Реконструкция трещиноподобных дефектов в вязкоупругой слоистой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописп

Лапина Полина Анатольевна

РЕКОНСТРУКЦИЯ ТРЕЩИНОПОДОБНЫХ ДЕФЕКТОВ В ВЯЗКОУПРУГОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЕ

01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ;.Г:Р 2.СЛ2

Ростов-на-Дону - 2012

005018742

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесовнч

Официальные оппоненты:

Сумбатян Межлум Альбертович, доктор физико-математических наук, профессор, Южный федеральный университет, заведующий кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики;

Беркович Вячеслав Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, филиал ФГБОУ ВПО Московского государственного университета технологий и управления им. К.Г. Разумовского в Ростове-на-Дону, заведующий кафедрой физики и математики.

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится 24 апреля 2012 г. в 17:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «22» марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вопросы идентификации трещин в изотропных упругих телах в настоящее время изучены достаточно подробно. Однако ряд конструкционных и композиционных материалов, в которых трещины являются характерными дефектами, обладает сложными механическими свойствами, например, анизотропией и сложной реологией. Вязкоупругие свойства проявляет большой класс материалов - полимерные материалы и композиты на их основе (последние часто имеют анизотропию различного типа). Поэтому особый интерес представляют задачи идентификации трещин, учитывающие специфику распространения волн и эффекты затухания в анизотропных материалах и конструкциях из них в той или иной форме.

Существует достаточное количество работ, посвященных разрушению композиционных вязкоупругих материалов с трещинами на основе концепции квазихрупкого разрушения и исследованию коэффициентов интенсивности напряжений. В то же время для прогнозирования работоспособности конструкций важным является обнаружение и реконструкция трещин в вязкоупругих телах по данным акустического зондирования.

Целью работы является изучение и оценка влияния вязкоупругих свойств материала на идентификацию одиночной трещины в слое.

Методы исследования. В настоящей работе краевые задачи для слоя с трещиной решаются на основе метода граничных интегральных уравнений, дискретизация которых осуществляется с помощью метода граничных элементов. Учет вязкоупругих свойств материала произведен в рамках принципа соответствия. Задача идентификации сведена к минимизации функционала невязки, его численная реализация осуществлена при помощи генетического алгоритма. Также в работе предложены методы асимптотического анализа задачи. Получены асимптотические решения прямой задачи в предположении малости характерного размера трещины. В рамках асимптотического подхода представлен метод поэтапного определения параметров прямолинейной трещины малой длины.

Научная новизна заключается в построении решения и численном анализе новых прямых и обратных геометрических задач о колебаниях вязкоупругого слоя, ослабленного трещиной, разработке асимптотических методов исследования задач.

Достоверность полученных результатов основана на строгом аналитическом аппарате математической теории вязкоупругости, на корректном сведении задач о колебаниях тел с трещиной к гиперсингуляным уравнениям и обеспечивается сравнением результатов с известными частными случаями и проведением достаточного числа вычислительных экспериментов по реконструкции параметров трещины.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке устройств для идентификации трещин в композитных материалах.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 100 источников, и приложения, общим объемом 103 страницы.

Апробацпя работы. Результаты диссертации докладывались на XI, XII, XIII, XIV Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007, 2008, 2009 гг., Азов, 2010 г.), на V, VI Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009, 2011 гг.), а также на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приводится в конце автореферата. Из них статьи [4,11] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № П596) и гранта РФФИ 10-01-00194-а.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по исследованию динамических прямых и обратных задач теории трещин для материалов с разными свойствами (упругие, вязкоупругие, анизотропные, изотропные), приводятся основные методы решения задач идентификации, обосновывается актуальность темы диссертационной работы.

Большой вклад в развитие методов решения задач для тел с трещинами внесли Александров В.М., Андрейкив А.Е., Бабешко В.А., Борисковский В.Г., Ватульян А.О., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Гольдштейн Р.В., Зозуля В.В., Кит Г.С., Кудрявцев Б.А., Михаськив В.В., Морозов Н.Ф., Морозов Е.М., Панасюк В.В., Партон В.З., Попов Г.Я., Слепян Л.И., Сметании Б.И., Соболь Б.В., Соловьев А.Н., Сумбатян М.А., Филыитинский JI.A., Черепанов Т.П.. Шифрпн Е.И., Achenbach J.D., Andricux S., Bannour T., Bostroni A., Bui N.D., Colton D., Cruse T.A., Datta S.K., Erdogan F., Kobayashi A., Krenk S., Kuo A.Y., Loeber J.F., Mal A.K., Nakamura M, Shindo Y, Sih S.K., Tanaka M.

В развитие методов определения параметров трещин внесли свой вклад Ватульян А.О., Емец В.Ф., Колтон Д., Кресс Р., Соловьев А.Н., Шифрпн Е.И., Шушпанников П.С., Явруян О.В., Abda A.B., Budrec D.E., Achenbach J.D., Alessandrini G., Alves C.J.S., Andrieux S., Bannour T., Bostrom A., Bui N.D., Cruse T.A., Datta S.K., Erdogan F., Ha Duong T., Jaoua M., Kobayashi A., Krenk S., Loeber J.F., Nakamura M., Shindo Y., Tanaka M.

Исследования, посвященные разрушению композиционных вязкоупругпх материалов с трещинами на основе концепции квазихрупкого разрушения и определения коэффициентов интенсивности напряжений, представлены в работах Atkinson С., Chang R.C., Chao С.К., Chen C.Y., Chuang C.T., Ellyin F., Han X., Hsiao C.C., Li L.X., Rong G., Xia Z., Zhang H.H.

В первой главе представлены постановки прямых задач о колебаниях вязкоупругого слоя с туннельной трещиной, постановки обратных задач определения параметров трещины по известной информации о полях перемещения

на части верхней границы слоя, а также изложены определяющие соотношения и модели линейной теории вязкоупругости.

В пункте 1.1 предложены постановки прямой и обратной краевых задач в общем трехмерном случае. В пункте 1.2 представлена прямая задача об антиплоских колебания слоя, защемленного на нижней границе (задача 1), в пункте 1.3 - прямая задача о колебаниях слоя, защемленного на нижней границе, в условиях плоской деформации (задача 2), в пункте 1.4 - задача о колебаниях слоя, лежащего без трения на жестком основании, в условиях плоской деформации (задача 3), а в пункте 1.5 - соответствующие обратные задачи (задачи 4, 5, 6) о реконструкции параметров трещины по полю смещений на поверхности слоя.

Рассматриваются установившиеся колебания вязкоупругого ортотропного слоя толщины /г, занимающего в пространстве область 5, нижняя грань которого .V, = 0 жестко защемлена или лежит без трения на жестком основании. Колебания в слое вызываются нагрузкой с компонентами рп приложенной на части верхней границы. Остальная часть верхней поверхности свободна от напряжений.

Вязкоупругие свойства учитываются в рамках принципа соответствия: в случае стационарных гармонических колебаний решение вязкоупругой задачи получается из решения соответствующей упругой задачи заменой упругих констант материала комплексными модулями вязкоупругого материала (комплексными функциями, зависящими от частоты колебаний).

Слой ослаблен внутренней туннельной трещиной, ось которой совпадает с осью л*2. Трещина моделируется как математический разрез в области с берегами

, на которых имеются скачки вектора смещений. На основе теории дислокаций действие трещины заменяется действием фиктивных массовых сил /\ с носителем на трещине, которые зависят от функций раскрытия трещины Хк =и*|,+ ~ик\,-

(к-1,2,3), представляющих собой конечные скачки компонент полей перемещений на трещине. Считаем, что берега трещины не взаимодействуют друг с другом и свободны от напряжений во время колебаний.

Для установившегося режима колебаний р ¡(х,1) = р¡{х)е ""' в рамках

концепции комплексных модулей после отделения временного множителя краевая задача для слоя, защемленного на нижней границе, принимает вид:

С)

0"а,=с11т(1со)ит„, к,1,т,п = 1,2,3 (2)

Ч=о =0; (3)

I ¡Рк>х\Ы\\ ...

<Тип*\ = 0 . (5)

"о

где аы - компоненты тензора напряжений, р - плотность среды, а - частота колебаний, С*Шт{1со) - компоненты тензора комплексных модулей, = ~[С/*/„ш - фиктивные массовые силы, - дельта-функция

Дирака, £ - координата, отсчитываемая по нормали к поверхности П? - компоненты единичных векторов внешних нормалей К поверхностям /,7 .

Для слоя, лежащего без трения на жестком основании, краевая задача состоит из уравнений (1), определяющих соотношений (2), со следующими граничными условиями на нижней границе

и граничными условиями на верхней границе (4), а также условием отсутствия напряжений на трещине (5).

Задача идентификации трещины в слое состоит в определении геометрии и местоположения дефекта по дополнительной информации («экспериментальным» данным) - полям перемещений, измеренным на части верхней границы слоя /2:

ик\,г =еАх\ хе12, к-1,2,3 (7)

Дополнительно полагаем, что закон изменения нагрузки не зависит от координаты .т2, т.е. р ]\х) - р ] (х,). Тогда в зависимости от вида нагрузки задача

о колебаниях слоя распадается на две: задачу об антиплоских колебаниях при Р\(х\) = Ръ(х\) = Рг) * 0 > где ненулевой компонентой вектора перемещений является компонента и2 =и2(ху,х3), и задачу о колебаниях в условиях плоской деформации при О, р2(Х{) = 0, Ръ(х{)± 0, в

которой ненулевыми компонентами вектора перемещений являются компоненты 1, )' А = 1,3.

В пункте 1.6 приведены типы определяющих соотношений теории вязкоупругости, изложен принцип соответствия, на основе которого решаются поставленные вязкоупругие задачи, представлены модели вязкоупругого поведения материалов и комплексные модули, описывающие свойства вязкоупругого материала в случае установившихся гармонических колебаний для модели стандартного вязкоупругого тела со следующими характеристиками: Е и Н - мгновенный и длительный модули соответственно, п - время релаксации. Рассмотрены модельный изотропный вязкоупругий материал и реальный ортотропный композит, состоящий из эпоксидной смолы с 60-процентным содержанием продольных волокон из графита, для которых представлены соответствующие комплексные модули.

и

Введен безразмерный характерный параметр - щ =- - частота, при

пс

которой в среде наблюдается наибольшее затухание колебаний, где /г - толщина слоя, с - скорость распространяющейся волны в соответствующем упругом материале, п - время релаксации. При удалении от этой частоты, т.е. при а » й0 и б« й0, вязкоупругие свойства среды проявляются слабо. Интервал частот, близких к со0 - зона проявления вязкоупругих свойств материала.

Вторая глава посвящена решению задач об установившихся колебаниях тел с трещиной, одним из наиболее эффективных методов решения которых является метод граничных интегральных уравнений, снижающий размерность исходной задачи на единицу.

В пункте 2.1 приведены фундаментальные решения для ортотропной вязкоупругой плоскости. Представлены полярные множества для

рассматриваемого вязкоупругого материала. В плоском случае при каждом

Гр~

фиксированном значении V, которое определяется формулой V- , со,

V ^зз

полярное множество представляет собой две комплексные кривые

р„ (V) = Яс(с„ (ф, V)) + / 1т(<;„ (<р, у)), п = 1,2, вещественная и мнимая части которых, как и в упругом случае, обладают свойством симметрии относительно обеих координатных осей, однако для упругой среды эти кривые являются вещественными. На рисунке 1 представлены вещественные и мнимые части полярного множества вязкоупругой среды при у = 0.3, а также полярные множества для упругих сред с упругими модулями, совпадающими с длительными и мгновеннымн модулями вязкоупругой среды (на графиках начерчены тонкими линиями).

Рисунок 1

Отметим некоторые свойства кривых. Вещественная часть первой кривой выпуклая, а вещественная часть второй - невыпуклая и имеет резкое изменение кривизны в окрестности угла <ра =80". На графике мнимой части второй кривой в окрестности угла %= 80" наблюдается излом. Мнимые части первой и второй кривых на два и один порядок меньше соответствующих вещественных частей на частотах, где наиболее сильно проявляются вязкоупругие свойства. При малых и больших значениях V вещественные части выходят на свои асимптоты (кривые

для упругого материала при мгновенном и длительном модулях упругости соответственно), а мнимые части стремятся к нулю.

В пункте 2.2 построены функции Грина для вязкоупругого слоя для трех рассматриваемых задач в виде контурных интегралов, аналогичные упругому случаю.

Пункт 2.3 посвящен исследованию дисперсионных множеств, что для слоистой среды позволяет изучить структуру волнового поля в зависимости от частоты колебаний, оценить число распространяющихся мод колебаний их скорости и затухание. В случае задачи 1 решение дисперсионного уравнения получено аналитически.

На рисунках 2, 3 представлены дисперсионные множества для упругого и вязкоупругого изотропных материалов, соответственно. По горизонтальной оси

отложена величина кп = I———со.

1|с4/( 0)

Рисунок 2 Рисунок 3

Для упругого материала модуль Юнга совпадает по величине с длительным модулем вязкоупругого материала. Значения мгновенного и длительного модулей и времени релаксации, характеризующих вязкоупругие свойства материала, указаны на графике. Отметим, что максимальный тангенс угла механических потерь для вязкоупругого материала, характеризующий затухание в среде, составляет примерно 0.08.

В упругом случае при фиксированной частоте дисперсионное уравнение имеет конечное число вещественных корней и счетное множество чисто мнимых. Вещественным корням соответствуют бегущие волны, а мнимым - неоднородные волны с экспоненциально затухающей амплитудой, причем бегущие волны существуют, только начиная с некоторой критической частоты. В случае вязкоупругого материала корни дисперсионного уравнения смещаются в комплексную плоскость, и каждая волна имеет убывающую амплитуду. Однако в вязкоупругой среде имеются волны, амплитуды которых слабо затухают (будем называть их квазинеоднородными, они соответствуют распространяющимся модам в упругом случае), и есть волны, амплитуды которых убывают очень быстро (их вклад в волновое поле незначителен, так же как и неоднородных волн с экспоненциально затухающими амплитудами в упругом случае). Отметим, что все ветви выходят из начала координат, резко меняют кривизну в окрестности точек, которые характеризуют частоты толщинных резонансов в упругом случае.

В пункте 2.4 предложены интегральные представления полей перемещений, которые строятся при помощи формул Сомильяны на основе функций Грина для слоя, полученных в виде однократных интегралов. Относительно неизвестных функций раскрытия трещины сформулированы системы граничных интегральных уравнений (ГИУ), которые имеют гиперсингулярную особенность.

Интегральное представление для полей перемещений в слое имеет вид аналогичный упругому случаю:

где первое слагаемое характеризует поле в среде без дефекта (эталонное поле) от действия заданной нагрузки:

а интегральное слагаемое обусловлено наличием трещины (отраженное поле), определяется через функции раскрытия трещины, которые могут быть найдены из системы ГИУ. Здесь и\"'){х,£) и - функции Грина и соответствующие

и,Д) = кГЛ) + ¡^(х&х^сП, к,п,т = 1,2,3

(8)

(9)

им напряжения, вычисляемые по определяющим соотношениям с комплексными модулями типа обобщенного закона Гука

I %\х,$) = С]ш{Ш)и]';\х,!;), (Ю)

и удовлетворяющие дополнительным граничным условиям

(„)

Для формулировки системы граничных интегральных уравнений в (8) необходимо устремить точку £ к точке на трещине уе10+ и удовлетворить условию отсутствия напряжений на трещине (5). В общем случае получены следующие ГИУ относительно скачков смещений на трещине:

¡К^х,)')*^^ = (12)

'о

В случае антиплоских колебаний 2 имеем одно ГИУ, а в случае

плоской деформации у,/ =1,3 имеем систему двух ГИУ.

Главные части ядер интегральных операторов Кр(х,у) для всех рассматриваемых задач являются гиперсингулярными, т.е. имеют особенность

I 1-2

порядка \х-у\ , и соответствующие интегралы понимаются в смысле конечного значения по Адамару.

Построенная система интегральных уравнений может быть решена только численно. Наиболее эффективным способом решения задачи является метод граничных элементов (МГЭ). Пункт 2.5 посвящен дискретизации ГИУ на основе

N

МГЭ. Трещина аппроксимируется ломаной линией 1 = []1„, на каждом элементе

л=1

1„ неизвестные функции считаются постоянными. Узловые неизвестные определяются методом коллокаций, в соответствии с которым требуется выполнение интегральных уравнений в узловых точках. В результате дискретизации получены системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений компонент функций раскрытия трещины, после определения которых строятся поля перемещений в любой точке слоя.

При вычислении гиперсингулярных интегралов использовалась известия дискретная схема, предложенная Белоцерковским С.М. и Лпфановым И.К.1

Системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений функций раскрытия трещины имеют размерность для задачи I и

2Ых2Ы для задач 2 и 3, коэффициенты систем представляются в виде однократных интегралов по вещественной оси. Расчет этих интегралов осуществлен на основе составной квадратурной формулы Гаусса восьмого порядка.

В пункте 2.6 приведены результаты численного анализа прямой задачи для прямолинейных и криволинейных трещин. Построены функции раскрытия трещины, поля смещений на границе слоя. Произведен анализ влияния параметров трещины (ее геометрических размеров, ориентации и расположения) на волновые поля на границе.

Получены численные результаты решения прямой задачи для слоя с прямолинейной трещиной длины /, наклоненной к нижней грани слоя под углом в, средняя точка которой находится на расстоянии й от нижней грани и на расстоянии от точки приложения нагрузки по оси х, (трещина задана таким образом, что координата середины трещины по оси х1 совпадает с началом отсчета системы координат по этой оси).

Также получены численные результаты решения прямой задачи для слоя с криволинейной трещиной в виде дуги окружности радиуса Я, центр которой находится на расстоянии от нижней грани и на расстоянии £ от точки приложения нагрузки по оси х,.

В данном разделе приведены графики функций раскрытия трещины в зависимости от количества граничных элементов, для разных параметров трещины для задач 1, 2 и 3, а также графики полей смещении на верхней границе слоя.

На рисунках 4 и 5 представлены вещественные и мнимые компоненты поля перемещений на поверхности слоя с трещиной и слоя без дефекта (эталонное поле) для задачи 1. Параметры трещины указаны на графиках. Расчеты проведены для

1 Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. 1985. 256 с.

13

безразмерной частоты ¿3 = 7 (¿3 = кйН). При такой частоте в слое имеются две квазинеоднородные волны. Параметры изотропного материала: /7 = 1200 кг/м3, V = 0.3 , £ = 1.1-10' Па, #=1109 Па, /;=0.001 с (максимальный тангенс угла потерь - 0.05).

ПО. 1С п срсдс С 1"Ч

ло.чс в ірслі.' бо; лефекіа

Рисунок 4 Рисунок 5

Третья глава посвящена задаче идентификация трещины. В пункте 3.1

изложена общая формулировка операторных уравнений, связывающих геометрию

трещин с полем смещений на верхней грани, которые состоят из уравнений прямой

задачи вида (15) и дополнительного интегрального соотношения вида:

(14)

Уравнения (12) и (14) составляют систему нелинейных операторных уравнений относительно неизвестных ХАх) и 'о •

Полученную систему можно решить на основе метода линеаризации в окрестности некоторого положения трещины простейшей конфигурации, причем начальное приближение можно определить из условия минимума неквадратичного функционала невязки. Если в качестве входной информации заданы значения компонент полей перемещений g,„(£i) в N точках ^ е /, на одной частоте со (позиционное зондирование), то функционал невязки имеет вид:

= ї /;/ = 1,2,3

т=і ¿=1

где ()/. - параметры, характеризующие трещину простейшей конфигурации.

В настоящей работе основной конечномерной моделью в обратной задаче является прямолинейная трещина, задаваемая четырьмя инвариантными параметрами, параметризация которой описана выше. Возможен также способ параметризации прямолинейной трещины, когда неизвестными являются координаты концов трещины. Однако использование инвариантных характеристик предпочтптельнее для устойчивой идентификации трещины.

В пункте 3.2 представлены основные численные результаты по восстановлению прямолинейной трещины. В работе минимизация функционала (15) осуществлена при помощи генетического алгоритма, позволяющего достаточно эффективно определять искомые параметры. При реализации реконструкции был использован генетический алгоритм и программа, составленная Барановым И.В.2

Анализ результатов показал, что относительные погрешности восстановления искомых параметров не превышают 3-4 % при точных входных данных. Был проведен анализ влияния зашумлення входной информации на результаты реконструкции. На рисунках 6 и 7 представлены результаты' восстановления параметров трещины в зависимости от безразмерной частоты Зе[2,8] в условиях задачи 4. По вертикальной оси отложены относительные погрешности определения параметров. Дополнительная информация о полях перемещений была задана в 10 точках зондирования, расположенных в диапазоне изменения горизонтальной координаты х, е [/г, 3/г]. Амплитуда зашумлення входной информации - 2 %.

Материалы, взятые для расчетов - изотропные, вязкоупругие со следующими параметрами: ¿> = 1200 кг/м3, у = 0.3 , Е = 1.2 -109 Па, N = 1109 Па. Максимальный тангенс потерь в среде равен 0.08. Различие материалов состоит во временах релаксации. На рисунке 6 п = 0.00025 с (наибольшее затухание приходится на диапазон частот зондирования, т.е. й30 е [2,8]). На рисунке 7

2 Баранов И.В., Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном генетическом алгоритме н

его применении в обратных задачах идентификации упругих сред //

Вычислительные технологии. 2006. Т.П. №3. С. 14-26.

15

п- 0.001 с (частоты, на которых наблюдается наибольшее затухание колебаний, не попадают на диапазон частот зондирования, т.е. 50 < 2). На рисунке 6: 1 = 0.2/1, 0 = 65", с/=0.5/г, ¿ = 2.1/?. На рисунке 7: / = 0.1/?, в = 90", с/ = 0.5А, ¿ = 2.1/?.

Рисунок 6 Рисунок 7

Результаты свидетельствуют о достаточно хорошей точности восстановления. При зашумлении входной информации с амплитудой 2 % относительные погрешности восстановления редко превышают 5 %. Однако, в случае, если 5„е[2,8], результаты восстановления несколько хуже, чем в случае, если й0«ё [2,8].

Анализ численных результатов также показал, что для обеспечения необходимой точности (порядок функционала невязки - 0.001) количество вычислений функционала невязки (обращений к прямой задаче) составляет в среднем от 1000 до 2000 раз.

Проводились вычислительные эксперименты по восстановлению параметров трещины в предположении «незнания», что слой вязкоупругий. Для этого, как обычно, решалась прямая задача для вязкоупругого материала, из которой находились ноля смещений на верхней границе слоя. Далее по полученным значениям полей перемещений проводилась идентификация в рамках упругого подхода с заданным модулем упругости.

Процедура восстановления при модуле упругости, равном длительному модулю, дает приемлемые относительные погрешности лишь в случае, если

16

затухание в среде невелико (длительный и мгновенный модули отличаюкя незначительно). Восстановление при модуле упругости, равном мгновенному модулю, возможно в двух случаях: если затухание в среде мало или если й„ не попадает на диапазон частот зондирования.

Численный анализ показал, что для эффективной работы алгоритма требуется в 8-10 точек съема данных. Увеличение их количества не сказывается на качестве процедуры реконструкции трещины.

Следует отметить, что, как и в упругом случае, процедура реконструкции трещины, описанная выше, возможна не при любых частотах. Для идентификации необходимо наличие хотя бы одной квазинеоднородной волны в слое. Если со<д\ (й, - первая критическая частота), то в слое все волны имеют быстро убывающие по экспоненциальному закону амплитуды, и реконструкцию параметров трещины осуществить невозможно.

Поскольку операторные соотношения в обратной задаче для произвольной трещины весьма сложны, расчет полей в прямой задаче занимает относительно большое время, а при использовании генетического алгоритма требуется достаточно большое количество обращений к прямой задаче, в работе предложено упростить процедуру реконструкции, используя приближенный асимптотический подход, хорошо зарекомендовавший себя в задаче идентификации в упругом случае.

В четвертой главе предложен асимптотический метод решения прямой и обратной задач о колебаниях вязкоупругого слоя с произвольно ориентированном прямолинейной трещиной в случае ее малой относительной длины. В пункте 4.1 представлены асимптотические решения прямой антиплоской задачи (задачи I). Получена асимптотика граничного интегрального уравнения, решение которого находится аналитически. Предложены формулы для вычисления амплитуд квазинеоднородных волн. Характерной особенностью каждой амплитуды является следующая ее структура. Показано, что при любом количестве волн в слое она пропорциональна квадрату длины трещины / и представляет собой квадратичную форму относительно синуса и косинуса угла наклона в:

Л„ = /?*/2[яИ)1^/,Цит2 в + 2ап„(с1,1)ыпвсо?,в+а22„{с1,1)соГ в]. (16)

На основе такого подхода в пункте 4.2 представлены аналитические формулы для поэтапного определения параметров прямолинейной трещины в случае ее малого характерного размера для задачи 1.

Пункт 4.3 посвящен численным результатам, полученным на основе асимптотического метода. Анализ вычислительных экспериментов показал, что такой подход " позволяет идентифицировать трещины длины /< 0.1/г с погрешностью менее 10 %. При этом время, необходимое для вычислений, сокращается примерно на два порядка по сравнению с методом ГИУ. Однако трещины, длины которых /<0.01/;, в рамках принятой точности вычислений не оказывают влияния на поля перемещений, и не могут быть выявлены ни методом ГИУ, ни асимптотическим методом.

Пункт 4.4 посвящен асимптотическому анализу плоской задачи. В данном случае удалось в предположении малости характерного размера дефекта упростить представление полей перемещений и интегральных уравнений. На основе асимптотического метода получены трансцендентные уравнения для определения неизвестных параметров трещины. Анализ вычислительных экспериментов показал, что три параметра в,й,1 при /<0.1// определяются с относительной погрешностью менее 5-7 %. Параметр / в силу того, что он определяется в последнюю очередь и на его определении сказывается точность определения предыдущих параметров, определяется с погрешностью не превышающей 10-12 %.

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработаны методы решения задачи о колебаниях вязкоупругого ортотропного слоя с трещиной (плоский и антиплоский случаи).

2. Проведен численный анализ систем гиперсингулярных интегральных уравнений на основе МГЭ.

3. Предложен асимптотический метод расчета волновых полем в слое в случае малых прямолинейных трещин.

4. Разработаны методы решения обратных задач по идентификации параметров прямолинейной трещины по полям смещений на поверхности слоя на основе минимизации функционала невязки и на основе асимптотического подхода.

5. Проведена серия вычислительных экспериментов в задаче определения параметров трещины и определены наиболее эффективные для зондирования частотные диапазоны.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(фамилия соискателя: Лапина П.А. - после вступления в брак, Азарова П.А. - до вступления в брак)

1. Азарова П.А., Явруян О.В. О влиянии затухания на процедуру реконструкции трещины в слое // Труды XI международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2007. Т. 1. С. 6-11.

2. Азарова П.А. Об идентификации трещины в слое с учетом вязкоупругих свойств // Тезисы VI Школы-семинара Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. 2007. С. 64-67.

3. Азарова П.А., Явруян О.В. Исследование колебаний вязкоупругой слоистой биологической ткани // Труды IV всероссийской школы-семинара Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. 2008. С. 7-8.

4. Ватульян А.О., Азарова П.А., Явруян О.В. Идентификация параметров наклонной прямолинейной трещины в вязкоупругом слое // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 3. С. 461-472.

5. Азарова П.А. Фундаментальные решения для вязкоупругой ортотроннои плоскости // Труды XII международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2008. Т. 2. С. 16-19.

6. Ватульяи А.О., Азарова П.А. О реконструкции трещины в вязкоупругой ортотропной полосе // Теоретическая и прикладная механика изд. Донецкого Национального университета. 2009. Т. 1. С. 112-117.

7. Азарова П.А. Явруян О.В. О реконструкции параметров трещин в вязкоупругом слое // Труды V всероссийской школы-семинара Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. 2009. С. 5.

8. Азарова П.А., Явруян О.В. Об одном способе определения параметров трещины в вязкоупругой ортотропной полосе // Труды XIII международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2009. Т. 1. С. 6-10.

9. Азарова П.А., Явруян О.В. К идентификации трещин в вязкоупругой слоистой среде // Труды XIV международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2010. Т.1. С. 21-24.

Ю.Лапина П.А. Асимптотический подход в задаче реконструкции трещины в вязкоупругом слое // Тезисы докладов VI всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». 2011. С. 60.

П.Ватульян А.О., Лапина П.А. Об асимптотическом анализе задачи о реконструкции трещины в вязкоупругом слое. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №3. С. 21-29.

Для заметок

Сдано в набор 20.03.2012. Подписано в печать 20.03.2012. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,8. Бумага офсетная. Тираж 120 экз. Заказ 2003/03.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

61 12-1/998

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

О/ЬишМ}

Лапина Полина Анатольевна

РЕКОНСТРУКЦИЯ ТРЕЩИНОПОДОБНЫХ ДЕФЕКТОВ В ВЯЗКОУПРУГОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЕ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ватульян А.О.

Ростов-на-Дону - 2012

Содержание

Введение...............................................................................................................4

Глава 1. Постановка задач о колебаниях вязкоупругого слоя с трещиной .15

1.1 Постановка задачи о колебаниях слоя с туннельной трещиной.....15

1.2 Постановка прямой задачи об антиплоских колебаниях слоя, защемленного на нижней границе (задача 1)..............................................17

1.3 Постановка прямой задачи о колебаниях слоя, защемленного на нижней границе, в условиях плоской деформации (задача 2)..................18

1.4 Постановка прямой задачи о колебаниях слоя, лежащего на жестком основании, в условиях плоской деформации (задача 3).............19

1.5 Постановки обратных задач (задачи 4, 5, 6).....................................20

1.6 Используемые модели вязкоупругого поведения материалов........20

Глава 2. Сведение краевых задач 1, 2, 3 к системам граничных интегральных уравнений и их анализ.............................................................33

2.1 Фундаментальные решения................................................................33

2.2 Построение функций Грина................................................................39

2.3 Исследование дисперсионных множеств..........................................46

2.4 Интегральные представления полей перемещений и сведение к системам ГИУ.................................................................................................52

2.5 Дискретизация ГИУ на основе МГЭ.................................................61

2.6 Численные результаты решения прямой задачи..............................64

Глава 3. Идентификация трещины в вязкоупругом слое..............................74

3.1 Общая формулировка операторных уравнений в задаче идентификации трещины..............................................................................74

3.2 Численные результаты восстановления прямолинейной трещины75 Глава 4. Асимптотический подход в задаче о колебаниях вязкоупругого слоя с трещиной.................................................................................................80

4.1 Построение решения прямой задачи для трещин малых размеров 80

4.2 Реконструкция трещины в слое на основе асимптотического

подхода............................................................................................................83

4.3 Численные результаты, полученные на основе асимптотического метода..............................................................................................................86

4.4 Построение решений прямых и обратных задач для прямолинейных трещин малого размера в случае задач 2 и 3..................89

Заключение.........................................................................................................92

Литература..........................................................................................................93

ПРИЛОЖЕНИЕ А...........................................................................................103

Введение

Прочность реальных конструкций в значительной степени зависит от наличия в них различных микродефектов, развитие которых под действием приложенных нагрузок может приводить к появлению и последующему росту трещин и, как следствие, к частичному или полному разрушению конструкции. Распределение напряжений в телах после появления в них трещин и изучение работоспособности конструкций, ослабленных трещинами, являются важными вопросами современной механики разрушения.

Современное развитие промышленности связано с внедрением новых, в том числе композиционных материалов, которые зачастую содержат различные нарушения сплошности: дефекты (трещины, полости), включения, нарушения кристаллической структуры.

К наиболее опасным дефектам с точки зрения механики разрушения относятся трещины, в т.ч. расслоения на границе раздела сред, поскольку их вершины являются концентраторами напряжений, что может послужить причиной дальнейшего развития дефекта и последующего разрушения конструкции.

Краевые задачи динамической теории упругости для тел с трещинами принято делить на две класса - прямые задачи, в которых требуется определить волновые поля, например, поля перемещений или напряжений, и обратные задачи, в которых по волновым полям, известным на части или всей границе тела, необходимо определить геометрию и местоположение дефекта.

К настоящему моменту динамические задачи теории трещин изучены довольно подробно и получили свое развитие в работах Александрова В.М., Андрейкива А.Е., Бабешко В.А., Борисковского В.Г.,

Ватульяна А.О., Глушкова Е.В., Глушковой Н.В., Гольдштейна Р.В., Зозули В.В., Кита Г.С., Кудрявцева Б.А., Морозова Н.Ф., Морозова Е.М., Михаськива В.В., Панасюка В.В., Партона В.З., Попова Г.Я., Слепяна Л.И., Сметанина Б.И., Соболя Б.В., Соловьева А.Н., Сумбатяна М.А., Филыптинского JI.A., Черепанова Г.П., Шифрина Е.И., и ряда зарубежных авторов, таких как Achenbach J.D., Andrieux S., Bannour T., Bostrom A., Bui N.D., Colton D., Cruse T.A., Datta S.K., Erdogan F., Kobayashi A., Krenk S., Kuo A.Y., Loeber J.F., Mal A.K., Nakamura M., Sih S.K., Shindo Y, Tanaka M.

По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (т.е. неустановившиеся и установившиеся во времени). Методы решения нестационарных задач при неизменной длине трещины основываются на применении преобразования Лапласа и анализе возникающей смешанной задачи в пространстве изображений. Более простыми с точки зрения анализа математической модели являются стационарные постановки.

При создании математической модели трещина, как правило, описывается математическим разрезом в области, на границе которого имеются скачки полей перемещений. В большинстве исследований полагают, что берега трещины в процессе колебаний не взаимодействуют друг с другом. Следует отметить, что экспериментальные данные акустического зондирования показывают, что трещины проявляют себя как нелинейные объекты, для которых не выполняется принцип суперпозиции. Существуют нелинейные модели поведения трещин с учетом взаимодействия берегов, в которых учитываются трение, удар, наличие тепловыделения [43]. Такая постановка приводит к сложной нелинейной задаче в силу переменности области контакта во времени. Поэтому при формулировке систем ГИУ часто используют условие

отсутствия напряжений на трещине, что соответствует наиболее опасному случаю, когда трещина раскрыта под действием некоторого поля нагрузок.

Прямым задачам о колебаниях тел с трещинами произвольной конфигурации посвящены многочисленные публикации отечественных и зарубежных ученых. Задачи определения волновых полей в телах с трещинами в линейной постановке хорошо изучены, для них разработаны различные аналитические и численные методы. Отметим монографии [9, 53, 54, 55]. При этом для решения задач о колебаниях тел с трещинами используются как полуаналитические методы, основанные на решении интегральных уравнений с разностными ядрами [9, 21, 31], так и численные, среди которых главная роль принадлежит конечноэлементным [88] и граничноэлементным подходам [47] и их комбинациям.

Разработаны методы, позволяющие получать решение интегральных уравнений в полуаналитической форме для слоистых сред с одиночной трещиной и с системой трещин, расположенных в параллельных плоскостях для изотропного материала [10, 11]. Для решения прямых задач в случае областей канонической формы методы представлены в работах Партона В.З., Борисковского В.Г., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. [38, 53, 54, 55]. При произвольной же форме трещины используются подходы, основанные на методе граничных интегральных уравнений [45] и предполагающие дискретизацию систем граничных интегральных уравнений на основе одного из вариантов МГЭ [24, 65].

К наиболее эффективным экспериментальным методам неразрушающего контроля в упругих телах относятся методы, основанные на дифракции упругих волн на дефектах [34, 35, 36]. В этом случае для правильного описания дифрагированного поля формулируются системы интегральных уравнений относительно скачков смещений на трещине [39]. Динамическим задачам теории трещин посвящены многочисленные публикации [25, 99, 45, 40, 97, 89]. В последние годы для исследования

дифракции упругих волн на внутренних и поверхностных трещинах были разработаны различные аналитические и численные методы исследования этих уравнений.

Методы решения прямых задач расчета полей в среде с дефектом можно разделить на два класса по типу возникающих граничных интегральных уравнений (ГИУ): гиперсингулярные [53, 71, 85, 90, 42] так и несингулярные [94] и использующие двойственные формулировки [9, 33].

Также следует разделить методы исследования таких задач на высокочастотные и низкочастотные. В первом случае длина высокочастотного зондирующего сигнала имеет тот же или меньший порядок, что и длина трещины. Это позволяет регистрировать интерференционные явления и использовать эти данные для идентификации дефекта. Низкие частоты колебаний позволяют использовать статические результаты теории трещин при решении динамических задач и делать предсказания о дальнейшем росте трещины и разрушении образца по коэффициентам интенсивности напряжений.

Задача идентификации трещины в теле состоит в определении ее характерных размеров, формы и положения по известной информации о перемещениях или амплитудах распространяющихся мод на части границы тела. Трещина может быть по-разному расположена по отношению к границам тела, и может иметь большой или малый размер в сравнении с характерными размерами тела.

Общим подходом к решению задач идентификации трещин является сведение к системам операторных уравнений. Отметим, что если размеры дефекта соизмеримы с длиной волны зондирующего сигнала или меньше ее, то поле на поверхности для тел с дефектом и без него будут мало отличаться друг от друга. Поэтому для решения обратной задачи необходимо иметь достаточно точную постановку и уметь строить

численные решения соответствующей краевой задачи с достаточно высокой точностью.

В ряде конструкций положение трещины известно (клеевые или сварные соединения двух разнородных материалов), что значительно упрощает задачу идентификации, однако приводит к многочисленным переотражениям волн, которые затрудняют процедуру идентификации.

Задачи идентификации трещин в твердых телах представляют собой важную техническую проблему и составляют суть современной дефектометрии. С математической точки зрения задачи по определению конфигурации трещины в твердом теле относятся к обратным геометрическим задачам математической физики. К настоящему времени выполнено достаточно большое количество работ, посвященных обратным задачам для упругих тел с трещиной. Развитие данной тематики связано с ее практическим применением в дефектоскопии, сейсморазведке, геофизике, что стимулирует разработку новых эффективных методов исследования. Своевременное выявление трещиноподобных дефектов позволяет избежать катастрофических последствий.

В ряде работ рассмотрены обратные задачи для моделей пространства, полупространства или полуплоскости с одиночной трещиной, расположенной, как правило, параллельно границе среды. Более трудоемкими являются модели полуограниченной среды или слоя с прямолинейной наклонной или криволинейной трещинами.

Эффективным методом решения обратных задач теории трещин является метод, использующий метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и его дискретный вариант. Благодаря этому подходу формулируются интегральные уравнения по неизвестному контуру трещины, и далее, системы нелинейных операторных уравнений для решения обратной задачи.

Значительный вклад в постановку обратных задач теории дифракции и разработку методов их исследования внесли Колтон Д., Кресс Р. [46], Горюнов A.A., Сасковец A.B. [37], Бухгейм А.П. [15], Ватульян А.О. [16, 17, 20, 23, 30, 26, 27], Гольдштейн Р.В. [79], Емец В.Ф. [41], Соловьев А.Н. [23, 26, 27], Сумбатян М.А. [74, 91, 95], Шифрин Е.И. [58, 92, 93, 44, 57, 79], Шушпанников П.С. [79], Achenbach J.D. [71, 89, 69], Bannour Т. [66], Bostrom А. [67, 68], Bui N.D. [59, 64, 70], Datta S.K. [86], Nakamura M., Tanaka M. [96], Abda A.B. [59, 64, 66], Alessandrini G. [61], Alves C.J.S., Ha Duong T. [62, 63], Budrec D.E. [71, 69].

Рядом ученых исследованы проблемы реконструкции трещин в конечных телах, причем наибольшего продвижения в решении таких задач удалось достичь при наличии априорной информации о том, что трещина или системы трещин расположены в некоторой плоскости. Особое внимание уделено задачам определения приповерхностных дефектов и дефектов, расположенных на стыке областей, возникающих в результате непроклея или непровара материалов, вертикальных трещин в слое или полупространстве.

При решении обратной задачи могут быть использованы различные способы зондирования - позиционное, когда при фиксированной частоте излучателя измеряются смещения в некоторых точках участка поверхности упругого тела, или частотное, когда измеряются смещения в фиксированной точке тела на разных частотах.

Обратные геометрические задачи в различных постановках исследованы в работах [63, 70, 75, 76, 87].

В подавляющем большинстве работ рассматриваются вопросы идентификации трещин в изотропных упругих телах. Однако ряд конструкционных и композиционных материалов, в которых трещины являются характерными дефектами, обладает сложными механическими свойствами, например, анизотропией и сложной реологией.

Так, например, вязкоупругие свойства проявляет большой класс материалов - полимерные материалы и композиты на их основе (последние часто имеют анизотропию различного типа). Поэтому особый интерес представляют задачи идентификации трещин, учитывающие эффекты затухания и специфику распространения волн в анизотропных материалах и конструкциях из них в той или иной форме.

Свойства таких вязкоупругих материалов являются достаточно сложными и характеризуются несколькими релаксационными механизмами, однако в подавляющем большинстве случаев один из них является преобладающим. Поэтому в первом приближении для описания динамического поведения таких объектов можно использовать модель стандартного вязкоупругого тела с одним временем релаксации.

Разрушение композиционных материалов с трещинами на основе концепции квазихрупкого разрушения и исследования коэффициентов интенсивности напряжений - один из важнейших аспектов теории трещин, ему посвящены работы [72, 73, 80, 81, 82, 100].

При исследовании коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин в вязкоупругих средах разработаны некоторые приемы. В [72] при решении антиплоской задачи для трещины в вязкоупругом слое, расположенном между двумя различными материалами, учет вязкоупругих свойств произведен на основе принципа соответствия. Изучено влияние температуры, геометрических соотношений и граничных условий на коэффициенты интенсивности напряжений. В [73] рассмотрена монетовидная трещина в среднем слое композитного вязкоупругого материала. Для оценки возможности разрушения исследованы коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от толщины внутреннего слоя путем моделирования трещины при помощи непрерывной функции распределения. Представлены асимптотические разложения. В статье [81] на основе принципа соответствия рассмотрена

вязкоупругая подложка на упругом слое с трещинами под действием сосредоточенной нагрузки, причем упругое решение в плоском случае построено на основе метода комплексных потенциалов.

В то же время привлекательной является постановка вопроса о возможности прогнозирования работоспособности тела с трещиной по данным акустического зондирования, идентификация характерных размеров трещины и ее расположения. При этом реологические свойства материала приводят к достаточно сильному затуханию полей смещений, что приводит к увеличению погрешностей идентификации.

Целью настоящего исследования является изучение и оценка влияния вязкоупругих свойств материала на процедуру идентификации одиночной трещины в слое.

В настоящей работе на основании метода ГИУ решается два типа задач. К задачам первого типа относится задача нахождения полей перемещений в ортотропном слое (и на его поверхности) на основе идеологии метода граничных интегральных уравнений. Колебания вызываются действием нагрузки (сосредоточенной силы), приложенной на поверхности слоя. Задачи второго типа состоят в идентификации трещины в ортотропном вязкоупругом слое; при этом считается заданным поле перемещений на части поверхности слоя, что моделирует реальный процесс измерений полей с помощью датчиков. Таким образом, задача идентификации дефекта требует либо экспериментальной информации, либо вычислительного эксперимента, при реализации которого требуется решение прямой задачи.

Аналогичные задачи определения параметров трещин в упругом слое рассмотрены в работах Баранова И.В., Ватульяна А.О., Явруя�