Динамическое контактное взаимодействие слоистых элементов конструкций, содержащих неоднородности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□□3458834

На правах рукописи

ДИНАМИЧЕСКОЕ КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СЛОИСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ НЕОДНОРОДНОСТИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

и

Ростов-на-Дону 2008

003458834

Работа выполнена на кафедре информационных систем в строительстве ГОУ ВПО Ростовском Государственном строительном университете

Научный руководитель - доктор физико-магемашческих наук,

профессор

Ляпин Александр Александрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Айзикоиич Сергей Михайлович

доктор технических наук, доцент Сметанин Борис Иванович

Ведущая организация ГОУ ВПО Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится «28» января 2009 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 2.12.058.03 в ГОУ ВПО Донском государственном техническом университете (ДГТУ) по адресу: 344010, г. Росгов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, ауд. № 252.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДГТУ.

Автореферат разослан ^¿¿б&Х' 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук,

доцент {(/ Кренев Леонид Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) составных конструкций,, деталей машин и механизмов возникает проблема контактного взаимодействия. Анализ напряжений в области контакта необходим для исследования прочностных и деформационных характеристик систем в целом.

В конструкциях различного назначения, работающих в условиях вибрации или динамических воздействий различной природы, широко используют в качестве элементов полосы (слои) относительно большой протяженности, имеющие технологические отверстия или локальные нарушения формы поверхности (включая подкрепление детали поверхностной накладкой). Зп\ элементы контактируют между собой посредством клеевых, сварных, паяных соединений или через промежуточные соединительные элементы. В подобных структурах наличие отверстия или неровности границы может вызвать не только концентрацию напряжений в непосредственной близости неоднородности (что является предметом многочисленных исследований), но и определить существенное изменение количественных и качественных характеристик распределения напряжений вдоль плоских границ (клеевого, паяного соединения), которое также может привести к появлению и развитию разрушений конструкции.

При задании нестационарных динамических воздействий в практике широко используются методы гармонического анализа, позволяющие свести нестационарную задачу к набору стационарных задач. Технологическое отверстие при вибрационном динамическом нагружении конструкции или детали может играть роль резонатора, локально изменяя частотные характеристики НДС структуры в его окрестности и существенно влиять на ее несущую способность и даже привести к разрушению.

В машиностроении достаточно широко используют методики поверхностно-упрочняющей обработки деталей выглаживанием. При обработке деталей, имеющих технологические отверстия различной формы, возникают проблемы корректного выбора режима обработки. Теоретические исследования в этом направлении базируются на постановке и решении задач упругопластического контакта поверхности детали с гладилкой, включающей в качестве составляющей решение задачи контакта плоской поверхности (детали с отверстием) с гладилкой в упругой постановке.

Все перечисленные проблемы связаны с постановкой контактных задач теории упругости, которые приводятся к решениям интегральных уравнений и систем для режимов установившихся гармонических колебаний и определяет актуальность . и практическую

значимость исследования, нацеленного на разработку и реализацию подходов к их решению.

В настоящее время разработано достаточно большое число .методов, решения систем интегральных уравнений статических и динамических контактных задач. В то же время практически отсутствуют публикации, связанные с постановкой и решением динамических контактных задач для слоистых тел с полостями или локальным . нарушением плоской поверхности.

Таким образом, наименее изученными на настоящий момент оказались динамические контактные задачи для слоистых областей с неоднородностями различной природы.

Цель работы состоит в разработке и реализации аналитических и численных, методов решения динамических контактных задач для слоистых конструкций с локализованными неоднородностями, анализе их эффективности на конкретных примерах и выявлении основных закономерностей распределения напряжений вдоль границ контакта.

Задачи работы.

1. Разработать, обосновать и реализовать методы решения динамических контактных задач для слоистых элементов конструкций с круговым отверстием, целиком расположенном в одном из слоев, с использованием аналитических методов и технологии граничных интегральных уравнений.

2. Обосновать эффективность разработанного на базе МГИУ алгоритма для случая отверстия произвольного положения и формы.

3. Разработать и реализовать алгоритм решения контактных задач МГИУ для слоистого полупространства с наличием прерывающихся поверхностных или приповерхностных слоев.

4. Исследовать влияние неоднородностей на закономерности распределения напряжений под штампом и вдоль границ контакта.

., Метод исследования основан на использовании математического аппарата теории упругости и современных вычислительных средств и методов.

Научная новизна работы определена разработкой и реализацией ранее не применявшихся подходов к решению динамических контактных задач теории упругости для слоистых сред с неоднородностями или нарушением структуры с использованием метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) и аналитических методов.

Практическая ценность полученных результатов определяется широким распространением исследуемых структур в практической деятельности человека (машиностроение, строительство, геофизика и др.) и недостаточностью методов исследования характеристик их напряженно-деформированного состояния при динамическом контакте.

Достоверность результатов определяется обоснованным использованием фундаментального математического аппарата механики деформируемого твердого тела, ' сопоставлением результатов, полученных при независймом использовании различных методов при решении частных задач.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на: Международных конференциях «Строительство - 2006, 2007,' 2008», X и XII Международных конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006, 2008 г.г.), XXXVIII Уральском семинаре по механике и процессам управления, семинарах кафедры информационных систем в строительстве РГСУ, межкафедральном семинаре по строительной механики РГСУ и семинаре отдела контактного взаимодействия НИ ИМ и ПМ ЮФУ им. Акад. И.И.Эоровича.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 2 - в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом 128 страниц машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЕРТАЦИИ Во введении обсуждены подходы и методы, используемые при решении динамических контактных задач теории упругости. Отмечено, что большой вклад в развитие теории контактного взаимодействия внесли В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян, С.М. Айзикович, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Л.А. Галин, И.Г. Горячева, А.Г. Горшков, ВТ. Гринченко, Е.В. Глушков, И.Г. Кадомцев, Е.В. Коваленко, В.В. Калинчук, A.A. Ляпин, С.Г. Михлин, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, В.З. Партон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г.Селезнев, Б.И. Сметании, A.B. Смирнова, М.А. Сумбатян, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков и мн.др.

В результате анализа доступной литературы по теории контактного взаимодействия, сделан вывод, что наименее изученными на настоящий момент оказались динамические контактные задачи для полуограниченных слоистых областей с неоднородностями. '

В первом разделе, состоящем из трех параграфов, приводится постановка проблематики исследования, обсуждены подходы и методы исследования динамических задач теории упругости для слоистых сред с неоднородностями при однородных граничных условиях, которые могут быть использованы при разработке подходов к решению контактных задач для соответствующих областей. Отмечено, что наибольшей общностью обладает подход, основанный на использовании МГИУ с

численной реализацией методом граничных элементов (ГЭ). Однако непосредственное его использование при решении контактных задач для слоистых областей с неоднородностью связано с рядом сложностей как принципиального, так и технического характера. В заключительной части раздела сформулирована цель и задачи исследования.

Второй раздел состоит из семи параграфов. Основное его содержание связано с постановкой и решением динамических контактных задач теории упругости для слоистой среды (пакет слоев или слоистое полупространство) с заглубленным отверстием (полостью) в форме кругового цилиндра, целиком расположенного в одном из слоев структуры.

В первом параграфе дана постановка антиплоской и плоской краевых задач теории упругости для пакета из трех жестко сцепленных между собой слоев (или трехслойного полупространства) со смешанными граничными условиями на плоской поверхности (Рис. 1), на - примере

4 Г У / // 1-1/

х0-Ь 1 1......... хв +Ь Щ.РхЛ-К

Г'Ъ 1 О1 <4 Г

Рис. 1.

В одном из слоев структуры расположена полость - круговой цилиндр радиуса а с образующей, параллельной оси Ог.

При постановке задачи об антиплоских колебаниях штампа, ориентированных вдоль оси Ог предполагаем, что на поверхность слоистой среды у = 0 в области \х-х0\<Ь действует жесткий

бесконечный полосовой штамп, совершающий установившиеся сдвиговые гармонические колебания с частотой со, в направлении оси Ог. Закон смещения подошвы штампа, определен функцией /(.г). Дневная поверхность слоистой структуры вне штампа свободна от усилий. Полость - круговой цилиндр радиуса а с образующей, параллельной оси Ог, целиком расположена в одной из компонент слоистой структуры. На

границе полости в локальной цилиндрической системе координат, связанной с ее центром, для антиплоской задачи заданы граничные условия в напряжениях

Движение среды описывается динамическими уравнениями теории упругости в смещениях - уравнениями Ламе. Связь компонент векторов смещения и напряжения определена соотношениями закона Гука.

Во втором параграфе приведен алгоритм сведения краевых задач в антиплоской постановке для слоистой среды с полостью к интегральным уравнениям. Для этого предложено рассматривать каждый элемент структуры в локальной системе координат, вводя напряжения вдоль границ раздела слоев. Тогда ]-\л слой (нумерация слоев начинается с верхнего) занимает в локальной системе координат область О > У, > координата х для всех слоев неизменна

— ОО < X < +Оо .

Для ] -го слоя без полости вводим следующие граничные условия:

Перемещения для у-го слоя без полости

IIг] (х,у,1) — и^ (х,у)ех1)(-ш1,) получаем методом интегральных

преобразований с использованием принципа предельного поглощения в виде

ТГ2 = г (^)схр(-гш/.),г = о -> ц} -2- = г (у?).

дг

(1)

• (2)

У,=~и, :г = ^ <®)с-', ^ = 1,2.

(3)

\КЬ (а,урш)11}_1 (о) + [а(а)]^о.

Здесь

К1} (а>10,ы) = И"' ^ + (Я,), 3 - 1Д

Я, (а) = / Щ (Ое-*г 1С, А(Я,) = - е''"', 3 = 1,2;

—со

ч

Во всех соотношениях здесь и далее введены безразмерные параметры

X = х/Ь, у] = у] / Ь, Н} = #_,/&, = г/Ь,

а = а Ь, ¡1 = //, / /;, ;с0 = .т0 / Ь. Для упрощения в дальнейшем используем

только безразмерные параметры, поэтому волну вверху опускаем.

В случае, когда слой содержит отверстие, в нем вводится также локальная цилиндрическая система координат {г,у,г}, связанная с центром полости. Решение задачи ищем в виде

ил {х,у2,1) = и® {х,у2,1) + и® (г, V, 0, (5)

Здесь = (х,у)е - решение задачи для однородного слоя с

граничными условиями у = О : ту/ (х,1) = Х1 ШоГ ""*, у = -П1:

тя.: (:Г'/) = Х7(х)с""' имеет вид (2), (3) с заменой /7, (а) на Х; («).

Vл = и<3 (г1<Р)е 'и* ~ решение задачи для пространства с

цилиндрической полостью радиуса а, загруженной усилиями

—ж

в цилиндрической системе координат

"2(г,<Р) = -Е <?м (0 = И4 («,«)](Ч

Для определения неизвестных вспомогательных функций напряжения X (а), У(<р) используем граничные условия на плоской (2)

(в декартовой системе координат) и цилиндрической (1) в цилиндрической системе координат) поверхности второго слоя. В результате получаем систему уравнений для определения Х} (а), У(<р)

А, Со) + (а) = Я, Са),

А -- - со

Х2 Со) + У,/^ Са) = И? Са),

К— сх>

У к = - ~ / <а) (¿(V + Са) Х2 Са) Ла,

Функции Ьк (а), имеют следующую струетуру

(8)

■( (X)

41 = /

^о (ь' (Л - и,)') Л , (<уг17^+7?) <;

* ——Ь 4 (а) — *

С'"1 („и^44"1"14"^ 'Л1

"АО <-'1)

т4=/тМс-Ч

гаА'12 (а, (—Л + авпк/?) еск^ Н-

Д(//? - Л +

Щ)

В системе (7) функции Щ(х) (//, Со)) также неизвестны. Для их

определения используем условия равенства перемещений в преобразованиях Фурье, которое определяет два дополнительных функциональных уравнения

<т~1Кп (сц-Д^чЧа) +АИ (а) Д (а) + Л1>; (а) А'? (а) = (о), (9)

Л - <х

Ч

Ая (а) А', Са) + Л2, Са) А', Со) = са),

здесь А к Са), М;1. са) имеют следующую структуру

Л„ (а) - [<7"%, (а,-И{,ш) (а,О,,,

/'г

М,. Са) :

+ СО /

+ СО

п/

2) I , , ,| , »-Л.!

(о£ I Ь .«(-1(1" - —I

1 {

- Л'21 (а-Н^о)^ С а) + — {К а (а,0,^)4, (а) + (о, -//..^¿^ <«)}). Л

Таким образом, итоговая система уравнений для определения функций напряжения Х}(х~>, К(у>) при заданной функции распределения

контактных напряжений ц(х) - д(а) = J включает

3-0-1

уравнения (8), (9). При постановке контактной задачи у (а) неизвестно и для доопределения системы используем условия равенства перемещений подошвы штампа и поверхности слоистой структуры с ПОЛОСТЬЮ

Г е,а1а;1Кь (а, 0,и)д(а)<1а = (10)

2т г Ь г

= /(а;)--- / Кь(а,у1,со)[Х1(а)+ £ ^/^(а)\йа.

Таким образом, система ингегро-функциональных уравнений, определяющая задачу об установившихся антиплоских колебаниях жесткого штампа на поверхности пакета трех слоев или трехслойного полупространства с цилиндрической полостью в среднем слое, включает уравнения (8)-(10) (четыре уравнения с четырьмя неизвестными -Х,(сО,У(<р), ц(а».

В третьем параграфе обсуждены основные свойства операторов системы интегро-функциональных уравнений. Получено, что все операторы системы, кроме оператора левой части (10), являются вполне непрерывными в пространстве суммируемых функций. Оператор левой части (10) имеет свойства, соответствующие оператору, получаемому при решении контактной задачи в антиплоской постановке для слоя или пакета слоев без полости.

Четвертый параграф посвящен разработке численного алгоритма итерационного процесса решения системы интегральных уравнений (8)-(10). В случае, когда граница полости загружена системой осциллирующих усилий, целесообразно в первом приближении сразу учесть поле волн, излучаемых с границы полости, т.е. положить У<!> = тк, Х]1) (а) = 0 . Тогда уравнение (10) примет вид

Ге'-о-;1 Ки (а,0,ш)д<1) (а) йа =

2?ф1 Г , + (") Ь г

= Кх) - --/ Е тьЬн (а) ({а-

Решая полученное интегральное уравнение первого рода получаем в первом приближении закон распределения контактных напряжений 3(|> (х). После этого решаем систему двух функциональных уравнений

(9) относительно Х1 (а), Х2 (а) при г/(ж) = г/"1 (х), - тк. В

результате получаем во втором приближении Х,''' (а), Х';р (а). После

этого определяем значения Ук — УЦ'], подставляя в их в правую часть (8).

Второе приближение закона распределения контактных напряжений получаем при решении интегрального уравнения первого рода (10), в правой части которого подставлены Х{2)(а), УА(?). Этот

процесс можно продолжить. В результате получим

qm (.г) = qí■l) (х) + (х')Ш - (/" (:г) + 61 (х) + <52 (.г); ...

При практической реализации итерационного процесса необходимо проводить контроль его практической сходимости. Это можно делать на основе анализа поправочных слагаемых в последних выражениях, либо контролируя дополнительные слагаемые правой части (10-11).

Основным моментом реализации метода последовательных приближений при решении задачи является решение интегрального уравнения первого рода (11) с изменяющейся от приближения к приближению правой частью. Для этого предложено использовать метод разложения решения по полной ортогональной системе функций с выделением его особенности и использовании меюда коллокаций.

В пятом параграфе обсуждены особенности практического использования метода коллокаций при решении интегрального уравнения

контактной задачи. Ищем его решение в виде

д{х -*„) = £ ѻû(Х)' = 1 / ^^ г (12)

я—0

Подставляя конечное число (N +1) слагаемых этого представления в левую часть интегрального уравнения (например, (11)), требуем его тождественного выполнения в выбранных узлах коллокации х = хк, к — 0,1,2,...,N . В результате получаем систему N + 1

линейного алгебраического уравнения с N +1 неизвестным Ск. Проведенный численный эксперимент по выбору систем функций ц>К кх), узлов коллокации, позволил сделать следующие выводы:

- наличие слагаемого с корневой особенностью всегда существенно улучшает сходимость метода;

- оптимальным является выбор в качестве базисных функций на отрезке [-1,1] полиномов Лежандра: = Рп{х), п = 0,1,...,

обладающих свойством ортогональности на данном отрезке;

- лучшим является равномерное распределение точек

коллокации в интервале (-1 + е, 1 - е), где е « Ю"3 ~ Ю 2.

Сходимость метода редукции контролировалась по двум показателям:

относительной погрешности вычисления контактных усилий с ростом числа точек коллокации (членов разложения по базисным функциям) и проверке степени удовлетворения перемещений под штампом заданной в правой части функциональной зависимости (при постоянной амплитуде смещения подошвы штампа и(х) = и0 = const). Здесь следует отметить,

что с ростом числа членов ряда (12) относительная погрешность определения контактных напряжений сначала уменьшается, а начиная с N = 30 начинает увеличиваться. Это связано с ухудшением обусловленности системы линейных алгебраических уравнений.

На относительно малых частотах 0S = — < 1 достаточно

Vs

удержать 6 членов разложения контактных усилий для достижения погрешности по перемещениям менее 7%. При удержании 10 членов погрешность снижается до 2.5 % и реализуется вблизи краев штампа.

В качестве примера на рис. 2 представлены вещественная, мнимая составляющие и модуль функции <j(x> соответственно при N = 29. Смещение подошвы штампа равно 0,5.

1 i i

--------"¿У" ■ ■ ■ ■•'.VJJ*. 1 ...J.,'"-*'

— / Y

\

-5 " о" ~ "0 5"

Рис. 2. N = 29. Распределение контактных напряжений б\ = 0, 5.

Проведенные расчеты определили эффективность предложенного алгоритма решения интегрального уравнения (И) с изменяющейся правой частью.

Шестой параграф посвящен исследованию физических условий сходимости алгоритма последовательных приближений. Эти условия определены двумя факторами. Первый связан наличием в

уравнениях (11) множителей типа , которые для контрастных

по жесткости слоев могут определить малый вклад соответствующих операторов в решение системы. Второй фактор определен наличием полости, влияние которой на закон распределения контактных напряжений связано с полем волн, распространяемых от колеблющегося штампа к полости и, после отражения от ее границ, приходящих в зону контакта. Это поле рассеянных волн, которое достаточно быстро убывает. Учет всех этих" факторов аналитически достаточно сложен, поэтому предлагается использовать численную реализацию итерационного процесса построения решения указанной системы с проверкой ее практической сходимости.

В седьмом параграфе представлены основные результаты численного анализа решений задач методом последовательных, приближений. Отмечено, что при расположении полости во втором слое структуры в большинстве случаев процесс последовательных приближений сходился. Быстрое ухудшение сходимости наблюдалось при соотношении модулей сдвига двух верхних слоев менее 2,0. Увеличение радиуса полости и приближение ее к верхней границе среднего слоя также ухудшало сходимость процесса.

Проведен численный эксперимент для трех различных соотношений жесткостей слоев:

1. Нормальная структура. V, =0,5 К, = 200м/с- = 2УЛ.

2. Аномальная структура 1(мжм): V. = У о = 200л»/с; К, - 21/.

3. Аномальная структура 2(жмж):

Полость расположена по центру среднего слоя и имеет диаметр, равный 0, Б//2, II2 =1, Ь ~ хй — 0,5. Характерные примеры распределения

контактных напряжений д(х,1) = Ие\д(х)е~кЛ] при ¿=1 представлены на рис. 3.

Рис. 3. Аномальная структура 1, График распределения контактных напряжений т = ц (а?) под штампом. Приведенная частота колебаний

9 = 1,5.

В третьем разделе рассмотрены подходы к решению динамических контактных задач для слоистого полупространства с полостью произвольной формы и положения в плоской постановке. В основе разрабатываемого подхода лежит использование граничных интегральных уравнений, разложения контактных напряжений по полной системе ортогональных функций с использованием метода коляокаций.

В первом параграфе дана постановка краевой задачи со смешанными граничными условиями. Как и ранее, упругая среда представляет собой пакет двух слоев, жестко сцепленных между собой. Цилиндрическая полость с осью, параллельной оси Ог имеет произвольную образующую (замкнутая кривая 7), верхняя граница

которой удалена от дневной поверхности на расстояние Ь. (рис. 4)

На поверхности слоистой среды в области \х - с| < 6 расположен жесткий полосовой штамп, совершающий безотрывные установившиеся гармонические колебания с частотой и параллельно оси Оу. Трение под штампом отсутствует.

В общем случае краевая задача приводится к системе граничных интегральных уравнений следующей структуры

-и(г0) + /т*(г0,г ).п(г).п(г)*в= / и*(г0,г)Ц.Ч(^;

7 с—Ь

Здесь и(г0) - вектор перемещений в точке г0 = {х0,у0}, п(г) -

внешняя нормаль к контуру 7, и*(г0,г),Т*(г0,г) - матрицы

фундаментальных решений от действия точечного источника в точке г0 для многослойной полуплоскости. В правой части (13) под интегралом стоит функция распределения контактных напряжений (при отсутствии

трения под штампом я(х) — {0,</у (ж)}). Учитывая, что система ГИУ

решается методом граничных элементов численно, предложено для решения контактной задачи использовать подход, изложенный и апробированный в п.2.5.

Второй параграф посвящен изложению алгоритма решения контактной задачи для структуры (рис. 5). Практически он сводится к следующей последовательности операций:

1. Представляем закон распределения контактных напряжений в виде (12);

2. Получаем набор иДг) - решений ГИУ (13) при подстановке в его правой части = (я)} ;

3. Вектор смещений поверхности среды в области контакта определяется через линейную комбинацию полученных решений с неопределенными коэффициентами;

4. Строим систему ЛАУ для определения этих коэффициентов по методу коллокации и по ее решению определяем q(rc) по формуле (12).

Практическая реализация этого алгоритма требует получения системы фундаментальных решений для многослойного полупространства. Вывод фундаментальных решений приводится в третьем параграфе данной главы. Методика их построения хорошо отработана, в данном случае используется метод полуплоскостей, позволяющий фундаментальное решение для изолированного слоя строить в виде суммы решений для двух полуплоскостей (у1 < 0 и

у > -//,) и плоскости с точечным источником. При выполнении условий жесткого сцепления слоев получаем систему функциональных уравнений в преобразованиях Фурье следующего вида А(а) • Х(п) = В(су)

Определитель этой системы обращается в ноль в корнях дисперсионного уравнения для слоистой полуплоскости без полости. Учитывая, что контур интегрирования при обратном преобразовании Фурье, в соответствии с принципом предельного поглощения обходит вещественные корни дисперсионного уравнения, решение полученная система достаточно хорошо обусловлена.

Изложенный выше подход реализован прикладными программами, что позволило провести достаточно подробный численный анализ решений конкретных задач.

В четвертом параграфе приведены основные результаты расчета закона распределения контактных напряжений в трехслойной среде с круговой цилиндрической полостью, расположенной в приповерхностном слое. Проведен также расчет амплитудно-частотных характеристик смещения штампа при постоянной амплитуде силового воздействия на него. Характерные АЧХ смещений штампа для различных типов структуры приведены на рис. 5-7 .

шо юо гоо аоо еос

1,1ч

Рис. 5. Нормальная сгруюура.

/\ / ;

/ \

\

100 200 }0й «00 500 600

>.Гц

Рис. 6. Аномальная структура МЖМ

».Гц

Рис. 7. Аномальная структура ЖМЖ.

Качественные закономерности распределения напряжений аналогичны случаю расположения полости в нижнем слое, с более сильно выраженными изменениями как качественными (асимметрия), так и количественными.

В пятом параграфе представлены результаты расчета контактных напряжений для трехслойного полупространства с полостью прямоугольной формы, пересекающей границу раздела слоев. Пример

поведения функции ау = д(х,1) = гЦдСлОе"**''] для нормальной структуры слоистой среды приведен на рис. 8.

Рис. 8. Приведенная частота колебаний 0[ =1.0; полость размера axa

с = -1; И = //j =6-1; h = 1,8;'" "a = 0,2 . . .

При расчете закона распределения напряжений вдоль границ раздела пакета двух слоев получены локальные максимумы как на

удалении от источника колебаний, так и от границ полости, соизмеримые с напряжениями вблизи нее. В качестве примера на рис. 9 представлен график распределения напряжений вдоль границы раздела двух слоев. Полость радиуса 0,25 расположена в нижнем слое с центром в точке (5, -0.5).

границы слоев.

Последний, шестой параграф третьей главы, посвящен возможностям использования метода конечных элементов при построении частотных характеристик сложных (в том числе полуограниченных) структур. Для этого предложено использовать подход, аналогичный используемому при обработке экспериментальных данных и основанный на методах гармонического анализа. Сопоставление результатов использования этого подхода с АЧХ, полученной на основе расчета интегрального представления решения на примере задач для однородной или двухслойной полуплоскости, показал близость получаемых АЧХ с точностью до погрешности расчетов.

Четвертая, заключительная глава диссертации, посвящена применению методики, развитой в третьей главе, применительно к контактной задаче для слоистой структуры, включающей полуслои.

В первом параграфе приводится постановка краевой задачи, описывающей достаточно протяженную деталь, часть поверхности которой подкреплена или покрыта антикоррозийным покрытием. На рис. 10 приведено сечение исследуемой структуры.

Рг-ш

Рис. 10. Сечение структуры, Ф - контур граничного интегрального уравнения.

Решение задачи строится МГИУ, в соответствии с алгоритмом главы 3, основные моменты практического использования алгоритма кратко изложен во втором параграфе главы.

Третий параграф посвящен сведению задачи к системе ГИУ, структура которого фактически совпадает с (13), единственное отличие заключается в замене замкнутого контура -у на полубесконечный контур

Ф. Полубесконечная его часть является прямой, представляющей часть границы однородной полуплоскости. Это позволяет использовать асимптотическое представление поверхностной волны для построения полубесконечного граничного элемента.

В четвертом параграфе изложено применение алгоритма решения контактной задачи п.п. 2,3 на основе алгоритма решения ГИУ с использованием полубесконечного элемента. Для этого фундаментальные напряжения в среде представляем интегралом Фурье:

^СК.Уо»®»0) = К^И^тг ГТк1п(ха,уо,а,0)ехр(~1ах)(1х .

При этом считаем, что упругая среда обладает малым внутренним трением: гтп(ап) > 0 при ге(«,() > 0. Тогда несложно показать, что

Тт'^О)).^ и= ГТ(г°'а'0)-е* Сехр(-гаауга,

а г _ а аЯ

где контур Г обходит полюс Релея ап снизу. Введение полубесконечного элемента добавляет к неизвестным константам для

аппроксимации поведения поля перемещений на конечной части кривой Ф одну векторную константу С . Ее определение возможно введением одной точки коллокации х в вблизи точки х -- а, соответствующего

началу полубесконечного элемента.

В последнем, пятом параграфе, представлены основные результаты расчета законов распределения контактных напряжений и частотных характеристик колебания штампа. Характерный график АЧХ штампа для нормальной слоистой структуре представлен на рис. 15. в отличие от слоистой структуры с полостью, на АЧХ более выражен эффект осцилляции, определенный наличием интенсивных, медленно затухающих поверхностных волн, отраженных от торцевой поверхности верхнего полуслоя. Минимальное влияние торца на контактные напряжения и ФЧХ наблюдается только в аномальной структуре с более жестким поверхностным слоем (ЖМЖ). В этом случае поверхностная волна быстро затухает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан метод решения динамических контактных задач для многослойных элементов конструкций с неоднородностью или нарушением слоистости структуры на базе использования МГИУ - МГЭ и метода коллокаций, позволивший рассмотреть ряд задач технического характера.

2. Дано обоснование возможности использования аналитических методов и характера сходимости мегода последовательных приближений при решении систем интегральных уравнений контактных задач в антиплоской . постановке для трехслойной среды "с канонической полостью.

3. Разработан алгоритм решения контактных задач для структуры, включающей один или два поверхностных полуслоя с ведением полубесконечного элемента, основанного на использовании асимптотического представления поверхностных волн в дальней зоне.

5. В результате численного эксперимента выявлена существенная асимметрия закона распределения напряжений под штампом, характер которой определен частотой колебаний и взаимным расположением штампа и неоднородности (полости или торцевой" поверхности полуслоя).

6. Установлено, что присутствие концентратора напряжений в одном из слоев определяет наличие локальных максимумов амплитуд напряжений вдоль границ их раздела, находящихся на удалении и от штампа, и от концентратора.

7. Показано, что наличие неоднородности слоистой структуры может существенно влиять на ее резонансные свойства, определяя изменение основных и появление дополнительных резонансных частот.

8. Определены характерные сочетания материалов слоистой конструкции, при которых полость практически не оказывает влияния на распределение контактных напряжений под штампом и на границе раздела сред.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ляпин A.A., Селезнев Н.М., Шиляева О.В. Динамическая контактная задача для полуплоскости, жестко сцепленной с пакетом из двух слоев // Экологический вестник научных центров стран ЧЭС. - 2008. № 2.-С. 45-50.

2. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Селезнев Н.М. Динамическая контактная задача для трехслойного полупространства с цилиндрической полостью // Экологический вестник научных центров стран ЧЭС. - 2008. № 4 . - С. 64-69.

3. Селезнев М.Г., Селезнев Н.М., Ву Тхи Бик Куен О расчете характеристик воздействия сейсмических колебаний на здания, расположенные вблизи берегового склона // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Ростов-на-Дону, 2006. Т.1. С.257-260.

Кадомцев М.И., Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Об одном алгоритме расчета системы «здание - грунт» // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Ростов-на-Дону, 2006. Т. 1. С. 144-148.

5. Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Динамика слоя переменной толщины // Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство - 2006». Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. Изд. РГСУ. 2006. С. 96-98.

6. Кадомцев М.И., Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Использование смешанных (МГИУ-МКЭ) алгоритмов при расчете динамики объекта сложной формы, заглубленных в слоистое полупространство // Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство - 2007». Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. 2007. Изд. РГСУ. С. 55-57.

7. Селезнев Н.М., Ву Тхи Бик Куен О влиянии направления распространения волн в грунте на характеристики, колебаний зданий, расположенных вблизи берегового склона // Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство - 2007». Институт

промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. Изд. РГСУ. 2007.- С. 61-62.

8. Ляпин А.А., Селезнев Н.М, Асимптотические методы решения систем интегральных уравнений динамических контактных задач для слоистых сред с заглубленными полостями // Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство - 2008». Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. Изд. РГСУ. С. 76-77.

внаборпечать

Объем / ¿усл.п.л,,7^уч.-изд.л. Офсет. Формат 60x84/16. Бумага тип №3. Заказ N»56$ Тираж {00\

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, г.Ростов-на-Дону, пл.ГагаринаД.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМАТИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Подходы и методы исследования динамических контактных задач для слоистых сред.

1.2. Применение метода граничных интегральных уравнений к решению задач для слоистых сред с неоднородностями.

1.3. Цель исследования, выбор и обоснование подходов к ее решению.

2. ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ЗАГЛУБЛЕННОЙ ПОЛОСТЬЮ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ, ЦЕЛИКОМ РАСПОЛОЖЕННОЙ В ОДНОМ ИЗ СЛОЕВ СТРУКТУРЫ.

2.1. Формулировка динамических контактных задач.

2.2. Сведение задач к интегральным уравнениям.

2.3. Свойства операторов системы интегральных уравнений.

2.4. Алгоритм метода последовательных приближений при решении системы интегральных уравнений контактной задачи.

2.5. Некоторые особенности практического использования метода коллокаций при решении интегрального уравнения контактной задачи.

2.6. Исследование сходимости алгоритма последовательных приближений.

2.7. Основные результаты численного анализа решений задач методом последовательных приближений.

Выводы.

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОЙ ПОЛОСТЬЮ.

3.1. Постановка задачи для слоистой среды с полостью в общем случае.

3.2. Алгоритм решения контактной задачи.

3.3. Вывод системы фундаментальных решений.

3.4. Численный анализ решения динамической контактной задачи для слоистого полупространства с круговой полостью, полностью расположенной в одном из слоев.

3.5. Случай полости прямоугольной формы, пересекающей границу раздела слоев.

3.6. Возможности использования МКЭ при расчете частотных характеристик.

Выводы.

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С НЕРОВНОСТЬЮ ГРАНИЦЫ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Алгоритм решения контактной задачи.

4.3. Сведение задачи к ГИУ.

4.4. Реализация алгоритма решения контактной задачи в плоской постановке с использованием метода МГИУ.

4.5. Основные результаты численного эксперимента.

Выводы.

При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) составных конструкций, деталей машин и механизмов возникает проблема контактного взаимодействия. Анализ напряжений в области контакта необходим для исследования прочностных и деформационных характеристик систем в целом.

В конструкциях различного назначения, работающих в условиях вибрации или динамических воздействий различной природы, широко используют в качестве элементов полосы (слои) относительно большой протяженности, имеющие технологические отверстия или локальные нарушения формы поверхности (включая подкрепление детали поверхностной накладкой). Эти элементы контактируют между собой посредством клеевых, сварных, паяных соединений или через промежуточные соединительные элементы. В подобных структурах наличие отверстия или неровности границы может вызвать не только концентрацию напряжений в непосредственной близости неоднородности (что является предметом многочисленных исследований), но и определить существенное изменение количественных и качественных характеристик распределения напряжений вдоль плоских границ (клеевого, паяного соединения), которое также может привести к появлению и развитию разрушений конструкции.

При задании нестационарных динамических воздействий в практике находят применение методы гармонического анализа, позволяющие свести нестационарную задачу к набору стационарных задач. Технологическое отверстие при вибрационном динамическом нагружении конструкции или детали может играть роль резонатора, локально изменяя частотные характеристики НДС структуры в его окрестности и существенно влиять на ее несущую способность и даже привести к разрушению.

В машиностроении достаточно широко применяются методики поверхностно-упрочняющей обработки деталей выглаживанием. При обработке деталей, имеющих технологические отверстия различной формы, возникают проблемы корректного выбора режима обработки. Теоретические исследования в этом направлении базируются на постановке и решении задач упругопластического контакта поверхности детали с гладилкой, включающей в качестве составляющей решение задачи контакта плоской поверхности (детали с отверстием) с гладилкой в упругой постановке.

Классическая формулировка статических и динамических контактных задач предполагает заданной закон смещения подошвы жесткого штампа и приводит к решению интегральных уравнений и систем для определения закона распределения контактных усилий. Здесь преобладают теоретические средства и методы исследования, т.к. размещение практически любых датчиков в зоне контакта неизбежно порождает искажение полей напряжения в их локальной окрестности. Достаточно большое число подходов, развитых для решения систем интегральных уравнений контактных задач, определено ограниченностью диапазонов их эффективного использования по параметрам задачи. Большой вклад в развитие теории контактного взаимодействия внесли В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян, С.М. Айзикович, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, JI.A. Галин, И.Г. Горячева, А.Г. Горшков, В.Т. Гринченко, Е.В. Глушков, И .Г. Кадомцев, Е.В. Коваленко, В.В. Калинчук, A.A. Ляпин, С.Г. Михлин, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, В.З. Партон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, B.JI. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, М.А. Сумбатян А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков и мн.др [1, 3, 5-19, 46, 68 - 70, 7582].

Многие задачи практики связаны с исследованием динамического контактного взаимодействия ограниченных тел с полуограниченными упругими областями сложного строения. Эти задачи определены в том числе проблемами сейсмостойкости и виброзащиты сооружений, расчетом уровня и характеристик воздействия на здания и сооружения техногенных колебаний, распространяющихся в грунте, сейсморазведки полезных ископаемых и др. При этом, в первом приближении, взаимодействующий с упругой средой (грунтом) объект (фундамент сооружения, подверженного динамическому воздействию, излучающая плита сейсмоисточника) часто моделируется жестким штампом, совершающим установившиеся гармонические колебания на поверхности упругой среды [1, 3, 5-19, 75-82]. При исследовании нестационарного контактного взаимодействия можно эффективно использовать решение стационарных задач, опираясь на методы гармонического анализа [1, 55, 56, 62].

В грунтовом массиве наряду со слоистостью структуры, часто присутствуют неоднородности (нарушения структуры) как естественного (карстовые полости, более жесткие включения, сброс или выход на поверхность склона слоев верхней части разреза), так и искусственного (различные коммуникации, тоннели метрополитена, заглубленные хранилища отходов и др.) происхождения. Поэтому существенным является вопрос о степени влияния подобных неоднородностей на распределение контактных напряжений под штампом и на генерируемые в массиве с неоднородностью волновые поля. Здесь следует отметить, что наиболее изученными являются проблемы генерации колебаний жесткими массивными штампами, совершающими гармонические колебания на поверхности слоя или слоистого полупространства [1, 8, 9, 18, 19, 35, 39, 41, 76 - 78, 92] при отсутствии в них неоднородностей и распространения колебаний в среде, содержащей локализованную неоднородность (в том числе задачи дифракции упругих волн на неоднородностях) [23, 24, 31-34, 43].

Проблемы взаимодействия жестких или деформируемых массивных объектов с многослойным полупространством, содержащим полости, включения и нарушения структуры изучены весьма слабо, о чем свидетельствует чрезвычайно малое количество публикаций на эту тему.

Традиционно постановка контактной задачи в существенной мере опирается на решение задачи для аналогичной области при задании на ее границе однородных условий. Именно из этого решения, как правило, и получают интегральное уравнение контактной задачи.

При постановке и решении краевых задач, моделирующих динамику слоистых конструкций, содержащего локализованные неоднородности и нарушения структуры, возникают проблемы как принципиального, так и технического характера.

Основные публикации в этом направлении связаны с постановкой и решением задач дифракции упругих волн в однородном слое или полупространстве с полостью [23, 24, 31-34, 43, 71] и исследованием проблем возбуждения и распространения установившихся колебаний в слоистой среде с заглубленной неоднородностью [13, 59, 60, 62, 63, 65, 67, 81].

Аналитические методы решения задач дифракции упругих волн использовались только для полостей канонической формы (круговой цилиндр, сфера, эллиптический цилиндр или эллипсоид). Отдельные публикации посвящены решению задач для полостей, слабо отличающихся по форме от канонической. В последнем случае использовался метод малого параметра и решение строилось методом последовательных приближений.

При решении задач возбуждения и распространения колебаний в слое или слоистом полупространстве с полостями канонической формы использовался ряд подходов. Аналитические методы решения, в основном, связаны со случаем, когда неоднородность целиком расположена в одном из слоев структуры [59, 60, 62, 63, 67, 81]. Для полостей относительно малого размера эффективно использовались асимптотические методы, позволяющие получить приближенное решение с оценкой точности в аналитическом виде [32, 59, 60, 62, 63,81].

В случае неоднородности произвольной формы или произвольного расположения в слоистой структуре аналитические методы оказались малоэффективными. Для этих случаев развивались подходы, основанные на сведении краевых задач к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ), решение которых проводилось численно методом граничных элементов (МГЭ) [28-31, 33-34, 56, 60, 62, 98-108]. Для отдельных случаев при решении ГИУ оказалось возможным использовать асимптотические методы.

Интенсивное развитие прямых численных методов [44, 72 и мн. др.] решения краевых задач, из которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), дало дополнительные возможности исследования напряженно-деформированного состояния сложных объектов. Однако, использование подобных подходов к моделированию процессов генерации и распространении колебаний в полуограниченных слоистых структурах с локализованными неоднородностями связано с трудностями принципиального характера, т.к. метод нацелен на исследование НДС ограниченных объектов и структур. Выделение ограниченного представительского объема из полуограниченного может существенно исказить не только количественные, но и качественные характеристики генерируемых колебаний и волн. Кроме того, МКЭ может давать большую погрешность при исследовании концентрации напряжений вблизи границ неоднородностей. По этим причинам корректнее использовать при решении подобных задач метод ГИУ.

При использовании практически всех перечисленных выше методов и подходов удавалось получить только приближенное решение задачи, что фактически исключало возможность получения на их основе интегральных уравнений контактных задач.

Таким образом, наименее изученными на настоящий момент оказались динамические контактные задачи для полуограниченных слоистых областей с неоднородностями. Распространенность подобных структур при расчете характеристик динамического НДС составных конструкций, деталей машин и механизмов определяет актуальность исследования, нацеленного на разработку и реализацию подходов к их решению.

выводы

1. Наличие торцевых поверхностей полуслоев практически при любых соотношениях параметров определяет разнонаправленную асимметрию закона распределения контактных напряжений, обусловленную взаимодействием прямого поля поверхностных волн, генерируемых колебаниями штампа, и волн, отраженных от торцевых поверхностей.

2. Максимальный уровень влияния полуограниченности слоев наблюдается в структуре «нормального» строения (жесткости слоев возрастают с глубиной) и аномальной структуре типа «мягкий-жесткий-мягкий» слои.

3. В случае более жесткого поверхностного слоя наблюдается быстрое убывание степени влияния отраженных волн на закон распределения контактных напряжений под штампом при его удалении от торцевой поверхности. Это обусловлено отсутствием (или очень малой интенсивностью) поверхностных волн в подобной структуре.

4. Количественные и качественные характеристики влияния торцевых поверхностей полуслоев на закон распределения контактных напряжений под штампом заметно больше, чем в случае полости, заглубленной в слоистое полупространство. Это можно объяснить тем фактом, что в полуслое наблюдается достаточно интенсивное поле поверхностных волн, отраженных от торца (в дальней зоне имеющих постоянную амплитуду), а при наличии полости отражение от ее границ определено полем внутренних волн, убывающих при удалении от границ как г-0,5).

5. Торцевая поверхность полуслоя определяет наличие локальных максимумов амплитуд напряжений вдоль границ раздела полуслоя и слоя, в том числе находящихся на удалении и от штампа, и от торцевой поверхности (концентратора напряжений).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан метод решения динамических контактных задач для многослойных элементов конструкций с неоднородностью или нарушением слоистости структуры на базе использования МГИУ - МГЭ и метода коллокаций, позволивший рассмотреть ряд задач технического характера.

2. Дано обоснование возможности использования аналитических методов и характера сходимости метода последовательных приближений при решении систем интегральных уравнений контактных задач в антиплоской постановке для трехслойной среды с канонической полостью.

3. Разработан алгоритм решения контактных задач для структуры, включающей один или два поверхностных полуслоя с ведением полубесконечного элемента, основанного на использовании асимптотического представления поверхностных волн в дальней зоне.

5. В результате численного эксперимента выявлена существенная асимметрия закона распределения напряжений под штампом, характер которой определен частотой колебаний и взаимным расположением штампа и неоднородности (полости или торцевой поверхности полуслоя).

6. Установлено, что присутствие концентратора напряжений в одном из слоев определяет наличие локальных максимумов амплитуд напряжений вдоль границ их раздела, находящихся на удалении и от штампа, и от концентратора.

7. Показано, что наличие неоднородности слоистой структуры может существенно влиять на ее резонансные свойства, определяя изменение основных и появление дополнительных резонансных частот.

8. Определены характерные сочетания материалов слоистой конструкции, при которых полость практически не оказывает влияния на распределение контактных напряжений под штампом и на границе раздела сред.

1.Под редакцией Акад. РАН И.И. Воровича и Акад. РАЕН В.М. Александрова. Механика контактных взаимодействий. - М.: Физматлит. 2001. 672 с.

2. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. T.l. М.: Мир, 1983. 519 с.

3. Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости. // -ПММ. 1978. Т.42, вып. 3. С. 475 485.

4. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

5. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь A.B., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит. 2006 236 с.

6. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит. 2006 301 с.

7. Александров В.М., Пашовкин Ю.М. Контактная задача для полуплоскости с покрытием переменной толщины // Трение и износ. 1989. 10. №6. С. 973-980.

8. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

9. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении -М.: Машиностроение. 1986. 176с.

10. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. -М.: Наука. 1983. 488 с.

11. Александров В.М., Кадомцев И.Г. Царюк Л.Б. Осесимметричные контактные задачи для упругопластических тел. // Трение и износ. 1984. Т.1. №1. С. 16-26.

12. Александров В.М. О термосиловом взаимодействии деформируемых покрытий тел с учетом износа. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1995. №5. С. 70-75.

13. Бабешко В. А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Изучение высокочастотного резонанса в полуограниченных средах с неоднородностями. //МТТ, 1990. №6, с. 74-83.

14. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье//ДАН СССР. 1981.Т. 256,№3,

15. Бабешко В.А., Собисевич А.Л., Шошина С.Ю. Исследование условий возникновения резонансов на неоднородностях в неограниченной среде. // ДАН, 1995. Т. 345, №4, с. 475-478.

16. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах// ПММ, 1978. Т 44,вып. 3, с477-484.

17. Бабешко В.А., Ворович И.И., Селезнев М.Г. Вибрация штампа на двухслойном основании // ПММ, 1977. Т 41,вып. 1, с. 166-173.

18. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. -М.: Наука. 1984.-256 с.

19. Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамичка неоднородных линейно упругих сред. М.: Наука, 1989. - 334 с.

20. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. 494 с.

21. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Фзматгиз, 1957,502 с.

22. Боев Н.В., Сумбатян М.А. Коротковолновая дифракция на телах, ограниченных произвольной гладкой поверхностью // Доклады Академии наук. 2003. Т. 392, № 5.

23. Боев Н.В., Сумбатян М.А. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде // ДАН. 1991 г. -Т. 318, №4.

24. Белоконь A.B., Ворович И.И. О некоторых закономерностях образования волновых полей в анизотропном слое при пульсирующей движущейся нагрузке. // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1988. Т. 3. С. 215 222.

25. Белоконь A.B., Наседкин A.B. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками. // Акуст. Ж-л. 1993. Т. 39. №3. С. 421 427.

26. Бескопыльный А.Н., Селезнев М.Г., Углич К.С. Осесимметричное вдавливание усеченного конуса в однородное полупространство при упругопластическом деформировании. // Изв. СКНЦ ВШ. Технические науки. 1998. №2. С. 20 24.

27. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // ПММ, 1999г., т.63. в.6, с. 860-868.

28. Ватульян А.О., Соловьев А.Н., Ковалев О.В. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии 2002г., т.7, № 1, с.54-65.

29. Ватульян А. О., Чебакова Е. М. Фундаментальные решения для ортотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Прикл. мех. и техн. физ. 2004. - 45, N 5. - С. 131-139.

30. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 223 с.

31. Ватульян А. О., Явруян О. В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // Прикл. мат. и мех. 2006. - 70, N 4. - С. 714-724.

32. Ватульян А.О. Беляк О. А. К реконструкции малых полостей в упругом слое // Дефектоскопия. 2006, № 10. - С.33-39.

33. Ватульян А. О., Садчиков Е. В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1999. 2. - С. 78-84.

34. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.

35. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д.Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир. 1999. -246 с.

36. Ворович И.И., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Задача термоупругости о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения. //Журнал ПММ. 1994. В. 3. Т.58 С. 161 166.

37. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. : Наука. 1979. 320 с.

38. Виндельман В.Э. О решениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения. // ПММ. 1998 Т.62.№>2. С. 304-312.

39. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1993. 143 с.

40. Гнучий Ю.Б., Подога В.А., Борисенко В.В.' Численные методы решения контактных задач с учетом разрушения//Эффект. числ. методы решения краев, задач мех. тв. деф. тела: Тез. докл. респ. науч.-тех. конф. Харьков. 1989. С. 71-72.

41. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев.: Наукова думка, 1981.- 283 с.

42. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наукова думка, 1978.- 307 с.

43. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз. 1961. - 367 с.

44. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

45. Джонсон К.Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989, 510 с.

46. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.

47. Молотков JI.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 202 с.

48. Евграфов Асимптотические оценки и целые функции. //М.: Физматгиз, 1962.

49. Кохманюк С.С., Янютин Г.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев: Наукова Думка. 1980. 232 с.

50. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров.//-М.: Наука, 1970. 720 с.

51. Кадомцев И.Г., Барановский Г.К., Рухленко С.А. Упругопластический удар массивного тела по прямоугольной пластине. // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. 2000. №3. С. 68-71.

52. Кадомцев М.И., Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Об одном алгоритме расчета системы «здание грунт». // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Г. Ростов-на-Дону, 2006. Т.1. С.144-148.

53. Кадомцев М.И., Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Использование смешанных (МГИУ-МКЭ) алгоритмов при расчете динамики объекта сложной формы, заглубленных в слоистое полупространство.// Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство 2007».

54. Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. 2007. Изд. РГСУ. С. 55-57.

55. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова Д-умка, 1985. 176 с.

56. Лаврентьев М.А., Шабат Б.М. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 336 с.

57. Ляпин A.A. Возбуждение волн в слоистом полупространстве со сферической полостью. // Изв. АН СССР, МТТ, 1991, №3, с.76 81.

58. Ляпин A.A. О построении фундаментальных решений для слоистых полуограниченных сред // Труды 11 -й международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" 14-17 ноября 2007 г., г. Ростов-на-Дону.

59. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

60. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л. Механико-математические модели в задачах активной сейсмологии. ГНТП «Глобальные изменения природной среды и климата». М.: ГНИЦ ПГК, 1999.294 с.

61. Ляпин A.A., Селезнев М.Г. Возбуждение колебаний в слоистом многосвязном полупространстве // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деф. сред и констр. Программа ГК РФ по ВО. Научные труды. Н. Новгород. -1993. -В.1/

62. Ляпин A.A., Селезнев Н.М., Шиляева О.В. Динамическая контактная задача для полуплоскости, жестко сцепленной с пакетом из двух слоев.// Экологический вестник научных центров стран ЧЭС. 2008. № 2. -С. 82-88.

63. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Селезнев Н.М. Динамическая контактная задача для трехслойного полупространства с цилиндрической полостью.// Экологический вестник научных центров стран ЧЭС. 2008. № 4 . - С. 64-76.

64. Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Динамика слоя переменной толщины. // Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство 2006». Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. Изд. РГСУ. 2006. С. 96-98.

65. Матлин М.М. Применение закономерностей упругопластического контакта твердых тел к решению прикладных задач // -Проблемы машиностроения и автоматизации. 1991. №4. С. 68-80.

66. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

67. Нуллер Б.М., Шехтман И.И. О давлении упругого клина на полуплоскость при наличии контактного трения // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1985. №4. С. 89-94.

68. Нестерова Л. А., Сторожев В. И., Шкодина Л. Н. Дифракция импульсной волны на подкрепленной круговой полости в ортотропном массиве // Теор. и прикл. мех. 2005. - ~N 40. - С. 184-197.

69. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.//- М.: Мир. 1976. 464 с.

70. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто неоднородных изотропных упругих средах. - Ленинград.: Наука, 1982. -289 с.

71. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 344 с.

72. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982.

73. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости. // ПММ. 1969 Т. 33. в. 3. С. 518-531.

74. Развитие контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976, 493 с.

75. Рвачев В.Д., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев.: Наукова думка, 1977.- 235 с.

76. Рекач В.Г. Руководство к решению задач теории упругости. М. : Высшая школа. 1977. - 215 с.

77. Рыжов Э.В., Колесников Ю.В., Суслов А.Г. Контактирование твердых тел при статических и динамических нагрузках. Киев: Наукова думка. 1982.

78. Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г., Чепиль М.В. Динамическая контактная задача для двухслойного полупрост ранства с полостью.// ПММ, 1989. Т.53, вып. 2, .348-351.

79. Румянцев А.Н., Ляпин A.A., Селезнев М.Г. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью. // ПМТФ, 1991, №3.

80. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев.: Наукова думка, 1990.- 224 с.

81. Сеге П. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз, 1962. 500 с.

82. Снэддон И. Преобразование Фурье. М.: Иностранная литература. 1955. 668 с.

83. Станкевич В. 3. Напруження бшя трнцини в niBnpocTopi, що контактуе з рщиною, шд гармошчним навантаженням // Ф1з.-?ам. мех. матер. : М1жнародний науково-техшчний журнал. 2005. - 41, N 3. - С. 96-100.

84. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат. 1948. - 479 с.

85. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука. 1972.

86. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике.//-М.: Гостехиздат. 1956. 204 с.

87. Улитко А.Ф. Метод собственных векторныхфункций в пространственных задачах теории упругости. Киев.: Наукова думка, 1979.261 с.

88. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.//-Ленинград: Наука. 1967.

89. Федорюк М.В. Метод перевала.- М.: Наука. 1977.

90. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения ераевых задач строительной механики. М.: Стройиздат, 1984. 334 с.

91. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. 200 с.

92. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. / -М.: Наука, 1977. 344 с.

93. Tan A., Hirose S., Zhang Ch., Wang C.-Y. A 2D time-domain BEM for transient wave scattering analysis by a crack in anisotropic solids// Eng. Anal. Boundary Elem. 2005. - 29, N 6. - C. 610-623.

94. Mendes P. A., Tadeu A. Wave propagation in the presence of empty cracks in an elastic medium // Comput. Mech. 2006. - 38, N 3. - С. 183-199.

95. Manolis G. D., Dineva P. S., Rangelov Т. V. Wave scattering by cracks in inhomogeneous continua using BIEM / // Int. J. Solids and Struct. 2004. - 41, N 14. - C. 3905-3927.

96. Dineva P. S., Manolis G. D., Rangelov Т. V. Sub-surface crack in an inhomogeneous half-plane: wave scattering phenomena by BEM // Eng. Anal. Boundary Elem. 2006. - 30, N 5. - C. 350-362.

97. Aour В., Rahmani O., Nait-Abdelaziz M. A coupled FEM/BEM approach and its accuracy for solving crack problems in fracture mechanics // Int. J. Solids and Struct. 2007. - 44, N 7-8. - C. 2523-2539.

98. Katsikadelis John T. The BEM for nonhomogeneous bodies // Arch. Appl. Mech. 2005. - 74, N 11-12. - C. 780-789.

99. Ariza M. P., Dominguez J. Dynamic BE analysis of 3-D cracks in transversely isotropic solids // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 2004. - 193, N9-11.-C. 765-779.

100. Dineva P., Saykov V. Boundary integral equation method for three-dimensional wave propagation in inhomogeneous half-space // Докл. Бълг. АН. -2005. 58, N6. - С. 671-678.

101. Moraru Gh. BEM based on discontinuous solutions in the theory of Kirchhoff plates on an elastic foundation // Eng. Anal. Boundary Elem. 2006. -30, N 5.-C. 382-390.

102. Gatmiri Behrouz, Jabbari Ehsan Time-domain Green's functions for unsaturated soils. Pt I. Two-dimensional solution // Int. J. Solids and Struct. 2005. - 42, N 23. - C. 5971-5990.

103. Honda Riki Stochastic BEM with spectral approach in elastostatic and elastodynamic problems with geometrical uncertainty // Eng. Anal. Boundary Elem. 2005. - 29, N 5. - C. 415-427.