Нестационарные задачи механики неоднородных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ 0 УНИВЕРСИТЕТ

б и;оп йэз

На правах рукописи

Алоян Роберт Мишаевич

Нестационарные задачи механики неоднородных тел

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого

твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва — 1998

Работа выполнена в У.вановсьой государственной архитектурно--строителъной академии.

Научный консультант -

доктор технических наук, профессор П.$.Сабодат

Официальные оппоненты :

Заслуженный деятель науки Р$,доктор физико-математических

наук, профессор Б.Н.Новичков.

Доктор технических наук, профессор С.Д.Иванов.

Доктор технических наук, профессор А.В.Березин.

Ведущая организация - Центральный институт авиационного

моторостроения им.П.И.Баранова

Зачита состоится "¿У" МЛХ 1998 г. в Л?" часов на заседании специализированного совета Д.053.20.02 в Московской государственном открытом университете по адресу: 129805,Москва, у«.П.Корчагина.22.

С диссертацией иохно ознакомиться в библиотеке МГОУ.

Автореферат разослан " /¿¿.А- 1998 года.

Ученый секретарь специализированного совета

В.Г.Дмитриев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие многих отраслей современной техники и строительного дела вызывает постоянную необходимость оптимизации элементов конструкций по различным параметрам: материалоемкости, себестоимости, надежности, долговечности и др. Значительные трудности при решении этих проблем возникают при исследовании взаимодействия различных элементов конструкций с нестационарными волнами в сложных неоднородных средах.

Возникающая при этом задача обеспечения динамической прочности и долговечности с учетом многочисленных и разнообразных внешних нагрузок, максимально приближенных к эксплуатационным, наиболее важна для ответственных несущих элементов конструкций, поскольку они должны обеспечивать высокую надежность при возможно меньшем весе. В связи с этим проблема разработки научно-обоснованных физико-математических моделей таких процессов, а также эффективных методов решения соответствующих уравнений при исследовании волновых процессов в неоднородных телах и средах является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела и представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Цель работы:

— разработка линейных физико-математических моделей динамического деформирования и разрушения тонкостенных конструкций при их взаимодействии с различными средами;

— разработка адекватных аналитических и численных методов и алгоритмов решения соответствующих начально-краевых задач;

— исследование количественных и качественных закономерностей развития ударно-волновых процессов в элементах машиностроительных и строительных конструкций типа пластин и оболочек.

Линейный анализ предполагает, что среда, в которую помещена оболочечная конструкция, является идеальной; интенсивность воздействующих волн (перепад давления на фронте) мала; деформации конструкции происходят в упругой области; прогибы точек малы по сравнению с толщиной стенок; граничные (контактные) условия выполняются на неизменной во времени поверхности.

Большой вклад в решение этой проблемы внесли известные отечественные и зарубежные ученые Вольмир A.C., Рахматулин Х.А., Григолюк Э.И., Болотин В.В., Горшков А.Г., Кийко И.А., Новичков Ю.Н., Сабодаш П.Ф., Замышляев Б.В., Яковлев Ю.С., Кар-мишин A.B., Фельдштейн В.П., Преображенский И.Н., Скурлатов Э.Д., Поручиков В.Б., Степаненко М.В., Ботинов В.Г., Михайлов Г.С., Кочетков A.B., Слепян Л.И., Сагомонян А.Я., Григорян С.С., Амбар-цумян A.C., Барон Ж, Миндлин Р., Блейх Н., Джонсон А., Кеннеди Д. и др.

Научная новизна. Построены новые физико-математические модели волновых процессов при воздействии элементов несущих конструкций и неоднородных сплошных сред. Впервые построены разрешающие уравнения с учетом процессов дифракции для многосвязных областей при наличии подкрепляющих упругих элементов на контуре. Единообразным способом — путем разложения нескольких решений в бесконечные функциональные ряды — впервые решены широкие классы новых динамических одномерных и двумерных начально-краевых задач: удар упругим шаром по поверхности прямоугольной анизотропной пластины; удар по поверхности пластин и балок фронтом давления; действие набегающей (подвижной) нагрузки на коническую оболочку; взаимодействие волн нагрузки с наземными и подземными строительными конструкциями и др.

Впервые в явном виде получены аналитические выражения для коэффициентов концентрации динамических напряжений в окрестности отверстий, контуры которых подкреплены упругим кольцом. Разработаны конечно-разностные методы прямого численного моделирования нестационарных двумерных начально-краевых задач распространения и дифракции упругих волн в окрестности прямоугольного отверстия в упругом теле конечных размеров. Выявлены новые количественные и качественные распределения полей напряжений и деформаций в пластинах и оболочках при ударно-волновых воздействиях локального и общего характера, позволяющие оптимизировать указанные конструкции по материалоемкости, прочности и жесткости.

Практическая ценность. Теоретические методы и расчетные алгоритмы, разработанные в диссертации, позволяют более точно оценить механические значения динамических напряжений в различных телах и неоднородных средах в зависимости от физико-механических и геометрических параметров конструкции, назна-

чаемых при конструировании, а также от условий ее эксплуатации (вид и скорость нагружения, длительность воздействия и др.).

Результаты диссертации внедрены на ряде промышленных предприятий и организаций, в том числе АО «Ивановожелезобетон».

Достоверность основных положений и выводов работы вытекает из точных математических постановок начально-краевых задач и полученных на их основе точных аналитических решений, она основана на хорошей корреляции полученных автором результатов с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации изложены и докладывались на следующих конференциях и семинарах: на III-ем Международном Симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1997); на IV-м Международном семинаре "Технологические проблемы прочности" (г. Подольск Московской области, 1997); на Научном дискуссионном семинаре по современным теоретическим и прикладным проблемам механики грунтов (Университет Дружбы народов им. Патриса Лумумбы, Москва, 1997); на семинаре кафедры "Прикладной механики" Московского Института инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии (МИИГАиК, 1996); на кафедре "Детали машин" Московского открытого Университета, 1997, 1998; на конференции "Создание и развитие информационной среды ВУЗа", г. Иваново, 1997; на Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения", 1997, г. Набережные Челны; на 55-й научной конференции С.-ПГАСУ, 1998, г. Санкт-Петербург, на научно-практическом семинаре ИГ АСА, 1998, г. Иваново.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения (выводов) и списка цитируемой литературы; она содержит 375 страниц машинописного текста, 63 рисунка. Библиография насчитывает 185 наименований отечественных и зарубежных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе разработаны теоретические методы исследования прочности и разрушения пластин, стержней и мембран, воспринимающих поперечные ударно-волновые нагрузки.

В § 1.11 в линейной постановке проведено аналитическое исследование анизотропной прямоугольной пластинки, шарнирно закрепленной вдоль опорного контура, при низкоскоростном поперечном (точечном) ударе по ее поверхности упругим шаром конечного радиуса (рис. 1). Линейное уравнение малых поперечных колебаний срединной плоскости проинтегрировано в двойных тригонометрических рядах с коэффициентами, зависящими от времени.

Сосредоточенная ударная нагрузка вычисляется в соответствии с приближенной теорией удара Герца. В явном виде построено решение для поперечных прогибов; внутренние силовые факторы при ударе определяются путем простого дифференцирования тригонометрических рядов. Зависимость прогиба в центральной точке пластины от времени показана кривыми на рис. 2 (кривая 1 соответствует пластине из анизотропного материала; результат для изотропной пластины помечен кривой 2).

Поперечные колебания прямоугольной пластины, шарнирно опертой по контуру и нагруженной коротким (по времени) локальным импульсом нестационарного давления исследованы в § 1.2.

мм

1

о

у*о

-1

-г

Рис. 2. Зависимость прогиба в центре пластины от времени

Локальное распределение импульса поперечного давления происходит по прямоугольной площадке малых размеров в пределах области прямоугольной пластины (стороны фиксированной площадки параллельны координатным осям, рис. 3).

Изучены частные случаи расположения площадки нагруже-ния: центр ее совпадает с центром пластины; ее размеры стягиваются в одну геометрическую точку; все точки поверхности пластины воспринимают ударно-импульсное давление. Точное аналитическое решение построено в виде двойных тригонометрических рядов.

В § 1.3 исследованы деформации прямоугольной пластины, выполненные приближенно на базе энергетических (интегральных) зависимостей.

Принимается, что длительность воздействия на прямоугольную пластину внешнего давления мала (по сравнению с периодом собственных колебаний), что деталями изменения этого давления во времени можно пренебречь, заменив его (давление) импульсом, что приводит к известному распределению поперечных скоростей точек пластины в начальный момент времени, принятый за нулевой. Для оценки ударной прочности и разрушения конструкции получены формулы для динамических напряжений в сечениях ее.

Рис. 3. Схема локализованного удара импульсом давления

под действием импульсной поперечной нагрузки

Динамическое поведение круговой упругой пластины, ослабленной центральным круговым отверстием, при поперечном на-гружении импульсным давлением представлено в § 1.4.

Линейное уравнение малых поперечных колебаний кольцевой пластины в случае осесимметричного нагружения проинтегрировано в кольцевой области при опирании наружной кромки пластины на другую (податливую) опору; точки внутреннего отверстия жест-

ко защемлены (или могут быть свободными от каких-либо иных связей).

Внешнее ударное давление на поверхность пластины с отверстием зависит только от времени, но не от пространственной координаты; оно описывается монотонно возрастающей (от нуля) функцией времени. Начальные условия нулевые.

Начально-краевая задача для упругой кольцевой пластины решена с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений решение выражается через четыре функции Бесселя с произвольными постоянными коэффициентами. Последние определяются из четырех граничных условий, задаваемых на внешнем и внутреннем контурах пластины. Эти условия приводят к линейной системе четырех алгебраических уравнений для определения этих коэффициентов.

Получено трансцендентное уравнение для нахождения спектра частот собственных колебаний кольцевой пластины, упруго опертой по внешнему контуру и нагруженной нормальным ударным давлением.

Выполнено обращение построенных трансформант решения и проведен параметрический анализ кинематических характеристик движения кольцевой конструкции; внутренние силовые факторы находятся путем дифференцирования прогибов.

Концентрация динамических напряжений в окрестности круговых неоднородностей в бесконечной упругой пластине рассмотрена в § 1.5, рис. 5а.

Принимается, что в неограниченной упругой тонкой пластине имеется круговая неоднородность в форме кругового отверстия, контур которого подкреплен тонким упругим кольцом (в частном случае— свободный от подкрепления контур). Круговую область может занимать вставка в виде круговой пластины с другими свойствами; наконец, в круговое отверстие может, быть помещена круговая неподвижная абсолютно жесткая шайба (закрепленный круговой контур).

На границу неоднородности из бесконечности падает плоская упругая монохроматическая волна, фронт которой взаимодействует с поверхностью неоднородности.

Рис. 5. Геометрия задачи и зависимость коэффициента концентрации от волнового числа

При этом часть энергии падающей волны отражается в наружную область вместе с отраженной поперечной волной изгиба; другая часть преломляется во внутрь ограниченной круговой области (если последняя представляет собой деформируемый элемент).

Решение линейной краевой задачи строится в виде функциональных рядов, представляющих произведения функций Бесселя и тригонометрического синуса-косинуса. Коэффициенты определяются из граничных условий сопряжения решений для тонкого подкрепляющего кольца и упругой пластины.

Получены точные аналитические решения; выведены трансцендентные уравнения для определения частот собственных колебаний неоднородных пластин (пластин с круговыми отверстиями).

Исследована концентрация динамических напряжений в окрестности границы неоднородности, когда контур подкреплен упругим кольцом из другого материала. Зависимость коэффициента концентрации динамических напряжений от параметра частоты Ы1 представлена кривыми на рис. 56.

В § 1.6 исследованы линейные поперечные колебания сплошной (без отверстия) бесконечной пластины в осесимметричном случае при локальном импульсном нагружении ее поверхности. Распределение локализованной внешней нагрузки имеет куполообразную форму, что является характерным для большинства взрывных нагрузок. Решение линейного уравнения для малых поперечных колебаний сплошной неограниченной пластины представлено в форме интеграла Фурье-Бесселя по параметру. Длительность действия внешнего давления предполагается весьма малой, поэтому

задается распределение скоростей точек пластины в начальный момент времени, принимаемый за нулевой.

Построено точное аналитическое решение задачи Коши для вертикальных перемещений точек срединной плоскости пластины и для внутренних силовых факторов, обусловленных локальным ударом импульса внешнего давления. Выполнен параметрический анализ полученного аналитического решения.

Рис. 6. Топология изгибаемой поверхности при двух фиксированных моментах времени

Динамике тонких прямоугольных и круговых мембран, подверженных действию поперечных ударно-волновых нагрузок, посвящен § 1.7. Сформулированы соответствующие линейные начально-краевые задачи и в замкнутом виде построены их решения в форме функциональных рядов. Для различных фиксированных моментов времени (после удара) определена топология деформированных поверхностей прямоугольных мембран (рис. 6).

Теоретические методы исследования динамической прочности и разрушения тонкостенных цилиндрических оболочек при ударно-волновых нагрузках изложены во второй главе диссертации.

В § 2.1 этой главы рассмотрено поведение длинной стеклопла-стиковой цилиндрической оболочки при воздействии на ее наружную поверхность кратковременной боковой нагрузки, закон изменения которой в каждой точке образующей одинаков. Это позволяет рассматривать задачу о деформации кругового анизотропного кольца (в его плоскости) под действием взрывной нагрузки заданной формы (рис. 7а). V

Последняя представляется в виде тригонометрического ряда Фурье по угловой координате с известными числовыми коэффициентами.

Рис. 7. Геометрия локально нагруженной (удлиненной) цилиндрической оболочки и зависимость прогибов от времени

„Прогибы \У(<р,1:) и круговые перемещения и(ф^) в обычных обозначениях удовлетворяют следующей системе линейных дифференциальных уравнений:

(1)

ь2 а4уг е22 ту у22 ди _ 1-у„у;

12 5х4 Еп к2 И ах ~ ЬЕП

+

+

phW)

Искомые функции W и и представляются рядами Фурье с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. Последние определяются как решение системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Построено точное аналитическое решение задачи Коши для динамической реакции цилиндрической стеклопластиковой оболочки. На рис. 76 представлено изменение во времени максимального прогиба (в полосе ф=0).

Осемметричное нагружение внутренней поверхности цилиндрической оболочки давлением от внутреннего взрыва рассмотрено в § 2.2. Построено точное решение, описывающее динамическую реакцию оболочки при воздействии на её внутреннюю поверхность фронта подвижного давления.

В § 2.3 проанализированы свободные волны в удлиненной двухслойной цилиндрической оболочке с учетом эффектов связанности слоев из двух разнородных материалов (композитная конструкция). Выполнен параметрический анализ построенных решений и дана их графическая реализация.

В § 2.4 проанализированы упрощенные подходы к решению задачи об осесимметричных колебаниях удлиненных цилиндрических оболочек из композитного материала. Задача сведена к одному дифференциальному уравнению относительно поперечного прогиба.

Изложен метод интегрирования уравнения равновесия полубесконечной цилиндрической оболочки при действии статистического изгибающего момента на торце (рис. 8).

Получена амплитуда затухающих поперечных прогибов оболочки в зоне "краевого эффекта":

= —X 8Ш(КХ), х > О 2к Д

ЕЬЛ

Мо

к/////,///////////

я

о-

4

пиита.

ОС

Мс

Рис. 8. Полубесконечная цилиндрическая оболочка с изгибающим моментом на торце

Третья глава диссертационной работы посвящена теоретическому анализу динамической прочности и разрушению тонкостенных сферических и конических оболочек, воспринимающих динамические нагрузки, локализованные на части поверхности.

Так, в § 3.1 этой главы исследуется статика и динамическая прочность пологой сферической оболочки при локальном осесим-метричном нагружении импульсным давлением в окрестности ее полюса.

Дифференциальное уравнение относительно прогиба интегрируется с помощью интегральных преобразований Лапласа по времени и Ханкеля по радиальной координате. Построено точное аналитическое решение линейной осесимметричной задачи.

Статический прогиб в полюсе пологой сферической оболочки выражается зависимостью

РЫл/з(1 - V2)

(3)

4Еп

где Р — сосредоточенная сила, приложенная в полюсе.

Закон изменения динамического прогиба в полюсе выражается формулой

<4>

8Еп _

1 = с0а)/к, с0 - ^ёТр-

Здесь 10(1) означает функцию Бесселя первого рода нулевого порядка. Зависимость (4) показывает, что колебания полюса носят апериодический затухающий характер.

Теоретические методы расчета динамической прочности замкнутых и незамкнутых сферических оболочек из композитного материала на действие локальных поверхностных нагрузок представ лены в § 3.2. Приведена замкнутая система линейных уравнений движения тонкостенных оболочек и соотношений в рамках уточненной модели С. П. Тимошенко. Развиты адекватные аналитические и численные методы интегрирования этой системы, основанные на использовании характеристических соотношений.

Аналитические методы базируются на разложении искомых функций в функциональные ряды по сферическим полиномам Ле-жандра. Численная информация представлена характерными эпюрами.

Поведение круговой конической оболочки под действием плоской волны сжатия набегающего на нее потока показано на рис. 9а. Задача решена в осесимметричной постановке; для описания деформации конструкции привлекается сдвиговая модель С. П. Тимошенко. Использованы интегральное преобразование Лапласа по времени и разложение искомых линейных и углового перемещений в функциональные ряды. Закон изменения во времени нормальных ускорений в точке наблюдения х = 0,75 (безразмерно) графически показан на рис. 96.

Волновые методы расчета строительных сооружений и концентрация напряжений рассмотрены в четвертой главе диссертации.

В § 4.1 изложены теоретические методы динамических расчетов наземных и заглубленных (подземных) сооружений на действие волновых нагрузок. Исследованы источники наземного и подземного (камуфлетного) типов. Последние моделируются сферической полостью в безграничной упругой среде, в точках которой

действует нормальное давление сгг=-р(1;) при г=В,, 1;>0. Радиальные перемещения частиц и(г^) удовлетворяют одномерному волновому уравнению в сферических координатах

а2и 2 ди 2и 1 а2и

Эг2 г 5г Г2 " Со а2

с

, г > Л, О < t < Т,

'О

X + 2ц

Здесь Лиц — параметры среды, р — плотность ее материала. Фронт сферической волны сжатия показан на рис. 10а.

А © с,

;///а//

I

С<:

в)

_ _ _ Т ^

Л

т л [

т

±_ь

ги < (

в;

Рос. 10. Подземный (камуфлетный) взрыв: положение сферической волны сжатия и волн, отраженных от свободной поверхности. Модели наземных зданий и сооружений

Наземные сооружения моделируются вертикально расположенной линейной цепочкой точечных масс, связанных между собой безинерционными вязкоупругими линейными связями (рис. 106). Движение такой цепочки в вертикальном направлении описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

пцх, = [КДхи1 - х1)-Кь1(х! - хн)]+ (6)

+ - - ^(х; - х^)]]

1 =2, 3, 4, ... , п-1.

Удлиненное сооружение на поверхности грунта моделируется весомым прямоугольником, нижнее основание которого жестко связано с колеблющимся грунтом (рис. 10в).

Подземные (заглубленные) сооружения схематизируются тонкой упругой цилиндрической оболочкой конечного „ радиуса. Кинематические параметры в падающих волнах и напряжения на их фронтах определяются путем интегрирования волновых уравнений движения упругой среды при действии сферических источников и подвижного вдоль поверхности грунта фронта воздушной ударной волны (рис. 11). Подземные сооружения в процессе деформирования находятся в неотрывном контакте с грунтовым массивом. На рис. 12 показаны конфигурации кругового кольца в грунте при воздействии на него плоской волны сжатия, вызванной фронтом воздушной ударной волны, распространяющейся по поверхности грунта. Изменение формы первоначально кругового кольца даны на различные (фиксированные) моменты времени.

Теоретические методы анализа распространения волн напряжений в упругой среде, ослабленной неподкрепленным отверстием прямоугольной формы, представлены вь54.2. Плоская двумерная нестационарная задача решена численно на основе неявных разностных схем. Исследованы вопросы точности и устойчивости численных методов; изучено набегание плоской упругой волны сжатия на прямоугольное отверстие (рис. 13а) и проанализировано волновое поле напряжений и перемещений (рис. 136) в его окрестности.

Установлено существование зон растягивающих напряжений вблизи свободных поверхностей прямоугольного отверстия. В угловых точках имеет место концентрация динамических напряжений. Соответствующие характеристики напряженного состояния представлены в виде характерных эпюр.

Рис. 11. Фронт волны давления, распространяющейся вдоль свободной поверхности: волны сжатия (АВ и АС) в грунт; заглубленное подземное сооружение в форме удлиненной оболочки

Рис. 12. Трансформация формы поперечного сечения заглубленной цилиндрической оболочки во времени

Теоретические методы исследования концентрации динамических напряжений в сплошной среде приведены в пятой главе.

В § 5.1. исследовано набегание плоской волны сжатия на круговую неоднородность в неограниченной изотропной упругой среде. Круговая неоднородность представляет собой: 1) круговое отверстие, контур которого укреплен тонким упругим кольцом из другого материала; 2) объем полости заполнен упругой средой, свойства которой отличаются от свойств основной среды; 3) точки круговой полости жестко защемлены.

0,2. ОЛ 0,6 0,8 "1.0 -»-У

Рис. 13. Пластина, ослабленная прямоугольным отверстием, и распределение перемещения по координате

Во всех трех случаях решение строится единообразным методом — путем разложения искомых функций в функциональные ряды, представляющие собой произведения соответствующих функций Бесселя на тригонометрические синус-косинус.

Коэффициенты этих разложений определяются из условий сопряжения решений на поверхностях контакта двух разнородных сред с различными механическими свойствами (или на средней линии кольца, подкрепляющего круговые отверстия в сплошной среде). Построены точные аналитические решения краевых задач.

Для длинных волн (ю—>0) получено выражение для коэффициента концентрации динамических напряжений в точках кругового отверстия с подкреплением

Здесь Ьд, ро, Vo, Ед — параметры подкрепляющего упругого кольца. В § 5.2. разработаны теоретические методы вычисления коэффициентов концентрации динамических напряжений, когда с круговыми неоднородностями в упругой среде взаимодействуют плоские поперечные БН волны. Построены замкнутые аналитические решения для подкрепленных отверстий и отверстий, контуры которых жестко защемлены.

Коэффициент концентрации касательных напряжений на круговом контуре г=Е, при этом принимает вид (для произвольного ю):

(7)

- 2соб0), 0<9<2л,

к = = ¿([1'П((ЗЮ - 1п(РЮсо3(п0),

(8)

ЯцР П=0

0 < 9 < 2я, р = ш^Р / ц •

выводы

1. Сформулировано и разработано новое научное направление механики деформируемого твердого тела, включающее разработку и построение физико-математических моделей динамического на-гружения сплошных элементов конструкций, а также конструкций с отверстиями, контуры которых подкреплены тонкостенными круговыми кольцами. Развита теория контактных динамических задач о взаимодействии наземных и заглубленных строительных сооружений с деформируемой средой.

2. Впервые получены точные аналитические выражения общего вида, описывающие вариации динамических напряжений и деформаций тонкостенных конструкций, воспринимающих ударно-волновые нагрузки.

3. Развитые в работе представления и полученные полные и замкнутые решения позволяют заложить научные основы для дальнейшего развития динамики твердых деформируемых тел с учетом нелинейных эффектов.

Конкретные результаты сводятся к следующему:

— Получено явное аналитическое выражение для максимального статического прогиба балки Бернулли и Тимошенко; показано, что для длинных балок сдвиговая модель дает поправку, составляющую 5—10%. Увеличение максимального динамического прогиба балки за счет эффектов сдвига может достигать 25%. Динамический прогиб балки Бернулли при поперечном ударе по ней обратно пропорционален корню квадратному из массы конструкции 1 / -/м , М = ргг.

— Построены зависимости, описывающие "краевой эффект" в тонкой полубесконечной цилиндрической оболочке при статическом действии изгибающего момента на торце; определены законы затухания параметров НДС по мере удаления точки наблюдения от изгибаемого торца.

— Построен "коэффициент динамичности" при локальном ударе импульсным давлением по поверхности пологой сферической оболочки; получены максимальные статические и динамические прогибы и определена ее несущая способность. Развиты аналитические и численные методы решения динамических задач о деформации замкнутой сферической оболочки и оболочки, ослабленной

. круговым отверстием.

— Исследованы кинематические параметры замкнутой конической оболочки, нагруженной фронтом подвижной внешней нагрузки.

— Исследованы параметры сферической волны сжатия в неограниченной среде при подземном (камуфлетном) взрыве. Получены параметры волны сжатия в упругом грунте, вызванные действием распространяющегося по его поверхности фронта воздушной ударной волны от наземного (контактного) взрыва. Исследовано взаимодействие волны сжатия с поверхностью заглубленной в грунт цилиндрической оболочки. Изучены колебания строительных конструкций, моделируемых линейной цепочкой точечных масс, тяжелым прямоугольным телом и цилиндрической оболочкой, защемленной своим нижним торцом в упругое колеблющееся основание.

— Прямым численным методом проанализирована концентрация динамических напряжений в упругой среде, ослабленной отверстием прямоугольной формы. Исследована концентрация динамических напряжений в окрестности подкрепленных отверстий при воздействии на них плоских волн сжатия. Исследована концентрация динамических напряжений в окрестности подкрепленных отверстий при воздействии на них поперечных ЭН волн сдвига. Получены трансцендентные уравнения для определения спектра частот собственных колебаний упругих тел, содержащих круговые неоднородности (в частности, круговые отверстия, контуры которых подкреплены упругими кольцами из другого материала).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алоян Р.М., Сабодаш П.Ф. Динамическая реакция стекло-пластиковых оболочек на действие взрывных нагрузок //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. № 1-2. - М., 1996. С. 81-86.

2. Алоян Р.М., Сабодаш П.Ф. Исследование термоупругого напряженно-деформированного состояния в цилиндре поршневой машины //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. № 3-4. - М., 1996. С. 68-71.

3. Алоян Р.М. Колебания тонкой упругой пластинки под действием импульсной поперечной нагрузки //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. № 3-4. - М.,

1996. С. 72-74.

4. Алоян P.M. Колебания анизопропной пластины при низкоскоростном поперечном ударе по ее поверхности //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. № 5-6.

- М., 1996. С. 56-58.

5. Алоян Р.М., Сабодаш П.Ф. Распространение изгибных (поперечных) волн в тонкой составной упругой пластине /Тезисы докладов III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред".

- М, МАИ, 1997. С. 3.

6. Алоян P.M. Осесимметричные колебания замкнутой конической оболочки, нагруженной внешней подвижной нагрузкой /Сборник статей к конференции "Создание и развитие информационной среды вуза: состояние и перспективы". - Иваново, ИГ АСА,

1997. С. 235-242.

7. Алоян P.M., Сабодаш П.Ф. Методы расчета наземных и заглубленных строительных сооружений на действие динамических нагрузок /Материалы IV Международного семинара "Технологические проблемы прочности". - Подольск, 1997. С. 141162.

8. Алоян Р.М. Распространение вязкоупругих волн в среде, ослабленной прямоугольными и круговыми отверстиями /Материалы IV Международного семинара "Технологические проблемы прочности". - Подольск, 1997. С. 163-181.

9. Алоян P.M. Расчет наряженно-деформированного состояния конструкций транспортного и энергетического машиностроения в условиях чрезвычайных ситуаций /"Качество услуг". Ученые записки Ивановского института управления Международной Ака-

демии Предпринимательства. Вып. 1. - Москва-Иваново, 1997. С. 104-108.

10. Алоян P.M. Концентрация динамических напряжений вокруг подкрепленной цилиндрической полости в упругой среде /Международная научно-техническая конференция "Механика машиностроения", 1997. - Набережные Челны, 1997. С. 37-38.

11. Алоян Р.М. Исследование поперечных колебаний, вызванных ударно-импульсным нагружением кольцевой ортотропной пластины /"Качество услуг". Ученые записки Ивановского института управления Международной Академии Предпринимательства. Вып. 1. - Москва-Иваново, 1997. С. 109-115.

12. Алоян P.M. Распространение вязкоупругих колебаний в среде, ослабленной цилиндрической полостью /Ученые записки инженерно-технологического факультета ИГАСА. - Иваново, 1997. С. 64-68.

13. Алоян P.M. Методы расчета подземных сооружений на действие взрывных нагрузок /Ученые записки инженерно-технологического факультета ИГАСА. - Иваново, 1997. С. 59-63.

14. Алоян P.M. Выявление динамики напряжений в области отверстий пластинчатых конструкций /Ученые записки инженерно-технологического факультета ИГАСА. - Иваново, 1997. С. 69-72.

15. Алоян P.M. Динамические задачи механики конструкций и сплошных сред. Монография. - Иваново, 1997. - 237 с.

16. Алоян Р.М. Поперечные колебания упругой кольцевой пластины при ударном динамическом нагружении //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал - Москва, № 1-2, 1997. С. 53-58.

17. Алоян P.M. Действие ударной нагрузки на незамкнутую сферическую оболочку //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. № 1-2. - Москва, 1997. С. 59-63.

18. Алоян P.M. Концентрация динамических напряжений вокруг круговых неоднородностей при продольной деформации безграничных пластин. Ученые записки инженерно-технологического факультета ИГАСА - Иваново, 1997. С. 73-80.

19. Алоян P.M. Осесимметричная деформация замкнутой цилиндрической оболочки из композитного материала при ударно-импульсном нагружении //Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. № 5-6. - Москва, 1997. С. 49-53.

20. Алоян P.M. Малбиев С.А. Напряженно-деформированное состояние в многослойных соединениях /Тезисы докладов 55-й научной конференции Санкт-Петербургского государственного архи-

тектурно-строительного университета. - С.-Петербург, 1998. С. 3234.

21. Алоян Р.М. Динамические задачи механики конструкций и сплошных сред /Тезисы докладов конференции «Научные школы и направления ИГ АСА». - Иваново, 1998. С. 13-15.

22. Алоян P.M. Математическая модель ударной нагрузки на незамкнутую сферическую оболочку /Ученые записки экономико-архитектурного факультета ИГ АСА. Вып. 7. - Иваново, 1998. С. 1013.

23. Алоян Р.М. Анализ действия низкоскоростного поперечного удара на анизотропную прямоугольную пластину /Ученые записки экономико-архитектурного факультета ИГАСА. Вып. 7. - Иваново, 1998. С. 5-9.

24. Алоян P.M. Поведение инженерных конструкций в условиях кратковременных ударно-волновых нагрузок /Ученые записки экономико-архитектурного факультета ИГАСА. Вып. 7. - Иваново, 1998. С. 14-17.

25. Алоян Р.М. Распределение контактного и кольцевого напряжений на поверхности сопряжения цилиндрической оболочки с упругой средой /Ученые записки экономико-архитектурного факультета ИГАСА. Вып. 7. - Иваново, 1998. С. 17-19.

26. Алоян Р.М., Сабодаш П.Ф. Динамика деталей, приборных узлов и аппаратуры: Учебное пособие. - Москва, 1998. - 122 с.

27. А.С. РФ № 95112939. Устройство для измерения среднего значения параметра, в частности температуры неоднородной фазы. В соавторстве. 1997.

28. А.С. РФ № 95118054. Устройство для измерения среднего значения параметра, в частности температуры неоднородной среды. В соавторстве. 1997.

29. А.С. РФ № 95120671. Способ измерения среднего значения параметра, в частности температуры неоднородной среды. В соавторстве. 1997.

у у

£

у<«

08 93- 2 13^

Московский государственный открытый университет

9 Г

и

Щ На правах рукописи

АЛОЯН Роберт Мишаевич

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого

твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант — доктор технических наук, профессор П. Ф. Сабодаш

Москва — 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

I. ВВЕДЕНИЕ 4

Часть I. ВОЛНЫ В ЭЛЕМЕНТАХ УПРУГИХ 32

КОНСТРУКЦИЙ

32

1. Поперечные колебания упругих пластин, мембран и балок

1.1. Поведение анизотропной прямоугольной пластины при 32 низкоскоростном поперечном ударе

1.2. Колебания тонкой упругой прямоугольной пластины 45 под действием импульсной поперечной нагрузки

1.3. Применение энергетических (интегральных) 69 соотношений при нагружении пластины коротким импульсом давления

1.4. Колебания кольцевой пластины при поперечном 79 импульсном нагружении

1.5. Концентрация динамических напряжений около 97 круговых неоднородностей в бесконечной пластине

1.6. Осесимметричная динамика бесконечной пластины 112 при локальном импульсном нагружении

1.7. Поперечные колебания гибкой мембраны, нагруженной 122 коротким импульсом давления

1.8. Поперечные колебания упругих балок 142

2. Волны напряжений в цилиндрических оболочках 172

2.1. Реакция стеклопластиковых оболочек на боковое 172 действие взрывных нагрузок

2.2. Осесимметричная деформация цилиндрических 182 анизотропных оболочек при внутреннем ударно-импульсном нагружении

2.3. Свободные волны в двухслойной цилиндрической 202 оболочке с несовершенными связями

2.4. Упрощенный анализ осесимметричной деформации 214 анизотропных оболочек при нагружении боковой поверхности

3. Волны напряжений в сферических и конических 232 оболочках

3.1. Действие ударной нагрузки на пологую сферическую 232 оболочку

3.2. Динамическая реакция сферической анизотропной 249 оболочки на осесимметричную нагрузку

3.3. Осесимметричные колебания замкнутой конической 268 оболочки, обусловленные подвижной нагрузкой

Часть II. ВОЛНЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ. РАСЧЕТЫ 276

НАЗЕМНЫХ И ЗАГЛУБЛЕННЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

4. Волновые методы расчета строительных сооружений и 276 концентрация напряжений

4.1. Методы расчета наземных и заглубленных 276 строительных сооружений на действие динамических нагрузок

4.2. Волновые процессы в среде, ослабленной 301 прямоугольным отверстием, и концентрация напряжений

5. Концентрация динамических напряжений в 325 окрестности круговых неоднородностей

5.1. Концентрация напряжений в среде при воздействии 325 упругих волн сжатия

5.2. Концентрация динамических напряжений при 339 воздействии на неоднородность поперечных 8Н волн

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 351

ЛИТЕРАТУРА

354

ВВЕДЕНИЕ

Проблеме математического моделирования динамики и динамического разрушения конструкций и материалов посвящено большое количество научных работ.

Современный уровень исследований в этой области отражают монографии [2], [16], [17], [20], [22], [29], [31] и др., в которых изложены основные результаты и представлена полная библиография.

Наряду с несомненными успехами в решении задач динамики, связанных с интенсивным развитием современных численных методов, своей актуальности не утратили линейные задачи, решения для которых аналитическими методами можно построить в замкнутой форме.

Ниже основное внимание при анализе проблемы уделяется линейным задачам динамики пластин, стержней и оболочек, в том числе взаимодействующих со средой.

Анализ литературных источников показывает, что подавляющее количество результатов получено при следующих предположениях: интенсивность воздействующих нагрузок мала; элементы конструкций являются тонкостенными; прогибы точек срединной поверхности малы по сравнению с толщиной стенки; материал конструкции является однородным и изотропным, а деформации протекают в упругой области. Отсутствуют конструктивные неоднородности типа отверстий, полостей или инородных включений из другого материала. Совсем отсутствуют результаты по подкреплению отверстий в динамике. Тем самым около отвер-

стий (полостей) происходит значительная концентрация напряжений. Волновой процесс вне полости описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными или переменными коэффициентами.

Так, например, для поперечных колебаний пластин, находящихся под действием ударных нагрузок, в рамках модели Ля-ва-Кирхгофа, получается одно дифференциальное уравнение в частных производных.

При этом внешняя нагрузка (распределенная или локализованная) чаще всего представляется в форме рядов.

В случае, если в конструкции распространяется фронт упругой волны, то нагрузка на контур может быть представлена суммой трех потенциалов — падающих, отраженных и излученных волн. Потенциал падающих волн обычно задается.

В рамках линейного подхода были решены многочисленные задачи взаимодействия акустических волн с пластинами, цилиндрическими и сферическими оболочками [28], [34], [38], [39], [45], [62], [64] и др.

Области применения линейного приближения для описания волновых явлений в сжимаемых средах зависит от свойств конкретной среды.

Например, в воздухе уравнение акустики справедливо для волн с избыточным давлением до 7 КПа, а в воде — до 35-4-50 КПа.

Авторами работы [88] исследовалась деформация цилиндрической оболочки при набегании на ее боковую поверхность сильной ударной волны в связанной постановке. Для этой задачи

установлены определяющие параметры подобия; исследовано влияние деформируемости оболочки на внешнее поле и на этой основе для параметров подобия получены области значений, для которых задача разделяется.

В монографиях [56], [77] и [161] представлены основные уравнения линейной динамической теории упругости с учетом анизотропии механических свойств; решены задачи о распространении упругих волн в безграничной и полуограниченной областях. Исследованы вопросы отражения и преломления упругих волн на плоских границах раздела двух разнородных материалов. Представлен анализ волновых процессов в упругих стержнях и стержневых системах. Выполнены расчеты с учетом эффекта диссипации механической энергии.

В монографии [133] исследовались нестационарные упругие волны в элементах конструкций и линейных средах. Основным рабочим методом автора являются интегральные преобразования, а основной целью — анализ асимптотических свойств волновых явлений. Широко используется разложение решений в функциональные ряды Фурье на переменном (зависящем от времени) интервале. Выполнен анализ ряда известных задач. Решены конкретные прикладные задачи о волнах в упругих конструкциях, находящихся в контакте с жидкостью. Исследованы резонансные явления при распространении упругих волн, вызванных подвижными нагрузками. Показано, что существуют критические скорости нагрузки, приводящие к волнам бесконечной амплитуды; исследованы формирования таких волн и их структуры.

Монография [121] посвящена динамической прочности в проблемах механики сплошной среды. В ней изложены теория распространения плоских волн в стержнях из нелинейно-упругого материала и ее приложение к определению динамических диаграмм напряжение-деформация металлов при сжимающих ударах. Математической моделью волновых процессов служит система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Эта система интегрируется численным методом, основанным на использовании характеристических соотношений. Предложена теория продольно-поперечных волн в упругих и упругопластических гибких связях и решены задачи динамического деформирования балок при поперечном ударе. Исследовано поведение плит и мембран из различных реологических материалов. Учтены также реальные их свойства как вязкость, пластичность (в том числе идеальная), упругость и др. Представлены экспериментальные данные, подтверждающие применимость определенных законов деформирования для описания поведения некоторых классов реальных материалов.

Авторы монографий [104] исследуют поведение оболочек различного очертания при действии на них сильных воздушных ударных волн. За основу приняты уравнения нелинейной теории оболочек Новожилова В.В. в сочетании с деформационной теорией пластичности. Разрешающие уравнения в перемещениях приведены к виду, обеспечивающему универсальность алгоритма интегрирования по отношению к физическим и геометрическим ха-

рактеристикам оболочек. Изложены методы интегрирования задач динамики оболочек на основе неявных разностных схем.

Приведены теоретические оценки и данные математического эксперимента, иллюстрирующие характер сходимости метода. Проанализированы эффекты связанности процессов деформирования конструкции и обтекания ее. Детально исследованы характер аэродинамических нагрузок и поведение цилиндрических и конических оболочек при наличии присоединенных масс.

Исследовано набегание ударной волны на оболочку вращения под произвольным углом к ее оси. С помощью безразмерных комплексов выполнено моделирование динамических реакций оболочечных конструкций.

Дано описание экспериментального комплекса и методов планирования экспериментов на основе теории подобия и размерностей. Экспериментально имитируются ударно-волновые нагру-жения моделей оболочек с регистрацией параметров их деформирования, а также проводится обработка экспериментальных результатов.

Разработаны методы создания многократного и комбинированного статико-динамического нагружения. Рассмотрено поведение пластин и замкнутых цилиндрических, сферических и конических оболочек при действии воздушных ударных волн, импульсных нагрузок и динамического давления, локализованного на части поверхности конструкции. Исследовано накопление повреждений при многократном воздействии ударных волн. Изучено воздействие на поверхность конструкции потоков газа, несущего твердые частицы. Получены эмпирические зависимости, ха-

растеризующие поведение оболочек в тех случаях, когда теоретическое описание затруднено. Найдены "границы устойчивости" оболочек различного типа в плоскости параметров нагружения. Сформулирован критерий устойчивости оболочечных конструкций при действии на них ударных волн.

Дальнейшим логическим продолжением этой книги является коллективная монография [98], которая посвящена созданию моделей тонкостенных элементов неоднородного (слоистого) строения. На базе кинематических гипотез Кирхгофа-Лява выведены уравнения динамики слоистых оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига.

Изложены результаты исследований напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек и сплошных упругих тел при динамических кратковременных (импульсных) нагрузках. Построены аналитические решения на основе безмо-ментной модели оболочек и выполнено сопоставление с точными решениями задачи о динамическом краевом эффекте и с результатами численных решений.

Исследовано поведение системы соосных оболочек, связанных деформируемыми шпангоутами. Динамика слоистых пластин и оболочек рассматривается с позиции возможного расслоения конструкций и частичного повреждения слоев материала. Исследована устойчивость конструктивных элементов, предварительно нагруженных статическими силами, при воздействии на них дополнительной (динамической) нагрузки. Изучены линейные задачи о распространении волновых процессов в упругих телах, ограниченных цилиндрическими и сферическими поверхностями; уч-

тены также изотропные и анизотропные свойства этих тел. Изучена динамика тонкостенной сферической оболочки с упругим заполнителем. Исследована ударная прочность тонкостенных элементов конструкций при воздействии кратковременных нагрузок и при высокоскоростном ударе потоком мелких частиц. Представлена экспериментальная методика ударных нагрузок и разгона частиц. Результаты опытных данных обработаны с привлечением критериев размерности и подобия.

Монография [29] посвящена механике конструкций, имеющих слоистое строение и широко применяющихся в современной технике. Такие конструкции обычно состоят из разнородных материалов с существенно различными физико-механическими свойствами.

Несущие слои — это материал высокой прочности и жесткости; они предназначены для восприятия основной части механической нагрузки.

Связующие слои, служащие для образования монолитной конструкции, обеспечивают перераспределение усилий между несущими слоями. Такое сочетание слоев с различными свойствами позволяет обеспечить надежную работу механических систем и создавать конструкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относительно малой массой.

Значительное распространение получили слойные конструкции, которые состоят из двух несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу. При изгибной деформации трехслойные конструкции оказываются наиболее рациональными, т. е. близки к оптимальным с точки зрения обеспечения

минимума весовых характеристик при заданных ограничениях на жесткость и прочность. Иногда оболочки формируются с помощью продольно-поперечной намотки, т. е. состоят из двух групп слоев с различной ориентацией армирующих элементов.

Для некоторых задач статики и динамики слоистых сред можно построить точные решения в замкнутом виде; точные решения представляют значительный интерес для механики многослойных конструкций.

В монографии основное внимание уделено обоснованию и выводу основных уравнений, формулировке граничных задач и методам их решения. Подробно изложены расчеты прямоугольных плит, круговых цилиндрических и сферических оболочек из слоистых композитов.

Механике тонкостенных конструкций, содержащих отверстия или вырезы, посвящена монография [116]. В ней изложены аналитические, численные и экспериментальные методы определения критических нагрузок и собственных частот колебаний тонкостенных конструкций с вырезами; в некоторых частных случаях получены окончательные расчетные зависимости. Представленный табличный и графический материал является весьма полезным с точки зрения его использования в практике инженерных расчетов.

Для устранения концентрации напряжений вокруг отверстий (вырезов) часто используют подкрепляющие элементы — кольца, стержни, накладки и др. Эти элементы по своей массе составляют небольшую часть конструкции, но существенно влияют на ее прочность и жесткость.

Основная задача при проектировании конструкций состоит в выборе рационального подкрепления, т.е. подкрепления, при котором подкрепляющий элемент будет иметь наименьшую массу. Рассматриваются различные варианты подкрепляющих элементов: абсолютно гибкие элементы — в этом случае коэффициент концентрации напряжений достигает максимального значения; наоборот, абсолютно жесткое подкрепление дает минимальное значение коэффициента концентрации.

При определении динамической напряженности вокруг отверстий и полостей под коэффициентом концентрации напряжений понимается отношение кольцевого нормального напряжения на контуре отверстия к амплитуде нормального напряжения в падающей волне. В линейном случае этот коэффициент зависит от числа Пуассона и волнового параметра (а также от полярного угла).

В качестве падающих задаются плоские волны сжатия и сдвига. Влияние анизотропии материала сводится к тому, что коэффициент концентрации зависит от параметров анизотропии.

Для нелинейных задач этот коэффициент зависит еще и от амплитуды внешней нагрузки. Научный интерес к данному классу задач связан с их многочисленными приложениями в различных отраслях техники. Иногда задачу достаточно решить в простейшей постановке, причем простота моделей зачастую оправдана тем, что удается получить наглядные решения в явном виде и на их основе выполнить достаточно полный параметрический анализ.

В монографии [41] рассмотрены общие вопросы теории ударных явлений и решены некоторые конкретные задачи. Отмечается, что контактные силы, развиваемые в процессе ударного взаимодействия, нарастают и падают в очень короткие промежутки времени; а от места удара в преграду и в ударник распространяются волны напряжений. Исследование этих волн базируется на соотношениях теории упругости. Только в последние десятилетия начали интенсивно изучать волновые явления с учетом пластических деформаций.

Ньютон был первым, кто сформулировал законы динамики; он же впервые ввел понятие коэффициента восстановления при ударе; этот коэффициент сегодня довольно широко используется при описании ударных явлений в твердых телах.

Бернулли, Навье и Пуассон впервые изучили колебания, возникающие при продольном соударении �