Механика двухфазных тел с микроструктурой при конечных деформациях

Еремеев, Виктор Анатольевич

Механика двухфазных тел с микроструктурой при конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Еремеев, Виктор Анатольевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Механика двухфазных тел с микроструктурой при конечных деформациях»

Автореферат диссертации на тему "Механика двухфазных тел с микроструктурой при конечных деформациях"

На правах рукописи

ЕРЕМЕЕВ Виктор Анатольевич

Механика двухфазных тел с микроструктурой при конечных деформациях

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Л.М.Зубов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Пальмов

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Кондауров

доктор физико-математических наук, профессор Э.Л. Аэро

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится » /О " 2004 г. в /> мин. на

заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 191178 С.-Петербург, Большой пр., В.О., д. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан " " _2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации.

Проблема описания фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших задач механики и физики твердого тела, а также материаловедения. Ее актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые превращения либо в процессе их изготовления, либо в процессе эксплуатации, либо контактируют со средой, в которой происходят фазовые переходы. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов, являются твердофазные превращения в сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, процессы получения нанопленок, ориентационные превращения в полимерах, переходы в термотропных и лиотропных жидких кристаллах, а также ряд других. В частности, фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах (сплавах с памятью формы), широко используемых в современной технике.

Начиная с Гиббса и Стефана, исследованию фазовых переходов в рамках механики сплошных сред посвящено значительное число работ. Значительный вклад в развитие механики тел, содержащих фазовые границы, внесли Н.Х. Арутюнян, В.Л. Бердичевский, А.А. Вакуленко, М.А. Грин-фельд, А.Д. Дроздов, В.И. Кондауров, Н.Ф. Морозов, В.Э. Наумов, Л.В. Никитин, ВТ. Осмоловский, А.Л. Ройтбурд, Л.М. Трускиновский, А.Б. Фрей-дин, а также Р. Абейаратне, Дж. Болл, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Дж. Эриксен, Г. Пэрри, М. Питтери, Р.А. Фосдик, М. Шилхави. В этих работах рассматриваются процессы деформирования тел, состоящих из двух или нескольких фаз, разделенных поверхностью раздела, испытывающих фронтальные фазовые превращения.

Данная работа выполнена в рамках этого направления, когда вводится в рассмотрение межфазная граница и изучаются процессы деформирования тела, включая определение полей перемещений, напряжений, положения фазовой границы и других параметров, с учетом условий совместности на межфазной границе, учитывающих фазовые превращения. Этот подход позволяет корректно описывать локальные деформации двухфазных тел с позиций механики сплошной среды.

Отметим, что описанию фазовых превращений посвящены также работы В.А. Лихачева, В.Г. Малинина, А.Е. Волкова, А.И. Разова и их коллег, Д. Лагоудаса, В. Левитаса, А.А. Мовчана и др., в которых межфазные границы явно не вводятся, т.е. изучаются фазовые превращения объемного типа, и описание деформирования двухфазных тел опирается на введение дополнительных параметров состояния, например, доли одной из фаз.

Цели работы.

Основными целями настоящей работы являются развитие механики деформируемых тел, содержащих границы раздела фаз и испытывающих конечные деформации, при учете микроструктуры материала в рамках моделей сплошной среды, содержащих дополнительные параметры состояния, а также развитие моделей механики сред с микроструктурой.

Основными задачами данной работы являются:

• Исследование деформаций двухфазных тел при конечных деформациях, в том числе тел, содержащих дефекты типа дислокаций Воль-терры.

• Определение условий термодинамического равновесия фаз материала с микроструктурой на основе моделей сплошной среды, содержащих дополнительные параметры состояния.

• Исследование устойчивости равновесия нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения.

• Исследование задач гидромеханики вязкоупругой микрополярной жидкости с уравнениями состояния, допускающими произвольную зависимость от предыстории деформации.

• Изучение задач механики микрополярнных оболочек, в том числе задач о фазовом равновесии.

Научная новизна.

В работе впервые сформулированы вариационные принципы для двухфазных нелинейно упругих тел в терминах функции напряжений.

вано их влияние на положение границы раздела фаз. Показано, что линейные дефекты тина дислокаций Вольтерры могут быть центрами возникновения новой фазы.

Также исследован ряд сингулярных задач нелинейной теории упругости, связанных с образованием полостей в окрестности дислокации или дисклинации.

Методы исследования двухфазных состояний нелинейно упругих материалов обобщены на среды с микроструктурой в рамках теорий, использующих уравнения состояния с дополнительными степенями свободы. Получены условия термодинамического равновесия для микрополярных и ми-кроморфных сред, жидких кристаллов, материалов с примесями.

На основе теории бифуркаций предложен метод исследования задач устойчивости тел конечных размеров, испытывающих фазовые превращения. В рамках предложенного подхода решен ряд модельных задач, иллюстрирующих его эффективность. Показано, что фазовые переходы существенно влияют на потерю устойчивости.

Развита теория устойчивости упругих тел с моментными напряжениями. На примерах задач о поверхностной неустойчивости, толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.

На основе определяющих соотношений континуума Коссера с памятью общего вида предложена модель жидкой среды с моментными напряжениями, которая обобщает теорию вязкой микрополярной жидкости в той же степени, в какой определяющие соотношения простой вязкоупругой жидкости обобщают уравнения состояния ньютоновской жидкости. В рамках предложенной модели решен ряд задач о равновесии микрополярной жидкости, в том числе задача со свободной поверхностью, задача о дисклина-циях, вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости, решены задачи о вискозиметрических течениях вязкоупругой микрополярной жидкости (течения в канале, в круглой трубе и между соосными вращающимися цилиндрами). Решена задача о конвективной неустойчивости плоского слоя тяжелой микрополярной жидкости, подогреваемого снизу.

совпадение с условием сильной эллиптичности уравнений равновесия, вариационным методом получены уравнения баланса на равновесной границе раздела фаз, включая термодинамическое условие, необходимое для определения положения межфазной границы. Полученные результаты использованы для изучения напряженного состояния в клеточных мембранах.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений в деформируемых телах, а также методов исследования нелинейных краевых задач математической физики с заранее неизвестными поверхностями типа задачи Стефана. Развитие механики сред с микроструктурой может оказаться полезным для описания поведения новых функциональных материалов, в частности, наноматериа-лов, сплавов с памятью формы. Построение и исследование реологических моделей механики моментных жидких сред важно для задач трибологии, микрофильтрации, использования жидких кристаллов в электронике. Изучение деформаций многокомпонентных сред имеет большое значение для выращивания тонких пленок, кристаллов. Исследование потери устойчивости двухфазных тел важно для понимания процессов локализации деформаций и разрушения твердых тел, а также элементов конструкций. Двумерные задачи механики оболочек, в том числе при учете фазовых превращений, могут быть использованы для проектирования микроэлекроме-ханических устройств (MEMS) (например, микронасосов), использующих тонкие пленки из сплавов с памятью формы, а также для понимания процессов активного транспорта в клеточных мембранах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения, использованием надежных и проверенных численных алгоритмов и программ, предельными переходами к известным случаям, качественным совпадением с результатами экспериментов.

Результаты, выносимые на защиту:

ционные формулировки задач равновесия двухфазных тел в напряжениях, исследованы фазовые превращения в телах с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями, в том числе образование разрывов в телах с дефектами, решен ряд модельных задач.

2. Исследованы деформации в двухфазных нелинейно упругих телах с микроструктурой и примесями: получены условия баланса на границе раздела фаз в рамках моделей микрополярной и микроморфной сред, жидких кристаллов нематического типа, сред с изменяемой пористостью, тел с примесями, решен ряд модельных задач, иллюстрирующих влияние микроструктуры материала и учета диффузии примесей на напряженно-деформированное состояние двухфазных тел.

3. На основе методов теории бифуркаций развита теория устойчивости нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения, в том числе и сред с микроструктурой. Решен ряд модельных задач, иллюстрирующих эффективность предложенной теории. Показано, что фазовые переходы существенно влияют на потерю устойчивости. Развита теория устойчивости упругих тел с моментными напряжениями, на примерах задач о поверхностной неустойчивости, толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.

4. В рамках гидромеханики вязкоупругой микрополярной жидкости получены общие представления уравнений состояния, решен ряд задач равновесия (найдены условия термодинамического равновесия фаз, изучено равновесие жидкости со свободной поверхностью и др.) и течения (вискозиметрические течения), а также устойчивости (переход Фредерикса, конвективная неустойчивость), демонстрирующих особенности предложенной модели по сравнению с моделями жидких кристаллов и вязкой микрополярной жидкости.

5. Развита механика микрополярных оболочек: сформулировано определение локальной группы материальной симметрии, даны представления уравнений состояния для некоторых групп симметрии, сформулированы дополнительные неравенства, получены условия термодинамического равновесия фаз для оболочек, рассмотрены приложения к биофизике клеточных мембран.

Апробация работы.

Результаты, полученные в диссертации, представлялись на 1-8-й Межд. конференциях "Современные проблемы МСС" (Ростов-на-Дону, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002); 15-й Межд. конференции "Матем. модели, методы потенциала и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 1996); Int. Symp. "Advances in Computational Heat Transfer" (Qesme, Turkey, 1997); 2nd and 3rd EUROMECH Solid Mechanics conferences (Genoa, 1994, Stockholm, 1997); II Белорусском конгрессе по теорет. и прикл. механике "Меха-ника-99" (Минск, 1999); 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, Canada, 1999); Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1999); ICTAM-2000 (Chicago, 2000); 33rd Solid Mechanics conference (Zacopane, Poland, 2000); Школе-семинаре "Совр. проблемы механики и прикладн. математики", поев. 70-летию профессора Ивлева Д.Д. (Воронеж, 2000); XXVIII School "Actual Problems in Mechanics" (С.-Петербург, 2000); XXIX, XXX, XXXI Summer Schools "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ) (С.-Петербург, 2001, 2002, 2003); VIII Всероссийском съезде по теорет. и прикл. механике (Пермь,

2001); XIII Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 2002); 7th Symposium on Ferroelecticity (RCBJSF-7) (Санкт-Петербург,

2002); II Int. Workshop"Nucleation and non-linear problems in first-order phase transitions" (NPT'2002) (Санкт-Петербург, 2002); Межд. симпозиуме "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" (ОМА-2002) (Сочи, 2002); Международной школе-семинаре "Симметрия и коссимметрия в теории бифуркаций и фазовых переходов" (Сочи, 2002); XL межд. семинаре "Актуальн. пробл. прочности" (Великий Новгород, 2002); 7th Conference "Shell Structures Theory and Appl." (Gdansk-Jurata, Poland, 2002); Intern, conference in honour of Ray Ogden's 60th birthday. Modern Mechanics and Math. (Keel, UK, 2003); 3-й Всеросс. конференции по теории упругости (Азов, 2003).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре академика Н.Ф. Морозова (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2004), семинаре под руководством Р.В. Гольдштейна (ИПМ РАН, Москва, 2004), городском семинаре по механике в ИПМаш РАН под рук. Д.А. Индейцева (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2004), семинаре под руководством В.И. Кондауро-ва (МФТИ, Долгопрудный, 2004), семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования в РГУ.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ

(№ 93-01-16497, 96-01-01283, 99-01-01019, 02-01-00879, 02-01-00529, 04-0100431), Минобразования РФ (КЦФЕ при СПбГУ) (№№ Е00-4.0-185, Е02-4.0-91), ФЦП "Интеграция" (Я0061/1358), CRDF (REC-004), J6zef Mianowski fund (Польша), ISF(№№ МТА000, MTA300).

Публикации и вклад автора

Материалы диссертации опубликованы в 54 работах, из которых 29 написаны совместно с другими авторами.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Общий объем диссертации 288 страниц. Диссертация содержит 2 таблицы, 39 рисунков и список литературы из 419 названий.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты и определена доля участия автора в совместных публикациях.

В первой главе изучены статические и квазистатические деформации нелинейно термоупругих тел, содержащих заранее неизвестные границы раздела фаз. В предположении об отсутствии сосредоточенных на фазовой границе источников из основных законов сохранения в интегральной форме получены условия баланса на границе раздела фаз, содержащие помимо динамических условий, также термодинамическое соотношение, необходимое для определения положения фазовой границы в пространстве.

Рассмотрим деформируемое тело, состоящее из двух фаз, разделенных достаточно гладкой поверхностью (фазовой границей). Обозначим области, занимаемые каждой из фаз в актуальной конфигурации в момент времени t, через Vi. и V+, полный объем тела через V — V- U V+, внешнюю границу тела через Е, фазовую границу через Г. С точки зрения кинематики фазовый переход может быть представлен как движение фазовой границы, независимое от движения частиц среды. Тем самым, для описания деформации двухфазного тела необходимо ввести помимо радиус-вектора частиц тела в актуальной конфигурации также радиус-вектор указывающий на положение точек фазовой границы в пространстве. Введем также некоторую отсчетную конфигурацию, в которой положение частиц тела определяется радиус-вектором тело занимает область ограниченную поверхностью а. Прообраз фазовой границы Г при отображении обозначим через

В предположениях о термоквазистатическом деформировании запишем интегральные соотношения, выражающие баланс массы, импульса, энергии и энтропии для произвольной части V» объема тела в актуальной конфигурации V (К С V), ограниченной поверхностью E« = dVt и, вообще говоря, содержащей часть поверхности Г* С Г, на которой возможен разрыв. Они имеют вид

Здесь р - плотность тела' в актуальной конфигурации, / - плотность массовых сил, N - вектор нормали к £,, Т - тензор напряжений Коши, £ - массовая плотность внутренней энергии, h - вектор потока тепла, Grad и Div - операторы градиента и дивергенции в эйлеровых координатах, v = dR/ df - вектор скорости, S - плотность источников тепла, т\ - массовая плотность энтропии, £ - тензор скоростей деформации.

Из интегральных соотношений (1)-(3) следуют законы сохранения в дифференциальной форме (уравнение неразрывности, равновесия, тепло-переноса и неравенство Клазиуса-Дюгема) и уравнения совместности на Г

где £ - скорость движения фазовой границы по нормали к ней, квадратными скобками обозначен скачок соответствующей величины при пересечении Г, например, [р]* = р+ — р-. Величины, относящиеся к разным фазам обозначены индексами "+'"', "—". В (4)-(6) N - вектор нормали к Г, внешний по отношению к фазе "+". При выводе (6) предполагалось отсутствие источников, сосредоточенных на Г.

Из (4)-(б) следует уравнение (I - единичный тензор)

(7)

которое является дополнительным (по сравнению со случаем тел без фазовых переходов) соотношением, необходимым для определения положения фазовой границы. Его также можно записать на прообразе фазовой гра-

D = JC~T • Т - тензор напряжений Пиолы, С = grad R - градиент деформации, J = det С. В случае фазового перехода твердое тело-жидкость (плавление или затвердевание) соотношения (7)-(8) принимают классический вид, полученный Дж. Гиббсом. Из соотношений (4)-(6) как частный случай также следуют уравнения задачи Стефана.

Тензоры Ц, ц0 для описания фазового равновесия негидростатически напряженных упругих тел впервые были введены М.А. Гринфельдом как тензоры химического потенциала. Для упругих и упруговязкопластическнх сред условия (7)-(8) были найдены в работах В.И. Кондаурова и Л.В. Никитина на основе анализа скачков решений уравнений в частных производных дивергентного вида, а также М. Гартиным и Р. Джеймсом как следствие локальной устойчивости двухфазных полей деформаций. Тензор как пространственная часть тензора энергии-импульса был введен Дж. Эшел-би при рассмотрении дефектов в упругих телах. С их помощью может быть вычислено изменение энергии упругого тела, связанное с наличием изменяющейся поверхности или линии, например, вызванное движением трещины, изолированной дислокации или дисклинации, включения. Аналогичные тензорные конструкции были использованы P.M. Боуэном при

TV - - iV = 0, Ц = <ф1--Т,

построении теории гомогенных смесей твердых тел при конечных деформациях.

Далее в работе все тензоры, аналогичные /х, /х0, с помощью которых можно записать условия энергетического баланса на фазовой поверхности, будем называть тензорами энергии-импульса или тензорами Эшелби.

Соотношения (7), (8) позволяют определить температуру плавления в„ как функцию напряженно-деформированного состояния в каждой из фаз, зависящую, вообще говоря, в отличие от задачи Стефана, от внешних нагрузок, геометрии области и материальных свойств среды.

Заметим, что краевые задачи, описывающие поведение двухфазных тел являются нелинейными как вследствие конечности деформаций, так и из-за наличия неизвестной границы раздела фаз.

Во втором параграфе рассматриваются уравнения состояния для предварительно напряженных тел.

В третьем параграфе даны вариационные формулировки задач равновесия двухфазных тел в перемещениях и напряжениях. Приведены формулировки в напряжениях для плоской и трехмерной задач, опирающиеся на введение функций напряжений. В случае плоской задачи функционал дополнительной энергии двухфазного тела имеет вид

3(Т) = Iйь + ! V+(D[?^) сЪ, В[Э] = -гз х (9)

где - удельные (на единицу объема в отсчетной конфигурации) дополнительные энергии фаз материала, - векторная функция напряжений. Термодинамическое уравнение на 7 следует из условия стационарности 63(3Г) = 0 и принимает вид

Тензор ц21) по аналогии с предыдущим можно назвать тензором энергии-импульса или тензором Эшелби в напряжениях - нормаль к

С помощью вариационных принципов решен ряд модельных задач, в том числе и задача о кручении двухфазного цилиндра и задачи о фазовом равновесии в упругих телах, содержащих изолированные или непрерывно распределенные дислокации и дисклинации, представленные в четвертом, пятом и шестом параграфах. Допускалось возникновение новой фазы в окрестности оси дефекта. Приведем решение для винтовой дислокации с вектором Бюргерса /Зег. Граница 7 представляет цилиндрическую по-

верхность радиуса а, окружающую ось дефекта. Зависимости а от величины параметра дефекта (3 для кругового цилиндра радиуса Ь приведены на рис. 1. На рис. 1 а) изображены графики а от /3 при отсутствии поверхностной энергии. Кривые 1-4 соответствуют значениям I = р-/р+— 0.5, 0.9, 1.1, 1.5. На рис.1 Ь) приведены графики при /=1.1 и при учете поверхностной энергии границы раздела фаз. Кривая 2 соответствует большему значению поверхностной энергии. Здесь предполагалось, что обе фазы являются несжимаемыми, для внешней фазы использовались уравнения состояния неогукова материала.

Рис. 1: Зависимость радиуса фазового включения а от величины вектора Бюргерса /3.

Представленные в шестом параграфе результаты исследования плоских и осесимметричных задач равновесия двухфазных тел с непрерывным распределением дислокаций получены на основе сформулированных вариационных принципов в напряжениях, поскольку в этом случае не существует поле перемещений, соответствующее полю тензора дисторсии С.

В седьмом параграфе исследованы задачи об образовании полостей в окрестности винтовой дислокации или клиновой дисклинации в нелинейно упругих телах. Показано, что разрывные ("сингулярные") решения, сопровождающиеся образованием полости в окрестности дефекта являются энергетически более предпочтительными по сравнению с непрерывными ("регулярными") полями деформаций. В рамках нелинейной теории упругости исследование разрывных решений теории упругости, сопровождающихся образованием полости, проводились в работах Р. Абейаратне, Дж. Болла. П. Подио-Гуидугли и др., в частности, на примере центрально симметричных деформаций. В связи с полученными результатами отметим экспериментальные наблюдения образования микротрубок, т.е. полостей, на осях винтовых дислокациях в карбиде кремния (SiC), которые описаны в работах М.Ю. Гуткина и соавторов.

Во второй главе методы исследования двухфазных деформаций нелинейно упругих тел, развитые в первой главе, обобщены на случай тел с микроструктурой при использовании моделей сплошной среды, в которых частицы среды обладают дополнительными степенями свободы (микрополярные и микроморфные среды, жидкие кристаллы, среды с изменяемой пористостью или произвольным дополнительным параметром состояния). Начиная с работ Э. и Ф. Коссера механика микрополярной среды (континуума Коссера) получила значительное развитие в основополагающих работах Э.Л. Аэро, В.И. Ерофеева, П.А. Жилина, Л.М. Зубова, В.Т. Койтера, Р.Д. Миндлина, В. Новацкого, В.А. Пальмова, Р.А. Тупина, Л.И.Шкутина, К. Эрингена. Более общие модели сред, содержащие большее число степеней свободы (микроморфные среды или среды с микродеформацией), изучались В.И. Ерофеевым, Л.М. Зубовым, В.Т. Койтером, Р.А. Тупиным, К. Эрингеном и др. Механика сред с внутренними степенями свободы изучалась также М.А. Гузевым, И.А. Куниным, В.П. Мясниковым. Практически важный случай моментной среды - жидкие кристаллы исследовались Э.Л. Аэро, П. де Женом, А.С. Сониным, Ф.М. Лесли, Дж. Эриксеном.

В первом параграфе второй главы получены условия совместности на межфазной границе Г для модели среды, деформация частиц которой описывается радиус-вектором Я, температурой в, радиус-вектором 5 фазовой границы Г и тензорным параметром микроструктуры 5. Эти условия состоят из условий механического равновесия фаз, выражающих собой баланс статических величин, и условия термодинамического равновесия фаз, необходимого для определения заранее неизвестной фазовой границы. По аналогии со случаем простых материалов в работе введены понятия микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием. Будем называть фазовый переход микрокогерентным, если поле параметра микроструктуры непрерывно в окрестности фазовой границы. В противном случае будем говорить о фазовом переходе с микропроскальзыванием. В зависимости от физического смысла параметра микроструктуры возможны разные типы фазовых переходов с микропроскальзыванием, отличающиеся характером скачка а на межфазной границе. Далее для фазового перехода с микропроскальзыванием ограничимся рассмотрением произвольного скачка 2 на Г. Условия механического равновесия фаз имеют вид

N ■ [Т]+ = -2КиИ, N • Т± • (I - N ® ЛГ) = О, N ■ [Т]+ • N = -2Ки,

(10) (И)

N ■ [М£ = 0, N ■ М± = 0. (12)

В (10), (11) К - средняя кривизна поверхности Г, и) - коэффициент по-

_ дф .„ дф

верхностного натяжения, Т = рС • М = рС- •

С/С» ос*

Уравнения (10) и (11) выполняются для когерентных и фазовых переходов с проскальзыванием, соотношения (12)1, (12)2 имеют место для микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием соответственно.

Условия термодинамического равновесия фаз для микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием даются соотношениями

где введена операция над тензорами произвольного одинакового ранга:

Тензоры ц^, ц2 являются тензорами энергии-импульса (тензорами Эшел-би или химического потенциала). Полученные выражения могут быть использованы при построении инвариантных энергетических интегралов для микронеоднородных тел, а также при анализе изменения энергии на движущихся дефектах в средах, описываемых при помощи дополнительного параметра состояния

В следующих двух параграфах рассмотрены условия равновесия фаз матерала для микрополярной среды (параметр микроструктуры 2 совпадает с собственно ортогональным тензором микроповорота Н) и микро-морфной среды (параметр микроструктуры совпадает с невырожденным тензором микродисторсии F). Для этих моделей получены условия термодинамического равновесия фаз, даны выражения для тензора энергии-импульса (тензора Эшелби).

В четвертом параграфе этой главы рассмотрены фазовые превращения в нелинейно упругом цилиндре с моментными напряжениями, содержащем винтовую дислокацию. Показано, что образование двухфазной деформации является более энергетически выгодным по сравнению со случаем дислокации в простом материале, изученным в первой главе.

В пятом параграфе рассмотрены условия фазового равновесия в жидких кристаллах (нематиках и двухосных нематиках). Здесь параметр ми-

кроструктуры совпадает с директором (или с двумя директорами £>ь I)2 для двухосных нематиков). Дана вариационная постановка задачи о равновесии жидкого кристалла, испытывающего фазовый переход, в условиях неоднородного напряженного состояния, вызванного неоднородностью внешних воздействий, наличием дефекта, искажением поверхности контакта с внешней средой или другими факторами. Вариационным методом получены краевые условия на фазовой границе. В качестве примера рассмотрена задача о фазовом переходе в окрестности ядра дисклинации.

Последние два параграфа второй главы посвящены исследованию квазистатических и статических деформаций в телах с учетом диффузии примесей. На основе интегральных законов сохранения вида (1)-(3), дополненных уравнением баланса массы для примесей, получены условия совместности на статической и квазистатической границе раздела фаз. В частности, при отсутствии примеси в одной из фаз, дополнительное соотношение, необходимое для определения положения фазовой границы, имеет вид

Такое же условие получается и в случае непрерывного поля химических потенциалов = дгр/дСа, т.е. когда на Г выполнено соотношение = О - концентрация примеси.

Проведенный в последнем, седьмом, параграфе второй главы анализ двухфазных полей деформаций в задаче о равновесии шара с учетом влияния примесей показал их существенное влияние. В частности, в отличие от тела без примесей возможна незавершенность фазового превращения, когда наличие примеси препятствуют фазовому переходу. Тем самым, учет диффузии примесей показал возможность концентрационного перегрева или переохлаждения.

Характерной особенностью статики тел, испытывающих фазовые превращения, как и вообще нелинейных проблем, является неединственность решений, проиллюстрированная анализом ряда задач в первых двух главах. Это делает весьма актуальным исследование устойчивости найденных решений. В третьей главе на основе теории бифуркаций развита теория статической устойчивости в малом упругих тел конечных размеров, содержащих равновесные фазовые границы. Исследования потери устойчивости в рамках пространственной теории упругости отражены в работах М.А. Био, А. Грина и Дж. Адкинса, А.Н. Гузя, Л.М. Зубова, В.Д. Клюш-никова, А.И. Лурье, Р. Огдена, К. Сенсенига. Неустойчивость полуогра-

ничейных и неограниченных тел, испытывающих фазовые превращения, изучалась М.А. Гринфельдом. В разных постановках устойчивость двухфазных тел исследовалась также М. Гартиным, А.А. Мовчаном, Р. Фос-днком, А.Б. Фрейдиным. Ранее потеря устойчивости термоупругих тел с фазовыми переходами изучалась Л.С. Лейбензоном. Отметим также исследования морфологической устойчивости, проводимые в рамках задачи Стефана, выполненные Б.Я. Любовым, Р.Ф. Секеркой и др.

Устойчивость произвольного напряженно-деформированного состояния равновесия нелинейно упругого тела, состоящего из двух фаз, при консервативных внешних нагрузках исследуется статическим методом Эйлера, состоящим в рассмотрении положений равновесия, мало отличающихся от заданного, и определении тех значений параметров нагружения, при которых возможно существование нетривиальных решений линеаризованных в окрестности данного состояния уравнений равновесия и краевых условий.

Линеаризованная краевая задача в геометрии отсчетной конфигурации имеет вид

ШуБ'+ро/'= 0, п • Б'Ц = (р'0,

(16)

ЛИЧИН, ( (-1

п Р +

т—0

где точкой сверху обозначены линейные приращения соответствующих ве-

ых добавочных перемещений -щ, наи й индекс "о" относится к величинам, вычисленным в начальном деформированном состоянии. При линеаризации краевых условий на фазовой границе необходимо также учитывать изменение положения фазовой границы, что приводит к возмущению не только неизвестных функций, но и их аргументов. Обозначим возмущения векторов положения границ 7 и Г через С и 2. Они связаны соотношением Таким образом, линеаризованные краевые условия на фазовой границе содержат векторы или например, линеаризация уравнения дает

п • [Б^гас!+ <ёгас1 С°)]1 - п • (V С)Г • = 0,

(17)

где V - оператор градиента на поверхности 7. Дополнительным уравнением для определения служит линеаризованное уравнение фазового равновесия (8).

Линеаризованная краевая задача для двухфазного тела может быть также записана в геометрии деформированного состояния. Уравнения равно-

весия и граничные условия на внешней поверхности даются формулами

Краевые условия на фазовой границе Г приведем в частном случае перехода жидкость-твердое тело (V - оператор градиента на Г)

ЛГ • Г (Сгабго + С0-1 СгавС0) + (19)

+ЛГ • (IV • г - . Т = -рЫ -pN.^YV^Z- (У2)г) ,

р + {г - го) • V/?] +

[Ф'+ (г-V))- щ]1+р

1' +

— -р

.р.

гИб1

= 0.

Краевые задачи, описывающие малые деформации предварительно напряженного упругого тела с границей фазового перехода вида (16), (17) или (18), (19), относятся к особому типу задач математической физики, поскольку содержат неизвестные функции разного числа аргументов, т.к. вектор IV определен как в объеме V, так и на поверхности Г, а возмущение - только на Г.

Далее рассмотрены модельные задачи, показавшие применимость данного подхода к исследованию устойчивости. Во втором параграфе представлены результаты исследования устойчивости двухфазного нелинейно упругого шара, состоящего из твердой и жидкой фаз и нагруженного внешним давлением интенсивности р. Здесь существуют два радиально симметричных решения, когда плотность жидкости больше плотности твердого тела, и когда меньше. Критические значения внешнего давления определялись численно. На рис. 2 а) представлена зависимость критического давления р* от номера моды выпучивания п. Номер п характеризует форму потери устойчивости. Для наглядности функции дискретного аргумента п показаны непрерывными линиями. Для первого случая оказалось, что существуют две ограниченные сверху последовательности критических зна-

„е' ,, „е" __„_.„ „е' ^ „е"

чений внешнего давления р® и р® , причем р„ < рп (кривые 1, 2). Значения давления показанные на рисунке, отнесены к - удвоенному модулю сдвига. Для выяснения влияния массообмена на фазовой границе устойчивость радиально симметричного состояния равновесия исследована без учета фазового перехода при возмущении исходного равновесного состояния (кривая 4) и найдены соответствующие критические значения

причем р®' < р® * < р®". С ростом п значения р® * стремятся к р", которому

Рис. 2: Зависимость критического давления р'п от номера моды выпучивания п для случая двухфазного шара из простого материала а) и двухфазного шара с моментными напряжениями Ь), с).

соответствует нулевая толщина твердой оболочки. Пунктиром обозначена прямая ре = рЧ-

Аналогично исследована устойчивость шара когда плотность жидкости меньше плотности твердого тела, что соответствует второму найденному решению. В области положительных значений давления лежит конечное число критических давлений (кривая 3). Заметим, что здесь потери устойчивости при отсутствии фазового превращения не происходит.

Третий параграф третьей главы содержит исследование эллиптичности краевых задач нелинейной теории упругости. Показано, что нарушение условия дополнительности краевых условий (условия Шапиро-Лопатин-ского) в краевой задаче для нелинейно-упругого тела эквивалентно поверхностной неустойчивости полупространства с определенными свойствами. Приведены примеры исследования условия дополнительности для материала Адамара.

В четвертом параграфе рассмотрены задачи устойчивости двухфазных тел при малых деформациях. Здесь неединственность решений краевой задачи, описывающей термодинамическое равновесие двухфазного тела, обусловлена нелинейностью, связанной с наличием заранее неизвестной границей раздела фаз. Потеря устойчивости в этом случае порождается только нелинейностью граничных условий на фазовой границе. В случае малых деформаций совместно с А.Б. Фрейдиным и Л.Л. Шариповой подробно исследована задача об устойчивости центрально симметричных деформаций двухфазного шара радиуса Ь, на поверхности которого задавались ради-

альные перемещения ио- Типичные зависимости давления р на поверхности шара и радиуса межфазной границы а от 1? = Зио/Н для сплошного шара показаны на рис. 3 а). В диапазоне 0 < 1? < дл шар деформируется как однородное (однофазное) линейно упругое тело. Когда $ достигает значения появляется второе центрально симметричное решение, соответствующее двухфазным равновесным состояниям, для которых фаза с ббльшпм модулем сдвига находится в центре шара (отрезок АЕ). При достижении дв появляется еще одно центрально симметричное решение (отрезок ББ), которое соответствует развитию новой фазы с поверхности шара. Для этого решения внутренняя область шара занята фазой с меньшим модулем сдвига.

В случае тела со сферической полостью возможны равновесные решения с одной и двумя границами фаз и различным чередованием фаз. На рис. 3 Ь) представлены зависимости давления и радиуса для полости, свободной от нагрузок. Заметим, что для шара с полостью появляется отсутствовавшее в сплошном шаре решение, имеющее две фазовые границы, при Это решение ответвляется от двухфазного решения при д — др и заканчивается на другом двухфазном решении при

Исследование устойчивости найденных решений при осесимметричных возмущениях показало, что для сплошного шара устойчивым является только одно решение, когда фаза с ббльшим модулем сдвига располагается в центре шара. На рис. 3 метастабильные (энергетически невыгодные и, следовательно, неустойчивые по отношению к конечным двухфазным возмущениям) и локально неустойчивые решения показаны пунктирными линиями. Аналогичным образом исследована устойчивость решений для двухфазного полого шара. В случае задания на границе полости нулевых напряжений при небольших размерах полости, устойчивым оказывается решение с одной границей раздела фаз, соответствующее расположению фазы с ббльшим модулем сдвига внутри шара, т.е когда более жесткая фаза образует внутренний слой. Все другие решения, в том числе и с двумя фазовыми границами, оказываются неустойчивыми. Аналогично исследован случай заданых на полости нулевых перемещений.

Проведенные исследования модельных задач о потере устойчивости двухфазных тел позволяют сделать вывод о существенном влиянии фазовых превращений. В частности, возможно появление дополнительных точек бифуркации, по сравнению со случаем составного тела, в том числе и когда для составного тела бифуркации равновесия вообще не происходит.

Рис. 3: Диаграммы деформирования и зависимости радиуса фазовой границы для сплошного двухфазного шара а) и двухфазного шара с полостью Ь).

Последние три параграфа третьей главы посвящены теории устойчивости упругих тел с моментными напряжениями. Дана постановка задачи статической устойчивости, основанная на линеаризации уравнений и граничных условий вблизи известного равновесного состояния. Сформулированы условия сильной эллиптичности и неравенство Адамара для микрополярной среды. Доказано, что условие сильной эллиптичности линеаризованных уравнений равновесия, являющееся ограничением на функцию удельной потенциальной энергии деформации, служит необходимым условием устойчивости любой равновесной конфигурации упругого тела с мо-ментными напряжениями, а также совпадает с условием распространения волн ускорения в микрополярной среде. Решена задача устойчивости сжатого полупространства с учетом моментных напряжений, на примере которой показана возможность качественных отличий потери устойчивости моментных упругих тел от потери устойчивости простых нелинейно упругих тел. Влияние моментных напряжений на потерю устойчивости упругих тел, испытывающих фазовые превращения, проанализировано на примере потери устойчивости двухфазного шара в последнем параграфе третьей

главы. Критические давления как функции номера моды выпучивания представлены на рис. 2 Ь), с). Рис. 2 с) соответствует большим значениям материальных постоянных, отвечающих за моментные свойства среды. Показано, что как и в случае задачи о выпучивании полупространства, учет моментных напряжений оказывает стабилизирующее воздействие.

Четвертая глава посвящена развитию теории вязкоупругих и упругих микрополярных жидкостей на основе общих уравнений микрополярной среды с памятью. Модели жидких сред с микровращениями и момент-ными напряжениями, получивших название микрополярных жидкостей, ведут свое начало от работ Э.Л. Аэро и К. Эрингена. Реологические уравнения вязкоупругих моментных тел содержатся в работах О.Ю. Динариева и В.Н. Николаевского, К. Эрингена, К. де Сильвы и некоторых других авторов. Особенность всех моделей микрополярных жидкостей, описанных ранее, состоит в том, что в состоянии покоя они не отличаются от простых (изотропных) жидкостей, так как статические моментные напряжения в них равны нулю, а статический тензор силовых напряжений является шаровым. Представляемая ниже теория включает в себя известные модели как частные случаи и существенно отличается от этих моделей тем, что в состоянии равновесия микрополярная жидкость, подобно жидкому кристаллу, обладает ориентационной упругостью и способна выдерживать как моментные напряжения, так и силовые касательные напряжения. Рассмотренная здесь модель вязкоупругой микрополярной жидкости является максимально общей моделью ориентированной жидкой среды, ориентация частиц которой характеризуется ортонормированной тройкой направляющих векторов. В общем случае вязкоупругая микрополярная жидкость может обладать разнообразными свойствами памяти по отношению к переменной актуальной конфигурации.

В первом параграфе четвертой главы найдены представления уравнений состояния для изотропной микрополярной среды с памятью, которые даются теоремами

Теорема 4.1. Определяющие соотношения любой изотропной среды Коссера с памятью могут быть представлены в форме

T(i) = я [u(i), Ufc), K*(s)], M(i) = Ъ [u(0,Ui(5), К{(«)] (20)

где Ti - изотропные операторы.

Вязкоупругой микрополярной жидкостью будем называть такую среду Коссера с памятью, которая нечувствительна к любым изменениям отсчет-ной конфигурации, сохраняющим плотность среды.

Теорема 4.2. Общее представление определяющих уравнений вязко-упругой микрополярной жидкости имеет вид

T(í) = Til [p(í),B(í),U|(s),L¿(s)], (21)

M(í) = H2[p(í)-B(í),UKs),LÍ(5)],

где Tíi, "Hz — изотропные операторы.

Теорема 4.2 является обобщением теоремы Нолла о простых жидкостях на случай микрополярных жидкостей.

Здесь введены относительный градиент деформации Cf(r) = C-1(í) • С(т), при определении которого текущая конфигурация рассматривается в качестве отсчетной, а конфигурация, соответствующая моменту времени т - актуальной, относительный микроповорот Ht(r) = Dk(t) ® Dk(r) = НT(t) • Н(т) и относительные меры деформации Ut(r) = Ct(r).Hf(r), Кt(r) = Lt(r)+B(í), L¿(r)xl = - [GradHt(r)] • ■Hf (г), предыстории которых обозначаются следующим образом Сt{t — s) = C((s), и т.д., через b и В обозначены тензоры кривизны микроструктуры соответственно в отсчетной и текущей конфигурациях b = -i (grad dk) x dk, В = (Grad Dk) x Dk, u = C"1 • H.

Частным случаем (21) являются случаи упругой жидкости с уравнениями состояния Т = <р(р, В), М = ф(р, В), а также жидкости дифференциального типа сложности (m,n) с такими уравнениями состояния

Т = fi{p, В, Ai... Am, Bi... В„), М = f2(p, В, Ai... Am, Bi... Bn).

(22)

где <p, ф, fi, /2 - изотропные тензорные функции. Здесь тензоры скоростей деформации и изгибной деформации определяются формулами

е = С-1 • ^^ • Н = GradV +1 X(jJ, ж = CT1 • j • Н = Grado»,

а индифферентные тензоры скоростей более высокого порядка определяются следующими реккурентными соотношениями

А„+1 = + (Grad v) • An + А „хш, А0 = I, At = е,

В„+1 = ^В„ + (Grad v) •В„ + В„хш, В0 = В, Bi = аз.

Частным случаем (22) является модель вязкой микрополярной жидкости, предложенная Э.Л.Аэро и К.Эрингеном, уравнения состояния которой имеют вид Т = fi(p,e), М = /2(р,эе).

В рамках предложенной модели решен ряд задач о равновесии, течении и потери устойчивости микрополярной жидкости, в том числе задача о равновесии жидкости со свободной поверхностью, задача о дисклина-циях, вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости, решены задачи о вискозиметрических течениях вязкоупругой микрополярной жидкости (течения в канале, в круглой трубе н между соосными вращающимися цилиндрами), которые в совокупности позволили проанализировать влияние учета эффектов вязкоу пру гости.

В рамках плоской задачи исследована потеря устойчивости однородного поля микроструктуры микрополярной жидкости, занимающей полосу толщины к под воздействием ориентирующего влияния магнитного поля (переход Фредерикса). Получены формулы для критического поля, анализ которых показал качественные отличия модели упругой микрополярной жидкости от модели нематического жидкого кристалла (например, зависимость критического поля только от одной упругой постоянной микрополярной жидкости).

Решена задача о конвективной неустойчивости механического равновесия плоского бесконечного горизонтального слоя вязкоупругой микрополярной жидкости толщины Л (—оо < X < с», 0 < У < Л) (задача Рэлея). Температура и угол ориентации микроструктуры на границах слоя фиксированы. Верхняя граница поддерживается при температуре и угле ориентации микроструктуры ав, а нижняя - при вц и &ц соответственно. Также предполагается выполнение смешанных краевых условий следующего вида N • V = О, N -Т • (I — N ® IV) = 0. Использованы уравнения состояния вязкоупругой микрополярной жидкости дифференциального типа сложности (1,1), для Т и М приняты линейные относительно тензоров скоростей деформации зависимости.

Равновесное решение описывается линейными зависимостями температуры в = —АУ + &ц и угла а = ВУ + ан- Рассматривая монотонно изменяющиеся со временем возмущения в слое вязкоупругой микрополярной жидкости, подогреваемом снизу (Ла > 0), для критических чисел Рэлея

На = рдр-получены аналитические выражения. Здесь у - коэффициент температуропроводности, р - температурный коэффициент расшире-

Построены нейтральные кривые в плоскости разграничиваю-

щие области устойчивости и неустойчивости со-

Яа

2 5 1 *

ньютоновская жидкость вязкая МПЖ

вязкоупругая МПЖ

Рис. 4: Нейтральные кривые для вязкоупругой микрополярной жидкости (МПЖ).

ответственно для случая вязкоупругой микрополярной жидкости и вязкой микрополярной жидкости. Графики зависимости числа Рэлея Ra от волнового числа к приведены на рис. 4 для характерных значений параметров жидкости, стрелкой показано направление возрастания закрученности микроструктуры ав — от 0.1 до 7Г.

Проведенный анализ зависимости Г1а(/с) показал, что учет вязкоупругих эффектов приводит к повышению числа Рэлея по сравнению со случаями чисто вязкой микрополярной жидкости и вязкой ньютоновской жидкости. При этом чем сильнее начальное искривление микроструктуры жидкости, тем больший перепад температур требуется для потери устойчивости, а значение волнового числа к*, соответствующее 11а*, уменьшается. Заметим, что случай вязкой микрополярной жидкости оказывается более неустойчивым (число Рэлея меньше) по сравнению со случаем обычной жидкости. Таким образом, показано, что учет эффектов вязкоупругости приводит к повышению порога устойчивости по сравнению со случаями ньютоновской и вязкой микрополярной жидкости. Это означает, что учет эффектов ори-ентационной упругости, подобных присутствующим в гидромеханике жидких кристаллов, оказывает стабилизирующее действие при переходе к конвективному течению.

Пятая глава посвящена механике микрополярных оболочек (оболочек типа Коссера). В данной работе развивается прямой подход к построению механики микрополярных оболочек. В рамках этого подхода оболочка рас-

сматривается как материальная поверхность, наделенная определенными свойствами, без привлечения понятий и соотношений трехмерной сплошной среды. Оболочка типа Коссера является двумерным аналогом континуума Коссера, т. е. представляет собой материальную поверхность, каждая частица которой имеет шесть степеней свободы абсолютно твердого тела. Кинематика оболочки определяется двумя независимыми характеристиками: полем перемещений поверхности, при помощи которой моделируется оболочка, и собственно ортогональным тензором, описывающим повороты частиц оболочки в процессе их деформации, или вектором конечного поворота. В настоящее время модель оболочек типа Коссера получила большое развитие в трудах П.А. Жилина, Л.М. Зубова, Л.И. Шкутина, а также В. Петрашкевича, Дж. Симмондса, Я. Хрущилевского и других авторов. Отметим также работы Я.Ф. Каюка и А.П. Жуковского, а также П.М. На-хди, М. Рубина по механике оболочек, в которых поверхность оболочки наделяется одним или несколькими векторами - директорами.

В первом параграфе приводятся основные соотношения механики оболочек типа Коссера. Пусть - поверхность оболочки в отсчетной конфигурации, т. е. в недеформированном состоянии, отнесенная к гауссовым координатам (а = 1,2), и ^(д1,*?2) - радиус-вектор частицы на ст. Поверхность Е оболочки после деформации также отнесена к координатам да, а положение частицы на а описывается радиусом-вектором Д^1,*?2). Ориентация частиц оболочки характеризуется полем поворотов Н(д1,^2), где Н - собственно ортогональный тензор. Тензорное поле Н кинематически независимо от поля перемещений оболочки Деформация оболочки типа Коссера определяется векторным и тензорным полями

Постановка краевой задачи о равновесии нелинейно упругой оболочки типа Коссера дается соотношениями

гат0 = 61 га - п = 0, = (а, 0=1,2) д\У д\¥

их : Я = р^), и>2 : V • Б = уз(в), : Н = Ь(5), Ь-Ьг = 1, а>4 : 1/.С = 7(в).

Здесь / - плотность распределенной по а силовой нагрузки, I - плотность распределенной по а моментной нагрузки, <р - линейная плотность краевой силовой нагрузки, - линейная плотность распределенной по части границы оболочки моментной нагрузки, гр И та - основной и взаимный векторные базисы на поверхности сг, п - единичная нормаль к а, 5р -

символ Кронекера, V - оператор градиента на О, Ф - произвольное дифференцируемое тензорное поле, определенное на а, Т* означает векторный инвариант тензора второго ранга Т, удельная энергия IV упругой оболочки типа Коссера зависит от деформации окрестности частицы посредством двух тензоров: меры метрической деформации У и тензора изгибной деформации Ь, кроме того, функция IV зависит, вообще говоря, и от тензора кривизны к поверхности а, и - граничный контур поверхности сг, и> = и и>2 и ш = и>з и и>4, , Ь(5) - заданные функции. Уравнения равновесия (23) выражают собой соответственно баланс сил и баланс моментов, действующих на произвольную часть оболочки. Тензоры О и С аналогичны тензору напряжений Пиолы в трехмерной теории упругости и называются соответственно тензором усилий и тензором моментов типа Пиолы. Тензор усилий и тензор моментов аналогичны тензору напряжений Кирхгоффа.

Уравнения равновесия (23) можно записать в геометрии деформированной поверхности Е, если ввести тензоры усилий Т и моментов М типа Коши Т = 3-1¥т • Б, М = 7"1¥т • в, где

Сформулированные здесь основные уравнения нелинейной теории оболочек Коссера впервые были получены П.А. Жилиным другим способом.

Второй параграф пятой главы посвящен построению локальной группы симметрии оболочек. В основу определения группы симметрии легло свойство инвариантности плотности потенциальной энергии оболочки при преобразованиях отсчетной конфигурации, сохраняющих нормаль к поверхности оболочки в точке, в которой определяется группа симметрии оболочки.

Определение. Локальной группой симметрии 3<г оболочки типа Коссера назовем множество упорядоченных четверок тензоров

X = (Р е ип, И € 50+(3), Л е Т„, к € Бут,,),

таких, что выполняется уравнение

\¥{У, Ъ, к) = ЩР • У • ЪТ, Р • Ь • Ьг + Л, Р • к • Рг + к)

для любых тензоров У, Ь, к из области определения функции И7.

Здесь использованы следующие обозначения для групп: 50(3) = {С} : (З-1 = <3Т} - группа всех ортогональных тензоров; 50+(3) = {(^ : С} 6 50(3), (М = 1} - группа собственно ортогональных тензоров; 50+(3) = {<3 : <3 6 50+(3), п • = п} - группа вращений вокруг единичного вектора п; Кп = {Р : п • Р = Р • п = О, ./(Р) = 1} -двумерный аналог унимодулярной группы; 7„ = {Л : п • А = 0}; 5?/тп = {к : к = кТ, п-к = 0} (!(„ - группа относительно умножения, а 7п и 5ут„ - группы относительно сложения).

Множество 3<7 является группой относительно операции "о":

(Рь Ьь Аь «О о (Р2, Ь2, А2, к2) =

= (Рх • Р2, Ь! • Ь2, А! + Рг • А2 • Ь[, К1 + Р! . К2 . Р[).

Эта групповая операция аналогична, но не совпадает с введенной в 1979 г. А. Мурдохом и X. Коеном. В За единичным элементом является I = (е, 1,0,0). Имеют место также следующие тождества

(Е, I, Аь «О о (б> I, А2, к2) = ^ I, А1 + А2, К1 + к2), (Рь Ьь О,0) о (Р2, Ь2,0,0) = (Рх • Р2) 1ц • Ь2,0,0).

Здесь 0 - нулевой тензор. Обратным к элементу Хб5? служит элемент

X"1 ^ (Р, Ь, А, к)"1 = (Р~\ Ьг, -Р"1 • А • Ь, -Р-1 • к • Р~т).

Здесь под Р-1 понимается тензор, обратный к двумерному тензору Р: Р-1-Р = Р-Р-1 = g и использовано обозначение Р_г - (Р-1) = (Рт) 1.

Локальная группа симметрии оболочки 5<т зависит не только от точки на поверхности, но и от выбора отсчетной конфигурации. Можно показать, что локальные группы симметрии 31 и Зг оболочек для разных отсчетных конфигураций 01 и а2, имеющих общую касательную плоскость в точке, где рассматривается группа симметрии, связаны соотношением

д2 = Р"1 о 91 о Р, (25)

где конгломерат Р = (Р, Ь, А, к) образован тензорами, определяющими локальную деформацию а 1 —♦ ст2. Уравнение (25) обобщает известное правило Нолла, связывающее группы симметрии простых материалов в разных отсчетных конфигурациях, на случай микрополярных оболочек.

Используя введенное определение, в работе получены представления уравнений состояния для частных случаев симметрии, в том числе для жидкой микрополярной оболочки.

Группы симметрии и соответствующие им уравнения состояния оболочек и мембран представлены в табл. 1. (Здесь и - двумерный положительно определенный тензор из полярного разложения неособого тензора Е + п®ЛГ, C•F = E)F•C = g, гдеЕ = 1- ЛГ®/V.)

Таблица 1

Элементы группы симметрии 3<г = {(Р)Ь, А, к)} Тип уравнения состояния Уравнение состояния

УА 6 7„,Ук 6 вутп Мембрана Коссера IV = И'(У), М = 0, Т / Тг

VII € 50+(3), УА 6 7п, Ук е 5утп Мембрана IV = 1К(и), М = 0, Т = Тт

УР е И„, V« е Бутп, VII 6 50+(3), УА е 7„ Жидкая мембрана 1К = ИЧ<1е1 и), Т = -рЕ

Р = 6 • д> ^д € 8П С 50+(3), УЬ € 50+(3), УА € Т„,Ук е Бут» Твердая мембрана № = Щи)

Р = 8-д,уде50+(з), УЬ 6 50+{3), УА € Т„,Ук 6 5ут„ Изотропная мембрана \у = ичи-и.сни)

9„ = {(Р.М,к)}, (А = 0) Оболочка Коссера

УР е и„ (Уп), УЬ 6 50+(3) А = 0,У/г 6 вутпп Жидкая оболочка Коссера IV = ЩЛ(К)), к = 1,...5, к = сьн

р = е-д,ь = д, Уд € §„ с 50+(3) А = 0, к = 0 Твердая оболочка 1К = 1У(У,Ь,к) = Уд € 5„

Р = 8д,Ь = д, уд е 50+(з) А = 0, к = 0 Изотропная оболочка IV = и'(У, Ь, к) = = ичд.у.дг, д.ь.чг,ч.к-дг), уд е 50^(3)

В третьем параграфе получено условие существования слабых разрывных решений уравнений движения оболочек - волн ускорения, для которых нарушение непрерывности на некоторых сингулярных кривых происходит у вторых производных полей перемещений и микроповоротов. Показано, что условие существования волны ускорения, как и в случае простых материалов, не обладающих моментными напряжениями, эквивалентно требованию сильной эллиптичности уравнений равновесия оболочки.

В четвертом параграфе пятой главы вариационным способом получены условия совместности на границе раздела фаз для оболочек, включающие условия баланса сил и моментов на границе, а также термодинамическое условие, необходимое для определения положения фазовой границы. В слу-

чае микрокогерентных фазовых переходов на межфазной границе выполняются уравнения

(26)

а в случае ФП с микропроскальзыванием (когда повороты частиц оболочки определяются независимо) второе уравнение из (26) следует заменить на - вектор нормали к фазовой границе, лежащий

в касательной плоскости к ст. Интерес к описанию фазовых превращений в тонкостенных элементах конструкций, в частности, связан с проблемами роста тонких пленок, а также с перспективами использования пленок из сплавов с памятью формы в микроэлектромеханических устройствах. Использование моделей типа мембраны Коссера для описания деформаций двухфазных тонких пленок из никелида титана (№^) и родственных сплавов проводилось К. Бхаттачария, М. Гартином, Р. Джеймсом.

В следующем параграфе в качестве примера исследовано двухфазное состояние равновесия в бесконечной микрополярной пластине с отверстием. Показано, что двухфазное состояние равновесия оказывается энергетически более выгодным по сравнению с однофазным состоянием.

Рис. 5: Строение клеточной мембраны А) и некоторые типы взаимодействия белков с бислоем В).

Шестой параграф пятой главы посвящен описанию механического поведения клеточных мембран в рамках модели микрополярных оболочек. Общепринятая в настоящее время жидкостно-мозаичная модель трактует биологическую мембрану как неоднородный по толщине бислой, образованный молекулами липидов, находящийся, как правило, в жидком состоянии, и внедренными в него белками (рис. 5 А)). С точки зрения механики

сплошной среды клеточная мембрана может быть представлена как материальная поверхность - оболочка, уравнения состояния которой соответствуют двумерной несжимаемой жидкости, обладающей свойствами ори-ентационной упругости, в частности, сопротивлением изгибу, связанному с изменением ориентации частиц оболочки. С большой степенью точности оболочку можно считать поверхностно изотропной. Предложены уравнения состояния оболочки, которые записываются следующим образом

Т = -рЕ + Т£. (27)

В (27) р - неизвестная функция, не зависящая от деформации, своего рода двумерное давление, Т^ - часть тензора усилий, определяемая по потенциальной энергии деформации IV = 1У(К), N - единичная нормаль к поверхности £. Дополнительным уравнением для определения р служит связь J = 1, где дается (24). Примером функции IV может служит квадратичная зависимость

2\У = 2Кц + К| + (Кц • К[) + у4ЛГ • Кг • К • Я,

В качестве примера исследовано состояние равновесия в мембране с включением, моделирующим мебранный белок, когда он вызывает изменение фазового состояния в своей окрестности (как изображено на рис. 5 В), и определено положение границы раздела фаз в зависимости от искажения, вызванного включением.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1]' Еремеев В.А. Устойчивость двухслойной нелинейно-упругой сферической оболочки //Изв. Сев.-Кавк. Научн. центра высш. шк. Естеств. науки. 1990. Л* 1. С. 55-58.

[2] Еремеев В.А. Выпучивание нелинейно-упругой плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учетом фазового перехода // ПМТФ. 1991. Я» 3. С. 141-147.

[3] Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент, и прикл. проблемы деформируемых сред и конструкций. Тр. межвуз. научн. программы. Вып. 1. 1993. Н.-Новгород. С. 187-193.

[4] Еремеев В.А. Равновесие и устойчивость микронеоднородных упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Матем. моделирование. 1997. Т. 9. У* 2. С. 6в-69.

|5| Еремеев В. А. Равновесие двухфазного цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений // Труды 3 Межд.конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.1. Ростов н/Д: МП "Книга". 1997. С. 134-137.

[6] Еремеев В.А. Некоторые задачи устойчивости мнкрополярноп жидкости, находящейся в магнитном поле// Труды 4 Межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.1. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ. 1999. С. 137-141.

|7з Еремеев В.А. О вариационных принципах для упругих тел с жидкими включениями при конечных деформациях// Совр. проблемы механики и прикладн. математики. Тр. школы-семинара, поев. 70-летию профессора Ивлева Д.Д. Воронеж, 25-30.09.2000. Ч. 1. С. 144-148.

[8] Еремеев В.А. Об эллиптичности краевых задач нелинейной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 67-72.

(9) Еремеев В.А. Некоторые задачи со свободными границами в деформируемых пористых средах // Матем. моделирование. 2001. Т. 13. Л11 2. С. 99-102.

[10) Еремеев В.А. Фазовые превращения в оболочках Коссера // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. С. 64-67.

[11] Еремеев В.А. Фазовые превращения в сильно деформированных нематических жидких кристаллах // Математ. моделирование систем и процессов. 2002. Вып. 10. С. 26-31.

[12| Еремеев В.А. Модель фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах// Журнал физической химии. 2003. Т. 77. №10. С. 1863-1865.

[13] Еремеев В.А. О распространении волн слабого разрыва в средах с микроструктурой //Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. 2004. С. 37-46.

[14] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел с полостями, содержащими жидкость// ПММ. 1987. Т.51. Вып.З. С. 453-457.

[15] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения// Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 2. С. 5665.

[16] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Докл. АН (Россия). 1992. Т. 322. № 6. С. 1052-1056.

[17] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями // Изв. РАН. МТТ. 1994. Л» 3. С. 181-190.

[18] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. Л« 1. С. 42-46.

|19] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Теория упругих и вязкоупругих мнкрополярных жидкостей // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 801-815.

[20] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Нелинейные проблемы механики сред, испытывающих фазовые превращения// Аннотации докладов. VIII Всероссийский съезд по теорет. и прикл. механике. Пермь. 23-29.08.2001. С. 247.

{2и Еремеев В.А., Зубов Л.М. Общая нелинейная теория упругих микрополярных оболочек// Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естеств. науки. 2003. Спецвытск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. С. 124-169.

[22] Еремеев В.А., Зубов Л.М., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями //Докл. АН (Россия). 1992. Т. 326, № 6. С. 968-971.

[23] Еремеев В.А., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Сингулярные решения нелинейной теории упругости //Вопросы физики и механики материалов. Под ред. Лихачева ВА, Новгород, 1992. С. 57-68.

[24] Еремеев В.А., Никитин Е.С. Фазовые превращения в упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Докл. АН (Россия). 1995. Т. 345. № 2. С. 188-192.

[25] Еремеев В.А., Сотниченко Д.М. Некоторые задачи о фазовых превращениях в деформируемых средах при конечных деформациях// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. С. 52-74.

[26] Еремеев В.А., Сотниченко Д.М. Фазовые превращения в нелинейно упругих телах с примесями// Труды XXIX Летней школы "Актуальные проблемы механики" АРМ 2001. 21-30.06.2001. Санкт-Петербург (Репино). ИПМаш РАН. 2002. С. 676687.

[27] Еремеев В.А., Сухов Д.А. Конвективная неустойчивость плоского слоя вязкоупру-гой микрополярной жидкости со свободными границами//Пзв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Я* 4. С. 24-27.

[28] Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. О центрально-симметричных двухфазных полях деформаций// Пробл. мех. деформ. тв. тела. Межвуз. сб-к к 70-летию акад. Морозова Н.Ф. СПб: Изд-во СПБГУ. 2002. 318 с. С. 111-122.

[29] Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. Об устойчивости двухфазных деформаций упругих тел. Часть 1. Основные соотношения. Часть 2. Устойчивость двухфазного шара // Труды 7-й Межд. конферен. "Совр. проблемы МСС" памяти академика РАН И.И.Воровича. 22-24.10.2001. Ростов-на-Дону. Т.1. Ростов-на-Дону: ООО"ЦВВР". С. 97-111.

[30] Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. Влияние фазовых превращений на устойчивость деформируемых тел// Структура и свойства перспективных металлов и сплавов. Труды ХЬ межд. семинара "Актуальн. пробл. прочности". (30.09.4.10.2002. Вел. Новгород). Вел. Новгород, 2003. С. 69-75.

зз I гас НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I СВтрвург « оа не .«г |

[31] Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел// Докл. АН (Россия). 2003. Т. 391. JT« 2. С. 189-193.

[32] Зубов Л.М., Еремеев В.А. Уравнения вязкоупругой микрополярной жидкости// Докл. АН (Россия). 1996. Т. 351. № 4. С. 472-475.

[33] Зубов Л.М., Еремеев В.А. Механика упругих микрополярных оболочек// Дальневосточный математический журнал. 2003. Т. 4. № 2. С. 182-225.

[34] Шарипова Л.Л., Еремеев В.А., Фрейдин А.Б. Об устойчивости упругого двухфазного шара // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спец. вып. Матем. моделирование. 2001. С. 166-168.

[35] Eremeyev V.A. On the stability of nonlinear elastic bodies with phase transformations// Proc. 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. Victoria, British Columbia, Canada. June, 16-20, 1999. Ed. Elena M.Croitoro. Vol.2. P. 519-528.

[36] Eremeyev V.A. Phase transformations in elastic shells with microstructure and applications to the biomembranes theory// Ext. Abstr. 7th Conference "Shell Structures Theory and Appl." Gdansk-Jurata (Poland). 9-11.10.2002. Gdansk: Gdansk Univ. Techn. 2002. P. 79-80.

[37] Eremeyev V.A. On phase transitions in nonlinear elastic media and structures//Abstr. of an Intern, conference in honour of Ray Ogden's 60th birthday. Modern Mechanics and Math. 26-28 August.2003. Keel, UK. Pp. 13-14.

|38] Eremeyev V.A., Freidin А.В., Sharipova L.L. On nonuniqueness and stability of centrally symmetric two phase deformations // Proc. XXIX Summer school "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2001). 21-30.06.2001. St.Peterburg. (Repino). IPME RAS. 2002. P. 198-206.

[39] Eremeyev V.A., Sotnichenko D.M. On phase transformation front propagation in elastic bodies // Proc. of Int. Symp. "Advances in Computational Heat Transfer", Сеыпе, Turkey, May 26-30, 1997. Begel House Inc. 1998. P. 516-523.

[40] Eremeyev V.A., Zubov L.M. On the stability of elastic bodies with microstructure//!CTAM-2000. Abstract book 20th Int. Congress of Theor. Appl. Mech. Chicago. P. 15.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,4 уч.-изд.-л. Заказ Ne 145 Тираж 150 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 47-34-88

tMÎIÎE

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Еремеев, Виктор Анатольевич

Введение

1 СТАТИЧЕСКИЕ И КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ

ДВУХФАЗНЫХ ТЕРМОУПРУГИХ ТЕЛ

1.1 Вывод условий баланса на границе раздела фаз с помощью законов сохранения в интегральной форме

1.2 Об уравнениях состояния нелинейно-термопругой среды с предварительными напряжениями.

1.3 Вариационная постановка задачи о фазовом равновесии. Вариационные принципы в напряжениях и перемещениях

1.4 Кручение двухфазного цилиндра.

1.5 Фазовые превращения в телах с изолированными дефектами

1.6 Фазовые превращения в телах непрерывно распределенными дефектами

1.7 Образование полостей в телах с дислокациями и дисклинациями

2 ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ В ТЕЛАХ С МИКРОСТРУКТУРОЙ

И ПРИМЕСЯМИ

2.1 Условия термодинамического равновесия фаз в телах с дополнительным параметром состояния.

2.2 Условия термодинамического равновесия фаз в микрополярных средах

2.3 Условия термодинамического равновесия фаз в телах с микродеформацией

2.4 Равновесие двухфазного нелинейно упругого цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений

2.5 Условия равновесия фаз в сильно деформированных нематических жидких кристаллах

2.6 Квазистатические и статические деформации двухфазных тел учетом процесса диффузии примесей

2.7 Равновесие двухфазного шара.

3 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХФАЗНЫХ ТЕЛ

3.1 Линеаризация краевой задачи о деформировании двухфазного упругого тела.

3.2 Потеря устойчивости двухфазного шара, нагруженного гидростатическим давлением.

3.3 Эллиптичность краевой задачи равновесия двухфазного тела.

3.4 Потеря устойчивости двухфазных тел в случае бесконечно малых деформаций

3.5 Устойчивость нелинейно упругих тел с моментными напряжениями

3.6 Устойчивость полупространства с моментными напряжениями.

3.7 Потеря устойчивости двухфазного шара с моментными напряжениями

4 МЕХАНИКА МИКРОПОЛЯРНОЙ ЖИДКОСТИ

4.1 Основные соотношения континуума Коссера с памятью. Уравнения состояния вязкоупругой микрополярной жидкости.

4.2 Уравнения упругой микрополярной жидкости.

4.3 Некоторые задачи о равновесии упругих жидкостей.

4.4 Равновесие фаз микрополярной жидкости

4.5 Вискозиметрические течения несжимаемой микрополярной жидкости.

4.6 Устойчивость равновесия упругой микрополярной жидкости в магнитном поле (переход Фредерикса).

4.7 Конвективная неустойчивость вязкоупругой микрополярной жидкости.

5 МИКРОПОЛЯРНЫЕ ОБОЛОЧКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

5.1 Основные краевые задачи микрополярных оболочек.

5.2 О симметрии уравнений состояния оболочек.

5.3 Распространение слабых разрывов (волн ускорения) и условие сильной эллиптичности.

5.4 Условиятермодинамического равновесия оболочек Коссера.

5.5 Осесимметричная деформация двухфазной пластинк;:-с круговым отверстием

5.6 Микрополярные оболочки и математические модели клеточных мембран

5.7 Двухфазное состояние равновесия в микрополярной пластине с включением

Введение диссертация по механике, на тему "Механика двухфазных тел с микроструктурой при конечных деформациях"

Актуальность темы диссертации. Проблема описания фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших задач механики и физики твердого тела, а также материаловедения. Ее актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые превращения либо в процессе их изготовления, либо в процессе эксплуатации, либо контактируют со средой; в которой происходят фазовые переходы. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов являются твердофазные превращения с сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, процессы получения нанопленок, ориентацион-ные превращения в полимерах, переходы в термотропныхи лиотропных жидких кристаллах, а также ряд других. В частности, .фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах (сплавах с памятью формы), широко используемых в современной технике.

Начиная с Гиббса и Стефана исследованию фазовых переходов в рамках механики сплошных сред посвящено значительное число работ. Значительный вклад в развитие механики тел, содержащих фазовые границы, внесли Н.Х. Арутюнян, B.JI. Бердичевский, А.А. Вакуленко, М.А. Гринфельд, А.Д. Дроздов, В.И. Кондауров, Н.Ф. Морозов, В.Э. Наумов, J1.B. Никитин, В.Г. Осмоловский, A.JI. Ройтбурд, JI.M. Труски-новский, А.Б. Фрейдин, а также Р. Абейаратне, Дж. Болл, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Дж. Эриксен, М. Питтери, Р.А. Фосдик, М. Шил-хави. Приведем здесь публикации этих и некоторых других авторов [4, 12,17, 26, 27, 32],[40]-[42], [122,130]-[135], [137], [167]-[171], [174,180,182], [1ST]—[189], [202], [207]—[210], [231]-[238]; [244, 245, 253, 254, 267, 268], [282]-[286], [292, 293, 295], [296]-[298], [301]—[309], [313, 314, 319]-[321], [330], [332]—[343], [345]-[347], [351, 353, 354, 365, 366, 367, 369, 371, 383], [388]

390], [393, 395, 396], [399]-[401], [408]-[412], [415, 416]. В этих работах по преимуществу рассматриваются процессы деформирования тел, испытывающих фронтальные фазовые превращения, т.е. состоящих из двух или нескольких фаз, разделенных поверхностью раздела. На границе раздела фаз как правило ставится дополнительное условие, необходимое для определения ее положения.

Отметим, что описанию фазовых превращений посвящены также работы В:А. Лихачева, В.F. Малинина, А.Е. Волкова, А.И. Разова и их коллег, Д. Лагоудаса, В. Левитаса, А.А. Мовчана, Г. Пэрри и др. [13]-[16], [30, 144, 146, 147], [159]-[163],[256, 331], [356]-[359]; [368], [379]-[382], в которых межфазные границы явно не вводятся, т.е. изучаются фазовые превращения объемного типа, и описание деформирования двухфазных тел опирается на введение дополнительных параметров состояния, характеризующих те или иные особенности многофазных сред, как, например, доли одной из фаз, а также учитывающих структурные уровни деформации.

Необходимость привлечения нелинейной механики для описания деформирования двухфазных, тел обусловлена причинами как общего характера - каждая из фаз. материала может испытывать большие (конечные) деформации под действием внешних нагрузок и тепловых полей, так и более частными, непосредственно связанными с некоторыми особенностями фазовых превращений; Дело в том, что такие параметры фазового перехода, как, например, разность плотностей фаз или собственная деформация фазового перехода могут достаточно велики; что может привести к существенным деформациям материала и появления в нем значительных полей напряжений (могущих вызвать разрушение, образование каверн и других дефектов). В окрестности фазового перехода могут существенно меняться постоянные материала. Если рассматривать уравнение состояния для материала, который может испытывать фазовый переход, используя одну функциональную зависимость для каждой из фаз, то даже в случае малых деформаций такое определяющее соотношение должно иметь области неэллиптичности; т.е. допускать разрывные решения.

Кроме того, наличие неизвестной границы раздела фаз требует постановки нелинейных краевых условий на ней. Поэтому краевые задачи, описывающие поведение двухфазных тел являются нелинейными как вследствие конечности деформаций, так и из-за наличия неизвестной границы раздела фаз.

Изучение фазовых переходов в телах при конечных деформациях естественно потребовало развития общей нелинейной термомеханики, в частности, нелинейной теории упругости, значительный вклад в разработку которой внесли Дж. Адкинс, А. Грин, М. Гартин, А.Н. Гузь, П.А. Жилин, JI.M. Зубов, В.А. Левин, А.И. Лурье, Ж. Можен, Н.Ф. Морозов, В:В. Новожилов, Р. Огден, В.А. Пальмов, Р. Ривлин, Г.Н. Савин, Л.И1 Седов, Ф. Сьярле, К. Трусделл, К.Ф. Черных, Ml Шилхави; А. Эринген, Дж. Эриксен и др. Методы нелинейной механики сплошных достаточно полно освещены в монографиях [39, 43, 50, 103, 135, 143, 150, 152, 158, 166, 175, 179, 183, 190, 194, 201, 216, 217, 218, 219, 220, 242, 300, 364, 378, 401, 407, 417], а также статьях [22, 23, 97, 98,.99]: Механика тел с дислокациями и дисклинациями рассматривалась в [28, 136, 142, 186, 229, 290]. Отметим также работу М.Ю. Гуткина по изучению дислокаций в рамках градиентной теории упругости [322].

Необходимость описания фазовых превращений стала одной из причин, вызвавших к жизни такие направления в современной математике как теория вариационных неравенств [127, 211], и теория задачи Стефана [153, 154]. Особенностью задачи Стефана является наличие только одного параметра состояния - температуры (или концентрации), и тем не менее, методы задачи Стефана нашли многочисленные приложения при выращивании кристаллов [148, 153, 197], изучении затвердевания отливок [11].

Исследования деформаций тел, содержащих фазовые границы, в значительной степени повлияло на развитие механики конфигурационных сил, активно развивающейся в настоящее время [310]—[315], [344, 364, 366, 367].

В задачах исследования фазовых превращений в твердых телах важное место занимает учет микроструктуры материала, испытывающего фазовый переход. Учет микроструктуры материала может проводиться в рамках различных подходов, в данной работе рассматриваются модели сплошной среды, в которых присутствуют дополнительные параметры состояния, отвечающие описанию микроструктуры материала. К их числу можно отнести моментную теорию упругости, в рамках которой существуют моментные напряжения и учитывается вращательное взаимодействие частиц среды. Модели сред с микроструктурой используются для описания! зернистых, поликристаллических, композитных материалов, жидких кристаллов, суспензий, а также могут найти применения для моделирования наноматериалов. В!частности, механизмы ротационного взаимодействия в наноструктурах обсуждались в [44, 45].

Начиная с работ Э. и Ф. Коссера [264] механика микрополярной среды, (континуума Коссера) получила значительное развитие в основополагающих работах ЭЛ. Аэро [6, 7], В.И. Ерофеева [92], П.А. Жилина [94], J1.M. Зубова [105, 417], В.Т. Койтера [352], Р.Д. Миндлина [156], В. Но-вацкого [377], В:А. Пальмова [181], Р.А. Тупина [406], Л.И; Шкутина [225, 226], К. Эрингена [289]; а также в [37, 299, 376, 386]. Более общие модели сред, содержащие большее число степеней свободы (микроморф-ные среды или среды с микродеформацией), изучались В:И. Ерофеевым [92], Л.М. Зубовым [417], В.Т. Койтером [352], Р.А. Тупиным [406], К. Эрингеном [289] и др. Механика сред с внутренними степенями свободы изучалась также М.А. Гузевым, И.А. Куниным, В.П. Мясниковым; [140, 172, 173]. Практически важный случай моментной среды - жидкие кристаллы исследовались Э.Л. Аэро [8], П. де Женом [93], А.С. Сониным [192], Ф.М. Лесли [355], Дж. Эриксеном [228].

Использование нелинейных моделей требует изучения единственности и устойчивости решений; получаемых на их основе. Исследование устойчивости процессов деформирования также является важной задачей для определения условий эксплуатации и изготовления материалов. В частности, потеря устойчивости при выращивании кристаллов часто сопровождается такими эффектами, как появление волнистости на поверхности образца, рост дендритных кристаллов. Неустойчивость при затвердевании отливок может проявляться в виде выпучивания поверхности затвердевающей отливки, появления трещин; каверн и других дефектов. Неустойчивости процессов роста тонких пленок сказываются на их качестве. С другой стороны, потеря устойчивости тонкостенных элементов конструкций из материалов, испытывающих фазовые превращения, может быть использована при проектировании разного рода датчиков и микродвигателей.

Исследования потери устойчивости в рамках пространственной теории упругости отражены в работах Л.И. Балабуха и М.Г. Яковенко [10],

М.А. Био [246], А. Грина и Дж. Адкинса [39], А.Н. Гузя [43], А.А. Зеленина и Л.М. Зубова [95, 96], JI.M. Зубова [21, 100, 417], В.Д. Клюшнико-ва [128], А.И. Лурье [150, 152], Р: Огдена [378], К. Сенсенига [191] и др. [257, 258, 318; 327]. Неустойчивость полуограниченных и неограниченных тел, испытывающих фазовые превращения проводились М.А. Гринфель-дом [42]. В разных постановках устойчивость двухфазных тел также изучалась М. Гартиным [301], А.А. Мовчаном [164, 165], Р. Фосдиком [268], а также автором и Л.М. Зубовым [52, 53, 56, 270], автором и Л.М; Зубовым [72, 75], автором, А.Б. Фрейдиным и Л.Л. Шариповой [87]—[91], [274]. Ранее потеря устойчивости термоупругих тел с фазовыми переходами изучалась Л.С. Лейбензоном [145]. Отметим также исследования морфологической устойчивости, проводимые в рамках задачи Стефана, выполненные Б.Я. Любовым, Р.Ф. Секеркой и др. [148, 153, 398].

Модели жидких сред с микровращениями и моментными напряжениями, получивших название микрополярных жидкостей, ведут свое начало от работ Э:Л. Аэро [7] и К.Эрингена [287]. Реологические уравнения вяз-коупругих моментных тел содержатся в работах OiKD. Динариева и В;Н. Николаевского, К. Эрингена, К. де Оильвы [47, 241, 266, 288, 289]- Обширный обзор литературы, по механике микрополярных жидкостей содержится в монографии [155]. Там же даны применения теории моментных жидкостей в микрофильтрации и капиллярной дефектоскопии. Динамика магнитных жидкостей с учетом вращательного взаимодействия частиц обсуждалась в [196]. Приложениям несимметричной гидромеханики к проблемам трибологии посвящена работа [18]; Излагаемая ниже теория: микрополярной жидкости базируется на определяющих соотношениях континуума Коссера с памятью общего вида.

Особенность всех моделей микрополярных жидкостей, описанных в: [7, 18, 155, 287, 289], состоит в том, что в состоянии; покоя они не отличаются от простых (изотропных) жидкостей; так как статические мо-ментные напряжения в них равны нулю, а статический; тензор силовых напряжений является шаровым. Представляемая ниже теория включает в себя модели [7, 18; 155,. 287, 289] как частные случаи и существенно отличается от этих моделей тем, что в состоянии равновесия микрополярная жидкость, подобно жидкому кристаллу, обладает ориентацион-ной упругостью и способна выдерживать как моментные напряжения, так и силовые касательные напряжения (см. ниже п. 4.2). Рассмотренная здесь модель вязкоупругой микрополярной жидкости является максимально общей моделью ориентированной жидкой среды, ориентация частиц которой характеризуется ортонормированной тройкой направляющих векторов. В общем случае вязкоупругая микрополярная жидкость может обладать разнообразными свойствами памяти по отношению к переменной актуальной конфигурации.

Модель Коссера также широко используется для описания поведения тонкостенных конструкций - стержней, пластин и оболочек. Оболочка типа Коссера или микрополярная оболочка является двумерным аналогом континуума Коссера, т. е. представляет собой материальную поверхность, каждая частица которой имеет шесть, степеней свободы абсолютно твердого тела. В настоящее время кинематика таких оболочек при больших деформациях описывается в рамках двух подходов. В рамках первого из них кинематика оболочки определяется двумя независимыми характеристиками: полем перемещений поверхности, при помощи которой ймоделируется оболочка, и собственно ортогональным тензором, описывающим повороты частиц оболочки в процессе их деформации, или вектором конечного поворота. Во втором подходе кинематика оболочки помимо поля перемещений определяется векторным полем директора, при помощи которого также можно описать изменение ориентации частиц оболочки. Такого рода модель оболочки часто называется оснащенной поверхностью. Делая те или иные ограничительные предположения о виде полей тензора поворота или директора, можно прийти к тем или иным теориям оболочек (типа Тимошенко, Кирхгофа-Лява).

Не вдаваясь в преимущества того или иного описания кинематики оболочек, в данной работе под оболочками Коссера будет пониматься модель оболочки с тензором поворота. В настоящее время модель оболочек типа Коссера получила большое развитие в трудах П.А. Жилина [2, 94], Л.М. Зубова [107, 108, 109, 418, 419], Л.И. Шкутина [225, 226, 227], а также Дж. Симмондса [360]; В. Петрашкевича, Я. Хрущилевского [259]-[262]; [362^ 362, 361] и других авторов.

В; связи со вторым подходом отметим здесь классическую работу П.М. Нахди [375], и недавно вышедшую монографию [397], в которой также содержится библиография.по этому направлению в механике оболочек типа Коссера, а также работы Я.Ф. Каюка и А.П. Жуковского [125, 126].

Упомянем также работы в области механики оболочек [31, 36, 38], [101]—[104],[10б]—[109], [120, 126, 129], [176]-[178], [184, 214, 215, 221, 242, 262, 384, 387, 417], сыгравшие значительную в ее развитии и использованные при написании данной работы.

В области механики гибких стержней отметим монографии В.В. Елисеева, А.А. Илюхина [50, 119].

Из приведенного краткого обзора следует, что исследование деформаций тел, испытывающих фазовые превращения, в том числе и при учете микроструктуры материала является важной актуальной задачей современной механики сплошной среды. Некоторые вопросы такого анализа будут рассмотрены в настоящей диссертации;

Цели работы. Основными целями настоящей работы являются развитие механики деформируемых тел, содержащих границы раздела фаз и испытывающих конечные деформации, при учете микроструктуры материала в рамках моделей сплошной среды, содержащей дополнительные параметры состояния, а также развитие моделей механики сред с микроструктурой.

Основными* задачами данной работы являются:

• Исследование деформаций двухфазных тел при конечных деформациях, в том числе тел, содержащих дефекты типа i дислокаций Вольтерры.

• Исследование устойчивости равновесия нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения.

• Изучение задач механики микрополярных оболочек, в том числе задач о фазовом равновесии.

В первой главе изучены статические и квазистатические деформации нелинейно термоупругих тел, содержащих заранее неизвестные границы раздела фаз. В предположении об отсутствии сосредоточенных на фазовой границе источников из основных законов сохранения в интегральной форме получены условия, баланса на границе раздела фаз, содержащие помимо динамических условий, также термодинамическое соотношение, необходимое для определения; положения фазовой границы в пространстве.

Во втором параграфе рассматриваются уравнения состояния для предварительно напряженных тел.

В седьмом параграфе исследованы задачи об образовании полостей в окрестности винтовой дислокации или клиновой дисклинации в нелинейно упругих телах. Показано, что разрывные решения ("сингулярные"), сопровождающиеся образованием полости в окрестности дефекта являются энергетически предпочтительными, по сравнению с непрерывными "регулярными" полями деформаций. В рамках нелинейной теории упругости исследование разрывных решений теории упругости, сопровождающихся образованием полости; проводились в работах Р. Абейаратне, Дж. Болла, П. Подио-Гуидугли и др. [230, 243, 329, 374, 404, 405], в частности, на примере центрально симметричных деформаций. В связи с полученными: результатами отметим экспериментальные наблюдения образования микротрубок, т.е. полостей; на осях винтовых дислокациях в карбиде кремния (SiG), которые описаны в работах М.Ю. Гуткина и соавторов [224], [323]-[326].

Во второй главе методы исследования двухфазных деформаций нелинейно упругих тел, развитые в первой главе, обобщены на случай тел с микроструктурой на основе использования моделей сплошной среды, в рамках которых частицы среды обладают дополнительными степенями свободы (микрополярные и микроморфные среды, жидкие кристаллы, среды с изменяемой пористостью или произвольным дополнительным параметром состояния).

В первом параграфе второй главы получены условия совместности межфазной границе для модели среды, деформация частиц которой описывается радиус-вектором, температурой, радиус-вектором фазовой границы и тензорным параметром микроструктуры. Эти условия состоят из условий механического равновесия фаз, выражающих собой баланс статических величин, и условия термодинамического равновесия; фаз, необходимого для определения заранее неизвестной фазовой; границы. По аналогии со случаем простых материалов в работе введены понятия микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием. Будем называть фазовый переход микрокогерентным, если поле параметра микроструктуры непрерывно в окрестности фазовой границы. В противном случае будем говорить о фазовом переходе с микропроскальзыванием. В зависимости от физического смысла параметра микроструктуры возможны разные типы фазовых переходов с микропроскальзыванием, отличающиеся характером скачка параметра микроструктуры«на межфазной границе.

В следующих двух параграфах рассмотрены условия равновесия фаз материала для микрополярной среды (параметр микроструктуры совпадает с собственно ортогональным тензором микроповорота) и микро-морфной среды (параметр микроструктуры совпадает с невырожденным тензором микродисторсии). Для этих моделей получены условия термодинамического равновесия фаз, даны выражения для тензора энергии-импульса (тензора Эшелби).

В четвертом параграфе этой главы рассмотрены фазовые превращения в нелинейно упругом цилиндре с моментными напряжениями, содержащим винтовую дислокацию. Показано, что образование двухфазной деформации является более энергетически выгодным по сравнению со случаем дислокации в простом материале, изученном в первой главе.

В пятом параграфе рассмотрены условия фазового равновесия в жидких кристаллах (нематиках и двухосных нематиках). Здесь параметр микроструктуры совпадает с директором (или с двумя директорами дляг двухосных нематиков). Дана вариационная постановка задачи о равновесии жидкого кристалла, испытывающего фазовый переход, в условиях неоднородного напряженного состояния, вызванного неоднородностью внешних воздействий, наличием дефекта, искажением поверхности контакта с внешней средой или другими факторами. Вариационным методом получены краевые условия на фазовой границе. В качестве примера рассмотрена задача о фазовом переходе в окрестности ядра дисклина-ции.

Последние два параграфа второй главы (шестой и седьмой) посвящены исследованию квазистатических и статических деформаций в телах с учетом диффузии примесей. На основе интегральных законов сохранения, дополненных уравнением баланса массы для примесей, получены условия совместности на статической и квазистатической границе раздела фаз.

Проведенный в последнем, седьмом, параграфе второй главы подробный анализ двухфазных полей деформаций в задаче о равновесии шара с показал существенное влияние фазового перехода на напряженно-деформированное состояние, в том числе и при учете примеси. В частности, в отличие от тела без примесей возможна незавершенность фазового превращения, когда наличие примеси препятствуют фазовому переходу. Тем самым, учет диффузии примесей показал возможность концентрационного перегрева или переохлаждения.

Характерной особенностью статики тел, испытывающих фазовые превращения, как и вообще нелинейных проблем, является неединственность решений, проиллюстрированная анализом задач в первых двух главах. Эта делает весьма актуальным исследование устойчивости найденных решений. В третьей главе на основе теории бифуркаций развита теория статической устойчивости в малом упругих тел конечных размеров, содержащих равновесные фазовые границы. Устойчивость произвольного напряженно-деформированного состояния равновесия нелинейно упругого тела, состоящего из двух фаз, при консервативных внешних нагрузках исследуется статическим методом Эйлера, состоящим в рассмотрении положений; равновесия,, мало отличающихся от заданного, и определения тех значений параметров нагружения, при которых возможно существование нетривиальных решений линеаризованных в окрестности данного состояния уравнений равновесия и краевых условий.

Третий параграф третьей главы посвящен исследованию эллиптичности краевых задач нелинейной теории упругости. Показано, что условие дополнительности краевых условий (условие Шапиро-Лопатйнского) в краевой задаче для нелинейно-упругого тела эквивалентно поверхностной неустойчивости в задаче для полупространства с определенными свойствами. Приведены примеры исследования для материала Адама-ра.

Проведенные исследования модельных задач о потере устойчивости двухфазных тел позволяет сделать вывод о существенном влиянии фазовых превращений. В частности,, возможно появление дополнительных точек бифуркации, по сравнению со случаем составного тела, в том числе и когда для составного тела бифуркации равновесия вообще не происходит.

Последние три параграфа третьей главы посвящены теории устойчивости упругих тел с моментными напряжениями. Дана постановка задачи статической устойчивости, основанная на линеаризации уравнений и граничных условий вблизи известного равновесного состояния. Сформулированы условия сильной эллиптичности и неравенство Адамара для микрополярной среды. Доказано, что условие сильной эллиптичности линеаризованных уравнений равновесия, являющееся ограничением на функцию удельной потенциальной энергии деформации, служит необходимым условием устойчивости любой равновесной конфигурации упругого тела с моментными напряженями, а также совпадает с условием распространения волн ускорения в микрополярной среде. Решена задача устойчивости сжатого полупространства с учетом моментных напряжений, на примере которой показана возможность качественных отличий потери устойчивости моментных упругих тел от потери устойчивости простых нелинейно упругих тел. Влияние моментных напряжений на потерю устойчивости упругих тел, испытывающих фазовые превращения, проанализировано на примере потери устойчивости двухфазного шара в последнем параграфе третьей главы. Показано, что как и в случае задачи о выпучивании полупространства, учет моментных напряжений оказывает стабилизирующее воздействие.

В четвертой главе предложена модель жидкой среды с моментными напряжениями, которая обобщает теорию вязкой микрополярной жидкости в той же степени, в какой определяющие соотношения простой вязкоупругой жидкости обобщают уравнения состояния ньютоновской жидкости. Обсуждаются сходство и различие модели упругой микрополярной жидкости и модели среды, оснащенной полем директоров и применяемой для описания нематических жидких кристаллов. Рассмотрены задачи о равновесии микрополярной жидкости, в том числе задача со свободной поверхностью. Вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости. Решены задачи о вискозиметрических течениях вязкоупругой жидкости в круглой трубе, канале и между соосными вращающимися цилиндрами. Особенностью этого класса течений является то, что для них произвольная вязкоупру-гая жидкость неотличима от вязкоупругой жидкости дифференциального типа. Решена задача о потере устойчивости плоского слоя упругой микрополярной жидкости под действием магнитного поля, аналогичная-переходу Фредерикса в теории жидких кристаллов. В последнем параграфе четвертой главы решена задача о конвективной неустойчивости плоского слоя тяжелой микрополярной жидкости, подогреваемого снизу. Показано, что учет эффектов вязкоупругости приводит к повышению порога устойчивости по сравнению со случаями ньютоновской и вязкой микрополярной жидкости. Полученные результаты могут быть полезными для механики суспензий, магнитных и биологических жидкостей, жидких кристаллов и других жидких сред сложной структуры.

Пятая глава посвящена исследованию деформаций тонкостенных конструкций в рамках теории оболочек типа Коссера (микрополярных оболочек).

В данной работе развивается прямой подход к построению механики микрополярных оболочек. В рамках этого подхода оболочка рассматривается как материальная поверхность, наделенная определенными свойствами, без привлечения понятий и соотношений трехмерной сплошной среды, таких, как, например, гипотезы типа Кирхгофа-Лява или асимптотические методы перехода от трехмерной задачи к двумерной. Нисколько не умаляя достоинств широко используемых и хорошо известных по большому числу публикаций различных подходов к построению механики оболочек на основе уравнений пространственной теории упругости, следует отметить, что у прямого подхода имеется ряд преимуществ. В первую очередь это связано с получением уравнений состояния при конечных деформациях для оболочек. Дело в том, что технология изготовления оболочек многих типов существенно влияет на механические свойства материала оболочки так, что они изменяются по сравнению со свойствами трехмерной среды. Например, это происходит в результате изменения свойств обработанного поверхностного слоя,, который в большой степени определяет свойства оболочки в целом. Следует также заметить, что уравнения состояния при больших деформациях многих полимерных и резиноподобных материалов известны по экспериментам на тонких пластинках или пленках. Для наноразмерных оболочек существенно проявляются масштабный фактор (т.е. когда механические свойства, например, модуль Юнга, зависят от размеров), влияние поверхностного натяжения. Кроме того, существует целый ряд примеров систем, таких как, например, биологические мембраны, свободно подвешенные пленки смектиков, тонкие полимерные пленки, трехмерных аналогов которых просто не существует. В этой связи вполне естественно построение двумерных уравнений состояния оболочек непосредственно из соответствующих экспериментов, а не путем, например, проведения достаточно трудоемкой в случае конечных деформаций процедуры осреднения по толщине уравнений состоянияi трехмерных тел.

В" этой главе далее в рамках прямого подхода изложены основные положения теории упругих оболочек типа Коссера. Сформулированы, основные типы краевых условий и даны постановки краевых задач статики нелинейной теории микрополярных оболочек. Сформулировано понятие локальной группы симметрии для оболочек типа Коссера. В основу определения группы симметрии легло свойство инвариантности плотности потенциальной энергии оболочки при преобразованиях отсчетной конфигурации, сохраняющих нормаль к поверхности оболочки в точке, в которой определяется группа симметрии оболочки. Дана система инвариантов для изотропной оболочки, а также приведены уравнения состояния для физически линейного материала при разных случаях анизотропии. Используя введенное определение в работе получены представления уравнений состояния для частных случаев симметрии, в частности, для жидкой микрополярной оболочки.

В третьем параграфе пятой главы получено условие существования слабых разрывных решений уравнений движения оболочек - волн ускорения, для которых нарушение непрерывности на некоторых сингулярных кривых происходит у вторых производных, полей перемещений и микроповоротов. Показано, что условие существования волны ускорения, как и в случае простых материалов, не обладающих моментными напряжениями, эквивалентно требованию сильной эллиптичности уравнений равновесия оболочки.

С помощью вариационного принципа стационарности потенциальной энергии получены условия термодинамического равновесия оболочек типа Коссера, испытывающих фазовые превращения мартенситного типа.

Выведенные краевые условия на границе раздела фаз могут быть также использованы при анализе движения линейных дефектов в оболочках, не связанных с распространением фронта фазового превращения. Получено выражение тензора энергии-импульса (тензора Эшелби) для микрополярных оболочек и сформулировано кинетическое уравнение, описывающее движение фазовой линии в случае малых отклонений от термодинамического равновесия. Интерес к описанию фазовых превращений в тонкостенных элементах конструкций, в частности, связан с проблемами роста тонких пленок, а также с перспективами использования пленок из сплавов с памятью формы в микроэлектромеханических устройствах. Использование моделей типа мембраны Коссера для описания деформаций двухфазных тонких пленок из никелида титана (NiTi) и родственных сплавов проводилось К. Бхаттачария, М. Гарти-ном, Р. Джеймсом [247, 248, 340, 316]. В этих работах отмечалось, что тонкие пленки из сплавовс памятью формы являются одними из лучших материалов для создания микроэлектромеханических устройств по сочетанию масса -эффективность.

Пятый параграф пятой главы посвящен описанию механического поведения клеточных мембран в рамках модели микрополярных оболочек. Общепринятая;в настоящее время жидкостно-мозаичная модель трактует биологическую мембрану как неоднородный по толщине бислой, образованный молекулами липидов, находящийся, как правило, в жидком состоянии, и внедренными в него белками [118, 121, 33]. G точки зрения механики сплошной: среды клеточная мембрана может быть представлена как материальная поверхность - оболочка, уравнения состояния; которой соответствуют двумерной несжимаемой жидкости, обладающей свойствами ориентационной упругости, в частности, сопротивлением изгибу, связанному с изменением ориентации частиц оболочки, подобно жидкокристаллическим средам - нематикам и смектикам. С большой степенью точности оболочку можно считать поверхностно изотропной.

В качестве примера в седьмом параграфе последней главы исследовано состояние равновесия в мембране с включением, моделирующим мебранный белок, когда он вызывает изменение фазового состояния в своей окрестности, и определено положение границы раздела фаз в зависимости от искажения, вызванного включением.

Научная новизна. В работе впервые сформулированы вариационные принципы для двухфазных нелинейно упругих тел в терминах функций напряжений.

В рамках нелинейной теории упругости вариационным методом исследованы задачи статики двухфазных упругих тел с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями и проанализировано их влияние на положение границы раздела фаз. Показано, что линейные дефекты типа дислокаций Вольтерра могут быть центрами возникновения новой фазы.

Методы исследования двухфазных состояний нелинейно упругих материалов обобщены на среды с микроструктурой в рамках теорий, использующих уравнения состояния с дополнительными степенями свободы. Получены условия термодинамического равновесия для микрополярных и микроморфных сред, жидких кристаллов, материалов с примесями.

Развита теория устойчивости упругих тел с моментными напряжениями, на примерах задач о поверхностной неустойчивости, толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.

На основе определяющих соотношений континуума Коссера с памятью общего вида предложена модель жидкой среды с моментными напряжениями, которая обобщает теорию вязкой микрополярной жидкости в той же степени^ в какой определяющие соотношения простой вяз-коупругой жидкости обобщают уравнения состояния ньютоновской жидкости. В рамках предложенной модели решен ряд о равновесии микрополярной жидкости, в том числе задача со свободной поверхностью, задача о дисклинациях, вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости, решены задачи о вискозиметри-ческих течениях вязкоупругой микрополярной жидкости (течения в канале, в; круглой трубе и между соосными вращающимися цилиндрами). Решена задача о конвективной неустойчивости плоского слоя тяжелой микрополярной жидкости, подогреваемого снизу.

В рамках прямого подхода в нелинейной теории микрополярных оболочек сформулировано оригинальное определение локальной группы симметрии, даны представления уравнений состояния для некоторых групп симметрии; в том числе для жидкой оболочки, получено условие существования слабых разрывных решений - волн ускорения и показано его совпадение с условием сильной эллиптичности уравнений равновесия, вариационным методом получены уравнения баланса на равновесной границе раздела фаз, включая термодинамическое условие, необходимое для определения положения межфазной? границы. Полученные результаты использованы для изучения напряженного состояния в клеточных мембранах.

Научная ш практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений в деформируемых телах, а также методов исследования нелинейных краевых задач математической физики с заранее неизвестными поверхностями типа задачи Стефана. Развитие механики сред с микроструктурой может оказаться полезным для описания поведения: новых функциональных материалов, в частности, наноматериалов, сплавов с памятью формы. Построение и исследование реологических моделей механики моментных жидких сред важно для задач трибологии; микрофильтрации, использования жидких кристаллов в электронике. Изучение деформаций многокомпонентных сред имеет большое значение для выращивания тонких пленок, кристаллов. Исследование потери устойчивости двухфазных тел важно для понимания процессов локализации деформаций и разрушения твердых тел, а также элементов; конструкций. Двумерные задачи механики оболочек, в том числе при учете фазовых превращений, могут быть использованы для проектирования микроэлекромеханических устройств (MEMS) (например, микронасосов), использующих тонкие пленки из сплавов с памятью формы, а также для понимания процессов активного транспорта в клеточных мембранах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения; использованием надежных и проверенных численных алгоритмов и программ,, получаемыми предельными переходами к известным случаям, качественным совпадением с результатами экспериментов.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Исследованы статические и квазистатические деформации двухфазных термоупругих тел на основе уравнений баланса механики сплошной среды и вариационных методов: из интегральных законов сохранения получены условия баланса на фазовых границах, даны вариационные формулировки задач равновесия двухфазных тел в напряжениях, исследованы фазовые превращения в телах с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинаци-ями, в том числе образование разрывов в телах с дефектами, решен ряд модельных задач;

3. На основе методов теории бифуркаций развита теория теория устойчивости нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения, в том числе и для сред с микроструктурой: решен ряд модельных задач, иллюстрирующих эффективность предложенной теории. Показано, что фазовые переходы существенно влияют на потерю устойчивости. Развита теория устойчивости упругих тел с моментными напряжениями, на примерах задач о поверхностной неустойчивости; толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.

4. В рамках гидромеханики вязкоупругой микрополярной жидкости: получены общие представления уравнений состояния, решен ряд задач равновесия (даны условия термодинамического равновесия фаз, изучено равновесие жидкости со свободной поверхностью и др.) и течения (вискозиметрические течения), а также устойчивости (переход Фредерикса, конвективная неустойчивость), демонстрирующих особенности предложенной модели по сравнению с моделями жидких кристаллов и вязкой микрополярной жидкости.

5. Развита механика микрополярных оболочек: сформулировано определение локальной группы материальной симметрии, даны представления уравнений состояния для некоторых групп симметрии, сформулированы дополнительные неравенства,. получены условия термодинамического равновесия фаз для оболочек, рассмотрены приложения к биофизике клеточных мембран.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на 1-8-й Межд. конференциях "Современные проблемы МСС" (Ростов-на-Дону, 1995,1996,1997,1998,1999, 2000, 2001, 2002); 15-й Межд. конференции "Матем. модели, методы потенциала и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 1996); Int. Symp. "Advances in Computational Heat Transfer" (Qesme, Turkey, 1997); 2nd and 3rd EUROMECH Solid Mechanics conferences (Genoa, 1994, Stockholm, 1997); ЛI! Белорусском конгрессе по теорет. и прикл. механике "Механика-99" (Минск, 1999); 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, Canada, 1999); Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1999); ICTAM-2000 (Chicago, 2000); 33rd Solid Mechanics conference (Zacopane, Poland, 2000); Школе-семинаре "Совр. проблемы механики и прикладн. математики", поев. 70-летию профессора Д.Д. Ивлева (Воронеж, 2000); XXVIII School "Actual Problems in Mechanics" (С.-Петербург, 2000); XXIX, XXX, XXXI Summer Schools "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ) (С.-Петербург, 2001, 2002, 2003); VIII Всероссийском съезде по теорет. и прикл. механике (Пермь, 2001); XIII Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 2002); 7th Symposium on Ferroelecticity (RCBJSF-7) (Санкт-Петербург, 2002); II Int. Workshop "Nucleation and non-linear problems in first-order phase transitions" (NPT'2002) (Санкт-Петербург, 2002); Межд. симпозиуме "Фазовые превращения в твердых растворах и сплава" (ОМА-2002) (Сочи, 2002); Международной школе-семинаре "Симметрия и коссиммет-рия в теории бифуркаций и фазовых переходов" (Сочи, 2002); XL межд. семинаре "Актуальн. пробл. прочности" (Великий Новгород, 2002); 7th Conference "Shell Structures Theory and Appl." (Gdansk-Jurata, Poland, 2002); Intern, conference in honour of Ray Ogden's 60th birthday. Modern Mechanics and Math. (Keel, UK, 2003); 3-й Всеросс. конференции по теории упругости (Азов, 2003).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре академика Н.Ф. Морозова (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2004), семинаре под руководством Р.В. Гольдштейна (ИПМ РАН, Москва, 2004), городском семинаре по механике в ИПМаш РАН под рук. Д.А. Индейцева (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2004), семинаре под руководством В.И. Кондау-рова (МФТИ, Долгопрудный, 2004), семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования в РГУ.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ 93-01-16497, 96-01-01283, 99-01-01019, 02-01-00879, 02-01-00529, 0401-00431), Минобразования РФ (КЦФЕ при СПбГУ) (JW Е00-4Ю-185, Е02-4.0-91), ФЦП "Интеграция" (Я0061/1358), CRDF (REC-004), Jozef Mianowski fund (Польша), ISF(№№ МТА000, МТА300).

Публикации и вклад автора. Материалы диссертации опубликованы в 54 работах, из которых 29 написаны совместно с другими авторами.

Работы [71]—[91], [110,111], [274]—[279] написаны в соавторстве. В работах [71]-[77], [277, 278, 279] J1.M. Зубову принадлежит постановка задачи и выбор некоторых методов исследования, в [74] помимо этого Л.М. Зубову принадлежит исследование условий консервативности, в [76, 110] Л.М. Зубову принадлежит вывод представления уравнений состояния микрополярных сред с памятью, в [81] Е.С. Никитину принадлежит решение о краевой дислокации, в [82]—[84], [276] Д.М. Сотниченко принадлежит решение задачи о движении плоского фронта, в [85, 86] Д.А. Суховым, проведены расчеты, в [75] автору принадлежат результаты о потере устойчивости двухфазных тел и тел с моментными напряжениямиj в [78, 111] автору принадлежат результаты о группе симметрии; о распространении волн ускорения, об условиях фазового равновесия, а также развитие моделей клеточных мембран, в [79, 80] автору принадлежит решение вариационным методом задачи об образовании полости и анализ влияния поверхностной энергии, в [87]—[91], [274] автору принадлежит разработка методов исследования устойчивости, а также проведение некоторых расчетов. В [275] В. Петрашкевичу принадлежит другой вывод условий фазового равновесия в оболочках.

Автор выражает искреннюю признательность и огромную благодар ность своему научному консультанту, проф. Л.М.Зубову за постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Исследованы статические и квазистатические деформации двухфазных термоупругих тел на основе уравнений баланса механики сплошной среды и вариационных методов: из интегральных законов сохранения получены условия баланса на фазовых границах, даны вариационные формулировки задач равновесия двухфазных тел в напряжениях, исследованы фазовые превращения в телах с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями, в том числе образование разрывов в телах с дефектами, решен ряд модельных задач.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Еремеев, Виктор Анатольевич, Ростов-на-Дону

1. Агранович Н.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. 1964. Т. 19. № 3. С. 53-161.

2. Альтпенбах X., Жилин П.А. Общая теория упругих простых оболочек// Успехи механики. 1988. Т. 11. Вып. 4. С. 107-148.

3. Анисимов М.А. Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах. М.: Наука, 1987. 272 с.

4. Арутюнян EX., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упруго-пластических тел. М.: Наука, 1987. 472 с.

5. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 311 с.

6. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т.2. т. С. 1399-1409.

7. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. Т.29. № 2. С. 297-308.

8. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Гидромеханика жидких кристаллов // Итоги науки и техники. Гидромеханика. Т. 7. М.: ВИНИТИ, 1973. С. 106-213.

9. Базаров И. П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1983. 344 с.

10. Балабух Л.И., Яковенко М.Г. Уравнения бифуркации равновесного изотропного тела в скоростях изменения лагранжевых координат // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 4. С. 694-702.

11. Баландин Г. Ф. Основы теории формирования отливки. Ч. 1. Тепловые основы теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М.: Машиностроение, 1976. 328 с.

12. Белова И.В., Овсянникова А.Л. Анализ влияния термоупругих напряжений на процесс кристаллизации шара в невесомости // ПМТФ. 1985. № 5. С. 117-122.

13. Беляев С.П., Волков А.Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. Справочн. изд./Под ред. Лихачева В.А. Т. 1. СПб: НИИХ СПбГУ, 1997. 424 с.

14. Беляев С.П., Волков А.Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. Справочн. изд./Под ред. Лихачева В.А. Т. 2. СПб: НИИХ СПбГУ, 1998. 374 с.

15. Беляев С.П., Волков А.Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. Справочн. изд./Под ред. Лихачева В.А. Т. 3. СПб: НИИХ СПбГУ, 1998. 474 с.

16. Беляев С.П., Волков А.Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. Справочн. изд./Под ред. Лихачева В.А. Т. 4. СПб: НИИХ СПбГУ, 1998. 268 с.

17. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

18. Бессонов Н.М., Аэро Э.Л. Моментная гидродинамическая теория трения // Трение и износ. 1993. Т. 14. № 1. С. 107-111.

19. Бойко B.C., Гарбер Р.И., Косевич A.M. Обратимая пластичность кристаллов. М.: Наука, 1991. 280 с.

20. Болотин В.В: Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука, 1961. 340 с.

21. Боярченко С.И., Зубов Л.М. Поверхностная неутойчивость упругого неоднородного тяжелого полупространства //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. № 1. С. 11 19.

22. Бригадное И.А. Теоремы существования для краевых задач гиперупругости// Матем. сб-к. 1996. Т. 187. № 1. С. 3-16.

23. Бригадное И.А. О существовании предельной нагрузки в некоторых задачах гиперупругости// Изв. РАН. МТТ. № 5. С. 46-51.

24. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

25. Вакуленко А.А. Связь микро- и макросвойств в упругопластиче-ских средах// Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 22. С. 3-54.

26. Вакуленко А.А. О микро- и макрокинетике мартенситных превращений // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 5. С. 43-62.

27. Вит де Р. Континуальная теория дислокаций. М.: Мир, 1977. 208 с.

28. Волевич JI.P. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Матем. сборник. 1965. Т. 68. Вып. 3. С. 373-416.

29. Волков А.Е. Микроструктурное моделирование деформационных процессов в сплавах с памятью формы // Автореф. дисс. д. ф.-м.н. СПб, 2003. 32 с.

30. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Казанск. гос. ун-т, 1975. 326 с.

31. Гетц И.Г., Мейрманов A.M., Шеметов Н.В. Феноменологическая модель фазовых переходов первого рода в деформируемой упругой среде // ПМТФ. 1987. № 6. С. 43-50.

32. Геннис Р. Биомембраны. Молекулярная структура и функции. М.: Мир, 1997. 624 с.

33. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

34. Гиббс Дою.В. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. 584 с.

35. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

36. Грекова Е. Ф., Жилин П. А. Уравнения нелинейных упругих полярных сред// Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. С. 24-46.

37. Григолюк Э.И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 359 с.

38. Грин А., Адкинс Д. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.

39. Гринфельд М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251. № 4. С. 824-827.

40. Гринфельд М.А. О двух типах гетерогенных фазовых равновесий // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258. № 3. С. 567-569.

41. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука, 1990. 312 с.

42. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. К.: Вища школа, 1986. 511 с.

43. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Дефекты и механизмы пластичности в наноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: "Янус", 2003. 194 с.

44. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 1. Нанокристаллические материалы. СПб. 2003. 194 с.

45. Гурвич Е.А. Условие Адамара в нелинейной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 1. С. 45-51.

46. Динариев О.Ю., Николаевский В.Н. Определяющие соотношения для вязкоупругой среды с микровращениями // ПММ. 1997. Т. 61. № 6. С. 1023-1030.

47. Дъярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974. 304 с.

48. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб, 1999. 341 с.

49. Еремеев В.А. Устойчивость двухслойной нелинейно-упругой сферической оболочки //Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1990. т. С. 55-58.

50. Еремеев В.А. Выпучивание нелинейно-упругой, плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учетом фазового перехода // ПМТФ. 1991. № 3. С. 141-147.

51. Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент, и прикл. проблемны деформируемых сред и конструкций. Тр. межвуз. научн. программы. Вып. 1. 1993. Н.-Новгород. С. 187-193.

52. Еремеев В.А. Условия фазового равновесия в напряжениях для плоской задачи нелинейной теории упругости //Межвузовский сб-к "Интегро-дифференциальные операторы и их приложения". Ростов н/Д. Изд-во ДГТУ. 1996. С. 69-72.

53. Еремеев В.А. Вариационные принципы для нелинейно упругих тел с жидкими включениями // Труды 2 Межд.конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.2. Ростов н/Д. МП "Книга". 1996. С. 63-67.

54. Еремеев В.А. Равновесие и устойчивость микронеоднородных упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Матем. моделирование. 1997. Т. 9. № 2. С. 66-69.

55. Еремеев В.А. Фазовые превращения в нелинейно-термоупругих телах с учетом диффузии примесей// Труды 3 Межд.конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.1. Ростов н/Д.: МП "Книга". 1997. С. 128-133.

56. Еремеев В. А. Равновесие двухфазного цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений // Труды 3 Межд.конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.1. Ростов н/Д: МП "Книга". 1997. С. 134-137.

57. Еремеев В.А. Некоторые задачи устойчивости микрополярной жидкости, находящейся в магнитном поле// Труды 4 Межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.1. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ. 1999. С. 137-141.

58. Еремеев В.А. Некоторые задачи устойчивости равновесия упругой микрополярной жидкости// Тез. II Белорусского конгресса по теорет. и прикл. Механике "Механика-99"Минск. Беларусь. 2830.06.1999. Гомель: ИММ НАНБ, 1999. С. 153-154.

59. Еремеев В.А. Условия дополнительности краевых условий в нелинейной теории упругости // Воронежская весенняя математическаяшкола "Современные методы в теории краевых задач", 1999. Тез. докл. Воронеж. С. 131.

60. Еремеев В.А. О вариационных принципах для упругих тел с жидкими включениями при конечных деформациях// Совр. проблемы механики и прикладн. математики. Тр. школы-семинара, поев. 70-летию профессора Ивлева Д.Д. Воронеж, 25-30.09.2000. Ч. 1. С. 144-148.

61. Еремеев В.А. Об эллиптичности краевых задач нелинейной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 67-72.

62. Еремеев В.А. Некоторые задачи со свободными границами в деформируемых пористых средах // Матем. моделирование. 2001. Т. 13. № 2. С. 99-102.

63. Еремеев В.А. Фазовые превращения в оболочках Коссера // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. С. 64-67.

64. Еремеев В.А. Фазовые превращения в сильно деформированных нематических жидких кристаллах // Математ. моделирование систем и проц. 2002. Вып. 10. С. 26-31.

65. Еремеев В.А. Моделирование фазовых превращений в нелинейно упругих телах с распределенными дислокациями// Тез. докл. XIII Петербургских чтений по проблемам прочности. 12-14,03.2002. Санкт-Петербург. С. 77.

66. Еремеев В.А. Моделирование фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах// Труды Межд. симп. "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах"(ОМА-2002). 4-7.09.2002. Сочи. Ч. 1. Ростов-на-Дону: Изд-во РГПУ, 2002. 164 с. С. 95.

67. Еремеев В.А. Модель фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах// Журнал физической химии. 2003. Т. 77. №10. С. 1863-1865.

68. Еремеев В.А. О распространении волн слабого разрыва в средах с микроструктурой //Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. 2004. С. 37-46.

69. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел с полостями, содержащими жидкость// ПММ. 1987. Т.51. Вып.З. С. 453-457.

70. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения// Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 2. С. 56-65.

71. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Докл. АН (Россия). 1992. Т. 322. № 6. С. 1052-1056.

72. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 3. С. 181-190.

73. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 1. С. 42-46.

74. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Теория упругих и вязкоупругих микрополярных жидкостей // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 801-815.

75. Еремеев В.А., Зубов JI.M. Нелинейные проблемы механики сред, испытывающих фазовые превращения// Аннотации докладов. VIII Всероссийский съезд по теорет. и прикл. механике. Пермь. 2329.08.2001. С. 247.

76. Еремеев В.А., Зубов JI.M. Общая нелинейная теория упругих микрополярных оболочек// Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. С. 124-169.

77. Еремеев В.А., Зубов JI.M., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дис-клинациями //Докл. АН (Россия). 1992. Т. 326, № 6. С. 968-971.

78. Еремеев В.А., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Сингулярные решения нелинейной теории упругости //Вопросы физики и механики материалов /Под ред. Лихачева В.А., Новгород, 1992. С. 57-68.

79. Еремеев В.А., Никитин Е.С. Фазовые превращения в упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Докл. АН (Россия). 1995. Т. 345. № 2. С. 188-192.

80. Еремеев В.А., Сотниченко Д.М. О распространении фронта фазового превращения в упругих телах //Труды 2 Межд.конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т.1. Ростов н/Д: МП "Книга". 1996. С. 43-47.

81. Еремеев В. А., Сотниченко Д.М. Некоторые задачи о фазовых превращениях в деформируемых средах при конечных деформациях// Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. С. 52-74.

82. Еремеев В.А., Сотниченко Д.М. Фазовые превращения в нелинейно упругих телах примесями// Труды XXIX Летней школы "Актуальные проблемы механики" АРМ 2001. 21-30.06.2001. Санкт-Петербург (Репино). ИПМаш РАН. 2002. С. 676-687.

83. Еремеев В.А., Сухов Д. А. О конвективной неустойчивости вязко-упругой микрополярной жидкости// Тр. Международной школы-семинара "Симметрия и коссимметрия в теории бифуркаций и фазовых переходов" 27.08-2.09.2002. Сочи. С. 55-59.

84. Еремеев В.А., Сухов Д.А. Конвективная неустойчивость плоского слоя вязкоупругой микрополярной жидкости со свободными границами//!^. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 4. С. 24-27.

85. Еремеев В.А., Фрейдин А.В., Шарипова JI.JI. О центрально-симметричных двух-фазных полях деформаций// Пробл. мех. де-форм. тв. тела. Межвуз. сб-к к 70-летию акад. Морозова Н.Ф. СПб: Изд-во СПБГУ. 2002. 318 с. С. 111-122:

86. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел// Докл. АН (Россия). 2003. Т. 391. Ж2. С. 189-193.

87. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: МГУ, 1999. 328 с.

88. Жен де П. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1982. 304 с.

89. Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1982. JV« 386. С. 29-46.

90. Зеленин А.А., Зубов Л.М. Ветвление решений статических задач нелинейной теории упругости // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 275292.

91. Зеленин А. А., Зубов Л.М. Поведение толстой круглой плиты после потери устойчивости // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 4. С. 642-650.

92. Зеленина А.А., Зубов Л.М. Нелинейная теория чистого изгиба призматических упругих тел If ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 416424.

93. Зубов Л.М. Принцип стационарности дополнительной работы в нелинейной теории упругости // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 241245.

94. Зубов Л.М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 3. С. 406-410.

95. Зубов JI.M. Вариационные, принципы нелинейной теории упругости. Случай наложения малой деформации на конечную // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 5. С. 848 852.

96. Зубов JI.M. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 1. С. 85-95.

97. Зубов Л. М. Статико-геометрическая аналогия и вариационные принципы в нелинейной безмоментной теории оболочек // Тр. 12 Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Ереван: Изд-во Ерев. ун-та, 1980. С. 171-176.

98. Зубов Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1982. 144 с.

99. Зубов Л. М. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дис-клинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 139-145.

100. Зубов Л.М. Вариационные принципы и инвариантные интегралы для нелинейно-упругих тел с моментными напряжениями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 10-16.

101. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклина-ции в упругих оболочках // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6. С. 102-110.

102. Зубов Л.М. Общие решения нелинейной статики упругих оболочек // Докл. АН (Россия). 2002. Т. 382. № 1. С. 58-61.

103. Зубов М О теории равновесия нелинейно упругих оболочек // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. СпецвыIпуск. Математическое моделирование. С. 85-89.

104. Зубов Л.М. О больших деформациях изгиба и кручения упругих оболочек, имеющих форму винтовой поверхности // Пробл. мех. деформ. тверд, тела: Межвуз. сб-к к 70-летию акад. Морозова Н.Ф. СПб: изд-во СПбГУ, 2002. С. 130-136.

105. Зубов Л.М., Еремеев В.А. Уравнения вязкоупругой микрополярной жидкости// Докл. АН (Россия). 1996. Т. 351. № 4. С. 472-475.

106. Зубов Л.М., Еремеев В.А. Механика упругих микрополярных оболочек// Дальневосточный математический журнал. 2003. Т. 41 № 2. С. 182-225.

107. Зубов Л. М., Карякин М. И. Дислокации и дисклинации в нелинейно упругих телах с моментными напряжениями // ПМТФ. 1990. № 3. С. 160-167.

108. Зубов Л.М., Рудев А.И. Эффективный способ проверки условия Адамара для нелинейно-упругой сжимаемой среды // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 2. С. 296-305.

109. Зубов Л.М., Рудев А.Н. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6. С. 21-31.

110. Зубов Л.М., Рудев А.Н. Об условиях существования продольных волн в анизотропной нелинейно-упругой среде // Докл. АН (Россия). 1994. Т. 334. Ш 2. С. 156-158.

111. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О необходимых и достаточных признаках эллиптичности уравнений равновесия нелинейно-упругой среды //ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. С. 209-223.

112. Зубов Л.М., Филиппова Л)М. Теория оболочек с непрерывно распределенными дислокациями // Докл. АН (Россия). 1995. Т. 344. № 5. С. 619-622.

113. Ивенс И., Скейлак Р. Механика и термодинамика биологических мембран. М.: Мир, 1982. 304 с.

114. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев, 1979. 216 с.

115. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб: СПбГУ, 2002. 388 с.

116. Кагава Ясуо. Биомембраны. М.: Высшая школа, 1985. 303 с.

117. Каганова И.М., Ройтбурд А.Л. Равновесие упруго взаимодействующих фаз // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. Вып. 6. С. 156-173.

118. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М., 1960.

119. Кац Е.И., Лебедев В.В. Динамика жидких кристаллов. М.: Наука, 1988. 144 с.

120. Каюк Я. Ф., Жуковский А.П. К теории пластин и оболочек на основе концепции поверхностей Коссера // Прикладн. механика. 1981. Т. XVII. № 10. С. 80-85.

121. Каюк Я. Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1987. 208 с.

122. Киндерлерер Д., Стампакъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

123. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: МГУ, 1986, 224 с.

124. Колпак Е.П. Устойчивость' безмоментных оболочек при больших деформациях. СПб: СПбГУ, 2000. 248 с.

125. Кондауров В.И. Кинетика фазовых переходов 1 рода в термоупругом материале // Докл. АН (Россия). 2004. Т. 396. № 2.

126. Кондауров В.И. Уравнение Клайперона-Клаузиуса для фазовых переходов первого рода в термоупругом материале // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 1. С. 73-90.

127. Кондауров В.И., Никитин JI.B. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. № 6. С. 1348-1351.

128. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Фазовые переходы первого рода в упруговязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 4. С. 130-139.

129. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях / Матем. методы мех. деформ. твер. тела. М.: Наука, 1986. С. 56-63.

130. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. М.: Изд-во МФТИ, 2002. 336 с.

131. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103 с.

132. Кубланов Л.Б., Фрейдин А.Б. Зародыши твердой фазы в деформируемых материалах // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 493-501.

133. Кукушкин С.А., Осипов А.В. Процессы конденсации тонких пленок// УФН. 1998. Т. 168. Вып. 10. С. 983-1014.

134. Кукушкин С.А., Осипов А.В. Рост, структура и морфологическая устойчивость зародышей, растущих из расплавов эвтектического состава// ФТТ. 1997. Т.39. №8. С. 1464-1469.

135. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 416 с.

136. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10-ти т. Т.

137. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

138. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10-ти т. Т.

139. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

140. Левин В. А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах// М.: МАИК Наука. Физматлит. 1999. 224 с.

141. Левитас В.И. Термодинамика фазовых переходов и неупругого деформированияя микронеоднородных материалов. Киев: Наукова думка, 1992. 248 с.

142. Лейбензон Л. С. Собрание трудов: в 4-х т. Т. 4. Гидроаэромеханика. Геофизика. М.: АН СССР, 1955. 400 с.

143. Лихачев В.А. Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Л.: ЛГУ, 1987. 216 с.

144. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. СПб: Наука, 1993. 471 с.148149150151152153154155156157

145. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.

146. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

147. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

148. Лурье А.И. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 2. С. 2334.

149. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

150. Любое Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1980. 512 с.

151. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Н.: Наука, 1986. 240 с.

152. Мигун Н.П., Прохоренко П. П. Гидродинамика и теплообмен градиентных течений микроструктурной жидкости. Минск: Наука и техника, 1984. 264 с.

153. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в моментной теории упругости // Механика. 1964. № 4/86. С. 80-114.

154. Михайлин А.И., Романов А.Е. // ФТТ. 1986. Т. 28. Вып. 2. С. 601603.

155. Михайловский Е.И., Торопов А.В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 1995. 251 с.

156. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 1. С. 197-205.

157. Мовчан А.А. Выбор аппроксимации фазовой диаграммы и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 2. С. 173-181.

158. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 136-144.

159. Мовчан А.А. Учет переменности модулей и влияния напряжений на фазовый состав в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 79-90.

160. Мовчан А.А. Некоторые приложения механики материалов, испытывающих термоупругие фазовые превращения // Мех. композ. материалов и констр. 1999. Т. 5. № 4. С. 87-108.

161. Мовчан А. А., Силъченко Л.Г. Устойчивость стойки Шенли при ползучести или при прямом термоупругом превращении // Мех. композ. материалов и констр. 2000. Т. 6. № 1. С. 89-102.

162. Мовчан А.А., Силъченко Л.Г. Устойчивость стержня, претерпевающего прямое или обратное мартенситное превращение под действием сжимающих напряжений // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 3.

163. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М;: Наука, 1984. 256 с.

164. Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 38-41.

165. Морозов Н. Ф., Осмоловский В.Г. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // ПММ. 1994. Т. 58. № 5. С. 125-132.

166. Морозов Н. Ф., Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. РАН. 1996. Т. 346. № 2. С. 188-191.

167. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. матем. ин-та им. В.А.Стеклова. 1998. Т. 223. С. 220282.

168. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах // Докл. АН (Россия). 2001. Т. 380. № 5. С. 1-3.

169. Мясников В.П., Гузев М.А., Ушаков А.А. Структурное описание материалов// Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. С. 256-265.

170. Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 52-71.

171. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Госте-хиздат, 1948. 211 с.

172. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судостроение, 1962. 430 с.

173. Новожилов В. В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

174. Новожилов В. В., Шамина В. А. О кинематических граничных условиях в задачах нелинейной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 5. С. 63-74.

175. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

176. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. СПб: СПбГУ, 2000. 262 с.

177. Палъмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т.28. Вып.З. С. 401-408.

178. Палъмов В.А. О напряжениях, возникающих при затвердевании материалов // Инж. журн. Мех. тв. тела. 1967. № 4. С. 80-85.

179. Палъмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1979. 328 с.

180. Погорелое А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. 279 с.

181. Подстригай Я.С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985. 200 с.

182. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

183. Ройтбурд А. Л. Теория формирования гетерофазной структуры при фазовых превращениях в твердом теле // УФН. 1974. Т. 113. Вып. 1. С. 69-104.

184. Ройтбурд А.Л. Равновесие фаз в твердом теле// ФТТ. 1986. Т. 28. ДО 10. С. 3051-3054.

185. Ройтбурд А.Л., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. Итого науки и техники. Металловедение и термообработка. ВИНИТИ. М. 1968.

186. Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2-х т. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

187. Сенсениг К. Некоторые задачи о выпучивании в нелинейной теории упругости // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 181-193.

188. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1987. 320 с.

189. Спенсер А. Теория инвариантов. М.: Мир, Перевод: Spencer A.J.M. Theory of invariants. In: Continuum Physics, Vol. 1. A.C. Eringen (ed), Academic Press. New-York. 1971.P. 292-307.

190. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.

191. Та Нгок Кау. Некоторые математические аспекты модели микрополярной жидкости //Автореф. дисс. к. ф.-м.н. Ростов-на-Дону, 1990. 22 с.

192. Такетоми С., Тикадзуми С. Магнитные жидкости. М.: Мир, 1983. 272 с.

193. Татпарченко В.А. Устойчивый рост кристаллов. М.: Наука, 1988. 240 с.

194. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.

195. Товстпик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

196. Томилин М.Г. Взаимодействие жидких кристаллов с поверхностью. СПб.: Политехника, 2001. 325 с.

197. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. М.: Мир, 1975. 592 с.

198. Трускиновский Л.М. Равновесные межфазные границы // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265. № 2. С. 306-310.

199. Фертман В.Е. Магнитные жидкости. Мн.: Высш. школа, 1988. 184 с.

200. Физическая энциклопедия. Т. 2. М.: Советская энциклопедия, 1990. С. 31-36.

201. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159 с.

202. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.: Мир, 1989. 312 с.

203. Фрейдин А.Б. Трещины серебра и полосы сдвига в стеклообразных полимерах как слои новой фазы // Мех. композ. мат. 1989. № 1. С. 3-10.

204. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих материалах Ч. 1. Основные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 4. С. 91-109.

205. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих материалах Ч. 2. Несжимаемые материалы, зависящие от одного из инвариантов тензора деформаций // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 5. С. 52-71.

206. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 536 с.

207. Хатгпер К., Вильяме Ф. Теория плавающих ледяных пластин / Физика и механика льда. М.: Мир, 1987. G. 140-151.

208. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы. М.: Мир, 1980. 344 с.

209. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 1. Л.: ЛГУ, 1962. 274 с.

210. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 2. Л.: ЛГУ, 1964. 396 с.

211. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. М.: Машиностроение, 1986. 336 с.

212. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988 с.

213. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 288 с.

214. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 1. Теория. СПб: 1999. 276 с.

215. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: ЛГУ, 1988. 256 с.

216. Черных К. Ф., Шамина В. А. Некоторые вопросы нелинейной классической теории тонких стержней и оболочек // Тр. IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Л. 1975. С. 99-103.

217. Шарапова Л.Л., Еремеев В.А., Фрейдин А.Б. Об устойчивости упругого двухфазного шара // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спец.вып. Матем. моделирование. 2001. С. 166-168.

218. Шарипова Л.Л., Еремеев В.А., Фрейдин А.Б. Фазовые превращения и устойчивость деформируемых тел // Тр. Международной школы-семинара "Симметрия и коссимметрия в теории бифуркаций и фазовых переходов"27.08-2.09.2002. Сочи. С. 149-152.

219. Шейнерман А.Г., Гуткин М.Ю. Упругие поля винтовой суперисло-кации с полым ядром (трубки), перпендикулярной свободной поверхности кристалла// ФТТ. 2003. Т. 45. Вып. 9. С. 1614-1620.

220. Шкутин Л.И. Нелинейные модели деформируемых моментных сред // ПМТФ. 1980. К0- б. С. 111-117.

221. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. Н.: Наука, 1988. 127 с.

222. Шкутин Л.И. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел// ПМТФ. 1996. Т. 37. Ш 3. С. 120132.

223. Эриксен Дж. Статика жидких кристаллов // В кн. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1997. С. 46-123.

224. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.

225. Abeyaratne R., Нои H.-S. On the occurence of the cavitation instability relative to the asymmetric instability under symmetric dead-load conditions // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991. Vol. 44. P. 429-449.

226. Abeyaratne R., Knowles J.K. Kinetic relations and the pahse propagation of phase boundaries in solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. Vol. 114. N 2. P. 119-154.

227. Abeyaratne R., Knowles J.K. Implication of viscosity and strain-gradient effects for the kinetics of propagating phase boundaries in solids // SIAM J. Appl. Math. 1991. Vol. 38. N 5. P. 345-360.

228. Abeyaratne R., Knowles J.K. Jn the propagation of maximally dissipative phase in solids// Quart. Appl. Math. Vol. 50. N 1. P. 149172.

229. Abeyaratne R., Knowles J.K. Nucleation, kinetics and admissibility criteria for propagating phase boundaries/ In Shock induced transitions and phase structures in general media. IMA Vol. Math. Appl. 1993. Vol. 52. P. 1-33.

230. Abeyaratne R., Knowles J.K. Dynamics of propagating phase boundaries: Thermoelastic solids with heat conduction//Arch. Rat. Mech. Anal. 1994. Vol. 126. N 3. P. 203-230.

231. Abeyaratne R., Knowles J.K. Dynamics of propagating phase boundaries: adiabatic theory for thermoelastic solids// Phys. D. 1994. Vol. 79. N 2-4. P. 269-288.

232. Abeyaratne R., Knowles J.K. Impact-induced phase transitions in thermoelastic solids// Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1997. 355. No 1726. P. 843-867.

233. Abeyaratne R., Knowles J.K. On an integrodifferential equation arising in a theory of phase transitions in solids// Quart. Appl. Math. 1997. Vol. 55. N 4. P. 761-767.

234. Adeleke S.A. On symmetry of shells// J. Elast. 1983. Vol. 13. P. 111119.

235. Allen S.J., de Silva C.N., Kline K.A. A theory of simple deformables directed fluids // Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. № 12. P. 2551-2555.

236. Antman S.S. Nonlinear problems of elasticity. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 1995. 751 pp.

237. Ball J. M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in nonlinear elasticity// Phil. Trans. Soc. London A. 1982. Vol. 306. № 1496. P. 557-611.

238. Ball J. M. Dynamic energy minimization and phase transformations in solids/ ICIAM 91. (Washington, DC, 1991), SIAM, Philadelphia, PA, 1992. P. 3-14.

239. Ball J.M., James R.D. Fine phase mixtures as minimizers of energy // Arch. Ration. Mech. Anal. 1987. Vol. 100. P. 13-52.

240. Biot M.A. Mechanics of incremental deformations. New York: Willey, 1965. 506 p.

241. Bhattacharya K., Kohn R.V. Elastic energy minimization and the recoverable strains of polycrystalline shape-memory materials// Arch. Rat. Mech. Anal. 1997. Vol. 139. P. 99-180.

242. Bhattacharya K., James R.D. A theory of thin films of martensitic materials with applications to microactuators// Arch. Rat. Mech. Anal. 1999. Vol. 139. P. 99-180.

243. Boulbitch A. A. Equations of heterophase equilibrium of a biomembrane //Archive of Applied Mechanics. 1999. Vol. 69. P. 83-93.

244. Boulbitch A.A. Enforced unbinding of biomembranes whose mutual adhesion is mediated by a specific interaction //Eur. Biophys. J. 2003. Vol. 31. P. 637-642.

245. Bowen R.M. Toward a thermodynamics and mechanics of mixtures// Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. Vol. 24. № 5. P. 370-403.

246. Carrol M.M., Naghdi P.M. The influence of the reference geometry on the response of elastic shells// Arc. Rat. Mech. Anal. 1972. Vol. 48. P. 302-318.

247. Cermelli P. A one-dimensional model for incoherent phase changes. Microstructure and phase transitions in solids (Udine, 1994)// Meccanica. 1995. Vol. 30. № 5. P. 567-575.

248. Cermelli P., Gurtin M.E. The dynamics of solid-solid phase transitions. 2. Incoherent interfaces// Arch, ration. Mech. Anal. 1994. Vol. 127. P. 41-99.

249. Chen Y.-C. On strong ellipticity and the Legendre-Hadamard condition// Arch. Ration. Mech. Anal. Vol. 113. P. 165-175.

250. Chen Y.-C., Lagoudas D.C. Impact induced phase transformation in shape memory alloys// J. Mechanics and Physics of Solids. 2000. Vol. 48. P. 275-300.

251. Chillinworth D.R.J., Marsden J.E., Wan Y.H. Symmetry and bifurcation in three-dimensional elasticity. Part. I.// Arch. Ration. Mech. Anal. 1982. Vol. 80. P. 295-331.

252. Chillinworth D.R.J., Marsden J.E., Wan Y.H. Symmetry and bifurcation in three-dimensional elasticity. Part. II.// Arch. Ration. Mech. Anal. 1983. Vol. 83. P. 363-395.

253. Chroscielewski J. Rodzina elementow skoriczonych klasy C° w nieliniowej szescioparametrowej teorii powlok // Zesz. Nauk. Politechniki Gdanskiej. 1996. Vol. LIII. № 540. P. 1-291.

254. Chroscielewski J., Makowski J. and Stumpf H. Finite element analysis of smooth, folded and multi-shell structures// Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1997. Vol. 141. P. 1-46.

255. Chroscielewski J., Makowski J. and Pietraszkiewicz W. Non-linear dynamics of flexible shell structures// Сотр. Assisted Mech. Engng. Sci. 2002. Vol. 9. P. 341-357.

256. Chroscielewski J., Makowski J., Pietraszkiewicz W. Statics and Dynamics of Multifold Shells, Non-linear Theory and Finite Element Method (in Polish). Warszawa, 2004.

257. Cohen H., Wang C.-C. A mathematical analysis of the simplest direct models for rods and shells// Arc. Ration. Mech. Anal. 1989. Vol. 108. No 1. P. 35-81.

258. Cosserat E. et F. Theorie des corps deformables. Paris, 1909. vi+226 pp. (Appendix, pp. 953-1173 of Chwolson's Traite de Physicue. 2nd ed., Paris).

259. De Groot S., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. Amsterdam: North-Holand. 1962.

260. De Silva C.N., Kline K.A. Nonlinear constitutive equations for directed viscoelastic materials with memory // Z. Angew. Math, and Phys. 1968. Vol. 19. № 1. P. 128-139.

261. Divya Chopra, Charles Haynes, Savvas G. Hatzikiriakos, Dimitris Vlassopoulos. Modeling the shear-induced structural changes in polymeric fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1999. Vol. 82. P. 367-385.

262. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. The nonlinear theory of elastic shells with phase transitions //J. Elasticity. 2004. Vol. 74(1). P. 6786.

263. Eremeyev V.A., Sotnichenko D.M. On phase transformation front propagation in elastic bodies // Proc. of Int. Symp. "Advances in Computational Heat Transfer", Qesme, Turkey, May 26-30, 1997. Begel House Inc. 1998. P. 516-523.

264. Eremeyev V.A., Zubov L.M. On the theory of static stability of elastic bodies with couple stresses// Proc. 33rd Solid Mechanics conference (Zacopane, Poland, September 5-9, 2000). Volume of abstracts. Pp. 165-166.

265. Eremeyev V.A., Zubov L.M. On the stability of elastic bodies with microstructure//1СТАМ-2000. Abstract book 20f/l Int. Congress of Theor. Appl. Mech. Chicago. P. 15.

266. Eremeyev V.A., Zubov L.M. Nonlinear elastic shells with microstructure and applications to the biomembranes// Abstr. XXX Summer school "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2002). P. 4142.

267. Ericksen J.L. Symmetry transformations for thin elastic shells// Arch. Ration. Mech. Anal. 1972. Vol. 47. P. 1-14.

268. Ericksen J.L. Apparent symmetry of certain thin elastic shells// J. Mecanique. 1973. Vol. 12. No 1. P. 12-18.

269. Eriksen J.L. Some phase transitions in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. Vol. 73. № 2. P. 99-124.

270. Eriksen J.L. Twinning of crystals / Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S.Antman, J.L.Eriksen, D.Kinderleher, I.Muller. IMA Vol. Math. Appl. 1987. Vol. 3. P. 77-93.

271. Eriksen J.L. Weak martensitic transformations in Bravais lattices// Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. Vol. 107. P. 23-36.

272. Eriksen J.L. Bifurcation and martensitic transformations in Bravais lattices// J. Elast. 1992. Vol. 28. P. 55-78.

273. Eriksen J.L. Twinning theory for some Pitteri neighborhoods // Continuum Mech. Thermodyn. 2002. Vol. 14. P. 249—262.

274. Eringen A.C. Theory of micropolar fluids// J. Math. Mech. 1966. Vol. 16. № 1. P. 1-18.

275. Eringen A.C. Linear theory of micropolar viscoelasticity// Int. J. Eng. Sci. 1967. Vol. 5. № 2. P. 191-204.

276. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundations and Solids. Berlin,. Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 1999. 325 pp.

277. Eshelby J.D. The force on an elastic singularity// Phil. Trans. Royal. Soc. London. A244. P. 87-112.291 . Eshelby J.D. The elastic energy-momentum tensor // J. Elasticity. 1975. Vol. 5. № 4. P. 321-335.

278. Fonseca I. Interfacial energy and the Maxwell rule// Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. Vol. 106. P. 63-95.

279. Fonseca I. Phase transitions in elastic solid materials // Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. Vol. 107. P. 195-223.

280. Fosdick R., Royer-Carfagni G.F. Alloy separation of a binary mixture in a stressed elastic sphere//J. Elasticity. 1996. Vol. 42. P. 49-77.

281. Fosdick R.L., Zhang Y. A structured phase transition for the antiplane shear of an elastic circular tube// Q. J. Mech. Appl. Math. 1995. Vol. 48. Pt. 2. P. 189-210.

282. Freidin A.B. Two-phase deformation fields and ellipticity of nonlinear elastic materials// Proceed, of the XXVIII Summer School "Actual Problems in Mechanics", St.Petersburg, June 1-10, 2000. St.Petersburg, 2001. Vol. 1. P. 219-235.

283. Freidin A.B., Vilchevskaya E.N., Sharipova L.L. Two-phase deformations within the framework of phase transition zones //Theor. and Apllied Mech. 2002. № 28-29. P. 149-172.

284. Greenberg J.M. Elastic phase transitions: a new model // Phys. D. 1997. Vol. 108. № 3. P. 209-235.

285. Grekova E., Zhilin P. Basic equations of Kelvin's medium and analogy with ferromagnets // J. Elasticity. 2001. Vol. 64. P. 29—70.

286. Gurtin M.E. An introduction to continuum mechanics. Mathematics in Science and Engineering, 158. Academic Press, Inc. New York-London, 1981. xi-1-265 pp.

287. Gurtin M.E. Two-phase deformation of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1983. Vol. 84. № 1. P. 1-29.

288. Gurtin M.E. On a theory of phase transitions with interfacial energy// Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. Vol. 87. №3. P. 187-212.

289. Gurtin M.E. On phase transitions with bulk, interfacial and boundary energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. Vol. 96. ДО 3. P. 243-264.

290. Gurtin M.E. Toward a nonequilibrium thermodynamics of two-phase materials// Arch. Rational Mech. Anal. 1988. Vol. 100. ДО 3. P. 275-312.

291. Gurtin M.E. Multiphase thermomechanics with interfacial structure. I. Heat conduction and the capillary balance law// Arch. Rational Mech. Anal. 1988. Vol. 104. ДО 3. P. 195-221.

292. Gurtin M.E. A mechanical theory for crystallization of a rigid solid in a liquid melt; melting-freezing waves// Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. Vol. 110. ДО 4. P. 287-312.

293. Gurtin M.E. On thermomechanical laws for the motion of a phase interface// Z. Angew. Math. Phys. 1991. Vol. 42. ДО З. P. 370-388.

294. Gurtin M.E. The dynamics of solid-solid phase trnsitions. 1. Coherent interfaces// Arch. Rat. Mech. Anal. 1993. Vol. 123. P. 305-335.

295. Gurtin M.E. Thermomechanics of evolving phase boundaries in the plane. Oxford: Clarendon-Press. 1993. xi+149 pp.

296. Gurtin M.E. The characterization of configuration force// Arch. Rat. Mech. Anal. 1994. Vol. 126. P. 387-394.

297. Gurtin M.E. The nature of configurational forces// Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. Vol. 131. P. 67-100.

298. Gurtin M.E. Configurational forces as basic concepts of continuum physics. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 2000. xiv+249 pp.

299. Gurtin М.Е., Podio-Guidugli P. On the formulation of mechanical balance laws for structured continua// Z. Angew. Math. Phys. 1992. Vol. 43. № 1. P. 181-190.

300. Gurtin M.E., Podio-Guidugli P. On configurational inertial forces at a phase interface // J. Elasticity. 1996. Vol. 44. № 3. P. 255-269.

301. Gurtin M.E., Podio-Guidugli P. Configurational forces and the basic laws for crack propagation// J. Mech. Phys. Solids. 1996. Vol. 44. № 6. P. 905-927.

302. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces// Arch. Ration. Mech: Anal. 1975. Vol. 57. P. 291-323.

303. Gurtin M. E., Spector S. On stability and uniqueness in finite elasticity Arch. Ration. Mech. Anal. 1979. Vol. 57. P. 153-165.

304. Gurtin M. E., Struthers A. Multiphase thermomechanics with interfa-cial structure. 3. Evolving phase boundaries in the presence of bulk deformation // Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. Vol. 2. № 2. P. 97-160.

305. Gurtin M.E., Voorhees P.W. The continuum mechanics of coherent two-phase elastic solids with mass transport// Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1993. Vol. 440. № 1909. P. 323-343.

306. Gurtin M.E., Williams W.O. Phases of elastic materials // ZAMP. 1967. Vol. 18. №1. P. 132-135.

307. Gutkin М. Yu. Nanoscopics of dislocations and disclinations in gradient theories // Rev. Adv. Mater. Sci. 2000. Vol. 1. R 27-60.

308. Gutkin M.Yu., Sheinerman A.G. Elastic interaction of micropipes in crystals//Phys. Stat. Sol. 2002. Vol. 231. № 2. P. 356-372.

309. Gutkin M.Yu. et al. Ramification of micropipes in SiC crystals //J. Appl. Phys. 2002. Vol. 92. № 2. P. 889-894. .

310. Gutkin M.Yu. et al: Micropipe evolution in silicin carbide// Appl. Phys. Letters. 2003. Vol. 83. №11. P. 2157-2159.

311. Gutkin M.Yu. et al. Synchrotron radigraphic study and computer simulation of reactions between micropipes in silicone carbide // J. Appl. Phys. 2003. Vol. 94.№11. P. 7076-7082.

312. Hill R. On uniquenes and stability in theory of finite elastic strain// J. Mech. Phys. Solids. Vol. 5. P. 229-241.328\ H elf rich W. Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible experiments. //Z. Naturforsch. 1973. Vol. 28. P. 693-703.

313. Horgan C.O., Polignone D.A. Cavitation in nonlinearly elastic solids: A review // Apll. Mech. Rev. 1995. Vol. 48. P. 471-485.

314. James R.D. Co-existent phases in one-dimensional static theory of elastic bars // Arch. Rat. Mech. Anal. 1979. Vol. 72. № 2. P. 99-140.

315. James R.D. The propagation of phase boundaries in elastic bars // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. Vol. 73. № 2. P. 125-158.

316. James R.D. Finite deformation by mechanical twinning // Arch. Rat. Mech. Anal. 1981. Vol. 77. № 2. P. 143-177.

317. James R.D. A relations between the jump in temperature across a propagating phase boundary and the stability of solid phases // J. Elasticity. 1983. Vol. 13. № 4. P. 357-378.

318. James R.D. Displasive phase transformations in solids // J. Mech. and Phys. Solids. 1986. Vol. 34. № 4. P. 359-394.

319. James R.D. Phase transformations and non-elliptic free energy functions. New Perspectives in Thermodynamics. Ed. J.Serrin. Springer-Verlag. 1986. P. 223-239.

320. James R.D. Hysteresis in phase transformations/ ICIAM 95. (Hamburg, 1995). Math. Res., 87, Akademie Verlag, Berlin, 1996. P. 135-154.

321. James R.D. The stability and metastability of quartz / Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S.Antman, J.L.Eriksen, D.Kinderleher, I.Muller. IMA Vol. Math. Appl. 1987. P. 147-176.

322. James R. D., Rizzoni R. Pressurized shape memory thin films// Journal of Elast. 2000. Vol. 59. P. 399-436.

323. James R.D., Kinderlehrer D. Theory of diffusionless phase transitions/ In: Partially differential equations and continuum models of phasetransitions. M.Rascle, D.Serre к, M.Slemrod (ed). Berlin: Springer, 1989. P. 51-84.

324. Jiang Qing. On the modeling of thermo-mechanical phase transformations in solids// J. Elasticity. 1993. Vol. 32. № 1. P. 61-91.

325. Kim S.-J., Abeyaratne R. On the effect of the heat generated during a stress-induced thermoelastic phase transformation// Contin. Mech. Thermodyn. 1995. Vol. 7. № 3. P. 311-332.

326. Kienzler R., Herrman R. Mechanics in material space with applications to defect and fracture mechanics. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 2000. 298 p.

327. Knowles J.K. Dynamic thermoelastic phase transitions// Int. J. Solids Struct. 1995. Vol. 32. №17-18. P. 2703-2710.

328. Knowles J.K. Stress-induced phase transitions in elastic solids // Сотр. Mech. 1999. Vol. 22. № 6. P. 429-436.

329. Knowles J.K. Hysteresis in the stress-cycling of bars undergoing solid-solid phase transitions// Quart. J. Mech. Appl. Math. 2002. Vol. 55. №. P. 69-91.

330. Knowles J.K., Sternberg E. On the ellipticity of the equation of nonlinear elastostatics for a special material// J. of Elasticity. 1975. Vol. 5. Ж 3-4. P. 341-361.

331. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity of the equation for finite elastostatics plane strain// Arch. Rat. Mech. Anal. 1977. Vol. 63. № 4. P. 321-341.

332. Knowles J.К., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics // J. of Elasticity. 1980. Vol. 10. № 3. P. 255-293.

333. Knowles J.K., Winfree N.A., Ahrens T.J. Dynamically induced phase transitions and the modeling of comminution in brittle solids// Math. Mech. Solids. 1997. Vol. 2. №2. P. 99-116.

334. Koiter W. T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Pt I—II // Proc. Koninkl. Neterland. Akad. Wetensh. 1964. Vol. В 67. № 1. P. 17 -44.

335. Le Floch P. Propagating phase boundaries// Arch. Ration. Mech. Anal. 1993. Vol. 123. P. 153-197.

336. Leo P.H., Sekerka R.F. The effect of surface stress on cristal-melt and cristal-cristal equilibrium// Acta metall. 1989. V 37. № 12. P. 31193138.

337. Levitas V.I. Phase transitions in elastoplastic materials:, continuum thermomechanical theory and examples of control. Part I and II// J. Mech. Physics Solids. 1997. Vol. 45. P. 923-947 and 1203-1222.

338. Levitas V.I. Thermomechanical theory of martensitic phase transformations in inelastic materials// Int. J. Solids Struct. 1998. Vol. 35. № 9-10. P. 889-940.

339. Levitas V.I., Preston D.L. Three-dimensional Landau theory for multivariant stress-induced martensitic phase transformations. I. Austenite<->martensite// Physical Review B. 2002. Vol. 66. P. 1342061-134206-9.

340. Levitas V.I., Preston D.L. Three-dimensional Landau theory for multivariant stress-induced martensitic phase transformations. II. Multivariant phase transformations and stress space analysis// Physical Review B. 2002. V. 66. P. 134207-1-134207-15.

341. Libai A., Simmonds J.G. The Nonlinear Theory of Elastic Shells, 2nd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press. 1998. 560 pp.

342. Makowski J., Stumpf H. Buckling equations for elastic shells with rotational degres of freedom undergoing finite strain deformation// Int. J. Solids Struct. 1990. Vol. 26. Pp. 353-368.

343. Makowski J., Pietraszkiewicz W., Stumpf H. Jump conditions in the nonlinear theory of thin irregular shells// J. Elasticity. 1999. Vol. 54. Pp. 1-26.

344. Makowski J., Pietraszkiewicz W. Thermomechanics of Shells with Singular curves. Institute of Fluid-Flow Machinery, PAS, 2002. Gdansk, Zesz. Nauk. No 528/1487/2002. 100 p.,

345. Maugin G.A. Material inhomogeneities in elasticity. London et al.: Chapman Hall. 1993. 276 p.

346. Maugin G.A. On shock waves and phase-transition fronts in continua// ARI. 1998. P. 141-150.

347. Maugin G.A., Trimarco С. The dynamics of configurational forces at phase-transition fronts// Meccanica. 1995. Vol. 30. P. 605-619.

348. Maugin G.A., Trimarco С. Driving force on phase-transition fronts in thermoelectroelastic crystals// Math. Mech. Solids. 1997. Vol. 2. P. 199-214.

349. Mielke A., Theil F., Levitas V.I. A variational formulation of rate-independent phase transformations using an extremum principle// Arch. Ration. Mech. Anal. 2002. Vol. 162. P. 137-177.

350. Morland L. W., Gray J.M.N. T. Phase change interactions and singular fronts // Cont. Mech. Thermodyn. 1995. Vol. 7. № 4. P. 387-414.

351. Murdoch A.I. A thermodynamical theory of elastic material interfaces//Q. J. Mech. Apll. Math. 1976. Vol. XXIX. Pt. 3. P. 245-274.

352. Murdoch A.I. On phase transitions of elastic continua // ZAMP. 1977. Vol. 28. № 4. P. 252-277.

353. Murdoch A.I., Cohen H. Symmetry considerations for material surfaces// Arch. Ration. Mech. Anal. 1979. Vol. 72. No 1. P. 61-98.

354. Murdoch A.I., Cohen H. Symmetry considerations for material surfaces. Addendum// Arch. Ration. Mech. Anal. 1981. Vol. 76. No 4. P. 393400.

355. Miiller S., Spector S. An existance theory for nonlinear elasticity that allows for cavitation//Arch. Ration. Mech. Anal. 1995. Vol. 131. P. 166.

356. Naghdi P.M. The theory of plates and shels. In S. Fliigge's Handbuch der Physik. VIa/2. (ed. C. Truesdell), Berlin: Springer, 1972. P. 425640.

357. Nikitin E.N., Zubov L. M. Conservation laws and conjugate solutions in the elasticity of simple materials and materials with couple stress// J. Elasticity. 1998. Vol. 51. P. 1-22.

358. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New-York, Toronto et al: Pergamon-Press. 1986. 383 pp.

359. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. Mineola, New York: Dover publications, Inc. 1997.4' 379. Parry G.P. On phase transitions involving internal strain // Int. J. Solids Struct. 1981. Vol. 17. № 4. P. 361-378.

360. Parry G.P. On structural phase transitions in perfect cristals // Int. J. Solids Struct. 1982. Vol. 18. № 1. P. 59-68.

361. Parry G.P. On internal variable models of phase transitions //J. Elasticity. 1987. Vol. 17. № 1. P. 63-70.

362. Parry G.P. Low-dimensional lattice groups for the continuum mechanics of phase transitions in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1998. Vol. 145. № 1. P. 1-22.

363. Phase transformations and material instabilities in solids/ Proc. Conference held at the University of Wisconsin, Madison, Wis., October 11-13, 1983. Ed. Morton E. Gurtin. Publ. Mathematics Research

364. Center, University of Wisconsin, 52. Academic Press. Orlando, FL.1984. ix+217 p.

365. Pietraszkiewicz W. Finite rotations and langrangian description in the non-linear theory of shells. Warszawa, 1979.

366. Pietraszkiewicz W. Geometrically nonlinear theories of thin elastic shells // Advances in Mechanics. 1989. Vol. 12. No 1. P. 51-130.

367. Pietraszkiewicz W., Badur J. Finite rotations in the description of continuum deformation// Int. J. Engng. Sci. 1983. Vol. 21. No 9. P. 1097-1115.

368. Pietraszkiewicz W. Teorie nieliniowe powlok. In: Cz. Wozniak (ed.), Mechanika spr§zystych plyt i powlok. Warszawa, 2001. P. 424-497.

369. Pitteri M. On the kinematics of mechanical twinning in crystals// Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. Vol. 88. № 1. P. 25-57.

370. Pitteri M. Some problems in nonlinear elasticity of crystalline solids// Contin. Mech. Thermodyn. 1990. Vol. 2. № 2. P. 99-117.

371. Pleiner H:, Brand H.R. Nonlinear hydrodymnamics of strongly deformed smectic G and C* liquid crystals// Physica A. 1999. Vol. 265. P. 62-77.

372. Podio-Guidugli P., Vergara Caffarelli G., Virga E.G. Discontinuous energy minimizes in nonlinear elastostatics: an example of J. Ball revisited// J. Elast. 1986. Vol. 16. № 1. P. 75-96.

373. Romano A. Thermodynamics of phase transitions in classical field theory. Singapore et al: World Sci. Pub. Co. (Series on advances in mathematics for applied sciences, Vol. 13.) 255 p.

374. Rosakis P. Ellipticity and deformation with discontinuous gradients in finite elastostatics //Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. Vol. 109. №- 1. P. 1-37.

375. Rosakis P., Knowles J.K. Unstable kinetic relations and the dynamics of solid-solid phase transitions// J. Mech. Phys. Solids. 1997. Vol. 45. № 11-12. P. 2055-2081.

376. Rosakis P., Knowles J.K. Continuum models for irregular phase boundary motion in shape-memory tensile bars// Eur. J. Mech. A. Solids. 1999. Vol. 18. №1. P. 1-16.

377. Rubin M.B. Cosserat theories: shells, rods and points. (Ser.: Solid Mechanics and its applications. Vol. 79., Ed. G.M.L.Gladwell) Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2000. 480 p.

378. Sekerka R.F. Morphological instabilities during phase transformations/ Phase transformations and material instabilities in solids (Madison, Wis., 1983). Publ. Math. Res. Center Univ. Wisconsin, 52. Academic Press, Orlando, FL, 1984. P. 147-162.

379. Silhavy M: An admissibility criterion for shock and propagating phase boundaries via thermodynamics of nonsimple materials. I & II.//J. Non-Equilibr. Thermodyn. Vol. 9. P. 177-186 & 187-200.

380. Silhavy M. Phase transitions in non-simple bodies// Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. Vol. 88. P. 135-161.

381. Silhavy M. The mechanics and thermodynamics of continuous media. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 1997. 505 p.

382. Simpson H.C., Spector S. On failure of the complementing condition and nonuniqueness in linear elaostatics// J. Elast. Vol. 15 P. 229-231.

383. Simpson Н.С., Spector S. Necessary conditions at the boundary for minimizers in finite elasticity// Arch. Ration. Mech. Anal. Vol. 107125.

384. Sivaloganathan J., Spector S.J. On the optimal location of singularities arising in variational problems of nonlinear elasticity// J. Elast. 2000. Vol. 58. P. 191-224.

385. Sivaloganathan J., Spector S.J. On cavitation, configurational forces and impications for fracture in a nonlinearly elastic material // J. Elast. 2002. Vol. 67. P. 25-49.

386. Truskinovsky L. Dynamics of non-equilibrium phase boundaries in a heat conducting nonlinear elastic medium // J. Appl. Math. Mech. Vol. 51. P. 777-784.

387. Truskinovsky L. Transition to detonation in dynamics of phase changes// Arch. Mrch. Ration. Mech. Anal. 1994. Vol. 194. P. 375397.

388. Turteltaub S. Viscosity of strain gradient effects on the kinetics of propagating phase boundaries in solids // J. Elasticity. 1997. Vol. 46. №1. P. 53-90.

389. Vainchtein A., Rosakis P. Hysteresis and stick-slip motion of phase boundaries in dynamic models of phase transitions// J. Nonlinear Sci. 1999. Vol. 9. P. 697-719.

390. Visintin A. Introduction to the models of phase transitions// Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B. Artie. Ric. Mat. 1998. (8) 1. № 1. R 1-47.

391. Wang C.-C. On the response functions of isotropic elastic shells// Arch. Ration. Mech. Anal. 1973. Vol. 50. R 81-98.

392. Zee L., Sternberg E. Ordinary and strong ellipticity in the equilibrium theory of incompressible hyperelastic solids // Arch. Rat. Mech. Analysis. 1983. Vol. 83. №1. R 53-90.

393. Xiaoguang Zhong. Phase boundary motion in an elastic bar of finite length // J. Elasticity. 1996. Vol. 42. № 2. P. 177-200.

394. Xiaoguang Zhong, Batra R. C. Modeling of macroscopic response of phase transforming materials under quasi-static loading// Int. J. Fracture. 1996. Vol. 44. № 2. P. 145-160.

395. Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 1997. 205 P

396. Zubov L. M. Nonlinear theory of isolated and comtinuosly distributed dislocations in elastic shells // Archives of Civil Engineering. 1999. XLV. № 2. P. 385-396.

397. Zubov L.M. Semi-inverse solutions in nonlinear theory of elastic shells //Arch. Mech. 2001. Vol. 53. № 4-5. P. 599-610.