О развитии пластической зоны вблизи отверстия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

УДК 539 374

О РАЗВИТИИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ ВБЛИЗИ ОТВЕРСТИЯ

Специальность 01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3 161555

Москва, 2007

003161555

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель

академик АН СССР

JI И Седов

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Р А Васин

кандидат физико-математических наук, доцент А Н Сахаров

Самарский государственный универитет

Защита состоится «2» ноября 2007 г в 16 00 часов на заседании диссертационного совета Д 501 001 91 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу

119992, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ

Автореферат разослан «_

2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 91 д ф -м н , профессор

С В Шешенин

СЫЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для правильного описания процесса пластического деформирования требуется использовать сложные аналитические методы, вызывающие существенные затруднения Поэтому при составлении математической модели среды стремятся, с одной стороны, учесть главные закономерности, а с другой — максимально упростить соотношения

Напряженно-деформированное состояние, описываемое плоской деформацией, являясь, по-существу, приближением реальных пространственных задач, в ряде случаев дает довольно точную картину состояния тела и позволяет выявить внутренние особенности изучаемых объектов

Поэтому плоские упругопластические задачи занимают важное место в теории пластичности Они актуальны для фундаментальных исследований в механике деформируемого твердого тела и для прикладных разработок, необходимых для изучения напряженно-деформированного состояния различных объектов

Тем не менее, аналитическое решение даже плоской упругопластиче-ской задачи связано со значительными трудностями и является сложной математической проблемой По этой причине, несмотря на серьезный прогресс, достигнутый в решении этих задач, к настоящему времени известно немного плоских упругопластических задач, имеющих аналитическое решение Однако при построении таких решений необходимо определять и учитывать границы их применимости

Поскольку найти точное решение упругопластических задач можно лишь в отдельных весьма частных случаях, возникла задача о построении приближенного решения Если уравнения состояния тела и граничные условия зависят от некоторого параметра е и решение задачи при е = 0 известно, можно поставить задачу нахождения приближенного решения при е, близких к нулю, т е построения асимптотики решения при е —» 0 Такой метод, получивший название метода малого параметра, разработанный при изучении задачи трех тел небесной механики, корнями уходит к Ж Даламберу Метод активно развивается и используется с конца XIX века и до наших дней, в том числе и в механике деформируемого твердого тела

Для изучения особенностей применения метода малого параметра в решении упругопластических задач, этот метод использован на примере задач, имеющих аналитическое решение

Цель работы. Целью работы является изучение допустимости упругих напряжений в плоской статически определимой упругопласти-ческой задаче, сводящейся к задаче сопряжения, в частности

обнаружение допредельных нагрузок, при которых поле напряжений в упругой зоне выходит за поверхность текучести,

выяснение причин, по которым решение задачи сопряжения не является решением упруг опластической задачи

Второй целью работы является построение методом малого параметра решения поставленной упругопластической задачи с допустимым упругим полем напряжений

Третьей целью является изучение формы границы пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием и проверка работы метода малого параметра при решении этой задачи

Научная новизна работы. В настоящей работе обнаружено, что при стандартном подходе к решению плоской упругопластической задачи в некоторых случаях происходит выход напряжений за поверхность текучести для допредельных нагрузок Введено связанное с этим понятие критической нагрузки и найдена критическая нагрузка для задачи Галина о двухосном нагружении плоскости с отверстием Обнаружена связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром сопряжения В случае закритической нагрузки предложена структура пластической зоны При закритической нагрузке, мало отличающейся от критической методом малого параметра, для которого предложена модификация, решена задача о двухосном нагружении плоскости с круговым отверстием Получены два приближения для поля напряжений и границы пластической зоны

В задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием рассмотрена форма границы пластической зоны, найден ее горизонтальный диаметр Показано, что граница пластической зоны касается контура отверстия в точке их встречи Получено асимптотическое представление точного решения для границы пластической зоны при наличии малого параметра в задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием Произведено сравнение асимптотического представления с решением этой же задачи, полученным методом малого параметра

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории пластичности и кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ, на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, 2006 г)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы, перечисленные в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и 13 приложений. Общий объем работы составляет 201 страницу, из них 165 страниц основного текста и 36 страниц — приложения Работа содержит 11 рисунков и 1 таблицу

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении объясняется актуальность темы диссертационной работы, проводится краткий обзор предшествующей и современной научной литературы по данному вопросу, кратко излагается содержание работы

В первой главе содержится постановка плоской упруго-пластической задачи, дается определение критической нагрузки Доказывается связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром сопряжения, а также предлагается структура пластической зоны при закритической нагрузке

В §1.1. дается постановка плоской упругопластической задачи (УПЗ) в случае, когда на части границы области нагрузка не изменяется Эта задача является статически определимой, поле напряжений может быть найдено только по текущему значению нагрузки К части границы области, на которой нагрузка не изменяется, примыкает пластическая зона, поле напряжений в которой часто считается заранее известным Тогда УПЗ сводится к задаче сопряжения (ЗС) известного пластического поля напряжений с искомым упругим полем при условии непрерывности напряжений на искомом контуре сопряжения Так, в частности, построено известное решение задачи Галина о двухосном растяжении упругопластической плоскости с ненагруженным круговым отверстием

В §1.2. показано, что определяемое при этом упругое поле напряжений может, однако, выйти за поверхность текучести, причем для допредельной нагрузки, т е для нагрузки, когда существование решения гарантировано Нагрузка, начиная с которой это происходит, называется критической Решение ЗС в задаче Галина построено при условии

b+ql-i

|?-р|<1, (1-|д-р|)е 2

где р и q — усилия, приложенные на бесконечности вдоль осей х и у соответственно Но использовать это решение в качестве решения УПЗ можно лишь при выполнении дополнительного условия |g — р\ ^ л/2 — 1 Критической нагрузкой является значение — р\ — \/2 — 1 Нагрузки л/2 — 1 < \q — р\ < 1 являются закритическими Показано, что при закритической нагрузке решение ЗС не является решением УПЗ по следующим причинам

Во-первых, при закритической нагрузке имеются характеристики системы уравнений равновесия и условия текучести, построенные для поля напряжений в пластической зоне сгр, которые пересекают контур сопряжения в трех точках Из-за этого отсутствует соответствующее решение для перемещений. Кроме того, показано, что при 0 ^ — < л/2 — 1 характеристики пересекают контур сопряжения ровно в одной точке, при \q—p\ = л/2— 1 существует характеристика, имеющая касание

г —

второго порядка с контуром сопряжения в точке Zo — \zo\e 8, а также в точках, симметричных ей относительно осей координат

Вторая причина состоит в том, что построенное поле напряжений при закритической нагрузке выходит за поверхность текучести Показано также, что при закритических нагрузках, несколько превышающих л/2—1, упругое поле напряжений выходит за поверхность текучести

i i

именно в окрестности точки zq = \zo\e 8 и точках, симметричных ей отнросительно осей координат

Доказано, что такая связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром отверстия имеет место и в общем случае А именно, показано, что при критической нагрузке происходит касание характеристики с контуром сопряжения Iо, соответствующем этому значению нагрузки Далее доказано, что если при значении параметра нагрузки т < т* решение ЗС в упругой области flí удовлетворяет условию допустимости напряжений F(cr) О, а при г = г* характеристика касается контура сопряжения 1Т, в точке QT,, тогда г, является критическим значением

При закритической, но допустимой нагрузке УПЗ имеет единственное решение Но поле напряжений этого решения в пластической зоне не может всюду совпадать с полем напряжений в ЗС, поскольку при

закритической нагрузке указанное решение в «упругой» зоне выходит за поверхность текучести Таким образом, для закритической нагрузки должно быть указано новое поле напряжений в пластической зоне, которое при решении ЗС обеспечило бы допустимость напряжений

В §1.3. предложена структура пластической зоны для закритической нагрузки При этой нагрузке лишь в некоторой части Р пластической зоны решения УПЗ сохраняется поле напряжений сгр Каждая точка области Р соединяется с контуром отверстия кривыми обоих семейств характеристик уравнений равновесия, целиком лежащими в пластической зоне В других областях Р пластической зоны, точки которых нельзя так соединить с контуром отверстия, имеется отличное от сгр поле напряжений s

Кривая L , разделяющая области Р и Р , является характеристикой системы уравнений равновесия

Во второй главе содержится постановка и решение УПЗ при закритической нагрузке, мало отличающейся от критической УПЗ решена методом малого параметра на примере задачи о двухосном нагружении плоскости с круговым отверстием

В §2.1. приводится постановка УПЗ Рассматривается закритическая нагрузка, соответствующая значению т = то(1 + £2), е2 1, где то — критическое значение параметра нагружения

Пусть Ес и Ре — упругая и пластическая зоны, Ре и Рс — части пластической зоны, в которых полем наряжений является соответственно сгр и отличное от него поле s£ Поле наряжений в упругой зоне сг| Кривые, разделяющие пары областей Рс и Р£ , Рс и Ес, Р€ и Ес обозначим соответственно Lt, Le и

При критической нагрузке е = 0 решением УПЗ является решение ЗС область Pq и кривые L0 и L0 отсутствуют

Решением УПЗ при е Ф О являются границы Lc, L*~e, Le, и поля напряжений s€ и <rf так, что

1) в области Р* при а — ss удовлетворяется система уравнений теории пластичности,

2) в области Ее поле напряжений сг = <тее выражается через бигармо-ническую функцию напряжений и удовлетворяет условию допустимости F(tr) О,

3) на контурах Lc, L* и Lt выполняется условие сопряжения — условие непрерывности напряжений,

4) на бесконечности выполняются краевые условия для напряжений при нагрузке, соответствующей значению г = 7о(1 + е2) параметра нагружения

При решении поставленной задачи используется специальная криволинейная ортогональная система координат (СКОК), связанная с контуром ¿о = /т0 Эта система координат вводится в параграфе §2.2. В этом же параграфе показано, что условия текучести в СКОК имеют такой же вид, как и в декартовой системе координат, а уравнения равновесия принимают вид

д(тхх .Л у \ дстху 2 _0

д<т*У , (л . —ä—\ даУУ 4. аУУ ~ - п

дх + V+R{x)J ду + R{x)

где R(x) — радиус кривизны контура Lq

В §2.3. исследованы размеры области Р* Показано, что в направлении х эта область имеет размер порядка е, а в направлении у — размер порядка е2

В соответствии с оценкой размера зоны Рс записано разложение функции у = /(ж, г) — уравнения характеристики того же семейства, что и Ь€, проходящей через точку х — 0, у = г = гг£2 + г3е3 +

При помощи разложения в ряд уравнение кривой Lc представляется в виде

у = р~ (*) = е2р~ (|) + е3р~3 (|) + ,

где

Рг (§) = »-2, Рз (|) = + /«r»-af + Г3,

fv = QxQr (®> fx*x ~ ^

Величины р2, Рз, имеют порядок единицы, числа г2, гз, — искомые в УПЗ

Уравнения кривых Le и Le ищутся в виде

у = р€(х)=е2р2(х) + £3р3(х) +

где pt и р, (х) — неизвестные величины

В §2.4. приводится представление поля напряжений в зонах Р* и Ее Поле напряжений sc(x, у) в зоне Р* представлено в виде разложения в ряд по второму аргументу

У = Pz + (У ~ Ре («)) в окрестности его значения р£ (ж) 6

С использованием непрерывности напряжений на кривой Ь£ и представления производных

где скачок берется на контуре Lc, и аналогичного представления для высших производных, этот ряд имеет вид

st{x,y) = o*{x, 0) + ^(х,0) у+1^(х>0) +

+i Щ <*> (»-¿(*»+ \ [&] w - ¿ +

Поле напряжений в упругой зоне Ее записано в виде

<те€{х, у) = <?1(х, у) + е^аЦх, у) + е3о-|(х, у) + е4<г|(ж, у) +

где erg (ж, у) — решение ЗС при критической нагрузке

На кривой Lc поле напряжений непрерывно, а его производные терпят разрыв Величины этих скачков используются для представления поля напряжений в Рс Выражения для скачков производных поля напряжений получены в §2.5.

Соотношения на характеристике /(х, г) системы уравнений равновесия имеют вид

где

Транспортное уравнение, управляющее значениями Л(а?) приведено в переменных ст и ф

Суу + <?хх = 2 о, <Ту у — <ТХХ — Sin 2 Ф, 1(7 ху = cos 2 ф

Характеристика Ь€, для которой записывается транспортное уравнение, имеет наклон, близкий к нулю, и принадлежит первому или второму из семейств

в зависимости от значения

<Д0, 0) = -Í или аРу(0, 0) = I

В примере реализуется а%у{0, 0) = -j и, следовательно, ф(0, 0) — j Тогда транспортное уравнение

jliMl _ (_дс , 1 дс_ (да_д±\ _ch(do,d±\ \\д±]_<^\Ш2 dx[dy\ V ду^1дф\ду ду) _ дф Кду^ду)-) [ду\ дф[ду\ '

где с = — + дУ . ^ ctg ф, при учете соотношения на характеристике

.ду1 Уду у полученного в § 2 5 , преобразуется к виду

^=к1(х)А + к2{х)А\ А=[^]

При помощи его решения скачки производных поля напряжений выражаются через значение А(0) в точке х = 0, у = г характеристики Ь£

Решение этого уравнения ищется в виде разложения по координате х в окрестности точки х = 0 Коэффициенты разложения, как и коэффициенты кх(х), к2(х) в уравнении и значение Л(0), зависят от величины г = г2е2 + , поэтому, в свою очередь, разложены по параметру е Коэффициенты разложений имеют порядок единицы

В результате вычислений получено (не выписываются члены более высокого порядка малости, чем е2)

А{х) = Ло 4- еЛ'01 + е2 (а1Г2 + + ,

где

Коэффициенты Ао, А\, разложения скачка комыми в УПЗ

Для величины ае(х) получено разложение

являются ис-

з;=0

С учетом этого разложения и представления для величины А(х) получены выражения для скачков на характеристике Ь€ (отбрасываются члены более высокого порядка малости, чем е2)

[др] = Л0 + еЛ'0| + ^ (Л1Г2 + + ,

ду

где величины

2 <9г/ ^ ' - 2 дх2 '

находятся при помощи уравнения характеристики

Далее получены выражения для скачков производных второго порядка Эти скачки (и если потребуется — скачки высших производных) выражаются через величины Ао, Ах, и через параметры Во, Вх, , аналогичные величинам А,

Представления для поля напряжений вместе с выражениями для скачков производных и аналогичных им выражениям для скачков высших производных сводят задачу построения поля напряжений к разысканию величин Ао, Ах, , Во, В\,

Далее в §2.6. получены условия сопряжения на границе упругой и пластической областей На контуре Ьс и Ь€, разделяющем упругую и пластическую зоны, напряжения непрерывны

На кривой Ьс условия непрерывности сг\ (х, р€ (х)) = ар (х, рЕ (ж)) приводят к следующим условиям

"2ху(*, 0) = о, о*уу{х, 0) = о, ^Ч*. о)р2{х) + гЪЛ*. 0) = 0.

азху(х> 0) = 0| 0) = 0, 2^{х,0)рг{х)+<гЬя(х,0)=0,

0) = 0)Р2{х) - о)р1(х),

0) = °)Р*(Х) ~

0) = 0)р4(х) - ^(х, 0)Р2(х) - 0)р1(х)

Условие непрерывности на Ь+с

рЦх)) = Pt(x))

(при записи этого условия производится дополнительное разложение по ж в окрестности х — 0) приводит к соотношениям

<те2ху(х, 0) = 0, <те2уу(х, 0) = 0,

^(0, 0)р\ + еЬЛо, 0) - М{р\ - Р~2) = 0,

<те3ху(х, 0) = 0, <те3уу(х, 0) = 0,

^(0, 0)р+3 + 0)}/2 + ^(0, 0)} +

+ ^(0, 0) - Ао(р+3 -р~)- А'0^(р+2 -р~) = О

В §2.7. получены краевые условия Нагрузка на бесконечности задается как функция параметра т Ее разложение по параметру г1 приводит к краевым условиям для полей <г|> сг|, В случае двухосного растяжения плоскости с отверстием усилиями р и д на бесконечности соответствующие краевые условия для первых членов разложения упругого поля напряжений имеют вид

0,

°1хх -»■ <?1уу -»■ 0. *3»у 0,

При отсутствии пластической зоны Р+ с отличным от ар полем напряжений условие сопряжения компонент о'пуу и ^пху не содержат неизвестного коэффициента рп, представляющего в том же приближении границу пластической зоны Аналогичным свойством обладают и получившиеся условия сопряжения, а также условия сопряжения в дальнейших приближениях

Однако процедура построения очередного приближения, применяемая при отсутствии зоны Р (используются условия сопряжения компонент сГпуу и апху Для нахождения из упругой задачи поля <т® , а затем условие сопряжения компоненты <т^хх — для нахождения коэффициента рп), в рассматриваемом случае нуждается в дополнении

Условия сопряжения при наличии зоны Р+, вообще говоря, содержат параметры, описывающие поле напряжений в этой зоне и положение границ зон Р и Р Эти величины могут неполностью определяться

предыдущими приближениями Чтобы найти их значения, следует использовать условия допустимости (отсутствие выхода за поверхность текучести) напряжений в упругой зоне Это условие гарантирует единственность решения плоской УПЗ и поэтому позволяет определить значения всех свободных параметров

В §2.8. найден первый неизвестный член в разложении поля напряжений в упругой зоне Он определяется решением (т\{х, у) упругой задачи во внешности контура Lo — lTo, у = 0 со следующими краевыми условиями на всем контуре Lo должно выполняться условие отсутствия нагрузки, а также должны выполняться первые из краевых условий на бесконечности

Далее доказывается утверждение Утверждение. Если у) — решение ЗС в упругой зоне со стан-

дартным полем сгр при значении г параметра нагружения, то

т=т0

Коэффициент Р2 (х) в представлении кривой Lt находится из условия сопряжения для сг%хх

р2(х) = РЦх) = -<г$м(г, 0) О))"1,

где р%(х) — первый член разложения в представлении у = pí(x) = £2Я2 + £*Р% +

контура сопряжения /Го(1+£з) решения ЗС

Найденное уравнение кривой ЬЕ позволяет найти в первом приближении и уравнение оставшегося участка границы зоны Ре характеристики Lt В соответствии с оценкой размер зоны Р в направлении х (расстояние между общими точками кривой Le и характеристикой Le) имеет порядок е

В §2.8. показано, что это возможно лишь при

г2 = /2(0) = -^*(0,0) о))"1

Условия сопряжения не исчерпывают произвол в определении величин р2 , А0 и s€ Для их нахождения необходимо использовать условие допустимости напряжений Поле напряжений аес (х, у) близко к решению ЗС Поэтому условие допустимости напряжений может нарушаться лишь в окрестности той области, где выходит за поверхность текучести решение ЗС, т е вблизи точки х = 0, у — 0

В §2.9. рассмотрено условие допустимости

П'ел*, у)) = о

как уравнение относительно у при фиксированном х Кривые у{х), соответствующие корням этого уравнения, определяют область, в которой напряжения выходят за поверхность текучести Е(аес (ж, у)) > 0 Одним из корней является г/1 = е2р\ Показано, что в случае, когда ж не принадлежит малой окрестности нуля, этот корень единственный При значениях х, близких к нулю, вторым корнем является

Условие допустимости напряжений в зоне Ее означает, что с ней не пересекается область, в которой Е(сг%(х, у)) > О Это эквивалентно условию 2/2 ^ 2/1, т е неравенству

В §2.10. доказано, что если выполнено условие допустимости напряжений в зоне Ее, то имеет место равенство

Ло = о)

Из условий сопряжения для сг| и краевых условий следует, что а § = 0 и на границе Ьс выполнено р3 = 0

Кривая Ь+е определена из соотношения для <т%хх

1 х2

+ (х\ _ + Н

Р2 Ш ~ М

где М = А'0— N = ^(0, 0) + Л0/вгг2 + Кроме того, из

этого соотношения вытекает, что г3 = 0

В качестве примера на рис 1 показаны результаты расчетов границ пластической зоны — графики функций

1) У — £2р2{х) (соответствующий кривой Ье),

2) у — е2р2 + е3Рз (соответствующий кривой Ье),

3) У = £2Р2(г) (соответствующий кривой Ь+с),

4) У = ^^(ж) — второй корень уравнения Р(а^(х, у)) = 0 Расчеты произведены при р0 = 1,5, 50 = л/2 + 0,5, £2 = 10~3 12

Рис 1 Пример расчета границы пластической зоны

Кривая Ь€ в первом приближении совпадает с эллипсом — контуром сопряжения в решении ЗС при г = то(1 + £2) Полная пластическая зона рассматриваемого решения УПЗ в первом приближении получается добавлением к «пластической» зоне решения ЗС части плоскости, внешней границей которой является кривая у = е2р2

Отметим, что независимо от значений ро и qo развитие пластической зоны Ре начинается из точки, которая лежит на контуре сопряжения /То, соответствующем критической нагрузке, и расположенной на луче, образующем угол ^ с направлением оси х Развитие таких же зон начинается и из точек, симметричных указанной относительно координатных осей х и у

В §2.11. определено поле напряжений в зоне Р£ в первых двух приближениях

В третьей главе рассмотрена задача об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием

В §3.1. содержится постановка задачи об антиплоской деформации призматического бруса, ослабленного цилиндрической полостью и подверженного на бесконечном удалении от нее сдвигу касательными усилиями Too, параллельными оси г цилиндра (усилия постоянны по длине бруса и произвольно изменяются по контуру поперечного сечения)

Приведены уравнения статики и кинематики для этой задачи, получающиеся из соответствующих уравнений теории кручения Приведена постановка задачи в упругой зоне с использованием функции напряжений, а также в пластической зоне

В §3.2. приведено известное аналитическое решение задачи об антиплоской деформации, дано решение упругой задачи Далее содержится постановка и решение упругопластической задачи

В §3.3. рассмотрена граница пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства Показано, что граница пластической зоны касается контура отверстия в точке подхода к нему Найден горизонтальный диаметр пластической зоны

В §3.4. получено асимптотическое представление точного, но сложного решения для границы пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства при нагрузке тгл — + е2), е2 <С 1, где г^о = ^ — нагрузка, при которой происходит первое достижение предела текучести

Показано, что асимптотическое представление границы пластической зоны совпадает с первым приближением при построении приближенного решения методом малого параметра, которое получено в §3.5.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы

• В некоторых случаях обнаружен выход напряжений за поверхность текучести при стандартном подходе к решению плоской упругопластической задачи, введено связанное с этим понятие критической нагрузки, найдена критическая нагрузка для задачи Галина, обнаружена связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром сопряжения

• Предложена структура пластической зоны в случае закритической нагрузки

• Предложена модификация метода малого параметра, предназначенная для решения упругопластической задачи при закритической нагрузке (мало отличающейся от критической)

• Этим методом решена задача о пластической зоне вблизи отверстия при закритической нагрузке

• В качестве примера рассмотрено решение задачи о двухосном на-гружении плоскости с круговым отверстием — для закритической нагрузки, когда известное решение JI А Галина выходит за поверхность текучести в «упругой» зоне Получено поле напряжений и граница пластической зоны (два приближения)

• Подробно рассмотрена форма границы пластической зоны и найден ее горизонтальный диаметр в задаче об антиплоской деформации

пространства с цилиндрическим отверстием Показано, что граница пластической зоны касается контура отверстия в точке их встречи

• Для точного, но сложного решения для границы пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием получено асимптотическое представление при наличии малого параметра

• Методом малого параметра построено решение задачи об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием Сравнение этого решения с точным подтверждает хорошую работу метода малого параметра в случае, когда пластическая зона не охватывает контур отверстия полностью

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3]

Публикации по теме диссертации

1 Григорьев П А , Каменярж Я А , Якушева Е В Безопасные нагрузки при растяжении полосы и плоскости с отверстиями // Вестник МГУ Серия 1 Математика Механика 1990, N 3 46-51

2 Каменярж Я А , Якушева Е В О развитии пластической зоны вблизи отверстия ПММ 1993, Т 57, Вып 1, 157-171

3 Якушева Е В Метод малого параметра в некоторых плоских упру-гопластических задачах Ломоносовские чтения Тезисы докладов научной конференции Секция механики 18-28 апреля 2006, Москва, МГУ им М В Ломоносова, с 155-156

Формат 60 х 90 1/16 Объем 4,0 п л

Заказ 33 Тираж 100 экз

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ 119992, г Москва, Ленинские горы, МГУ

Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ

Введение

Глава 1. Критическая нагрузка в задаче сопряжения

1.1. Постановка плоской упругопластической задачи

1.2. Критическая нагрузка и касание характеристики с контуром сопряжения.

1.3. Пластическая зона решения упругопластической задачи при закритической нагрузке.

Глава 2. Метод малого параметра в упругопластической задаче для закритической нагрузки.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Специальная криволинейная система координат

2.3. Представление границ пластической зоны

2.4. Представление поля напряжений.

2.5. Разрывы производных поля напряжений на кривой Ь£

2.5.1. Характеристические направления.

2.5.2. Условия вдоль характеристик

2.5.3. Транспортное уравнение для скачков первых производных

2.5.4. Скачки первых производных поля напряжений на кривой Le

2.5.5. Скачки вторых производных поля напряжений

2.6. Условие сопряжения на границе упругой и пластической зон

2.6.1. Условие сопряжения на границе Le

2.6.2. Условие сопряжения на границе

2.7. Представление краевых условий

2.8. Поле напряжений в упругой зоне, границы Le и Le

2.9. Условие допустимости напряжений.

2.10. Распространение пластической зоны и величина Aq

2.11. Поле напряжений в зоне

Глава 3. Антиплоская деформация пространства с цилиндрическим отверстием.

3.1. Постановка задачи.

3.1.1. Основные соотношения.

3.1.2. Постановка задачи в упругой зоне с использованием функции напряжений.

3.1.3. Постановка задачи в пластической зоне

3.2. Аналитическое решение задачи.

3.2.1. Решение упругой задачи

3.2.2. Постановка упругопластической задачи

3.2.3. Решение упругопластической задачи.

3.3. Граница пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием

3.3.1. Выражение для формы границы

3.3.2. Угол подхода границы пластической зоны к контуру отверстия

3.3.3. Горизонтальный диаметр пластической зоны

3.4. Асимптотическое представление точного решения для границы пластической зоны при Too = -(1 + е2).

3.4.1. Характерные точки границы.

3.4.2. Асимптотическое представление границы пластической зоны

3.4.3. Сравнение границы пластической зоны в точном и приближенном решениях.

3.5. Приближенное решение упругопластической задачи об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием.

3.5.1. Метод малого параметра.

3.5.2. Первое приближение.

3.5.3. Второе приближение.

3.5.4. Сравнение первого приближения для границы пластической зоны с точным решением

Плоские упругопластические задачи (УПЗ) занимают важное место в теории пластичности ввиду их актуальности для фундаментальных исследований в механике деформируемого твердого тела и прикладных разработок, необходимых для изучения напряженно-деформированного состояния различных материалов, конструкций, технических устройств, сооружений, получения информации о достижении компонентами напряжений или деформаций экстремальных значений в некоторых областях.

Такие экстремальные значения в основном возникают вблизи краев, в местах приложения нагрузки, в зонах резкого изменения формы детали или элемента конструкции и т.д. Развитие науки и промышленности приводит к усложнению форм и очертаний конструкций, в них часто содержатся отверстия, выкружки, выступы различной конфигурации.

Пространственные задачи теории пластичности слишком сложны. Для правильного описания процесса пластического деформирования требуется использовать сложные нелинейные аналитические методы, вызывающие существенные затруднения. Поэтому при составлении математической модели среды стремятся, с одной стороны, учесть главные закономерности, с другой — максимально упростить соотношения. Напряженно-деформированное состояние, описываемое плоской деформацией, является по существу определенным приближением реальных пространственных задач, однако, в некоторых случаях, дает довольно точную картину состояния тела.

Однако аналитическое решение даже плоской упругопластической задачи также сопряжено со значительными трудностями. Несмотря на то, что в решении плоских упругопластических задач достигнуты значительные успехи, к настоящему времени известно немного плоских упругопластических задач, имеющих аналитическое решение. Точные решения одномерных задач были даны А.Надаи [123], В.В.Соколовским [91], Р.Хиллом, Е.Х.Ли и С.Дж.Таппером [121], Г.Ю.Джанелидзе [24].

Л.А.Галин [17] и Г.П.Черепанов [103] получили замечательные аналитические решения в напряжениях задач о двухосном растяжении соответственно толстой и тонкой пластин с круговым отверстием.

Далее представлен краткий обзор трудов отечественных и зарубежных ученых по тематике диссертации.

В работе [24] рассмотрена задача о концентрации напряжений около кругового отверстия пластинки, находящейся в упругопластическом состоянии при равномерно распределенных радиальных силах, приложенных на бесконечности.

В 1938 году Н.М.Беляев и А.К.Синицкий [8-10] опубликовали три статьи, содержащие исследования упругопластического равновесия открытых (тонкая круглая пластинка с круговым отверстием, короткий цилиндр), закрытых (цилиндр с доньями) и бесконечно длинных полых толстостенных цилиндров, находящихся под действием внутреннего и наружного равномерно распределенного давления и продольных сил.

В первой статье было дано решение упругопластической и чисто пластической задач о напряжениях и деформациях в стенке цилиндра на основе условия пластичности Мизеса и Сен-Венана, без использования и с использованием предположения о несжимаемости материала. Во второй статье результаты были обобщены на случай материала, способного упрочняться по линейному и по степенному закону; при этом было принято допущение о несжимаемости материала. В третьей статье результаты первых двух были применены к исследованию автофретажа и работы скрепленных цилиндров. В результате исследований различными методами одного и того же напряженного состояния материала цилиндра были получены некоторые выводы, касающиеся общей методики решения задач теории пластичности. В том числе обнаружено, что при точном решении задачи на границе между упругой и пластической областями следует требовать непрерывности всех компонентов напряжений и перемещений.

В 40-х годах Л.А.Галиным [19, 17, 20] и В.В.Соколовским [88, 92, 87, 89, 90] построены решения ряда двумерных задач об упругопластическом равновесии идеально пластических тел с заранее неизвестными границами между упругой и пластической областями.

Впервые точное решение неодномерной задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием в случае плоской деформации было дано JI. А. Галиным [17] в 1946 году.

Решение удалось найти благодаря бигармоничности функции напряжений в пластической области. Полностью неизвестная упругопластиче-ская граница определяется из дополнительного краевого условия в процессе решения краевой задачи для бигармонического уравнения в области, граница которой неизвестна. Отображая взаимно однозначно и конформно область с неизвестной границей на каноническую, эту задачу сводят к краевой задаче теории функции комплексного переменного.

Предполагается, что к контуру отверстия приложены постоянные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности постоянны. Кроме того, в [16] дано решение задачи в случае, когда напряжения на бесконечности являются линейными функциями хну.

В работе О.С.Парасюка [76] решение Галина получило развитие, был рассмотрен случай, когда касательные усилия на контуре отверстия отличны от нуля и функция напряжений в пластической области не является бигармонической.

В работах О.С.Парасюка и Г.М.Савина [117] и Г.М.Савина [81] получен общий вид бигармонической функции, которая удовлетворяет гиперболическому уравнению пластичности; показано, что методом Галина можно решить лишь те УПЗ, для которых функция напряжений в пластической зоне около отверстия имеет вид

U(r) = kr4*r--k-±Pr\ где R — радиус окружности, р — радиальное давление, приложенное к контуру отверстия, к — предел текучести при чистом сдвиге.

Кроме того, получено решение для ряда УПЗ с бигармоническим пластическим состоянием вокруг отверстия, задаваемым функцией U(r), при разных напряженных состояниях на бесконечности.

В работе Б.Д.Аннина [3] методом Галина решена плоская УПЗ о распределении напряжений в плоскости с круговым отверстием под действием сжимающих сил на бесконечности в предположении, что выполняется экспоненциальный закон текучести и пластическая зона целиком охватывает отверстие.

Г. П. Черепановым в работе [103] получено точное решение в напряжениях задачи о двухосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска — Сен-Венана.

В работах [102, 103, 100, 106] Г.П.Черепанов указал способ, который дает возможность находить точные решения для следующего класса УПЗ с неизвестной границей: контур тела — многоугольник, все углы которого кратны касательная нагрузка на всем контуре равна нулю; часть границы многоугольника нагружена постоянными нормальными напряжениями и целиком охвачена пластической зоной; на оставшейся части границы, лежащей в упругой области, задано кусочно-линейное нормальное смещение. В работе Г.П.Черепанова [106] указан способ алгебраизации УПЗ в случае полного охвата пластической зоной со статически определимым состоянием произвольного отверстия.

В работе [5] Б. Д. Анниным получено интегродифференциальное уравнение для граничных значений функции, конформно отображающей упругую область на внешность единичного круга, в случае полного охвата пластической зоной отверстия и найдено условие рациональности отображающей функции.

Кроме того, в работе Б.Д.Аннина [1] дана вариационная постановка задачи об упругопластическом распределении напряжений в плоскости с отверстием.

В работе Н. И. Остросаблина [71] получены напряжения в пластической зоне около кругового отверстия, на контуре которого заданы постоянные нормальное и касательное напряжения при условии пластичности В.В.Соколовского и определены точные границы внешних параметров, при которых существует решение. В этой же задаче Н. И. Остросаблин в работе [74] нашел напряжения в пластической зоне при экспоненциальном условии пластичности в случае, если <тг — его ^ 0. Напряжения для случая сгг — ад ^ 0 представлены в работе Н. И. Остросаблина [73]. Это же решение для напряжений при свободном от нагрузок контуре отверстия в другом виде получено Б. Д. Анниным [3]. Кроме того, в работе Н. И. Остросаблина [73] рассмотрены возможные случаи распределения напряжений около кругового отверстия в задаче JI. А. Галина при условии пластичности Треска — Сен-Венана, определены области параметров, при которых возможны решения. В этой же работе построены решения в упругой области, соответствующие условиям пластичности В. В. Соколовского, экспоненциальному, Треска — Сен-Венана; определены области нагрузок, при которых полученные решения имеют смысл.

Точные формулы для перемещений в пластической области в задаче Л.А.Галина получены в работе Н.И.Остросаблина [72]. В этой работе указано, что перемещения могут быть найдены только, если обезразме-ренная разность растягивающих усилий по осям у их меньше величины л/2 — 1.

Свойства решений УПЗ вблизи упругопластической границы изучались Ф. М. Эрлихманом и В. И. Машуковым [63, 114, 115, 50]. В работе [115] исследованы разрывы производных напряжений на упругопластической границе. Получены скачки производных на упругопластической границе в задаче о кручении. Эти результаты применены для УПЗ в случае, когда упругопластическая граница касается окружности в двух точках. В этой же работе исследован вопрос об определении деформаций и перемещений в случае простого нагружения. Показано, что решение УПЗ в некоторых случаях допускает скачки производных от деформаций при переходе через упругопластическую границу.

В работе Ф. М. Эрлихмана [ИЗ] сравниваются решения двух упруго-пластических задач, когда на упругопластической границе все компоненты тензора напряжений непрерывны и когда тангенциальная компонента терпит разрыв. Рассматривается бесконечное тело с круговым отверстием единичного радиуса, нагруженное постоянным усилием ау = —р, аг$ = 0 в предположении выполнения условия текучести Мизеса.

Ввиду того что определение упругопластического состояния наталкивается на серьезные трудности математического характера, для решения УПЗ часто используются приближенные методы вычислений.

Вариационный метод решения УПЗ для тела с круговым отверстием был предложен в работе [50]. В этой работе предложен подход, основанный на теории вариационных неравенств без предположения о полном охвате отверстия пластической зоной. Предполагается, однако, что все ее связные подобласти лежат внутри соответствующих характеристических треугольников, поэтому, как и в случае полного охвата, напряжения в пластической зоне описываются теми же соотношениями, что и в задаче JL А. Галина. Вариационное неравенство получено без каких-либо предположений об уравнении состояния пластического тела (типа гипотезы Хаара — Кармана, принципа Мизеса и т.п.). Также дано обобщение на случай неоднородных пластических свойств материала вокруг отверстия, когда аналогично [57] предел пластичности зависит от расстояния до контура отверстия, и при использовании экпоненциального условия текучести.

JI. А. Галин на основе интерпретации полученного им точного решения предложил в [14] пластинчатую аналогию для УПЗ о двухосном растяжении плоскости с отверстием, контур которого L. Эта УПЗ эквивалентна задаче о контакте между изгибаемой упругой пластинкой, заделанной вдоль плоского контура L, и твердыми телами, опирающимися на этот контур. Поверхности этих тел соответствуют функциям напряжений в пластических областях. Пластическая область, возникающая при упругопластической деформации, будет такой же, как и область, где упругая пластинка касается твердого тела. При помощи полученных в [83] неравенств можно строго обосновать обобщенную пластинчатую аналогию.

Несколько иная аналогия между плоской УПЗ и контактом твердого тела с пластинкой указана в работе JI. А. Галина [15]. В ней рассматривается задача о давлении твердого тела на круговую пластинку радиуса R, заделанную по контуру, причем начальное соприкосновение имеет место в центре пластинки и предполагаются выполненными следующие положения: толщина пластинки мала по сравнению с размерами площадки контакта; размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом пластинки;

• размеры площадки контакта малы по сравнению с величинами радиусов кривизны тела.

Эта задача моделирует упругопластическое напряженное состояние, возникающее в окрестности весьма малого отверстия под действием напряжений, имеющихся на бесконечности.

Эта аналогия между плоской УПЗ и задачей о контакте между твердым телом и упругой пластинкой состоит в том, что граница площадки контакта такая же, как и граница между упругой и пластической областями при растяжении пластинки с круговым отверстием.

П. И. Перлин [77, 78] предложил полуобратный метод решения упруго-пластических задач. Этот метод может быть применен к решению ряда задач, однако наиболее целесообразным оказывается его использование при решении УПЗ для пластин, ослабленных отверстием симметричной формы, при отсутствии вращения на бесконечности. Согласно обратной постановке УПЗ считается известным положение каких-либо двух точек границы, а напряжения на бесконечности и положение границы находятся в процессе решения.

При помощи своего численного метода П. И. Перлин [77, 78, 79] решил ряд задач для отверстий в форме окружности и различных эллипсов, были рассмотрены случаи как полного, так и частичного охвата отверстия пластической зоной, а также случай двухсвязной области, занимаемой телом.

Этот метод был использован B.C.Сажиным [83, 82] при решении УПЗ для отверстия, близкого к квадрату, в предположении, что пластическая область охватывает все отверстие и на бесконечности имеет место все-сторонее сжатие.

Периодическим УПЗ был посвящен ряд работ [54, 2, 66] и другие.

УПЗ для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий, рассмотрены в работах [60, 64].

В работе В.М.Мирсалимова [65] рассматриваются УПЗ для плоскости, ослабленной бесконечным рядом круговых отверстий. Предполагается, что уровень напряжений и расстояния между отверстиями таковы, что круговые отверстия целиком охватываются соответствующими пластическими зонами, но в то же время, соседние пластические области не сливаются. Считается также, что поле напряжений в пластической зоне является осесимметричным. Для решения задач применяется метод, представляющий собой объединение метода решения периодической упругой задачи с методом, предложеным JI. А. Галиным [17] для решения УПЗ с неизвестной упругопластической границей с одиночным отверстием. Предложенный В. М. Мирсалимовым метод позволяет, вообще говоря, получить решение при любых относительных размерах области. В работе [65] рассмотрены частные случаи: условия пластичности Треска — Сен-Венана, Мизеса, экспоненциальное условие текучести, неоднородный пластический материал, рассмотренный в [57].

Близкой по постановке и методам решения к УПЗ является задача определения оптимальных в некотором смысле форм отверстий. Задача определения равнопрочного отверстия, на контуре которого постоянно нормальное тангенциальное напряжение at при постоянных напряжениях <7n, Tnt или во всех точках контура одновременно достигается пластическое состояние, поставлена и с достаточной общностью решена в работах Г.П.Черепанова, Л.А.Галина [21, 105, 106, 104].

Г.П.Черепанов [106, 104] задачу определения формы равнопрочного контура отверстия в перфорированной плоскости (обратная задача) решил сведением к задаче Дирихле для внешности системы параллельных разрезов на плоскости в классе функций со степенными особенностями в концах разрезов. Для ряда случаев получено замкнутое решение.

В работах Н. В.Баничука [7, 6], С. Б. Вигдергауза [12, 13], а также Н. М. Хуторянского [99] показано, что при постоянных внешних усилиях минимум максимального значения второго инварианта тензора напряжений достигается на равнопрочных контурах.

В работах С. Б. Вигдергауза [12, 13] обратная задача для любой ко-нечносвязной области приводится к уравнению типа Фредгольма относительно плотности интегрального представления функции, конформно отображающей плоскость с исключенными кругами на область той же связности с искомой границей. Полученные уравнения решаются методом наименьших квадратов, что для любой конечно связной области приводит к единообразной вычислительной схеме, удобной для реализации на ЭВМ. Там же определены коэффициенты соотвествующей алгебраической системы и в качестве примера для плоскости с циклически-симметрично расположенными отверстиями построено однопараметри-ческое семейство искомых контуров.

Одним из наиболее распространенных приближенных методов вычислений является метод малого параметра. Этот метод нашел распространение в различных разделах механики, математики и физики. Одна из первых работ, выполненных по непосредственному приложению метода малого параметра к решению УПЗ, принадлежит А.П.Соколову [86]. Он определил в первом приближении двухосное напряженное состояние тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска.

При решении задач механики деформируемого твердого тела малый параметр может быть введен различным образом. JI. М. Качанов [48, 49] рассмотрел кручение круглых стержней переменного диаметра и ползучесть овальных и разностенных труб методом малого параметра, характеризующего геометрию тел. JI. М. Качанов также рассмотрел задачу упругопластического кручения круглых стержней переменного диаметра в предположении справедливости теории Генки в общей форме, когда интенсивность деформации сдвига является некоторой функцией интенсивности касательных напряжений. В этом случае задача сводится к решению нелинейного уравнения Монжа — Ампера эллиптического типа для функции упругопластических напряжений Ф. JI. М. Качановым были решены задачи о кручении тонкостенного полого вала переменного диаметра в предположении линейного изменения функции Ф по толщине; задача о кручении стержня, близкого к цилиндрическому; кручении круглого полого стержня, по форме не сильно отличающегося от полого цилиндра; кручении стержня с мелкой кольцевой выточкой. Во всех этих задачах функция Ф искалась в виде степенного ряда по малому параметру, входящему в уравнение поверхности стержня.

Линеаризация по параметру, характеризующему геометрию тела, использовалась при изучении явления образования шейки в образцах. Такая линеаризация использована А. А. Ильюшиным [42], А. Ю. Ишлинским [44], А.М.Жуковым [32], Д.Д.Ивлевым [38], Е.Онатом и В.Прагером [124].

Линеаризация по параметру, характеризующему статические граничные условия, использована А.П.Соколовым [86] и А.К.Костюком [56].

Методом малого параметра решались задачи о распределении упругих напряжений в работах [75, 108, 109].

В работе В.А.Пальмова [75] рассмотрен случай, когда к контуру отверстия приложено равномерное нормальное давление, а напряжения на бесконечности стремятся к нулю.

В работе В.И.Шейнина [108] решена задача о всестороннем растяжении бесконечной плоскости с ненагруженным отверстием, имеющем случайные отклонения от окружности.

В работе В.И.Шейнина и Н.Н.Фотиевой [109] рассматривалась задача об упругой плоскости с отверстием, подкрепленным упругим кольцом и нагруженным равномерным давлением, на бесконечности напряжения стремились к нулю.

Приближенное решение методом малого параметра (с точностью до первой степени малого параметра) задачи о всестороннем растяжении упругой плоскости с произвольным криволинейным отверстием, имеющем случайные неровности, дано в работе А.А.Каминского [46]. Отверстие полагалось либо свободным, либо жестко закрепленным.

В работе 3. Г. Тунгусковой [94] исследовался вопрос о концентрации напряжений на контуре отверстия за счет неровностей. В этой работе методом малого параметра (с точностью до третьего приближения) получено решение задачи о всестороннем растяжении бесконечной упругой плоскости с отверстием в виде гипертрохоиды.

В работах Б.А.Друянова [26, 25] при помощи малого параметра, характеризующего возмущения условия пластичности, учитывалась неоднородность пластического материала.

Большой вклад в развитие метода малого параметра применительно к задачам жесткопластического и упругопластического состояния тел был сделан Д.Д.Ивлевым и Л.В.Ершовым. Методом малого параметра был решен ряд задач о деформировании для плоских, осесимметричных и пространственных случаев [28, 31, 29, 30, 34, 41].

В работах Д.Д.Ивлева и Л.В.Ершова [41, 28, 31] определено напряженное и деформированное состояния конической трубы, находящейся под действием равномерного внутреннего давления, материал которой подчиняется условию пластичности Треска и условию пластичности Ми-зеса. Оказалось, что первое приближение для напряженного и деформированного состояний конической трубы при условии Мизеса полностью совпадает с решением при условии пластичности Треска. В этих работах также найдена граница пластической зоны в первых двух приближениях при этих же условиях текучести. В первом приближении эти границы совпадают, а во втором отличаются на константу.

Д. Д. Ивлев и JI. В. Ершов в монографии [41] дали решение задачи о деформировании эксцентричной трубы под действием внутреннего давления. Малый параметр характеризует геометрию тела. В двух приближениях найдены напряжения и границы пластической области, перемещения в упругой и пластической областях определены в первом приближении.

Д. Д. Ивлевым и JI. В. Ершовым [30] методом малого параметра решена также задача о деформировании эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления.

Д. Д. Ивлевым [34] с помощью метода малого параметра изучалось явление выпучивания толстостенных труб, находящихся под действием внутреннего давления. Он определил кинематику явления выпучивания, рассмотрев выпучивание трубы с малым экцентриситетом и выпучивание труб с пологой осесимметричной выточкой.

Также Д. Д. Ивлевым [27, 33, 35, 36] с использованием метода малого параметра было проведено исследование процесса вдавливания твердого тела в жесткопластическую среду.

Большое значение имеют задачи о двухосном растяжении бесконечных толстой и тонкой пластин с круговым отверстием, решенные Д. Д. Ивлевым [40] методом малого параметра. Как отмечалось выше, JI. А. Галин [17] и Г. П. Черепанов [103] нашли точное решение в напряжениях этих задач. Сравнение точных и приближенных решений позволило показать достаточно быструю сходимость приближений. Было показано, что четыре члена ряда разложения точных решений Л.А.Галина и Г.П.Черепанова совпадают с четырьмя приближениями, полученными методом малого параметра. В данных задачах малый параметр характеризовал разность между растягивающими усилиями на бесконечности. При значении параметра, равном нулю, имеет место осесимметричное состояние пластин. Для описания точного решения для толстой пластины достаточно двух приближений, а для тонкой — четырех приближений.

Д. Д. Ивлевым в этих задачах получены также границы пластических областей. Оказалось, что уже первые два приближения для задачи Л.А.Галина дают удовлетворительную картину сходимости к точному решению. Для задачи Г. П. Черепанова первые четыре члена разложения пластической границы из точного решения совпали с четырьмя приближениями решения методом малого параметра.

Кроме того, Д. Д. Ивлевым получены решения задач о двухосном растяжении толстой и тонкой пластин с эллиптическим отверстием. В этих задачах за нулевое приближение взято осесимметричное состояние плоскости с круговым отверстием. Получены два приближения для напряжений, перемещений и границы пластической области. Третье приближение для границы для первой из задач для случая равномерного растяжения пластины с эллиптическим отверстием, находящейся под действием равномерного внутреннего давления, получено В.В.Кузнецовым [58, 59]. При решении этих УПЗ предполагалось, что весь контур тела охвачен пластической областью.

Общий подход к решению задач о нахождении границ при растяжении плоскости, ослабленной отверстием, методом малого параметра был рассмотрен в работе Г. И. Быковцева и Ю.Д.Цветкова [И]. В этой работе изучалось распространение пластической области в плоскости в процессе ее нагружения, когда часть контура отверстия находится в упругой зоне. Разработанный метод переноса условий сопряжения решений с упругопластической границы на контур отверстия позволил свести определение упругопластической границы к решению последовательности краевых задач теории упругости. Была проанализирована возможность применения развитого метода к задаче об одноосном растяжении упругопластической плоскости, ослабленной круговым отверстием.

Метод малого параметра применялся при изучении упругопластиче-ского состояния тел в пространственных случаях. Т. Д. Семыкиной [85] получено первое приближение в задаче для трехосного растяжения упру-гопластического пространства, ослабленного сферическим отверстием.

Д. Д. Ивлев [41] получил решения задач о двухосном растяжении пространства со сферической выточкой и эллипсоидальной полостью. В этих задачах на бесконечное пространство действуют растягивающие усилие Р2, направленное по одной оси, и усилия Pi, направленные по двум другим осям. На поверхностях сферы и эллипсоида задано равномерное давление, выполнены условия текучести Треска. В качестве нулевого приближения принято напряженное и деформированное состояние пространства со сферической полостью, растянутого на бесконечности равномерными усилиями.

Для первой задачи получены два приближения, вторая задача решена в первом приближении.

Метод малого параметра использовался при решении УПЗ с учетом температурного поля. В. JI. Фомин [95] этим методом исследовал упруго-пластическое равновесие неравномерно обогреваемой трубы, находящейся под действием внутреннего давления р. Неравномерное температурное поле представлялось в виде разложения в ряд по степеням малого параметра, что позволило значительно отойти от изученного ранее осесим-метричного случая. Предполагалось, что пластическая и упругая зоны достаточно развиты, так что граница между зонами нигде не выходит на край трубы. Получены два приближения.

Кроме того, следует отметить работы В.Л.Фомина [96] и В.М.Мир-салимова [67], в которых рассмотрена УПЗ для плоскости с круговым отверстием с учетом стационарного температурного поля, когда в пластической зоне имеется бигармоническое напряженное состояние, а на бесконечности действуют постоянные напряжения; а также работу А. М. Эль-Карамани [112]. В этой работе рассматривается плоская задача о концентрации напряжений вокруг кругового теплоизолированного отверстия в пластинке из упрочняющегося материала при наличии установившегося температурного поля с постоянным градиентом г на бесконечности и равномерного всестороннего растяжения р\. Задача решается для малых упругопластических деформаций методом упругих решений.

Одними из недавних работ, посвященных задаче Л.А.Галина, являются работы Н. А. Кончаковой [52, 53]. В этих работах проведен анализ перемещений и напряжений в окрестности упругопластической границы и выявлены особенности поведения угла ф (угол наклона главных направлений тензора деформаций к оси Ох). По известным на упру

1 (Qd ди\ гопластической границе величинам cj(x, у) = — гДе и и v — компоненты вектора перемещений, и ф(х, у) строится решение задачи Коши в пластической области.

В отличие от задачи Л. А. Галина, имеющей и большое теоретическое, и большое практическое значение, задача о сложном сдвиге, или задача об антиплоской деформации, имеет скорее теоретическое значение. Сложный сдвиг является простейшим сложно-напряженным состоянием. Антиплоская деформация, или сложный сдвиг, — это напряженное состояние в цилиндрическом теле бесконечно большой высоты, возникающее под действием продольных касательных усилий, постоянных по длине.

Впервые задачи о сложном сложном сдвиге рассмотрел E.Trefftz в 1922 году. Он решил задачи о сложном сдвиге для идеального упру-гопластического тела в случае профиля уголкового сечения с прямым углом раствора, а также аналогичную задачу для внешности кругового отверстия, см. [129, 130], с использованием методов теории функций комплексного переменного и плоскости годографа.

Решение задачи об антиплоской деформации для полуплоскости с угловым вырезом дано в работах Я.Хальта и Ф. Мак-Клинтока [62, 97, 98], М. Коскинена [122], и Дж.Р.Райса [127, 126].

В работе Дж. Р. Райса [128] методом годографа изучена задача для полуплоскости с угловым вырезом при произвольном законе упрочнения.

Задачи об антиплоской деформации для тел с трещинами рассматривались Ф.А. Филдом [120], Ф.Эрдоганом [119], Б. В. Костровым и Л.В.Никитиным [55].

Г. П. Черепановым [107] был предложен метод решения в квадратурах задач об антиплоской деформации идеального упругопластического тела для любого контура, образованного отрезками прямых и кривых линий, в том случае, когда отрезки прямых свободны от напряжений, а отрезки кривых дуг, произвольно нагруженные, целиком охвачены пластической зоной.

В работах Г. П. Черепанова [107, 101] найдены точные решения УПЗ о сложном сдвиге для следующих конфигураций тела:

1) одна трещина, выходящая на границу полуплоскости;

2) жесткий штамп, действующий на свободной границе полуплоскости;

3) выточка с закругленным дном;

4) периодическая система трещин, выходящих на границу полуплоскости.

В работе В. Пенса [125] рассмотрен сложный сдвиг призматического тела с симметричными острыми надрезами при кусочно-линейном законе «напряжение-деформация».

Е.И.Шемякин [111, 110] исследовал напряженно-деформированное состояние в вершине разреза при антиплоской деформации упругопластического тела и рассмотрел качественные особенности этой задачи.

УПЗ об антиплоской деформации оказывается проще чисто упругой, поэтому заслуживают внимания работы, связанные с исследованием упругих задач о сложном сдвиге. В работе С. Е. Михайлова [68] рассмотрена задача об антиплоской деформации упругого цилиндра с многосвязным конечным или бесконечным сечением, ограниченным системой замкнутых кривых, которые могут иметь угловые точки. На всей границе тела заданы усилия или смещения. Задача сведена к интегральному уравнению, ядро которого имеет сильные стационарные особенности в угловых точках. В этой работе приведены результаты по исследованию разрешимости этого уравнения и гладкости его решения, описана процедура численного решения интегрального уравнения. В качестве примера рассмотрено пространство с призматическим прямоугольным в сечении отверстием или жестким включением под действием равномерного касательного усилия на бесконечности. Вычислены обобщенные коэффициенты интенсивности напряжений.

В. А. Кучер и В. А. Пупырев [61] для решения задачи Сен-Венана (кручение и изгиб силой цилиндрического стержня) и задачи об антиплоской деформации применили неклассические интегральные уравнения для уравнения Лапласа, обеспечивающие повышенную точность при численной реализации. В этой работе они показали, что для однозначного определения решения исходной задачи в случае многосвязных областей уравнения следует решать совместно с дополнительными условиями, число которых определяется связностью области. Для некоторых конкретных областей: бесконечной полосы, круга и кругового кольца интегральные уравнения решены аналитически.

В. К. Опанасович [70] предложил подход к исследованию напряженно-деформированного состояния кусочно-однородной плоскости, состоящей из матрицы и туннельного тонкого прямоугольного включения с закругленными углами, в предположении, что такое составное тело находится в условиях антиплоской деформации.

В данной работе, состоящей из введения, трех глав и приложений, рассматривается плоская упругопластическая задача в случае, когда на части границы области нагрузка не изменяется, т.е. квазистатическая задача. Она является статически определимой: поле напряжений может быть найдено только по текущему значению нагрузки (этот факт не получил широкой известности, хотя он был строго обоснован в работе Cimatti [118] еще в 1975 году). К части границы области, на которой нагрузка не изменяется, примыкает пластическая зона, поле напряжений в которой часто считается заранее известным, поскольку в этой задаче уравнения равновесия, условие пластичности и статические граничные условия полностью определяют напряженное состояние в пластической зоне.

Но положение упругопластической границы может быть определено только из решения упругопластической задачи. Эта задача сводится к задаче сопряжения известного пластического поля напряжений с известным упругим полем при условии непрерывности напряжений на искомом контуре сопряжения. Определяемое при этом упругое поле напряжений может, однако, выйти за поверхность текучести, причем для допредельной нагрузки, т.е. для нагрузки, когда существование решения гарантировано. Например, для построенного таким образом известного решения задачи Л. А Галина о двухосном нагружении плоскости с отверстием [17] это происходит, когда допредельная нагрузка достигает некоторого критического значения [23].

Для закритической нагрузки решение задачи сопряжения не является решением УПЗ.

В первой главе работы содержится постановка плоской упругопластической задачи, дается определение критической нагрузки. Доказывается связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром сопряжения. Предлагается структура пластической зоны при закритической нагрузке.

В § 1.1. дается постановка плоской УПЗ.

В § 1.2. показано, что определяемое при этом упругое поле напряжений может выйти за поверхность текучести для допредельной нагрузки. Нагрузка, начиная с которой это происходит, называется критической. Критической нагрузкой является значение \q — р\ = у/2 — 1, где р и q — усилия, приложенные на бесконечности вдоль осей ж и у соответственно. Нагрузки л/2 — 1 < \q — р\ < 1 являются закритическими. Показано, что при закритической нагрузке решение ЗС не является решением УПЗ по следующим причинам.

Во-первых, при закритической нагрузке имеются характеристики системы уравнений равновесия и условия текучести, построенные для поля напряжений в пластичесюш зоне ар, которые пересекают контур сопряжения в трех точках. Кроме того, показано, что при 0 ^ \q —р\ < л/2 — 1 характеристики пересекают контур сопряжения ровно в одной точке; а при |q — р\ = л/2 — 1 существует характеристика, имеющая касание вто- 7Г рого порядка с контуром сопряжения в точке zq = |^о|ег8, а также в точках, симметричных ей относительно осей координат.

Вторая причина состоит в том, что построенное поле напряжений при закритической нагрузке выходит за поверхность текучести. Показано также, что при закритических нагрузках, несколько превышающих величину л/2 — 1, упругое поле напряжений выходит за поверхность теi— кучести именно в окрестности точки zq = \z$\e 8 и симметричных ей относительно осей координат.

Доказано, что такая связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром отверстия имеет место и в общем случае. А именно, показано, что при критической нагрузке происходит касание характеристики с контуром сопряжения /q, соответствующем этому значению нагрузки.

Далее доказано, что если при значении параметра нагрузки г < г* решение ЗС в упругой области Q,eT удовлетворяет условию допустимости напряжений F(a) ^ 0, а при г = г* характеристика касается контура сопряжения 1и в точке QTit, тогда т* является критическим значением.

Для закритической нагрузки должно быть указано новое поле напряжений в пластической зоне, которое при решении ЗС обеспечило бы допустимость напряжений.

В § 1.3. предложена структура пластической зоны для закритической нагрузки. При этой нагрузке лишь в некоторой части Р пластической зоны решения УПЗ, каждая точка которой соединяется с контуром отверстия кривыми обоих семейств характеристик уравнений равновесия, целиком лежащими в пластической зоне, сохраняется поле напряжений ар. В других областях Р+ пластической зоны, точки которых нельзя так соединить с контуром отверстия, имеется отличное от сгр поле напряжений s.

Кривая L , разделяющая области Р и Р+, является характеристикой системы уравнений равновесия.

Во второй главе содержится постановка и решение УПЗ при закритической нагрузке, мало отличающейся от критической. При решении задач теории пластичности возникают серьезные трудности математического характера. Это приводит к необходимости разрабатывать и применять различные приближенные методы. Одним из таких методов и является метод малого параметра. Этим методом во второй главе решена УПЗ на примере задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием.

В § 2.1. приводится постановка УПЗ. Рассматривается закритическая нагрузка, соответствующая значению т = tq(1 + £2), е2 <С 1, где то — критическое значение параметра нагружения.

В § 2.2. вводится специальная криволинейная ортогональная система координат (СКОК), используемая при решении поставленной задачи.

В § 2.3. исследованы размеры области Р+. Далее в соответствии с полученными результатами записаны представления границ пластической зоны.

В § 2.4. приводится представление поля напряжений в пластической области Р и упругой области Ее. Поле напряжений s£(x, у) в зоне Рt представлено в виде разложения в ряд по второму аргументу

У = Ре(х) + (у - Ре М) в окрестности его значения р£{х).

С использованием непрерывности напряжений на кривой Ь£ и представления производных dsF, чч дар да ду Ре(*)) = РеП) + l^JW' где скачок берется на контуре Le, и аналогичное представление для высших производных, этот ряд имеет вид

8е(х, у) = <т'(х, 0) + —(х, 0) • у + 0) • у2 + оу I ду 2

1 \д(7

1хд2ал х){у-ре(х)) + - (х)(у - р£{х))2 + . .

1дуjv /v. r£V ,, 2lQy4

Поле напряжений в упругой зоне Ее записано в виде ае£(х, у) = ае0{х, у) + £2<те2{х, у) + £3(те3(х, у) + у) + . , где (Tq(x, у) — решение ЗС при критической нагрузке.

На кривой Ь£ поле напряжений непрерывно, а его производные терпят разрыв. Величины этих скачков используются для представления поля напряжений в Р£ .

Выражения для скачков производных поля напряжений получены в работе в § 2.5.

Соотношения на характеристике /(ж, г) системы уравнений равновесия имеют вид даххл ду даху A as и да. уу где

Of

L cty /(гс, г)х-1

Ж(,) = -(,, г) . (1 +

Транспортное уравнение, управляющее значениями А(х), приведено в переменных сг и ф

Оуу + °~хх - 2а, ауу - ахх = sin 2ф, 2аху = cos 2ф.

Характеристика L€, для которой записывается транспортное уравнение, имеет наклон, близкий к нулю, и принадлежит первому или второму из семейств У dx V , dy / у ctg ф в зависимости от значения

0,0) = -i или <Д0,0) = ^.

В примере реализуется сг£ (0, 0) = — I и, следовательно, ф[0, 0) =

Тогда транспортное уравнение d ду дс 1 дс /да дф\ У дс ^да ^дф\ г дфл дс \дф1

Уду\ дф Idyl где с = — (1 Н--j—r ) ctg -0, при учете соотношения на характеристике

R(x)■ гб>а] г дф j idy -дуполученного в § 2.5., преобразуется к виду = к\( х) А + к-> (х)А2, А = clx да.

XX ду

При помощи его решения скачки производных поля напряжений выражаются через значение ,4(0) в точке х — 0, у = г характеристики Ь£.

Решение этого уравнения ищется в виде разложения по координате х в окрестности точки х = 0. Коэффициенты разложения, как и коэффициенты к\(х), /с2(л.-) в уравнении и значение ^4(0), зависят от величины г = г2с2 + ., поэтому, в свою очередь, разложены по параметру г. Коэффициенты разложений имеют порядок единицы.

В результате вычислений получено (не выписываются члены более высокого порядка малости, чем е2)

1 .„х2е \ 2'е2

А{х) = Л0 + еА'0- + (Air2 + -А'^) + . , где

2 <9*/ д2о1

XX дхду д< ду

О, 0))Ло

2 +

2 О'

Коэффициенты Ао, А\, . разложения скачка [-а^] х=0 мыми в УПЗ.

Для величины зе(х) получено разложение

1 х2 \ зе(х) = £2(-fxxx-2 + ^2/xrj + ■ • • •

С учетом этого разложения и представления для величины А(х) получены выражения для скачков на характеристике Ь£ (отбрасываются члены более высокого порядка малости, чем £2) являются искода

XX ду гда х у

1 ду J дауу ду А0 + еА'0j + £2 (Лгг2 + + • • • , гЛжж — + r2fxr) + • • • , 0 + . где величины

Jxr - -- q (U, Uj, Jxxx - 2 (U, V) находятся при помощи уравнения характеристики.

Далее получены выражения для скачков производных второго порядка. Эти скачки (и если потребуется — скачки высших производных) выражаются через величины Aq, А\, . и через параметры Bq, В\, ., аналогичные величинам А{.

Представления для поля напряжений s£ вместе с выражение,ли для скачков производных и аналогичных им выражениям для скачков высших производных сводят задачу построения поля напряжений s£ к разысканию величин Aq, А\, ., Bq, Вi, .

Далее в работе в § 2.6. получены условия сопряжения на границе упругой и пластической областей. На контуре Le U разделяющем упругую и пластическую зоны, напряжения непрерывны.

На кривой Ls условия непрерывности <J£(x, р£(х)) = сгр(ж, ре(ж)) приводят к следующим условиям:

Охх

4^, °) = а2г,у{х, 0) = 0, 0)Р2(ж) + ve2xx(x, 0) = 0, alxy(x, 0) = 0, ае3уу(х, 0) - 0, ^(х, 0)ф) + ае3хх(х, 0) = 0, г)гте 1 гР'гт сЪ3(Х, 0) = --JS2(x, 0)й(«) - ОШх),

2/

0) = ом») - ^(х, 0)Л(х)

Условие непрерывности на se{x, = сг|(ж, при записи этого условия производится дополнительное разложение по х в окрестности х = 0) приводит к соотношениям

2ху(ж, 0) = 0; ае2уу(х,0) = 0

0, 0)р+2 + 4^(0, 0) - Ло(/5 - Р~2) = 0; ду ае3ху(х, 0) = 0; tr|yy(®,0) = 0;

0)/)з + "ад ( ' V2 + ~5Г(0' + 4ХХ{0, 0) - А0(рз - Рз) - - Р"2) = 0.

В § 2.7. получены краевые условия. Нагрузка на бесконечности задается как функция параметра т. Ее разложение по параметру е2 приводит к краевым условиям для полей сг|, сг|----- В случае двухосного растяжения плоскости с отверстием усилиями р и q на бесконечности соответствующие краевые условия для первых членов разложения упругого поля напряжений имеют вид е Ф / \ е dq а2хх ^0), <?2уу ^Г(Т0)' °2ху О, а3хх 0» а3уу °> и3ху °> е ld2P( л е lA/ ч

Ахх 2 ° °Ауу 2 °'4!Ву

При отсутствии пластической зоны Р+ с отличным от сгр полем напряжений условие сопряжения компонент сг^уу и а^ху не содержат неизвестного коэффициента /)п, представляющего в том же приближении границу пластической зоны [41]. Аналогичным свойством обладают и получившиеся условия сопряжения, а также условия сопряжения в дальнейших приближениях.

Однако процедура построения очередного приближения, применяемая при отсутствии зоны Р+ (используются условия сопряжения компонент а^уу и сг^ху для нахождения из упругой задачи поля сг£, а затем условие сопряжения компоненты аепхх — для нахождения коэффициента рп), в рассматриваемом случае нуждается в дополнении.

Условия сопряжения при наличии зоны вообще говоря, содержат параметры, описывающие поле напряжений в этой зоне и положение границ зон Р и Р+. Эти величины могут неполностью определяться предыдущими приближениями. Чтобы найти их значения, следует использовать условия допустимости (отсутствие выхода за поверхность текучести) напряжений в упругой зоне. Это условие гарантирует единственность решения плоской УПЗ и поэтому позволяет определить значения всех свободных параметров.

В § 2.8. найден первый неизвестный член в разложении поля напряжений в упругой зоне. Он определяется решением сг^ж, у) упругой задачи во внешности контура Lq = lTo, у = 0 со следующими краевыми условиями: на всем контуре Lq должно выполняться условие отсутствия нагрузки, а также должны выполняться первые из краевых условий на бесконечности.

Далее доказывается утверждение. Утверждение. Если у) — решение ЗС в упругой зоне со стандартным полем ар при значении т параметра нагружения, то дает(х, у) ае2(х, у) дт т=то

Коэффициент р2(х) в представлении кривой Le находится из условия сопряжения для <т2хх р2(х) = рс2(х) = -а2хх(х, 0) • (^^{х, 0)) \ где р\{х) — первый член разложения в представлении у = рс£(х) = £2рс2 + £4рс4 + . контура сопряжения /го(ц-£2) решения ЗС.

Найденное уравнение кривой Ь£ позволяет найти в первом приближении и уравнение оставшегося участка границы зоны Ре характеристики Ь£. В соответствии с оценкой размер зоны Р в направлении х (расстояние между общими точками кривой Ь£ и характеристикой Ье) имеет порядок £.

Далее показано, что это возможно лишь при

Г2 = Ж0) =-aUO, 0) • О))"1.

Условия сопряжения не исчерпывают произвол в определении величин р2. Aq и s£. Для их нахождения необходимо использовать условие допустимости напряжений. Поле напряжений а£(х, у) близко к решению ЗС. Поэтому условие допустимости напряжений может нарушаться лишь в окрестности той области, где выходит за поверхность текучести решение ЗС, т.е. вблизи точки х = 0, у = 0.

В § 2.9. рассмотрено условие допустимости

F(a'e(x, у)) = 0 как уравнение относительно у при фиксированном ж. Кривые у(х), соответствующие корням этого уравнения, определяют область, в которой напряжения выходят за поверхность текучести F((T%(x, у)) > 0. Одним из корней является yi = £2р2. Показано, что в случае, когда х не принадлежит малой окрестности нуля, этот корень единственный. При значениях ж, близких к нулю, вторым корнем является

У2 = -£2 (a-1 (b! ^ + 62) + р+ ).

Условие допустимости напряжений в зоне Ее означает, что с ней не пересекается область, в которой F(cr£(x, у)) > 0. Это эквивалентно условию У2 ^ у 1, т.е. неравенству

В § 2.10. доказано, что если выполнено условие допустимости напряжений в зоне Ее, то имеет место равенство

А„ = ^(0, 0).

Из условий сопряжения для сг| и краевых условий следует, что сг| = 0 и на границе Le выполнено рз = 0.

Кривая определена из соотношения для сг^хх: iH-м-• где М = А'0- 1V = 2^(0, 0) + A,J„r., + г2. Кроме того, из этого соотношения вытекает, что гз = 0.

В качестве примера на рис. 2.1 показаны результаты расчетов границ пластической зоны — графики функций у = £2р2(х) (соответствующий кривой Le), у = £2р2 + £гр% (соответствующий кривой Le), у = £2р2{х) (соответствующий кривой Lg), а также показан график функции у = £2р2(х) — второй корень уравнения F(cr£(x, у)) = 0. Расчеты произведены для значений ро = 1,5, </о = \/2 + 0,5, £2 = 103.

Кривая Ь£ в первом приближении совпадает с эллипсом —контуром сопряжения в решении ЗС при г = го(1 + £2). Полная пластическая зона рассматриваемого решения УПЗ в первом приближении получается добавлением к «пластической» зоне решения ЗС части плоскости, внешней

2 + , границей которой является кривая у = £ р21

Отметим, что независимо от значении ро и qo развитие пластической зоны Р{t начинается из точки, которая лежит на контуре сопряжения /то, соответствующем критической нагрузке, и расположенной на луче, образующем угол | с направлением оси х. Развитие таких же зон начинается и из точек, симметричных указанной относительно осей х и у.

В § 2.11. определено поле напряжений в зоне Р* в первых двух приближениях.

В третьей главе рассмотрена задача об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием.

В § 3.1. содержится постановка задачи об антиплоской деформации призматического бруса, ослабленного цилиндрической полостью и подверженного на бесконечном удалении от нее сдвигу касательными усилиями Too, параллельными оси г цилиндра (усилия постоянны по длине бруса и произвольно изменяются по контуру поперечного сечения).

Приведены уравнения статики и кинематики для этой задачи, получающиеся из соответствующих уравнений теории кручения. Приведена постановка задачи в упругой зоне с использованием функции напряжений, а также в пластической зоне.

В § 3.2. приведено известное аналитическое решение задачи об антиплоской деформации, дано решение упругой задачи. Далее содержится постановка и решение упругопластической задачи.

В § 3.3. рассмотрена граница пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства. Показано, что граница пластической зоны касается контура отверстия в точке подхода к нему. Найден горизонтальный диаметр пластической зоны.

В § 3.4. получено асимптотическое представление точного, но сложного решения для границы пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства при нагрузке Too = + е2), е2 С 1, к и где t^q = 2 — нагрузка, при которой происходит первое достижение предела текучести.

Показано, что асимптотическое представление границы пластической зоны совпадает с первым приближением при построении приближенного решения методом малого параметра, которое получено в § 3.5.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе:

В некоторых случаях обнаружен выход напряжений за поверхность текучести при стандартном подходе к решению плоской упругопластической задачи; введено связанное с этим понятие критической нагрузки; найдена критическая нагрузка для задачи Галина; обнаружена связь выхода напряжений за поверхность текучести и касания характеристики с контуром сопряжения.

Предложена структура, пластической зоны в случае закритической нагрузки.

Предложена модификация метода малого параметра, предназначенная для решения упругопластической задачи при закритической нагрузке (мало отличающейся от критической).

Этим методом решена, задача о пластической зоне вблизи отверстия при закритической нагрузке.

В качестве примера рассмотрено решение задачи о двухосном на-гружении плоскости с круговым отверстием — для закритической нагрузки, когда известное решение Галина выходит за поверхность текучести в «упругой» зоне. Получено поле напряжений и граница пластической зоны (два приближения).

Подробно рассмотрена форма границы пластической зоны и найден ее горизонтальный диаметр в задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием. Показано, что граница пластической зоны касается контура отверстия в точке их встречи.

Для точного, но сложного решения для границы пластической зоны в задаче об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием получено асимптотическое представление при наличии малого параметра. Методом малого параметра построено решение задачи об антиплоской деформации пространства с цилиндрическим отверстием. Сравнение этого решения с точным подтверждает хорошую работу метода малого параметра в случае, когда пластическая зона не охватывает контур отверстия полностью.

1. Аннин Б. Д. Вариационные постановки упруго-пластических задач. Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1979. Вып. 39, с. 9-22.

2. Аннин Б. Д. Двумерные упругопластические задачи. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1968.

3. Аннин Б. Д. Одна плоская упруго-пластическая задача при экспоненциальном условии текучести // Инж. журн. МТТ, 1966. №3, с. 122-123.

4. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. — Новосибирск: Наука (Сибирское отд.), 1983. — 238 с.

5. Аннин Б. Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости с отверстиями // Докл. АН СССР, 1969. Т. 184. №2, с. 315-317.

6. G. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел — М.: Наука, 1980. — 225 с.

7. Баничук Н. В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отверстий в упругих телах // ПММ, 1977. Т. 41. Вып. 5, с. 920-925.

8. Беляев Н.М., Синицкий А. К. Напряжения и деформации в толстостенных цилиндрах при упруго-пластическом состоянии материала // Изв. АН СССР. ОТН, 1938. №2, с. 3-54.

9. Беляев Н. М., Синицкий А. К. Напряжения и деформации в толстостенных цилиндрах при упруго-пластическом состоянии материала с учетом упрочнения // Изв. АН СССР. ОТН, 1938. №4, с. 21-49.

10. Беляев Н.М., Синицкий А. К. Напряжения и деформации в толстостенных цилиндрах с предварительным натяжением (с учетом упруго-пластического состояния и упрочнения материала) // Изв. АН СССР. ОТН, 1938. №6, с. 45-58.

11. И. Быковцев Г. И., Цветков Ю. Д. Двумерная задача нагружения упруго-пластической плоскости, ослабленной отверстием // ПММ, 1987. Т. 51. Вып. 2, с. 314-322.

12. Вигдергауз С. Б. Интегральное уравнение обратной задачи плоской теории упругости // ПММ, 1976. Т. 40. Вып. 3, с. 566-569.

13. Вигдергауз С. Б. Об одном случае обратной задачи двумерной теории упругости // ПММ, 1977. Т. 41. Вып. 5, с. 902-908.

14. Галин Л. А. Аналогия для плоской упруго-пластической задачи // ПММ, 1948. Т. 12. Вып. 6, с. 757-760.

15. Галин Л. А. О давлении твердого тела на пластинку // ПММ, 1948. Т. 12. Вып. 3.

16. Галин Л. А. Пластические области у круговых отверстий в пластинах и балках. В кн.: Упруго-пластические задачи. Сб. статей под ред. Л.А.Галина. — М.: Наука, 1984. — с. 116-134.

17. Галин Л. А. Плоская упруго-пластическая задача // ПММ, 1946. Т. 10. Вып. 3, с. 367-386.

18. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. — М.: Наука, 1984. — 232 с.

19. Галин Л. А. Упруго-пластическое кручение призматических стержней полигонального сечения // ПММ, 1944. Т. 8. Вып. 4, с. 307-322.

20. Галин Л. А. Упруго-пластическое кручение призматических стержней // ПММ, 1949. Т. 13. Вып. 3, с. 285-296.

21. Галин Л. А., Черепанов Г. П. О напряженном состоянии вблизи отверстия в пластинках из полимерных материалов // Докл. АН СССР, 1966. Т. 167. №1, с. 55-58.

22. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

23. Григорьев П. А., Каменярж Я. А., Якушева Е. В. Безопасные нагрузки при растяжении полосы и плоскости с отверстиями // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика, 1990. №3, с. 46-51.

24. Джанелидзе Г. Ю. Концентрация напряжений на краю кругового отверстия в равномерно напряженном поле при пластической деформации. Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1947. №3, с. 62-72.

25. Друянов Б. А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу //Изв. АН СССР. ОТН, 1960. №6.

26. Друянов Б. А. Вдавливание штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АН СССР. ОТН, 1959. №3.

27. Дуров В. В., Ивлев Д. Д. О вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с упрочнением // ПММ, 1972. Т. 36. Вып. 3.

28. Ершов Л. В. Упругопластическое состояние конической и искривленных труб // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика, 1958. №3.

29. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое напряженное состояние полого толстостенного тора, находящегося под действием внутреннего давления // Изв. АН СССР. ОТН, 1957. №7.

30. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д: Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв. АН СССР. ОТН, 1957. №9.

31. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика, 1957. №2.

32. Жуков А. М. К вопросу о возникновении шейки в образце при растяжении // Инж. сборник, 1949. Т. 5. №2.

33. Ивлев Д. Д. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую среду // Изв. АН СССР. ОТН, 1957. №10.

34. Ивлев Д. Д. Выпучивание эксцентричной трубы // Изв. АН СССР. ОТН, 1956. №10.

35. Ивлев Д. Д. О вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство // Прикл. матем. и техн. физика, 1960. №4.

36. Ивлев Д. Д. Об определении поверхности выпучившегося материала при вдавливании тонкого лезвия в пластическое полупространство // ПММ, 1961. Т. 25. Вып. 2.

37. Ивлев Д. Д. Определение перемещений в плоской упруго-пластической задаче. В кн.: Упруго-пластические задачи. Сб. статей под ред. Л.А.Галина. — М.: Наука, 1984. — с. 166-169.

38. Ивлев Д. Д. Приближенное решение задач определения упруго-пластического состояния тел методом малого параметра. Дисс. . канд. физ-мат. наук. МГУ, мехмат. Москва, 1956.

39. Ивлев Д. Д. Приближенное решение методом малого параметра плоских упруго-пластических задач. В кн.: Упруго-пластические задачи. Сб. статей под ред. Л.А.Галина. — М.: Наука, 1984. — с. 156-166.

40. Ивлев Д. Д. Приближенное решение плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности // Вестник МГУ, 1957. №5.

41. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопласти-ческого тела. — М.: Наука, 1978. — 208 с.

42. Ильюшин А. А. Деформация вязко-пластического тела // Уч. записки МГУ, 1940. Вып. 39.

43. Ильюшин А. А. Пластичность. — M.-JL: ГИТТЛ, 1948.

44. Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // ПММ, 1943. Т. 7. Вып. 3.

45. Каменярж Я. А., Якушева Е. В. О развитии пластической зоны вблизи отверстия // ПММ, 1993. Т. 57. Вып. 1, с. 157-171.

46. Каминский А. А. Концентрация напряжений возле свободных и подкрепленных криволинейных отверстий со случайными неровностями // Прикладная механика, 1970. Т. 6. Вып. 9.

47. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. — 324 с.

48. Качанов Л. М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра // ПММ, 1948. Т. 12. Вып. 4.

49. Качанов Л.М. Ползучесть овальных и равностенных труб // Изв. АН СССР. ОТН, 1956. №9.

50. Керчман В. И., Эрлихман Ф. М. Вариационный метод решения упру-гопластических задач для тела с круговым отверстием // ПММ, 1988. Т. 52. Вып. 1, с. 126-132.

51. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. —М.: Изд-во МГУ, 1979. — 206 с.

52. Кончакова Н.А. Анализ перемещений и напряжений в окрестности упругопластической границы в задаче Галина // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, Механика, 2004. №2, с. 44-51.

53. Космодамианский А. С. Упруго-пластическая задача для изотропного массива, ослабленного бесконечным рядом одинаковых круговых выработок // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961. №4, (■. 187-188.

54. Костров Б. В., Никитин Л. В. Трещина продольного сдвига с бесконечно узкой пластической зоной // ПММ, 1967. Т. 32. Вып. 2, с. 334-336.

55. Костюк А. К. Некоторые вопросы ползучести турбинных дисков. Дисс. . канд. техн. наук, МЭИ. Москва, 1951.

56. Кузнецов А. И. Плоская деформация неоднородных пластических тел // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. Матем., механика и астрономия, 1958. ШЗ. Вып. 3, с. 112-131.

57. Кузнецов В. В. Концентрация напряжений вблизи эллиптического отверстия упругопластического тела // Прикладная механика, 1972. №5.

58. Кузнецов В. В. Об определении деформированного состояния упруго-пластической толстой плиты с эллиптическим отверстием // Прикладная механика, 1973. Т. 9. №9.

59. Куршин Л.М., Суздальницкий И. Д. Упругопластическая задача для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий // ПММ, 1968. Т. 32. Вып. 3, с. 463-467.

60. Кучер В. А., Пупырев В. А. Интегральные уравнения задачи Сен-Венана и задачи об антиплоской деформации // ПММ, 2002. №3, с. 465.

61. Мак-Клинток Ф. Неустойчивость разрушения при сдвиге. — Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. периодич. лит-ры, 1959. №6, с. 119-134.

62. Машуков В. И. О пластических и упругих напряжениях в плоскости с отверстием. Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1970. Вып. 6, с. 168-182.

63. Мирсалимов В. М. Некоторые упруго-пластические задачи для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий // Журн. прикл. мех. и техн. физики, 1974. №4, с. 133-138.

64. Мирсалимов В. М. Некоторые упруго-пластические задачи для плоскости, ослабленной периодической системой круглых отверстий // ПММ, 1976. Т. 40. Вып. 1, с. 152-158.

65. Мирсалимов В. М. О решениях упруго-пластических задач для плоскости с однопериодической системой круговых отверстий // Докл. АН Аз С CP, 1973. Т. 29. №5, с. 11-15.

66. Мирсалимов В. М. Решение упруго-пластических задач для плоскости с круговым отверстием при наличии неравномерного температурного поля // Докл. АН АзССР, 1973. Т. 29. №10, с. 7-11.

67. Михайлов С. Е. Решение задач об антиплоской деформации упругих тел с угловыми точками методом интегральных уравнений // ПММ, 1983. Т. 47. Вып. 6, с. 981-987.

68. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966.

69. Опанасович В. К. О двух подходах к исследованию антиплоской деформации изотропного массива с тонким упругим включением // ПММ, 1988. Ш, с. 116.

70. Остросаблин Н.И. Об одной упруго-пластической задаче // Физ.-техн. пробл. разраб. полезп. ископаемых, 1969. №4, с. 118-121.

71. Остросаблин Н. И. Определение смещений в задаче Л.А.Галина. Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1973. Вып. 14, с. 67-70.

72. Остросаблин Н. И. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий. — Новосибирск: Наука, 1984. — ИЗ с.

73. Пальмов В. А. Упругая плоскость с отверстием случайной формы. В кн.: Труды Лениградского политехнич. ин-та, 1964. №235.

74. Парасюк О. С. Упругопластическая задача с небигармоническим пластическим состоянием // Докл. АН СССР, 1948. Т. 63. №4, с. 367-370.

75. Перлин П. И. Приближенный метод решения упруго-пластических задач // Инж. сборник, 1960. Т. 28, с. 145-150.

76. Перлин П. И. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстия. В кн.: Исследования по механике и прикладной математике. М.: Оборонгиз, 1960. — с. 30-40 (Труды МФТИ. Вып. 5).

77. Перлин П. И. Решение плоских упруго-пластических задач для двухсвязных областей // Инж. журн, 1961. Т. 1. Вып. 4, с. 68-76.

78. Рева Т. Л. О бигармонических решениях задач для упругопластиче-ских тел // Прикл. механика, 1971. Т. 7. №4, с. 130-133.

79. Савин Г. М. Распределение напряжений около отверстий. — Киев: Наукова думка, 1968. — 887 с.

80. Сажин В. С. Упруго-пластическая задача для бесконечной плоскости с квадратным отверстием // Прикл. механика, 1965. Т. 1. №11, с. 134-137.

81. Сажин В. С. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстия, близкого к ква.драту // Инж. журн, 1964. Т. 4. Вып. 2, с. 364-368.

82. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2 томах. — М.: Наука, 1983.

83. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1963. №1.

84. Соколов А. П. Об упруго-пластическом состоянии пластинки //Докл. АН СССР, 1948. Т. 10. №1.

85. Соколовский В. В. Некоторые задачи теории пластичности со степенным упрочнением материала // ЯММ, 1949. Т. 13. Вып. 6, с. 655-658.

86. Соколовский В. В. Об одной задаче упругопластического кручения // ЯММ, 1942. Т. 6. Вып. 2-3, с. 241-246.

87. Соколовский В. В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической .массы между жесткими стенками // ПММ, 1950. Т. 14. Вып. 1, с. 75-92.

88. Соколовский В. В. Плоское равновесие пластического клина // ЯММ, 1950. Т. 14. Вып. 4, с. 391-404.

89. Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа, 1969.

90. Соколовский В. В. Упругопластическое равновесие цилиндрической трубы при наличии упрочнения материала // ЯММ, 1943. Т. 7. Вып. 4, с. 273-292.

91. Толоконников Л. А., Яковлев Г. П., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикл. механика, 1969. Т. 5. №8.

92. Тунгускова 3. Г. Концентрация напряжений вблизи отверстия с периодическими неровностям // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика, 1970. №4, с. 127-133.

93. Фомин В. Л. Упруго-пластическое равновесие неравномерно обогреваемой трубы под действием внутреннего давления // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1960. №3.

94. Фомин В. Л. Упруго-пластическое равновесие плоскости с круговым вырезом при наличии стационарного температурного поля // Уч. записки, Ленингр. ун-та. Механика, 1960. №280. Вып. 35, с. 132-135.

95. Хальт Я. Экспериментальное изучение распространения усталой трещины при кручении. — Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. периодич. лит-ры., 1959. №6, с. 81-110.

96. Хальт Я., Мак-Клинток Ф. Упруго-пластическое распределение напряжений и деформаций вокруг острой выточки при повторном сдвиге. — Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. периодич. лит-ры, 1959. №6, с. 111-117.

97. Хуторянский Н. М. Некоторые обратные и оптимизационные плоские задачи теории упругости. В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. — Горький, 1977. Вып. 6, с. 81-87.

98. Черепанов Г. П. К решению некоторых задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей // ПММ, 1964. Т. 28. Вып. 1, с. 141-145.

99. Черепанов Г. П. К решению статически неопределимых упруго-пластических задач в условиях сложного сдвига // Инж. журн, 1965. №6, с. 1126-1127.

100. Черепанов Г. П. Об одном классе точных решений плоской УПЗ // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963. №3, с. 95-103.

101. Черепанов Г. П. Об одном методе решения упруго-пластических задач // ПММ, 1963. Т. 27. Вып. 3, с. 428-435.

102. Черепанов Г. П. Обратные задачи плоской теории упругости // ПММ, 1974. Т. 38. Вып. 6, с. 963-979.

103. Черепанов Г. П. Обратная упруго-пластическая задача в условиях плоской деформации // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. Ш, с. 57-60.

104. Черепанов Г. П. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с неизвестной границей. В кн.: Приложения теории функций в механике сплошной среды. Т. 1. — М.: Наука, 1965. — с. 135-150.

105. Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача в условиях антиплоской деформации // ПММ, 1962. Т. 26. Вып. 4, с. 697-708.

106. Шейнин В. И. Распределение напряжений в окрестности горных выработок с учетом неровностей контура // Основания, фундаменты и механика грунтов, 1965. N§4.

107. Шейнин В. И., Фотиева Н.Н. Влияние неровностей контура выработки на напряженное состояние обделки напорного гидротехнического тоннеля // Инж. журнал, 1967. №4.

108. Шемякин Е. И. Напряженно-деформированное состояние в вершине разреза при антиплоской деформации горных пород // Физико-технич. ■пробл. разработки полезных •ископаемых, 1973. N21, с. 3-8.

109. Шемякин Е. И. Напряженно-деформированное состояние в вершине разреза при антиплоской деформации упругопластического тела // ПММ, 1974. №2, с. 110-116.

110. Эль-Карамани А. М. Концентрация напряжений вокруг кругового отверстия в упруго-пластической среде при воздействии температурного поля и всестороннего растяжения // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика, 1972. №4, с. 91-97.

111. ИЗ. Эрлихман Ф. М. Две постановки одной упругопластической задачи // ПММ, 1989. №6, с. 1041.

112. Эрлихман Ф. М. О плоской упругопластической задаче // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1970. Вып. 6, с. 69-75.

113. Эрлихман Ф. М., Машуков В. И. О поведении решения в окрестности упругопластической границы в случае плоской деформации // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1970. Вып. 4, с. 120-130.

114. Якушева Е. В. Метод малого параметра в некоторых плоских упру-гопластических задачах. В кн.: Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 18-28 апреля 2006 г., Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, с. 155-156.

115. Савш Г. М., Парасюк О. С. Пружно-пластичш задач1 з б1гармоничним пластичним станом // Доповгдг АН УССР, 1947. №4, с. 53-56.

116. Cimatti G. Elastoplastic deformation in multiply-connected domains // Mechanics 1975. V. 10. No 2, p. 87-92.

117. Erdogan F. Elasto-plastic anti-plain problems for bounded dissimilar media containing cracks and cavities. — Intern. J. Solids and Structures, 1966. V. 2. No 3, p. 447-465.

118. Field F. A. Yielding in a cracked plate under longitudinal shear. — Trans. ASME. Ser. E, 1963. V. 30. No 4. (Пер.: Прикладн. механика. Тр. Амер. о-ва инж.-механиков. М.: Мир, 1963. Сер. Е. Т. 30. №4, с. 162-163).

119. Hill R., Lee Е. Н., Tupper S.J. The theory of combined plastic and elastic deformation with particular reference to a thick tube under internal pressure. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A, 1947. No 1026. Nov. 18, 1947.

120. Nadai A. Theory of flow and fracture at holids. — N.Y., 1950.

121. Onat E., Prager W. The necking of tension specimen in plane plastic flow. Русский перевод в Сб. переводов «Механика», 1955. №4.

122. Рапс V. Theory of elasto-plastic stress state for shear-strained prismati-cal holids with symmetrical sharp notches. — Acta technica, 1965. V. 10. No 3.

123. Rice J. R. Contained plastic deformation near cracks and notches under longitudial shear. — Intern. J. Fracture Mech., 1966. V. 2. No 2.

124. Rice J. R. Plastic yielding near a crack lip. — Proc. 1-st Intern. Conf. on Fracture. Sendai. Japan, 1965.

125. Trefftz Е. Uber die Wirkung einer Abrundung auf die Torsionspannungen in den inneren Eckelines Winkeleisens. Z. angew. Math, and Mech., 1922. Bd. 2. No 4.

126. Trefftz E. Uber die Spannungsverteilung in tordierten Staben bei teil-weiser Ubershreitung der Fliessgrenze. Z. angew. Math, and Mech., 1925. Bd. 5. No 1, s. 64-73.