Динамические задачи для слоистых сред, содержащих жесткие включения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД, СОДЕРЖАЩИХ ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 2005

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор

Дунаев Игорь Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор

Калинчук Валерий Владимирович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

механики и прикладной математики Ростовского государственного

университета

Защита состоится «09» декабря 2005 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете но адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан « ^ » ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Евдокимов А А.

гоо^Л

\8471

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. На сегодняшний день проблемы, связанные с исследованием различных материалов с потенциальным содержанием иеоднородностей, изучением локализации таких неоднородностей и моделированием поведения сред, имеющих трещины или включения разной формы и расположения, при различном характере воздействия приобрели важнейшее значение в хозяйственной деятельности человека. Это объясняется желанием предсказать и тем самым минимизировать последствия возникновения естественных и техногенных катастроф, зачастую возникающих из-за недостаточного исследования сейсмических особенностей местности, устойчивости строительных материалов, конструкций, механизмов и деталей машин к нагрузкам, создаваемым различными природными и технологическими виброисточниками. Подобные исследования чрезвычайно важны и при поиске полезных ископаемых невзрывными, а значит более предпочтительными и дешевыми способами, а также при создании и исследовании свойств новых композиционных ма1ериалов.

Самыми интересными и в то же время наиболее трудными для моделирования и дальнейшего решения в теории упругости остаются задачи, описывающие взаимодействие различных неоднородностей со средой, в большинстве случаев слоистой. В частности, такие нарушения однородного состава упругих тел, как трещины, включения, полости различной природы, а также массивные штампы, действующие на поверхность изучаемой среды, являются наиболее часто применяемыми объектами при описании различных физических процессов и требуют тщательного изучения. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. В связи с этим актуальными

спановятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения.

На сегодняшний день наиболее изученными можно считать те задачи, в которых исследуется воздействие трещин и полостей на какое-либо упругое тело. В то же время среды с неоднородностями типа жестких включений реже являются объектом исследований, что еще раз доказывает актуальность данной работы. Данный вид дефектов наиболее часто возникает в неравномерно упрочненных элементах конструкций, в литосферных плитах в зонах разлома

Большое количество задач, возникающих в сейсмологии, геофизике, дефектоскопии, акустоэлектронике, машиностроении, фундаментостроении требует рассмотрения вопросов локализации волнового процесса внутренними дефектами (включениями, трещинами). Поэтому одной из главных задач при моделировании колебательных процессов является задача теоретического объяснения наблюдаемых особых режимов колебаний при экспериментальных исследованиях, а также определения условий их возникновения. В работах В. А. Бабешко проведена классификация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности и создана теория «вирусов» вибропрочности Одной из основных задач указанной теории является установление условий локализации волнового процесса в окрестности дефектов.

Целью настоящей работы является построение математических моделей и разработка методов исследования колебаний многослойных полуограниченных сред, содержащих неоднородности типа жестких включений.

Научная новизна определяется тем, что в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих жесткие включения; получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемой задачи и на их основе построены системы интегральных уравнений; для различных моделей сред построены элементы матриц-символов Грина и изучено их асимптотическое поведение; получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина

различных задач для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения; проведен анализ дисперсионных свойств построенных элементов матриц-символов и их определителей; исследованы особенности колебаний в двух- и трехслойных средах, содержащих включения.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в таких областях современной науки и техники, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.

Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость, в том числе:

■ Федеральная целевая комплексная программа «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 гг.», проект № Б0121/1372.

" Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-2107.2003.1.

■ Программа Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого тела», проект № Е-02-4.0-191, 2003 - 2004 гг.

■ Российский фонд фундаментальных исследований р2002юг, грант «Теоретические и экспериментальные исследования вибрационного воздействия на здания и сооружения с целью создания методов экспресс-оценки их технического состояния для обеспечения геоэкологической безопасности региона», проект N° 03-01-96645,2003 - 2005 гг.

■ Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Влияние степени дефектности слоистых полуограниченных тел на процесс их динамического разрушения», проект № 05-01-00811, 2005 - 2007 гг. Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 7 публикациях, в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на II и III школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Краснодар, 2003 г.; г. Ростов-на-Дону, 2004 г.), Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2004 г.), XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения академика И. П. Макеева (г. Миасс, 2004 г.) и на V Российской конференции с международным учасшем «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (г. Саратов, 2005 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 151 страницу, в том числе 16 страниц списка использованной литературы и 51 страницу приложений. Список использованной литературы включает 146 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, изучавшейся по теме диссертации, объясняется цель и научная новизна работы, а также обосновывается ее актуальность, практическая значимость и достоверность. Там же описывается структура работы и ее краткое содержание. Кроме того, перечисляются работы, выполненные по результатам исследований, и проводится разделение принадлежности последних диссертанту и другим соавторам указанных работ.

Значительный вклад в рассматриваемую тематику внесен ведущими российскими и зарубежными исследователями - В. М. Александровым, В. А Бабешко, А. В. Белоконем, О. А. Ватульяном, И И Воровичем, Н. В. Глушковой, Е. В. Глушковым, А. Г. Горшковым, В. Т. Гринченко, И. М. Дунаевым, Э. Дьелесаном, В. А. Еремеевым, В. В. Калинчуком, Е. В. Коваленко, А. А. Ляпиным, А. В. Манжировым, А JI. Медведским, JI. А. Молотковым, Н. Ф. Морозовым, А. В. Наседкиным, Г. И. Пеграшенем, Г. Я. Поповым, В. Б. Поручиковым, О. Д. Пряхиной, Д. Руайе, М. Г. Селезневым, Б. И. Сметаниным, А. В. Смирновой, Б В Соболем, А. Н. Соловьевым, М. А. Сумбачяном, Д. В. Тарлаковским, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устиновым, М. И. Чебаковым, J. D. Achenbach, Y. А. Antipov, W. М. Kwing, W. S. Jardetzky, А. В. Movchan, F. Press и другими авторами.

Первая глава содержит описание эффективного метода построения решения динамических смешанных чадам для многослойных сред, содержащих жесткие включения. В п. 1.1 дается общая постановка задачи. В п. 12 описывается механизм построения основных матрично-функциональных соотношений, связывающих основные динамические характеристики, исходя из условий краевой задачи. В п. 1.3 приводятся соотношения, которые обуславливают получение системы интегральных уравнений. Исследуются асимптотические свойства матриц-символов СИУ.

Рассматривается задача об установившихся колебаниях пакета, состоящего из N параллельных слоев, контакт которых друг с другом предполагается

N

неидеальным. Пакет имеет толщину Н = 2 £ \ и занимает область -Н < z < 0,

-оо <х,у < +оо. Каждый слой в пакете имеет свои характеристики: полутолщину hk, плотность рк, модуль сдвига fik и коэффициент Пуассона vk. Нижняя грань пакета жестко сцеплена с недеформируемым основанием, а поверхность среды в области Q0 подвержена гармонической нагрузке, характеризующейся вектором напряжений В плоскостях раздела слоев имеются плоские жесткие

включения, занимающие области D.km, на границе которых вектор напряжений t(х,у) претерпевает разрыв Atb,(x,y) = t+km(x,y)-tkm(x,y), k = \,2,...,N 1, m -1,2,.. ,Рк, Рк - количество дефектов в плоскостях zk = -hk .

Введем локальную систему координат для каждого слоя хк - х, ук=у, к-1

zk=z + 2^hm+hk, к = ] ,2,..., N . Перемещения точек к-г о слоя описываются

т=\

вектором wk(x,y,zk), удовлетворяющим уравнениям Ляме, которые при отсутствии в среде внутренних массовых сил и установившихся колебаниях имею!вид

(Ait+^)graddivWA+rtAwA =Pk<°2yVk- 0)

Предположим, что на границах раздела слоев zk=-hk имеют место непрерывные условия для перемещений и разрывные для напряжений w* {x,y,~hk ) = wt+, (x,y,hk+]),

tk (x,y,-hk) = tk+] (x,y,hk+])- Atk+l (x,y), k-\,2,...,N-l. На нижней грани пакета слоев выполняются условия жёсткой заделки \Уд, (x,y,-hN) = 0 или условие затухания перемещений wA,(x,y,z) -»О, z -> -оо, если среда представляет собой пакет слоев, жёстко сцепленный с упругим полупространством.

Решение уравнений Ляме (1) методом интегральных преобразований получено в виде

(zk ) = — [В+ (zk )Тк_, + В„ {zk )(Тк + Щ )], ^zk<hk, (2)

Мк

где T0=Ft0, Tk=Ftk, Wk=Fyvk, nk=FAtk, при этом t0 = {i10,i20,f30} -вектор поверхностных напряжений, tk = {t]k,t2k,tik} - векторы напряжений, характеризующие взаимодействие между слоями, wk = {wlji,w2i)w3i} - вектор, компонентами которого являются горизонтальные wïk, w2k и вертикальные w3k смещения точек к-го слоя, Ati = {A/u,Af2i,A/3(l} - скачок вектора

g

напряжений, заданный в областях , F - оператор двумерног о преобразования Фурье по переменным V и у с параметрами а и /?.

Условия стыковки слоев и условие на нижней грани пакета слоев соответственно имеют вид

Учитывая эти условия и соотношения (2) в работе получены новые матрично-функциональные соотношения, которые служат основой для построения интегральных уравнений (ИУ) и систем интегральных уравнений (СИУ) динамических смешанных задач для слоистых сред с включениями

Ки = У, (3)

и = (Т0>111>Ч2'"->Т1л'-!)>

где элементами блочной матрицы К = (К|Ья), {к,т-являются матрицы-функции

кп =клг(М>

К/Ья -

5=2

(4+1)»

(4)

X ^кРьт^т 1 + ^кт .¡=2

,{к>т).

Принятые обозначения

п—1.

I>*,=

,=к-1 > ^Ат — 11 £;-1*/-|В-(Л)> Я*--^

1

(=4

I, к = т,

(V)=В_ (-Ад,), ^ )=в_ ) - (А4+| ),

Кл-а+^а) ~ матрицы-символы Грина пакета из к слоев без дефектов. (¿=1 отвечает Л^-слойному пакету Я^(^) = Я^ . толщины

N

Н = = N - одному слою Ях ) толщины ).

к=\

Матрицы В± (г) для изотропной среды имеют следующую структуру:

геометрических параметров к-го слоя, частоты колебаний и параметра

Применив обратное преобразование Фурье к (3) и (4), получим систему матричных интегральных уравнений относительно контактных напряжений 4о(-*>.у) в области П0 и скачков напряжений А^ (*,>>) на берегах включений, занимающих плоские области на линиях раздела слоев

где mf0, «20» «о, Л10, Д20 - функции, зависящие от механических и

Для (x,j/)e£20, z,=/i,:

¡¡ku(x-4,y-i1)t0(Z,TJ)dZáT} +

k~\ m=lQ,

Для (ij)efif„, 2p = -hp, n = l,2,...,Pp, p = \,2,...,N-l:

fio

Ядра системы даются формулой

а подынтегральные матрицы-функции Ккт [а,р) описываются выражениями (4). Контуры интегрирования <5] и 8г выбираются в соответствии с принципом предельного поглощения.

Для построения решений в частных случаях поставленной общей динамической смешанной задачи был выбран метод фиктивного поглощения. В п. 1.4 приводится его общая схема. В п. 1.5 и п. 1 6 строятся решения СИУ, которые возникают при исследовании плоских и антиплоских динамических смешанных задач для штампов, вибрирующих на поверхности полуограниченной среды и включений внутри среды и одной отличной от нуля компонентой расширенного вектора напряжений.

Во второй главе приводится вид матриц-символов Грина для задач о колебаниях слоистой среды при идеальном контакте между слоями, а также формулы для элементов этих матриц-символов в пространственном случае, необходимые в дальнейших исследованиях. В п. 2.1 рассматривается случай для среды, состоящей из одного слоя, лежащего на недеформируемом основании, в п. 2.2 описана двухслойная среда без включений, в п. 2.3 -трехслойная. В п. 2.4 приводится вид матрицы-символа Грина для пакета, состоящего из произвольного количества слоев, без включений и даны рекуррентные формулы для вычисления элементов в виде отношения двух целых функций.

В случае ТУ-слойной изотропной среды при идеальном контакте между слоями матрица Грина К имеет вид

<*\п + Р\п аР{г1» ~ Г2п) -Щ„

К= аР{г\п~г2п) р\п+<*\п

iаг„ Ч/Зг3„ гЛп

(Л,

\

(6)

ч

г - r -Jh.L_ , - HL.

,n~ i2a ' 2"~I2» ' 3л ~ л ' '4n Л

I/7

Для л =I.

ЯД

In

'Il

2 j

cr2Q7 [СГ1С2 (2 Ao"2)ch(2Act] ) - Я 2 sh(2ha{ )ch (2h<r2 )J,

(y + A2 )[ch (2Acr, )ch(2Acr2) -1] --(/A2 +CT12CT2)sM2Aer1)sh(2/20-2)j,

¿21 = sh(2/)(j] )ch(2Aor2) - A2 sh(2/7CT2)ch(2Acr,)"j,

= sh(2h<y2) > Du = -^(я4 +cr2cr2 )sh(2Aer,)sh(2Aer2)-[ch(2^(Tj )ch(2/7cr2) -1].

Au=Io-,o-2|Íq4-(7 + A2)2+ ch(2Acr1)ch(2Acr2)

-Я2(^2 +o-12o-2)sh(2Acr1)sh(2/2cr2),

A2, =cr2ch(2 Acr2), Для n = 2,3,...,N :

-gl {[A,, ( A, ) - А% (A, ) - L6 (A, )]m+2[n_,0 (A2,A3,...,An) +

+£4 (A, (A, Л.......h„ ) + À2L5 ( A, )m{(n_l} (A,, A,,..A„ )},

к2п -

{[ММ+(М] %-.) Л. ■ • ■ Л)+ {н\ )■(^Л-• -А) - )да2(и-о (^Л-• -А)}>

+«1 [«П ( ^) ■К(П-\) Сь> кЪ. ■ • • > ■К ) + к2) (к\) ™Г(„Ч) > ■.■■ ■■ ■> ■К) +

+8\ [Чо )к2(„-\) (ЬА.....К) + к20 (к\ )'«¡(и-|)А - • А ) +

Используемые здесь обозначения

1и)+0 = -а2П2 [у2 сЬ(2й<т2 )8Ь(2йсг, ) - ?}аха2 сЬ(2/кг, )зЬ(2Аст2)],

т2+0 = 2^стха2у[у + Я2)[сЬ(2/га1)сЬ(2/гСТ2) -1] --[/3 + Д 2<т,2сг| ] БЬ () БЬ ( 2ЛСТ2 )},

¿20 - -ар2 [г2 сЬ(2/ит, )8Ь(2йсг2) - Х2ихаг сЬ(2йсг2)эЬ(2Лсг,)], «о" =сЬ(2Асг2),

А10 =4(/4 +/14о-2о-2)8Ь(2Асг1)зЬ(2/гст2)-- %аха2у 2Л2 [сЬ(2/го-!)сЬ(2/7ст2) -1], А20 = сг2зЬ(2/гсг2),

I] =^-<72^45Ь(2Асг1)зЬ(2/гсг2), ¿2 =^ст12а45Ь(2йо-])зЬ(2йсг2), 1з =(<Т,2О-2 +х2)зЬ(2/70-,)зН(2й(Г2)-20-1<т2г[сЬ(2/гс71)сЬ(2/1сг2)- 1],

¿4 = - ^ сг2а2 [сг,^ сЬ (2ЙСГ,) эЬ (2 йсг2) - у эЬ (2/гсг,) сЬ ( 2/зст2)], = —[ст^г бЬ(2/гсг, )сЬ(2/гсг2) - у сЬ(2й(Х, )зЬ(2Иа2)],

Ь6 =-сг10-2^4[сЬ(2/го-|)сЬ(2/1О-2) + 1]-

у = А2~-П2, сг22=Я2-П2, а2 =

;2 = рйЛг

Здесь Г2 - приведенная частота колебаний, я - характерный линейный размер (например, области действия поверхностной нагрузки), р - плотность, (1 - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона для конкретного слоя, занимающего область \г\<к, - со < х,у < +сс.

Определитель матрицы-символа К (7) равен

Полученные формулы позволяют эффективно проводить исследование свойств решений.

В третьей главе описываются различные случаи колебаний слоистых сред с включениями. В п. 3.1 строится матрица-символ Грина для случая среды, которая представляет собой пакет из двух слоев с включением на их стыке. Дано представление системы матричных интегральных уравнений и выписаны формулы для элементов матрицы-символа Грина в случае отсутствия действия нагрузки на верхний слой. В п. 3.2 в формулах для элементов осуществлен переход к случаю колебаний слоя на полупространстве с включением между ними. В п. 3.3 и п. 3.4 представлены случаи расположения включения на стыке двух полупространств и включения внутри пространства соответственно. В п. 3.5 построена система матричных интегральных уравнений для плоской динамической задачи о колебаниях трехслойной среды в предположении отсутствия нагрузки на верхний слой и наличия включения между первым и вторым или вторым и третьим слоями. Приведены формулы для составляющих

матрицы-символы Грина элементов в обоих случаях, а формулы для общего случая при наличии нагрузки на верхний слой и включений на стыках всех слоев, ввиду их громоздкости, вынесены в приложение С.

В п. 3.6 дается представление рекуррентных соотношений для определения вида матрицы Грина задачи, в которой имеют место N слоев с включением на стыке первых двух слоев. В случае плоской задачи и отсутствия нагрузки Т0, действующей на верхний слой, элементы матрицы Грина в виде отношения двух целых функций для л = 2,3,...,Л^ представляются следующим образом:

а ) %-1) Л > • • • А) + & *и (М <(„-!) Сь А. -■ А)

>

ч)(А2>/г3,...Д) + £,Д11(А1)'«2(, -.-оСъА.- ••А)

¿ЧЛАА.-А)

■А)

Здесь т\п, к*„, и Д,„ - числители и знаменатель элементов матриц-символов Грина для среды без дефектов, вычисляемые по рекуррентным формулам, полученным в главе 2 диссертации.

В четвертой главе описываются различные особенности колебаний сред, содержащих включения, и приводится анализ численных результатов, полученных в работе. В п. 4.1 получены соотношения, на основании которых можно легко находить аналитическое представление определителей матриц-символов ядер систем ИУ конкретных задач в виде отношения двух целых функций.

Определитель системы

ки = у, У = и = (т0)ч„П2.....

с блочной матрицей

кп к12 ... к,^

к„2 ... кту

с точностью до постоянного множителя получен в виде

detK = П1ГdetF;,detB,(-/2A)lПdetR1(/г/t). (8)

/Ы А=1

Если рассматривать такую постановку задачи, в которой Я = а, а /? = 0, тогда система (3) распадается на две независимые системы, одна из которых отвечает плоской задаче с блочной матрицей К а К1, а другая - антиплоской задаче с матрицей К = К2. В пространственном же случае установлено, что определитель (8) может быть представлен в виде произведения ае1К = ае1К'ёе1К2.

Матрицы, участвующие в (8) не содержат растущих экспоненциальных составляющих и структура элементов этих матриц позволяет выделить и сократить сомножители, дающие устранимые нули и полюса. Используя свойства матриц-функций, входящих в (8), определитель системы (3) можно представить в виде отношения целых функций

detKp = 1

*=1 (9)

N ^ '

*=2

В этих формулах Др, и АрЫ - знаменатели определителей и элементов

матриц-символов Грина соответственно для однослойной и уУ-слойной среды без дефектов с жестко защемленной нижней границей, а Ор1 — числитель

определителя и знаменатель элементов обратной матрицы Грина однослойной среды с жестко защемленной нижней границей. Из (9) следует, что при Т0 = О нули изучаемого определителя ¿е1К системы (3) являются совокупностью нулей определителей матриц-символов однослойных сред толщиной 2\ и полюсов определителя матрицы-символа одного слоя толщины 2/г, с защемленной нижней границей, т.е корнями трансцендентных уравнений Ар1(Ь1) = 0, £>р¡(^) = 0, к-2,Ъ,...,Ы (р= 1 - плоская задача, р = 2 -антиплоская).

В случае идеальной среды или наличия включений не на всех стыках слоев формулы (9) имеют другую структуру.

Таким образом, каждый из сомножителей, входящих в (9), зависит от геометрических и механических параметров только одного слоя. Проводя вычислительные эксперименты, подбором этих параметров можно управлять волновыми, в том числе и резонансными свойствами изучаемых обьектов.

В п. 4.2 приводится объяснение причин и условий возникновения резонансных явлений в упругих средах, содержащих неоднородности типа включений или штампов (штамп рассматривается как включение, выходящее на поверхность среды), используя теорию «вирусов» вибропрочности, созданную В. А. Бабешко. Возникновение явления резонанса связано с локализацией волнового процесса в зоне штампа или включения. Выполнение условий локализации означает, что при колебании включений (штампов) поля перемещений убывают экспоненциально при удалении на бесконечность и при этом энергия не излучается. Известно, что общее представление решения систем интегральных уравнений состоит из энергетической составляющей, обладающей конечной энергией, и неэнергетической составляющей с бесконечной энергией, обеспечивающей отток энергии на бесконечность. При выполнении условий локализации в решении отсутствует неэнергетическая составляющая, поэтому при |х|->оо будет иметь место экспоненциальное убывание амплитуды колебаний.

Можно определить характеристики задачи, локализующие волновой процесс в ограниченной зоне: частоту колебаний, физико-маханические и геометрические параметры среды, а также геометрические характеристики включения - горизонтальную протяженность и глубину залегания. В общем случае, для определения параметров, локализующих волновой процесс, необходимо знание нулей определителя АлК{а,р).

В п. 4.3 дается описание приведенных в приложении А графиков нулей и полюсов элементов матриц-символов Грина и их определителей некоторых плоских задач при различных параметрах слоев. Каждый график представляет

собой ^висимость параметра преобразования Фурье а (ось ординат) от приведенной частоты П (ось абсцисс). Сплошные линии представляют полюса функции, пунктирные - нули. Дан анализ поведения дисперсионных кривых в зависимости от различных тенденций изменения параметров слоев исследуемой двух- или трехслойной среды.

На рис. 1 представлены характерные нули и полюса элемента /,3 матрицы-символа для задачи о колебаниях трехслойной среды при наличии одного включения между первым и вторым слоями и отсутствии нагрузки на верхний слой. Толщины слоев в безразмерных величинах: й, =0.125, к} -0.250, къ =0.375; отношения модулей сдвигов второго и третьего слоев к модулю сдвига первого слоя: Мг = 5.0, М3 = 0.2 соответственно.

На рис. 2 отображены дисперсионные кривые для определителя матрицы Грина задачи о колебаниях пакета, также состоящего из трех слоев, и отсутствии внешнего воздействия на верхний слой, но здесь включение находится между вторым и третьим слоями. Слои имеют одинаковую толщину \ ~ - Ь = 0-250. Отношения модулей сдвигов второго и третьего слоев к модулю сдвига первого слоя: М2 - 25.0, М3 = 5.0 соответственно. На этих графиках четко можно видеть диапазоны частот, на которых возникает явление обратной волны.

В п 4.4 проводится численный анализ решений, полученных методом фиктивного поглощения, для двух- ъ трехслойной среды

Рис. 3 иллюстрирует зависимость интенсивности скачка напряжений от пространсгвенной координаты х, принимающей значения из диапазона [-а;а], где а = 10.0 - полудлина включения, расположенного на стыке первого и второго слоев в трехслойном пакете. Слои имеют одинаковую толщину: к1=к2 = Аз = 0.250; отношения модулей сдвигов второго и третьего слоев к модулю сдвига первого слоя: М2 = 5.0, М3 = 25.0 соответственно; приведенная частота колебаний П. = 5.0. Сплошная линия представляет собой вещественную часть решения, пунктирная - мнимую. Кривые 1 -4 соответствуют г] - 0.0,0.1,0.25,0.5, где т] - параметр, характеризующий форму включения.

На рисунках коэффициенты Пуассона и плотности для всех трех слоев одинаковы: = у2 = = 0.3, р, = р2 = /?3 = 1.0.

Заключение настоящей диссертационной работы содержит основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ

Предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих плоские жесткие включения. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений. Для различных моделей сред, содержащих включения, построены новые рекуррентные соотношения для вычисления элементов матриц-символов Грина.

Изучены свойства ядер систем интегральных уравнений. Построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред.

Впервые получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина различных задач, необходимые для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения.

На основе построенных методом фиктивного поглощения решений некоторых типов интегральных уравнений плоских задач о колебаниях многослойной среды с включениями получены соотношения, описывающие резонансные режимы колебаний многослойной среды с включениями. Разработаны алгоритмы и программные средства: для нахождения особых множеств элементов матриц-символов Грина и их определителей; для исследования особенностей построенных решений плоских динамических задач для слоистых сред с включениями; для визуального представления результатов вычислений в MS Excel. Для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей.

Исследованы особенности колебаний в двух- и трехслойных средах, содержащих включения.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ 110 ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 7 публикациях'

1. Борисов Д. В., ПряхинаО Д, Смирнова А В Динамическая задача для слоистой среды с включениями // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика- Труды III школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2004. С. 47 - 49.

2. Борисов Д. В., Пряхина О. Д., Смирнова А В Решение динамической задачи для грсхслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморскою экономического сотрудничества 2004. №2. С. 8- 13

3. ПряхинаО. Д., Борисов Д. В. Динамическая задача для двухслойной среды с включениями // Современное сосюяние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Тез. докл Всеросс. науч. конф. молодых ученых и студентов. Анапа, 2004. Т 2. С. 38 - 40.

4 Пряхина О. Д., Борисов Д. В. Динамическая задача о колебаниях двухмодульной упругой среды с включениями // XXIV Росс, школа по проблемам науки и технологий, посвященная 80-летаю со дня рождения акад. И. П. Макеева: Тез докл. Межрегиональный совет по науке и технологиям. Миасс, 2004 С. 47.

5. Пряхина О. Д., Борисов Д. В. Колебания двухслойной среды, содержащей систему включений // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара молодых ученых Юга России. Краснодар, 2004. С 147 -151.

6. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Борисов Д. В., Мазин В. А. Интегральные уравнения динамических задач для слоистого полупространства с

включениями // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. V Росс. конф. с международным участием. Саратов, 2005. С. 119. ПряхинаО. Д., Смирнова А. В., Борисов Д. В., Мазин В. А. Свойства элементов и определителей матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 2005. № 2. С. 40 - 43.

Бумага тип. №2. Печать трафаретная Тираж 100 экз. Заказ № 388 ог 1.11.05 г. Кубанский государственный университет.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

№216 72

РНБ Русский фонд

2006-4 18471

ВВЕДЕНИЕ.

1 КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД ПРИ НАЛИЧИИ ВКЛЮЧЕНИЙ.

1.1 Общая постановка задачи.

1.2 Построение основных матрично-функциональных соотношений.

1.3 Вывод СИУ. Свойства символов ядер СИУ.

1.4 Общая схема метода фиктивного поглощения.

1.5 Метод фиктивного поглощения для одного уравнения.

1.6 Метод фиктивного поглощения для системы уравнений, заданных на отрезках.

2 КОЛЕБАНИЯ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ В СЛУЧАЕ ИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА МЕЖДУ СЛОЯМИ.

2.1 Колебания одного слоя на жестком основании.

2.2 Колебания двухслойного пакета на жестком основании.

2.3 Колебания пакета из трех слоев на жестком основании.

2.4 Общий случай колебаний Л^-слойной среды без дефектов.

3 КОЛЕБАНИЯ СЛОИСТЫХ СРЕД С ВКЛЮЧЕНИЯМИ.

3.1 Колебания пакета из двух слоев.

3.2 Переход к слоистому полупространству.

3.3 Включение на стыке двух полупространств.

3.4 Включение в пространстве.

3.5 Колебания трехслойной среды.

3.6 Колебания iV-слойной среды с включениями.

4 ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАНИЙ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД, СОДЕРЖАЩИХ ВКЛЮЧЕНИЯ.

4.1 Построение определителей матриц-символов Грина.

4.2 Резонансные явления в слоистых средах с включениями.

4.3 Построение дисперсионных кривых динамических задач для сред с включениями.

4.4 Численный анализ решений СИУ плоской задачи для трехслойной среды.

На сегодняшний день проблемы, связанные с исследованием различных материалов с потенциальным содержанием неоднородностей, изучением локализации таких неоднородностей и моделированием поведения сред, имеющих трещины или включения разной формы и расположения, при различном характере воздействия приобрели важнейшее значение в хозяйственной деятельности человека. Прежде всего, это связано с желанием предсказать и тем самым минимизировать последствия возникновения естественных и техногенных катастроф, зачастую возникающих из-за недостаточного исследования сейсмических особенностей местности, устойчивости строительных материалов, конструкций, механизмов и деталей машин к вибрационным нагрузкам, создаваемым все более возрастающей активностью современного промышленного оборудования и другими различными природными и технологическими виброисточниками. Подобные исследования чрезвычайно важны и при поиске полезных ископаемых невзрывными, а значит более предпочтительными и дешевыми способами, для определения методики расчета различных акустоэлектронных устройств -преобразователей поверхностных волн или резонаторов со сложной топологией электродов, а также при создании и исследовании свойств новых композиционных материалов.

Хотя данной области теории упругости присущи большие трудности математического и технического характера, описанный класс задач традиционно привлекает внимание ученых по всему миру. Общие основы статической и динамической теории упругости были заложены в работах В. М. Александрова, В. А. Бабешко, А. В. Белоконя, И. И. Воровича, В. Т. Гринченко, Э. Дьелесана, JL А. Молоткова, Н. Ф. Морозова, И. Ф. Образцова, Г. И. Петрашеня, Г. Я. Попова, В. Б. Поручикова, Д. Руайе, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинова, М. М. Филоненко-Бородича,

J. D. Achenbach, W. M. Ewing, W. S. Jardetzky, F. Press и целого ряда других исследователей. Этой теме посвящены монографии и публикации [4 - 6, 15, 20, 54 - 56, 67, 69, 89, 90, 95, 126, 128, 137].

В рамках теории упругости чрезвычайно важной является область исследования, в которой изучаются среды, состоящие из нескольких слоев с различными параметрами, поскольку большинство практических применений требуют построения математических моделей именно для таких неоднородных объектов. В связи с этим математический аппарат теории упругости расширился благодаря работам таких исследователей, как В. А. Бабешко, О. А. Ватульян, И. И. Ворович, Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова, Р. В. Гольдштейн, И. М. Дунаев, Ю. В. Житников, В. В. Калинчук, Е. В. Кириллова, А. В. Наседкин, О. Д. Пряхина, М. Г. Селезнев, А. В. Смирнова, П. В. Сыромятников, О. М. Тукодова, М. Р. Фрейгейт, J. W. Dunkin, D. G. Harkrider, Т. Kundu, А. К. Mai, Е. N. Trower и другие. В работах [36, 37, 39, 60, 63, 50 - 52, 74, 104, 120, 121, 136, 140, 143, 146] проводятся исследования систем тел со слоистой структурой. Отсутствие сплошности наблюдается также и в сейсмологии при описании колебаний земной коры. Подобные задачи изучаются во многих работах, в том числе и в следующих: [1, 24, 38, 132].

Однако самыми интересными и в то же время наиболее трудными для моделирования и дальнейшего решения в теории упругости остаются задачи, описывающие взаимодействие различных неоднородностей со средой, в большинстве случаев слоистой. В частности, такие нарушения однородного состава упругих тел, как трещины, включения, полости различной природы, а также массивные штампы, действующие на поверхность изучаемой среды, являются наиболее часто применяемыми объектами при описании различных физических процессов и требуют тщательного изучения. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. Кроме того, неединственность решений динамических задач для сред с совокупностью неоднородностей при некоторых значениях параметров делает эти задачи еще более сложными. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения.

На сегодняшний день наиболее изученными можно считать те задачи, в которых исследуется воздействие трещин и полостей на какое-либо упругое тело. Здесь следует отметить работы В. М. Александрова, Д. А. Пожарского [7, 8], А. В. Андреева, Р. В. Гольдштейна [9],

B. А. Бабешко [12,13], А.В.Павловой, С. В. Ратнер [31], А. Г. Багдоева,

C. Г. Саакяна [40], А. Г. Баглоева, А. В. Шекояна [41], Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой [43,61,62], Т.А.Беляковой, Е.В.Ломакина [44], Р. В. Гольдштейна, Ю. В. Житникова [64, 65], А. О. Ватульяна,

A.Н.Соловьева [52], С. А. Зегжды, Н.Ф.Морозова, Б.Н.Семенова [71],

B. В. Зозули [72], О. Д. Пряхиной, А. В. Смирновой, И. В. Кардовского, В. В. Мазина [75, 76, 96, 102, 103, 113, 122], С. В. Кузнецова [79], И. М. Лавита [81,82], В. В. Михаськива [84], Ю. Н. Подильчука [91], Г. Я. Попова [94], Б. В. Соболя, Б. И. Сметанина [121], В. В. Тихомирова [124, 125], Y. A. Antipov, О. Avila-Pozos, S. Т. Kolaczkowski, А. В. Movchan [131], J. P. Bercial-Velez, Y. A. Antipov, A. B. Movchan [133]. В то же время среды с неоднородностями типа жестких включений реже являются объектом исследований, что еще раз доказывает актуальность данной работы. Данный вид дефектов наиболее часто возникает в неравномерно упрочненных элементах конструкций, в литосферных плитах в зонах разлома. Изучение динамических задач о колебаниях упругих сред с включениями проводились в работах [2, 3, 18, 27, 28, 42, 45 - 48, 66, 70, 73, 77, 80, 78, 85 - 87, 92, 93, 97 - 101, 110 - 112, 116, 117, 119, 127, 129, 135,

138, 139, 141, 144]. Ряд ученых проводили изыскания в области задач, где из-за находящегося в теле включения на стыке с ним образуются трещины [134, 142]. Одним из практических применений исследований смешанных задач теории упругости при наличии дефектов, являются методы неразрушающего контроля сооружений и материалов [34, 108].

Наиболее сложным этапом построения решений статических и динамических задач теории упругости для сред с нарушением сплошности является вывод матрично-функциональных соотношений, исследование классов разрешимости и решение систем интегральных уравнений. Существует много методов, которые можно использовать при решении получаемых систем интегральных уравнений. По способу реализации их условно можно разделить на численные и численно-аналитические. К числу последних относится метод факторизации [17, 21 - 23, 25, 26, 88, 130], а также метод фиктивного поглощения, используемый в настоящей диссертации для решения полученной системы интегральных уравнений. Его основы были заложены В. А. Бабешко в работе [17], а дальнейшее развитие он получил в работах [16, 17, 32, 56]. Главная идея этого метода состоит в преобразовании интегральных уравнений с быстро осциллирующими и медленно убывающими ядрами к вспомогательным интегральным уравнениям, ядра которых экспоненциально убывают с ростом аргумента. Такое поведение ядер характерно для сред с поглощением или вязкоупругих сред с неизменяющимися во времени свойствами, что и обусловило название метода. Решение вспомогательных уравнений с высокой степенью точности можно относительно легко получить, используя один из известных методов - факторизации, асимптотический, ортогональных полиномов и т. д. Затем с помощью обратных формул строится решение исходной задачи. Метод фиктивного поглощения позволяет изучать как низкочастотные, так и высокочастотные колебания. Достоинством метода является возможность описания поведения решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ, включая угловые точки, являющиеся концентраторами напряжений.

Другой аспект, вызывающий немалые трудности, - это построение матриц-символов Грина, описывающих ядра систем интегральных уравнений получаемых краевых задач. Этот вопрос изучался, в том числе, в публикациях [39, 105, 107, 114, 115, 145]. Здесь также можно воспользоваться набором как численных, так и аналитических методов. За последние годы особенно интенсивно развиваются исследования, основанные на использовании прямых численных методов. Одним из наиболее эффективных является общий метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов [49]. Этот подход позволяет изучать динамические характеристики в средах при наличии дефектов в плоскостях, не параллельных свободной поверхности [50 - 52]. Однако вследствие отмеченной выше неединственности решения, их применение должно контролироваться аналитическими методами повышенной точности. Необходимость использования аналитических методов вместо прямых численных обуславливается также тем, что часто в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений присутствуют быстрорастущие экспоненциальные составляющие, приводящие к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при удовлетворении граничных условий.

Большое количество задач, возникающих в сейсмологии, геофизике, дефектоскопии, акустоэлектронике, машиностроении, фундаментостроении требует рассмотрения вопросов локализации волнового процесса внутренними дефектами (включениями, трещинами). Поэтому одной из главных задач при моделировании колебательных процессов является задача теоретического объяснения наблюдаемых особых режимов колебаний при экспериментальных исследованиях, а также определения условий их возникновения. Речь здесь идет, прежде всего, о явлении резонанса, возникающего в условиях локализации вибрационного процесса. Исследования такого рода можно найти в работах В. А. Бабещко, О. М. Бабешко, Т. И. Белянковой, С. И. Боева, Е. И. Ворович, И. И. Воровича, В. В. Калинчука, И. Ф. Образцова, И. Б. Поляковой, О. Д. Пряхиной, А. В. Смирновой, О. М. Тукодовой, и других [10, 14, 29,53,56-59, 106].

Свойство совокупности неоднородностей при определенных условиях локализовать волновой процесс в своей окрестности является основой научного открытия В. А. Бабешко, И. И. Воровича, И. Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [29]. Было установлено, что таким свойством обладают не только множественные, но и отдельные неоднородности. В работах В. А. Бабешко проведена классификация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности [11, 18, 19] и создана теория «вирусов» вибропрочности. Одной из основных задач указанной теории является установление условий локализации волнового процесса [11-16].

Несмотря на большие достижения в решении динамических задач для многослойных сред, проблемы динамического взаимодействия системы «массивный объект - подстилающее основание» с учетом неоднородности последнего изучены недостаточно. В свете этого представляется актуальной постановка задачи о колебаниях слоистой среды при наличии дефектов типа жестких включений на линиях раздела слоев.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, разработка методов исследования колебаний многослойных полуограниченных сред, содержащих неоднородности типа жестких включений.

Научная новизна определяется тем, что в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих жесткие включения; получены новые матричнофункциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемой задачи и на их основе построены системы интегральных уравнений; для различных моделей сред построены элементы матриц-символов Грина и изучено их асимптотическое поведение; получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина различных задач для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения; проведен анализ дисперсионных свойств построенных,элементов матриц-символов и их определителей; исследованы особенности колебаний в двух-и трехслойных средах, содержащих включения.

Актуальность темы диссертации состоит в том, что жесткие включения значительно реже встречаются в исследованиях колебаний упругих многослойных сред с содержанием неоднородностей, нежели трещины или полости.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в таких областях современной науки и техники, как фундаментостроение, сейсмология, дефектоскопия, геофизика, акустоэлектроника, машиностроение и других.

Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.

Настоящая диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 151 страницу, в том числе 16 страниц списка использованной литературы и 51 страницу приложений. Список использованной литературы включает 146 наименований.

Заключение

Настоящая диссертация посвящена исследованию динамической задачи о колебаниях пакета, состоящего из N параллельных слоев, при наличии включений на их стыках. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих плоские жесткие включения.

2. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений.

3. Для различных моделей сред, содержащих включения, построены новые рекуррентные соотношения для вычисления элементов матриц-символов Грина.

4. Изучены свойства ядер систем интегральных уравнений. Построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред.

5. Получены аналитические представления определителей матриц-символов Грина различных задач, необходимые для исследования условий локализации вибрационных процессов в слоистых средах, содержащих включения.

6. На основе построенных методом фиктивного поглощения решений некоторых типов интегральных уравнений плоских задач о колебаниях многослойной среды с включениями получены соотношения, описывающие резонансные режимы колебаний многослойной среды с включениями.

7. Разработаны алгоритмы и программные средства: для нахождения особых множеств элементов матриц-символов Грина и их определителей; для исследования особенностей построенных решений плоских динамических задач для слоистых сред с включениями; для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

8. Для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей.

9. Исследованы особенности колебаний в двух- и трехслойных средах, содержащих включения.

1. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1. 519 с.

2. Акопян В. Н. Напряженно-деформированное состояние составного клина, усиленного жестким включением // Механика деформируемого твердого тела. Ереван: Изд-во АН Армении. 1993. С. 63 -78.

3. Акопян В. Н., Саакян А. В. Напряженное состояние упругой полуплоскости, содержащей тонкое жесткое включение // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 6.

4. Александров А. М, Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

5. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

6. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

7. Александров В. М., Пожарский Д. А. К задаче о кольцевой трещине на границе раздела упругих слоя и полупространства // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3.

8. Александров В. М, Пожарский Д. А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1.С. 86-93.

9. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Расчет предельного равновесия внутренних и краевых трещин со взаимодействующими поверхностями в упругой полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4.

10. Бабешко В. А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // ДАН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328 1332.

11. Бабешко В. А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24 26.

12. Бабешко В. А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

13. Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

14. Бабешко В. А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // ДАН СССР. 1994. Т. 335. № 1. С. 55 58.

15. Бабешко В. А. К теории смешанных задач в произвольных областях // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 552 556.

16. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // ДАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475 478.

17. Бабешко В. А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

18. Бабешко В. А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и неоднородностей) // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2000. №3. С. 5-9.

19. Бабешко В. А. Теория «вирусов» вибропрочности для совокупностей включений // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. №З.С. 21 -23.

20. Бабешко В. А., Бабешко О. М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // ДАН. 2005. Т. 400. № 2. С. 192 196.

21. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 1 -4.

22. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 1 5.

23. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

24. Бабешко В. А., Бабешко О. М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестник южного научного центра. 2004. Пилотный выпуск. С. 17 -23.

25. Бабешко В. А., Бабешко О. М. О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5 9.

26. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 1 5.

27. Бабешко В. А., Бужан Е. М., Вильяме Р. К проблеме локализации вибрационного процесса в упругом твердом теле совокупностью плоских жестких включений // ДАН. 2002. Т. 382. № 6. С. 765 767.

28. Бабешко В. А., Ворович И. И. Динамические свойства полуограниченных упругих и электроупругих трехмерных тел при смешанных граничных условиях и включениях // Тез. докл. V Всес. съезда по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата: Наука, 1981.

29. Бабешко В. А., Ворович И. И., Образцов И. Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностямиУ/ Изв. РАН. МТТ. 1990. № 3. С. 71 83.

30. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

31. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 36 38.

32. Бабешко В. А., ПряхинаО.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. All -484.

33. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3 10.

34. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Моделирование в задачах неразрушающего контроля прочностных свойств элементов конструкций // Сб. трудов XVII Междунар. научн. конф. Кострома, 2004. Т. 5. Вып. 10. С. 5-7.

35. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Определение динамических характеристик сред с неоднородностями // Механика и трибология транспортных систем: Сб. докладов Междунар. конгресса по трибологии. Ростов-на-Дону, 2003. Т. 1. С. 62 64.

36. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 2002. Юбилейный выпуск. С. 80-82.

37. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Учет геологической неоднородности основания при расчете сооружений в сейсмоопасных регионах // Материалы Юбилейной междунар. научно-практической конф. «Строительство-2004». Ростов-на-Дону, 2004. С. 87 89.

38. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

39. Багдоев А. Г., Саакян С. Г. Антиплоская задача распространения трещины с произвольной скоростью в анизотропной неоднородной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 2. С. 145 153.

40. Баглоев А. Г., Шекоян А. В. Антиплоская анизотропная задача для трещины, движущейся с произвольной скоростью // Изв. РАН. МТТ. 1999. №4. С. 170- 173.

41. БардзокасД., Филъштинский Б. Л. Дифракция сдвиговой волны на цилиндрических включениях в пьезоэлектрическом полупространстве // Изв. РАН. МТТ. 1997. № з. с. 77 84.

42. Барсуков С. А., ГлушковЕ.В., ГлушковаН.В. Сингулярность напряжений в угловых точках фронта трещины, находящейся на границе раздела двух сред // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 2. С. 77 85.

43. Белякова Т. А., Ломакин Е. В. Трещина нормального разрыва в упругой среде с изменяющимися свойствами в условиях плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 3. С. 97 105.

44. Бережницкий Л. Т., Панасюк В. В., СтащукН.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова думка, 1983. 288 с.

45. Борисов Д. В., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамическая задача для слоистой среды с включениями // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Труды III школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2004. С. 47 49.

46. Борисов Д. В., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологическийвестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8 13.

47. Ватулъян О. А., Ворович И. И., Соловьев А. Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 373 -380.

48. Ватулъян О. А., Корейский С. А. О восстановлении формы приповерхностного дефекта в полупространстве // Докл. РАН. 1995. Т. 334. №6. С. 753 -755.

49. Ватулъян О. А., Красников В. В. Колебания ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 2002. №5. С. 83 -90.

50. Ватулъян О. А., Соловьев А. Н. Идентификация плоских трещин в упругой среде // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 23 -28.

51. Ворович Е. К, Пряхина О. Д. Аналитический метод определения В-резонансов // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № з. С. 101 106.

52. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

53. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

54. Ворович И. К, Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

55. Ворович И. И., Белянкова Т. И., Калинчук В. В. К проблеме низкочастотных резонансов при взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой // ДАН. 1998. Т. 358. № 5. С. 624 626.

56. Ворович И. И., Боев С. И., Полякова КБ. К проблеме изолированных резонансов в упругом слое: энергетика переходных режимов // ДАН. 1993. Т. 329. №2. С. 148- 150.

57. Ворович И. К, Ворович Е. И., Пряхина О. Д. Изолированные резонансы при контактном взаимодействии // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1995. № 2. С. 23 27.

58. Ворович И. К, Пряхина О. Д., Тукодова О. М., Фрейгейт М. Р. Об одном подходе к решению динамических задач для слоистых электроупругих и анизотропных сред // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. С. 652-661.

59. Глушков Е. В., ГлушковаН.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282 289.

60. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Лапина О. Н. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на поверхность // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 146 153.

61. Глушков Е. В., Кириллова Е. В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 455 461.

62. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Деформация многослойной трещиноватой среды // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 6. С. 38 48.

63. Голъдштейн Р. В., Перельмутер М. Н. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1.С. 94-111.

64. Григорян Э. X. Решение задачи упругого конечного включения, выходящего на границу полуплоскости // Учен. Зап. ЕГУ. естеств. н. 1981. №3. С. 32-43.

65. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.

66. ДиткинВ. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

67. Дъелесан Э., РуайеД. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982.424 с.

68. ЕмецВ.Ф., Кит Г. С., Купец Я. И. Асимптотическое поведение решения задачи рассеяния упругой волны тонкостенным инородным включением // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 3. С. 55 64.

69. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 3. С. 114 120.

70. Зозуля В. В. К исследованию влияния контакта берегов трещины при нагружении гармонической волной // Прикладная механика. 1992. Т. 28. №2. С. 32-37.

71. Зорин И. С., Назаров С. А. Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругого пространства с жестким тороидальным включением // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272. №6. С. 1340- 1343.

72. Калинчук В. В., Белянкова Т. И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М.: Физматлит, 2002. 240 с.

73. Кардовский И. В., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Колебания слоистой среды с дефектами-трещинами // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизики: Труды III школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2004. С. 89 91.

74. Кардовский И. В., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 2004. № 3. С. 38 -43.

75. Кит Г. С, Михасъкив В. В., Хай О. М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом слое методом граничных элементов // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 855.

76. Кривой А. Ф., Радиолло М. В. Плоская задача о концентрации напряжений возле включений в составной анизотропной среде // Теоретическая и прикладная механика. 1986. Вып. 16. С. 70-75.

77. Кузнецов С. В. Коэффициенты интенсивности напряжений для трещины в анизотропной среде // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1.С. 115 -118.

78. Купец Я. И. Осесимметричное кручение упругого пространства с тонким упругим включением // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 4 С. 638 -645.

79. Лавит И. М. Рост трещины в условиях квазихрупкого разрушения при монотонно возрастающей и циклической нагрузках // Изв. РАН. МТТ. 2001. №2. С. 109-119.

80. Лавит И. М. Энергетический баланс окрестности кончика трещины в упругопластической среде // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 3. С. 123 130.

81. Лаврентьев М. А., Шабат Б. Н. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

82. Михаськив В. В. Применение классических волновых потенциалов для решения трехмерных динамических задач о трещине в упругой среде // Прикладная механика. 1993. Т. 29. № 5. С. 60 66.

83. Мовчан А. Б., Назаров С. А. Асимптотическое поведение напряженно-деформированного состояния вблизи острых включений //Докл. АН СССР. 1986. Т. 290. № 1. С. 48 51.

84. Мовчан А. Б., Назаров С. А. Напряженно-деформированное состояние в вершине острого включения // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 155 163.

85. Мовчан А. Б., Назаров С. А. Напряженно-деформируемое состояние плоской области с тонким упругим включением конечных размеров // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 1. С. 75 83.

86. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 278 с.

87. Образцов И. Ф., Бабешко В. А. О некоторых особенностях колебания полуограниченных областей // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 2. С. 306 -310.

88. Петрашень Г. К, Молотков Л. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. JL: Наука, 1982. 289 с.

89. Подилъчук Ю. Н. О распределении напряжений в неограниченной трансверсально-изотропной среде с внешней эллиптической трещиной. Чистые растяжения и сдвиг // Прикладная механика. 1993. Т. 29. № 5. С. 22 29.

90. Попов В. Г. Дифракция плоских упругих волн на отслоившемся жестком включении в случае гладкого контакта в области отслоения // ПММ. 1998. Т. 62. № 2. С. 290 296.

91. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

92. Попов Г. Я. Об одном новом подходе к задачам о концентрации упругих напряжений возле трещин // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 148- 156.

93. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.

94. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 87 97.

95. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамическая задача для разномодульной среды с включениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 2. С. 388.

96. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 345 351.

97. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Интегральные уравнения динамических задач для слоистого полупространства, содержащего систему трещин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 37 -42.

98. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29 31.

99. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. О резонансных свойствах многослойных полуограниченных сред с трещинами // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. V Росс. конф. с международным участием. Саратов, 2005. С. 118.

100. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Учет совокупности дефектов в задачах неразрушающего контроля прочности // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды II Всеросс. науч. конф. Самара, 2005. Ч. 1. С. 250-253.

101. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

102. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Борисов Д. В., Мазин В. А. Свойства элементов и определителей матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 2005. № 2. С. 40-43.

103. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Кардовский И. В., Мазин В. А. О свойствах матриц Грина динамических задач для многослойной среды с трещинами // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №4. С. 13 -17.

104. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Мазин В. А. Антиплоские задачи для слоистых сред с системой включений // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизики: Труды III школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2004. С. 22 27.

105. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Хрипков Д. А. Матрица Грина динамической задачи для трехслойной среды с системой трещин и включений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12. Вып. 2. С. 483-484.

106. Пряхина О. Д., Фрейгейт М. Р. О методе расчёта динамики массивного штампа на многослойном основании // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 4. С. 114-122.

107. Селезнев М. Г., Румянцев А. Н., Румянцева Т. Г. Колебания полупространства с полостью или включением в виде эллиптического цилиндра // Изв. СКНЦ ВМ. Естеств. науки. 1990. С. 63 -69.

108. Селезнев М. Г., Собисевич A. JJ. Современные методы механико-математического моделирования геофизической среды. М.: ГНИЦ ПГКМФ, 1997. 140 с.

109. Сметанин Б. И., Соболь Б. В. О продольных колебаниях берегов полосовой трещины в упругом слое // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 668 674.

110. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 668 с.

111. Тихомиров В. В. Напряженное состояние кусочно-однородного слоя с симметричной полубесконечной трещиной // Прикладная механика. 1992. Т. 28. №2. С. 21 -27.

112. Тихомиров В. В. Полубесконечная трещина, параллельная границе упругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 108 -113.

113. Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. М.: Гос. из-во физ.-мат. лит., 1959. 364 с.

114. Черепанов Г. П., Кочаров Р. С., Соткилава О. В. Параболическое включение в упругой плоскости // Труды Моск. горн, ин-та. 1975. С. 36-46.

115. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. 425 p.

116. Antipov Y. A. A delaminated inclusion in the case of adhesion and slippage // J. Appl. Math. Mech. 1996. N 60. P. 665 675.

117. Antipov Y. A. Solution by quadratures of the problem of a cylindrical crack by the method of matrix factorization // IMA J. Appl. Math. 2001. N66. P. 591-619.

118. Antipov Y. A., Avila-Pozos O., Kolaczkowski S. Т., MovchanA.B. Mathematical model of delamination cracks on imperfect interfaces // Int. J. Solids Structures. 2001. N 38. P. 6665 6697.

119. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New-York: Springer-Verlag, 1981. 1108 p.

120. Bercial-Velez J. P., Antipov Y. A., MovchanA. B. High order asymptotics and perturbation problems for 3D interfacial cracks // J. Mech. Phys. Solids. 2005. N 53. P. 1128 1162.

121. Cheeseman B. A., Santare M. H. Thermal Residual Stress and Interphase Effects on Crack Inclusion Interactions // Journal of Composite Materials. 2002. V. 36. N 5. P. 553 - 569.

122. Deeg W. F. The analysis of dislocation, crack and inclusion problems in piezoelectric solids. PhD Thesis. Stanford University. 1980.

123. DunkinJ. W. Computations of modal solutions in layered elastic media at high frequencies // Bull. Seism. Soc. Amer. 1965. V. 55. N2. P. 335 -358.

124. Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F. Elastic waves in layered media. New-York etc.: Mc Graw-Hill Book Co., 1957. 380 p.

125. FengY.D., Wang Y. S., Zhang Z. M. Transient scattering of SH waves from an inclusion with a unilateral frictional contact interface //

126. Communications in Numerical Methods in Engineering. 2003. N 19. P. 25 -36.

127. FengY.D., WangY.S., Zhang Z. M., CuiJ.Z. Dynamic interaction of plane waves with a unilaterally frictionally constrained inclusion // Acta Mechanica Solida Sinica. 2003. N 16. P. 189 196.

128. Harkrider D. G. Surface waves in multilayered elastic media 1. Rayleigh and Love waves from buried sources in a multilayered elastic half-space // Bull. Seism. Soc. Amer. 1964. V. 54. P. 627 679.

129. HelsingJ. Integral equation methods and numerical solutions of crack and inclusion problems in planar elastostatics // SIAM J. Appl. Math. 1999. V. 59. N3. P. 965-982.

130. HelsingJ. Stress intensity factors for a crack in front of an inclusion // Engn. Fracture Mech. 1999. V. 64. N 2. P. 245 253.

131. KunduT., MalA.K. Elastic wave in a multilayered solid due to a dislocation source // Wave motion. 1985. V. 7, N 5. P. 459 471.

132. Li J. Y., Zhang W. Y. Effect of TiN Inclusion on Fracture Toughness in Ultrahigh Strength Steel // ISIJ Int. 1989. V. 29. N 2. P. 158 164.

133. Luco J. E., Apsel R. J. On the Green's functions for a layered half-space. Part 1 // Bull. Seism. Soc. Amer. 1983. V. 73. № 4. P. 909 951.

134. Trower E. N. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media // J. Sound. Vibr. 1965. V. 2, N 3. P. 210 226.