Задачи механики упругих тел с межфазными границами сложной структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

003487700

На правах рукописи

КУЗЬМЕНКО Семен Михайлович

ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УПРУГИХ ТЕЛ С МЕЖФАЗНЫМИ ГРАНИЦАМИ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ДЕК 2009

Ростов-на-Дону - 2009

003487700

Работа выполнена на кафедре математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный руководитель доктор физико-математических наук

доцент Еремеев Виктор Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев Владимир Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Леонид Михайлович

Ведущая организация Институт проблем машиноведения РАН

Защита диссертации состоится «15» декабря 2009 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «14» ноября 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема моделирования фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших в механике и физике твердого тела, а также материаловедении. Ее актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые переходы или в процессе их изготовления, или в процессе эксплуатации, а также могут контактировать со средой, в которой происходят фазовые превращения. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов, являются твердофазные превращения в сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, промерзание грунта, распад пересыщенных твердых растворов, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, ориентационные превращения в полимерах, переходы в термотропных и лиотропных жидких кристаллах, а также целый ряд других. В частности, фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах и полимерах, широко используемых в современной технике.

Работы, посвященные фазовым превращениям, образуют обширную литературу. В рамках физики твердого тела отметим здесь только фундаментальные работы Н. Н. Боголюбова, Б. Т. Гейликмана, В. Л. Гинзбурга, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица, Р. Браута, Дж. Кристиана, Г. Стенли и др.

Не менее обширна литература по фазовым превращениям, использующая подходы механики сплошной среды. Она восходит к работам Дж. В. Гиббса в конце позапрошлого века. Имеющиеся в настоящее время модели двухфазных тел можно разделить на несколько групп. К первой из них можно отнести работы, в которых явно вводится граница раздела фаз как поверхность или линия, разделяющая фазы материала. Такая фазовая граница, как правило, неизвестна и подлежит определению наряду с остальными неизвестными путем решения краевой задачи. Ключевым моментом при таком описании является формулировка уравнений баланса на границе раздела фаз, в том числе и дополнительно-

го термодинамического условия, определяющим ее положение в пространстве. Значительный вклад в развитие механики тел, содержащих фазовые границы, внесли Н. X. Арутюнян, В. Л. Бердичевский, А. А. Вакуленко, Е. Н. Вильческая, М. А. Гринфельд, А. Д. Дроздов, В .А. Еремеев, Л. М. Зубов, В. И. Кондауров, Н. Ф. Морозов, В. Э. Наумов, Л. В. Никитин, В. Г. Осмоловский,

A. Л. Ройтбурд, Л. М. Трускиновский, А. Б. Фрейдин, а также Р. Абейаратне, Дж. Болл, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Дж. Эриксен, В. Петрашкевич, X. Петрика, М. Питтери, Г. Пэрри, С. Ступкевича Ф. Д. Фишер, Р. А. Фосдик, М. Шилхави и др. Одним из методов, используемых в рамках этого направления является вариационный подход, решением задачи о равновесии двухфазного тела является поле перемещений и положение фазовой границы, доставляющей минимум функционалу полной энергии. Данная работа выполнена в рамках именно этого направления, когда вводится в рассмотрение заранее неизвестная межфазная граница, которая подлежит варьированию наряду с полем перемещений с учетом условий совместности на межфазной границе. Этот подход позволяет корректно описывать локальные термодинамически равновесные деформации двухфазных тел с позиций механики сплошной среды.

Описанию фазовых превращений посвящены также работы В.А. Лихачева,

B. Г. Малинина, А. Е. Волкова, А. И. Разова и их коллег, А. А. Мовчана, Л. И. Шкутина, а также К. Вхаттачария, Д. Лагоудаса, В. Левитаса, и др., в которых межфазные границы явно не вводятся, т.е. изучаются фазовые превращения объемного типа, и описание деформирования двухфазных тел опирается на введение дополнительных параметров состояния, например, концентраций фаз.

Существуют и другие подходы, сочетающие в себе черты из вышеперечисленных, а также элементы описания на уровне кристаллической решетки и межатомных потенциалов.

Актуальность работы подтверждается поддержкой вошедших в ее состав исследований следующими грантами и программами финансирования: госконтракт 02.524.11.4005, шифр: 2008-04-2.4-15-02-003; госконтракт 02.740.11.0208,

шифр: 2009-1.1-113-050-043; ведомственная целевая программа РНП.2.2.1.1/7176, (2009-2010).

Цель работы состоит в построении модели фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах и анализе условий равновесия фаз, в том числе для фазовых границ, обладающих сложной структурой.

Методика исследований использует вариационные и полуобратные методы нелинейной теории упругости и механики сплошной среды, а также методы теории смесей упругих тел.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения, использованием надежных и проверенных численных алгоритмов и программ, предельными переходами к известным случаям, качественным совпадением с результатами экспериментов.

Научная новизна состоит в получении условий равновесия фаз материала в случае смеси упругих тел, построении модели фазовой границы в виде переходного слоя, представляющего смесь фаз, а также решении ряда краевых задач с фазовыми превращениями.

Практическая ценность Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений в деформируемых средах, методов исследования нелинейных краевых задач математической физики с заранее неизвестными поверхностями типа задачи Стефана, а также для описания поведения новых функциональных материалов, в частности, сплавов и полимеров с памятью формы.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на VI и IX Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001, 2005); Всероссийских научно-практических конференциях «Транспорт-2004», «Транспорт-2005» (Ростов-на-Дону, 2004, 2005); Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004); XXXII Summer School -Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ) (Санкт-Петербург, 2004);

V Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», в полном объеме диссертация докладывалась на семинарах кафедры теории упругости и математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи [5,11,13] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации.

В совместных публикациях В. А. Еремееву принадлежат постановка задачи и рекомендации по выбору метода решения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 173 наименований, общим объемом 95 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, приведены структура и содержание диссертации, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты и определена доля участия автора в совместных публикациях.

В первой главе рассматривается общая вариационная постановка задачи о фазовом равновесии нелинейно упругого тела, и приводится решение некоторых модельных задач, иллюстрирующих вариационный метод.

В первом параграфе приведен вывод уравнений равновесия фаз материала для различных кинематических ограничений на границе раздела фаз. Вывод опирается на принцип Гиббса минимума функционала полной энергии двухфазного тела.

Особенностью задач о фазовом равновесии является то, что положение фазовой границы внутри тела заранее неизвестно и определяется в процессе решении задачи вместе с полем перемещений. Вариационная постановка задач

о фазовом равновесии двухфазного тела состоит в поиске стационарных точек функционала полной энергии тела на кинематически допустимых полях перемещений и возможных положениях фазовой границы. Пусть тело в деформированном состоянии состоит из 2-х фаз, занимающих области у+ и V соответственно и разделенных достаточно гладкой поверхностью Г.

В случае лагранжева описания введем поверхность у, являющуюся прообразом Г при деформации тела из отсчетной конфигурации в деформированную. Функционал полной энергии тела можно записать в виде

1[и] = Д[ф+А + - А

К, У-

где У± - прообразы областей v±, и- вектор перемещений, Ф± - плотности энергии деформации, соответствующие каждой из фаз, А— потенциал внешних сил.

Из условия стационарности 51 = 0 следуют1 уравнения равновесия в объеме тела:

Уа + р{ = й (1)

статические краевые условия

по = ф (2)

и условия совместности на границе раздела фаз

п • [о] = 0 (3)

п [ц] п=0, р± = Ф±Е — а± • Уит (4)

Здесь а — тензор напряжений Пиолы, V — оператор градиента в отсчетной конфигурации, р - плотность материала в отсчетной конфигурации, п - вектор единичной нормали к у, квадратными скобками обозначен скачок соответствующей величины при пересечении фазовой границы: [(...)] = (...)+-(...), Г и ф - плотности массовых и поверхностных сил, Е - единичный тензор. Тензор р в литературе называется тензором химического потенциала, тензором Эшел-

1 Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. - М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

би или тензором энергии-импульса. Здесь рассматривается когерентная фазовая граница, т.е. поверхность, на которой [и] = 0.

В случае малых деформаций постановка задачи о фазовом равновесии формулируется аналогично, только здесь Ф± являются квадратичными функциями тензора деформаций е = +Уи7 ), а тензор (X может быть записан в виде ц = ФЕ-о е.

Дополнительное уравнение (4) отличает постановку задачи о фазовом равновесии от случая задачи для составного тела. Оно является необходимым для определения положения поверхности у, которое заранее неизвестно.

Во втором и третьем параграфах приводятся решения модельных задач, иллюстрирующие частные случаи применения предложенного подхода. Во втором параграфе - дается решение задачи о моделировании фазового перехода при сдвиге для анизотропной среды, когда для одной из фаз использована модель ортотропного несжимаемого материала, а для другой - модель Трелоара. В третьем параграфе решена задача моделирования деформации двойникования в криволинейно-анизотропном теле.

Во второй главе общий вариационный подход, рассмотренный в первой главе, обобщается на случай фазовых переходов в многокомпонентных средах.

Для моделирования многокомпонентное™ среды здесь используется теория гомогенных смесей. Упомянем, что принято различать гомогенные и гетерогенные смеси. Гомогенными смесями называют те, составляющие которых перемешаны на молекулярном уровне (сплавы, растворы, смеси газов); гетерогенными же те, в которых существуют макроскопические неоднородности (аэрозоли, суспензии, жидкости с пузырьками, композитные материалы). В работе рассматривается случай плотной гомогенной смеси, когда концентрации компонент смеси имеют одинаковый порядок величины.

Теория смесей, восходящая к предложенному в XIX в. Фиком представлению многокомпонентной среды, как набора взаимопроникающих континуу-

мов, находящихся в одном и том же пространстве, получила развитие в работах В. И. Ерофеева, Р. И. Нигматулина, Я. Я. Рущицкого, К. Трусделла и Р. А. Тупина, Келли, К Эрингена и Дж. Д. Ингрэма, А. Е. Грина и Р. Н. Нагхди, И. Мюллера, Р. М Боуэна и Дж. С. Вайса, Ф. Мартинеса и Р. Квинтаниллы, Д. Еши и др.

Далее будем рассматривать возможность возникновения фазового перехода (выделения новой фазы) в упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций.

В первом параграфе приводятся общие соотношения теории смесей и дается постановка краевой задачи о фазовом равновесии. Следуя подходу, представленному в монографии В.И. Ерофеева2, примем для Ф следующую квадратичную зависимость

а = 1,2; а + 3 = 3

где I", I" - первый и второй инварианты тензоров деформации га —+ Уи^), и"— вектор перемещения для соответствующей компоненты, Ла, ца, с, ¡3 — материальные постоянные. Последние два слагаемых в (5) описывают упругое взаимодействие компонент смеси. Частным случаем (5), при с = О, р = О является модель линейно упругого изотропного тела.

В статическом случае уравнения равновесия для такой среды примут вид:

-(4 + 2//а)ёгас1сКуиа - Ца п^пЛи" + свгасМуи'5 - /?(иг - и") = О,

(6)

а = 1,2; а+ 3 = 3

Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и в первой главе, вариационным принципом стационарности полной энергии. Будем считать, что область, занятая смесью, состоит из двух фаз и У_,

2 Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: МГУ, 1999.

разделенных достаточно тонкой границей у. Примем, для определенности, что возникновение новой фазы происходит изнутри области.

Далее предположим, что возникающая новая фаза является однокомпо-нентной. Таким образом, рассмотрим переход двухкомпонентная смесь од-нокомпонентная среда. Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями), а поверхностной энергией фазовой границы у пренебрегаем.

Тогда функционал свободной энергии двухфазной смеси можно представить в виде

Здесь и далее, знаками «+» и «-» обозначены величины, относящиеся к разным фазам.

Условие стационарности 61 = 0 функционала (7), при учете независимого варьирования положения границы у и векторов перемещений и, и и2 позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия (6), и естественных краевых условий на границе раздела фаз. Последние состоят из уравнений механического баланса и термодинамического условия, необходимого для определения фазовой границы:

Здесь ц представляет собой тензор химического потенциала для бинарной смеси.

Во втором параграфе решается модельная задача о фазовом переходе при центрально-симметричной деформации двухфазного шара. Здесь вектор перемещений имеет только радиальную составляющую иг(г), зависящую только от радиальной координаты г, а граница раздела фаз у представляет собой сферу заранее неизвестного радиуса £. Предположим, что в начальном состоянии шар состоит из фазы «+», образованной бинарной смесью, а новая однокомпо-нентная фаза «-» может возникнуть в окрестности центра шара. Введя для

(7)

(8)

краткости обозначения (Ла+ /ла) = да, х = и(Ц, у = (здесь и далее целочисленный индекс в круглых скобках относится к номеру компоненты смеси), получим из (6) уравнения равновесия в смеси,

г <Рх 2 с1х 2х)

9| у ¿г1 г с1г гг)

Яг 2У

< ¿г2 г & г2

(<1гу 2 4у 2у\ . п

+ Р(у-х) = 0

х 2 с(х 2х

+ с| —г +-----

<1г г йг г

(9)

(10)

Для однокомпонентной фазы уравнения состояния возьмем в форме:

У = + + е» - З*)2 +

+ Я ((«М - + (£2~2 - Е)2 + (*з"з - £)2) + ^

здесь е - собственная фазовая деформация, 8 - плотность энергии новой фазы в начальном состоянии.

Кинематические и статические условия баланса на границе у даются уравнениями

На внешней границе шара зададим перемещение м>

(И)

Система дифференциальных уравнений (9) имеет решение вида

(12)

. . ^Р(2с-д,-д2)г х = А1 бш —— , --1- А, сое-2-, + Ах

V-

ЧхЧг

ЧхЧг

у = 2?, БШ л— . + В2 СОБ—- . —— + В}

Vе2-ад ф2

(13)

где выражения

А, =4(С„С2,Сз,С4,^,дг2,с,/7,г), / = 1-3 не

приводятся из-за чрезвычайной громоздкости, Ск, к = 1..4-постоянные интег-

рирования.

Радиально симметричное решение для области У_ дается формулами задачи Ламе для шара.

Из краевых условий (11)—(12) находятся константы интегрирования Ск. После подстановки решения в функционал энергии I, соотношение <Л = О сводится к нелинейному алгебраическому уравнению относительно радиуса £, которое здесь также не приводится в силу громоздкости. Характерные зависимости £ от параметра м> приведены на рис. 1. Там же даны диаграммы деформирования (зависимости нормальное напряжение — перемещение на поверхности шара). Здесь использованы следующие значения параметров материала: Л, = 7.72, Х^ = 8.92, ^ =4.66, ц2 = 3.85, д, = 17.04, д2=16.62, /? = 10, £=0.3, ¿ = 12,кривые 1-3 соответствуют разным значениям параметра с, равным 15.97, 14.08, 11.90 соответственно. До значения м>'л (/ = 1,2,3) шар деформируется без фазового перехода, при значениях \\1'А<м<м>'в происходит фазовый переход, который завершается при ц> = м/'в. Такое поведение качественно совпадает со случаем однокомпонент-ного шара. Многокомпонентность среды влияет на начало и окончание фазового перехода, а также несколько изменяет диаграмму деформирования.

о

а)

а

мг

о

М>

Рис. I. Зависимость границы раздела фаз (а) и нормального напряжения (б) на поверхности шара от перемещения М\

В третьем параграфе аналогичный подход применен для решения модельной задачи о фазовом переходе в линейной смеси при осесимметричной деформации двухфазного цилиндра.

Здесь радиальная составляющая вектора перемещений также обозначена через иг(г) {г — радиальная координата). Границу раздела фаз у примем в виде цилиндра заранее неизвестного радиуса . Предполагается, что в начальном состоянии цилиндр состоит из фазы «+», образованной бинарной смесью, а новая одно-компонентная фаза «-» может возникнуть в окрестности оси цилиндра. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, получим из (6) уравнения равновесия в смеси: (с{2Х 1 С1х X ^ (с!2у 1 с1у уЛ , I \ _

9. -ТТ + --Г-— + —Г" * = О

,аг г аг г , ^аг г аг г

) а \ \ 2 \ ' ^

й у 1 йу у й х \ (Ьс х \ ,,

уаг г аг г ) \аг г аг г )

В качестве уравнений состояния однокомпонентной фазы и условий на фазовой границе используем соотношения (10) и (11).

Характерные зависимости, полученные при тех же значениях параметров материала, представлены на рис. 2. Заметим, что в отличие от шара, здесь диаграмма деформирования не имеет падающего участка.

Рассмотренная модель фазовых превращений в многокомпонентной среде может найти применение при описании фазовых равновесий в средах, состоящих из нескольких компонент, для которых существенно влияние напряженного состояния.

В третьей главе подходы и результаты первых двух глав используются для построения модели переходного слоя при фазовом переходе.

В отличие от предыдущих глав здесь предложена математическая модель, в рамках которой фазовая граница представляет собой слой, состоящий из смеси обеих фаз, расположение и толщина которого предполагаются заранее неизвестными и подлежащими определению в ходе решения задачи. В качестве примеров получено решение задач о радиально симметричной деформации двухфазных шара и цилиндра. Рассмотрены случаи наличия внутри тел абсолютно жестких включений. Проведено сравнение с решениями, полученными на основе представления межфазной границы в виде поверхности, в том числе и наделенной поверхностной энергией.

В первом параграфе дается постановка задачи о фазовом равновесии при наличии переходного слоя. В качестве уравнения состояния для переходного слоя, выбрано определяющее соотношение для упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций. Вектор перемещений а -компоненты смеси обозначим через иа. Плотность удельной энергии деформации смеси Ф примем в виде (5).

Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и ранее, вариационным принципом стационарности функционала полной энергии. Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями).

Тогда функционал энергии двухфазного тела можно представить в виде

Третий интеграл в правой части (15) описывает энергию переходного слоя и в этом смысле соответствует энергии межфазной границы. Здесь энергия границы зависит от деформаций в каждой из фаз.

Условие стационарности функционала (15) <И = 0, при учете независимого варьирования положения границ переходного слоя и векторов перемещений ц+, и_ позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия и естественных краевых условий на границе раздела слоя и каждой из фаз аналогичных (8).

Во втором параграфе предложенный подход применяется к решению задачи о центрально-симметричной деформации двухфазного шара.

Будем считать, что фазы «+» и «-» представляют собой линейное изотропное тело с разными постоянными Ламе. Обозначим их через и Я_,. Промежуточный же слой Уп будем считать занятым смесью фаз «+» и «-» согласно модели гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций рассмотренной в гл.2.

Условие неразрывности поля перемещений на границах переходного слоя примет вид

Кроме того, необходимо потребовать равенства на границах полей напряжений:

иЛк) = и?(Ъ0) = ил(к0) или,) - и'ХК) = Условие на внешней границе (при г = 1):

«_(1) = IV.

В центре же шара выполняется соотношение

и+(0) = 0.

(16)

(17)

(18)

где 3± - плотности энергии фаз при отсутствии деформаций.

Вводя обозначения (Л, + //,) = д»,, уравнения равновесия в смеси можно записать в виде:

2 и

с1\ 2 с1и+ 2 и+ г2

Яг

г

йг2 г (¡г

(1ги

2к

„2

с/2и 2 йи

+ С| -т-+---

йг г с1г

с12и_, 2

+ с | —--

Г б/л

. 2

+ /?(и+-и.) = 0 л (21) + /?(и_-н+) = 0

Для областей К± радиально симметричное решение дается формулами задачи Ламе, радиально-симметричное решение для смеси получено в гл.2. Подставляя эти решения в (20) при учете (16)—(18), а также используя вытекающее из условия стационарности функционала (15) статические условия (19), получим выражение для функционала потенциальной энергии как функции, зависящей от радиусов И0 и Л,: Т = 4х(/)„,/;,). Тем самым, условия стационарности функционала (15) сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений

^ = 0,^ = 0.

д\ дИ,

(22)

Для принятых значений упругих постоянных и внешнего параметра м с достаточной степенью точности можно считать, что величины И,, и й, связаны линейно. Характерные результаты расчетов представлены на рис. 3. Кривая «в» описывает изменение положения внутренней границы межфазного слоя от перемещения поверхности шара у>.

Для сравнения на рис. 3 приведены также зависимости радиуса межфазной границы от перемещения поверхности шара в случае отсутствия переходного слоя

(кривые а, б). Кривая «а» построена при отсутствии поверхностной энергии границы раздела фаз. Кривая «б» построена при учете поверхностной энергии, которая предполагалась постоянной. Из рис. 3 видно, что учет поверхностной энергии играет существеш!ую роль на положение фазовой границы. В частности, отметим качественное совпадение поведения кривых «б» и «в».

В третьем параграфе исследуется влияние на процесс деформирования, наличия внутри деформируемого шара абсолютно твердого сферического включения.

В отличие от задачи без включения данная задача имеет два решения, задающих зависимость расположения и толщины переходного слоя от перемещения поверхности шара IV. Характерные результаты расчетов представлены на рис. 4. Кривые «а» и «б» описывают изменение положения внутренней границы межфазного слоя й(1 от перемещения для двух решений.

Для сравнения на рис. 4 приведена также зависимость радиуса межфазной границы от перемещения поверхности шара в случае отсутствия переходного слоя, при отсутствии поверхностной энергии границы раздела фаз (кривая «в»). Из рис. 4 видно, что учет поверхностной энергии играет существенную роль на

И

ходным слоем (Л=йо).

Рис.3. Зависимость положения фазовой границы А от перемещения на внешней границе IV для разных краевых задач:

а) двухфазный шар с четкой межфазной границей;

б) упругий двухфазный шар при учете поверхностной энергии;

в) упругий двухфазный шар с пере-

IV

положение фазовой границы. В частности, отметим качественное совпадение поведения кривых «а», «б» и «в».

••••а) -•-б) -в)

Рис. 4. Зависимость положения фазовой границы А от перемещения на внешней границе IV, для разных краевых задач, при наличии включения: а) двухфазный шар с переходным слоем первое решение (й=Ло); в) двухфазный шар с переходным слоем второе решение (Л-/¡о); в) двухфазный шар с четкой межфазной границей.

Решениям «а» и «б» рис. 4 соответствуют зависимости полной энергии сферы со включением от перемещения поверхности шара, приведенные на рис. 5. Из представленных графиков следует, что на участке м><м>х реализуется второе решение, на участке и>, < < - первое. При решения совпадают.

А « •

1

«

»

1

«

>

»

«

1

.1

*

*

• • 1

т т щ * « !

Ч * !

\ »

/

л 1

•

....а)

...б)

-►

Рис. 5. Зависимость полной энергии шара от перемещения на внешней границе, при наличии включения:

а) двухфазный шар с переходным слоем первое решение;

б) двухфазный шар с переходным слоем второе решение.

В четвертом параграфе решается задача об осесимметричной деформации упругого цилиндра с переходным слоем при наличии и отсутствии абсолютно твердого включения. Сохраняя ранее применявшиеся обозначения, получим, что для областей У± осесимметричное решение дается формулами задачи Ламе, осесимметричное решение для смеси также как и в случае шара получено в гл.2. Используя эти решения и учитывая граничные условия, а так же, вытекающие из условия стационарности функционала полной энергии статические условия, получим выражение для функционала энергии как функции, зависящей от радиусов к0 и 1\: Т = Ч/(/г0,Л1). Тем самым, условия стационарности функционала полной энергии, как и в предыдущих задачах, сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений (22)

Характерные результаты расчетов представлены на рис. 6. Кривые «а» и «б» описывают изменение положения внутренней границы межфазного слоя й,, от перемещения для случаев наличия и отсутствия включения.

"й

Рис. 6. Зависимость положения фазовой границы от перемещения на внешней границе при отсутствии и при наличии включения:

а) двухфазный цилиндр с переходным слоем при наличии включения;

б) двухфазный цилиндр с переходным слоем при отсутствии включения.

В пятом параграфе приведена модель переходного слоя, зависящая от концентрации компонент. Будем считать, что фазы «О» и «1» представляют со-

бой линейное изотропное тел с разными постоянными Ламе. Обозначим их через и Л,,^,. Для промежуточного же слоя Vh зададим зависимость материальных констант от концентрации компоненты «1» сплава:

A(C) = V + 4.(1-C), А(с) = АС + //0(1-с) (23)

где се[0,1] - концентрация вещества«1».

Тогда удельная энергия деформации тела может быть записана в виде суммы энергий каждой из фаз и переходного слоя

Ф = Ф0+Ф,+ФЛ

где

Фо = + 2д,//,), Ф1=|(ЛА2+ 2fiA). Ф„ = + 2ц{с)11„)

Запишем полный функционал потенциальной энергии тела: 2Т = ///(Л/а + + + 2 HA)dV + ¡¡¡{Цс)!2, + 2fi(c)lIh)dV

П »4

Предположим теперь, считая переходный слой достаточно тонким, что концентрация линейно зависит от радиуса.

Тогда концентрация с определяется соотношением . . -1 h. К—г

с(г)=-г + —5— = _2-

КK-fh

а постоянные Ламе переходного слоя даются формулами

К-К К~"\ К-К

Таким образом, задача сводится к нахождению поля перемещений, сообщающих минимум функционалу

4*1 1 ^

= 2тс |ф0(г,щ,и'0)r2dr + |фА(г,uh,u'h,a,h)r2dr + ]ф,(г,и,,u[)r2dr

v 0 Лц Л| J

при условиях (16) - (17).

Решая данную вариационную задачу мы получаем соотношения, определяющие положение переходного слоя внутри тела. Полученные результаты показывают, что зависимость положения переходного слоя в теле от перемещения

на внешней границе качественно подобна случаям, рассмотренным в предыдущем параграфе (см. рис. 3). Расчеты также показали, что зависимость между внешним и внутренним радиусами переходного слоя близка к линейной.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования:

1. Сформулированы условия баланса на границе раздела фаз, представляющих собой смесь упругих тел.

2. Для фазовых границ сложной структуры построена модель, учитывающая конечность толщины фазовой границы.

3. В рамках предложенных моделей вариационным методом решен ряд задач, как линейной, так и нелинейной теории упругости, иллюстрирующих особенности получаемых решений.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Еремеев В.А., Кузьменко С. М. Об одной модели двойникования в упругих телах // Труды VI Межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 1. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ. 2001. С. 92-97.

2. Кузьменко С. М. О фазовых превращениях в смесях упругих материалов // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. IX. Ростов н/Д: Изд-во Ростовского университета. 2003. С. 56.

3. Еремеев В.А., Кузьменко С. М. О термодинамическом равновесии фаз двухкомпонентных линейно-упругих сред // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2004. Приложение. № 1(13) С. 17-22.

4. Кузьменко С. М. Модель двойникования в плоской задаче о сдвиге круговой шайбы // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2004». Ч. 3. Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т. путей сообщения. 2004. С. 12.

5. Кузьменко С. М. Моделирование фазового перехода для задачи о кручении несжимаемого цилиндрического слоя // Вестник РГУПС. 2004. № 2. С. 105-108.

6. Кузьменко С. М. Фазовые переходы в несжимаемой упругой среде при осесимметричной конечной деформации И Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. Ч. 1. Т. 2. Воронеж: ВГУ. 2004. С. 319-322.

7. Eremeyev V.A., Kuzmenko S.M. On the phase transformations conditions in linear elastic mixtures // Abstr. XXXII Summer school «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ 2004). P. 41.

8. Кузьменко С. M. Модель переходного слоя в задаче о декомпозиции бинарного сплава // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2005». Ч. 2. Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т. путей сообщения. 2005. С. 139.

9. Кузьменко С. М. Об условиях термодинамического равновесия упругих тел при учете конечности толщины межфазной границы на примере центрально симметричных полей деформаций // Труды IX Межд. конф., посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. И. Ростов н/Д: Изд-во ООО «ЦВВР» 2006. С. 154-158.

10. Еремеев В.А., Кузьменко С. М. Об одной модели межфазной границы в задачах равновесия двухфазных упругих тел // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2006. Приложение. № 10. С. 7-13.

11. Еремеев В.А., Кузьменко С. М. Фазовые границы конечной толщины в задачах равновесия двухфазных упругих тел // Вестник ЮНЦ РАН. 2006. Т. 2. №4. С. 12-18

12. Кузьменко С. М. К развитию одной модели равновесия межфазной границы в задачах равновесия двухфазных упругих тел // Труды X Межд. конф., «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. II. Ростов н/Д: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006. С. 209-213

13. Еремеев В.А., Кузьменко С. М. Некоторые задачи статики упругих тел при учете межфазных границ // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2007. № 3. С. 6-9.

14. Кузьменко С. М. Об определении межфазной границы в многокомпонентном упругом теле // Труды V Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Ростов н/Д: Изд-во «Терра Принт», 2009. С. 57-58.

Сдано в набор 10.11.2009. Подписано в печать 10.11.2009. Формат 60x84 1/16. Ризография. Усл. печ. л. 1. Бумага книжно-журнальная. Тираж 100 экз. Заказ 1211/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail info@copy61.ru

ВВЕДЕНИЕ.

Гл. 1. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ.

§ 1.1 Постановка задачи о фазовом равновесии.

§ 1.2 Модель фазового перехода при сдвиге, для анизотропной среды.

§ 1.3. Моделирование деформации двойникования для криволинейно-анизотропного тела.

Гл. 2. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В УПРУГИХ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СРЕДАХ.

§2.1. Постановка задачи в рамках теории гомогенных смесей.

§ 2.2. Фазовый переход в линейной смеси при центрально симметричной деформации двухфазного шара.

§ 2.3. Фазовый переход в линейной смеси при осесимметричной деформации упругого цилиндра.

Гл. 3. МОДЕЛЬ ПЕРЕХОДНОГО СЛОЯ

В РАМКАХ ТЕОРИИ СМЕСЕЙ.

§3.1. Постановка задачи о переходном слое.

§ 3.2. Центрально симметричная деформация двухфазного шара

§ 3.3. Центрально симметричная деформация двухфазного шара, содержащего абсолютно жесткое включение.

§ 3.4. Центрально симметричная деформация двухфазного цилиндра.

§ 3.5 Модель слоя, зависящая от концентрации компонент.

Проблема моделирования фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших в механике и физике твердого тела, а также материаловедении. Ее актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые переходы или в процессе их изготовления, или в процессе эксплуатации, а также могут контактировать со средой, в которой происходят фазовые превращения. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов, являются твердофазные превращения в сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, промерзание грунта, распад пересыщенных твердых растворов, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, ориентационные превращения в полимерах, переходы в термотропных и лиотропных жидких кристаллах, а также целый ряд других. В частности, фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах и полимерах, широко используемых в современной технике.

Соответственно изучение фазовых превращений в разных средах привлекало внимание исследователей различных областей естествознания на протяжении многих лет. Началом этих исследований можно считать опубликованную в 70-х гг. XIX в. работу Дж. В. Гиббса «О равновесии гетерогенных веществ» [18]. В связи с фазовыми переходами также нужно упомянуть пионерские работы Стефана по исследованию замерзания грунтов. С самого начала исследования данной проблематики оказались востребованными практикой. На текущий же момент, расширяющееся применение в промышленности композитных материалов, сплавов с эффектом памяти формы, тонких пленок, и прочих «нетрадиционных» материалов, а также материалов «традиционных», но находящихся в «нетрадиционных» условиях (агрессивные среды, повышенные давления и т. д.), создает настоятельную необходимость в теоретическом описании процессов, протекающих в таких средах. Такое исследование невозможно без тщательного анализа фазовых превращений (жидко- и твердофазных), фазового распада, диффузионных процессов в твердых телах и некоторых других явлений, представлявших ранее лишь академический интерес. Этим объяснимо существенное возрастание за последние несколько десятилетий количества работ по теме фазовых переходов вообще, и твердофазных фазовых переходов, в частности.

Уже к 50-м годам XX века, благодаря развитию рентгеност-руктурного анализа, и последовавшему за этим возникновению физического металловедения был накоплен значительный экспериментальный материал по фазовым переходам, см., например, [13, 14, 90, 96, 97, 101]. Были выделены основные виды превращений в твердом состоянии, протекающих без участия жидкой фазы, а именно: [90]

1) аллотропические превращения (включая мартенситные);

2) упорядочение твердых растворов;

3) распад пересыщенных твердых растворов;

4) эвтектоидный распад;

5) разупорядочение твердых растворов;

6) растворение в твердом состоянии;

7) образование твердого раствора из эвтектоидной смеси; причем процессы 5 и 2, 6 и 3, 7 и 4 являются обратными по отношению друг к другу.

В дальнейшем количество работ по данной проблематике лавинообразно нарастало. Одной из удачных попыток их собрания и систематизации следует признать выпущенный в 1999 г. Японским институтом металлов (The Japan Institute of Metals) сборник «Фазовые переходы твердое тело—твердое тело» (Solid—Solid Phase Transformation) под совместной редакцией М. Койва, К. Отсука и Т. Миясаки (M.Koiwa, К. Otsuka, Т. Miyazaki), в котором на 1683 страницах собрано 378 статей, принадлежащих авторам из многих стран, сгруппированных в разделы, включающие (но не ограниченные ими) следующие: переходы порядок-беспорядок; фазовое разделение и упорядочивание; фазовый распад; влияние внешних полей на фазовые переходы; диффузия; влияние энергии внешних напряжений; феноменологическое изучение фазового равновесия; компьютерное моделирование фазовых превращений; фазовая устойчивость и роль дефектов кристаллической решетки; кинетика мартенситных превращений; сплавы с эффектом памяти формы; нано-кристаллизация; тонкие пленки, межфазные границы и наноструктуры и т. д. С учетом публикаций не вошедших в данный сборник (как отечественных, так и зарубежных) можно было бы, таким образом, предположить, что проблема разработана достаточно детально. Однако при более тщательном рассмотрении оказывается, что существенное число работ по данной тематике носят сугубо экспериментальный характер и посвящены рассмотрению прохождения конкретного процесса в образцах заданных геометрических характеристик, выполненных из данного материала.

Соответственно расширению экспериментальной базы развивалось и теоретическое описание фазовых переходов. В рамках физики твердого тела необходимо отметить фундаментальные работы Н. Н. Боголюбова, Б. Т. Гейликмана, В. JI. Гинзбурга, Л. Д. Ландау,

Е. М. Лифшица, Р. Браута, Дж. Кристиана, Г. Стенли и некоторых других ученых, развивавших как феноменологические, так и статистические подходы: [6, 17, 19, 20, 59, 60, 8, 49, 87, 26, 89].

Развитие в середине XX века механики сплошных сред позволило более эффективно применить к задачам о фазовых переходах методы методы механики сплошной среды. Имеющиеся в настоящее время модели двухфазных тел можно разделить на несколько групп. К первой из них можно отнести работы, в которых явно вводится граница раздела фаз как поверхность или линия, разделяющая фазы материала. Такая фазовая граница, как правило, неизвестна и подлежит определению наряду с остальными неизвестными путем решения краевой задачи. В англоязычных работах для такой модели принято название — «модель с четкой межфазной границей» (sharp interface model). Можно рассматривать два варианта этой модели: «статическую», в которой энергии различных конфигураций фаз сравниваются без подробного рассмотрения, каким образом система перешла из одной конфигурации в другую, и «динамическую», в которой сам механизм перехода системы также включен в модель. Ключевым моментом при таком описании является формулировка уравнений баланса на границе раздела фаз, в том числе и дополнительного термодинамического условия, определяющим ее положение в пространстве. Над этими задачами работали Н. X. Арутюнян, В. Л. Бердичевский, А. А. Вакуленко, Е. Н. Вильчевская,

М. А. Гринфельд, А. Д. Дроздов, В. А. Еремеев, Л. М. Зубов, В. И. Кондауров, В. Э. Наумов, Л. В. Никитин, А. А. Мовчан, Н. Ф. Морозов, В. Г. Осмоловский, А. Б. Фрейдин, Р. Абеяратне (R. Abeyaratne), А. Березовский (A. Berezovski), К. Бхаттачария (К. Bhattacharya), X. Гарке (Н. Garcke), М. Гартин (М. Gurtin), Р. Джеймс (R. James), Ж. Можен (G. Maugin), Дж. К. Ноулз

J. К. Knowles), Г. П. Парри (G. P. Parry), X. Петрик (Н. Petryk), П. Файф (P. Fife), Ф. Д. Фишер (F. D. Fischer), Р. Фосдик (R. Fosdick), П. Фратцль (P. Fratzl), М. Шилхави (М. Silhavi) и другие, что нашло отражение в публикациях [1], [21—26], [28—29, 35— 38,118], [45-48], [66-68], [70-72, 94-95, 128-130], [135-138], [146-148], [125], [126], [127], [161], [123—125]. Поверхность раздела фаз в рамках данного направления может рассматриваться как поверхность разрыва деформаций. В связи с этим необходимо отметить работы Дж. Эшелби (J. D. Eshelby) [121-123].

Одним из методов, используемых в рамках этого направления является вариационный подход, решением задачи о равновесии двухфазного тела является поле перемещений и положение фазовой границы, доставляющей минимум функционалу полной энергии. Данная работа выполнена в рамках именно этого направления, когда вводится в рассмотрение заранее неизвестная межфазная граница, которая подлежит варьированию наряду с полем перемещений с учетом условий совместности на межфазной границе. Этот подход позволяет корректно описывать локальные термодинамически равновесные деформации двухфазных тел с позиций механики сплошной среды.

Описанию фазовых превращений посвящены также работы В. А. Лихачева, В. Г. Малинина, А. Е. Волкова, А. И. Разова и их коллег, А. А. Мовчана, Л. И. Шкутина, а также К. Бхаттачария, Д. Лагоудаса, В. Левитаса, и др., [15, 61, 66—69, 151] в которых межфазные границы явно не вводятся, т.е. изучаются фазовые превращения объемного типа, и описание деформирования двухфазных тел опирается на введение дополнительных параметров состояния, например, концентраций фаз. Этот подход коррелирует с моделью, предложенной Джоном Каном (John Cahn) в 1961 г. [115], которая принимает во внимание структуру межфазной границы, путем объявления концентрации одной из компонент сплава переменной величиной. Иногда такие модели называют «мезоскопически-ми». Концентрация принимает постоянные (но разные для каждой фазы) значения непрерывно меняясь по толщине межфазной границы. Для нахождения изменения концентрации в зависимости от времени задается определяющее дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению Кана-Хиллиарда [116].

В теории фазовых превращений используется полностью микроскопическое описание. Атомы в этих моделях больше не составляют континуум. Движение каждого атома задается индивидуально, а диффузия моделируется путем задания случайных скачков атомов. Эти модели могут не давать аналитических результатов, но благодаря своей простоте и физической очевидности они так же завоевали определенную популярность. Еще одним достоинством методов третьей группы является то, что все дефекты кристаллической решетки могут быть заданы в явном виде.

В связи с теорией фазовых переходов отметим их частный случай — двойникование. Замеченный еще Гюйгенсом в монокристаллах кальцита, данный феномен длительное время оставался необъяснимым, до появления в 1947 г. работ Р. И. Гарбера. [16] В дальнейшем, двойникование как в моно- так и в поликристаллических телах изучалось в работах Г. Гровса, А. Келли, М. В. Классен-Неклюдовой, И. М. Лифшица, И. В. Обреимова, В. И. Старцева, М. Питтери (М. Pitteri) и др. [43, 44, 59, 75, 163].

На базе предложенных в данных работах методов были построены многочисленные модели сред, испытывающих деформацию двойникования. Упомянем здесь работы О. М. Острикова В. А. Федорова, С. Н. Плужникова, Л. Ананда (L. Anand),

С. Р. Калидинди (S. R. Kalidindi), А. Старосельского (A. Staroselsky) и некоторых других [77-80, 92, 167, 149, 173].

С использованием общих методов исследования фазовых превращений, построены модели Н. М. Власова, А. М. Пахомова, А. Г. Хачатуряна, С. Говинджи (S. Govindjee), К. Ф. Хэйна (К. F. Напе), Г. Дж. Холла (G. J. Hall), Т. В. Шильда (Т. W. Shield) [12, 98, 132, 139].

Существуют и другие подходы, сочетающие в себе черты из вышеперечисленных, а также элементы описания на уровне кристаллической решетки и межатомных потенциалов.

Актуальность работы подтверждается поддержкой вошедших в ее состав исследований следующими грантами и программами финансирования: госконтракт 02.524.11.4005, шифр: 2008-04-2.415-02-003; госконтракт 02.740.11.0208, шифр: 2009-1.1-113-050-043; ведомственная целевая программа РНП.2.2.1.1/7176, (2009-2010).

Цель данной работы состоит в построении модели фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах и анализе условий равновесия фаз, в том числе для фазовых границ, обладающих сложной структурой.

Методика исследований использует вариационные и полуобратные методы нелинейной теории упругости и механики сплошной среды, а также методы теории смесей упругих тел.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 173 наименований, общим объемом 95 страниц машинописного текста.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Сформулированы условия баланса на границе раздела фаз, представляющих собой смесь упругих тел.

2. Для фазовых границ сложной структуры построена модель, учитывающая конечность толщины фазовой границы.

3. В рамках предложенных моделей вариационным методом решен ряд задач, как линейной, так и нелинейной теории упругости, иллюстрирующих особенности получаемых решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию вариационных задач о равновесии упругих многомпонентных сред при наличии фазовых превращений. Работа выполнена в рамках подхода, когда явно вводится граница раздела фаз материала и из вариационного принципа условия баланса на ней. Рассмотрены две модели границы раздела фаз. В первой из них каждая из фаз материала представляет собой смесь упругих сред, а граница раздела фаз представляет собой заранее неизвестную поверхность. Во второй модели граница раздела фаз представляет собой слой конечной толщины. Здесь неизвестными являются уже толщина слоя и его положение. Для слоя использованы также две модели, основанные на теории смесей. В первой концентрации компонент считаются постоянными, а во второй зависят от координаты, отсчитываемой по толщине слоя. В рамках предложенных постановок решен ряд модельных задач о равновесии двухфазного шара и цилиндра.

1. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д., Наумов В. Э. Механика растущих вязко-упруго-пластических тел. - М. : Наука, 1987. - 472 с.

2. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. М.: Наука, 1977. - 368 с.

3. Бабский В. Г., Жуков М. Ю., Юдович В. И. Математическая теория электрофореза. Киев : Наукова Думка, 1983. - 204 с.

4. Базаров И. П. Термодинамика. М. : Высшая школа, 1976. - 447 с.

5. Баландин Г. Ф. Основы теории формирования отливки. Ч. 1. Тепловые основы теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М. : Изд-во МГТУ им. Баумана, 1998. - 358 с.

6. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике, М. : Гостехиздат, 1946.

7. Бойко В. С., Гарбер Р. И., Косевич А. М. Обратимая пластичность кристаллов. М. : 1991. - 280 с.

8. Браут Р. Фазовые переходы. М. : "Мир". 1967. - 288 с.

9. Варлимонт X., Дилей Л. Мартенситные превращения в сплавах на основе меди, серебра и золота/ Пер. с англ. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 208 с.

10. Варюхин В. Н., Белоусов Н. Н., Пашинская Е. Г., Витчак 36. In situ исследование механизмов пластической деформации высокоазотистой стали в условиях гидростатического давления // Физ. и техн. высок, давлений N 2. - 2000. - Т.10. - С.15-22.

11. Винтайкин Е. 3., Носова Г. И. Пластическая деформация структурно неоднородного мартенсита в сплавах гамма-марганца после ГЦК-ГЦТ-превращения // Докл. РАН 4. - 2000. - Т. 370. -С. 469-472.

12. Вол А. Е. Строение и свойства двойных металлических систем: в 4-х т. Том 1. М. : Физматгиз, 1959. - 756 с.

13. Вол А. Е. Строение и свойства двойных металлических систем: в 4-х т. Том 2. М. : Физматгиз, 1962. - 984 с.

14. Волков А. Е. Микроструктурное моделирование деформации сплавов при повторяющихся мартенситных превращениях // Изв. АН. Сер. Физическая. 2002. Т. 66. № 9. С. 1290-1297.

15. Гарбер Р. И. // ДАН СССР. 1947. Т. 58. С. 571.

16. Гейликман Б. Т. Статистическая теория фазовых превращений. -М.: ГИТТЛ. 1954. 120 с.

17. Гиббс Дж. В. Термодинамические работы. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 350 с.

18. Гинзбург В. Л. ЖЭТФ 1945. - Т. 15. - С. 739.

19. Гинзбург В. Л. ЖЭТФ 1949. - Т. 19 - С. 36.

20. Гринфельд М. А. Фазовые переходы первого рода в нелинейно-упругих материалах // МТТ. 1982. - №1. - С. 99-109

21. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 312 с.

22. Гринфельд М. А. О двух типах гетерогенных фазовых равновесий // ДАН СССР. 1981. Т. 258. № 3. С. 567-569.

23. Гринфельд М. А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // ДАН СССР. 1980. -Т. 251. - №4. - С. 824-827.

24. Гринфельд М. А. Фазовые переходы с предписанным семейством поверхностей напряжения // ДАН СССР. 1985. - Т. 283. - №2. -С. 341-345.

25. Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М. : "Мир", 1973. - 376 с.

26. Демидов С. П. Теория упругости. М. : Высшая школа, 1979. -432 с.

27. Еремеев В. А. Модель фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах // Журнал физической химии. 2003. - Т. 77. - № 10. - С. 1863-1865.

28. Еремеев В. А., Зубов Л. М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. - № 2. - С. 56-65.

29. Еремеев В. А., Кузьменко С. М. Некоторые задачи статики упругих тел при учете межфазных границ // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2007. - № 3. - С. 6-9.

30. Еремеев В. А., Кузьменко С. М. О термодинамическом равновесии фаз двухкомпонентных линейно-упругих сред // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2004. Приложение. - № 1(13) -С. 17-22.

31. Еремеев В. А., Кузьменко С. М. Об одной модели двойникования в упругих телах // Труды VI Межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Т. 1. Ростов н/Д : Изд-во СКНЦ ВШ. 2001. - С. 92-97.

32. Еремеев В. А., Кузьменко С. М. Об одной модели межфазной границы в задачах равновесия двухфазных упругих тел // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2006. Приложение. -№ 10. - С. 7-13.

33. Еремеев В. А., Кузьменко С. М. Фазовые границы конечной толщины в задачах равновесия двухфазных упругих тел // Вестник ЮНЦ РАН. 2006. - Т. 2. - № 4. - С. 12-18.

34. Еремеев В. А., Никитин Е. С. Фазовые превращения в упругих телах с дислокациями и дисклинациями // ДАН (Россия). 1995.- Т. 345. № 2. - С. 188-192.

35. Еремеев В. А., Сотниченко Д. М. Некоторые задачи о фазовых превращениях в деформируемых средах при конечных деформациях // Изв. вузов. Сев.-Кав. Регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. - С. 52-74.

36. Еремеев В. А., Фрейдин А. Б., Шарипова Л. Л. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел // ДАН (Россия). 2003. - Т. 391. - № 2. - С. 189-193.

37. Еремеев В. А., Фрейдин А. Б., Шарипова Л. Л. Об устойчивости равновесия двухфазных упругих тел // ПММ. 2007. - 71. -С. 66-92.

38. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М. : МГУ, 1999. 328 с.

39. Ефимова Г. А. Упругое поведение кальцита при высоких давлениях // Физ. Земли. 2001. - N 1. С. 21-25.

40. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. -М.: Наука, 1971. 468 с.

41. Зубов Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону : Изд-во Ростовского ун-та, 1982. - 144 с.

42. Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах /Пер. с англ. под ред. М. П. Шаскольской. М. : "Мир", 1974. 496 с.

43. Классен-Неклюдова М. В. Механическое двойникование кристаллов. М. : Изд-во АН СССР, 1960. - 261 с.

44. Кондауров В. И. Уравнение Клайперона-Клаузиуса для фазо-выхпереходов первого рода в термоупругом материале // ПММ.- 2004. Т. 68. - Вып. 1. - С. 73-90.

45. Кондауров В. И., Никитин Л. В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // ДАН СССР. 1982. - Т. 262.- № 6. С. 1348-1351.

46. Кондауров В. И., Никитин Л. В. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях / Матем. методы мех. деформ. твер. тела. М. : "Наука", 1986. С. 56-63.

47. Кондауров В. И., Никитин Л. В. Фазовые переходы первого рода в упруговязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 4. - С. 130-139.

48. Кристиан Дж. Теория превращений в металлах и сплавах / Пер. с англ. М. : "Мир", 1978. - Ч. 1. - 806 с.

49. Кузьменко С. М. К развитию одной модели равновесия межфазной границы в задачах равновесия двухфазных упругих тел // Труды X Межд. конф., "Современные проблемы механики сплошной среды". Т. II. - Ростов н/Д : Изд-во ООО "ЦВВР", 2006. С. 209-213.

50. Кузьменко С. М. Моделирование фазового перехода для задачи о кручении несжимаемого цилиндрического слоя // Вестник РГУПС. 2004. - № 2. - С. 105-108.

51. Кузьменко С. М. Модель двойникования в плоской задаче о сдвиге круговой шайбы // Труды Всероссийской научно-практической конференции "Транспорт-2004". Ч. 3. - Ростов н/Д : - Рост. гос. ун-т. путей сообщения. - 2004. - С. 12.

52. Кузьменко С. М. Модель переходного слоя в задаче о декомпозиции бинарного сплава // Труды Всероссийской научно-практической конференции "Транспорт-2005". Ч. 2. - Ростов н/Д : - Рост. гос. ун-т. путей сообщения. - 2005. - С. 139.

53. Кузьменко С. М. О фазовых превращениях в смесях упругих материалов // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. IX. - Ростов н/Д : Изд-во Ростовского ун-та. - 2003. - С. 56.

54. Кузьменко С. М. Об определении межфазной границы в многокомпонентном упругом теле // Труды V Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов н/Д : Изд-во "Терра Принт", 2009. - С. 57-58.

55. Кукушкин С. А., Слезов В. В. Дисперсионные системы на поверхности твердых тел: механизмы образования тонких пленок (эволюционный подход). СПб. : Наука, 1996. - 304 с.

56. Ландау Л. Д., Лифшиц В. М. Теоретическая физика в 9-ти т. -Т. V. Статистическая физика. М. : Наука, 1964. - 568 с.

57. Лифшиц И. М. О макроскопическом описании явления двойникования кристаллов // ЖЭТФ. 1948. - Т. 18. - Вып. 12.

58. Лихачев В. А., Малинин В. Г. Структурно-аналитическая теория прочности. СПб. : Наука, 1993. - 471 с.

59. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М. : ГИТТЛ, 1955. - 494 с.

60. Лурье А. И. Теория упругости. М. : 1970. - 940 с.

61. Малыгин Г. А. Размытые мартенситные переходы и пластичность кристаллов с эффектом памяти формы // УФН. 2001. -Т. 171. - № 2. - С. 187-212.

62. Жень А. Н., Богданович Н. П. и др. Состав-дефектность-свойство твердых фаз. Метод кластерных компонентов. М. : "Наука", 1977.- 248 с.

63. Мовчан А. А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. АН. МТТ. 1996. - N4. - С. 136-144.

64. Мовчан А. А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. АН. МТТ. 1995. - N1. - С. 197-205.

65. Мовчан А. А., Сильченко JI. Г. Устойчивость круглой пластинки из сплава с памятью формы под действием прямого мартенсит-ного превращения // ПММ. 2006. - Т. 70, - N. 5, - С. 871-883.

66. Мовчан А. А., Сильченко JI. Г. Устойчивость стержня,претерпевающего прямое или обратное мартенситное превращение под действием сжимающих напряжений // ПМТФ. -2003. Т. 44. - № 3. - С. 169-178.

67. Морозов Н. Ф., Назыров И. Г., Фрейдин А. Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. РАН. 1996.- Т. 346. № 2. - С. 188-191.

68. Морозов Н. Ф., Осмоловский В. Г. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // ПММ. 1994. - Т. 58. - № 5. - С. 125-132.

69. Назыров И. Г., Фрейдин А. Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ. 1998. - № 5. - С.52-71.

70. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Часть I. М. : "Наука", 1987 464 с.

71. Новожилов В. В. Теория упругости. JI. : Судпромгиз, 1958. 370 с.

72. Обреимов И. В., Старцев В. И. Работа образования упругого двойника в кальците // ЖЭТФ. 1958. - Т. 35. - Вып. 5 (11).

73. Олейник Г. С., Беженар Н. П., Даниленко Н. В. Эволюция деформационной субструктуры В1Мсф. в процессе термобарического спекания // Сверхтверд, матер. 1999. - 6. - С. 54-61.

74. Остриков О. М. Магнитопластический эффект при двойникова-нии монокристаллов висмута // Прикл. мех. и техн. физ. 2001. -N 3. - Т. 42. С. 159-161.

75. Остриков О. М. Напряженное состояние у клиновидного двойника при дисбалансе плотностей двойникующих дислокаций // Прикл. мех. и техн. физ. 2002. - № 4. - Т. 43. - С. 180-182.

76. Остриков О. М. Реализация двойникования при термоциклиро-вании монокристаллов висмута // ЖТФ. 2001. - N 9. - Т. 71. С. 137-139.

77. Остриков О. М. Экспресс-методика определения вклада двойникования и скольжения в пластическую деформацию монокристаллов при индентировании // Физ. мет. и металловед. 2000. -№ 5. - Т. 89. - С. 106-109.

78. Пинчук А. И., Шаврей С. Д. Влияние постоянного магнитного поля и импульсного электрического тока на среднюю линейную плотность двойникующих дислокаций в кристаллах висмута // ФТТ 2001. - № 8. - Т. 43. - С. 1416-1417.

79. Пинчук А. И., Шаврей С. Д. Корреляция между микротвердостью и подвижностью двойникующих дислокаций в кристаллах висмута при приложении постоянного магнитного поля и импульсов тока // Письма в ЖТФ N 12, 2002, т.28, стр.80-84.

80. Пригожин И., Дефей Р. Химическая термодинамика. Новосибирск: "Наука", 1966. - 502 с.

81. Рущицкий Я- Я. Взаимодействие волн сжатия и сдвига в композитном материале с нелинейно-упругими компонентами в микроструктуре // Прикл. механика, 1993. Т. 29, - № 4. - С. 23-30.

82. Современная кристаллография: В 4 т. / АН. СССР, Ин-т кристаллографии им. А. В. Шубникова; Редкол.: Б. К. Вайнштейн и др. М. : "Наука", 1979 - 1981.

83. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М. : "Мир", 1973. - 424 с.

84. Суюншкалиев Н. X. Некоторые задачи теории конечных упругих деформаций. Ташкент : "Фан", 1988. 127 с.

85. Уайт Р., Джебелл Т. Дальний порядок в твердых телах. М. : "Мир", 1982. - 448 с.

86. Уманский Я. С., Финкельштейн Б. Н., Блантер М. Е., Кишкин С. Т., Фастов Н. С., Горелик С. С. Физические основы металловедения. М. : Государственное научно-техническое издательство литературы по черной и цветной металлургии. - 1955. - 721 с.

87. Устиновщиков Ю. И. Выделение второй фазы в твердых растворах. М. : Наука, 1988. - 170 с.

88. Федоров В. А., Куранова В. А., Тялин Ю. И., Плужников С. Н. Влияние распределения дислокаций в границах двойника на зарождение микротрещин в его вершине // ФТТ 2002. - № 6. -Т. 44. С. 1057-1059.

89. Францевич И. Н., Воронов Ф. Ф., Бакута С. А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Справочник. — Киев : Наукова думка, 1982. 286 с.

90. Фрейдин А. Б., Чискис А. М. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих материалах Ч. 1. Основные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1994. - № 4. - С. 91-109.

91. Фрейдин А. Б., Шарипова Л. JI. Равновесные двухфазные деформации и зоны фазовых переходов в приближении малых деформаций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. Науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. -2003, С. 267-274.

92. Хансен М. Структуры бинарных сплавов: в 2-х т. Том 1. - М., JI. : Государственное научно-техническое издательство литературы по черной и цветной металлургии. - 1941. - 640 с.

93. Хансен М. Структуры бинарных сплавов: в 2-х т. Том 2. - М., JI. : Государственное научно-техническое издательство литературы по черной и цветной металлургии. - 1941. - 410 с.

94. Хачатурян А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. — М, 1974. 384 с.

95. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. М. : "Наука", 1988. - 192 с.

96. Шульце Г. Металлофизика / Пер. с нем. под ред. Я. С. Уманско-го. М. : "Мир", 1971. - 503 с.

97. Юм-Розери В., Рейнор Г. В. Структура металлов и сплавов. М. : Государственное научно-техническое издательство литературы по черной и цветной металлургии, 1959. 416 с.

98. Abeyaratne R., KnowJes J. К• Dynamics of propagating phase boundaries: Thermoelastic solids with heat conduction // Arch. Rat. Mech. Anal. 1994. Vol. 126. - № 3. - P. 203-230.

99. Abeyaratne R., KnowJes J. K. Impact-induced phase transitions in thermoelastic solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1997. — A 355. № 1726. - P. 843-867.

100. Abeyaratne R„ Knowles J. K. Implication of viscosity and strain-gradient effects for the kinetics of propagating phase boundaries in solids // SI AM J. Appl. Math. 1991. - Vol. 38. - № 5. - P. 345-360.

101. Abeyaratne R., Knowles J. K. Kinetic relations and the pahse propagation of phase boundaries in solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. - Vol. 114. - № 2. - P. 119-154.

102. Aitkin R. J., Crain R. F. Continuum theories of mixtures: basic theory and historical development. Quart. J. Mech. Appl. Math. -1976. - 29. - N 2. - P. 209-244.

103. Artemev A., Wang Y., Khachaturyan A. G. Three-dimensional phase field model and simulation of martensitic transformation in multilayer systems under applied stresses // Acta mater. 2000. -N 10. - Vol. 48, - P. 2503-2518

104. Atkin R. J., Craine R. B. Continuum theories of mixtures: basic theory and historical development // Quat. J. Mech. Appl. Math. -1976. № 29. - P. 209-243.

105. Bayle В., Bocher Ph., Jonas J. J., Montheillet F. Flow stress and recrystallisation during hot deformation of Cu-9%Sn alloys // Mater. Sci. and Technol. 1999. - 7. - Vol. 15. - P. 803-811

106. Bedford A., Drumheller D. S. Theory of immiscible and structured mixtures // Int. J. Engrg. Sci. 1983. - № 21. - P. 863-960.

107. Bowen R. M. Theory of mixtures. // Continuum Physics V. 3 Ed. C. Eringen NY-Lond. : Academic Press, 1976. - P. 1-127

108. Bowen R. M. Toward a thermodynamics and mechanics of mixtures. // Arch. Ration. Mech. Anal. 1967. - V. 24, № 4. - P. 370-403

109. Bowen R. M., Wise J. S. Diffusion in mixtures of elastic materials I I Int. J. Engrg. Sci. 1969. - № 7. - P. 689-722.

110. Cahn J. W. On spinodal decomposition // Acta met. 1961. -Vol. 9. - N 9. - P. 795-808.

111. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. Inter-facial free energy // J. Chem. Phys. 1958. - Vol. 28, - P. 258-267.

112. Cerv J., Landa M., Machova A. Transonic twinning from the crack tip // Scr. Mater. 2000. - N 5. - Vol. 43. - P. 423-428.

113. Eremeyev V. A., Pietraszkiewicz IV.' Phase transitions in thermoe-lastic and thermoviscoelastic shells // Archive of Mechanics. -2009. Vol. 61. - No 1. - P. 41-67.

114. Eremeyev V. A., Kuzmenko S. M. On the phase transformations conditions in linear elastic mixtures // Abstr. XXXII Summer school "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2004). P. 41.

115. Eringen A. C., Ingram J. D. A continuum theory of chemically reacting media I // Int. J. Engrg. Sci. 1965. - № 3. - P. 197-212.

116. Eshelby J. D. Elastic inclusions and inhomogeneities // Prog. Solid. Mech. 1961. - Vol. 2. - P. 89-140.

117. Eshelby J. D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems // Proc. Roy. Soc. 1957. -A241. - P. 376-396.

118. Eshelby J. D. The force on an elastic singularity // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1951. - A 244. - P. 87-112.

119. Eerreira P. J., Sande J. B. Vander Magnetic field effects on twin dislocations// Scr. Mater. 1999. - N 2. - Vol. 41. - P. 117-123.

120. Fosdick R., Royer-Carfagni G. F. Alloy separation of a binary mixture in a stressed elastic sphere // J. of Elasticity 1996. -Vol. 42, - P. 49-77.

121. Fratzl P., Penrose O., Lebovitz J. L. Modelling of phase separation in alloys with coherent elastic misfit // J. Stat. Phys. 1999. -Vol. 95. - № 5/6. - P. 1429-1503

122. Freidin А. В., Sharipova L. L. On a model of heterogeneous deformation of elastic bodies by the mechanism of multiple appearances of new phase layers // Meccanica. 2006. - № 41. - P. 321-339.

123. Freidin A. B. On new phase inclusions in elastic solids // ZAMM.- 2007. №2. P. 102-116.

124. Freidin А. ВY. B. Fu, Sharipova L. L., Vilchevskaya B. N. Shperically symmetric two-phase deforma-tions and phase transition zones // International Journal of Solids and Structures. -2006. N 43. - P. 4484-4508.

125. Garcke H. On mathematical models for phase separation in elasti-cally stressed solids. Habilitation thesis, University of Bonn. -2000. 96 P.

126. Govindjee S., Hail G. J. A computational model for shape memory alloys 11 Int. J. Solids and Struct. 2000. - N 5. - Vol. 37. -P. 735-760.

127. Green A. E., Naghdi P. M. A dynamical theory of interacting con-tinua // Int. J. Engrg. Sci. 1965. - № 3. - P. 231-241.

128. Green A. E., Naghdi P. M. A note on mixture // Int. J. Engrg. Sci.- 1968. № 6. - P. 631-635.

129. Gurtin M. E. On a theory of phase transitions with interfacial energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. - Vol. 87. - № 3. - P. 187-212.

130. Gurtin M. E. On phase transitions with bulk, interfacial and boundary energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. - Vol. 96. -№ 3. - P. 243-264.

131. Gurtin M. E. The dynamics of solid-solid phase transitions. 1. Coherent interfaces // Arch. Rat. Mech. Anal. 1993. - Vol. 123. -P. 305-335.

132. Gurtin M. E. Two-phase deformation of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1983. - Vol. 84. - № 1. - P. 1-29.

133. Hane K. F, Shield T. W. Microstructure in a cubic to orthorhom-bic transition // J. Elast. 2000. - N 1-3. - Vol. 59. - P. 261-318.

134. Hon Thomas Y., Rosakis P., Le Floch P. A level set approach to the computation of twinning and phase-transition dynamics // J. Computational Physics. 1999. - Vol. 150. - P. 302-331.

135. Hsiung L. M., Lassila D. H. Shock-induced deformation twinning and omega transformation in tantalum and tantalum-tungsten alloys // Acta mater. 2000. - N 20. - Vol. 48. - P. 4851-4865.

136. Idesman A. V., Levitas V. /., Stein E. Elastoplastic materials with martensitic phase transition and twinning at finite strains: numerical solution with the finite element method // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1999. - Vol. 173. - 1-2. - P. 71-98.

137. Iesan D. On the nonlinear theory of interacting micromorphic materials // Int. J. Engrg. Sci. 2004. - № 42. - P. 2135-2145.

138. Ingram J. D., Eringen A. C. A continuum theory of chemically reacting media II. Constitutive equations of reacting fluid mixtures 11 Int. J. Engrg. Sci. 1967. - № 5. - P. 289-322.

139. Jahammir M., Tiersten T. F. Load transfer and surface wave propagation in fiber reinforced composite materials // Int. J. Solids and Struct. 1978. - V. 48. - № 11. - Part. 2. - P. S11-S18.

140. James R. D. Co-existent phases in one-dimensional static theory of elastic bars I I Arch. Rat. Mech. Anal. 1979. - Vol. 72. - № 2. -P. 99-140.

141. James R. D. Displasive phase transformations in solids // J. Mech. and Phys. Solids. 1986. - Vol. 34. - № 4. - P. 359-394.

142. James R. D. Finite deformation by mechanical twinning // Arch. Rat. Mech. Anal. 1981. - Vol. 77. - 2. - P. 143-177.

143. Кalidindi S. R. Incorporation of deformation twinning in crystal plasticity models 11 J. Mech. Phys. Solids. 1998. - Vol. 46 - № 2.- P. 267-290.

144. Kelly P. A reacting continuum // Int. J. Engrg. Sci. 1964. - № 2.- P. 129-153.

145. Lagoudas D. С., Bo Z. Thermomechanical modelling of polycrys-talline SMAs under cyclic loading // Int. J. Engineering Siences. -1998. P. 1-55.

146. Lempriere R. On practicability of analyzing waves in composites by the theory of mixtures // Lockheed Palo Alto Res. Lab. Rept. -1969. No LMSC-6-78-69-21. - P. 76-90.

147. Lu Z., Xu Y. В., Ни Z. Q. Evolution of dislocation structure induced by cyclic deformation in a directionally solidified cobalt base superalloy // Mater. Sci. and Technol. 1999. - N. 2. -Vol. 15. - P. 165-168.

148. Martinez F„ Quintanilla R. Some qualitative results for the linear theory of binary mixtures of thermoelastic solids // Universitat de Barcelona Collect. Math. 1995. - V. 46. - № 3. - P. 263-277.

149. Massoudi M. Constitutive Relations for the Interaction Force in Multicomponent Particulate Flows // International Journal of Non-Linear Mechanics 2001. - V. 38. P. 313-336.

150. Muller /. A thermodynamic theory of mixtures of fluids // Arch. Ration. Mech. Anal. 1967. - V. 20 - P. 1-39.

151. Мига T. Micromechanics of defects in solids. Bost. - Lond.: Mar-tinus Nijhoff Publ., 1982. - 587 p.

152. Myslowicki Т., Crumbach M., Mattissen D., Bleck W. Short time creep behaviour of invar steel // Steel Res. 2002. - N 8. - Vol. 73.- P. 332-339.

153. Neklyudov I. M. Twinning role in the radiation damage and plastic deformation in irradiated crystals // Funct. Mater. 2000. -N. 1. - Vol. 7. - P. 77-82.

154. Nemat-Nasser S., Hori M. Micromechanics: Overall Properties of Heterogeneous Materials. 2nd ed. Amsterdam : Elsevier, 1999. -810 p.

155. Parry G.P. Low-Dimensional Lattice Groups for the Continuum Mechanics of Phase Transitions in Crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1998. - Vol. 145. - P. 1-22.

156. Pinsook U., Ackland G.J. Atomistic simulation of shear in a mart-ensitic twinned m icrostructure // Phys. Rev. В 2000. - N 9. -Vol. 62. - P. 5427-5434.

157. Pitteri M. On the kinematics of mechanical twinning in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. - Vol. 88. - 1. - P. 25-57.

158. Rajagopal K. R., Wineman A. S. Developments in the mechanics of interactions between a fluid and a highly elastic solid, volume II. Essex: Pitmant Research Notes in Mathematics Series. 1990.

159. Romano A. Thermodynamics of Phase Transitions in Classical Field Theory. Singapore, 1993. - 255 p.

160. Shenoy V. В., Miller R., Tadmor В. В., Rodney D., Phillips R., Ortiz M. An adaptive finite element approach to atomicscale mechanics. The quasicontinuum method // J. Mech. and Phys. Solids. 1999. - N 3. - Vol. 47. - P. 611-642.

161. Staroselsky A., Anand L. Inelastic deformation of polycrystalline face centered cubic materials by slip and twinning // J. Mech. Phys. Solids. 1998. - Vol. 46 - № 4. - P. 671-696.

162. Tiersten T. F., Jahammir M. A theory of composites modeled as interpenetrating solids continua // Arch. Rat. Mech. Anal. 1977. -V. 54. - № 2. - P. 153-163.

163. Tomov /., Adamik M., Barna P.B. Texture, twinning and secondary extinction of vacuum deposited silver thin films // Thin Solid Films 2000. - N 1-2. - Vol. 371. - P. 17-27.

164. Torquato S. Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties. New York : Springer-Verlag, 2002.

165. Truesdell С., Toupin R.A. The classical field theories // Enciclo-pedia of physics. V. III/l. - Berlin : Springer-Verlag. - 1960. P. 226-793.

166. Yu M.-H., Yang S.-Y, Fan S.C., Ma G.-W. Unified elasto-plastic associated and non-associated constitutive model and its engineering applications // Comput. and Struct. 1999. - 6. - Vol. 71. -P. 627-636.

167. Zhou Guohui, Gao Kewei, Wan Farong, Qiao Lijie, Chu Wuyang Molecular dynamics simulation of microcrack healing in aluminium // Progr. Nat. Sci. 2001. - N 3. - Vol. 11. - P. 215-220.