Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега

Васильева, Юлия Олеговна

Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Васильева, Юлия Олеговна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чебоксары МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега»

Автореферат диссертации на тему "Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега"

На правах рукописи

Васильева Юлия Олеговна

ЗАДАЧА О МЕЖФАЗНОИ ТРЕЩИНЕ С ЖЕСТКОЙ НАКЛАДКОЙ НА ЧАСТИ ЕЕ БЕРЕГА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4849285

9 ИЮН 2011

Чебоксары - 2011

4849285

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Сильвестров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В. Ковалев

кандидат физико-математических наук,

доцент А.К. Ярдухин

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Самарский государственный

технический университет»

Защита состоится 1 июля 2011 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.300.02 при ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет имени И.Я. Яковлева» по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет имени И.Я. Яковлева».

мая 2011

г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Прочность и долговечность композиционных материалов во многом зависит от наличия в них дефектов в виде трещин, включений, зон предразрушения и других механических повреждений. Они представляют собой концентраторы напряжений и при дальнейшей эксплуатации материала могут привести к его локальному или полному разрушению. Такие дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе эксплуатации, причем чаще всего из-за разности упругих свойств сред, составляющих композит, и включений. Учет наличия таких дефектов необходим для описания напряженно-деформированного состояния материала, как в окрестностях наиболее опасных точек относительно возможного появления и развития трещин, так и всего материала в целом.

К настоящему времени достаточно полно изучено влияние дефектов в виде трещин и тонких жестких остроконечных включений, полностью соединенных со средой, на напряженное состояние однородного и кусочно-однородного материала. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.И. Мусхелишвили, JI.T. Бережницкого, Н.Г. Стащука, В.В. Панасюка, Н.Ф. Морозова, Г.Я. Попова, М.П. Саврука, Е.М. Морозова, В.З. Партона, Г.П. Черепанова, а также в статьях A.A. Каминского, И.В. Симонова, С. Atkinson, М. Comninou, J. Dundurs, F. Erdogan, J.R. Rice, J.R. Willis и др. Кусочно-однородное изотропное и анизотропное упругое тело с трещиной на линии раздела сред, один берег которой полностью усилен жесткой накладкой, а другой свободен от контакта с накладкой или контактирует с ней со скольжением, изучено в работах Г.П. Черепанова, ГЛ. Попова, В.Н. Акопяна, В.В. Сильвестрова, И.И. Ильиной, R.A. Ballarini, Т. A. Homulka, L.M. Кеег, X. Markenseoff и др. Однородная упругая среда с трещиной, берега которой частично или полностью усилены жесткими накладками, и соответствующая смешанная задача теории упругости рассмотрены в работах Д.И. Шермана, Н.И. Мусхелишвили, Б.М. Нуллера, Э.И. Зверовича, JI.A. Корзан, A.B. Саакяна, Д.И. Бардзокаса, С.М. Мхитаряна. В то же время, такие исследования в случае кусочно-однородной среды с трещиной, особенно, расположенной на линии раздела сред, вовсе отсутствуют.

Цель работы:

- решение смешанной краевой задачи теории упругости для кусочно-однородного тела с полубесконечной межфазной трещиной, к одному из берегов которой на конечном промежутке, примыкающем к вершине трещины, присоединена жесткая накладка;

- анализ напряженного состояния тела вблизи критических к разрушению точек и нахождение параметров разрушения;

- исследование влияния упругих, силовых и геометрических параметров задачи на напряженное состояние тела.

Методы исследования. С помощью формул Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости в интерпретации Г.П. Черепанова механическая задача сводится к матричной краевой задаче Римана с кусочно-постоянным коэффициентом на луче. Решение последней находится явно методом гипергеометрической функции Гаусса в общем случае и методом римановых поверхностей в случае однородной плоскости.

Научная новизна полученных результатов:

- развитие метода решения смешанных краевых задач теории упругости для кусочно-однородного тела с разрезом по линии соединения материалов, основанного на применении гипергеометрической функции;

- решение в явной форме задачи о полубесконечной межфазной трещине с жесткой накладкой (прямолинейной и криволинейной) на части ее берега;

- решение методом римановых поверхностей соответствующей задачи для однородной плоскости;

- анализ напряженного состояния тела и нахождение коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов накладки; изучение их зависимости от упругих параметров среды, внешних нагрузок, длины и формы накладки.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановок краевых задач и математических методов их решения, совпадением решений задачи, полученных разными методами в однородном случае, и совпадением решений в ряде других частных случаев с известными решениями.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании методов решений плоской теории упругости, основанных на использовании 'гипергеометрической функции Гаусса и римановых поверхностей, на случай кусочно-однородного тела с разрезами по линии раздела сред, а также в решении и анализе решения задачи о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега.

Практическую ценность представляют аналитические формулы для угла поворота накладки и коэффициентов интенсивности напряжений.

На защиту выносятся следующие положения:

- решение задачи о полубесконечной межфазной трещине, к верхнему берегу которой на конечном промежутке, примыкающем к вершине трещины, идеально жестко присоединена жесткая прямолинейная накладка (метод решения задачи и построение самого решения);

- решение задачи для случая криволинейной накладки и результаты исследований по влиянию формы накладки на напряженное состояние тела;

- решение соответствующей задачи в случае однородной среды (метод решения задачи и построение самого решения);

- формулы для нахождения угла поворота накладки;

- асимптотические выражения напряжений и аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов накладки.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010), на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010), на IX молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2010), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2010), на XXXVII международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2011), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2008-2010), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (Чебоксары, 2011).

Результаты диссертационной работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038, 10-0100103).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в девяти работах, семь из которых написаны в соавторстве с В.В. Сильвестровым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 16 параграфов, заключения и списка литературы из 134 наименований. Содержит 21 рисунок и 3 таблицы. Общий объем работы 98 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, приведен обзор литературы по исследуемым вопросам, кратко изложено содержание работы.

В первой главе решается задача о полубесконечной межфазной трещине с жесткой прямолинейной накладкой конечной длины на одном из берегов трещины при нулевых напряжениях на берегах трещины.

В §1, 2 приводятся механическая и математическая постановки задачи. Рассматривается кусочно-однородная упругая плоскость, составленная из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей. Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига цх и коэффициент Пуассона V,, нижняя - //2 и к2 соответственно. На линии раздела сред (рис. 1) расположена полубесконечная открытая трещина [0, + оо). Верхний берег трещины на участке [0, /] подкреплен абсолютно жесткой прямолинейной накладкой, присоединенной к телу идеально жестко:

и+(х) + ¡и* (х) = ¡£х, х е (0, /], (1)

Рис. 1. Кусочно-однородная плоскость, ослабленная полубесконечной межфазной трещиной с жесткой накладкой на берегу.

где и{х), 1>(х) - горизонтальная и вертикальная компоненты вектора смещений, £ - угол поворота накладки. Остальная часть верхнего берега и весь нижний берег трещины свободны от напряжений:

г1(*) + /ег;(х) = 0, *е(/,+оо),

(2)

гч,(>) + /о-;<Х) = 0, *е(0,+оо), где — касательное напряжение, сгу(х) - нормальное напряжение. Вдоль луча (-оо, 0] полуплоскости соединены друг с другом так, что при переходе через линию соединения вектор смещения и вектор напряжений меняются непрерывно.

На бесконечности в верхней и нижней полуплоскостях действуют заданные нормальные продольные напряжения сх",=<7 и сг"2 = сг-/х2(1 + л:1)/[/<1(1+к:2)] соответственно, где у = 1,2 при плоской деформации и

К1 =(3 —уу)Д1+ V,), _/' = 1,2 при плоском напряженном состоянии. Нормальное отрывающее напряжение сг", касательное напряжение г™ и вращение а>™ на бесконечности исчезают. Задан еще главный вектор Х0 + /У0 внешних сил, действующих на накладку, и момент М0 этих сил относительно вершины трещины.

Требуется определить плоское напряженное состояние составной плоскости, при котором напряжения и вращение в вершине трещины г = 0 и на правом конце накладки г = I + /0 могут иметь особенности интегрируемого характера.

С помощью формул Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости в интерпретации Г.П. Черепанова напряжения, вращение и смещения точек составной плоскости выражаются через две кусочно-голоморфные функции Ф(г), О(г) с линией разрыва [0, + да), на которой они удовлетворяют краевым условиям

АГ,Ф+(х) - П- (х) = х б (0, /),

Ф+(л) + а"(л) = 0, хе(/, + оо), а,Ф" (х) + аг2П~ (л) + а3П+ (л) + аг4Ф+ (х) = 0, д; е (0, + оо),

где а, =

1 + /Ц.К-,

1-Я

г —-9 — ......, Сед — --

1 +АГ2 1 + АГ2 1 + АГ2 1 + *:2 Д

Я А

На оо функции Ф(г), П(г) ограничены, в точках г = 0 и г = 1±\О допускают интегрируемые особенности.

Путем замены переменных г = , х = 1{ и введения новых функций

я,(о=Ф(/а н2ю=п(ю

от задачи (3) приходим к следующей матричной краевой задаче Римана с кусочно-постоянным коэффициентом, имеющим разрыв в точке < = 1:

Н+(0 = С,■ н-(0 + 2щф/е(0,1),

Н+(0 = С2-Н"(/), / е (1, + со),

(4)

Н(С) =

-Л

-от -а

О -1 ^ -т 1 -т

-ад'.

к,(ц2 + ц,к2)

Компоненты вектор-функции И(С) на 00 ограничены, а в точках £ = 0 и = 1 ± Ю могут иметь интегрируемые особенности. Каноническая матрица задачи (4), т.е. матрица, столбцы которой представляют собой линейно независимые решения соответствующей однородной задачи, строится явно в §3 с помощью гипергеометрической функции Гаусса F(я,¿>;c;0. Она имеет вид

К|<1,^[0,1], (5)

а(а + 1-с)

а+Ь+1-с

(а + Ъ - сМ ~ 1)"°"' Р(с -а - 1,с - Ъ\с -а -Ь;1- С)

, К-1|<1,1т(±О>0,

Ь—1—а

{С\>11т(±С)>0,

где комплексные параметры Л, а,Ь,с и элементы матриц С, Р*,(2 зависят только от упругих характеристик верхней и нижней полуплоскостей.

В §4 находится общее решение исходной задачи. Оно дается формулами:

Ф(г) = #,(*//), fi(z) = #2(z//), (6)

ЩС) = ХиША + АС+WMOI+ XniOiA+mhiQl нг(С) = х2Ю1А + АС+Щ1Ю1+хЖХА+щ'2Ю1

/;(0=_L|MM, 7-=1,2, (8)

' K]F О *-С

т = + а^ХпШ/detX+(f), Ш = -[*2+,(0 + ад1^,«]/detX+(0, (9) где j^(£")()fc = l,2,7 = 1,2) - элементы канонической матрицы Х(^). Для нахождения комплексных постоянных AQ, Av А2 используются разложения комплексных потенциалов Ф(г), Q(z) в окрестности <ю и заданный главный вектор внешних сил, действующих на накладку. На основании найденного решения показано, что касательное и нормальное напряжения на бесконечности убывают как степенная функция с показателем ~уг + //?, Д = (2я)~[ In т.

В § 5 вычисляется момент внешних сил, действующих на накладку, откуда определяется угол поворота накладки. Он находится по формуле

\ г 1

щ-

г +

\tRe[{MAt)xm + AXn(t)\dt\ \tmXu(l)h(t)+XnWi(№

.(Ю)

^ (!«•,)/> I 14 " — ' — " Д Численными расчетами изучается зависимость е от упругих характеристик среды и длины накладки.

В § 6 исследуется поведение напряжений вблизи правого конца накладки. Показано, что в полуокрестности точки г = / — /0 напряжения ограничены. Вблизи точки г = I + /0 напряжения ведут себя так же, как вблизи вершины штампа, сцепленного жестко со средой, т.е. имеют особенность порядка + Д = (2л)'11п **,. При этом интенсивность напряжений вблизи правого конца накладки определяется двумя действительными параметрами -коэффициентами интенсивности напряжений (КИН), которые вычисляются по формулам:

N,-¡N„=^0Д, (11)

Д,=К + 4 + еи/.О) еиЛ(ВД] ■ , \=~Уг + '"Р,,

где комплексная постоянная а выражается через упругие параметры составной плоскости, интегралы /1(1), существуют в несобственном смысле. Приводится численное сравнение И,, N¡1 с соответствующими КИН Л^', И'п вблизи правой вершины 2 = 1 штампа с прямолинейным основанием, сцепленного жестко с границей верхней полуплоскости на участке [0, /] при отсутствии нижней полуплоскости. На рисунке 2 приведены графики зависимости коэффициентов И,, Ип, Ы], Н'„ от длины накладки / в случае растяжения плоскости на бесконечности напряжениями ег^ и сг™2 при отсутствии всех остальных исходных нагрузок (рис. 2а) и в случае, когда на накладку действует лишь пара сил с моментом Ма (рис. 26). В обоих случаях принято аг, =1.8, к2 = 2.2, /А = 2.

Асимптотика напряжений вблизи левого конца накладки, являющегося одновременно вершиной трещины, выводится в §7. Показано, что поведение напряжений вблизи этой точки характеризуется двумя степенными функциями г-г.+'б25 ^ где уг<уо< 1, Исследования показали, что при /м. >0.124 пока-

затель у0 > уг для любых параметров кх, хг2, причем в этом случае 8х=8г. Интенсивность напряжений в вершине трещины определяется четырьмя действительными коэффициентами. Получены следующие формулы для КИН: К, - гКа = 72^, + /лК"(т°-'5г) • В2, Кш -¡К№ = + ту1"'-^ ■ Ц,

= сДЛ + + (1 - У, + ¿5ДЛ + вц,/2(0))] • Г'-"', 7=1,2,

Уо = У2> У]= С2*)"'агё^г 57 = С2*)"'1п14]\ ' (0<агБ^,^п, тс<аг^2<2л), £ = 0.5^-а + л/а2 - 4т / АГ[ = 0.5^-а-л/а2

где несобственные интегралы /,(0), /2(0) сходятся, с,,с2 - постоянные, зависящие только от упругих параметров среды. Например, для исходных нагрузок, для которых приведен рис. 2, графики зависимости коэффициентов К,,КП, Кш,К,у от длины накладки изображены на рисунке 3. При расчетах принято лг, =1.8, к2 = 2.2, /4=2.

а) б)

Рис. 3. Графики зависимости КИН вблизи вершины трещины от длины накладки.

Во второй главе рассматривается задача о полубесконечной трещине с жесткой прямолинейной накладкой на верхнем берегу в случае однородного упругого тела.

В § 1 приводится механическая постановка задачи. В той же постановке, что и в первой главе, рассматривается задача определения напряженного состояния однородного изотропного упругого тела с модулем сдвига ц и коэффициент Пуассона V, ослабленного полубесконечной прямолинейной открытой трещиной с жесткой прямолинейной накладкой на верхнем берегу. С помощью формул Колосова-Мусхелишвили задача сводится к матричной краевой задаче Ри-мана:

кФ*(х) - СГ(х) = Ъце, х е (О, Г), Ф+О) + П-(*) = 0, хе (/, + «>), (13)

Ф"(х) + П+(д:) = 0, *е(0, + оо). где функции Ф(г), П(г) обладают теми же свойствами, что и в первой главе.

В §2 путем перехода на двулистную риманову поверхность функции м>2 =2 строится решение поставленной задачи. Оно дается формулами:

П(г) = г4"" (VI + лУ/)4+2"[-ЧШ-1 + А; + ~^(*))]>

где к = 3 - 4у при плоской деформации тела и к = (3-у)/(1 + у) при плоском

напряженном состоянии, постоянные Ак' и угол поворота накладки в находятся из разложения комплексных потенциалов в окрестности бесконечности и из условий равновесия накладки:

I I

Ог + 1)|ф+(ОЛ-2//^/ = /(Х0+/У0), (/г +1) ЯеФ+(ОЛ = -Ма. (15) о о

Как и в случае задачи для кусочно-однородной плоскости, рассмотренной в

« -1/2 первой главе, напряжения ау, т^ исчезают на «> как г , однако осциллирующая особенность отсутствует.

В §3 изучается поведение напряжений вблизи правого конца накладки. Показано, что в полуокрестности точки г = 1-10 напряжения ограничены. Вблизи точки г = / + /0 напряжения снова ведут себя так, как вблизи вершины жесткого штампа, полностью сцепленного со средой, и их поведение характеризуется степенной функцией (г-¡У"1*™, 26 = (2яуЧп/с идвумяКИН Ы„:

Ы, -/'А'д = (2/Г2'5 + А; + А;41 + це^/) + У2(/)77)]. (16)

На рисунке 4 приведены графики зависимости коэффициентов Л^, Ип от длины накладки в случае растяжения плоскости на бесконечности продольным напряжением ег" = ег при отсутствии всех остальных исходных нагрузок (рис.4а) и в случае, когда на накладку действует лишь пара сил с моментом Л/0 (рис.4б). В расчетах принято к = 1.8, ц = 1.

а)

0.5

/ -10ЛГ„/<г /

/ ^^ ^ Л 1 Л^/ст

б)

-._______

Рис. 4. Графики зависимости КИН вблизи правого конца накладки от ее длины в случае однородной плоскости.

В §4 изучается поведение напряжений в окрестности вершины трещины. На действительной отрицательной полуоси л<0 для вектора напряжений справедлива асимптотика

1), (17)

где КИН К,,К„, Кш, К ¡у вблизи вершины трещины г = 0 вычисляются по формулам

кш - ¡к„=- - +^,(о)]п+2'\

Графики зависимости коэффициентов К1,Ка, КШ,К,У от длины накладки при тех же силовых нагрузках, что и на рис.4, представлены на рис. 5. В расчетах принято л: = 1.8, ц = \.

(18)

а)

б)

0.7

-0.1

-К„!<т -10 К,/а

/ 1

^ 10КШ/(Т

З.б

1 \ -к, /м, /

\ 'V \ \ у / Кш/мс ___

Рис. 5. Графики зависимости КИН вблизи вершины трещины от длины накладки в случае однородной плоскости.

В третьей главе рассматривается напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с полубесконечной трещиной вдоль линии раздела сред, верхний берег которой частично усилен жесткой накладкой заданной непрямолинейной формы, под действием сил, приложенных к берегам трещины, накладке и на бесконечности.

В §1 приводятся механическая и математическая постановки задачи. На верхнем берегу трещины под накладкой задается значение вектора смещения:

и* (х) + ю* (х) = (х) + Ц, (л) + ¡ех + ("о + ш0), х е (0, /], (19)

где .у,(*), з2(х) - заданные функции, в - угол поворота накладки, и0 + /и0 -комплексная константа, выражающая жесткое смещение всего тела. Функция ^(д;) определяет величину натяга по горизонтали точек верхнего берега трещины при соединении их с накладкой, а ~~ форму поверхности накладки. На остальной части верхнего берега трещины и на ее нижнем берегу задаются значения касательного и нормального напряжений:

(*)+¿о-; (х)=Р\ (х)+1Р; м, *<=(/,-к»), (20)

+ ¡сГ(х) = р~(х) + ¡рЦх), х е (0,-ко), где рЦх), р\(х) - заданные функции. Производные ¿[(х), ¿¡(х) и функции р* (х), р1(х) непрерывны по Гельдеру на соответствующих промежутках и р^(х) = 0(х~р), р> 1, х->+со, 7=1,2. На все остальные исходные данные задачи налагаются те же условия, что и в первой главе.

В этом случае краевые условия для комплексных потенциалов Ф(г), О(г), введенных в первой главе, примут вид

к<Ь\х)-аг(х) = [*'(*) + Щ. х £ (0, /),

Ф+(*) + Щ*) = />+М, + оо), (21)

+ а2<Х(х) + аэО+ (х) + а4Ф+ (х) = р'(х), *е(0, + оо), /(*) = 5,'(л) + й2(*), рЧх) - рЦх) - ¡рЦх), р'(х) = р~2(х) - /д О^-Решение задачи (21) снова находится методом гипергеометрической функции Гаусса. Оно приводится в §2 и дается формулами (6), (8), (9), где

НЮ=+4С+щЩ)+яг,2(СЯ4+щш+/2'0, нг(0=ХпЮК+4С+щ!Ю+А'(0]+122(014+Щ'2Ю+/2*0,

] кхт\ 2т I ¡-С 2т I ''

т = -а;1Хп(0/¿е!Х+(0, %(') = <Хп(0 / ¿е1Х+(0.

Неизвестные постоянные 4 находятся из дополнительных условий задачи. В §3 вычисляется угол поворота £ накладки:

Мп

а+^г

+ ^[(4+4'+/;< 0)^(0+(4+ ГгШп{№

чо

В §4 изучается поведение напряжений на концах накладки. Приводятся формулы для КИН вблизи этих точек, строятся их графики в зависимости от формы накладки, упругих характеристик среды и нагрузок, приложенных к телу. Для различных форм накладки на рисунках 6 изображены графики контактных напряжений возникающих под накладкой при растяжении плоскости на

бесконечности продольными усилиями <т", и сг™2. При этом предполагается, что накладка присоединена к телу без натяга, и напряжения на берегах трещины отсутствуют. Рис.ба соответствует случаю прямолинейной накладки, а рис.66 и 6в - накладке, верхняя поверхность которой задается уравнениями ¿2(х) = .фс//)2 и з2(х) = -5соз(лх /1) соответственно, где 5 — малое число порядка #.

а)

0.7

-0.71

а;(х)/<т V'

Г /

б)

х/1

1 ( I

^^V

х/1

Рис. 6. Графики контактных напряжений под накладкой, форма которой задается уравнениями: а) 52(д:) = 0, б) зг(х) = *(х/1)2, в) 1г(х) = -зсо$(лх/Г).

В § 5 приводятся решения двух частных случаев задачи. В первом случае к

берегам трещины на расстоянии А от правого конца накладки в точках х=х0+Ю и х=х0-;0 приложены две сосредоточенные силы Гс и , где Рс= Хс+гУс, х0>1 (рис. 7а). Во втором примере берега трещины свободны от напряжений, а на линии (-<»,0] полного сцепления материалов в точке х = х1 (х <0), удаленной от вершины трещины на расстояние й =) |, под углом д> действует сосредоточенная сила Х1 + ¡У1 (рис. 76). В обоих случаях считается, что накладка прямолинейная и присоединена к телу без натяга.

а) б)

Рис. 7. Растяжение кусочно-однородной плоскости сосредоточенными силами, приложенными: а) к берегам трещины; б) к точке, расположенной и на линии соединения сред.

На конкретных примерах численно изучается зависимость контактных напряжений под накладкой, угла ее поворота и КИН близи концов накладки от расстояний А, <1, угла <р. На рис. 8 представлены графики изменения угла поворота накладки в зависимости от расстояний А (рис.8а) и <1 (рис.8б). В первом случае плоскость растягивается сосредоточенными силами Рс=Р{0.1+г") и -Рс = - ДО. 1 + /') (/3>0). Во втором случае сила X, + /I\ = -Р (^>0) постоянна и направлена вдоль действительной оси, а / = 1. При расчетах принято А:, =1.8, кг =2.2, /А =2.

Рис.7. Графики зависимости угла поворота накладки от параметров Д (рис. а) и (рис. б).

Основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. В замкнутой форме построено решение задачи о полубесконечной межфазной трещине, к верхнему берегу которой на конечном промежутке, примыкающем к вершине трещины, идеально жестко присоединена жесткая прямолинейная накладка.

2. С использованием гипергеометрической функции Гаусса построено в замкнутой форме решение матричной краевой задачи Римана с кусочно-постоянным коэффициентом на луче, служащей математической моделью указанной задачи о трещине.

3. С использованием интегралов типа Коши дано обобщение указанной выше задачи на случай криволинейной накладки.

4. Методом римановых поверхностей решена соответствующая задача о трещине в однородной упругой среде.

5. Получена аналитическая формула для угла поворота накладки; конкретными числовыми примерами изучена его зависимость от упругих характеристик среды, внешних нагрузок, длины и формы накладки.

6. Исследовано напряженное состояние среды вблизи концов накладки, получены асимптотические выражения напряжений и аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов накладки. На основе конкретных числовых примеров изучена зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от упругих характеристик среды, внешних нагрузок, длины и формы накладки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах, первые 3 из которых входят в список изданий, рекомендованных ВАК России:

1. Сильвестров, В.В. Полубесконечная трещина с жесткой накладкой на берегу / В.В. Сильвестров, Ю.О. Васильева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени ИЛ. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - № 2. - С. 492-500.

2. Васильева, Ю.О. Сосредоточенная сила вблизи вершины межфазной трещины с жесткой накладкой на ее берегу / Ю.О. Васильева, В.В. Сильвестров // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки.-2011.-Вып. 1.-С. 191-195.

3. Васильева, Ю.О. Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега / Ю.О. Васильева, В.В. Сильвестров // Прикладная математика и механика. - 2011. - Т. 75, Выи. 4.

4. Васильева, Ю.О. Тонкое жесткое включение, впаянное в полубесконечный разрез между разными упругими материалами / Ю.О. Васильева, В.В. Сильвестров // Современные проблемы математики, механики, информатики: те-

зисы докладов Международной научной конференции. - Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2008. - С. 145-147.

5. Васильева, Ю.О. Задача о жесткой накладке, расположенной на берегу трещины между разными материалами / Ю.О. Васильева, В.В. Сильвестров // Математическое моделирование и краевые задачи: труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2010. - Часть 1. - С. 95-98.

6. Васильева, Ю.О. Смешанная задача теории упругости для кусочно-однородной плоскости с полубесконечным разрезом по линии раздела сред / Ю.О. Васильева, В.В. Сильвестров // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: материалы девятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения-2010". - Казань: Казан, матем. общ-во, 2010.-Т. 40.-С. 81-84.

7. Васильева, Ю.О. Задача о штампе, вдавливаемом со сцеплением в берег межфазной трещины / Ю.О. Васильева, В.В. Сильвестров // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2010. - С. 8992.

8. Васильева, Ю.О. Распределение напряжений под накладкой, расположенной на части берега межфазной трещины / Ю.О. Васильева // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Международной научной конференции. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 109-112.

9. Васильева, Ю.О. Напряженное состояние кусочно-однородного тела с межфазной трещиной, усиленной частично ребром жесткости / Ю.О. Васильева // XXXVII Гагаринские чтения: научные труды Международной молодежной научной конференции.-М.:МАТИ, 2011.-Т. 1.-С. 169-170.

Подписано в печать 23.05.2011. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № т.

Отпечатано в отделе полиграфии

ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Васильева, Юлия Олеговна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА О МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЕ С ЖЕСТКОЙ

ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ НАКЛАДКОЙ НА ЧАСТИ ЕЕ БЕРЕГА

§ 1. Механическая постановка задачи. 1.'.'.

§2. Краевая задача для комплексных потенциалов.

§3. Каноническая матрица однородной задачи.

§4. Общее решение неоднородной задачи.

§5. Угол поворота накладки.

§6. Поведение напряжений вблизи правого конца накладки.

§7. Напряженное состояние вблизи вершины трещины.

ГЛАВА 2. ОДНОРОДНОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНОЙ, УСИЛЕННОЙ ЧАСТИЧНО ЖЕСТКОЙ

НАКЛАДКОЙ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Переход на риманову поверхность и построение комплексных потенциалов.

§3. Коэффициенты интенсивности напряжений вблизи правого конца накладки.

§4. Коэффициенты интенсивности напряжений вблизи вершины трещины.

ГЛАВА 3. ЖЕСТКАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ НАКЛАДКА НА БЕРЕГУ

МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Построение комплексных потенциалов.

§3. Угол поворота накладки.

§4. Поведение напряжений на концах накладки.

§5. Частные случаи задачи.

Введение диссертация по механике, на тему "Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега"

Прочность и долговечность композиционных материалов во многом зависит от наличия в них дефектов в виде трещин, включений, зон предразрушения и других механических повреждений. Они представляют собой концентраторы напряжений и при дальнейшей эксплуатации материала, даже если номинальные нагрузки намного ниже предела упругости, могут привести к его локальному или полному разрушению. Такие дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе его эксплуатации, причем чаще всего из-за разности упругих свойств сред, составляющих композит, и включений. Учет наличия таких дефектов необходим для более детального описания напряженно-деформированного состояния как в окрестности наиболее опасных точек относительно возможного развития трещин, так и всего материала в целом.

К настоящему времени достаточно полно изучено влияние дефектов в виде трещин и тонких жестких включений на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала. Результаты этих исследований можно найти в монографиях JI.T. Бережницкого, В.В. Панасюка, Н.Г. Стащука [15], Н.Ф. Морозова [40], Н.И. Мусхелишвили [41], Г.Я. Попова [48], М.П. Саврука [50], Г.П. Черепанова [67, 68], Л.А. Толоконникова и В.Б. Пенькова [60], Г.А. Мораря [39] и др. Исследованию напряженного состояния однородной плоскости с тонким жестким, полностью сцепленным со средой включением посвящены статьи [87, 122]. Тонкое жесткое включение, расположенное на линии соединения разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, рассмотрено R.A. Ballarini [78], F. Erdogan и G.D. Gupta. [90], X. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [108].

Вопрос о распределении напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений изучен в работах [14, 47].

В статье A. Asundi и W. Deng [75] решена плоская задача теории упругости для анизотропной кусочно-однородной плоскости с жесткими включениями на линии соединения сред. Системе полностью сцепленных со средой тонких жестких включений в анизотропной кусочно-однородной среде посвящена работа К. Wu [125].

Задача о тонком жестком включении в однородной плоскости, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая отслоилась от среды и свободна от какого-либо контакта с ней, впервые решена Д.И. Шерманом [70] методом сингулярных интегральных уравнений. Более простое решение этой задачи получено Н.И. Мусхелишвили [41] методом краевой задачи Римана. Частично отслоившемуся от среды тонкому жесткому межфазному включению посвящены также исследования [79, 89, 94, 109]. Отслоившееся от среды вдоль одной из сторон тонкое жесткое включение, расположенное на границе соединения двух разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, к сторонам которого приложены сосредоточенные силы и момент в средней точке, рассмотрено в работе X. Markenscoff и L. Ni [107]. Пространственная задача о частично отслоившемся межфазном включении решена в статье D. Elata [88]. Частично отслоившееся включение в анизотропной плоскости рассмотрено Т.С.Т. Ting [121].

В статье В.А. Хандогина [62] рассмотрено напряженное состояние ортотропной плоскости с трещиной, нижний берег которой армирован упругой мембраной, которая упруго препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу и сдвигу. Потенциалы С.Г. Лехницкого строятся как решения двумерной краевой задачи Римана. Показано, что напряжения в вершинах дефекта могут иметь степенную особенность любого порядка от -1 до 0 в зависимости от жесткости мембраны. Аналогичная задача для изотропной плоскости решается в работе [63].

Частично сцепленное с упругой средой жесткое, криволинейное включение рассмотрено в статье Е. Е. Gdoutos и M. A. Kattis [93]. Поверхность включения может иметь любую форму, которую можно конформно отобразить на единичную окружность рациональной функцией. Задача сводится к неоднородной задаче Гильберта, решение которой дает выражения для напряжений и перемещений в среде в замкнутой форме.

В работе И.И. Ильиной и В.В. Сильвестрова [25] решается задача о тонком межфазном включении, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая контактирует с ней подобно гладкому жесткому штампу. Тонкое жесткое включение, одна сторона которого со средой не контактирует, а другая контактирует с ней как гладкий штамп, изучено в работах [39, 48]. В первой работе рассмотрена однородная плоскость. В работе C.B. Босакова [16] в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода найдены контактные напряжения в точках тонкого упругого включения в однородной упругой среде, одна' сторона которого жестко присоединена к среде, а другая отслоилась от среды и контактирует с ней при отсутствии касательного напряжения. К границе включения в упругой плоскости приложена вертикальная сосредоточенная сила. Наиболее тесно связаны с этой задачей работы [21, 49, 61]. Соответствующая антиплоская задача о тонком жестком включении в однородном упругом слое решена в [8].

Г.Я. Поповым [48] рассмотрена задача о полностью отслоившемся от среды тонком жестком межфазном включении. Случай однородной плоскости исследован Г.А. Морарем [39].

В монографии Г.А. Мораря [39] предложен метод обобщенного интегрального преобразования Фурье для описания напряженно-деформируемого состояния бесконечной пластины с тонким упругим включением при различных типах краевых условий. В работе Г.П. Черепанова [66] построено замкнутое решение смешанной задачи для однородной плоскости с прямолинейным разрезом, когда на произвольных участках обоих берегов разреза заданы перемещения или напряжения. Задача о напряженном состоянии однородной упругой среды, ослабленной круговым вырезом, на одном из берегов которого заданы смещения, а на другом - напряжения рассмотрена в статье Ь.М. Кеег [100]. Решение найдено посредством интегрального преобразования Ханкеля. В статье В.Н. Акопяна [3] изучается кусочно-однородная плоскость с трещиной, на одном берегу которой заданы напряжения, а на другом — перемещения; выведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода и построено ее замкнутое решение. В статье Т.А. Ноши1ка и Ь.М. Кеег [97] рассмотрена смешанная задача для разреза, расположенного между двумя анизотропными полуплоскостями. Методом Строха задача приведена к матричной краевой задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6x6, и путем диагонализации сведена к отдельным задачам Римана.

В работах [24, 65] решена основная смешанная задача теории упругости для однородной плоскости с коллинеарными разрезами при различных способах расположения точек смены типа граничных условий на берегах разрезов. Частный случай этой задачи изучен в работе Корзан Л.А. [31]. В статье Э.М. МкЬкапап [110] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости с трещиной, на верхнем берегу которой заданы нормальное и касательное напряжения, на отдельных участках нижней границы заданы нормальные и касательные перемещения, а между этими участками нулевые напряжения. Получена система интегро-дифференциальных уравнений, связывающих производные перемещений и напряжения на берегах трещины. Этой системе сопоставлено матричное соотношение Римана для двух голоморфных функций, являющихся интегралами Коши. Решение этой системы функциональных уравнений сведено к решению регулярной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

Вопросы контактного взаимодействия выходящих на границу или внутренних абсолютно жестких или упругих тонких включений с упругой полуплоскостью в различных постановках рассмотрены в работах [1, 2, 5, 7, 19].

В работе В.Н. Акопяна и A.B. Саакяна [4] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости, содержащей накрест лежащие четыре одинаковые разрезы, на одних берегах которых заданы смещения, а на других — напряжения. Задача математически сформулирована в виде системы двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, решение которой построено методом ортогональных многочленов Якоби. Аналогичная задача для упругой полуплоскости с краевым вырезом решена в [6].

В последние годы большую популярность получили модели межфазных включений с окаймляющими их зонами расслоения материалов (с трением и без трения). В работе [22] делается оценка влияния трения в зоне расслоения между упругим материалом и жестким включением. При этом в отличие от работы J. Shiory и К. Inoue [119], где касательное напряжение всюду в зоне расслоения считается постоянным, в этой работе приняты более реалистические условия взаимодействия между материалом и включением. Изучению процесса отслоения жесткого линейного включения от среды на участках, примыкающих к концам включения, посвящены работы Н.М. Кундрата [33 — 37]. При этом среда полагается однородной.

В работе О. Tamate и др. [120] в рамках плоской теории упругости рассматривается трещина, исходящая из концов частично отслоившихся поверхностей плоского межфазного включения малой толщины. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши, которая решается методом коллокации. В статье Ю.А. Антипова [10] изучено тонкое жесткое включение, которое под действием силы и момента, приложенных к полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслоилось вдоль нижнего берега так, что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказано, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае у сведены к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае - к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана.

Трещина, исходящая из конца жесткого прямолинейного включения под некоторым углом, изучается в работе N. Hasebe и др. [95]. Для различных значений угла' поворота трещины и ее длины исследуется поведение напряжений в вершинах включения, вычисляется угол его поворота при равномерных нагрузках на бесконечности.

Большую популярность обрела модель межфазной трещины, предложенная Comninou [83, 84], в которой для устранения осциллирующей особенности, возникающей вблизи ее вершины в классическом («открытом») случае, вводится конечная зона контакта берегов трещины у ее конца. В работах Dundurs, Gautesen [86, 91, 92], Симонова [55-57, 118], Atkinson [76], Каминский и др. [26] различными методами получены аналитические (точные и приближенные) решения для трещин с одной и двумя зонами контакта при разном внешнем нагружении; определены длины контактных зон. В работах Ю.А. Антипова [9], Leguillon D.L. [105], В. Audoly [77] в области контакта предполагается наличие трения. В работах J. Dundurs, М. Comninou [20] и В.В. Лободы [106] доказана справедливость оценки размеров областей контакта с помощью вычисления длин тех зон, в которых перекрытие материалов предсказывается решением задачи для классической межфазной трещины. Более того, показано, что при растягивающих нагрузках длины этих зон имеют порядок 10~4.10"7 по сравнению с длиной самой межфазной трещины, а при сдвиговых нагрузках, напротив, могут быть очень велики (сравнимы с длиной самой трещины).

Задачи для контактных трещин между однородными анизотропными полуплоскостями решены в работах [96, 111, 112].

В работе A.A. Каминского и др. [29] в условиях плоской деформации рассматривается задача о расчете начальной зоны предразрушения вблизи конца межфазной трещины в кусочно-однородном изотропном теле.' Зона предразрушения моделируется исходящей из конца трещины под некоторым углом к границе раздела сред прямой линией разрыва нормального смещения, на которой нормальное напряжение равно заданной постоянной материала. Для контактной модели трещины эта задача решается в статье [30].

В статьях J.-B. Leblond и J. Frelat [101, 102] изучается поворот трещины, первоначально закрытой и «открывающуюся» после поворота, в однородном и кусочно-однородном упругом теле. Выводятся соотношения, связывающие между собой КИН до и после поворота. Показано, что в случае кусочно-однородного тела угол поворота зависит очень слабо от разности упругих свойств сред. Случай контактной модели трещины и случай наличия трения между ее берегами рассмотрены в [103, 104].

Изучению взаимодействия жестких остроугольных включений и трещин в однородной упругой плоскости посвящены работы [15, 82, 98, 113]. Случай неоднородной плоскости рассмотрен в статье [54]. Взаимодействие системы трещин и отслоившегося включения исследовано в статье 'А.К. Ярдухина [72]. В работе В.В. Сильвестрова [53] методом римановых поверхностей решена плоская задача о напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости с системой межфазных трещин и полностью отслоившихся от среды тонких жестких остроугольных межфазных включений под действием конечного' числа сосредоточенных сил и пар сил, расположенных как в самих средах, так и на линии раздела сред. Частный случай этой задачи, когда имеются одна трещина и одно включение, изучен в работе А.К. Ярдухина [73]. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением изучено этим же автором в статье [71].

Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучены в работах V. Boniface и N. Hasebe [80], С.К. Chao и M.N. Shen [81], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [114, 115] и др.

Что касается задачи о жестком включении, присоединенном к верхнему берегу полубесконечной межфазной трещины, то автору неизвестны какие-либо исследования в этом направлении, хотя некоторые задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость [11, 44, 45] по сути близки к поставленной в этой работе.

В данной работе решается смешанная задача линейной теории упругости для плоскости как однородной, так и кусочно-однородной с полубесконечной прямолинейной трещиной, в верхний берег которой на конечном промежутке с началом в вершине трещины вставлена жесткая накладка. Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматривается соответствующая задача для кусочно-однородной плоскости. Предполагается, что накладка прямолинейная. В § 1 ставится механическая задача, которая состоит в определении плоского напряженного состояния кусочно-однородной упругой плоскости, составленной из двух разных по упругим свойствам полуплоскостей, ослабленной полубесконечной трещиной, расположенной на линии соединения полуплоскостей. Берега трещины, за исключением конечного промежутка, к которому прикреплена жесткая накладка, свободны от напряжений. На указанном промежутке задаются смещения точек верхнего берега трещины, которые отвечают жесткому повороту накладки на некоторый угол относительно вершины трещины. На накладку действуют внешние силы, имеющие заданный главный вектор и главный момент. На бесконечности составная плоскость растягивается заданными продольными напряжениями. Решение задачи ищется в классе напряжений, которые на концах накладки могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

В § 2 с помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова [68] поставленная задача сводится к матричной краевой задаче Римана с кусочно-постоянным коэффициентом для двух функций

Ф(г) и комплексного переменного 2. В § 3 строится каноническая матрица соответствующей однородной задачи. • Следуя методу, предложенному Л.А. Хвощинской [64], ее построение начинается с нахождения некоторого частного решения определенного вида, которое выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса. Неизвестные параметры, входящие в это решение, подбираются в соответствии с краевыми условиями поставленной задачи, так чтобы решение находилось в классе требуемых функций. После того, как найдено частное решение, каноническая матрица определяется как матрица, составленная из столбцов двух линейно независимых вектор-функций, являющихся решениями соответствующей однородной задачи, выражаемых через найденное частное решение. Данный метод, основанный на теории гипергеометрических функций, использовался ранее для решения аналогичных векторных краевых задач Римана с тремя особыми точками в работе Я.У. СгаБ1ег, Уи.У. ОЬпобоу [85] при изучении дважды периодических композиционных материалов, в задаче проникновения морской воды в прибрежный слой грунтовых вод [99], в задаче о распространении динамической трещины с конечной зоной трения Ю.А. Антиповым [74].

В § 4 приводится общее решение исходной задачи, которое определяется как произведение канонической матрицы на вектор-столбец, каждый элемент которого в общем случае представляет собой сумму многочлена с произвольными комплексными коэффициентами и интеграла типа Коши по отрезку, занимаемому накладкой. На основании этого решения установлено, что касательное и нормальное напряжения на бесконечности исчезают как

-о о 1п/я Ц, + щк, степенные функции с показателем степени -1/2 + //?, ¡3 =-, т = —— ^ '

2 тс ц2 + |д,,к2 /л2, к2 - упругие параметры составной плоскости), что характерно для задач о полубесконечной трещине на границе связанных полуплоскостей. Как это делается в подобных случаях, для нахождения неизвестных постоянных, входящих в решение задачи, считается заданной априори асимптотика напряжений при г -> оо. В § 5 вычисляется момент внешних сил, действующих на накладку, откуда определяется угол поворота накладки. Поведение напряжений вблизи правого конца накладки изучается в § 6. Установлено, что напряжения в этой точке ведут себя так же, как вблизи вершины жесткого штампа, вдавливаемого в упругую полуплоскость, т.е. имеют степенно-осциллирующую особенность порядка -{/2 + 1[3{, (2я-)-11п кх. При этом интенсивность напряжений вблизи правого конца накладки определяется двумя действительными параметрами (коэффициентами интенсивности напряжений). В § 7 приводится асимптотика напряжений . вблизи вершины трещины, являющейся одновременно левым концом накладки. Показано, что поведение напряжений вблизи этой точки характеризуется двумя степенными функциями г~Уо+'°2, 2Го"1+'0', где показатели у0, <5,, 5г зависят только от упругих параметров составной плоскости и /2 < у0 < 1. Исследования показали, что при — > 0.124 показатель у0> /2 для любых значений параметров к^к2, причем в этом случае д1 = 32. Интенсивность напряжений в вершине трещины определяется четырьмя действительными коэффициентами, которые являются функционалами от исходных геометрических и упругих параметров среды, от исходных краевых условий и приложенных на бесконечности нагрузок.

Все результаты подкреплены численными расчетами, иллюстрирующими зависимость угла поворота накладки, коэффициентов интенсивности напряжений вблизи вершины трещины и правого конца накладки от ее длины, исходных силовых параметров и упругих параметров составной плоскости. Приведены графики контактных напряжений, возникающих под накладкой.

Во второй главе рассматривается задача о полубесконечной трещине с жесткой прямолинейной накладкой на верхнем берегу в однородном упругом теле. Как и в главе 1, считается, что на берегах трещины, за исключением промежутка, содержащего накладку, напряжения отсутствуют. При тех же предположениях относительно внешних нагрузок (условий на бесконечности) и поведения напряжений в окрестностях точек смены типа граничных условий, что и в первой главе, решение задачи находится методом римановых поверхностей.

В § 1 формулируются механическая и математическая задачи. Далее, в § 2 строится решение поставленной задачи, основанное на переходе из комплексной плоскости на двулистную риманову поверхность. На этой поверхности формулируется и решается в явном виде краевая задача Римана, а затем, выбирая один из листов этой поверхности, получаем решение исходной задачи на плоскости. В случае однородной плоскости касательное и нормальное напряжения исчезают на бесконечности как , осциллирующая особенность отсутствует. В § 3 — 4 исследуется асимптотика напряжений вблизи концов накладки. В отличие от задачи, рассмотренной в первой главе, в данном случае в окрестности вершины трещины, одновременно левого конца накладки, поведение напряжений характеризуется двумя степенными функциями с показателями и

- /4 - /8, 28 — (2л-)"11п к, где к - упругий параметр тела.

В третьей главе рассматривается кусочно-однородная плоскость с полубесконечной межфазной трещиной, усиленной частично жесткой накладкой заданной непрямолинейной формы. На верхнем берегу трещины под накладкой задается значение производной от вектора смещения, на остальной части верхнего берега и на нижнем берегу — ненулевые значения касательного и нормального напряжений. При этом полагается, что граничные условия непрерывны по Гельдеру. На все другие исходные данные задачи налагаются такие же условия, как и в главе 1. Постановка задачи приводится в § 1. В § 2 находится решение задачи методом, который применяется для решения задачи в первой главе. В § 3 вычисляется угол поворота накладки. Асимптотика напряжений вблизи концов накладки, а так же формулы для коэффициентов интенсивности напряжений приводятся в § 4. В § 5 рассматриваются два частных случая задачи.

Строятся графики угла поворота . накладки, коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений под накладкой в зависимости от формы накладки и других характеристик среды.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010), на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010), на IX молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2010), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2010), на XXXVII международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2011), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 20082010, руководители - профессора Сильвестров В.В., Мерлин A.B.), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (Чебоксары, 2011, руководители - профессора Ивлев Д.Д., Миронов Б.Г.).

Основные результаты, приведенные в данной работе, отражены в публикациях [126- 134].

Исследования, результаты которых составляют суть диссертационной работы, проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038, 10-01-00103).

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные выводы и результаты, полученные в данной диссертационной работе:

4. Методом римановых поверхностей решена соответствующая задача о трещине в однородной упругой среде.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Васильева, Юлия Олеговна, Чебоксары

1. Абрамян Б.Л. Об одной контактной задаче для полуплоскости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1972. № 5. С. 4 10.

2. Акопян В.Н. Напряженно-деформируемое состояние составного клина, усиленного жестким включением // Механика деформируемого твердого тела. Ереван: Изд-во АН Армении. 1993. С. 63 — 78.

3. Акопян В.Н. Об одной смешанной задаче для составной плоскости, ослабленной трещиной // Известия национальной академии наук Армении. 1995. Т. 48. № 4. С. 57 65.у

4. Акопян В.Н., Саакян A.B. Напряженное состояние однородной упругой плоскости, содержащей накрест лежащие трещины, при смешанных граничных условиях на берегах трещин // Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. № 3. С. 106-113.

5. Акопян В.Н., Саакян A.B. Об одной смешанной задаче для упругого клина, ослабленного трещиной // Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. №6. С. 66-78.

6. Акопян В.Н., Саакян A.B. Напряженное состояние упругой полуплоскости, содержащей тонкое жесткое включение // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. № 6. С. 76 82.

7. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

8. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. 224 с.

9. Антипов Ю.А. Трещина на линии раздела упругих сред при наличии сухого трения // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 2. С. 290 306.

10. Антипов Ю.А. Отслоившееся включение в случае сцепления и проскальзывания // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 4. С. 669 680.

11. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 6. С. 1005 1017.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука. 1973. 296с.

13. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Труш И.И. Коэффициенты интенсивности напряжений возле жестких остроугольных включений // Проблемы прочности. 1973. № 7. С. 3 7.

14. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. 288 с.

15. Босаков C.B. Расчет заглубленных анкерных плит конечной жесткости // Прикладная механика. 1980. Т. 16. №3. С. 81 — 87.

16. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. 380 с.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

18. Григорян Э.Х. Решение задачи упругого конечного включения, выходящего на границу полуплоскости // Учен. зап. ЕГУ. естеств. н. 1981. №3. С. 32-43.

19. Дундурс Дж., Комниноу М. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины // Механика композиционных материалов. 1979. № 3. С. 387-396.

20. Жуковский И. Н. Контактная задача для пластинки, расположенной в щели бесконечного тела // Прикладная механика. 1975. № 11. С. 124 — 128.

21. Захаров В.В., Никитин JI.B. Влияние трения на процесс расслоения разнородных материалов // Известия АН СССР. Механика композитных материалов. 1983. № 1. С. 20-25.

22. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 1. С. 113 — 179.

23. Зверович Э.И. Смешанная задача теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси: Мецниереба, 1973. Т. 1. С. 103 114.

24. Ильина И.И., Сильвестров В.В. Задачам тонком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 3. С. 153 — 166.

25. Каминский A.A., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. Линии скольжения в конце разреза на границе раздела различных сред // Прикладная механика. 1995. Т. 31, № 6. С. 86-91.

26. Каминский A.A., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. О модели Дагдейла для трещины на границе раздела различных сред // Прикладная механика. 1999. Т. 35. № 1. С. 63-68.

27. Каминский A.A., Кипнис Л.А., Дудик И.В. О начальном развитии зоны предразрушения вблизи конца трещины, выходящей на границу раздела различных сред // Прикладная механика. 2004. Т. 40. №2. С. 74-81.

28. Каминский A.A., Дудик М.В., Кипнис JI.A. О начальном повороте трещины, расположенной на границе раздела двух упругих сред // Прикладная механика. 2007. Т. 43. № 10. С. 28 -41.

29. Каминский A.A., Кипнис JI.A. О комплексной модели зоны предразрушения в конце трещины на границе раздела упругих сред // Доповцц НацюнальноТ академй' наук УкраТни. 2010. № 2. 59-63.

30. Корзан JI.A. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1997. № 1. С. 61-67.

31. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1963. 466 с.

32. Кундрат Н.М. Локальное разрушение в композиции с жесткими линейными включениями // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 4. С. 115 127.

33. Кундрат Н.М. Предельное равновесие композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т. 6. № 1. С. 103 -112.

34. Кундрат Н.М. Исследование механизмов разрушения в композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т. 6. № 3. С. 333-342.

35. Кундрат Н.М. Отслоение жесткого линейного включения при статическом нагружении // Ф1з.-х1м. мех. матер. 2001. Т. 37. № 1, С. 37 -40.

36. Кундрат Н.М. Отслоение жесткого включения в упругопластической матрице при t растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 1. С. 107 — 113.

37. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

38. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в механике деформируемых тел. Кишинев: Штиинца, 1990. 130 с.

39. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

41. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

42. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. О некоторых краевых задачах и их приложениях в теории упругости // Изв. ВНИИГ им. Веденеева. 1984. Т. 172. С. 7-13.

43. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. Контакт упругой плоскости с частично отслоившимся штампом // Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. Вып. 4. С. 663-673.

44. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. Давление системы штампов на упругую полуплоскость при общих условиях контактного сцепления и скольжения // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Вып. 2. С. 284-293.

45. Нуллер Б.М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 302 306.

46. Панасюк В.В., Бережницкий Л.Т., Труш И.И. Распределение напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений // Проблемы прочности. 1972. № 7. С. 3 9.

47. Попов Г .Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

48. Репников Л.Н., Горбунов-Посадов М.И. Расчет анкерной плиты, работающей в стадии уплотнения грунта // Основания, фундаменты, и механика грунтов. 1969. № 5. С. 6 8.

49. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наук, думка, 1988. 566 с. — Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие в 4-х томах. Т. 2.

50. Сильвестров В.В. Основные задачи теории упругости на многолистной римановой поверхности // Известия вузов. Математика. 1990. № 2. С. 89 -92.

51. Сильвестров В.В. Об интеграле типа Коши и его аналогах в случае счетного множества отрезков // Известия АН Чувашской Республики. 1994. №2. Вып. 1. С. 3-15.

52. Сильвестров В.В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Известия вузов. Математика. 2004. № 7. С. 78 91.

53. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: М.: Физматлит, 2001. С. 301-313.

54. Симонов И.В. О хрупком расклинивании кусочно-однородной среды // ПММ. 1985. № 49. Вып. 2. С. 275 283.

55. Симонов И.В. Трещина на границе раздела двух упругих сред при расклинивании // Механика твердого тела. 1985. №3. С. 105 112.

56. Симонов И.В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений // Механика композит, материалов. 1985. № 6. С. 969 976.

57. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИИЛ, 1960. 343 с.

58. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Приложение краевой задачи Римана с разрывными матричными коэффициентами //Известия ВУЗов. Математика. 1980. Вып. 2. С. 55 59.

59. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: Изд-во ТВАИУ, 1988. 378 с.

60. Фотиева Н.И., Лыткин В.А. К расчету анкерных плит глубокого заложения // Основания, фундаменты механика грунтов. 1969. № 5. С. 8 -10.

61. Хандогин В.А. Плоская задача для ортотропного тела с трещиной, нижний берег которой армирован упругой мембраной // Прикладная механика и теоретическая физика. 1998. Т. 39. № 2. С. 150 155.

62. Хандогин В.А. Смешанная задача теории трещин для антиплоской деформации // Прикладная механика и теоретическая физика. 1998. Т. 39. №3. С. 163-172.

63. Хвощинская JI. А. К проблеме Римана в случае произвольного числа особых точек // Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Труды международной конференции. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1996 С. 377 382.

64. Черепанов Т.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 1.С. 131-137.

65. Черепанов Т.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. Вып. 5. С. 907-912.

66. Черепанов Т.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

67. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М. Наука, 1983.296 с.

68. Чибрикова Л.И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях // Математический анализ. Т. 18. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 3 66.

69. Шерман Д.И. Смешанная задача теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. № 4. С. 330 334.

70. Ярдухин А.К. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. Минск: УП "Технопринт", 2001. С. 510-514.

71. Ярдухин А.К. Система трещин и отслоившееся включение на линии раздела сред // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XII межвузовской конференции, ч.1. Самара: СамГТУ, 2002. С. 220 — 224.

72. Ярдухин А.К. Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 19. Самара: изд-во СамГТУ, 2003. С. 107 — 110'.

73. Antipov Y.A. Subsonic semi-infinite crack with a finite friction zone in a bimaterial // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2009. 57. P. 1934 1957.

74. Asundi A., Deng W. Rigid inclusions on the interface between dissimilar anisotropic media // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1995. V. 43. №7. P. 1045- 1058.

75. Atkinson C. The interface crack with a contact zone (an analytical treatment) //Intern. J. Fract. 1982. У. 18. P. 161 177.

76. Audoly B. Asymptotic study of the interfacial crack with friction // Journal of Mechanics and Physics of Solids. 2000. 48. P. 1851 1864.

77. Ballarini R.A. A rigid line inclusion at a bimaterial interface // Engineering Fracture Mechanics. 1990. V. 37. P. 173 182.

78. Ballarini R.A. A certain mixed boundary value problem for bimaterial interface // International Journal of Solids and Structures. 1995. V. 32. № 3 -4. P. 279-289.

79. Chao C.K., Shen M.N. Circular-arc inclusion at isotropic bimaterial interface // AIAA Journal. 1995. V. 33. № 2. P. 332 339.

80. Chen Y.Z. Interaction between cracks and rigid lines in an infinite plate // Acta Mechanica. 1993. V. 101. P. 15-29.

81. Comninou M. The interface crack // Trans. ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1977. V. 44. № 4. P. 631 636.

82. Comninou M. The interface crack in a shear field // Trans. ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1978. V. 45. № 2. P. 287 290.

83. Craster R.Y., Obnosov Yu.V., A model four-phase square checkerboard structure // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2006. 59. P. 1 27.

84. Dundurs J., Gautesen A.K. An opportunistic analysis of the interface crack // Int. J. of Fracture. 1988. V. 36. P. 151 159.

85. Dundurs I., Markenscoff X. The sterberg-koiter conclusion and other anamalies of the concentrated couple // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1989. V. 56. P. 240 245.

86. Elata D. On the problem of rigid inclusions between two dissimilar elastic half-spaces with smooth surfaces // International Journal of Solids and Structures. 1999. V. 36. P. 2633-2636.

87. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials containing circular or angular-shaped cavities // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. P. 829 836.

88. Erdogan F., Gupta. G.D. Stress near a flat inclusion in bonded dissimilar materials // International Journal of Solids and Structures. 1972. V. 8. P. 533 -547.

89. Gautesen A.K., Dundurs J. The interface crack in a tension field // Trans. ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1987. V. 54. P. 93 98.

90. Gausten A.K., Dundurs J. The interface crack under combined loading // Int. J. of Fracture. 1993. V. 60. P. 349-361.

91. Gdoutos E.E., Kattis M.A. A rigid curvilinear inclusion partially bonded in an elastic matrix // International Journal of Engineering Science. V. 27. Issue 11. 1989. P. 1287- 1298.

92. Gdoutos E.G., Kourounis C.G., Kattis M.A., Zacharopoulos D.A. A partly unbonded rigid fiber inclusion in an infinite matrix // Advances in Fracture Mechanics. 1989. P. 223-227.

93. Hasebe N., Nemat-Nasser S., Keer L.M. Stress analysis of a kinked crack initiating from a rigid line inclusion // Mechanics of Materials. 1984. V. 3. Issue 2. P. 131-145.

94. Herrmann K.P., Loboda V.V. On intefrace crack models with contact zones situated in an anisotropic bimaterial // Archive of Applied Machanics. 1999. V. 69. P. 317-335.

95. Homulka T.A., Keer L.M. A mathematical solution of a special mixed-boundary-value problem of anisotropic elasticity // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1995. V. 48. № 4. P. 636 558.

96. Hu K.X., Chandra A. Interaction among general system of cracks and anticracks: an integral equation approach // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1993. V. 60. P. 920 928.

97. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V., Sherif M.M., Perret J.S. Analytical solution to a sea-water intrusion problem with a fresh water zone tapering to a triple point // Journal of Engineering Mathematics. 2006. 54. P. 197 210.

98. Keer L.M. Mixed boundary value problems for a penny-shaped cut // Journal of Elasticity. 1975. V. 5. № 2. P. 89 98.

99. Leblond J.-B., Frelat J. Crack kinking from an initially closed crack // International Journal of Solids and Structures. 2000. V. 37. 11. P. 1595 -1614.

100. Leblond J.-B., Frelat J. Crack kinking from an initially closed interface crack // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences — Series IIB — Mechanics-Physics-Astronomy. 1999. V. 327. Issue 13. P. 1311 1318.

101. Leblond J.-B., Frelat J. Crack kinking from an interface crack with initial contact between the crack lips // European Journal of Mechanics — A/Solids. 2001. V. 20. Issue 6. P. 937 951.

102. Leblond J.-B., Frelat J. Crack kinking from an initially closed, ordinary or interface crack, in the presence of friction // Engineering Fracture Mechanics. 2004. V. 71. Issue 3. P. 289 307.

103. Leguillon D.L. Interface crack tip singularity with contact and friction // C. R. Acad. Sci. Paris. 1999. T. 327, Serie II b. P. 437 442.

104. Loboda V.V. Analytical derivation and investigation of the interface crack models // International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35. № 33. P. 4477-4489.

105. Markenscoff X., Ni L. The debonded interface anticrack // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1996. V. 63. P. 621 627.

106. Markenscoff X., Ni L., Dundurs J. The interface anticrack and Green's functions for interacting anticracks and cracks / anticracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1994. V. 61. P. 797 802.

107. Miller G.R., Young R.P. On singular solution for inclusion problem in plane elasticity // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1987. Y. 54. P. 738-740.

108. Mkhitarian S.M. On one class of mixed problems of theory of elasticity // Continuum Mechanics and Related Problems of Analysis: Proceedings of International Symposium. Tbilisi. 1993. P. 163-171.

109. Ni L., Nemat-Nasser S. Interface cracks in anisotropic dissimilar materials: an analytical solution // J. Mech. Phys. Solids. 1991. V. 39. P. 113 144.

110. Ni L., Nemat-Nasser S. Interface cracks in anisotropic dissimilar materials: general case // Quarterly of Applied Mathematics. 1992. V. 2. P. 305 322.

111. Petrova V. Interaction between a main crack and inclusions at shear stress state // IUTAM Symposium on Micro structure-Property Interactions in Composite Materials. Kluwer Academic Publishers. Netherlands. 1995. P. 277 -287.

112. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interaction of interfacial arc cracks // International Journal of Fracture. 2002. V. 117. P. 39 62.

113. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interface crack around circular inclusion: SIF, kinking, debonding energetics // Engineering Fracture Mechanics. 2003. V. 70. P. 285-307.

114. Rice J.R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1988. V. 55. JN° 1. P. 98-103.

115. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 418-423.

116. Simonov I.V. An interface crack in an inhomogeneous stress field // Int. J. of Fracture. 1990. V. 46. P. 223-235.

117. Shiory J., Inoue K. Micromechanics of interfacial failure in short fibre reinforced composite materials // Composite materials. Rep. 1st Soviet -Japanese Symp. on Composite Materials. Moscow. 1978. p. 286 295.

118. Tamate O., Sekine H., Ozawa Y. Crack initiation from the ends of partially debonded surfaces of a flat inclusion // Acta Mechanica. 1983. 50. 59 70.

119. Ting T.C.T. Explicit solution and invariance of the singularities at an interface crack in anisotropic composites // International Journal of Solids and Structures. 1986. V. 22. № 9. P. 965 983.

120. Wang Z.Y., Zhang H.T., Chou Y.T. Characteristics of the elastic field of a rigid line in homogeneity // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1985. V. 52. P. 818 822.

121. Williams M.L. The stress around a fault or crack in dissimilar media. // Bulletin of Seismology Society of America. 1959. V. 49. P. 199-204.

122. Willis J.R. Fracture mechanics of interfacial cracks // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1971. V. 19. P. 353-368.

123. Wu K.C. Line inclusion at anisotropic bimaterial interface // Mechanics of Materials. 1990. V. 10. P. 173 182.

124. Васильева Ю.О. Распределение напряжений под накладкой, расположенной на части берега межфазной трещины // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 109-112.

125. Сильвестров В.В., Васильева Ю.О. Полубесконечная трещина с жесткой накладкой на берегу // Вестник Чувашского государственного педагоги-ческого университета имени И.Я.Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2010. № 2. С. 492 — 500.

126. Васильева Ю.О., Сильвестров В.В. Сосредоточенная сила вблизи вершины межфазной трещины с жесткой накладкой на ее берегу // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2011. Вып. 1. С. 191 — 195.

127. Васильева Ю.О., Сильвестров В.В. Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 4.