Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов

Рыбалка, Екатерина Викторовна

Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Рыбалка, Екатерина Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тула МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов"

На правах рукописи

Рыбалка Екатерина Викторовна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула -2006

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Левин Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Матченко Николай Михайлович

- кандидат физико-математических наук, с.н.с. Лохин Валерий Викторович

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт механики

и прикладной математики им. И.И.Воровича

Защита состоится « 24 » апреля 2006 года в г/ часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, учебный корпус №12, аудитория 309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «/-/» марта 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета "" Л.А.Толоконников

Общая характеристика работы

В диссертационной работе рассматривается решение средствами компьютерной алгебры плоской задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном теле из нелинейно-упругого материала. Учитывается, что образование концентратора напряжений приводит к перераспределению в теле конечных деформаций. Форма полости считается заданной в момент ее образования. Рассмотрен и вариант задачи, когда по границе образованной полости распределено давление. Задача решена как для сжимаемого, так и несжимаемого материала. Свойства материала описываются апробированными соотношениями, предложенными различными исследователями (в том числе, Ф.Д.Мурнаганом, М.А.Муни, Л.Трелоаром, Л.А.Толоконниковым, Г.М.Бартеневым и др.). Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций.

Целью работы было дать математическую формулировку плоской задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала и получить приближенное аналитическое решение задачи с использованием системы компьютерной алгебры «Mathe-matica 5.0», а также разработать алгоритм и программное обеспечение для решения поставленной задачи.

Вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, М.Ф.Бухина, И.И.Блох, И.И.Ворович, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Г.С.Тарасьев, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Nol!, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и многие другие. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века, наиболее подробно вопросы теории были проработаны в работах киевской школы механиков под руководством А.Н. Гузя. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций для тел из упругого или вязкоупругого материала было осуществлено Г.С. Тарасьевым, В.А. Левиным. В работах В.А. Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях, предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения (совместно с Е.М. Морозовым), разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении (совместно с В.В.Лохиным. K.M. Зингерманом). Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым. Одним из "Г'прд'м°цмтт*» niTT^mn ff рущ^ник* таких задач может быть использование для решен й алгебры.

Развитие средств компьютерной алгебры началось с середины 80-х го-1 дов прошлого века. Наиболее известные в настоящее время - интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров: Derive, MathCad, Mathematica, Maple V. Отметим, что в нашей стране значительный вклад в развитие систем символьной математики внесла школа академика В.М. Глушкова. В конце 70-х годов были созданы малые инженерные ЭВМ класса «Мир», способные выполнять аналитические вычисления даже на аппаратном уровне. Был разработан и успешно применялся язык символьных вычислений «Аналитик». Следует отметить, что еще в середине 50-х годов аналогичные идеи высказывались и развивались школой академика JI.B. Канторовича (например, в работах JI.T. Петровой). Система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г.

Актуальность темы. Развитие техники инициирует создание новых материалов, способных испытывать большие деформации, что в свою очередь требует совершенствовать методы мониторинга, особенно для случая возникновения и развития дефектов в процессе эксплуатации элементов конструкций из таких материалов. Учитывая, что дефект (повреждение) возникает в теле с конечными деформациями, то его возникновение приводит к перераспределению в теле конечных деформаций, последнее определяет актуальность рассмотрения задач теории многократного наложения больших деформаций. Применение средств компьютерной алгебры в ряде случаев позволяет получать приближенное аналитическое решение плоских задач данной теории. Использование таких решений полезно и эффективно как при анализе результатов мониторинга, так и на стадии эскизного проектирования, что позволяет, в частности, получать предварительную оценку прочности в формульной форме.

Основными целями диссертационной работы являются:

- математическая формулировка плоской задачи теории наложения больших деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле для различных моделей нелинейно-упругих материалов;

- получение приближенного аналитического решения поставленной задачи с использованием системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0».

Научная новизна.

Впервые получены приближенные аналитические решения плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях. Решения найдены для разных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая приложения давления по вновь образованной границе.

апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «Mathe-matica5.0»). Полученные в работе результаты согласуются с точным решением (полученным для частного случая) для материала Трелоара и результатами решения задачи для материала Мурнагана с помощью метода конечных элементов.

Практическая значимость. Получены аналитические выражения (для различных моделей сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов) основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем полости. Эти результаты можно применять для анализа прочности при конечных деформациях с использованием нелокальных критериев, проводить предварительную оценку результатов мониторинга, учитывать приложение давления к границе образованной в нагруженном теле полости. Результаты работы использовались при выполнении работ по фантам РФФИ (№№98-01-00458, 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика». Результаты работы использовались в учебном процессе (при написании двух учебных пособий и при чтении спецкурсов для магистрантов и аспирантов).

На защиту выносятся:

- математическая формулировка плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле из различных типов нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов;

- приближенные аналитические решения, полученные средствами компьютерной алгебры, задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле, включая случай приложения давления по вновь образованной поверхности (для различных моделей нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2001 и 2002 гг. (г. Тула); на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в 2001 г. (г. Москва); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2003-2005 гг. (г. Тула); на Международной конференции «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья» в 2004 г. (г. Москва); на пятнадцатом и шестнадцатом симпозиумах «Проблемы шин и резинокорд-ных композитов» в 2004 и 2005 гг. соответственно (г. Москва); на 6-й научно-технической конференции «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России» в 2005 г. (г. Москва); на XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в 2005 году (г. Москва); на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в 2000, 2001, 2003, 2005 гг. в МГУ им. М.В. Ломоносова; на научных семинарах кафедры «Вычислительная механика» (под руководством акад. В.П. Мясникова), кафедры «Математическое моделирование» (под руководством проф. A.A. Маркина); на IX

дством проф. A.A. Маркина); на IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» в 2005 г. (г. Ростов-на-Дону).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 17 публикациях.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 134 страницах машинописного текста, содержит 33 рисунка, 1 таблицу, список использованных источников из 102 наименований.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи данной работы, приведена аннотация содержания диссертации.

В первой главе кратко изложены основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций в упругих телах. Приводятся основные термины, обозначения.

R - радиус-вектор частицы в и -м состоянии;

- лагранжевы (материальные) координаты частицы;

э, - базисные векторы в п -м состоянии;

п п-1

ип- R- R - вектор перемещений, характеризующий переход из предыдущего (w-l)-ro состояния в последующее и-е состояние;

* * д

■ э —- - оператор градиента; dg

¥ =/ + У Vi/ = I- У Vm

^ />*/* +1 J

". я

аффинор де-

р=т+1

формаций (тел);

ш | . .

Еч.р = ~ тензор деформаций, описывающий

изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и отнесенный к координатному базису т -го состояния;

6чр -Уц.р ~ тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и соответствующая мере Грина (О0, — тензорная мера Грина);

^чр-^цр ~ тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и соответствующая мере Фингера (^, - тензорная мера Фингера);

Гч р = ^ 1пр - «левый» тензор Генки (при д = 0, р = 1);

Рп> /„ - плотность и массовая сила в п-м состоянии; Ди„ - относительное изменение объема при переходе из т-го в п-е состояние;

сто» - тензор истинных напряжений, накопленных в теле при переходе из начального в п -е состояние (при и = 1 это тензор Коши);

" / \"

¿»О н = (1 4- ДЛ ) €Г о м - тензор обобщенных (полных для п-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе п-го состояния;

- тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного ю-го состояния:

т ^ п

= ^ п.,« • • у ;

=1.о,р-Ъй.ч - тензор обобщенных дополнительных напряжений,

определенный в координатном базисе произвольного т -го состояния; к

Г„ - граница тела в и-м состоянии в координатах Л:-го состояния;

* к т

И„ - нормаль к Г»; •• - знак двойной скалярной свертки; - знак транспонирования.

(Индекс над символом, кроме э и Я, указывает номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется данная величина).

Рассмотрены определяющие соотношения нелинейной упругости, используемые далее в работе при решении задачи: 1. Сжимаемые материалы: - материал Мурнагана

1о,„ = ^ £о „ • ■/1 / + 20 + ЗС3 £о.п • ■/ I / +

(а

Ео.п • •/

1 + 2СЛ Еа„--[ |£О,„+ЗС5| Ео.п , (1)

- материал Л.А.Толоконникова'

Lo.n = A(ro,„-7)/ + 2Gro„. (2)

2. Несжимаемые материалы:

- материал Муни

=f{o+m, -m.,,(3)

- материал Трелоара

= М^п „ - Po,J • (4)

- материал Черныха

1 Здесь и далее при описании материала Л А Толоконникова использованы результаты и обозначения А А Маркина (Нелинейная теория упругости учеб пособие / А А Маркин Тул гос ун-т - Тула. 2000 - 72 с В частности,

I* и = К Zit п i?"'. где R - ортогональный тензор поворота

(5)

материал Бартенева-Хазановича

0"о,„ = - Ро,»1' (6)

материал Л.А.Толокднникова

(7)

материал Валаниса-Ландела

(8)

материал

(9)

материал Исихары-Хашицумы-Татибамы

= 2СЛ „ - (2С2 + 4С}12 -12С3)^0 „-' - р0 п1, (10)

материал Муни-Ривлина

^0, = 2С^, - 2+ СХ!: - Ро*1 ■ (И)

Сформулированы постановки граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Так как рассматриваются только плоские задачи, то обращается внимание на особенности постановки задач для случая плоской деформации и плоского напряженного состояния.

Во второй главе диссертации рассматривается постановка задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом теле. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций. Механическая постановка задачи следующая.

Рис. 1 Постановка задачи (схема погружения). <ти, а22, <х|2 - начальные напряжения на бесконечности.

Пусть в нелинейно-упругом бесконечно протяженном теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие плоские статические деформации. Тело перешло в первое (промежуточное) состояние (рис. 1). Далее в этом теле намечается замкнутый круговой контур (будущая граница полости). Затем область, ограниченная данным контуром, удаляется. Под удалением, например, можно

понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела. Действие удаленной части тела на оставшуюся заменяется по принципу освобождаемое™ от связей силами, распределенными по данному контуру. Это не приводит к изменению напряженно-деформированного состояния в оставшейся части тела. Далее предполагается, что эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически (например, изотермически) значительно изменяются (при этом учитывается возможность приложения к образованному граничному контуру давления), что вызывает появление в оставшейся части тела дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности) деформаций, которые накладываются на уже имеющиеся большие начальные. Естественно меняется и форма граничного контура полости. Тело переходит в конечное состояние.

Далее приводится математическая постановка краевой задачи в координатах первого (промежуточного) состояния, т.к. в этом состоянии известна форма полости, а также напряжения и деформации. Соотношения записаны для случая отсутствия массовых сил и наличия заданного давления на граничной поверхности.

Уравнение равновесия

V-

= 0. (12)

= + (13)

Граничные условия

1 1

ЛГ2-1о.2 _

Гг

(14)

Условие несжимаемости (для несжимаемых материалов)

Дод=0. (15)

Далее приводятся уравнения, которые входят в постановку задачи и связывают тензор истинных напряжений <т0 2 с аффинором деформаций , (и соответственно градиентом вектора перемещений), для различных типов используемых в работе материалов.

Записываются геометрические соотношения:

1 + Дол =<1е1Ч'0,, У02 = У0.Ч>и=1 + Ъи2. Решение поставленной задачи позволяет, в частности, найти вектор перемещений и, как функцию координат первого (промежуточного) состояния.

Далее рассматривается решение этой задачи с помощью метода Синьо-рини. Решение исходной нелинейной задачи ищется в перемещениях в виде бесконечной суммы

иг = и(2°> +«<" + ..., где«'"-?"- (16)

Вектор к!" (/'= 1,2,...) называют поправкой от учета эффектов (/ + 1)-го порядка для перемещений при переходе из 1 -го во 2-е состояние. При таком

подходе выделяется безразмерная величина д, определяемая следующим об-• ' в

разом: ц = тах

где

о"™« = тах «г0 2

I ; I «

Далее в подобном виде

представляются и другие характеристики напряженно-деформированного состояния. Подставляя эти разложения в уравнения, входящие в постановку задачи, и сгруппировав члены одинакового порядка, можно получить бесконечную последовательность систем линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в конечном состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала и'20' и (нулевое приближение), затем г4" и а^'1 (первое приближение) и т.д. В настоящей работе выполнены расчеты для нулевого и первого приближений.

Далее приводится запись входящих в постановку задачи уравнений в приближениях.

Уравнение равновесия:

1 1(0)

V-

V-1.0,2 =0, 1(1) 1(0) 1 (0) Еад + Ем-Ч^-Д^Еад

= 0.

Условие несжимаемости:

А;°2'=О, Д!'»=О.

Граничное условие:

1 1(0) N2-1.0,2

= ~РЫ2,

| | < ■ > N2-1.0,2

t = -РА<0°> к+рк-(ч*?+) •

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

(22)

Далее приводится в приближениях запись определяющих и геометрических соотношений и записывается в общем виде постановка краевой задачи в перемещениях для / -го приближения: - для сжимаемого упругого материала:

= (23)

(24)

(25)

(26)

Условия на бесконечности:

г«»1 =сг«

'0,2

г<» -I

'0,2

для несжимаемого упругого материала:

V •и<') = /4'), (28)

Щ-ц^Кр^^е;', (29)

¿^''^''Х = (30)

(31)

где /,'" - вектор «фиктивных» массовых сил для /-го приближения, -вектор «фиктивных» поверхностных сил, приложенных к границе полости; Ц[и] и £,[н, р] линейные операторы, определенные следующим образом:

!,[«] = ¿(V • и)/+ а(Уи + иУ), (32)

12[и, р] = м( 1 - /?)(? -и)1 + ц(Уи + иЧ) - р!. (33)

Далее приводится общий и подробный алгоритмы решения поставленной задачи об образовании полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом теле.

Приводится линеаризованная постановка этой задачи в комплексной форме, и рассматривается применение метода Колосова-Мусхелишвили к ее решению. При этом вводится тензор 5, соответствующий тензору напряжений линейной упругости. Для сжимаемого материала 5 = Ь\и], для несжимаемого Б = Ь2[и, р]. Тогда векторы и, Q, N и тензор 5 могут быть представлены в координатной форме следующим образом:

и = и1е1+ и2е2 + м3е3, (34)

/ = М+/2е2, (35)

= (36)

N = N^+N^1, (37)

5 = 5, + 5|2е,е2 + 521е2е, + 522е,е2 + 533е3е3. (38)

В рассмотрение также вводятся:

- комплексные переменные

г = х{ + Ьс2, I = дс1 -¡х2, (39)

- функции этих переменных:

ФЛ-И.+И:, F(z,z)Л{f{+if2), (40)

£(*,:?) = а+/&, ЛЧг,г) = ЛГ,+/ЛГ2, (41)

- комбинации компонент некоторого тензора Г второго ранга (в декартовой системе координат):

Т,=Ти+Т22 + 1{Тп -Т21),Т„=Ти-Т22 + 1(Ти + Г21) (42)

Например, для случая плоской деформации и сжимаемого материала уравнения равновесия и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комплексной форме следующим образом:

+ ^ = (43)

дг 8г

КЧ,+ЩГ=0)[Т, (44)

S,l=a;, S„l=a;,, (45)

S/=2(A+G)(f+§), S//=4G|. (46)

Решение линеаризованной краевой задачи ищется в виде:

= + "<,*.> S = S„ + Som, (47)

Р = р» + Роы' = и + *зз оа„. (48)

где wH, SH, рц, еПн - некоторое частное решение линеаризованной задачи, н-шн, S0M, р01Н, £}3оля - решение линеаризованной задачи для однородной

системы уравнений.

Получены и приводятся для всех случаев формулы для нахождения частного решения линеаризованной задачи, при этом считается, что функция F(z, I) является аналитической функцией аргументов z и z в области, занимаемой телом. Например, для случая плоской деформации сжимаемого

материала эти формулы имеют вид:

' ['д+" <я+G> - <49>

s--4Git- <50» Рассматривается подход к решению линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили Ф(г) и T(z):

= j¿[>c\<!>(z)dz-z<b(z)~ \w{z)dz

(51)

о» = 2[ф(г) + Ф(г)], 5Я 0Д11 = -2[^(г) + гФ'(*)]. (52)

В третьей главе рассматриваются результаты решения задачи, постановка и метод решения которой приведены во второй главе. Приводятся полученные с помощью средств компьютерной алгебры в аналитической форме характеристики напряженно-деформированного состояния тела для различных типов материала. Они представлены элементарными функциями координат. параметров материала и нагружения. Например, для случая плоской деформации материала Мурнагана главные значения тензора полных истинных напряжений при всестороннем растяжении нагрузкой q с учетом давления р на границе полости как функции полярных координат имеют вид:

р ^(р--1) (р+д)\р-~ 1), рг р2 40(20 + Л)р4

+ —/x(G + ¿-2C4-3C5), (53)

" рг рг 4G(2G + Х)р 1 +13G + 5A + 6Cj +9С5]

(здесь р - полярный радиус-вектор точки; Я, С, С3, С4, С, - параметры материала Мурнагана). Выражения для компонент сгп и сг22 тензора полных истинных напряжений при растяжении вдоль оси х с учетом давления на границе отверстия как функции декартовых координат принимают вид (при х = 0):

= Л +-г^-^(6С4 + 9С5 + 13С + 5Я - у-(2С. + ЗС.-в-Л)) + (55)

+911 ++ -Т-+-¡5-"г--+ 20 СП + 30СЛ +

2/ 2/ АС/^С'+ЮЛ + Л2)1 4 5

+20С4Я + 30С5Я + 5ЮЛ +16Л2 + у2(-6С40 -9С,в - 25в2 - 6С4Л -

-9С5Я - 20вЛ - 3Я2) + уЧ-2С40 -ЗС£ + в2- 2С4Л - ЗС5Я + 20Л +

+42С<°'+63С'°г+мс-ал*

+126 срл + 23Ю2Л + 42С4Я2 + 63С5Я2 +11ЮХ2 + 39Я3 + у\12С£2 + +6С&2 - 21 С£2 -39вг- 60 С АЛ - 90 С5вЛ -121 в2 Л- 30 С4Я2 --45С,Я2 -105вЛ2 - 23Я3) + у6(-24С3в2 -16С4С2 -12С5в2 - 2Ю1 --ЪС&Л -12 СрЛ - 48 в2 Л - 4С4Я2 - 6С5Л2 - 24 в Л2 -4 Я3) + +/(40С„С2 +60С5С2 + Збб5 + 80С4СЯ +120С5СЯ + 144С2Я + +40С4Я2 + 60С,Я2 + 1480Я2 + 40Я3)},

^ = -4- РУ'1) (-2С4-ЗС5 + С + Я)--6 -Гх (56)

22 у2 4С1у4(2С + Лу 4 ' ' 4ву\202+ЗОЛ +Л2)

х{/(-12С3 - 18С2Я -6СЯ2) + р(-8С4С - 12С5С -8С4Я - 12С,Я + +2 в Л + 2 Я2 + у2(2С4в + ЪСр + 23в2 + 2 С4Л + 3 С5Я + 18СЯ + ЗЯ2))} -

--9 -х \2Юг - 6СП2 - 9СЛ2 -12 СП Л -18С.СЯ +

160у*(в + Л?(20 + Л) 1 4 5 4 5

+69б2Я - 6С4Я2 - 9С,Я2 + 5ЮЛ2 +15Я3 + /(-24С3<52 + 24С/72 + +48С5С2 + 128С3 + 12С4СЛ +108 С5вЛ + 300в2 Л + 36С4Я: + 54С5Я2 + +220СЯ2 + 48Я3) + /(-54С402 -81С/?2 -69С3 -108С4ОЯ --162С3СЯ - 22Ю2Л - 54С4Л2 - 81С5Я2 - 20ЮЛ2 - 53Я3)}, где дх, - нагрузка по осям хну соответственно.

На рис. 2 представлено распределение напряжений, отнесенных к нагрузке на бесконечности, вдоль координаты у для случая плоской деформации материала Мурнагана при растяжении вдоль оси х нагрузкой q = 0.3(5. Для справки здесь же приводится подобное распределение напряжений для случая растяжения тела из материала Л.А.Толоконникова. На графике: 0 -нулевое приближение (линейное решение), I - первое приближение.

Си 4

Рис. 2. Материалы Мурнагана и Л. А Толоконникова. Растяжение вдоль оси х нагрузкой q = 0.3G, A/G = 2.1, C3 = -0.07G, C4 = -0.38G, C5=0.34G.

При данном виде нагружения (рис. 2) в точке контура полости тела из материала Мурнагана с максимальной концентрацией напряжений поправка от учета эффектов второго порядка составляет около 30%, для материала Л.А.Толоконникова около 14%.

На рис. 3 представлено распределение напряжений, отнесенных к нагрузке на бесконечности, вдоль координаты у для случая плоской деформации материала Мурнагана при растяжении вдоль оси х нагрузкой q = 0.2G при учете давления р = 0.1G на границе полости. Также для справки приводится решение для случая материала Л.А.Толоконникова.

Зц

q Sil

Рис. 3. Материалы Мурнагана и Л.А. Толоконникова. Растяжение вдоль оси х. q = Q.2в, р = 0.Ю, Х/й — 2.1, С, =-0.0Ю, С\=-0.38С, С5 =0.340

При таком виде нагружения (рис. 3) в точке контура полости тела из материала Мурнагана с максимальной концентрацией напряжений поправка от учета эффектов второго порядка составляет около 29%, для материала Л.А.Толоконникова около 14%.

На рис. 4 изображен контур полости до и после деформирования тела из материала Мурнагана при одноосном нагружении с давлением на границе полости и без него.

а)

0.5 б)

Рис. 4. Материал Мурнагана, Я = 2.Ю, С3 =-О.ОЮ, С4 =-0.386,

С5 =0.340. Растяжение вдоль оси х. Контур полости до и после деформирования, а) # = 0.36, р = 0;6) ц = О.Ю, р = О.Ю.

Из приведенных выше графиков виден качественный результат учета нелинейных эффектов в точках контура.

На рис. 5 показано сравнение полученных результатов с известным точным решением задачи для случая предварительного всестороннего на-гружения при плоской деформации материала Трелоара. Представлены зависимости контурных напряжений и радиальных перемещений от нагрузки на бесконечности. Через Я обозначен начальный радиус отверстия. Отметим, что при | 11 /л < 0.6 погрешность решения задачи методом Синьорини не превышает 9% для напряжений, при этом для перемещений получаются более точные результаты, чем для напряжений.

дь ' аор - тгг --- о У ■ * Точное

_Л___1.1,1 1 ., .....

и1Я

1 и . ■ • Точное X.

Ч/ц

ч/м

Рис. 5. Материал Трелоара. Зависимость контурных напряжений и радиальных перемещений от нагрузки на бесконечности.

На рис. 6 приведено сравнение полученных результатов решения задачи с результатами, полученными с использованием метода конечных элементов, для случая одноосного растяжения по оси у материала Мурнагана (при Л = 2.Ю, С3 = -0.07С, С4 = -0.38С, С5 = 0.34С). Дана зависимость макси-

мального истинного тангенциального напряжения на контуре отверстия от нагрузки ц на бесконечности. Для рассматриваемого случая при 0.4

разница между конечно-элементным решением и решением, полученным методом Синьорини, не превышает 5%.

Рис. 6. Зависимость максимального тангенциального напряжения на контуре отверстия от нагрузки на бесконечности.

Рассматривая напряжения как функции начальных нагрузок, можно непосредственно до начала численных или численно-аналитических расчетов указать диапазон нагрузок, при которых такой подход невозможен.

Ниже для материала Мурнагана (при Я = 2.Ю, С3=- 0.0Ю, С4 = -0.38(7, С5 = 0.346) приведено выражение для поправки (по напряжениям) от учета эффектов второго порядка (см. 16) для случая одноосного растяжения по оси х с начальной нагрузкой д на бесконечности (%):

°"о2 =[5?(0.89х'° -224.17а;8-845.62// + 170.34/ +1862.66л:6/ --1466.23л:6/ -113.63/ -9.10/ +64.67/ + 17.29/° -35.19/ --868.07л:4/ +11.82л:4/ -22.19л:4/ -148.83// -1737.93л:2/ + +2010.35// - 526.67//)]/[(*2 +/)2 (2/ - 5/ + 8// + 3/ + +/ + 2/ -18// +13// + 8// + 3/ + 7//+12//)о].

Полученные результаты, в частности, позволяют в аналитической форме использовать нелокальные критерии прочности, давать предварительно оценку диапазона констант, при которых можно предполагать практическую сходимость численных методов в аналогичных задачах.

В приложении к диссертации в качестве иллюстрации приведен вариант авторской программы и комментарии к нему для решения рассмотренной в диссертационной работе задачи для случая плоской деформации и использования материала Мурнагана.

ст /С-,

0.0-И^

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 дЮ

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших упругих деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле из различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов.

2. Получены приближенные аналитические решения плоской задачи о круговой в момент образования полости для разных типов нелинейно-упругих материалов. Разработан алгоритм и программное обеспечение для решения этой задачи на базе системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0» с использованием метода Синьорини.

3. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Разница между решениями задачи, полученными для разных моделей сжимаемых нелинейно-упругих материалов, составляет около 10-15%. Выявлено, что для несжимаемого материала (брекерная резина 2э-2560), разница между решениями, полученными для различных видов определяющих соотношений, составляет порядка 15%.

Публикации по теме диссертации

1. Левин В.А., Мишин И.А., Рыбалка Е.В. Плоская задача о взаимодействии последовательно образуемых концентраторов напряжений в вязкоуп-ругом теле. Наложение конечных деформаций // Известия Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». - 2000. - Т.6. - Вып.2. - Тула: ТулГУ. - С. 90-94.

2. Левин В.А., Кузьмич С.А., Мишин И.А., РыбалкаЕ.В. Об использовании средств компьютерной алгебры для решения плоской задачи об образовании отверстия в предварительно нагруженном теле. Конечные деформации // Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, 2001. - С. 88-89.

3. Рыбалка Е.В., Левин В.А., Зингерман K.M., Мишин И.А. К решению плоской задачи теории многократного наложения больших деформаций средствами компьютерной алгебры // Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, 2002. - С. 141-142.

4. Кузьмич С.А., Рыбалка Е.В., Левин В.А. Использование некоторых возможностей пакета «Mathematica 4.1» для решения задач теории наложения конечных деформаций // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. -Тула, 2003.-С. 177.

5. Рыбалка Е.В., Левин В.А. Зингерман K.M. О приближенном решении задачи об образовании кругового концентратора напряжений в теле с конечными деформациями // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, 2003.-С. 228.

6. Левин В.А., Рыбалка Е.В. К решению задачи об образовании отверстия в теле с конечными деформациями // Международная научная конфе-

ренция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, 2004. - С. 112-113.

7. Левин В.А., Рыбалка Е.В. О приближенном аналитическом решении задачи об образовании кругового концентратора напряжений И Известия Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». - 2004. - Т. 10. - Вып.2. - Тула: ТулГУ. - С. 131-137.

8. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Определение напряженного состояния вблизи горизонтальной круговой полости, образованной в нагруженном массиве, с помощью программного комплекса для аналитических вычислений на ЭВМ «Наложение». Конечные деформации // Международная конференция «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья». - ГЕОС, Москва, 2004. -С. 172-173.

9. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Приближенное аналитическое решение задачи об образовании круговой полости в материале, описываемом потенциалом Л.А. Толоконникова // Известия Тульского государственного университета. Серия «Актуальные вопросы механики». - 2004. - Т.1. - Вып.1. - Тула: ТулГУ.-С. 139-143.

10. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Расчет напряженно деформированного состояния вблизи повреждения, возникающего в предварительно нагруженном теле из несжимаемого материала, с помощью программного комплекса для аналитических вычислений на ЭВМ «Наложение» // Пятнадцатый симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов». - Т.2. - ООО «НТЦ «НИИШП», Москва, 2004. - С. 40-45.

11. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Решение уравнений теории наложения больших деформаций средствами компьютерной алгебры // Известия Тульского государственного университета. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». - 2004. - Вып. 1. - Тула: ТулГУ. - С. 139-144.

12. Левин В.А., Зингерман K.M., Рыбалка Е.В., Вершинин A.B. Сравнение конечно-элементного и приближенного аналитического решения некоторых плоских задач теории многократного наложения больших деформаций // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, 2005 - С. 225226.

13. Левин В.А., Мишин И.А., Рыбалка Е.В., Вершинин A.B. К расчету напряженного состояния массива при образовании в нем полости или включения с помощью авторского программного комплекса для аналитических вычислений на ЭВМ "Наложение". Конечные деформации // 6-я научно-техническая конференция, посвященная 75-летию РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России». Тезисы докладов. - Т 2. - Москва, 2005. - С. 414-415.

14. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Результаты решения средствами компьютерной алгебры задачи об образовании повреждения в нагруженном теле для различных типов потенциалов. Конечные деформации // Шестнадцатый

симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов». - Т.2. - ООО «НТЦ «НИИШП», Москва, 2005. - С. 30-38.

15. Рыбалка Е.В. Анализ напряженно-деформированного состояния вблизи кругового концентратора напряжений, образованного в нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Конечные деформации // Известия Тульского государственного университета. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». - 2005. - Вып.1. - Тула: ТулГУ. - С. 233-249.

16. Рыбалка Е.'В. Образование полости в предварительно нагруженном теле. Конечные деформации // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, 2005. - С. 251.

17. Рыбалка Е.В. О приближенном аналитическом решении плоской задачи теории наложения больших деформаций для потенциала Л.А. Толоконникова // XII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Секция «Математика и механика». Тезисы докладов. - Москва, 2005. - С. 58.

А0Р6Л

»"6950

Рыбалка Е.В.

Автореферат

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 17.03.2006 г. Формат бумаги 70x100 1 16- Бумага офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. Тираж 100 экз. Заказ

Тульский государственный университет 300600. г. Тула, просп. Ленина, 92

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600. г. Т\ла, ул. Болдина, 151

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рыбалка, Екатерина Викторовна

Введение.

1 Основные соотношения теории наложения больших деформаций.

1.1 Основные термины и обозначения теории наложения больших деформаций.

1.2 Кинематика деформаций.

1.3 Определяющие соотношения.

1.4 Уравнения равновесия и граничные условия.

1.5 О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций.

1.6 Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

2 Постановка задачи и метод решения.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Применение метода Синьорини к решению задачи.

2.3 Алгоритм решения задачи об образовании полости.

2.4 Решение задачи с помощью метода Колосова-Мусхелишвили.

3 Результаты расчетов и их анализ.

3.1 Сжимаемые материалы.

3.2 Несжимаемые материалы.

3.3 Сравнение результатов решения задачи с частным случаем точного решения и конечно-элементным решением.

Введение диссертация по механике, на тему "Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов"

В диссертационной работе средствами компьютерной алгебры впервые получено приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Форма полости задается в момент образования. Рассматривается как вариант решения задачи, когда образованная граничная поверхность свободна от нагрузки, так и вариант, когда по границе полости распределено давление. Учитывается, что возникновение в теле полости приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [35, 36].

Следует отметить, что вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и многие другие. История развития нелинейной теории упругости достаточно подробно описана, например, в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» [51]. Подробные исторические обзоры становления линейной теории упругости приведены в монографиях А.Лява [52] и Е.Треффтца [87], а также обзоры в книгах С.П.Тимошенко, например [79], ориентированных на инженеров, связанных с конкретными практическими расчетами. Ссылки на вышеперечисленные работы показывают, что решения для задач линейной теории упругости существуют давно, и математический аппарат в этой области хорошо проработан. Начало и бурный рост нелинейной теории упругости пришелся на середину и вторую половину XX века. На сегодняшний день общее число публикаций в данном направлении огромно. Поэтому понятно, что модели и методы решения задач в данной области тоже достаточно подробно проработаны. Однако небольшое число (по сравнению с количеством экспериментов для линейной теории упругости) корректно выполненных работ и обработанных экспериментальных данных по определению механических характеристик для различных групп материалов является одной из преград развития и применения теории моделей, связанных с учетом конечности деформаций.

Внимание к теории конечных деформаций обусловлено применением в современной технике изделий из высокоэластичных материалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [67], а также развитием механики разрушения, связанного с зарождением и ростом микродефектов при нагружении [59, 66]. Положения этой теории применительно к высокоэластичным материалам сформулированы в работах Р.Ривлина [99], М.Муни [97], Л.Трелоара [85, 86], подробно проработаны в монографиях В.В.Новожилова [64, 65], Л.И.Седова [72], А.И.Лурье [51], А.Грина и Дж.Адкинса [1, 15], К.Трусделла [88], Д.И.Кутилина [31]. Многие важные частные задачи рассмотрены в работах [8, 25, 26, 28, 102]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости, вязкоупругости, пластичности внесла тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [80, 81, 82, 83]. Это, например, работы Г.С.Тарасьева [74, 75, 77, 78], Н.М.Матченко [53, 54, 55], А.А.Маркина [57, 58], В.А.Левина [33, 35] и их учеников.

Исследование эффектов наложения деформаций является одним из важных направлений теории больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [74, 75] и В.А.Левиным [34, 35, 48, 49, 84]. В работах

В.А.Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях. В.А.Левиным (совместно с Е.М.Морозовым) предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения [41, 42]. В.А.Левиным (совместно с В.В.Лохиным и К.М.Зингерманом) разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении [36, 94, 96]. Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым [62]. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено в [11]. Свойствами высокоэластичных материалов занималась школа известного исследователя Г.М.Бартенева [3, 4]. Существенны также работы [9, 10].

В теории многократного наложения больших деформаций рассматривается нагружение тел в несколько этапов, когда дискретно изменяются границы и граничные условия, причем деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет в рамках статических и квазистатических постановок задачи учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия. Под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних поверхностных или массовых сил, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).

Подчеркнем, что используемый термин «наложение больших деформаций» не следует понимать как математическую суперпозицию деформаций. Это означает, что мы не можем определять параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на него, как в случае малых деформаций. Кроме того, связь между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения, является нелинейной. Представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений также нелинейны. Решение такой задачи крайне сложно, так как в этом случае необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.

Именно поэтому постановка и решение задачи, в которой в процессе нагружения дискретно изменяются граница и граничные условия (задача о поэтапном нагружении тела), достаточно сложна.

Используется следующая механическая модель образования полости [35]. В начальном состоянии (в начальной конфигурации) в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под действием внешних сил тело приобретает большие начальные деформации. Тело переходит в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле намечается некоторый замкнутый контур (будущая граница отверстия). Часть тела, ограниченная этим контуром, удаляется, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этому контуру. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» (без динамических эффектов) изменяются на большую величину. В результате тело приобретает (теряет) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие начальные. Изменяется форма граничной поверхности. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Такое образование отверстий может быть продолжено и дальше. Понятно, что предложенная модель образования отверстий является упрощенной, т.к. не учитывает способа их образования. Но в ряде случаев применение такой модели представляется целесообразным, например, когда механизм образования отверстия не известен или очень сложен для описания.

Представленная модель образования отверстий может быть применена при исследовании следующих явлений, связанных с образованием отверстий (пор, полостей): кавитация (образование полостей) в изделиях из резины [92, 93]; возникновение субмикротрещин при нагружении полимерных материалов [68]; вязкое разрушение — поглощение основной трещиной вторичных трещин, в том числе и возникающих в теле в процессе нагружения, и микро-пор, раскрывающихся при нагружении; вязкий рост трещины [6], когда микроповреждения моделируются концентраторами напряжений, длина которых намного меньше длины трещины.

Все вышеописанное обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.

Приближенное аналитическое решение исследуемой задачи позволяет найти метод Синьорини с использованием средств компьютерной алгебры. Метод Синьорини применительно к механике деформируемого твердого тела рассмотрен первоначально в работах Ф.Стопели и А.Синьорини [100, 101]. Применение метода Синьорини к решению задач нелинейной упругости при конечных деформациях рассмотрено, например, Л.А.Толоконниковым [78, 84], Г.С.Тарасьевым [75], Г.Н.Савиным [71], В.А.Левиным [32]. Отметим, что этим методом решены, например, Л.А.Толоконниковым [16], Г.Н.Савиным [71], Г.С.Тарасьевым [77], некоторые конкретные задачи о концентрации напряжений около отверстий различной формы в нелинейно-упругих телах при конечных деформациях (при отсутствии их наложения). Физически нелинейные задачи при малых деформациях для упругих тел рассмотрены, в частности, И.И.Воровичем [12], И.А.Цурпалом [89]. Применение метода Синьорини к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23, 24, 34, 35, 36, 43, 45, 62, 63, 69, 76].

Использование метода Синьорини и системы компьютерной алгебры позволяет найти приближенное аналитическое решение задачи. При этом I I решение исходной нелинейной задачи сводится к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Преимущество такого подхода состоит в том, что плоская задача линеаризованной упругости для однородного тела с отверстием может быть решена аналитически методом Колосова-Мусхелишвили [29, 30, 61]. При расчетах в данной работе ограничились вычислением двух первых членов последовательности линеаризованных задач. I

Недостатком метода Синьорини является нерешенность (в общем случае) вопроса о его сходимости. Поэтому очень важным является сравнение I результатов, полученных с использованием этого метода, с результатами i численных расчетов и с известными точными решениями. Точные решения известны для ряда плоских задач нелинейной упругости при больших деформациях [7, 51, 90, 91]. Однако следует отметить, что точные решения могут быть получены либо для областей частного вида при специальным образом заданных нагрузках, либо для определяющих соотношений, которые заданы специальным образом, что не всегда пригодно для описания механических свойств реального материала.

Следует отметить, что для решения конкретных задач о концентрации напряжений при конечных деформациях метод Синьорини (и подобные ему) до последнего времени использовался нечасто. Это было связано с большими вычислительными сложностями при проведении аналитических выкладок для каждого приближения. С появлением и последующим развитием вычислительных машин и в том числе систем компьютерной алгебры стало возможно получение приближенного аналитического решения нелинейных задач этим методом. Развитие систем компьютерной математики началось с середины 80-х годов прошлого века. Наиболее известные из них в настоящее время - это интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров: Derive, MathCad, Mathematica, Maple V, MathLab. Отметим, что в нашей стране значительный вклад в развитие систем символьной математики внесла школа академика В.М.Глушкова. В конце 70-х годов были созданы малые инженерные ЭВМ класса «Мир», способные выполнять аналитические вычисления даже на аппаратном уровне. Был разработан и успешно применялся язык символьных вычислений «Аналитик». Следует отметить, что еще в середине 50-х годов аналогичные идеи высказывались и развивались школой академика Л.В.Канторовича (например, в работах Л.Т.Петровой). Система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы компьютерной алгебры «Mathematica» к решению конкретных задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [38, 70].

Очевидно, что наличие аналитического решения (пусть и приближенного) обладает неоспоримыми преимуществами. Например, в расчетной практике существование приближенных аналитических решений для данного элемента конструкции при данном типе нагружения дает проектировщику возможность в момент числового задания параметров нагружения сразу получить значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции. Также конструктор (проектировщик) может воспользоваться промышленными расчетными пакетами, основанными на использовании метода конечных элементов (ANSYS, ABAQUS и др.). Но в этом случае желательно до применения для расчета проектируемого элемента конструкции осуществить тестирование решений, предоставляемых этими пакетами, на упрощенной модели элемента, например, путем сравнения с результатами, полученными на основе приближенного аналитического решения. Такое тестирование для случая конечности деформаций, по мнению автора, полезно из-за идеологии универсальности таких пакетов. Таким образом, проектировщик, использующий в качестве расчетной модели модель нелинейной теории упругости, может для элемента конструкции при любом виде внешних воздействий, приложенных к этому элементу, получать значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции практически в момент их задания. Естественно это возможно, когда определены экспериментально механические свойства материала.

Повторим, из-за того, что полость образуется в процессе нагружения, следует учитывать изменение границы и граничных условий. Например, изменение связности занимаемой телом области. Такое изменение приводит к «физическому» наложению дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности полости) деформаций на уже имеющиеся в теле большие деформации. Для инженера это означает, в частности, необходимость решения системы из нескольких уравнений равновесия для нескольких векторов перемещений. Промышленные расчетные пакеты на базе МКЭ (метода конечных элементов) пока не могут быть использованы для таких расчетов, так как, в частности, не предполагают решения вышеуказанных систем уравнений. Поэтому возникла необходимость в разработке, создании и использовании специализированных программных комплексов, основанных на теории многократного наложения больших деформаций и реализованных на современных математических пакетах для персональных компьютеров.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Основными целями диссертационной работы являются: математическая формулировка плоской задачи теории наложения больших деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле для различных моделей нелинейно-упругих материалов;

Научная новизна.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «Mathematica 5.0»). Полученные в работе результаты согласуются с точным решением (полученным для частного случая) для материала Трелоара и результатами решения задачи для материала Мурнагана с помощью метода конечных элементов.

Практическая значимость. Получены аналитические выражения (для различных моделей сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов) основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем полости. Эти результаты можно применять для анализа прочности при конечных деформациях с использованием нелокальных критериев, проводить предварительную оценку результатов мониторинга, учитывать приложение давления к границе, образованной в нагруженном теле полости. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№№98-01-00458, 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика». Результаты работы использовались в учебном процессе и будут использоваться в дальнейшем (результаты работы применялись для написания двух учебных пособий1, рекомендованных УМО для использования в учебном процессе, и при чтении спецкурсов для магистрантов и аспирантов).

На защиту выносятся: математическая формулировка плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле из различных типов нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов; приближенные аналитические решения, полученные средствами компьютерной алгебры, задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле, включая случай приложения давления по вновь образованной поверхности (для различных моделей нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших упругих деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Рыбалка, Екатерина Викторовна, Тула

1. Адкинс Дж. Большие упругие деформации // Механика. Сб. переводов. -М.: Мир, 1957. -Т.1. - С. 67-74.

2. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упругопластических тел. М.: Наука, 1987. - 471 с.

3. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолек. соед. 1960. - Т. 2. - № 1. - С. 2028.

4. Бартенев Г.М., Шерматов Д., Бартенева А.Г. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии // Высокомолек. соед. 1998. - Т. А40. - № 9. - С. 1465-1473.

5. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей. В кн.: Расчеты на прочность. - М.: ГНТИ, 1958. - Вып. 3.

6. Болотин В.В. Распространение усталостных трещин как случайный процесс // Известия АН. Механика твердого тела. 1993. - № 4. - С. 174183.

7. Бондарь В.Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1987. - Вып. 28. -С. 30-42.

8. Бровко Г.Л., Ткаченко JI.B. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика». 1993. — № 4. - С.45-49.

9. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин. М.: Химия, 1973. -239 с.

10. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. -224 с.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

12. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентраций напряжений // Концентрация напряжений. Киев, 1968. - Вып. 2. С. 45-53.

13. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». М.: ГУП «НИИ шинной промышленности». - 2000. - Т. 1.

14. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука,1969.-336 с.

15. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М: Мир, 1965. - 445 с.

16. Громов В.Г., Толоконников JI.A. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала // Известия АН СССР. Отделение техн. наук, сер. Механика и машиностроение. -1963.-№ 2.-С. 81-87.

17. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. - 272 с.

18. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 296 с.

19. Гузь А.Н., Дышель JI.UI., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. -184 с.

20. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями // Прикладная механика. Т. 6. - №12. - С. 42-49.

21. Гузь А.Н., Роджер А.А., Гузь И.А. О построении теории разрушения на-нокомпозитов при сжатии // Прикладная механика, 2005. Т. 41. - №3. С. 3-29.

22. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: СК Пресс, 1998. - 256 с.

23. Зингерман К.М. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. Дис. . доктора физ.-мат. наук. - Тверь, 2001. - 234 с.

24. Зубов JI.M. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклина-ций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. - №4. - С. 139145.

25. Зубов JI.M. О дополнительной энергии упругого тела с начальными напряжениями // Изв. Сев-Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. ес-теств. н., 1988. -№4.- С. 71-75.

26. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

27. Койфман Ю.И., Ланглейбен А.Ш. Напряженно-деформированное состояние пластины с двумя равными отверстиями при высокоэластичных деформациях // Механика полимеров. 1967. - № 2. - С. 318-320.

28. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. 187 с.

29. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 224с.

30. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: Гостехиздат, 1947. -275с.

31. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций // Прикладная механика. -1987.-Т. 23.-№5.

32. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала // Доклады АН СССР. 1988. - 299, № 5. - С. 1079-1082.

33. Левин В.А. Краевые задачи наложения больших деформаций в телах из упругого или вязкоупругого материала. Дис. . доктора физ.-мат. наук. - Тверь, 1990. - 365 с.

34. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, 1999. - 224 с.

35. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -272с.

36. Левин В.А., Калинин В.В., Рыбалка Е.В. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии на базе пакета «Mathematica»: учебное пособие. М.:, ФИЗМАТЛИТ, 2006 - 208 с. (в печати)

37. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций // Доклады РАН. 1995. - Т. 343. - №6. - С. 764-766.

38. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. Т. 346. - №1. - С. 62-67.

39. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (Под редакцией В.А.Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 408 с.

40. Левин В.А., Рыбалка Е.В. Решение нелинейных задач прочности средствами компьютерной алгебры. На базе пакета «Mathematica»: учебное пособие. Москва, ФГУП. Издательство «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. ИМ.Губкина. - 2006 - 288 с. (в печати)

41. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // Доклады АН ССР, 1980. 251, № 1. -С. 63-66.

42. Левин В.А., Тарасьев Г.С. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала//Доклады АН ССР, 1982.-264, № 6. С. 1316-1318.

43. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

44. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М.: Наука, 1980-512 с.

45. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

46. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О нелинейных соотношениях раз-номодульной теории упругости // Сборник работ по теории упругости. -Тула. ТЛИ, 1968. С.69-72.

47. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журнал МДТТ. 1968. - №6. - С. 108-110.

48. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротив-ляющихся материалов: Прикладные задачи теории упругости. ТулГУ. -М.: РААСН; Тула: ТулГУ, 2004. 211 с.

49. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учебн. пособие / Гул. гос. ун-т. Тула, 2000. - 72 с.

50. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1990.- №2. -С. 120-126.

51. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - С. 32-37.

52. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. -М.: Машиностроение, 1999. 544 с.

53. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.-255 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

55. Нечаев JI.M. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями // Работы по механике сплошных сред.-Тула, 1985.-С. 103-113.

56. Нечаев JI.M., Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле // Доклады АН СССР, 1974. 215. - № 2. - С. 301-304.

57. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиз-дат, 1948.

58. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

59. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука, 1985.-502 с.

60. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве. Справочное пособие (Под ред. Федюкина Д.Л.). М.: Химия, 1986. -240 с.

61. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1974. - 560 с.

62. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968.-887с.

63. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. 284 с.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: Наука, 1994. — 560 с.

65. Тарасьев Г.С. К теории наложения конечных упругих деформаций // Технология машиностроения. Тула, 1970. - Вып. 20. - С. 142-149.

66. Тарасьев Г.С. Некоторые вопросы и задачи нелинейной теории упругости. Дис. доктора физ.-мат. наук. - М.: 1975. -258 с.

67. Тарасьев Г.С., Левин В.А., Нечаев Л.М. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости // Прикладная механика. 1980. - 16, № 6. - С. 92-97.

68. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // Прикладная механика. 1966. 2, № 2. - С. 22-27.

69. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. Киев, 1965. - Вып. 1.-С. 251-255.

70. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: ОНТИ, 1934.

71. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 21, № 1.

72. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956. - Т. 20. - Вып. 3. - С. 439444.

73. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, № 6. - С. 1124-1126.

74. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, № 6. - С. 815-822.

75. Толоконников JI.A., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала // Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов. Л.: 1985. -Вып. 42. С. 146-152.

76. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах. М.: Мир, 1973. - 238 с.

77. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная лит-ра, 1953. - 240 с.

78. Треффтц Е. Математическая теория упругости. М.: ГТТИ, 1934. -170 с.

79. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

80. Цурпал И.А. Физически нелинейные упругие пластины, ослабленные произвольными отверстиями // Концентрация напряжений. Киев, 1965. -Вып. 1.-С. 305-311.

81. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикладная механика. 1977. - 13, № 1. - С. 3-30.

82. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

83. Ball J.M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in non-linear elasticity // Phil. Trans. Roy. Soc. London. V. A306. - P. 557-611.

84. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitation and matrix yielding under equitriaxial stress // Trans. Asme. J. Appl. Mech. - 1999. - V. 66, № 3. - P. 780-785.

85. Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Effective Elastic Properties of Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. - Vol. 67. - №4. - P. 667-670.

86. Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and Microfracturing Pattern for Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. - V. 65. - № 2. - P. 431-435.

87. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940.-№ 11. - P. 582-592.

88. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Willey, 1951.- 140 p.

89. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. - P. 459-508.

90. Signorini A. Transformation termoelastiche finite // Ann. Mat. Pur. Appl. 1949. V. 30. - № 4. - P. 1-72.

91. Stoppelli F. Sulla sviluppabilita in serie di potense di purmametro delle equazioni dell' Elastatica isoterma // Rendironti dell' Acad, di Scienze. Fiz. e. Mat. Delia Soc.Naz. di Scienze. 1955. - V. 22. -№ 4. p. 427-467.

92. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Declinations in Elastic Bodies. Berlin: Springer, 1997.