Динамические задачи теории упругости для полуограниченных сред при наличии неоднородностей различной природы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Смирнова Алла Васильевна

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУ ОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД ПРИ НАЛИЧИИ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ПРИРОДЫ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Краснодар 2005

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научные консультанты:

академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Бабешко Владимир Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор

Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты:

академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Морозов Никита Федорович

доктор физико-математических наук, профессор

Калинчук Валерий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Селезнев Михаил Георгиевич

Ведущая организация

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ростовский государственный университет г. Ростов-на-Дону

Защита состоится «18» ноября 2005 г. в 13-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан

«10» октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Евдокимов А.А.

щглзе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Многие научно-технические проблемы связаны с изучением закономерностей динамических процессов в средах, обладающих как сложными физико-механическими свойствами, так и неоднородной структурой. Одна из актуальных фундаментальных проблем - проблема оценки сейсмичности литосферных плит и прогноза землетрясений приводит к необходимости создания методов анализа напряжённо-деформированного состояния с позиции механики разрушения с учетом связности механических, электромагнитных и тепловых факторов, а также с учетом наиболее распространенных видов неоднородностей или дефектов - включений и трещин, присущих слоистым структурам.

Проблема оценки сейсмичности в теоретической части соприкасается практически со всеми разделами современной механики, термодинамики, физики твердого тела, геофизики. Специфика проблемы состоит в том, что в задачах сейсмичности воедино переплетаются такие факторы, влияющие на прочность и разрушение литосферных плит, как сложная геометрия тел с неоднородностями, в том числе разной размерности и гладкости, сложные физико-механические свойства тел, совместное влияние различных полей, воздействующих на внутренние и внешние точки деформируемого тела. Сложность строения литосферных плит и многофакторность внешнего воздействия на них лежат в основе отсутствия на сегодняшний день признанных и строго установленных факторов, являющихся наиболее ответственными за нарастание сейсмической напряженности литосферных плит. Однако, при любых подходах, направленных на решение проблемы прогноза мест подготовки землетрясений, вопрос исследования напряженно-деформированног состояния литосферной плиты как сложного деформируемого тела

обязательно возникает, поскольку

чрмттггрч'"'1"'"' — это разрушение

РОС НАЦИОНАЛЬНА* ; БИБЛИОТЕКА^ . !

С.» «в

литосферной плиты, происходящее с высвобождением упругой энергии, накопившейся в плите за счет внешних воздействий. Процессы разрушения происходят при максимальных соответствующих напряжениях, если зона без неоднородностей Если имеются разломы, то разрушения проявляются в вершинах трещин, включений или иных структур сложного строения, состоящих из совокупности неоднородностей. Академиком РАН В.А. Бабешко впервые проведена классификация таких неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности (В.А. Бабешко // Известия вузов. Сев.-Кавказ, регион, Естественные науки. Спецвыпуск. 1994. С.90-91).

Созданные в настоящее время технологии и аппаратура позволяют получать ряд важных данных геофизического характера, необходимых для постановок и исследования описанных задач. Один из подходов основан на изучении сейсмического события путем анализа мелкомасштабных особенностей - разломов, включений, когда литосферная плита принимает образ горизонтально протяженной полуограниченной и даже неограниченной трехмерной среды, имеющей сложное строение с рельефными внешними и внутренними границами. (В.А. Бабешко // Известия вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. 2004. С.34-39).

Динамические задачи для полуограниченных сред, содержащих совокупность неоднородностей различной природы, являются на сегодняшний день малоизученными. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. Кроме того, установленная неединственность решений динамических задач для сред с совокупностью неоднородностей при

некоторых значениях параметров, делает эти задачи еще более сложными. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения. Не охватывая всех возможных типов неоднородностей (например, пространственных трещин-полостей, упругих или гибких включений и т.д.) и их ориентации относительно элементов многослойной структуры, основное внимание в настоящей работе уделено тому факту, что количество неоднородностей носит множественный характер.

Целью работы является математическое моделирование динамических процессов в слоистых полуограниченных средах со сложными физико-механическими свойствами при наличии множественных неоднородностей типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; разработка метода построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений краевых задач, изучение их свойств; создание аналитического метода построения определителей указанных матриц, исследование на основе разработанных методов условий локализации вибрационного процесса системой дефектов, приводящей к возникновению резонансных режимов колебаний.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Разработан универсальный аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений.

2. Получены новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых систем, позволяющие моделировать любое сочетание дефектов.

3 Создан новый аналитический метод вычисления определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений динамических смешанных задач рассматриваемого класса.

4. Выявлены новые свойства указанных матриц.

5. Впервые описаны спектральные свойства дифференциальных операторов ряда частных краевых задач, имеющих большое прикладное значение.

6. Проведено исследование условий локализации волнового процесса совокупностью неоднородностей - «вирусами» вибропрочности различного строения.

Практическое значение диссертации состоит в определении закономерностей динамических процессов в многослойных средах при наличии совокупности неоднородностей различной природы.

Разработанные методы исследования могут быть использованы при расчетах на прочность конструкций и отдельных их элементов, при проектировании различных электромеханических преобразователей, при создании пьезоактивных материалов с заранее заданными свойствами.

Изучение условий локализации вибрационного процесса может найти непосредственное применение в проблемах оценки сейсмической напряженности литосферных плит, виброзащиты и сейсмостойкости зданий и сооружений, для целенаправленного вибровоздействия на различные объекты, например, на нефтяные пласты с целью повышения нефтеотдачи.

Работа проводилась в рамках комплексной программы исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, выполняемой Кубанским государственным университетом в интересах сейсмической защиты Краснодарского края и Черноморского побережья. Диссертация выполнена в соответствии со следующими программами и грантами:

- Федеральная целевая комплексная программа «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 г.г.», проект № А0017;

- Федеральная целевая комплексная программа «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 г.г.», проект № Б0121/1372;

- Грант ЯЕС-004 Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза, 1999 - 2002 г.г.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2000юг, грант «Моделирование динамических процессов в сейсмически активных зонах при наличии гидротехнических сооружений», проект № 00-01-96008, 2000 - 2002 г.г.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2002юг, грант «Экологическая оценка вибрационного воздействия на окружающую среду и промышленные объекты ответственного назначения», проект № 00-01-96007, 2000-2002 г.г.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2002Юг, грант «Теоретические и экспериментальные исследования вибрационного воздействия на здания и сооружения с целью создания методов экспресс-оценки их технического состояния для обеспечения геоэкологической безопасности региона», проект № 03-01-96645,2003-2005 г.г.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Исследование литосферной плиты с учетом преднапряженности, термо- и пьезоэффектов», проект № 03-01-96537;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Разработка критериев разрушения тел с совокупностью трещин», проект № 03-0100694;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Влияние степени дефектности слоистых полуограниченных тел на процесс их динамического разрушения», проект № 05-01-00811, 2005-2007г.г.;

- Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-2107.2003.1;

- Программа Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого тела», проект № Е-02-4.0-191, 2003-2004г.г.

Поддержка проводимых исследований отечественными и международными научными фондами также указывает на их актуальность и практическую значимость.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации докладывались на:

Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (УрО РАН, Пермь, 2001), Международном конгрессе по механике и трибологии транспортных систем (Ростов/н/Д, 2003), ежегодных Всероссийских конференциях по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 2003, 2004, 2005), Международной конференции по разрушению и мониторингу свойств металлов (Екатеринбург, 2003), V Международной научно-практической конференции «Города России: проблемы строительства, инженерного обеспечения, благоустройства и экологии» (Пенза, 2003), XVII Международной научной конференции по математическим методам в технике и технологиях - ММТТ-17 (Кострома, 2004), Юбилейной международной научно-практической конференции «Строительство-2004» (Ростов/н/Д, 2004), Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород. 2004), ежегодных Всероссийских конференциях по теории упругости с международным

участием (Ростов/н/Д - Азов, 2003, 2005), V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратор, 2005) ежегодных семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Краснодар, 2003. Ростов/н/Д, 2004, Краснодар, 2005) и др.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы содержатся в 57 публикациях, в том числе в 20 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 237 наименований. Общий объем диссертации 271 стр. машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определяются ее цели и задачи, излагаются основные результаты, выносимые на защиту, описывается их практическое значение и приводится разделение результатов, принадлежащих автору диссертационной работы и другим соавторам в совместных публикациях. Дается также обзор работ, относящихся к теме диссертации.

Основными научными направлениями диссертационной работы являются математическое моделирование динамических процессов в полуограниченных средах, обладающих как сложивши физико-механическими свойствами, так и неоднородной структурой; создание численно-аналитических методов их исследования. Значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи - В.М. Александров, В.А. Бабешко, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.Й. Ворович, Е.В. И.П. Гетман, Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, В.Т. Гринченко, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев, О.Ю. Жарий, В.В. Зозуля, В.В. Калинчук, A.C. Космодамианский, В.В. Мелешко, В.В. Михаськив, ДА. Молотков, Н.Ф. Морозов, A.B. Наседкин, В. Новацкий,

9

Ю.Н. Подильчук, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.М. Сеймов, М.Г Селезнев, Л.И. Слепян, Л. Собисевич, В.И. Сторожев, Б.И. Сметанин, А.Н. Трофимчук, М.И. Чебаков, А.Ф. Улнтко, Ю.А. Устинов, Г.П. Черепанов, J.D. Achenbach [189], A. Ben-Menahem, S.J. Singh [195], W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, F. Press [203], K. F. Graff [209], M.J. Musgrave [224] и другие авторы.

В первой главе приводятся определяющие соотношения и уравнения начально-краевых задач динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо - и пироэлектрическими свойствами (п. 1.1), рассматриваются различные типы начальных и граничных условий (п.1.2). В п.1.3 в рамках линейной теории дается постановка динамических смешанных задач о взаимодействии массивных твердых тел (штампов, электродов) с полуограниченной слоистой термоэлектроупругой средой, содержащей множественные слоисто ориентированные неоднородности, представляющие собой включения и трещины, описываемые теорией Гриффитса. При постановке задач о вибрации трещин считается, что наряду с динамическими, на ее берега или на среду действуют статические, «разводящие» берега, напряжения. В этом смысле постановка задач о вибрации трещин аналогична постановке таких же задач о колебании штампов на поверхности среды, при рассмотрении которых всегда подразумевается статическая нагрузка, прижимающая штампы к среде и не допускающая их отрыва. Приводится система уравнений, моделирующих динамические процессы в слоистых средах при наличии совокупности неоднородностей. Система состоит из дифференциальных уравнений движения абсолютно твердого тела конечных размеров и описывающих динамику слоистой среды дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, для которых ставятся начальные и граничные условия. Излагается общая схема построения решения, включающая в себя вывод функционально-матричных соотношений, связывающих между собой трансформанты Фурье-Лапласа искомых и

заданных динамических характеристик, и сведение на их основе начально-краевой задачи со смешанными условиями к системе матричных интегральных уравнений I рода. Формулируются вспомогательные задачи, суперпозиция которых эквивалентна исходным начально-краевым задачам (п. 1.4). Метод решения излагается в работе на примере краевых задач для случая гармонических колебаний, переход к матрицам-символам Грина, соответствующим нестационарному режиму осуществляется заменой в полученных представлениях частоты ю на гр. Всюду далее общий для

всех динамических параметров множитель е~ш' будет онущен.

Все физико-механические характеристики среды предполагаются кусочно-однородными функциями координаты 2 и однородными по х,у. Это соответствует многослойной среде, занимающей область -оэ<х,у <+оо, -Н <г< 0; Н = 2(/г, + \ - полутолщина г-го

слоя (2/г, - толщина верхнего слоя). В пределах каждого слоя физико-механические характеристики являются постоянными величинами.

л

Границы слоев г - = -2]Г Ик (и = 1,2,..., N) принимаются

*=1

плоскопараллельными. В плоскостях гк (к = 1,2,...,уУ), параллельных плоскостям раздела слоев имеются неоднородности разных типов: включения, занимающие области €1^ и трещины, плоской в плане формы

&кт< р = \,2,...,Рк, т = 1,2,...,Мк; Рк иМк - количество включений и трещин соответственно, расположенных в одной плоскости. В областях О.¡у задаются векторы перемещений, потенциал электрического поля и температура (прирост температуры от естественного состояния), равные на верхней и нижней границах включения. В областях задаются

механические напряжения, нормальные составляющие вектора электрической индукции и нормальные составляющие вектора теплового потока, которые принимаются равными на обоих берегах трещины. Это

соответствует предположению о том, что берега трещины не взаимодействуют. На границе трещины разность смещений ее берегов, а также разность потенциалов электрического поля и температур полагаются равными нулю. Среди множеств Г20, О,^, могут быть и пустые. Случай равенства гк = гп соответствует дефектам, расположенным на границе раздела и - го и (и +1) - го слоев.

Исследование динамических процессов в слоистых полуограниченных средах, содержащих совокупность неоднородностей, приводит к необходимости решения системы интегральных уравнений I рода, которую можно записать в операторном виде

ЗСО{а,/3)= { ¡К(а,0,о>)С1(а,1ву(ах+^с1ас1{1 = /(х,у), (1) (х,у)еП,

где = - многомерный вектор,

компонентами которого являются расширенные векторы перемещений чу® , , заданные на поверхности среды в области контакта и на границах включений 0.к, а также расширенные векторы усилий заданные на берегах трещин в областях С1к (к- 1,2,...,ЛГ);

£1 = {□0,£2„«2.....О^ ДА,...,^};

0_ = |т0.- многомерный вектор, имеющий своими

компонентами трансформанты Фурье расширенных векторов поверхностных контактных напряжений 10(*,_у), скачков расширенных векторов напряжений на границах включений Ык(х,у) и скачков расширенных векторов перемещений Длук(х,у) на берегах трещин соответственно. Носителем каждой из вектор-функций ^(х,у), Мк(х,у),

(х,у) является соответствующая область из П. Компонентами расширенного вектора напряжений

являются горизонтальные и вертикальная (/3) компоненты векторов механических усилий, нормальные составляющие вектора электрической индукции (/4) и вектора теплового потока ).

Расширенный вектор перемещений

У/(х, у, г, *) = {И'1,>1'2,1*3,^,0} = имеет своими компонентами горизонтальные (м',,>с2) и вертикальную (м^) составляющие вектора механических перемещений, потенциал электрического поля (м>4) и температуру (и'5).

Ь

т=1

10, (х,у)«ПАи

мк

Аугк(х,у)=21АУГкт(х,у),

т=\

/ Ч Нь«-'"гь.> (х^ейд,,

Здесь ^ - значения расширенных векторов напряжений на верхней (+) и нижней (-) границах включений, w£n - значения расширенных векторов перемещений на верхнем (+) и нижнем (-) берегах трещин, занимающих соответственно области ПЬп,С1Ьп .

Матрица-символ ядра системы интегральных уравнений (1) является К{а,р,со) блочной, размерность матриц К,-,, являющихся ее элементами, определяется физико-механическими свойствами среды. Для упругих

материалов это матрицы размерности 3x3, а в общем случае для термоэлектроупругих сред -5x5.

«2Й+\

Размерность системы интегральных уравнений (ИУ) равна N N

5х(Р + М + \), Р = Т. рк-- (Р+М - общее количество

к=1 к=1

включений и трещин в среде), что требует создания специальных методов их исследования. Ключевыми вопросами здесь являются разработка методов построения матриц-символов Грина и на их основе матриц-символов ядер для систем ИУ большой размерности, аналитическое представление определителей этих матриц, позволяющее эффективно реализовать алгоритмы численного анализа условий возникновения резонансных режимов колебаний.

Метод построения матриц-символов ядер и их определителей излагается в последующих главах работы на примере системы ИУ, соответствующей задаче для уравнений движения термоэлектроупругого пакета слоев со следующими граничными условиями: на поверхности среды

на границах раздела физико-механических свойств ставятся условия непрерывности расширенных векторов перемещений и напряжений

„='ИГ| -оо<х,у<-юо к

1г=Г1+0 1г=г1-0' „г-, ,

. « = 22>«> ^ „ = <:| п, — оо < х,у < -н» п=1

т = 1,2,. ,.,Рк\ (3)

т = \,2,...,Мк. (4)

В плоскостях расположения неоднородностей имеют место

к _

разрывные смешанные граничные условия при г = гк=- 2£/гя

л—1

для включений

для трещин и = (х,у)еПкт

На нижней грани пакета расширенный вектор перемещений принимается равным нулю

= 0, -со < х,у <+<я. (5)

Здесь *0> =w¿я =w¿, и = еы - заданные в О0, и П^, векторы.

Во второй главе предлагается универсальный аналитический метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для сред, содержащих совокупность слоисто ориентированных трещин и/или жестких включений. Метод основан на классификации краевых задач, сформулированных в главе 1, в соответствии с теорией «вирусов» вибропрочности (п.2.1), постановке и решении набора краевых задач, позволяющих моделировать в полуограниченной среде произвольное количество и сочетание неоднородностей.

Анализ краевых условий позволяет заметить идентичность их формулировки для различных объектов. Так, для включений в областях задаются механические граничные условия (3), свойственные контакту штампа со средой в (2). Свободная от усилий поверхность

вне П0 по постановке эквивалентна трещине с носителем О2о > дополняющим О0 до всей плоскости г = 0 (4). Условие жесткого сцепления с недеформируемым основанием (5) идентично наличию включения, занимающего всю плоскость г --Н . Границы раздела физико-механических параметров среды можно трактовать как занимающие всю плоскость включения или трещины с равными нулю скачками напряжений и перемещений. Этот факт нашел отражение в работах В.А. Бабешко, что дало возможность подойти к изучению динамики сред, содержащих неоднородности различной природы, с единой позиции. В.А. Бабешко создана новая теория - теория «вирусов» вибропрочности, где впервые в мировой практике выделяются и классифицируются специальные сочетания неоднородностей и изучается их влияние на динамические, в том числе и прочностные свойства деформируемых слоистых сред. Теория, являясь математически и механически строгой, способствует отходу от понятия идеальной сплошности, уводит от традиционных постановок задач и стратегии исследования.

Определение. Вирус, состоящий из Ь параллельных включений в упругом пространстве, будем называть вирусом класса 1 и £ -уровневым, вида Я , и обозначать

Аналогично, вирус, состоящий из Ь параллельных трещин в упругом пространстве, будем называть вирусом класса 2 и Ь -уровневым, вида 5 , и обозначать

Здесь Ии - координата плоского сечения, содержащего жесткие включения с носителем , к11 - координата плоского сечения, содержащего трещины с носителем 52/ .

16

Вирус, состоящий из Ь параллельных включений и М параллельных трещин в упругом пространстве, будем называть смешанным вирусом класса (1, 2) и К (К<Ь + М) - уровневым, вида 5 , и обозначать

Если некоторая область является неограниченной плоскостью, то в обозначении вируса ставится знак оо . Если - 0 , то в обозначение вируса вносится непосредственно 0. Так, слой, взаимодействующий на поверхности (г = 0 ) с жестко сцепленным штампом и жестко сцепленный с недеформируемым основанием - это двухуровневый «вирус» И(1/0;Яп//г22;оо//2/0;521) .

Толщиной «вируса» Н называется толщина слоя, содержащего все неоднородности.

Вирус локализует волновой процесс в среде погружения, если вызывает рост деформаций в ограниченной области своего расположения; при этом количество мод волн или составляющих решения вне этой зоны уменьшается. Локализация будет полной, если все точки системы колеблются синфазно. В противном случае локализация будет частичной.

Явление локализации проявляется не только при вибрации в упругих полуограниченных телах, но также при распространении электромагнитных, акустических, тепловых и других волновых процессах в полуограниченных областях, что имеет подтверждение в теоретических и экспериментальных исследованиях.

Явление локализации волнового процесса тесно связано с явлением высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями, обнаружение которого В.А. Бабешко, И.И. Воровичем, И.Ф. Образцовым признано научным открытием. Фундаментальные результаты по теоретическому обоснованию существования явления

локализации содержатся в публикациях В.А. Бабешко, посвященных этой тематике. Приведем одну из теорем для упругого слоя:

Теорема. Для слоя на любой частоте найдется «вирус» толщиной И < Н , полностью локализующий волновой процесс.

В п.2.2 приводится специальное представление решения вспомогательных задач для однородных термоэлектроупругих полуограниченных сред типа слоя и полупространства, полученное в работах О.Д. Пряхиной. На его основе строятся матрицы-символы Грина и выписываются функционально-матричные соотношения для пакета слоев, подверженного динамическому воздействию, заданному на одной из его граней и имеющего свободную, либо жестко защемленную другую грань, и не содержащего внутренних дефектов (включений или трещин). Функционально-матричные соотношения в этом случае определяют в грансформантах Фурье напряжения и перемещения в плоскостях раздела слоев, вызванные заданной поверхностной нагрузкой (п.2.3). Для пакета слоев с жестко защемленной нижней гранью (задача 1)

ТА=НИТ0, * = 1,2,...,ЛГ, (6)

I, к-т

1=к

Щ (гк) = [В+ {г, ) - В_ {гк (Ик )В+ )]н(*_1)0Т0, (8)

к = 1,2,...,N-1.

Соотношения (6) - (9) являются рекуррентными для последовательного построения матриц-символов Грина Кт пакетов т слоев на жестком основании и определения их значения в плоскостях

18

N-№1+1

г = ~2 £ К - К-г^лМ'^у) и Т-Д- вплоть до

к=\

Кт (V+1 -т.'■ • •' ^ ) = В+ (ЛЛГ+1-т ) ~ В_ ( АЛГ+1-/и ) Рт'В+ (_/гЛГ И-т ) > т = \,2,...,И.

Для пакета слоев со свободной верхней гранью

(10)

где

I, к = т

п .....(П)

.1=*+1

Т^у - преобразование Фурье расширенного вектора напряжений, заданного на нижней грани пакета.

Перемещения точек к -го слоя выражаются через Тд, в виде

^ {гк ) = [в+ {гк (Й,Л„. . Д )В_ {ик) + В_ , (12)

к = 1,2,..„Ж

Ф,=о, = т=2,3,...,лг

Из соотношений (10) - (12) последовательно строятся матрицы-символы Грина Кш пакетов т слоев со свободной верхней гранью и

т

находятся их значения в плоскостях г = -2£ : К^/^), К^^Д)

к=\

и т.д. вплоть до К ^(/ц,/^,...,^)

кг(л1)=в_(-/г,),

к„(^.-.Ат)=в_(-/гт)+в+(-^)ф;1(й1,...,/гт)в_(^), (13) /и = 2,3,

В форме, аналогичной (10) - (13), получены представления для матриц-символов Грина и их значений К* (А^, ...,

К^Д/г,,/^,...,^), соответствующих пакетам т слоев со свободной нижней гранью и подверженных внешним воздействиям, задаваемым на их верхней грани.

Здесь W4{»Flt,^F2t,^Гз4,Tts®J^}, Тк{Т,к,Г2к,Ти>0}к,03к} -трансформанты Фурье расширенных векторов угк^к, соответствующих перемещениям и напряжениям, записанным в локальных системах

координат хк -х, ук = у, 2к = х + ^ л\ . Вспомогательные матрицы

¡=1

В± имеют структуру

сР'ту \ р>'гг а/3(т^ -п~) Пат2 Пат$ ¡ат4 ар^-п1) р2т\ +а2п± Иргп2 ±1Рщ ¡ргщ

-/ак* Чрк? ±*2 4

-¡аг^ -¡РК ±4 *

-им* ±4

Для частных случаев электроупругих, термоупругих, анизотропных, изотропных, изотропных термоупругих и т.д. сред общий вид соотношений (6) - (13) сохраняется, изменяется размерность входящих в них векторов и матриц, а также вид функций, формирующих структурные элементы матриц В+ .

Для электроупругого слоя WJt >

Тк\Т\к,Т2к,ТЪк,ВЪк\ - трансформанты Фурье расширенных векторов

^{ж,, W2.w3.vb 1к-{Чк'ЧьЧкАк)^кЛк

В±(г ) -

a2/иf + р2гт ар{гп*-гг^ ±мхт\ ±тт?

р2т\л-а2п± ±фт\ ±фт -1ак* ±^2 ±А:3±

-юге

-ФК

ы

У

Для трансверсально-изотропного слоя '

~ преобразование Фурье векторов перемещений и поверхностных механических усилий соответственно.

/ Т 4- - / -1. \ * \

В±(* ) =

а2 + ¡З2 гг - я*| ±1ат\

ар[т\ - гг) у?2«!* + а2«1 ±'фт\ -¡ак*

±кт

В п.п.2.4 и 2.5 для пакета N слоев со свободной верхней гранью и жестко защемленной нижней гранью строятся матрицы-символы Грина, а также функционально-матричные соотношения, соответствующие различным случаям расположения дефектов (включений или трещин) в слоистой среде. При этом функционально-матричные соотношения описывают в трансформантах Фурье напряжения и перемещения в плоскостях раздела слоев и на внешних границах пакета в зависимости от скачков расширенных векторов напряжений на границах включений (задача 2) или скачков расширенных векторов перемещений на берегах трещин (задача 3). Для представления указанных соотношений в форме, удобной для проведения дальнейшего анализа и допускающей простую интерпретацию результатов, вводятся специальные матрицы, характеризующие положение дефектов в среде. Приводимые здесь и далее функционально-матричные выражения соответствуют наличию дефектов в

плоскостях раздела физико-механических свойств слоев N = Ы.

р

Для трещины, расположенной в плоскости г = -2 вводится

*=1

матрица

^=КР (■К Л >• • • >) - (лр+1,нр+1,...,),

для включения в той же плоскости - матрица

Х-\KN-p(bp+ьhp+2,■■■>hN)\

В случае задачи 2 функционально-матричные соотношения имеют следующий вид

для напряжений

Т = ЬО, (14)

где Т = {т, ,Т2,<} = {%,ть-.-^лчЬ блочная

матрица, элементы которой вычисляются по формуле

' = J>

-B.IJSNJKN_J, /<у, для перемещений

(15)

и=у<},

1 = ]

-К, Ку8Л,]КЛ,_у, г<]

-Кдг^Кувд^Кр /' > )

(16)

(17)

В качестве компонент вектора Т в (14) приняты расширенные векторы напряжений Т^" и знак « + » в верхнем индексе опущен.

Матрицы Ь , Уу в (15), (17) определяют соответственно напряжения и перемещения в плоскости гп вызванные скачком напряжений на границах включения, расположенного в плоскости zJ.

Для задачи 3 функционально-матричные соотношения гтотучены в форме:

для напряжений

Т = БО°, (18)

где Т = |х1 ,Т2,...ТЛГ_1|, (2° = > ® = блочная

матрица, элементы которой вычисляются по формуле

С-1 ЭЛ>

(19)

¡>Л

для перемещений

и = М<3°, (20)

|Лг-1 =Г

мН -1 ■ (21)

Матрицы , М(у- в (19), (21) определяют соответственно

перемещений на берегах трещины, расположенной в плоскости .

Соотношения (14), (16), (18), (20) позволяют моделировать любое сочетание неоднородностей в среде, обладающей сложными физико-механическими свойствами. Их использование для построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений демонстрируется в п.2.6 на примере ряда динамических задач рассматриваемого класса.

Третья глава посвящена изучению свойств матриц-функций, формирующих решения краевых задач. Для определителей матриц-функций, описывающих динамику изотропных, а также некоторых типов анизотропных и электроупругих сред получено представление в виде

произведения определителей, соответствующих краевым задачам в

Для указанных типов сред значения определителей матриц-функций В± в плоскостях гк выражаются в виде отношения целых функций

где Д2), Д20, А, о - функции, зависящие от параметров слоя, полутолщина которого указана явно в качестве аргумента, от параметров преобразования Фурье а, Р и частоты колебаний ©.

П.3.2 посвящен исследованию асимптотического поведения матриц-символов К(а,Р,т) ядер систем ИУ динамических смешанных задач для многослойных сред, содержащих неоднородности. Показано что главные члены асимптотических разложений образуют диагональные блочные магрицы-символы ядер, элементы которых определяются параметрами только тех слоев среды, на границе раздела которых расположены включения и/или трещины.

А20(А*)А10(А*)'

1 = ]

V

Матрица-символ ядра системы интегральных уравнений (1) при Щ > оо определяется из соотношений

УккЧк + М*Л = (Л*+1 )'

1^ккПк+1)ккЬ='тк' к = 1,2,...,N-1.

В п.3.3 излагается общая схема метода фиктивного поглощения, а также приводится структура решения интегральных уравнений и систем рассматриваемого класса задач, используемая при формулировке условий локализации вибрационного процесса.

Для задач, отвечающих различным случаям расположения включений и/или трещин в слоистой термоэлектроупругой среде, получены представления определителей матриц-символов ядер систем ИУ в виде произведения определителей некоторых матриц, служащие основой как для создания высокоэффективных алгоритмов численного анализа особых множеств (нулей и полюсов) функции сЫ К (а,/?,&)), так и для направленного подбора параметров среды, обеспечивающих особые режимы колебаний (п.3.4).

В частности доказано, что определитель матрицы-символа ядра системы ИУ, соответствующей задаче 2, равен

А*К{а,р,<о) = П<1е«(^_1+1)1 (А,) •

1=1

Определитель матрицы-символа ядра системы ИУ для задачи 3 дается формулой

1=1

Четвертая глава посвящена изложению аналитического метода построения определителей матриц-символов К(а,0,о)) ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими смешанными

задачами для полу ограниченных сред, содержащих множественные неоднородности различной природы. Метод основан на установлении взаимнооднозначного соответствия между классами «вирусов» вибропрочности для областей, заключенных между плоскостями, содержащими неоднородности, и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина.

Если неоднородности расположены в параллельных плоскостях, то, несмотря на многообразие вариантов распределения включений и трещин по уровням, занимаемый средой объем делится этими плоскостями на «вирусы», имеющие структуру одного из четырех типов: '1 /гк;Пк/2к+1;Пк+1 \

^ (1 / ; // 2 / ^; СО / 2М; П°к+]),

Здесь С1°к - дополнение Ик до всей плоскости, Мк - количество слоев, расположенных между плоскостями г = гк и г = 5к+].

Между «вирусами» (22) и особыми множествами определителей матриц-символов Грина К^ и К установлено взаимнооднозначное

соответствие. В частности, для изотропных и трансверсально-изотропных материалов имеем

гЧО

о (Ко),

Л*»®)*

(23)

// 2 / ^; оо /

(1/гк-,ак //2/2к;П°к /2ы;со) о Д^ (\,а>).

Здесь - знаменатель элементов и определителя матрицы Грина пакета Nк слоев с жестко защемленной нижней гранью, А^ -знаменатель элементов и определителя матрицы Грина пакета слоев с жестко защемленной верхней гранью, - знаменатель элементов и определителя обратной матрицы Грина пакета Л^ слоев с жестко защемленной нижней гранью, - знаменатель элементов и

определителя матрицы Грина пакета Ык слоев со свободной верхней гранью. Заметим, что перечисленные функции, кроме явно указанных аргументов зависят от геометрических и механических параметров слоев, заключенных между плоскостями г - гк и г = 2к+].

Используя установленное соответствие, можно записать определители матриц-символов ядер систем ИУ, отвечающих произвольному количеству и произвольной последовательности расположения трещин и включений в слоистой среде, руководствуясь следующим правилом:

для объемов, заключенных между плоскостями, содержащими включения и/или трещины, а также между верхней (нижней) гранью пакета и ближайшей указанной плоскостью, определяется класс «вируса» вибропрочности и его параметры (значения к и Л^). Согласно (23) с каждым «вирусом» связывается определенная функция;

искомый определитель (с точностью до знака) равен отношению произведения найденных функций к знаменателю матрицы-символа Грина пакета N слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием, без дефектов.

Определитель матрицы К(а,/3,со) для произвольного количества и сочетания неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях, представлен в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая из которых зависит только от

27

геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей включения и/или трещины. Достоинством такого представления является исключение на стадии аналитического построения корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы (п.4.3). При определении ёегК(а,р,со) использовалась связь между определителями матриц-символов Грина краевых задач в пространственной, плоской и антиплоской постановках. Результаты, относящиеся к плоским задачам, приводятся в п. 4.1, где описаны процедуры рекуррентного построения и свойства матриц, формирующих К {а,р,со) при произвольном количестве неоднородностей. Задачам в антиплоской постановке посвящен п. 4.2, в котором приводятся рекуррентные формулы, определяющие аналогичные функции.

В п. 4.4 приводится применение полученной формы представления с1е1К [а,р,со) в исследовании условий локализации вибрационного процесса. Анализ общей структуры решения системы ИУ (1), построенного методом фиктивного поглощения, показывает, что оно содержит энергетическую составляющую, обладающую конечной энергией, и неэнергетическую с бесконечной энергией, обеспечивающую излучение энергии. В случае существования лишь энергетической составляющей решения полуограниченное тело, контактирующее с массивным штампом, приобретает точки изолированного спектра и возможен резонанс. Резонансы такого рода были названы низкочастотными или В-резонансами. Они возникают в диапазоне О < а>< о>кр Ф 0 докритических частот запирания волноводных свойств

полуограниченного тела. Доказано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в указанном диапазоне частот. Если озкр = 0,

то рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Фундаментальное исследование этих задач содержится в монографии Воровича И.И., Бабешко В.А., Пряхиной О Д. (Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир. 1999. 246с.) Если 0) > сокр, то в работах В.А. Бабешко установлено, что

существование в полуограниченных телах типа полосы, слоя, цилиндра лишь энергетической составляющей решения возможно только при выполнении определенных условий - специальным образом ориентированных включений и трещин, параметры которых удовлетворяют некоторым соотношениям, связывающим их с характеристиками полуограниченного тела. Эти условия называются условиями локализации вибрационного процесса.

Для «вирусов» различного строения проведено исследование условий локализации. В частности, если для заданного условиями задачи 2 «вируса» параметры таковы, что равенство

<}о(а,/?) = о

выполняется на корневом множестве, являющемся объединением полярного множества определителя матрицы-символа Грина однородного слоя с жестко защемленной нижней гранью, имеющего механические и геометрические параметры верхнего слоя пакета, и корневых множеств определителей матриц-символов Грина однослойных сред, с жестко защемленной нижней гранью, с параметрами остальных слоев пакета. Тогда «вирус» локализует волновой процесс в своей окрестности.

Здесь <30(а,/?) - многомерная вектор-функция, являющаяся решением системы ИУ, получающейся из (1) заменой матрицы-символа ядра К{а,р,а>) на К0(а,/3,со) на основании представления К{а,р,а>) = К0{а,р,со) К.(а,0,о),

К0(«,Дю) - матрица, сохраняющая асимптотическое поведение К (а,Р,со) на бесконечности и не имеющая особенностей на вещественной оси 1т Я = 0.

Если для заданного условиями задачи 3 «вируса» параметры таковы, что равенство

<2о (".£) = о

выполняется на корневом множестве, являющемся объединением полярного множества определителя матрицы-символа Грина однородного слоя с жестко защемленной нижней гранью, имеющего механические и геометрические параметры нижнего слоя пакета, и полярных множеств определителей матриц-символов Грина однослойных сред со свободной верхней гранью и с параметрами остальных слоев пакета. Тогда «вирус» локализует волновой процесс в своей окрестности.

На основании анализа особых множеств с1е1К(а,/?,й)) определяются структуры «вирусов», для которых существование низкочастотных резонансов невозможно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основными результатами работы являются:

математические модели, описывающие динамический процесс в слоистых полуограниченных средах при наличии множественных неоднородностей, с учетом связности механических, электрических и тепловых полей;

новый аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных слоистых сред с неоднородностями (дефектами) типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; метод

основан на постановке и решении краевых задач для специальных механических объектов «вирусов» вибропрочности различного строения;

новые универсальные функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей, позволяющие описывать динамические свойства среды при произвольном количестве и сочетании дефектов;

метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, соответствующих краевым задачам рассматриваемого класса;

новый эффективный аналитический метод вычисления определителей указанных матриц, являющийся основой изучения условий локализации вибрационного процесса системой дефектов. В ходе проведенных исследований

для различных моделей многослойных сред, содержащих неоднородности различной природы, построены матрицы-символы Грина;

на этой основе получены матрицы-символы ядер систем интегральных уравнений рассматриваемого класса задач и выявлены их свойства, в том числе новые;

введены специальные матрицы, связанные с типом дефекта и его положением в слоистой среде, позволяющие преобразовать блочные матрицы-символы ядер систем ИУ большой размерности к блочным треугольным матрицам, что существенно упрощает задачу вычисления их определителей;

для широкого спектра задач построены определители матриц-символов ядер систем ИУ и проведен анализ их особых множеств (нулей и полюсов);

установлено взаимнооднозначное соответствие между определенными классами «вирусов» вибропрочности и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина;

для определителей матриц-символов ядер систем ИУ, соответствующих произвольному количеству и различным сочетаниям неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях пакета изотропных слоев на жестком основании, получено представление в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая их которых зависит только от геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей неоднородности, связанные с нарушением ее сплошности. Достоинством такого представления является исключение корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы, на стадии аналитического построения;

при изучении резонансных режимов колебаний условия локализации волнового процесса «вирусами» вибропрочности различного строения дополнены описанием корневых множеств; выделены классы задач, в которых возможны только высокочастотные резонансы.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

По теме диссертации опубликовано 57 работ. Основными из них являются следующие:

1. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. 1998. С. 485.

2. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Построение матрицы-символа Грина слоистых сред в механике связанных полей // Известия вузов. Сев,-Кавказ. регион. Естественные науки. №3.2000. С. 129-133.

3. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Исследование В-резонансов в полуограниченных средах, взаимодействующих с массивными телами // Сб. анотаций докл. 8 Всеросс. съезда по

32

теоретической и прикладной механике. УрО РАН, Пермь 2001 С 499 4. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Резонансные явления в полуограниченных средах, взаимодействующих с массивными телами //

Известия вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2001. С. 125-131.

5 Ворович И.И., Пряхина О Д , Смирнова А В. Резонансные явления при контактном взаимодействии массивных тел с полуограниченными средами // Известия вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2001. С. 40-42.

6. Ворович И.И., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. О влиянии В-резонансов на переходные процессы в динамических контактных задачах // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Технические науки. 2001. С.40-42.

7. Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Юбилейный выпуск. 2002. С. 80-

8. Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Определение динамических характеристик сред с неоднородностями // Механика и трибология транспортных систем -2003: Сб. ' докладов Международного конгресса. Ростов/н/Д, 2003. Т.1. С. 62-64.

9. Пряхина О.Д., Евдокимов A.A., Капустин М.С., Смирнова A.B. Колебания полупространства при наличии системы жестких включений // Доклады РАН. 2003. Т. 389. №2. С.193-197.

10. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Известия вузов. Сев.- Кавказ, регион. Естественные науки. 2003. №2. С. 29-31.

11. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамических задач для слоистых термоэлектроупругих сред с дефектами // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. №1. С. 68-'

82.

12. Капустин М.С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Моделирование динамического поведения неоднородных сред при наличии системы трещин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. Т. 10. Вып. 2. С. 477-478.

13. Пряхина О Д, Смирнова A.B. Построение матриц-символов Грина динамических смешанных задач для слоистых сред с неоднородностями // Известия вузов. Сев.- Кавказ, регион. Естественные науки. Нелинейные проблемы механики сплошной среды. Спецвыпуск. 2003. С. 279-284.

14. Пряхина О. Д., Смирнова A.B. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып 3. С. 499-506.

15.Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. №3. С. 3-10.

16.Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Постановка и решение динамических задач о взаимодействии массивных объектов со слоистым основанием // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара. Краснодар, 2004.С.5-21.

17. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Динамическая задача для разномодульной среды с включениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 2. С. 388.

18. Борисов Д.В, Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №2. С. 8-13.

19. Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами// Известия вузов. Сев.-

Кавказ, регион. Естественные науки. 2004. №3 С. 38-43

20.Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Антиплоские динамические задачи для упругих полуограниченных сред, содержащих систему дефектов // Известия вузов. Сев.- Кавказ, регион. Естественные науки. Спецвыпуск

2004. С. 89-93.

21.Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин // ПММ.

2005. Т.69. Вып 2. С.345-351.

22.Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Известия РАН. МТТ. 2005. №2. С. 87-97.

23.Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Интегральные уравнения динамических задач для слоистого полупространства, содержащего систему трещин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. №1. С. 37-42.

24.Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Хрипков Д.А. Матрица Грина динамической задачи для трехслойной среды с системой трещин и включений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12. Вып. 2. С. 483 - 484.

25. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Борисов Д. В., Мазин В. А. Интегральные уравнения динамических задач для слоистого полупространства с включениями // Смешанные задачи механики деформ. тела: тез. докл. V Всероссийской конференции с международным участием. Саратов. 2005. С. 119.

26. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. О резонансных свойствах многослойных полуограниченных сред с трещинами // Смешанные задачи механики деформ. тела: тез. докл. V Всероссийской конференции с международным участием. Саратов. 2005. С. 118.

>

»18 8 49

РНБ Русский фонд

2006-4 21604

Бумага тип. №2. Печать трафаретная Тираж 100 экз. Заказ № 384 от 7.10.05 г. Кубанский государственный университет.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

Введение.

1 Краевые задачи динамической теории упругости для полуограниченных сред, содержащих неоднородности различной природы.

1.1 Основные соотношения и уравнения связанных задач термоэлектроупругости.

1.2 Начальные и граничные условия.

1.3 Общая постановка задач о взаимодействии массивного твердого тела со слоистой средой, содержащей неоднородности.

1.3.1 Уравнения движения массивного тела.

1.3.2 Уравнения движения полуограниченной среды с совокупностью неоднородностей.

1.4 Общая схема построения решения.

2 Метод построения матриц-символов Грина для полуограниченных сред при наличии параллельно ориентированных неоднородностей различной природы.

2.1 Классификация краевых задач для термоэлектроупругой среды с совокупностью неоднородностей на основе теории «вирусов» вибропрочности.

2.2 Функционально-матричные соотношения вспомогательных задач для однородного слоя и однородного полупространства.

2.2.1 Колебания термоэлектроупругого слоя

2.2.2 Колебания термоэлектроупругого полупространства.

2.3 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, не имеющей нарушения сплошности.

2.3.1 Колебания пакета слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием

2.3.2 Функционально-матричные соотношения для слоистого полупространства

2.3.3 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для пакета слоев с одной свободной гранью

2.4 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, содержащей систему включений.

2.4.1 Колебания пакета слоев, содержащего одноуровневое включение

2.4.2 Колебания пакета слоев, содержащего двухуровневые включения

2.4.3 Колебания пакета слоев, содержащего многоуровневые включения

2.5 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, содержащей систему трещин.

2.5.1 Колебания пакета слоев, содержащего трещину на одной из границ раздела слоев.

2.5.2 Колебания пакета слоев, содержащего двухуровневые трещины.

2.5.3 Колебания пакета слоев, содержащего множественные трещины.

2.6 Построение матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для сред, содержащих неоднородности

2.6.1 Системы интегральных уравнений для многослойных сред без нарушения сплошности (задача 1).

2.6.2 Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность включений (задача 2).

2.6.3 Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность трещин (задача 3)

2.6.4 Системы интегральных уравнений для сред, содержащих неоднородности различного типа

3 Свойства матриц-символов ядер интегральных уравнений, порождаемых динамическими контактными задачами для сред с неоднородностями

3.1 Некоторые свойства вспомогательных матриц.

3.2 Асимптотические свойства матриц-символов ядер интегральных уравнений.

3.3 Общая схема метода фиктивного поглощения

3.4 Построение определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений.

3.4.1 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность включений

3.4.2 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность трещин.

3.4.3 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность включений и трещин

4 Метод построения определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений динамических контактных задач для полуограниченных сред с неоднородностями

4.1 Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений плоских динамических контактных задач.

4.2 Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений антиплоских динамических контактных задач.

4.3 Построение определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений пространственных динамических контактных задач для сред с неоднородностями.

4.4 О локализации волнового процесса системой неоднородностей

Многие научно-технические проблемы связаны с изучением закономерностей динамических процессов в средах, обладающих как сложными физико-механическими свойствами, так и неоднородной структурой. В частности, определение критериев оценки прочностных свойств новых конструкционных материалов, фундаментальные проблемы оценки сейсмичности литосферных плит и прогноза землетрясений приводят к необходимости создания методов анализа напряжённо-деформированного состояния с позиции механики разрушения с учетом связности механических, электромагнитных и тепловых факторов, а также с учетом наиболее распространенных видов неоднородностей или дефектов — включений и трещин, присущих слоистым структурам.

Динамические задачи для полуограниченных сред, содержащих совокупность неоднородностей различной природы, являются на сегодняшний день малоизученными. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. Кроме того, установленная неединственность решений динамических задач для сред с совокупностью неоднородностей при некоторых значениях параметров [23], делает эти задачи еще более сложными. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения.

В.А. Бабешко создана новая теория - теория «вирусов» вибропрочности [14, 16, 17, 23, 24], изучающая специальные сочетания неоднородностей и их влияние на динамические, в том числе и прочностные свойства деформируемых слоистых сред. Теория, являясь математически и механически строгой, способствует отходу от понятия идеальной сплошности, уводит от традиционных постановок задач и стратегии исследования. Она нацелена на выделение, классификацию и изучение свойств специальных механических объектов, находящихся в деформируемой среде, способных в условиях вибрации локализовать волновой процесс и вызвать резонансы.

Свойство совокупности неоднородностей при определенных условиях локализовать волновой процесс в своей окрестности является основой научного открытия В.А. Бабешко, И.И. Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [38]. Фундаментальные результаты по теоретическому обоснованию существования явления локализации волнового процесса содержатся в работах В.А. Бабешко [14-18, 23-26]. Установлено, что таким свойством обладают не только множественные, но и отдельные неоднородности. Способность локализовать волновой процесс присуща средам, проводящим волны различной физической природы - упругие, электромагнитные, звуковые, что имеет подтверждение в теоретических и экспериментальных исследованиях [15, 66, 104].

Настоящая работа посвящена моделированию динамических процессов в слоистых полуограниченных термоэлектроупругих средах при наличии множественных плоских неоднородностей типа жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев.

Актуальность проведенных исследований определяется возможностью их широкого приложения в различных областях механики, геофизики, сейсмологии, акустики, вибросейсморазведки, фундаментостроении, машиностроении, микроэлектроники, ультразвуковой дефектоскопии и т.д.

Проблеме моделирования динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности, посвящено большое количество работ, обзор которых проведён в [63, 139, 145, 172, 183,201].

Исследования выполнены в широком диапазоне постановок задач применительно к различным материалам как упругим, так и пластическим. Это работы В.М. Александрова, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Зозули, В.В. Михаськива, Ю.Н. Подильчука, Г .Я. Попова, Н.Ф. Морозова, Дж. Райса, М. Г. Селезнева, Б. И. Сметанина, Г.П. Черепанова и др.

Изучаются механизмы образования и распространения дефектов, процессы, приводящие к концентрации напряжений и разрушению [11, 92, 93, 101, 106, 108, 119, 127, 129-133, 174, 184, 185, 191,220].

Как правило, рассматриваются дефекты, расположенные в однородных или двухслойных изотропных средах [3, 8, 9, 56, 134, 179, 180, 187] и реже -в средах со сложными физико-механическими свойствами (анизотропных, пьезоэлектриках и т.п.) [54, 55, 57, 118, 198, 201, 229, 230]. При этом наиболее часто дефекты предполагаются имеющими каноническую форму (круговой или эллиптический цилиндр, сфера, эллипсоид) [70, 122, 123, 125, 142, 192, 193, 204] или моделируется конечным либо полубесконечным математическим разрезом, на котором перемещения (для трещин) или напряжения (для включений) терпят разрыв.

В работах [12, 61, 94, 99, 109, 110] динамические задачи о напряжённо-деформированном состоянии тела с трещиной формулируются с учётом контактного взаимодействия её берегов в фазе сжатия. В [98] проведён анализ различных расчётных схем при потере устойчивости слоистых композитных материалов с трещинами на границе раздела слоев, приведена классификация межслоевых трещин. Для определения условий возможного разрушения (отслоения) соединения материалов с различными упругими свойствами важным является анализ концентрации напряжений в окрестности угловых точек фронта интерфейсных трещин. Исследование зависимости характеристик сингулярности от угла раствора трещины и соотношения упругих свойств проведено в работах [58, 86, 90, 118, 213].

Значительное количество публикаций посвящено вопросам дифракции волн на трещине или включении [86-89, 105, 126, 143, 187, 196, 205, 206].

Многообразны как постановки, так и подходы к решению задач для сред, содержащих неоднородности. Особенно интенсивно за последние годы развиваются исследования, основанные на использовании прямых численных методов решения соответствующих краевых задач [89, 116, 212, 214, 215]. Одним из наиболее эффективных является общий метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов. Этот подход позволяет изучать динамические характеристики в средах при наличии дефектов в плоскостях, не параллельных свободной поверхности [71, 72, 74, 75, 95]. Однако вследствие отмеченной выше неединственности решения, их применение должно контролироваться аналитическими методами повышенной точности.

В подавляющем большинстве публикаций изучается динамика отдельной трещины или включения, что не приводит к установлению закономерностей, свойственных их совокупности.

Диссертационная работа направлена на разработку методов исследования, позволяющих выявить влияние совокупности дефектов на динамические свойства слоистых сред. Не охватывая всех возможных типов неоднородностей (например, пространственных трещин-полостей, упругих или гибких включений и т.д.) и их ориентации относительно элементов многослойной структуры, основное внимание уделено тому факту, что количество неоднородностей носит множественный характер.

Изучение динамических процессов, происходящих в слоистых полуограниченных средах с неоднородностями, опирается на результаты в области динамической теории упругости, представленные в монографиях В.А. Бабешко [22], В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Ж.Ф. Зинченко [39], И.И. Воровича, В.А. Бабешко [79], И.И. Воровича, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхиной

80], В.В. Калинчука, Т.И. Белянковой [112], И.П. Гетмана, Ю.А. Устинова [85], В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко [96], А.Н. Гузя, Ф.Г. Махорта [100], О.Ю. Жария, А.Ф. Улитко [107], А.С. Космодамианского, В.И. Сторожева [117], Л.А. Молоткова [128], Н.Ф. Морозова, Ю.В. Петрова [131], В. Новацкого [136], Г.И. Петрашеня [140], В.М. Сеймова, А.Н. Трофимчука, О.А. Савицкого [169], М.Г. Селезнева, A.JI. Собисевича [171], А.Ф. Улитко [182], J.D. Achenbach [189], A. Ben-Menahem, S.J. Singh [195], W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, F. Press [203], K. F. Graff [209], M.J. Musgrave [224] и др.

Важное научное и практическое значение имеют постановка и решение связанных задач, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. На эффектах связанности полей основано функционирование ряда технических устройств и технологических процессов. Для надежного функционирования таких устройств, повышения их эффективности и улучшения динамических качеств необходимо создание новых аналитических и численно-аналитических методов исследования резонансных свойств динамических систем, находящихся под действием гармонических, нестационарных и импульсных электрических, тепловых и механических воздействий. Обзор исследований, выполненных по механике связанных полей содержится в работах [97, 100,139].

Одно из важных применений динамические задачи находят в акустоэлектронике. Возникающие здесь проблемы приводят к необходимости изучения взаимодействия одного или системы электродов с анизотропной средой, обладающей пьезо- и пироэлектрическими свойствами и другими эффектами, свойственными этим материалам.

Большинство исследований динамических процессов в электроупругих средах [21, 60, 65, 73, 97, 104, 139, 197, 223,224] проводится без учета массы электродов и характера взаимодействия электродов с пьезокристаллической средой. Такое приближение оправдано для сравнительно низких рабочих частот, достаточно большой амплитуды поверхностной волны и малой толщины электродов. С увеличением частоты на порядок и более приходится иметь дело со сверхкороткими поверхностными волнами, для которых уже нельзя пренебрегать массой электродов и надо решать связанную электромеханическую задачу. Если жесткость электрода намного больше жесткости среды, то задача рассматривается как контактная (смешанная) для жесткого штампа [80, 168].

При исследовании динамических режимов колебаний слоистых полуограниченных сред большое значение имеет вид функционально-матричных соотношений, связывающих перемещения и напряжения, и построение на их основе ядер систем интегральных уравнений, соответствующих рассматриваемым смешанным задачам и описываемых матрицей-символом Грина.

К настоящему времени для построения матрицы Грина разработаны как аналитические подходы, наиболее известный из них - метод матриц-пропагаторов или матричный метод [128, 208, 211, 234], так и численные методы [144, 186, 190, 210, 216, 217, 219, 228, 235], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач.

Основные трудности реализации этих методов обусловлены наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, приводящих к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большого порядка и, чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера. Для преодоления указанных трудностей разработан ряд приемов, их обзор и сравнительный анализ приведен в [1, 188, 199, 202, 207, 218, 221, 237]. Например, в [39] разработан метод построения матрицы Грина, устойчивость которого обеспечивается выделением экспоненциальных составляющих и выносом их за рамки численного процесса. В [80] создан высокоэффективный метод построения матрицы-символа Грина многослойной среды, обладающей сложными физико-механическими свойствами.

Одним из направлений диссертационной работы является построение функционально-матричных соотношений, связывающих основные динамические характеристики рассматриваемых систем, позволяющих моделировать любое сочетание неоднородностей в слоистых средах с учетом связности механических, тепловых и электрических полей. В работе предлагается аналитический метод построения матриц-символов Грина для слоистых сред при наличии разрывных условий на линиях раздела слоев. Метод основан на использовании специального представления решения для одного слоя и применим для произвольного количества слоев и расположения неоднородностей. Достоинством этого метода является возможность построения простых алгоритмов • численного анализа, применимых для широкого диапазона изменения параметров задачи. В отличие от других подходов он не требует численного решения алгебраических систем большого порядка, возникающих при удовлетворении граничных условий, и не содержит в полученном представлении решения растущих экспоненциальных составляющих. При этом решение задачи для однородной полуограниченной среды (слой, полупространство), содержащей систему плоских, параллельно-ориентированных включений и/или трещин получается как частный случай, если принять физико-механические параметры слоев равными.

Рассматриваемые в настоящей работе задачи, как и большинство задач, с которыми приходится сталкиваться в теории упругости, электроупругости, термоупругости, акустике и других областях математической физики, при строгой их постановке оказываются смешанными. Ключевым вопросом в их математическом исследовании является решение интегральных уравнений и систем, порождаемых этими задачами. Большой вклад в развитие методов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений статических и динамических задач внесли В.М. Александров, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь. Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, В.А. Ильичев, В.В. Калинчук, Е.В. Коваленко, М.Д. Мартыненко, Н.Ф. Морозов, Н.Н. Мусхелишвили, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Ю.С. Яковлев и др. Некоторые результаты, полученные в указанной области, отражены в перечисленных выше монографиях, а также в [4-6, 10, 19, 20, 62, 67, 81, 82, 124, 145, 170, 171].

Смешанные динамические задачи приводят к необходимости решения интегральных уравнений (ИУ) и систем с сильно осциллирующими ядрами для полуограниченных сред. Существуют различные подходы к проблеме: метод факторизации [22, 79, 135], асимптотические методы [4-7, 78], методы ортогональных полиномов [144, 145, 169], сведение к интегральным уравнениям 2 рода [78], вариационно-разностный метод [39, 87], метод граничных элементов [73, 235] и другие. Каждый из этих методов имеет достоинства и недостатки. Например, асимптотические методы, вариационно-разностный метод эффективны при низких частотах. Метод факторизации позволяет захватывать и высокие частоты, однако дает возможность изучить лишь классические области контакта - круг, полоса. В случае пространственных задач эффективность этих методов снижается, либо они вовсе не применимы. Вариационно-разностный метод и метод коллокации позволяют исследовать пространственные задачи, но лишь при низких частотах. При этом они не вскрывают всех особенностей поведения решения, как по частотам, так одновременно и на особых множествах области задания интегральных уравнений.

Метод фиктивного поглощения решения динамических смешанных задач имеет некоторые преимущества по сравнению с перечисленными методами [44, 80]. Идея этого метода принадлежит В.А. Бабешко [19, 20, 22] и состоит в таком преобразовании ядер интегральных уравнений, которое позволяет уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими ядрами сводить к интегральным уравнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Развитие метод фиктивного поглощения получил в работах О.Д. Пряхиной [44, 80]. Его достоинством оказалась возможность использования при решении динамических смешанных задач многочисленных, полученных ранее решений и методов решений соответствующих статических задач. Другим преимуществом метода фиктивного поглощения является то, что он позволяет строить решения с высокой точностью во всем частотном диапазоне, сохраняя правильное описание поведения решения как внутри области задания интегральных уравнений, так и в окрестности границ, включая угловые точки.

Сложность использования перечисленных методов в решении рассматриваемого в настоящей работе класса задач связана с большой размерностью системы интегральных уравнений. Наиболее эффективным в этом случае является обобщенный метод факторизации [22], развитый применительно к исследованию краевых задач в многосвязных областях с границами, допускающими смену знаков кривизны поверхности. В работах В.А. Бабешко, О.М. Бабешко [25-31] метод получил дальнейшее развитие -впервые введено понятие двухсторонней факторизации и получены новые соотношения, описывающие решения краевых задач в интегральной форме, допускающей дискретизацию. Метод распространен на случай многомерных интегральных уравнений, а также на случай произвольного количества областей задания интегральных уравнений. Метод фактически не имеет ограничений на параметры, поскольку всегда некоторой процедурой можно расширить диапазон его применения.

В диссертационной работе исследование условий локализации вибрационного процесса опирается на общую структуру решения систем ИУ, построенного методом фиктивного поглощения. Во многих случаях указанное решение может быть получено в относительно простом аналитическом виде, что делает метод фиктивного поглощения эффективным при сведении обращения преобразования Лапласа решений нестационарных смешанных задач к интегралу Фурье с последующим численным интегрированием [80].

Нестационарные задачи являются менее изученным разделом динамических задач. Трудность их решения связана с тем, что сначала для конкретных значений параметра преобразования Лапласа р необходимо многократно строить решения краевых задач для системы дифференциальных уравнений в частных производных, а затем осуществлять переход от изображений к оригиналам. Анализ публикаций по этой тематике показывает, что к настоящему времени накоплен значительный объем теоретических результатов, дающих представление о закономерностях формирования волновых полей в случае нестационарного нагружения в упругих телах [5, 51, 56, 62, 69, 81, 98, 99, 114, 142] и, в меньшей степени, в электроупругих [25, 53, 54].

Обзор аналитических методов решения нестационарных задач содержится в [80, 85, 102]. При изучении нестационарных задач используются, в основном, следующие подходы: метод функционально-инвариантных решений [108], разложение в ряд по гармоническим колебаниям [61], асимптотические методы [107], сведение к интегральным уравнениям 1 рода [62, 73], конечно-разностные аппроксимации [64, 104, 122, 139, 144, 148], метод асимптотически эквивалентных функций [66, 79], метод регуляризации Тихонова [13, 14, 112], метод контурных интегралов [79]. Для построения обращения преобразования Лапласа применяются преимущественно метод Каньяра [106, 133, 147, 152], метод Папулиса [143] и сведение к интегралу Фурье [87, 94, 100, 146]. При этом необходимо проведение анализа трансформанты Лапласа для комплексных значений параметра р. Сложный вид решения краевых задач в комплексной плоскости переменного р для сред типа слоя, многослойного полупространства, пакета слоев затрудняет и, зачастую, делает невозможным применение этих методов.

В настоящей работе основное внимание уделяется случаю гармонических колебаний, переход к нестационарному режиму осуществляется заменой частоты со на ip.

В [79] дан анализ общего представления решения интегральных уравнений динамических контактных задач, состоящего из энергетической составляющей, обладающей конечной энергией, и неэнергетической с бесконечной энергией, обеспечивающей излучение энергии. В случае существования лишь энергетической составляющей решения полуограниченное тело при наличии массивного штампа приобретает точки изолированного спектра и возможен резонанс. Резонансы такого рода были названы низкочастотными или В-резонансами. Они возникают в диапазоне 0<а?< сокр Ф 0 докритических частот запирания волноводных свойств полуограниченного тела. Доказано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в указанном диапазоне частот. Если сокр =0, то рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Исследование этих задач содержится в [77, 83] и обобщающей монографии [80].

Если соха , то в [13, 18, 37,38] установлено, что существование в полуограниченных телах типа полосы, слоя, цилиндра лишь энергетической составляющей решения возможно только при выполнении определенных условий - специальным образом ориентированных включений и трещин, параметры которых удовлетворяют некоторым соотношения*м, связывающим их с характеристиками полуограниченного тела. Эти условия названы условиями локализации вибрационного процесса.

В работах В.А. Бабешко впервые в мировой практике проведена систематизация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности, локализующих волновой процесс, и открыто новое, перспективное с точки зрения практического приложения, научное направление, одной из основных задач которого является установление условий и путей их реализации, посредством которых можно осуществить (а при необходимости - избежать) локализацию волнового процесса.

Вирус» локализует волновой процесс в среде погружения, если вызывает рост деформаций в ограниченной области своего расположения; при этом количество мод волн или составляющих решения вне этой зоны уменьшается. Локализация будет полной, если все точки системы колеблются синфазно. В противном случае локализация будет частичной.

Для «вирусов» вибропрочности различного класса условия локализации в виде теорем сформулированы в [14, 24, 23].

Результаты исследования условий локализации волнового процесса совокупностью включений или трещин для однородных изотропных сред представлены в [34-36, 42,43]. В настоящей работе проведено исследование условий локализации вибрационного процесса «вирусами» сложной структуры в многослойных средах.

Целыо работы является математическое моделирование динамических процессов в слоистых полуограниченных средах со сложными физико-механическими свойствами при наличии множественных неоднородностей типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; разработка метода построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений краевых задач, изучение их свойств; создание аналитического метода построения определителей указанных матриц, исследование на основе разработанных методов условий локализации вибрационного процесса системой дефектов.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Разработан новый аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений.

2. Получены новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей.

3. Создан новый аналитический метод вычисления определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений рассматриваемого класса задач.

4. Выявлены новые свойства указанных матриц.

5. Впервые описаны спектральные свойства дифференциальных операторов ряда частных краевых задач, имеющих большое прикладное значение.

6. Проведено исследование условий локализации волнового процесса совокупностью неоднородностей — «вирусами» вибропрочности различного строения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами, полученными другими авторами.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение

Основными результатами работы являются: математические модели, описывающие динамический процесс в слоистых полуограниченных средах при наличии множественных неоднородностей, с учетом связности механических, электрических и тепловых полей; новый аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных слоистых сред с неоднородностями (дефектами) типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; метод основан на постановке и решении краевых задач для специальных механических объектов - «вирусов» вибропрочности различного строения; новые универсальные функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей, позволяющие описывать динамические свойства среды при произвольном количестве и сочетании дефектов; метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, соответствующих краевым задачам рассматриваемого класса; новый эффективный аналитический метод вычисления определителей указанных матриц, являющийся основой изучения условий локализации вибрационного процесса системой дефектов. В ходе проведенных исследований для различных моделей многослойных сред, содержащих неоднородности различной природы, построены матрицы-символы Грина; на этой основе получены матрицы-символы ядер систем интегральных уравнений рассматриваемого класса задач и изучены их свойства, в том числе новые; введены специальные матрицы, связанные с типом дефекта и его положением в слоистой среде, позволяющие преобразовать блочные матрицы-символы ядер систем ИУ большой размерности к блочным треугольным матрицам, что существенно упрощает задачу вычисления их определителей; для широкого спектра задач построены определители матриц-символов ядер систем ИУ и проведен анализ их особых множеств (нулей и полюсов); установлено взаимнооднозначное соответствие между определенными классами «вирусов» вибропрочности и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина; для определителей матриц-символов ядер систем ИУ, соответствующих произвольному количеству и различным сочетаниям неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях пакета изотропных слоев на жестком основании, получено представление в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая их которых зависит только от геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей неоднородности, связанные с нарушением ее сплошности. Достоинством такого представления является исключение корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы, на стадии аналитического построения; при изучении резонансных режимов колебаний условия локализации волнового процесса «вирусами» вибропрочности различного строения дополнены описанием корневых множеств; выделены классы задач, в которых возможны только высокочастотные резонансы. Диссертационная работа выполнялась в Кубанском государственном университете в рамках ряда государственных научно — технических программ, в том числе:

- Федеральная целевая комплексная программа «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 гг.», проект № А0017;

- Федеральная целевая комплексная программа «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 гг.», проект № Б0121/1372;

- Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-2107.2003.1;

- Программа Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого тела», проект № Е-02-4.0-191.

Проведенные исследования были поддержаны научными фондами:

- Грант REC-004 Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза, 1999 -2002 гг.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2000Юг, грант «Моделирование динамических процессов в сейсмически активных зонах при наличии гидротехнических сооружений», проект № 00-01-96008, 2000-2002 гг.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2002Юг, грант «Экологическая оценка вибрационного воздействия на окружающую среду и промышленные объекты ответственного назначения», проект № 00-01-96007, 2000-2002 гг.;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2002Юг, грант «Теоретические и экспериментальные исследования вибрационного воздействия на здания и сооружения с целью создания методов экспресс-оценки их технического состояния для обеспечения геоэкологической безопасности региона», проект № 03-01-96645, 2003-2005 гг.;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Исследование литосферной плиты с учетом преднапряженности, термо- и пьезоэффектов», проект № 03-01-96537;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Разработка критериев разрушения тел с совокупностью трещин», проект № 03-0100694;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант проект № 0301-00662;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант проект № 0301-96658;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Влияние степени дефектности слоистых полуограниченных тел на процесс их динамического разрушения», проект № 05-01-00811.

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1. 519 с.

2. Акустические кристаллы. Под ред. М.П. Шаскольской. М.: Наука. 1982. 632 с.

3. Акопян В. Н., Ясницкий А. В. Напряженное состояние упругой полуплоскости, содержащей тонкое жесткое включение // Известия АН СССР. МТТ. 2002. № 6. С. 76 82.

4. Александров В. М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 672-683.

5. Александров В. М. Асимптотические методы в задачах механики сплошной среды со смешанными граничными условиями // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 102-108.

6. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

7. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

8. Александров В. М, Пожарский Д. А. К задаче о кольцевой трещине на границе раздела упругих слоя и полупространства // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. З. С. 476-483.

9. Александров В. М., Пожарский Д. А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Известия РАН. МТТ. 2001. № 1.С. 86-93.

10. Александров В. М., Рохалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение. 1986. 174 с.

11. Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 223 с.

12. Андреев А. В., Гольдштейн Р. В., Житников Ю. В. Расчет предельного равновесия внутренних и краевых трещин со взаимодействующимиповерхностями в упругой полуплоскости // Известия АН СССР. МТТ. 2002. №4. С. 96- 112.

13. Бабешко В. А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328 1332.

14. Бабешко В. А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24 -26.

15. Бабешко В. А. К обоснованию метода Олинера // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. №2. С. 311-314.

16. Бабешко В. А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

17. Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел//Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

18. Бабешко В. А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // Докл. РАН. 1994. Т. 335. № 1. С. 55 58.

19. Бабешко В. А. К теории смешанных задач в произвольных областях // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 552 556.

20. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475-478.

21. Бабешко В. А. Об интегральных уравнениях электроупругости, возникающих при расчете акустоэлектронных устройств // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 4. С. 812-815.

22. Бабешко В. А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

23. Бабешко В. А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и неоднородностей) // Известия РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5 -9.

24. Бабешко В. А. Теория «вирусов» вибропрочности для совокупностей включений // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. №3. С. 21-23.

25. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 1 4.

26. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 4. С.1 5.

27. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // Докл. РАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

28. Бабешко В. А., Бабешко О. М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестник южного научного центра РАН. 2004. Пилотный выпуск. С. 17 -23.

29. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 1 -5.

30. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С.5-9.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

32. Бабешко В. А., Белянкова Т. И., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 276-284.

33. Бабешко В. А., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоистонеоднородного полупространства // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2 С. 285-292.

34. Бабешко В. А., Бужан Е. М, Вильяме Р. К проблеме локализации вибрационного процесса в упругом твердом теле совокупностьюплоских жестких включений // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 6. С. 765 -767.

35. Бабешко'В. А., Бужан Е. М, Горшкова Е. М., Рохлин С. И. К проблеме распространения интерфейсных волн в средах со сварными соединениями // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. № 4. С. 23 25.

36. Бабешко В. А., Бужан Е. М., Натальченко А. В., Смирнова А. В. К проблеме расчета прочности сварных конструкций // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 2. С. 12-16.

37. Бабешко В. А., Ворович И. И., Образцов И. Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Известия АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 71 83.

38. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

39. Бабешко В. А., Зинченко Ж. Ф., Смирнова А. В. К задаче о набегании волн нормального давления на штамп // ЖПМТФ. 1982. № 2. С. 143 -146.

40. Бабешко В. А., Зинченко Ж. Ф., Смирнова А. В. Нестационарное взаимодействие штампа с упругой средой // Известия АН СССР. МТТ. 1982. №4. С. 139- 140.

41. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 36 -38.

42. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В., Вильяме Р. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625 628.

43. Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Об одном методе в теории динамических контактных задач для круглых штампов // Известия АН СССР. МТТ. 1981. №2. С. 22-28.

44. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3- 10.

45. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Определение динамических характеристик сред с неоднородностями // Механика и трибология транспортных систем: Сб. докладов Международного конгресса по трибологии. Ростов-на-Дону, 2003. Т. 1. С. 62 64.

46. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. Юбилейный выпуск. С. 80 82.

47. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. К проблеме исследования локализации волновых процессов в электроупругих средах // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 1. С. 50 53.

48. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Известия РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

49. Багдоев А. Г., Саакяи С. Г. Антиплоская задача распространения трещины с произвольной скоростью в анизотропной неоднородной упругой среде // Известия РАН. МТТ. 2002. № 2. С. 145 153.

50. Баглоев А. Г., Шекоян А. В. Антиплоская анизотропная задача для трещины, движущейся с произвольной скоростью // Известия РАН. МТТ. 1999. №4. С. 170- 173.

51. Бакиров В. Ф, Гольдштейн Р. В. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещин на границе соединения материалов // ПММ. 2004.- Т. 68. Вып. 1.С. 170-179.

52. Бардзокас Д., Филыитинский Б. Л. Дифракция сдвиговой волны на цилиндрических включениях в пьезоэлектрическом полупространстве // Известия РАН. МТТ. 1997. № 3. С. 77 -.