Зоны фазовых переходов и равновесие фаз при деформировании упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

российская академия наук

институт проблем машиноведения

" " " Г4 "

' i J Ь

На правах рукописи

г ^ MAP 1937

Фрейдин Александр Борисович

ЗОНЫ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И РАВНОВЕСИЕ ФАЗ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ УПРУГИХ ТЕЛ

01.02.04 — ''Механика деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в лаборатории прочности и ресурса конструкций Института проблем машиноведения РАН

Научный консультант — член-корреспондент РАН профессор Морозов Никита Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гольдпггейн Роберт Вениаминович

доктор физико-математических наук, профессор Жилин Павел Андреевич доктор физико-математических наук, профессор Аэро Эрон Люттович

Ведущая организация: Институт механики и прикладной

математики при Ростовском государственном университете

Защита состоится " & " О-ПРВМ 1997 г в /5" сочасов на заседании диссертационного совета Л 200.17.01 дри Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН.

Автореферат разослан мСсрта 1997 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат химических наук ,.(,„ В.П.Глинин

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Теоретические исследования фазовых превращений (ФП) в процессе деформирования твердых тел методами механики являются развивающимся научным направлением, находящимся на стыке материаловедения, физики твердого тела и механики сплошных сред. Эти исследования ориентированы на создание новых материалов, заданным образом реагирующих на внешние (механические, температурные и др.) воздействия, в том числе материалов с памятью формы. Они также нужны для оптимизации управления структурой материала путем его деформирования с целью получения новых физических свойств (механических, электрических, оптических и др.). С ФП связаны особенности реологического поведения материала. Локализация деформаций и гетерогенное деформирование также могут быть результатом этих превращений.

В настоящее время можно выделить два направления исследований фазовых превращений с позиций механики деформируемого тела:

— разработка феноменологических моделей, основанных на добавлении к известным определяющим уравнениям соотношений для дополнительных параметров, характеризующих те или иные особенности системы (например, доля мартенситной фазы) и различные структурные уровни протекающих процессов (см., напр., работы В.А.Лихачева, В.Г.Малинина и их школы, А.А.Мовчана). При таком подходе большое значение имеют факторы и взаимосвязи, выбираемые (часто интуитивно) в качестве основных, а достоверность проверяется сравнением следствий модели с соответствующими экспериментальными данными;

— рассмотрение фазовых превращений с учетом условий равновесия на границе фаз деформируемого (далее — упругого) материала, влияния симметрии молекулярной структуры на определяющие соотношения, а также включающее детальное описание возникающих под напряжением двухфазных структур (М.А. Гринфельд, Л.М. Трускиновский, В.И. Кондауров, Л.В. Никитин, В.Л. Берди-чевский, Л.М. Зубов, В.А. Еремеев, Н.Ф. Морозов, В.Г. Осмоловский, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Р. Абейаратне, Дж. Волл, Дж. Эриксен, Г. Пэрри, М. ГГиттери и др.). В русле этого налравле-

ния, ставшего возможным благодаря развитию нелинейной теории упругости, и пока еще находящегося, несмотря на ряд серьезных достижений, в стадии становления, выполнена данная работа.

В данном подходе граница фаз упругого материала рассматривается как поверхность разрыва деформаций при непрерывном (в случае когерентных ФП) поле перемещений.

Для такого взгляда имеются как интуитивные, так и формальные основания.

Изменение микроструктуры, с которым связано ФП, приводит к изменению модулей упругости и "собственным" деформациям. Поэтому область новой фазы с точки зрения расчета напряжений может быть рассмотрена как неоднородность. Поле деформаций на границе неоднородности, вообще говоря, разрывно. Следовательно, возникновение такой неоднородности означает появление поверхности разрыва деформаций.

С другой стороны, возникновение в упругом теле равновесного разрывного поля деформаций требует существования в пространстве деформаций точек, в которых нарушается условие сильной эллиптичности уравнений равновесия (неравенство Адамара). Это в свою очередь, может приводить к диаграммам деформирования, подобным кривым Ван-дер-Ваальса при ФП "газ - жидкость".

Формулировка условий на границе фаз как на равновесной поверхности разрыва деформаций (1980-е годы) позволила говорить о разработке адекватных математических моделей механики для описания двухфазных структур, возникающих при деформировании. Вместе с тем, решение конкретных задач наталкивается как на проблемы определяющих соотношений, так и на математические трудности, связанные, в частности, с принципиальной нелинейностью проблемы.

Кроме условий непрерывности векторов перемещения (в случае когерентных ФП) и усилия на границе фаз ставится термодинамическое условие. В результате задача о двухфазной конфигурации становится задачей с неизвестной границей, которая должна удовлетворять этому дополнительному условию (в отличие от расчетов напряжений в составном теле или композитном материале).

В отличие от композита, состоящего из двух материалов, описание двухфазного состояния связано с поведением одного и того же

материала (с единой зависимостью плотности свободной энергии от параметров состояния), в котором в процессе деформирования возникает разрывное поле деформаций. Очевидно, что не каждый материал допускает такое поведение. Как уже отмечалось, в случае достаточно гладкой зависимости плотности энергии от деформаций требуется существование в пространстве деформаций области, в которой нарушается неравенство Адамара.

Это, в частности, сразу же делает невозможным описание ФП в рамках традиционного приближения малых деформаций, когда плотность свободной энергии является непрерывно дифференцируемой квадратичной функцией линейного тензора деформаций . Вместе с тем ФП во многих материалах связаны именно с малыми деформациями, что обуславливает актуальность рассмотрения соответствующего приближения.

С другой стороны, даже если материал допускает возникновение статических поверхностей разрыва деформаций, то условия равновесия на границе фаз могут быть удовлетворены не при любых деформациях, в связи с чем в данной работе вводится понятие зоны ФП в пространстве деформаций — области, деформации из которой могут сосуществовать на равновесной границе фаз. Граница зоны ФП определяется свойствами материала и играет роль фазовой диаграммы в пространстве деформаций. Этим определяется актуальность построения зон ФП для разных материалов и анализа фазовых равновесий, соответствующих точкам на границе и внутри зоны.

Отметим, что в классической теории ФП расслоение на фазы связано с существованием в пространстве параметров состояния недостижимых областей неустойчивости материала. В случае ФП при деформировании упругого материала роль этой области играет область неэллиптичности. При этом на границе фаз материал может и в практически интересных случаях сохраняет эллиптичность.

В связи с этим возникает задача соотнесения зоны ФП с областью неэллиптичности. Исследования эллиптичности для различных нелинейно-упругих материалов (Лж. Ноулс, Э. Стернберг, Л.М. Зубов, А.Н. Рудев, А. Розакис) проводились ранее преимущественно с точки зрения формулировки ограничений на определяющие соот-

ношения материала: "нормальный" материал не должен допускать возникновения при деформировании поверхностей разрыва деформаций. Фазовые превращения оказываются возможными только в материалах, теряющих эллиптичность, что позволяетвзглянуть на исследования эллиптичности с новой точки зрения. В работе отмечается, что в традиционных терминах теории фазовых переходов граница зоны ФП соответствует бинодали, граница области неэллиптичности — спиводали, а точки (линии) касания границ зоны ФП и области неэллиптичности — критическим точкам.

Зоны ФП определяют принципиальную возможность существования двухфазных конфигураций — безотносительно граничных условий. Поэтому актуальным является описание деформирования упругих тел с учетом измененяющегося фазового состава (построение диаграмм деформирования, определение изменения в процессе деформирования параметров двухфазной структуры). Решение простейших краевых задач представляется важным как для оценки физической осмысленности используемого подхода, так и для дальнейшего развития теории.

Целью работы является построение в пространстве деформаций зон ФП для упругих материалов в случае конечных и малых деформаций и решение простейших задач описания фазовых превращений упругих тел в процессе их деформирования.

В задачи работы входят:

1. Разработка и реализация процедуры построения зон ФП для изотропных нелинейно-упругих материалов. Построение зон ФП для конкретных нелинейно-упругих материалов. Описание "тонкой структуры" зоны ФП (соотнесение с областью неэллиптичности, поверхностями нулевого скачка, критическими точками).

2. Описание межфазных границ (определение нормали и скачка деформаций на границе фаз), соответствующих различным точкам на границе зоны ФП и внутри зоны.

3. Формулировка определяющих соотношений, допускающих описание ФП в приближении малых деформаций. Построение зоны ФП в этом приближении и описание фазовых равновесий, соответствующих точкам на границе и внутри зоны.

4. Решение простейших краевых задач теории упругости с фазовыми превращениями.

5. Разработка модели для описания гетерогенного деформирования упругих тел вследствие множественного возникновения областей новой фазы.

Научная новизна. В работе, по-видимому впервые, сделала попытка систематического исследования всех возможных деформаций, допускающих возникновение в данном материале равновесных двухфазных конфигураций. В результате сформулировано понятие зоны фазовых переходов и дан анализ ее структуры.

Общее рассмотрение конкретизировало для изотропных нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов. Попутно доказана теорема о представлении вектора амплитуды скачка на равновесной поверхности разрыва деформаций. При этом не привлекаются никакие гипотезы, кроме предположений о том, что материал — нелинейно-упругий, а граница фаз является равновесной поверхностью разрыва деформаций при непрерывном поле перемещений.

Сформулированы определяющие соотношения, допускающие описание ФП в приближении малых деформаций. В этом приближении построены зоны ФП и решены простейшие краевые задачи. Показано, что в одном и том же материале в зависимости от траектории деформирования возможен различный тип расслоения на фазы. Показано, что фазовые превращения приводят к появлению на диаграммах деформирования упругих тел участков разупрочнения или упрочнения. Предложена модель для описания гетерогенного деформирования вследствие множественого возникновения областей новой фазы.

Научная и практическая ценность. Пред—ложенный подход к рассмотрению ФП в нелинейно-упругих материалах может быть полезен для дальнейшего развития теории и описания фазовых превращений при деформировании конкретных матералов.

Зона ФП определяет траектории деформирования, на которых возможны или невозможны фазовые превращения, а также предсказывает ориентацию межфазных границ. Построение зон ФП означает по сути построение фазовых диаграмм в пространстве деформаций, причем граница зоны ФП соответствует бинодали, а граница

области неэлиптичности — сшшодали.

В развиваемом подходе предполагается знание зависимости плотности свободной энергии от деформаций, что является самостоятельной проблемой. Реконструкция зоны ФП на основе экспериментальных исследований фазовых превращений при частных видах деформирования может оказаться полезной для конструирования упругих потенциалов конкретных материалов и для прогнозирования ФП на произвольных траекториях нагружения.

Представление приближения малых деформаций в виде, удобном для практической реализации, и опыт решения простейших задач могут быть использованы при моделировании конкретных физических явлений, в которых взаимосвязаны процессы деформирования и структурообразования.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 18-м Конгрессе по теоретической и прикладной механике (ЮТАМ, Израиль, Хайфа, 1992), 25-й Европейской конференции по макромолекулярной физике "Ориентационные явления в полимерах" (С.-Петербург, 1992), 2-й Конференции по механике твердого тела (ЕВРОМЕХ, Италия, Генуя, 1994), на семинарах "Проблемы механики разрушения" (С.-Петербургский Дом Ученых, 1995), "Теоретические и прикладные проблемы механики разрушения" (ИПМалп РАН, С.-Петербург, 1995), на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых твердых тел" (С.-Петербург, 1996), 2-й Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996), XXXII семинаре "Актуальные проблемы прочности" (С.-Петербург, 1996), на научных семинарах в Технионе и Тель-Авивском университете (Израиль, 1992), С.-Петербургском университете (руководитель - член-корр. РАН профессор Н.Ф. Морозов, 1992), Институте химической физики РАН (руководитель - профессор A.A. Берлин, Москва, 1992), Институте проблем механики (руководитель - профессор Р.В. Гольдштейн, Москва, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,

заключения, трех приложений, списка цитируемой литературы из

ИТ- наименований. Общий объем диссертации 20 ^ страниц, включая 33. рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования.

В первой главе предлагается и реализуется процедура построения зон ФП для изотропных нелинейно-упругих материалов.

1. На равновесной границе фаз нелинейно-упругого материала при непрерывном поле перемещений должны выполняться кинематическое условие Адамара (следствие непрерывности поля перемещений)

[Р] = т, (1)

силовое условие Пуассона (непрерывность вектора усилия)

N • [Р] = 0, (2)

условие термического равновесия [в] = 0 и термодинамическое условие равновесия фаз

[/] = Г*-Р-£, (3)

где Г — деформационный градиент, N — нормаль к прообразу границы фаз в отсчетной конфигурации, { — вектор амплитуды скачка, j = /(¥, в) — объемная плотность свободной энергии относительно отсчетной конфигурации, Р = 9//ЭР — тензор напряжений Пиолы, в — температура, квадратные скобки означают скачок величины на границе фаз: [<р] = (р+ — <р~, знаками "±" обозначены величины по разные стороны разрыва.

Эти условия могут быть рассмотрены как система уравнений для определения N и скачка í в зависимости от деформаций по одну из сторон границы фаз (например,

Определение. Множество всех деформаций Г, при которых может быть выполнена система условий на поверхности равновесного разрыва деформаций, образует зону фазовых переходов.

Зона ФП разбивается на пары областей (подзон), деформации в которых связаны скачками, удовлетворяющими условиям (1) - (3). Если уравнения (2), (3) при учете (1) имеют нетривиальное нулевое решение Г = 0, то эти области касаются по поверхности нулевого скачка.

Так как условия (2), (3) с учетом (1) образуют систему из четырех уравнений для пяти неизвестных, определяющих Г и 14, то решение внутри зоны ФП имеет вид однопараметрического семейства, описывающего при данном Г все возможные для данного материала равновесные скачки деформаций "из Г" и соответствующие направления нормали. Однопараметричность, кале показывается ниже, исчезает на границе зоны ФП, которая играет роль фазовой диаграммы в пространстве деформаций.

Выполнение термодинамического условия требует потери эллиптичности (нарушения неравенства Адамара) на отрезке диадной траектории = + £ 6 [1,0], соединяющей деформации

по обе стороны поверхности разрыва. Следовательно, зона ФП необходимо пересекается областью неэллиптичности.

2. Дальнейший анализ системы (1) - (3) в случае нелинейно-упругого изотропного материала включает в себя следующие шаги.

Система (1) - (3) приводится к актуальной конфигурации:

Г+ = Г_ • (Е + па), п • [ «г] = 0, [/] = • а • а, (4)

где сгип — тензор напряжений Копш и нормаль к поверхности раздела фаз в актуальной конфигурации, Е — единичный тензор, J = <1е1Г — р0(р (ря и р — плотности материала в отсчетной и актуальной конфигурациях) амплитуды а и Г связаны соотношением а = |Г • п|-11.

Из (4)1 получаются кинематические соотношения, связывающие инварианты меры деформаций Фингера В = ТТ • Г по обе стороны границы фаз

I, = XI + XI + х23, ь = ЛгВ"1, 3 = А1Л2Л3

(где Ль Л2, Аз — главные растяжения) с двумя ориентационными инвариантами

ЛГ/Ь = п • В* • п (¿-целое),

которыми, в свою очередь, в базисе главных направлений В определяется нормаль п к границе фаз: квадраты проекций нормали в этом базисе р,- = rif (i = 1,2,3) находятся из системы уравнений:

з з

^АJkPi = Nk {к = киЬ), 5> = 1 (5)

»=1 »'=1

Далее, с учетом того, что для упругого сжимаемого изотропного материала /(F, •) = W(Iul2,J),

<т = ^oE + ziiB + p-iB-1 (6)

где цп, ць зависят только от инвариантов В, условие Пуассона (4)г для тангенциальной к границе фаз составляющей вектора усилия

п • [<г] • П = [Mitj] + [/i-it-i] = 0, (7)

(где tfc = U-B^-n, П = Е —пп —проектор на плоскость разрыва), преобразуется в выражение для амплитуды скачка. Показывается Утверждение 1. Если на границе фаз нелинейно-упругого изотропного материала векторы перемещения и усилия непрерывны, а сосуществующие деформации удовлетворяют условию

N~(W+)2 + Ji(W+)2 + (J2- - JlNZjW+W? ф 0, (8)

то амплитуда скачка а может быть однозначно представлена в виде изотропной векторной функции меры деформаций Фингера В по одну из сторон границы фаз и вектора нормали к границе фаз п:

а = 7П + аВ_ • n + ^Bl1 • п, (9)

где 7,а и /} — подлежащие определению функции ориентационных iVf, jV~! и деформационных If, I*, J± инвариантов, (индексы 1 и 2 при W означают частные производные W по и /2 )•

Замечание. Обозначим 7г = П • а. Тогда из (9) следует, что: если W\ — const, Wo = const, то ir = 0 (а и n — сонаправлены); если W — W(Ia, J), W+ ф 0, где a = 1 или 2, то

тг = —[Wa]f{W*N^)II -Bl1 • n.

Определив функции 7, а и ß и подставив зависимость (9) для а в полученные кинематические соотношения и термодинамическое условие, которое с учетом (6) принимает вид

[W] = /«о И + 2Wf а • В_ • n - 2J2_W2a ■ Bl1 • n, (10)

и добавив условие Пуассона для нормальной составляющей усилия

п • [<т] ■ n = М + [/íi^i] + [p-liV-il = о, (11)

получим систему четырех уравнений для пяти неизвестных íf, J+, iVj", N2 при заданных J—

Отметим, что удобным оказалось получение уравнений не путем подстановки кинематических соотношений в условие Пуассона, а подстановка "обращенного" условия Пуассона (в виде выражения для амплитуды скачка) в кинематические соотношения и термодинамическое условие.

3. Если теперь разрешить три из четырех полученных уравнен-ний относительно 7¡+, и подставить полученные зависимости

в четвертое уравнение, то получим уравнение

4>(NUN- 1,ЛьЛ2,Аз) = 0 (12)

(индекс "—"не пишем), которое при заданных Aj, Л2, A3, определяет линию на плоскости Ni, N-1. Однопараметрическому семейству нормалей соответствует пересечение этой линии с областью D допустимых значений Ni,N-i, которая определяется разрешимостью системы (5) и является треугольником с вершинами, лежащими на гиперболе JV_i = JVf1 (рис. 1). Множество {Ai, А2, А3}, при которых это пересечение существует, образует зону ФП, которая определяется неравенствами:

V>i(AI,A2,A3) < 0 < ф2{\и А2,А3), (13)

где

tf>i = min ip(Ni,N-i I АьА2,Аз), фъ = max é{NuN-i | АЬА2,А3).

Геометрически это означает следующее. Изменение A¿ приводит на плоскости N^N-i к изменению относительного положения линии (12) и области D. Решение может исчезать при малом изменении A¿, в частности, когда линия (12) и D имеют только одну

общую точку. При этом линия (12) проходит через одну из вершин треугольника, не пересекая его, или касается извне одной из сторон (рис. 1). В первом случае нормаль к границе фаз совпадает с соответствующим главным вектором В, скачком меняется только соответствующее главное растяжение. Во втором случае нормаль лежит в плоскости главных направлений В. .

В разных задачах естественным образом возникают разные пары инвариантов ЛГ*,. Для инвариантов ЛГ,, вершины О лежат на кривой Л^ = Ы^3, которую назовем скелетной.

Различные ориентации нормали могут соответствовать различным типам локализации деформаций вследствие ФП. Рассмотренные далее примеры показывают, что характер ориентации границы фаз определяется как свойствами материала, так и видом деформированного состояния (последнее рассмотрено в главе 2).

4. Доказывается, что однопараметрическое семейство нормалей к равновесной границе фаз в материале Адамара

\¥ = 1/2сЬ + 1/2(И2 + Ф(7) с > 0, <¿>0, с + <1>0 (14) определяется уравнением

+ = (ЛГь^ОбД (15)

где управляющая функция u(J) определяется соотношениями

u(/) * U{J+{J),J), U(J+,J) -nJf+zfJ\ (16)

J+( J) — решение уравнения

Ф+ - Ф = l/2( J+ - J)(Ф'+ + Ф') (17)

(штрих означает производную по J).

Зона фазовых переходов определяется неравенствами

MAmd, Amax) < u{J) < h(Xmi, Amax) (18)

где Лт1Х, Amin, Am<i — наибольшее, наименьшее и промежуточное по величине главные удлинения,

h(A,-, Ay) tf сАГ V + d(Ar2 + A72)' (19)

функция u(J) определена соотношениями (16) - (17).

Известные условия сильной эллиптичности (А. Розакис, JI.M. Зубов, А.Н. Рудев) приводятся к неравенству

MAm<b Amajt) + Ф"( J) > 0 (20)

На рис. 2 приведен пример сечения зоны ФП плоскостью

Аг = const.

Границы зоны являются линиями одномерных переходов, при которых нормаль совпадает с главным направлением В, а скачком меняется только соответствующее главное удлинение. Заштрихована область неэллиптичности, 1 - граница зоны ФП, 2 - поверхность нулевого скачка, 3 - критическая точка. Стрелкой указан скачок на границе фаз главного растяжения при достижении в пространстве деформаций границы зоны ФП. Кривые cri(Ai) на траектории одномерного перехода по (Ai) при изменении (А3) меняется подобно изотермам Ван-дер-Ваальса при изменении температуры. Здесь роль "критической" температуры играет А3 = Ас.

5. Аналогично рассматриваются несжимаемые материалы с потенциалом, зависящим только от одного из инвариантов I\,h• Строится зона ФП, исследуется ее структура и решение внутри и границе. Рассматривается пример потенциала Трелоара с невыпуклым изломом.

Рис. 2

Границе зоны ФП соответствует нормаль, лежащая в плоскости наибольшего и наименьшего растяжений, причем

nl = + ^mia)> »3 = ^min/(-\mix + ^min)-

Происходит одномерный переход по параметру сдвига

L2 _ /л±1 _ д±1 \2 Л — 1Лтал ''rnin/ '

где верхние знаки "+", соответствуют случаям /=Д,/2• Зависимость напряжения сдвига от к на траектории перехода имеет вид кривой Ван-дер-Ваальса.

Замечание. В случае плоской деформации рассмотрение потенциала W = W[I) означает рассмотрение общего случая несжимаемого нелинейно-упругого материала.

Во второй главе рассматривается приближение малых деформаций. Формулируются определяющие соотношения и строятся зоны ФП.

1. Показывается, что в случае малых деформаций условия равновесия на границе фаз принимают вид

п>] = 0, [/] - о" : [е] = 0, (21)

где / = /(£, в), е — линейный тензор деформаций.

Условие термодинамического равновесия (21)г также может быть представлено в виде

Ы =0, Цп = /-(1 + 0)сТяп - 2п • О-. (Е - пп) • е • п (22)

где <Тпл = п • <т • п, i? = tre, цп выступает в роли химического потенциала на площадке с нормалью п. Последнее слагаемое в (22) отражает роль касательной составляющей вектора усилия.

2. В результате рассмотрения малых скачков деформаций на границе фаз нелинейно-упругого материала обосновывается введение в случае малых деформаций потенциалов "с изломом" — имеющих в пространстве деформаций поверхность разрыва производных плотности свободной энергии f{e, •). Эта поверхность заменяет необходимую в случае гладких потенциалов область неэллиптичности.

Это в свою очередь приводит к материалу с зависимостью плотности свободной энергии от деформаций

/(е) = тт {Г(е),Г(0}. (23)

№) = + - 4) : С± : (в - 4), (24)

которой соответствуют определяющие соотношения

а{е) = С±:(е- е{) (25)

Подчеркнем, что рассматриваются не два материала с различными зависимостями плотности свободной энергии (24), а один материал с энергией (23), (24).

Параметры и имеют смысл плотностей свободной энергии и тензоров деформации фаз в ненапряженном состоянии. Если

= 0, то [г-*1] = е^ — тензор деформации при фазовом переходе из одного однородного ненапряженного состояния в другое — "собственная" деформация фазового превращения; если одна из фаз не существует в ненапряженном состоянии, то этот переход является только гипотетическим. С± — положительно-определенные тензоры модулей упругости фаз. Термоупругие напряжения и поверхностная энергия не учитываются.

Замечания.

Постижение точек излома было бы возможно при условиии сохранения непрерывности поля деформаций в процессе перехода деформируемого тела из одного фазового состояния в другое, но, как показывается, за исключением специального случая расслоение на фазы происходит раньше.

Функции /(е), допускающие возникновение равновесных разрывных полей деформаций, могут конструироваться из большего числа квадратичных (24) и линейных зависимостей — например из трех квадратичных зависимостей, для одной из которых тензор С — отрицательно определенный (трилинейный материал).

3. Сведение задачи к рассмотрению сосуществования двух линейно-упругих материалов дает возможность эффективного использования аппарата, развитого для композитных материалов в работах И.А. Кунина, С.К. Канауна, В.М. Левина. В результате использования соотношений для скачков деформаций и напряжений

на границе упругого включения

[в] = Кт(п) : с^, [о-] = в^п) : т±, (26)

т± = В! : <г± + [е1], <з± = Ст : т± = -С1 : е± +■ [С : е'], (27) С[ — С+ — С_, В1 = В+. — В_, в = с-1,

К±(п) = {пС±п}\ в = (п-С-п)-1, (28)

Б±(п) = С± : К±(п) : С± - С±, (29)

(в означает симметризацию тензора по перестановке индексов внутри пар, тензоры т± имеют смысл тензоров плотности дислокационных моментов, индуцированных областями фаз ± соответственно), условие (21) преобразуется в зависимость между нормалью к границе фаз и деформацией или напряжениями по одну из сторон границы. Доказывается

Утверждение 2. Условие термодинамического равновесия на когерентной границе фаз материала (23), (24) представимо в виде следующих зависимостей между нормалью к границе фаз и: (¡) деформациями по одну из сторон границы

27 + : С : е'] + е± : С1 : е± - 2г± : [С : е'] ± я± : Кт(п): ч± = 0 (30)

27. + Ч± : (СГ1 ± Кр(п)) : я± = 0 (7. = 7 + №'] : ВГ1 : И) (31) (и) напряжениями по одну из сторон границы

27 - <т± : В! : <т± - 2сг± : [е/] ± т± : Б^п) : т± = 0 (32) 27, - т± : (В^1 т Б^п)) : т± = 0 (33)

Таким образом, в случае малых деформаций система условий на границе фаз расщепляется. Любое из уравнений (ЗО)-(ЗЗ) при учете нормировки п • п = 1 определяет однопараметрическое семейство нормалей к равновесной границе фаз в зависимости от деформаций или напряжений по одну из сторон границы. Тогда условия (26) определяют скачки деформаций и напряжений на равновесной границе.

Необходимым условием разрешимости (30) - (33) является дополнительное ограничение на параметры материала: если тензор С1

- знакоопределенлый, то тензор 7»Ci должен быть отрицательно-определенным.

Это ограничение является также необходимым условием существования в пространстве деформаций поверхности разрыва производных /(е, •), уравнение которой представимо в видах

<p(q) = 27, + q:Cr1:q = 0. (34)

Как и в случае конечных деформаций, в зависимости от деформаций е уравнение для нормали может иметь или не иметь решений.

4. Если тензор Cj — невырожденный, то построение зоны ФП можно проводить согласно (31) в пространстве q.

Тогда тензоры q из подзон "±" удовлетворяют соответственно неравенствам

(Ч±) < =Fv(q±) < *2„(q±) (35)

^max(q) = max/C(q,n), ^^(q) = min K(q, n) (|n| = 1) (36)

n □

Каждая подзона имеет внешнюю и внутреннюю границу. Между внутренними границами проходит поверхность <р(q) = 0 разрьгаа производные f(e, •).

Внешним и внутренним границам зоны ФП соответствуют нормали к границе фаз

n?x(q) = arS max/CT(n,q), n£(q) = arg maxACT(n,q), (37)

П n

а уравнения внешних и внутренних границ подзон "±" получаются после подстановки (37) в (31).

5. Для аналитического построения решения и зоны ФП требуется знание тензора К(п), т.е. обращение тензора п • С • п.

Если фаза "—" — изотропная, то, аналогично случаю конечных деформаций, рассмотрение проводится с использованием ориента-ционных инвариантов

Nk = nq* n (* = 1,2)

Внешней границе зоны ФП соответствует нормаль к границе фаз, лежащая в плоскости наибольшего и наименьшего значений тензора q+ или совпадающая с главным направлением q+, соответствующим

наибольшему по модулю главному значению. Внутренней границе соответствует нормаль, совпадающая с главным направлением q+, соответствующим наименьшему по модулю главному значению. Скачок деформаций на границе фаз, соответствующей границе зоны ФП, происходит в главной плоскости или по главному направлению

q+-

На рис. 3 приведен пример девиаторного сечения (при trq = const) зоны ФП для случая изотропных фаз. Обозначены: 1 и 2 -внешние и внутренние границы зоны.

Гидростатическая ось ft = <ft = Яз пересекает каждую подзону только в двух точках, в которых внутренняя и внешняя границы касаются друг друга. Эти точки определяются только свойствами материала и параметром 7*(в). Следовательно, если в одной из областей равновесной двухфазной конфигурации реализуется деформированное состояние, при котором q = qE, то q зависит только

от параметров материала и температуры. Этот факт лежит в основе решения задач о фазовом превращении шара под давлением и эллипсоидальном зародыше анизотропной фазы в изотропной среде.

В зависимости от гидростатической составляющей и "вида" q внешней границе зоны ФП соответствует граница фаз, ориентированная перпендикулярно главному направлению q,или с нормалью, лежащей в главной плоскости я ("полоса сдвига"). При измене5ши вида деформированного состояния происходит смена типа расслоения на фазы (точка С на рис. 3).

В третьей главе полученные во 2-ой главе соотношения апробируются на простейших краевых задачах.

Задачи о двухфазных конфигурациях являются задачами с неизвестной границей. Лля решения используется полуобратный метод: форма границы "угадывается", а конкретные значения параметров определяются из условия термодинамического равновесия. При этом остаются открытыми вопросы единственности, устойчивости и метастабильности решений. В связи с этим полученные решения дополнены анализом энергетических изменений при формировании и развитии двухфазных конфигураций и устойчивости на выбранном классе кофигураций, что не является полным анализом устойчивости, но отбраковывает заведомо неустойчивые или термодинамически невыгодные решения.

Лля случая изотропного материала рассматриваются задачи о фазовом превращении упругого шара под давлением и ФП при кручении двух типов: стержня — моментами, приложенными к его торцам, и трубы — касательными усилиями, равномерно распределенными по ее внешней боковой поверхности при закрепленной внутренней поверхности.

Рассматриваются двухфазные конфигурации (ЛК) с одной поверхностью раздела фаз — сферической в случае шара и цилиндрической в случае задач о кручении. Показывается, что такие границы фаз удовлетворяют условиям равновесия; термодинамическое условие при этом определяет радиус равновесной границы в зависимости от внешних параметров.

В случае шара область новой фазы может возникать либо вну-

три шара в виде шарового зародыша, либо с поверхности в виде шарового слоя. Оба типа ЛК устойчивы на рассмотренном классе ДК, если на поверхности шара заданы перемещения^ неустойчивы, если задано давление. Поэтому квазистатический переход шара из одного фазового состояния в другое оказывается возможным при монотонном деформировании, но не нагружении.

Показывается энергетическая предпочтительность возникновения двухфазных состояний по сравнению с однофазными состояниями при тех же граничных условиях. Конкуренция между развитием новой фазы с поверхности или от центра шара определяется знаком изменения модуля сдвига. Если при ФП модуль сдвига возрастает, то область новой (более жесткой) фазы развивается от центра шара; в противном случае — с поверхности.

Строятся диаграммы деформирования. Шар ведет себя как кусочно-линейное упругое тело с участком деформационного разупрочнения — на траектории превращения давление р падает с ростом средней объемной деформации ■до-

р= к1 {■до -1?,) + /»

где "эффективный" модуль объемного сжатия № = —(4/3)це < 0, це

— модуль сдвига внешней фазы, р^ и т?, — параметры материала.

Объемные деформации и гидростатические составляющие тензора напряжений на равновесной границе фаз поддерживаются постоянными на всей траектории превращения шара и равны деформациям и давлениям в соотвествующих однофазных кофигурациях в моменты начала и окончания превращения.

На плоскости 7,(6), 1?0 строятся области существования ДК.

Обсуждается роль поверхностной энергии межфазной границы. Показывается существование критических зародышей, возникновение которых приводит к появлению "зубьев" на диаграмме деформирования. Учет энергии свободной поверхности шара вызывает дополнительную конкуренцию между развитием области новой фазы с поверхности или от центра шара.

Результаты решения задачи о шаре без учета поверхностной энергии для случая ¡1+ > представлены на рис. 4, где (а) - зависимость свободной энергии на траектории деформирования, (б)

- диаграммы деформирования.

Рис. 4

Задачи о кручении рассмотрены по такому же плану и демонстрируют ФП в поле сдвиговых напряжений. С учетом ФП строятся диаграммы деформирования, анализируется устойчивость и энергетические изменения. Аналогично шару, под действием усилий на боковой поверхности труба ведет себя как кусочно-линейное упругое тело, но, в отличие от шара, траектория превращения ха-рактерезуется деформационным упрочнением: усилие на боковой поверхности возрастает с ростом угла поворота внешней поверхности трубы относительно внутренней. Новая, менее жесткая фаза развивается изнутри трубы. В случае стержня зависимость торцевого момента от угла закручивания на траектории превращения может иметь падающий участок или не иметь — в зависимости от соотношения модулей сдвига фаз.

Описанные ДК анализируются с точки зрения соотнесения де-

формаций на границе фаз и зоны ФП. Показывается, что ДК, возникающие в шаре и трубе соответствуют границе зоны ФП, играющей роль фазовой диаграммы в пространстве деформаций, а рассмотренные ДК стержня соответствуют точкам внутри зоны ФП, что, по-видимому, свидетельствует о метастабильности этих двухфазных состояний.

В четвертой главе получены уравнения для описания гетерогенного деформирования вследствие множественного возникновения слоев анизотропной фазы. Уравнения позволяют определить зависимости концентрации и ориентации слоев и направления осей изотропии от средних деформаций. Для частного случая пренебрежения изменением модулей упругости (при учете только собственных деформаций, сопровождающих ФП) зависимости получены аналитически. Для средних напряжений и деформаций построены диаграммы деформирования с учетом развития двухфазной структуры. Диаграммы имеют вид кривых деформирования упруго-пластического тела. Проделан анализ энергетических изменений, связанных с развитием гетерогенной структуры.

В приложениях приведены выводы некоторых используемых соотношений, а также решение задачи о равновесном эллипсоидальном зародыше анизотропной фазы в неограниченной изотропной среде в однородном поле напряжений. Доказано характеристическое свойство:

форма (соотношение полуосей) равновесного зародыша анизотропной фазы в изотропной среде должна обеспечивать внутри зародыша изотропность тензора я: я = дЕ.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Деформации, которые могут сосуществовать на равновесной границе фаз нелинейно-упругого материала, образуют в пространстве деформаций зону фазовых переходов. Структурными элементами зоны ФП являются область неэллиптичности, поверхность нулевого скачка и критические точки. Граница зоны ФП играет роль фазовой диаграммы в пространстве деформаций.

2. Внутри зоны ФП нормаль и скачки деформаций на равновесной границе фаз образуют однопараметрическое семейство. На границе зоны однопараметричность исчезает.

3. Предложена процедура построения зоны ФП и однопараме-трического семейства решений для изотропных нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов. Доказало, что вектор амплитуды скачка на поверхности разрыва деформаций представим в виде изотропной векторной функции вектора нормали к поверхности разрыва и меры деформации Фингера по одну из сторон разрыва. Построены зоны ФП для материала Лдамара и несжимаемых материалов с потенциалом, зависящим от одного из инвариантов тензора деформаций. Проиллюстрирована возможность расслоения на фазы различного типа, когда:

нормаль к границе фаз совпадает с главным направлением тензора деформаций, на границе фаз скачком меняется только соответствующее главное удлинение (материал Адамара);

нормаль лежит в плоскости наибольшего и наименьшего главных удлинений, на границе фаз происходит скачок параметра сдвига (несжимаемый материал).

4. Развито приближение малых деформаций и проанализировано его соотнесение со случаем конечных деформаций. Сформулированы ограничения на определяющие соотношения и параметры материала, допускающего ФП. Для анизотропного материала получены уравнения для определения однопараметрического семейства нормалей к границе фаз в зависимости от деформаций по одну из сторон границы и уравнения для построения зоны ФП.

5. В случае, когда одна из фаз является изотропной, зона ФП и однопараметрическое семейство решений построены в явном виде. Показано, что в зависимости от вида деформированного состояния границе зоны ФП соответствует расслоение на фазы различного типа: когда нормаль совпадает с главным направлением тензора, имеющего смысл тензора плотности дислокационных моментов, индуцированных областью новой фазы; или лежит в главной плоскости, соответствующей наибольшему и наименьшему главным значениям этого тензора. Смена типа границы фаз может интерпретироваться как смена типа локализации деформаций в зависимости от траектории деформирования.

6. В приближении малых деформаций решены простейшие краевые задачи о фазовых превращениях в шаре под давлением и в стержне при кручении. Определены радиусы равновесных границ фаз, построены диаграммы деформирования, исследованы энергетические изменения и устойчивость на рассмотренных классах двухфазных конфигураций. Показаны эффекты деформационного разупрочнения и упрочнения на траектории превращения в зависимости от вида деформирования. Показано, что учет поверхностной энергии приводит к появлению "зубьев" на диаграммах деформирования, связанных с критическими зародышами.

7. Рассмотрено гетерогенное деформирование вследствие множественного возникновения слоев новой фазы. Получены уравнения для определения параметров двухфазной структуры и построены диаграммы деформирования.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кубланов Л.Б., Фрейдин А.Б. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // Прикл. мат. и мех. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 493-501.

2. Фрейдин А.Б. Трещины серебра и полосы сдвига в стеклообразных полимерах как слои новой фазы // Механика композит, материалов. 1989. N 1. С. 3-10.

3. Фрейдин А.В., Вайнблат Л.Д. Локализация деформаций и задачи оптимизации структуры композитов // Полимерные композиты-90, ч.1. Л. 1990. С. 60-63.

4. Freidin А.В., Chiskis A.M. Phase transition zones in a nonlinear elastic isotropic materials / j XYIIlth International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Haifa, Israel, August 22-28, 1992. Abstracts. P. 55.

5. Freidin A.B., Vainblat D.D. Heterogeneous deformation of solids due to multiple appearance of new phase nuclei // XYIIlth International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Haifa, Israel, August 22-28, 1992. Abstracts. P. 56.

6. Freidin A.B. Localized orientational transitions and heterogeneous deformatio of polymers (continuum approach) / / Orientational Phenomena in Polymers, 25th EPC on Macromolecular Physics. St.Petersburg, 1992. P. 242-243.

7. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.1. Основные соотношения //

Изв. РАН. МТТ. 1994. N 4. С. 91-109.

Фрейдин A.B., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.2. Несжимаемые материалы с потенциалом, зависящим только от одного из инвариантов тензора деформаций // Изв. РАН. МТТ. 1994. N 5. С. 49-61.

). Freidin A.B. Small jumps of strains due to phase transitions in deformable solids // 2nd European Solids Mechanics Conference (EUROMECH). Genoa, Sept. 12-16, 1994. Abstracts, E17.

I. Морозов Н.Ф., Назыров И.P., Фрейдин A.B. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Локл. АН. 1996. Т. 346, N 2. С.188-191.

. Фрейдин A.B. Равновесие фаз и зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих материалах // XV Международная конференция "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых твердых тел." С-Петербург, 19-22 июня 1996. Тезисы докладов. С. 131-132.

!. Фрейдин A.B. Зоны фазовых переходов при деформировании упругих тел // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2-ой Международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-20.09.96. Т. 3. С. 135-139.

. Морозов Н.Ф., Назыров И.Р., Фрейдин A.B. Приближение малых деформаций в задачах описания фазовых превращений упругих тел // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2-ой Международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-20.09.96. Т. 1. С. 103-108.

. Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов при деформировании упругих тел // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2-ой Международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-20.09.96. Т. 3. С. 135-139.

. Морозов Н.Ф., Назыров И.Р., Фрейдин A.B. Фазовые превращения при деформировании упругих тел в задачах о шаре под давлением и стержне при кручении // Тезисы докладов XXXII семинара "Актуальные проблемы прочности." 12-14 ноября 1996 г. С.-Петербург. С. 93-95.