Построение нижних оценок энергии двухфазных упругих тел и предельных поверхностей фазовых превращений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005003836

Антимонов Михаил Александрович

ПОСТРОЕНИЕ НИЖНИХ ОЦЕНОК ЭНЕРГИИ ДВУХФАЗНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

-8 ДЕК 2011

Санкт-Петербург — 2011

005003836

Работа выполнена в лаборатории математических методов механики материалов Учреждения Российской Академии наук Института проблем машиноведения РАН (ИПМаш РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Фрейдин Александр Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Волков Александр Евгеньевич

кандидат физико-математических наук Гаврилов Сергей Николаевич

Ведущая организация: ФГОУ ВПО "Южный федеральный

университет", г. Ростов-на-Дону

Защита состоится 15 декабря 2011 года в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 15 ноября 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.075.01 доктор технических наук, профессор

В.В. Дубарснко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Работа посвящена развитию моделей для описания фазовых превращений при деформировании твердых тел. Рассмотрен упругий материал, который может находиться в двух фазовых состояниях, различающихся модулями упругости и собственной деформацией превращения. Для случая изотропных фаз па основе нижних оценок свободной энергии в пространстве внешних деформаций построены предельные поверхности превращения, то есть определены все деформации, при которых па заданных путях деформирования впервые становится возможным фазовое превращение. Найдены двухфазные структуры, соответствующие различным областям предельной поверхности превращения.

Актуальность темы обусловлена следующими обстоятельствами. Изучение фазовых превращений при деформировании твердых тел связано с исследованиями взаимосвязи структуры материала и его деформационно-прочностных свойств. Характерной особенностью этих исследований является комплексность: исследования ведутся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения. Следствиями мартенситных фазовых превращений являются сверхупругость (псевдопластичность), эффект памяти формы, трансформационное упрочнение керамических материалов в результате мар-теиситиого превращения частиц под действием напряжений, индуцированных трещинами. В целом исследования фазовых превращений при деформировании ориентированы на использование и создание материалов, в том числе композитных, заданным и нетривиальным образом реагирующих на внешние термомеханические воздействия. При этом речь может идти не только о создании элементов конструкций, выполняющих специфические функции, но и собственно "материале как машине"1.

При описании фазовых превращений, вызванных деформационными воздействиями, основными являются следующие вопросы: при каких деформациях начинается фазовое превращение и как материал переходит из одного фазового состояния в другое. Можно выделить два подхода к описанию фазовых превращений с позиций механики деформированного твердого тела. Первый подход основан на разработке феноменологических моделей, полученных в результате введения дополнительных параметров, характеризующих особенности микроструктуры в среднем, и формулировки определяющих соотношений для этих параметров (см., работы А.Е. Волкова, В.А. Лихачева, В.Г.

'К. Bhattacharya, R.D. James. The material is the machine // Science. 2005. Vol. 307. P. 53-54.

Малшшна, A.A. Мовчана, А.И. Разова, Д. Лагоудаса, К. Лекслена, Э. Патора, К. Танаки и др.). Второй подход исходит из явного рассмотрения межфазных границ с учетом условий термодинамического равновесия на межфазных границах или кинетики границ и включает детальное описание возникающих под напряжением двухфазных структур (см. работы Л. Бердичевского, E.H. Вильчевской, С.Н. Гаврилова, М.А. Гринфельда, М.А. Гузева, В.А. Еремеева, Л.М. Зубова, В.И. Кондаурова, Н.Ф. Морозова, Л.В. Никитина, В.Г. Осмоловского, Л.М. Трускиновского, А.Л. Ройтбурда, A.B. Фрейдина, А.Г. Хачатуряна, Л.Л. Шариповой Р. Абейаратне, Дж. Болла, К. Баттачарьи, М. Гёртина, Р.Д. Джеймса, Дж. Ноулса, Г. Пэри, М. Питтери, Дж. Эриксена и ДР-)-

Данная работа выполнена в русле второго подхода. Решаются задачи, связанные с описанием возникновения новой фазы. Исследуется задача описания цилиндрических областей новой фазы. Используется полуобратный метод, когда форма термодинамически равновесной области предсказывается, затем находятся ее геометрические параметры и условия существования. В пространстве внешних деформаций для областей новой фазы, имеющих различную форму, а именно, форму эллипсоидов, цилиндров и слоев, строятся поверхности их возникновения, после чего строится огибающая этих поверхностей.

Для ответа на вопрос о возможности начала фазового превращения, то есть возникновения областей новой фаза до достижения этой огибающей поверхности, в работе строятся нижние оценки свободной энергии двухфазных материалов. Используются подходы, которые в механике композитных материалов развивались для нахождения оптимальных композитов, то есть таких композитов, которые при заданных объемных долях компонент и заданных средних деформациях или напряжениях запасают минимальную или максимальную энергию и, следовательно, являются композитами минимальной или максимальной жесткости (см. работы Л.В. Гибянского, Ю. Грабовского, В.В. Жикова, К.А. Лурье, Г.А. Серегина, A.B. Черкаева, К. Баттачарии, Р.В. Кона, Р. Липтона, Г.В. Милтона, Л. Тартара, 3. Хашина, А. Штрикмана и ДР-)-

В настоящей работе при произвольных средних деформациях впервые строится достижимая нижняя оценка энергии двухфазного композита, образованного изотропными фазами с произвольными упругими модулями при произвольных объемных долях фаз. Затем в результате дополнительной минимизации оценки по отношению к объемной доле новой фазы при объемной доле, стремящейся к нулю, строятся предельные поверхности прямого и обратного фазовых превращений. Эти поверхности образованы всеми внеш-

ними деформациями, при которых двухфазное состояние материала впервые может иметь энергию, меньшую, чем энергия одного из однофазных состояний. Предъявляются микроструктуры (так называемые слон первого, второго и третьего рангов), соответствующие этим деформациям. В завершение рассмотрения предельные поверхности и микростуктуры сравниваются с формой и поверхностями возникновения областей новой фазы, полученными полуобратным методом.

Основной целыо диссертационной работы являются нахождение достижимых нижних оценок энергии двухфазных композитных материалов и построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений.

Задачи работы.

1. Исследование условий существования и определение геометрических характеристик термодинамически равновесных областей новой фазы, имеющих форму эллиптических цилиндров.

2. Исследование устойчивости равновесных цилиндрических межфазных границ.

3. Построение достижимых нижних оценок свободной энергии двухфазных композитных материалов, образованных изотропными фазами с произвольными модулями упругости, при заданных объемных долях фаз и произвольных средних деформациях.

4. Построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений для материалов, допускающих фазовое превращение, и исследование двухфазных структур, соответствующих предельным поверхностям превращения.

Научную новизну диссертации представляют следующие положения, выносимые на защиту:.

1. Впервые проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесных цилиндрических областях новой фазы в упругом материале, претерпевающем при деформировапин фазовое превращение. Найдены геометрические характеристики равновесных цилиндрических областей в зависимости от внешнего поля и в пространстве деформаций построены поверхности их возникновения. Исследована устойчивость равновесных цилиндрических межфазных границ ио отношению к возмущениям формы границы в зависимости от параметров материала, внешних деформаций и типа возмущений.

2. Для произвольных деформированных состояний впервые построены достижимые нижние оценки энергии двухфазных композитных материалов, состоящих из изотропных фаз с заданными объемными долями и произвольными упругими модулями.

3. Развита и реализована процедура построения в пространстве деформаций предельных поверхностей прямого и обратного фазовых превращений в случае изотропных фаз. Определены двухфазные микроструктуры, соответствующие предельным поверхностям превращения.

Научно-практическая значимость. Построение предельных по-

верхностей превращения дает возможность прогнозировать начало фазового превращения в зависимости от траектории деформирования и описать влияние вида деформированного состояния на геометрию зарождающихся двухфазных структур при прямом и обратном превращениях.

Нахождение достижимой нижней оценки энергии упругого материала означает определение микроструктуры композитного материала, который при заданной внешней деформации имеет наименьшую жесткость. Этот результат полезен при проектировании конструкционных элементов, чувствительных к виду деформированного состояния.

Предложенный сценарий рассмотрения фазовых переходов может быть использован для дальнейшего развития теории, учитывающей анизотропию фаз и поверхностное натяжение, а полученные аналитические решения могут рассматриваться как тестовые при развитии численных процедур описания фазовых превращений в упругих телах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой математических задач, применением математически обоснованных методов решения, использованием в численных процедурах падежных алгоритмов и программ, совпадением численных результатов с полученными для частных случаев аналитическими результатами.

Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Всероссийских школах-конференциях молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2005-2007), XXXIII международной молодежной научной конференции "Гагарииские чтения" (Москва, 2007), международной школе-конференции "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2006-2011), международной школе-конференции молодых ученых "Механика 2009" (Агавнадзор, Армения, 2009), Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011), Всероссийской

конференции "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" (Пермь, 2008).

Полностью результаты диссертации обсуждались на семинарах ИПМаш РАН, кафедры "Теоретическая механика" СПбГПУ и лаборатории прочности материалов СПбГУ.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 6 печатных работ, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК России, и 13 тезисов конференций.

Личное участие автора в работах, написанных в соавторстве, состоит в получении аналитических решений поставленных задач и их исследовании.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена па 110 страницах машинописного текста, содержит 22 рисунка, список использованных источников из 136 наименований.

Исследования автора па различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ (04-01-00431-а, 07-01-00525-а^ 10-01-00670-а, 11-01-16069-моб_з_рос), программой ОЭММПУ РАН №13 (рук. акад. РАН И.Г.Горячева) и программой фундаментальных исследования госакадемий РФ №23 (рук. акад. РАН И.Г.Горячева и акад. РАН Н.Ф.Морозов), гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации НШ-3776.2010.1 (рук. акад. РАН Н.Ф.Морозов), гранта для аспирантов вузов и академических институтов па территории Санкт-Петербурга и Министерством образования и науки РФ (контракт 14.740.11.0353).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дана общая характеристика работы, приводится обзор публикаций по теме диссертации, указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссертации, охарактеризована ее научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе исследованы равновесные области новой анизотропной фазы, имеющие форму эллиптического цилиндра, находящегося в материале исходной изотропной фазы. Определены зависимости ориентации оси равновесного цилиндра и соотношения полуосей эллипса, лежащего в основании, от внешних деформаций. Для случая изотропных фаз в пространстве

деформаций построены поверхности зарождения новой фазы в виде цилиндрических областей.

В параграфе 1.1 приводится математическая постановка задачи нахождения равновесных двухфазных конфигураций упругого тела. Фазы, обозначаемые индексами "+" и "—различаются тензорами модулей упругости С± и тензорами деформаций е± в ненапряженном состоянии. Если ер_ = О, то £р = еЧ - собственная деформация превращения.

Для того, чтобы материал допускал фазовое превращение при деформировании, объемная плотность его свободной энергии / должна быть невыпуклой функцией деформаций е:

ДМ) = тт{/-(е,0),/+М)Ь /±М) = ¡1(6) + \{е - ер±) : С± : (е — 4).

(1)

где в - температура, - плотности свободной энергии фаз в ненапряженном состоянии, верхние и нижние знаки и индексы ± соответствуют друг другу, (С : е)у = С^ыЕы- Термоупругие напряжения и поверхностная энергия не учитываются.

Плотности энергии (1) соответствуют определяющие соотношения для напряжений <г± в областях тела, занятых разными фазами:

«т± = С± : (е - е±) (2)

При заданных внешних воздействиях равновесное двухфазное состояние с межфазной границей Г соответствует минимуму энергии Гиббса тела, которая с точностью до слагаемого, свя-Рис. 1: Одномерный аналог зависимости плот- занного с плотностями свободной ности свободной энергии от деформаций. энергии материалов фаз в нена-

пряженном состоянии, совпадает с потенциальной энергией. Рассматриваются межфазные границы, на которых перемещения и непрерывны. Необходимые условия минимума энергии двухфазного тела включают обычные для составного тела уравнения равновесия в объеме тела и условие непрерывности усилий на границе раздела материа-

лоб

х £ Г : V • <т = 0, 0 = const, (3)

х G Г : [и] = 0, [er] • п = 0 (4)

и дополнительное термодинамическое условие равновесия, появляющееся из-за дополнительной степени свободы - положения межфазпой границы:

хеГ : [/] - (а) : [е] = О, (<т) = \{ст+ + <г_). (5)

Здесь х - точка тола, п - единичный вектор нормали к межфазной границе, квадратными скобками обозначено изменение величины при переходе через межфазную границу, [•] = (•)+- (')-. <°"> : [£] = °± : [£]-

Из условий (4) следует формула для определения скачка деформаций в зависимости от нормали и деформаций по одну из сторон границы1:

[е] = К» : q±i q± = - [С] : £± + [С : e"J, K±(n) = {nG±(n)n}s, G± = (n-C±-n)-\ U

знак s означает операцию симметризации, Кф1 = n^G^fjjii) ■

После подстановки (1) и (2) в (5) термодинамическое условие с учетом соотношений (6) принимает вид уравнения, определяющего однонараметри-ческое семейство нормалей к границе фаз в зависимости от деформаций по одну из сторон границы2:

х(е±,п) = 7+ \ № ■■ С : ер] + : [С] : е±-

- е± : [С : е"] ± : KT(n) : q± = 0, (7)

где параметр 7 = f¿(9) — /о~(0) определяется температурой.

Таким образом, задача описания равновесной двухфазной конфигурации упругого тела является задачей с неизвестной границей и сводится к определению перемещений и положения межфазной границы, которые удовлетворяют условиям (3), (4), (7) и граничным условиям. Поскольку эти условия являются только необходимыми условиями минимума энергии, должна быть дополнительно исследована устойчивость найденных решений.

В параграфе 1.2 исследуются равновесные цилиндрические области новой фазы. Доказывается следующая теорема.

1 Kuiiin I.A. Elastic media with Microstructurc. Vol. 2. Three Dimensional Models. Springer Series in Solid State Scienecs. V. 44. Berlin, New York, etc. Springer-Verlag. 1983.

2 Кублапов JI.В., Фрейдин A.B. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ. 1988. Т. 52. С. 493-501.

Теорема. Если на равновесной межфазной границе цилиндрической области фазы "+" находящейся в однородном изотропном материале фазы "—" тензоры е+ и е\ постоянны, а тензор [С] - невырожденный, то тензор - осесимметричный,

= qkkk + д,(Е - кк), (8)

где к - ось цилиндра. Главные значения (¡¡¡: и <7* связаны термодинамическим условием

Ф{Чк,<1*) + = 0, где Я*) = Ъ + = [С]"1 (9)

( 4 А"1

С- = Е : К_(п) : Е = I + 1 , и - модуль сдвига и объемный модуль упругости фазы "—".

Скачок деформаций на равновесной межфазной границе равен

[е] = с_^пп, (10)

где п - нормаль к границе.

Если материал фазы "+" также изотропный, то условие (9) принимает

вид

+ ^ + ^ + (П)

где = — Ц- и к\ = к+ — к- - изменения модуля сдвига и объемного модуля упругости соответственно.

Согласно решению Эшелби иоле деформаций внутри однородного эллиптического цилиндра, находящегося в однородном внешнем поле, однородно. Если такой цилиндр является равновесным включением новой фазы, то в силу теоремы ориентация оси цилиндра и отношение длин полуосей эллипса подстраиваются под внешнее поле так, что один из главных векторов тензора q+ направлен по оси цилиндра, а главные значения, соответствующие двум другим главным векторам, равны. Кроме того, главные значения тензора q+ удовлетворяют равенству (9), которое в случае изотропных фаз принимает вид (11).

Внутренние е+ и внешние деформации £о, ориентация цилиндра и соотношение полуосей эллипса в основании связаны формулой Эшелби

е+ = е0 + А^+, (12)

где А - тензор Купина - Эшелби, однозначно определяемый направлением

оси цилиндра и ориентацией и отношением длин полуосей эллипса. Из (12) и

10

(8) следует, что

{Як — 9*)кк + 9*([CJ: u> + Е) = qo, q0 = - [С] : е„ + [С : е?], (13) где неотрицательно определенный тензор

w = А : Е = с (и^ехв! + ш2е2е2), иц = ^ ^ , ш2

определяет ориентацию эллипса и отношение полуосей, направление которых задается векторами ej, е2. Из соотношения (13) следуют уравнения, определяющие геометрические параметры равновесного цилиндра в зависимости от внешнего поля eq.

В параграфе 1.3 в пространстве деформаций для случая изотропных фаз строятся поверхности возникновения цилиндрических областей новой фазы и проводится сравнение с поверхностями возникновения областей другой формы. Ограничения на деформации, при которых такие области существуют, следуют из неотрицательной определенности тензора и>. Поверхности возникновения и локальные ноля на межфазной границе соотносятся с зонами фазовых переходов1 и поверхностями возникновения эллипсоидальных областей новой фазы2.

На рис. 2 показаны сечения зон фазовых переходов и поверхностей возникновения равновесных эллипсоидальных и цилиндрических областей новой фазы плоскостью ej = е2 = соответствующей осесимметричным внешним деформациям, е, (г = 1,2,3) — главные направления деформаций. Показан случай ßi < 0, ki < 0. В работе также рассмотрены и другие соотношения параметров материала.

Зоны фазовых переходов (ЗФП) закрашены серым цветом. Они состоят из всех деформаций, которые в данном материале могут существовать на межфазных границах. Границы ЗФП являются поверхностями возникновения слоев повой фазы.

Эллипс В'А'В AB' соответствует возникновению круговых цилиндров фазы "—" с осью, совпадающей с направлением ез. Круговая форма основания связана с осесимметрией внешнего деформирования. Дуги С'D' и CD соответствуют возникновению цилиндров фазы "—" с осью, лежащей в плос-

1 Морозов Н.Ф., Фрсйдин A.B. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклона. 1998. Т. 223. С. 220-232.

2Кублапов Л.Б., Фрсйдин A.B. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ.- 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 493-501.

1 + £'

£ = «1 /«2

(14)

£з!

А 1

1:. V»

У В °

\ V

.....

/* V-, \ V

О'

к

\ ■

яЧ

|\ \ ,„ V

V \\ \

£1 = £2

3 Ч \ч 11

\бЧ\ * И

в \\ \ Ч| I > I

\Х£\ Ь ■■ и о\ ЧЛ\ч -

\ 1

+

\\\ Л

м*

Рис. 2: Осесимметричное сечение пространства внешних деформаций в случае =30= 78,ц+ = 15, к+ = 39,7 = /° -=6.75, е» = 0.1.

кости векторов в1 и ег. Эллипс С'СС соответствует возникновению цилиндров фазы"+" с осью, совпадающей с е3. Сегменты ЕТ' и ЕЬ' соответствуют возникновению цилиндров фазы "+" с осью, лежащей в плоскости векторов еь е2.

Отрезки Б'В', ВВ и ЕС, Е'С соответствуют равновесным эллипсоидальным включениям фаз "—" и "+". В точках В, В', (?иС' одна из полуосей эллипсоида становится бесконечной и эллипсоид превращается в цилиндр. В точках £>, Е и Е' две полуоси эллипсоида становятся бесконечными, эллипсоид превращается в слой. В этих же точках в слои превращаются цилиндры с осью, лежащей в плоскости векторов в].,

Отмечается неоднозначность типа равновесных состояний. Например, там, где линии существования цилиндрических областей пересекают ЗФП, условиям равновесия удовлетворяют и цилиндры, и слои. В следующих главах показывается, что равновесные цилиндрические области в этом случае неустойчивы.

Если принять за поверхность превращения огибающую построенных поверхностей возникновения областей новой фазы различного типа, то при прямом превращении, то есть когда тело нагружают из исходного недеформи-

12

ровашюго состояния, фаза "+" зарождается в виде плоских слоев, ориентация которых известным образом зависит от вида деформированного состояния. При обратном превращении из фазы "+" в фазу "—" в зависимости от вида деформированного состояния фаза " —" зарождается в виде эллипсоидов, цилиндров или слоев.

Отметим, что поверхность обратного превращения теряет выпуклость в окрестности точек А и А'. В четвертой главе показывается, что в этой области деформаций предельная поверхность превращения "овыиукляет" огибающую поверхностей возникновения цилиндров н слоев, причем предельным деформациям соответствуют микроструктуры, представляющие собой "наклонные слои второго ранга".

Исследовано влияние параметров материала (модулей упругости фаз и собственной деформации превращения) и определяемого температурой параметра 7 на форму огибающей поверхностей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов повой фазы и ее положение относительно начала координат, соответствующего нодеформированпому состоянию фазы "—". Показано, что если тензор [С| разности модулей упругости знакоопределенный, то огибающая является замкнутой поверхностью. Если тензор |CJ не является зиако-опрсдсленным, то огибающая - разомкнутая.

Изменение собственной деформации превращения может приводить к сдвигу поверхностей возникновения областей новой фазы в пространстве деформаций такому, что при прямом превращении огибающая будет совпадать с поверхностью возникновения слоев, а при обратном превращении в зависимости от траектории деформирования огибающей могут соответствовать эллипсоиды или цилиндры новой фазы.

Во второй главе исследуется устойчивость равновесных цилиндрических межфазных границ в случае изотропных фаз.

В параграфах 2.1, 2.2 обсуждаются необходимые условия устойчивости. Необходимым условием устойчивости произвольной межфазной границы является устойчивость всех кусочно-постоянных полей деформаций с плоскими границами, на которых заданы те же пары сосуществующих деформаций, что и в точках исследуемой границы1 (рис. 3). Так как поле деформаций внутри равновесного цилиндра однородное и осесимметричное, для каждого цилиндра необходимо исследовать устойчивость только одного кусочно-постоянного поля.

'Gurt,in М.Е. Two-phase deformations of clastic solids // Arch. Rat. Meeh. Analysis. 1983. Vol. 84. № 1. P. 1-29.

Перемещения точек тела и радиус-вектор точек межфазной гра-е_(х) ницы в возмущенном состоянии да-

ются формулами

е+(хГ^ и = Ц° + Ш, Г = Г° + Г]П,

где и° и г° - перемещения и радиус-

вектор точек межфазной границы в Рис. 3: Необходимое условие устойчивости 11евюмущешюм состоянии, V и 7/ -

межфазной границы - устойчивость кусочно возму щеиия перемещений точек тела

постоянных двухфазных деформаций, соот- , „

/л 1 г « V , и положения межфазной границы.

ветствующих точкам границы. г.

Дальнейшая квазистатическая эволюция границы описывается кинетическим уравнением, согласно которому нормальная составляющая скорости границы фаз определяется формулой

«п =-*Х(е±»п), (15)

где ус - положительный кинетический коэффициент. Если двухфазное состояние устойчиво, то возмущенная межфазная граница возвращается в исходное состояние, если неустойчиво - развивается дальше.

Линеаризованные условия равновесия и кинетическое уравнение для возмущенной задачи имеют вид1:

х£Г

х 6 и П2 х€Г

V • <г±(\уг) = 0, <г±Ы = С±:\у, (16)

ш|П1=0, п-<г^)|П2=0, (17)

И = -7?[п ■ Уи°|, п • Кш)] = V»? • [о-0(и°)1, (18)

-Ч±(и°) : £±(™-) ± Ч±(и°) : Кт(п) : = (19)

где я+(-иг) = — [С] : е(\у), е(ш) = (Уи)4', Пх и Пг ~ внешняя граница материала. Кинетическое уравнение (19) следует из соотношений (7) и (15). Рассматриваются возмущения вида

*г(х) = г(у2уУ1 + К.С., г] = + К.С. ю = а = <; • х, й = п • х, (20)

где К.С. означает комплексно сопряженное выражение, t - единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к межфазной границе, г(у2) экспоненциально убывает при удалении от межфазной границы.

'Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. Об устойчивости равновесия двухфазных тел // ПММ. 2007. Т. 71. С. 66-92.

Система уравнений (16-19) после подстановки выражений (20) решается относительно вектора 2(3/2)- После подстановки полученного решения в кинетическое уравнение (19) получаем линеаризованное уравнение, определяющее кинетику возмущенной границы:

^ = ¿(4Ь(*), (21)

где е® - деформации на межфазпой границе в невозмущенном состоянии.

По знаку коэффициента Ь можно судить об устойчивости межфазной границы. Если Ь > 0, то равновесная межфазная граница неустойчива.

В параграфах 2.3, 2.4 после решения системы (16-19) обсуждаются результаты исследования устойчивости межфазных цилиндрических границ но отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра (рис. 4 а) и вдоль оси цилиндра (рис. 46). Рассматривается случай изотропных фаз и шаровой собственной деформации превращения. В этом случае в силу доказанной выше теоремы деформации внутри равновесного цилиндрического включения - осесимметричные: е = е^кк + е* (Е — кк). Примеры полученных зависимостей Ь от внутренней деформации е„ приведены на рис. 5.

Устойчивость по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра определяется знаком изменения модуля сдвига. Межфазная граница неустойчива по отношению к таким возмущениям при всех внутренних деформациях (а следовательно и внешних деформациях, определяемых с помощью формулы (12)), если модуль сдвига повой фазы меньше модуля сдвига окружающего материала (Ь < 0 па сплошной кривой при всех е, на рис. 5 а). Такая неустойчивость не обнаруживается, если модуль сдвига новой фазы больше модуля сдвига окружающего материала (Ь > 0 па сплошной кривой при всех е, на рис. 56).

Во втором случае существует интервал деформаций, а следовательно и область в пространстве внешних деформаций па поверхности возникновения цилиндров, при которых не происходит потери устойчивости по отношению к возмущениям вдоль оси цилиндра. Вместе с тем вне этого интервала происходит потеря устойчивости но отношению к таким возмущениям, несмотря на устойчивость по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра.

Рис. 4: Схематическое изображение типов возмущения межфазной цилиидрической границы: а) в плоскости основания цилиндра; 6) вдоль оси цилиндра.

Для цилиндрических межфазных границ неустойчивость не обнаружена в случае, когда внешние деформации принадлежат огибающим поверхностей превращении, построенным в главе 1. Деформации на межфазной границе в этом случае принадлежат внешним границам ЗФП.

Рис. 5: Коэффициент Ь в зависимости от во- Отдельно исследована устой-

личины деформации внутри цилиндра, обра- чивость цилиндрической области ио-зонанного фазой "+" в окружении фазы"-". вой ФаЗЫ> возникшей при двухос-Сплошная линия - возмущения лежат в плос- 1ЮМ Деформировании материала. Ес-кости основания цилиндра. Пунктирная ли- ли плоскость основания цилиндра пия - возмущения направлены вдоль оси ци- совпадает с плоскостью деформи-линдра; а) /1+ > к+ > к_, б) < ,х_, рования, а модуль сдвига материа-к+ > к_, ла цилиндра больше модуля сдвига

окружающего материала, то цилиндрические межфазные границы устойчивы по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра при всех внешних деформациях, допускающих существование равновесных цилиндрических областей новой фазы. Но если при этом объемный модуль упругости внутри цилиндра меньше объемного модуля упругости окружающего материала, то при всех внешних деформациях теряется устойчивость по отношению к возмущениям вдоль оси цилиндра. Это показывает, что постановка плоской деформации не всегда физически реализуема в задаче о фазовом превращении.

В третьей главе строится достижимая нижняя оценка свободной энергии двухфазного композитного материала при заданных средних деформациях и объемных долях фаз. Никакое смешивание фаз, образующих композит, не позволяет получить энергию меньшую, чем нижняя оценка. Достижимость означает, что найдена двухфазная микроструктура, на которой эта оценка выполняется точно. Для упрощения рассматривается материал, состоящий из двух изотропных фаз, имеющих нулевой коэффициент Пуассона. В этом случае получаются простые для анализа выражения, позволяющие развить - процедуру построения нижних оценок и поиска соответствующих микроструктур. Случай произвольных модулей упругости рассматривается в четвертой главе при построении предельной поверхности фазовых превращений.

В параграфе 3.1 обсуждается постановка задачи о нахождении нижней оценки энергии двухфазного периодического материала с единичной ячейкой периодичности V. Области, занимаемые фазами "—" и "+", обозначаются V- и У+ соответственно, VI и У+ = V, объемные доли фаз равны 7П_ и тп+ соответственно, то_ +т+ = 1. Упругие характеристики материала определяются тензором модулей упругости

С(х) = (1 - Х(х))С_ + Х(х)С+, х(х) = ( I'* (22)

где С± = 2ц±1, I - единичный тензор четвертого ранга.

В ячейке периодичности заданы средние деформации

£0 = У ЫУ. (23)

V

Свободная энергия материала определяется выражением

F = I (Л + С(Х) : £(Х)) dV'

(24)

v

где/0 = (1 -х(х))/£+х(х)/?.

Достижимой нижней оценкой является

QJm= inf inf F, (25)

JXdV=m+e±e£0

V

где So - множество симметричных тензоров второго ранга е таких, что выполняется условие (23) и существует векторное поле и такое, что

£ = I(Vu + VuT). (26)

В параграфе 3.2 приводится оценка свободной энергии двухфазного материала, получаемая в результате прямого поиска минимума энергии (24) но деформациям. Такая оценка соответствует оценке Рейсса для эффективных упругих свойств двухфазного материала. Она достижима только в случае одноосного растяжения на классе простых слоистых структур с нормалью, направленной вдоль оси растяжения.

В параграфе 3.3 описывается построение улучшенной оценки энергии двухфазного материала, основанной на оценке квазивыпуклой функции энергии. Для построения оценки вводится дополнительная квазивыпуклая функция, называемая транслятором1

ф(е, t) = -Cof(e) : t = е: Т : е (27)

'Chcrkaev A.V. Variational methods for structural optimization. New York: Springer-Verlag, 2000. 54G p.

(квазивыпуклой функцией здесь называется невыпуклая функция на множестве произвольных тензоров второго ранга е, но выпуклая на множестве

Транслятор зависит от тензора е и дополнительного неотрицательного симметричного тензора второго ранга которым определяется тензор четвертого ранга Т, введение которого позволяет записать транслятор к виду квадратичной формы. Главные значения тензора называются параметрами транслятора и обозначаются ¿1, ¿2-> ¿з-

Функция в декартовой системе координат, связанной с главны-

ми направлениями тензора равна

у>(е, Ь) = 243(е?а - ецЕи) + Ще213 - епезз) + 2^(4, - е22£зз), (28)

где Еу - компоненты тензора деформаций е в базисе главных направлений тензора 1;.

Вводится поиятие "сдвинутой" энергии материала как энергии, плотность которой равна разности между плотностью свободной энергии материала и транслятором. Для построения нижней оценки необходимо, чтобы плотность "сдвинутой" энергии была выпуклой функцией на множестве тензоров деформаций. Требование выпуклости приводит к множеству допустимых тензоров Э = ^ : € [0; 2тах{//_,/х+}],г = 1,3}. Без ограничения общности далее полагаем, что >

В результате строится уточненная нижняя оценка энергии двухфазного композита материала

которая улучшает выпуклую оценку за счет выбора максимума по параметрам транслятора.

В результате нахождения минимума энергии материала по деформациям получаются следующие выражения для оптимальных средних по фазах деформаций

£ € £о.)

(29)

где ^ = I (>(х) + \ {е(х) : С(х) : е(х) - <р(е, <;)} ) ¿V,

V

= (тп+ С_ + ш_С+ - Т)-1 : (Ст - Т) : е0-

(30)

Уточненная нижняя оценка принимает вид

_ 1 г 1

ТТ = 9 , , 1 + т+7 + : Т(С) : £0

+^£0 : ((С+ - Т) : (го_с+ + т+С_ - Т)-1 : (С_ - Т)) : £0} . (31)

Вместо поиска максимума в (31) в диссертационной работе предполагается, что оценка (31) действительно достижима на классе слоистых микроструктур, вводимых в параграфе 3.4. Такая достижимость означает, что в микроструктурах действительно реализуются поля со средними деформациями, равными Реализуемость означает выполнимость условий совместности деформаций. Из условий совместности средних по фазам деформаций в параграфе 3.5 однозначно находятся параметры транслятора. Наконец, для доказательства достижимости необходимо оценить 0,Тт сверху на классе слоистых микроструктур оценкой СТ. При совпадении нижней оценки энергии ТТ при полученных параметрах транслятора и верхней оценки СТ имеет место выполнение равенств ТТ = (2Тт = СТ, что означает построение нижней оценки энергии, достижимой на классе слоистых микроструктур.

В параграфе 3.4 вводятся в рассмотрение слоистые микроструктуры первого, второго и третьего рангов, представимые в виде иерархических структур "слоев из слоев" (рис. 6), получаемых в результате многошагового процесса построения. Простые слои, или слои первого ранга, определяются только направлением нормали пх к межфазной границе. Слои второго и третьего рангов опре-гие. о: илои различных рангов: а) - первого, деляются направлением двух и трех б) - второго, в) - третьего. нормалей соответственно и набором

из двух и трех структурных параметров р^, зависящих от объемных долей

слоев на каждом шаге построения микроструктур, причем р ; = 1, с1- ранг

¿=1

микроструктуры.

В силу непрерывности перемещений скачок деформаций па межфаз-пой границе имеет структуру симметризованпой диады: [е] = (па)5. Тогда в случае слоев первого ранга, поля деформаций в которых кусочпо-постояппые, средние ноля деформаций должны удовлетворять условию совместности

(Ае)тт = (Д£)85 = (Де)т, = 0, (32)

19

•*5

1!

МммИивВ

где т и s - взаимоортогональные касательные векторы к мсжфазиой границе, Ае = е+ —

В случае слоев второго ранга условия совместности принимают вид

(Ae)fcjt = 0, (33)

где k = ni х П2, rii и П2 - нормали, задающие слои второго ранга.

В параграфе 3.5 определяются параметры транслятора, при которых выполняются условия совместности (32) и (33). Их выполнение достигается двумя способами. Первый способ - выбор параметров транслятора. Тогда векторы пик, при которых выполняются соответственно условия (32) и (33), направлены вдоль главного направления тензора £д. Второй способ -выбор направлений векторов пик при условии, что часть или все параметры транслятора находятся на границе области допустимых значений G.

Пространство деформаций разбивается на области, в которых выполняется одно из этих условий совместности или не выполняется ни одно из них. Затем получается соответствующая этим областям нижняя оценка энергии.

В параграфе 3.6 получено выражение для нахождения энергии слоев различного ранга

LF = 70 + : Со : е0, (34)

-1 d

где С0 = C_ + m2{[CJ +т,{ PiK_(n,)} 1 - тензор эффективных модулей

¿=1

упругости слоя ранга d, п; - нормали к слоям на каждом шаге построения, тензор K_(nj) вычисляется по формуле (6).

Оценка CT энергии слоев строится в результате нахождения минимумов

CT = min min min LF. (35)

n i Pi d

В областях пространства деформаций, где выполняется одно из условий совместности (32) или (33), нижняя оценка предписывает ранг слоев, на которых она может быть достигнута. В областях, где не выполняется ни одно из условий совместности, нижняя оценка не может быть достигнута на слоях ни первого, ни второго рангов. В этом случае показывается достижимость нижней оценки на классе слоев третьего ранга.

В случае выполнения условия совместности (32) оптимальные слои первого ранга однозначно определяются нормалью nj, задаваемой направлениями непрерывности тензора Де. В остальных случаях оптимальные структуры определяются неединственным образом. Для доказательства достижимости нижней оценки необходимо предъявить хотя бы один тип структур, на

Рис. 7: Представление пространства деформаций на плоскости ¿1 — ¿2 и схематическое изображение типов двухфазных структур, для которых достигается нижняя оценка: 1, 5, 5', 6, 6' - простые слоистые структуры; 2, 2', 4, 4', 7 - слои второго ранга; 3 слои третьего ранга. Направления нормалей приведены в тексте.

которых оценка достигается. Поэтому в работе при рассмотрении слоев третьего ранга и слоев второго ранга, для которых вектор к сонаправлен с одним из главных направлений тензора ец, принимается, что нормали сонаправлены с главными направлениями тензора средних деформаций.

В параграфе 3.7 рассматриваются наклонные слои второго ранга, то есть слои второго ранга с вектором к, не совпадающем ни с одним из главных направлений тензора средних деформаций. В этом случае структурные параметры принимаются равными р\ = рг = а проекции нормалей на главные направления связаны соотношениями п\ = п\, п\ — — п|, п\ = п\, где верхний индекс обозначает шаг построения слоя второго ранга. С использованием формул (6) для с качка деформаций на межфазной границе выводятся выражения для средних деформаций в фазе "—Равенство этих деформаций и оптимальных деформаций в фазе " —" (30) является условием для нахождения направления нормалей.

В параграфе 3.8 приводится анализ результата построения точных нижних оценок.

Пространство средних деформаций представляется на плоскости — ¿2, где ¿1 = —, ¿2 = —, £1, £2, £з ~ главные значения тензора внега-

них деформаций, причем |е3| > тах{|е!|, |е2|} (рис. 7). Тогда все возможные деформационные состояния лежат в области ¿1,<52 € [—1; 1].

В области 1 нижняя оценка энергии достигается на классе слоев третьего ранга, нормали которых сонаправлены с главными векторами тензора внешних деформаций. В областях 2 и 2' - на классе слоев второго ранга с нормалями, соиаправлешшми с главными векторами, соответствующими наибольшим по величине главным значениям тензора £г0. В области 3 - на классе простых слоев с нормалью, сонаправленной с главным направлением тензора £о> соответствующим максимальному по величине главному значению. В областях 4, 4', 7 - на классе слоев второго ранга с нормалями, не лежащими в главных плоскостях тензора ео- В областях 5, 5', 6, 6' - на классе простых слоев с нормалями, лежащими в плоскости максимального и минимального главных значений тензора £д.

Таким образом, на примере композитных материалов, состоящих из двух изотропных фаз с нулевыми коэффициентами Пауссона, разработана процедура построения нижних оценок свободной энергии при произвольных заданных средних деформациях и объемных долях изотропных фаз. Достижимость показывается на классе слоистых микроструктур первого, второго и третьего рангов.

В четвертой главе описывается построение предельных поверхностей превращения в случае произвольных изотропных фаз и приводится анализ типов двухфазных микроструктур, соответствующих предельным поверхностям.

В параграфе 4.1 в результате обобщения построений главы 3 нижняя оценка энергии строится для случая произвольных упругих изотропных фаз с учетом деформаций фаз в пенагруженном состоянии.

В параграфе 4.2 на основе достижимой нижней оценки энергии двухфазных структур в пространстве внешних деформаций строится предельная поверхность превращения, соответствующая всем средним деформациям, при которых двухфазные структуры впервые минимизируют энергию материала по отношению к однофазным материалам.

На рис. 8 приведен пример сечения предельных поверхностей прямого и обратного фазовых превращений, соответствующего осесимметричному деформированию материала.

Кривая 1 соответствует предельной поверхности прямого превращения. Сегменты ЕГО и Е'Е'С соответствуют появлению слоев новой фазы с нормалью, сонаправленпой с главным вектором тензора £ц, соответствующим его максимальному по величине глав-

пому значению, сегменты E'G и GE' соответствуют слоям первого ранга с нормалью, лежащей в главной плоскости тензора £о,

соответствующей его максимальному и минимальным главным значениям. При выбранных параметрах материала предельная поверхность прямого превращения, построенная с использованием нижних оценок энергии, полностью совпадает с огибающей областей возникновения областей новой (такими областями являются слои повой фазы).

Кривая 2 соответствует предельной поверхности обратного превращения. Отрезки ВС и В'С' соответствуют слоям третьего ранга и совпадают с отрезками, соответствующими возникновению эллипсоидальных включений новой фазы. Сегменты CD и C'D' соответствуют слоям второго ранга с нормаля-Рис. 8: Сечение предельной поверхности пре- ми, сонаправленными с главными на-вращеиия, соответствующее осесимметрич- правлениями тензора £0 и совпадают ному деформированию. Параметры матери- с соответствующими сегментами па ала kt < 0, щ < 0, 7 > 0, е± = 0. поверхностях возникновения цилин-

дрических областей новой фазы. Сегменты АВ и А'В' соответствуют слоям первого ранга с нормалью, сонаправ-ленной с главным вектором тензора е0, соответствующего максимальному по величине главному значению. Сегменты D'A и DA' соответствуют наклонным слоям второго ранга с нормалями, не лежащими в главных плоскостях тензора е0. Именно эти сегменты овыпукляют построенную в первой главе огибающую поверхностей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы. В диссертации приводятся также предельные поверхности фазового превращения, построенные при разных наборах параметров материала.

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

1. Для двухфазных композитных материалов при произвольных заданных средних деформациях и объемных долях изотрониых фаз найдены нижние оценки свободной энергии. Показано, что эти оценки достигаются

23

на микроструктурах, являющихся слоями первого, второго и третьего рангов. Определены параметры микроструктур.

2. В пространстве деформаций построены предельные поверхности прямого и обратного фазовых превращений, впервые позволившие предсказать при каких деформациях в упругом материале может начаться фазовое превращение и какие микроструктуры соответствуют началу фазового превращения при различных деформированных состояниях. Показано, что в зависимости от знакоопределенности разности тензоров модулей упругости фаз предельная поверхность может быть замкнутой или разомкнутой. Показано, что микроструктуры, возникающие при прямом и обратном превращениях могут отличаться друг от друга.

3. Проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесной цилиндрической области новой фазы в изотропном упругом материале, претерпевающем фазовое превращение. Определены зависимости направления оси и формы основания равновесного цилиндра от деформированного состояния. Исследована устойчивость равновесных цилиндрических областей и в пространстве деформаций построены поверхности их возникновения. Показано, что устойчивые цилиндрические области возникают при тех же деформациях, что и слои второго ранга, то есть являются энергетически эквивалентными слоям второго ранга.

4. Показано, что огибающая поверхностей возникновения равновесных слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы только частично совпадает с предельной поверхностью фазового превращения. В области несовпадения деформациям на предельной поверхности превращения соответствуют микроструктуры, представляющие собой наклонные слои второго ранга.

Публикации автора по теме диссертации

Результаты диссертационной работы опубликованы в следующих изданиях, рекомендованных ВАК России

1. М.А.Антимонов, А.В.Черкаев, А.Б.Фрейдин. Оптимальные микроструктуры и точная нижняя граница энергии упругих композитов из двух изотропных фаз // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.— 2010.— №3 — С. 112-122.

2. М.А.Антимонов, А.Б.Фрейдин. Равновесное цилиндрическое включение

анизотропной фазы в изотропном упругом теле // Научно-технические

24

ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.— 2010.— №4.— С. 37-44.

3. М.А.Антимонов. О построении предельной поверхности фазовых превращений при деформировании упругих тел // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.— 2011.— №4,— Ч. 5.

Другие статьи

4. М. Antimonov, A. Freidin. Equilibrium cylindrical new phase inclusion // Proc. of the XXXVII Summer School APM-2009 (Advanced Problems in Mechanics). 2009. IPME RAS, St. Petersburg.- P. 57-64.

5. M.A. Antimonov, A.V. Cherkaev, A.B. Freidin. On transformation surfaces construction for phase transitions in deformable solids // Proc. of the XXXVIII Summer School APM-2010 (Advanced Problems in Mechanics). 2010. IPME RAS, St. Petersburg - P. 23-29.

6. М.А.Антимонов, А.В.Черкаев. Двухфазные трехмерные композиты минимальной жесткости // Сборник трудов международной школы конференции молодых ученых "Механика 2009". Армения. Ереван — 2009.— С.145-151.

Подписано в печать 14.11.2011 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ 547

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199048, Санкт-Петербург, В.О., 6-я линия, д. 59 корпус 1, оф. 40

Введение.

1 Равновесная цилиндрическая область новой фазы в упругом изотропном теле.

1.1 Условия равновесия на межфазной границе.

1.2 Равновесная цилиндрическая область новой фазы

1.3 Поверхности возникновения равновесных цилиндрических областей.

2 Устойчивость равновесной цилиндрической межфазной границы

2.1 Постановка задачи об устойчивости цилиндрической межфазной границы.

2.2 Линеаризованные условия равновесия тела с возмущенными межфазной границей и перемещениями.

2.3 Решение возмущенного уравнения равновесия.

2.4 Устойчивость цилиндрической межфазной границы.

3 Достижимая нижняя оценка свободной энергии двухфазных упругих тел.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Выпуклая и трансляционная оценки энергии двухфазного тела

3.3 Построение трансляционной оценки энергии деформаций двухфазного материала.

3.3.1 Транслятор для оценки свободной энергии двухфазного материала.

3.3.2 Оценка "сдвинутой" свободной энергии.

3.4 Слоистые микроструктуры различных рангов. Условия совместности .;.

3.5 Нижняя оценка энергии, построенная из условий совместности

3.6 Энергия слоистых микроструктур.

3.7 Наклонные слои второго ранга.

3.8 Оптимальные слоистые микроструктуры.

4 Предельные поверхности превращения.

4.1 Точные нижние оценки энергии в случае произвольных упругих модулей изотропных фаз.

4.2 Предельные поверхности.

Актуальность темы

Изучение фазовых превращений в процессе деформирования находится в русле решения проблем взаимосвязи структуры материала и его деформационно-прочностных свойств. Характерной особенностью этих исследований является их комплексность: исследования ведутся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения [4,7,27,33,38,39,62]. Следствиями мартенситных фазовых превращений являются сверхупругость (псевдопластичность), эффект памяти формы [4,36], трансформационное упрочнение керамических материалов в результате мартенситного превращения частиц под действием напряжений, индуцированных трещинами [29,56-58,68,130]. В целом исследования фазовых превращений при деформировании ориентированы на развитие стратегии практического использования и создания материалов, в том числе композитных, заданным и нетривиальным образом реагирующих на внешние термомеханические воздействия (например, [70]). При этом речь может идти не только о создании элементов конструкций, выполняющих специфические функции, но и собственно "материале как машине" [82].

Разработка моделей фазовых превращений с позиции механики деформированного твердого тела ведется в русле двух различных направлений. Первое направление основано на разработке феноменологических моделей, полученных в результате добавления к определяющим соотношениям дополнительных параметров, характеризующих те или иные особенности системы и различные структурные уровни протекающих процессов (см. работы А.Е. Волкова [4], В.А. Лихачева [36], В.Г. Малинина [37], Г.А. Малыгина [41] A.A. Мовчана [42-46], А.И. Разова, К. Баттачарьи [131], К. Лекс-лен [117,118,134], К. Танаки, Д. Лагоудаса, Э. Патора (см. библиографию в [4]) и др.). Позволяя выявить важные особенности деформационных процессов, связанных с фазовыми превращениями, эти теории минуют этап явного рассмотрения межфазных границ, что, с одной стороны, избавляет от необходимости решения задач с неизвестными границами, но с другой - исключает из рассмотрения локальные поля напряжений и деформаций на межфазной границе и, собственно, двухфазную структуру, возникающую и развивающуюся по-разному на разных путях деформирования.

Второе направление основано на рассмотрении фазовых превращений с учетом условий равновесия на границе фаз деформированного материала, а также включает детальное описание возникающих под напряжением двухфазных структур. Это направление механики, зародившееся в начале 80-х годов, позволяет непротиворечиво описывать фазовые превращения с точки зрения механики деформируемого твердого тела и в то же время использовать многие идеи классической теории фазовых переходов, восходящей к работам Дж. Гиббса [10]. Значительный вклад в развитие этого направления внесли B.JI. Бердичевский [5,6], A.A. Вакуленко [8], С.Н. Гаврилов [98,99], М.А. Гринфельд [11-15], М.А. Гузев [16,17], В.А. Еремеев [18-20,86], Л.М. Зубов [21,22], В.И. Кондауров, JI.B. Никитин [30-32], Н.Ф. Морозов [49-53], В.Г. Осмоловский [55], Л.М. Трускиновский [61], А.Л. Ройтбурд [28,56-58], A.B. Фрейдин [54,77,94,136], А.Г. Хачатурян [68,108], К. Ватгачарья [85], М. Гартин [103], Р.Д. Джеймс [105,106], Дж. Ноулс [110-113], Р. Абейратне [71-75,125,126], Дж. Болл [81], Дж. Эриксен [87-90], Г. Пэри [124], М. Пит-тери [127-129], Э. Фрид [92] и др.

Данная работа выполнена в русле второго направления, которое естественным образом позволяет ставить следующие два основных вопроса теории фазовых переходов, вызванных деформационными воздействиями: когда и какие двухфазные структуры возникают в данном материале на данном пути деформирования и как материал переходит из одного фазового состояния в другое.

Ответ на первый вопрос связан с рассмотрением зарождения новой фазы, явным рассмотрением межфазных границ и построением в пространстве деформаций поверхностей прямого и обратного превращений. Ответ на второй вопрос подразумевает описание дальнейшего образования и развития областей новой фазы в зависимости от внешних деформаций, построение осредненных макродиаграмм деформирования и оценки локальных полей напряжений и деформаций. Настоящая работа посвящена решению задач, связанных с ответом на первый вопрос.

В диссертационной работе исследуются тела, состоящие из материалов, допускающих фазовое превращение в процессе деформирования. Граница фаз в таких телах рассматривается как поверхность разрыва деформаций при непрерывном поле перемещений. Для такого взгляда имеются как интуитивные, так и формальные основания.

Изменения структуры, вызванные фазовыми превращениями, приводят к изменению модулей упругости и собственным деформациям превращений в некоторых областях рассматриваемых тел. Поэтому область новой фазы с точки зрения расчета напряжений может быть рассмотрена как неоднородность, на границе которой поле деформаций претерпевает разрыв. Принципиальным отличием рассматриваемого двухфазного тела от композитного материала является то, что поверхности разрыва возникают и существуют только при определенных условиях. Это приводит к ограничениям на определяющие соотношения. Возникновение в упругом теле разрывного поля деформаций требует существования в пространстве деформаций областей неэллиптичности материала [110-112], в которых нарушается неравенство Адамара - необходимое условие устойчивости по отношению к бесконечно малым деформациям. Это ограничение на определяющие соотношения материала приводят к диаграммам деформирования, подобным кривым Ван-дер-Ваальса при фазовом превращении "газ - жидкость". В случае малых деформаций это означает необходимость невыпуклости зависимости плотности свободной энергии материала от тензора линейных деформаций. В диссертационной работе плотность свободной энергии материала, допускающего фазовые превращения, представляется набором квадратичных зависимостей.

На границе фаз в случае равновесия помимо обычных кинематического (сохранения сплошности) и силового (непрерывности усилия) ставится дополнительное термодинамическое условие - аналог равенства химических потенциалов при равновесии фаз в теории Гиббса. Термодинамическое условие является дополнительным ограничением на возможные разрывные решения. Оно обсуждалось в работах М.А. Гринфельда [11,15], J1.M. Зубова и В.А. Еремеева [21,22], Р. Джеймса [105], М. Гартина [103], Р. Фосдика [91], В.И. Кондаурова и JI.B. Никитина [30], В.Г. Осмоловского [55] и др. Именно это условие является ограничительным при определении формы границы фаз и соответствующих деформаций на границе.

Система условий равновесия на границе фаз может быть удовлетворена не при всех деформациях и не при всех ориентациях границы. Это обстоятельство привело к понятию зоны фазовых переходов, введенному А.Б. Фрейдиным и A.M. Чискисом [65,66], как области в пространстве деформаций, деформации из которой могут сосуществовать на равновесной границе фаз. Для случая малых деформаций зоны фазовых переходов были построены в работе [64].

Введенное понятие зоны фазовых переходов позволяет решать задачу о фазовом превращении полуобратным методом, который заключается в следующем. Предположим, что в теле возникает область новой фазы заданного типа геометрии. Тогда локальные поля деформаций на межфазной границе должны принадлежать зоне фазовых переходов. Это условие накладывает ограничения на внешние деформации, при которых заданная межфазная граница может существовать, и геометрические характеристики области новой фазы.

Система условий равновесия, включающая термодинамическое условие, является условием стационарности свободной энергии двухфазного тела, в то время как условием устойчивости является условие минимума свободной энергии. Это приводит к необходимости исследования устойчивости найденных полуобратным методом двухфазных конфигураций.

Ранее рассматривались различные вопросы, связанные с устойчивостью деформируемых тел при наличии фазовых превращений [15,18-21,23, 25,47,48,97,102]. Среди них отметим работы [24,25], в которых для случая малых деформаций сформулирована линеаризованная задача, описывающая бесконечно малые возмущения начального термодинамически равновесного двухфазного состояния. В качестве примера была исследована задача о неединственности и потере устойчивости центрально-симметричных равновесных двухфазных деформаций. В работе [97] для случая конечных деформаций была исследована устойчивость плоских межфазных границ при частном виде возмущений равновесных перемещений и положения межфазной границы. В недавней работе [102] выведены условия устойчивости при специальном типе возмущений межфазной границы, называемом игольчатым возмущением Вейерштрасса. Показано, что для устойчивости межфазных границ необходимо, чтобы поля деформаций по обе стороны межфазной границы принадлежали границе зоны фазовых переходов.

В результате использования полуобратного метода естественным образом вводятся поверхности возникновения областей новой фазы,которые состоят из всех внешних деформаций, при которых возможно существование равновесной межфазной границы заданного типа геометрии. Отметим, что поверхностям возникновения могут соответствовать как устойчивые, так и неустойчивые двухфазные конфигурации.

Известно, что поверхностями возникновения слоев новой фазы являются внешние границы зоны фазовых переходов [64]. В статье [34] была решена задача о возникновении эллипсоидальных областей новой фазы и построены поверхности их возникновения. В работе [67] замечено, что огибающая поверхностей возникновения слоев и эллипсоидов новой фазы разрывна. Этот факт ставит вопрос о возможности существования других типов межфазных границ. В диссертационной работе исследуются условия существования и устойчивости равновесных межфазных границ, при которых область новой фазы имеет форму эллиптического цилиндра. Это приводит к возможности построения непрерывной огибающей поверхностей возникновения областей новой фазы.

Огибающая областей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы могла бы рассматриваться как поверхность возникновения областей новой фазы. Но рассматриваемые условия на межфазной границе являются необходимым условием минимума функционала энергии Поэтому остается открытым вопрос о возможности существования областей новой фазы других типов геометрии, которые могут появиться до достижения построенных огибающих поверхностей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы.

Для ответа на поставленный вопрос в диссертационной работе рассматриваются достижимые нижние оценки свободной энергии двухфазного тела, то есть определяются двухфазные микроструктуры, обеспечивающие глобальный минимум энергии при заданных внешних (средних) деформациях и объемных долях фаз. Тогда предельной поверхности фазового превращения соответствуют внешние деформации, при которых двухфазная структура с бесконечно малой объемной долей одной из фаз минимизирует энергию по отношению ко всем остальным двухфазным и однофазным структурам. При достижении предельных поверхностей фазовых превращений на различных путях деформирования в теле впервые возможно фазовое превращение. Такая поверхность является аналогом предельной поверхности пластичности. Отметим, что в случае фазовых переходов имеются две предельных поверхности - для прямого и обратного превращений.

Независимо от рассмотрения фазовых превращений в механике композитных материалов ставилась задача построения композитов оптимальной структуры, то есть композитов, которые при заданных объемных долях компонент и заданных средних деформациях или напряжениях запасают минимальную или максимальную энергию. Для этого предложены и реализованы для частных случаев методы построения нижних оценок энергии (см. работы A.B. Черкаева [84], JI.B. Гибянского [9,100], Ю. Грабовского [101], В.В. Жикова [26], К.А. Лурье [40], Г.А. Серегина [59,132], Р.В. Кона [114,115], Г.В. Ми-лтона [123], JI. Тартара [135], К. Баттачарии [83], Р. Липтона [119,120], 3. Ха-шина и А. Штрикмана [104] и др.).

В диссертационной работе для нахождения нижних оценок энергии двухфазных материалов предлагается использовать метод построения и оценки квазивыпуклых функций плотности энергии материала [80,135], позволяющий оценить экстремальные эффективные свойства двухфазных материалов при заданных объемных долях фаз. Этот метод был использован в работе [9] для нахождения экстремальных свойств упругих пластин. В работе [100] были построены достижимые оценки для трехмерных композитов в случаях, когда одна из фаз или абсолютно жесткая, или имеет нулевые модули упругости. В работах [78,121] для двумерного случая была рассмотрена задача минимизации энергии и были получены достижимые оценки упругих характеристик двухфазного материала. В работах [114,132] рассмотрена минимизация энергии двухфазного материала с одинаковыми модулями упругости фаз, но с различными деформациями в ненапряженном состоянии. В статье [115] были построены двусторонние достижимые оценки энергии для случая несжимаемых фаз, отличающихся только модулем сдвига. Наконец, в монографиях [84,123] изложена общая теория построения трансляционных оценок.

Проведенные исследования оставили открытым вопрос о построении оценок энергии в трехмерном случае для произвольных упругих материалов. В работе [83] после обсуждения двумерного случая рассмотрено построение достижимых нижних оценок энергии для трехмерного случая материала с кубической симметрией. Однако в работе не была доказана достижимость нижних оценок при произвольном внешнем деформировании материала, что привело к потере одного типа оптимальных микроструктур.

В диссертационной работе для всех средних деформаций строятся достижимые нижние оценки свободной энергии двухфазных тел с заданными объемными долями изотропных фаз. Построенные нижние оценки энергии соответствуют глобальному минимуму энергии тела при заданных объемным долях фаз и внешних деформациях. Однако в задачах о фазовых превращениях объемные доли фаз не фиксируются, а изменяются в зависимости от внешних деформаций, минимизируя за счет этого свободную энергию тела. Поэтому для построения предельных поверхностей необходимо "разморозить" объемные доли фаз и провести дополнительную минимизацию построенных нижних оценок энергии по объемным долям фаз. Те деформации, которые соответствуют минимуму энергии при бесконечно малых объемных долях фаз, образуют в пространстве деформаций предельные поверхности фазовых превращений.

В связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является нахождение достижимых нижних оценок энергии двухфазных композитных материалов и построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений. Задачи работы а) Исследование условий существования и определение геометрических характеристик термодинамически равновесных областей новой фазы, имеющих форму эллиптических цилиндров. б) Исследование устойчивости равновесных цилиндрических межфазных границ. в) Построение достижимых нижних оценок свободной энергии двухфазных композитных материалов, образованных изотропными фазами с произвольными модулями упругости, при заданных объемных долях фаз и произвольных средних деформациях. г) Построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений для материалов, допускающих фазовое превращение, и исследование двухфазных структур, соответствующих предельным поверхностям превращения.

Научную новизну диссертации представляют следующие положения, выносимые на защиту:. а) Впервые проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесных цилиндрических областях новой фазы в упругом материале, претерпевающем при деформировании фазовое превращение. Найдены геометрические характеристики равновесных цилиндрических областей в зависимости от внешнего поля, и в пространстве деформаций построены поверхности их возникновения. Исследована устойчивость равновесных цилиндрических межфазных границ по отношению к возмущениям формы границы в зависимости от параметров материала, внешних деформаций и типа возмущений. б) Для произвольных деформированных состояний впервые построены достижимые нижние оценки энергии двухфазных композитных материалов, состоящих из изотропных фаз с заданными объемными долями и произвольными упругими модулями. в) Развита и реализована процедура построения в пространстве деформаций предельных поверхностей прямого и обратного фазовых превращений в случае изотропных фаз. Определены двухфазные микроструктуры, соответствующие предельным поверхностям превращения.

Научно-практическая значимость. Построение предельных поверхностей превращения дает возможность прогнозировать начало фазового превращения в зависимости от траектории деформирования и описать влияние вида деформированного состояния на геометрию зарождающихся двухфазных структур при прямом и обратном превращениях.

Нахождение достижимой нижней оценки энергии упругого двухфазного материала означает определение микроструктуры композитного материала, который при заданной внешней деформации имеет наименьшую жесткость. Этот результат полезен при проектировании конструкционных элементов, чувствительных к виду деформированного состояния.

Предложенный сценарий рассмотрения фазовых переходов может быть использован для дальнейшего развития теории, учитывающей анизотропию фаз и поверхностное натяжение, а полученные аналитические решения могут рассматриваться как тестовые при развитии численных процедур описания фазовых превращений в упругих телах.

В первой главе рассматривается термодинамически равновесный двухфазный материал с областью новой фазы, имеющей анизотропные упругие свойства, межфазная граница имеет форму эллиптического цилиндра. Доказывается теорема о свойствах тензора деформаций внутри области новой фазы. В случае изотропной новой фазы условие теоремы приводит к тому, что тензор деформаций в области новой фазы осесимметричный, причем ось симметрии совпадает с осью цилиндра, который в свою очередь соосен тензору внешних деформаций.

В случае изотропных фаз строятся поверхности возникновения цилиндрических областей новой фазы. Эти поверхности соотносятся с поверхностями возникновения эллипсоидов и слоев новой фазы, построенных ранее. Строится замкнутая огибающая поверхностей возникновения, соответствующая поверхности превращения. Показывается невыпуклость построенной поверхности.

Во второй главе исследуется устойчивость цилиндрических межфазных границ. Используется необходимое условие устойчивости всех локальных кусочно-постоянных полей деформаций. Выявляются неустойчивые решения задачи о равновесной цилиндрической межфазной границе. В частном случае двухосного деформированного состояния в зависимости от упругих параметров фаз показывается потеря устойчивости равновесной цилиндрической границы по отношению к возмущениям вдоль оси цилиндра при сохранении устойчивости по отношению к возмущениям в плоскости внешних деформаций.

В третьей главе при всех деформированных состояниях находятся достижимые нижние оценки свободной энергии двухфазных материалов с заданными объемными долями фаз. Рассматривается частный случай фаз с нулевыми коэффициентами Пуассона. Достижимость нижней оценки энергии показывается на классе слоев первого, второго и третьего рангов.

В четвертой главе полученный в предыдущей главе результат обобщается на случай изотропных фаз с произвольными упругими модулями и собственными деформациями в ненапряженном состоянии. На основе нижних оценок строятся предельные поверхности прямого и обратного превращений. Показывается выпуклость этих поверхностей, полученная за счет рассмотрения слоев второго ранга с нормалями, не совпадающими с главными направлениями тензора внешних деформаций. Отмечается эквивалентность слоев различных рангов и областей новой фазы в смысле совпадения их поверхностей возникновения. Так, слои третьего ранга эквивалентны эллипсоидам новой фазы. Слои второго ранга с нормалями, совпадающими с главными направлениями тензора внешних деформаций, эквивалентны цилиндрам новой фазы.

Поверхностям прямого и обратного превращений соответствуют различные двухфазные структуры. В одном том же материале прямое и обратное превращения могут проходить по различным механизмам. Например, при прямом превращении новая фаза может образовываться только в виде простых слоев, а при обратном возможно появление слоев различных рангов, цилиндрических и эллипсоидальных областей новой фазы.

Заключение

1) Для двухфазных композитных материалов при произвольных заданных средних деформациях и объемных долях изотропных фаз найдены нижние оценки свободной энергии. Показано, что эти оценки достигаются на микроструктурах, являющихся слоями первого, второго и третьего рангов. Определены параметры микроструктур.

2) В пространстве деформаций построены предельные поверхности прямого и обратного фазовых превращений, впервые позволившие предсказать, при каких деформациях в упругом материале может начаться фазовое превращение и какие микроструктуры соответствуют началу фазового превращения при различных деформированных состояниях. Показано, что в зависимости от знакоопределенности разности тензоров модулей упругости фаз предельная поверхность может быть замкнутой или разомкнутой. Показано, что микроструктуры, возникающие при прямом и обратном превращениях, В зависимости от параметров материала и пути деформирования совпадают или отличаются друг от друга.

3) Проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесной цилиндрической области новой фазы в изотропном упругом материале, претерпевающем фазовое превращение. Определены зависимости направления оси и формы основания равновесного цилиндра от деформированного состояния. Исследована устойчивость равновесных цилиндрических областей и в пространстве деформаций построены поверхности их возникновения. Показано, что устойчивые цилиндрические области возникают при тех же деформациях, что и слои второго ранга, то есть являются энергетически эквивалентными слоям второго ранга.

4) Показано, что огибающая поверхностей возникновения равновесных слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы только частично совпадает с предельной поверхностью фазового превращения. В области несовпадения деформациям на предельной поверхности превращения соответствуют микроструктуры, представляющие собой наклонные слои второго ранга.

1. Антимонов М.А. О построении предельной поверхности фазовых превращений при деформировании упругих тел // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.— 2011.— №4.— Ч. 5.

2. Антимонов М.А., Черкаев A.B., Фрейдин А.Б. Оптимальные микроструктуры и точная нижняя граница энергии упругих композитов из двух изотропных фаз. Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физ.-мат. науки.- 2010 Вып. 3 — С. 112-122.

3. Антимонов М.А., Фрейдин А.Б. Равновесное цилиндрическое включение анизотропной новой фазы в изотропном упругом теле // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физ.-мат. науки.— 2010.— Вып. 4.— С. 37-44.

4. Беляев С.П., Волков А.Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. /Под ред. В.А.Лихачева. СПб.: НИИХ СПбГУ, Т.1. 1997. с.424; Т. 2., 1998. с.374; Т. 3, 1998. с.474; Т. 4, 1998. с.268.

5. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошных сред — М.:Наука.— 1982 — 447 с.

6. Бердичевский В. Л. Зародыши расплава в твердом теле // Докл. АН СССР.- 1983.- Т. 273.- № 1.- С. 80-84.

7. Бойко B.C., Гарбер Р.И., Косевич A.M. Обратимая пластичность кристаллов.- М — 1991.- 280 с.

8. Вакуленко A.A. О микро- и макрокинетике мартенситных превращений // Изв. РАН. МТТ.- 2001.- № 5.- С. 43-62

9. Гибянский Л.В., Черкаев A.B. Проектирование композитных пластин экстремальной прочности // Препринт ФТИ 914.— Л.— 1984.— 60 с.

10. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика.— М.: Наука.— 1982.- 584 с.

11. Гринфелъд М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // Докл. АН СССР.— 1980.— Т. 251 — № 4.- С. 824-827.

12. Гринфелъд М.А. Асимптотика малой разности плотностей в проблеме когерентных фазовых превращений // ПММ.— 1985.— Т. 49.— Вып. 4.— С. 582-592.

13. Гринфелъд М.А. О гетерогенном равновесии нелинейно-упругих фаз и тензорах химического потенциала // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус.— 1985.— С. 33-47.

14. Гринфелъд М.А. Построение физически линейной теории когерентных переходов // Изв. АН СССР.— Механика тверд, тела.— 1986.— № 5.— С. 79-91.

15. Гринфелъд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука. 1990. 312 с.

16. Гузев М.А. Условия на границе раздела фаз нелинейно-упругого материала в динамическом случае // ДАН — 2007 — Т. 416.— № 6 — С. 1-3.

17. Гузев М.А. Структура тензора химического потенциала для двухфазной упругой среды в динамических условиях // ЖФХ.— 2005.— Т. 79.— № 9.- С. 1-5.

18. Еремеев В.А. Выпучивание нелинейноупругой плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учетом фазового перехода // ПМТФ — 1991.— N 3.- С. 141-147

19. Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент, и прикл. проблемы деформируемых сред и конструкций. Труды межвузовской научной программы — Вып. 1.— 1993.— Н-Новгород.— С. 187-193.

20. Еремеев В.А. Равновесие и устойчивость микронеоднородных упругих тел, испытывающих фазовое превращение // Мат. моделирование,— 1997.- Т. 9.- № 2.- С. 66-69.*

21. Еремеев В.А., Зубов JI.M. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. РАН. МТТ.— 1991.- № 2.- С. 56-65

22. Еремеев В.А., Зубов JI.M. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Доклады АН (Россия).— 1992.— Т. 322.- № 6.- С. 1052-1056.

23. Еремеев В.А., Фрейдип A.B., Шарипова J1.JI. О центрально-симметричных двухфазных полях деформаций // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвуз. сб-к к 70-летию акад. Морозова Н.Ф. СПб.: Изд-во СПб ун-та.- 2002.- С. 111-122.

24. Еремеев В.А., Фрейдин A.B., Шарипова JI.JI. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел // Докл. РАН.- 2003.- Т. 391.- № 2. С. 189-193.

25. Еремеев В.А., Фрейдин A.B., Шарипова JI.JI. Об устойчивости равновесия двухфазных упругих тел // ПММ.— 2007 — Т. 71 — Вып. 1. С. 66-92.

26. Жиков В.В. Об оценках для усредненной матрицы и усредненного тензора. Успехи мат. наук.- 1991.- Т. 46.- Вып. 3(279).- С. 49-107.

27. Зейтц Ф. Физика металлов — М.ЮГИЗ — 1995 — 364 с.

28. Каганова И.М., Ройтбурд А.Л. Равновесие упруго взаимодействующих фаз // ЖЭТФ.- 1988.- Т. 94.- Вып. 6.- С. 156-173.

29. Кауфман Л., Коэн М. Термодинамика и кинетика мартенситных превращений. // Успехи физики металлов.— Т. 4.— М.:Металлургиздат.— 1961.- С. 192-289.

30. Кондауров В.И., Никитин Л.В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // Докл. АН СССР— 1982 — Т. 262 — № 6 — С. 1348-1351.

31. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Фазовые переходы первого рода в упру-говязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ— 1986 — № 4 — С. 130-139.

32. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях // Матем. методы мех. деформ. тверд, тела.— М.: Наука.— 1986.— С. 56-63.

33. Кристиан Дж. Теория превращений в металлах и сплавах.— М.: Мир.- 1979.- 806 с.

34. Кубланов Л.Б., Фрейдин A.B. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ — 1988.- Т. 52 Вып. 3 — С. 493-501.

35. Кунин ИА., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде// Докл. АН СССР.- 1971.- Т. 199,- Ж 3.- С. 571-574. ПММА // ФТТ- 1961.- Т. 3.- N. 9.- С. 2672-2679.

36. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы.- Л.: Изд-во ЛГУ.- 1987.- 216 с.

37. Лихачев В А., Малинин В. Г. Структурно-аналитическая теория прочности.- СПб.: Наука.- 1993 471 с.

38. Лободюк ВА., Эстрин Э.И. Изотермическое мартенситное превращение. // УФН- 2005 Т. 175.- Вып. 7.- С. 745-765.

39. Лободюк В А., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. // Москва. Физматлит 2009 - 352 с.

40. Лурье К .А., Федоров A.B., Черкаев A.B. Регуляризация оптимальных задач проектирования стержней и пластин и устранение противоречий в системе необходимых условий оптимальности // Препринт ФТИ 667. Л.- 1980.- 60 с.

41. Малыгин Г.А. Размытые мартенситные переходы и пластичность кристаллов с эффектом памти формы. Успехи физических наук.— 2001— Т. 171- № 2 С. 187-212.

42. Мовчан A.A. Микромеханический подход к описанию деформации мар-тенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. АН. Механика тверд, тела — 1995 — № 1.— С. 197-205.

43. Мовчан A.A. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ — 1996— № 4.- С. 136-144.

44. Мовчан A.A. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // Прикл. мех. и тех. физ.— 1996.- Т. 37.- № 6.- С. 181-189.

45. Мовчан A.A. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // Прикл. мех. и тех. физ.— 1998.— Т. 39.— № 1.- С. 164-173.

46. Мовчан A.A. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений на фазовый состав в материалах с памятью формы // МТТ.— 1998 — № 1.- С. 70-90.

47. Мовчан A.A., Казарина С.А. Экспериментальные исследования явления потери устойчивости, вызванной термоупругими фазовым превращением под действием сжимающих напряжений // Пробл. машиностроения и надежности машин.— 2002.— № 6.— С. 82-89.

48. Мовчан A.A., Силтенко Л.Г. Устойчивость стержня, претерпевающего прямое или обратное мартенситное превращение под действием сжимающих напряжений // Прикл. мех. и тех. физ.— 2003.— Т. 44.— № 3.— С. 169-178.

49. Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. АН. Механика тверд, тела.- 1994,- № 1- С. 38-41.

50. Морозов Н.Ф., Осмоловский В. Г. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // Прикл. мат. мех 1994 - Т. 58 — № 5 — С. 125-132.

51. Морозов Н.Ф., Фрейдин A.B. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния// Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова — 1998 — Т. 223 С. 220-232.

52. Морозов Н.Ф., Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. АН.— 1996.— Т. 346.— № 2.— С. 188-191.

53. Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ.- 1998.- № 5.- С. 52-71.

54. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механики сплошной среды. СПб: Изд-во СПб ун-та.— 2000.— 262с.

55. Ройтбурд А.Л. Теория формирования гетерофазноий структуры при фазовых превращениях в твердом состоянии // УФН.— 1974.— Т. ИЗ.— Вып. 1.- С. 105-128.

56. Ройтбурд А.Л. Современное состояние теории мартенситных превращений // Несовершенства кристалического строения и мартенситные превращения. М.: Наука.— 1972 — С. 7-32.

57. Ройтбурд А.Л., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. Итоги науки и техники. Металловедение и термообработка.— ВИНИТИ. М — 1968.

58. Серегин Г. А. Вариационная задача о фазовом равновесии упругого тела // Алгебра и анализ 1998.- Т. 10.- Вып. 3.- С. 92-132.

59. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.Изд."Мир".— 1975.- 592 с.

60. Трускиновский Л.М. Равновесные межфазные границы. // Докл. АН СССР.- 1982.- Т. 265.—№ 2.- С. 306-310.

61. Устиновщиков Ю.И., Пушкарев Б.Е. Упорядочение, расслоение и фазовые превращения в сплавах Fе-М // УФН.— 2006.— Т. 176.— Вып. 6.—1. С. 611-621.

62. Фрейдин А.Б. Механика разрушения. Задача Эшелби.— Санкт-Петербург. Изд. Политехнического Университета.— 2010.— 238 с.

63. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.1. Основные соотношения. // Изв. РАН. МТТ.- 1994.- № 4.- С. 91-109.

64. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.2. Несжимаемые материалы с потенциалом, зависящим только от одного из инвариантов тензора деформаций. // Изв. РАН. МТТ.- 1994.- № 5.- С. 46-58.

65. Фрейдин А.Б., Шарипова JI.J1. Равновесные двухфазные деформации и зоны фазовых переходов в приближении малых деформаций. // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред.— 2003.— С. 291-298.

66. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.— М.: Наука. 1974.— 384 с.

67. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций — М. Изд-во иностр. лит.- 1963.- 247 с.

68. Abadiea J., Chailleta N., Lexcellent C. An integrated shape memory alloy micro-actuator controlled by thermoelectric effect // Sensors and Actuators A.- 2002.- Vol. 99.- P. 297-303.

69. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics of incompressible materials // J. of Elasticity.— 1980.— Vol. 10.- № 3.- P. 255-293.1. U'

70. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in the finite twisting of an incompressible elastic tube // J. of Elasticity — 1981 — Vol. 11.— № 1.— P. 43-80.

71. Abeyaratne R., Knowles J.K. Equilibrium shoks in plane deformation of incompressible elastic materials // J. of Elasticity.— 1989.— Vol. 22.— No. 2.- P. 193-200.

72. Abeyaratne R., Knowles J.K. Kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids // Arch. Rational Mech. Anal — 1991 — Vol. 114(2).— P. 119-154.

73. R. Abeyaratne, J. K. Knowles Evolution of phase transitions.— Cambridge University Press.— 2006.

74. Antimonov M.A., Freidin A.B. Equilibrium cylindrical new phase inclusion // Proc. XXXVII Int. Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM 2009). St. Petersburg.- 2010.- P. 57-64.

75. Antimonov M.A., Cherkaev A.V., Freidin A.B. On transformation surfaces construction for phase transitions in deformable solids // Proc. XXXVIII Int. Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM 2010). St. Petersburg 2010.- P. 23-29.

76. Avellaneda M., Cherkaev A.V., Gibiansky L. V., Milton G. W., Rudelson M. A complete characterization of the possible bulk and shear moduli of planar polycrystals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids.— 1996.— Vol. 44.- No. 7 P. 1179-1218.

77. Ball J. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity 11 Arch. Rational Mech. Anal 1977.- Vol. 100.- P. 337-403.

78. Ball J. M., Currie J. C., and Oliver P. J. Null-lagrangians, weak continuity, and variational problems of arbitrary order // Journal of Functional Analysis. Vol.- 1981- Vol. 41.- P. 4989-5003.

79. Ball J.M., James R.D. Fine Mixtures as Minimizers of Energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. Vol. 100. No. 1. P. 13-52.

80. Bhattacharya K., James R.D. The material is the machine // Science.— 2005.— Vol. 307.— P. 53-54.

81. Chenchiah I. V., Bhattacharya K. The relaxation of two-well energies with possibility unequal moduli. // Archive for Rational Mechanics and Analysis.- 2008.- Vol. 187.- № 3.- P. 409-479.

82. A. V. Cherkaev Variational methods for structural optimization — New York: Springer-Verlag.— 2000 546 p.

83. Dondl P. W., Bhattacharya K. A Sharp Interface Model for the Propagation of Martensitic Phase Boundaries // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2010. 197 (2). P. 599-617.

84. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. The nonlinear theory of elastic shells with phase transitions // J. Elasticity- 2004 Vol. 74 — № 1 — 67-86.

85. Eriksen J.L. On the symmetry of deformable crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1979.- Vol. 72.- № 1- P. 1-13.

86. Eriksen J.L. Some phase transitions in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.— 1980.- Vol. 73,- № 2.- P. 99-124.

87. Eriksen J.L. Stable equilibrium configurations of elastic crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1986.- Vol. 94,- P. 1-14.

88. Eriksen J.L. Twinning of crystals // Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S.Antman, J.L.Eriksen, D.Kinderleher, I.Muller. IMA Vol. Math. Appl.— 1987.- Vol. 3.- P. 77-93.

89. Fosdick R. and Hertog B. The Maxwell relation and Eshelby's conservation law for minimizers in elasticity theory //J. Elasticity.— 1989.— Vol. 22.— P. 193-200.

90. Fried E., Gurtin M.E. Coherent solid-state phase transitions with atomic diffusion: a thermomechanical treatment // J. of Stat. Physics.— 1999.— Vol. 95,- № 5/6.- P. 1361-1427

91. Freidin A.B.On new phase inclusions in elastic solids // ZAMM.— 2007 — Vol. 87.- № 2.- P. 102-116.

92. Freidin A.B., Fu Y.B., Sharipova L.L., Vilchevskaya E.N. Spherically symmetric two-phase deformations ans phase transition zones // Int. J. Solids and Struct.- 2006.- Vol. 43.- P. 4484-4508.

93. Freidin A.B., Sharipova L.L. On a model of heterogenous deformation of elastic bodies by the mechanism of multiple appearance of new phase layers. // Meccanica.- 2006.- Vol. 41.- P. 321-339.

94. Freidin A.B., Vilchevskaya E.N. Multiple development of new phase inclusions in elastic solids. IJES.- 2009 — Vol. 47 — P. 240-260

95. Fu Y.B., Freidin A.B. Characterization and stability of two-phase piecewise-homogeneous deformations// Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.— 2004.— Vol. 460 P. 3065-3094.

96. Gavrilov S.N. Dynamics of a free phase boundary in an infinite bar with variable cross-sectional area // ZAMM — 2007 — Vol. 87(2).— P. 117-127.

97. Gavrilov S.N., Shishkina E. V. On stretching of a bar capable of undergoing phase transitions // Continuum Mechanics and Thermodynamics — 2010.— Vol. 22.- № 4.- P. 299-316.

98. Grabovsky Yu., Kohn R. V. Microstructures minimizing the energy of a two phase elastic composite in two space dimensions. I: The confocal ellipse construction // J. Mech. Phys. Solids.- Vol. 43.- № 6.- 1995.- P. 933-947.

99. Grabovsky Yu., Truskinovsky L. Roughening Instability of Broken Extremals. Archive for rational mechanics and analysis.— Vol. 200 — № 1.— P. 183-202.

100. Gurtin M.E. Two-phase deformations of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Analysis 1983.- Vol. 84.- № 1.- P. 1-29.

101. Hashin Z, Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Vol. 11, Issue 2. 1963. P. 127-140.

102. James R.D. Finite deformation by mechanical twinning // Arch. Rat. Mech. Anal. 77 (1981) P. 143-177.

103. James R.D. and Hane K.F. Martensitic transformations and shape-memory materials // Acta mater 48 (2000) P. 197-222.

104. S. K. Kanaun, V. M. Levin. Self-consistent methods for composites, Static Problems. Vol. 1- Springer.- 2007.

105. Ni Yong, Khachaturyan A.G. Mechanism and conditions of the chessboard structure formation // Acta Materialia 2008 - Vol. 56 — P. 4498-4509.

106. Kienzler R., Herrmann G. Mechanics in Material Space with Application to Defect and Fracture Mechanics. Springer, Berlin, 2000.

107. Knowles J.K., Sternberg E. On the ellipticity of the equation of nonlinear elastostatics for a special material // J. of Elasticity— 1975.— Vol. 5.— № 3-4.

108. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity of the equation for finite elastostatics plane strain // Arch. Rat. Mech. Anal.— 1977.— Vol. 63.— №4.

109. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics // J. of Elasticity.- 1980.- Vol. 10.- № 3.- P. 255-293.

110. Knowles J.K. On the dissipation associated with equilibrium shocks in finite elasticity // J. of Elasticity- 1979 Vol. 9.- P. 131-158.

111. R. V. Kohn. The relaxation of a double-well energy. // Continuum Mech. Thermodyn.- 1991- Vol. 3 P. 193-236.

112. R.V. Kohn, R. Lipton. Optimal bounds for the effective energy of a mixture of isotropic, incompressible, elastic materials. // Archive for Rational Mechanics and Analysis 1988.— Vol. 102 - № 4 - P. 331-350.

113. Kunin I.A. Elastic media with Microstructure II.— Verlag, Berlin, New York, etc.: Springer 1983 — 272 p.

114. Lexcellent C., Schldmerkemper A. Comparison of several models for the determination of the phase transformation yield surface in shape-memory alloys with experimental data // Acta Materialia.— 2007.— Vol. 55.— P. 2995-3006.

115. Lipton, R. On the effective elasticity of a two-dimensional homogenised incompressible elastic composite // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Section A, Mathematical and Physical Sciences.— 1988.— Vol. 110(1-2).- P. 45-61.

116. Lipton, R. Optimal bounds on effective elastic tensors for orthotropic composites // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences — 1994 444(1921).— P. 399-410.

117. Maugin G. Material Inhomogeneities in Elasticity. Chapman&Hall, London. 1993.

118. Milton G. W. The theory of composites. // Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math.— 2004.— Vol. 6.— Cambridge University Press, Cambridge.— 719p.

119. Parry G.P. On phase transitions involving internal strain // Int. J. Solids Structures.- 1981.- Vol. 17.- № 4.- P. 361-378

120. Pettinger A., Abeyaratne R. On the nucleation and propagation of thermoelastic phase transformations in anti-plane shear. Parti. Couple-stress theory // Computational Mechanics — 2000.— Vol. 26 — P. 13-24.

121. Pettinger A., Abeyaratne R. On the nucleation and propagation of thermoelastic phase transformations in anti-plane shear. Part2. Problems // Computational Mechanics 2000 - Vol. 26 - P. 25-38.

122. Pitteri M. Reconciliation of local and global symmetries of crystals // Journal of Elasticity.- 1984.- Vol. 14.- № 2.- P. 175-190.

123. Pitteri M. On the kinematics of mechanical twinning in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1985.- Vol. 88.- № 1.- P. 25-57.

124. Roitburd A.L. Martensitic transformation as a typical phase transformation in solids // Solid state physics: advances in research and research and application. New York: Acad. Press.— 1978 — Vol. 33 — P. 317-390.

125. Sadjadpour A., Bhattacharya K. A micromechanics inspired constitutive model for shape-memory alloys // Smart Materials and Structures.— 2007.— 16 (1).- P. 1751-1765.

126. G.A. Seregin. The uniqueness of solutions of some variational problems of the theory of phase equilibrium in solid bodies. // J. Math. Sci — 1996 — Vol. 80.- № 6.- P. 2333-2348.

127. Shilhavy M. The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York.— 1997.— 516 p.

128. Taillard K., Blanc P., Calloch S., Lexcellent C. Phase transformation yield surface of anisotropic shape memory alloys // Materials Science and Engineering A.- 2006 Vol. 438-440.- P. 436-440.

129. Tartar, L. Estimation fines des coefficients homogénéisés, in P. Kree (ed.), E. De Giorgi colloquium (Paris, 1983), Pitman Publishing Ltd., London.— P. 168-187.

130. Vilchevskaya E.N., Freidin A.B. Multiple Appearances of Ellipsoidal Nuclei of a New Phase // Doklady Physics.- 2006,- Vol. 51.- № 12-P. 692-696.