Деформированное состояние упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ерм оленко Георгий Юрьевич

Деформированное состояние упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях

01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Самара-2004

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П. Королева.

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

Борис Алексеевич Горлач.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кадашевич Юлий Исакович, доктор технических наук, профессор Сеницкий Юрий Эдуардович, доктор физико-математических наук, профессор Стружанов Валерий Владимирович.

Ведущая организация - Институт механики сплошных сред УНЦ РАН.

Защита состоится « % »М&нЛ- 2004 г. в \ час. на заседании диссертационного совета Д 212.218.06 при Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова 1, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.218.06

кандидат физ .-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Многие современные научные и технические проблемы связаны с исследованием деформированного состояния твердых тел при статических и динамических нагружениях. Для решения возникающих при этом динамических задач пользуются интенсивно развивающимися методам и статической и динамической теории упругости и вязкоупругости.

В последнее время дальнейшее развитие получили классические методы решения задач теории упругости, такие как метод Винера - Хопфа, метод Виллиса, асимптотические методы, метод интегральных уравнений, метод функций Грина; метод представления решения статических задач упругости с помощью функций Папковича - Нейбера, метод функционально - инвариантных решений, лучевой метод. Достаточно большое внимание в недавних публикациях уделено разработке метода интегральных преобразований.

Расширение возможностей методов решения статических задач идёт в основном в двух направлениях. Первое из них -это развитие самих методов решения статических задач, например, благодаря развитию метода Винера—Хоп-фа удалось решить задачи о дифракции упругих волн на подвижной трещине, о дифракции на границе раздела жидкости и твёрдого тела, и т.д. Благодаря дальнейшему развитию метода Папковича - Нейбера удалось построить полные решения стационарных задач для конечных тел канонической формы. За счёт развития метода Колосова -Мусхелишвили удалось решить задачу об изгибе бесконечной пластины с шестиугольным вырезом, в явном виде получить общее решение задачи антиплоского деформирования упругого пространства с несколькими цилиндрическими включениями. Метод конечных интегральных преобразований особенно интенсивно разрабатывается Ю.Э. Сеницким и его учениками применительно к задачам динамики упругих тел. Здесь следует от-

ГОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

метить введенное недавно биортогональное векторное конечное интегральное преобразование, позволившее разработать методику решения статических задач для дифференциальных операторов, не являющихся самосопряженными.

Другое направление, расширяющее возможности методов решения динамических задач - это разработка и применение комплексных методов, включающих в себя несколько уже известных и вновь разрабатываемых методов. Так, совместное применение метода интегральных преобразований и представления решений в форме Смирнова - Соболева, позволило решать пространственные задачи дифракции. Комбинированный метод интегральных преобразований и выделения особенностей, разработанный В.Б. Поручиковым дал возможность решить пространственные динамические задачи теории упругости для клиновидных областейсо смешанным и статическим и условиям и.

Методы решения динамических задачи теории упругости представляют ценность не только для теории упругости, но и для других разделов механики деформируемого твёрдого тела и математики в целом. Например, к краевым задачам статической теории упругости с использованием принципов соответствия сводится достаточно большой класс статических задач теории вязко упругости для неоднородно стареющего анизотропного материала, подвергаемого медленным процессам деформирования.

Исследование напряжённо - деформированного состояния вязкоупругих тел при динамических воздействиях приводит к начально-краевым задачам большей сложности, чем задачи теории упругости, поэтому в этой области механики деформируемого твердого тела получены более скромные результаты, чем в динамической теории упругости.

Всё выше сказанное позволяет сделать вывод о том, что обилие методов решения динамических задач обусловлено их ограниченностью. Каждый из них существенным образом опирается на форму деформируемого тела, свойства его материала и позволяет решить начально-краевую задачу только для достаточно узкого класса деформируемых тел. Не построены методы, позволяющие получать решение начально-краевой задачи в виде оператора, воздействующего на

начальные и краевые условия краевой задачи для тел произвольной формы. Поэтому исследования в этой области являются актуальными.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является разработка методов решения статических и динамических задач теории упругости и вязкоупругости, позволяющих выразить решение задачи для тел произвольной формы в виде квадратуры, воздействующей на начальные и краевые условия. Деформируемые тела предполагаются анизотропным и; конечными, ограниченными кусочно-гладкими поверхностями произвольной формы. Полагается, что области определения граничных условий не меняются со временем.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Для решения поставленной задачи осуществлено дальнейшее развитие метода преобразования Фурье и на основе этого разработаны комбинированные методы, включающие в себя несколько уже известных методов.

В работе осуществлено дальнейшее развитие метода преобразования Фурье. Определено преобразование Фурье для функций, заданных в конечной области пространства произвольной формы. Доказывается, что функция, обладающая преобразованием Фурье, восстанавливается по своему интегральному образу в точках непрерывности и дифференцируемости. Для вновь введенных свёрток по конечной области пространства и по конечной поверхности доказаны теоремы, аналогичные классической теореме о свёртке. Развитый аппарат преобразования Фурье, в совокупности с другими методами, применяется к решению динамических задач. Объединением методов преобразования Лапласа, Фурье и метода потенциала, получены решения статических и динамических задач теории упругости для однородного анизотропного материала в случае деформирования конечных тел произвольной формы. Для решения статических задач статической и динамической теории упругости, в случае деформирования неоднородных анизотропных тел произвольной формы, разработан метод опорных функций - комбинированный метод, использующий метод преобразования

Фурье и метод функций Грина. Статические и динамические задачи теории вяз-коупругости решаются сведением их к соответствующим задачам упругости. Сведение осуществляется за счёт предложенных в работе принципов соответствия между статическими и динамическими задачами вязкоупругости и упругости, основанных на интегральных преобразованиях.

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью постановки задач и корректностью проводимых математических преобразований, а также проверкой полученных в работе квадратур прямой подстановкой их в уравнения, начальные и краевые условия исходных статических и динам ических задач.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Полученные результаты могут быть использованы для расчета несущей способности пространственных конструкций, изготовленных из неоднородных анизотропных упругих и вязкоупругих материалов. Предложенные в работе квадратуры позволяют единообразно рассчитывать деформированное состояние конструкций произвольной формы при статических и динамических нагруже-ниях.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ

1. Доказательства теорем о том, что функции, обладающие преобразованием Фурье и заданные в конечной области, восстанавливаются по своему Фурье образу в точках непрерывности и дифференцируем ости.

2. Доказательства теорем о свёртках по конечной области и по поверхности.

3. Метод решения статических и динамических задач линейной теории упругости для однородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и методе потенциала.

4. Квадратуры решений первой, второй и третьей статических и динамических задач анизотропной теории упругости для однородного тела произволь-

ной формы. Доказательство того, что эти квадратуры удовлетворяют исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задач.

5. Комплексный метод решения статических и динамических задач линейной теории упругости для неоднородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и тензорах Грина.

6. Квадратура решения краевой задачи со смешанными статическими условиями, включающая первую и вторую статические и динамические задачи анизотропной теории упругости для неоднородного тела произвольной ф ормы.

7. Доказательство того, что эта квадратура удовлетворяет исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задачи.

8. Принципы соответствия между квазистатическими и динамическими задачами нелинейной анизотропной теории вязкоупругости для неоднородного стареющего материала и статическими и динамическими задачам и теории нелинейной упругости.

9. Соотношения, задающие класс вязкоупругих материалов, статические и динамические задачи для которого интегральными преобразованиями сводятся к задачам теории упругости.

10. Квадратуры решений статических и динамических задач теории вяз-коупругости со смешанными статическим и условиям и.

И. Решения задач о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы, о сжатии бруса между двумя плитами, о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы, о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вяз-коупругого материала, об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки, о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями, об анизотропной пластине со смещенным круглым вырезом, о деформированном состоянии анизотропной пластины в виде части квадрата и об анизотропной пластине в виде креста.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Всесоюзной школе и конференции молодых ученых. Куйбышев, 1978 г.

- Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение долговечности и надёжности машин и приборов". Куйбышев, 1981г.

- V Всесоюзной конференции по композиционным материалам. Москва, 1981г.

- Научном семинаре Н.Х. Арутюняна по вязкоупругости неоднородно стареющих тел. Москва. ИПМ. 1983 г.

- Второй всесоюзной конференций "Ползучесть в конструкциях". Новосибирск, 1984г.

- Всероссийской конференции по математическим методам в физике. Тольятти, 1993 г.

- Международной математической конференции. Секция уравнений мат.физики. Саранск, 1994 г.

- Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара,1996г.

- Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора СП . Пулькина. Самара, 1997 г.

- Международной конференции " Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара, 1998 г.

- 3-ем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98).Секция«Выч.лметоды.и т.д.».Новосибирск.ИМСОРАН,1998г.

- Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". Санкт-Петербург, 1999 г.

- Научном семинаре кафедры механики композитов МГУ. Москва, 2001г.

- Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их, приложения». Самара, 2002.

- Научном семинаре И.П.Машиностроения. Санкт-Петербург, 2003г.

- Научном семинаре кафедры вычислительной математики и механики Пермского Технического Университета. Пермь, 2003г.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликовано 25 работ включая монографию объёмом 149 стр.

СТУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы. Объём работы 170 страницы, включая 151 страниц текста, список литературы из 190 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ дан краткий обзор литературы, отражающий современное состояние вопросов исследования. Отмечен крупный вклад отечественных учёных Г.И. Петрашеня, В.М. Бабича и B.C. Булдырева, Б.Б. Кострова, Л.И. Слепяна, В.Б. Поручикова, В А. Свекло, B.C. Будаева, И.Г. Филипова, В А. Са-райкина, А.Ф. Федечева, Б.В. Кострова, В.Л. Березина, Л.Ю. Косовича, В.М. Александрова, Д.А. Пожарского, В.Т. Гринченко, В.П. Матвеенко, В.В. Мелеш-ко, Л.И. Фридмана, И.А. Притыкина, А А Рогового, С.В. Рудаченко, Т.В. Руда-ченко, С.А Калоерова, Е.С. Горянской, Ю.Б. Шаповаловой, Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б., В.В. Москвитина, Б.Е. Победри, Л.Е. Мальцева, А.И. Крекнина, Г.Н. Савина, Я.Я. Рущицкого, Т.В. Кадырбекова, В.В. Колокольчи-кова, Л .А. Галина, Н.А Труфанова, А. А. Шматковой И.Г. Филиппова, Н.А. Филипповой, О. А. Егорычева, Ю З. Сеницкого и других в создание и развитие методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости. Отмечен также существенный вклад зарубежных учёных Чао С.К., Юнга СВ., Мик-ловитца Дж., A.W. Maue, J.R. Willis, Y.H. Pao, A.W. Ewing, R. Skalak, С. Atkinson и других.

В этом же разделе обоснована актуальность научного исследования, сформулированы цель работы, её научная новизна, применение и практическая ценность. Изложены основные положения, выносимые автором на защиту.

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена описанию математического аппарата, необходимого для решения поставленной в работе задачи.

В РАЗДЕЛЕ 1.1 определён класс функций, используемый в работе, вводится преобразование Фурье для функций этого класса

е(к)= ^Ме-'^х

и доказывается, что эти функции восстанавливаются по своему образу Фурье.

В РАЗДЕЛЕ 1.2 и 13 вводятся свёртки по конечному объёму

т= ^(х-у)Г2(у)с1у

и по конечной поверхности

= ^(х-у.^у.^з.

Далее для введённых свёрток доказываются теоремы, аналогичные классической теореме о свёртке, т.е. что их образ Фурье имеет вид

Г(к)=г,'(ки2'(к).

В РАЗДЕЛЕ 1.4 получено фундаментальное решение анизотропного оператора Ламе

В РАЗДЕЛЕ 1.5 обосновывается представление решения статической задачи линейной теории упругости объёмным потенциалом

|Г(х) = |к(х,у) • Рз.^у^у .

Здесь

К(х,у) -тензор Кельвина-Сомилиан, а ^.ч(у)силы, распределенные вне рассматриваемого объёма.

В РАЗДЕЛЕ 1.6 построен интегральный образ фундаментального решения динамического уравнения теории упругости.

Здесь матрица

ВТОРАЯ, ТРЕТЬЯ, ЧЕТВЕРТАЯ И ПЯТАЯ ГЛАВЫ посвящены разработке и описанию метода решения статических и динамических задач теории упругости для однородного материала, основанного на объединении метода интегральных преобразований и метода потенциала. ВО ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ ГЛАВАХ диссертации проводится расчёт деформированного состояния упругих конечных тел произвольной формы, т.е. решаются первая, вторая и третья статические краевые задачи линейной изотропной и анизотропной теории упругости соответственно.

В РАЗДЕЛЕ 2.1 рассматривается первая краевая задача статической теории упругости для изотропного материала

<Лы(х) = Р*(х); е\(х) = | {и«(х) + и*у(х)}

Деформируемое тело считается конечным и имеющим произвольную форму. Получена квадратура, выражающая решение задачи через граничные условия:

«.(X) = ¿3- |кц(х- у) -[/Р!Ч(к) ■ и\о(Ю • е-'к-Мк]с1у.

Для полученной квадратуры доказывается, что она удовлетворяет исходной системе уравнений и краевым условиям.

В РАЗДЕЛЕ 2.2 рассматривается вторая краевая задача линейной изотропной теории упругости:

о'^(х) = Р*,(х); е*у(х) = 1{и'и(х) + (х)}

о'ч(х) = Г1)рч -е'рчСх); а ц(х)-п)(х)|8 = Р\(х8).

Как и в предыдущем параграфе, деформируемое тело считается имеющим произвольную форму. Решение задачи получено в виде квадратур:

Далее доказывается, что эти квадратуры удовлетворяют системе уравнений исходной задачи, а также её краевым условиям.

В РАЗДЕЛЕ 2.3 решается статическая задача линейной теории упругости со смешанными условиями, когда на части поверхности деформируемого тела заданы перемещения , а на остальной части - поверхностные си-

лы

1

О VI (X) = ^ (х); б\ (X) = 2 К ; (X)+и*м (X)} о*а(х) = Г](ие,11Ч(х);

и*.(х)|3ц =и*,о(х3); а*ч(х)П|(х)|^ =Р*1(х8).

Результатом решения этой задачи является квадратура

для которой также доказывается, что она удовлетворяет исходной системе уравнений и краевым условиям задачи.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ решаются динамические задачи теории упругости для изотропного материала.

В РАЗДЕЛЕ 4.1 строится квадратура решения первой динамической задачи теории упругости:

Материал тела предполагается однородным, изотропным, физические соотношения для него линейны, а само тело - имеющим произвольную форму, конечные размеры и ограниченным кусочно-гладкой поверхностью.

Разработанный в работе метод позволяет построить квадратуру решения задачи:

Далее доказывается, что эта квадратура является решением исходной задачи, т.е. что она удовлетворяет исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задачи.

В РАЗДЕЛЕ 4.2 решается вторая динамическая задача теории упругости:

ст<т(х,1)=Гйпр£ррч(х,1); айп(х5,1)пга(х3)=Р<(х8,1);

и;(х,1=0)=и1О(х); и1(х,1=0)=и„(х).

Для решения, полученного в виде

доказывается, что оно также удовлетворяет исходной системе уравнений, начальным и краевым условиям задачи.

В РАЗДЕЛЕ 4.3 решается динамическая задача со смешанными краевыми условиями:

о,(х,^=Г|р^и(х,0; и|(х,1=0)=ию(х); й,(х,1=0)=и1,(х).

л а+1® А

X

Как ] X {(к, Р) - к*ь]и (к, р)]Р*з (к, Р) + [(о)\ч° (к, Р) -

-(о)\чи(к,рЖип)^и(к,Р)}ак +

+ [^'¡(у, р) - рию<у) - им(у)]]с!у}с1р.

доказывается, что она удовлетворяет исходной системе уравнений, начальным и краевым условиям задачи.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ результаты главы 4 распространяются на однородные анизотропные линейные материалы. Получены решения первой, второй и третьей динамических задач теории упругости для анизотропного материала в виде квадратур, воздействующих на начальные и краевые условия.

Решение первой динамической задачи получено в виде:

и,(х,0/еЧ/ЯаХх - у,р)[-г.(у,р)+рия0(у) + и„(у)]<1у+

2711 «-»» V

+ /Я.Сх-у.р)-^ [е*',[Кег!га,(к,р)[ив0"(к,р)-

V, (271) л'

- Я'„/(к,рЖ""' [-Р%(у,р) + рир0(у) + ир1(у)]<3у]]<1кс1у}<1р.

V

(2л)1 ¿>

х -Лг 1е'к'^„чЧ(к,р)Мч(к,р)ёк1ёМк3 ёу^р.

х

(2л)

Для третьей задачи решение имеет вид:

и',(х,р)= |к*т(х-у,р)^з |е"'к,уЯ*т1.(к,р){[КV(к,Р)-- К'ьДк.рЛР'Ак.р) + [(а)\я°(к,р) - (о)\чи (к, р)] х

Далее доказывается, что полученные решения удовлетворяют системам уравнений а также начальным и краевым условиям исходных задач.

В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ предлагаемый метод решения распространяется на решение статических задач анизотропной теории упругости для неоднородного материала. Отмечается, что при определенных условиях метод может быть применим и к решению задач для неоднородного материала. Этому случаю посвящен РАЗДЕЛ 6.1, где приводится тензор Грина статической задачи со смешанными краевыми условиями, когда на части поверхности деформируемого тела заданы перемещения , а на остальной части - поверхност-

ные силы

ом(х) = Р*,(х); 6„(х) = Дх) + ^ ,(х)} и,(х)!8ц = оч(х)п,(х)|^ = Р,(х3),

а также РАЗДЕЛ 6.2, в котором решается динамическая задача теории упругости- Для тензора Грина статической задачи теории упругости получено выражение:

Решение динамической задачи получено в виде:

и,(х,1) = /ер' [ /о(х, у, р)(-р/ (у, р) - ри ^ (у) - %(у))с!у -- |и;з*(у8, р)(а)уч(в* (х, у8,р))пч (у8)с!5 +

В ГЛАВЕ 7 формулируются принципы соответствия между задачами теории вязкоупругости и упругости.

В РАЗДЕЛЕ 7.1 излагается принцип соответствия между статическими задачами нелинейной вязкоупругости со старением и статическими задачами теории упругости. Здесь для рассматриваемой задачи теории вязкоупругости:

установлены условия, при выполнении которых данная краевая задача интегральными преобразованиями вида: сводится к краевой

задаче теории нелинейной упругости для образов величин, входящих в исходную задачу:

Показано, что для этого необходимо и достаточно, чтобы ядра интегральных операторов исходной задачи вязкоупругости представлялись в виде:

В РАЗДЕЛЕ 7.2 принцип соответствия между статическими задачами нелинейной вязкоупругости со старением и статическими задачами теории упругости, распространяется на динам ические задачи теории вязкоупругости:

Здесь устанавливается, что для того же класса вязкоупругих материалов динамическая задача теории вязкоупругости в образах интегральных преобразований имеет вид:

т.е. совпадает с интегральным образом динамической задачи теории упругости.

Сформулированный принцип соответствия позволяет предложить следующую

последовательность решения динамической задачи теории вязкоупругости.

1. Устанавливается вид ядер оптимальных интегральных преобразований.

2. С их помощью осуществляется переход к краевой задаче для прообразов исходных величин. Поскольку полученная задача для прообразов одновременно является задачей для прообразов динамической задачи упругости, то, используя интегральные преобразования, находят эту задачу теории упругости.

3. Решают полученную задачу теории упругости.

4. Используя найденное решение задачи упругости, строят решение соответствующей ей задачи вязкоупругости.

ВОСЬМАЯ ГЛАВА посвящена решению статических и динамических задач теории вязкоупругости.

В РАЗДЕЛЕ 8.1 решается статическая задача теории вязкоупругости для однородного анизотропного стареющего материала:

.Полагая, что ядра релаксации в определяющем соотношении задачи представляются в виде:

и вводя интегральные преобразования с ядром

УЛРЛ):

приводим исходную краевую задачу к задаче теории упругости для образов интегральных преобразований:

Полученная задача представляет собой третью краевую задачу фиктивной упругости, решённую в разделе 33. Поэтому, пользуясь квадратурой, полученной в этом разделе, запишем решение задачи вязкоупругости в виде:

u,(x,t)= JYi(p,t){ |к*,т(х-у,р)[^1з je^Rmh(Kp){[KV(k,P)-- K*hju (k, p)JP*j (К pj + [(a)V(k.P) - (o)*hjqu(k,p)]x

В РАЗДЕЛЕ 8.2 решается динамическая задача теории вязкоупругости для анизотропного однородного стареющего материала:

Полагается, что ядра интегральных операторов представляются в виде:

R,jap (t, Т) = VW(p) Y,, (р, Oe^dp .

Тогда с помощью принципа соответствия краевая задача вязкоупругости приводится к виду:

Полученная краевая задача эквивалентна краевой задаче, решенной в разделе 5.3. Поэтому, воспользовавшись квадратурой её решения, построим решение исходной динамической задачи вязкоупругости:

ДЕВЯТАЯ ГЛАВА посвящена решению задач вязкоупругости и упругости для тел определенной формы.

. В РАЗДЕЛЕ 9.1 решается задача о напряженно - деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы из стареющего вязкоупругого квадратично нелинейного материала, сжимаемой по двум её поверхностям распределенными силами. Толщина полосы 2в, поверхностные распределения сил на её поверхностях известны.

Для решения задачи используется принцип соответствия, разработанный в седьмой главе, основной отличительной особенностью которого является применение к напряжениям и перемещениям разных интегральных преобразований. Соответствующая задача нелинейной упругости решается методом упругих решений с использованием функции напряжений Эри Ф(х,у). Найдено нулевое и первое приближения.

В РАЗДЕЛЕ 9.2 методом опорных функций решается задача о сжатии бруса между двумя плитам и. Размеры бруса - от 0 до 1 по оси x, от -Ь до Ь и от -а до а по осям у иг соответственно. Поверхностные силы, прикладываются к брусу на торцах - поверхностях и 82.. Боковая поверхность свободна. Краевая задача представляется в виде:

ощ(х) = 0; е,(х) = + и^(х));

о8 (х) = 2 е^ (х) + 2ц£^(х);

Найденные перемещения имеют вид:

В РАЗДЕЛЕ 9.3 решается задача о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы (О < X ^ а, 0 < У < Ь), выполненной из вязкоупругого стареющего линейного материала:

Здесь свойства материала определяются ядрами релаксации:

Интегральный прообраз данной задачи совпадает с интегральным прообразом динамической задачи теории упругости для прямоугольной ортотропной пластины, решенной Сеницким Ю.Э. На основании этого, строятся искомые перемещения-решения данной задачи:

В РАЗДЕЛЕ 9.4 решается задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязко-упругого материала. Бесконечный брус кругового сечения радиуса R, изготовленный из кубически нелинейного стареющего неоднородного вязкоупругого материала, закручивается моментом сил М(1), приложенным к торцу:

С*:

+Р,(М)=р

_ Аои).

Е,.Сх,г)=-

1|5и{(х,0 , сЬДхд)

^(х,1,т)е0|з(х,т)сЬ+ ооо

М=М(х,1), Хб8т; Р|(х,1)=0, хеБб; и;(х,1=0)=и,(хР); й,(х,1=0)=йДх,0).

Для решения задачи используется принцип соответствия между динамическими задачами упругости и вязкоупругости, согласно которому соответствующая задача теории упругости имеет вид:

Решение задачи теории упругости ищется с использованием цилиндрических координат и гипотезы плоских сечений, в соответствии с которой ради-

ально направленные волокна остаются радиально направленными и углы между ними не меняются при деформировании. Поэтому деформация бруса осуществляется только за счет коаксиального поворота плоскостей, перпендикулярных оси z относительно друг друга на некоторый угол 9.

Найденные решения задачи теории упругости и принцип соответствия позволяют построить перемещения исходной динамической задачи вязкоупруго-сти:

и, = их = 0; иф(г,г,1) = г |||ертК(г - ст)<1т| У(р, .

В РАЗДЕЛЕ 9.5 решается задача об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки длиной 5 м, представляющей собой в сечении квадрат со стороной 60 см. Балка изгибается противоположными моментами сил приложенными к ее торцам. Боковая поверхность свободна от нагрузок. Балка изготавливается за 10 дней, наращиваясь по оси х с постоянной скоростью.

а^ 0; ^ Е,^

Согласно принципу соответствия, данная краевая задача интегральным преобразованием с ядром

обратным ядру ,сводится к задаче нелинейной фиктивной упругости.

+ = 0; у(х.т') = ^{и,,_,(х,1) + и^(х,1)},

Последние соотношения показывают, что решения — напряжения исходной задачи вязкоупругости и задачи фиктивной упругости совпадают. Поэтому разница между решениями этих задач будет состоять только в деформациях и перемещениях.

На рис.1 и 2 представлены графики зависимостей £нот х и у для различных моментов нагружения и наблюдения в случае , причем

=1кгс/см . Функция К^-Х (г),х-х (г))- ядро Н.Х. Арутюняна, равна

а

Постоянные для бетона

составляют:

Сл=0,975- 10~5(кгс/см 2)',А 1 = 4,62 • 10 5 сутУ(кгс/см 2), У = 0,03 сут."', Ео = 2,6 • 105 кгс/см \ Р = 0,206 сут."1

На рис.1 изображена зависимость деформации от координаты у для моментов загружения 20 и 50 суток для различных моментов наблюдения I.

Номер кривой Координата х Момент загружения. Момент наблюдения

1 0 20 50

2 0 20 80

3 500 20 50

4 500 20 80

Ц, 1

Рис.1

На рис.2 изображены зависимости деформации от координаты х для тех же моментов нагружения и наблюдения, причем при растяжении считается, что связь сг — Е линейна, а при сжатии - кубически нелинейна. Коэффициент пропорциональности ядра кубически нелинейного и ядра линейного выбран равным 3*10-4 .

Номер кривой Момент загружения Момент наблюдения

1 20 50

2 20 80

3 20 110

4 20 140

Рис.2

В РАЗДЕЛЕ 9.6 методом опорных функций с использованием цилиндрических координат решается задача о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениям и и на поверхности трубы перемещениями.

Здесь Е и V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно; Ил и внутренний и внешний радиусы трубы; Р и заданное внутри давление и на поверхности перемещение.

Поскольку давления Р и перемещения ио не зависят от угла краевая задача (1)в перемещениях приобретает вид;

Для решения поставленной задачи перемещение представляется в

виде:

и(г) = -/0(г,г'Жг')<Кт+ |г'0(г,г')Р<Ь-

Здесь 0(г,г) — функция Грина краевой задачи; V — объём, занимаемый трубой; внутренняя и внешняя поверхности.

Функция Грина краевой задачи ищется в виде разложения в двукратный ряд Фурье:

Решение задачи сводится к решению матричного уравнения:

0x8

Рис.3

Расчет проводился средствами MathCad 2000. Внутренний радиус трубы считался равным 1 единице длинны, а внешний - 7 единицам. Модуль Юнга полагался равным единице, т.е. усилия задавались в долях модуля Юнга, коэф-

фициенг Пуассона считался равным 'Л.. Количество членов ряда Фурье задавалось равным 17, т.е. матрица йор - матрица 17x17. Все интегралы считались численно. На рисунке 3 изображены графики известного точного решения данной задачи (г + 1/г) (пунктир) и приближенного решения (сплошная линия).

Приближенное решение отличается от точного, например, в точке г = 4 на 1,5%. Основное преимущество данного метода - поиск функции Грина без решения краевой задачи.

В РАЗДЕЛЕ 9.7 методом опорных функций решается задача об анизотропной пластине со смещенным круглым вырезом.

сч>Дх) = Р;(х); £д(х) = ^{ад(х)+и^(х)},

о8(*) = ГШ)Чеи(х); и,(х)|5 = и|0(х).

Здесь деф о ¡»л ируемое тело - это анизотропная квадратная пластина со стороной 40л и круглым вырезом радиуса Юл, смещенным относительно центра пластины на величину 2,5л по оси х и на 8л по оси у. Массовые сипы Р,(х) и перемещения на границе и10(х) задаются соотношениями:

Рх(х) = 5^2-10_< +8,16-10~У + 1Д52-10~4ху-1,152-10~4у,

Ру(х) = 8Д6-1(ГУ + 7,98-1 (Г5 ху,

ихо(х)|х=-2о„ =-20л-2-10"4лу3-1(ГУ +0,8-10"1 я2 +10,

= 20т: + 2-10-4Лу3-Ю~У +0,8-10'1л2 +10,

их0 (х)| = х - 8 • 10"2 л3х + 8 • 10"2 я3х+0,2 • 10"3 х2 +10, и х0 (х)| = х + 8■ 10"2 я3 х - 8 • 10-2 л3 х + 0,2 • 10"3 х1 +10,

мЧ-*.--8-10"**4

Закон Гука имеет вид:

^хх(х.У)=хх(х>У)+^2еууУ). оуу(х,у)=А.1Еиг(х,у)+А.2ехх(х,у), оху(х,у)=4Х3еху(х,у), стху(х,у)=сту1(х,у).

Упругие постояные: = 1^3 Х2 = 0,8. =0,96.

В качестве опорных функций выбирались перемещения:

и1х(х,у) = х3у + у4, и1у (х,у) = 5т(0,01ху) и2х (х,у) = соб(х /(у +1)), и2у (х,у) = х2у.

На рис. 4 приведены в одних осях графики - точные и найденные перемещения по осям х и у. Видно, что совпадают.

umpllllg UBy,ully

Рис.4.

В РАЗДЕЛЕ 9.8 методом опорных функций решается задача об анизотропной пластине в виде части квадрата, изображенная на рис. 5.

Массовые силы F,(x) и перемещения на границе ul0(x) задаются соотношениями:

F, (X)=5,32- 10"2 + 1Д52- 10""2ху- Ц52- 10"2у + 5,76-10"3 у2, Fy(x)=5,76-10"3y2 +7^8-10"3xy, u*o(x)U2(h, =-20я-2' 10"2пу' -Ю-'у3 + Sic2 +2 • 103, ui0 (хЦ =20тс+2 • 1 (Г1 лу3 -1 (T'y3 + 0,8 • 10"' п2 + 2 • 103, их0 (хЦ^ = х+6,4 • 1 Oi^x - 6,4 • 1 Ол3 + 0,2 • 10"1 х2 + 2 • 103, ".»(xLv^o-)1 = х + 10~У *-Ю"3у+ 0,2 • ICr'x2 +2 • 1(Г3,

+2-103,иуО(Х)|1_2Оя=2-10^7суэ +2-105, =1г3хуЭ +2'10?-

Рис. 5.

Закон Гука имеет вид:

охх(х,у) = Х|£хх(х,у)+Х2Е>у(х,у), стуу(х,у) = Х1£уу(х,у)+Х28)к(х,у),

Упругие постояные: =1,33 Х2=0,8 Я-з=0,96. В качестве опорных функций выбирались перемещения: и'к(х.у) = х3у + у4, и1у(х,у) = зт(0,01ху)

На рис. 6 приведены в одних осях графики — точные и найденные перемещения по осям х и у. Видно, что они практически совпадают.

В РАЗДЕЛЕ 9.9 методом опорных функций решается задача об анизотропной пластине в виде креста, изображенная на рис. 7.

у

У Г г V ^ 1

Рис.7.

°,ы(х) = Р,(х); еу(х) = |{ии(х) + и^(х)}; од(х) = Г5р„ерч(х); и,(х)|3 = и10(х). Упругие постояные: Я^ =133 >^=0,8 >.3=0,96 , а закон Гука имеет вид: ст„(х,У)=^еи(х,у)+?12еуу(х,у), ауу(х,у)=?пеуу(х,у)+Х2ехх(х,у), о1у(х,у)=ст/х(х,у).

В качестве опорных функций выбирались перемещения:

и1х(х,у) = х3у + у4, и1у(х,у) = 5т(0,01ху) и2х(х,у) = х+у + ху2, и2у(х, у) = х2у.

На рис. 8 приведены в одних осях графики-точные и найденные перемещения по осям х и у. Видно, что они совпадают.

«А Рис.8.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Доказано, что непрерывно дифференцируемые функции, обладающие преобразованием Фурье и заданные в конечной области, восстанавливаются по своему Фурье-образу в точках непрерывности.

2. Для введённых по конечной области и по поверхности свёрток доказаны теоремы, аналогичные классической теореме о свёртке.

3. Получен интегральный образ тензора Кельвина-Сомильяно динамического уравнения анизотропной теории упругости.

4. Разработай метод решения статических и динамических задач линейной теории упругости для однородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и методе потенциала.

5. Указанным методом получены тензоры Грина первой и второй статических задач, квадратуры решений первой, второй, и третьей статических и динамических задач анизотропной теории упругости для однородного тела произвольной формы. Доказано, что эти квадратуры удовлетворяют исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задач.

6. Разработан комплексный метод решения класса статических и динамических задач линейной теории упругости для неоднородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на использовании интегральных преобразований и тензора Грина.

7. Комплексным методом построена квадратура решения краевой задачи со смешанными статическими условиями, включающая первую и вторую краевые и динамические задачи анизотропной теории упругости для неоднородного тела произвольной формы. Доказано, что эта квадратура удовлетворяет исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задачи.

8. Установлены принципы соответствия между статическими и динамическими задачами нелинейной анизотропной теории вязкоупругости для неоднородного стареющего материала и статическими и динамическими задачами теории нелинейной упругости.

9. Найден класс вязкоупругих материалов, для которых статические и динамические задачи сводятся к задачам теории упругости.

10 Получены квадратуры решений линейных статических и динамических задач теории вязкоупрутости со смешанными краевыми условиям и.

12. В качестве иллюстрации, приводятся решения задач о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы, о сжатии бруса между двумя плитами, о напряженно-деформированном состоянии вязкоуп-ругой ортотропной пластины прямоугольной формы, о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала, об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки, о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями, анизотропной пластины со смещенным круглым вырезом, анизотропной' пластины в виде части квадрата и в виде креста.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ермоленко Г.Ю. Одна из возможностей построения определяющего уравнения для скорости ползучести. //Межвузовский сборник "Физика структуры и свойств твёрдых тел". Куйбышев. 1976. С. 49 - 54.

2. Ермоленко Г.Ю. Динамика дислокаций и внутреннее трение. // Механика деф. тв. тела. Всесоюзная школа и конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Куйбышев. 1978. С. 16.

3. Ермоленко Г.Ю. Метод расчёта напряженно-деформированного состояния и долговечности стареющих материалов при нелинейном вязкоупругом поведении. // Всесоюзная научно-техническая конференция "Повышение долговечности и надёжности машин и приборов". Тезисы докладов. Куйбышев. 1981. С. 23.

4. Ермоленко Г.Ю. Представление краевых задач для нелинейных вязкоупругих композитов. // Тезисы докладов V Всесоюзной конференции по композиционным материалам.В. П. Москва. 1981. С. 11-13.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

« ОЭ ?00 «кт ^ |

5. Ермоленко Г.Ю., Колокольчиков ВВ. О решении задач главной кубической теории вязкоупругости для неоднородно стареющих тел. // ДАН Арм. ССР. 1984. № 4. С. 159-164. Доля личного участия 80 %.

6. Ермоленко Г.Ю., Колокольчиков ВВ. Плоская задача деформирования кубически нелинейного вязкоупругого бруса со старением. // Вторая всесоюзная конференция «ползучесть в конструкциях». Тезисы докладов. Новосибирск. 1984. С. 130.

7. Ермоленко Г.Ю. Модифицированное преобразование Фурье и решение линейных интегро-дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математическим методам в физике. Тольятти. 1993. С. 12.

8. Ермоленко Г.Ю. Способ решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. // Тезисы докладов международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Секция уравнений мат. физики. Саранск. 1994. С. 65.

9. Ермоленко Г.Ю. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения. // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара. 1996. С 51.

10. Ермоленко Г.Ю. Способ решения начально-краевых задач для оператора теплопроводности. // Международная научная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения профессора СП. Пулькина. Самара. 1997. С. 26 - 27.

11. Ермоленко Г.Ю. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения. // Аэрокосмическая техника. Вестник ПГТУ. № 2. 1997. С. 67.

12. Ерм оленко Г.Ю Способ решения второй начально-краевой задачи теории упругости интегральными преобразованиями. // Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара. 1998. С. 128.

13. Ермоленко Г.Ю. Принцип соответствия краевых статических задач нелинейной вязкоупругости со старением краевым задачам теории упругости. // ПМТФ. Т. 39. № 4.1998. С.155 -161.

14. Ермоленко Г.Ю. Деформированное состояние упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагру-жениях. Издательство Самар. Гос. Аэрокосм. Ун-т. Самара. 2001.149 стр.

15. Ермоленко Г.Ю. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала. // ПММ. Т. 66. В. П. 2002. С. 317-321.

16. Ермоленко Г.Ю. Решение второй начально-краевой задачи линейной теории упругости для тел конечного объема из изотропного материала.//Тезисы докладов 3-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математики (ИНПРИМ -98). Ч 2. Секция «Выч. методы и т.д.». Новосибирск. ИМ СО РАН. 1998. С. 97.

17. Ермоленко Г.Ю., Юшков С А. Способ решения первой начально-краевой задачи линейной теории упругости для изотропных тел //ПММ. Т. 62 Вып. 4, 1998. С. 715 -718. Доля личного участия 90 %.

18. Ермоленко Г.Ю., Юшков СЛ. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала // Межвузовский сборник научных трудов с международным участием. Исследования и разработки ресурсосберегающих технологий на железнодорожном транспорте. Самара. 2002. С. 463- 464. Доля личного участия 90 %.

19. Ермоленко Г.Ю., Юшков СЛ Напряженно -деформированное состояние квадратично нелинейной вязкоупругой полосы. // Тезисы докладов IV Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". Санкт-Петербург. 1999. С. 115 - 117. Доля личного участия 90%.

20. Ермоленко ГЮ. Методы расчета деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях. / Деп. ВИНИТИ № 860-13-2001. 179 с.

21. Ермоленко Г.Ю. Принцип соответствия краевых динамических задач нелинейной вязкоупругости со старением динамическим задачам теории упру-

1-9056

гости. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8. В. 1. 2001. С. 167-169.

22. Ермоленко Г.Ю. Решение динамической задачи анизотропной теории упругости со смешанными краевыми условиями // Вестник СамГТУ. Вып. 19. Сер. «Физ. -мат. науки». 2003. С. 86-88.

23. Ермоленко Г.Ю. Метод опорных функций. Математическое моделирование и краевые задачи. // Труды тринадцатой межвузовской конференции. Самара. 2003. С. 57-60.

24. Ермоленко Г.Ю. Метод проб для решения статических и динамических задач линейной анизотропной теории упругости. // Известия вузов. Машиностроение. № 2.2003. С. 3 - 7.

25. Ермоленко Г.Ю. Метод опорных функций для решения задач математики и механики. // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". В. 26. Самара. 2004. С. 126-127.

Подписано в печать 15 04 2004г. Формат 60 х 90 1/16 Бумага офсетная Печать оперативная Усл п.л 2,35 Тираж 100 экз. Заказ № 59.

Отпечатано в Самарской государственной академии путей сообщения г. Самара, ул. Заводское шоссе, 18