Численно-аналитическое решение на ЭВМ плоских задач теории наложения больших вязкоупругих и упругих деформаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

' ' > I

•I • ч >• г

/ I .; ' > ° -

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи ЗИНГЕРМАН Константин Моисеевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НА ЭВМ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ВЯЗКОУПРУГИХ И УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 1992

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Тверского государственного университета.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор КОРНЕЕВ А.И.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

доцент ЛЕВИН В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор БОНДАРЬ В.Д. доктор технических наук,

профессор ХУТОРЯНСКИЙ Н.М.

Ведущее научное учреждение - Институт проблем механики

заседании-специализированного согета К 063.77.Ю при Нижегородском ордена Трудового Красного' Знамени государственном университете им. Н.И.Лобачевского ( боэбоо, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корп. 6 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета. Автореферат ръъсслм Ученый секретарь специализированного совета.

( г. Москва )

Защита состоится " I « й<о/\Я 1992 г. в 1С часов на

доцент

К

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- "¡S

;_ссртг.миД

Актуальность темы. В последние годы возрос интерес к исследованиям по нелинейной теории упругости и гязкоупругости. Этот интерес объясняется возможностью приложения данной теории к расчетам напряженно-деформированного состояния в телах из материалов, способных к большим деформациям. В рамках нелинейной упругости и вязкоупругости представляют интерес задачи о поэтапном нагрукении тел при больших деформациях. Постановки и решения этих задач могут быть получены на основе разработанной Г.О. Тарасьевым, В.А.Левиным теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. В связи с этим представляются актуальными постановка задач нового класса о наложении больших деформаций, в частности, ранее не исследованных задач о концентрации напряжений, в которых новые концентраторы напряжений возникают в теле с уже имеющимися большими деформациями, и разработка программ для ЭВМ, реализующих алгоритмы решения этих задач.

Целью данной работы является получение постановок новых плоских задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций, разработка алгоритмов их решения и реализующего эти алгоритмы программного обеспечения, составной частью которого являются специализированные системы аналитических вычислений.

Методика исследования. Постановки краевых задач получены на основе теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. При решении задач использовались метод малого параметра, метод Ньютона-Канторовича, метод Колосова-Мусхелишвили. При решении задач вязкоупругости применялось преобразование Лапласа.

Научная новизна работы заключается в разработке специализированных систем аналитических вычислений на ЭВМ, предназначенных для решения класса плоских нелинейных задач о концентрации напряжений в телах из упругого или вязкоупругого материала с несколькими круговыми отверстиями или одним некруговым отверстием, и решении с использованием этих систем ряда новых задач, в которых новые концентраторы напряжений

образуются в теле с уже накопленными большими деформациями, вызывая возникновение дополнительных больших ( по крайней мере в окрестности вновь образованных полостей ) напряжений и деформаций, которые накладываются на начальные.

Теоретическая значимость и практическая ценность работы состоит в том, что:

1) решен ряд задач нового класса о концентрации напряжений в телах с большими начальными деформациями ( задачи о последовательном или одновременном образовании двух или трех круговых отверстий; задача об образовании эллиптического отверстия >;

2) разработана методика решения плоских задач о концентрации напряжений при больших деформациях с использованием специализированных систем аналитических вычислений на ЭВМ;

3) разработан комплекс программ для решения на ЭВМ класса задач о наложении больших упругих и вязкоупругих деформаций;

4) на основе результатов расчетов получены некоторые оценки области применимости использованных в ' работе алгоритмов;

5) полученные результаты могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния в окрестности трещин при больших деформациях.

На защиту выносятся;

1. Постановки плоских задач о концентрации напряжений около отверстий, образованных одновременно или последовательно в предварительно нагруженных телах из упругого или вязкоупругого материала при конечных деформациях.

2. Алгоритмы решения нелинейных плоских задач о концентрации напряжений, реализованные при разработке специализированных систем аналитических вычислений на ЭВМ.

3. Результаты решения задач о концентрации напряжений указанного класса.

Основные результаты работы докладывались: " на заседании Сибирской школы по современным проблемам механики деформируемого твердого тела в Новосибирске в 1988 г.; на v научно-технической конференции "Метода расчета изделий из

высокоэластичных материалов" в Риге в 1989 г. ; на III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости в Сыктывкаре в 1989 г. ; на II научно-технической конференции молодых ученых и специалистов Тверского политехнического института в Твери в 1991 г.; на XII Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" в Твери в 1991 г.; на семинарах кафедры вычислительной математики Тверского госуниверситета в 1988 и 1991 годах; на семинаре по механике сплошной среды им. Л.А.Галина (Москва, Ш1М АН СССР) в 1991 г.

По теме диссертации опубликовано 6 научных работ.

Материалы диссертации изложены на 161 странице машинописного текста. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и 4 приложений, в которых подробно рассмотрены некоторые специальные вопросы, а также вынесено большинство численных результатов.

Основные обозначения, используемые в работе;

Ип - радиус-вектор частицы тела в "п"-ом состоянии ;

ип - вектор перемещений при переходе частицы из "п-1"-го в "п"-ое состояние;

Фтп - аффинор деформаций при переходе частицы из "ш"-го в "п"-ое состояние ;

Е* п - тензор деформаций при переходе частицы из "т"-го в "п"-о9 состояние, отнесенный к базису "1с"-го состояния ;

Дтп - относительное изменение элементарного объема при переходе частицы из "ш"- го в "п"-ое состояние ;

топ - тензор истинных напряжений, накопленных частицей при переходе из начального в "п"- ое состояние;

= (1+А„ ) Ф* ■ т • <& - тензор

О , п х О.п к,п О.п к,п г

обобщенных напряжений, накопленных частицей при переходе из начального в "п"-ое состояние, отнесенный к базису "к"-го состояния ;

Гк - граница тела в "к"-ом состоянии; - нормаль к Гк.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации и изложено ее содержание.

Основные положения нелинейной упругости и вязкоупругости сформулированы в работах Дзк.Адкинса, А.Грина, А.А.Ильюшина, А.И.Лурье, В.В.Новожилова, Л.И.Седова, Л.А.Толоконникова, К.Трусделла. Применение аналитических методов к решению плоских задач о концентрации напряжений в нелинейной постановке рассмотрено В.Д.Бондарем, А.Н.Гузем, Ю.М.Койфманом, А.С.Космодамианским, Н.Ф.Морозовым, Дж.Райсом, Г.Н.Савиным, Г.С.Тарасьевым, Л.А.Толоконниковым, А.Г.Угодчиковым, И.А.Цурпалом, Г.П.Черепановым, К.Ф.Черныхом. В частности, задачи о концентрации напряжений в бесконечно протяженном теле с двумя круговыми отверстиями с учетом физической нелинейности рассмотрены И.А.Цурпалом. В физически и геометрически нелинейной постановке ( без учета наложения деформаций ) эти задачи рассмотрены С.М.Клойзнером, Ю.И.Койфманом, А.С.Космодамианским. В работах этих авторов был использован метод малого параметра ( с учетом эффектов второго порядка ), а решение линеаризованной задачи осуществлялось методом Колосова-Мусхелишвили. В.Д.Бондарем предложено использовать для решения плоских задач нелинейной упругости метод Ныотона-КаНторовича.

Определяющие соотношения для вязкоупругих материалов, постановки нелинейных задач вязкоупругости и общие метода их решения рассмотрены в работах Н.Х.Арутюняна, М.А.Колтунова, Ю.Н.Работнова, А.Р.Ржаницына и других. В работах А.А.Ильюшина, Б.Е.Иобедри рассмотрено применение метода последовательных приближений к задачам вязкоупругости.

В первой главе приведены основные соотношения и постановки задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. В первом параграфе этой павы кратко изложена кинематика деформаций в случае многократного наложения больших деформаций. В этом случае различают несколько состояний, в которые поочередно переходит тело под действием последовательно прикладываемых к нему внешних ¿ил,

при удалении части или частей тела или вследствие происходящих в его материале вязкоупругих процессов. Приведены определения векторов перемещений, 8ффиноров деформаций и тензоров деформаций, описывающих накопление деформаций при переходе тела из одного состояния в другое в пространствах различных состояний, а также соотношения, связывающие указанные величины. Гак, аффинор деформаций может быть выражен через векторы перемещений следующим образом:

= I + Е <7и

= (г -

Представление тензора деформаций Е* деформаций имеет вид:

В

= % ( ® I.". 2 I к.»

с

-ф/ 1 к , т к,т )

(1)

через аффиноры (2)

Записаны некоторые частные случаи этих соотношений, используемые в работе при решении задач. Отмечается, что в выражении тензора деформаций при переходе частицы из одного состояния в другое в базисе некоторого более позднего состояния присутствуют градиенты векторов перемещений в это (более позднее) состояние. Например, выражение для тензора деформаций Е* 1 имеет вид: .

= ?( К+ м - 5«г- ^ -

9 9 9 9 Я 9 9 9 .

+ 7и4* и2У - Уи^- - Ти4- иа7 - J (3)

Во втором параграфе приведены определяющие соотношения, в основном используемые в работе. Это законы состояния, соответствующие потенциалу Мурнагана и сформулированные в базисе начального состояния или в базисе текущего состояния; законы состояния для упругого несжимаемого материала, соответствующие потенциалам Муни и Черныха и описывающие поведение высокоэластичных резиноподобных материалов; закон состояния для несжимаемого вязкоупругого материала, записанный в виде интегральных соотношений типа свертки по времени со слабосингулярным ядром. Последние соотношения были апробированы в работах Н.Х.Арутюняна и его сотрудников и могут

быть использованы для описания механического поведения некоторых полимерных материалов.

В третьем параграф первой главы приведена запись уравнений равновесия и граничных условий в пространствах различных состояний. Например, уравнения равновесия и граничные условия для "п"-го состояния, записанные в координатах "ки-го состояния, в случае отсутствия объемных сил и свободной от нагрузок граничной поверхности имеют вид:

V-1 —--£ 1 + —— ^ : • Ф„ " =о (4)

К

В четвертом параграфе изложены постановки краевых задач наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. Подробно описаны механические постановки задач об образовании одной или нескольких полостей в предварительно напряженном нелинейно-упругом или вязкоупругом теле, т.е. задач, в которых в процессе нагружения меняется связность области, занимаемой телом. Используется следующая модель -образования полости ( в которой механизм ее образования не учитывается ). Пусть в теле, находящемся в некотором состоянии, накоплены большие деформации"и напряжения. В области, занимаемой телом, мысленно намечается некоторая поверхность. Часть тела, ограниченная этой поверхностью, мысленно удаляется, а ее действие на оставшуюся часть заменяется по принципу освобоидаемости от связей силами, распределенными по данной поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически уменьшаются до нуля, что вызывает возникновение в оставшейся части тела дополнительных больших деформаций и напряжений, которые накладываются' на уже имеющиеся. Изменяется граница тела, и оно переходит в следующее состояние.

Форма полости при постановке задачи может Сыть задана как в момент ее образования, так и в любом последующем состоянии, в которое перейдет тело в процессе нагружения.

Образование полостей по приведенной выше схеме может

происходить, в соответствии с постановкой задачи, несколько раз. Начальное деформирование тела происходит обычно вследствие приложения к нему внешних нагрузок.

Далее рассматривается математическая пост-зновка задачи. Эта постановка представляет собой замкнутую систему уравнений, включающую уравнения равновесия, условие несжимаемости ( для несжимаемых материалов ), определяющие соотношения и зависимость между тензором деформаций ( или каким-либо тензором меры деформаций ) и градиентом вектора перемещений, с соответствующими граничными условиями. Все уравнения и граничные условия записываются в координатах того состояния, в котором задана граница вновь образуемой полости.

Во второй главе рассмотрена методика приближенного аналитического решения ( . в случае не малых деформаций ) плоских задач о концентрации напряжений в бесконечно протяженном предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала при образовании в нем отверстий. Методом малого параметра решение задачи сводится к последовательному решению ряда линеаризованных граничных задач, при решении которых используется метод Колосова-Мусхелишвили.

В первом параграфе-данной главы рассматривается решение упругих задач методом малого параметра. Характеристики напряженно-деформированного состояния представляются в виде рядов по степеням малого параметра q:

( О ) < 1 >

и = и + и + ... (6)

п г» п

(О) <1>

Т=Т+Т +... (7)

О , п о, г. о, п х '

< ^ > < 1 >

где ип , То пропорциональны qJ''1 = 0,1, ... ).

Каждое из соотношений, входящих в постановку задачи, записывается в приближениях с учетом этих представлений. Формулируется линеаризованная краевая задача для каждого приближения ( как для сжимаемых, так и для несжимаемых упругих г.атериалов ). В частности, для сжимаемого упругого материала линеаризованная задача для 3-го приближения имеет вид:

[< .1 > -I > ) >

Ч. ] = *„ <8)

< J >

= (9)

\ ]

< J >

= Т 00 (10)

где 1[и] = Я(7-и)1 + а(7и + да) (11)

Отмечается, что для нулевого приближения линеаризованная краевая задача в ряде случаев может совпадать с линейной задачей теории упругости. Для первого приближения приводятся соотношения, позволяющие определить' вид функций в правой части уравнений и граничных условий соответствующей линеаризованной задачи, если известны нулевое и первое приближения для предыдущего состояния и получено нулевое приближение для текущего состояния.

Во втором параграфе данной главы описывается применение метода комплексных переменных Колосова-Ыусхелиивили к решению линеаризованной плоской задачи. В частности, решение задачи (8)-(Ю) может быть представлено в виде:

тЪы) а* & ~ (Ь+оЩ'К +

+ Л [ *ШГ / ®«<в> о* - 2 фп(2) - I ®» ] (12)

«1 > < ]> где Рп - комплексные представления векторов ип ,

< i >

£п , соответственно ; << > >

Фп , Фп - комплексные потенциалы, определяемые из граничных условий.

Отмечается, что комплексные потенциалы при решении задачи для бесконечной области, ограниченной простым замкнутым контуром, могут быть найдены с помощью интегралов типа К^ши, если известна функция, осуществляющая конформное отображение

этой области на круг. Обсуждается применение рассмотренного подхода к приближенному решению линеаризованной задачи для многосвязных областей с использованием метода Шварца. Отмечается возможность применения специализированой системы аналитических вычислений на ЭВМ к решению линеаризованной задачи методом Колосова-Мусхелишвили и определяется набор аналитических операций, которые должна выполнять эта система.

В третьем параграфе второй главы рассматривается применение метода малого параметра к решению вязкоупругих задач. Приведена запись в приближениях опре делящих соотношений для рассматриваемого класса вязкоупругих задач. Рассмотрена формулировка линеаризованной краевой задачи для каждого приближения. Отмечается, что в результате применения к уравнениям и граничным условиям этой задачи преобразования Лапласа она сводится к задаче, аналогичной линеаризованной задаче теории упругости, причем коэффициенты этой задачи будут изображениями по Лапласу. Отмечается возможность сведения линеаризованной задачи для каждого приближения к решению конечного числа задач линеаризованной упругости с числовыми (а не функциональными) коэффициентами. При этом решение исходной линеаризованной задали для каждого приближения в изображениях представляется в виде линейной комбинации таких решений, коэффициентами которой будут заранее определенные изображения. Для случая нагружения тела в г этапа в предположении, что начальные деформации_ являются однородными и чисто упругими, приводятся выражения, позволяющие найти решение для нулевого и первого приближений.

В третьей главе рассмотрены вопросы автоматизации аналитических вычислений по формулам, приведенным во второй главе, с использованием ЭВМ. В механике сплошной среды нашли применение как универсальные, так и специализированные системы аналитических вычислений на ЭВМ. Отмечается, что для рассматриваемого в работе класса задач целесообразна разработка специализированных систем аналитических вычислений из соображений эффективности использования ресурсов ЭВМ, в частности, вследствие необходимости эффективной реализации некоторых специальных операций ( интеграл типа Коши,

преобразование Лапласа ). Специально для данного класса задач разработаны э программных модуля, предназначенные для выполнения аналитических вычислений на ЭВМ. Все эти модули реализованы в системе программирования Турбо-Паскаль.

В первом параграфе данной главы приведено описание модуля, реализующего над изображениями по Лапласу вида

Ив) = Е —~дГС~ • <1Э>

I « 1 8

где а. , а. (1 = 1.....М) - вещественные коэффициенты

(а> о), следующие операции: линейную комбинацию изображений, умножение изображений, нахождение изображения произведения оригиналов двух изображений, вычисление значения оригинала в заданный момент времени. Выведены формулы, позволяющие привести результаты аналитических операций над изображениями к указанному виду.

Во втором параграфе данной главы рассмотрен модуль, предназначенный для выполнения над функциями двух комплексных переменных и ъг вида

м к . £, = Е Мг.-с. ) (14)

следующих операций : линейной комбинации функций, умножения, дифференцирования, интегрирования, нахождения интеграла типа Коши, нахождения комплексно сопряженной функции, замены переменной, нахождения предела при стремлении аргументов к бесконечности и вычисления значения функции для заданных значений аргументов. Рассмотрены соотношения, позволяющие привести результаты указанных аналитических операций над функциями вида (14) к этому виду. Некоторые громоздкие преобразования ( вывод формулы, используемой при перемножении дробно-рациональных функций, и получение приближенного представления логарифмической функции, которая может появиться при выполнении операции интегрирования ) вынесены в Приложения №1 и №2, соответственно.

В третьем параграфе данной главы приведено описание модуля, реализующего следующие операции над тензорами второго ранга и векторами, компоненты которых являются функциями вида

(14): линейную комбинацию тензоров, умножение тензоров, нахождение сопряженного тензора, нахождение первого инварианта тензора, применение набла-оператора к тензору (со сверткой) и к вектору. Отмечена целесообразность использования комплексных компонент и приведена запись в комплексных компонентах результатов перечисленных операций.

В четвертой главе рассмотрено решение ряда конкретных плоских задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций. Результаты расчетов вынесены в Приложение № 4.

В первом параграфе этой главы приведено решение задач об образовании отверстий в нелинейно-упругом теле. Дано описание укрупненного алгоритма решения задач для случая как одновременного, так и неодновременного образования отверстий в предварительно нагруженном упругом теле. Приведены результаты решения задач об одновременном образовании двух или трех круговых ( в момент образования ) отверстий; задачи о последовательном образовании двух круговых ( в момент образования ) отверстий в предварительно всесторонне нагруженном теле; задачи об образовании одного, а затем еще двух отверстий в предварительно всесторонне нагруженном теле, а также задачи об • образовании эллиптического отверстия в предварительно нагруженном теле. Задачи рассмотрены как для сжимаемого упругого материала тела, так и для несжимаемого материала. В частности, для несжимаемого упругого материала, механические свойства которого описываются потенциалом Черныха ( р = 1.43 ) приведены результаты решения задачи о последовательном образовании двух круговых в момент образования отверстий в бесконечно протяжеы.ом предварительно всесторонне нагруженном ( р/ц = о.6 ) теле ( радиусы отверстий в момент их образования: ^ = 2, Иг = 1 ; расстояние между центрами в момент образования первого отверстия а = 4 ). Распределение истинных напряжений вдоль прямой, соединяющей центры отверстий, показрчо на рис. 1 ( пунктирные линии соответствуют решению линеаризованной задачи ). Для сравнения рассмотрена задача об одновременном образовании двух круговых в момент образования отверстий для тех же значений параметров ( результаты приведены на рис. 2 ). Дана оценка поправки от

ршп

л

Рис. 2.

учета нелинейных эффектов для материалов и нагрузок, используемых в работе.

Для задачи об образовании одного кругового отверстия в предварительно нагруженном теле из материала типа Трелоара получено решение методом Ньютона-Канторовича и проведено сравнение с результатами решения этой же задачи методом малого параметра при различных начальных нагрузках.

Во втором параграфе четвертой главы рассмотрено решение задач об образовании отверстий в теле из вязкоупругого несжимаемого материала. Приведены выражения для изображений по Лапласу, используемых при нахождении решения для нулевого и первого приближений. Некоторые вопросы, связанные с применением специализированной системы аналитических вычислений на ЭВМ к расчетам по этим формулам, вынесены в Приложение *з. Приведены результаты решения задач об образовании эллиптического отверстия в предварительно нагруженном теле и об одновременном образовании двух круговых ( в момент образования > отверстий в предварительно нагруженном теле ( в предположении о том, что начальные деформации являются чисто упругими ), а также задачи о последовательном образовании двух круговых в момент образования отверстий в предварительно всесторонне нагруженном вязкоупругом теле. Дана оценка поправки от учета нелинейных эффектов для материалов и нагрузок, используемых в работе.

Основные выводы по работе:

1. На основе общих положений теории многократного наложения больших деформаций получены постановки плоских задач ( плоская деформация ) для упругого и вязкоупругого материала в случае трех и более этапов нагружения. Для этих случаев выведены кинематические соотношения, получены уравнения равновесия и граничные условия. Приведены определяющие соотношения в пространствах различных состояний.

2. Разработаны специализированные системы аналитических вычислений на ЭВМ, предназначенные для решения указанных задач в случае, когда сечение области, занимаемой телом в одном из состояний, плоскостью деформации представляет собой либо бесконечную область, ограниченную одним простым замкнутым

контуром и отображаемую на круг дробно-рациональной функцией, либо бесконечную область, ограниченную несколькими круговыми контурами. Разработанные системы аналитических вычислений позволяют реализовать для данного класса задач метод малого параметра или метод Ньютона-Канторовича в сочетании с методом Колосова-Мусхелишвили, а также преобразование Лапласа ( для задач вязкоупругости ).

3. На основе полученных постановок с использованием разработанных систем аналитических вычислений на ЭВМ решен ряд задач нового класса задач о концентрации напряжений, когда новые концентраторы напряжений образуются в теле с уже имеющимися большими упругими или вязкоупругими деформациями. Решены следующие задачи :

об одновременном образовании двух отверстий в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала;

об одновременном образовании трех отверстий в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала;

о последовательном образовании двух отверстий в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого или вязкоупругого материала;

- об образовании одного, а затем еще двух отверстий в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала.

4. Результаты решения конкретных задач ( в том числе задачи о неодновременном образовании трех отверстий в теле из нелинейно-упругого материала и задачи о неодновременном образовании двух отверстий в теле из вязкоупругого несжимаемого материала ) показывают, что учэт нелинейных эффектов для всех параметров материалов и нагружений, рассмотренных в работе, достигает 25-30% как по напряжениям, так и по деформациям.

5. На основе сравнения результатов расчетов, полученных с использованием различных методов, для некоторых из решенных задач даны оценки точности их решения методом малого параметра при различных начальных нагрузках.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Левин В.А., Зингерман K.M. 0(3 одной возможности использования методов аналитических вычислений на. ЭВМ в приложении к задачам теории наложения конечных деформаций // Механика эластомеров. - Краснодар, 1987. - С. 28-35.

2. Левин В.А., Зингерман K.M., Санченко Б.П. Об использовании численно-аналитических вычислений на ЭВМ для оценки эффектов третьего порядка в задаче об образовании отверстий в упругом теле с начальными деформациями/ Тульский политехнический ин-т. - Тула, 1987. - Ю с. - Деп. в ВИНИТИ ОТ 12.11.87, № 799Э-В87.

3. Левин В.А., Зингерман K.M. Анализ результатов решения плоской задачи об образовании отверстия в предварительно нагруженном теле из несжимаемого вязкоупругого материала// 7 научно-техническая конференция "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов" : Тез. докл. - Рига, 1989. -0. 110.

4. Левин В.А., Зингерман K.M. К решению с помощью численно-аналитических вычислений на ЭВМ одной плоской задачи теории многократного наложения больших упругих деформаций// ГТТ Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. - Сыктывкар, 1989. - с. 77-78.

5. Зингерман K.M. Об одном численно-аналитическом варианте решения плоской задачи теории наложения конечных

вязкоупругих деформаций// Тезисы докладов второй научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ТвеПИ. - Тверь, 1991. -С. 30-31.

6. Зингерман K.M. Решение одной плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании отверстий в теле из вязкоупругого несжимаемого материала/ - Тверской ун-т. - Тверь, 1991. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ от 20.05.91, Л 2058-В91. 3inv,uwf.