Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях

Людский, Владимир Анатольевич

Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Людский, Владимир Анатольевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тверь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях»

Автореферат диссертации на тему "Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях"

На правах рукописи

ЛЮДСКИЙ ВЛАДИМИР АНАТОЛЬЕВИЧ

ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ОТВЕРСТИЙ В ТЕЛАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003457404

Тверь 2008

003457404

Работа выполнена на прикладной математики и ситета.

кафедре вычислительной математики факультета кибернетики Тверского государственного универ-

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Зингерман Константин Моисеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кудинов Алексей Никифоров!«,

доктор физико-математических наук, профессор Левин Владимир Анатольевич.

Ведущая организация ООО «Научно-технический центр «НИИШП»,

Москва

Защита состоится «2.5» декабря 2008 г. в чРО мин. на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при Тверском государственном техническом университете по адресу: 170026, г. Тверь, наб. Аф. Никитина, 22, ауд. Ц-120.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного технического университета.

Объявление о защите диссертации и автореферат диссертации опубликованы ноября 2008 г. на официальном сайте Тверского государственного технического университета по адресу: http://www.tstu.tver.ru/mw_struct/phd

Автореферат разослан «24 » ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Диссертация посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния в телах конечных размеров при образовании в них отверстий. При этом учитываются нелинейные эффекты, связанные как с геометрической нелинейностью, проявляющейся при больших деформациях, так и с физической нелинейностью, источником которой являются свойства материала. Используется физическая модель образования полости, разработанная Тарасьевым Г.С.

Вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Бартенев Г.М., Бидерман b.jl, Бондарь В.Д., Блох И.И., Ворович И.И., Гольденблат И.И., Зволинский Н.В., Крутков Ю.А., Савин Г.Н., Толоконников Л.А., Хазанович Т.Н., Цурпал И.А., Черных К.Ф., Blats P.J., Green А.Е., Moony М.А., Murnaghan F.D., Rivlin R.S., Treloar L.R.G., Truesdell C., Zerna W. и многие другие.

Многие важные общие и частные прикладные задачи рассмотрены в работах Новожилова В.В., Седова Л.И., Лурье А.И., Колосова Г.В, Мусхели-швили Н.И., Грина А. и Адкинса Дж., Кутилина Л.И. и др.

Применение аналитических методов к решению плоских задач о концентрации напряжений в упругих и вязкоупругих телах в нелинейной постановке рассмотрено Боллом Дж., Бондарем В.Д., Громовым В.Г., Гузем А.Н., Зубовым Л.М., Койфманом Ю.И., Космодамианским A.C., Морозовым Н.Ф., Райсом Дж., Савиным Г.Н., Тарасьевым Г.С., Угодчиковым А.Г., Хорганом К.О., Цурпалом И.А., Черепановым Г.П.

Одним из направлений нелинейной теории упругости является развитие нелинейной теории наложения больших деформаций, значительный вклад в которое внесла школа механики, основанная Толоконниковым Л.А. К этой школе относятся, например, работы Тарасьева Г.С., Матченко Н.М., Маркина A.A., Левина В.А. и их учеников (Зингермана К.М и др.).

С практической точки зрения модели и методы нелинейной теории упругости и вязкоупругости в случае больших деформаций наиболее важны для прочностных расчетов изделий из резины и резиноподобных (высокоэластичных) материалов. Численные методы таких расчетов рассмотрены в работах Лавендела Э.Э., Дымникова С.И., Бухина Б.Л. и других авторов.

Большое значение в нелинейной упругости имеет выбор определяющих соотношений, корректно описывающих свойства материалов. В работе используются апробированные определяющие соотношения, предложенные различными исследователями (в том числе Мурнаганом Ф.Д., Муни М.А., Черных К.Ф. и др.). Отметим, что для описания механического поведения резин также применяется ряд более сложных упругих потенциалов. Соответствующие вопросы рассмотрены в работах Гамлицкого Ю.А.

Постановки и методы решения задач вязкоупругости рассмотрены в работах Арутюняна Н.Х., Зубчанинова В.Г., Ильюшина A.A., Матвеенко В.П., Победри Б.Е. и др. В работе при решении задач вязкоупругости используется определяющее соотношение, предложенное Адамовым A.A.

Актуальность темы работы определяется широким применением высокоэластичных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) высокоэластичных элементов конструкций, в том числе и в ситуациях, связанных с образованием полостей и пустот. Примером таких конструкций являются изделия сложной формы из наполненных эластомеров, подвергающиеся нагрузкам высокой интенсивности: резиновые и резинометаллические амортизаторы, шины и др.

Для исследования напряженно-деформированного состояния тел с отверстиями можно использовать различные методы, как численные (например, МКЭ), так и аналитические. Недостатком численных методов является то, что их применение требует значительных ресурсов ЭВМ. Кроме того, в существующих «коммерческих» конечно-элементных пакетах (ANSYS, ABAQUS и др.) не предусмотрена возможность задавать граничные условия на той части границы тела, которая возникает при образовании отверстий. Возможен и другой подход, основанный на применении приближенных аналитических методов и проблемно-ориентированной системы аналитических вычислений на ЭВМ, предложенный Зингерманом K.M. Этот подход позволяет существенно сократить затраты времени на решение задач. Ранее он был применен только для бесконечно протяженных тел.

Для описания деформации тел с возникающими в них отверстиями необходимо учесть, что тела имеют конечные размеры. Однако приближенное аналитическое решение плоских задач данного класса для тел конечных размеров ранее не было получено.

В связи с этим целью диссертации является исследование напряженно-деформированного состояния в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров для случая больших деформаций при образовании в этих телах отверстий.

Для достижения цели исследования в работе поставлена актуальная научная задача решения плоских задач об образовании отверстий в предварительно нагруженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при больших деформациях.

Частными задачами исследования являются:

- развитие приближенного численно-аналитического метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел, для расчета напряженно-деформированного состояния в предварительно нагруженных упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при образовании в этих телах отверстий;

- разработка алгоритмов и программного комплекса, реализующих данный метод для тел круговой формы с одним или несколькими отверстиями произвольной формы;

- проведение тестовых расчетов для оценки погрешности результатов, полученных с помощью программного комплекса, путем сравнения их с имеющимися точными решениями;

и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отверстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования) отверстий.

Методы исследования: метод последовательных приближений, итерационный метод Шварца, метод Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Коши, преобразование Лапласа.

На защиту выносятся:

1. Приближенный численно-аналитический метод для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров из нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях.

2. Проблемно-ориентированный программный комплекс «Наложение», предназначенный для решения плоских задач нелинейной упругости и вязко-упругости для тел с круговой внешней границей, в которых образуется одно или несколько отверстий.

3. Результаты приближенного решения плоских задач для тел с круговой внешней границей, полученные с помощью данного программного комплекса.

Теоретическая значимость работы заключается в дальнейшем развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач нелинейной теории упругости (в частности, задач теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций).

Практическая значимость. Разработан программный комплекс, реализующий математический метод и алгоритм. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ. Этот комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщеного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов. С помощью программного комплекса можно решать практические задачи по выполнению прочностных расчетов и анализу возможности разрушения элементов конструкций.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность базируется на использовании при постановке задачи уравнений и граничных условий, корректно записанных для случая больших деформаций и использованных ранее другими авторами, и апробированных определяющих соотношений, реалистично описывающих механические свойства материалов.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

сравнением результатов с точным решением задачи Ламе об осесиммет-ричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева-Хазановича. Максимальная погрешность результатов, полученных приближенным методом, составила менее 4 % при внешней нагрузке 0.5 ц, отношении внешнего и внутреннего радиусов цилиндра 1:10;

проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения на каждом шаге итерационного процесса;

сравнением результатов для тела конечных размеров, содержащего малые по сравнению с размерами тела полости различной формы, расположенные вблизи центра тела, с результатами расчетов для бесконечно протяженных тел с полостями такой же формы, полученными ранее другими авторами [54]. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1.5%.

Научная новизна полученных результатов:

1. Впервые найдены приближенные численно-аналитические решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в теле из нелинейно-упругого (сжимаемого и несжимаемого), а также вязкоупругого материала для тел конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.

2. Развит приближенный численно-аналитический метод для решения указанного класса задач для тел конечных размеров. Метод основан на модификации математических методов, применяемых ранее для решения плоской задачи для бесконечно протяженных тел (метода последовательных приближений и итерационного метода Шварца) в связи с необходимостью учета граничных условий на внешнем контуре. Расчетные формулы и алгоритмы для тел конечных размеров отличаются от соответствующих формул и алгоритмов для бесконечно протяженных тел. Это обусловило изменение метода решения линеаризованной задачи на тех шагах метода Шварца, на которых требуется удовлетворить граничным условиям на внешнем контуре.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XVI и XVIII симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2005 и 2007 г. (г. Москва); на VI Международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» в 2006 г. (г. Тверь); на седьмом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в 2007 г. (г. Казань).

Результаты, полученные в диссертации, частично использованы при выполнении работ по гранту РФФИ (№ 06-01-00682).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях, из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 164 страницах машинописного текста, содержит 96 рисунков, список использованных источников включает 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа состояния исследований по теме диссертации обоснована актуальность работы, сформулированы цель, решаемая научная задача и частные задачи исследования. Дана общая характеристика работы и ее краткое содержание по главам. Приведен обзор работ, посвящен-

ных вопросам деформирования тел при образовании отверстий. Для описания образования полости используется модель Г.С. Тарасьева, а для постановки краевых задач о деформации нелинейно-упругих или вязкоупругих тел при многократном образовании отверстий - теория многократного наложения больших деформаций, разработанная Г.С. Тарасьевым и В.А. Левиным.

В первой главе подробно описана модель образования отверстий в телах из нелинейно-упругого и вязкоупругого материала, приведен понятийный аппарат, включающий основные термины и обозначения теории многократного наложения больших деформаций. В этой теории принято различать N состояний тела: начальное, или естественное (ненапряженное) состояние; (N-2) промежуточных состояния, в которые поочередно переходит тело под влиянием внешних воздействий; конечное, или текущее состояние, в которое тело переходит после приложения к нему в заранее заданном порядке всех нагрузок. Вследствие приложения нагрузок в теле возникает некоторое напряженно-деформированное состояние, для описания которого используются следующие обозначения.

и„ - вектор перемещений, характеризующий переход из предыдущего

(и ~])-го состояния в последующее п-е состояние;

/п -массовая сила в и-м состоянии, V - градиент, А0 п - относительное изменение объема;

У, , = ('- £ V«,)-1 - аффинор деформаций, = ;

"' 1

Е,.р =-(*?„,,, •Ч'*1/,-Ч'„,1? ■¥*,,) - тензор деформаций, описывающий

изменение деформаций при переходе тела из состояния ц в состояние р и отнесенный к координатному базису т-го состояния;

СГ0 И - тензор истинных напряжений, описывающий накопленные в теле напряжения при переходе из начального в и-е состояние (при п = 1 - тензор Коши);

Хо,„ =(1 + Д0„)сг0„ - тензор обобщенных (полных для «-го состояния)

напряжений, определенный в координатном базисе и-го состояния, 2о,»-тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный

в координатном базисе произвольного т-го состояния: 2о.„ = Ч''п,„ - ¿о,„-У,,,, ;

А-

Г,- граница отверстий в теле конечных размеров в и-м состоянии в * 1

координатахк-го состояния (#„ - нормальк г.);

Гам — внешняя граница тела конечных размеров в и-м состоянии в

' '

координатах к-го состояния (- нормаль к гт ).

Математическая постановка задачи для расчета напряжений и деформаций в и-м состоянии для тел конечных размеров записывается

следующим образом (в координатах п-го состояния для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на граничной поверхности): уравнение равновесия

?-а0>л=0; (1)

граничные условия на контурах отверстий и на внешнем контуре

» - Мви Рвн ; (2)

Гвя

геометрические соотношения

1+Д01Л=ёе1ФОл, (3)

^=(/-1^,]"'. (4)

Определяющие соотношения для материала Мурнагана (представление в базисе начального состояния)

£о.» = Л^£о.»:+20£о.»+ЗС3^£\>.я/+С4^Яо,„ :/у+гС.^о»^£о.»+ЗС!^£'о.„^ , (5)

^.^(^Ао.лГ'^-^-Ч'о,, (6)

(7)

Для несжимаемого вязкоупругого материала, рассматриваемого в диссертации, используются определяющие соотношения вида

Хо.„ = ц

с,. „ = (9)

В постановку задачи также входят определяющие соотношения для различных классов несжимаемых упругих материалов (Муни, Черных).

Таким образом, поставленная задача сводится к краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Во второй главе рассмотрены и модифицированы приближенные аналитические методы решения плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тел конечных размеров.

При решении плоских задач теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров используется метод последовательных приближений.

Сущность метода описывается следующим образом. В качестве начального приближения выбирается решение линейной задачи, соответствующей исходной нелинейной задаче. и'„0>- вектор перемещений, соответствующий этому решению, он будет линейно зависеть от давления на внешнем контуре Рвн и давления на контурах отверстий Р. Поэтому можно записать: и(„0) ~ д (— знак пропорциональности), где д - безразмерный параметр, который определяется следующим образом:

9=тах(кУ;и1. (ю)

^ О С/

Нулевое значение параметра д соответствует отсутствию нагрузок. Решение исходной нелинейной задачи отыскивается в перемещениях в виде ряда

= + ^ + (И)

)

где вектор и*" (¿ = 1,2,...) - поправка от учета эффектов (/+1)-го порядка для перемещений при переходе из (и-1)-го в и-е состояние.

В виде, подобном (11), представляются уравнения, входящие в постановку задачи: аффиноры деформаций , тензоры деформаций Ет,„, тензо-

ры обобщенных напряжений !„,.„ и истинных напряжений ■

После подстановки этих разложений в уравнения, описывающие постановку задачи, и группировки членов по степеням малого параметра, постановка задачи сводится к бесконечной последовательности линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в и-м состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала п(„с> и ст^ (нулевое приближение), затем г/*" и <Тд'1 (первое приближение) и т.д.

Постановка задачи в приближениях при решении задачи в координатах и-го состояния для первых двух приближений примет вид: уравнение равновесия:

У-<'=0, У-< = 0. (12)

граничные условия на контурах отверстий:

г,=°- (13)

граничные условия на внешнем контуре тела

. =-РвиМви,

Геи

= 0. (14)

Твн

Определяющие соотношения в приближениях для материала Мурнагана:

' (15)

о (О (0) о №)

= £•().„:/}/+2СЕо,„, (16)

(17)

о (оII) Л о 41 (о«» V

=Л Ео„:/\1+ 20Еа.,,+ЪСЛ £•».„:/ 1+СЛ

К этим соотношениям добавляется формула которая в приближениях имеет вид:

'о«»2 ) С оЮ) \о<0) Еа.„ :/ /+2С, £«.„:/ £о,..+ЗС5 £О,„

Также приведены определяющие соотношения в приближениях для материала Муни и материала Черных, и вязкоупругого материала.

Введены линейные операторы £,[«] и

Ц [и] = Я( V • и)/+G(V« + mV) , Z, [и,р) = /j{1 - fi)(V ■ u)I + p(Vu + uV) - pi.

Записана постановка краевой задачи в перемещениях для нулевого приближения. Приведены соотношения для первого приближения.

В общем виде постановка задачи для /-го приближения следующая (на примере сжимаемых упругих материалов):

V-LlU^ye, (22)

=<?Г, (23)

Для нулевого приближения в случае отсутствия массовых сил и заданного давления на контуре тела

С = 0, QT = -PN. - К .<>, = -Ркн№ - NSH где k=n-1, если задача решается в координатах (н-1)-го состояния, или к=\, если задача решается в координатах и-го состояния.

Un{:> - вектор и„{1), если задача решается в координатах (я-1)-го состояния, или сумма (т.е. вектор перемещений из первого

У-2

промежуточного в л-е состояние), если задача решается в координатах и-го состояния.

Представлен алгоритм для решения задачи для первого приближения.

Для решения задач вязкоупругости, как и в случае нелинейно-упругого материала, таким же образом используется метод последовательных приближений. Уравнения в приближениях для вязкоупругого материала после применения преобразования Лапласа представляют собой линеаризованную задачу для несжимаемого материала, которая имеет тот же вид, что и линеаризованная задача теории упругости.

. Краевые задачи (22)-(23) для всех приближений представляют собой линеаризованные задачи теории упругости, что позволяет сформулировать линеаризованную постановку этой задачи в комплексной форме. Линеаризованные задачи решаются методом Колосова-Мусхелишвили.

Вводится тензор S, соответствующий тензору напряжений линейной упругости. Для сжимаемого материала S = Lt[u), для несжимаемого S = L2[u, р]. Векторы и, /, Q, QBH, N, NBH и тензор S представляются в координатной

форме в следующем виде:

и - ще1 + и2ег + щгъ, (24)

/ = />,+/А, (25)

Q = QA +Q2e2, Qm=QBHet+QB!,2e2, (26)

N = Лл,е, + N2e2, Na, = + N„„e2, (27)

5 = + 512е,е2 + 52,е2е, + $21е2е2 + 8пеъег. (28)

В соответствии с методом Колосова-Мусхелишвили вводятся комплексные переменные г = .х, + ;'х2> г = х, — ¡х2 и функции этих переменных:

н<г, ?) = «, + »«„ = (29)

е(2,2)=е,+/«N(2, ?)=л',+/л'г, (зо)

(2,2 ) = £)„„, +;'а„г, Л^т(2,г) = Л'№1+/Л'и,г, (31)

Через Т^Тд обозначаются комбинации компонент некоторого тензора Т второго ранга (в декартовой системе координат):

т1=тп+т12+'{тп-ти)> Ти=Тн-Тп+ЦТп + Тп) (32)

Приводятся записи линеаризованной задачи в комплексной форме для случаев сжимаемого и несжимаемого материала как при плоской деформации, так и при обобщенном плоско-напряженном состоянии:

= 2Р (33)

6 дг

+ Л'внЯ, |ГИ( — 2()еи |Г„, (34)

81=2(Д+0)(-+-), Бц = 4С(—) (35)

(на примере сжимаемых материалов при плоской деформации). Согласно методу Колосова-Мусхелишвили решение линеаризованной краевой задачи отыскивается в виде:

Ы = ™Н+Ъ>0ДН, Р=Р„ + РОДН,

езЗ = Е33„ + ЕЗЗОДН > $ОДН ' (35)

где рн,™н,еззя, - некоторое частное решение линеаризованной задачи; РодтЩт^подт - решение линеаризованной задачи для однородной системы уравнений.

Приведены частные решения для всех рассмотренных случаев плоской задачи (считается, что функция Р{г, г) является аналитической функцией аргументов г и I в области, занимаемой телом.):

= 40(Л2С)^ + ЗС)Я^-(Л + 0)ЯЙгф] (37)

^ + (38)

(на примере сжимаемых материалов при плоской деформации). Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений отыскивается с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили Ф(г), Ч/(г).

Выражения для напряжений: ^ = 2[ф(г) + ф(1)], = + (39)

Комплексный вектор перемещений :

'2в

Л+Зв

(40)

. Л + в

(на примере сжимаемых материалов при плоской деформации). Для нахождения функций Ф(2),Ч/(г) применяется метод интегралов типа Коши.

Для многосвязных ограниченных- областей используется метод последовательных приближений Шварца (итерационный процесс, на каждом шаге которого решается граничная задача для односвязной области, ограниченной одним из контуров, составляющих границу Г данной многосвязной области, причем от шага к шагу номер контура меняется).

Подход для ограниченных областей имеет следующий вид. На разных итерациях решается два типа задач, сначала рассматривается краевая задача для ограниченной односвязной области (области, занимаемой телом). Так как граница этой области представляет собой простой замкнутый контур, можно воспользоваться конформным отображением этой области на бескрнечную область, ограниченную единичной окружностью.

Функция е>(£), осуществляющая конформное отображение внешности единичной окружности на конечную область Я, занимаемую телом, задается в виде

й>(#) = с1Г'+с2Г2+-+с„Г" (41) ■

Решение краевой задачи для тела конечного размера без отверстий (односвязной области) находится из граничных условий

а'„, (2)[<вд+ф(г)]- = мгк!, (42)

где 8=ош-\/2(ытз,иВ„

Второй тип задач - линеаризованная краевая задача для бесконечной области с отверстием, при этом нйгрузки на бесконечности считаются равными нулю.

Функция осуществляющая конформное отображение внешности

единичной окружности на контур к-го отверстия, задается в виде

соЛЫ = с'Х +С?>&-1 +...+<?>&- (43)

Решение этой краевой задачи находятся из граничных условий. Л^2)[Ф(2)+ ГФЧГ)]! . =24 , (44)

гд

Решение однородной задачи 5/сид, методом Шварца находится по

следующей схеме:

1) сначала решается краевая задача для внешнего контура;

2) далее начальное приближение берется в виде •

где Я, вн, - решение краевой задачи для внешнего контура.

Задается функция gl

3) на i-м шаге итерационного процесса (/-1,2,..) определяется номер к очередного контура и находятся аналитические функции Ф(г), Ч'(;) из граничного условия:

+ (46)

Затем определяются Sj'^, ¿'¡¡^

(48)

и находится функция в правой части граничных условий для следующей итерации:

(49)

Далее итерационный процесс повторяется, но уже для следующего контура.

Таким образом, алгоритм решения поставленной задачи включает в себя следующую последовательность действий:

1) для решения задачи используется метод последовательных приближений, причем для каждого приближения краевая задача представляет собой линеаризованную задачу теории упругости;

2) для каждого приближения сначала находятся функции в правых частях уравнений и граничных условий, зависящие от предшествующего приближения;

3) определяется частное решение линеаризованной задачи;

4) решается однородная система уравнений, для многосвязных ограниченных областей используется метод последовательных приближений Шварца.

В третьей главе приведены результаты решения плоских задач об образовании отверстий, полученные с помощью программного комплекса «Наложение».

Автором разработан проблемно-ориентированный программный комплекс «Наложение», который предназначен для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ, ранее примененной Зингерманом K.M. при решении плоских задачи теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций для бесконечно протяженных тел.

Процедуры, выполняющие аналитические преобразования, реализованы в виде процедур-функций и объединены в три базовых модуля (проблемно-ориентированная система аналитических вычислений на ЭВМ):

1. Модуль для выполнения аналитических операций над изображениями по Лапласу.

2. Модуль для выполнения аналитических операций над функциями комплексных переменных специального вида;

3. Модуль для выполнения операций над тензорами, компонентами которых являются вышеупомянутые функции комплексных переменных.

Программный комплекс «Наложение» реализован в среде разработки Borland Delphi на объектно-ориентированном языке программирования Pascal и представляет собой стандартное оконное приложение операционной системы Windows.

В качестве исходных данных задаются тип и упругие константы материала, геометрия тела и отверстий, нагрузки на внешнем контуре тела и контурах отверстий. Комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщенного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма внешнего контура круговая, форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов.

В решенных задачах исследуется зависимость напряженно-деформированного состояния от величины нагружения как на внешнем контуре тела, так и на контурах отверстий; от материала тела, от формы контуров отверстий, от их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования). Проанализировано влияние нелинейных эффектов.

Проведено сравнение с известным точным решением задачи об образовании кругового отверстия в центре тела круговой формы, подвергнутом всестороннему нагружению. Рассматривается случай плоской деформации, материал тела описывается потенциалом Бартенева-Хазановича (рис. 1,2).

Представлены результаты решения серии задач при следующих условиях: радиус тела равен 1; радиус полости изменяется от 0.05 до 0.5 с шагом 0.05; центр полости совпадает с центром тела. Давление, приложенное к внешнему контуру тела: р = ju. Можно отметить, что с увеличением радиуса отверстия до 0.5 для первого приближения максимальная погрешность относительно точного решения составляет менее 15 % для ап.

•1,5-1,6.1.7-1,8 -1,9-2,0-2.1 -2,2-2.3-2,4 -2,5-

/*ч •

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Радиус полости

Рис. 1. Зависимость тангенциальных напряжений на внутреннем контуре от радиуса отверстия

1.801,751,701,651,60 1,551,50-

1.45 ■

' v

0,0

0,1

-1-,-1-г

0,2 0,3

Радиус полости

0,4

0,5

Рис. 2. Зависимость главного удлинения от радиуса отверстия

Обозначения на рис. 1,2: 1 - график точного решения; 2 - график, соответствующий линейному решению; 3 - график, соответствующий нелинейному решению, полученному с помощью метода последовательных приближений.

Решена модельная задача при следующих условиях: радиус тела равен 1; радиус полости равен 0.1; центр полости совпадает с центром тела. Давление, приложенное к внешнему контуру тела: р = 0.5 ц. Можно отметить, что для данной нагрузки для первого приближения максимальная погрешность относительно точного решения составляет для данного случая менее 4 % для сги и 3% стп.

Получены в аналитической и численной форме результаты решения ряда конкретных задач. Основными из них являются (случай плоской деформации):

A. Задачи об образовании одного отверстия:

1) Задача о круговом отверстии в центре тела, когда давление приложено к внешней и внутренней границам тела, решена для различных типов материалов (сжимаемых, описываемых потенциалом Мурнагана и несжимаемых, описанных потенциалами Муни и Черных). При давлении на внешнем контуре р =0.3 /х, на внутреннем р =0.05 ц й соотношении радиусов 0.2 поправка от учета нелинейных эффектов составила от 12 % для тела из материала Муни и до 14 % для тела из материала Черных.

2) Серия задач для предварительно нагруженного тела из материала Муни, в центре которого образуется эллиптическое отверстие. При давлении на внешнем контуре /7=0.3// в теле с радиусом 1, размеры полуосей эллипса изменяются от 0.065 и 0.035 до 0.65 и 0.35, для данного случая расположения концентратора напряжений в зависимости от увеличения размера его влияние сильно сказывается на поле напряжений как на внешнем, так и на внутреннем контуре (поправка от учета нелинейных эффектов составляет 28%).

Б. Задачи об образовании нескольких отверстий:

1) Серия задач для нагруженного тела из материала Мурнагана об образовании двух отверстий [три варианта задачи: а) в теле уже имеются два крут говых отверстия; б) в теле до нагружения имеется одно круговое отверстие, а после нагружения образуется второе; в) после нагружения последовательно образуется сначала первое, а затем и второе отверстие]. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 03р, к внутренней (круговое отверстие в центре) р = 0.05/г, соотношение радиусов 0.2. Центр второго отверстия круговой формы находится в точке В(0.5,0), радиус равен 0.05. Для всех вариантов значителен учет нелинейных эффектов. Во втором случае величина поправок по напряжениям в точках с максимальной концентрацией напряжений составляет 34 %.

B. Задача для тела из вязкоупругого материала:

Задача об образовании двух круговых отверстий в предварительно нагруженном теле из вязкоупругого материала. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 0.. Центры отверстий находятся в точках В(0, 0.25) и С(0, -0.25), радиусы отверстий равны и составляют 0.15, отверстия образуются в момент времени /,=0.1, наибольшие изменения в напряженно-деформированном состоянии в теле произошли к моменту времени /,=0.101, поправка от учета нелинейных эффектов составила 18 %.

На рис. 3 приведены графики контуров отверстий, соответствующие линейному и нелинейному решению в различные моменты времени.

■015

-0.30 ■0-25 ■OJO -0Э5

440 •О

а)линейное б) нелинейное

Рис. 3. Форма контура первой полости в различные моменты времени

Обозначения: «О» - график исходного контура, «1» соответствует моменту времени Г, =0.1 (время образования полостей), «2» - моменту времени t2=0.W01, «3» - моменту времени f3 =0.101, «4»-моменту времени /„ =0.11, «5» - моменту времени /,=0.15.

Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. В задачах об образовании кругового отверстия при соотношении внешнего и внутреннего радиусов 1:1.43 в теле круговой формы и давлении на внешнем контуре р = 0.3/у для четырех итераций погрешность составила 24%, для восьми - 5.76%, для шестнадцати - 0.3%, для тридцати двух и более итераций погрешность не превышает 0.1%.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Приложение посвящено описанию специализированного (проблемно-ориентированного) программного комплекса «Наложение», который предназначен для приближенного численно-аналитического решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.

ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получено приближенное численно-аналитическое решение плоских задач нелинейной упругости и вязкоупругости для предварительно нагруженных тел конечных размеров при образовании в этих телах отверстий для случая больших деформаций. Для решения использован метод, развитый автором на основе метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел. Развитый метод основан на сочетании метода последовательных приближений, метода Колосова-Мусхелишвили и итерационного метода Шварца.

2. Разработан алгоритм и программный комплекс для решения данного класса задач. Программный комплекс основан на применении проблемно-ориентированных систем аналитических вычислений на ЭВМ и позволяет получить в численно-аналитической форме решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тел конечных

размеров с круговой внешней границей.

3. С использованием разработанного программного комплекса проведена серия расчетов с целью исследования зависимости напряженно-деформированного состояния в теле от параметров модели: величины приложенного давления на внешнем контуре тела и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отрерстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования).

4. Проанализировано влияние нелинейных эффектов. Поправка от учета нелинейных эффектов для тех параметров модели, которые рассмотрены в работе, составила до 34 %.

5. Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. Для рассмотренных в диссертации задач погрешность не превышает 0.1% для тридцати двух и более итераций.

6. Выполнено сопоставление результатов, полученных для тел конечных размеров, с известными результатами для бесконечно протяженных тел с отверстиями такой же формы. Это сравнение позволило оценить, насколько существенным является учет ограниченности тела при расчете напряженно-деформированного состояния. В задачах об образовании кругового отверстия при соотношении внутреннего и внешнего радиусов 1:2 в теле круговой формы отличие от результатов для бесконечно протяженного тела по напряжениям составило 29 %. Вместе с тем, при соотношении внутреннего и внешнего радиусов 1:10 в теле круговой формы отличие от результатов для бесконечно протяженного тела по напряжениям составило не более 1.5%, что является одним из подтверждений достоверности полученного решения.

7. Проведено сравнение результатов, полученных с применением разработанного программного комплекса, с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева-Хазановича. Погрешность результатов составила менее 4 % для рассмотренных в работе параметров задачи.

Публикации по теме диссертации

1. Людский В.А. Исследование конечноэлементного решения задачи Ламе, полученного с помощью системы Matlab, и сравнение его с аналитическим решением // Сборник научных трудов «Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация». - 2004. - Вып.2. -Тверь: ТГУ. - С. 188-195.

2. Зингерман K.M., Людский В.А. Исследование напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий в нагруженном теле из высокоэластичного материала при конечных деформациях // Сборник докладов шестнадцатого симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». - 2005. - Т. 1. ООО «НТЦ «НИИШП», Москва. - С. 143-149.

3. Зингерман K.M., Людский В.А. О постановке и алгоритме решения задач теории наложения больших вязкоупругих деформаций для тел конечных размеров // Сборник тезисов VI всероссийского научного симпозиума «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела». - 2006. - Тверь: ТГТУ. - С. 38.

4. Зингерман K.M., Людский В.А. Алгоритм решения линеаризованной задачи теории наложения больших деформаций // Международный журнал «Проблемы теории и практики управления». Международное научно-практическое приложение «Программные продукты и системы».-2007-№2. Тверь. -С.41-42.

5. Людский В.А. Об одном подходе к решению плоской задачи об образовании концентратора напряжений в предварительно нагруженном вязкоупругом теле конечных размеров при больших деформациях. // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика»

- № 11 (39). - 2007. - Вып.2. - Тверь: ТГУ. - С.61-67.

6. Зингерман K.M., Людский В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния в теле конечных размеров из резиноподобного материала при образовании в нем трещиноподобных дефектов. - Сборник трудов XVIII симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». Москва, 15-19 октября 2007 г. - М: ООО «Научно-технический центр НИИШП», 2007. -Т. 1.С. 153-157.

7. Людский В.А. Решение задач об образовании отверстий в теле конечных размеров с помощью программного комплекса «Наложение». // Сборник статей Всероссийской научно-практической конференции «Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управления проектами CAD/CAM/CAE/PDM». - 2007. - Пенза. - С. 47-48.

8. Зингерман K.M., Людский В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния вблизи концентраторов напряжений, образуемых в нагруженном теле конечных размеров, на основе теории наложения больших деформаций. // Материалы седьмого всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». - 2007. - Казань. - С. 128-132.

9. Людский В.А. Решение плоской задачи о последовательном образовании круговых отверстий в нагруженном теле конечных размеров при больших деформациях. // Материалы седьмого всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». - 2007. - Казань. - С. 168-172.

10. Людский В.А. Математические методы численно-аналитического моделирования образования отверстий в телах конечных размеров. // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика»

- № 14 (74). - 2008. - Вып.9. - Тверь: ТГУ. - С.23-26.

Технический редактор Л.В. Жильцов Подписано в печать 19.11.2008. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 358. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Людский, Владимир Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ.:.

1.1. Понятийный аппарат теории многократного . наложения больших деформаций.

1.2. Перемещения и деформации.

1.2.1 Векторные базисы.

1.2.2. Аффиноры и тензоры деформаций.

1.2.3. Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации.

1.3. Определяющие соотношения.

1.4. Уравнения равновесия и граничные условия.

1.5. Постановка плоских краевых задач теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров.

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ.

2.1. Аналитическое решение плоских задач для тел конечных размеров методом последовательных приближений.

2.1.1. Основные обозначения.

2.1.2. Сущность метода последовательных приближений применительно к задачам теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров.

2.1.3. Постановка краевой задачи в перемещениях в нулевом и первом приближении.

2.1.4. Алгоритм решения краевой задачи для первого приближения.

2.2. Аналитическое решение линеаризованных краевых задач теории упругости.

2.2.1. Комплексное представление линеаризованных краевых задач теории упругости.

2.2.2. Частные решения линеаризованных краевых задач

2.2.3. Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений.

2.3. Решение задач вязкоупругости.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Постановка задачи в приближениях.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ОТВЕРСТИЙ В ТЕЛАХ КРУГОВОЙ ФОРМЫ.

3.1. Задачи об одном отверстии.

3.1.1. Круговое отверстие.

3.1.2. Сравненне результатов решения задачи для одного отверстия с точным решением для осесимметричной задачи.

3.1.3. Эллиптическое отверстие.

3.2. Задачи о нескольких отверстиях.

3.2.1. Одновременное образование двух и более отверстий.

Их взаимодействие.

3.2.2. Последовательное образование двух и более отверстий.

Их взаимодействие.

3.3. Задачи вязкоупругости.

3.3.1. Образование одного отверстия.

3.3.2. Взаимовлияние нескольких отверстий.:.

Введение диссертация по механике, на тему "Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях"

Обоснование актуальности работы

Вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Бартенев Г.М., Бидерман B.JL, Бондарь В.Д., Блох И.И., Ворович И.И., Гольденблат И.И., Зволинский Н.В., Крутков Ю.А., Савин Г.Н., Толоконников JI.A., Хазанович Т.Н., Цурпал И.А., Черных К.Ф., Blats P.J., Green А.Е., Moony М.А., Murnaghan F.D., Rivlin R.S., Treloar L.R.G., Truesdell C., Zema W. [11, 13, 16, 24, 26, 35, 43, 44, 101, 103, 104, 108, 110, 118] и многие другие.

Применение аналитических методов к решению плоских задач о концентрации напряжений в упругих и вязкоупругих телах в нелинейной постановке рассмотрено Болом Дж., Бондарем В.Д., Громовым В.Г., Гузем А.Н., Зубовым Л.М., Койфманом Ю.И., Космодамианским А.С., Морозовым Н.Ф., Райсом Дж., Савиным Г.Н., Тарасьевым Г.С., Угодчиковым А.Г., Хорганом К.О., Цур-палом И.А., Черепановым Г.П. [13, 25, 26, 40, 45, 46, 75, 80, 87, 88, 89, 109].

Одним из направлений нелинейной теории упругости является развитие нелинейной теории наложения больших деформаций, значительный вклад в которое внесла школа механики, основанная Толоконниковым Л.А. К этой школе относятся, например, работы Тарасьева Г.С., Матченко Н.М., Маркина А.А., Левина В.А. и их учеников (Зингермана К.М и др.) [33], [51]-[55], [72], [97, 98, 99, 101, 113].

Большое значение в нелинейной упругости имеет выбор определяющих соотношений, корректно описывающих свойства материалов. В работе используются апробированные определяющие соотношения, предложенные различными исследователями (в том числе Мурнаганом Ф.Д., Муни М.А., Черных К.Ф. [110, 114, 115] и др.). Отметим, что для описания механического поведения резин также применяется ряд более сложных упругих потенциалов. Соответствующие вопросы рассмотрены в работах Гамлицкого Ю.А. [17, 18, 19, 112].

Постановки и методы решения задач вязкоупругости рассмотрены в работах Арутюняна Н.Х., Зубчанинова В.Г., Ильюшина А.А., Матвеенко В.П., Победри Б.Е. [8, 9, 10, 35, 81] и др. При решении задач вязкоупругости используется определяющее соотношение, предложенное Адамовым А.А [1].

Для исследования напряженно-деформированного состояния тел с отверстиями можно использовать различные методы, как численные (например, метод конечных элементов (Зенкевич, Оден [32, 78])), так и аналитические. Недостатком численных методов является то, что их применение требует значительных ресурсов ЭВМ. Кроме того, в существующих «коммерческих» конечно-элементных пакетах (ANSYS, ABAQUS и др.) не предусмотрена возможность задавать граничные условия на той части границы тела, которая возникает при образовании отверстий. Возможен и другой подход, основанный на применении приближенных аналитических методов и проблемно-ориентированной системы аналитических вычислений на ЭВМ [54]. Этот подход позволяет существенно сократить затраты времени на решение задач. Ранее он был применен только для бесконечно протяженных тел.

Частными задачами исследования являются:

- проведение серии вычислительных экспериментов с целью исследования зависимости напряженно-деформированного состояния в теле от параметров модели: величины приложенного давления на внешнем контуре тела и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отверстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Структура диссертации определена последовательностью решения поставленной научной задачи в соответствии с выделенными частными задачами исследования.

В первой главе приведен понятийный аппарат, включающий основные термины и обозначения теории многократного наложения больших деформаций. Изложены основные соотношения теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. Сформулирована постановка краевых задач этой теории для тел конечных размеров.

Приведены примеры задач о последовательном или одновременном образовании концентраторов напряжений (отверстий) в предварительно напряженном нелинейно-упругом или вязкоупругом теле конечных размеров, в котором в случае одновременного образования форма отверстий может быть задана как в момент их образования, так и в конечном состоянии (для вязкоупругого материала — в некоторый заданный момент времени).

Приведены уравнения равновесия, уравнения несжимаемости, граничные условия, уравнения, связывающие тензор истинных напряжений с аффинором деформаций, для материала Мурнагана (в базисе начального состояния), материала Муни, материала Черных, для несжимаемого вязкоупругого материала. Завершают постановку задач геометрические соотношения.

Во второй главе рассмотрены приближенные аналитические методы решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала при наложении больших деформациях.

Изложено приближенное аналитическое решение плоских задач теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров методом последовательных приближений. Этот подход основан на методах и алгоритмах, изложенных в [51, 54]. Приведены расчетные уравнения в приближениях для нулевого и первого приближений (линейная и квадратичная аппроксимации решения) в следующей последовательности: уравнения равновесия и граничные условия, определяющие соотношения (для материалов Мурнагана, Му-ни, Черных и вязкоупругого материала), геометрические соотношения. Представлен алгоритм решения краевой задачи для первого приближения.

Представлено аналитическое решение краевых линеаризованных задач для тел конечных размеров, поскольку рассматриваемые задачи для всех приближений представляют собой линеаризованные задачи теории упругости. Приведены уравнения, граничные условия, частные решения линеаризованной задачи в комплексной форме для следующих случаев: сжимаемый материал при плоской деформации, несжимаемый материал при плоской деформации, сжимаемый материал при обобщенном плосконапряженном состоянии, несжимаемый материал при обобщенном плосконапряженном состоянии.

Приведено решение линеаризованной краевой задачи для тел конечных размеров для однородной системы уравнений с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, которые являются аналитическими функциями комплексной переменной в области, занимаемой телом, и определяются из граничных условий соответствующей краевой задачи. Оно справедливо как для плоской деформации, так и для обобщенного плосконапряженного состояния, как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов.

Область, занимаемая телом, является многосвязной, поскольку содержит отверстия. К краевой задаче применяется метод последовательных приближений Шварца. Начальное приближение берется из решения задачи для тела без полостей. Далее решается ряд краевых задач для односвязных областей.

В третьей главе приведены результаты решения плоских задач, постановки и методы решения которых представлены в первых двух главах. Исследована зависимость напряженно-деформированного состояния от величины нагружения как на внешнем контуре тела, так и на контурах отверстий; от материала тела, от формы контуров отверстий, от их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел — и от времени образования). Проанализировано влияние нелинейных эффектов.

Для решения плоских задач об образовании отверстий в теле круговой формы при больших деформациях разработан специализированный программный комплекс «Наложение». Все приведенные в данной главе результаты получены с помощью разработанного программного комплекса.

Во всех задачах давление приложено к внешней границе тела, в некоторых задачах давление также приложено к границам отверстий. Решены следующие основные задачи:

- задачи об образовании кругового отверстия, произвольно расположенного в теле круговой формы;

- задачи об образовании эллиптического отверстия, произвольно расположенного в теле круговой формы;

- задачи об одновременном образовании двух круговых отверстий в теле круговой формы;

- задачи об одновременном образовании двух эллиптических отверстий в теле круговой формы;

- задачи об одновременном образовании нескольких круговых и эллиптических отверстий в теле круговой формы;

- задачи о последовательном образовании трех круговых отверстий в теле круговой формы.

Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. Поправки от учета нелинейных эффектов по напряжениям составляют до 35^40%.

Выполнено сравнение результатов, полученных с применением разработанного специализированного программного комплекса для частного случая задачи об образовании отверстия в центре предварительно нагруженного тела круговой формы из материала Бартенева-Хазановича, с точным решением; выполнено сравнение линейного решения для частного случая с точным решением задачи Ламе.

Приложение посвящено описанию специализированного программного комплекса «Наложение». Приводится описание пользовательского интерфейса программного комплекса, его основных функций, задач и возможностей.

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

На защиту выносятся:

1. Приближенный численно-аналитический метод для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечного размера из нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях.

Научная новизна полученных результатов.

1. Найдены приближенные численно-аналитические решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в теле из нелинейно-упругого (сжимаемого и несжимаемого), а также вязкоупругого материала для тел конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.

2. Развит приближенный численно-аналитический метод для решения указанного класса задач. Метод основан на модификации математических методов, применяемых ранее для решения плоской задачи для бесконечно протяженных тел (метода последовательных приближений и итерационного метода Шварца) в связи с необходимостью учета граничных условий на внешнем контуре. Расчетные формулы и алгоритмы для тел конечных размеN ров отличаются от соответствующих формул и алгоритмов для бесконечно протяженных тел. Это обусловило изменение метода решения линеаризованной задачи на тех шагах метода Шварца, на которых требуется удовлетворить граничным условиям на внешнем контуре.

Практическая значимость.

Разработан программный комплекс, реализующий математический метод и алгоритм. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ. Этот комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщенного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов. С помощью программного комплекса можно решать практические задачи по выполнению прочностных расчетов и анализу возможности разрушения элементов конструкций.

Обоснованность и достоверность результатов.

Обоснованность базируется на использовании при постановке задачи уравнений и граничных условий, корректно записанных для случая больших деформаций и использованных ранее другими авторами, и апробированных определяющих соотношений, реалистично описывающих механические свойства материалов.

Достоверность полученных результатов подтверждается: сравнением результатов с точным решением задачи Ламе об осесиммет-ричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева-Хазановича. Максимальная погрешность результатов, полученных приближенным методом, составила менее 4 % при внешней нагрузке 0.5 {л , отношении внешнего и внутреннего радиусов цилиндра 1:10; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения на каждом шаге итерационного процесса; сравнением результатов для тела конечных размеров, содержащего малые по сравнению с размерами тела полости различной формы, расположенные вблизи центра тела, с результатами расчетов для бесконечно протяженных тел с полостями такой же формы, полученными ранее другими авторами [54]. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1.5%.

Результаты, полученные в диссертации, частично использованы при выполнении работ по гранту РФФИ (№ 06-01-00682). Публикации.

Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях, из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе осуществлены математическое описание и постановка краевых плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тел конечных размеров. Приведены примеры задач о последовательном или одновременном образовании концентраторов напряжений (отверстий) в предварительно напряженном нелинейно-упругом или вязкоупругом теле конечных размеров, в котором форма отверстий может быть задана как в момент их образования, так и в конечном состоянии (для вязкоупругого материала - в некоторый заданный момент времени).

2. Предложен подход к нахождению приближенного численно-аналитического решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в телах конечных размеров из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала. Этот подход развит автором на базе метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел. Он основан на методе последовательных приближений (в качестве начального приближения используется решение линейной задачи, соответствующей исходной нелинейной задаче). Краевые задачи для всех приближений представляют собой линеаризованные задачи теории упругости и формулируются в комплексной форме. Линеаризованные задачи решаются методом Колосова-Мусхелишвили. Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений отыскивается с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Для многосвязных областей используется метод последовательных приближений Шварца.

3. Разработан алгоритм и специализированный программный комплекс и с его помощью получено численно-аналитическое решение плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тела круговой формы. В задачах, решенных с использованием данного комплекса исследована зависимость напряженно-деформированного состояния от величины на-гружения как на внешнем контуре тела, так и на контурах отверстий, от материала тела, от формы контуров отверстий, от их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел - и от времени образования).

7. Выполнено сравнение результатов, полученных на разработанном специализированном программном комплексе для частного случая задачи об образовании кругового (форма контура задана в конечном состоянии) отверстия в центре предварительно нагруженного тела круговой формы из материала Бартенева-Хазановича, с точным решением; выполнено сравнение линейного решения с точным решением задачи Ламе.

Результат решения задачи методом последовательных приближений для нулевого приближения отличается на 15—20% от точного, а для первого приближения наибольшая погрешность по отношению к точному решению составляет менее 4 % для сги и менее 3 % для су22 . Такая погрешность является вполне приемлемой для практики. По сравнению с точным решением задачи

Ламе результаты линейного решения практически полностью совпадают.

С помощью разработанного программного комплекса получены результаты решения ряда практических задач. Основными из них являются:

А. Задачи об одном отверстии (случай плоской деформации):

1) Задача о круговом отверстии в центре тела, когда давление приложено к внешней и внутренней границам тела, задача решена для различных типов материалов (сжимаемых, описываемых потенциалом Мурнагана и несжимаемых, описанных потенциалами Муни и Черных). При давлении на внешнем контуре р =0.3 ц, на внутреннем р =0.05 /л и соотношении радиусов 0.2, поправка от учета нелинейных эффектов составила от 12 % для тела из материала Муни и до 14 % для тела из материала Черных.

2) Серия задач для предварительно нагруженного тела из материала Муни, в котором центр образованного отверстия перемещается вдоль оси X. При давлении на внешнем контуре р = 0.4// и соотношении радиусов 0.1, наблюдается результат учета нелинейных эффектов при смещении полости ближе к краю тела.

3) Задача о предварительно нагруженном теле из материала Муни, в котором образуется трещиноподобное отверстие (форма контура описывается узким эллипсом). При давлении на внешнем контуре р = 0.06// и расположении эллипса в центре тела с радиусом 1 (размеры полуосей составляют 0.438 и 0.063, большая ось эллипса совпадает с осью X) в вершине эллипса поправка от учета нелинейных эффектов составила 30 %.

4) Серия задач для предварительно нагруженного тела из материала Муни, в центре которого образуется эллиптическое отверстие. При давлении на внешнем контуре ^=0.3 ц в теле с радиусом 1, размеры полуосей эллипса изменяются от 0.065 и 0.035 до 0.65 и 0.35 , для данного случая расположения концентратора напряжений в зависимости от увеличения размера его влияние сильно сказывается на поле напряжений как на внешнем, так и на внутреннем контуре (нелинейные эффекты составляют 28%).

Б. Задачи о нескольких отверстиях:

1) Задача о предварительно нагруженном теле из материала Мурнагана, в котором образуются два круговых отверстия. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 0А/и . Центр первого отверстия находится в точке В(0, 0.25), второго - в точке В(0, -0.25), радиусы отверстий равны и составляют 0.15, поправка от учета нелинейных эффектов составила 32 %.

2) Серия задач для нагруженного тела из материала Мурнагана, о последовательном образовании двух отверстий (три варианта задачи: а) в теле уже имеются два круговых отверстия; б) в теле имеется одно-круговое отверстие, после чего образуется второе; в) последовательно образуется сначала первое, а затем и второе отверстия). К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 03ju, к внутренней (круговое отверстие в центре) р = 0.05//, соотношение радиусов 0.2. Центр второго отверстия круговой формы находится в точке В(0.5, 0), радиус равен 0.05. Для всех вариантов значителен учет нелинейных эффектов. Во втором случае величина поправок по напряжениям в точках с максимальной концентрацией напряжений составляет 34 %.

В. Задача для тел из вязкоупругого материала:

1) Задача о предварительно нагруженном теле из вязкоупругого материала, в котором образуются два круговых отверстия. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление р = 0AjU. Центр первого отверстия находится в точке В(0, 0.25), второго - в точке В(0, -0.25), радиусы отверстий равны и составляют 0.15, отверстия образуются в момент времени f,=0.1, наибольшие изменения в напряженно-деформированном состоянии в теле произошли к моменту времени ^=0.101, поправка от учета нелинейных эффектов составила 18 %.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Людский, Владимир Анатольевич, Тверь

1. Адамов А.А., Матвиенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. — 411 с.

2. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1969.-352 с.

3. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов. М.: Высш. шк, 2002. - 400 с.

4. Алтуфов Н.А. Основа расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиносторение, 1978. 312 с.

5. Аляев Ю.А., Гладков В.П., Козлов О.А. Практикум по алгоритмизации и программированию на языке Паскаль. Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. 528 с.

6. Ануфриев И.Е. MATLAB 7.0. Наиболее полное руководство. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.

7. Архангельский А.Я. Программирование в Delphi для Widows. Версии 2006, 2007, Turbo Delphi. М.: Бином-Пресс, 2007. - 1248 с.

8. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вяз-коупругопластических тел. — М.: Наука, 1987. 472 с.

9. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван.: Изд-во АА АрмССР, 1990. - 320 с.

10. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. - 176 с.

11. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров//Высокомолек. соед. 1960. Т. 2, № 1. С.20-28.

12. Безухов Н.И. Введение в теорию упругости и пластичности. М.: Госиздат строительной литературы, 1953. - 420 с.

13. Бондарь В.Д. Плоская задача геометрически нелинейной упругости- Новосибирск: Новосибирский ун-т, 1980. 70 с.

14. Бухин Б.Л. Введение в механику пневматических шин. М: Химия, 1978.-224 с.

15. Векуа И.Н., Мусхелишвили Н.И. Методы теории аналитических функций в теории упругости// Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.;Л., 1962. - С. 310-338.

16. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентрации напряжений// Концентрация напряжений. Киев, 1968. - Вып. 2. - С. 45-53. .

17. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал , наполненных резин. Теория и эксперимент// Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». — М.: ГУП НИИ шинной пром-ти, 2000. Т. 1.-С. 162-183.

18. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Басс Ю.П. Упругий потенциал наполненных резин// Каучук и резина, 2002. N. 3. — с. 29-39.

19. Гамлицкий Ю.А., Швачич М.В. Прочность резины. Модель и расчет.// Высокомолекулярные соединения. Серия А. 2005. Т. 47. N. 4. С. 660668.

20. Гафаров Р.Х., Жернаков B.C. Что нужно знать о сопротивлении материалов. М.: Машиностроение, 2001. - 276 с.

21. Глушко В.Т., Долинина Н.Н., Розовский М.И. Концентрация напряжений около отверстия при нелинейной ползучести// Прикладная механика. 1970. Т.6, № 10. - С. 71-78.

22. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple 5. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

23. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.-336 с.

24. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М: Мир, 1965. - 445 с.

25. Громов В.Г., Толоконников JI.A. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала// Известия АН СССР. Отделение технических наук, сер. Механика и машиностроение. -1963. -№ 2. -С. 81-87.

26. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 296 с.

27. Дьяконов В.П. Компьютерная математика, теория и практика. М.: Нолидж, 2000. - 1296 с

28. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширения. М.: Нолидж, 2000. - 608 с. ,

29. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6: Основы применения. М.: СОЛОН-пресс, 2005. 800 с.

30. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 Pro в математике, физике и Internet. М.: Нолидж, 1999. - 512 с.

31. Евлампиева С.Е., Мошев В.В. Плоские континуальные модели и их исследование средствами теории функций комплексного переменного // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург, 1997. С. 204-253.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975. - 543 с.

33. Зингерман К.М., Левин В.А. Последовательное образование двух неравных эллиптических отверстий в теле из вязкоупругого несжимаемого материала. Конечные деформации.// Известия АН. Механика твердого тела. 1999, №4.-С. 162-169.

34. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопла-стимческого тела. М.: Наука, 1978. — 208 с.

35. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории тер-мовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-752 с.

37. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.-М.: Гостехиздат, 1949. - 695 с.

38. Кетков А., Кетков Ю. Практика программирования: Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель. С.-Петербург, БХВ-Петербург, 2001. - 480 с.

39. Клойзнер С.М. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной неодинаковыми отверстиями// Механика твердого тела. — Киев, 1970, Вып. 20. — С. 130-135.

40. Койфман Ю.И. Плоские нелинейные задачи упругого равновесия многосвязных тел// Прикладная механика. 1970. - 6, № 2. — С. 58-65.

41. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. 187 с.

42. Копнов В.А., Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов. Руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ. — М.: Высшая школа, 2005. — 352 с.

43. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. - 228 с.

44. Космодамианский А.С. Многосвязные задачи плоской теории упругости (обзор)//Прикладная механика. 1967. — 3, № 2. - С. 3-19.

45. Космодамианский А.С., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинках.— Киев; Донецк: Вища школа, 1983. — 160 с.

46. Космодамианский А.С., Клойзнер С.М. Некоторые задачи нелинейной теории упругости. Донецк: Донецкий ун-т, 1971. - 219 с.

47. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.- 427 с.

48. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М: Мир, 1974. -338 с.

49. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: .Гостехиздат, 1947.-275 с.

50. Кэнту М. Delphi 2005. Для профессионалов. — С.-Петербург.: Питер, 2006.-912 с.

51. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, 1999. - 224 с.

52. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала// Доклады АН СССР. 1988. - 299, № 5. - С. 1079-1082.

53. Левин В.А., Булатов Л.А. Концентрация напряжений около кругового отверстия в теле из вязкоупругого материала// Механика композитных материалов. 1983. - № 3. - С. 423-426.

54. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. — М.: Физматлит, 2002. -272 с.

55. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний// Доклады АН СССР, 1980. — 251, № 1.-С. 63-66.

56. Лобанова О.В. Практикум по решению задач в математической системе Derive: Учеб. пособие для вузов. М.: Финансы и статистика, 1999. -544 с.

57. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

58. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.-512 с.

59. Людский В.А. Практический справочник по системе компьютерной математики MATLAB/SIMULINK. Учебное пособие. ГОУ ВПО «Тверской государственный университет». 2007. — 148 с.

60. Мак-конел А. Дж. Введение в тензорный анализ. С приложениями к геометрии, механике и физике. Пер. с англ. — М.: Гос изд-во физ-мат лит-ры, 1963.-411 с.

61. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании. // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990, № 2. С.120-126.

62. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. — Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. — 304 с.

63. Моргун А.Н., Кривель И.А. Программирование на языке Паскаль. Основы обработки структур данных. — М.: Издательство Вильяме, 2006. — 576 с.

64. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. - 255 с.

65. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

66. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

67. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

68. Очков В.Ф. MathCAD 7 Pro для студентов и инженеров. М.: Компьютер Press, 1998. - 384 с.

69. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука, 1985. 502 с.

70. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во МГУ, 1984.-336 с.

71. Подкур M.JL, Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Программирование в среде Borland С++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. М: ДМК пресс, 2006. 496 с.

72. Половко A.M., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 320 с.

73. Попов В. Паскаль и Дельфи. Серия: Учебный курс. С.-Петербург, Питер, 2005. - 576 с.

74. Почтаренко М.В. Применение систем аналитических вычислений в задачах механики// Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение. Новосибирск, 1985. - С. 3-11.

75. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966.-752 с.

76. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 887 с.

77. Савин Г.Н., Койфман Ю.И. Общая нелинейная теория упругости (обзор)// Прикладная механика. 1970. - 6, № 12. - С. 3-26.

78. Савин Г.Н., Космодамианский А.С., Гузь А.Н. Концентрация напряжений возле отверстий// Прикладная механика. — 1967. 3, № 10. - С. 2338.

79. Свистков А.Л., Евлампиева С.Е. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых- полимерных композитов. Екатеринбург, 1997. С. 171-203.

80. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 284 с.

81. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука, 1994. 528 с.

82. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1994. — 560 с.

83. Соболев СЛ. Алгоритм Шварца в теории упругости// Доклады АН СССР, новая серия. 1936. Т. 13. С. 235-238.

84. Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984. - 336 с.

85. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушения полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 294 с.

86. Тарасьев Г.С. Об одной оценке "малого" параметра в одной задаче нелинейной теории упругости. // Прикладная механика. 1980. Т. 16, № 7. С. 137-139.

87. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале// Концентрация напряжений. — Киев, 1965. Вып. 1.-С. 251-255.

88. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала// Прикладная механика. — 1966. 2, № 2. — С. 22-27.

89. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. М.: Наука, 1975.-576 с.

90. Толоконников Jl.А. Плоская деформация несжимаемого материала//Доклады АН СССР.-1958.-119, № 6.- С. 1124-1126.

91. Точилин Э.Л. Об использовании комплексных потенциалов при решении краевых задач наследственной упругости// Прикладная механика. 1971. - 7, № 10.-С. 114-118.

92. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная литература, 1953.-240 с.

93. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. -М.: Мир, 1975. 592 с.

94. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев: Наук, думка, 1964. - 536 с.

95. Фленов М. Библия Delphi. С.-Петербург.: БХВ-Петербург, 2005. -880 с.

96. Хорошун Л.П. Влияние ползучести материала на концентрацию напряжений около кругового отверстия в пластинке// Концентрация напряжений. -Киев, 1965. Вып. 1. - С. 299-304.

97. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техшка, 1976. - 175 с.

98. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.-640 с.

99. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

100. Шерман Д.И. Об одном методе решения статической задачи о на- -пряжениях для многосвязных областей// Доклады АН СССР, новая серия. • 1934.- 1,№7.-С. 376-378.

101. Яновский Ю.Г., Гамлицкий Ю.А., Згаевский В.Э., Басс Ю.П. Некоторые проблемы механики эластомерных нанокомпозитов: объекты, модели, методы.// Каучук и резина. 2002. N. 5. С. 21-25.

102. Levin V.A. Zingerman К.М. Interaction and microfracturing pattern for successive origination (introduction) of pores in elastic bodies: finite deformation//Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. -1998.-V/ 65 . # 2/ Р/ 431-435/

103. Moony M.A. Theory of large elastic deformation// Journal of Applied Phusics. 1940. - № 11. - P 582-592.115/ Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. N.Y.: Wiley, 1951.- 140 p.

104. Sergey E. Lyshevski. Engineering and Scientific Computations Using MATLAB. John Wiley & Sons, Inc, 2003.

105. Signorini A. Transformazioni termoelastiche finite. I// Annali di Matematica Pure Appl. 1943. - V.22. - P. 33-143.

106. Tsukrov I/. Kachanov M. Stress concentrations and microffracturing patterns in a brittle-elastic solid with interacting pores of diverse shapes// International Journal of Solids and Structures. 1997. - V. 34 № 22. - P. 28872904.