисы докладов Хабаровск, 21-27 августа, 2005 г Хабаровск Изд-во ДВГУПС, 2005 С 153-154

10 Б\ренин А А , Рагозина В Е , Герасименко E А Приближенные методы в нелинейной механике ударного деформирования // Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения академика M А Лаврентьева «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» тезисы докладов Новосибирск, 27-31 мая, 2005 г Новосибирск Изд-во ИГиЛ СО РАН, 2005 С 113

11 Герасименко Е А Применение лучевого метода для решения задач о продольном цилиндрической и сферической ударных волнах // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова тезисов докладов Владивосток, 6-11 сентября, 2004 г Владивосток Изд-во ДВГУ, 2004 С 97-98

12 Gerasimenko Е A Geometrical and kinematics compatibility conditions m a curvilmcar coordinate system // Materials of Fifth International Young Scholars' Forum of the Asia - Pacific Region Countries Vladivostok, Russia, 23-26 September, 2003 Vladivostok FESTU, 2003 Part 1 P 205-207

13 Герасименко EA Соотношение совместности для разрывов производных в криволинейных системах координат // Материалы научной конференции «Вологдинские чтения» Естественные науки Владивосток Изд-во ДВГ ТУ, 2003 С 19-21

14 Герасименко ЕА, Рагозина BE Геометрические и кинематические чсловня совместности в криволинейных системах координат // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова тезисы докладов Владивосток, 31 августа - 6 сентября 2003 г Владивосток «Дапьнаука» 2003 С 108-110

Личный вклад автора Работы [2,4-9,11-13] выполнены автором лично В работах [1,3,10,14] автор участвовала в постановке задач, разработке алгоритмов решения и выполняла все необходимые вычисления

Герасименко Екатерина Андреевна

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Автореферат

Подписано к печати 12 04 2007 г Уел п л 0 8 Уч -изд л 0 7

Формат 60x84/16 Тираж 100 Заказ 28

Изчапо ИАПУ ДВО РАН Владивосток, Радио, 5 Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН 690041, Владивосток, Радио, 5

Введение

1 Некоторые положения нелинейной теории упругости. Ударные волны

1.1 Элементы геометрии евклидова пространства.

1.2 Универсальные модельные соотношения нелинейно-упругой среды

1.3 Элементы тензорного анализа на поверхности в евклидовом пространстве.

1.4 Кинематика поверхности Е.

Определение операции ^-дифференцирования.

1.5 Дельта-производные геометрических характеристик поверхности Е (t).

1.6 Условия на ударных волнах.

2 Возможные скорости и типы одномерных цилиндрических ударных волн

2.1 Система уравнений в разрывах на ударной волне

2.2 Скорости возможных ударных волн.

3 Лучевой метод решения одномерных задач ударного деформирования

3.1 Цилиндрическая продольная ударная волна.

3.2 Сферическая продольная ударная волна.

4 Построение приближенных решений за одномерными поперечными ударными волнами

4.1 Одномерная задача антиплоского ударного деформирования

4.2 Скручивающий удар по цилиндрической полости

4.3 Цилиндрическая волна постоянной интенсивности.

5 Двумерная задача антиплоского деформирования

5.1 Постановка задачи. Исходные модельные соотношения

5.2 Лучевой метод решения двумерной задачи.

5.3 Геометрия ударной волны.

Явление возникновения поверхностей разрывов скоростей (ударных волн) в твердых телах в процессе их интенсивного деформирования является принципиально нелинейным и должно изучаться на основании нелинейным математических моделей. К последним относится и модель нелинейно-упругого материала, которая положена в основу задач, рассматриваемых в данной работе.

Основы теории упругости, как и механики сплошных сред вообще, были заложены в XIX веке и связаны с именами JI. Эйлера, Г. Кирхгофа, О. Ко-ши, Дж. Грина и др. Эти основы изначально нелинейны, но в дальнейшем и до начала прошлого столетия развивался линейный вариант теории упру-гости(Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. Основные направления исследований в то время связаны с разработкой математических методов решения краевых задач. Отметим здесь выдающийся вклад отечественных ученых Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савина, С.К. Соболева, М.А. Лаврентьева.

Первой фундаментальной работой по нелинейной теории упругости является монография Ф.Д. Мурнагана [124]. Детальная разработка основ нелинейной теории упругости принадлежит В.В. Новожилову [76], Л.И. Седову [89, 90], А.А. Ильюшину [56], В. Прагеру [79], А. Грину и Д. Ад-кинсу [41], Л.А. Толокошшкову [92], Е.М. Черных [100, 101, 102], А.И. Лурье [70], Д.Д. Ивлеву [54, 55], К. Трусделлу [95], Л. Трелоару [94], Г.С. Тарасьеву [91]. Здесь не упомянуты работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов указана в обзоре В.В. Новожилова, Л.А. Толоконникова и К.Ф. Черных [77]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности лежит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [14, 45], нелинейная акустика [49, 87] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем в обзоре уделим внимание последней проблеме.

К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [110, 111, 112], Чжу Бо-Те [114, 115] и Е.М. Черных [100, 101, 102]. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в недеформированной упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В [112] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения и при отсутствии предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [13], в которой проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских ударных волн показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде.

В нашей стране также проводились подобные исследования. Первыми из них следует отмстить работы Е.М. Черных [100, 101, 102]. Им рассмотрены условия существования ударных волн [100] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающего большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси и учетом нелинейности во всех кинематических соотношениях. Развитием данного направления исследования послужили работы А.Д. Чернышева [103] и Г.Ф. Филатова [96, 97, 98]. В них получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.

В семидесятые-восьмидесятые годы были получены новые важные результаты, причем их отличие от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения, рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [42]. Важными следует признать работы А.А. Буренина и А.Д. Чернышова [21, 22, 28], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемпле-на для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [37, 42, 43, 48, 71, 96, 97, 98, 111, 117, 122, 134, 137]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости.

Чжу-Бо-Те [114,115] рассмотрел распространение ударных волн в случае несжимаемой упругой среды. Им была впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [15, 65, 66, 67, 68, 80, 81, 116].

Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова [60, 61, 62, 63]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюционное™ разрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика в краевых задачах с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [136].

Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [120] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [105] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской деформации. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г.И. Бы-ковцевым и его учениками [10, 12]. В [88] исследуются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [99] рассматриваются материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию.

Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 19, 20, 21, 26, 88, 46, 57, 62, 65, 66, 101, 17], в которых рассматривались автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных задач используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод. Одним из вариантов метода возмущений является метод последовательного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. На основе решения эволюционного уравнения квазипростых волн У.К. Нигул и Ю.К. Энгельбрехт исследовали

106, 73, 74, 75] возможность и время возникновения ударных одномерных волн при непрерывных воздействиях. Метод сращиваемых асимптотических разложений на основе решения эволюционных уравнений, предложен А.А. Бурениным и В.А. Шарудой [27] и обобщен в работах В.Е. Рагозиной и Ю.Е. Ивановой [80, 51, 52, 53]. В [81] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.

Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Лучевой метод известен с 50-х годов прошлого века и является признанным мощным инструментом решения волновых задач, включающих нестационарные поверхности (объемные волны) или линии (поверхностные волны) сильных и слабых разрывов. Для этого используются одночленные или многочленные степенные ряды, коэффициентами которых служат скачки производных искомых функций. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в статье Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [128]. Эту статью они посвятили светлой памяти своего учителя, выдающегося ученого-механика Г.И. Быковцева.

Лучевые разложения можно разделить на два основных типа. Первые используются преимущественно для аппроксимации физических полей регулярных функций, вторые для аппроксимации физических полей сингулярных функций. В России разработкой лучевого метода, основанного на разложениях первого типа активно занимались ученые-механики Ленинградской научной школы, идейным руководителем которой был Г.И. Пет-рашень. Этот метод используется преимущественно в задачах отражения, преломления и дифракции волн, популярен в сейсмологии и сейсморазведке. Метод развивался в работах В.М. Бабича, А.С. Алексеева и Б.Я. Гельчинского при вычислении интенсивностей волновых фронтов в нестационарных задачах теории упругости [3, 4], включая случай неоднородной анизотропной среды [5], а также в работе Ю.Н. Подильчук и Ю.К. Рубцова [78] для определения напряжений вблизи различных полостей в упругой среде. Впоследствии В.М. Бабич, B.C. Булдырев и И.А. Молотков [7] использовали разложения первого типа при исследовании волновых процессов различной природы.

Второй тин лучевых разложений используется при решении одномерных, плоских и трехмерных краевых задач, включающих поверхности сильных и слабых разрывов. Метод основан на теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Дж. Адамара [119], который заметил, что разрывы величин на движущихся поверхностях не могут быть произвольными, но связаны ограничениями, следующими из геометрии таких поверхностей и их кинематики. Обобщение соотношений Дж. Адамара на случай разрывов производных от функций, терпящих разрыв на движущихся поверхностях, осуществил Т. Томас [93]. Выписанные им ограничения на разрывы производных были названы им геометрическими и кинематическими условиями совместности первого порядка. С их иомощыо Т. Томас [93] исследовал распространение и затухание криволинейных волн в однородной упругой изотропной среде. Теория рекуррентных условий совместности разрывов функций и их производных, обобщающая представления Т. Томаса, была разработана Г.И. Быковцевым и его учениками для параметрического задания движения в прямоугольной декартовой системе координат [32].

Объединение лучевой теории и теории разрывов Т. Томаса позволило двум группам исследователей, Дж. Ахенбаху и Д. Редди [107, 109] и Воронежской школе под руководством Г.И. Быковцева [9], независимо друг от друга и в различных формах предложить метод построения приближенных решений за поверхностями разрывов в линейных средах, названный авторами лучевым методом по аналогии с [6]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают рекуррентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Подход, предложенный Г.И. Быковцевым оказался наиболее перспективным. В дальнейшем Г.И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [9, 10, 12, 48, 69, 84, 113, 129, 106].

Н.А. Заварзина и В.М. Бабич развили лучевой метод для динамических задач в гипоупругой среде в случае ударных волн [47] и волн ускорений [8]. Г.И. Быковцев и А.Г. Шаталов рассмотрели задачу о влиянии теплового потока па границу термоупругого полупространства с учетом конечной скорости распространения тепла и термоупругой связи [34]. Для трех типов термоупругих волн были получены рекуррентные соотношения па коэффициенты лучевого ряда. В работах Ю.А. Россихина и др. рассмотрены задачи о распространении плоских волн сильных разрывов в анизотропном термоупругом полупространстве [83] и анизотропной пластине постоянной толщины [130], об ударе абсолютно жесткой сферы но границе упругого изотропного полупространства [125]. Таким образом, лучевые разложения второго типа удобны при решении задач, связанных с кратковременным приложением нагрузки к границам рассматриваемых тел, а также ударным воздействием, термическим ударом и т.д.

А.В. Чигарев [104] рассматривал распространение ударных воли в стохастически неоднородной упругой среде. Ю.А. Россихин [126, 85] изучал распространение поверхностей сильных разрывов произвольной формы в упругой слабо анизотропной среде с произвольной симметрией, в том числе, с кубической и гексагональной симметрией. В 1989 г. Ю.А. Россихин [86] указал способ регуляризации волновых характеристик, которые оказались неравномерно пригодными в области существования волнового решения. Дж. Ахенбах [108] изучал движение поверхностей сильных разрывов в термоупругой среде с конечной скоростью распространения тепла. Было показано, что две поверхности сильных разрывов: квазиупругая и квазитермическая, обладают экспоненциальным характером затухания.

Дж. Эриксен [118] изучал распространение эквиволюменальных поверхностей слабых разрывов в несжимаемых упругих материалах и показал, что для гладко изменяющихся полей внешних сил и тепловых источников, волны третьего и более высоких порядков в несжимаемой упругой среде подчиняются тем же законам, что и волны ускорений. К. Трусделл [135] обобщил этот результат на весь класс упругих материалов. Волнам ускорении в упругих средах посвящены также работа Р. Хилла [121] и др.

М.А. Грипфельд [43] рассматривал поверхности слабых разрывов (волны ускорений) и слабые ударные волны в нелинейном гипоупругом теле. Для таких волн были получены нормальные скорости и уравнения переноса, описывающие изменения разрывов производных произвольного порядка от искомых функций по нормали к волновой поверхности вдоль лучей. Слабые ударные волны в деформированной нелинейно-упругой среде рассматривали также Н.А. Заварзина и Г.Ф. Филатов [48]. Авторы получили систему рекуррентных уравнений, определяющую характер распространения и затухания слабых ударных волн.

Исследования, посвященные распространению и затуханию слабых и сильных разрывов в упруговязкопластической среде, проводили Г.И. Бы-ковцев и Н.Д. Вервейко [29], а также Россихин [82]. Позднее Г.И. Быковцев и др. [30] рассматривали движение ступенчатой нагрузки со сверхзвуковой скоростью по границе упруговязкопластического полупространства. Исследованию лучевым методом пространственных динамических задач упруго-вязкоиластичности и одномерных динамических задач течения реальной жидкости в трубах посвящена монография Н.Д. Вервейко [36]. В ней изложены основы лучевого метода решения пространственных задач и приведены примеры применения лучевого метода к распространению пластических волн нагрузки и разгрузки, волн гидроудара в гидролиниях переменного сечения. В [59, 58] рассматривались вопросы построения аналитического или численного решений динамических волновых задач в упруговязкопла-стических средах.

Распространение волн ускорений в трехмерных упругопластических телах рассматривали Т. Томас [93], Р. Хилл [121], Г.И. Быковцев и др. [33]. Были получены три типа волн ускорений и вычислены их скорости. Были исследованы распространение и изменение со временем интенсивности пластических волн, волны разгрузки, и волны нагрузки. Теория разрывов применялась также для исследования волн разрывов в стержнях, слоях, пластинах, и оболочках [123, 35], а также поверхностных волн сильных и слабых разрывов в нелинейно-упругих и упругопластических средах [11, 10] и поверхностных волн вдоль поверхностей кристаллических тел с конечной анизотропией [127]. Также одночленные лучевые разложения часто применяются в задачах об ударном взаимодействии, например в [131].

В краевых задачах, в которых решение необходимо строить во всей области движения волны, т.е. от фронта волны до граничной поверхности в фиксированный момент времени, или когда необходимо определить временную зависимость интересующих нас величин в фиксированной точке поля в данный момент времени, необходимо использовать многочленные лучевые разложения. Ю.Н. Подильчук и Ю.К. Рубцов [78] рассматривали задачи о распространении нестационарных волн в бесконечной изотропной упругой среде, возникающих при мгновенном нормальном нагружении на границе сферических и цилиндрических полостей в среде. В данном случае для построения временных зависимостей напряжений в каждой фиксированной точке граничной поверхности понадобилось вычислить около 20 членов лучевого ряда. Что касается приближения по пространственной переменной в фиксированный момент времени, то этот вопрос изучался в работах Дж. Ахенбаха и Д. Редди [107], С.Т. Sun [133], Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [131] и др.

Лучевой метод, предложенный в [9], непригоден для нелинейных сред при наличии ударных волн. Связано это, главным образом, с тем, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде, не удается получить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов лучевого ряда на каждом шаге. Однако видоизменение методики, предложенное в [25], позволяет использовать лучевой метод и в этом случае. Идея заключалась в разложении коэффициентов лучевого ряда в степенные ряды в окрестности начального момента времени. На основе этого предложения был решен целый ряд одномерных задач динамики деформирования [113, 16, 132]. Построенные таким способом приближенные прифронтовые разложения могут использоваться в схемах численных расчетов краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Разработкой этого направления сейчас активно занимаются А.А. Буренин, П.В. Зиновьев, В.Е. Рагозина [18, 50] и интерес к таким задачам все возрастает.

Предлагаемая работа посвящается развитию лучевого метода решения существенно нестационарных задач нелинейной динамики деформирования на основе обобщения теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях в нелинейно-упругих средах. Работа состоит из пяти глав.

В первой главе строится замкнутая теория условий совместности разрывов при задании движения деформируемой среды в произвольной криволинейной системе координат. По сути она является обобщением теории Г.И. Быковцева и его учеников, у которых все изложение проводится в декартовой пространственной системе координат.

С целью получения аналогичных условий совместности для произвольной криволинейной системы координат потребовалось, прежде всего, обобщение операции дельта-дифференцирования тензорного ноля, которая определяется по-разному в зависимости от типа тензорного поля (пространственный, поверхностный или смешанный). Но в каждом случае дельта-производная должна определять тензорный объект, а для предельного перехода от криволинейных координат к декартовым дельта-производные не должны противоречить друг другу.

Рассмотрены некоторые свойства дельта-производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т.д. Вычислены дельта-производные основных геометрических характеристик движущейся поверхности.

Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка. Также в первой главе рассматривается модель нелинейно-упругой среды, приводятся некоторые необходимые сведения из тензорного анализа в евклидовом пространстве и соотношения на ударных волнах.

Вторая глава посвящена изучению закономерностей распространения одномерных цилиндрических ударных волн в нелинейно-упругих средах. Показано, что в нелинейно-упругой среде могут распространяться квази-продольпая и две квазипоперечные волны, вычислены их скорости в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций. Из литературы хорошо известны описания таких процессов для плоских волн. Важным результатом здесь явилось разделение фронта деформаций изменения формы на квазипоперечную ударную волну и нейтральную ударную волну (волну круговой поляризации). Оказывается, что это справедливо только для данного идеального случая, наличие кривизны волнового фронта не допускает такого эффекта, т.е. в представленной здесь задаче на каждой поперечной волне меняется не только интенсивность, но и направляющие предварительных сдвиговых деформаций.

Рекуррентные условия совместности разрывов позволили обобщить методику построения лучевых разложений решения краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат. Таким способом в третьей главе получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта.

В четвертой главе получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами: цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии на границе цилиндрической полости. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в задачах с ударными волнами постоянной интенсивности.

В пятой главе получено приближенное решение двумерной задачи об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы. На данном примере указаны особенности обобщения метода лучевых разложений на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся. Предлагается заменить на А;-ом шаге построения лучевого разложения разрыв к + 1-го порядка его линейным приближением (решением линеаризованной задачи). Таким способом совместно с полем перемещений определяется конструкция лучей и геометрия волнового фронта.

В работе применяется тройная нумерация формул. Первый номер обозначает главу, второй — параграф. На протяжении параграфа нумерация сквозная, рисунки помещены в тексте.

Заключение

В первой главе разработано обобщение теории рекуррентных геометрических и кинематических условий совместности разрывов величин на движущихся поверхностях, на случай криволинейной пространственной системы координат. В рамках этой теории:

1. Вводится определение производной по времени в данной точке движущейся поверхности (дельта-производной) тензорных полей для пространственной криволинейной системы координат. В зависимости от типа тензорного объекта (пространственный, поверхностный или смешанный) дельта-производная определялась по-разному.

2. Рассмотрены некоторые свойства дельта-производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т.д.

3. Получены соотношения для дельта-производных основных геометрических характеристик движущейся поверхности.

4. Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка.

Во второй главе, с целыо решения одномерных задач, включающих цилиндрические ударные волны проведено дополнительное исследование, связанное с возможными по характеру деформирования типами волн, их скоростями и особенностями движения.

1. Показано, что в нелинейно-упругой среде могут распространяться квазииродольиая и две квазипоперечные цилиндрические волны. Вычислены скорости указанных волн в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций.

2. Для двух наиболее распространенных случаев предварительных деформаций в среде проведен сравнительный анализ скоростей квазипоперечных волн.

3. Показано, что в отличие от плоских одномерных волн цилиндрические поверхности разрывов круговой поляризации невозможны.

В третьей главе на основе развития теории условий совместности разрывов обобщается методика построения лучевых разложений решений краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат.

1. Таким способом получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде.

2. Определены функции, определяющие положение соответствующих ударных волн.

3. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта и учетом нелинейности.

В четвертой главе:

1. Получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами: цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии па границе цилиндрической полости.

2. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в задачах с ударными волнами постоянной интенсивности. В этом случае для коэффициентов лучевого ряда получена рекуррентная система алгебраических уравнений, а ряд по лучевым координатам сводится к ряду по введенной автором безразмерной переменной в окрестности ее фронтового значения.

В пятой главе:

1. Получено приближенное решение двумерной задачи об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы.

2. На таком примере указаны особенности обобщения метода лучевых рядов на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся. Предлагается заменить на каждом шаге построения лучевого разложения разрыв следующего шага его линейным приближением (решением линеаризованной задачи).

3. Совместно с полем перемещений определены конструкция лучей и геометрия волнового фронта.

1.Е., Белогорцсв A.M., Буренин А.А., Резунов А.В. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно-упругого материала // Прикл. механика и техн. физика. 1989. №. С. 146-150.

2. Агапов И.Е., Буренин А.А., Резунов А.В. О соударении двух нелинейно-упругих тел с плоскими границами // В кн. Прикладные задачи механики деформ. сред. Владивосток: ДВО АН СССР. 1990. С. 206-215.

3. Алексеев А.С., Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела //В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Ленинград: Изд-во ЛГУ. 1959. Вып. 3. С. 16-47.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972. 456 с.

5. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод. Ленинград: Изд-во ЛГУ 1985. 271 с.

6. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. К исследованию нестационарных поверхностных волн в нелинейно-упругих средах // При-кл. механика. 1981. Т. 17. №12. С. 27-33.

7. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. Волны сильного разрыва на поверхности пластически деформирующегося твердого тела // Механика деформ. тв. тела. Куйбышевский гос. ун-т. 1977. Вып. 3. С. 65-69.

8. Бестужева Н.П., Дурова В.Н. Волны разрывов при конечных деформациях упругих материалов // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1983. №2. С. 102-108.

9. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 183 с.

10. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчи во-сти. М.: Физматгиз. 1961.

11. Буренин А.А. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства // Прикл. механика. 1985. Т. 21, №5. С. 3-8.

12. Буренин А.А. Об одной возможности построения приближенных решений нестационарных задач динамики упругих сред при ударныхвоздействиях // Дальневосточный мат. журнал. 1999. Вып.8. С. 4972.

13. Буренин А.А., Дудко О.В., Манцыбора А.А. О распространении обратимых деформаций по среде с накопленными необратимыми деформациями // ПМТФ. 2002. Т. 43. №5. С. 162-170.

14. Бурении А.А., Зиновьев П.В. К проблеме выделения поверхностей разрывов в численных методах динамики деформируемых сред // Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию А.Ю. Ишлинского. Москва: "Физматлит". 2003. С. 146-155.

15. Буренин А.А., Лапыгин В.В. Автомодельная задача об ударном на-гружении упругого полупространства // Прикл. матем. и механика. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 722-729.

16. Буренин А.А., Лапыгин В.В. Об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от плоской жесткой границы нелинейной упругой среды // Прикл. матем. и техн. физика. 1985. Вып. 4. №5 С. 125-129.

17. Буренин А.А., Лапыгин В.В., Чернышев А.Д. К решению плоских автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости // В кн.: Нелинейные волны деформации. Матер, межд. симп. Таллин. 1978. Т. 2. С. 25-28.

18. Буренин А.А., Нгуен Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн при плоской конечной деформации // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 5. С. 900-904.

19. Буренин А.А., Рагозина В.Е. Лучевой метод построения приближенных решений за поверхностями разрывов деформаций // Сборник, посвященный 65-летию А.В. Чигарева (принято в печать).

20. Буренин А.А., Рагозина В.Е. К построению приближенных решений краевых задач ударного деформирования // Известия РАН. МТТ. (принято в печать).

21. Бурении А.А., Россихин Ю.А. Лучевой метод решения одномерных задач нелинейной динамической теории упругости с плоскими поверхностями разрывов // В сб.: Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР. 1991. С. 129-137.

22. Буренин А.А., Шаруда В.А. Одномерный переходный волновой процесс деформации при ударном нагружении упругого полупространства // Изв.АН СССР. Механика тв. тела. 1984. №1. С. 40-44.

23. Буренин А.А., Шаруда В.А. Метод сращиваемых асимптотических разложений в задаче о сдвиговом ударе по нелинейному упругому полупространству // Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1988. С. 40-44.

24. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 4. С. 711 717.

25. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д. О распространение воли в упруговяз-коиласти ческой среде // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. №4. С. 111123.

26. Быковцев Г.И., Вервейко Н.Д., Зиновьев Н.М., Привалов С.А. О ступенчатом движении со сверхзвуковой скоростью по упруговязкопла-стическому полупространству // Тр. НИИ матем. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1970. Вып. 6. С. 59-70.

27. Быковцев Г.И., Власова И.А. Особые линии и поверхности в пространственных течениях идеальных жестко-пластических сред // Мех. деформ. тв. т. (динамика сплошной среды). Новосибирск. 1979. Вып. 41. С. 31-43.

28. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: „Дальнаука". 1998. 528 с.

29. Быковцев Г.И., Калужин А.А., Кретова Л.Д. О распространении волн в трехмерных упругопластических телах при условии полной пластичности // Инж. Журнал МТТ. 1967. №3. С. 13-20.

30. Быковцев Г.И., Шаталов А.Г. Импульсное нагревание полупространства с учетом термоупругого сопряжения и конечной скорости распространения тепла // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №2. С. 101-107.

31. Вервейко Н.Д. Упругие волны в тонких оболочках // Тр. Науч-исслед. ин-т математики ВГУ. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1975. Вып. 21. С. 23-26.

32. Вервейко Н.Д. Лучевая теория упруговязкопластических волн и волн гидроудара. Воронеж: Воронежский госуниверситет. 1997. 204 с.

33. Вееоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упруго сти. Киев: Hayкова думка. 1981. 216 с.

34. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневосточный математический журнал. 2004. Т. 5. №1. С. 100-109.

35. Герасименко Е.А. Лучевой метод решения краевых задач ударного деформирования // Вестник ДВО РАН. Владивосток: „Дальнаука". 2006. №4. С. 112-117.

36. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2006. №6/1(46). С. 94-113.

37. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир. 1965. 456 с.

38. Гринфельд М.А. Распространение слабых и ударных волн в нелинейно-упругой среде // В кн. Нелинейные волны деформации. Матер, межд. симп. Таллин. 1978. Т. 2. С. 54-57.

39. Гринфельд М.А. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в нелинейно-упругом материале // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 883-898.

40. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука. 1990. 312 с.

41. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка. 1973. 273 с.

42. Дудко О.В. Автомодельная задача об одномерном ударном нагруже-нии упругого массива с предварительными деформациями и микро-иарушениями // В сб. Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1996. Вып. 117. Сер. 5. С. 17-20.

43. Заварзина Н.А. Лучевой метод решения динамических задач в гипо-упругой среде // Тр. НИИ матем. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1972. Вып. 6. С. 50-59.

44. Заварзина А.А., Филатов Г.Ф. Об ударных волнах в деформированной упругой среде //В кн.: Нелинейные волны деформации. Матер. Международного симпозиума. Таллинн. 1978. Т. 2. С. 70-73.

45. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука. 1966. 519 с.

46. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Метод возмущений в краевых задачах ударного деформирования несжимаемых упругих сред // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: „Дальнаука". 2003. Т. 4. №1. С. 71-77.

47. Иванова Ю.Е. Эволюционные уравнения в описании ударных движений несжимаемой упругой среды // Вестник ДВО РАН. Владивосток: „Дальнаука". №4. 2006. С. 118-122.

48. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Об ударных осесимметрических движениях несжимаемой упругой среды при ударных воздействиях // ПМТФ. Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения РАН. 2006. Т. 47, №6. С. 144-151.

49. Ивлев Д.Д. К построению теории упругости // Докл. Ан СССР. 1961. Т. 138. №6. С. 1321-1324.

50. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющего пластического тела. М.: Наука. 1971. 231 с.

51. Илыошии А.А. Механика сплошной среды. Изд. 2-ое исир. и дополн. М.: Изд-во МГУ. 1978 . 287 с.

52. Карп Д.Б. О сферической ударной волне постоянной интенсивностив изотропном упругом пространстве // В сб. Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток. 1991. С. 230-243.

53. Кукуджанов В.Н. Распространение упруговязкопластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации // Вычисл. центр АН СССР. М.: ВЦ АН СССР. 1967. 48 с.

54. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численные решения неоднородных задач динамического твердого тела // Проблемы динамических упруговязкопластических сред. М.; 1975. С. 38-84.

55. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно упругих средах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 523-534.

56. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 5. С. 831-840.

57. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 2. С. 284-291.

58. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны, возникающие при изменении напряжений на границе упругого полупространств //В кн. Вопросы нелинейной механики сплошных сред. Таллин: Валгус. 1985. С. 135-145.

59. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей. 1998. 412 с.

60. Лебедева Н.Ф. Одномерная автомодельная задача распространения ударных возмущений по несжимаемой упругой среде // В сб.: Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1993. Вып. 3. Сер. 5. С. 30-33.

61. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории нелинейной упругости // М.: Изд-во МГУ. 1983. 71 с.

62. Лимарев А.Е., Мешков СИ., Чигарев А.В. К расчету интенсивностей волновых фронтов в неоднородной вязко-упругой среде // МДТТ. Куйбышевский ун-т. 1975. Вып. 1. С. 104-107.

63. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.

64. Лурье М.В. Использование вариационного принципа для изучения распространения поверхностей разрыва в сплошной среде // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 4. С. 693-699.

65. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Гос. издательство физико-математической литературы. 1963. 411 с.

66. Нигул УК., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел // Тал-лип: Изд-во АН ЭССР. 1972. 174 с.

67. Нигул УК., Энгельбрехт Ю.К. Возникновение ударных волн в упругом пространстве при одномерных нелинейных переходных волновых процессах, возбуждаемых непрерывным воздействием // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №5. С. 69-82.

68. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с.

69. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиз-дат. 1948. 211 с.

70. Новожилов В.В., Толокошшков JI.A., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости //В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. 1972. Т. 3. С. 71-78.

71. Подильчук Ю.Н., Рубцов Ю.К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн. Киев.: Наук. Думка. 1988. 215 с.

72. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Гос. изд-во иностр. лит. 1963. 311 с.

73. Рагозина В.Е. Об одном подходе в использовании метода возмущений для построения решения нелинейных динамических задач с ударными волнами //В сб.: Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1995. Вып. 115. С. 17-20.

74. Россихин Ю.А. О распространении волн в упруговязкопластической среде // Прикладная механика Т. 5. №5. С. 82-88.

75. Россихин Ю.А. Распространение плоских волн в анизотропном термоупругом полупространстве // Прикладная механика. 1976. Т. 12. №4. С. 60-64.

76. Россихин Ю.А. Лучевой метод решения динамических задач в упру-говязкоиластических телах // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. Ш. С. 175179.

77. Россихин Ю.А. Волны в слабо анизотропных средах // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №3. С. 160-162.

78. Россихин Ю.А. О равномерной пригодности лучевых разложений в задачах, связанных с распространением ударных волн в слабо анизотропной среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №6. С. 131-138.

79. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. 288 с.

80. Свешникова Е.И. Квазипоперечные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации // ПММ. 1983. Т. 47. Вып.4. С. 673-678.

81. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1977. 440 с.

82. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. Изд-ие 2-ое испр. и дополи. М.: Наука. 1973. Т. 1. 536 с. Т.2. 584 с.

83. Тарасьев Г.С. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // Прикл. механика. 1971. Т. 7. №2. С. 26-33.

84. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа. 1979. 318 с.

85. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.

86. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Гос. изд. иностр. лит. 1953. 240 с.

87. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592 с.

88. Филатов Г.Ф. Об устойчивости сильных разрывов в нелинейной теории упругости // Сб. научн. трудов фак-та ПММ. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1971. Вып. 1. С. 62-64.

89. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругогсти // Сб. научн. трудов фак-та ПММ. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1971. Вып. 2. С. 137-142.

90. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде // ПМТФ. 1972. Т. 3. С. 186-188.

91. Хан X. Теория упругости. М.: Мир. 1988. 344 с.

92. Черных Е.М. О распространении волн в упругой среде с конечными деформациями // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. М. С. 74-79.

93. Черных Е.М. Автомодельная задача об ударном нагружении нелинейно-упругого материала j j ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 793799.

94. Черных Е.М. Термодинамические соотношения на поверхности сильного разрыва в упругой среде при конечных деформациях // Докл. АН СССР. Т. 177. №3. С. 546-549.

95. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 885-890.

96. Чигарев А.В. Распростанение ударных волн в стохастически неоднородной упругой среде // Прикладная механика. 1972. №8. С. 69-74.

97. Чугайнова А.П. Стационарные квазипоперечные простые и ударные волны в слабоанизотропной нелинейно-упругой среде // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 486-492.

98. Шаталов А.Г. Разрывные решения в связанной задаче термоупругости // Механика деформ. сред. Куйбышевский ун-т. 1979. Вып. 6. С. 85-90.

99. Achenbach J.D., Reddy D.R. Note on wave propagation in lineary viscoelastic media // Zeitschr. fur angew. Match, und Phus. 1967. 18. S. 141-144.

100. Achenbach J.D. The influence of heat conduction on propagating stress jumps // J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16. №4. P. 273-282.

101. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. New York.: Elsevier.

102. Bland D.R. Dilatational waves and shocks in large displacement isentropic dynamical elasticity // J. Mech. Phys. Solids. 1964. V. 12. P. 245-267.

103. Bland D.R. Finite elastodynamics // J. Inst. Mach. Applic. 1966. V. 2. P. 327-342.

104. Bland D.R. Recent progress in Applied Mechanics, the folke odquist volume // Stochholm. 1967. P. 91-124.

105. Chy Boa-Teh. Finite amplitude waves in incompressible pefetly elastic materials // J. Mech. Phys. Solids. 1964. V. 12. M. P. 45-57.

106. Chy Boa-Teh. Transverse chock waves in incompressible elastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. M. P. 1-14.

107. Collins W.D. One dimentional non-linear wave propagation in incompressible elastic materials // Quart. J. Mech. Appl. Mach. 1966. V. 19. P. 236-241.

108. Davison L. Propagation of plane waves of finite amplitude in elastic solids //J. Mech. Phys. Solids. 1966. V. 14. P. 249-270.

109. Ericksen J.L. On the propagation of waves in isotropic incompressible perfectly elastic materials // J. Rat. Mech. Anal. 1953. №2. P. 329-337.

110. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de VHydrodynamique. Librairie Scientifique A Hermann. Paris. 1903.

111. Haruda A. On the solution to the riemann for arbitrary hyperbolic system of consevation laws // Publ. of the Inst, of geophysics of Polich academy of sciences. Sep A. (98). Warszava. 1976. 124 p.

112. Hill R. Acceleration waves in solids // J. Mech. Phys. Solids. 1962. №10. P. 1-16.

113. Hsu J.C.K., Clifton R.J. Waves of combined stress // J. Mech. Phys. Solids. 1974. V. 22. №4. P. 255-266.

114. Jahsman W.E. Propagation of abrupt circular wave fronts in elastic sheets and plated // Proc of the 3rd US National Congress on Applied Mechanics. Providence Rhode Island. New York. 1958. P. 195-202.

115. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New-York: Willy: London: Chapman. 1951. 140 p.

116. Rossikhin Yu.A. Impact of a rigid sphere onto an elastic half-space // Sov. Appl. Mech. (Engi transl). 1986. V. 22. №5. P. 403-409.

117. Rossikhin Yu.A. Influence of weak anisotropy on the nature of cylindrical and spherical shock propagation // Sov. Appl. Mech. (Engl transl). 1981. V. 17. №1. P. 25-28.

118. Россихин Ю.А. Non-stationary surface waves of "diverging circles"type on conic surfaces of hexagonal crystals. Acta. Mech. 1992. V. 92(1-4), P. 183-192.

119. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Ray method for solving dynamic problems connected with propagation of wave surfaces of strong and weak discontinuities // Appl. mech. rev. 1995. V. 48. №1. P. 1-39.

120. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. On construction of uniformly fit ray decompositions for solving dynamical problems of linear viscoelasticity (Engl transl) // Soviet Appl. Mech. 1991. V. 27. №1. P. 77-82.

121. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Ray method for investing transient wave processes in a thin elastic anisotropic layer (Engl transl) //J. Appl. Math. Mech. 1991. V. 55. №5. P. 724-732.

122. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Ray method of solving problems connected with a shock interaction // Acta. Mech. 1994. V. 102(1-4). P. 103-121.

123. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Methods for solving one-dimensional boundary-value problems in a nonlinear elastic medium // Acta. Mech. 1996. V. 114(1-4). P. 51-69.

124. Sun C.T. Transient wave propagation in viscoelastic rods // J. Appl. Mech. (ASME). 1970. V. 37. №4. P. 1141-1144.

125. Ting T.C.T. Propagation of diccontinnities of all orders in nonlinear media // In: Rec. fdf. in Eng. Sci./ Chang T.S. Massachusetts: Sci. Publ. Iuc. 1975. 5. P. 101-110.

126. Truesdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Rat. Mech. Anal. 1961. №8. P. 263-296.

127. Yogchi Li., Ting T.C.T. Plane waves in simple elastic solids and discoutinuos dependence of solution on boundary conditions // Ins. J. Sol. Struct. 1983. V. 19. P. 989-1008.

128. Wesolovski Z. Shock wave in non-linear elastic material // In: XVII Pol. Conf. Szlyrk. 1975. Abstr. S.I., S.a. P. 225.