Взаимодействие межфазной трещины и отслоившегося межфазного включения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Л'

Ярдухин Алексей Константинович

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ И ОТСЛОИВШЕГОСЯ МЕЖФАЗНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2003

ч

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сильвестров Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лавит Игорь Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Чекмарев Георгий Евгеньевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится «10 » декабря 2003 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан & ноября 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению задачи взаимодействия межфазной трещины и полностью отслоившегося от среды тонкого жесткого остроугольного межфазного включения.

Актуальность темы. Во многих композиционных материалах содержатся дефекты в виде трещин и тонких жестких включений, полностью соединенных с материалом или отсоединившихся от него частично или полностью. Эти дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе эксплуатации, например в результате разрыва армирующих элементов. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи теории упругости для кусочно-однородных тел с дефектами различной природы, в частности, с дефектами на линии раздела сред.

К настоящему времени достаточно подробно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов одного типа, в основном трещин. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.Ф. Морозова, В.В. Панасюка, М.П. Саврука, В.З. Партона, Г.П. Черепанова и др. Отдельной межфазной трещине и ее различным моделям посвящено большое число работ, подробный обзор которых можно найти в трудах Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, A.A. Каминского, И.А. Прусова, И.В. Симонова, Г.П. Черепанова, С. Atkinson, М. Coraninou, J. Dundurs, F. Erdogan, J.R. Rice, G.C. Sih, J.R. Willis и др. Исследованию различных типов включений (упругих, жестких, полностью сцепленных со средой, частично отсоединившихся и т.д.) посвящены работы Ю.А. Антипова, Н.М. Кувдрата, Г.Я. Попова, R. Ballarini, F. Erdogan, X. Markenseoff, К. Wu и др., а взаимодействию дефектов различной природы в однородной плоскости -работы Г.И. Баренблатга, Л.Т. Бережницкого, В.В. Панасюка, В.Е. Петровой, Н.Г. Стащука, Y.Z. Chen и др. Однако, несмотря на то, что межфазные трещины и межфазные включения по отдельности изучены достаточно подробно, исследования по их взаимовлиянию друг на друга практически отсутствуют.

Цель диссертационной работы. Разработка аналитического метода решения задач теории упругости для кусочно-однородной плоскости с дефектами различной природы на линии раздела сред; решение конкретных задач; анализ напряженного состояния вблизи критических точек и нахождение параметров разрушения.

Методы исследования. С помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова применительно к кусочно-однородной плоскости механическая задача сводится к комбинации двух краевых задач теории аналитических функций: задачи Римана и частного случая краевой задачи Гильберта - задачи Шварца. Решения этих задач строятся на двулистной рима-

новой поверхности. После выбора одного из листов этой поверхности находятся решения исходной задачи на плоскости.

Научная новизна полученных результатов. Развитие метода римановых поверхностей применительно к задачам теории упругости для кусочно-однородных сред с дефектами различной природы на линии соединения материалов. Решение в замкнутой форме задачи о взаимодействии межфазной трещины и полностью отслоившегося жесткого межфазного включения. Исследование напряженного состояния кусочно-однородной плоскости с межфазными трещиной и включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил, при произвольных нагрузках на берегах трещины, включения и на бесконечности. Изучение случаев конечных и полубесконечных дефектов. Нахождение коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещины и включения и их численный анализ в конкретных случаях.

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач и математических методов их решения, совпадением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости теории римановых поверхностей к решению задач теории упругости для кусочно-однородной плоскости с дефектами и выяснении влияния дефектов разной природы на напряженное состояние плоскости.

Практическую ценность представляют результаты решения ряда конкретных задач и формулы для КИН.

На защиту выносятся:

1. Обоснование метода римановых поверхностей для решения задач теории упругости применительно к кусочно-однородным средам с межфазными дефектами.

2. Аналитическое решение задачи о взаимодействии классической межфазной трещины, либо системы межфазных трещин с полностью отсоединившимся от среды тонким жестким остроугольным межфазным включением при сложном нагружении.

3. Аналитическое решение задачи о взаимодействии классической межфазной трещины, либо системы межфазных трещин с полностью отсоединившимся тонким жестким остроугольным межфазным включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил, приложенных на линии раздела сред и во внутренних точках упругих полуплоскостей.

4. Аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечной межфазной трещины с полностью отсоединившимся межфазным включением.

5. Аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечного от' 1 4

соединившегося межфазного включения с одной или несколькими открытыми межфазными трещинами.

б. Аналитические формулы для КИН и их графики в перечисленных выше случаях.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Международной конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике» (Минск, 2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2002), на научном семинаре им. Л. А. Толоконникова по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2003, руководитель - профессор A.A. Маркин) и на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2003, руководитель - профессор В.В. Сильвестров).

Основная часть работы выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00720,02-01-06399,03-01-06275).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в десяти работах, четыре из которых написаны в соавторстве с В.В. Сильвестровым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 15 параграфов, заключения и списка литературы из 165 наименований. Содержит 20 рисунков и 1 таблицу. Общий объем работы 104 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы дан обзор литературы по затронутым вопросам, кратко изложено содержание работы.

В первой главе решается задача взаимодействия открытой межфазной трещины и полностью отслоившегося от среды тонкого жесткого остроугольного межфазного включения при наиболее общих нагрузках, приложенных к берегам трещины, включения и на бесконечности.

В §1 даются механическая и математическая постановки задачи. Рассматривается кусочно-однородная упругая плоскость, составленная из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей. Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига цх и коэффициент Пуассона V], нижняя - цг и i>2 соответственно. На линии раздела сред расположены открытая трещина [а, 6] и полностью отсоединившееся тонкое жесткое остроугольное включение вдоль

отрезка [с, . На берегах трещины считаются известными значения касательного и нормального напряжений:

(ау-пху)±(1) = р±(0,

на берегах включения - значения касательного напряжения и производной от вертикальной компоненты смещения:

4(0 = <7*0, (Эу/йг)*« = **(/), (е(с, на бесконечности - напряжения и вращения:

ал = = <*2> =ау2 = т%,\ = = т> е\ = £и £г = ег>

связанные между собою условиями неразрывности. Кроме этого, считается заданной величина вертикальной компоненты главного вектора внешних сил, приложенных к берегам трещины и включения. Полагается, что все граничные условия непрерывны по Гельдеру.

Требуется определить плоское напряженно-деформированное состояние составной плоскости. Решение ищется в классе напряжений, которые в вершинах сингулярностей могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1 и имеют заданное поведение на бесконечности.

С помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова, решение поставленной задачи сводится к решению следующей смешанной краевой задачи теории аналитических функций:

В плоскости с двумя разрезами [а, Ь] и [с, <Г\ (а<Ь<с<с1) найти две кусочно-голоморфные функции Ф(г), П(г) класса (комплексные потенциалы составной упругой плоскости), удовлетворяющие краевым условиям

Ф*(0+О-(0=Р+('Х

5,ф-(0 + *2£Г (0 + + = Р'( 0. ' е (а. Ь)

и

1т(ф+(0 + £Г(0)=-<7+(0,

Цг,Ф+(0-а~«)-2Л»+(0.

1т(*,ф-(/) + (0 + + *4ф+('))= -<Г(0,

1ш(*-25,Ф"(/) + к252П~ (/) - $3П+(/) - 54ф+ (0)= 2' 6 (с, <0, 3 _ М1+М2К1 í _ М1-М2 3 =Н2±Мз, , - У\кг-Угк\

1 А0+«"2)' 2 А0+*2>' 3 мЛ1 + к2У 4 /лО + л-г) '

имеющие в окрестности со представления

_, . и. Х + 1Г _г. . и,кг Х + (У _2.

Ф (*) = /,--------+0(г2), П(г) = у2+—---^-+0(г"2),

//1+^2л:1 2я-г /л2 + цхкг 2л г

Г, = (<71+<г)/4+/-2//1/г1(1 + *г1)-1, уг =а-п-уи и удовлетворяющие условию Нш(г-г)Ф'(г) = 0, Нт (г - 2)С1'(г) = 0 для всех

х-М* 1-М*

6

точек линий [а, Ь] и ¡с, <1], кроме концов.

В §2 вводятся в рассмотрение новые комплексные потенциалы Ъ (2) = *,Ф(2) - , Ъ (2) = ф(2) + Щг),

для нахождения которых необходимо решить комбинированные краевые задачи Римана-Гильберта

^(0-^(0 = 2^(0, ' 6 (а, Ь), 1т^(0 = ^(0, !е{с,<1), + = 1е(а,Ь), 1т *?(/) =/*(<), /е(с,<0,

где функции /1±(0, /¿'(О. £1(0 > £г(0 вьфажаются через известные функции

Р* (0 . (0. з* (0. т = (/<1 + /"2*1 )<Рг+ »\кг)"' •

Далее осуществляется переход на двулистную риманову поверхность функции Цг) = ^(г-с)(г-<1) и производится решение этих задач. На основании этого решения находятся

I Ф) )

х* 1-г т ' (/ — г)е>(/)

+ ± 'г/Г(0-/Г(0Л + Ч£) 'г/?(»+/ГС0Л

2я> /-г 2яч" * (/-г)®(0

ад=I'V _ ^ VКем>) * +

, 1 УЛЧО ./ГС)) * , , /Л0) Л

2»ДлГ+(0 2л-г ^(ОД'-гМО'

= 1 Гг-а-н<г) + и<д) +и<г) +н<1>)У^ тДг - аХ2 - ¿) V г - 6 - Цг) + м>(Ь) г-а +Цг) +Ца^ /? = (1п«)/(2я-), ®(0 = |Ц/)|. Все постоянные, входящие в решение задачи, являются действительными и находятся из разложения функций в ряд Лорана в окрестности со. Исключение составляет постоянная В3, для нахождения которой необходимо использовать условие однозначности горизонтальных смещений при обходе трещины или включения

Яе 1Ы^(0-^(0)+ = 0, ,, = 2-0

3 (Мх+Мг^У^г+АЪ)

7

где интеграл берется по отрезку [а, Ь\ или [с, с/].

В §3 на конкретном примере проверяется физическая корректность полученного решения: раскрытие трещины на некотором участке (а + 8{,Ь-8г) должно быть положительным, а напряжения на берегах включения - сжимающими. Приводятся расчетные формулы для величины раскрытия трещины и для напряжений на верхнем и нижнем берегах включения, после чего изучается случай равномерно нагруженной трещины при наличии сжимающих напряжений на бесконечности. Все расчеты, как в этой, так и во всех остальных главах, проводятся для композита Си-А1203 с упругими постоянными = 40 МПа, V, =0.37, =174.2 МПа, У2 =0.22. При этом от = 3.594.

На рисунке 1 приводятся графики зависимости величины 106[у(/)] (А-а)"' раскрытия межфазной трещины от расстояния £ между левой вершиной а трещины и точкой I на трещине под действием приложенной к ее берегам постоянной нормальной нагрузки р*(1) = р~(1) = 30 Па при различных значениях касательного напряжения г на оо. На оо, кроме г, заданы еще сжимающее нормальное напряжение а = -100 Па и вращение ег = г • (//2 - цх) • (2//,^2)"' > а все остальные исходные данные нулевые.

106[у(/)] / (¿-а)

Рис. 1. Величина раскрытия межфазной трещины в зависимости от касательного напряжения на бесконечности: (—) г=0; (----) г/с"5; (--)г/<т=10; (</-с)/(6-в) = 0.6, (с-6)/(4-а) = 0.1.

Далее в этом параграфе исследуется поведение комплексных потенциалов в окрестностях вершин трещины и включения. Показано, что вблизи вершин трещины они имеют особенность порядка % + ф, а вблизи вершин включения - порядка причем в первом случае интенсивность напряжений вблизи вершины определяется двумя действительными параметрами, а во втором -только одним. Получены следующие формулы для КИН:

(К, (К, - ¡ка (Ь)+(¿)];

Л:п(с) = -л/2/г(^-сГ1^(с), Кп = т]2х(с1 - с)-1 ^о (</),

F20(x) = Bl'+B 2x-i

_.Bi + Bix + Bsx1 F(x) = A1 + A3x | B, +B^+B5x2 4(c-xXd-x) ' ' sз J(x-a)(x-b) '

N=-

2 <2nm(a-b-a>(a)-eojb) с + d-2a-2a(a)Y

2 )2ди m + l\b-a

b-a- a>(a) + ©(6)

4o2(6)

-l

\\Ь-а-а>(а)-со{Ь) c + d-2b-2a){b)J На рисунке 2 приведены графики коэффициентов Кх 1сг, Кп! а в вершинах трещины и включения в зависимости от расстояния (с - Ь) между ними. На оо задано касательное напряжение г = 5ст, а все прочие условия соответствуют тем, для которых были построены графики на рисунке 1. Для сравнения приводится график величины К'й{Ь)!а в случае отсутствия включения.

Kjo

Kvla

• \ • \ • \ • >

% %

Рис. 2. КИН в, К\\!о в вершинах трещины и включения. (•---) Да); (—)АГ(6); (-)ЩЬ)

В §4 изучаются три частных случая решенной задачи: случай одиночной трещины, случай одиночного включения и случай нулевых граничных условий. Показано, что полученное решение задачи об одиночной межфазной трещине совпадает с решением, полученным Г.П. Черепановым и J.R. Rice. Приводятся формулы КИН и их графики. В дальнейшем формулы КИН в вершинах одиночных трещины и включения используются для сравнения с решениями задач взаимодействия трещины и включения. Наиболее интересный с практической точки зрения случай действия на трещину или включение сосредоточенной силы рассмотрен отдельно в §5. Решение иллюстрируется конкретными примерами расчета КИН.

В §6 решение задачи обобщается на случай взаимодействия нескольких межфазных трещин с единственным межфазным включением. Показано, что функция F2(z) в этом случае будет зависеть от 2л+3 действительных постоянных, где п — количество трещин. Четыре постоянные находятся путем разложения функции в ряд Лорана в окрестности а остальные 2л-1 - из условий

9

однозначности горизонтальных и вертикальных смещений при обходе каждой из трещин.

Во второй главе рассматривается задача взаимодействия открытой межфазной трещины и полностью отслоившегося тонкого жесткого остроугольного межфазного включения в поле действия сосредоточенных сил и пар сил, приложенных к внутренним точкам упругих полуплоскостей или на линии раздела сред.

В §1 дается механическая постановка задачи. Рассматривается описанная в главе 1 кусочно-однородная упругая плоскость, ослабленная расположенными на линии раздела сред 1тг = 0 открытой трещиной [а,Ь] и полностью отсоединившимся от среды тонким жестким включением вдоль отрезка [с, </].

В конечном числе точек гу, расположенных вне трещины и включения, приложены сосредоточенные силы X} + ¡У) и пары сил с моментами М) относительно самих точек гу Считаем, что из этих точек на линии раздела сред расположены и, точек гу = 1,и,, а во внутренних точках упругих полуплоскостей - пг точек г }, у = 1,и2. Берега трещины и включения свободны от напряжений:

(<^-/^(0 = 0, /е(а,Ь), г* (0 = 0, (5у/&)±(0 = 0> tь{c,d),

напряжения и вращения на бесконечности, а также вертикальную компоненту главного вектора внешних сил, приложенных к включению, также считаем равными нулю. Решение ищется в классе напряжений, которые в вершинах трещины и включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, а в точках приложения сил и пар сил - в бесконечность порядка не больше двух.

В §2 изучается поведение комплексных потенциалов Ф(г), О(г) в окрестностях точек приложения сил и пар сил. Отдельно рассматриваются случаи сосредоточенной силы, приложенной к точке на линии раздела сред, и к внутренней точке одной из полуплоскостей. При этом выясняется, что в последнем случае у комплексных потенциалов появляется степенная особенность не только в точке приложения силы, но и в точке, симметричной ей относительно линии раздела сред. Показано, что если точка приложения сил и пар сил расположена на линии раздела сред (1тг4 =0), то функции Ф(г), С1(г) имеют вид:

ф(г) =--Ь---+ 0(1),

/Л 2Ф~гк)

]= Хк+1Ук | + Мк-гкУк

если Гтг^ >0,то

П(г)--еса---"« •»•*,+0( 1);

Мг+М^г 2х(г-гк) Цг+Цхкг 2я(г-гкУ

ф(/)=-

2я-(1 + «г,) г-г) в окрестности точки ;

+ 0(1), П(г) =

53 2л{\ + кх) г-2]

+ 0(1)

Ф(г) = -—£2(г) + 0(1),

кЛХ, +1У,) + (Х1 -/У,) 1МЛ\ + кЛ-(Х, +(Т,)(2( -г,) П(г) = -_ ч ' +—--^Аг1-- + 0(1),

2я(1 + «•,)(* в окрестности точки Zj; а если 1т < 0, то

2х(1 + *г,)(г-^)2

Ф(г) = -

1

- + 0(1),

П(г) =

+ 0(1),

2^(1 + «г2)5, г-г) П(г) голоморфна в окрестности точки г¡\

2яу3(1 + «г2Хг-г^) 2®3(1 + *г2Хг-^)2

Ф(г) голоморфна в окрестности точки г

В этом же параграфе исследуется проблема наложения особенностей в случае приложения сосредоточенных сил одновременно в точках и

В §3 дается математическая постановка задачи и приводится ее решение. Вводятся новые функции (г), ^2(г), для нахождения которых используются их представления в окрестностях точек приложения сил и на «>, а также однородные комбинированные краевые условия Римана-Гильберта на берегах трещины и включения

^Г(О-/гГ(О = 0, 1в{а,Ъ\ 1т/^(Г) = 0, ,6(с, </), (/) + тР{ (<) = 0, í6 (а,Ь), 1т ^ (0 = 0, 1е (с, с1).

Метод решения, связанный с переходом на риманову поверхность функции м>(г) = - с)(г - с!), аналогичен методу решения задач главы 1. Функции ^ {г), ^¡(г) имеют вид

Аг + А} 2

Ъ-Х,)г (г-^)2) г-г} (г-г,)2 (г-г7)

^ Г Ч 1 • ч Г

А[ + А7г + 1—----—

' 2 Мг)

м

В'и

К

с:,

с

(г-*,)2 (2-г,)2

¿У/-** (г-г,)^

где постоянные Л, Л, 5 с любыми индексами - действительные, а постоянные В, С, Д Е - комплексные. Для нахождения этих постоянных используются разложения функций в ряд Лорана в окрестностях точек приложения сил и на <ю, а также условие однозначности горизонтальных смещений при обходе трещины или включения (из него находится постоянная А'}).

В §4 приводятся формулы для КИН и их графики. В качестве примера рассматривается случай двух сил, приложенных к точкам на линии раздела сред по разные стороны от трещины и по разные стороны от включения.

На рисунке 3 приводятся графики КИН в вершинах трещины и включения в зависимости от расстояния 5 между ними для случая двух сосредоточенных сил, приложенных на линии раздела сред слева и справа от трещины.

Рис.3. КИН К\1Х, Кп/Х в вершинах трещины и включения. (....) К(а), (-)К(Ь), (--)К(с), (-*-)£(</).

В третьей главе рассматриваются случаи взаимодействия полубесконечной трещины с включением конечной длины и полубесконечного включения с конечной открытой трещиной или системой трещин.

В §1 даются механическая и математическая постановки задачи взаимодействия полубесконечной межфазной трещины (-оо; 0] и отслоившегося межфазного включения вдоль отрезка [с, сГ\. На берегах трещины считаются известными значения касательного и нормального напряжений, которые на участке [а; 6], вообще говоря, ненулевые, а вне него - нулевые. На берегах включения, как и в главе 1, считаются известными значения касательного напряжения и производной от вертикальной компоненты смещения. Кроме того, считаем известной асимптотику нормального и касательного напряжений

К,-НС,

--Т^Г" ' г_>0°'

где К{, К2- заданные числа, выражающие интенсивность напряжений в окрестности«).

Вводя функции /-¡(г), /-"2(г) класса Ло(£0), Ь0= (-оо, 0]и[с, с1], находим их вид в окрестности оо:

А-1»

1

2щ

и формулируем краевые задачи для этих функций на берегах трещины и включения:

1111^(0 = ^(0.

+ (0 = 2^(0, I б (а, Ь), ^+(0+т^2-(0 = 0, / е (-оо, а) и (6,0),

1т^(0 = ^(0, *е(с,<0-Решая эти задачи методом перехода на риманову поверхность, находим, что функция Р1 (г) имеет тот же вид, что и в главе 1, а функция (г) - вид

Рг(2) = *(г//-2.(2) + В1 + ¡В*+В>2

М[г)

1 (2г-2и{г)-с-с/ г + у{г)-4а1

V

■у/г ( г-и-(г)--*/с<7 2г + 2у/{2)-с-с1

я- Л % (')) 'Чп о г (о'

л

--ШФ (Гяе— .____

Л ,Ф)УП0,Л01 л

(/-1Х/-2) 2?п х-(о)с»т-гу

13

1(0.1_

—1 2тс 1

где В\, В2, В2 - действительные постоянные.

Для нахождения постоянных Аи Аг, В1,ВЪ используются известные представления функций Fl(z), ^(г) в окрестности оо, для нахождения постоянной А2 - значение главного вектора внешних нормальных сил, действующих на включение, а для нахождения В2 - условие однозначности горизонтальных смещений при обходе включения.

В §3 изучаются частные случаи решенной задачи: случай одной полубесконечной трещины в отсутствие включения, случай нулевых граничных условий и случай действия на трещину или включение сосредоточенной силы. Приводятся формулы КИН, построены их графики.

В §4 рассматривается задача взаимодействия открытой межфазной трещины (а, Ь), а<Ь<О с полубесконечным отслоившимся межфазным включением вдоль луча [0,+ оо). Значения касательного напряжения и производной нормальной компоненты вектора смещения задаются на участке [с, с!\ включения. На со составной плоскости считаются известными значения нормальных стх, ау, касательного т^ напряжений и вращения е, а также более точная асимптотика нормального и касательного напряжений:

сгу-гтц =сг-1т+ ').

Кусочно-голоморфные функции ^(г) и должны удовлетворять в

этом случае следующим краевым условиям:

Ьп^1 (/)-/,*(/), / е (С, 1т/^(/) = 0, /6 (0, с)и(</; + оо),

^+(0 + т^2"(0 = 2я2(0, (€ (а, Ь), Гт/^СО = /*(/), 1е(с, О), 1т^(0 = 0, * е(0,с)и(</;+со), а в окрестности оо иметь вид

После перехода на риманову поверхность функции н> =

Гг

строится решение этой задачи:

Г, (г) = ^ + А + ^ (2), р2 (г) = (г) + В1+В2 г + ^^ ],

, 1 1г/,+«)-/Г(0 „ . ^ г/Г (О-/Г (О

^ ¡-г {1-2)со{1)

*¿1 * Д *+(ОД<-*МО

1 Ч/г (о /,-(0) * | | «

2*.Дум

®(0 = л/й-

, ч_ 1 Г^г + Ф?

Постоянные Л,, Вг, В4 находятся из разложений функций /•'.¡(г) в ряд Лорана в окрестности оо. При этом показано, что поставленная задача будет иметь решение только в том случае, если касательное напряжение г и вращения £|, ег на бесконечности, а также коэффициент Кг будут равны нулю. Для нахождения оставшихся постоянных В,, й3 используется условие однозначности горизонтальных и вертикальных смещений при обходе трещины, которое в данном случае имеет вид

»

'(^(0-^"(0)^ = 0.

В §5 решается задача взаимодействия системы конечных межфазных трещин с полубесконечным межфазным включением. Показано, что в этом случае функция ^(г) зависит от 2л+2 действительных постоянных, где п - число трещин. Две из этих постоянных находятся после сравнения функции Р2(г) с ее представлением в окрестности да. Для нахождения оставшихся 2л постоянных используются условия однозначности горизонтальных и вертикальных смещений при обходе каждой из трещин (ак,Ьк).

В заключении кратко сформулированы основные результаты исследований, выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации отражены в следующих работах.

1. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: М.: Физматлит, 2001. С. 301-313.

2. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Применение комбинированной краевой задачи Римана-Гильберта для решения одной смешанной задачи теории упру-

»21 3 0 6 2i

гости // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: "ДАС", 2001. С. 208-209.

3. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Взаимодействие межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь 23-29 августа 2001 г. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 527.

4. Ярдухин А.К. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. Минск: "Технопринт", 2001. С. 510-514.

5. Ярдухин А.К. Взаимодействие межфазного включения и межфазной трещины при наличии линии скольжения на ее конце // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 18. Лобачевские чтения. Казань: Казанское математическое общество, 2002. С. 106-107.

6. Ярдухин А.К О влиянии сосредоточенных сил на напряженное состояние вблизи трещины и включения между упругими полуплоскостями И Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 18. Лобачевские чтения. Казань: Казанское математическое общество, 2002. С. 108-109.

7. Ярдухин А.К. Система трещин и отслоившееся включение на линии раздела сред // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XII межвузовской конференции, ч.1. Самара: изд-во СамГТУ, 2002. С. 221-224.

8. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Решение контактных задач теории упругости с помощью краевой задачи Римана на римановой поверхности // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: "ДАС", 2003. С. 200-201.

9. Ярдухин А.К. Кусочно-однородная среда с полубесконечными межфазными дефектами различной природы // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды ХП1 межвузовской конференции, ч.1. Самара: изд-во СамГТУ, 2003. С. 220-222.

10. Ярдухин А.К. Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Самара: изд-во СамГТУ, 2003. С. 173-177.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать Формат бумаги 60x84 '/,6. Бумага офсетная

хг бумаги 60x84 /,6. Бумага офсетная Усл-печ.л.(ffgn Уч.-изд л, 0,9г Тираж 42U экз. Заказ 166

Тульский государственный университет. 300600, г.Тула, просп.Ленина, 92.

Отпечатано в редакционно-издательском центре Тульского государственного университета 300600, г.Тула, ул.Болдина 151

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖФАЗНЫХ ТРЕЩИН

И ОТСЛОИВШЕГОСЯ МЕЖФАЗНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ.

§ 1. Задача взаимодействия межфазной трещины и отслоившегося межфазного включения при сложном нагружении.

§ 2. Переход на риманову поверхность и построение комплексных потенциалов.

§ 3. Коэффициенты интенсивности напряжений и другие механические характеристики.

§ 4. Частные случаи задачи.

§ 5. Взаимодействие межфазной трещины и межфазного включения под действием сосредоточенных сил, приложенных к их берегам.

§ 6. Взаимодействие системы трещин и отслоившегося включения.

ГЛАВА 2. МЕЖФАЗНАЯ ТРЕЩИНА И ОТСЛОИВШЕЕСЯ МЕЖФАЗНОЕ ВКЛЮЧЕНИ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИЯ

СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ И ПАР СИЛ.

§ 1. Механическая постановка задачи.

§ 2. Поведение комплексных потенциалов в окрестностях точек

Во многих композиционных материалах содержатся дефекты в виде трещин и тонких жестких включений, полностью соединенных с материалом или отсоединившихся от него частично или полностью. Эти дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе эксплуатации. Например, полностью или частично отсоединившиеся включения могут возникнуть в результате разрыва армирующих элементов. Под действием приложенных нагрузок в этом месте или в месте непрочного соединения материалов может появиться трещина, рост которой рано или поздно приведет к локальному или полному разрушению тела. Наибольшее влияние на зарождение и рост трещин оказывают полностью отслоившиеся жесткие остроугольные включения. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи теории упругости для кусочно-однородных тел с дефектами различной природы на линии раздела сред.

В настоящее время достаточно полно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов одного и того же типа. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.Ф. Морозова [33], В.В. Панасюка [41], В.З. Партона и Е.М. Морозова [42], Г.П. Черепанова [73, 74] и многих статьях. В этих же работах подробно исследован процесс зарождения трещин в однородной среде с позиции хрупкого разрушения. Возможность образования трещин в управляемом режиме рассматривается в статье A.A. Маркина и В.В. Глаголева [32].

В меньшей мере изучено влияние на напряженное состояние дефектов разных типов. В работах JI.T. Бережницкого и др. [10], В.Е. Петровой [43, 125], Y.Z.Chen [96], К.Х.Ни и A.Chandra [112] методом интегральных уравнений изучается взаимодействие в однородном теле трещин и полностью сцепленных со средой тонких жестких включений. Результаты исследований данной проблемы представлены в виде графиков, таблиц и асимптотических формул для КИН.

Исследованию кусочно-однородных тел с дефектами на линии раздела сред при различных способах нагружения посвящено очень большое число работ. Интерес к этой проблеме возник, когда в работе M.L. Williams [149] было показано, что классическая модель трещины-разреза, успешно используемая в теории трещин в однородной среде, для межфазного случая приводит к физически несбалансированному решению: при смене краевых условий типа «отрыв-сцепление» в вершине трещины возникает осциллирующая особенность. Берега трещины вблизи вершины бесконечное число раз перекрываются, а на продолжении трещины напряжения бесконечно часто меняют знак.

Результаты экспериментального определения величин напряжений вблизи концов межфазной трещины приведены в обзорной статье С. Atkinson и R.V. Graster [85]. Вопросам разрушения композитных материалов посвящена монографии А.Н. Гузя [17], G.C. Sih и Е.Р. Chen [136].

Различные аналитические решения задачи о классической межфазной трещине (или трещине Гриффитса) были получены Г.П. Черепановым [71] с помощью краевой задачи Римана, А.Н. England [101] с помощью краевой задачи Гильберта, F. Erdogan [102, 103] и другими авторами. Было показано, что при растягивающих усилиях, приложенных на бесконечности кусочно-однородной плоскости, длина отрезка, на котором происходит осцилляция, мала по сравнению с длиной собственно трещины. Осцилляторные характеристики напряжений и перемещений исследовались W. Qian и С.Т. Sun [129].

В.H. Акопяном [1] была изучена трещина, на одном берегу которой заданы компоненты напряжения, а на другом - компоненты перемещения; была выведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, описывающая поставленную задачу, и построено ее замкнутое решение. В работе Д.В. Грилицкого [16] рассматривалась классическая трещина на круговой линии раздела сред в поле действия сосредоточенной силы и сосредоточенного момента, приложенных в произвольной точке среды не на линии раздела. Обобщение этой задачи на случай нескольких трещин и нескольких точек приложения сил и моментов было получено И.А. Прусовым [45]. Задача была решена в явном виде с помощью формул Колосова-Мусхелишвили. Также в этой статье были рассмотрены две полуплоскости с разрезами на линии их соединения, однако решение для этого случая не приводилось. Для решения задачи о трещине, возникающей на границе раздела упругой полосы и упругой полуплоскости под действием приложенной к поверхности этого тела нормальной сосредоточенной силы, В.М. Александровым и Д.А. Пожарским [2] использовались функции Папковича-Нейбера. Задача отыскания этих функций с помощью преобразования Фурье сводится к решению системы двух интегральных уравнений, приближенное решение которых получено с помощью асимптотических методов. В этой же работе найден максимум осцилляции берегов трещины. Задача о периодической системе классических межфазных трещин была решена В.М. Александровым и М.А. Сумбатяном [3], K.N. Srivastava и др. [140].

Вопрос образования и распространения трещин Гриффитса при несимметричных нагрузках изучался W. Wang [147]. Общее аналитическое решение задачи для отдельной трещины и для периодической системы трещин было получено методом граничных интегральных уравнений. Условия возникновения трещин в зоне слабого адгезионного соединения на линии раздела сред рассматривались И.В. Симоновым и B.L. Karihaloo [139]. Было показано, что критическое напряжение на бесконечности, при котором происходит образование трещины, зависит от упругих постоянных материалов, длины слабой зоны и сил трения в ней. Трещина, на которой имеются как зоны раскрытия, так и области налегания, изучается в работах Р.В. Гольдштейна и др. [14, 15,107].

В последние годы большое внимание уделяется также трещинам, расположенным не на линии раздела сред, а вблизи нее (так называемым субинтерфейсным трещинам), и их взаимодействию друг с другом и с межфазными трещинами. Так, в работе R.Ch. Qing [130] изучается прямолинейная трещина, лежащая в одной из двух сжимающихся полуплоскостей и оканчивающаяся на линии их соединения. Исследуется сингулярное поле деформаций вблизи вершин трещины для произвольного угла встречи трещины с линией раздела сред. Вопросам численного исследования напряженного состояния трещины, перпендикулярной линии раздела сред, посвящена статья J.N. Chang, D.J. Wu [93]. В статье A.C. Wijeyewickrema и др. [148] с помощью метода интегральных преобразований Меллина решается задача о трещине, заканчивающейся на границе между двумя материалами, где выполняется закон трения Кулона. Взаимодействие двух трещин, одна из которых параллельна линии раздела сред, а другая перпендикулярна ей, изучается в статье Е.Е. Theotokoglou [143]. С помощью комплексных потенциалов Мусхелишвили проблема сводится к задаче Гильберта, решение которой при наличии дислокаций в какой-либо из полуплоскостей сопряжено с построением соответствующих функций Грина. В работе [144] того же автора рассмотрена упругая плоскость с круглым включением и решается задача взаимодействия межфазной трещины с трещиной, расположенной вблизи нее вне этого включения. В статье W.-Y. Tian и Y.-H. Chen [146] исследуется взаимодействие полубесконечной межфазной трещины с множественными ориентированными микротрещинами в зоне вблизи конца макротрещины. После вывода решений для полубесконечной межфазной трещины и специальной подинтерфейсной трещины при различных условиях на-гружения, с помощью метода псевдонапряжений задача сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются методом численного интегрирования Чебышева.

Поскольку классическая модель межфазной трещины является физически несогласованной, было предложено несколько других моделей межфазной трещины. Так, P.JI. Салгаником [48, 119], основываясь на полученном классическом решении, рассматривалась трещина, имеющая в окрестности вершин бесконечно много участков контакта и отслоений. Г.А.Ваниным [11] было предложено сдвинуть межфазную трещину в один из материалов с тем, чтобы в итоге получить задачу о трещине в однородной среде. В статье В.В. Ларкиной и В.В. Твардовского [31] выдвигалось предположение о том, что упругие свойства материалов вблизи линии раздела сред меняются не скачкообразно, а плавно.

Была построена модель трещины, в которой на границе раздела на продолжении трещины имеется не линия резкого перехода, а слой малой толщины, в котором упругие свойства материалов меняются непрерывно так, что один материал непрерывно переходит в другой. В этой работе задача была решена в явном виде методом краевой задачи Римана, и с помощью F-интеграла Райса-Черепанова найдено критическое значение КИН, при достижении которого происходит рост трещины.

В статье V. Boniface и K.R.Y. Simha [92] традиционная степенная особенность порядка Vi без осциллирующей особенности в вершине трещины достигается за счет нахождения строго определенного угла раскрытия трещины, зависящего от упругих постоянных материалов. E.J1. Нахмейном и Б.М. Нуллером [37] для предотвращения перекрытия берегов трещины вблизи ее открытого конца предложено учитывать в краевых условиях скачок вертикальных перемещений. Показано, что при этом трещина удлинится не более, чем на тысячную долю ее первоначальной длины. Собственно же задача решается с помощью краевых задач Дирихле-Римана и Гильберта-Римана для трещины, берега которой смыкаются возле одного из ее концов.

Однако наибольшую популярность получили модели межфазной трещины, в которых на ее продолжении предполагалось наличие некоей промежуточной зоны между областью раскрытия и областью жесткого контакта. В этой зоне обычно задаются либо условия скольжения (с трением или без трения) и разрыва касательных смещений (модель Комниноу [18, 97]), либо условия пластичности и разрыва нормальных смещений (модель Дагдейла [8, 23]). Именно этим моделям посвящено наибольшее число работ, в которых исследуется напряженное состояние во внутренних точках упругих областей, вычисляются КИН в вершинах трещин и находятся длины промежуточных зон. При этом с помощью интегральных уравнений, функции Грина, преобразования Меллина и метода граничных элементов решаются задачи для полубесконечных трещин (Ю.А. Антипов [4], A.A. Каминский и др. [23], W.-Y. Tian и Y.-H. Chen [145]), конечных трещин с одной (И.В. Симонов [60], K.P. Herrmann и др. [110]) или двумя (A.A. Каминский и др. [21], J. Dundurs и A.K. Gautesen [99, 105, 106]) зонами контакта, или для системы межфазных трещин (И.А. Прусов [46] Г.П. Черепанов [70], F. Erdogan [103], N.A. Nöda и К. Oda [124], W. Wang [147], L.G. Zhao и др. [155]). В развитие модели Дагдейла предложена модель «трезубец» [22], в которой, помимо пластической полосы, от вершины трещины отходят вглубь материалов еще две пластические линии скольжения, длина которых значительно превышает длину пластической линии на границе раздела материалов. В обзорной статье D.L. Leguillon [116] для трещины с контактной зоной на одном из концов обсуждаются условия, при которых осцилляция может исчезнуть, и исследуется направление скольжения в контактной зоне.

Отметим, что в работах J. Dundurs, M. Comninou [18] и B.B. Лободы [117] доказана справедливость оценки размеров областей контакта с помощью вычисления длин тех зон, в которых перекрытие материалов предсказывается решением задачи для классической межфазной трещины. Более того, показано, что при растягивающих нагрузках длины этих зон имеют порядок ЮЛ.ЛО"7 по сравнению с длиной самой межфазной трещины, а при сдвиговых нагрузках, напротив, могут быть очень велики (сравнимы с длиной самой трещины).

Решения задачи о межфазной трещине между анизотропными материалами можно найти в статьях С.А. Назарова [36], A.B. Шевельовой [79], J.R. Berger и V.K. Tewary [89], J.R. Willis [150]. В этих работах при решении задач используются степенные ряды, краевые задачи Римана и функции Грина. В статье F. Hui [113] рассматривается трещина Зенера-Строха, образующаяся, в отличие от трещины Гриффитса, при коалесценции дислокаций на границе двух материалов.

Различные модели межфазной трещины и связанные с ней проблемы механики разрушения подробно описаны в обзорной статье I.S. Raju и В. Dattaguru [131]. Другие аспекты задачи о межфазной трещине обсуждаются в работах Ю.А. Антипова и др. [80], К. Atkinson [83, 84], Ch. Bjerkén и Ch. Persson [90], K.T. Chau и Y.B. Wang [95], Г. Мишуриса [123], D.K. Shin и J.J. Lee [137], Zh. Suo и J.V. Hutchinson [142] и других.

Несколько меньшее число работ посвящено задачам о включениях в однородной среде и на линии раздела сред. Так, полностью отслоившееся от среды 8 тонкое жесткое межфазное включение рассматривается в монографии Г.Я. Попова [44], а частично отслоившиеся от среды жесткие включения при различных типах краевых условий изучаются, кроме того, в монографии Н.И. Мусхе-лишвили [34] и статьях R. Ballarini [88], D. Elata [100], G.R. Miller и R.P. Young [122] и др. Механизм отслоения жесткого включения от материала при растяжении описан в работах Н.М. Кундрата [26-29]. В статье Ю.А. Антипова [5] рассматривается тонкое, абсолютно жесткое включение которое под воздействием силы и момента, приложенных полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслаивается вдоль нижнего берега, так что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказывается, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае сводятся к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае — к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана. В статье В.А. Хандогина [68] рассматривается напряженное состояние ортотропной плоскости с одним линейным разрезом, нижний берег которого армирован упругой мембраной, которая упруго препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу и сдвигу. Путем решения двумерной краевой задачи Римана комплексные потенциалы Лехницкого находятся в явном виде. Показано, что в зависимости от жесткости армирующей мембраны в вершинах дефекта могут возникать сингулярности напряжений любого порядка от 0 до (— 1 + £•), где € -» 0, в зависимости от жесткости мембраны. В работе [69] того же автора аналогичная задача изучается для изотропной плоскости. В работе К. Markenscoff и L. Ni [121] для межфазной трещины, подкрепленной с нижнего крана жесткой мембраной, ставится смешанная задача Мус-хелишвили, и с помощью функции Грина задача сводится к диагонализуемой системе сингулярных интегральных уравнений. В статье К. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [122] с помощью функций Грина решается задача уже для полностью сцепленного со средой включения. Полностью соединенному со средой тонкому жесткому межфазному включению или системе включений посвящены исследования R. Ballarini [87], F. Erdogan и G.D. Gupta [104], К. Wu [152] и др.

Жесткое межфазное включение между анизотропными полуплоскостями изучается в работе A. Asundi и W. Deng [82]. Задача решается в явном виде с помощью метода аналитических функций и метода Строха. Отдельно находятся осциллирующая и неосциллирующая составляющие поля напряжений. В статье Th. Homulka и L.M.Keer [111], задача, аналогичная решенной в [121], рассматривается для разреза между анизотропными полуплоскостями. Методом Строха задача сводится к матричной задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6x6, и путем диагонализации сводится к отдельным задачам.

Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучаются в работах V. Boniface и N. Hasebe [91], C.K. Chao и M.N. Shen [94], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [127, 128] и др.

Кроме того, некоторые работы посвящены взаимодействию трещины и включения в однородной среде (Y.Z. Chen [96], В.Е. Петрова [125], X. Han и др. [109]). В статье К.Х. Ни и A.Chandra [112] эта задача для системы жестких включений решается методом интегральных уравнений, которые с помощью квадратур Гаусса-Чебышева сводятся к отдельным уравнениям и решаются численно. В работе М.-Н. Zhang и R.-J. Tang [154] путем сведения к системе сингулярных интегральных уравнений типа Коши решается задача взаимодействия трещины и упругой пластины.

Что касается задачи взаимодействия межфазных трещин и межфазных включений, соединенных со средой или отслоившихся от нее, частично или полностью, то автору неизвестны какие-либо исследования в этом направлении, хотя некоторые задачи о вдавливании штампа в упругую плоскость и задачи о расклинивании кусочно-однородных тел по сути близки к поставленной в данной работе. Следует назвать, например, статьи ЕЛ. Нахмейна и Б.М. Нуллера [38-40], Ю.А. Антипова и Н.Х. Арутюняна [7], И.В. Симонова [57-63], И.А. Солдатенкова [64], Ю.А. Черноивана [75].

В данной работе в рамках линейной теории упругости решается задача взаимодействия классической межфазной трещины и полностью отслоившегося тонкого жесткого остроугольного межфазного включения, расположенных на линии соединения двух разных по упругим свойствам полуплоскостей. Структурно работа делится на три главы.

В первой главе рассматривается задача взаимодействия единственного межфазного включения с одной, а затем и с несколькими открытыми межфазными трещинами при наиболее общих нагрузках, приложенных к берегам трещин, включения и на бесконечности. На берегах трещины задаются значения касательного и нормального напряжений, на берегах включения — значения касательного напряжения и производной от вертикальной компоненты смещения, на бесконечности - напряжения и вращения.

Полагается, что во всех задачах граничные условия непрерывны по Гель-деру. Решения задач ищутся в классе напряжений, которые в вершинах сингу-лярностей могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1 и имеют заданное поведение на бесконечности.

В § 1 ставится механическая задача и формулируются условия ее физической реализуемости. Эти условия сводятся к требованиям раскрытия трещины на некотором ее участке (в силу классической модели трещина не может раскрыться по всей длине) и наличия контакта всей поверхности отслоившегося включения с окружающим его материалом. С помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова [74] поставленная задача сводится к системе шести краевых задач, в каждой из которых фигурируют граничные значения двух функций комплексного переменного Ф(г) и Г2(г). Путем введения особым образом двух других функций /^(г), -Р2(г) эту систему удается свести к комбинации двух краевых задач теории аналитических функций: задачи Римана и частного случая краевой задачи Гильберта - задачи Шварца [12], причем для каждой из функций /^(г) и Г2(г) получаются отдельные задачи.

Решение этих задач, приведенное в § 2, основано на переходе из комплексной плоскости на двулистную риманову поверхность. На этой поверхности формулируются и решаются в явном виде краевые задачи Римана-Гильберта, а затем, выбирая один из листов этой поверхности, получаем решения исходной задачи на плоскости.

Идея применения римановых поверхностей для решения задач теории упругости, гидромеханики и других разделов механики сплошной среды заложена в работах Л.И. Чибриковой [76-78] и Э.И. Зверовича [19, 20]. Первый автор, используя метод симметрии, свела первую и вторую основную задачу теории упругости для плоской области, ограниченной алгебраической кривой, к задаче сопряжения на соответствующей римановой поверхности, а второй тем же методом свел основную смешанную задачу теории упругости для однородной плоскости с коллинеарными разрезами к задаче сопряжения на двулистной римановой поверхности. При этом оба автора ограничились лишь исследованием разрешимости задач в рамках теории функций. Вопросы механики разрушения (исследование напряженного состояния, нахождение параметров разрушения) ими не рассматривались вовсе.

Римановы поверхности уже использовались для построения математических моделей течений в гидродинамике [13, 55], теории фильтрации [30], теории рассеивания [81], а также для решения некоторых краевых задач теории упругости. Основные задачи теории упругости для плоскости с конечным числом коллинеарных разрезов, включая наиболее сложную и наиболее интересную для приложений смешанную задачу при произвольном расположении точек смены типа граничных условий на берегах разрезов, решены в работах Л.А. Корзана [24, 25]. Метод сведения ряда контактных задач теории упругости для системы полуплоскостей к краевой задаче Римана на римановой поверхности описан в статье Б.М. Нуллера [40]. В работах В.В. Сильвестрова [49, 50] риманова поверхность используется для решения основных задач теории упругости непосредственно на римановых поверхностях с разрезами, а в [54] — для изучения различных моделей упругой винтовой поверхности. Во всех перечисленных работах рассматриваются задачи для однородных упругих сред. В случаях неоднородных сред и конструкций метод римановых поверхностей для решения различных задач теории упругости применяется в работах Ю.А. Антипова и Н.Г. Моисеева [6], В.В. Сильвестрова [51]. Перспективы применения метода для исследования кусочно-однородных плоскостей с межфазными трещинами при наличии на их продолжениях линий скольжения описаны в [56]. Подробное описание приложений данного метода для решения других задач механики и физики можно найти в обзорной статье Л.И. Чибриковой [78] и монографии Ю.Л. Родина [134], а приложения краевой задачи Римана на плоскости для решения двумерных задач механики - в работах Л.А. Толокон-никова и В.Б. Пенькова [66, 67].

В § 3 на конкретных примерах проверяются условия физической реализуемости построенного решения, находятся КИН. В § 4 из общего решения, как частные случаи, получаются решения задач об одиночной межфазной трещине, одиночном межфазном включении, а также о трещине и включении, берега которых свободны от напряжений. Случай действия на трещину или включение сосредоточенной силы рассмотрен отдельно в § 5. Наконец, в § 6 решение задачи обобщается на случай нескольких трещин. Во всех этих параграфах решаемые задачи иллюстрируются конкретными примерами расчета КИН.

Во второй главе рассматривается задача взаимодействия отслоившегося межфазного включения с межфазной трещиной при наличии сосредоточенных сил и пар сил. Решение задачи, сформулированной в § 1, ищется в классе напряжений, которые в вершинах трещины и включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, в точках приложения сил и пар сил — в бесконечность порядка не больше двух, а вне любой фиксированной достаточно малой окрестности множества сингулярностей ограничены.

В этом случае используется тот же самый метод, что и для решения задачи в главе 1, но предварительно приходится выяснять поведение комплексных потенциалов, через которые выражается решение, в окрестностях точек приложения сил и пар сил. В § 2 рассматриваются отдельно случаи сосредоточенной силы, приложенной к точке на линии раздела сред, и к внутренней точке одной из полуплоскостей. При этом выясняется, что в последнем случае комплексные потенциалы имеют особенность не только в точке приложения силы, но и в точке, симметричной ей относительно линии раздела сред. Исследуется проблема наложения особенностей.

Решение краевых задач строится в § 3, а исследование влияния сосредоточенных сил и пар сил на КИН в вершинах трещины и включения проводится в §4.

В третьей главе рассматриваются задачи взаимодействия полубесконечной трещины с включением конечной длины (§§ 1-3) и полубесконечного включения с конечной открытой трещиной (§ 4) или системой трещин (§ 5).

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Международной конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике» (Минск, 2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2002), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2003, руководитель - профессор Маркин A.A.) и на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2003, руководитель — профессор Сильвестров В.В.).

Основные результаты, полученные в данной работе, отражены в публикациях [156-165].

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе и выносимые на защиту:

1) обоснование метода римановых поверхностей для решения задач теории упругости применительно к кусочно-однородным средам с межфазными дефектами;

2) аналитическое решение задачи о взаимодействии классической межфазной трещины, либо системы межфазных трещин, с полностью отсоединившимся от среды тонким жестким остроугольным межфазным включением при сложном нагружении;

3) аналитическое решение задачи о взаимодействии классической межфазной трещины, либо системы межфазных трещин, с полностью отсоединившимся от среды тонким жестким остроугольным межфазным включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил, приложенных на линии раздела сред и во внутренних точках упругих полуплоскостей;

4) аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечной межфазной трещины с полностью отсоединившимся от среды межфазным включением;

5) аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечного отсоединившегося межфазного включения с одной или несколькими открытыми межфазными трещинами;

6) аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений и их графики в перечисленных выше случаях.

Заключение

1. Акопян В.Н. Об одной смешанной задаче для составной плоскости, ослабленной трещиной // Известия АН Армении. Механика. 1995. Т. 48. С. 57-65.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Механика твердого тела. 2001. № 1. С. 86-93.

3. Александров В.М., Сумбатян М.А. Периодическая система трещин на границе контакта двух полуплоскостей // Труды III Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 1. Ростов-на Дону: ООО «МП Книга», 1997. С. 26-29.

4. Антипов Ю.А. Трещина на линии раздела сред при наличии сухого трения // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 2. С. 290-306.

5. Антипов Ю.А. Отслоившееся включение в случае сцепления и проскальзывания // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 4. С. 669-680.

6. Антипов Ю.А., Моисеев Н.Г. Точное решение плоской задачи для составной плоскости с разрезом, пересекающим линию раздела сред // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 662-671.

7. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 6. С. 1005-1017.

8. Бакиров В.Ф., Гольдштейн Р.В. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины на границе соединения двух материалов // Препринт. Институт проблем механики РАН. 1998. № 620. С. 1-18.

9. Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. О расклинивании хрупких тел // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 4. С. 667-682.

10. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова думка, 1983.288 с.

11. Ванин Г.А. Локальные разрушения в волокнистых средах // Механика композитных материалов. 1982. № 4. С. 618-625.

12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

13. Голубев В.В. К теории течений на двулистной поверхности Римана // Труды по аэродинамике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1957. С. 688-718.

14. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Морозова Т.М. Равновесие системы разрезов при образовании на них областей налегания и раскрытия // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 672-678.

15. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Механика твердого тела. 2001. № 1. С. 94-112.

16. Грилицкий Д.В. Об упругом равновесии неоднородной пластинки с разрезом // Прикладная механика. 1966. Т.2. Вып. 5. С. 12-18.

17. Гузь А.Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. Киев: Наукова думка, 1990. 632 с.

18. Дундурс Дж., Комниноу М. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины // Механика композиционных материалов. 1979. № 3. С. 387-396.

19. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеров-ских классах на римановых поверхностях // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 1. С. 113-179.

20. Зверович Э.И. Смешанная задача теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Труды симпозиума по механикесплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси: Мецниереба, 1973. Т. 1.С. 103-114.

21. Каминский A.A., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. Линии скольжения в конце разреза на границе раздела различных сред // Прикладная механика. 1995. Т. 31, №6. С. 86-91.

22. Каминский A.A., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. Расчет пластической зоны в конце трещины в рамках модели «трезубец» // Прикладная механика. 1997. Т. 33. № 5. С. 70-76.

23. Каминский A.A., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. О модели Дагдейла для трещины на границе раздела различных сред // Прикладная механика. 1999. Т. 35. № 1.С. 63-68.

24. Корзан Л.А. Однородная смешанная задача теории упругости для полосы с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия 4>i3.-мат. наук. 1996. № 4. С. 44-49.

25. Корзан Л.А. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1997. № 1. С. 61-67.

26. Кундрат Н.М. Предельное равновесие композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т. 6. № 1. С. 103-112.

27. Кундрат Н.М. Исследование механизмов разрушения в композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т. 6. № 3. С. 333-342.

28. Кундрат Н.М. Отслоение жесткого включения в упругопластической матрице при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 1. С. 107-113.

29. Кундрат Н.М. Отслоение жесткого линейного включения при статическом нагружении // Oi3.-xiM. мех. матер. 2001. Т. 37. № 1. С. 37-40.

30. Ламбин H.B. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск: Издательство Белорусского государственного университета, 1960. 45 с.

31. Ларкина В.В., Твардовский В.В. К задаче о межфазной трещине на границе раздела двух полуплоскостей // Прикладная механика. 1987. Т. 23. № 8. С. 71-77.

32. Маркин A.A., Глаголев В.В. Моделирование процесса разделения материала // Проблемы механики неупругих деформаций: М.: Физматлит, 2001. С. 191198.

33. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

34. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

35. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511 с.

36. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // Прикладная математика и механика. 1998. гнорьт67Т. 62. № 3. С. 489-502.

37. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. О некоторых краевых задачах и их приложениях в теории упругости // Известия ВНИИ гидротехники. 1984. Т. 172. С. 7-13.

38. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. Контакт упругой плоскости с частично отслоившимся штампом // Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. Вып. 4. С. 663-673.

39. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. Давление системы штампов на упругую полуплоскость при общих условиях контактного сцепления и скольжения // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Вып. 2. С. 284-293.

40. Нуллер Б.М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 302-306.

41. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Нау-кова думка, 1991.416 с.

42. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 504 с.

43. Петрова В.Е. Взаимодействие магистральной трещины с включениями заданной ориентации // Механика композитных материалов. 1988. Вып. 3. С. 402-409.

44. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

45. Прусов И.А. Напряженное состояние в неоднородной плоскости с разрезами // Прикладная механика. 1966. Т. 2. Вып. 6. С. 11-18.

46. Прусов И.А. Упругое состояние в соприкасающихся без трения полуплоскостях со щелями на линии соприкасания // Динамика и прочность машин. № 3. Харьков. 1966. С. 37-41.

47. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наук, думка, 1988. 566 с. — Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие в 4-х томах. Т. 2.

48. Салганик Р.Л. О хрупком разрушении склеенных тел // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. № 5. С. 957-962.

49. Сильвестров В.В. Первая и вторая основные задачи теории упругости на двулистной римановой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Издательство ЧТУ, 1986. С. 111-119.

50. Сильвестров В.В. Основные задачи теории упругости на многолистной римановой поверхности // Известия вузов. Математика. 1990. № 2. С. 89-92.

51. Сильвестров В.В. Напряженно-деформированное состояние многолистных пластинчатых конструкций // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. №2. С. 124-135.

52. Сильвестров В.В. Взаимодействие макротрещины с бесконечным рядом микротрещин // Физико-химическая механика материалов. 1992. Т. 28. № 1. С. 119-122.

53. Сильвестров В.В. Кусочно-однородная упругая плоскость со счетным множеством закрытых трещин // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 133-140.

54. Сильвестров В.В. Упругая слабоизогнутая винтовая поверхность // Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 1996. № 6. С. 69-76.

55. Сильвестров В.В. Аналитическое решение задачи кавитационного обтекания системы пластинок методом римановых поверхностей // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары: Издательство ЧТУ. 1996. С. 206-221.

56. Сильвестров В.В. Система трещин на разделе упругих сред при наличии линий скольжения // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 10-й межвузовской конференции. Самара: Издательство СамГТУ, 2000. С. 153-157.

57. Симонов И.В. О дозвуковом движении края сдвиговой подвижки с трением вдоль границы раздела упругого материала // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. 3 3. С. 497-506.

58. Симонов И.В. О установившемся движении трещины с участками проскальзывания и отрыва по границе раздела двух упругих материалов // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. № 3. С. 482-489.

59. Симонов И.В. О хрупком расклинивании кусочно-однородной упругой среды // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. № 2. С. 275-283.

60. Симонов И.В. Трещина на границе раздела двух упругих сред при расклинивании // Механика твердого тела. 1985. №3. С. 105-112.

61. Симонов И.В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений // Механика композитных материалов. 1985. № 6. С. 969-976.94

62. Симонов И.В. Стационарное дозвуковое движение трещин и тонких щелей по границе составной анизотропной плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 346-359.

63. Симонов И.В. Контактные задачи расклинивания упругих тел // Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит, 2001. С. 654-667.

64. Солдатенков И.А. Контактные задачи со сцеплением и уточненным условием контакта // Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит, 2001. С. 243-254.

65. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИИЛ, 1960. 343 с.

66. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Приложение краевой задачи Римана с разрывными матричными коэффициентами //Известия ВУЗов. Математика. 1980. Вып. 2. С. 55-59.

67. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: Изд-во ТВАИУ, 1988. 378 с.

68. Хандогин В.А. Плоская задача для ортотропного тела с трещиной, нижний берег которой армирован упругой мембраной // Прикладная механика и теоретическая физика. 1998. Т. 39. № 2. С. 150-155.

69. Хандогин В.А. Смешанная задача теории трещин для антиплоской деформации // Прикладная механика и теоретическая физика. 1998. Т. 39. № 3. С. 163-172.

70. Черепанов Г.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разIрезами // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 131-137.

71. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. Вып. 5. С. 907912.

72. Черепанов Г.П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой или вдоль окружности // ДАН СССР. 1964. Т. 156. № 2. С. 275-277.

73. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

74. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.

75. Черноиван Ю.А. О расклинивании ортотропного тела // Прикладная механика. 2001. Т. 37. № 11. С.108-111.

76. Чибрикова Л.И. О методе симметрии в теории упругости // Известия вузов. Математика. 1967. № 10. С. 102-112.

77. Чибрикова Л.И. О применении римановых поверхностей при исследовании плоских краевых задач и сингулярных интегральных уравнений // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 7. Казань: Издательство КГУ, 1970. С. 2844.

78. Чибрикова Л.И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях // Математический анализ. Т. 18. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 3-66.

79. Шевельова А.Е. Про моделювання привершинних зон тродини м1ж двома ашзотропними матер1алами // OÍ3.-xím. мех. матер. 2000. Т. 36. № 2. С. 33-40.

80. Antipov Y.A., Avila-Pozos О., Kolaczkovski S.T., Movchan A.V. Mathematical model of delamination cracks on imperfect interface // International Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. P. 6665-6697.

81. Antipov Y.A., Silvestrov V.V. Factorization on a Riemann surface in scattering theory // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2002. V. 55. Pt. 4. P.607-654.

82. Asundi A., Deng W. Rigid inclusion on the interface between dissimilar anisotropic media // Journal of Mechanics and Physics of Solids. 1995. V. 43. № 7. P. 1045-1058.

83. Atkinson C. The interface crack with a contact zone (an analytical treatment) // International Journal of Fracture. 1982. V. 18. P. 161-177.

84. Atkinson C. The interface crack with a contact zone (the crack of finite lenght) // International Journal of Fracture. 1982. V. 19. P. 131-138.

85. Atkinson C., Graster R.V. Theoretical aspects of fracture mechanics // Progr. Aerosp. Sci. 1995. V. 31. № 1. P. 1-83.

86. Audoly B. Asymptotic study of the interfacial crack with friction // Journal of Mechanics and Physics of Solids. 2000. V. 48. P. 1851-1864.

87. Ballarini R. A rigid line inclusion at a bimaterial interface // Engineering Fracture Mechanics. 1990. V. 37. P. 1-5.

88. Ballarini, R. A certain mixed boundary value problem for bimaterial interface // International Journal of Solids and Structures. 1995. V. 32. № 3-4. P. 279-289.

89. Berger J.R., Tewary V.K. Boundary integral equations formulations for interface crack in anisotropic materials // Comput. Mech. 1997. V. 20. № 3. P. 261-266.

90. Bjerken Ch., Persson Ch. A numerical method for calculating stress intensity factors for interface cracks in bimaterials // Engineering Fracture Mechanics. 2001. V. 68. P. 235-246.

91. Boniface V., Simha K.R.Y. Re-examination of crack opening model on interface fracture // Engineering Fracture Mechanics. 1999. V. 64. P. 677-691.

92. Chang J.N., Wu D.J. Calculation of mixed-mode stress intensity factors for a crack normal to a bimaterial interface using contour integrals // Engineering Fracture Mechanics. 2003. V. 70. P. 1675-1695.

93. Chao C.K., Shen M.N. Circular-arc inclusion at isotropic bimaterial interface // AIAA Journal. 1995. V. 33. № 2. P. 332-339.

94. Chau K.T., Wang Y.B. Singularity analysis and boundary integral equation method for frictional crack problems in two-dimensional elasticity // International Journal of Fracture. 1998. V. 90. № 3. P. 251-274.

95. Chen Y.Z. Interaction between cracks and rigid lines in an infinite plate // Acta Mechanica. 1993. V. 101. P. 15-29.

96. Comninou M. An overview of interface cracks // Engineering Fracture Mechanics. 1990. V. 37. № 1. P. 197-208.

97. Deng X. Plane strain near-tip fields for elastic-plastic interface cracks // International Journal of Solids and Structures. 1995. V. 32. № 12. P. 1727-1741.

98. Dundurs J., Gautesen A.K. An opportunistic analysis of the interface crack // International Journal of Fracture. 1988. V. 36. P. 151-159.

99. Elata D. On the problem of rigid inclusions between two dissimilar elastic halfspaces with smooth surfaces // International Journal of Solids and Structures. 1999. V.36. P. 2633-2636.

100. England A.H. A crack between dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 400-402.

101. Erdogan F. Stress distribution in non-homogeneous elastic plane with cracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1963. V. 30. № 1. P. 232236.

102. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials with cracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 403-410.

103. Erdogan F., Gupta. G.D. Stress near a flat inclusion in bonded dissimilar materials // International Journal of Solids and Structures. 1972. V. 8. P. 533-547.

104. Gautesen A.K., Dundurs J. The interface crack in a tension field // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1987. V. 54. P. 93-98.

105. Gautesen A.K., Dundurs J. The interface crack under combined loading // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1988. V. 55. P. 580-588.

106. Goldstein R., Perelmuter M. Modeling of bonding at an interface crack // International Journal of Fracture. 1999. V. 99. P. 53-79.

107. Guz A.N., Guz I.A. Analytical solution of stability problem for two composite half-planes compressed along interfacial cracks // Composites. Part B. 2000. V.31.P. 405-418.

108. Han X., Ellyin F., Xia Z. Interaction among interface, multiple cracks and dislocations // International Journal of Solids and Structures. 2002. V. 39. P. 1575-1590.

109. Herrmann K.P., Loboda V.V., Govorukha V.B. On contact zone models for an electrically impermeable interface crack in a piezoelectric bimaterial // International Journal of Fracture. 2001. V. 111. P. 203-227.

110. Homulka Th.A., Keer L.M. A mathematical solution of a special mixed-boundary-value problem of anisotropic elasticity // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1995. V. 48. P. 635-658.

111. Hu K.X., Chandra A. Interaction among general system of cracks and anticracks: an integral equation approach // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1993. V. 60. P. 920-928.

112. Hui F. Interfacial Zener-Stroh crack // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1994. V. 61. № 4. P. 829-834.

113. Hwu C. Explicit solutions for collinear crack problems // International Journal of Solids and Structures. 1993. V. 30. P. 301-312.

114. Keer L.M. Mixed boundary value problems for a penny-shaped cut // Journal of Elasticity. 1975. V. 5. № 2. P. 89-98.

115. Leguillon D.L. Interface crack tip singularity with contact and friction // C. R. Acad. Sci. Paris, 1999. t. 327, Serie II b, p. 437-442.

116. Loboda V.V. Analytical derivation and investigation of the interface crack models // International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35. № 33. P. 4477-4489.

117. Lowengrub M. A pair of coplanar cracks at the interface of two bonded dissimilar elastic half planes // International Journal of Engineering Science. 1975. V. 13. P. 731-741.

118. Malyshev B.M., Salganik R.L. The strength of adhesive joints using the theory of cracks // International Journal of Fracture. 1965. V. 1. P. 114-118.

119. Markenscoff X., Ni L., Dundurs J. The interface anticrack and green's functions for interacting anticrack and cracks/anticracks // Journal of Applied Mechanics. 1994. V.61.P. 797-802.

120. Markenscoff X., Ni L. The debonded interface anticrack // Journal of Applied Mechanics. 1996. V. 63. P. 621-627.

121. Miller G.R., Young R.P. On singular solution for inclusion problem in plane elasticity // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1987. V. 54. P. 738-740.

122. Mishuris G. Interface crack and nonideal interface concept // International Journal of Fracture. 2001. V. 107. P. 279-296.

123. Noda N.A., Oda K. Interaction effect of stress intensity factors for any number of collinear interface cracks // International Journal of Fracture. 1997. V. 84. P. 117128.

124. Petrova V. Interaction between a main crack and inclusions at shear stress state // IUTAM Symposium on Microstructure-Property Interactions in Composite Materials. Kluwer Academic Publishers. Netherlands. 1995. P. 277-287.

125. Petrova V., Tamuzh V., Romalis N. A survey of macro-microcrack interaction problems // Applied Mechanics Revue. 2000. V. 53. № 5. P. 117-158.

126. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interaction of interfacial arc cracks // International Journal of Fracture. 2002. V. 117. P. 39-62.

127. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interface crack around circular inclusion: SIF, kinking, debonding energetics // Engineering Fracture Mechanics. 2003. V. 70. P. 285307.

128. QianW., Sun C.T. Methods for calculating stress intensity factors for interfacial cracks between two orthotopic solids // International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35. № 25. P. 3317-3330.

129. Qing R.Ch. Finite strain singular field near the tip of a crack terminating at a material interface // Math, and Mech. Solids. 1997. V. 2. № 1. P. 49-73.

130. Raju I.S., Dattaguru B. Review of methods for calculating fracture parameters for interface crack problems // Computational Mechanics 95. Springer-Verlag. Hie-delberg. 1995. P. 2020-2026.

131. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 418-423.

132. Rice J.R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1988. V. 55. № 1. P. 98-103.

133. Rodin Yu.L. The Riemann Boundary Problem on Riemann Surfaces. Dordrecht: Kluwer, 1988. 199 p.

134. Rubinstein A.A. Remarks on macrocrack-microcrack interaction and related problem // International Journal of Fracture. 1999. V. 96. P. L9-L14.

135. Sih G.C., Chen E.P. Cracks in composite materials: A compilation of stress solutions for composite systems with cracks. London etc.: Martinus Nijhoff publishers, 1981. 538 p.

136. Shin D.K., Lee J.J. Fracture parameters of interfacial crack of bimaterial under the impact loading // International Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. P. 5303-5322.

137. Simonov I.V. An interface crack in an inhomogeneous stress field // International Journal of Fracture. 1990. V. 46. P. 223-235.

138. Simonov I.V., Karihaloo B.L. When does an adhesively bonded interfacial weak zone become the nucleus of a crack? // International Journal of Solids and Structures. 2000. V. 37. P. 7055-7069.

139. Srivastava K.N., Palaiya R.M., Ghoudhaiy A. System of Griffith cracks lying at the interface of two bonded dissimilar elastic half-planes // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 1979. V. 10. P. 633-645.

140. Sun S.T., Qian W. A treatment of interfacial cracks in the presence of friction // International Journal of Fracture. 1998. V. 94. P. 371-382.

141. Suo Zh., Hutchinson J.W. Interface crack between two elastic layers // International Journal of Fracture. 1990. V. 43. P. 1-18.

142. Theotokoglou E.E. Bonded cracked half-planes with an interface and an intersecting crack // International Journal of Fracture. 1999. V. 98. № 3-4. P. 361-367.

143. Theotokoglou E.N., Theotokoglou E.E. The interface crack along a circular inclusion interacting with a crack in the infinite matrix // International Journal of Fracture. 2002. V. 116. P. 1-23.

144. Tian W.-Y., Chen Y.-H. Interaction between an interface crack and subinterface microcracks in metal/piezoelectric bimaterials // International Journal of Solids and Structures. 2000. V. 37, № 52, pp. 7743-7757.

145. Wang W. A boundary integral equation method of plane problems of interface cracks in elastic bimaterials // Journal of Lanzhou University. Natural Sciences. 1995. Vol. 31. № l.P. 14-21.

146. Wijeyewickrema A.C., Dundurs J., Keer L.M. The singular stress field of a crack terminating at a frictional interface between two materials // Trans. ASME. Journal of Appl. Mech. 1995. V. 62. № 2. P. 289-293.

147. Williams M.L. The stress around a fault of crack in dissimilar media //Bull. Seis-mol. Soc. America. 1959. V. 49. № 2. P. 797-809.

148. Willis J.R. Fracture mechanics of interfacial crack // Journal of Mechanics and

149. Physics of Solids. 1971. V. 19. P. 353-368.102

150. Willis J.R. The penny-shaped crack on an interface // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1972. V. 25. P. 367-385.

151. Wu K.C. Line inclusions at anisotropic bimaterial interface // Mechanics and Materials. 1990. V. 10. P. 173-182.

152. Wu M.S., Zhou H. Interaction of kinked interfacial crack // International Journal of Solids and Structures. 1999. № 36. P. 241-268.

153. Zhang M.-H., Tang R.-J. Interaction between crack and elastic inclusion // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1995. V. 16. № 4. p. 307-318.

154. Zhao L.G., Ma H., Chen Y.H. Interaction of a semi-infinite interface crack and multiple finite interface cracks // International Journal of Fracture. 1996. V. 76. P. R29-R35.

155. Сильвестров B.B., Ярдухин A.K. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: М.: Физматлит, 2001. С. 301-313.

156. Ярдухин А.К. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. Минск: УП "Технопринт", 2001. С. 510-514.

157. Ярдухин А.К. Система трещин и отслоившееся включение на линии раздела сред // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XII межвузовской конференции, ч. 1. Самара: СамГТУ, 2002. С. 220-224.

158. Ярдухин А.К. Кусочно-однородная среда с полубесконечными межфазными дефектами различной природы // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XIII межвузовской конференции, 4.1. Самара: СамГТУ, 2003. С. 220-222.

159. Ярдухин А.К. Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки».• Самара: изд-во СамГТУ, 2003. С. 173-177.