Итерационное решение краевых задач механики конструкций из вязкоупругих композиционных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

.,» . ^ л

2 А к-"

На правах рукописи

Куликов Роман Георгиевич

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ВЯЗКОУПРУГИХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

4

Пермь - 1998

Работа выполнена на кафедре «Вычислительная математика и механика» Пермского государственного технического университета.

Научный руководитель : доктор технических наук,

профессор ТРУФАНОВ H.A.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор, МАЛЫЙ В. И.

доктор физико-математических наук, профессор, ШАРДАКОВ И.Н.

Ведущая организация : Пермский государственный университет

Защита состоится уехаГця 1998 г. в // час. на заседании диссертационного совета Д 003.60.01 в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской Академии наук по адресу: 614061, Пермь, ул. Академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМСС УрО РАН. Автореферат разослан "_" ___ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

БЕРЕЗИН И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Оптимизация прочностных и деформационных свойств конструкций приводит к созданию и широкому использованию материалов с требуемыми характеристиками в различных направлениях. Наибольшее распространение получили волокнистые композиты на основе полимерных связующих. Полимерные матрицы обладают ярко выраженными реологическими свойствами, существенное влияние на которые оказывают такие факторы как уровень нагружения, температура, влажность и др. Материалы некоторых волокон, например органоволокна, тоже проявляют вязкоупругие свойства. В результате, органопластики проявляют ползучесть в любом направлении в отличие от композитов, армированных упругими волокнами, и возникает проблема учета нескольких вязкоупругих операторов, характеризующих реологические свойства подобных материалов.

В настоящее время хорошо развиты методы решения краевых задач в упругой постановке. Но, как показывает практика, на основе результатов упругого расчета нельзя с достаточной точностью оценить прочность и деформативность конструкции из материалов, проявляющих вязкоупругие свойства. Накопление повреждений и развитие деформаций происходит в таких материалах и при постоянных уровнях напряжений. Кроме того, возможно возникновение эффектов типа перераспределения напряжений, которые нельзя спрогнозировать при рассмотрении материала конструкции как упругого.

Определение напряженно-деформированного состояния конструкций из анизотропных вязкоупругих материалов приводит к необходимости решения краевых квазистатических задач вязкоупругости с учетом нескольких независимых вязкоупругих операторов. Данная задача зачастую осложняется тем, что при наличии сложной схемы армирования, использованной при изготовлении рассматриваемой конструкции, ядра вязкоупругих операторов зависят от координат. При наличии стареющих материалов или при решении задачи термовязкоупругости для термореологически сложных материалов ядра вязкоупругих операторов становятся неразностными по аргументам. Кроме того, при высоких уровнях нагружения реологические свойства многих полимеров плохо описываются соотношениями линейной теории вязкоупругости, что обуславливает необходимость решения краевой задачи в рамках нелинейной вязкоупругости.

Большинство существующих методов решения задач

рассматриваемого класса ориентированы на решение задач линейной вязкоупругости при наличии одного вязкоупругого оператора, и, кроме

того, имеют существенные ограничения по их применимости. Проблема разработки метода, позволяющего получать решение широкого класса краевых задач вязкоупругости, представляется актуальной.

Целью работы является:

- разработка, обоснование и исследование вычислительных аспектов итерационной процедуры решения краевых квазистатических задач линейной и нелинейной вязкоупругости анизотропных и неоднородных материалов с несколькими независимыми вязкоупругими операторами с разностными и неразностными ядрами.

- исследование качественных и количественных закономерностей деформирования вязкоупругих конструкций из композиционных материалов при длительных силовых и температурных воздействиях.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- разработана итерационная процедура решения краевых задач вязкоупругости, доказаны теоремы о сходимости предложенной итерационной процедуры в случаях линейной и нелинейной вязкоупругости;

- показана практическая сходимость, достоверность, устойчивость и эффективность метода при решении ряда задач;

разработан ряд вычислительных процедур, повышающих эффективность численной реализации итерационного метода;

- решены новые прикладные задачи линейной и нелинейной вязкоупругости для анизотропных, однородных, кусочнооднородных и неоднородных тел.

Практическая значимость. Предложен метод, позволяющий решать широкий класс квазистатических краевых задач вязкоупругости. Разработаны алгоритмы и программы, которые используются для решения прикладных задач вязкоупругости для анизотропных кусочнооднородных и неоднородных тел сложной пространственной конфигурации.

Работа проводилась в рамках программы «Университеты России (Технические университеты)», (1993-1997 г.г), проект «Эффективные компьютерные модели трехмерного напряженно-деформированного состояния машиностроительных конструкций сложной формы на основе метода геометрического погружения»; программы «Конверсия и высокие технологии», (1997-1998г.г.), проект N65-1-21 «Разработка научных основ технологии производства и эксплуатации энергосберегающих систем магистральных трубопроводов тепло- и водоснабжения из полимерных и композиционных материалов»; федеральной целевой программы «Интеграция»(1998г.), проект «Организация вузовско-академического учебно-научного комплекса «Рифей», per. N 690, тема «Разработка

численных методов анализа термомеханических явлений и процессов в вязкоупругих средах».

Достоверность результатов обеспечена строгой математической постановкой, определяется теоретически доказанными положениями метода, подтверждается численными экспериментами по оценке сходимости алгоритмов, сравнением результатов расчетов с точными аналитическими решениями и результатами, полученными другими методами.

Апробапия работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на 10-й зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995); на 11-й зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1997); на научно-технической конференции ПГТУ «Прикладная математика и механика» (Пермь, 1998); на международной конференции «Математическое моделирование в науке и технике» (Ижевск, 1998); на 16-й международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов» (С-Петербург, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы ( 126 наименований ). Работа содержит 133 страницы, включая 46 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность разработки эффективных методов решения краевых задач вязкоупругости. Сформулирована цель работы, изложено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе рассматриваются особенности краевых задач вязкоупругости, связанные с анизотропией и неоднородностью композиционных материалов и конструкций из них, необходимостью учета нескольких независимых вязкоупругих операторов с разностными и неразностными ядрами. На основе обзора литературного материала сделано заключение, что свойства анизотропного полимерного композиционного материала, изученные в работах Максимова Р.Д., Малмейстера A.A., Уржумцева Ю.С., Ericksen R.H. и др, характеризуются несколькими независимыми вязкоупругими операторами, а поведение

многих полимеров при высоких уровнях нагружения плохо описываются соотношениями линейной вязкоу пру гости.

Приводится общая постановка краевой квазистатической задачи нелинейной вязкоупругости для неоднородного анизотропного тела. Рассмотрены основные методы решения краевых квазистатических задач вязкоупругости, разработанные в трудах Болотина В.В., Ванипа Г.А., Ильюшина A.A., Колтунова М.А., Кристенсена Р., Малого В.И., Мальцева Л.Е., Матвеенко В.П., Победри Б.Е., Работнова Ю.Н., Шепери P.A. и др. Сделаны выводы о применимости существующих методов для решения различных классов задач, связанных с анализом поведения полимерных композиционных материалов и конструкций. Показано, что конкретные приложения известных методов к задачам рассматриваемых классов носят единичный характер. В большинстве случаев учитывается только один оператор, а геометрия конструкций тривиальна.

Во второй главе предлагается вариант итерационного метода решения краевых квазистатических задач вязкоупругости и приводится доказательство теорем, обеспечивающих сходимость итерационной процедуры в случаях линейной и нелинейной вязкоупругости.

Рассматривается краевая квазистатическая задача вязкоупругости, математическая формулировка которой включает следующие уравнения: div <7(u) + f = 0, xeF,

¿ = |(Vu + (Vu/), xeV,

(Т-П-р,

u = U, x eS ,

и

где а, e - тензора напряжений и деформаций, u,f - вектора перемещений и объемных сил, х - радиус-вектор точки тела, п - вектор единичной внешней нормали к поверхности тела; р - заданный вектор поверхностных сил, U - заданный вектор перемещений, S^ - часть

поверхности тела, на которой заданы нагрузки, S - часть поверхности

тела, на которой заданы перемещения, V - занимаемая телом область пространства, а также уравнения связи между тензорами напряжений и деформаций, которые можно представить в виде соотношений Фреше-Вольтерры:

<т= F{£}. (2)

В случае общей нелинейной вязкоупругости соотношения (2) можно записать в виде

п=1

где использовано обозначение

Г ¿е)" - 2"+2Гп{!,тг...,тп)--£(т!)-,,-в{тг)атг.с1тп о о

или в покомпонентной форме

го ( I

*и(0= Е и (т^-.-.-г (гн)Ытг.Ыгп,

„ = / 0 0 /■>/ л-'п

где 2п+2г^ - тензор (2и+2)-го ранга ядер релаксации и-го порядка ; знак (■ •) означает двойное скалярное произведение; Г - время. Ядра релаксации симметричны по переменным т.,1 = 1,п, кроме того выполнены условия

взаимности, предполагающие инвариантность тензоров ядер релаксации относительно некоторой группы преобразований, характеризующей определенный вид анизотропии. В общем случае ядра тензора функций релаксации являются неразностными. При рассмотрении нестареющего материала ядра функций релаксации инвариантны относительно начала отсчета времени и становятся разностными по аргументам.

Выполнение условий взаимности эквивалентно потенциальности оператора Ё, то есть существует такой скалярный оператор , что

1 ' Зе

Будем пользоваться следующим определением дифференциала ЭУУ оператора \У и его функциональной производной:

где в - произвольный тензор второго ранга, числовой параметр. Определим полное метрическое пространство вектор-функций

где индекс и означает мерность вектора V, а единица - то, что вектор-функция V и все ее первые частные производные по пространственным

координатам принадлежат пространству

(¿2 СО )"■ Отметим, что

Введем в рассмотрение следующие обозначения:

V

VII ,Уб^(К))Лх[0,(] (ц, у) — {и у (IV,

V

VII,V х {(),!] (и,у)л. = /и • Ус/5,

'''г

Уи,у е Л' х [0,г] Ми) =

г

Уи,уеЛ'х[0,/] (К{и}.у)^ = /¿(у)"("/С-г(и)-Г{г(и)})л'1

где 4С- некоторый симметричный тензор-константа, выбираемый таким образом, чтобы обеспечить при у=и положительную определенность функционала (р(и},у)^ при положительной определенности функционала

частности, это обеспечено при выборе в качестве

С:

V СЕ ) . V & )!=0 У, ¡>0,

¿=о ^

если материал обладает "мягкой" характеристикой, то есть:

ГС сс

Допустимо выбрать в качестве 4 С' тензор упругих констант некоторого упругого изотропного материала, для которого выполняется условие положительной определенности функционала (р{и},у)^ при у=и.

В качестве метрики используемого пространства Х(У) выберем

Уг>0, VII,У е^ .

Обобщенное решение краевой задачи (1)-(2) должно доставлять минимальное значение квадратичному функционалу общей потенциальной энергии:

УуеХ(У), \//>0 II {у) - Ь{у} - (I-, у) - (р, у)^. (3)

Следуя идее метода геометрического по1ружения, функционал (3) путем тождественных преобразований приводится к виду

Ч1>0 П{у}=|<У,У)0-(^<У,У)0-МУ})-(Г1У)-(Р,У)5, (4)

откуда, с учетом Щи,у) = |г?(у)--р{£(и

следует вариационное

к

уравнение, решение которого определяет элемент и е X х [0, , минимизирующий (4):

Уу 6 X х [0,/] (и, у)0 = ((и, у)0 - £>Ци, V)) + (Ьу) + (р, у)5 -

-(р/и;.у)л+(1-,у)+(р,у)5 (5)

Предлагается следующая итерационная процедура решения вариационного уравнения (5):

Уу еХх[0,(] +(Г,у) + (р,у)?> к = 1,2,3...{6)

причем сходимость итерационного процесса (6) при любом выборе начального приближения и" обеспечивается следующей теоремой.

Теорема. Последовательность итераций вариационного

уравнения (6) сходится в смысле метрики пространства X, то есть

Р(ии,и")-—>0.

Таким образом, построение обобщенного решения краевой задачи нелинейной теории вязкоупругости (1)-(2) сводится к итерационной последовательности более простых задач линейной теории упругости, при этом следует отметить следующие достоинства предложенного метода:

1) оператор в левой части не изменяется от итерации к итерации, и

его свойства определяются выбором тензора 4С, что дает возможности для построения эффективных численных алгоритмов расчета;

2) метод применим для решения задач как линейной, гак и нелинейной вязкоупругости;

3) при решении краевых задач возможен учет произвольного количества вязкоупругих операторов, причем ядра операторов могут быть неразьостными по аргументам, что позволяет применить его для анализа тел произвольной анизотропии и характера неоднородности, а также рассматривать случаи сложного термореологического поведения материалов;

4) метод не требует аппроксимации вязкоупругих характеристик функциями специального вида, а позволяет использовать измеренные в эксперименте функции релаксации или их аппроксимации подходящими функциями;

5) в качестве достаточно хорошего начального приближения всегда можно выбрать решение соответствующей упругой задачи или решение для предыдущего момента времени.

С целью практической оценки точности и сходимости метода и достоверности получаемых результатов, а также иллюстрации на конкретных примерах организации итерационной процедуры были решены тестовые задачи, имеющие точное аналитическое решение в линейной формулировке: задача о ползучести однородного вязкоупругого стержня под действием переменной во времени нагрузки и задача о ползучести изотропной однородной вязкоупругой трубы под действием постоянного внутреннего давления. Подтверждена практическая сходимость и показана высокая точность получаемых результатов.

В третьей главе рассматривается численная реализация итерационного алгоритма с использованием для построения конечномерного пространственного аналога задачи метода конечных элементов. Рассматривается пошаговая во времени процедура решения с аппроксимацией на каждом шаге неизвестных функций степенными полиномами.

В первом параграфе осуществлено построение итерационной процедуры метода в случае использования конечноэлементного подхода. Вариационное уравнение (6) с использованием принятых обозначений может быть записано в виде

Ч(>0 I {дие(0}т[кс]{ие(0}к =1 ({¿ив(0}г([*-с]-[к]){«е(0}А_/ +

е е

что с учетом произвольности вектора вариации узловых неизвестных можно переписать как

У(>0 [*с]М0}*=([^с]-[К*]){и(0}л";+{^}, (7)

где через [К*], {и(г)}, {/<"} обозначены глобальная операторная матрица жесткости рассматриваемой системы, глобальные вектора узловых неизвестных и узловых сил; [А'0] - глобальная матрица жесткости конструкции, заполненной материалом погружения. Матрицы [К ] и [Xе] симметричные, диагональные, положительно определенные и имеющие ленточную структуру. Следует отметить, что матрица коэффициентов [К?] неизменна в ходе решения и может быть сформирована только один раз.

Выражение (7) есть запись известного одношагового итерационного метода, каноническая форма которого имеет вид

[КС]{и)к-{и}к~' +[К]{и}к-' = {Р}, т

где г - итерационный параметр, в рассматриваемом случае равный единице. Известно, что итерационный метод (7) сходится при условии

л

[К ] - 0.5т[К] > 0, которое для рассматриваемого случая имеет вид

[ХС]-0.5[К]>0. (8)

Выбор материала погружения более «жесткого», чем материал рассматриваемой конструкции, обеспечивает выполнение неравенства

л

[X ] - [К] > 0, являющегося более сильным, чем (8). Тем самым, сходимость конечномерного аналога итерационного алгоритма, построенного по методу конечных элементов, гарантирована в силу свойств алгебраической системы (7).

Во втором параграфе рассмотрен вопрос аппроксимации ядер интегральных операторов полиномиальными сплайнами. Как уже

отмечалось, метод не требует аппроксимации функций релаксации функциями специального вида. Рассматривается подход аппроксимации экспериментально измеренных функций релаксации материала сплайнами.

В третьем параграфе рассматривается пошаговая во времени процедура решения, аппроксимация во времени неизвестных функций и вычисление наследственных интегралов. Функции узловых неизвестных в рассматриваемой задаче являются некоторыми функциями времени, конкретный вид которых заранее предсказать невозможно. В работе рассматривался общий подход реализации пошаговой во времени процедуры решения. Вместо непрерывной области изменения времени в рассмотрение вводится дискретный набор точек: временная сетка. Решение задачи сводится к выполнению на каждом временном шаге итерационной процедуры (7) с целью нахождения вектора узловых неизвестных в конкретный момент времени.

В четвертом параграфе рассмотрен вопрос о выборе материала погружения и о влиянии, которое его характеристики оказывают на свойства матрицы коэффициентов [Кс] системы (7). Как известно, большинство композиционных материалов обладают ярко выраженной анизотропией свойств, что отрицательно влияет на свойства глобальной матрицы жесткости системы. Рассматриваемый итерационный метод позволяет в качестве материала погружения использовать некоторый изотропный материал, выбор которого не нарушает сходимость итерационной процедуры (6), и, тем самым, позволяет получить хорошо обусловленную глобальную матрицу жесткости системы [А^].

В пятом параграфе описаны особенности формирования вектора * с *

фиктивных сил {Е } = ([.£ ]-[К ■ Даны рекомендации,

позволяющие снизить количество операций при его вычислении.

В шестом и седьмом параграфах рассмотрены вопросы выбора начального приближения и критерия прекращения итераций и их влияние на эффективность вычислительного процесса.

В четвертой главе представлены результаты решения ряда новых краевых задач вязкоупругости, полученные итерационным методом и демонстрирующие возможности метода при решении краевых квазистатических задач вязкоупругости различных классов.

В первом параграфе рассмотрено применение итерационного метода для анализа напряженно-деформированного состояния неоднородной анизотропной вязкоупругой конструкции на примере композиционного ротора инерционного накопителя энергии (рис.1.). Ротор состоит из оболочки (1), обода (2), втулки (3) и подмотки (4). Оболочка выполнена из стеклопластика методом непрерывной намотки. Обод и подмотка выполнены из органопластика кольцевой намоткой. Втулка, соединяющая ротор с валом, изготовлена из алюминия.

Рис.1. Сечение ротора

Рассматривалось вращение ротора с постоянной угловой скоростью. К особенностям данной задачи следует отнести наличие десяти независимых вязко) пр\гих операторов, характеризующих реологические свойства трансвсрсалыю изотропной ленты стекло- и органопластиков, а также неоднородность свойств материала оболочки, которые в каждой точке определяются свойствами трансверсально изотропной ленты пластика и ориентацией лепты в пространстве. Рассмотрен вопрос вычисления эффективных вязкоупругих характеристик неоднородной намоточной конструкции, основываясь на свойствах ленты. IIa основе предложенного итерационною алгоритма получены данные об эволюции напряженно-деформированного состояния конструкции во времени, при этом в качестве тензоров 4С выбраны тензоры упругих свойств материалов ротора. 11а основе расче i о в напряженного состояния ротора инерционного накопителя энергии с использованием теории длительной прочности A.A.Ильюшина произведена оценка долговечности маховика при постоянных режимах вращения.

Во втором параграфе на примере задачи о релаксации усилия затяжки стыковочного фланцевого соединения стеклопластикового трубопровода (рис.2.) показана возможность

4 А

использования в качестветепзора С для всей неоднородной и анизотропной конструкции тензора упругих свойств изотропного однородного материала, с характерист иками, соответствующими материалу стальной шайбы. Рассматриваемый фланец состоит из стеклопластиковой трубы (1), стальной шайбы (4) и стеклопластиковых массивов (2),(3). Пластиковые компоненты фланца выполнены с

использованием различных схем 3 j________

армирования и характеризуются 10 14

различным содержанием компонент в

составе композита. При сборке труб в Рис.3. Изменение во времени усилия

затяжки фланцевого соединения.

Рис.2. Стсклопластиковый фланец

Р*1<Г," н

линию стыковочный узел стягивается болтами, проходящими через отверстия фланца, после чего данный узел изолируется теплоизоляционным материалом. Рассматривалась задача о релаксации усилия затяжки соединения вследствие ползучести эпоксидного связующего. Получены данные об изменении усилия затяжки соединения во времени (рис.3.).

В третьем параграфе итерационный метод применен для решения задачи о деформировании в поперечном направлении элементарной ячейки волокнистого композита (рис.4.) с нелинейно-вязкоупругим связующим. Физические соотношения, описывающие реологическое поведение связующего, были выбраны в виде соотношений главной кубичной теории вязкоупругости. Практически реализована итерационная процедура при рассмотрении нелинейных соотношений вязкоупругости. На примере рассмотрения деформирования элементарной ячейки стеклопластика при разных уровнях деформации показано, что нелинейность вязкоупругих свойств компонент обуславливает нелинейность свойств композита (рис.5.).

В четвертом параграфе итерационным методом решена задача термовязкоупругости в температурном диапазоне в котором материал может находиться в высокоэластическом и застеклованном состояниях и в условиях релаксационного перехода изменять свои характерные времена релаксации на несколько порядков. При этом используется прием, позволяющий учесть зависимость «мгновенного модуля» материала от температуры, вследствие чего ядра вязкоупругих операторов являются неразностными по аргументам. Рассмотрена задача о формировании технологических напряжений в полимерном изотропном цилиндре в процессе его охлаждения. Тело, имеющее в начальный момент времени высокую температуру, охлаждается в проточной воде. В связи с неоднород

Рис.4. Ячейка однонаправленного волокнистого композита. 1-волокно, 2 - связующее

Рис.5. Графики отнесенных к величине средней деформации средних напряжений в ячейке. Кривые 1.2,3 построены при относительной деформации ячейки с,, равной 0.005, 0.01. 0.015 соответственно.

1.29е+6

V 4

— __2. ч

N

\

__ 1 \

о(Ла

8 1е<4

•3.5 с* 6

1 -ч N

\

ч, \2 ч \

N

N \\

\

З.Ое-2

1.5е-2

3 0е-2

Рис.6. Изменение полей радиальных и окружных напряжений в цилиндре в процессе охлаждения. Кривые 1,2,3,4,5 соответствуют моментам времени 1400с, 2800с, 4200с,

5600с, 7000с.

,5е-2

ностью температурного поля в цилиндре формируются технологические напряжения. В результате решения задачи получены данные о распределении полей технологических напряжений для различных моментов времени (рис.6.), в том числе данные о дальнейшей релаксации технологических напряжений в теле после его полного охлаждения. Сравнение полученных результатов с результатами решения аналогичной задачи с использованием других методик говорит об их качественном совпадении.

В заключении кратко сформулированы полученные в работе результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена итерационная процедура решения краевых квазистатических задач вязкоупругости. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости предлагаемой итерационной процедуры в случаях рассмотрения краевых задач в рамках общей нелинейной и линейной теорий вязкоупругости.

2. На основе решения тестовых задач показана практическая сходимость и исследована точность получаемого решения.

3. Разработан алгоритм численной реализации итерационного метода на основе метода конечных элементов и с использованием пошаговой во времени процедуры. Даны рекомендации, позволяющие существенно сократить вычислительные затраты.

4. С использованием метода решены новые краевые квазистатические задачи о деформировании анизотропных композиционных конструкций с

учетом нескольких независимых вязкоупругих операторов. Установлен эффект перераспределения напряжений во времени при постоянных внешних воздействиях, произведена оценка долговечности композиционных конструкций на основе теории длительной прочности А.А.Ильюшина.

5. Показана возможность применения итерационного метода для решения задачи технологической механики полимерных материалов о формировании напряженного состояния в изделии при охлаждении с учетом неразностного характера ядер. Исследована эволюция напряженного состояния в процессе охлаждения и после его окончания.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. 'Груфанов H.A., Куликов Р.Г. Итерационный метод решения краевых задач вязкоупругости // Тезисы докладов 10-й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995. С.239-240.

2. Труфанов H.A., Куликов Р.Г. Численное решение задач вязкоупругости итерационным методом // Вестник ПГТУ. Технологическая механика. Псрмь:ПГТУ, 1996. №2. С. 145-150.

3. Труфанов H.A., Куликов Р.Г. О численном решении краевых задач термовязкоупругости полимерных материалов с учетом релаксационного перехода // Тезисы докладов 11 -й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1997. С.281.

4. Куликов Р.Г. Релаксация усилия затяжки фланцевого соединения стеклопластиковой трубы// Вестник ПГТУ. Компьютерная и прикладная механика. ПермыПГТУ, 1998. №1. С.121-125.

5. Труфанов H.A., Куликов Р.Г. К обоснованию одного итерационного метода решения краевых задач нелинейной вязкоупругости// Вестник ПГТУ. Компьютерная и прикладная механика. ПермыПГТУ, 1998. №1. С.25-30.

6. Куликов Р.Г., Труфанов H.A. Численное прогнозирование релаксационных и деформационных свойств волокнистых композитов с нелинейно вязкоупругим связующим // Тезисы докладов сотрудников факультета «Прикладная математика и механика» на научно-технической конференции ГТГТУ, Пермь, 1998.

/

/

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КУЛИКОВ РОМАН ГЕОРГИЕВИЧ

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ВЯЗКОУПРУГИХ КОМПОЗИЦИОННЫХ

МАТЕРИАЛОВ.

01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель -доктор тех. наук профессор Н. А. Труфанов

г. Пермь -1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...............................................................................................................4

Глава 1. Постановка и основные методы решения квазистатических краевых задач вязкоупругости анизотропных неоднородных тел.................7

I

1.1. Общая постановка краевой квазистатической задачи вязкоупругости.............................................................................................7

1.2. Вязкоупругие характеристики полимерных материалов и их композиций.................................................................................................10

1.3. Решение квазистатических краевых задач вязкоупругости...........14

1.4. Выводы по главе.................................................................................20

Глава 2. Итерационный метод решения краевых квазистатических задач вязкоупругости...................................................................................................21

2.1. Итерационный метод решения краевых квазистатических задач вязкоупругости в случае нелинейных физических соотношений........21

2.2. Итерационный метод решения краевых квазистатических задач вязкоупругости в случае линейных физических соотношений............28

2.3. Решение тестовых задач....................................................................31

2.3.1. Квазистатическое деформирование вязкоупругого стержня...............................................................................................32

2.3.2. Квазистатическое деформирование вязкоупругой трубы под действием внутреннего давления.............................................39

2.4. Выводы по главе.................................................................................43

Глава 3. Численная реализация итерационного метода решения задач вязкоупругости...................................................................................................44

3.1. Конечноэлементная реализация итерационного метода................44

3.2. Аппроксимация ядер интегральных операторов............................49

3.3. Аппроксимация функций узловых неизвестных во времени и вычисление наследственных интегралов................................................51

3.4. Выбор материала погружения...........................................................53

3.5. Формирование вектора фиктивных сил...........................................54

3.6. Выбор начального приближения......................................................56

3.7. Критерий прекращения итераций.....................................................57

3.8. Выводы по главе.................................................................................58

4. Итерационное решение квазистатических задач механики конструкций из полимерных композиционных материалов................................................59

4.1. Вязкоупругое деформирование композиционного ротора инерционного накопителя энергии..........................................................59

4.2. Релаксация усилия затяжки фланцевого соединения стеклопластиковой трубы.........................................................................74

4.3. Численное прогнозирование релаксационных свойств волокнистых композитов с нелинейно вязкоупругим связующим......84

4.4. Численное решение краевой задачи термовязкоупругости с учетом релаксационного перехода (формирование остаточных напряжений в полимерном цилиндре в процессе его охлаждения)....93

4.4.1. Решение температурной задачи.........................................97

4.4.2. Определение полей напряжений.......................................99

4.5. Выводы по главе...............................................................................107

Заключение......................................................................................................108

Литература.........................................................................................................109

Введение

Оптимизация прочностных и деформационных свойств конструкций приводит к созданию и широкому использованию материалов с требуемыми характеристиками в различных направлениях. Наибольшее распространение получили волокнистые композиты на основе полимерных связующих. Полимерные матрицы обладают ярко выраженными реологическими свойствами, существенное влияние на которые оказывают такие факторы как уровень нагружения, температура, влажность и др. Материалы некоторых волокон, например органоволокна, тоже проявляют вязко-упругие свойства. В результате, органопластики проявляют ползучесть в любом направлении в отличие от композитов, армированных упругими волокнами, и возникает проблема учета нескольких вязкоупругих операторов, характеризующих реологические свойства подобных материалов.

В настоящее время хорошо развиты методы решения краевых задач в упругой постановке. Но, как показывает практика, на основе результатов упругого расчета нельзя с достаточной точностью оценить прочность и деформативность конструкции из материалов, проявляющих вязкоупругие свойства. Накопление повреждений и развитие деформаций происходит в таких материалах и при постоянных уровнях напряжений. Кроме того, возможно возникновение эффектов типа перераспределения напряжений, которые нельзя спрогнозировать при рассмотрении материала конструкции как упругого.

Широкое применение в технике конструкций из композиционных вязкоупругих материалов делает актуальной проблему разработки методов решения подобного класса задач. Решение краевой задачи в рамках теории вязкоупругости при рассмотрении неоднородных тел нетривиальной пространственной конфигурации и наличии нескольких вязкоупругих операторов является сложной математической проблемой и требует применения специальных методов.

Быстрое развитие компьютерной техники сделало возможным решение задач большой размерности и эффективной реализацию сложных вычислительных алгоритмов. В настоящей работе рассматривается новый итерационный метод решения краевых квазистатических задач вязкоупру-гости, подразумевающий численную реализацию. Метод позволяет учитывать произвольное количество независимых вязкоупругих операторов при рассмотрении кусочнооднородных и неоднородных анизотропных вязко-упругих тел в рамках как линейной, так и нелинейной теорий вязкоупруго-сти.

Целью работы является разработка итерационного метода решения краевых квазистатических задач вязкоупругости, доказательство сходимости предлагаемой итерационной процедуры, разработка эффективных численных алгоритмов и программ реализации метода, исследование практической сходимости и устойчивости метода, разработка приемов, позволяющих повысить эффективность вычислительной процедуры, решение ряда тестовых и реальных краевых задач вязкоупругости.

Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы.

В первой главе приводится общая постановка краевой квазистатической задачи вязкоупругости. На основе литературного обзора рассмотрены проблемы прогнозирования вязкоупругих свойств композитов и основные методы решения краевых задач вязкоупругости.

Во второй главе приводится схема построения итерационной процедуры. Доказана теорема о сходимости итерационного процесса в общем случае при рассмотрении задачи нелинейной теории вязкоупругости. Отдельно приведено доказательство для случая линейной вязкоупругости. На основе решения тестовых задач оценена практическая сходимость и погрешность метода.

Третья глава посвящена вопросу численной реализации итерационного метода. Приводится построение конечномерного аналога задачи с

использованием метода конечных элементов и пошаговой во времени процедуры решения. Рассматриваются приемы, позволяющие оптимизировать вычислительный процесс.

В четвертой главе представлены результаты решения ряда новых краевых задач вязкоупругости, полученные итерационным методом. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние вязкоупругого композиционного ротора инерционного накопителя энергии, деформирование стыковочного фланцевого соединения стеклопластикового трубопровода. На основе решения задачи о деформировании элементарной ячейки получены релаксационные кривые в поперечном направлении волокнистого композита с нелинейно-вязкоупругим связующим, физические соотношения для которого выбраны в виде соотношений главной кубичной теории вязкоупругости. Рассмотрена задача о формировании технологических напряжений в полимерном цилиндре в процессе его охлаждения.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы и выводы.

Отдельные результаты, изложенные в работе, докладывались на :

- 10-й зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995);

- 11-й зимней школу по механике сплошных сред (Екатеринбург, 1997);

- научно-технической конференции ПГТУ «Прикладная математика и механика» (Пермь, 1998);

- международной конференции «Математическое моделирование в науке и технике» (Ижевск, 1998);

- 16-й международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов» (С-Петербург, 1998);

По теме диссертации опубликованы работы [52,53,103-106].

Глава 1. Постановка и основные методы решения квазистатических краевых задач вязкоупругости анизотропных неоднородных тел

В главе рассматриваются особенности краевых задач вязкоупругости, связанные с анизотропией и неоднородностью композиционных материалов и конструкций из них, необходимостью учета нескольких независимых вязкоупругих операторов с разностными и неразностными ядрами. Приводится общая постановка краевой квазистатической задачи нелинейной вязкоупругости для неоднородного анизотропного тела. На основе обзора литературного материала рассмотрены основные методы решения краевых квазистатических задач вязкоупругости. Сделаны выводы о применимости существующих методов для решения различных классов задач, связанных с анализом поведения полимерных композиционных материалов и конструкций.

1.1. Общая постановка краевой квазистатической задачи вязкоупругости

Необходимость создания материалов с требуемыми свойствами в различных направлениях обусловила широкое применение в технике композиционных материалов. Наиболее распространены волокнистые композиты на основе полимерных связующих. Полимерные матрицы обладают ярко выраженными реологическими свойствами, существенное влияние на которые оказывают такие факторы как уровень нагружения, температура, влажность и др. Материалы некоторых волокон, например органоволокна, тоже проявляют вязкоупругие свойства. Следует отметить, что реологические характеристики компонент широко используемых композитов сильно различаются и не могут быть описаны с

использованием какого либо одного вязкоупругого оператора. Кроме того, большинство реальных машиностроительных конструкций являются кусочнооднородными либо неоднородными. В результате возникает проблема решения краевой задачи вязкоупругости при наличии нескольких вязкоупругих операторов. Поведение некоторых материалов плохо описывается соотношениями линейной вязкоупругости, поэтому используются физические соотношения в виде уравнений различных нелинейных теорий связи напряжений с деформациями. В случае рассмотрения материалов, в которых протекают химические процессы, либо материалов, находящихся в нестационарном температурном поле и не подчиняющихся принципу температурно-временной аналогии, ядра вязкоупругих операторов перестают быть разностными по аргументам. Все эти перечисленные факторы значительно осложняют решение задачи.

Рассматривается квазистатическая краевая задача деформирования кусочнооднородного анизотропного вязкоупругого тела. Формулировка общего вида соотношений рассматривается в работах [5,14,31, 34,41,80,87,88,].

Уравнения равновесия имеют вид

сНу<7(и) + Г = 0, хе¥, (1.1)

где & - тензор напряжений, и,Г - векторы перемещений и объемных сил, х - радиус-вектор точки тела, V - занимаемая телом область пространства.

Наибольшее распространение в технике получили композиты, армированные высокомодульными волокнами, так называемые «жесткие» пластики, используемые в конструкциях таким образом, что основную нагрузку несут прочные армирующие компоненты, работающие в основном в области малых деформаций. В предположении малости деформаций, связь между тензором деформации ё и вектором перемещений и задается соотношениями Коши

¿ = |(Уи + (УиУ), хеК. (1.2)

Считается, что поверхность, ограничивающая тело, состоит из двух частей. На части поверхности ^ заданы нагрузки

<тп = р, х еБр, (1.3)

где п - вектор единичной внешней нормали к поверхности тела; р -заданный вектор поверхностных сил. На части поверхности заданы

перемещения

и = и, хе£м, (1.4)

где и - заданный вектор перемещений.

Уравнения связи между тензорами напряжений и деформаций можно представить в виде соотношений Фреше-Вольтерры [34]:

а=¥{8}, (1.5)

которые в случае общей нелинейной вязкоупругости можно записать в виде

00

¿=1ГИ(*)И (1.6)

п=1

где использовано обозначение

* г

о о

или в покомпонентной форме

оо t t

где 2п+2Гп - тензор (2п+2)-го ранга ядер релаксации п-го порядка ; знак (• •) означает двойное скалярное произведение; t - время. Ядра релаксации симметричны по переменным г., г = 1,п, кроме того выполнены условия взаимности, предполагающие инвариантность тензоров ядер релаксации

относительно некоторой группы преобразований, характеризующей определенный вид анизотропии [34]. В общем случае ядра тензора функций релаксации являются неразностными. При рассмотрении нестареющего материала ядра функций релаксации инвариантны относительно начала отсчета времени и становятся разностными по аргументам.

Для случая линейной теории вязкоупругости соотношение (1.5) примет вид

г

&=4Т ■■£=\4Г0,Т)--£(Т)С1Т, (1.7)

0

где 4Г(1,т)~ тензор четвертого ранга функций релаксации материала. В

4 Л

общем случае анизотропного вязкоупругого материала тензор Т(1,т) содержит 21 независимый оператор. Для описания свойств изотропного материала необходимы два независимых оператора. Свойства материалов большинства намоточных конструкций определяются свойствами ленты, которую с высокой точностью можно рассматривать как трансверсально изотропный однонаправленный волокнистый композит, характеризующийся пятью независимыми вязкоупругими операторами [34,80].

Очевидно, что для решения краевой задачи (1.1)-(1.5) необходима полная информация о ядрах вязкоупругих операторов, характеризующих реологическое поведение материала конструкции.

1.2. Вязкоупругие характеристики полимерных материалов и их композиций

Значительное число работ посвящены определению вязкоупругих характеристик волокон, связующих и композиционных материалов.

В [18] приводятся результаты опытов на продольную ползучесть эпоксидномалеинового связующего с одновременным замером поперечных деформаций. Установлено, что линейность вязкоупругих свойств проявляется при напряжениях меньших 0.7аь (где аь -

напряжение разрыва образца). Отношение поперечной деформации к продольной в процессе ползучести изменялось по абсолютной величине от 0.383 до 0.417, что свидетельствует о непостоянстве коэффициента Пуассона. Большое число работ посвящены исследованию распространенного связующего ЭДТ-10. В работах [27,28,59,60] построены нелинейные аппроксимации кривых ползучести в рамках главной кубичной теории вязкоупругости для случая сложного напряженного состояния. Наиболее длительные исследования на одноосную ползучесть связующего ЭДТ-10 опубликованы в работах [56,98], аппроксимация результатов выполнена в рамках линейной теории вязкоупругости с ядром ползучести в виде суммы экспонент. Установлена справедливость температурно-временной аналогии в интервале температур 20-60°С. Аналогичные результаты получены зарубежными авторами [125,133]. В [60] для двух классов полимерных материалов -термопластичных (поликарбоната) и термореактивных (связующее ЭДТ-10) - установлено соблюдение температурно-временной аналогии в области физически нелинейного сопротивления полимерных материалов при сложных напряженных состояниях. Показано, что физически нелинейное поведение исследуемых материалов можно считать термореологически простым.

Отмечено, что среди наиболее распространенных волокон ползучестью обладают лишь органические, а стеклянные, углеродные и борные реономность свойств практически не проявляют [57]. Кратковременная ползучесть органических волокон при значениях температур 20-200°С изучена в [3], вопросы прогнозирования длительной

ползучести рассмотрены в [30]. Ползучесть органического волокна Кевлар изучалась в [126,129,130]. В целом для органических волокон установлена линейность вязкоупругих свойств до уровней напряжений 0.4аь и

проявление термореологически простого поведения в этом диапазоне нагрузок.

В [19,20,72] отмечается необходимость учета объемной ползучести при исследовании деформирования полимерных материалов. На основании экспериментальных исследований установлена также существенная нелинейность связи межд�