Численные методы в прямых и обратных задачах рассеяния для заглубленных объектов в слоистых упругих средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Халед Мохамед Али Эль Мораби

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ЗАГЛУБЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ В СЛОИСТЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ

01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 0 т 2012

Ростов-на-Дону - 2012

005047673

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Сумбатян Межлум Альбертович

Официальные оппоненты:

Ивапочкин Павел Григорьевич, доктор технических наук, доцент, Южный научный центр Российской Академии Наук, ведущий научный сотрудник.

Ляпип Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», заведующий кафедрой информационных систем в строительстве.

Ведущая организация Институт проблем механики им. АЛО. Ишлииского Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 27 декабря 2012 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 26 » ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование прямых и обратных задач рассеяния для заглубленных объектов в слоистых упругих или акустических средах является одной из важных задач и актуальной проблемой в механике деформируемого твердого тела. Интерес к этим исследованиям связан, в основном, с потребностями сейсмологии, ультразвукового неразрушающего контроля, гидроакустики, технической и медицинской диагностики.

Задачи из этой области исследования сводятся к краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными. Частными случаями являются уравнения Лапласа и Гельмгольца, описывающие равновесие и колебания в упругих и жидких средах. В связи с развитием теории многослойных сред и конструкций особую актуальность приобретают модели, основанные на краевых задачах о колебаниях слоистых сред с дефектами различной природы: полости, трещины, включения, поры, и другие внутренние объекты.

Краевые задачи в динамической теории упругости для тел с дефектами делятся на два класса - прямые и обратные задачи. В задачах первого класса требуется определить волновые поля перемещений и напряжений по заданному внешнему силовому воздействию. Напротив, обратные задачи состоят в нахождении геометрии и местоположения дефекта по информации о волновых полях, известных на части границы рассматриваемого тела.

Целью работы является решение прямых задач рассеяния и обратных задач реконструкции заглубленного объекта в изотропных слоистых упругих средах, на основе известных полей, измеренных на некоторой части свободной границы в низкочастотной области.

Методы исследования прямых задач основаны на том, что исходная краевая задача с использованием функций Грина или тензора Грина для слоистых упругих сред сводится к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ) относительно функций смещений на граничном контуре дефекта. Данная система решается

численно методом коллокации. В итоге задача идентификации дефекта в слоистой среде сводится к минимизации некоторого неквадратичного функционала невязки. При этом численный алгоритм нахождения минимума рассматриваемого функционала реализован на основе метода наискорейшего спуска.

Научная новизна заключается в развитии численно-аналитических методов решения ряда новых задач (прямых и обратных) о колебаниях слоистых упругих сред с заглубленным объектом сложной формы на основе ГИУ.

Достоверность полученных результатов основана на строгом математическом аппарате линейной изотропной динамической теории упругости, на корректном сведении динамических задач для слоистых сред с заглубленным объектом к граничным интегральным уравнениям и обеспечивается детальным анализом полученных результатов при изменении входных данных, а также проведением большого числа вычислительных экспериментов по реконструкции дефектов.

Практическая значимость работы определяется приложениями при разработке и созданию устройств для реконструкции геометрии заглубленного объекта в слоистых упругих средах неразрушающими методами диагностики.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 157 источников, и приложения, общим объемом 141 страница.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, Азов, 2010 г.), на XXII, XXV сессиях Российского акустического общества (Москва 2010, Таганрог 2012), а также на конференции «Congress on Sound and Vibration (ICSVI7)», Каир, Египет, 2010 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приводится в конце автореферата. Из них 3 статьи [5,6,8] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по динамическим задачам теории упругости для слоистых сред с заглубленными объектами, а также по методам решения прямых и обратных задач для сред, содержащих дефекты.

Задачи динамической теории упругости о колебаниях слоистых сред с дефектами изучались и получили свое развитие в работах Бабешко В.А., БоеваН.В., Бреховских JI.M., Бурова В.А, Ватульяна А.О., Воровича И.И., Гетмана И.П., Гринченко В.Т., Глушковых Е.В. и Н.В., Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Ляпина A.A., Мелешко В.В., Пряхиной О.Д., Соловьева А.Н., Селезнева М.Г., Сумбатяна М.А., Угодчикова А.Г., Устинова Ю.А., Хуторянского Н.М., Черевко М.А., Achenbach J.D., Colton D., Kobayashi S., Kress R., Niwa Y. и других.

В решение обратных задач идентификации геометрии дефектов внесли свой вклад Боев Н.В., Ватульян А.О., Емец В.Ф., Пряхина О.Д, Соловьев А.Н., Сумбатян М.А., Шифрин Е.И., Явруян О.В., Abda A.B., Achenbach J.D., Alessandrini G., Alves С.J.S., Andrieux S., Ang D.D., Bannour Т., Brigante M., Budrec D.E., Bui N.D., Colton D., Kress R., Nakamura M., Tanaka M, Trong D.D. и ряд других исследователей.

В отмеченных работах используются различные методы решения, в том числе, методы сведения динамических задач к граничным интегральным уравнениям, сведение к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, метод многократных отражений, метод суперпозиции.

В первой главе диссертации (в пунктах 1.1-1.4) излагаются постановки основных задач, которые рассматриваются в работе. Параграф 1 содержит общую постановку антиплоской и плоской прямых задач об установившихся колебаниях изотропного упругого слоя с заглубленной полостью.

Рассмотрим установившиеся колебания однородного изотропного упругого

слоя толщины h с заглубленной полостью, с произвольной гладкой границей t. Горизонтальная ось совпадает с нижней границей слоя у2 = 0 , а верхняя граница - прямая у2 = h. Колебания в слое вызываются нагрузкой с компонентами

3

Рі(Уі- 1)=Рі(Уі)е "°'> г = приложенной на части верхней границы. Граница полости свободна от нагрузок.

В случае антиплоской задачи ненулевой компонентой вектора перемещений

является компонента щ = и О',, уг )с '"". Краевая задача после отделения временного множителя имеет вид (задача 1):

АуНУї ,Уг)+к2™(уі , у2) = 0. (1)

8w

= 0. Чу,=о = (2)

- i и' ' о

у2=И » д"у

В случае плоской деформации краевая задача имеет вид (задача 2): (Я + 2fj)ui п + //и, 22 + (Я + ц)иг 12 + рсо2 и, = 0, (Л + 2ц)иг 22 + ми2,ч + (<* + f)ui,\2 + Р®2 м2 = 0

= Xllk,kS¡j + /'("/.У + "У,/)' '>./>¿ = 1-2>3

(3)

(4)

9 Л

где - компоненты единичного вектора внешней нормали к границе полости £ . Поскольку область содержит бесконечно удаленную точку, то необходимо добавить условия излучения волн на бесконечности.

Параграф 2 состоит в постановке плоской и антиплоской обратных задач 1, 2 об идентификации заглубленного объекта произвольной конфигурации в изотропном упругом слое, на основании заданных полей на части верхней границы слоя.

Параграф 3 посвящен постановке плоских и антиплоских прямых задач для двухслойной изотропной упругой среды с заглубленным объектом в первом слое и для объекта на границе между двух слоев.

Рассмотрим задачу об установившихся колебаниях двух однородных упругих

слоев толщины /?! ,Ь2. Полость с гладким контуром ^ свободна от нагрузок и заглублена в первом слое (I), а второй нижний (II) слой имеет другие упругие

параметры. Считаем, что колебания в слое вызываются сосредоточенной нагрузкой, приложенной на верхней границе первого слоя у2=Н = И, + й2 в точке

В случае антиплоской деформации поля перемещений имеют следующий вид: Щ = и'(_>', ,у2)с'"', который можно представить для каждого слоя отдельно:

, Л (ЧСяоъ). 21 ~ ~

нхУпУг)—] ( п , где ц=У1 \й, и обозначает область, занятую

объектом в первом слое, и В2 представляет собой второй слой. Тогда краевая задача, после отделения временного множителя имеет вид (задача 3): для верхнего слоя (I) может быть записана в следующем виде:

А,- 1П (У\. У 2) + к\2 У г) = °> Зи>,

я

°Уг

у/ \ 8IV,

1'3=А >

для нижнего слоя (II): Аг™2(У1> >'1) + к1 И>2(>'|. >,2)=0>

Граничными условиями на внутреннем интерфейсе у2 = Ь2 являются условия непрерывности смещения и напряжения сдвига:

ЙИ»,

"Чл«*, - "2 1*-*, •

дю,

=

дУ>

(7)

где к12-а>/с{2 _ волновые числа и си ~ л//'1,21 Ад — скорость распространения

поперечных волн в соответствующей среде. Кроме того) и /'1,2 — упругие модули Лямэ для соответствующего слоя.

Аналогично сформулирована задача в плоской постановке. Рассмотрим антиплоскую динамическую задачу для двух упругих слоев (задача 5). На границе между ними у2 = /г2 имеется полость. Ее верхняя часть (■I попадает в слой (I), а нижняя 12 - в слой (II), где £ = £,и 12. Считаем, что

кривая @ симметрична относительно линии раздела у2 = , полость свободна

от нагрузок. Тогда краевая задача для верхнего слоя (I):

Ау™1 Он Уг) + к\ 0'1. Уг) = 8 и»,

= Ро ~хо) > т—1

ЛИ

л

(В)

= о.

Для нижнего слоя (II) имеем:

=0, --

дп„

(9)

= 0.

Для завершения постановки задачи, на внутренней интерфейсной границе необходимо добавить граничные условия (7).

В четвертом параграфе рассматривается постановка плоских и антиплоских обратных задач для двух изотропных упругих слоистых сред с заглубленным объектом в первом слое и для объекта на границе между двух слоев. Эти обратные

задачи состоят в определении формы гладкого замкнутого контура £ и его местонахождения в рассматриваемой среде по измеренным волновым полям на части верхней границы у2 = к.

Вторая глава диссертации посвящена построению функций и тензоров Грина для слоистых упругих сред в виде однократных контурных. Для каждой задачи строится специальная функция Грина, которая автоматически удовлетворяет граничным условиям на границах.

В параграфах 1, 2 представлены специальные фундаментальные решения (функции и тензоры Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний изотропного слоя в виде однократных интегралов, которые совпадают с известными.

Заметим, что контур интегрирования в представлении для функций и тензоров Грина в виде интегралов Фурье в случае произвольной частоты проходит в комплексной плоскости. Это связано с наличием конечного числа однородных распространяющихся волн, математическим следствием которых является наличие

вещественных полюсов подынтегральных выражений в интегралах Фурье. При этом, согласно принципу излучения, контур интегрирования совпадает с вещественной прямой, обходя положительные полюса снизу, а отрицательные сверху. В данной работе рассматриваются лишь низкочастотные волновые процессы, в которых волновые числа меньше соответствующих критических значений, при этом однородные волны отсутствуют, у интеграла Фурье нет вещественных особенностей подынтегральной функции, и контур интегрирования может быть выбран совпадающим с вещественной осью. Как следствие, все компоненты тензоров Грина и получаемые после дискретизации линейные алгебраические системы являются вещественными. Для генерирования волнового процесса с существенным рассеянием на дефекте величина волнового числа выбирается в верхней части рассматриваемого частотного диапазона.

В параграфах 3, 4 строятся специальные фундаментальные решения (функции и тензора Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний для двухслойной среды.

В случае антиплоской деформации функция Грина в антиплоской задаче для двух слоев имеет вид: (задача 3)

у2 ^ совК /2/;2)[зтЬ[ у, (£, + у2 - Н)] + зтЬ[ у, (/г, -1у2 - £,|]] ¿,(^2) = —^7---

Е1

бшИС /2/г2)[со5Ь[ + уг- Н)} + со5Ь[ -| у2 -

2гА Уг —совМ гА)С05Ь( ГгЮ + Ух «¡"К /Д^тК у2Н2)

I /"1

Н = 1ц + /г

2-! у2 — совЦ у,/г,)сояЬС у2И2)+ у] я!пИС /Л У 2^2)

(10)

совщ у ,11,) соящ у2п2)+у, ятщ ^тщ у 2и2)}

¿2(,,У2) = т-соаЦу.К,-*)] ,шЬ( у,у,)-_ ^ = ^ + ^

у2 — со8Ь( )соэЬ( у2к2) + у, К1п11( /,/г,)8тЬ( у2Иг) К

Заметим, что при Л2-»0 и /г, = И , у, = у выражение 1,(.?,_у2) переходит в известную формулу для однослойной среды.

В случае плоской деформации тензоры Грина для двух слоев имеют вид: (задача 4)

для верхнего слоя (I):

с* .*>=KV -h ±

G™) 2я" fri '"\сКгл)

+ -J- X-LV Г (-1Г'2»<->(,Я) xe^-^ds, mj = 1,2

2ра> ^

(П)

Г™ m,j = 1,2 (12)

для нижнего слоя (II): 2л i

Альтернативный вывод подобных соотношений дан в работах Ляпина A.A. и Селезнева М.Г.

В случае антиплоской деформации, тензор Грина для объекта на границе между двумя слоями имеет вид (задача 5)

С„(у,®~\лз,у2) , 1J = 12. (13)

для верхнего слоя (I), две компоненты тензора Грина Gu(y,£), Gn(y,%) можно переписать так чтобы: Lix{s,y^)=L[ (s,y2), Ll2(s,y2)=L2(s,y2) . Для нижнего слоя (II), две другие компоненты тензора Грина строятся аналогично:

cosh[ (h - у2)] cosh( у2£2)

L2l(s,y2) = -^-Y' ä = A,+ä2

| у2 ^-cosh( уА) cosh( Yzh2) + Г, sinh( yjh ) sinh( y2h2) [

cosh( y,A,)[cosh[ y2(g2 + y2-h2)]~ cosh[ y2(h2 - - y2|]] L22(s,y2) = r =j

l\y2— cosh( /j/г,)cosh( y2h2) + y, sinh( ^,/г,)sinh( y2h2)\ { )

sinh( yxA,)[sinh[ y2(£2 + y2-h2)] + sinh[ y2(h2 - \%2 - y21]] _Гг_

l\y2— cosh( /,A,)cosh( y2h2) + yx sinh( /¡A^sinhi y2h2) [

Третья глава посвящена решению прямых задач для слоистых структур с произвольно заглубленными объектами на основе сведения краевых задач 1-5 к системам граничных интегральных уравнений.

В первом параграфе 3.1 представлены основы метода граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости.

В параграфах 2, 3 изложено сведение краевых задач (1-4) к системам ГИУ для упругого слоя и двух упругих слоев на основании динамической теоремы взаимности. В этом случае система ГИУ относительно неизвестных функций смещения на контуре нерегулярна, при этом ядра полученных ГИУ выражаются в виде интегралов по контуру в комплексной плоскости (для задачи 1,3 т = 3, ) -1,2, для задачи 2,4 /, _/, т-1,2 )

"„(£) = Ш) + \<г?\у,$шу)и1(х)спу, = 1,2

е

/М)=]РЛу)01-\У,4)Ф1 (15)

где с^"1'(>>,£)- компоненты тензора напряжений, которые определяются через компоненты матрицы-функции Грина для соответствующей задачи и закона Гука.

Соотношение (15) позволяет рассчитывать поле в слое и в двухслойной среде. При этом волновые поля представимы в виде суммы двух слагаемых, первое из которых - эталонное поле, являющееся полем смещений в среде без дефекта, второе слагаемое обусловлено наличием в слое полости. Выражения для сг,''"> (>',<?) представимы в виде интегралов Фурье.

Для задачи 5 об антиплоских колебаниях двух упругих слоев с заглубленной полостью на границе между ними, две компоненты тензора Грина ОцО', ¿¡),С21(у, и поле перемещения и',(у, являются функциями переменных (У> в верхнем слое, области В,. Напротив, две другие компоненты тензора Грина 6,2 (у, <Г), ^22 СУ> и №,(>>, д) являются функциями переменных (у, £,) в нижнем слое, области 02. Тогда согласно свойствам потенциала простого и двойного слоя, получим основную систему ГИУ:

11

2 іг

-Цгу^г(х)-Ц2 14 00

9 У

і:

дС„(у,х)

дпу дОп(у,х) дпу

Му -м \щ(у)дС^У' Х)МУ =/(х),

Заметим, что коэффициент '/г перед свободными членами в последних уравнениях, строго говоря, получается лишь при стремлении точки £ в регулярную граничную точку. Можно показать, что если предельный переход происходит в граничную точку контура, лежащую на границе двух слоев, то в случае антиплоской задачи указанный коэффициент сохраняет значение х/г.

В четвертом параграфе настоящей главы осуществлена дискретизация полученных систем ГИУ и сведение ГИУ к системам алгебраических уравнений на основе метода коллокации.

В работе метод коллокации применяется в следующей редакции, используемой для численного решения системы интегральных уравнений, например (15), и вычисления интеграла (16). Он состоит в разбиении контура і на N малых сегментов с применением простейшей квадратурной формулы, основанной на приближении подынтегральной функции некоторым постоянным значением на каждом малом сегменте і} , І = 1,2,3,...., N длины .

В антиплоском случае для задач 1 и 3, применяя простейшую квадратурную формулу к основному ГИУ (15), приходим к линейной алгебраической системе размером Л^хіУ относительно неизвестных узловых значений и'„, п = 1,2,..., N г которая имеет вид (wn = \\\п; для задачи 3):

В плоском случае задачи 2 и 4 сводятся к линейной алгебраической системе размером 27^x2^ относительно неизвестных узловых значений ия, <7 = 1,2,—,2Ы На контуре (, которые имеют вид: и,щ=ит(х1ч, х^)

= п = 1,2,..., N

(17)

щ, - £ К™ г,2] , т = 1,2, д = 1,2,..., М, К™ = \<т£\у,х,)Пк{у),Пу, / = 1,2 (18)

Задача 5 тем же методом сводится к похожей линейной алгебраической системе размером 2Ых2Ы в дискретном виде.

Параграф 3.5 содержит 5 пунктов. Представлены результаты проведенных численных экспериментов с построением волновых полей на верхней границе слоя для задач 1-5. Результаты в виде графиков вынесены в приложение. Приведенные графики отражают влияние геометрических и физических параметров на волновые характеристики и иллюстрируют эффективность предлагаемого метода для изотропных упругих слоев с эллиптической полостью.

На рисунке (2-а), (2-Ь) представлены графики поля перемещения на поверхности слоя И) = для задачи 1, с различными центрами хс для дефекта, наклоненного под углом #={0, ;г/4, я72, Зя74} к положительному направлению оси Оу^

В серии расчетов варьировалось число граничных элементов от N=20 до N=70, при этом поле смещений отличается незначительно. Численная реализация задачи 2, в соответствии с представленным алгоритмом дискретизации ГИУ и расчета волнового поля перемещений проведена в серии численных экспериментов для слоя из стали, упругие постоянные материала: модуль Юнга £' = 20.4х1010Я/л(2, модуль сдвига О = // = 7.9хЮ10#/л/2, коэффициент Пуассона V = 0.3 и плотность стали р = 7800 кг/м1. Для вычисления компонент тензора

13

Грина применяется численное интегрирование. В диссертации приводятся графики для задачи 2.

Далее проведена численная реализация задач 3,4 и 5. Для расчета волнового поля перемещений в слое и в двух слоях реализована серия численных экспериментов для верхнего слоя из меди, упругие постоянные материала: модуль Юнга Е=13.0x1 , модуль сдвига С/=/г=4.9х1Й0Я/.к2, коэффициент

Пуассона, V = 0.34 и плотность меди /7 = 8930 кг!мъ, Ро/ц=1, а нижнего слоя из стали. В диссертации для задачи 3 приведены примеры расчетов поля перемещений на поверхности верхнего слоя с круглой полости I для различных толщин и центров хс. Для задачи 4 представлены графики компонент поля

перемещений на поверхности верхнего слоя с круглым объектом с центром

(0, И), для различных радиусов. Для задачи 5 ниже на рисунке представлены графики поля перемещений м>12(х) в узлах контура I для эллипсов с различными полуосями с центром в точке (И/2,И/2), при этом И1=И2=И/2 , х0=И/2.

В четвертой главе решаются обратные задачи об идентификации полости в слоистых средах по полям смещений, заданным на части верхней границы слоя. В первом параграфе 4.1 представлены методы исследования обратных задач динамической теории упругости и сформулированы операторные уравнения для

а = 0.075 .......Ь=0.1

----Ь=005

• — Ь=0.075

ч і/У

у>

Верхняя часть граничного контура

Рис.З-а

а=0Ш

-------а=01

---«а=0.05

Нижняя часть граничного контура

Рис.З-Ь

обратных задач (1-5) в случае антиплоских и плоских колебаний слоистых сред с заглубленной полостью произвольной конфигурации.

В результате приходим к системе нелинейных операторных уравнений относительно двух неизвестных функций: 1), и(х),хе£ , и 2) формулы, определяющей контур I. Эту систему представим в следующем дискретном виде:

2Х&. У;) (Л 'Л , Ске[с, а\, у, е£, т = 1,2, к = 1,2, ...,М (19)

м

Во втором параграфе 4.2 представлены основы метода наискорейшего спуска для минимизации функционала невязки. Решение обратных задач ищется в классе эллипсов, параметризуемых 5 параметрами - координатами центра (хс,ус), полуосями (а,Ъ) и углом в наклона к оси Ох. В некоторых частных случаях число параметров может быть меньше. В общем случае характеристики контура I определяются из решения системы (19) с помощью минимизации неквадратичного функционала невязки О.:

II II 2

ф]=№аАхс,ус)= £ Кт^к,у1)[А-\2)П]Мгйт(Ск)

1Ь> 2 II (21)

= ЕКт](£к, У,) Мгйт(Ск) 1

к=\у=1 ]

Проблема минимизации функционала невязки [г] решается методом наискорейшего спуска или методом сопряженных градиентов, при этом градиент функционала вычисляется численно. Такая итерационная схема приводит к точному решению в случае линейного операторного уравнения, которое соответствует квадратичному функционалу. Исследуемая обратная задача -нелинейная, поэтому нельзя строго доказать сходимость итерационного процесса. Однако любой гладкий функционал локально является квадратичным, поэтому можно уверенно говорить, но крайней мере, о локальной сходимости. Численные примеры показывают быструю сходимость предложенного алгоритма.

Таблица. Результаты реконструкции эллиптической полости - задача 4

(Ч и ' Л Л ' и) ГХ^хЮ"5 шум в ИСХОДНЫХ данных Число итераций а В х. Ус

0.2 0.15 1.25 1.2

0.02 0% 17 0.1958 0.1400 1.2315 1.1724

к = А, Л2 = А/2 0.4 0.5 10% 20% 25 21 0.2552 0.2653 0.1700 0.1650 1.2257 1.1225 1.1365 1.0868

х0 =3.25 0.15 0.15 0.9 0.8

V,., 1І 0.02 0% 12 0.1358 0.1432 0.8986 0.8163

0.1 10% 13 0.1806 0.1753 0.9337 0.8378

0.3 20% 13 0.1824 0.1768 0.9314 0.8271

035 0.3 1.4 1.05

[с,4=[-2,2] 0.05 0% 22 0.3651 0.3310 1.3976 1.0170

0.06 10% 20 0.3130 0.2562 1.3630 1.0738

0.5 20% 21 0.3263 0.2687 1.3737 1.0572

Параграф 4.3 содержит 5 пунктов, в которых представлены численные исследования задач 1-5 для различных конфигураций дефекта и его местоположения. При реконструкции заглубленного объекта в слоистых упругих средах найдено пять параметров из условия вычисления минимума функционала невязки П[г]. Отметим факторы, влияющие на реконструкцию:

• волновое число

• число точек зондирования на отрезке [с, с/] и его месторасположение

• позиция источника колебания х0 на верхней границе у 2 = й

• глубина слоя, который содержит объект, относительно глубины других слоев в слоистой среде

• Точка начального приближения х(0) = (

I п И !г Ъ

метода наискореишего

спуска.

Некоторые примеры реконструкции приведены в таблице. Для всех примеров берется М = 20 точек измерения на отрезке £е[с, с/] . Исследуется влияние шума во входных данных на точность реконструкции полостей в верхнем слое.

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Сформулированы интегральные уравнения в задаче о колебаниях слоистой среды с полостью.

2. Разработан численный метод для систем интегральных уравнений на основе метода коллокации.

3. Разработаны методы решения обратных задач реконструкции заглубленного объекта в изотропных слоистых упругих средах по известным волновым полям на повехности слоя.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов в задачах восстановления геометрических параметров полости в классе эллиптических контуров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. М. A. Sumbatyan, К. М. EL Morabie, Theoretical analysis of scattering by buried objects in the elastic and acoustic layer, 17th International Congress on Sound and Vibration (ICSV17), Cairo, Egypt, 2010, 227-234.

2. M.A. Сумбатян, X.M. Эль Мораби, Дифракция ультразвуковых волн на дефектах сложной формы в упругом слое постоянной толщины, Сб. трудов XXII сессии Российского акустического общества, М.: ГЕОС, 20 Юг, т.1, с. 249252.

3. К. М. EL Morabie, Computational Methods for Calculating the Scattered Elastic Waves from Buried Object in two Layers: Anti-plane problem, Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV Международной конференции, Ростов-на-Дону, Азов, 2010, т.2, с. 312-316.

4. М. A. Sumbatyan, К. М. EL Morabie and Michele Brigante, Detection of Buried Object in the Elastic Layer of Constant Thickness: Anti-Plane Problem // Mathematics and Mechanics of Solids (MMS). 2013. V. 18.

5. Х.М. Эль Мораби, Распознавание неизвестного объекта в упругом слое постоянной толщины: антиплоская задача // Прикладная математика и механика (ПММ), 2012. Т.76. № 6. С. 1015-1022.

6. Х.М. Эль Мораби, М.А. Сумбатян, Дифракция волн на полости на границе двух упругих слоев // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Серия Естественные науки , 2012. №2(168), с. 37-41.

7. K.M. EL Morabie, М. Л. Sumbatyan, Detection of a single elliptic-shape Buried Object in Stratified Elastic Media: Anti-Plane Problem // European Journal of Mechanics. A/Solids. 2013. V. 37. P. 1-7.

8. Боев H.B., Х.М. Эль Мораби, Вдовин В.А., Зотов В.М, Многократное рассеяние ультразвуковых волн на системе пространственных дефектов канонической формы (теория и экспермент) // Вестник Донского государственного технического университета, 2012, № 3(64). С. 5-10.

9. Х.М. Эль Мораби, Идентификация эллиптической полости на границе двух упругих слоев, Труды аспирантов и соискателуй ЮФУ, Т. XVII, 2012, с.67-71.

10. Х.М. Эль Мораби, Реконструкция заглубленного объекта в упругом слое с помощью ультразвуковых волн: плоская задача, XXV сессия Российского акустического общества, Таганрог, Т 1, 2012г, с. 228-232.

В работах [1, 2, 4, 6, 7] Сумбатяну М.А. принадлежат формулировка задачи и выбор метода исследования, Эль Мораби Х.М. принадлежит разработка алгоритма и его численная реализация. В работе [4, 8] (Сумбатяну М.А. и Боеву Н.В.) принадлежат выбор метода исследования, (Brigante М., Вдовину В.А., Зотову В.М) принадлежат формулировка задачи, Эль Мораби Х.М. принадлежит вывод функций и тензоров Грина, разработка алгоритма и качественный анализ точности реконструкции.

Сдано в набор 22.11.2012. Подписано в печать 22.11.2012. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,7. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 2211/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Введение.

Глава 1. Постановка задач о колебаниях изотропных слоистых упругих сред с заглубленным объектом.

§1.1 Постановка прямых задач о колебаниях изотропных упругого слоя с заглубленным объектом.

1.1.1 Антиплоская деформация упругого слоя с заглубленным объектом (задача 1).

1.1.2 Плоская деформация упругого слоя с заглубленным объектом задача 2)

§1.2 Постановка обратных задач о колебаниях изотропного упруого слоя с заглубленным объектом (задачи 1и 2).

§1.3 Постановки прямых задач о колебаниях двух упругих слоев с заглубленным объектом.

1.3.1 Антиплоская динамическая задача для двух упругих слоев с заглубленным объектом в первом слое (задача 3).

1.3.2 Плоская динамическая задача для двух упругих слоев с заглубленным объектом в первом слое (задача 4)

1.3.3 Антиплоская динамическая задача для двух упругих слоев с заглубленным объектом на границе между ними - особый случай задача 5).

§1.4 Постановка обратных задач о колебаниях двух упругих слоев с заглубленным объектом (задачи 3,4 и 5).

Глава 2. Функции и тензоры Грина для слоистых упругих сред и их свойств.

§2.1 Функция Грина в антиплоской задаче для слоя (задача 1).

§2.2 Тензор Грина в плоской задаче для слоя (задача 2).

§2.3 Функция Грина в антиплоской задаче для двух слоев (задача 3).

§2.4 Тензоры Грина в плоской задаче для двух слоев (задача 4).

§2.5 Тензор Грина в антиплоской задаче для двух слоев - особый случай (задача 5).

Глава 3. Сведение краевых задач к граничным интегральным уравнениям.

§3.1 Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ)в прямых задачах линейной изотропной динамической теории упругости.

§3.2 Формулировка ГИУ для упругого слоя (задачи 1и 2).

§3.2 Формулировка ГИУ для двух упругих слоев (задачи 3,4 и 5).

§3.4 Сведение ГИУ к системам алгебраических уравнений на основе метода коллокации.

§3.5 Алгоритм численного решения прямых задач.

3.5.1 Численный алгоритм - задача 1.

3.5.2 Численный алгоритм - задача 2.

3.5.3 Численный алгоритм - задача 3.

3.5.4 Численный алгоритм - задача 4.

1 1 у *

3.5.5 Численный алгоритм - задача 5.I:.

Глава 4. Обратные задачи реконструкции заглубленным объектом в слоистых упругих средах.

§4.1 Формулировка операторных соотношений в обратной задаче.

§4.2 Регуляризации на конечномерных множествах.

§4.2.1 Метод наискорейшего спуска.

§4.3 Численная реализация обратных задач.

4.3.1 Численная реализация обратной задачи 1.

4.3.2 Численная реализация обратной задачи

4.3.3 Численная реализация обратной задачи 3.

4.3.4 Численная реализация обратной задачи 4.

4.3.5 Численная реализация обратной задачи 5.

Исследование прямых и обратных задач рассеяния для заглубленных объектов в слоистых упругих или акустических средах, является одной из важных задач и актуальной проблемой в механике деформируемого твердого тела. Интерес к этим исследованиям связан, в основном, с потребностями сейсмологии, ультразвукового неразрушающего контроля, гидроакустики, технической и медицинской диагностики.

Задачи из этой области исследования сводятся к краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными. Частными случаями являются уравнения Лапласа и Гельмгольца, описывающие равновесие и колебания в упругих и жидких средах. В связи с развитием теории многослойных сред и конструкций особую актуальность приобретают модели, основанные на краевых задачах о колебаниях слоистых сред с дефектами различной природы: полости, трещины, включения, поры, и другие внутренние объекты.

Краевые задачи в динамической теории упругости для тел с дефектами делятся на два класса - прямые и обратные задачи. В ¡задачах '

V , • „Ч < •' Vt. jw/M ми S< ■, ' ^ ^ ^ >.' у ч я ;> +< tyj v ^ первого класса требуется определить волновые поля перемещений и напряжений по заданному внешнему силовому воздействию. Напротив, обратные задачи состоят в нахождении геометрии и местоположения дефекта по информации о волновых полях, известных на части границы рассматриваемого тела.

Динамические задачи теории упругости для слоистых сред подробно изучались в работах Воровича И.И. [40-43], Бабешко В.А. [3, 4, 5, 40, 41], Бреховских Л.М. [17, 18], Ватульяна А.О. [8,13, 26-39], Гетмана И.П. и Устинова Ю.А. [47], Соловьева А.Н. [8, 35, 36], Бурова В.А. [2024], Сумбатяна М.А. [13,19, 42,43, 73 ,79,100,101,107,114,146, 148, 151154], Боева Н.В. [13, 14, 43], Ляпина A.A. [63], Пряхиной О.Д. [68, 69],

Селезнева М.Г. [5], Угодчикова А.Г. и Хуторянского Н.М. [76], Гринченко В.Т. и Мелешко В.В. [55], Глушковых Е.В. и Н.В. [49-52], Гузя А.Н., Кубенко В.Д. и Черевко М.А. [56, 57], Colton D. и Kress R. [108-110,134], Achenbach J.D. [85], Niwa Y. и Kobayashi S. [141-143], а также других российских и зарубежных ученых [2, 9, 19, 25, 29, 33, 34, 61, 66, 77, 91, 92, 95, 99, 105- 107, 123, 136, 145, 147].

В этих работах применялись подходы, основанные на сведении краевых динамических задач к граничным интегральным уравнениям, на сведении указанных задач к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), асимптотические методы, и другие. Кроме того, в упомянутых работах в задачах рассматриваемого класса применялись интегральные преобразования, а также подход, основанный на использовании теоремы взаимности. По-видимому, в рассматриваемом классе линейных задачах метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) [15,16, 44, 45, 60, 71, 75] можно признать одним из наиболее эффективных методов для задач колебания упругих сред с дефектами сложной формы, v . В рамках этого .подхода исходная краевая задача с использованием

1 , i I 1 « • 'I J 1 Ii' '(М Wa' U . • , 1 1 i \ *> «,' V t V * t , I(, • Ii *»f*4 .1 ( 1, (S1 Ь'И > '>•" I К функции или тензора Грина сводится к системам граничных интегральных«: уравнений относительно функций смещений на граничном контуре дефекта. При этом суть метода ГИУ состоит в том, что он позволяет записать некоторые операторные соотношения между значениями неизвестных функций в рассматриваемой области и на ее границе. Так же как и в общем случае, в рассматриваемыъ задачах для слоистых сред метод ГИУ позволяет снизить размерность исследуемой задачи на единицу, сводя решение задачи к интегральным уравнениям лишь по границе дефекта. В применении к обратным задачам такой подход также позволяет записатьсоответствующую систему операторных уравнений для обратной задачи. Решение сформулированных ГИУ позволяет построить волновые поля перемещений во всей рассматриваемой области. Работы [1,

9, 37, 41, 87, 98, 130 - 132, 141-144, 151, 153, 154] посвящены развитию этого подхода и его применению к большому числу конкретных динамических задач теории упругости.

Конкретная реализация метода ГИУ в применении к волновым задачам для упругих сред основана на интегральном представлении Сомильяны [40], в котором поле перемещений выражается в виде интегралов от граничных значений перемещений и напряжений. Такой подход принято называть «прямым методом» ГИУ. Наряду с ним существует нак называемый «непрямой метод» [12], основанный на отыскании неизвестных функций решения в виде поверхностных интегралов от неизвестных плотностей потенциалов [17]. Можно показать, что уравнения, получамые в жтих методах, являются союзными друг другу [12]. В скалярных задачах дифракции аналогом интегрального представления Сомильяны является интегральное представление Гельмгольца - Кирхгофа [77, 131]. Как было отмечено выше, основное преимущество метода ГИУ заключается в том [16], что размерность м , , > исследуемой задачи снижается на единицу, а в случае неограниченных областей эффективность этого метода оказывается < < еще более; существенной, т.к. при этом задача сводится к уравнению для ограниченной области.

Заметим, что величины физических и геометрических параметров, входящих в уравнения задачи, во многом определяют выбор подходов и методов решения рассматриваемых динамических задач дифракции упругих волн на дефектах. Так, для дефектов существенно меньших или существенно больших по сравнению с длиной волны эффективными являются асимптотические подходы: высокочастотное приближение Кирхгофа, лучевой метод (также применимый для коротких волн), или длинноволновые аппроксимации Борна и Рытова. Если же размеры дефекта и длина волны - одного порядка, то используются различные полуаналитические, получисленные или прямые численные методы: МКЭ и его модификации [53, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [12, 15, 60, 72, 75]. Также в этой области изменения параметров применяются и комбинированные численно-аналитические схемы, в которых дифрагированное поле строится в виде суперпозиции нормальных мод с некоторыми неизвестными коэффициентами. Последние находятся при сшивании такого модового разложения с МКЭ решением в ограниченной области, содержащей препятствие.

Задачи идентификации объектов различной природы (трещины, дефекты, включения, поры и т.д.) в твердых телах представляют собой важную техническую проблему, их решение позволит, в частности, в ультарзвуковом неразрушающем контроле перейти от задач дефектоскопии к задачам дефектометрии. С математической точки зрения задачи идентификации дефектов в твердом теле относятся к геометрическим обратным задачам математической физики. К настоящему времени опубликовано большое количество работ, посвященных обратным задачам для упругих тел с дефектами. Это имеет " :огромное практическое значение/ т.к. выявление заглубленных "дефектов • ^ ¡' позволяет избежать катастрофических последствий. Заметим, что опубликованные работы, в основном, относятся к реконструкции дефектов в неограниченных упругих средах.

В ряде работ рассмотрены обратные задачи для полупространства или полуплоскости с одиночной трещиной, расположенной параллельно границе среды. Для полуограниченных сред, таких как слой или многослойная среда, имеется весьма небольшое количество работ.

Главной методологией в данной работе является систематическое использование эффективного метода решения обратных задач динамической теории упругости, основанное на методе граничных г интегральных уравнений (ГИУ) и его последующей дискретизации с соответствующим численным алгоритмом. В рамках этого единого подхода задачи сводятся к системам нелинейных интегральных соотношений, которые решаются методом минимизации функционала невязки устойчивым итерационным алгоритмом.

В исследовании обратных задач дифракции, их постановку и решение значительный вклад внесли Колтон Д. и Кресс Р. [59], Горюнов A.A. и Сасковец A.B. [54], Бухгейм А.П. [25], Ватульян А.О. [26, 27, 30, 31, 32, 35, 36], Боев Н.В. [13], Гольдштейн Р.В. [121], Емец В.Ф. [58], Соловьев А.Н. [32, 35, 36], Сумбатян М.А. [13, 19, 42, 43, 107, 119, 146, 148, 151-154], Шифрин Е.И. [78], Achenbach J.D. [85, 102, 103, 139], Bannour Т. [94], Brigante М. [100, 101, 154], Bui N.D. [84, 89, 104], Ang D.D., Trong D.D. [90, 157], Nakamura M. и Tanaka М. [155], Abda A.B. [84, 89, 94], Alessandrini G. [86], Alves C.J.S. и Ha Duong Т. [87, 88], Budrec D.E. [102, 103].

В данной диссертационной работе метод ГИУ применен к динамическим задачам о колебаниях изотропных слоистых сред на основании специальным образом, построенных функций или тензоров * Грина, имеющих представление в-виде интегралов'типа Фурье J Данный J подход позволяет эффективно строить коэффициенты матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на основе метода коллокации.

Обратные задачи идентификации дефектов типа полости [29, 45, 46, 56, 78, 84, 94, 100, 107, 126, 127 ,157] являются давним предметом исследований в динамической теории упругости. Задачи определения расположения и геометрии дефектов актуальны для геофизики, сейсморазведки, неразрушающего контроля, медицины и других областей. Однако обратные задачи обладают рядом специфических особенностей, которые существенно усложняют их решение. Это связано с тем, что такие задачи одновременно нелинейны и некорректны

6, 32, 47, 126, 129], и поэтому их решение требует применения специфических методов. Основные сложности при решении обратных задач связаны с их неединственностью и неустойчивостью решения при численной реализации алгоритмов [109,145].

С математической точки зрения идентификация дефектов в упругих телах по измеренным на границе тела волновым полям перемещений приводит к сложным и малоизученным обратным геометрическим задачам теории упругости, при решении которых используются различные подходы. Один из них основан на рассмотрении дефекта в полуограниченных телах, таких как полупространство, слой, многослойная среда и т.д. Другой подход опирается на дифракционную постановку, в которой неизвестный дефект в неограниченной области определяется по известной в дальней зоне диаграмме направленности [48, 62, 120, 122]. Подобная постановка приводит к нелинейным операторным уравнениям, - либо к минимизации неквадратичного функционала невязки. *

Существенным недостатком описанных методов является их ¿чл , применимость лишь в, случае,, когда известна полная комплексная иг*; амплитуда• решения на- границеили в дальней1 зоне, гораздо1]сложнее построить устойчивую реализацию в ситуации, когда известна лишь вещественная амплитуда, а фаза неизвестна. Кроме того, основные известные методы неприменимы к реальным трехмерным задачам из-за чрезмерно большого числа определяемых неизвестных величин, что приводит к слишком длительному счету даже на современных компьютерах.

Обратным задачам рассеяния (ОЗР) в упругих средах посвящено г значительно меньше работ, чем ОЗР в акустических средах. В этой связи отметим работы [24, 25, 29, 36, 49-52, 58]. И хотя в ультразвуковом неразрушающем контроле скалярная модель является общепринятой, естественно, что в рамках упругих моделей возможно более адекватное 10 Л Л к описание волнового процесса, учитывающего распространение как продольных, так и поперечных волн. Решение обратных задач в их строгой постановке, как правило, связано с алгоритмами, которые основаны на многократном решении прямых задач. Последние в свою очередь связаны с применением аппарата ГИУ [28, 42, 153]. Отличительной чертой обратных задач в строгой постановке является то, что в них восстановлению подлежит сразу вся поверхность рассеивателя.

Одним из первых примеров решения строгой геометрической 03 в дифракционной постановке является работа [42]. В качестве входной информации используется круговая диаграмма направленности, известная для всех углов падающего поля. В ней на основе метода ГИУ формулируются основные операторные уравнения 03. Далее производится дискретизация построенных операторных уравнений и задача сводится к поиску минимума неквадратичного функционала. Для нахождения минимума применяется классический итерационный метод градиентного спуска. Приводятся конкретные примеры реконструкции выпуклых и и . />', невыпуклых объектов сложной .формы, которые показывают достаточно 1 к- высокую точность реконструкции в области низких и'средних частот ' колебаний.

Все вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.

Целью настоящей работы является решение обратной задачи идентификации заглубленного объекта в изотропных слоистых упругих средах по полям смещений, измеренных на части их верхней границы. Задача решается в два этапа. На первом этапе строятся динамические поля смещений в однослойной или в двухслойной среде по известным граничным нагрузкам. На втором этапе, на основании этой информации решается обратная задача идентификации геометрии заглубленного объекта и его месторасположения.

Прямая задача решается при помощи метода ГИУ, который снижает на единицу размерность задачи, сводя двумерную в ее исходной постановке задачу к одномерному интегральному уравнению по граничной кривой полости. Дальнейшее решение систем ГИУ осуществляется с помощью метода коллокации. В результате задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений для определения узловых значений волновых функций смещений на объекте, далее это позволяет найти поля перемещений в теле, в частности, на верхней границе многослойной среды. Таким образом, решение прямой задачи дает входные данные для решения обратной. В отсутствии натурных измерений такой подход является общепринятым в теории обратных задач.

Далее формулируется обратная задача. Она состоит в идентификации геометрии заглубленного объекта по некоторым известным входным данным, при этом входные данные представляют собой деформацию границы слоистой среды на некотором конечном интервале. Для решения поставленной обратной задачи предлагается специальный численный алгоритм. Он сводится,к,минимизации, функционала невязки основного у,'г 1 ' нелинейного операторного уравнения. При этом построенный'численныи *1 • алгоритм решения обратной задачи идентификации дефекта в слоистых средах требует многократного решения прямой задачи.

Диссертация содержит 4 главы. Первая глава диссертации (в пунктах 1.1-1.4) посвящена постановкам основных задач, которые рассматриваются в работе, и состоит из четырех параграфов. Параграф 1 содержит постановку плоской и антиплоской прямых задач об установившихся колебаниях изотропного упругого слоя с заглубленным объектом. Параграф 2 изложен в постановке плоской и антиплоской обратных задач об идентификации заглубленного объекта в изотропном упругом слое. Третий (1.3) параграф посвящен постановке плоских и антиплоских прямых задач для двухслойной изотропной упругой среды с л I

П' заглубленным объектом в первом слое. В четвертом параграфе рассматривается постановка плоских и антиплоских обратных задач для двух изотропных упругих слоистых сред с заглубленным объектом в первом слое и для объекта на границе между двух слоев.

Вторая глава посвящена построению фундаментальных решений для слоистых упругих сред и исследованию их свойств. В параграфах 1, 2 строятся специальные фундаментальные решения (функции и тензоры Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний изотропного слоя. В параграфах 3, 4 строятся специальные фундаментальные решения (функции и тензора Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний для двух изотропных слоев.

Третья глава посвящена решению прямых задач для слоистых структур с произвольно заглубленными объектами на основе сведения краевых задач 1-5 к системам граничных интегральных уравнений. В первом параграфе 3.1 представлены основы метода граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории л.*, , упругости. В параграфах 2, ,3 изложено, сведение краевых,задач к г,< 1 системам, ГИУ' для упругого'слоя <и'двух упругих' слоев на> основании»(1 • «' ' динамической теоремы взаимности. При этом ядра интегральных операторов в системе ГИУ относительно функций смещения на контуре нерегулярны и выражаются в виде интегралов по контуру в комплексной плоскости. В четвертом параграфе настоящей главы осуществлена дискретизация полученных систем ГИУ и сведение ГИУ к системам алгебраических уравнений на основе метода коллокации. Параграф 3.5 содержит 5 пунктов, в которых предоставлены результаты численных экспериментов решения систем ГИУ и построение волновых полей на верхней границе слоя, для каждой плоской и антиплоской задачи 1-5 соответственно. Графики с результатами численного анализа рассмотренных задач вынесены в приложение. На них подробно исследуется влияние частоты, геометрии объекта, и его расположения в слоистых упругих средах на волновые свойства возбуждаемых волновых полей и демонстрируется эффективность предлагаемого метода для упругих слоистых сред с дефектом сложной формы.

Четвертая глава посвящена решению обратной задачи об идентификации полости в слоистых средах по полям смещений, заданным на части верхней границы слоя. В первом параграфе 4.1 представлены основные методы исследования обратных задач динамической теории упругости и сформулированы операторные уравнения, к которым сводятся исследуемые обратные задач (1-5) в случае антиплоских и плоских колебаний слоистых сред с заглубленным объектом произвольной конфигурации. Во втором параграфе 4.2 представлены основы метода наискорейшего спуска. Параграф 4.3 содержит 5 пунктов, в которых представлены численные исследования задач 1-5 для различных геометрий дефекта и его, положения. Дается сравнение восстановления параметров эллиптической полости на '> основе, метода наискорейшего . спуска и минимизации функционала С» ' ' ■ • • невязки. Проведен подробный численныи анализ. " . ■ ^

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Основное содержание диссертации отражено в работах [14, 73, 79-82, 114, 115, 153, 154]. В работах [73, 79, 114, 153] Сумбатяну М.А. принадлежат постановка задачи, выбор методов исследования, Эль Мораби Х.М. принадлежит построение решения и численный анализ задачи. В работе [154, 14] (Сумбатяну М.А. и Боеву Н.В.) принадлежат выбор метода исследования, (Вх^ахйе М., Вдовину В.А., Зотову В.М) принадлежат формулировка задачи, Эль Мораби Х.М. принадлежит вывод функций и тензоров Грина, разработка алгоритма и качественный анализ точности реконструкции. я

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработаны методы решения динамической задачи линейной изотропной динамической теории упругости для слоистых сред с заглубленным объектом (плоский и антиплоский случаи).

2. Построен и реализован численный алгоритм решения систем интегральных уравнений на основе метода коллокации.

3. Разработаны методы решения обратных задач по реконструкции параметров заглубленного объекта в слоистых упругих средах по полям смещений на поверхности слоя, на основе минимизации функционала невязки.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов в задаче определения параметров заглубленного объекта.

Заключение

1. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352с.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев СВ. Экстремальные методы решения некоррктных задач. М: Наука, 1998. 230с.

3. Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

4. Бабешко В.А. Новый метод решения краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей//ДАН СССР. 1985. Т. 284. № 1. С. 73-76.

5. Бабешко В.А., Селезнев М.Г., Селезнева Т.Н., Соколов В.П. Об одном методе исследования установившихся колебаний упругого полупространства, содержащего сферическую или горизонтальную цилиндрическую полость// ПММ. 1983. Т. 47. №1. С. 115-121.

6. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи.

7. Баранов И.В., Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред // Вычислительные технологии. 2006. Т.П. №3. С.14-26.

8. Белоконь A.B., Наседкин A.B. Фундаментальные решения в задачах электроупругости при установившихся колебаниях// Изв. вузов Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 2001. Спецвып. С. 23-25.

9. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. 1985. 256 с.

10. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. 846 с.

11. Бенерджи Н., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир. - 1984. - 494 с.

12. Боев Н.В., Ватульян А.О., Сумбатян М.А. Восстановление контура препятствия по характеристикам рассеянного поля в коротковолновой области// Акустический журнал. 1997. Т. 43. № 4. С. 458-462.

13. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524с.

14. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике.1 ' 1 1 ,11. М.: Мир, 1987. 328с.

15. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука,- 1973.- 44 с.

16. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука. -1989.-412 с.

17. Бриганте М., Сумбатян М.А. Приложение обратных задач дифракции к проблеме реконструкции дефектов сложной формы ультразвуковыми методами // Дефектоскопия. 2010. № 2. С. 30 47.

18. Буров В. А., Горюнов А. А., Сасковец А. В., Тихонова Т. А. Обратная задача рассеяния в ультразвуковой технике и медицине (обзор). // Вопросы судостроения. 1985. - N 1. - С. 32 - 46.

19. Буров В. А., Горюнов А. А., Сасковец А. В., Тихонова Т. А. Обратные задачи рассеяния в акустике (обзор). // Акуст. журн. -1986.-32, N4.-С. 433-449.

20. Буров В. А., Касаткина Е. Е., Румянцева О. Д. Обратная задача статистического оценивания характеристик рассеивателя и модельные нримеры её решения. // Акуст. журн. 2003. - 49, N 3. - С. 348-358.

21. Бухгейм А.П. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. 1988. 183 с.

22. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит. 2007. 223 с.

23. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // ПММ. 2004. № 1. С. 192-200.

24. Ватульян А. О., Корейский С. А. О восстановлении формы цилиндрического дефекта в полупространстве. // Дефектоскопия. -1993.-N5.-C. 30-34.

25. Ватульян А.О., Баранов И.В., Гусева И.А. Идентификация трещиноподобного дефекта в ортотропном слое // Дефектоскопия. 2001. № 10. С. 48-52.

26. Ватульян А.О., Беляк O.A. К реконструкции малых полостей в упругом слое // Дефектоскопия. 2006. №10. С. 33-39.

27. Ватульян А.О., Суворова O.A. Об обратной задаче для упругого слоя с полостью// Экологический вестник научных центров черноморского сотрудничества (ЧЭС). 2005. № 1. С. 10 16.

28. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т.64. Вып.З. С. 373-380.

29. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной // Изв.РАН МТТ. 2002. № 5. С.82-90.

30. Ватульян А.О., Лапина П.А. Об асимптотическом анализе задачи о реконструкции трещины в вязкоупругом слое // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №3. С. 21-29.

31. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде // Ак. журн. 2000. Т.46. Вып.4. С.451-455.

32. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Определение ориентации плоских трещин в упругом теле // Теоретическая и прикладная механика. Харьков. 2003. Т.37. С.141-145.

33. Ватульян Ä.O., Чебакова Е.М. Фундаментальные решения для ортотропной среды в случае установившихся колебаний // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 5. С.131-139.

34. Ватульян А.О., Явруян О.В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // ПММ. 2006. № 4. С.714-724.

35. Ватульян А.О., Явруян О.В. Реконструкция наклонных трещин в слое // Известия вузов. Северо-Кавказский Регион. Естественные науки. 2005. № 2. С. 36-39.

36. Ворович И. И., Александров В. М, Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. - 1974. - 455 с.

37. Ворович И.И., Бабешко B.B. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1989. 320 с.

38. Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 79-84.

39. Ворович И.И., Сумбатян М.А., Боев Н.В. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде// ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 4. С. 880-882.

40. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.:Наука,1967.

41. Галишникова Т. Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.: МГУ, 1987. 207 с.

42. Гаранжа В.А., Капорин И.Е. О сходимости градиентного метода минимизации функционалов теории упругости с конечными деформациями и барьерных сеточных функционалов//

43. Вычислительная математика и мат. физ. 2005. №8. С. 1450-1465.л '

44. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1993. 144 с.

45. Гилл Ф., Мюррей У., М. Райт. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.

46. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ, 1996. Т.60. Вып.2. С.282-289.

47. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков A.B. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин // ПММ. 2002. Т. 66. Вып.1. С. 147-156.

48. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Дифракция упругих волн на наклонной трещине в слое // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 4. С.702-715.

49. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 3. С. 419-432.

50. Голованов А.И., Бережной Д.В. Методы конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС, 2001. 300 с.

51. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.:Изд-во МГУ. 1989. 151 с.

52. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка. 1981. 284 с.

53. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев.: Наукова думка, 1972. 254 с.

54. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наукова думка, 1987. 307 с.

55. Емец В Ф. К обратной задаче рассеяния упругих волн тонкимf 1 1инородным включением // ПММ. 1986. 50. № 2. С. 303-308.

56. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир, 1987. 311 с.

57. Крауч С., Старфилд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987. 256 с.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. Т. 7. 246 с.

59. Лемешко, Б.Ю. Методы оптимизации: Конспект лекций // Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. 126 с.

60. Ляпин A.A. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом// ПМТФ. 1994. Т. 35. № 5. С. 87-91.

61. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с.

62. Нолет Г. Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. 672 с.

63. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамическая механика разрушения. М.: Машиностроение, 1985. 264 с.

64. Прудников А.П., Брычков Ю.А., О. И. Марычев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 799 с.

65. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. MIT. 2005. № 2. С. 87 97.

66. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Борисов Д. В., Мазин В. А. Свойства элементов и определителей матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 2005. № 2. С. 40-43.

67. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

68. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 982. 286 с.

69. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004.480 с.

70. Сумбатян М.А., Эль Мораби Х.М. Дифракция ультразвуковых волн на дефектах сложной формы в упругом слое постоянной толщины // Сб. трудов 22-й сессии Росс, акуст. о-ва. М.: ГЕОС, 2010. Т. 1. С. 249 -252.

71. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 230с.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

73. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань, 1986.295 с.

74. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428с.

75. Шифрин Е.И. Идентификация эллипсоидального дефекта в упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение (сжатие) // Изв. РАН. МТТ. 2010. №3. С. 131-142.

76. Эль Мораби Х.М., Сумбатян М.А. Дифракция волн на полости на границе двух упругих слоев // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Серия Естественные науки , № 2(168) 2012г, с. 37-41.

77. Эль Мораби Х.М. Распознавание неизвестного объекта в упругом слое постоянной толщины: антиплоская задача, Журнал Прикладная математика и механика// ПММ. 2012. 76. № 6. С. 1015-1022.

78. Эль Мораби Х.М. Реконструкция заглубленного объекта в упругом слое с помощью ультразвуковых волн: плоская задача Сб. трудов 24-й сессии Росс, акуст. о-ва. Таганрог.: 2012. Т.1. С. 228 232.

79. Эль Мораби Х.М. Идентификация эллиптической полости на границе двух упругих' слоев, Труды аспирантов ЮФУ, Т. XVII, 2012г, с. 67-71.

80. Янке Е., Эмде Ф. Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344с.

81. Abda A.B., Bui H.D. Planar crack identification for the transient heat equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. Vol.11. №1. P.27-31.

82. Achenbash J.D. Wave propagation in elastic solids, Amsterdam: North-Holland Publ. Co. 1973. 452p.

83. Alessandrini G., Cristo M.Di. Unique determination of surface breaking cracks in three-demensional bodies // J. Inv.Ill-Posed Problems. 2000. Vol.8. №5. P.469-482.

84. Alves C.J.S., Ha Duong T. Inverse scattering for elastic plane cracks // Inverse Problems. 1999. Vol.15. №1. P.91-97.

85. Alves C., Ammari H. Boundary integral formulae for the reconstruction of imperfections of small diameter in an elastic medium// SIAM J. Appl. Math. 2001. №62. P. 94-106.

86. Andrieux S., Abda A.B., Bui H.D. Reciprocity principle and crack identification//Inverse Problems. 1999. Vol.15. P.59-65.

87. Ang D.D. Trong D.D., Yamamoto M. : Unique continuation and identification of boundary of an elastic body, J. Inverse Ill-posed Probl., 1996,3,417-428.

88. Arens T. Linear sampling methods for 2D inverse elastic wave scattering //Inverse Problems. 2001. Vol. 17. № 5. P. 1445-1464.

89. Avila-Carrera R., Sanchez-Sesma F.J. Scattering and diffraction of elastic P-and S-waves by a spherical obstacle: A review of the classical solution// Geofísica Internacional. 2006. Vol. 45. № 1. P. 3-21.

90. Balas J., Sladek J., Sladek V. Stress Analysis by boundary elementmethod // Amsterdam: Elsevier. 1989. 521p.1 * « '.'vi',, 4 ,

91. Bannour T., Abda A.B., Jaoua M. A semi-explicit algorithm for thereconstruction of 3D planar cracks // Inverse Problems. 1997. V.13. P.899-917.

92. Baron M.L., Matthews A.T. Diffraction of a pressure wave by a cylindrical cavity in an elastic medium// Trans ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1961. Vol. 28. № 3. P. 427-502.

93. Barber J. R., Elasticity, 2nd ed., Solid Mechanics and Its Applications, vol. 107, Kluwer Academic, Dordrecht, 2002.

94. Berntsen S. Inverse acoustic scattering in a half-space// Inverse Problems. 2003. Vol. 19. № 1. P. 1247-1262.

95. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity// Inverse Problems. 2005. Vol. 21. № 2. P. 1-50.

96. Bonnet M. BIE and material differentiation applied to the formulation of obstacle inverse problems// Eng.Anal. Bound. Elem. 1995. № 15. P. 121136.

97. Brigante M., Sumbatyan M.A. An efficient numerical algorithm for crack reconstruction in elastic media by the circular US scanning, Inverse Probl. Sci. Eng., 2010, 18, 361-379.

98. Brigante M., Sumbatyan M.A. Reconstruction of round cracks in the three-dimensional ultrasonic NDT, Math. Eng. Sci. Aerospace, 2010, 1, 319-336.

99. Budrec D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method // J. Appl. Mech. 1988. Vol.55. P.405-412.

100. Budrec D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method // J. Appl. Mech. 1988. Vol. 55. P.405-412.

101. Bui H.D., Constantinescu A., Maigre H. On the identification of a crack in 3d acoustics,// Inverse Problems in Engineering Mechanics II. 2000. P .203-212.

102. Chen C.Y., Atkinson C. The influence of layer thickness on the stress intensity factor of a penny-shaped crack in a sandwiched viscoelastic bimaterial // International Journal of Engineering Science. 2005. V. 43. P. 222-249.

103. Cheung Y.K., Chen Y.Z. A new boundary integral equation for notch problem of antiplane elasticity// Int. J. Fract. 1994. Vol. 65. № 4. P. 359368.

104. Ciarletta M., Iovane G., Sumbatyan M.A. Anti-plane inverse problem for inclined cracks in the elastic half-space // Mechanics Research Communications. 2009. Vol. 36. Issue 4. P. 452-460.

105. Colton D., Kress R. Using fundamental solutions in inverse scattering// Inverse Problems. 2006. Vol. 22. № 3. P. 49-66.

106. Colton D., Sleeman B.D. Uniqueness theorems for the inverse problem of acoustic scattering// IMA J. Appl. Math. 1983. № 31. P. 253-269.

107. Colton, D., Haddar H. An application of the reciprocity gap functional to inverse scattering theory// Inverse Problems. Vol. 21. №. 1. P. 383-398.

108. Daido Yuki, Gen Nakamura Reconstruction of inclusions for the inverse boundary value problem with mixed type boundary condition and source term// Inverse Problems. 2004. Vol. 20. № 5. P. 1599-1619.

109. Delbary F., Erhard K., Kress R., Potthast R. and Schulz J. Inverse electromagnetic scattering in a two-layered medium with an application to mine detection Inverse Problems 24, 2007, 015002.

110. Deraemaeker A., Ladev'eze P., Leconte Ph. Reduced bases for model updating in structural dynamics based on constitutive relation error, 2002, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 191,2427-44.

111. EL Morabie K.M., Sumbatyan M. A. Detection of a single elliptic-shape, Buried Object in Stratified Elastic Media: Anti-Plane Problem, European' <'f v {'I V *•> (,7, V<'vy<«Vi, "4 ' і <И І'Ч'і , M'1 У" \ >П( & I

112. Journal of Mechanics A/Solids 37 (2013) 1-7.' ' 4

113. Engl H.W., Hanke М., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems, Dordrecht: Kluwer, 1996.

114. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. New-York etc.: Me Graw-Hill Book Co., 1957. 380 p.

115. Faires J. D., Burden R. L. Numerical Methods, 7th Edition, Brooks/Cole, 2000. 837 p.

116. Iovane G., Sumbatyan M.A. On dynamic stress analysis for cracks in elastic materials with voids // International Journal of Solids and Structures. 2005. Vol. 42. Issues 16-17. P. 4880-4889.

117. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Practical optimization. L.: Acad. Press, 1981.

118. Goldstein R.V., Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to the problems of defect identification // Int. J. Fract. 2007. Vol.147 P.45-54.

119. Gonzalo R Feijoo, Oberai A. A., Pinsky P.M. An application of shape optimization in the solution of inverse acoustic scattering problems// Inverse Problems. 2004. Vol. 20. № 1. p. 199-228.

120. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975. 660 p.

121. Hayir A., Bakirtas I. A note on a plate having a circular cavity excited by plane harmonic SH waves// Journal of Sound and Vibration. Vol. 271. № 1.2004. P. 241-255.

122. Hui C.Y., Slia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian\ i i \ * / , ' 1 *1 ^ t * ' ' quadrature // IntJ.Numer Meth. Eng.1999.44.( №2. P.205-214.

123. Ikehata M Reconstruction of the shape of an obstacle from the scattering amplitude at a fixed frequency// Inverse Problems. 1998. № 14. P. 949954.

124. Ikehata M Reconstruction of obstacle from boundary measurements// Wave Motion. 1999. № 30. P. 205-223.

125. Iovane G., Lifanov I.K., Sumbatyan M.A. On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics // Acta Mechanica. 2003. №162. P.99-110.

126. Ivanyshyn, O., Kress R. Nonlinear integral equations for solving inverse boundary value problems for inclusions and cracks// Journal of Integral Equations and Appl. 2006. № 18. P. 13-38.

127. Kaptsov A.V., Kuznetsov S.V. Spatially periodic fundamental solutions of the theory of oscillations// Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1998. Vol. 62. № 3. P. 489-491.

128. Kleinman R. E., Roach G. F. On modified Green's functions in exterior problems for the Helholtz equation. // Proc. R. Soc. London. 1982. -A383.-P.313-332.

129. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method// Mem.Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

130. Kirsch A., The domain derivative and two applications in inverse scattering theory, Inverse Problems, 1993, 9, 81-96.

131. Kress R., Rundell W. Nonlinear integral equations and the iterative solution for an inverse boundary value problem// Inverse Problems. 2005. Vol. 21. №4. P. 1207-1223.

132. Liu S.W., Datta S.K.' Scattering of ultrasonic wave by cracks in a plate // ' Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1993. V.60. June. P.353-357.

133. Liu Z. Browder-Tikhonov regularization of non-coercive evolution hemivariational inequalities// Inverse Problems. 2005. Vol. 21. № 1. p. 1320.

134. Mackerle J. Finite-element modeling of nondestructive material evaluation// Modeling Simul. Mater. Sci. Eng. 1999, Vol. 7. P. 107-145.

135. Mendelsohn D.A., Achenbach J.D., Keer L.M. Scattering of elastic waves by a surface-breaking crack // Wave Motion. 1980. V.2. P.277-292.

136. Mukherjee S., Mukherjee Y.X. The hypersingular boundary contour method for three-dimensional linear elasticity // ASME. J. Appl. Mech. 1998. Vol.65. P.300-309.

137. Niwa Y., Kobayashi S., Azuma N. An analysis of transient stresses produced around cavities of arbitrary shape during the passage of traveling waves// Memo. Faculty of Engn., Kyoto University, Japan. 1975. Vol. 36. № 1-2. P. 28-46.

138. Niwa Y., Fukui T., Kato S. An application of the integral equation method to two- demensional elastodynamics// Theoretical and applied mechanics 28, Univ. Tokyo press., Tokyo 1980. P. 281-290.

139. Niwa Y.,Kobayashi S., Yokoto K. Application of the integral equation method to the determination of static and steady-state dynamic stress around many cavities of arbitrary shape// Proc. Japan Soc. Civil Eng. 1971. P. 2735.

140. Pan Y.C., Chon T.V. Green's function solutions for semi-infinite transversely isotropic materials// Int. J. Engng. Sci. 1979. Vol. 17. № 5. P. 545-551.

141. Piana M. On uniqueness for anisotropic inhomogeneous inverse scattering problems//Inverse Problems. 1998. Vol. 14. № 6. P. 1565-1579.2006. V. 25. №2. P. 137- 158.

142. Ramlau R. and Teschke G. Tikhonov replacement functional for iteratively solving nonlinear operator equations// Inverse Problems. 2005. №21. P. 1571-1592.

143. Scalia A., Sumbatyan M.A. On efficient quantitative analysis in real-time ultrasonic detection of cracks // Ultrasonics. 1999. 37. N3. p.239-245.

144. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of an ellipsoidal defect in an elastic solid using boundary measurements // International Journal of Solids and Structures. 2011. Vol. 48. № 7-8. C. 1154-1163.

145. Sladek V., Sladek J. On nonsingular boundary integral equations for crack problems // Mech. Research Com. 1990. Vol.17. P.281-291.

146. Sumbatyan M. A., Scalia A. Equations of mathematical diffraction theory. CRC Press: Boca Raton, Florida, 2005. 291 p.

147. Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu., Zampoli V. A semi-analytical approach in the high-frequency diffraction by cracks // Mechanics Research Communications. 2011. Vol. 38. Issue 8. P. 607-609.

148. Sumbatyan M. A., El Morabie K. M. Theoretical analysis of scattering by buried objects in the elastic and acoustic layer // 17th Int. Cong, on Sound and Vibration (ICSV17). Cairo, Egypt, 2010, 227-234.

149. Sumbatyan M. A., El Morabie K. M. and Brigante M. Detection of Buried Object in the Elastic Layer of Constant Thickness: Anti-Plane Problem, Journal Mathematics and Mechanics of Solids (MMS), 18(9), 2012, 894900.

150. Tanaka M. Nakamura M., Nakano T., Shikawa H. Application of the boundary element method to elastodynamic inverse problems // Consideration of noisy additional information. Trans. Jap.Soc.Mech.Eng.A. 1991. Vol.57. №541. P.2179-2185.

151. Tarantola A. Inverse Problem Theory, New York: Elsevier, 1987.

152. Trong D.D., Ang D.D. Identification of Cavities in a Three Dimensional Elastic Body, ZAMM, 2004, 23,407-422.