Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел при учете изолированных дефектов и микроструктуры материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

/Я

.у

к

КАРЯКИН Михаил Игорьевич

Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел при учете изолированных дефектов и микроструктуры материала

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 * ЛАП 2014

Ростов-на-Допу - 2014

005549666

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты:

Морозов Никита Федорович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет, заведующий кафедрой теории упругости

Ерофеев Владимир Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт проблем машиностроения РАН (г. Нижний Новгород), заместитель директора

Седенко Василий Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор, Ростовский государственный экономический университет (РИНХ), заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики

Ведущая организация: ФГБУН Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится «24» июня в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: 344090, Ростов-па-Дону, ул. Мнльчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. Ю.А. Жданова ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: 344103, г. Ростов-па-Дону, ул. Зорге, 21 Ж.

Автореферат разослан « ^ » _2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Учет нелинейности является важным требованием к математическим моделям современной механики сплошной среды, применяемым для изучения новых конструкционных материалов, описания поведения мягких биологических тканей и их заменителей искусственного происхождения и т.д. На передний план при этом выходит проблема выбора самой модели, которая позволила бы корректно описывать поведение исследуемого материала в реальных условиях. Учет больших деформаций, для описания которых необходимо привлекать аппарат нелинейной теории упругости, приводит к тому что проверка адекватности каждой такой модели требует решения целого набора сложных нелинейных задач, даже корректный вывод математической постановки которых представляет самостоятельную непростую проблему. Поэтому актуальной задачей современной механики является разработка системы автоматизации анализа задач нелинейной теории упругости, пригодных для моделирования как стандартного набора экспериментов, так и новых экспериментальных методик по верификации математических моделей и определению их параметров.

Наряду с классическими моделями теории упругости все большую актуальность приобретают модели, позволяющие в рамках единого континуального подхода учитывать важные дополнительные эффекты, в частности, связанные с микроструктурой рассматриваемых тел и материалов.

Важным и распространенным элементом микроструктуры твердых тел являются дефекты типа дислокаций и дисклпнаций. Концепции и представления, основанные на дислокационном подходе, используются в совершенно разных областях механики, физики, теории и технологии жидких кристаллов, химии и даже биологии. В последние годы возникли новые приложения дислокационных представлений, связанные с проблемами нанотехнологий: дислокации играют существенную роль в механическом поведении нанотрубок и наностержней. Важнейшей частью математического аппарата, используемого для описания механический полей дислокационного происхождения, является теория дислокаций Вольтерра. Учет в этой теории нелинейных эффектов позволяет избавиться от ряда недостатков линейной теории упругости и гарантировать математическую корректность постановок целого ряда задач.

Другим распространенным элементом микроструктуры реальных материалов является микронеоднородность. Потребность в учете микронеоднородности возникает, в частности, при описании зернистости поликристаллических материалов, полимеров и композитов, взвесей, жидких кристаллов, геофизических и некоторых биологических структур и образований. Для ее учета в рамках механики сплошной среды широко используется модель микрополярного тела, или континуума Коссера, то есть среды с моментными

напряжениями и вращательными степенями свободы. Новая волна интереса к моделям механики микрополярных сплошных сред связана, прежде всего, с потребностями наномеханики в моделях упругого поведения объектов, учитывающих структуру материала; востребованы они и во многих разделах биомеханики.

Наиболее существенное различие между результатами классической теории упругости и теории, учитывающей моментные напряжения, наблюдается в тех случаях, когда напряженное состояние в пределах тела меняется очень значительно, например, в угловых точках, вершинах трещин, на линиях дислокаций и дисклинаций и в окрестности других дефектов. Этим объясняется актуальность использования теорий, учитывающих моментные напряжения, при анализе задач теории упругих дислокаций и дисклинаций.

Для приложений в нанотехнологиях оказалось важным изучение дислокаций и дисклинаций не только в трехмерных телах, но и двумерных -пластинах, пленках и т.п. Возможность существования дисклинаций в двумерных кристаллах была изучена на самом раннем этапе развития теории дисклинаций в связи с изучением структуры вирусов и биологических мембран. В этой связи большой интерес представляют модели оболочек, учитывающие физическую и геометрическую нелинейность, а также разработка новых эффективных методов расчета тонких высокоэластичных конструкций, работающих в области больших деформаций, в том числе в околокритических и закритических областях, и их применение для решения модельных и прикладных задач. Исследование задач об устойчивости пластинок с дислокациями и дисклинациями при различных подходах к описанию поведения их материалов актуально, в частности, в связи с использованием упругих моделей для описания дисклинаций в графитовых нанопластинках.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании и развитии математических моделей, описывающих нелинейно-упругие свойства материалов и конструкционных элементов. Работа направлена на решение следующих четырех взаимосвязанных и взаимодополняющих задач.

1. Решение новых задач об изолированных дефектах - дислокациях и дисклинациях - в упругих телах, испытывающих конечные деформации. Изучение явлений неустойчивости в форме кавитации на оси изолированного дефекта, а также исследование задач об устойчивости пластинок с дефектами при различных подходах к описанию поведения материала этих пластинок.

2. Анализ расширения классических моделей нелинейной теории упругости путем включения в них слагаемых, описывающих эффекты микроструктуры; разработка методов численного и аналитического исследования задач для таких моделей.

3. Изучение диапазонов применимости как классических, так и усовершенствованных моделей упругих сред для описания поведения реальных кон-

струкций и их элементов при отказе от ограничений на величину деформации; получение новых теоретических данных для проведения анализа по разграничению конструкционной неустойчивости и неустойчивости материала.

4. Разработка и развитие методов идентификации параметров математических моделей, описывающих механические свойства материалов и конструкций, испытывающих большие деформации.

Научную новизну составляют следующие выносимые на защиту результаты, полученные автором.

1. Разработаны алгоритмы автоматизации полуобратного метода нелинейной теории упругости, позволившие создать программный продукт для численно-аналитического исследования краевых задач о равновесии и устойчивости нелинейно-упругих тел канонической формы.

2. Для ряда моделей сжимаемых нелинейно-упругих материалов исследованы эффекты второго порядка в задачах о кручении упругого вала и чистом изгибе панели. Предложена модификация полуобратного представления деформации изгиба, пригодная для применения метода разложения по параметру. Полученные аналитические выражения относительного изменения толщины стержня при изгибе позволили сформулировать и решить задачу по определению упругих постоянных второго порядка на основе трех статических экспериментов по растяжению, кручению и чистому изгибу образцов из сжимаемого нелинейно-упругого материала.

3. Изучено явление неустойчивости при растягивающей нагрузке в сжимаемых нелинейно-упругих телах.

4. Для различных моделей упругого континуума доказаны теоремы Вейн-гартена, и на этой основе показано существование дефектов типа дислокаций Вольтерра не только в классических, но и в микрополярных нелинейио-упру-гих средах. Решен ряд новых задач о равновесии упругих тел, содержащих изолированные дефекты.

5. Впервые обнаружены и проанализированы разрывные решения в задачах о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией и клиновой дисклинацией для сжимаемого нелинейно-упругого материала. В случае несжимаемых материалов сформулировано общее интегральное соотношение, позволяющее по аналитическому выражению функции удельной потенциальной энергии определять возможность существования для данного материала разрывных решений задачи о равновесии цилиндра, содержащего изолированный дефект. Предложена и апробирована схема учета влияния поверхностного натяжения и микроструктуры материала на возможность существования разрывных решений и их характеристики.

6. Решен ряд новых задач о равновесии, устойчивости и закритическом поведении нелинейно-упругих гофрированных мембран и круговой пластинки, содержащей изолированную дисклинацию.

Достоверность результатов обеспечивается точной постановкой двумерных и трехмерных задач нелинейной теории упругости; математически корректным сведением этих задач к задачам меньшей размерности; строгостью использованного математического аппарата; совпадением для некоторых частных случаев найденных результатов с известными; переходом построенных решений в предположении малости деформационной характеристики или параметра дефекта в известные решения линейной теории упругости; совпадением асимптотических и численных результатов.

Научная и практическая значимость. В диссертационном исследовании решается важная фундаментальная проблема механики деформируемого твердого тела, связанная с разработкой общей теории и методов решения задач деформирования и устойчивости упругих тел, испытывающих большие деформации. Полученные результаты об эффектах второго порядка и устойчивости деформируемых тел при растягивающих напряжениях представляют интерес для разработки новых экспериментальных методов испытания материалов. Результаты исследований могут быть использованы для дальнейшего развития нелинейной теории сред с микронеоднородностями и дефектами различной природы, а также для разработки эффективных методов расчета процессов нелинейного деформирования современных материалов и конструкций с учетом микроструктуры. Кроме того, они могут найти применение в различных областях физики и механики прочности, для построения определяющих соотношений упруго-пластических тел, при исследовании структуры кристаллов с дислокациями и дисклинациями методами молекулярной динамики.

Востребованность прикладных результатов исследования в части разработки методик оптимизации формы мембран реальным сектором экономики подтверждена участием диссертанта в качестве руководителя в хоздоговорных работах с фирмой "Эндресс + Хаузер"(Германия), связанных с созданием и использованием математических моделей поведения мембран датчиков давления при больших деформациях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 6-й международной научно-технической конференци^'Е^отек" (Рига, 1992 г), 1-й, 2-й, 3-й, 5-й, 8-й, 9-й, 10-й, 13-й, 14-й, 15-й, 16-й международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1995, 1996, 1997, 1999, 2002, 2005, 2006, 2009, 2010, 2011, 2012), межрегиональном семинаре «Математические модели и их свойства» (Таганрог, 1996), международной научной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Украина, Донецк, 1996), 6-й всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Ростов-на-Дону, 1997), 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Canada, Victoria, 1999), междуна-

родной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Новосибирск, 1999), XXXI, XXXII, XXXIV, XXXV, XXXVIII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2006, 2007, 2010), 14-й зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005), IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела», посвященной памяти академика А.С. Космодамианского (Украина, Донецк-Мелекино, 200G), 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 7-й всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (Дивноморск, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2011, 2012), IX Всероссийском съезде но теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006), XXII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Австралия, Аделаида, 2008), International Conference on Computational Sciences and its Applications (ICCSA 2008) (Италия, Перуджа, 2008), «Cosscrat+МО» -International Conference on the lcgacy of Theorie des Corps Deformables in the centenary of its publication (Франция, Париж, 2009), X Всероссийской конференции по биомеханике (Саратов, 2010), международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010), French-German-Russian Seminar "Mechanics of Generalized Continua" (Германия, Виттенберг, 2011), Sixth M.I.Т. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics (США, Кембридж, 2011), EURO-MECH 527 Colloquium "Shell-like structures: Non-classical Theories and Applications" (Германия, Виттенберг, 2011), XXIII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Китай, Пекин, 2012), Trilateral seminar "Generalized continua as models for materials with multi-scale effects or under multi-field actions" (Германия, Виттенберг, 2012), International Scientific Conference "Shell and Membranes Theories in Mechanics and Biology: from Macro- to Nanoscale Structures" (Белоруссия, Минск, 2013), Second China-Russia Conference "Numerical algebra with applications" (Ростов-на-Дону, 2013), 2nd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (Босния и Герцеговина, Сараево, 2013), семинаре по нелинейной механике (рук. проф. Л.М. Зубов), семинаре «Современные задачи математического моделирования» (рук. проф. М. А. Сумбатян), научном семинаре кафедры теории упругости Южного федерального университета (рук. проф. А.О. Ватульян).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 44 работы, в том числе 18 статей в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ [2, 7-13, 16, 17, 19, 23, 25, 28, 29, 31, 34, 39] и две зарегистрированные программы для ЭВМ [27, 37]. Часть из этих работ выполнена в соавторстве с коллегами.

В работах [3, 11, 37, 39, 40, 42], посвященных различным аспектам автоматизации полуобратного метода нелинейной теории упругости, разработке

и использованию связанного с этим программного обеспечения, диссертанту принадлежит общая постановка задачи автоматизации, выбор среды реализации, разработка базовых алгоритмов генерирования основных краевых задач, а также уравнений нейтрального равновесия для исследования устойчивости упругих тел на основе бифуркационного подхода. Т.В. Гавриляченко принадлежит проведение численных расчетов в задаче кручения вала из сжимаемого нелинейно-упругого материала, А.М.Жеребко принадлежит разработка системы взаимодействия среды компьютерной алгебры Maple с конечно-элементным пакетом FlexPDE, Л.П. Обрезкову принадлежит проведение численных расчетов для ряда двумерных задач нелинейной теории упругости, О.Г. Пустоваловой принадлежит разработка документации и справочной системы созданного программного комплекса, Д.Ю. Сухову принадлежит разработка интерфейса вычислительной системы с использованием технологии Maplets, Н.Ю. Шубчинской принадлежит реализация в среде Maple бифуркационного анализа н проведение численных расчетов по определению точек бифуркации на диаграмме нагружения для задачи изгиба панели.

В работах [4, 5, 7,16, 41], посвященных исследованию нелинейных эффектов в задаче кручения, диссертанту принадлежат постановка задачи и выбор метода исследования, вывод аналитических зависимостей для основных деформационных характеристик в рамках теории эффектов второго порядка. Т.В. Гавриляченко принадлежит численное исследование нелинейных краевых задач для конкретных моделей материалов, В.В. Калашникову принадлежит численное исследование линеаризованной задачи кручения методом однородных решений и методом конечных элементов в среде пакета FlexPDE.

В работах [14, 15], посвященных изучению эффектов второго порядка в задаче о чистом изгибе нелинейно-упругой панели, диссертанту принадлежит постановка задачи, выбор метода исследования, модифицированное полуобратное представление и методика построения аналитических приближений на основе разложения решения в ряд. В.В.Калашникову принадлежит реализация аналитических разложений в среде компьютерной алгебры и проведение вычислительных экспериментов.

В работах [1, 2], посвященных исследованию устойчивости растяжения нелинейно-упругого цилиндра, диссертанту принадлежит постановка задачи, выбор метода исследования и получение ряда аналитических результатов о расположении точек бифуркации на диаграмме нагружения. М.В. Александ-рнну принадлежит численное исследование линеаризованных краевых задач для конкретных моделей материала, а также конечно-элементный анализ общей нелинейной задачи растяжения цилиндра из материала Блсйтца и Ко.

В работах [12, 13, 44], посвященных построению нелинейной теории дислокаций Вольтерра для классических и микрополярных сред, Л.М. Зубову принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования, идея доказа-

тельства обобщения теоремы Вейнгартена для трехмерной нелинейной среды с моментными напряжениями и рассмотрение случая непрерывно распределенных дислокаций. Диссертанту принадлежат доказательство теоремы Вейнгартена для обычной и микрополярной нелинейно-упругой среды в плоском случае, а также решение конкретных задач о равновесии тел с изолированными дефектами.

В работах [28, 36], посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругого цилиндра с внутренними источниками напряжений, диссертанту принадлежит постановка задачи, выбор метода исследования, аналитические результаты об изменении длины цилиндра с клиновой дисклинацией. И.В. Позднякову и Н.Ю. Шубчинской принадлежат асимптотические результаты, полученные для задачи о дислокации, A.A. Резниченко и О.Г. Пустоваловой - результаты численных расчетов.

В работе [10], положившей начало исследованиям разрывных решений задач теории дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах, JI.M. Зубову принадлежит общая постановка задачи, В. А. Еремееву - способ учета поверхностной энергии, Н.Я. Чернеге - численный анализ влияния осевого сжатия/растяжения цилиндра на радиус образующейся полости, диссертанту -использование краевых задач равновесия для вывода уравнений для радиуса образующейся полости при использовании моделей материала Бартенева-Хазановича для клиновой дисклннацин и Черных-Шубиной для винтовой дислокации.

В работах [29-35], посвященных построению и развитию общей теории разрывных решений нелинейной теории упругих дислокаций, диссертанту принадлежит постановка задачи и выбор методов исследования, решение задач об изолированных дефектах для сжимаемых материалов, результаты, связанные с учетом поверхностного натяжения, общая методика получения интегральных соотношений для радиуса полости в случае несжимаемых материалов и ее обобщение на случай континуума Коссера. О.Г. Пустоваловой принадлежит реализация общей методики для частных моделей материалов, проведение численных расчетов для классического и микрополярного континуума.

В работах [8, 9, 27], посвященных анализу больших деформаций нелинейно-упругих гофрированных мембран, И.П. Гетману принадлежит постановка задачи, Ю.А.Устинову - выбор метода исследования и формулировка основной системы разрешающих уравнений, И. А. Панфилову - компьютерная реализация численных методов решения нелинейных краевых задач и разработка программного интерфейса, Г.О. Мостииану - проведение цикла расчетов по определению точек бифуркации для пологого артифнцированно-го сферического купола. Диссертанту принадлежит реализация бифуркационного метода исследования устойчивости, а также численно-аналитические

схемы исследования закритического поведения гофрированных мембран.

В работах [38, 43], посвященных решению задач нахождения оптимальной формы гофрировки нелинейно-упругой мембраны, диссертанту принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования, Т.В. Сигаевой - компьютерная реализация нескольких вариантов генетического алгоритма минимизации целевой функции применительно к задаче оптимального проектирования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 280 наименований. Общий объем диссертации 325 страниц.

Исследования автора на разных этапах работы частично и в полном объеме поддерживались при выполнении следующих НИР: гранты РФФИ № 96-01-01427 «Проблемы нелинейной теории изолированных и непрерывно распределенных дефектов в упругих телах», № 99-01-01017-а «Нелинейная теория кручения и изгиба призматических упругих и неупругих тел», № 05-01-00638 «Устойчивость упругих и неупругих тел при растягивающих напряжениях», № 09-01-00459 «Механика упругих и неупругих материалов с микроструктурой», № 12-01-00038 «Равновесие и устойчивость нелинейно упругих тел с источниками собственных напряжений», госконтракты Министерства образования и науки РФ: контракт П-361 «Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел при учете микроструктуры и внутренних дефектов», соглашение 14.А18.21.0389 «Идентификация и оптимизация характеристик нелинейно-упругих тонкостенных конструкций».

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность тематики диссертационного исследования, сформулирована цель и задачи работы, показана практическая и научная значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, кратко описаны структура и основное содержание диссертации, перечислены печатные работы, в которых отражены основные результаты научного исследования, определена доля участия автора в совместных публикациях.

В представленном здесь обзоре отечественной и зарубежной литературы отмечается, в частности, что в настоящее время нелинейная теория упругости представляет собой обширную область знаний, динамнчное развитие которой опирается на мощный математический фундамент, созданный благодаря работам Дж. Адкпнса, A.A. Буренина, А. Грина, А.Н. Гузя, В.А. Еремеева, П.А. Жилина, JI.M. Зубова, В.Т. Койтера, А.И. Лурье, Н.Ф. Морозова, В.В. Новожилова, В.А. Пальмова, Р. Ривлина, A.A. Рогового, Г.Н. Савина, К. Трусдел-ла, К.Ф. Черных, Дж. Эриксена, S. Antrnan, J. Ball, M.F. Beatty, W. Noll, R.W.

Ogden, G. Saccomandi и др.

В первой главе изучаются нелинейные эффекты, возникающие при деформировании упругих тел канонической формы - кручении кругового вала и чистом изгибе прямоугольной панели.

Исследование задач о равновесии и устойчивости в рамках трехмерной нелинейной теории является достаточно трудоемким процессом даже для тел с простой геометрией. В то же время вывод краевых задач при использовании канонических координатных систем, а также их последующая линеаризация для решения задач устойчивости достаточно алгоритмичны, поэтому допускают автоматизацию с помощью современных средств компьютерной алгебры. Именно для такой автоматизации и предназначен пакет [37], разработанный в среде компьютерной алгебры Maple. В первом - вводном - разделе 1.1 приведены основные сведения о разработанной системе. Основные аналитические преобразования, связанные с выводом нелинейных краевых задач, построением решений в рамках теории эффектов второго и высших порядков и генерированием уравнений нейтрального равновесия, представленные в остальных частях этой главы и работы в целом, выполнялись с его использованием.

В разделе 1.2 описано применение полуобратного метода нелинейной теории упругости для численного исследования явления изменения длины упругого цилиндра при его кручении. Этот эффект экспериментально обнаружен н описан Дж. Пойнтингом в начале XX века и с тех пор носит его имя. Количественное выражение этого эффекта невелико: при углах закручивания порядка 15-20° на единицу длины относительное удлинение образца не превышает 0,01. Однако при изготовлении прецизионной измерительной аппаратуры и экспериментальном определении упругих постоянных материала учет влияния эффекта Пойнтинга необходим. Целью раздела 1.2. является качественная и количественная оценка эффекта Пойнтинга при использовании различных определяющих соотношений для изотропных сжимаемых материалов, сравнение поведения различных их моделей.

Модель упругого материала характеризуется видом функции удельной потенциальной энергии деформации IV. Для изотропного материала последняя может быть задана как функция главных инвариантов Д- меры деформации Коши-Грина G. В этом случае определяющее соотношение для тензора напряжений Пиолы D имеет вид

D_dW_ mv

~~ <9С _ 3G (1)

где С - градиент деформации, G = С • Ст.

Основными моделями, использованными в данной работе, являются:

- гармонический (полулинейный) материал,

И' = ^г2(и-1)+/Пг[(и-1)2], (2)

где А, д - упругие модули (постоянные Ламе), II = Gl^'2, I - единичный тензор;

- материал Блейтца и Ко,

где а, /х, /3 - материальные константы, а также его частные случаи: упрощенный (а = 1/2, ¡3 = 0) и «гипотетический» (/? = 1) варианты;

- материал Мурнагана,

-6А - 4(1 + 91 + п т А + 2(1 - 31 - 2тп т2 тпт т IV = ---/1 +---А - +

8 8 4 (4)

—4(1 + 6т — п 1 + 2т 3 п 9А + 6(1-91

+-§-/2 + -2^А+8(1з-1)+ з ,

где 1,т,п- константы Мурнагана, а также его частный вариант (I = т = п = 0): двухконстантыи физически-линейный материал Кирхгофа-Сен-Венана.

Процесс кручения цилиндрического вала длины Ь описывается следующим преобразованием отсчетной конфигурации в актуальную:

Я = Р{г), Ф = (р + трг, г = 72, (5)

где г, <р, г и Я, Ф, 2 - цилиндрические координаты в отсчетной и актуальной конфигуранции соответственно; Р(г) - неизвестная функция, требующая определения; ф - угол закручивания, отнесенный к единице длины; 7 - кратность удлинения вала при кручении; 0 ^ г о ^ г ^ Г\, Ь/2 ^ 2 ^ Ь/2.

По преобразованию (5) определяются градиент деформации, мера деформации Коши и ее главные инварианты. Затем из уравнения состояния (1) выражается тензор напряжений Пиолы. Уравнения равновесия в отсутствии массовых сил записываются в виде

сИУВ = 0 (6)

и сводятся для полуобратного представления (5) к одному обыкновенному дифференциальному уравнению для функции Р(г).

В работе представлены соответствующие различным моделям нелинейные краевые задачи равновесия, предназначенные для определения функции радиуса точки скручиваемого вала в деформированном состоянии. Результаты их численного анализа показали, в частности, что при использовании для описания упругих свойств вала двухконстантной физически-линейной модели длина вала при кручении будет уменьшаться, в то время как при использовании модели материала Блейтца и Ко, а также целого ряда наборов материальных констант модели Мурнагана - вал будет удлиняться, что соответствует реально наблюдаемым явлениям при кручении металлических и резиновых образцов без приложения продольной силы.

В работе представлено приближенное решение задачи о кручении, полученное с использованием в определяющих соотношениях лишь слагаемых, квадратичных относительно градиента вектора перемещений. Это решение позволяет обнаружить эффект Пойнтинга; общее выражение для относительного удлинения цилиндра при небольших углах закручивания будет иметь вид

~2И/,ц \У,2 +\У,3 ТУ,ц ТУ,2 +ТУ,ц Щ2 3Р ,2 . .

Ь 7 1У,2(ЗИ',„+21У,2) 4sV ' [ )

где IV,к= д\У/д1к, \У,кт= д2\\г/д!кд1т, в и Зр - площадь и полярный момент поперечного сечения вала соответственно. Асимптотика (7) хорошо согласуется с результатами численных расчетов. Ее анализ показал, в частности, что хотя физически линейная модель позволяет учесть некоторые особенности нелинейной теории, однако ограничиваться ее рассмотрением при изучении деформирования упругих сжимаемых сред нельзя.

В разделе 1.3 дается сравнение двух подходов к изучению эффектов второго порядка в задаче кручения: предложенного Р.Рнвлином и основанного на применении иолуобратного метода (приводящего в результате к асимптотике вида (7)) и основанного на методе разложения по параметру, описанном в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» (1980). Для нахождения причины несовпадения результатов этих подходов подробно изучено точное решение нелинейной задачи кручения в случае использования упрощенного варианта материала Блейтца и Ко. Установлено, что причиной различия в формулах удлинения стержня при кручении является несовпадение полей напряжений на его торцах: при совпадающей (нулевой) результирующей растягивающей силе и одинаковых результирующих крутящих моментах гипотеза о «мертвом» характере приложенной нагрузки, предложенная А.И.Лурье, приводит к появлению дополнительных ненулевых напряжений. Показано, что влияние на удлинение вала не только величины интегрального крутящего момента, но и способа его приложения, не является нарушением принципа Сен-Венана, поскольку это влияние сосредоточено только в неболь-

а) б)

Рис. 1. Плоская деформация прямоугольной панели при чистом изгибе: а) отсчетная конфигурация; 6) деформированное состояние

шой области около торцов вала.

В разделе 1.4 метод разложения по параметру применен для анализа чистого изгиба нелинейно-упругой панели с прямоугольным поперечным сечением, занимающей до деформации область —а/2 < х < а/2, —h/2 ^ у < h/2, находящейся под действием изгибающих моментов, действующих на ее торцах у = ±h/2. Через ж, у, z обозначены прямоугольные декартовы координаты отсчетной конфигурации, в качестве координат текущей конфигурации использованы цилиндрические координаты R, Ф, Z (рис.1).

В работе выявлена особенность задачи изгиба, затрудняющая прямое использование схемы метода продолжения по параметру. На основе анализа точного решения задачи об изгибе для полулинейного материала предложена модификация полуобратного представления деформации чистого изгиба вида

R=^ + A(x), Ф = Ву, Z = z. (8)

Г)

Пригодность этой модификации подтверждена исследованием эффектов второго порядка в плоской задаче чистого изгиба полосы для трех видов моделей нелинейно-упругого поведения: полулинейного материала, материала Блейтца и Ко, материала Мурнагана. Получены аналитические выражения для нелинейного эффекта, состоящего в изменении толщины стержня при изгибе. В частности, для материала Мурнагана это изменение имеет вид

Да _ 72 (4т + 81) vz - (12/ + 6т + 5ц) v2 + (61 + 6ц + 2т) v - 2ц - I ~~а ~ к* 24ц (и - I)2

где к = h/a, 7 = Bh - угол изгиба. Данное выражение может быть использо-

вано в экспериментах по определению упругих постоянных второго порядка.

В разделе 1.5 представлена схема метода наложения малой деформации на конечную, использующаяся в настоящей работе для исследования устойчивости на основе бифуркационного подхода. Для вывода линеаризованной системы используется разработанное программное обеспечение. С его помощью производятся также операции разделения переменных, в результате которых анализ устойчивости сводится к поиску нетривиальных решений однородной краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общая схема проиллюстрирована анализом устойчивости скручиваемого вала. Сравнение критических значений параметра кручения проведено для двух вариантов постановки задачи: в первом случае цилиндр может менять свою длину без ограничений, во втором предполагается наличие осевой силы, препятствующей его удлинению. Установлено, что разница в критических значениях для этих задач возникает лишь в случае толстых цилиндров.

Материал, представленный в первой главе, основывается на работах автора [3-7, И, 14-16, 39-42].

Во второй главе бифуркационный анализ, описанный в предыдущем разделе, используется для изучения явления потерн устойчивости при растягивающих нагрузках в сжимаемых нелинейно-упругих телах. Основным признаком возможной потери устойчивости при этом является наличие падающего участка на диаграмме нагружения - графике зависимости растягивающей силы ф от коэффициента удлинения 7.

В качестве примера па рис.2 показаны три возможных типа диаграммы нагружения растягиваемого прямоугольного образца в случае двухконстант-ного (а = 1/2) варианта материала Блейтца и Ко (3): монотонно возрастающая (/3 = 0.08), содержащая две экстремальные точки (/3 = 0.03) и монотонно убывающая после достижения максимума (/3 = 0).

Для исследования устойчивости или неустойчивости падающего участка диаграммы нагружения в разделе 2.1 на примере общей трехконстантной модели Блейтца и Ко предварительно проанализирован вопрос существования такого падающего участка при равномерном растяжении прямоугольника (плоская деформация) и цилиндра. На плоскости материальных параметров построены области, в которых такой участок может существовать. Установлено, что для цилиндра и прямоугольника они разные: существуют такие значения материальных параметров, при которых растяжение прямоугольника будет устойчиво при любых значениях осевого удлинения, а процесс растяжения цилиндра станет рано или поздно неустойчивым. Показано также, что наличие экстремальных точек на диаграмме растяжения цилиндра не является исключительным свойством модели Блейтца и Ко: для большинства наборов значений упругих постоянных модели Мурнагана (4), приведенных в

о

3

0.4

0.2

0.8

0.6

0

4

6

8

10

Рис. 2. Возможные виды диаграммы растяжения прямоугольного образца из материала Блейтца и Ко: 1 - /3 = 0; 2 - £ = 0.03; 3 - ¡3 = 0.08

монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» (1980), диаграммы нагружения относятся к типу 1, представленному на рис. 2.

В разделе 2.2 в рамках плоской деформации проведено исследование устойчивости растяжения прямоугольника ширины а и высоты Ь на основе метода линеаризации. В случае двухконстантного варианта модели (3) решение задачи о растяжении ищется в виде

Первые слагаемые в правых частях (10) представляют собой решение нелинейной задачи растяжения равномерно распределенной нагрузкой до кратности удлинения 7, а слагаемые, содержащие малый параметр г, соответствуют возможным малым отклонениям от этого решения. При этом потеря устойчивости отождествляется с появлением нетривиальных решений линейной однородной краевой задачи для функций и(х,у), ь(х,у). Получены асимптотические формулы для первого бифуркационного значения параметра удлинения 7СТ для достаточно длинных стержней (5 = а/Ь « 1) при сжатии

Первое из этих выражений после согласования обозначений переходит в клас-

Х = 7 1/3 х + еи(х,у), У = 7у + еу[х,у), г = г.

(10)

и при растяжении

сическую формулу Эйлера устойчивости сжимаемого стержня, а второе уточняет результат Н. Оуэна (1990) для данной модели материала.

Установлено, что основным фактором, определяющим, сможет ли прямоугольник данного размера устойчиво «преодолеть» падающий участок диаграммы нагружения, является условие сильной эллиптичности. Показано существование таких значений материальных параметров, когда растяжение прямоугольника конечного размера с определенным соотношением сторон будет устойчиво на всем падающем участке диаграммы нагружения.

Исследование растяжения образца в форме цилиндра рассмотрено в разделе 2.3. Прямыми вычислениями для упрощенной модели материала Блейт-ца и Ко показано, что в начале падающего участка диаграммы нагружения есть малый отрезок длины h « 0,07if, на котором цилиндр остается устойчивым. Параметр т] - отношение радиуса цилиндра к его высоте - характеризует геометрию рассматриваемого образца. Бесконечно длинный цилиндр, как предсказано С.Спектором (1984), теряет устойчивость в точке максимума диаграммы нагружения. Исследование более сложного варианта модели Блейтца и Ко проведено численно; в частности, определена зависимость размера области устойчивости на падающем участке от материальных параметров.

Представляет интерес изучение вопроса о том, как возможность потери устойчивости при растягивающих напряжениях реализуется в конструкциях, испытывающих неоднородные деформации. В качестве первого примера в разделе 2.4 рассмотрен процесс деформирования образца, жестко закрепленного между двумя абсолютно твердыми плоскостями. Численные результаты получены с использованием пакета конечно-элементного анализа FlexPDE, при этом уравнения для проведения расчетов в этом пакете были сгенерированы автоматически с использованием системы компьютерной алгебры Maple. Анализ проведенных расчетов показывает, что и в этом случае на диаграмме растяжения могут существовать точки нарушения монотонности. Если считать эти точки близкими к точкам потери устойчивости при растяжении, то нужно отметить, что граничные условия могут так же существенно влиять на потерю устойчивости, как и в классической теории устойчивости сжатых стержней. В свою очередь, степень этого влияния и даже его знак могут существенно зависеть от формы образца.

В качестве второго примера, демонстрирующего возможность потери устойчивости при растягивающих напряжениях в конструкциях, испытывающих неоднородные деформации, рассмотрены задачи Ляме для полого цилиндра и сферической оболочки. В обоих случаях полуобратное представление деформации содержало одну неизвестную функцию, описывающую зависимость радиуса точки цилиндра или сферы в деформированном состоянии от этого же радиуса до деформации. Установлено, что форма деформируемой

конструкции оказывает существенное влияние на значение критических деформаций. Кроме того, по сравнению со случаем одноосного удлинения резко расширилась область материальных параметров, при которых эти критические деформации существуют.

Потеря устойчивости при растягивающих нагрузках может проявляться и в форме неустойчивости вычислительных схем, применяемых при анализе тех или иных задач деформирования нелинейно-упругих тел. В качестве примеров этого в работе приведены результаты анализа в пакете FlexPDE задачи о плоском (стесненном) кручении кольца, а также результаты конечно-элементного решения в пакете ANSYS задачи о растяжении цилиндра, торцы которого жестко сцеплены с захватами растягивающего устройства.

Результаты второй главы опубликованы в работах [1, 2, 22-25].

Третья глава работы посвящена анализу задач нелинейной теории упругости для тел с изолированными дефектами - дислокациями Вольтерра.

Решению различных задач о дислокациях в нелинейно-упругих телах посвящены работы А.О. Бочкарева, 3. Веселовски, Б. К. Д. Гэролы, В.А. Еремеева, А.Зегера, A.A. Зеленина, JT.М. Зубова, 3. Кнесла, A.M. Косевича, В. А. Стрельцова, К. Теодосиу, В. В. Токия, Ф. Цемелы, В. Т. Шматова и др.

В разделе 3.1 в рамках плоской деформации доказано обобщение на нелинейный случай теоремы Вейнгартена. Для этого с использованием комплексного описания деформации вида

2 = 2 (С, С), ^3 = ^3,

где комплексные координаты Q = х\+ix2 п z = Х\+ iX2 определяют положение точки среды в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно, решена задача определения вектора перемещений по заданному в плоской области однозначному полю тензора конечных деформаций. Проанализирован характер неоднозначности перемещений в случае неодносвязной области. Показано, что на разрезе, превращающем область в односвязную, предельные значения функции 2 не совпадают:

z+ = eiKz~+ß, (11)

где обозначено

1

К = o??dC + fjdC: ß = zo(l- eiK) + I dz + (eiK - l)

Mt Mo

dz, (12) Ml Ml

т] = !?((?„) - функция, полностью определяемая заданием поля меры деформации Коши в, выражение которой достаточно громоздко и здесь приведено

не будет. Из (И) вытекает, что положение одного берега разреза в деформированном состоянии отличается от положения другого конечным плоским перемещением абсолютно твердого тела. Посредством соотношений (12) параметры дислокации - вектор Бюргерса и вектор Франка - выражаются через поле меры деформации Кошп.

В разделе 3.2 сформулирована краевая задача определения напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругого тела, содержащего изолированный дефект, характеристики которого считаются заданными. Полуобратный метод был применен к системе уравнений равновесия и совместности, при этом в качестве неизвестных были выбраны компоненты меры деформации Коши, которая разыскивалась в виде

G = ^(r)rV1 + B2(r)r2r2 + r3r3,

где rn - лагранжев векторный базис отсчетной конфигурации, соответствующий цилиндрическим координатам г, f, z, а функции А(г) и В(г) подлежали определению. В работе найдено точное решение задачи о клиновой дисклина-ции в кольце из полулинейного материала. Это же решение другим способом ранее было получено Л.М.Зубовым. В отличие от линейной теории упругости напряжения не имеют особенности на осп днеклинации.

Другой вариант полуобратного метода, основанный на полуобратном представлении компонент радиус-вектора в цилиндрических координатах вида

R = Р(г), Ф = se<p, Z = z,

где ж - параметр дисклинации, выражающийся через ее вектор Франка, использован в разделе 3.3 для решения задачи о клиновой дисклинации в цилиндре из материала Блейтца и Ко. В случае сплошного цилиндра радиуса гi найдено точное решение нелинейной краевой задачи для функции Р{г) вида

Р(г) = ж-1/4т-3/4п (r/n)771;

m = аз 2/3 (^Д + (В + 2 — + аз2 — 2 .

Установлено, что напряжения в этом случае не имеют особенности на оси цилиндра лишь в случае отрицательной дисклинации, образование которой связано с добавлением материала. Напряжения, создаваемые положительной дисклинацией, имеют на оси цилиндра степенную особенность.

В разделе 3.4 представлены результаты исследования влияния внутренних напряжений, вызванных клиновой дисклинацией, на деформированное состояние тела «в целом»: подробно изучено отсутствующее в линейной теории упругости явление изменения длины цилиндра при образовании в нем

дисклинацип. С использованием найденных в предыдущих разделах аналитических решений задачи о дисклинацип показано, что эффект изменения длины цилиндра при образовании клиновой дисклинацип является чисто нелинейным эффектом, причем его знак зависит от упругих характеристик «второго порядка». В случае несжимаемых материалов дисклинацип любого знака приводят к удлинению цилиндра.

Другим видом дефектов, изучение которых в рамках нелинейной теории упругости сводится к анализу краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, являются винтовые дислокации. Строгие результаты, относящиеся к этой задаче были ранее получены JI.M. Зубовым для несжимаемых материалов на основе полуобратного представления вида

R = P{r), Ф = <р, Z = aip + z,

где а - параметр дислокации, пропорциональный длине ее вектора Бюргерса.

В разделе 3.5 изучается напряженное состояние полого цилиндра для трех типов сжимаемых материалов. Нелинейные краевые задачи, возникающие при использовании полулинейного материала и материала Блейтца и Ко, решаются численно. Для широкого класса материалов, названных «гипотетическими», найдено точное решение задачи, совпадающее с решением линейной теории. Показана неприменимость модели полулинейного материала для анализа механических полей дислокации вблизи оси цилиндра.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [12, 17, 28, 36].

В четвертой главе подробно изучается явлений неустойчивости в форме порообразования, или кавитации, на оси изолированной дислокации в нелинейно-упругом теле.

Понятие кавитации относится обычно к теории жидких сред. Однако во второй половине прошлого века появился целый ряд экспериментальных работ, продемонстрировавших, что и в твердых телах возможно зарождение пор и полостей и их последующее развитие. Результаты экспериментального наблюдения за возникновением полостей в резиновых образцах, подверженных трехосному напряженному состоянию, представлены в работах A.N. Gent, Р. Lindley (1958), M.L. Williams, R. A. Schapery (1965). Позднее это явление было подтверждено экспериментами, описанными в работах D.T. Chung, С.О. Horgan, R. Abeyaratne (1986), H.S. Hou, Y. Zhang (1992). Одно из первых теоретических решений задач порообразования было дано J.M. Ball в 1982 г. В англоязычной литературе за такими решениями закрепилось название «сингулярные», в настоящей работе мы будем называть их «разрывными».

В разделе 4.1 рассмотрена винтовая дислокация в сплошном цилиндре из материала Блейтца и Ко. Установлено, что радиальное смещение точек, лежащих до деформации на оси цилиндра, отлично от нуля, т.е. образование винтовой дислокации в сплошном цилиндре приводит к разрывному реше-

ншо, описывающему возникновению полости на оси цилиндра. Приведены результаты численных расчетов зависимости радиуса полости от параметра дислокации. Показано, что создаваемые дислокацией напряжения и удельная (на единицу длины цилиндра) упругая энергия в отличие от линейной теории упругости не имеют особенности на оси цилиндра.

В разделе 4.2 показано, что рассмотренная выше задача о клиновой дис-клинации в сплошном цилиндре из материала Блейтца и Ко может иметь и второе решение - разрывное. Расчеты показали, что решения такого рода, описывающие образование полости на оси цилиндра, существуют лишь при ге < 1 (отрицательная дисклинация). Определенные выводы о предпочтительности решения, описывающего образование полости, могут быть сделаны на основе сравнения упругих энергий, соответствующих двум состояниям. Проведенные в этой связи расчеты показали, что энергия сплошного цилиндра превосходит энергию полого.

Сложность анализа задачи о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с изолированной дислокацией или дисклинацией в сжимаемых средах связана с тем, что даже при использовании полуобратного метода для каждой модели материала необходимо рассматривать новую нелинейную краевую задачу для определения функции, определяющей радиус точки цилиндра в деформированном состоянии. Для получения некоторых общих фактов о возможности существования разрывных решений в теории упругих дислокаций и свойствах этих решений в разделе 4.3 рассмотрен случай несжимаемой среды, для которой задачи о винтовой дислокации и клиновой дисклинации имеют универсальное решение вида

Я(г) = у/{г2 + А2)/эг.

Константа интегрирования А в случае сплошного цилиндра имеет смысл радиуса полости, образующейся вокруг оси дефекта.

В работе сформулировано интегральное соотношение, которое может служить для анализа возможности существования разрывного решения, а также для определения зависимости радиуса образующейся полости от характеристик дефекта

-7=1=(-Д'25гл + 5,-Ф)с1Г = 0, (13)

о утг + А

где й'гд и - компоненты (в полибазисе, составленном из векторов цилиндрических координат отсчетной и текущей конфигурации) тензора Э = д\¥/дС.

Для ряда конкретных моделей нелинейно-упругих потенциалов определены области изменения материальных параметров, в которых существует разрывное решение, и проведены расчеты по определению размеров образу-

а) б)

Рис. 3. Зависимость радиуса полости от параметра дисклинации при учете поверхностной энергии: а) материал Зубова-Рудева, б) материал Бартенева-Хазановича

ющихся полостей. Во всех рассмотренных случаях расчеты энергии цилиндра с дефектом показали, что энергия для разрывного решения меньше соответствующей энергии для регулярного решения. В связи с этим решение с полостью в случае его существования можно считать энергетически более предпочтительным.

Корректный анализ вопросов, связанных с образованием полостей, требует учета поверхностных эффектов - т.е., как минимум, учета в разрабатываемой теории поверхностной энергии. Для этого на примере задачи о клиновой дисклинации в разделе 4.4 дан основанный на энергетических соображениях способ вывода соотношения для определения радиуса полости, образующейся вокруг осп дефекта. Учет поверхностной энергии в задаче о кавитации сводится к добавлению к выражению для функционала энергии слагаемого, описывающего энергию новой образовавшейся поверхности, которое было принято в виде

9, = 2тгД(0)ст,

где а - постоянное поверхностное натяжение, 2я"Д(0) - длина окружности -сечения поверхности образовавшейся полости.

На рис. 3 представлена зависимость размера полости А, образующейся в сплошном цилиндре радиуса г1; от параметра дисклинации <5 = 1 — ее при использовании моделей материалов Зубова-Рудева (а) и Бартенева-Хазановича (б). Кривая 1 соответствует случаю а = 0, кривая 2 - случаю сгДргх) = 0.001.

Расчеты, проведенные для широкого спектра моделей несжимаемых сред, показали, что учет поверхностной энергии приводит к уменьшению радиуса образующейся полостп вплоть до ее полного исчезновения.

Материал четвертой главы основывается на работах автора [10, 20, 21, 29-31, 34, 35].

Невозможность учета структуры реального кристалла отмечается многими авторами как недостаток рассмотрения дислокаций в кристаллах методами классической теории упругости. Важная роль, которую эта структура часто играет, приводит к различным попыткам учета ее тем или иным образом в рамках континуальной теории. В связи с теорией дислокацией можно отметить, например, работы И.А. Кунина и A.C. Эрингена по нелокальной упругости, О.В.Диллона по теории упругой среды высших порядков. Использованный в настоящей работе подход к учету структуры материала в рамках континуальных теорий основывается на представленной в 1909 году братьями Коссера модели сплошной среды, каждая точка которой обладает степенями свободы абсолютно твердого тела. В такой среде, называемой также микрополярной, наряду с обычным полем напряжений присутствуют и моментные напряжения, связанные с вращательным взаимодействием частиц.

Механика континуума Коссера получила значительное развитие в работах Э.Л.Аэро, В.А. Еремеева, В.И. Ерофеева, П.А. Жилина, Л.М.Зубова, В.Т. Койтера, Е.В. Кувшинского, В. Новацкого, В.А. Пальмова, С.О. Саркисяна, P.A. Туиина, Л.И. Шкутина, К. Эрннгсна и др.

Эта модель используется в теории жидких кристаллов, при описании структурно-неоднородных сред, процессов пластического деформирования, для моделирования механического поведения гранулированных и сыпучих сред, металлических пен, гео-материалов, биологических тканей и нано-струк-тур. Начало использования модели Коссера для построения общей континуальной теории дислокаций и собственных напряжений положила работа Э. Кренера, развитая далее В.Л. Бердичевским, Л.И. Седовым, Б.Е. Победрей, Ю.З. Повстенко, С. Минагавой и многими другими авторами. Различные аспекты непрерывного распределения дефектов в среде Коссера, а также задачи об изолированных дислокациях и дисклинациях рассмотрены в работах А. Е. Волкова, Ю.В. Гриняева, Р. де Вита, В.А. Лихачева, В.Е. Панина, В.Е. Шудегова, J.P. Nowacki, W. Nowacki и др.

В пятой главе представлено несколько постановок задач о больших деформациях упругого цилиндра в рамках нелинейной мпкрополярной теории упругости. Задачи различаются вариантами полуобратного представления перемещений и функций удельной потенциальной энергии среды Коссера. Причины напряженно-деформированного состояния цилиндра могут быть обусловлены как внешними факторами (растяжение, кручение), так и внутренними дефектами - дислокациями и дисклинациями. Во всех случаях полуобратное представление содержит две подлежащие определению функции (радиальное перемещение и угол микроповорота частицы тела), зависящие только от одного скалярного параметра - радиуса точки в недеформирован-ном состоянии.

Раздел 5.1 содержит основные сведения о рассматриваемой модели кон-

тинуума. Положение частицы среды в актуальной конфигурации определяется наряду с радиус вектором II еще и собственно ортогональным тензором микроповорота Н, а деформированное состояние среды характеризуется двумя тензорами: первой мерой деформации У и первым тензором изгнбной деформации Ь, задаваемыми соотношениями

У = grad К Нт, 8гаё Н • Нт = -Ь х I. (14)

В силу принципа материальной индифферентности упругий потенциал IV является функцией именно этих двух тензоров

1У = 1У(Н,Ь).

Кроме тензора напряжений типа Кирхгофа Т*, связанного с упругим потенциалом соотношением

Т* = <ЭИ7<ЭУ, (15)

в рассмотрение вводится тензор моментных напряжений, определяющее соотношение для которого имеет вид

М* = д\У/дЬ. (16)

В работе приведены уравнения равновесия в лагранжевых и эйлеровых координатах; определяющие соотношения (15), (16) уточнены в случае наложения связей. Особо рассмотрен случай псевдоконтинуума Коссера - среды у которой микроповорот частиц совпадает с их поворотом вследствие упругой деформации.

В качестве примера анализа влияния учета микроструктуры в разделе 5.2 рассмотрена задача о кручении нелинейно-упругого цилиндра. В дополнение к полуобратному представлению деформации кручения вида (5) в рассмотрение вводится представление для собственно ортогонального тензора микроповорота

Н = егея + со5х{г){е^вф + еге2) + втх{г){е^е2 - егеФ), (17)

где функция х(г) задает собственный поворот частицы среды, не связанный с деформацией.

В работе представлены результаты численных расчетов влияния параметров микроструктуры на эффект Пойнтинга. Для псевдоконтинуума Коссера выведены асимптотические формулы зависимости удлинения цилиндра от угла закручивания; показано, что в зависимости от используемой модели материала для описания эффекта Пойнтинга может потребоваться учет слагаемых не только второй, но и третьей степени.

В разделе 5.3 путем решения задачи об определении полей перемещений и вращений в многосвязной области при заданных полях меры деформации У п тензора изгибной деформации Ь доказано существование в нелинейно-упругом континууме Косссра дефектов типа дислокаций Вольтерра. При помощи мультипликативного контурного интеграла дано выражение характеристик дислокации через поле тензоров деформации. В качестве специального рассмотрен случай плоской деформации, при которой характеристики дефекта удается выразить через обычные контурные интегралы. Анализ в этом случае проводится по схеме, полностью аналогичной использованной в разделе 3.1.

Раздел 5.4 содержит решения нескольких модельных задач о равновесии упругих тел с изолированными дефектами при учете моментных напряжений. Точное решение задачи о клиновой дисклпнацин получено полуобратным методом, примененным к системе уравнений равновесия и совместности, для сжимаемого континуума Коссера с упругим потенциалом

где Л, [1, а, 5, 7, и т] - константы материала и использовано обозначение е = У — В качестве полуобратных использовались следующие представления для подлежащих определению деформационных характеристик:

Ь = Ьг(г)еге~ + Ь^(г)е^ег, (19)

У = Уг(г)еГег + У^(г)е9е^ + е:ег. (20)

Задача о винтовой дислокации решена в рамках несжимаемого псевдоконтинуума с упругим потенциалом

IV = 2/х 1г (У - I) + ^ Ь + Ь (Ь ■ Ьт) + ЬгЬ2. (21)

Проанализировано влияние учета моментных напряжений и нелинейности на поведение напряжений вблизи оси дефектов.

Для изучения влияния учета микроструктуры на кавитацию в окрестности оси изолированного дефекта в предположении о несжимаемости материала использован энергетический подход, основанный на нахождении стационарных точек полной потенциальной энергии. Схема исследования при этом аналогична использованной в разделе 4.4. Для материалов с упругим потенциалом аддитивной структуры

ТПУ,ь) = ИЧУ) + И^(Ь)

(18)

уравнение для определения радиуса полости А совпадает с условием стационарности функционала полной потенциальной энергии

дП 9*

~ri d\VY dY п

1—г— © -^-г dr + 2тг о dY

дА

'ri dÏVL dL ,

г-О — dr :

о dL ал

0.

(22)

Показано, что учет моментных напряжений не влияет на существование разрывных решений в задаче о клиновой дисклинации. Что касается винтовой дислокации, то для типичных нелинейных моделей континуума влияние учета микроструктуры аналогично учету влияния поверхностной энергии: сужается интервал параметров дефекта, в котором существует разрывное решение; при этом радиус полости уменьшается. Однако существуют модели, для которых картина значительно сложнее. Это означает, что при использовании для учета микроструктуры материала модели псевдоконтинуума Кос-сера материальные параметры могут оказывать существенное качественное влияние на возможность образования полости вокруг оси винтовой дислокации.

Материал, представленный в пятой главе, основывается на работах автора [13, 26, 29, 32-34, 44].

Шестая глава посвящена анализу ряда задач о равновесии и устойчивости нелинейно-упругих тонкостенных конструкций - гофрированных мембран и пластинок, содержащих дефекты.

Теория оболочек - один из наиболее актуальных разделов механики деформируемого твердого тела. Кроме традиционных областей техники в последнее время теория оболочек применяется для описания механического поведения нанотрубок, тонкопленочных наноструктур, клеточных мембран, стенок кровеносных сосудов и т.д. Многие инновационные процессы в современном производстве, опирающиеся на нестандартные подходы к использованию традиционных конструкционных материалов и элементов, также существенно расширяют круг актуальных задач механики оболочечных конструкций.

Литература по различным аспектам устойчивости пластин и оболочек очень обширна. Среди монографий и обзорных работ, посвященных этой тематике, можно упомянуть труды H.A. Алфутова, Н.В. Валншвилн, A.C. Воль-мира, B.C. Гудрамовича, Э.П. Григолюка и В.В. Кабанова, A.B. Кармшшша и др., Е.П. Колпака, М.П. Огибалова, Л.С. Срубщика, П.Е. Товстика, Z.P. Bazant и L. Cedolin, D. Shilkrut, J. Singer, J. Arbocz и T. Weller, P.E. Tovstik и A.L. Smir-nov, C.M. Wang, C.Y. Wang и J.N. Reddy и др.

Один из фундаментальных фактов, установленных И.И. Воровичем в 1950-е гг., принадлежит теории устойчивости пологих оболочек и состоит в следующем: проблему устойчивости оболочки нельзя решать методом линеаризации в окрестности безмоментного напряженного состояния (методом Эйлера для стержня) и для ее решения следует рассматривать полную нели-

нейную формулировку. В этих же работах, в частности, формулируются условия существования обобщенного решения нелинейных уравнений для пологих оболочек и доказывается сходимость различных прямых методов (Ритца, Га-леркина, конечных элементов - МКЭ) к этому обобщенному решению.

Следует отметить, что до сих пор одной из немногих задач, которые не удается алгоритмизировать в рамках МКЭ, остается задача И.И. Воровича об определении точек ветвления в нелинейных задачах для тонкостенных конструкций. С формальной точки зрения проблема состоит в сложности представления производной от матрицы жесткости (производной Фреше) в окрестности глубоко нелинейного и, в общем случае, моментного напряженного состояния. Возможность построения в рамках МКЭ или какого-либо другого численного прямого метода зависимости «нагрузка - обобщенное перемещение» не решает проблему в полном объеме, поскольку остается открытым вопрос о существовании смежных или несмежных решений, наряду с найденным.

В разделе 6.1 представлены уравнения для анализа нелинейного поведения круглых мембран с произвольным профилем по радиусу в общем случае неосеснмметричного деформирования под действием гидростатического давления. Считая, что профиль поверхности круглой мембраны с толщиной /г и радиусом а » к задан в цилиндрической системе функцией г = /(г), эти уравнения, основанные на гипотезах Кирхгофа, могут быть записаны в виде

= Гц01 + 7}202, .7 = 1,2; Тп = В{£п + 1/е22), Т22 = В(е22 + ^п), Т12 = В(1 ~ и)еи-Мц = £>(азц + 1Уаг22), М22 = 0(аа22 + иагп), М12 = Б(1 - и)аз12;

Здесь

13(гМц) + + 1 ЭД/,2

г дг г гС д(р '

+

£и = ец + -0?, £22 = е22 + -в\, £12 = е12 + -0102;

1

£22 = 622 +

1

1 , , ОИ2 Щ

ец = С--1- Ал «т. еоо = —г--1-С--1- к2из,

двг С 0 „д (6Л \двх

®И = С—, 3522 = -^- + — ви 2ж12 = гС— I — I +——;

от г о<р Г ОТ \Г ) Г др

в1 = -С^ + к1щ, 02 = + к2из, С = С(г) = 1

дг г д<р ' (1 + у2)1/2'

(1 +/'2)3/2' Г(1+/'У2'

. , 12(1-г/2)'

где щ, и2, из - смещения точки срединной поверхности мембраны вдоль меридиана, параллели и нормали соответственно, 61,62 - углы поворота нормали, к\,к2- главные кривизны поверхности, <5ъ <?2 ~ поперечные силы, Е - модуль Юнга, и - коэффициент Пуассона.

Граничные условия на контуре жестко защемленной мембраны при г = а имеют вид

щ =0, и2 = и3 = 0, 6>! = 0. (24)

В случае осеснмметричного деформирования система (23) сводится к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка. В работе описаны особенности реализации метода пристрелки ее численного интегрирования.

В разделе 6.2 описана схема линеаризации краевой задачи (23), (24) для определение точек ветвления ее осесимметричных решений, описана численная схема поиска точек бифуркации. Представлены два подхода для изучения закритического поведения мембраны. Первый их них основывается на идее прямого численного интегрирования и может быть применен в случае, когда неосесимметричная форма потери устойчивости определена достаточно надежно. Второй способ основан на энергетических соображениях и пригоден для определения амплитуды ответвляющегося решения в небольшой зоне после потери устойчивости.

В разделе 6.3 представлены некоторые примеры использования описанных выше уравнений и методов их решения.

Первый из них связан с исследованием деформирования сферического купола. В восьмидесятые годы прошлого века эксперименты, проведенные С.Ямада, включающие высокоточные измерения распределения начальных геометрических несовершенств и вертикальных перемещений как в докрити-ческом, так и в закритическом равновесных состояниях сферического купола, показали определяющее влияние таких несовершенств на критическое давление и на форму потери устойчивости. В настоящей работе показано, что чувствительность сферического купола к несовершенствам связана с большим

Рис. 4. Диаграмма нагружеиия гофрированной мембраны специального вида

количеством близко расположенных точек бифуркации по неосесимметрич-ным модам. При этом целенаправленным внесением небольших технологических изменений в форму купола можно добиться устранения большинства из этих точек бифуркации для обеспечения работы оболочки в осесимметричном режиме.

В качестве второго примера использования разработанных методик анализа равновесия и устойчивости гофрированных мембран в этом же разделе рассмотрен ряд задач оптимального проектирования мембран. Оптимизация формы гофрировки осуществлялась с использованием генетического алгоритма. Проведены расчеты, доказывающие эффективность использования этого алгоритма в задачах оптимизации формы гофрированных мембран.

Третий пример связан с анализом мембраны с гофрировкой специального вида, диаграммы нагружения которой, представленные на рис. 4, показывают возможность за счет выбора формы профиля реализовать вместо прощелкивания (хлопка) мембраны плавный устойчивый переход из одного осесимметричного состояния в несмежное дальнее через этап неосесиммет-ричного деформирования по форме, пропорциональной косинусу угловой координаты.

Сплошной кривой на рис. 4 изображена зависимость между давлением р и вертикальным перемещением т в центре мембраны, полученная на основе численного интегрирования нелинейной системы уравнений осесимметричного деформирования. При плавном увеличении давления в точке р = р4 про-

исходит бифуркация по осесимметричной форме. Этой форме соответствует ниспадающий участок на сплошной кривой нагружения до другой точки осесимметричной бифуркации р = рь Возрастающему участку диаграммы за точкой pi соответствует так называемое прощелкнутое, или выпученное осе-симметрпчное состояние.

Маркерная линия на рис. 4 соответствует численному решению неосесим-метрнчной задачи. Точки бифуркации pi, р2, рз, p_i затемнены. При плавном увеличении давления от нуля до рз < р4 решение этой задачи и предыдущей совпадают. В точке бифуркации р = рз от осесимметричного решения ответвляется неосесимметричное, пропорциональное cos ¡р. Такое неосесим-метричное решение продолжается до точки бифуркации р2 > Pi, в которой оно вновь переходит в осесимметричную форму, соответствующую прощелк-нутому состоянию.

Существование двух траекторий перехода в прощелкнутое состояние требует проведения дополнительного анализа для отбора той пз них, которая является практически реализуемой. С этой целью был осуществлен энергетический анализ построенных решений, результаты которого также приведены на рис. 4, где пунктирной линией изображена зависимость отношения потенциальной энергии деформации мембраны для неосесимметричного решения Wi к энергии Wo, вычисленной при осесимметричном деформировании, от параметра нагружения - прогиба в центре мембраны. Видно, что в области расхождения двух решений неосесимметричное решение является энергетически предпочтительным. Следовательно, процесс выпучивания в данном случае будет происходить по устойчивой неосесимметричной форме.

Для физики твердого тела оказалось важным изучение дислокаций и дис-клинаций не только в трехмерных телах, но и в двухмерных — пластинках, пленках и т.п. Новая волна интереса к нелинейной теории упругих дисклн-наций в последние годы связана с активным использованием дисклинацион-ных моделей, в т.ч. основанных на теории теории пластин и оболочек, при описании наноструктур различного рода. Сказанным определяется интерес к изучению подобных моделей методами теории упругости. Линейная теория дислокаций в оболочках подробно освещена в монографии К.Ф. Черных «Линейная теория оболочек» (1964), нелинейные ее аспекты развиты в работах C.B. Дерезина, В.А. Еремеева, Л.М. Зубова.

В настоящей работе представлены результаты решения задачи о равновесии и устойчивости нелинейно-упругой пластинки с клиновой дисклинацией. Анализ основывается на нелинейных уравнениях теории пластин и оболочек типа Лява, представленных в монографии Л.М. Зубова «Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек» (1982), и полуобратном представлении в цилиндрических координатах, описывающем образование в пластинке дис-

Рис. 5. Равновесная форма пластинки с отрицательной дисклинацией.

клинадии, вида

Я = Д(г), Ф = ж V?, 2 = г (г). (25)

В разделе 6.4 в рамках безмоментной теории установлено, что в случае положительной дисклинации возможны две осесимметричные формы равновесия. Напряженное состояние первой из них - плоской - совпадает (с точностью до стандартной замены постоянных, связанной с переходом от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию) с напряженным состоянием нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Другая равновесная поверхность, описываемая функциями

Я(г)=г/аз, г (г) = \/ж2 - 1 г ¡ее, (26)

представляет собой конус, при этом напряжения в ней отсутствуют для любого определяющего соотношения, поскольку преобразование (26) является изометрическим. В рамках безмоментной теории найдено равновесное состояние пластинки с малой отрицательной дисклинацией, также получаемое изометрическим преобразованием отсчетной конфигурации в актуальную, но, в отличие от (26), не являющееся осесимметричным. Деформированная пластинка имеет при этом два ребра, ее изображение представлено на рис. 5.

В разделе 6.5 показано, что уравнения равновесия нелинейной момент-ной теории при всех значениях параметра дисклинации допускают «плоское» решение (прогиб тождественно равен нулю), совпадающее с решением безмоментной теории. Проведено численное исследование его устойчивости, показавшее, в частности, что в случае положительных дисклинаций потеря устойчивости происходит по осесимметричным формам, а моды потери устойчивости пластинки с отрицательной дисклинацией неосесимметричны.

Материал шестой главы основывается на работах автора [8, 9, 18, 19, 38,

В заключении представлены основные результаты диссертационного исследования, которые состоят в следующем.

1. Разработаны программные средства автоматизации полуобратного метода нелинейной теории упругости, предназначенные как для численного исследования задач равновесия, так и для аналитического изучения эффектов второго и высших порядков, а также автоматизированного генерирования уравнений нейтрального равновесия для исследования устойчивости упругих тел на основе бифуркационного подхода. С их использованием решен ряд новых задач об эффектах второго порядка в задачах изгиба и кручения нелинейно-упругих тел.

2. Решена задача С.Спектора о нахождении класса моделей нелинейно-упругого поведения материала, для которого диаграмма растяжения имеет падающий участок, а процесс растяжения при этом является устойчивым. Показано, что потеря устойчивости при растягивающих нагрузках является результатом материальной и конструкционной неустойчивости.

3. Построены новые точные решения задач о напряжениях, создаваемых в сплошном цилиндре из сжимаемого нелинейно-упругого материала изолированными дефектами типа винтовой дислокации и клиновой дисклинации. Впервые обнаружены и проанализированы разрывные решения таких задач.

4. Разработана теория разрывных решений задач о равновесии несжимаемых нелинейно-упругих тел с изолированными дефектами. Необходимые условия возникновения полости вокруг оси дефекта сформулированы в виде предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии. Предложена и апробирована схема учета влияния поверхностного натяжения на возможность существования разрывных решений и их характеристики.

5. Доказано существование дефектов типа дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругом континууме Коссера. На основе найденных новых точных решений задач об изолированных дефектах в средах такого типа проанализировано влияние учета нелинейности и моментных напряжений на механические поля дислокаций как в регулярном случае, так и для разрывных решений.

6. Представлен численно-аналитический алгоритм исследования равновесия и устойчивости круглых гофрированных мембран, испытывающих большие деформации. С его помощью показано, что экспериментально проявляющаяся чувствительность сферического купола к несовершенствам связана с большим количеством близко расположенных точек бифуркации по неосесим-метричным модам. При этом целенаправленным внесением небольших технологических изменений в форму купола можно добиться устранения большинства из этих точек бифуркации для обеспечения работы оболочки в осесим-метрнчном режиме.

7. Для мембран с относительно большим начальным погибом за счет выбора формы профиля установлена возможность реализовать вместо прощел-

кивания (хлопка) мембраны плавный устойчивый переход из одного осесим-метричного состояния в несмежное дальнее через этап неосесимметрнчного деформирования по форме, пропорциональной косинусу угловой координаты.

8. Исследованы формы равновесия и устойчивость нелинейно-упругой пластинки, содержащей клиновую днеклинацию.

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному консультанту профессору J1.M. Зубову за постоянное внимание и большую помощь в работе.

Список публикаций

1. Александрии М. В., Карякин М. И. О растяжении нелинейно-упругого цилиндра при наличии падающего участка диаграммы нагружения // Современные проблемы механики сплошной срсды. Труды XIII международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. С. 21-24.

2. Александрии М. В., Карякин М. И. Об устойчивости растяжения нелинейно-упругого цилиндра // Экологический всстник научных центров ЧЭС. 2010. № 1. С. 7-12.

3. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Методы компьютерной алгебры в задачах нелинейной теории упругости // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2-й международной конференции. Vol. 1. Ростов н/Д: МП «Книга», 199G. Pp. 30-34.

4. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. О нелинейных эффектах в задаче кручения // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 3-й международной конференции. Т. 1. Ростов н/Д: МП «Книга», 1997. С. 92-96.

5. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Кручение подкрепленного цилиндра из нелинейно-упругого материала // Известия РГСУ. 1998. № 3. С. 58-65.

6. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Об автоматизации анализа устойчивости равновесия скручиваемого вала // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 5-й международной конференции. Ростов-на-Дону: Изд-во Северо-Кавказ. научн. центра высш. школы, 2000. С. 79-83.

7. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 2. С. 188-193.

8. Гетман И. П., Карякин М. И., Мостипан Г. О. и др. Некоторые задачи устойчивости оболочек со сложной геометрией и физпко-механическимн свойствами // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2011. № 4. С. 24-31.

9. Гетман И. П., Карякин М. И., Устинов Ю. А. Анализ нелинейного поведения мембраны с произвольным профилем по радиусу // ПММ. 2010. Т. 74, № 6. С. 19-29.

10. Еремеев В. А., Зубов Л. М., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Доклады РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 968-971.

11. Жеребко А. М., Карякин М. И., Обрезков Л. П. Об автоматизации анализа неодномерных задач нелинейной теории упругости // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2013. № 4. С. 54-59.

12. Зубов Л. М., Карякин М. И. Многозначные смещения и дислокации Воль-терра в плоской нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1987. № 6. С. 146-152.

13. Зубов Л. М., Карякин М. И. Дислокации и дисклинации в нелинейно-упругих телах с моментными напряжениями // ПМТФ. 1990. № 3. С. 160-167.

14. Калашников В. В., Карякин М. И. Использование модели материала Мур-нагана в задаче плоского изгиба упругого стержня // Труды Ростовского государственного университета путей сообщения. 2006. № 2(3). С. 56-65.

15. Калашников В. В., Карякин М. И. Эффекты второго порядка в задаче плоского изгиба нелинейно-упругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции. Т. 1. Ростов н/Д: ООО «ЦВВР», 2006. С. 148-152.

16. Калашников В. В., Карякин М. И. Эффекты второго порядка и принцип Сен-Венана в задаче кручения нелинейно-упругого стержня // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 6. С. 129-136.

17. Карякин М. И. О напряжениях, создаваемых изолированной дисклина-цией в нелинейно-упругом теле // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1988. № 1. С. 58-63.

18. Карякин М. И. Напряженно-деформированное состояние пластинки с дис-клинацией // Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов-н/Д: Изд-во РИСИ, 1989. С. 80-86.

19. Карякин М. И. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой пластинки с клиновой дисклинацией // ПМТФ. 1992. № 3. С. 157-163.

20. Карякин М. И. Кавитация на оси изолированного дефекта при учете поверхностной энергии // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2 международной конференции. Т. 2. Ростов н/Д: МП «Книга», 1996. С. 87-91.

21. Карякин М. И. О влиянии учета поверхностного натяжения на образование полости вокруг оси изолированной дисклинации // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Межвузовский сборник. Ро-

стов н/Д: Изд-во ДГТУ, 1996. С. 80-83.

22. Карякин М. И. Об особенностях поведения нелинеино-упругпх тел при растягивающих напряжениях // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX международной конференции, посвященной 85-летшо со дня рождения академика РАН И.И. Воровича. Т. 2. Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР», 2006. С. 137-141.

23. Карякин М. И. Об особенностях растяжения нелинейно-упругих образцов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. № 4. С. 43-48.

24. Карякин М. И. Об устойчивости деформирования на падающем участке диаграммы нагруженпя // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР», 2007. С. 180-184.

25. Карякин М. И. Равновесие и устойчивость растягиваемого нелинейно-упругого стержня // Известия высших учебных заведений. Ссвсро-Кав-казекпй регион. Естественные науки. 2007. № 4. С. 22-28.

26. Карякин М. И., Майорова О. А., Пустовалова О. Г. Эффекты высших порядков в задаче о деформировании цилиндра из несжимаемого микрополярного материала // Современные проблемы механики сплошных сред. Труды XVI международной конференции. Т. 1. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2012. С. 133-137.

27. Карякин М. И., Панфилов И. А. Расчет механических характеристик круговых гофрированных мембран при осеснмметричном нагружении Сг-gAx // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615873 от 27.07.2011.

28. Карякин М. И., Поздняков И. В., Пустовалова О., Шубчннская Н. Ю. О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2013. № 6. С. 46-51.

29. Карякин М. И., Пустовалова О. О кавитации на оси винтовой дислокации в нелинейно-упругом цилиндре // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. № 4. С. 33-37.

30. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. Образование полости вокруг оси клиновой дисклинации в несжимаемых материалах // Механика деформируемых тел. Межвузовский сборник. Ростов-н/Д: Изд-во ДГТУ, 1994. С. 75-78.

31. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. О сингулярных решениях задач нелинейной теории упругих дислокаций // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 5. С. 173-180.

32. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. Образование полости на оси изолированного дефекта в псевдоконтинууме Коссера // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича.

Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР», 2006. Т. 2. С. 142-145.

33. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. Учет моментных напряжений в сингулярных задачах нелинейной теории упругости // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции, посвященной памяти академика А.С.Космодамианского. Т. 2. Донецк: Юго-Восток, 2006. С. 73-75.

34. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. О кавитации на оси клиновой дис-клинации в нелинейно-упругом цилиндре // Вестник Южного Научного Центра РАН. 2008. Т. 4, № 1. С. 16-23.

35. Карякин М. П., Пустовалова О. Г. Об учете поверхностного натяжения при моделировании кавитации на оси винтовой дислокации // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. С. 93-97.

36. Карякин М. И., Пустовалова О. Г., Резниченко А. А. Деформирование нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII-й международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: Новая книга, 2003. С. 109-112.

37. Карякин М. И., Пустовалова О. Г., Сухов Д. Ю. Компьютерная реализация полуобратного метода нелинейной теории упругости в среде Maple // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Xs 2008611069 от 28.02.2008.

38. Карякин М. И., Сигаева Т. В. О поиске оптимального профиля круглой гофрированной мембраны с максимальным линейным ходом // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2011. С. 105-109.

39. Карякин М. И., Сухов Д. Ю., Шубчинская Н. Ю. Об особенностях чистого изгиба упругой панели при больших деформациях // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2012. № 4. С. 69-75.

40. Карякин М. И., Шубчинская Н. Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой панели при чистом изгибе // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международной конференции. Т. 1. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. С. 162-166.

41. Gavrilyachenko Т., Karyakin М. On an application of semi-inverse method to the nonlinear problem of torsion // Proceedings of 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. Vol. 2. 1999. Pp. 690-697.

42. Gavrilyachenko Т. V., Karyakin M. I., Sukhov D. Y. Designing of the interface for nonlinear boundary value problem solver using Maple // Proceedings of the International Conference on Computational Sciences and its Applications. Los Alamitos-Washington-Tokyo: ICCSA, 2008. Pp. 284-291.

43. Karyakin M., Sigaeva T. Application of Genetic Algorithms to the Shape Optimization of the Nonlinearly Elastic Corrugated Membranes // Shell-Like

Structures: Non-Classical Theories and Applications, Ed. by H. Altenbach, V. A. Eremeyev. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg, 2011. Pp. 297-306.

44. Karyakin M. I., Zubov L. M. Theory of Isolated and Continuously Distributed Disclinations and Dislocations in Micropolar Media // Advanced Structured Materials, Vol 7. Mechanics of Generalized Continua, Ed. by H. Altenbach, G. A. Maugin, V. Erofeev. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2011. Pp. 275-290.

Подписано в печать 29.04.2014 г. Заказ № 3574. Тираж 150 экз. Формат 60*84 V Печ. лист 2,33. Уч.изд.л. 2,91. Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.

На правах рукописи

КАРЯКИН Михаил Игорьевич

Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел при учете изолированных дефектов и микроструктуры материала

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант д. ф.-м. н., проф. Зубов Л.М.

Ростов-на-Дону - 2014

Содержание

Введение ................................... 5

Глава 1. Нелинейные эффекты в задачах о равновесии упругих тел канонической формы.......................42

1.1. Автоматизация полуобратного метода нелинейной теории упругости .................................42

1.2. Особенности нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении................46

1.3. Анализ эффектов второго порядка в задаче кручения нелинейно-упругого вала.........................57

1.4. Чистый изгиб нелинейно-упругой панели.............69

1.5. Потеря устойчивости при кручении................94

Глава 2. Явление потери устойчивости при растягивающих нагрузках в сжимаемых нелинейно-упругих телах........101

2.1. Типы диаграмм простого растяжения...............101

2.2. Анализ бифуркаций. Плоская задача...............109

2.3. Анализ бифуркаций в задаче о растяжении цилиндра......115

2.4. Неоднородная деформация.....................119

Глава 3. Задачи нелинейной теории упругости для тел с изолированными дефектами.........................134

3.1. Теорема Всйнгартена в плоской нелинейной теории упругости . 134

3.2. Решение задачи о дисклинации в полулинейном материале при помощи уравнения совместности..................149

3.3. Изолированная дисклинация в цилиндре из материала Блейт-

ца и Ко................................158

3.4. Влияние клиновой дисклинации на изменение длины сплошного цилиндра.............................164

3.5. Винтовая дислокация в полом цилиндре из сжимаемого нели-иейпо-упругого материала.....................170

Глава 4. Разрывные решения задач нелинейной теории упругих дислокаций .............................183

4.1. Винтовая дислокация в сплошном цилиндре из материала Блей-тца и Ко...............................183

4.2. Разрывное решение задачи о клиновой дисклинации для материала Блсйтца и Ко.........................191

4.3. Разрывные решения задач о дислокациях для несжимаемых материалов..............................194

4.4. Учет поверхностной энергии в задачах о кавитации на оси изолированного дефекта........................210

Глава 5. Изолированные дислокации в нелинейно-упругих телах с микроструктурой........................217

5.1. Моделирование микроструктуры материала в рамках континуальной механики ........................... 218

5.2. О влиянии микроструктуры на эффект Пойнтинга.......224

5.3. Теорема Вейнгартена для сред с микроструктурой .......231

5.4. Частные решения задач об изолированных дефектах в нелинейно-упругом континууме Коссера................237

Глава 6. Равновесие и устойчивость пластинок и гофрированных мембран...............................252

6.1. Большие деформации осесимметричных гофрированных мембран ..................................254

6.2. Устойчивость и закритическое поведение гофрированных мембран ..................................259

6.3. Модельные задачи..........................266

6.4. Равновесие безмоментной пластинки, содержащей клиновую дисклинацию.............................282

6.5. Равновесие и устойчивость пластинки с дисклинацией при учете изгибной жесткости .......................289

Заключение..................................297

Литература..................................299

Введение

Начавшееся во второй половине прошлого века бурное развитие нелинейной теории упругости связано, прежде всего, с ее применением для описания больших деформаций новых для того времени материалов: различного рода резин, эластомеров и полимеров. Благодаря техническим приложениям формулировались и развивались не только математические модели нелинейно упругого поведения твердых тел (в этой связи необходимо упомянуть модели Трелоара, Муни-Ривлина, Блейтца и Ко, Бартсиева-Хазаиовича, Черных-Шубиной, Огдена), по и разрабатывались технологические методики экспериментального определения свойств резиноподобных материалов. Как правило, эти методики были связанными с конкретными приложениями того или иного сорта резины и основывались на сложившихся эмпирических критериях. Новые задачи, в том числе новая программа качества «Six sigma» [162|, приводят к необходимости не только пересмотра и усовершенствования канонических методик, но и все большего привлечения к их созданию усложненных математических моделей, в том числе и математического аппарата нелинейной теории упругости [187].

Важной областью приложения современной нелинейной теории упругости являются одни из самых сложных в прикладной механике задачи, связанные с моделированием поведения мягких биологических тканей. Кроме того, что эти ткани испытывают большие деформации, они еще контактируют друг с другом, растут и перестраиваются. Может показаться, что перечисленные обстоятельства резко снижают круг биомеханических приложений для нелинейно упругих моделей. Однако многие мягкие биологические ткани обладают свойством псевдоупругости, которое было введено в 70х годах Фыном [195] п позволяет использовать нелинейную теорию упругости как первое приближение. Даже сегодня, в эпоху бурно развивающихся конечно-элементных

пакетов и других вычислительных методов, исследователи активно пользуются этим свойством для обоснования использования теории упругости при изучении мягких биологических тканей [265].

В настоящее время общепризнано, что знание механических свойств мягких биологических тканей является определяющим для понимания возникновения и развития их заболеваний, а также разработки средств борьбы с этими заболеваниями. При этом именно нелинейная теория упругости признается многими учеными основным средством анализа механических факторов в этой области [274]. Поэтому одной из основных проблем современной нелинейной теории упругости является проблема выбора и верификации определяющих соотношений для биологических тканей. Эта проблема активно решается как в теоретических работах, так и путем организации сложных экспериментов - и ex vivo [250], и гп vivo [226].

Во многих работах отмечается важность учета нелинейных свойств биологических тканей при решении задач эластографии - неинвазивного метода, в котором для обнаружения или классификации опухолей используются изображения жесткости или деформации мягких тканей. С одной стороны, это связано с тем, что различные патологии проявляют различные нелинейные механические свойства [258], а с другой - с тем, что игнорирование нелинейных эффектов приводит к проблемам с уровнем контрастности (более жесткие ткани при малых деформациях более контрастны по сравнению со смягченными тканями в зоне больших деформаций) [191]. Возрастание роли нелинейной теории упругости в биомеханике связывают также с развитием минимально пнвазивной хирургии (МИХ). В подавляющем большинстве приложений МИХ деформации могут достигать высоких значений и нелинейность должна быть учтена [260|. В качестве последнего примера использования аппарата нелинейной теории упругости при описании биологических тканей сошлемся на работу [271], посвященную разработке функции энергии

деформации для моделирования фиброзного кольца.

Относительно новой областью применения для нелинейной теории упругости являются задачи, связанные с описанием фабричных тканей. При этом нелинейные модели применяются достаточно широко: для описания обивочной ткапи [157], тканей с различными видами покрытия [263], нетканых материалов [243]. В работе [248] дано сравнение использования шести гиперуиру-гпх моделей для описания механического поведения тканей: сделана попытка на основе эксперимента по одноосному растяжению подобрать параметры материалов Муни, Ривлина и Саундерса, Блейтца и Ко, Иео, Огдена, Арруды и Бойса.

В настоящее время нелинейная теория упругости представляет собой обширную область знаний, динамичное развитие которой опирается на мощный математический фундамент, созданный благодаря работам Дж.Адкииса,

A.А.Буренина, А.Грина, А.Н.Гузя, В.А.Еремеева, П.А.Жилина, Л.М.Зубова,

B.Т.Койтера, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозова, В.В.Новожилова, В.Нолла, Р.Огдена, В.А.Пальмова, Р.Ривлина, А.А.Рогового, Г.Н.Савина, К.Трусделла, К.Ф.Черных, Дж.Эриксепа, S.Antman, J.Ball, M.F.Beatty, G.Saccomandi и др.

Еще одной важной современной областью ее применения является теория дефектов кристаллической структуры - теория дислокаций. Концепции и представления, основанные на дислокационном подходе, используются в совершенно разных областях механики, физики, теории и технологии жидких кристаллов, химии и даже биологии, например, для описания процесса расщепления хромосомы при делении клетки [41]. Концепция дисклинаций (поворотных дислокаций), возникшая при исследовании некоторых свойств жидких кристаллов, позже нашла применение при описании различных биологических объектов, например, белковых полимеров [179], конденсационных пленок белка [128], древесины [222], пематоидных структур кожи человека [219] и др. В последние годы возникли новые приложения дислокационных

представлений, связанные с проблемами нанотехнологпй: дислокации играют существенную роль в механическом поведении нанотрубок и напостержней; дисклипации оказывают определяющее влияние на свойства графена [180].

Важнейшей частью математического аппарата, используемого для описания механический полей дислокационного происхождения, является теория упругих дислокаций, созданная в рамках линейной теории упругости в работах В. Вольтерра [270] и А. Лява [114]. Упругие модели дислокаций и дисклииаций подробно описаны в монографиях Р. де Вита [15], A.M. Косеви-ча [103], К. Теодосиу [138] и др. Область применимости линейных моделей весьма широка; в то же время несомненный теоретический интерес и большое практическое значение представляет обобщение теории упругих дислокаций на нелинейный случай. Укажем наиболее важные причины, вызывающие необходимость привлечения методов нелинейной теории упругости к теории дефектов.

1. Тела, содержащие дефекты, могут испытывать конечные деформации. Вопросы взаимодействия дислокаций с полем однородных напряжений в нелинейно-упругой среде с различных точек зрения рассматривались в [103, 104, 151, 235] и др. Общим для этих работ является допущение малости дисторсий, создаваемых дислокациями, по сравнению с полем деформаций, вызванных внешними нагрузками.

2. Величины характеристик дефектов (векторов Бюргерса, Франка) могут не быть малыми, так что применение методов линейной теории для их описания недопустимо. При численном моделировании рассматриваются, например, дисклипации мощностью ±7г/3 [40, 185]; есть основания считать большими векторы Бюргерса нитевидных кристаллов [10]. Вектор Франка не является малым у дисклинаций в нано-проволоках [279] и фуллеренах [101].

3. Гипотезы линейной теории упругости перестают быть справедливыми вблизи оси дефекта, поскольку вычисленные на их основе деформации и

напряжения в этой области неограниченно возрастают. Возможность устранения сингулярности поля напряжений на оси дефекта в рамках нелинейной теории упругости была впервые продемонстрирована Л.М.Зубовым [50] на примере клиновой дисклинации. В [52] показано, что учет нелинейности может приводить также и к конечным значениям энергии ядра дислокации.

4. Линейная теория не позволяет объяснить некоторые экспериментально наблюдаемые эффекты, например зависимость макроскопической плотности кристаллов от наличия дислокаций. Необходимость привлечения нелинейной теории упругости для описания этого явления была впервые отмечена А. Зегером [43].

Исследованию задач о дислокациях в нелинейно-упругих телах посвящены работы А.О. Бочкарева, 3. Веселовски, Б. К. Д. Гэролы, В.А. Еремеева, А. Зегера, A.A. Зеленина, Л. М. Зубова, 3. Кнесла, A.M. Косевича, В. А. Стрельцова, К. Теодосиу, В. В. Токия, Ф. Цемелы, В. Т. Шматова и др. Заметим, что аналитические решения этих задач удалось построить лишь в исключительных случаях, как правило связанных с моделями несжимаемых материалов [44, 52]. Анализ дефектов в сжимаемых нелинейно упругих телах основывается, как правило, на различных вариантах метода разложения по параметру, где в качестве первого приближения выбирается либо решение для несжимаемых материалов [44], либо (совпадающее с ним по форме) решение линейной теории [138, 213, 220]. Обширная библиография таких подходов имеется в [138, 213]. Подобные методы второго порядка позволили, в частности, обнаружить создаваемое дислокациями изменение объема, но непригодны для анализа механических полей вблизи оси дислокации. Определенные продвижения в задачах о дислокациях в сжимаемых средах связаны с плоской задачей нелинейной теории упругости, где с использованием метода комплексных потенциалов для некоторых моделей сред получены аналитические решения задачи о краевой дислокации [12, 62].

Основной целыо настоящей работы является исследование и развитие математических моделей, описывающих нелинейно-упругие свойства материалов и конструкционных элементов. Работа направлена на решение следующих четырех взаимосвязанных и взаимодополняющих задач.

1. Решение новых задач об изолированных дефектах - дислокациях - в упругих телах, испытывающих конечные деформации. Одной из актуальных проблем в этой связи является изучение явлений неустойчивости в форме кавитации на оси изолированного дефекта, а также исследование задач об устойчивости пластинок с дислокациями и дисклинациями при различных подходах к описанию поведения материала этих пластинок. Актуальность последней задачи связана, в частности, с использованием упругих моделей для описания дисклинаций в графитовых нано-пластинках.

2. Анализ расширения классических моделей нелинейной теории упругости путем включения в них слагаемых, описывающих эффекты микроструктуры; разработка методов численного и аналитического исследования задач для таких моделей. В перспективе это позволит определить круг проблем, для которых влияние микроструктуры настолько существенно, что материальные микроструктурные параметры могут быть достоверно измерены в ходе макро-экспериментов. Учет микроструктуры в рамках континуальной механики осуществляется, как правило, на основе использования модели среды Коссера. Новая волна интереса к ним связана, прежде всего, с определенными успехами и интересными перспективами их использования при описании наноструктурных объектов.

3. Изучение диапазонов применимости как классических, так и усовершенствованных моделей упругих сред для описания поведения реальных конструкций и их элементов при отказе от ограничений на величину деформации; получение новых теоретических данных для проведения анализа по разграничению конструкционной неустойчивости и неустойчивости материала.

Актуальность решения этой задачи связана с двумя обстоятельствами. Прежде всего, распространение конечно-элементных пакетов поставило в повестку дня вопрос о диапазонах нагрузок и деформаций, в которых осуществляемые в них расчеты гарантированно адекватны. Актуальным поэтому является проведение на примере ряда простых задач, в том числе имеющих аналитическое решение, сравнительного анализа моделей нелинейно-упругого поведения и подходов к их анализу, которые используются в современных МКЭ-пакетах. Очень важным является при этом вопрос о поведении решений в окрестности точки потери устойчивости. При этом особое внимание должно быть уделено точкам потерн устойчивости при растяжении, которые могут реализовываться только при сверхбольших деформациях. Второй актуальный аспект данного направления связан с использованием новых материалов с нелинейно-упругими свойствами в оболочечных конструкциях. Интерес представляют модели оболочек, учитывающие физическую и геометрическую нелинейность, а также разработка новых эффективных методик расчета тонкостенных конструкций, работающих в области больших деформаций, в том числе в околокритичсской и закритпческой областях, и их применение для решения ряда актуальных фундаментальных и прикладных задач механики тонкостенных конструкционных элементов при учете нелинейно-упругих свойств и микроструктуры материала этих объектов.

4. Разработка и развитие методов идентификации параметров математических моделей, описывающих механические свойства материалов и конструкций, испытывающих большие деформации. Вопросы идентификации параметров моделей, описывающих механическое поведение реальных материалов, стали особо актуальными в последнее время в связи с возросшим интересом к решению задач о биологических материалах и их заменителях искусственного происхождения. Такие материалы, как правило, испытывают большие деформации, а значит, для их описания необходимо привлекать

аппарат нелинейной теории упругости.

Основным средством достижения сформулированной цели стала компьютерная (численно-аналитическая) реализация полуобратного ме