Перераспределение конечных деформаций при нелинейно-упругом взаимодействии матрицы и включения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Мишин Иван Андреевич

ООЗОБЗЮБ

Перераспределение конечных деформаций при нелинейно-упругом взаимодействии матрицы и включения

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диесф1ации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула-2007

003053106

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель -доктор физико-математических наук,

профессор Левин Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Матченко Николай Михайлович

- кандидат физико-математических наук, доцент Гамлицкий Юрий Анатольевич

Ведущая организация - Институт автоматики и процессов управления

Дальневосточной) отделения Российской Академии Наук

. С/О

Защита состоится 2007 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92,12309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А.Толоконников

Общая характеристика работы

В диссертационной работе рассматривается решение плоской задачи об образовании кругового упругого включения в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Учитывается, что образование включения приводит к перераспределению в теле конечных деформаций. Форма включения считается заданной в момент его образования. Задача решена как для сжимаемых, так и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Свойства материалов тела (в дальнейшем матрицы и включения) описываются известными соотношениями для описания нелинейно-упругих материалов, предложенными различными исследователями (в том числе, Ф.Д.Мурнаганом, М.А.Муни, Л.Трелоаром, Л.А.Толоконниковым, и др.). Постановка задачи осуществляется на основе теории наложения больших деформаций. Задача решается методом Синьорини с применением метода Колосова-Мусхелишвили при использовании системы аналитических вычислений «Mathematica».

В середине 40-х годов ХХ-того века наряду с «классической» линейной теорией упругости стали появляться работы, в которых предпринимались попытки решать задачи с учетом либо «физической», либо «геометрической» нелинейности моделей. Немного позднее пришло осознание существования единой нелинейной теории упругости, были положены ее основы. Это стало мощным толчком в постановке и решении нелинейных задач, что нашло отражение в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.ИЛурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и др. На сегодняшний день общее число публикаций по нелинейной теории упругости огромно, разработаны модели и многие методы решения задач в данной области.

Используемая в данной работе система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988г.

Целью настоящей работы было предложить модель образования включения в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала, дать математическую формулировку плоской задачи об образовании включения из нелинейно-упругого материала в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях, разработать алгоритм решения поставленной задачи и получить приближенное аналитическое решение задачи с использованием системы аналитических вычислений «Mathematica».

Актуальность темы. Техническое совершенствование способствует созданию новых материалов, способных испытывать большие деформации. В случае возникновения в телах из таких материалов дефектов (включений), становится важным описать поведение самого предварительно нагруженного гела при перераспределении в нем конечных деформаций, вызванном образованием включения. Этим и определяется актуальность рассмотрения таких задач, особенно при обработке результатов мониторинга.

Применение систем аналитических вычислений, таких как «Mathematica», «Maple» и др. позволяет в некоторых случаях получить аналитические выражения характеристик напряженно-деформированного состояния тела при образовании в нем включения. Последнее позволяет в формульном виде произвести предварительную оценку прочности конструкций в случае возникновения в них включений в процессе эксплуатации.

Основными целями диссертационной работы являются:

- моделирование образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;

- определение характеристик напряженно-деформированного состояния тела при перераспределении конечных деформаций на основе теории наложения деформаций;

- получение решения поставленной задачи с использованием системы символьных вычислений «Mathematica».

Научная новизна.

Впервые, с учетом наложения (перераспределения) конечных деформаций, получено приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле. Решения найдены для различных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая учета «собственных» деформаций материала включения.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многодетного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини и системы символьных вычислений «Mathematica». Полученные в работе тестовые результаты согласуются с результатами решения задачи полученными с применением метода конечных разностей, а для малых деформаций с классическими результатами.

Практическая значимость

Впервые решена задача подобного рода. В ряде случаев получены приближенные аналитические выражения для различных моделей сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем включения. Такие результаты можно применять для анализа прочности при конечных деформациях с использованием нелокальных критериев. Результаты работы использовались при выполнении

работ по грантам РФФИ (№98-01-00458, № 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика».

На защиту выносятся:

- модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;

- математическая формулировка при конечных деформациях плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения;

- алгоритм решения задачи для различных нелинейно-упругих определяющих соотношений;

- решения (в том числе и приближенные аналитические) поставленной задачи, полученные с использованием системы символьных вычислений «Mathematica».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2001 и 2002 гг. (г. Тула); на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова в 2001 г. (г. Москва); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2003-2005 гг. (г. Тула); на пятнадцатом и шестнадцатом симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2004 и 2005 гг. (г. Москва); на 6-й научно-технической конференции «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России» в 2005 г. (г. Москва); на XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в 2005 году (г. Москва); на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в 2000, 2001, 2003, 2005 гг. в МГУ им. М.В. Ломоносова; на научных семинарах кафедры «Вычислительная механика» МГУ им. М.В.Ломоносова (под руководством акад. В.П. Мясникова), кафедры «Механика композитов» МГУ им. М.В. Ломоносова (под руководством проф. Б.Е. Победри), кафедры «Математическое моделирование» ТулГУ (под руководством проф. A.A. Маркина).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 публикациях.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Работа изложена на S/2- страницах машинописного текста, содержит рисунка,

список использованных источников из наименований.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи данной работы, приведена аннотация содержания диссертации.

В первой главе кратко изложены основные соотношения теории наложения конечных деформаций. Приведены, используемые в работе кинематические соотношения, определяющие соотношения, уравнения равновесия и граничные условия.

Ниже приведены основные термины и обозначения теории многократного наложения конечных деформаций.

Я - радиус-вектор частицы в п-м состоянии;

- лагранжевы (материальные) координаты частицы;

п

э, - базисные векторы в /7-м состоянии;

и г?—1

и„ =Я- Я - вектор перемещений, характеризующий переход из предыдущего (и-1)-го состояния в последующее п-е состояние;

£ 9

V = э--оператор градиента;

а?'

¿VI/,, - аффинор

деформаций (т < я);

-Ч^,-Ч/„,<( - тензор деформаций, описывающий

изменение деформаций при переходе тела из состояния ^ в состояние р и отнесенный к координатному базису т-го состояния;

^ч г = ^ч р' /> ~~ тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и соответствующая мере Грина (С0, — тензорная мера Грина);

= Т^ -Ч* - тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние р и соответствующая мере Фингера - тензорная мера Фингера);

Г(/, = - «левый» тензор Генки (при д = 0, р = 1);

Рп> /„ ~ плотность и массовая сила вл-м состоянии;

Ат„ - относительное изменение объема при переходе из т-го в п-е состояние;

<Учи - тензор истинных напряжений, накопленных в теле при переходе из начального в п-е состояние (при п = 1 это тензор Коши);

Еол =(1 +Д0„)сго,„ - тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе п-го состояния;

Ео,„ - тензор обобщенных (полных для и-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т-го состояния:

т п

т т т

=Ео,Р-То,„ - тензор обобщенных дополнительных напряжений,

определенный в координатном базисе произвольного т-го состояния;

к

Г» - граница тела в п-м состоянии в координатах к-го состояния; к к

Ы„ - нормаль к Г„; • • - знак двойной скалярной свертки; г - знак транспонирования. Индекс над символом, кроме э и Л, указывает номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется данная величина.

В диссертационной работе материалы «матрицы» и «включения» моделировались следующими нелинейно-упругими определяющими соотношениями:

1. Сжимаемые материалы: - материал Мурнагана

о л о ( о

£о,„ = Л Ео,„--1 \1 + 2GEo,n+ ЗС, Eo,„--I 1 +

+С4

О 2 >\

Ео.п ••/

о л о Га

/ + 2С4^£о.,--дЯо,л+ЗС5^£о,^ , (1)

- материал Л.А.Толоконникова1

Ьо,„=Л(г0у1)1 + 2СГ0„. (2)

2. Несжимаемые материалы:

- материал Муни

=у|о+т.,+(1 - Р)[{Ро,„ ■ - ]} - , (з)

- материал Трелоара

°"о,„ = РЪ* ~ Ра,„!> (4)

- материал Черныха

= ^{(1+/?)С+0-№7)- л/' (5)

- материал Бартенева-Хазановича

(б)

- материал Л.А.Толоконникова

^О,=2АГ0,„-Р0,/, (7)

- материал Валаниса-Ландела

а0,„ = 2С1п^-р,„/, (8)

1 Здесь и далее при описании материала Л Л Толоконникова использованы результаты и обозначения А А Маркина (Нелинейная теория упругости учеб пособие / А А Маркин Тул гос ун-т - Тула, 2000 - 72 с В частности,

î*o. = R Хо» Л*1, где R - ортогональный тензор поворота

Во второй главе диссертации рассматривается модель образования включения в предварительно нагруженном теле, математическая постановка задачи об образовании кругового включения в предварительно нагруженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом теле. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций.

Предложена следующая модель образования включения (Рис.1):

Материал А

7ГТ

Материал В

Материал А У

-- Л

Л А

V,

У

Материал Б

V

А

Рис. 1 Модель образования включения.

Пусть первоначально имеем две ненагруженные бесконечно протяженные плоскости из различных нелинейно-упругих материалов. Приложим к плоскостям в общем случае произвольные различные нагрузки. При этом, в терминах теории многократного наложения конечных деформаций, «тело переходит в первое промежуточное состояние». Далее, в каждой из плоскостей наметим мысленно круговой замкнутый контур (границу включения), причем радиусы намеченных контуров различны, но математически близки (ДЯ = (д2-Л,)-»0.) Затем, изымем из каждой плоскости намеченные части, заменяя их действие на оставшиеся внешними силами по принципу освобождаемое™ от связей. Наложим изъятое нагруженное включение большего радиуса на оставшуюся часть плоскости с

изъятым включением меньшего радиуса «спаяв» части тел по границе и снимем внешние силы, действующие на каждую из частей соединяемых тел; при этом предполагается, чго существующее различие в радиусах включения и полости в плоскости мало и не приводит к «вспучиванию», а также к возникновению динамических эффектов. Считается, что такое соединение приводит к перераспределению в рассматриваемой плоскости конечных деформаций и напряжений, по крайней мере, вблизи включения и некоторой его окрестности. Тело переходит во второе промежуточное состояние, оно же конечное в данной модели, при этом, естественно, меняется и граница включения.

Далее в работе конкретизируется математическая постановка краевой задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле в координатах первого (промежуточного) состояния, т.к. в этом состоянии задана форма включения, а также напряжения и деформации. Соотношения записаны для случая отсутствия массовых сил. Уравнение равновесия:

= 0.

Граничные условия равенства напряжений и перемещений на контуре:

( 1 I \ ( 1 ' \

=

V 1! У тиШх Ч 12 )

(9)

(Ю)

(И) (12)

(13)

Далее приводятся уравнения, которые входят в постановку задачи и связывают тензор истинных напряжений ст0 2 с аффинором деформаций Ч^ (и соответственно градиентом вектора перемещений), для различных типов используемых в работе материалов.

Записываются геометрические соотношения:

= <Тп

Условие несжимаемости:

До:=0.

И-Д^сЫЧ'о.г,

ш _ш .ш т 0,2 т 0,1 т 1,2 '

Ч\2=/ + Уи2.

Решение поставленной задачи позволяет, в частности, найти вектор перемещений и2 как функцию координат первого (промежуточного) состояния.

Затем в работе излагается метод линеаризации полученной нелинейной задачи - метод Синьорини. Приведем основные идеи этого метода: решение

2 Термин «спаяв» означает, что при таком соединении материалов требуется выполение условия равенства векторов напряжений и перемещений на контуре соединения

исходной нелинейной задачи ищется в перемещениях в виде бесконечной суммы

и, + //;" + ..., где и','1 ~ q'*]. (14)

Вектор ¿/V (/= 1,2,...) называют поправкой от учета эффектов (/ + 1)-го порядка для перемещений при переходе из 1-го во 2-е состояние. При таком подходе выделяется безразмерная величина q, определяемая следующим

образом: (¡^maxf^22^,— |, где ст1ШЧ = шах|сг™, I. Далее в подобном виде

v С G J " 1

представляются и другие характеристики напряженно-деформированного состояния. Подставляя эти разложения в уравнения, входящие в постановку задачи, и сгруппировав члены одинакового порядка, можно получить бесконечную последовательность систем линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в конечном состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала и\0] и сг^ (нулевое приближение), затем иi" и сг^ (первое приближение) и тд. В настоящей работе выполнены расчеты для нулевого и первого приближений.

Применение метода Синьорини позволяет получить постановку задачи в приближениях, причем на каждом этапе метода эта задача линейна. Уравнение равновесия:

I i<°)

V-Io;=0,

~ 1 (1) 1 (0) ' (0)

/(О _ д(°) 12 I

- о.

(15)

(16)

Условие несжимаемости (для несжимаемых материалов):

Ai°'=0, Д!'» = 0.

Граничные условия:

( 1 1 \ ( , , \

= м- S3

ч matrix ч Г:

(»14 ) =(г<4 )

V ^ / Ш, г V /

Г . , \ ( 1 1 N

м- р = AVli'i 1

V К J matrix n У

ш. ) =(4 )

V V Ь/

Условия на бесконечности:

0,2 >

т(1) _

= 0.

(17)

(18)

(19)

(20)

(21) (22)

(23)

Далее в диссертационной работе приводится запись в приближениях определяющих и геометрических соотношений, а также записывается в общем виде постановка краевой задачи в перемещениях для /'-го приближения:

- для сжимаемого упругого материала:

ч-ц И

ЛГ,

' 2 ' пичих \ 1 2 /Ук1

ш ) =Ш )

-для несжимаемого упругого материала:

\ " 2 Лмнт \ |гз /,к

("111 =N11'

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

где /",'" - вектор «фиктивных» массовых сил для /-го приближения, -вектор «фиктивных» поверхностных сил, приложенных к границе включения (/:<0'= £?:°'= 0 для нулевого приближения); ¿,[и] и Ь2[и, р] линейные операторы, определенные следующим образом:

¿|[«] = Я(У-м)/ + С(Ум + мУ), (35)

[и, р} = //(1 - Р){у ■ и)1 + + «V) - р!. (36)

В третьей главе приводятся подробные алгоритмы решения поставленной задачи об образовании включения в предварительно нагруженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом теле для сжимаемых и несжимаемых материалов. Приводится для каждого приближения линеаризованная постановка задачи в комплексной форме, рассматривается применение метода Колосова-Мусхелишвили к ее решению.

При этом вводится тензор соответствующий тензору напряжений линейной упругости. Для сжимаемого материала 5 = для

несжимаемого 8 = Ь1[и, р]. Тогда векторы и, /, N и тензор 5 могут быть представлены в координатной форме следующим образом:

и = и,е, + и2е2 + м3е3, (37)

0=£?,е,+£?,*, (39)

N = Ы^+Ы2е2, (40)

5 = ,(?,«>, + + ,с, + $22е2е2 + Б.^е.е.. (41)

В рассмотрение также вводятся:

- комплексные переменные

г = х, + Ьс2, г = х, - ¡х2, (42)

- функции этих переменных:

= F(z,z) = •J(./;+íУ2), (43)

г) = £,+/&, Щг, 2) = М1+1Ы2, (44)

- комбинации компонент некоторого тензора Т второго ранга (в декартовой системе координат):

Т,=Ти+Т22 +1(Т12 -Т2]), Т„ =Ти-Тп +1(7;, + т2]) (45)

Например, для случая плоской деформации и сжимаемого материала уравнения равновесия и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комплексной форме следующим образом:

^ + ■^ = 2^, (46)

дг 81

[АД, + = [ЛИ, + Л®„|Г -01, ]а/, (47)

+ + 3,-40-. (49)

Решение линеаризованной краевой задачи ищется в виде:

и'=и'н +х = (5°)

Р = Р«+Рол,,' Е»=£}}»+£ззтн> (5!)

где 5Н, рн, £33|) - некоторое частное решение линеаризованной задачи, ^одн» ^одв, Роди» £ззодн ~ решение линеаризованной задачи для однородной системы уравнений.

Получены и приводятся для всех случаев формулы для нахождения частного решения линеаризованной задачи, при этом считается, что функция F(z, I) является аналитической функцией аргументов г и г в области, занимаемой телом. Например, для случая плоской деформации сжимаемого материала эти формулы имеют вид:

40(1720) [(А + ЗС) ~{Я + 0)ИР(Ыг]' (52)

м> =-

и».

Рассматривается подход к решению линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили Ф(г) и ¥(г):

-Г*

й, од„ = 2[Ф(*) + Ф(0], 5Я одн = + гф^].

Далее в работе приводятся графические иллюстрации полученных

результатов для различных типов взаимодействующих материалов, стц

(54)

(55)

1 г а « 5

Рис. 2. Материалы Муриагана и Л.А. Толоконникова. Растяжение вдоль оси

х нагрузкой ^ =

На рис. 2 представлено распределение компонент сги,а22 матрицы и включения, отнесенных к модулю Ст матрицы, вдоль координат х,у соответственно для случая плоской деформации материала Мурнагана с

параметрами:

Л„ = 1-07, G. = 0.477,С, = -0.93,C4m = 1.72, С,. = -5.31

\ = 0.39,G, = 0.186,С3„ = -0.013,С«. = -0 07,С5,

: 0 63

при

растяжении вдоль оси ОХ нагрузкой р = 0.3Gm. Для сравнения здесь же приводится подобное распределение напряжений для случая растяжения тела из материала Л.А.Толоконникова (сжимаемый) с параметрами: Аи =1.07,Gm =0.477, А„ =0.39,Gv =0.186. На графике: 0 - нулевое приближение (линейное решение), Ш - первое приближение для материала

Мурнагана, \Т - первое приближение для материала JI.A. Толоконникова.

Си

Рис. 3 Материалы Муни и Валаниса-Ландела. Растяжение вдоль оси

х нагрузкой д = 0.\/лт.

На рис. 3 представлено распределение компонент ои,агг матрицы и включения, отнесенных к модулю цт матрицы, вдоль координат х, у соответственно для случая плоской деформации при описании материала матрицы соотношениями Муни с параметрами: /хт = 1.98536,/Зт =-2.63905,

а материала включения - соотношениями Валаниса-Ландела с параметром С = 3 54870 при растяжении вдоль оси ОХ нагрузкой р = 0.1д„. В данном случае, константы материала Муни соответствуют брекерной резине с шифром 2э-2560. На I рафике. 0 - нулевое приближение (линейное решение), 1 - первое.

Здесь же, на рис. 4, приведено сравнение решения, полученного методом Синьорини (первый график), с решением, полученным с использованием метода конечных разностей (второй график) для случая всестороннего нагружения материалов Мурнагана с параметрами А,„ = 1.07,б,,, = 0.477,С„„ = -0.93,С4„, = 1.72,С5„, = -5.31

А, = 0.39,С, = 0.186, С3, =-0.013,С4т=-0.07,С5т= 0.63'

0.1

О □':•

0.04

1* "я

—.—,—,—,—.—.—.—«—.—.—1—I—.—|—,—.—.—.—I—.—I—.—.—, о

и 1 2 3 4 6

Рис. 4. Сравнение решений.

При сравнении решений, полученных двумя различными методами, различие в численных значениях в среднем составляет 5-7%.

Также в Приложении 2 работы для некоторых случаев приведены приближенные аналитические выражения характеристик напряженно-деформированного состояния рассматриваемой задачи. Представим некоторые из них.

о

Приведем выражения компонент тензора напряжений для включения придвуосном растяжении вдоль оси ОХ нагрузкой /?,вдольоси ОУ нагрузкой с/, когда свойства материала матрицы и включения описываются

соотношениями Муни сг„ „ = ^|(1 + /3)Р„ „ + (1 - /?)[(/;, „ • „ - ]| - ра„/ :

°"м,„ = 1

320 да (да . 0)!

р' (140 да!- (140 +119 - у - 420 у1 ♦ 30 у*-119 у' + 80х:у (-5.32'/) -5х4 (-86. 357 у1) - 43 х у (-5 -15'/. 6у4) . 5*' (100 - 276 у'. 357 у4)) да' (Я . 2 (10.119 х' -1248 х! у - 500 у' » 170 у' -119 у'« 160 х! у (-3 ♦ 16 у1) -5 х' (-82 .357 у1). 16 х у (5.30 у1 -18 у1'). 5 х1 (100 - 348 у1 .357 у1)) да*«' . (300 - 119 х1.1248 х! у. 580 •/ -310 у1.119 у' - 80 х' у (- 7 . 32 у').15 х4 (-26.119 у'). 16 X у (5 -15 у'. 18 у') - 5 х' (100 - 420у'. 357 у4)) ¡л') -2 р (-80да (да . щ)' (да. 3 ¡я)« и (220 да' - (100.119 х1 -1248 х1 у - 500 у1 « 50 у1 -119 у' . х4 (450 -1785 у'). 80 х' у (-5.32 у'). 16 х у (20.25 у' -18 у1)«5 х! (100 - 300 у'« 357 у*)) да V* 2 (-30.119 х' -1248 х' у - 500 у1 . 170 у* -119 у' ♦ 160х'у (-3.16 у1) - 5х4 (-82»357у'). 16 X у (5.30у! -18 у') . 5 х' (100 - 348у!. 357 у')) да• (260 -119 х'. 1248 х! у 500 у' - 290 у* ♦ 119/ - 80 х' у (-7.32 у') ♦ 5 X1 (- 74 « 357 у1). 16 х у (10 - 35 у1 » 18 у') - 5 х' (100 - 396 у1 . 357 у')) «/)). 5 (160«! да.„V) (да.(Г)'<<н300да!- (60 . 119х* - 1243х*у - 530у1 . 70у4 -119у' . 80х' у (-5 + 32уг) - 5ч4 (-94 . 357у'). 16ху(:5.5/-18/|.5х' 1100 - 324у1.351-/))да1т.2(-70.119х'-1:43х,у- 500 у1»Р0/-11'а/. 160X'у 1-3 »16'/I -5х4 |-8:.35>/| ,16ху 15.30/ -18у4). 5х' 1100 - 345/. 35Т,'41) дае'/«-119 х'. 1:43ч'у 420/ -270у4.119у'-80х'у (-7+ 32 у1) . 35 х4 (-10 + 51 у1). 16 х у (15-55 у1. 18у4| - 5х' (100 - 37г/.351у411*л'!1)

СГ„ =

—а/

1

320 да(да.(Л/)>

1р' (300 да'. (-60.119х'- 1728х!у- 500у'.230у4-119/-105х4 (-6.17у'). вОх'у (-1.52у') - 16ху (25-25/.48у4). 5 х' (116 - 516 у1 . 357 у4|) ц»V -2 (70.119 х' - 1728 х1 у- 500/ .290 / - 119 /. х4 (530 - 1785 /1. 160 х' у (- 3.26 /) -16 х у (5 - 30 у'. 43 у4). 5 х' (100 - 492 у1 . 357 у4)) да ¡к'. (220 . 119 / - 1728 х! у - ВД /. 350у4-119/.80х'у (-11.52'/| -5х4 (-86 . 357'/) ♦ 16 х у (15 . 35/-48 у4). 15 х1 (23 - 156 у!. 11« у*11 -2р(-80да(да-(Д1) (л.^|'.|](2:0>Л1:.1-100.1Их|-П28х!у- 500/.250у4-и9/.х4|650 -Р85/|.80х,у|-5.5-у')-

16ху|20-:5/. 48у4),5х (100 - 54и/. 357 /) I да'|Я-2 (30.119 ч' - 17:8 ч* у-аду' • :90 у'-11«/ .х41530 - 1785/; 160 х' у (- 3. >6 у') -1« х у (5 - 30 / . 48 /;. 5 х' (100 - 492 у'. 357 у4)) да («' ♦ (260 • 11« х' - 1728 х' у - 510 /. 330/-П9/.80х'у(-7.52/)-5х4 (-82 . 357у') .16ху (10 . 35/-48 у4).5х' (100 - 444/.357/л(Л>!1)« <1(160л» ил.|Л'Г (да.3^1.4(140да'. (-140.119х'-1728х'у- 500/. 270у4-119у'.х41^0 - 1785у'|.8ич у|-«.52'/|-16ху (15-25/. 43/) .15ч! 1:8-188/.119/))(Л1(Я-2(-10.119х'-1728х'у- 500 /.:90/- 11?/. х4 (530 -П85/).160х'у(-3.2б/)-16ху(5 - 30/.48 у4).5х' (100 - 492/.357 у4))»а»я'.(ЗОО.ИЭх'-Пгвх'у-ЗОО /. 310 у4 -119 /. х4 (390 - 1785 /) • 80 х' у (-3.52 /). 16 х у (5«35 / - 48у4). 5 х1 (116 - 420 /. 357 у4)) ))

<Т., = <7,. =

■А*/

1

■ ((Р-Ч) 6»-(я)(я

160(4 (да «(/V)'

(р С С-80+144 х' ♦ 357 х' у ♦ 60 у' ♦ 90 у1 - 24 у' 4 х' (10-1560 Л ♦«' (8501-1190/) «20х! (5-15/«48у4) «ху (500 - 460/« 357у'))да-(40+144х' + 357х'у-г0у| + 30у*-24у**х*(110-1560/) а1 (780у-1190/)«60х' С-1 -7у'+16у1) «ху(500-700/«357у4))(я) |[((-80.144х1.357х!у»100/.10/-24/-ЗОх4(-3.52/) «х! (940у-1190/) .60 X1 (1-5/« 16у*) «ху (500-540/«357 у1)) да-(40 ♦ 144 х' * 357 х* у - 60 у1»110 / - 24/ - 70 х1 у (-10 ♦ 17 /) -30 х4 (-1 ♦ 52 /) ♦ 20 х1 (-1 - 21 /«48 /) ♦ х у (500 - 620 /«357 /)) /я))}

Приведем выражения компонент тензора напряжений для включения при двуосном растяжении вдоль оси ОХ нагрузкой р, вдоль оси ОУ нагрузкой <7, когда свойства материала матрицы и включения описываются соотношениями Л.А. Толоконникова <т,(|)/| = 2//Г„„ - рип1:

1

(-р! (11-х(*12х5у-24у' + 14у,+у' + 3*4 (-2|5у!) + 4х'у С-7 + Юу1)-Зхг И»8у'»5у'Ьх(4у»44у1-36у'))(а1|<»« (•5»2х'-24*!у»24у|-1ву1-2у'<*' (6 - 30 у1) + х' (64у-80у') + 6х' (-4»6у|*5у,))8ху(-3-8у!*9у,))(а(яЧ (-11-х' + 12х!у»15х4у1»4уЧу' йх'у (-9(10/)-Эх1 И»4у'»5у,)-«ху(-5-5у1»9у,))^1)4Ч№1-Й От+^гзЧЧ[3^' + (-4+х1 - 12х'у-Иу'-у'♦ (М3у!)»х' (28у-40у')*Шу(-1-у'»Зу4)»Эх' (.ыгуЧзу1))^

(-7-ч( + 12х'у-г4у' + 2у44у' + 4х,у (-9+Юу1) +х( (-2*15 у') ♦ 4ху(3»1Эу'-9у')-Зх' (-4»5у'))^)Ь2р Сра+Зрпг) + + (9-х' +12х5у-12у' +15у4+у(» 5х* (-1 + Зу£) + 4х} у (-7 +10 у1) * 4ху (2 + 7 у1 - 9у*)-Зх1 ИИОу'^у4)) *л'/л;*(-Ь2х|-24х!у«24у|-18у,-2у,(х1 (6-30у!)(х' (64у-80у') +6х' (-4»6у' + 5у') + Вху (-3-8у'

(9+х(-12х!у*12у'-Зу4-т'4Х4а-15у!) «х' (Збу^у'ьЭх' (-4.2у!.5у') .4ху (-4-9у!(9у,))С,))1 =

-(р' - (7 + х'-36х5у + 12у'(16-15у!) + 3х( у1 (-12 + 5у!) +4х* у (3*10у1) + 4ху (3-7у! + 3у*)} +

(-3 + 2х1 -72х!у*24у1-6у1-2у' -6х* (-3»5у') .16х'у (4<5у') .8ху(3-6у1 .Зу').6х! (-4-6у'»5у'))(Л|да'. (7-х'»36х'у-12у'»2у'.у'-4х'у(13(10у!) »х1 (-2»15у!) - Зх1 (-8»5уУ 12х (у-3у'.у!)) рн') .2р (¡л-Р) (4¡а ((Л<(г;)!<

(г-хЧзбх'у-Иу'м'ЧгЧзх1 (-1 »5у') -4х'у (9»10у') *х! (12♦ 5у1 -15у4)-4ху (4-9у'+ Зу4))^')) »5(8щ((а»*»)1 Сип Зду)-Ч (5дв'+ (1их'-36х1у»12у'-6у,-у'»х' (14-15у1) »х! (44у.40у') »Зх' (-8-8у'»5у') »4х (у-7у! (5»2х'-72х'у.24у,-6у,-2у'-6х,(-3.5у,).16*'у(4»!у!)»8ху(3-6у,.3у,).6х' И-бу^у*))^'. Мих'-Збх'уПгу'-уЧх* (4-15у1) + 3х1 у( (-4+ 5у') *20х} (у»2у3) *4ху (5-9у' + Зу*)) ¿л')))

1 -М - '.1/

1

ч(я)>

((р-Й (1|((-4-6х'-6х!у»6у' »Зу'-бу'йх'у (-4»5у') «х1 (11 + 30у1) -бху (-4«4у'*у1) »х' (2-42у'(30у,))((1»

(8.6х'(6х'у-6у!-13уЧбу'-5х'Му!)а! (6у-20у3) + 6ху(-4♦ у4)-2х®(5-27у!*15у'))(л>)* р ((4+ 6х' 6х*у-2у' - 11у4+6у'-4х'у (-6 + 5у!) - Зх4 (1 + 10уг) + 2ху (-12+8у4+3у4) - 6х' (1-7у!+5у'))р4 (-8-6*,-6х,у*10у*+20*,у,+5у*-6у, + х4 (13+ЗОу1) +6х1 (1-9у'»5у,)*х(24у-8у!-бу!))^Ш

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Предложена модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле

2. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения, для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов.

3. Разработан алгоритм решения задачи. Получены решения, в том числе приближенные аналитические (в символьной форме), плоской задачи о круговом в момент образования включении для разных типов нелинейно-

упругих материалов с использованием системы символьных вычислений «Matematica».

5. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Для рассмотренных случаев разница между линейным и нелинейным решением достигала 35%.

Публикации по теме диссертации

1. И.А. Мишин. Задача о влиянии давления, прикладываемого к берегам эллиптической щели. //Региональная научная студенческая конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула23-25 мая 2000г.-С. 52.

2. Левин В.А., Зингерман K.M., Мишин И.А. К постановке задачи о взаимодействии плоских упругих включений, последовательно образующихся (возникающих) в упругом теле. Наложение конечных деформаций. \\Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сборник научных трудов. Тула, 2000г.-С. 103-108.

3. Левин В.А., Зингерман K.M., Мишин И.А., Кузьмич CA. К постановке задачи о поведении тела с включением, возникшим в процессе нагружения. Конечные деформации.\\ Одиннадцатый симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов» ГУЛ «НИИ шинной промышленности», Москва 23-27 октября 2000г.-С. 50-53.

4. Левин В.А., Мишин И.А., Рыбалка Е.В. Плоская задача о взаимодействии последовательно образуемых концентраторов напряжений в вязкоупругом теле. Наложение конечных деформаций. \\Известия Тульского государственного университета. Серия Математика, Механика, Информатика. Том 6 Выпуск2 Механика. Тула 2000г.-С. 90-94.

5. Левин В.А., Кузьмич С.А., Мишин И.А., Рыбалка Е.В.Об использовании средств компьютерной алгебры для решения плоской задачи об образовании отверстия в предварительно нагруженном теле. Конечные деформации. \\Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула 21 -23 ноября 2001 г.-С. 88-89.

6. Рыбалка Е. В., Левин В.А., Зингерман K.M., Мишин И.А. К решению плоской задачи теории многок4ратного наложения больших деформаций средствами компьютерной алгебры. \\Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула 20-22 ноября 2002г.-С. 141-142.

7. Левин В.А., Мишин И.А. Об одном походе к решению плоской задачи об нелинейно-упругом включении в упругой бесконечной матрице средствами компьютерной алгебры. Конечные деформации. Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула 18-21 ноября 2003г.-С. 187-188.

8. Левин В.А., Мишин ИА., Вершинин А.В.Решение задачи об упругом или жестком включении, возникшем в предварительно нагруженном

теле из высокоэластичного материала с помощью программного комплекса «Напожение».\\ Пятнадцатый симпозиум «Проблемы шин и резинокордныч композитов» ГУП «НИИ шинной промышленности», Москва I 8-22 октября 2004г -Т 2.-С. 33-39.

9. Левин В.Д., Мишин И.А. К приближенному аналитическому решению плоской задачи об образовании кругового упругого включения в предварительно нагруженном теле. Конечные деформации. \\Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула 17-19 ноября 2004г.-С.111.

Ш.Левин В.А., Мишин И.А. Задача об образовании упругого включения в нелинейно упругом предварительно нагруженном теле. Конечные деформации. \\Известия Тульского государственного университета. Серия Математика, Механика, Информатика. Том 10 Выпуск 3 Механика. Тула 2004г.-. 127-133.

П.Левин В.А., Мишин И.А., Рыбалка Е.В., Вершинин A.B. К расчету напряженного состояния массива при образовании в нем полости или включения с помощью авторского программного комплекса для аналитических вычислений на ЭВМ "Наложение". Конечные деформации // 6-я научно-техническая конференция, посвященная 75-летию РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России». Тезисы докладов - Т 2. - Москва, 2005. - С 414-415.

12.В.А. Левин, И.А. Мишин, A.B. Вершинин. "Плоская задача об образовании включения в упругом нагруженном теле. Конечные деформации" Вестник Московского Университета, серия 1, Математика. Механика. 2006г. №1 .-С.56-59.

Мишин И.А.

Автореферат

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12 02.97. Подписано в печать О ( 2007 I Формат буча! и 70x100 | 16 Бумага офсетная Уел иеч Уч.-изд. л.^

I ираж 100 ж! Заказ /«О

и.и.ский юа юрствсниыйу ниверситет 300600, г I ула, просп. Ленина, 92

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г Тула, у л Боллина, 151

Введение.

Глава 1. Основные соотношения теории наложения конечных деформаций, необходимые дли решения задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле.

1.1. Используемые основные термины и обозначения.

1.2. Кинематика деформаций.

1.2.1. Векторные базисы.

1.2.2. Аффиноры деформаций.

1.2.3. Тензоры деформаций.

1.2.4. Представление тензоров деформаций через градиенты смещений.

1.2.5. Другие тензорные характеристики деформаций.

1.2.6. Изменение элементарного объема и элементарной площадки при деформации.

1.3. Определяющие соотношения.

1.4. Уравнения равновесия и граничные условия.

1.5. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.

Глава 2. Постановка задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле.

2.1. Модель образования включения.

2.2. Общая постановка задачи.

2.3. О применении метода Синьорини.

2.4. Постаноика задачи в приближениях.

Глава 3. Алгоритм решения задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле. Результаты расчетов.

3.1. Сжимаемые материалы.

3.2. Несжимаемые материалы.

3.3. Анализ результатов расчетов.

3.3.1. Сравнение методов.

В диссертационной работе впервые получено решение плоской задачи об образовании в предварительно нагруженном теле кругового нелинейно-упругого включения. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих соотношений. Форма включения задается в момент образования. Учитывается, что возникновение включения приводит (по крайней мере, в его окрестности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [32,33].

В середине 40-х годов XX века, наряду с «классической» линейной теорией упругости, стали появляться работы, в которых предпринимались попытки решать задачи с учетом либо «физической», либо «геометрической» нелинейности моделей. Немного позднее пришло осознание существования единой нелинейной теории упругости, были заложены ее основы. Это стало мощным толчком в постановке и решении нелинейных задач, что нашло отражение в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилип, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толокопников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, PJ.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и др. На сегодняшний день общее число публикаций по нелинейной теории упругости огромно, разработаны модели и многие методы решения задач в данной области.

Интерес к построению моделей, учитывающих положения нелинейной теории упругости, обусловлен также и использованием в современных технологиях высокоэластичных маетриалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [63]. Описания подобного рода моделен для высокоэластичных материалов можно найти в работах Р.Ривлина [97], М.Муни [95], Л.Трелоара [82,83], В.В.Новожилова [60,61], Л.И.Седова [69], А.И.Лурье [47], А.Грина и Дж.Адкинса [1,14], К.Трусделла [84], Д.И.Кутилина [29]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости внесла и тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [77,78, 79,80]. Задачи, поставленные и решенные тульскими учеными, можно найти в работах Г.С.Тарасьева [71,72,73], Н.М.Матченко [49,50,51], А.А.Маркина [52,53,54], В.А.Левина [32,33] и их учеников.

Зарождение в рамках теории упругости концепции наложения деформаций было обусловлено тем, что при рассмотрении многих практически важных задач исследователи сталкивались с проблемой, когда тело уже имело начальные деформации и напряжения. В случае, если эти начальные деформации и напряжения малы, достаточно использования классической линейной теории упругости. Если же нет, то в качестве упрощения удобно принять, что начальные деформации большие, а вновь приобретенные - малые. Это привело к созданию теории наложения малых деформаций на большие, результаты которой нашли широкое практическое применение. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено, например, в [10]. Однако ко многим задачам такая теория не применима, например, для задач, когда концентраторы напряжений (полости, включения) образуются в теле, уже имеющем большие деформации и напряжения. А это значит, что есть необходимость в развитии и применении теории наложения больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [71,72] и В.А.Левиным [31,32,44,45,81].

Особенностью теории многократного наложения больших деформаций является рассмотрение нескольких состояний тела: начального (ненапряженпого), (/г-1)-го промежуточного и конечного - состояния тела после деформирования. Считается, что деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия, причем под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних нагрузок, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).

Термин «наложение больших деформаций» не следует ассоциировать с математической суперпозицией деформаций. Это означает, что параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него не есть сумма параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого отдельного воздействия на него, как в случае малых деформаций. Также отметим нелинейность связи между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения; нелинейность представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений. Решение такой задачи приводит к проблеме решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.

Именно поэтому постановка и решение задач о поэтапном нагружении тел крайне сложна, что и обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.

В данной работе для решения исследуемой задачи использовался метод Синьорипи, предложенный применительно к механике деформируемого твердого тела в работах Ф.Стопели и А.Синьориии [98,98]. Применение метода Синьорипи к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23,24,31,32,33,36,38,39,37,58,59,73].

Использование данного метода позволяет свести решение исходной нелинейной задачи к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Идея использования такого подхода состоит в том, что на каждом шаге метода Синьорини плоская задача линеаризованной упругости для одпородного тела с включением может быть решена методом Колосова-Мусхелишвили [27,28,57]. В данной работе получено два первых приближения метода Синьорини.

Известным недостатком метода Синьорини является вопрос о его сходимости, поэтому в данной работе было проведено сравнение результатов, полученных этим методом, с результатами численных расчетов, полученных методом конечных разностей.

Применение метода Синьорини к решению исследуемой задачи связано с определенными трудностями проведения промежуточных аналитических выкладок для каждого приближения. Однако с развитием компьютерной техники и появлением систем символьных вычислений, таких как Mathematica, Maple и др., становится возможным получить в том числе и приближенные аналитические (в некоторых случаях) выражения характеристик напряженно-деформированного состояния для подобного рода задач. Используемая в данной работе система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы символьных вычислений «Mathematica» к решению задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [66,34,37]. Необходимость создания специализированного программного комплекса на базе системы символьных вычислений «Mathematica» при наложении конечных деформаций обусловлена неспособностью широко распространенных современных промышленных пакетов на базе метода конечных элементов решать задачи подобного рода.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Техническое совершенствование способствует созданию новых материалов, способных испытывать и выдерживать большие деформации. В случае возникновения в телах из таких материалов дефектов (включений) становится важным описать поведение самого предварительно нагруженного тела при перераспределении в нем конечных деформаций, вызванном образованием включения. Например, это важно в задачах мониторинга. Вышеизложенным и определяется актуальность рассмотрения задач теории наложения конечных деформаций для включений.

Применение систем аналитических вычислений, таких как «Mathe-matica», «Maple» др., позволяет в некоторых случаях получить приближенные аналитические выражения характеристик напряженно-деформированного состояния тела при образовании в нем включения. Последнее позволяет в формульном виде произвести предварительную оценку прочности конструкций в случае возникновения в них включений в процессе эксплуатации.

Основными целями диссертационной работы являются:

- моделирование образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;

- определение характеристик напряженно-деформированного состояния тела при перераспределении конечных деформаций на основе теории наложения деформаций;

- получение решения поставленной задачи с использованием системы символьных вычислений «Mathematica».

Научная новизна. Впервые с учетом наложения (перераспределения) конечных деформаций получено решение плоской задачи об образовании включения в предварительно нагруженном теле. Решения найдены для различных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая учета «собственных» деформаций материала включения. Для ряда определяющих соотношений получено приближенное аналитическое решение.

Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини системы символьных вычислений «Mathematical Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения задачи, полученными с применением метода конечных разностей, а для малых деформаций с классическими результатами.

Практическая значимость. Решена задача о перераспределении конечных деформаций в предварительно нагруженном теле в случае образования в нем включения. В ряде случаев получены приближенные аналитические представления основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем включения. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№98-01-00458, № 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика.

На защиту выносятся:

- модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле;

- математическая формулировка плоской задачи, соответствующая данной постановке;

- алгоритм решения задачи для различных нелинейно-упругих определяющих соотношений;

- решения (в том числе и приближенные аналитические) поставленной задачи, полученные с использованием системы символьных вычислений «Mathematical

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 103 наименования, и двух приложений. Общий объем работы - 112 страниц машинописного текста.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Предложена модель образования упругого включения в предварительно нагруженном теле.

2. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших деформаций об образовании в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле упругого включения для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов.

3. Разработан алгоритм решения задачи. Получены решения, в том числе приближенные аналитические (в символьной форме), плоской задачи о круговом в момент образования включении для различных типов нелинейно-упругих материалов с использованием системы символьных вычислений «Matematica».

4. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Для рассмотренных случаев разница между линейным и нелинейным решением достигала 35 %.

Заключение

1. Адкинс Дж. Большие упругие деформации/ Дж. Адкипс // Механика, сб. переводов М.:Мир, 1957.-Т. 1.- С.67-74.

2. Бартенев Г.М. О законе высокоэластичпых деформаций сеточных полимеров/ Г.М. Бартенев, Т.Н. Хазанович // Высокомолекулярные со-едипения-1960.-Т.2.-№1 С.20-28.

3. Бидерман B.J1. Вопросы расчета резиновых деталей/ В.Л. Бидерман // В книге: Расчеты на прочность.-М.:ГНТИ,1958,- Вып.З.

4. Бондарь В.Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости/ В.Д. Бондарь // Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1987.-Вып.28.-С.30-42.

5. Бровко Г.Л. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях/ Г.Л. Бровко, Л.В. Ткаченко // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика»-1993.-№4. -С.45-49.

6. Бурении А.А. К возможности установления упругопластического процесса по итоговому разгрузочному состоянию/ А.А. Буренин, Л.В. Ков-танюк //Известия РАН.-МТТ-2006,-№3.-С. 130-134.

7. Буренин А.А. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопла-стической среды/ А.А. Буренин, Л.В. Ковташок, М.В. Полоник // ПММ.-2003.-Т.67.Вып.2.-С.316-325.

8. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин/ М.Ф. Бухина-М.:Химия,1973.-239с.

9. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров/ М.Ф. Бухина-М.:Химия, 1984.-224с.

10. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности/ К. Васидзу -М.:Мир, 1987.542 с.

11. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентраций напряжений/ И.И. Ворович // Концентрация напряжений.- Киев, 1968.-Вып.2.-С.45-53.

12. Гамлицкий IO.A. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент/ Ю.А. Гамлицкий, В.И. Мудрук, М.В. Швачич // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». -М.:ГУП НИИ шинной промышленности,2000-Т. 1.

13. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости/ И.И. Гольденблат. М.:Наука,1969.-336с.

14. Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды/ А.Грин, Дж. Адкинс. -М:Мир, 1965.-445с.

15. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений/ М.А. Гринфельд. -М.:Наука, 1990.-3 Юс.

16. Громов В.Г. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала/ В.Г. Громов, Л.А. Толоконни-ков // Известия АН СССР.Отделение техн.Наук.Сер.«Механика и машиностроение». 1963.-№2.-С.81 -87.

17. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях/ А.Н. Гузь. Киев:Наукова думка, 1973.-272с.

18. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями/ А.Н. Гузь. Киев:Наукова думка, 1983.-296с.

19. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами/ А.Н. Гузь и др.. Киев:Наукова думка, 1981 -184с.

20. Гузь А.Н. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями/ А.Н. Гузь и др.. // Прикладная механика. -Т.6.-№ 12.-С.42-49.

21. Гузь А.Н. О построении теории разрушения нанокомпозитов при сжатии/ А.Н. Гузь, А.А. Роджер, И.А. Гузь // Прикладная механика. -2005 -Т.41 .-№3 -С.3-29.

22. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3/ В.П. Дьяконов. М.:СК Пресс, 1998.-256с.

23. Зингерман К.М. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах/ К.М. Зингерман // Дис. . до-pa физ.-мат. наук.-Тверь,2001.-234с.

24. Зубов Л.М. О дополнительной энергии упругого тела с начальными па-пряжениями/ Л.М. Зубов // Изв.Сев-Кавказ.науч.центра высш.школы. Сер. «Естественные пауки», 1988.-№4.-С.71-75.

25. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории/ А.А. Ильюшин. М.:Изд-во АН СССР,1963.-272с.

26. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости/ Г.В. Колосов. Юрьев:Типогр.Маттисена, 1909.-187с.

27. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.;Л. :ОНТИ, 1935.-224с.

28. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций/ Д.И. Кутилии. М:Гос-техиздат, 1947.-275с.

29. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций/ В.А. Левин // Прикладная механика.-1987.-Т.23 № 5.

30. Левин В.А. Краевые задачи наложения больших деформаций в телах из упругого или вязкоупругого материала/ В.А. Левин // Дис. . до-ра физ.-мат. наук.-Тверь, 1990-365 с.

31. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах/ В.А. Левин. М.:Наука.1999.-224с.

32. Левин В.А. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения/ В.А. Левин, К.М Зингерман. М.:Физмат-лит.2002- 272с.

33. Левин В.А. Плоская задача об образовании включения в упругом нагруженном теле. Конечные деформации/ В.А. Левин, И.А. Мишин, А.В. Вершинин // Вестник МГУ. Серия 1, «Математика. Механика».-2006-№1.-С.56-59.

34. Левин В.А. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний/ В.А. Левин, Г.С. Тарасьев // Доклады АН СССР. -1980.-251.-№1.-С.63-66.

35. Левин В.А. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала/ В.А. Левин, Г.С. Тарасьев // Доклады АН СССР.-1982.-264,-№6.-С. 1316-1318.

36. Лурье А.И. Теория упругости/ А.И. Лурье. М.:Наука, 1970.-940с.

37. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости/ А.И. Лурье. -М.:Наука,1980, -512 с.

38. Ляв А. Математическая теория упругости/ А. Ляв.- М.:ОНТИ,1935 -674 с.

39. Матченко II.М. О нелинейных соотношениях разномодульной теории упругости/ Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Сборник работ по теории упругости.-Тула.ТПИ,1968- С.69-72.

40. Матченко Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в раз-номодульных изотропных средах/ Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Инж.журнал МДТТ.-1968.-№6.-С. 108-110.

41. Матченко Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов: Прикладные задачи теории упругости/ Н.М. Матченко, А.А. Трещев. -М.;Тула:РААСН;ТулГУ,2004.-211с.

42. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учеб. Пособие/ А.А. Маркин. -Тула;ТулГУ,2000.-72с.

43. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании/ А.А. Маркин // Известия АН СССР. Механика твердого тела.-1990 №2.-С. 120-126.

44. Маркин А.А. Меры и определяющие соотношения конечного упруго-пластического деформирования/ А.А. Маркин, Л.А. Толоконников // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк.гос.ун-т.-Горький,1987 С.32-37.

45. Мишин И.А. Задача о влиянии давления, прикладываемого к берегам эллиптической щели/ И.А. Мишин //Региональная научная студенчеекая конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики»,Тула,23-25 мая 2000г.-Тула,2000 С.52.

46. Морозов Е.М. Контактные задачи механики разрушения/ Е.М. Морозов, М.В. Зернин. -М.Машиностроение, 1999.—544с.

47. Муехелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ Н.И. Муехелишвили. М.:Наука,1966.-708с.

48. Нечаев JI.M. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями/ JI.M. Нечаев // Работы по механике сплошных сред.-Тула,1985.-С.103-113.

49. Нечаев J1.M. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле/ JI.M. Нечаев, Г.С. Тарасьев // Доклады АН СССР.-1974.- 215.-№2.-С.ЗО 1-304.

50. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости/ В.В. Новожилов. М.:Гостехиздат,1948.

51. Новожилов В.В. Теория упругости/ В.В. Новожилов. Л.:Судпромгиз, 1958.—370с.

52. Новожилов В.В. нелинейная теория упругости/ В.В. Новожилов, Л.А. Толоконников, К.Ф. Черных //Механика в СССР за 50 лет. М.,1972-Т.З.-С.71-78.

53. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве: справочное пособие /под ред. Федюкина Д.Л./. -М.:Химия, 1986.240с.

54. Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного/ И.И. Привалов. -Учебп. для вузов,-14-е изд.,стер.-М.:Высш.Шк., 1999.—432с.

55. Регель В.Р. Кинетическая природа прочности твердых тел/ В.Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е. Томашевский. -М.:Наука,1974.-560с.

56. Рыбалка Е.В. К решению плоской задачи теории многократного наложения больших деформаций средствами компьютерной алгебры/ Е.В. Рыбалка и др. // Всерос. научн. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики» -Тула,2002.-С. 141-142.

57. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий/ Г.Н. Савин. -Киев:Наукова Думка, 1968-887с.

58. Свистков A.J1. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений/ A.J1. Свистков, Е.С. Евлампиева // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. -Екатеринбург, 1997.

59. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды/ Л.И. Седов. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит-ры, 1962.-284с.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды/ Л.И. Седов. -Т.2.-М.:Наука, 1994-560с.

61. Тарасьев Г.С. К теории наложения конечных упругих деформаций/ Г.С. Тарасьев // Технология машиностроения. -Тула,1970.Вып.20.С.142-149.

62. Тарасьев Г.С. Некоторые вопросы и задачи нелинейной теории упругости/ Г.С. Тарасьев. Дис. . до-pa физ.-мат. наук. -М.;1975.-258с.

63. Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости/ Г.С. Тарасьев, В.А. Левин, Л.М. Нечаев // Прикладная механика.-1980.-16.-№6.-С.92-97.

64. Тарасьев Г.С. Конечные плоские деформации сжимаемого материала/ Г.С. Тарасьев, Л.А.Толоконников // Прикладная механика.-1966.-2,-№2.-С.22-27.

65. Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале/ Г.С. Тарасьев, Л.А. Толоконников // Концентрация напряжений- Киев, 1965 Вып. 1 -С.251 -255.

66. Тимошенко С.П. Теория упругости/ С.П. Тимошенко М.:ОНТИ, 1934.

67. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала/ Л.А Толоконников // Прикладная математика и механика-1959.- Т.21.-№1.

68. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости/Л.А. Толоконников // ПММ.-1956.-Т.20. Вып,3,-С.439-444.

69. Толокошшков J1.A. Плоская деформация несжимаемого материала/ Л.А. Толокошшков //Доклады АН.-1958.-Т.119.-№6.-С.1124-1126.

70. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях/ Л.А. Толоконников // Прикладная математика и механика. -1957.-Т.21.-№6.-С.815-822.

71. Толоконников Л.А. Многократное наложение больших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала/ Л.А. Толоконников, Г.С. Тарасьев, В.А. Левин // Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов.-Л.; 1985.Вып.42,-С. 146-152.

72. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах/ Л. Трелоар. М.:Мир,1973-238с.

73. Трелоар Л. Физика упругости каучука/ Л. Трелоар. -М.:Изд-во иностр. лит., 1953.-240с.

74. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Труссделл. -М.: Мир,1975.-592с.

75. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости/К.Ф. Черных // Прикладная механика.-1977.-3.-№ 1.-C.3-30.

76. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах/ К.Ф. Черных -Л.:Машиностроение,1986.-336с.

77. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций/ Дж. Эшелби. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

78. Ball J.M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in non-linear elasticity// J.M. Ball // Phil. Trans.Roy.Soc.-London. -V.A306.-P. 557-611.

79. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitation and matrix yielding under equitriaxial stress/ S. Biva // Trans.Asme.J.Appl.Mech.-1999.-V.66.-№3-P.780-785.

80. Horvay G.O. Cavitation in nonlinearly elastic solids: A review/ Horvay G.O., D.A. Poligone // Appl.Mech.Reviews.-l 995.-V.48.-№8.-P.471-485.

81. Horvay G.O. The Plane-Stress Problem of Perforated Plates/G.O. Horvay //Trans. ASM E.Jourlal of Applied Mechanics.-1952.-V.19.-P.355-360.

82. Levin V.A. Effective Elastic Properties of Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation/ V.A. Levin, V.V.Lokhin, K.M Zinger-man //Trans.ASMEJ.Appl-Mech.2000-Vol. 67.-№4.-P.667-670.

83. Levin V.A. Interaction and Microfracturing Pattern for Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite Deformation/ V.A. Levin, K.M. Zingerman //Trans.ASME.J.Appl.- Mech.1998.-V.65 .-№2.-P.431-435.

84. Moony M.A. Theory of large elastic deformation/ M.A. Moony //Journal of Applied Physics-1940-№1 l-P.582-592.

85. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid/ F.D. Murnaghan New York:Willey, 1951.-140 p.

86. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials/ R.S. Rivlin // Philos.Trans.Roy.Soc.-London, 1948.-A240.-P.459-508.

87. Signorini A. Transformation termoelastiche finite/ A. Signorini // Ann.Mat.Pur.Appl. 1949.-V.30.-№4.-P. 1 -72.

88. Stoppelli F. Sulla sviluppabilita in serie di potense di purmametro delle equazioni dell' Elastatica isoterma/ F. Stroppelli // Rendironti dell' Acad.di Scienze.Fiz.e.Mat.Della Soc.Naz.di Scienze.-1955.-V.22.-№4.-P.427-467.

89. Zienkiewicz O.C., The Finite Element Method in Engineering Science/ O.C. Zienkiewich. McGraw-Hill,London, 1971.

90. Zienkiewicz O.C. The finite element method. The basis/ O.C. Zienkiewich, R.L. Taylor. 2000.-Vol.-1. -707p.

91. Zienkiewicz O.C. The finite element method. Solid mechanics/ O.C. Zienkiewich, R.L. Taylor. 2000-Vol. -2. -479p.

92. Zubov L.M., Nonlinear Theory of Dislocations and Declinations in Elastic Bodies/ L.M. Zubov Berlin:Springer,1997.