Статические трехмерные задачи для неограниченных и полуограниченных упругих тел, ослабленных системами плоских трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1.РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА,ОСЛАЫЕННОГО

СИСТЕМОЙ ПЛОСКИХ ТРЕЩИН

1.1. Постановка задачи и вывод интегральных уравнений

1.2. Построение асимптотических решений

1.3. фвновесие предварительно напряженного упругого тела, ослабленного плоской эллиптической трещиной.

1.4. численные результаты исследования.

2.РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ТРЕЩИНАМИ, ЛЕЖАЩИМИ В ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОМ К ЕГО ГРАНИЦЕ.

2.1. Постановка задачи и вывод интегральных уравнений

2.2. Система трещин в упругом полупространстве; асимтоти-ческое решение задачи.

2.3. Асимптотические оценки в случае малых относительных расстояний и численный анализ результатов.

3.РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО СЛОЯ, ОСЛАБЛЕННОГО ПЛОСКИМИ

ТРЕЩИНАМИ.

3.1. Постановка задачи, свойства ядра интегрального уравнения.

3.2.Построение решения интегрального уравнения в случае больших относительных толщин слоя.

3.3. Построение решения в окрестности контура трещины при малых значениях относительной толщины слоя

3.4. Метод последовательных приближений

3.5. вариационный метод решения интегрального уравнения

З.б. Равновесие упругого слоя, ослабленного прямоугольной трещиной.Ю

3.7. Анализ и сопоставление численных результатоы исследования.ЮЗ

4. ОДНОСТОРОННЯЯ ТРЕЩИНА НА ЖЕСТКОМ ВКЛЮЧЕНИИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОМ

ГРАНИЦЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА.ИЗ

4.1. Постановка и вывод системы интегральных уравнений задачи.ИЗ

4.2. Круговое отслоившееся включение (задача об отрыве)

4.3. Круговое отслоившееся включение -(задача о кручении)

Современный уровень развития техники, как известно, характеризуется значительным увеличением габаритов конструкций, применением новых, все более прочных материалов. При этом наиболее высокие требования предъявляются к повышению надежности работы круп негабаритных и высоконагруженных конструкций, в частности, эле ментами, подверженными наиболее интенсивным нагрузкам, как правило, являются сварные соединения (см, например Гз,35|37] В процессе проведения сварочных работ в металле шва, а также в местах перехода от сварного шва к основному металлу зачастую появляются шлаковые включения, непровары, поры и трещины, каждый из перечисленных дефектов в процессе эксплуатации конструкции может вырасти в трещину, что, как правило, и приводит к усталостному или хрупкому разрушению сварного соединения. Нормы контроля качества сварных соединений, помимо размера дефекта, регламентируют в некоторых случаях допустимую частоту их расположения, причем некоторые нормы оговаривают величину расстояния между одиночными дефектами, а также глубину их расположения, другие определяют допустимое количество одиночных дефектов на участке шва заданной протяженности. Очевидно, одной из основных целей, которые преследует такая регламентация, является устранение взаимного влияния трещиноподобных дефектов на прочность конструкции. Одним из важнейших аспектов механики хрупкого разрушения является исследование напряженно-деформированного состояния около трещин в деформируемых твердых телах, а также критерии распространения трещины в таком теле при заданном поле внешних воздействий, следует отметить, что процесс хрупкого разрушения реальных деталей является достаточно сложным и наиболее точное его описание можно получить только в трехмерной постановке.таким образом, исследование напряженного состояния трехмерных тел, ослабленных трещинами, в настоящее время является весьма актуальным, при этом особый интерес в исследовании указанных задач представляет определение коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины как одной из важнейших характеристик механики разрушения, К первым работам по исследованию предельного равновесия изотропного твердого тела, ослабленного трещиной, следует отнести работы А.А.ГРИффитса, Р.А.Сакка, Е.О.Орована, Д.Р.Ирвина.Сакк [9] при решении задачи о равновесии трехмерного тела, ослабленного дискообразной трещиной, подвергнутого на бесконечности равномерному растяжению, воспользовался энергетическим критерием Гриффитса [84] Сущность энергетического критерия заключается в следующем: распространение трещины в хрупком теле начинается в том случае, когда скорость высвобождения энергии упругой деформации в процессе ее распространения превысит прирост поверхностной энергии трещины. Дальнейшее обобщение энергетического критерия Орованом [93] дало возможность распространить теорию Гриффитса на металлические материалы. Однако, поскольку решение пространственных задач в рамках энергетического критерия наталкивается на существенные технические трудности, Орваном [88] был предложен силовой критерий и показана его эквивалентность энергетическому, Основной принцип силового критерия заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений в окрестности контура трещины в момент локального разрушения в данной точке контура равен некоторой постоянной материала, характеризующей его трещиностойкость, в дальнейшем л.И.Слепян [зб] показал, что энергия,необходимая для разрыва связей, определяет лишь нижнюю для крити ческого значения высвобождающейся энергии. Однако, для случая статических задач, указанная нижняя граница близка к верхней, и при фиксированном типе деформаций эквивалентность критериев силового и энергетического следует понимать в том смысле, что энергия, выделяющаяся в результате роста трещины, непосредственно связана с асимптотикой поведения напряжений у ее контура, Кроме этого, как показано в [581 значение энергетического критерия достаточно велико и в связи с тем, что на поток энер гии в край трещины не влияют искажения, вносимые линеаризацией соотношений теории упругости. В предлагаемой диссертационной работе вопрос о прочности трехмерного упругого тела, ослабленного плоскими трещинами, рассматривается с позиций силового критерия, в связи с этим рассмотрен ряд задач о равновесии изотропного упругого пространства, полупространства, слоя, ослабленных системами компланарных трещин. Каждая из указанных задач сводится к решению сингулярного интегрального уравнения, решения которых строятся асимптотическими и численными методами. В последние два десятилетия появилось значительное число работ, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния трехмерных тел, ослабленных плоскими трещинами и определе нию коэффициента интенсивности напряжений в окрестности контура. так, задачи о равновесии упругого пространства, содержащего плоский эллиптический разрез, при различных условиях загружения рассматривали А.Е.Андрейкив, р.в.Гольдштейн, в.И.Моссаковский, В.М.ЕнтоБ, Г.С.Кит, В.В.Панасюк, Ю.Н.Подильчук, Г.П.Черепанов, и др. Среди работ названных авторов следует указать 39,45,9, 50,74,19,1з] также указанные задачи рассматривались в работах целого ряда зарубежных авторов [54, 86, 88, 89, 97, 28, 83, 99, 102] В этих работах рассмотрены различные случаи нормальных, касательных и смешанных нагрузок, приложенных к берегам трещин. определению криотческих нагрузок для случаев трещин, форма которых в плане близка к круговой, посвящены работа 39,4, 43, 46, Зб] целый ряд работ советских и зарубежных авторов посвящен рассмотрению задач о прямоугольных трещинах в упругом пространстве,Среди них следует отметить исследование задачи вариационно-разностным методом 22] а также результаты для случая квадратной трещины 9,12,79,Юб] Распределение напряжений в окрестности контура трещины изучено в результате решения соответствующих сингулярных интегральных уравнений. особое место в теории пространственных задач для тел с трещинами занимают задачи о равновесии тел, подвергнутых предварительной конечной деформации. Цикл работ, посвященных этим задачам принадлежит А.Н.Гузю[2б, 2?] В [2?] например, для случая двустороннего равномерного предварительного растяжения в плоскости трещины установлено изменение коэффициента интенсивности напряжений в неогуковском бесконечном теле при произвольном контуре трещины, в работе Л.М.Филипповой 72,73]рассмотрена модель несжимаемого изотропного материала общего вида. Коэффициенты предварительного растяжения, как и в работе 27] в обшх направлениях предполагаются равными. Кроме этого, зарубежными авторами рассмотрены задачи о предварительной двухосной[87] и радиальной [95] деформации тела с дискообразной трещиной, В этих задачах рассмотрены также различные модели несжимаемых тел, в каждом из рассмотренных случаев решение проводится путем линеаризации около состояния предварительной конечной деформации.Большой практический интерес представляют задачи об односторонних трещинах, образованных в результате отслоения среды от плоского жесткого включения, основные результаты по пространственным задачам теории упругости об отслоившемся жестком включении принадлежат Г.Я.Попову. В частности, в монографии[52] получена система интегро-дифференциальных уравнений задачи о включении произвольной в плане формы в упругом пространстве, получены аналитические решения для случаев отрыва и кручения кругового отслоившегося включения. При построении решения автор пользуется методом ортогональных многочленов. значительное количество работ отечественных и зарубежных авторов посвящено изучению взаимного влияния трещин, лежащих в одной плоскости упругого пространства, В частности, задача о равновесии упругого пространства, ослабленного двумя дискообразными трещинами рассматривалась в работах А.Ф.Улитко [7о"] А.Е.Андрейкива, В.В.Панасюка и В.Д.Коллинза [soj и др., в предположении, что относительное расстояние между трещинами достаточно велико, в работе и результат получен как частный случай задачи для произвольного числа круговых линий

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предметом данной работы явились постановка и решение цикла не изученных ранее задач о равновесии упругих трехмерных тел, ослабленных плоскими трещинами. В качестве моделей таких тел выбраны пространство, полупространство и слой« Рассмотрены вопросы взаимного влияния систем трещин*

При выводе интегральных уравнений задач дальнейшее разви -тие получил метод обобщенных интегральных преобразований,, в работе сделана попытка осуществить единый подход к решению рассмотренных задач.

В каждом конкретном случае задача сведена к интегральному уравнению первого рода, ядро которого состоит из суммы сингулярной и регулярной частей. При этом сингулярная часть ядра соответствует задаче о равновесии упругого пространства, ослабленного изолированной плоской трещиной, регулярная часть в каждом конкретном случае характеризует влияние близлежащих трещин или границ тела на характер распределения напряжений.

При построении решений полученных интегральных уравнений были использованы известные асимптотические методы, метод ортогональных многочленов, метод последовательных приближений, а также метод Ритца с предварительным выделением особенности.

Рассмотрены задачи для эллиптической и прямоугольной форм трещин. Получены выражения и исследованы особенности поведения коэффициентов интенсивности нормальных напряжений в окрестности контуров трещин, являющихся на данное время одной из важнейших характеристик прочности материалов, указаны диапазоны изменения геометрических параметров, в которых каждое из построенных решений дает достаточную для практики , точность,

В ряде случаев решения получены в виде достаточно простых формул, удобных для практического применения. Проведен численный анализ рассмотренных задач при различных значениях параметров.

Задачи, рассмотренные в приложениях, свидетельствуют о том, что методы, получившие дальнейшее развитие в данной работе, могут быть с успехом применены и при решении контактных и динамических задач для тел с разрезами,

В результате внедрения некоторых результатов работы в производство получен существенный экономический эффект.

1. Александров А*Я*, Зиновьев Б«М. Приближенный метод решения плоских и пространственных задач теории упругости для телс армированными элементами и разрезами,- в кн.¡Механика деформированных тел и конструкций. М.¡Машиностроение, 1975, с.15-25.

2. Александров В.М. Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого сдоя.-Прикл.математика и механика,1969,т.33, § I, с.61-73.

3. Александров В.М. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики.-Прикл. математика и механика, 1967, т.31» 6, С.Ш7-П31.

4. Александров В.М. К решению одного типа двумерных интегральных уравнений.-Прикл.математика и механика, 1964, т.28, $ 3, с.579-581.

5. Александров В.М. К теории равновесных трещин в упругом слое,-В кн.: концентрация напряжений, 1965, с.39-45.

6. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости,- Прикл.математика и механика, 1968, т«32, * 4, с.672-683.

7. Александров В.М., Ворович й.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины.- Прикл,математика и механика, 1960» т.24, * 2, с.323-334.

8. Александров В.М,,Сметанин Б.И. Равновесная трещина в слое малой толщины,- Прикл.математика и механика, 1965, т.29, $ 4, с.782-785.

9. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин.- Киев: Наук.думка, 1982, 348 с.

10. Андрейкив А.Е. упругое равновесие неограниченного тела,ослабленного системой произвольно ориентированных круговых 1 трещин,-физ.-хим.механика материалов, 1979, I5 I, с.76-78.

11. Андрейкив А.Е., Панасюк В.В. Упругое равновесие тела, ослабленного системой круговых трещин, расположенных вдоль одной плоскости,- Докл.АН СССР, 1971, т.197, 2,с.312-314.

12. Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Распространение плоской трещины с кусочно-гладким контуром,- Прикл.механика, 1974, т.10, с,50-56.

13. Бородачев А.Н. Определение коэффициентов интенсивности температурных напряжений для плоской эллиптической трещины в неограниченном упругом теле. Прикл.механика, 1981» т.17, £ 2, с.83-88.

14. Брнчков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

15. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М.: Наука, 1974.- 456 с.

16. Ворович И.2.,Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей.- М.:Наука,1979.- 320 с.

17. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупру-гости. М.:Наука, 1980. 304 с.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи,- М.:Наука, 1977. -640 с.

19. Гольдштейн Р,В. К пространственной задаче теории упругости для тел с плоскими трещинами произвольного разрыва.-М., 1979.-64с.-(Препринт / АН СССР. Ин-т проблем механики:№122).

20. Гольдштейн Р.В. Некоторые вопросы механики квазихрупкого разрушения конструкций,- в кн.: Механика твердого деформируемого тела и расчет конструкций. Ташкент: ФАН, 1979,с. 19-28.

21. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Вариационные оценки для коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва.- Изв. АН СССР, МТТ, Ь 3, с.59-64.

22. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.М. Изопериметрические неравенства и оценки некоторых интегральных характеристик решения пространственной задачи теории упругости для тела с плоскими трещинами нормального разрыва.- Изв. АН СССР, МТТ, 1980, * 2, с.68-79.

23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.:Наука, 1971.- 1108 с.

24. Гузь А.Н. О представлении общих решений линеаризованной теории упругости несжимаемых тел. -Докл. АН УССР, Сер.А, 1975, Ш 12, с.1092-1096.

25. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (пространственные статические задачи). -Прикл. механика, 1981, т.17, * 6, с.3-20.

26. Кассир С.И. ^РехмеРн°е распределение напряжений вокруг эллиптической трещины при произвольном нагружении.-Тр.Амер.о-ва инженеров-механиков, Сер. Е, 1966. т. 33 £ 13 с .141-154.

27. Кит Г .С., Хай М.В.Интегральные уравнения пространственных задач термоупругости для тел с трещинами.- Докл. АН УССР, Сер. А, 1975, * 8, с.704-707.

28. Кузьмин ю.Н., Осесимметричная деформация упругого слоя, содержащего соосные щели.- Изв. АН СССР, МТТ, 19721 ^ в, .с, 12I—130.

29. Кузьмин ю.Н., Уфлянд Я.С. Осесимметричная задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью.- Прикл.математика и механика, 1965, 29, $ 6, C.II32-II37.

30. Лаушник й.П. Взаимодействие эллиптических термоизолированных трещин в бесконечном теле.- Мат.методы и физ.-мех.поля, 1981, * 17, с.57-63.

31. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука. 1970, 940с.

32. Лукьянов В.Ф., Сигаев A.A.,Напрасников В.В., Соболь Б.В. Концентрация напряжений возле дефектов формы сварных цилиндрических обечаек и труб. В кн.:Пути повышения экономичности и качества сварочного производства. Ростов-на-Дону: РИСХМ, 1979, C.I07-II4.

33. Мартыненко М.Д. Некоторые пространственные задачи о равновесии упругого тела, ослабленного трещиной.-Прикл.механика, 1970, т.б, * 10, с.84-88.

34. Махутов H.A. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разрушению.- М.: Машиностроение", 1973, 200с.38* Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-N«; Наука, 1970 , 514 с.

35. Моссаковский В.И., Моссаковская р.л. Прочность упругого пространства, ослабленного плоской трещиной, близкой к круговой, Гидроаэромеханика и теория упругости,1977, S 22, с.56-74. .

36. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы,- М.:На-ука, 1969,- 526с.

37. Новожилов В.В. К основам равновесных трещин в упругих телах,- Прикл.математика и механика, 1969, т.33, * 5, с.797-812.

38. Пальцун Н.В. Напряжения в упругом слое, ослабленном двумя круглыми щелями.-Прикл.механика, 1968, т.З, & 2, с.62-70.

39. Панасюк в.В. Некоторые пространственные задачи теории равновесных трещин в деформируемом хрупком теле.-1урн.прикл. механики и техн.физики, 1962, i б, с.85-93.

40. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.- внев: Наук.думка, 1968. 246с.

41. Панасюк В.В.»Андрейкив А.Е. Предельно-равновесное состояние неограниченного хрупкого тела с произвольно ориентированной эллиптической трещиной.- физ.-хим. механика материалов, 1969, т.6, » I, с.116-118.

42. Панасюк В.В. Дмитрах Н.Д. О предельном равновесии трехмерного тела с внутренней плоской трещиной, имеющей в плане форму овала,- Прикл.механика, 1969, т.5, $ 5, C.I07-III.

43. Панасюк В.В.,Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках.-Киев: Наук. 1 думка, 1976.- 445 с.

44. Подильчук Ю.Н. Плоская эллиптическая трещина в произвольном однородном поле напряжений.- Прикл.механика, 1968, т.4, Ь 8, с.94-100.

45. Попов Г.Я. Об одном способе решения задач механики для областей с разрезами или тонкими включениями.-Прикл.матема-тика и механика, 1978, т,42, $ I с,122-135.

46. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений.- М.:Наука,1982.-344с.

47. Попов Г.Я., Шумихин С.А. Концентрация напряжений в неограниченной упругой среде возле круговых трещин, лежащих в одной плоскости,- в кн.Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: ДГУ, 1979, с.168-173.

48. Пэрис.П.,Си Д. Анализ напряженного состояния около трещин.-В кн.прикладные вопросы вязкости разрушения. М.:Мир,1968, с. 64-142.

49. Развитие теории контактных задач в СССР.-М.:Наука, 1976, -493с.

50. Разрушение Т2 М.:Мир, 1975.- 764 с.

51. Салганик р,л. Об осесимметричных трещинах продольного сдвига,- Нурн.прикл.механики и техн.физики, 1962, Ш 3,с.77-80.

52. Слепян л «И. Механика трещин,- Л.'.Судостроение, 1981.-296с.

53. Сметанин Б.И. Две щели в полосе конечной толщины.-Прикл, математика и механика, 1970, т.34, 8 2, с.366-369.

54. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое.- Изв.АН СССР, МТТ» 1968, »2, с.115-1222.

55. Сметанин Б.И.,Соболь Б.В. Растяжение упругого полупространства с трещиной, расположенной перпендикулярно к его поверх-ности.-Прикл,математика и механика, 1981, т,45, ® 5,с.940--943.

56. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. О практической реализации метода Ритца решения интегральных уравнений смешанных задач теории упругости.- В кн.: школа-семинар "Теория упругости и вязкоупругости" (Ереван, 1982г.):Тез.докл.-Ереван: АН Арм. ССР, 1982, с.64-65.

57. Соболь Б.В. Равновесие упругого пространства, ослабленного системой плоских трещин.-Изв.СКНЦ ВШ, Естеств.науки, 1984, » I, с.47-51.

58. Соболь Б.В. Смешанная задача теории упругости для полупространства с двумя симметричными эллиптическими областями раздела граничных условий.-Ростов-на-Дону, I98I.-8C.

59. Рукопись предст.ростов.инж.-стршт.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 27 июля 198I, * 3776-81.

60. Стадник М.М. О разрушении трехмерного хрупкого тела, ослабленного внутренней плоской трещиной.-Прикл.механика, 1973, т.9, * 4, с.I17-120.

61. Тихонов А.Н., Самарский A.A. уравнения математической физики.- М.:Наука, 1966. 736 с.

62. Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного двумя круговыми трещинами, расположенными в одной плоскости.- в кн.: Концентрация напряжений. Киев: Наук.думка, 1968, * 2, с.201-208.

63. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.- Л.:Наука, 1968. 404 с.

64. Филиппова JI.M. Пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела.-Прикл.математика и механика, 1978. т.43, $ 6, с.1080-1084.

65. Филиппова л.М. О раскрытии круглой трещины в предварительно напряженном упругом теле.-В кн.: II Всесоюзная конференция "смешанные задачи механики деформируемого тела". (Днепропетровск, 1981г.): тез.докл.-Днепропетровск: ДГУ, 1981» с.80.

66. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения.- М.:Наука, 1974.- 640с.

67. Янке Е., Эмде Ф., Леш ф. Специальные функции.- М.:Наука, 1977, 342с.

68. Bazant Z. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: A general numerical method.-Int.J.Eng.Sci.,1974*12,p.221-243.

69. Cartwrigh D. J.,Rook D.P. Evaluation of stress intensity factor.- J. Strain Anal. , 1 975#'v. 10,N4tp, 217-227.

70. Browning V/.M.¿Smith F.W. An analysis technique for complex three-dimensional crack problems.-Theor.and Appl.Mech.fv.8,' p. 141-150

71. Bui H. D. An integral equations method for solving the problem of a plane crack of arbitrary shape.-J.Mech.and Phyys.Solids» 197 7» N2 5 » p. 2 9-3 9 .

72. Collins W.D. Some complanar punch and crack problems in three-dimensional elastostatics.-Proc.Roy.Soc.A, 1963, v. ^74,N13 53,p. 507-528.

73. Bhawan G.K.The distribution of stress in the vicinity of an external crack in an infinite thick plate.-Acta mech.,1973, v. 16,N3 /4»p.225-270,

74. Deverall La Mar I.,Lindsey Gerald H.A comparison of numerical methods for determining stress intensity factors.-Trans.ASME. D.1972,v.94,N2,p. 508-503.

75. Green A.E., Sneddon I.N.The distribution of stress in the neigbourhood of a flat elliptical crack in an elastic solid.-Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 46,p.159-163.

76. Griffith a.A. The phenomenon of rupture and flow in solids.

77. Phil. Trans. Soc, A, 1920,N221, p.163-198.

78. Koiter W.T. Apporoximate solution Wiener-Hopf type integral equations with applicasions, pt.I-III.-Proc.Kon.Ned.

79. Akad. Wett. B,1954,v.57,N5,p.558-579.92,Nisitanni A., Mukarami Y. Stress intensity factors of an elliptical crack or a semi-elliptical crack subjected to tension.-Int. J. Pract., 1974,v.10,N3,p.353-368.

80. Orowan R.0. ~ Trans. Inst. Eng. Shipbuild.,* Scotland, 1945, v. 89,p.165.

81. Weaver J. Thrree-dimensional crack analysis,- Int. J. Solids and Struct., 1977»v.13,;N4»p.321-330.

82. Yamato T., Tokuda M., Sumi Y. Finite element treatment of sirigularhties of boundary value problems and its applicationto analysis of stress intensity factors.- In: Theory and pract. finite Elem, Structur.Anal,Tokyo,' 1973#p. 75-90.