Расчет деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел методом опорных функций с учетом внешних воздействующих факторов

Ермоленко, Георгий Юрьевич

Расчет деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел методом опорных функций с учетом внешних воздействующих факторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Ермоленко, Георгий Юрьевич АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Орел МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Автореферат по механике на тему «Расчет деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел методом опорных функций с учетом внешних воздействующих факторов»

Автореферат диссертации на тему "Расчет деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел методом опорных функций с учетом внешних воздействующих факторов"

На правах рукописи

Ермоленко Георгий Юрьевич

РАСЧЕТ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ И ВЯЗКО-УПРУГИХ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ОПОРНЫХ ФУНКЦИЙ С УЧЕТОМ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВУЮЩИХ ФАКТОРОВ

01.02.04 - Мехатмка деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Орел - 2005

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете и Самарской государственной академии путей сообщения

Научный консультант -доктор технических наук, профессор Мулюкин Олег Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Холин Николай Николаевич; доктор технических наук, профессор Юрьев Александр Гаврилович; доктор физико-математических наук, доцент Шоркин Владимир Сергеевич

Ведущая организация — Тульский государственный университет

Защита состоится «14» апреля 2005 г. в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.182.03 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного технического университета

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Учёный секретарь совета

Борзенков М.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Развитие железнодорожного, авиационного, морского и других видов транспорта сопровождается ростом энерговооруженности силовых установок, скоростей движения подвижного состава и повышением его грузоподъемности. Повышение эксплуатационных требований к транспортным средствам при минимизации массогабаритных характеристик их систем и агрегатов обуславливает необходимость совершенствования методов расчета деформированного состояния и работоспособности несущих конструкций в условиях варьирования внешних нагрузок.

Для решения возникающих при этом задач статической и динамической теории упругости и вязкоупругости динамически нагруженных элементов пользуются методами отечественных учёных: Г.И. Петрашеня, В.М. Бабича и B.C. Булдырева, В.А. Гордона, Б.В. Кострова, Л.И. Слепяна, В.И. Желткова, В.Б. Поручикова, В.А. Свекло, B.C. Будаева, И.Г. Филипова, В.А. Сарайкина, А.Ф. Федечева, Б.В. Кострова, В.Л. Березина, Л.Ю. Косовича, В.М. Александрова, ДА Пожарского, В.Т. Гринченко, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, B.C. Шор-кина, Л.И. Фридмана, И.А Притыкина, А.А. Рогового, С. В. Рудаченко, Т.В. Рудаченко, С.А Калоерова, Е.С. Горянской, Ю.Б. Шаповаловой, Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б., В.В. Москвитина, Б.Е. Победри, Л.Е. Мальцева, А.И. Крекнина, Г.Н. Савина, Я.Я. Рущицкого, А.И. Станкевича, Т.В. Кадырбекова, В.В. Колокольчикова, Л.А. Галина, Н.А. Труфанова, А.А. Шматковой И. Г. Филиппова, Н.А. Филипповой, О.А. Егорычева, Ю.Э. Сеницкого а также зарубежных учёных Чао С.К., Юнга С.В., Микловитца Дж., A.W. Maue, J.R. Willis, Y.H. Pao, AW. Ewing, R. Skalak, С. Atkinson и других.

В последнее время дальнейшее развитие получили классические методы решения задач теории упругости, такие как метод Винера - Хопфа, метод Виллиса, асимптотические методы, метод интегральных уравнений, метод функций Грина, метод представления решения статических задач упругости с помощью функций Папковича - Нейбера, метод функционально - инвариантных решений, лучевой метод. В последние годы большое внимание отечественными учеными уделяется разработке метода интегральных преобразований для комплексного решения задач по указанной проблеме. Причем расширение возможностей методов решения статических задач идёт по двум направлениям. Первое - развитие самих методов решения статических задач. Например, благодаря развитию метода Винера- Хопфа удалось решить задачи о дифракции упругих волн на подвижной трещине, о дифракции на границе раздела жидкости и твёрдого тела и т.д. Благодаря дальнейшему развитию метода Папковича - Нейбера удалось построить полные решения стационарных задач для конечных тел канонической формы. За счёт развития метода Колосова - Мусхелишвили удалось решить задачу об изгибе бесконечной пластины с шестиугольным вырезом, в явном виде получить общее решение задачи антиплоского деформирования упругого пространства с несколькими цилиндрическими включениями. Метод конечных интегральных преобразований разрабатывается Ю.Э. Сеницким.

Второе направление, расширяющее возможности методов решения динамических задач - это разработка и применение комплексных методов, вклю-

чающих в себя несколько уже известных и вновь разрабатываемых методов. Так, совместное применение метода интегральных преобразований и представления решений в форме Смирнова - Соболева, позволило решать пространственные задачи дифракции. Комбинированный метод интегральных преобразований и выделения особенностей, разработанный В.Б. Поручиковым дал возможность решить пространственные динамические задачи теории упругости для клиновидных областей со смешанными статическими условиями.

Методы решения динамических задач теории упругости представляют ценность не только для теории упругости, но и для других разделов механики деформируемого твёрдого тела и математики в целом. Например, к краевым задачам статической теории упругости с использованием принципов соответствия сводится достаточно большой класс статических задач теории вязкоупруго-сти для неоднородно стареющего анизотропного материала, подвергаемого медленным процессам деформирования.

Каждый из методов существенным образом опирается на форму деформируемого тела, свойства его материала и позволяет решить начально-краевую задачу только для достаточно узкого класса деформируемых тел, причем к настоящему времени не построены методы, позволяющие получать решение начально-краевой задачи в виде оператора, воздействующего на начальные и краевые условия краевой задачи для тел произвольной формы.

Возможность получения точных решений практических задач механики анизотропных тел имеется лишь для ограниченного числа частных видов анизотропии и формы деформируемых тел. Не решены, в частности, задачи расчета напряженно-деформированного состояния толстостенных труб с механическими характеристиками, произвольным образом изменяющимися вдоль радиуса. Такого рода объекты являются расчетными моделями стволов артиллерийского и стрелкового вооружения, корпусов и защитных устройств ядерных энергетических установок, сосудов высокого давления в химическом и энергетическом машиностроении, трубопроводов и запорных клапанных устройств различного назначения. Современные численные методы, такие как метод конечных элементов, в основном, решают проблему проверочных расчетов. На стадии же предварительного проектирования предпочтительнее использование аналитических методов. Таким образом, широкое распространение технических объектов сложной формы, выполненных из анизотропного материала с одной стороны, и несовершенство инженерных методов расчета их деформированного состояния с другой стороны, делают задачу совершенствования аналитических методов расчета и исследования указанных объектов важной и актуальной, представляющей значительный практический интерес для предприятий отечественной промышленности.

Работа выполнялась по договору № 9-1-00 от 20.06.00 г. «О научно-техническом и педагогическом сотрудничестве Орловского государственного технического университета (ОрелГТУ) и Самарской государственной академии путей сообщения (СамГАПС) на 2000-2005 гг. в рамках отраслевой Программы энергосбережения на железнодородном транспорте в 1998-2000, 2005 годах

(Постановление Правительства Российской Федерации от 04.07.98 г. № 262 пру; Указание МПС Российской Федерации от 09.10.98 г. № Б-1166у).

Целью работы является разработка методов решения статических и динамических задач теории упругости и вязкоупругости, позволяющих выразить решение задачи для тел произвольной формы в виде квадратуры, воздействующей на начальные и краевые условия, а также методов эффективного точного и приближенного аналитического и численного вычисления этих квадратур с помощью предложенного в работе метода опорных функций для решения широкого класса прикладных задач в механике деформируемых тел.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Обобщить понятие свертки функций на случай, когда функции, составляющие свертку, задаются в конечной области или на конечной поверхности.

2. Доказать для этих сверток теоремы, аналогичные классической теореме о свертке.

3. Объединить методы преобразования Лапласа и Фурье с методом потенциала.

4. Разработать метод опорных функций, использующий метод интегральных преобразований и метод функций Грина.

5. Разработать метод сведения задач статической и динамической теории вязкоупругости к соответствующим задачам теории упругости.

Научная новизна:

1. Доказаны теоремы о свёртках по конечной области и по поверхности.

2. Разработан метод решения статических и динамических задач линейной теории упругости для однородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и методе потенциала.

3. Получены квадратуры решений первой, второй и третьей статических и динамических задач анизотропной теории упругости для однородного тела произвольной формы. Доказано, что эти квадратуры удовлетворяют исходной системе уравнений, а также начальным и краевым условиям задач.

4. Создан метод приближенного аналитического решения статических и динамических задач линейной теории упругости для неоднородных анизотропных тел произвольной формы, основанный на интегральных преобразованиях и тензорах Грина.

5. Разработаны принципы соответствия между квазистатическими и динамическими задачами нелинейной анизотропной теории вязкоупругости для неоднородного стареющего материала и статическими и динамическими задачами теории нелинейной упругости.

6. Получены соотношения, задающие класс вязкоупругих материалов, статические и динамические задачи для которого интегральными преобразованиями сводятся к задачам теории упругости.

7. Получены квадратуры решений статических и динамических задач теории вязкоупругости со смешанными краевыми условиями.

8. Решены задачи о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы, о сжатии бруса между двумя плитами, о напряженно-

деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы, о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вяз-коупругого материала, об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки, о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями, об анизотропной пластине со смещенным круглым вырезом, о деформированном состоянии анизотропной пластины в виде части квадрата, об анизотропной пластине в виде креста и о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из анизотропного материала.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановки задач и корректностью проводимых математических преобразований, проверкой полученных в работе квадратур прямой подстановкой их в уравнения, начальные и краевые условия исходных статических и динамических задач, а также решением разработанными методами тестовых задач.

Практическая ценность полученных в диссертации результатов заключается в том, что они систематизируют и дополняют набор синтезированных соотношений по расчету несущей способности пространственных конструкций произвольной формы, изготовленных из однородных и неоднородных упругих анизотропных и вязкоупругих материалов. Это позволяет рассчитывать деформированное состояние несущих конструкций средств транспорта, а также мостов и сооружений как при статических так и динамических внешних воздействиях. Внедрение результатов диссертации в инженерную практику расширяет возможности математического аппарата проектировщика, повышает научно-технический уровень проектирования, увеличивает точность и надежность расчетов, сокращает сроки и стоимость проектных и экспериментальных работ. Решение данной задачи особенно актуально для криогенного клапанного агре-гатостроения в связи с переходом транспортных средств на новые, более перспективные криогенные топлива (сжиженный природный газ, жидкий водород и др.)

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Всесоюзной школе и конференции молодых ученых. Куйбышев, 1978 г.; Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение долговечности и надёжности машин и приборов". Куйбышев, 1981г.; V Всесоюзной конференции по композиционным материалам. Москва,1981г.; научном семинаре Н.Х. Арутюняна по вязкоупругости неоднородно стареющих тел. Москва. ИПМ. 1983 г.; Второй всесоюзной конференций "Ползучесть в конструкциях". Новосибирск, 1984г.; международной математической конференции. Секция уравнений мат. физики. Саранск, 1994 г.; международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 1996г.; международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора СП. Пулькина. Самара, 1997 г.; международной конференции " Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара, 1998 г.; 3-ем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Секция «Выч.методы и т.д.». Новосибирск. ИМСОРАН, 1998г.; международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте".

Петербург, 1999 г.; научном семинаре кафедры механики композитов МГУ. Москва, 2001г.; международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2002 г.; научном семинаре И.П.Машиностроения. Санкт-Петербург, 2003г.; научном семинаре кафедры вычислительной математики и механики Пермского Технического Университета. Пермь, 2003г.; научном семинаре Института механики сплошной среды УО-РАН. Пермь, 2004 г.; научном семинаре Тульского государственного университета, 2005 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ общим объемом 26 п.л., включая 2 монографии и 3 авторских свидетельства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы. Объём работы - 189 страниц, включая 170 страниц текста и список литературы из 193 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражено современное состояние вопросов исследования, обоснована актуальность научного исследования, сформулированы цель работы, её научная новизна, применение и практическая ценность. Изложены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена разработке математического аппарата, используемого для решения общих и конкретных задач, поставленных и решаемых в работе, при этом:

- определён класс функций, используемый в работе, введено преобразование Фурье для функций этого класса и доказано, что эти функции восстанавливаются по своему образу Фурье;

- введены свёртки по конечному объёму Г(х)= |У|(х-у)Г2(у)(1у и по конечной поверхности причем для них доказаны теоремы, аналогичные классической теореме о свёртке;

- получено фув * гора Ламе

кт„(х-у)=-2-з |№)*т„(к)Г1 .е'к-^>ак.; (¿л)

- обосновано представление решения статической задачи линейной теории упругости объёмным потенциалом

- построен интегральный образ фундаментального решения динамического уравнения теории упругости

Во второй и третьей главах диссертации проводится расчёт деформированного состояния упругих конечных тел произвольной формы, т.е. решаются

- получена квадратура: выражающая решение первой краевой задачи статической теории упругости

ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО -"^""отто

* ^ \ 1—* ч * , \ I ( *

ил

Ы (х) = Р*, (х); £*ц(х) = - |и*м(х) + и'.,., (х)},

<Л|(х) = гирЧ ■ е*рч(х); и", (х)|з = и*,0(х).

Деформируемое тело считалось конечным и имеющим произвольную форму. Для полученной квадратуры доказано, что она удовлетворяет исходной системе уравнений и краевым условиям;

- получены квадратуры

°(Х) = (2^ Р(Х " У)* {* Р*(Ю^' е"'к'У(1к}с1у'

решения второй краевой задачи линейной изотропной теории упругости: (х) = (х); £*у(х) = ^ {и*, J (х) + и*,., (х){;

а*ч(х) = Гард-е*рч(х); ст',1(х)п](х)|з=Р*,(х3).

Доказано, что они удовлетворяют системе уравнений исходной задачи, а также её краевым условиям.

- решена статическая задача линейной теории упругости со смешанными условиями, когда на части поверхности деформируемого тела 8и заданы перемещения а на остальной части поверхностные силы

ст*и,Дх) = Р*,(х); е*и (х) = - {и*м (х) + и\, (х)},

^*и(х) = г;,рр8*рЧ(х);

и*,(х)|5 =и*,о(х8); о\(х)п,(х)^=Р*1(х8). Получена квадратура

и,(х)= Гкт(х-У)—^ |е"|к*уЯт|,(к){[К*^"(к)-К*^'1(к)]Р*;(к) +

V» (2л) н'

+ [И V (к) - (сг)*^чи (к)](ип)*,ч" (к);акйу

с доказательством того, что она удовлетворяет исходной системе уравнений и краевым условиям задачи.

В четвертой главе решены динамические задачи теории упругости для изотропного материала:

- с помощью разработанного в диссертации метода, построена квадратура

| a+ioo

и,(х, t) = — jep1 {jR<n(х - у, p)[-F*„(у, р)+pun0(y) + unl (y)]dy+

а-ioo V

+ jR,n(x-y,p)-^- Je'k*y[Rez2nm(k, p)[um0"(k,p) -

V2 (IJI> R"

-R'mp*(k,p) Je 'k*x [-F*P(y,p)+pup0(y) + upl(y)]dy]dkdy]dp v

решения первой динамической задачи теории упругости:

CTfinm(x, t)+F, (X, t) = pu, (x, t); b,j (x, t)=^(utJ (x, t)+Uj f (x, t));

<^(хД)=Гд^и(х,1); u,(xs,t) = ul0(xs,t); u,(x,t = 0) = u,0(x); u,(x,t=0) = u„(x).

Доказано, что эта квадратура является решением исходной задачи, т.е. что она Удовлетворяет исходной системе уравнений, а также начальным и краевым )словиям задачи;

- решена вторая динамическая задача теории упругости:

<W(x,t)+F,(x,t)=pu,(x,t); с,, (х, t)=^ (u (J (х, t)+ujf (х, t)): =r4np<ft14(x,t); aini(xs,t)nm(xs)=Р, (x^t);

u,(x,t=0)=u,o(x); ui(x,t=0)=u„(x).

Для решения, полученного в виде

J a+ia> I

иДх.0 = — Jeptj jR,n(x-y,p)®*n(y,p)dy+ jRin(x-y,p)x

доказано, что оно также удовлетворяет исходной системе уравнений, начальным и краевым условиям задачи;

- решена динамическая задача со смешанными краевыми условиями:

о,и (х, О=рш (х, 0; |и,/хД)+и11 (хД)},

ои(хД)=Гда^рч(х,1); и1(хд=0) = и1.(х); й,(хд=0) = и,,(х). и,(хД^ =и|0(ХдД); сти(хД)п|(х]|^ = Р,(х5,1).

Как и ранее, для полученной квадратуры

(2 лУ

|e'k*y N nq(к, р)М q (к, p)dk, dk 2dk3

dy]dp

доказано, что она удовлетворяет исходной системе уравнении, начальным и краевым условиям задачи.

В пятой главе на базе результатов главы 4 получены решения первой, второй и третьей динамических задач теории упругости для анизотропного материала в виде квадратур, воздействующих на начальные и краевые условия: - первой динамической задачи:

и, (X,I) = |ер1 { К,(х - у,р)[-Р*„ (у,р) + ри„0(у) + иы (у)]с!у -

2711 ' '

+ /к^сх-у.р)—1-3 |е'к-у[е1к-у[Яе22„т(к,р)[ит0**(к,р)-- К'тР*(к,р) |е~'к*х [-Р*Р(у,р) + рЧро(у) + ир1 (у)]с1у]с1кс!у.

;ля второй динамической задачи:

1 а+1°о I

иДх,1) = — |ер'] |к,п(х-у.р)Ф*,1(у,р)ау+ /^(х-у.р))

а-|<ю I V

|е|к-уМП(!-,(к,р)М(1(к,р)ак|ёк2ёкз

_(2пУ

■ для третьей динамической задачи:

<3у)с1р.

и',(х,р)= |к'т(х-у,р)—^з |е"1к'у11*ть(к,р);[К V(к,р)-

у0 п) я»

- к V (к, Р)Р\,(к, р) + [(о)*ьма(к,р) - (оЬяи (к,р)]х

х(ип) Jq и(к,р)}с1кс1у.

Доказано, что полученные решения удовлетворяют системам уравнений а также начальным и краевым условиям исходных задач.

В шестой главе предлагаемый метод решения распространен на решение статических задач анизотропной теории упругости для неоднородного материала. Показано, что при определенных условиях метод может быть применим и к решению задач для неоднородного материала. Этот случай соответствует:

- тензору Грина С, (х,у) = Рег ,(у) —-Цг- I" и 1 е^'У^у статической

,Л " (2л)3 ¿з а(к) У

задачи со смешанными краевыми условиями, когда на части поверхности де-

формируемого тела Би заданы перемещения и\(х3), а на остальной части 80 -поверхностные силы Р*, (х5):

■ динамической задаче теории упругости, решение для которой получено в

виде:

В главе 7 формулируются принципы соответствия между задачами теории вязкоупругости и упругости.

- предложен принцип соответствия между статическими задачами нелинейной вязкоупругости со старением:

+ Р,(х,0 = 0; Е„(х,г) = -

1 с>и,(х,0 да3(х,1)

+ ■

дх 2 I <ЗxJ Эх, I

00 1 1 п

= Х /.... (X,I,т,,т2...т„) п (х,тт)с!тт;

п=1 о " О т

=Р,(Х,0, X е 80; и, (хД) = и,0(хД), хе8и,

и статическими задачами теории упругости. Определены условия, при выполнении которых данная краевая задача интегральными преобразованиями вида: <40 = |Г (р)УДр, 1)с1р сводится к краевой задаче теории нелинейной упруго-

2 I дх} дх1 I

00 П

Ст*и(х,р) = Хя(\)(*»Р)Пе,|и (Х-Р);

п=1 5=1

а*и(х,р)пДх) = Р*,(х,р), х е 8С; и*,(х,р) = и*,0(х,р), хе8ц.

Доказано, что для этого необходимо и достаточно, чтобы ядра интегральных операторов исходной задачи вязкоупругости представлялись в виде:

- предложенный принцип соответствия между статическими задачами нелинейной вязкоупругости со старением и статическими задачами теории упругости распространен на динамические задачи теории вязкоупругости:

- установлено, что для того же класса вязкоупругих материалов динамическая задача теории вязкоупругости в образах интегральных преобразований имеет вид:

т.е. совпадает с интегральным образом динамической задачи теории упругости.

Сформулированный принцип соответствия позволяет предложить следующий алгоритм решения динамической задачи теории вязкоупругости:

1. Устанавливается вид ядер оптимальных интегральных преобразований.

2. С их помощью осуществляется переход к краевой задаче для прообразов исходных величин. Поскольку полученная задача для прообразов одновременно является задачей для прообразов динамической задачи упругости, то, используя интегральные преобразования, находят эту задачу теории упругости.

3. Решают полученную задачу теории упругости.

4. Используя найденное решение задачи упругости, строят решение соответствующей ей задачи вязкоупругости.

В восьмой главе решена статическая задача теории вязкоупругости для однородного анизотропного стареющего материала:

дх] ' 4 2| дх1 Эх, у

<*„(х,0 = |кчцр(1,т)еир(х,т)(3т; о

ст./х.Оп, =Р,(х,0, хеБ,; и,(х,1) = и,0(х,О, Хе8„.

с ядрами релаксации в определяющем соотношении задачи представленными в виде:

шр

Решение получено в виде квадратуры:

ц(хД) = /К*™(х-у,р)[_1_ /е-|к-уЯтН(к,р){[К*,уа(к,р)-

®р v,, угп)

- к\„ (к,р)]Р*/к,р) + [(ст)*,,Чо (к,р) - (а)*.,Чи (к,р)] X

х(ип)*ми(к,р)^к -Р*,(х,р]с!у^р.

- решена динамическая задача теории вязкоупругости для анизотропного однородного стареющего материала:

axJ с^ 2[ дк> Йх, '

аи(х,1)= |киц„((,т)8ц1,(х,т)с1т; о

ст./хД)^ = РДхД), хеБ^; и,(х,1) = и,0(х,1), Хе8и; и,(х,1 = 0)- и,(х,0); й,(х,1 = 0) = й,(х,0);

с ядрами интегральных операторов представленных в форме:

«иарС^т) = к'Хр^ (р, 1)ерМр. 2ш «-„

Найденное решение имеет вид:

л а+|»

Ц(хД) = ~ /ер1[ |К',т(х-у,р)[—|е"к'уК'пЛ(к,р)

У„ ~Ч я»

{[К\;(к,р) - К\/ (к,Р)]Р^(к,р)+[(с)*иЧг(к,р) --(а)V(k,W](un)*J4u(k,p)¡dk+[-F',(y,p)-pч0(y)-ц1(y)]]cly}dp.

Девятая глава посвящена решению задач вязкоупругости и упругости для тел определенной формы и некоторых практических задач. При этом:

- решена задача о напряженно - деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы из стареющего вязкоупругого квадратично нелинейного материала, сжимаемой по двум её поверхностям распределенными силами. Толщина полосы 2в, поверхностные распределения сил на её поверхностях известны.

(X, 0 = 0; 6Ч (X, I) = - (и, ] (X, I) + и „ (X, I));

сг ,(ХЛ) а (х О е„ (х, I) = (1 + у)[(1 - Ц-] - V«„(I - Ь)( ' ') +

с. | С |

Р(1-Ь)[-

(х,1)дир(х,1)5 + 2<т„„(х,0<т,/хл)1_

оч(х,1)пл=Р,(Х,1); Р, = Г (у), Р,(х,,,1) = Г2(у).

Для решения задачи использован принцип соответствия, разработанный в седьмой главе, основной отличительной особенностью которого является применение к напряжениям и перемещениям разных интегральных преобразований. Соответствующая задача нелинейной упругости решается методом упругих решений с использованием функции напряжений Эри Ф(х, у). Найдено нулевое и первое приближения;

- методом опорных функций решена задача о сжатии бруса между двумя плитами. Размеры бруса - от 0 до 1 по оси х, от - Ь до Ь и от -а до а по осям у и z соответственно. Поверхностные силы, прикладываются к брусу на торцах - поверхностях Б, и Б 2. Боковая поверхность 5 3 свободна. Краевая задача представляется в виде:

стш (X) = 0; ещ (х) = I (и ч (х) + и ^ (х));

(х) = Л5Ч 2 е^ (х) + (х); сти (х, )п, (х8 ) = Р, (х8).

Найденные перемещения имеют вид:

аР0

и х (X) = - -£ • х ■ у); и 2 (х) = - ^ г ■ у);

Е Ь Е Ь

(—1)п лпсуР

иу(х) =---- ^Чу- уОсобСу-у^у^у,.

1 -ь

- решена задача о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы (0 < х < а, 0<у<Ь), выполненной из вязкоупругого стареющего линейного материала: да,/х,0 _ а2и,(х,р 1 [Эи,(х,о 5цДх,р

Эх, =р а2 ; е"(хЛ)-2 ах, + Эх,

<т,/х,1)= |а,^(хЛт)еа|>(х,т)<Зт, <т1](х,1)п)=Р,(х,1), у = 0;

Эи (х,1) ЭиДхЛ) „ и1(х,1) = 0, —--+ —= 0, х = 0,а,

Эх

ду

и>(хЛ) = иу(х,1) = 0, у = Ь; и,(х,1 =0) = и,(х,0), а"|(Х'1 0)=и;(х,0).

Предполагалось, что свойства материала определяются ядрами релакса-

ции:

Rim(x,t,x) = jRí',„n(x,p)Y,i(p,t)Y+,(p,Tjdp; Rlp,(x.t,T) = jR(*,,,22(x>p)Y,|(p,tjYtI(p,T>)dp. R,„,(x,t,x)= jR(')2222(x,p)Y,i(p,t)Y\(p.Tjdp; Rri,(x,t,T)= jRl",,2l;(x,p)Y,i(p,t)Y,,(p>T,)dp

Построены искомые перемещения - решения данной задачи: и, (х, t) = - [g, (y)¿ В s (n, t) sin( —) +

a Mp o n=i a

^ (X,,n,t)K1(X.1y) nix + 2,-¡¡—-s,,l(-)]dt}Y,(p,t)dp;

||k|¡-

u 2 (x, t) = |{ Je"pl [g2 (y)¿ J- A t (n, t) cos( —) +

шр 0 n = l a

A 1 (Я. , n, t)K 2 (X у) мхШ(№ ,

+ --„ „■,-cos(-)]dtJYt (p,t)dp.

- решена задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материна. Бесконечный брус кругового сечения радиуса R, изготовленный из кубически нелинейного стареющего неоднородного вязкоупру-гого материала, закручивается моментом сил M(t), приложенным к торцу:

5ст./х>0 т-, ч 52u,(x,t) 1 fdu (x,t) Su,(x,t)l

(*. t) = |R,jap (X, t, T)E„u (X, T)dT + 0

+ JJ'JR,jUpW,,(X,t1T1,T,)Etip(X,T,)E/<,(X,T2)E(ln(X,T3)dT1dT2dT3;

000

M = M(x,t), xeST; P,(x,t) = 0, xeS6;

u,(x,t = 0) = u,(x,0); u,(x,t = 0j = ú,(x,0)

При решения задачи использован принцип соответствия между динамическими задачами упругости и вязкоупругости, согласно которому соответствующая задача теории упру гости имеет вид:

5Xj 9t 2 [ dx¡ Эх, J

(x, t) = R уар (x)sap (x) + R 1JupÍO(11,

(x)su|)(x)£íi,(x)£lll (x);

M = M(x,t), XeST; P,(X,t) = 0, X sS5,u,(x,t = 0) = u, (x,0), ú,(x,t = 0) = ú,(x,0)

Найденные решения задачи теории упругости и принцип соответствия позволили построить перемещения исходной динамической задачи вязкоупругости:

ur = uz = 0; u,(r,z,t) = Г j||epTK(z - cx)dt| Y(p, t)dp ;

- решена задача об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки длиной 5 м, представляющей собой в сечении квадрат со стороной 60 см.

Балка изгибается противоположными моментами сил ±M(t), приложенными к ее торцам. Боковая поверхность свободна от нагрузок. Балка изготавливается за 10 дней, наращиваясь по оси х с постоянной скоростью.

«T1JJ(x>t) + F1(x,t) = 0; E1J(x,t)=i{u1J(x,t) + uJ1(x,t)}

e,/x,t)= jK,(t-т*(г),х-xVrDs^TÎdT + jK,ft-T4r),x-T"(r))slJ(T)smn(x)sml,(x)d-t;

О У

e1J(x,t)= |к,(1-т*(г)Д-х'(1'))оа(т)с1т; ajx.On, = P,(x,t).

Согласно принципу соответствия, данная краевая задача интегральным преобразованием сводится к задаче нелинейной фиктивной упругости:

c,j,j(x,x') + F, (х,т') = 0; e*lj(x,x') = |{u,j(x,t)+ Ujl(x,t)},

е„(х,х') = s,j(x')+ К2(1' — t*(r))sIJ(x')snî]1 (х')sпш (т'); Е',(х,х') = к;(х'-х-(г))сти(х'); (х, x')n j = Р,(х,т'). На рисунках 1 и 2 представлены графики зависимостей Enoi х и у для различных моментов нагружения и наблюдения в случае M(t) = M о , причем

^ = 1 кгс/см3. Функция Kg(t-x*(r),x-T*(r))- ядро Н.Х. Арутюняна, равна

— {l/E04-exp[-p(x-T'(r))]ji-{C, + А,/[х-т'(г)]! ¡l-e\p[-y(t-T)]jj. Постоянные для бето-дт

на составляют: Ci= 0,975 ■ 10~5 (кгс/см 2)"\ А | = 4,62 • 10 ~5 сут./( кгс/см у = 0,03 сут.-1, Е0= 2,6 • 10 5 кгс/см2, Р = 0,206 сут."1

На рисунке 1 изображена зависимость деформации 8ХХ от координаты у для моментов загружения 20 и 50 суток для различных моментов наблюдения t.

500 500

m H

20 20 20 20

ц к ю о

50 80 50 80

■10

1 2 20

20 10

20 30 3- SsJ 2

40 4 —

Рисунок 1 - Зависимость деформации 8 ЧЛ от координаты у для различных моментов загружения и наблюдения.

На рисунке. 2 изображены зависимости деформации Ехх от координаты х для тех же моментов нагружения и наблюдения, причем при растяжении считается, что связь ст - е линейна, а при сжатии - кубически нелинейна. Коэффициент пропорциональности ядра кубически нелинейного и ядра линейного выбран равным 3 • 10 -14.

Рисунок 2 - Зависимость деформации 8 хх от координаты х для различных моментов загружения и наблюдения.

- методом опорных функций решена задача о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями:

ди^ „ от и

от а г

Е Е

сттт="—(^гг+^в); <*«,=-—(Eв0+vO; а„| =-р, иг| =и0.

1 —V 1 —V 1

Здесь Е и V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно; и Я2 внутренний и внешний радиусы трубы; Р и ии заданное внутри давление и на поверхности перемещение.

Поскольку давления Р и перемещения и() не зависят от угла 0, краевая задача в перемещениях с использованием цилиндрических записывалась в виде:

д(ди.(т) Эг1 дс

Г ст г

= Р, и(г)| =и0.

При этом перемещение и(г) представлялось в форме: и(г) = -/0(г,г'Жг')<1у+ |г'С(г,г')РёБ-

V в, \ ^

Здесь 0(г,г) - функция Грина краевой задачи; V - объём, занимаемый трубой; внутренняя и внешняя поверхности.

Рассчет проводился средствами MathCad 2000. Внутренний радиус трубы считался равным 1 единице длинны, а внешний - 7 единицам. Модуль Юнга

полагался равным единице, т е усилия задавались в долях модуля Юнга, коэффициент Пуассона считался равным 'Л Количество членов ряда Фурье задавалось равным 17, те матрица Оар - матрица 17x17 Все интегралы считались численно На рисунке 3 изображены графики известного точного решения данной задачи (1 + 1/г) (пунктир) и найденного решения (сплошная линия)

1 '1 1

Л | иш Гх 19 ) |

- 1 ууГх)

- л Л™*^ V 1 1 1 1г

Рисунок 3 - График радиального перемещения Найденное решение отличается от точного, например, в точке г = 4 на 1,5% Основное преимущество данного метода - поиск функции Грина без решения краевой задачи,

- методом опорных функций решена задача об анизотропной пластине со смещенным круглым вырезом

ст,„(х) = Р,(х), еи(х) = 1{и,/х) + ил(х)]; о11(х) = Г)рчет(х), и,(х)|5 = и,0(х)

Деформируемое тело - анизотропная квадратная пластина со стороной 40я и крупным вырезом радиуса Юл, смещенным относительно центра пластины на величину 2,5л по оси х и на 8л по оси у Массовые силы Р, (х) и перемещения на границе и 0(х) задаются соотношениями

Рх (х) = 5,32 10 "+8,16 10 5 у2 + 1,152 10 4 ху - 1,152 10 4 у, Ру (х) = 8,16 10 5 у 2 +7,98 10 ~5 ху,

их0(х)|х г()п=-20п-2 10 V3 -10 5 у3 + 0,8 10 'л2 +10, их0(х)|х 201[ = 20 л + 2 10 Чу3 -10 5 у3 + 0,8 10 "'л2 + 10, их0(х)|у 20к = х - 8 10 2я3х + 8 10 2я3х + 0,2 10 3 х 2 + 10, и*о(х)1 ™ = х + 8 10 2 я3х - 8 10 2 713х + 0,2 10 3х2+10,

* и ' I у 20 л ' '

20„ = -210 4*у3' 2ол = 2 10

и у0 )|У 20„ ="8 10 иуо(Ч 20я =8 10

Закон Гука имеет вид

В качестве опорных функций выбирались перемещения:

На рисунке 4 приведены совпадающие графики - точные и найденные перемещения как функции координат х и у.

Рисунок 4 - Графики перемещений по осям х и у.

-методом опорных функций решена задача об анизотропной пластине в виде части квадрата, изображенная на рисунке 5, при этом закон Гука имеет вид:

Массовые силы РДх) и перемещения на границе и1и(х) задаются соотношениями:

Упругие постояные >„,=1,33 ?^=0,8 /.,=006 В качестве опорных функций выбирались перемещения

На рисунке 6 приведены совпадающие графики - точные и найденные перемещения как функции координат х и у

Рисунок 5 - Форма пластины

Ш1Ц. иЬу ШПд иЬх

Рисунок 6 - Графики точных и найденных перемещений, как функций

координат х и у

- методом опорных функций решена задача об анизотропной пластине в виде креста, изображенная на рисунке 7

а,„(х)=Р,(х), е,,(х) = ^{и Дх) + , (х)},

оч(х) = Г№Ч£р<1(х), и,(х)|5 = и,„(х) \пр>гие постояные X., =1,33 Х2 =0,8 =0,96,

а закон Гука имеет вид

°хх(х, у) = > (х, у) + ? 2еуу(х, у),

оуу(х,у) = ^|еуу(х,у) + А.2£хх(х,у), оху(х, у) = 41}гху(х, >), стху (х, у) = СТух (х, у)

В качестве опорных функций выбирались перемещения

и1х (х, у) = х3у + у4, и1у (х, у) = 51П(0,01ху), и2х(х,у) = х + у + ху2, и1 (х,у) = х2у

Рисунок 7 - Форма пластины

На рисунке 8 приведены совпадающие графики — точные и найденные перемещения по осям х и у.

Рисунок 8 - Графики перемещений по осям х и у.

В качестве примера приведено решение методом опорных функций конкретной задачи о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поликарбонатного анизотропного материала (рисунок 9).

Рису нок 9 - Клапан с дисковым уплотнителем

Клапанный дисковый уплотнитель завальцовывается в корпус клапана таким образом, что радиальное перемещение на окружности - границе уплотнителя оказывается постоянным и направленным к центру уплотнителя и его деформированное состояние описывается плоской задачей анизотропной теории упругости:

/х)= Р,(х), еи(х) = 1{и,и^(х)},

<ту(х) = Г,урс, -ер,(х), и,(х)|5 = и|0(х)

Здесь ' уРц - компоненты тензора упругих постоянных Граница тела 8 -окружность радиуса Я, X - радиус вектор точки пространства. Закон Гука имеет вид:

ахх(х)у) = Х1£хх(х,у) + А.2Еуу(х,у), а})(х,у) = А.1ЕЛГ(х,у) + Х2ехх(х,у),

аху(х,у) = 4Х3ех}(х,у), сХ) (х,у) = аух(х,у). Упругие постояные: /., = 1,33 ),г = 1 ).3 = 0,96. В качестве опорных функций выбирались перемещения.

и1х(х,у) = х3у + у4, и1у(х,у) = 5Ш(0,01ху) и2х(х,у) = соз(х/(у +1)), и2у(х,у) = х2у. Результаты расчета представлены на рисунке 10.

а б в

Рисунок 10 - Графики перемещений по осям х, у и г а- перемещение по оси х, б-перемещение по оси у, в-радиальное перемещение

Решение данной задачи особенно актуально для криогенного клапанного агре-гатостроения в связи с переходом транспортных средств на новые, более перспективные криогенные топлива (сжиженный природный газ, жидкий водород и др.).

Вышеизложенное иллюстрирует широкие возможности разработанного в диссертации метода опорных функций В совокупности с найденными квадратурами и предложенным принципом соответствия между задачами упругости и вязкоупругости, его универсальность обеспечивает ему широкое применение на при практических расчетах деформированного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях динамического нагружения. Метод может быть применен, например, при расчете деформированного состояния стволов гладкоствольной и нарезной артиллерии, сосудов, содержащих криогенные топлива, несущих конструкций летательных аппаратов, наземных и морских транспортных средств, в строительстве - при расчете деформированного состояния мостов и других сооружений, испытывающих значительные динамические нагрузки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решена крупная научная проблема, состоящая в разработке методов решения статических и динамических задач теории упругости и вязко упругости, позволяющих выразить решение задачи для тел произвольной формы в виде квадратуры, воздействующей на начальные и краевые условия, а также методов эффективного точного и приближенного аналитического и численного вычисления этих квадратур с помощью метода опорных функций для решения широкого класса прикладных задач в механике деформируемых тел.

В процессе исследований получены следующие основные результаты и сделаны выводы:

1. Доказаны теоремы о свёртках по конечной области и по поверхности.

8. Решены задачи о напряжённо-деформированном состоянии бесконечной вязкоупругой полосы, о сжатии бруса между двумя плитами, о напряженно-деформированном состоянии вязкоупругой ортотропной пластины прямоугольной формы, о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вяз-коупругого материала, об изгибе кубически нелинейной неоднородно стареющей балки, о деформированном состоянии трубы с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями, об анизотропной пластине со смещенным круглым вырезом, о деформированном состоянии анизотропной пластины в виде части квадрата и об анизотропной пластине в виде креста и о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя, выполненного из поликарбонатного анизотропного материала.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ

РАБОТЫ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Одна из возможностей построения определяющего уравнения для скорости ползучести / Г.Ю. Ермоленко // Межвузовский сборник "Физика структуры и свойств твёрдых тел". - Куйбышев: КГУ, 1976. - С. 49 - 54.

2. Динамика дислокаций и внутреннее трение / Г.Ю. Ермоленко // Механика деф. тв. тела. Тез. докл. Всесоюзной школы и конференции молодых ученых. - Куйбышев: КГУ, 1978. - С. 16.

3. Метод расчёта напряженно-деформированного состояния и долговечности стареющих материалов при нелинейном вязкоупругом поведении / Г.Ю. Ермоленко // Тез. докл. Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение долговечности и надёжности машин и приборов". - Куйбышев: КПТИ, 1981.-С. 23.

4. Представление краевых задач для нелинейных вязкоупругих композитов / Г.Ю. Ермоленко // Тез. докл. V Всесоюзной конференции по композиционным материалам. В. II. -М., 1981. -С. 11-13.

5. О решении задач главной кубической теории вязкоупругости для неоднородно стареющих тел / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков // Журн. «ДАН Арм. ССР» № 4, 1984. - С. 159-164 (доля личного участия 80 %).

6. Плоская задача деформирования кубически нелинейного вязкоупругого бруса со старением / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков // Тез. докл. второй всесоюзной конференции «Ползучесть в конструкциях». - Новосибирск: Институт гидродинамики СОАН, 1984. - С. 130.

7. А.с. 1159479 СССР МКИ 4 НО К 3/10. Устройство для юстировки лазерного зеркала / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков, А.В. Кислецов. //ДСП, 1985г.

8. Ас. 1336762 СССР МКИ 4 3/10. Устройство для автоматической юстировки лазерного зеркала / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков. //ДСП, 1987г.

9. А.с. 1559928 СССР МКИ 4 НО К 3/10. Устройство для управления ориентацией лазерного зеркала / Г.Ю. Ермоленко, В.В. Колокольчиков. //ДСП, 1989г.

10. Способ решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа/ Г.Ю. Ермоленко // Тез. докл. международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Секция уравнений мат. физики. - Саранск: СГУ, 1994. - С. 65.

11. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения / Ермоленко Г.Ю. // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара: СПИ, 1996. - С 51.

12. Способ решения начально-краевых задач для оператора теплопроводности / Ермоленко Г.Ю. // Международная научная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина. - Самара: СПИ, 1997. -С.26-27.

13. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения / Ермоленко Г.Ю. // Аэрокосмическая техника. Вестник ПГТУ. № 2, - Пермь: ПГТУ, 1997.-С. 67.

14. Способ решения второй начально-краевой задачи теории упругости интегральными преобразованиями / Ермоленко Г.Ю // Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта конструкций". - Самара: СИСА, 1998.-С. 128.

15. Принцип соответствия краевых статических задач нелинейной вязко-упругости со старением краевым задачам теории упругости / Ермоленко Г.Ю. // «ПМТФ». Т. 39, № 4, 1998. - С.155 - 161.

16. Решение второй начально-краевой задачи линейной теории упругости для тел конечного объема из изотропного материала/ Ермоленко Г.Ю. //Тезисы докладов 3-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математики (ИНПРИМ - 98). Ч 2. Секция «Выч. методы и т.д.». - Новосибирск: ИМ СО РАН. 1998.-С. 97.

17. Способ решения первой начально-краевой задачи линейной теории упругости для изотропных тел / Ермоленко Г.Ю., Юшков СА // Журн. «ПММ». Т. 62. Вып. 4, 1998. - С. 715 - 718. (доля личного участия 80 %).

18. Напряженно - деформированное состояние квадратично нелинейной вязкоупругой полосы / Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А // Тезисы докладов IV Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". - С-П.: СПУПС, 1999. -С.115 - 117. (доля личного участия 80 %).

19. Методы расчёта деформированного состояния упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагруже-ниях / Ермоленко Г.Ю. // Деп. ВИНИТИ № 860-13-2001. - 179 с.

20. Деформированное состояние упругих и вязкоупругих конечных тел произвольной формы при статических и динамических нагружениях / Ермоленко Г.Ю.//Издательство Самар. Гос. Аэрокосм. Ун-т. Самара: СГАУ, 2001 .-149 с.

21. Принцип соответствия краевых динамических задач нелинейной вязко-упругости со старением динамическим задачам теории упругости/ Ермоленко Г.Ю. // Журн. «Обозрение прикладной и промышленной математики». Т. 8. В. 1.2001.-С.167- 169.

22. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала / Ермоленко Г.Ю. // Журн. «ПММ». Т. 66. В. И. 2002.-С. 317-321.

23. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязко-упругого материала / Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А. // Межвузовский сборник научных трудов с международным участием. Исследования и разработки ресурсосберегающих технологий на железнодорожном транспорте. Самара: Сам-ГАПС, 2002. -С. 463- 464 (доля личного участия 80 %).

24. Решение динамической задачи анизотропной теории упругости со смешанными краевыми условиями / Ермоленко Г.Ю. // Вестник СамГТУ. Вып. 19. Сер. «Физ. - мат. науки». - Самара: СГТУ, 2003. - С. 86-88.

25. Метод опорных функций. Математическое моделирование и краевые задачи / Ермоленко Г.Ю. // Труды тринадцатой межвузовской конференции. -Самара: СГТУ, 2003. - С. 57-60.

26. Метод проб для решения статических и динамических задач линейной анизотропной теории упругости / Ермоленко Г.Ю. // Журн. «Известия вузов. Машиностроение». № 2. - М.: 2003. -С. 3-7.

27. Метод опорных функций для решения задач математики и механики / Ермоленко Г.Ю. // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". В. 26. - Самара: 2004.-С. 126-127.

Подписано к печати 03 03 2005 г Формат 60\84 1/16 Печать офсетная Объем 1,5 усл п л Тираж 100 экз Заказ № 2326

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе Орловского государственного технического университета 302020 г Орел, Наугорское шоссе, 29

í - -л t

'375