Динамические задачи для слоистых сред с трещинами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Кардовский Игорь Владимирович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД С ТРЕЩИНАМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 2005

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Селезнев Михаил Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Дунаев Игорь Михайлович,

Ведущая организация:

Южный научный центр РАН

Защита состоится « 15 » декабря 2005 г. в (Ь часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан «15» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Евдокимов А. А.

13 &

15550-10

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Исследования в области динамических смешанных задач теории упругости становятся все более востребованными в настоящее время при решении ряда актуальных практических задач. Среди областей приложения подобных исследований можно указать проблемы фундаментостроения, сейсмостойкого строительства, вибрационной сейсморазведки, использования невзрывных способов поиска полезных ископаемых, неразрушающего контроля состояния различных конструкций, механизмов и деталей машин.

Важнейшим направлением в исследованиях динамических смешанных задач теории упру] ос 1 и является математическое моделирование и последующее решение ряда задач, описывающих взаимодействие различных объектов с упругой средой, причем среда может быть неоднородной, в частности, слоистой. К числу таких задач, например, относится изучение состояния литосферных плит, содержащих множественные трещины в виде разломов, в том числе параллельных, и другие неоднородности. Расположение дефектов и их размеры могут быть самыми разнообразными, а масштабные характеристики могут иметь большой разброс.

Настоящая работа посвящена проблемам, связанным с изучением динамических смешанных задач теории упругости и математической физики для полуограниченных тел с дефектами-трещинами. Эти задачи традиционно привлекают к себе пристальное внимание ученых не только в России, но и за рубежом. Активно развиваются методы изучения возникновения и развития дефектов в материалах.' В связи с этим возникла необходимость изучения волновых полей, вызванных вибрацией берегов разрезов, имеющихся в теле.

Целью настоящей работы является построение математических моделей и разработка методов исследования колебаний многослойных полуограниченных сред, содержащих неоднородности типа плоских трещин.

Научная новизна определяется тем, чю в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина многослойных сред с трещинами; новый метод построения детерминантов этих матриц-функций; получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интехральных уравнений; для ряда задач с условиями идеального контакта между слоями построены матрицы-символы Грина и аналитическое представление их компонент и детерминантов; построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред; развит метод фиктивного поглощения для одномерных интегральных уравнений типа свертки с растущими ядрами, заданных на системе отрезков; для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей; исследованы особенности колебаний в двух- и трехслойных средах, содержащих трещины.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях науки и техники: фундаментостроении, сейсмологии, дефектоскопии и других.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.

Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость, в том числе:

■ Федеральная целевая комплексная программа «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 гг.», проект № Б0121/1372.

■ Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-2107.2003.1.

■ Программа Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических

моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого тела», проект № Е-02-4.0-191,2003 - 2004 гг.

■ Российский фонд фундаментальных исследований р2002юг, грант «Теоретические и экспериментальные исследования вибрационного воздействия на здания и сооружения с целью создания методов экспресс-оценки их технического состояния для обеспечения геоэкологической безопасности региона», проект № 03-01-96645, 2003 - 2005 гг.

■ Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Влияние степени дефектности слоистых полуограниченных тел на процесс их динамического разрушения», проект № 05-01-00811, 2005 - 2007 гг. Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме

диссертации, содержатся в 8 публикациях, в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на И и III школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Краснодар, 2003 г.; г. Ростов-на-Дону, 2004 г.), Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2004 г.), на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (г. Саратов, 2005 г.), а также щ семинарах кафедр математического моделирования и высоких технологий прогноза и предупреждения чрезвычайных ситуаций КубГУ. ,

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений. Работа содержит 160 страниц, в том числе 18 страниц списка использованной литературы и 15 страниц приложений. Список использованной литературы включает 178 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дастся обзор литературы, изучавшейся по теме диссертации, объясняется цель и научная новизна работы, обосновывается ее актуальность, практическая значимость и достоверность, описывается структура работы и ее краткое содержание. Кроме того, перечисляются работы, выполненные но результатам исследований, и проводится разделение принадлежности последних диссертанту и другим соавторам работ.

Значительный вклад в рассматриваемую тематику внесен ведущими российскими и зарубежными исследователями - В. М. Александровым, В. А. Бабешко, А. В. Белоконем, О. А. Ватульяном, И. И. Воровичем, Н В Глушковой, В. В. I лушковым, А. Г. Горшковым, В. Т. Гринченко, И, М. Дунаевым, Э. Дьелесаном, В. В. Калинчуком, Е. В. Коваленко,

A. А. Ляпиным, А. В. Манжировым, А. J1. Медведским, JI. А. Молотковым, Н. Ф. Морозовым, А. В. Наседкиным, Г. И. Пстрашенем, Г. Я. Поповым,

B. Б. Поручиковым, О. Д. Пряхиной, Д. Руайе, М. Г. Селезневым, Б. И. Сметаниным, А. В. Смирновой, Б. В. Соболем, А. Н. Соловьевым, М. А. Сумбатяном, Д. В. Тарлаковским, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устиновым, М. И. Чебановым, J. D. Achenbach, М. К. Kassir, А. В. Movchan, и другими авторами.

Первая глава содержит 1еорегические сведения, на которых базируются проводившиеся исследования, проведена постановка задачи, вводятся используемые в дальнейшей работе обозначения и безразмерные параметры.. В п. 1.1 описывается модель слоисюй среды с трещинами-полосгями на стыках слоев. В п. 1.2 формулируется смешанная динамическая задача для модели среды из предыдущего пункта. В п. 1.3 описывается переход от жесткого основания к подстилающему полупространству. В п. 1.4 формулируйся смешанная динамическая задача для слоистой среды с дефектами типа трещин на линиях разделов слоев, сцепленной с полупространством. В п. 1.5 приводятся основные соотношения линейной теории упругости, используемые

в работе. В п. 1.6 основные соотношения линейной теории упругости приводятся к общим безразмерным параметрам. В п. 1.7 выводятся матрично-функциональные соотношения для изотропного упругого слоя в плоской постановке.

Колебания среды предполагаются установившимися, поэтому множитель е~т' везде опускаем. Среда представляет собой пакет из N плоскопараллельных слоев с жестко защемленной нижней гранью (-Н <г <0,

N

-ао < х,у <+<х>, полутолщина к-ого слоя, Н = ). Плоскости раздела

слоев параллельны плоскости хоу. Слои пронумерованы от 1 до N сверху вниз. Плоскость, разделяющую г и I +1 слои, назовем / -ой плоскостью раздела слоев. Каждый слой характеризуется своим набором упругих характеристик, у которых нижний индекс указывает принадлежность соответствующему слою; например, для изотропной среды характеристиками к -го слоя являются Рк>^к'ук ~ плотность, модуль сдвига и коэффициент Пуассона (к = Поверхность среды может подвергаться динамическому воздействию одного или нескольких штампов. Для каждого слоя вводится локальная система к-1

координат: + + к = 1,2,...,Ы. Области, занимаемые трещинами 1=1

в 1-ой плоскости раздела слоев, обозначим 0.1, г = 1,...,/V-1, а С20 - область, занимаемая штампом на поверхности пакета.

Введем обозначения ^ к =

где ^ - вектор напряжений на стыке А:-го и к +1 -го слоев, знак "+" соответствует напряжениям на нижней грани к-го слоя, знак "-" -напряжениям на верхней грани к + 1-го слоя (£ = 1,...,]У-1), при к-0 10 -вектор напряжений на поверхности пакета, вызванных влиянием внешних источников; - вектор смещений на стыке к -го и к + 1-го слоев, знак "+" соответствует смещениям точек поверхности, принадлежащих нижней грани

к-го слоя, знак "- " - смешениям точек поверхности, принадлежащих верхней грани к ¥ 1-го слоя.

Перемещения в области трещин терпят разрыв. Выражение для скачка

перемещений Амг на берегах трещин в / -ой плоскости раздела определяется следующей формулой:

AwJ =0, х £ ,

] = \,..,М-\. Напряжения на стыках слоев полагаем равными:

гх

Преобразования Фурье напряжений, перемещений и скачков перемещений обозначим следующим образом:

Т,=У1;, Г4=УД*4.

Здесь V - двумерное преобразование Фурье по координатам х,у с

» '

параметрами а,¡5. Решение в трансформантах Фурье, описывающее колебания /-ого слоя под действием напряжений, приложенных к его верхней и нижней грани, имеет вид

^(^) = м,[в+(г,)тм+в_(г,)т,], (1)

где Л/ = — , - общий для всех слоев параметр обезразмеривания. Вид

элементов матриц В,, (г) получен в работах О.Д. Пряхиной. Условия стыковки слоев с учетом введенных обозначений и соотношений (1) записываются в виде

УУК)^^)^, * = (2)

Условия стыковки слоев (2) с использованием представления (1) преобразуются к виду

Данные соотношения служат основой для построения матриц-символов Грина изучаемых задач.

Вторая глава посвящена построению матрично-функциональных соотношений, описывающих изучаемые задачи. В п. 2.1 строятся матрицы-символы Грина ряда вспомогательных задач с условиями идеального контакта слоев. В п. 2.2 строятся матрицы-символы Грина для основных и вспомогательных задач при наличии дефектов типа трещин на границах разделов слоев. В п. 2.3 описывается новый метод построения детерминантов матрии-символов Грина изучаемых задач, заключающийся в предварительном обращении этих матриц-функций и применении обобщенного правила Гаусса к ним. Обратные матрицы-функции оказываются блочно-трехдиагональными, что позволяет с одной стороны, получить соотношения, удобные для построения аналитического вида детерминантов этих задач в общем случае, с другой - повышает эффективность расчешв, так как время расчета детерминанта после таких преобразований становится линейным, а не квадратичным. В п. 2.4 строятся асимптотики блоков матриц-символов Грина.

Построенные новые матрично-функциональные соотношения, служащие основой для построения интегральных уравнений и их систем динамических смешанных задач для слоистых сред с трещинами, имеют вид

к

1'} _

•к1'1 К''-! К

К1,1 1,2 ••• *Члг

Г и

2,1 л2,2

V ^-N,2

К2^

^-лг.л?

для случая пакета слоев на жестком основании и

т^'-'и,

N ,2 ■■■ ЛЫ„

для случая пакета слоев, жестко сцепленных с упругим полупространством. Верхняя пара индексов в матрицах-символах К и J означают номера верхнего и нижнего слоев В случае, когда /-1, верхняя пара индексов не пишется и при этом полагаем, что слои пронумерованы от 1 до N. Вектора Т и и имеют структуру

Блоки матриц-функций K''J и З''1 определяются следующими рекурсивными выражениями

мс

1^-1,Я'

п = т-\,

п = \,т~2,

т = 2 ,п = 2.

п = 2,т = 1,

|+я-2,у 1+Л-1 я-1,111'

п > т, п > 2,

3■

п,т

М1 п-т = 1,

В-(А|)КГ' и = 1,» = 2,

т = \,п = 2,

¿КГ'« т=2'"=2'

1Г11+П-2

Гп>т,т>2,

Здесь С, - -В( (-й ), д, и - матрицы-функции, выражающиеся через

матрицы В± (г). Если на части границ разделов слоев трещины отсутствуют, то

в матрицах-символах К''у, 3'^ и векторах Т и и удаляются соответствующие строки и столбцы. Обозначим Кс количество стыков слоев, на которых перемещения терпят разрыв (наличие дефектов типа трещин); г^,..., ¡к -

номера стыков слоев, на которых имеются трещины.

При поставленных условиях и введенных обозначениях детерминанты матриц-символов определяются соотношениями

1С ь, ,,+1,^

+1>

(3)

П<

'ГЪ-^'ТЪ- о"

г0=г-1.

(в случае свободной от нагрузки верхней грани пакета слоев)

с!е1К =

ёеШ.С^ЛлК^.х (4)

хПёе! к,(у4,» +1,_, +! , кс>1,

*=12 ^ 0 'о-1)+1'0 'о-')+ |) с

>1,

^^Члг^К^Ц-!' "с

. - - /, -i (в случае нагруженной верхней грани пакета).

Здесь С, Л - матрица-символ Грина для задачи о гармонических колебаниях

пакета слоев с условиями идеального контакта на границах слоев с нагруженной верхней фан идей пакета и жестко защемленной нижней

границей, С^ - аналогичная матрица-символ Грина для слоистого

полупространства, К и 5 - матрицы-символы Грина вспомогательных задач о колебаниях пакета слоев с трещинами на стыках, где верхняя грань пакетов жес1Ко сцеплена с недеформируемым в первом случае и нижний слой является полупространством во втором. При этом из формул (3) и (4) видно, что вычисление детерминантов матриц-символов занимает линейное относительно их размеров время и для построения этих детерминантов в общем случае необходимо получить в аналитическом виде детерминанты диагональных блоков матриц-символов К, J, К и 5, а также ряда задач с непрерывными условиями на границах раздела слоев.

В третьей главе строятся аналитические представления компонент и детерминантов основных и вспомогательных плоских задач с разрывными и непрерывными условиями на границах раздела слоев в виде отношения двух целых функций. В п. 3.1 строится указанное аналитическое представление компонент матриц-символов Грина для задач с условиями идеального контакта, а также их детерминантов и детерминантов входящих в них матриц-функций. В

п. 3.2 построены в требуемом виде компоненты диагональных блоков ,

З''п'п, детерминанты этих блоков и диагональных блоков вспомогательных задач и загем детерминанты матриц-символов К и I. Детерминанты диагональных блоков К^,, при п>\

получены в виде, удобном для численного анализа

П,П

4 Д..,. -А.

1,{+п- 2

К,

Г \2Х*

1 \ д.-

\М,+п-7)

.0

^К^ =

\2Л А°

А._ ..А,

1,1+п-2

БГ

Функции Дгу,Д;у - знаменатели элементов матриц-символов и их

детерминантов задач с условиями идеального контакта между слоями, Б,,}, } - числители детерминантов этих задач. Нижняя пара индексов в этих функциях означает номера верхнего и нижнего слоев в пакете.

Аналитический вид детерминантов матриц-символов Грина К'''' и З1'1 в случае свободной от напряжений поверхности получен в форме

Л

г\г

- *

=

П

к-1

1

Iм,

V 'к)

(5)

[й г \ 1 2Л

и М, \ 'к )

V /

/=1

В случае нагруженной поверхности детерминанты определяются формулами

detKv=-

( Л

м.

м

V 'i У

ViA-,

кг

2 с

ч2\

(ЧГП

4=1

\ h J

1-2

кг= 1,

кг>\;

(6)

'.У

delJ

м.

Л2 А О

Мг

V h J

(к)2 II k=1

'.У

\ /

«г.

гъ

'1=2

Кс> 1.

Заме 1 им, что числители детерминантов, согласно (5) и (б), представляют собой произведения знаменателей для матриц-символов в случае идеального контакта между слоями, что позволяет свести построение дисперсионных кривых для detK''7 и detJ''7 к построению дисперсионных кривых соответствующих задач без дефектов и дальнейшему наложению их друг на друга. Таким образом можно устанавливать кратность нулей этих детерминантов, что является важным моментом при применении метода фиктивного поглощения для решения систем интегральных уравнений рассматриваемых задач и изучения условий локализации вибрационных процессов в окрестности неоднородностей. Выражения (5), (6) аналогичны представлениям детерминантов, полученных A.B. Смирновой для пространственного случая.

Аналитический вид диагональных блоков и З''п]п матриц-символов К1'-' и J',j плоских задач при п > 1

К1'! ■

а'к, -/ак7

¡акп к, V 2 э ;

Г 1Л+п-2 А I 1+п 1,/ Т

1 2 &1+П-2 2 \,+п-2

к, =-

М,

1+п-2

а1 Д

'.У

~ 1,1+п-2 . 1+п-\,1 7

1 -т2 Д,+«-1,,+£н„-2т2

1-/7-2

м.

к, = —

- 1,1+п-2 л , (+Л-1,) 7

1 Ш1 Д1+и-|,у+£,+„-2т' Л

1 "<,ил-2

м.

1+П-2

'.У

=

л,л

Г 2. . . \ а ^ -юг^

.¡з

1 2 / + б;+л-2 К2 1,1+п—2

м.

/ + л-2

2.0

■^2 :

- |,1+л-2 .0 0(+и-1,/ Г

1,1+п-2

м

1+П-2

'.У

~1,1+п-2 .0 , 0;+л-1,/ 7

1 П»! Д,+я-1,у+«« + и-21П1 /,/ + л-2

л/,

1 + П-2

А

'.У

лч г, / /,/ | г, / _0/,/ 0г,у . 0г, / -/, / -г./ Гл/

Функции т1 , т2 > к2 ,111! , ш2 , к2 , т, , т2 , к2 являются числителями компонент матриц-символов задач для сред без дефектов, верхняя

М1

пара индексов означает номера верхнего и нижнего слоя в пакете; # =——.

' -"у+1

Четвертая глава посвящена изучению интегральных уравнений, возникающих при моделировании трещиноватых сред. В п. 4.1 строится общий вид интегральных уравнений, порождаемых рассматриваемыми задачами. В п. 4.2 излагаются основы метода фиктивного поглощения. В п. 4.3 излагается первый способ решения одномерных интегральных уравнений, заданных на

системе отрезков. Решение строится с помощью предложенного в работах В Л Бабешко метода сведения интегральных уравнений с растущими на бесконечности ядрами к интегральным уравнениям с убывающими на бесконечности ядрами. Из уравнений выносится дифференциальный оператор

-I2

О ,2

—2+ / , после чего они сводятся к ранее изучавшимся одномерным

дх

интегральным уравнениям на системе отрезков с убывающим на бесконечности ядром, которые возникают при моделировании воздействия нескольких штампов на упругий слой. Возникающая при этой операции неопределенность в решении устраняется постановкой дополнительного условия- полученные в результате скачки перемещений не должны иметь особенностей на границах отрезков. Ранее этот способ применялся в работе A.B. Павловой для решения интегрального уравнения задачи о гармонических колебаниях плоской круглой трещины, для системы отрезков этот метод применяется впервые. В п.4.4 предложен второй способ вынесения дифференциального оператора, который применяется для решения интегрального уравнения вспомогательной «квазистатической» задачи, а затем на основе полученного решения методом фиктивного поглощения строится решение исходной динамической задачи В результате получена новая форма решения системы интегральных уравнений заданных на системе отрезков, которая позволяет проводить исследования особенностей колебаний динамических смешанных задач для многослойных сред с трещинами.

Одномерные интегральные уравнения на системе отрезков имеют вид

ZКЧг W= V".* е 1П-е h*,-! ъЛ (?)

г=1

Kqr(*)= / k(x-£)qr(|)rf&

"2Л-1

k(*) = —/К {ay,axda, 2 л a

m=l,...,N ,Am =const.

Здесь N - количество трещин на линии раздела слоев. Ядро К (а) этого уравнения согласно методу фиктивного поглощения предсгавимо в виде

К(а)»8(а)П(а), S(a) = cVa2 + В2,В>0,

п а

П(а) = П

2 2" к=\а -рк

Здесь zk и рк - вещественные нули и полюса К (а), а также часть комплексных нулей и полюсов, которые определяются с помощью аппроксимации функции К (а) полиномами Бернштейна. Для построения решения уравнений (7) предварительно строится решение «квазистатической» задачи

а2т . 1

SCW= J *[x-4)tl(5)d4 = e-ni, s(*) = i-fs(a)e™da. (8)

"2/7.-1 K V

82 2

После выноса дифференциального оператора —=--/ из уравнения (8) и

дх

описанных выше преобразований, методом факторизации получено решение в следующем виде:

t= (erf В + Ша2т-Х) + erf j(B-in)(x-a2m^) -1). (9)

Используя (9), методом фиктивного поглощения построено новое решение исходной динамической задачи

Чт(*.»7) = лт (erfj(B + iT1)(a2m-x) +

+erf ^(В - tijXx - ) -1) +

I " <

77IA с /=1

¿-"hJ ф,(Т1;а2т~х) + e-«w» ф,(~^х~а2т -\)

л] В - it] 7В + щ

N In г=1 1=1

(х) = ае^'^В^, У, (х,у) = £ (*)£ /}'Ф, (тр^у),

у = 1 1=)

ФДи,0-

=-6 ' егИ + +--6 '--^Цл^ЛЛ 1),

4=1 *=1 А=1 А = 1

к*} к*1

Система для определения с

кг

1 к™.

г-] V ыВ + ш ЯВ-ш )

и = ±21,1 = \,...,п,т = \,...,И,

рд и,х)=2*а —( —\—■

1=\ [и±Р;)

В полученных соотношениях следует полагать $ = г = 1 при г = т; л = 2,? — 1 при г> от; 5 = 1,г = 2 при г>т. В функциях ^(и,*) и ц/^х,у) значению Г = 1 соответствует знак «+», ? = 2 - знак «-».

В пятой главе описаны результаты численных расчетов, выполненных в рамках исследования. В п. 5.1 дан анализ дисперсионных кривых компонент матриц-символов Грина и их детерминантов для различных моделей среды. В п. 5.2 приводятся результаты, полученные при исследовании решений интегральных уравнений задач о колебаниях нескольких трещин на линии раздела слоев при различных параметрах.

Рис. 1 Рис. 2

На рис. 1 представлены характерные нули и полюса элемента к3

матрицы-символа К33 для задачи о колебаниях трехслойной среды при

наличии трещин между вторым и третьим слоями и отсутствии нагрузки на

1 3

верхний слой, а на рисунке 2 - детерминант матрицы К3\ при тех же параметрах. Толщины слоев в безразмерных величинах: =0.1, ^=0.15, к, = 0.25; модули сдвига = 1.0, ¡л2 = 5.0, ^ - 0.25; коэффициенты Пуассона - у, = = уъ = 0.3. На рисунках сплошные линии представляют полюса функций, пунктирные - нули. По оси абсцисс откладывается безразмерная частота О, по оси ординат - параметра преобразования Фурье а.

Приведем некоторые численные результаты, полученные методом фиктивного поглощения. Рассматривается трещина отрыва в двухслойной среде со следующими параметрами:/г, =0.2,^ =0.3,V, =0.3,1^ = 0.3,/?, =1,р2 = 1,г/-0. Все безразмерные параметры приведены к параметрам первого слоя. На рисунке 3 приведены скачки перемещений трещины, заданной на отрезке [-1,1], берега которой не нагружены, при наличии второй трещины, находящейся справа от нее при единичных нагрузках на её берегах и безразмерной частоте П = 6, причем кривые 1,2,3,4,5 соответствуют

расстоянию ¿=1,2,3,4,8 между трещинами. По оси абсцисс откладывается безразмерная координата х, по оси ординат - скачок перемещений на берегах трещины Ли\

Заключение настоящей диссертационной работы содержит основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ

■ Предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих плоские трещины между слоями. Предложен новый метод построения детерминантов этих матриц-функций, позволяющий получать их в аналитическом виде.

• Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений.

■ Для ряда задач с условиями идеального контакта между слоями построены матрицы-символы Грина и аналитическое предс1авление их компонент и детерминантов.

■ Изучены свойства ядер систем интегральных уравнений. Построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред.

■ Развит метод фиктивного поглощения для одномерных интегральных уравнений типа свертки с растущими ядрами, заданных на системе отрезков

■ Для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей.

■ Исследованы особенности копебаний в двух- и трехслойных средах.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации,

содержатся в 8 публикациях:

1 Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Кардовский И.В. Об одном подходе к изучению влияния системы дефектов па динамические характеристики термоупругих материалов // Разрушение и мониторинг свойств металлов: Тез. докладов Международной конференции. Екатеринбург, 2003 С. 15-16.

2. Пряхина О.Д., Смирнова А В., Кардовский И.В. Интегральные уравнения динамической задачи для двухслойной среды, содержащей систему трещин // Экологический вестник научных центров Черноморског о экономического сотрудничества. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара молодых ученых Юга России. Краснодар, 2004. С.152-155.

3. Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Известия вузов. Сев.- Кавказ, регион. Есгеств. науки. 2004. №3. С.38^13.

4. Пряхина О.Д, Кардовский И.В. Динамическая задача для двухслойной среды с трещинами на стыке // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Тез. докл. Всеросс. науч. конф. молодых ученых и студентов. Анапа, 2004. Т.2. С.36 38.

5 Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Колебания слоистой среды с дефектами-трещинами // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизики: Труды III школы-семинара. Ростов/н/Д, 2004. С.89-91.

6. Пряхина О.Д, Смирнова A.B.. Кардовский И.В., Мазин В.А. О свойствах матриц Грина динамических задач для многослойной среды с трещинами// Экологический вестник научных центров Черноморского экономическою сотрудничества. 2004. №4. С 13-17.

7 Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Кардовский И.В., Качко Д.Л. Свойства матриц-символов ядер для слоистой среды с дефектами // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Тез. докл. Всеросс. науч. конф. молодых ученых и студентов. Анапа, 2005. С.135-136.

8 Кардовский И.В., Качко Д.Л. Плоская динамическая задача о колебаниях четырехмодульной упругой среды с дефектами // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Приложение №1. 2005. С. 43-44.

Бумага тип. №2. Печать трафаретная Тираж 100 экз Заказ № 396 от 9.11.05 г. Кубанский государственный университет.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

/?У_ ПУ

РНБ Русский фонд

2007-4 1956

2 9 ЛЕК 2005

ВВЕДЕНИЕ.

1 КОЛЕБАНИЯ СРЕД СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ С ТРЕЩИНАМИ.

1.1 Пакет слоев на жестком основании.

1.2 Смешанные граничные условия для пакета слоев.

1.3 Пакет слоев на полупространстве.

1.4 Смешанные граничные условия для слоистого полупространства.

1.5 Основные соотношения и уравнения линейной теории упругости.

1.6 Переход к безразмерным параметрам для слоистой среды.

1.7 Базовые функции и матрицы плоской задачи.

2. МАТРИЧНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД.

2.1 Построение матрично-функциональных соотношений в случае идеального контакта между слоями.

2.1.1 Один слой на жестком основании.

2.1.2 Два слоя на жестком основании.

2.1.3 N-слойный пакет на жестком основании.

2.1.4 Слоистое полупространство.

2.1.5 Пакет из N слоев со свободной нижней границей. 2.1.6 Пакет из N слоев с источником гармонических колебаний на нижней грани пакета.

2.1.7 Некоторые специальные задачи для пакета слоев.

2.2 Построение матрично-функциональных соотношений в случае разрывных граничных условий.

2.3 Построение детерминантов матриц-символов.

2.4 Построение асимптотик матриц-символов ядер интегральных уравнений.

3 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦ-СИМВОЛОВ ГРИНА И ИХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

3.1 Случай идеального контакта между слоями.

3.2 Случай разрывных граничных условий.

4 МЕТОД ФИКТИВНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ В ЗАДАЧАХ О ТРЕЩИНАХ.

4.1 Интегральные уравнения краевых задач для слоистых сред с трещинами.

4.2 Общая схема метода фиктивного поглощения.

4.2.1 Интегральное представление решения для одной трещины.

4.2.2 Интегральное представление решения для системы трещин.

4.3 Динамическая смешанная задача. 1 способ построения решения.

4.3.1 Решение системы интегральных уравнений с убывающим ядром

4.3.2 Решение системы интегральных уравнений с растущим ядром

4.4 Динамическая смешанная задача. 2 способ построения решения

4.4.1 Решение задачи для среды с поглощением.

4.4.2 Решение задачи для системы трещин.

5. ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТЫХ СРЕД С ТРЕЩИНАМИ.

5.1 Построение дисперсионных кривых.

5.2 Численный анализ решения интегральных уравнений плоской задачи.

Исследования в области динамических смешанных задач теории упругости становятся всё более востребованными в настоящее время при решении ряда актуальных практических задач. Среди областей приложения подобных исследований можно указать проблемы фундаментостроения, сейсмостойкого строительства, вибрационной сейсморазведки, использования невзрывных способов поиска полезных ископаемых, неразрушающего контроля состояния различных конструкций, механизмов и деталей машин.

Решению смешанных, в том числе контактных задач, которым посвящена существенная часть исследований в этой области, посвящены многочисленные работы, детальные обзоры которых содержатся в монографиях и статьях [1-3, 5, 11, 15, 32, 39, 61, 62, 109, 111]. Значительный вклад в исследование контактных задач внесли Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, В.А. Бабешко, , Н.М. Бородачев, И.И. Ворович, В.Г. Гринченко, В. Д. Купрадзе, М.Д. Мартыненко, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, Г.Я. Попов, В.М. Сеймов, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд и целый ряд других исследователей. Большая часть полученных результатов относится к статическим контактным задачам. Динамические контактные задачи и возникающие при этом интегральные уравнения изучались в работах В.М. Александрова [4, 10, 62] , В.А. Бабешко [12, 19, 21, 22, 24-26, 28, 32-34, 39-44,46], И.И. Воровича [61-63], В.Т. Гринченко [76], Е.В. Глушкова [39], а также в ряде работ А.О. Ватульяна, Н.В. Глушковой, В.В. Калинчука, В.Д. Купрадзе, О.Д. Пряхиной, В.М. Сеймова, М.Г. Селезнева, A.B. Смирновой, А.Ф. Улитко и других авторов. Причиной меньшей изученности смешанных задач динамической теории упругости является специфика ядер интегральных уравнений смешанных задач, заключающаяся в наличии сильно осциллирующих составляющих ядра, что вносит ряд осложнений в решение подобных задач.

Важнейшим направлением в исследованиях динамических смешанных задач теории упругости является математическое моделирование и последующее решение ряда задач, описывающих взаимодействие различных неоднородностей с упругой средой, причем среда может быть неоднородной, в частности, слоистой. К числу таких задач, например, относится изучение состояния литосферных плит, содержащих множественные трещины в виде разломов, в том числе параллельных, и другие неоднородности. Расположение дефектов и их размеры могут быть самыми разнообразными, а масштабные характеристики могут иметь большой разброс [137].

Настоящая работа посвящена проблемам, связанным с изучением задач теории упругости и математической физики для полуограниченных тел с разрезами и включениями, которые привлекают к себе пристальное внимание ученых в России и за рубежом. Активно развиваются методы изучения возникновения и развития дефектов в материалах. В связи с этим возникла необходимость изучения волновых полей, вызванных вибрацией берегов трещин, находящихся в теле.

Автором построены матрицы-символы Грина для полубесконечной слоистой среды, в которой все слои имеют параллельные границы и трещины расположены в плоскостях разделов слоев, изучены интегральные уравнения плоских динамических смешанных задач о колебаниях слоистой среды, вызванных вибрацией берегов одиночной трещины либо совокупности трещин конечных размеров и нулевой толщины, расположенных на границе раздела слоев.

Постановка и решение указанных задач явились следствием значительного прогресса, достигнутого в исследовании статических и динамических задач для тел, имеющих разрезы и включения. Решению статических и динамических задач теории упругости для упругих тел с трещинами, в том числе и с конечными и полубесконечными разрезами, уделили внимание В.М. Александров [6-9], А.Е. Андрейкив [15], В.А. Бабешко [16, 17, 23, 27, 29, 35-38, 45, 46], Н. М. Бородачев [50], Ватульян А.О. [55-59], Глушков и Н.В. Глушкова [64-66], Р.В. Гольдштейн [13, 14, 67-71], А.А Гусенкова [78,79], С.В. Кузнецов [91], Н.Ф. Морозов [96], В.З. Партон [106-108], Г.Я. Попов [82, 115-117], Пряхина О.Д. и Смирнова A.B. [120-133], М.П. Саврук [136], Р.Л. Салганик [53, 54, 138], И.И. Слепян [139], В.В. Тихомиров [142-145], Е.И. Шифрин [140, 151, 152], Н.В. Фельдштейн [72], Л.А. Филыдтинский [74, 75], M.K. Kassir [162,163] и другие авторы. В монографиях [15, 104, 106-109] имеются достаточно полные обзоры работ по исследуемой тематике. Для решения двумерных краевых задач, изучаемых в этих работах, используется в основном метод интегральных преобразований, приводящий к сингулярным интегральным уравнениям, которые решаются численными способами, и метод функций комплексного переменного. Большое число работ, в том числе иностранных авторов, среди которых можно указать [155-157, 164, 171, 172, 177, 178], посвящено численному решению названных выше задач. Подобные задачи решались также полуаналитическими методами. В работах Г.В. Ткачева [46, 84, 146] регуляризация систем интегральных уравнений первого рода, к решению которых сводятся краевые задачи, производилась с помощью факторизации функций и матриц-функций, впервые примененной в известной работе Н. Винера и Е. Хопфа .

Математическое исследование динамических смешанных задач требует разработки методов решения порождаемых ими интегральных уравнений и систем уравнений. В этих исследованиях можно выделить два наиболее важных этапа: построение матриц-символов Грина интегральных уравнений и их систем и непосредственно решение этих уравнений.

К настоящему времени для построения матрицы-символа Грина разработаны как аналитические подходы (наиболее известный из них -метод матриц-пропагаторов или матричный метод [95, 157, 169, 174]), так и численные методы [94, 150, 154, 158, 159, 165, 167, 175], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач.

Основные трудности реализации этих методов обусловлены наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, приводящих к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большего порядка, и чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера. Для их преодоления разработан ряд приемов, которые приведены в [39, 64, 166, 168]. Например, в [39] был разработан метод построения матрицы Грина, устойчивость которого достигается выделением экспоненциальных составляющих и выносом их за рамки численного процесса.

В работе [63] предложен эффективный аналитический метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для многослойных сред в случае идеального контакта между слоями. Метод основан на специальном представлении решения для одного слоя и оказался применим для широкого класса краевых и начально-краевых задач. Преимуществом использования такого представления для каждого слоя является отсутствие в решении растущих экспоненциальных составляющих, что позволяет исследовать среды с произвольным количеством слоев, каждый из которых может обладать сложными физико-механическими свойствами.

В работах [45, 120, 122,127, 129] указанный метод обобщен для случая дефектов типа трещин или включений, расположенных на линиях раздела слоев (границах смены физико-механических параметров среды).

При этом решение задачи для однородной полуограниченной среды (слой, полупространство, пространство), содержащей систему плоских, параллельно-ориентированных трещин-полостей или включений получается как частный случай, если принять физико-механические параметры слоев равными.

При решении задач для бесконечных и полубесконечных тел существенным моментом является определение условий на бесконечности. Установлению этих условий посвящены работы А.Зоммерфельда [173], В.А. Бабешко [21] и других авторов, в результате которых были строго математически сформулированы принципы предельного поглощения и предельной амплитуды для упругих тел. В настоящей работе используется принцип предельного поглощения.

Разработанная в настоящее время теория динамических смешанных задач в значительной мере опирается на методы, разработанные для решения статических задач, но присутствие осциллирующих составляющих ядер интегральных уравнений наряду с сохранением свойств сингулярности или других локальных особенностей затрудняет прямое применение к этим интегральным уравнениям методов, позволяющих успешно решать интегральные уравнения статических задач. Одним из подходов, позволяющих преодолеть затруднения, связанные с осцилляцией ядер, является метод факторизации, впервые использованный в работе Н. Винера и Е. Хопфа, подробно изложенный в работах Б. Нобла [102, 103] и развитый в работах [12, 20, 30, 31, 62]. Там же сформулированы условия однозначной разрешимости интегральных уравнений и их корректного вывода с использованием принципа предельного поглощения и принципа предельной амплитуды для упругих тел.Особенность метода факторизации состоит в переходе от определения самих искомых функций, определяющих напряжения или перемещения в областях контакта упругих тел или областях, занятых дефектами, вне штампа или дефекта, которые, как правило, в динамических задачах оказывается осциллирующими, к определению их Фурье-преобразований. В работах В. А. Бабешко [14, 31, 43, 44], О.Д. Пряхиной [41-44] реализован способ решения динамических задач, идея которого состоит в выделении осциллирующей составляющей решения, в то время как в качестве неизвестной остается неосциллирующая функция. Суть этого метода, названного методом фиктивного поглощения, состоит в таком преобразовании интегрального уравнения, чтобы исключить в представлении ядра осциллирующие члены, после чего получается интегральное уравнение для среды с поглощением. О преимуществах последнего подробно рассказано в [20]. Позднее этот метод в работах О. Д. Пряхиной получил дальнейшее развитие в применении к задачам электроупругости. Подобный подход позволяет использовать богатый арсенал методов решения смешанных статических задач для динамических, вместе с тем, являясь полуаналитическим, он устраняет недостатки прямых численных методов, позволяя вскрывать все особенности решений смешанных задач, а затем учитывать их в численных процедурах.

Дополнительной трудностью при решении интегральных уравнений, возникающих при моделировании среды, содержащей трещины, является то, что асимптотика ядер этих уравнений оказывается растущей на бесконечности. Это не позволяет сразу применить накопленный теоретический материал для решения контактных задач, в которых ядра соответствующих интегральных уравнений имеют убывающую на бесконечности асимптотику. В настоящей работе для преодоления этого затруднения используется предложенный в работе [23] метод сведения задач с растущими на бесконечности ядрами уравнений к уравнениям с убывающими ядрами за счет выноса дифференциального оператора определенного вида и постановки добавочных условий, которые ставятся из физических соображений, для устранения неопределенности в решении исходных уравнений.

Целью настоящей работы является построение математических моделей и разработка методов исследования колебаний многослойных полуограниченных сред, содержащих неоднородности типа плоских трещин.

Научная новизна определяется тем, что в работе предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина многослойных сред с трещинами; новый метод построения детерминантов этих матриц-функций; получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений; для ряда задач с условиями идеального контакта между слоями построены матрицы-символы Грина и аналитическое представление их компонент и детерминантов; построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред; развит метод фиктивного поглощения для одномерных интегральных уравнений типа свертки с растущими ядрами, заданных на системе отрезков; для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей.

Актуальность работы состоит в том, что проблемы, связанные с изучением динамических смешанных задач теории упругости и математической физики для полуограниченных тел с дефектами-трещинами традиционно привлекают к себе пристальное внимание ученых не только в России, но и за рубежом. Активно развиваются методы изучения возникновения и развития дефектов в материалах. В связи с этим возникла необходимость изучения волновых полей, вызванных вибрацией берегов разрезов, имеющихся в теле.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях науки и техники: фундаментостроении, сейсмологии, дефектоскопии и других.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений. Работа содержит 160 страниц, в том числе 18 страниц списка использованной литературы и 15 страниц приложений. Список использованной литературы включает 178 наименований.

Заключение

Предложен эффективный метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих плоские трещины между слоями. Предложен новый метод построения детерминантов этих матриц-функций, позволяющий получать их в аналитическом виде. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений.

Для ряда задач с условиями идеального контакта между слоями построены матрицы-символы Грина и аналитическое представление их компонент и детерминантов.

Изучены свойства ядер систем интегральных уравнений. Построена асимптотика элементов матриц-символов Грина в общем случае для рассматриваемых сред.

Развит метод фиктивного поглощения для одномерных интегральных уравнений типа свертки с растущими ядрами, заданных на системе отрезков.

Для конкретных типов задач проведен анализ дисперсионных свойств элементов матриц-символов и их определителей.

1. Абрамян Б.Л., Александров В.М., Амензаде Ю.А. и др. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 493 с.

2. Александров В.М. О плоских задачах теории упругости при наличии сил сцепления или трения // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 246 257.

3. Александров В.М., Бабешко В.А. О давлении на упругое полупространство штампа, клиновидной формы в плане // ПММ. 1972. Т.36. Вып.1. С.88- 93.

4. Александров В.М., Буряк В.Г. О некоторых динамическтих смешанных задачах теории упругости // ПММ. 1978. Т.42 Вып.1. С. 114-124.

5. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

6. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

7. Александров В.М., Сумбатян М.А. Периодическая система трещин на границе контакта двух упругих полуплоскостей // Труды 3-й Междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: МП "Книга", 1997. Т. 1. С. 26 29.

8. Александров В.М., Пожарский Д.А. К задаче о кольцевой трещине на границе раздела упругих слоя и полупространства // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 476-483.

9. Александров В.М., Пожарский Д.А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2001. №1. С. 86-93.

10. Андреев A.B., Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 137-148.

11. Андреев A.B., Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Расчет предельного равновесия внутренних и краевых трещин с взаимодействующими поверхностями в упругой полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 96-112.

12. Ъ.Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наук. Думка, 1982. 345 с.1 б.Бабешко В.А. "Вирусы" вибропрочности // Изв. СКНЦ ВШ. 1994. Спец. вып. С. 90-91.

13. Бабешко В.А. О единственности решений интегральных уравнений динамических контактных задач // ДАН СССР. 1973. Т.210. № 6. С. 1310-1313.

14. Ю.Бабешко В.А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256с.

15. Бабешко В.А. К теории динамических контактных задач // ДАН СССР. 1971.Т.201.№ 3. С.556-558.

16. Бабешко В.А. К теории смешанных задач в произвольных областях // ДАН СССР. 1981. Т.256. № 3. С.552-556.

17. Бабешко В.А. Новый эффективный метод решения динамических контактных задач // ДАН СССР. 1974. Т.217. № 4. С. 777 780.

18. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Изв. РАН. МТТ. 2000. №3. С. 5 10.

19. Бабешко В.А. Статические и динамические контактные задачи со сцеплением // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 3. С. 505 512.

20. Бабешко В.А. Тела с неоднородностями; случай совокупности трещин // Докл. РАН. 2000. Т.373. № 2. С. 191 193.

21. ЪО.Бабешко В.А. Факторизация одного класса матриц-функций и её приложения // ДАН СССР. 1975. Т.223. № 5. С.1094 1097.

22. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // ДАН СССР. 1978. Т.242. №1. С. 62-65.

23. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 254 с.

24. Бабешко В.А., Бужан В.В., Вильяме Р.Т. Вирусы вибропрочности в упругих твердых телах. Случай полупространства // ДАН. 2002. Т. 385. № 3. С. 332-333.

25. Бабешко В.А., Бужан В.В., Вильяме Р.Т. К проблеме локализации вибрационного процесса в упругом твердом телесовокупностью плоских жестких включений // ДАН. 2002. Т. 382. № 6. С. 765-767.

26. Ъ1.Бабешко В.А., Вороеич И. И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №3. С. 74-83.

27. Ъб.Бабешко В.А., Павлова A.B., Рашнер C.B., Вильяме Р.Т. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // Доклады РАН. 2002. Т. 382. №5. С. 625 628.

28. Ъ9.Бабешко В.А., Глушков Е.В, Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.

29. Бабешко В.А., Пряхина ОД. Метод фиктивного поглощения в пространственных динамических задачах теории упругости / Ростовский Государственный университет. Ростов-на-Дону, 1981. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 10.04.81, №1578-81.

30. Бабешко В.А., Пряхина ОД., Смирнова A.B. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Известия вузов. Северо-Кавк. Регион. Юбилейный выпуск. 2002. С.80-82.

31. Бабешко В.А., Ткачев Г.В. Вибоация круглой трещины при трехкомпонентной нагрузке // ПММ. 1980. Т.44. Вып.5. С.857-865.

32. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трасцедентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. 295 с.

33. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина в поле сдвига в упругой среде с изменяющимися свойствами при плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 2. С. 142-152.

34. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина нормального разрыва в упругой среде с изменяющимися свойствами в условиях плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 3. С. 97-105.

35. Бородачев Н.М. Об эллиптической трещине, к поверхности которой приложены сосредоточенные силы // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 497-503.51 .Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

36. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.416 с.

37. Вавакин A.C., Салганик P.JI. Об эффективных характеристиках сред с изолированными неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С. 65-75.

38. Вавакин A.C., Салганик Р.Л. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 2. С. 95-107.

39. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // ПММ. 2004. Т.68. Вып. 1. С. 180-188.

40. Ватульян А.О., Соболь Б.В. Об одном эффективном способе построения разрывных решений задач механики для тел конечных размеров // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 6. С. 62-65

41. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. -397 с.61 .Ворович И.К., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

42. Ы.Ворович И.К., Бабешко В.А. Динаические смешанные задачи теории упругости для неклассических обласией. М.: Наука, 1979. 320 с.

43. Глушков Е.В., Глушкова Н.В, Ехлаков A.B. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 1. С. 147-156.

44. Голъдштейн Р.В., Савова JI.H. Об поределении раскрытия и коэффициентов интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №2. С. 69-78.

45. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Анализ процесса скольжения поверхностей трещины с учетом сил трения при сложном нагружении// Известия АН СССР. ММТ. 1991. № 1. С. 139-148.

46. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Деформация многослойной трещиноватой среды // Известия РАН. ММТ. 1998. № 6. С. 38-48.

47. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Деформация трещиноватой среды при сдвиговом нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. 1993. № 3. С. 161-168.

48. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В., Морозова Т.М. Равновесие системы разрезов при образовании на них областей налегания и раскрытия // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 672-678.

49. Горячева И.Г., Фелъдштейн Н.В. Анализ влияния внутренней системы дефектов на напряженное состояние упругих тел // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 5. С. 55-61.

50. Градштейн КС., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.:Наука, 1971. 1108 с.

51. Григолюк Э.И., Филъштинский Л.А., Ковалев Ю.Д. Пространственная стационарная динамическая задача теории упругости для слоя со сквозной полостью // ДАН. 2004. Т. 394. № 4. С. 476-479.

52. Григолюк Э.И., Филъштинский Я.А., Ковалев Ю.Д. Растяжение пьезокерамического слоя, ослабленного сквозными туннельными полостями // ДАН. 2002. Т. 385. № 1. С. 61-63.

53. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981 283 с.

54. И.Гутер P.C., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М. Элементы теории функций. М.:Физматгиз, 1963. 244 с.1%.Гусенкова A.A. Метод потенциальных функций в задачах теории упругости для тел с дефектом // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 3. С.470-480.

55. Гусенкова A.A., Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмическими особенностями в ядрах граничных задач плоской теории упругости для областей с дефектом // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С.454-461.

56. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

57. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.

58. ЧЫ.Ефимов В.В., Кривой А.Ф., Попов Г.Я. Задача о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. №2. С.42-58.

59. Златин А.Н., Храпков A.A. Полубесконечная трещина, параллельная границе упругой полуплоскости // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. № 4. С. 810-813.

60. Ъб.Капцов A.B., Шифрин Е.И. Решение динамических задач об эллиптической трещине в упругом полупространствес помощью аппроксимаций Паде // ПММ. 1991. Т. 55 Вып. 3. С. 511-519.

61. Капцов A.B., Шифрин Е.И. О рассеянии плоской трещиной нормально падающей продольной гармонической волны // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №6. С. 106-112.

62. Ломакин Е.В. Трещины нормального разрыва в средах, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. № 6. С. 54-61.

63. Михаськив B.B. Пошаговое по времени решение трехмерных динамических задач теории трещин // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 4. С. 122-128.

64. Молотков JI.A. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. JL: Наука, 1984. 202 с.

65. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255 с.

66. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-512 с.

67. Никишин B.C. Задачи теории упругости о кольцевой и круговой трещинах на границе раздела слоя и полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2001. №3. С. 132-138.

68. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Иностр. лит., 1962. 279 с.

69. Нобл Б. Применение метода Винера Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Иностр. лит., 1962. 279 с.

70. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968.

71. Панасюк В.В., Сушинский А.И., Кацов К.Б. Разрушение элементов конструкций с несквозными трещинами. Киев: Наук, думка, 1991. 170 с.10в. Партон В.З. Механика разрушения. От теории к практике. М.: Наука, 1990. 238 с.

72. Партой В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 239 с.108 .Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластичного разрушения. М.: Наука, 1974.

73. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 311 с.

74. Партон В.З., Перлин П.И. Прочность тел сложной формы. Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1978.

75. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

76. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги: Препринт №97-1. Казань: Казан, мат. о-во, 1997. 22с.

77. Плещинский Н.Б. Приложение теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. 154 с.

78. Плещинский Н.Б., Гусенкова A.A. Комплексные потенциалы с логарифмическими особенностями в ядрах для упругих тел с дефектом вдоль гладкой дуги // Изв. вузов. Математика. 2000. №10. С. 57-67.

79. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

80. Попов Г.Я. О решении динамических задач концентрации упругих напряжений возле дефектов в сферических слоистых средах // ДАН. 1998. Т. 360. № 4. С. 483-487.

81. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 345 351.

82. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Интегральные уравнения динамических задач для слоистого полупространства, содержащего систему трещин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 37 -42.

83. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29 31.

84. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. О резонансных свойствах многослойных полуограниченных сред с трещинами // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. V Росс. конф. с международным участием. Саратов, 2005. С. 118.

85. Пряхина ОД., Смирнова А. В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т.68. Вып.З.С.500-507.

86. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Кардовский КВ., Мазин В.А. О свойствах матриц Грина динамических задач для многослойной среды с трещинами// Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2004. №4. С. 13-17.

87. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук. Думка, 1980. 324 с.

88. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987.

89. Салганик P.JT. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С.149-158.

90. Слепян Л.И. Механика трещин. JL: Судостроение. 1981. 296 с.

91. Старосельский A.B., Шифрин Е.И. Рассеяние плоской трещиной нормально падающей поперечной волны // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 3. С. 87-103.

92. Телятников C.B. Интегральные уравнения в упругой динамической задаче с внутренней трещиной // Динамические задачи механики сплошной среды: Тез. докл. регион, конф. Краснодар, 1988. С. 143.

93. Тихомиров В.В. Напряженное состояние составного пространства с полубесконечной межфазной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6.С. 51-56.

94. Тихомиров В.В. Полу бесконечная трещина, параллельная границе упругого полупространства // Изв. РАН. ММТ. 1999. № 1. С. 108-114.

95. Тихомиров В.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного полубесконечной трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 5762.

96. Тихомиров В.В. Трещина в трансверсально-изотропном слоистом композите // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 5. С. 163-168.

97. Ткачев Г.В. Динамическая задача о вибрации трещины в упругом слое / Ростовский Государственный университет. Ростов-на-Дону, 1979. Деп. в ВИНИТИ 16.07.79, №2595-79.

98. Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических смешанных задачах электроупругости // Динамические задачи механики сплошной среды: Тез. докл. регион, конф. Краснодар, 1988. С.152-153.

99. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. 261 с.

100. Уфлянд Я. С. интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука, 1967. 420 с.

101. Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев; Одесса: Вища Школа, 1977.

102. Шифрин Е.И. Об асимптотическом разложении упругих полей вблизи контура плоской трещины на границе соединения двух материалов// ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 1045-1055.

103. Шифрин Е.И. Об асимптотическом разложении упругих полей вблизи контура плоской трещины на границе соединения двух материалов//ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 1045-1055.

104. ХЪЪ.Шошина С.Ю. К решению задачи о вибрации берегов трещины в однородном полупространстве // Динамические задачи механики сплошной среды: Тез. докл. регион, конф. Краснодар, 1988. С. 163.

105. Шулъга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. 200 с.

106. Achenbach J.D., Khentan R.P. Kinking of crack under dynamic loading conditions // J. Elast. 1979.V.9.N 2.

107. Achenbach J.D., Keer L.M., Mendelsohn D.A. Elastodinamic Analysis of enEdge Crack // J. of Appl. Mech. 1980. V.74.N 3.

108. Alterman Z, Karal F. Propagation of elastic waves in layered media by finite differences methods // Bull.Seism.Soc.Amer. 1958. V.58. N 1, P.367-398.

109. Chin R.C., Heads from G., Thigpen L. Matrix methods in synthetic seismograms // Geophys.J.Roy.Astron.Soc. 1984.V.77, N 2, P.483-502

110. HarkriderD.G. Surface waves in multilayered elastic media I. Rayleight and Love waves from buried sources in a multilayered elastic half-space // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964. V.54., P. 627-679.

111. Hutchinson J.W., Mear M.E., Rice J.R. Crack paralleling an interface between dissimilar materials // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1987. V. 54. N4. P. 828-832.

112. Лом S. Three-dimensional wave propagation in a cracked elastic solid // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1978. V. 45. N 4. P. 807-811.

113. Kassir M.K., Bregman A.M. The stress intensity factor for a penny-shaped crack between two dissimilar materials // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech. 1972. V 39. N 1. P. 308-310.

114. Kassir M.K., Sih G.C. Three-Dimensional Crack Problems. Leyden: Noordhoff, 1975. 452 p.

115. Keogh P.S. High-frequency scattering of normally incident plane compressional wave by a penny-shaped crack // Q J. of Mech. and app. Math. 1986. V.39. Pt. 4. P.535-566.

116. Keilis-Borok V.I., Neigaus M.G., Shkadinskaya G. V. Applications of the theory of eigen-functions to the calculations of surface waves velocities // Rev.Georh.l965.V.3.N 1.

117. Knopojf L. A matrix method for elastic waves problems // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964, V.54., P.431-438

118. Kundu T., Mai A.K. Elastic wave in a multilayered solid due to a dislocation source // Wave motion. 1985. V.7, N 5, P.459-471.

119. Luco J.E., Apsel R.J. On th Green's functions for a layered half-space. Part 1 // Bull.Seism.Soc.Amer.1983. V.73, N 4., P.909-951

120. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bull.Seism.Soc.Amer. 1953.V.43., N 1, P.17-34.

121. Sneddon I.N. The stress intensity factor for a flat elliptical crack in an elastic solid under uniform tension // Int. J. Eng. Sci. 1979. V.17. N 2.

122. Sommerfeld A. Vorlesungen uber theretishe Physik // Optik.-Wiesbaden. 1950. V.l.

123. Thompson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified medium// J.Appl.Phys. 1950. V.21, N 1, P.89-93.

124. Trower E.N. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media // J.Sound.Vibr. 1965. V.2, N 3, P.210-226.

125. Willis J.R. The penny-shaped crack on an interface // Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1972. V. 25. Pt 3. P.367-385.