Дифракция упругих волн на неоднородных анизотропных телах сферической формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 539.3-534.1

БРИГАДИРОВА ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА

ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Специальность 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2007

003066555

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин».

Научный руководитель-

кандидат физико-математических наук, доцент Медведский Александр Леонидович

Официальные доктор физико-математических наук, доцент

оппоненты Гришанина Татьяна Витальевна,

Московский авиационный институт (государственный технический университет), кафедра «Строительная механика и прочность»

доктор технических наук, профессор Дмитриев Владимир Георгиевич, Московский государственный открытый университет, кафедра «Детали машин»

Ведущая организация. Московский энергетический институт (технический университет) По адресу 111250, Москва, ул Красноказарменная, Д 14

Защита состоится октября 2007 г в S5* часов на заседании диссертационного совета Д 212.125 05 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу. 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу.

Автореферат разослан «/3 » 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к т н , доцент

Зайцев В Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задачи о дифракции упругих и акустических волн на неоднородных включениях представляют большой теоретический и практический интерес В настоящее время разработаны достаточно эффективные методы решения задач о дифракции нестационарных волн на однородных изотропных включениях канонической формы (сфера, цилиндр)

В то же время, появление перспективных материалов, обладающих существенно-неоднородными физико-механическими свойствами, требует разработки новых подходов к решению задач указанного класса К ним относятся анизотропные и, что особенно важно, функционально-градиентные материалы, обладающие уникальным комплексом свойств В последнее время они все шире начинают использоваться в различных областях машиностроения, в частности в двигателестроении

Поэтому разработка методов решения как гармонических, так и нестационарных динамических задач неоднородной теории упругости, к которым относятся и задачи о дифракции акустических и упругих волн, является актуальной

Цель работы

Работа направлена на построение численно-аналитических методов решения задач дифракции упругих волн на неоднородных трансверсально изотропных телах (частный случай функционально-градиентных материалов) сферической формы, находящихся и заполненных внутри однородным изотропным материалом. Рассматриваются случаи как гармонического, так и нестационарного воздействия

Целями диссертационной работы являются

- постановка задач о дифракции гармонических и нестационарных акустических и упругих волн на неоднородном трансверсально изотропном сферическом включении, материал которого обладает радиальным типом неоднородности;

- разработка численно-аналитических методов решения задач дифракции гармонических волн на неоднородном включении при различных контактных условиях на поверхностях сопряжения сплошных сред,

- построение аналитических решений задач стационарной и нестационарной динамики для неоднородной трансверсально изотропной сферы со степенным законом изменения жесткостных параметров материала, помещенной в однородную упругую или акустическую среды,

- сведение задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном сферическом включении к начально-краевой задаче для системы уравнений в частных производных с граничным оператором

интегрального вида типа свертки с использованием аппарата граничных функций влияния Создание конечно-разностной схемы интегрирования этой начально-краевой задачи,

- решение внешних и внутренних задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере

Научная новизна работы

Научную новизну работы составляют

- разработка численно-аналитических методов решения задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородных трансверсально изотропных включениях сферической формы, использование граничных функций влияния в сферической системе координат в нестационарных задачах о взаимодействии упругих и акустических сред с анизотропными неоднородными включениями сферической формы,

алгоритмы и результаты решения динамических задач о дифракции упругих и акустических волн на анизотропных сферических включениях

Достоверность результатов

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется использованием корректных математических моделей для сред, выбором апробированных методов решения краевых и начально-краевых задач уравнений математической физики, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов, сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями

Практическая и теоретическая ценность работы

Практическая ценность диссертации состоит в возможности использования результатов работы для качественного и количественного исследования сложных волновых явлений, возникающих в неоднородных анизотропных средах Они могут служить основой для получения новых структурно-неоднородных материалов с указанными свойствами

Публикации результатов работы

Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 13 печатных работах, в том числе 9 статей, из них 2 - в периодических изданиях, рекомендованных ВАК Российской Федерации

Апробация работы

Результаты работы докладывались на

- Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л А Толоконникова Россия, Тула, 18-21 ноября 2003 года,

- IX-XIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Россия, Москва, 2003-2006 гг ,

- XXI Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов» Россия, Санкт-Петербург, 4-7 октября 2005 года,

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Россия, Нижний Новгород, 22 - 28 августа, 2006 года,

- На научном семинаре имени А Г Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин», Московский авиационный институт (государственный технический университет)

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы Основной печатный текст составляет 139 страниц (в том числе 67 рисунков и 91 библиографическая ссылка)

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрыта актуальность темы диссертации и новизна полученных результатов, а также сформулированы цели и основные задачи работы

В первой главе приведен обзор работ, посвященных задачам о дифракции упругих и акустических волн на неоднородных препятствиях, аналитическим и численным методам решения задач указанного класса Дано обоснование выбора темы диссертационной работы

Различные аспекты постановки задач о дифракции упругих и акустических волн на включениях канонической формы изложены в работах Григолюка Э И, Горшкова А Г, Тарлаковского Д В , Поручикова В Б , Исраилова М Ш, Гузя А Н, Кубенко В Д, Черевко М А , Бреховских JI М , Година О А, Гончарова В В , Селезова И Т, Яковлева В В , Бабешко В А , Скучика Е, а также зарубежных авторов Хенл X , Мауэ А, Вестпфаль К, Achenbach J D В них приведены математические постановки задач о дифракции как гармонических, так и нестационарных упругих и акустических волн на препятствиях канонической формы (сфера, цилиндр, конус, а также тонкие упругие оболочки)

Большую роль в исследовании задач о дифракции гармонических волн,

распространяющихся в упругой или акустической средах, играют спектральные зависимости для неоднородной сферы. Толоконниковым Л А и Устиновой Е.А рассмотрена задача о дифракции звуковых волн на неоднородной сфере, моделируемой акустической средой, плотность и скорость звука которой зависят от радиальной координаты В работах Скобельцына С А и Толоконникова ЛА построено решение задачи о падении плоской гармонической акустической волны давления на упругий трансверсально изотропный неоднородный сферический слой В статьях Ларина H В , Толоконникова Л А исследованы задачи о дифракции плоских и сферических волн на радиально-слоистой термоупругой изотропной толстостенной сферической оболочке.

Вопросам нестационарного взаимодействия функционально-градиентных сред посвящено существенно меньшее количество работ.

В частности, Сеницкий Ю.А при решении задач такого класса использовал метод конечных интегральных преобразований, обобщающие известные преобразования с конечными пределами. В работах Гузя А.Н., Кубенко В Д, Черевко М.А исседована центрально симметричная задача для бесконечной сферически анизотропной упругой среды с полостью Для решения задач о динамическом поведении термоупругой трансверсально изотропной неоднородной сфе^ы, а также сферической полости Abd-AHa A M, Abd-AHa А N , Zeidan N А и Ding H J., Wang H M, Chen W Q используют метод разделения переменных Фурье как по пространственным координатам, так и по времени.

Обзор публикаций показал, что разработка численно-аналитических методов решения задач дифракции на неоднородных анизотропных включениях сферической формы является в настоящее время актуальной научной проблемой

В первой главе приведена математическая постановка задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере, материал которой обладает радиальными формами неоднородности и анизотропии.

Исследуется дифракция упругих волн на упругой неоднородной трансверсально изотропной толстостенной сфере с внутренним радиусом тг и внешним rt= R, окруженной и заполненной упругими однородными изотропными средами с разными характеристиками Задача решается в осесимметричной постановке в сферической системе координат (г,в,&), начало которой совпадает с центром сферы О. Внешняя среда характеризуется параметрами Ламе Я,,/*, и плотностью р,, а внутренняя - A2îJu2 и рг. Материал рассматриваемой толстостенной сферы является неоднородным и функционально-градиентным Предполагается, что упругие характеристики материала сферы зависят от радиальной координаты г В работе также рассмотрен случай, когда внешняя и внутренняя среды являются акустическими

На внешней и внутренней поверхностях контакта двух сред заданы граничные условия сопряжения В начальный момент времени вся система находится в невозмущенном состоянии Фронт волны, распространяющейся во внешней среде, в начальный момент времени / = 0 касается точки сферы А

Рассматриваются внешние и внутренние задачи о дифракции гармонических или нестационарных сферических или плоских волн

В безразмерном виде имеем следующую математическую постановку

задачи

- уравнения движения однородных внешних и внутренних изотропных сред в потенциальной форме

дт2

Г__2

..2 2 /1 11

Г БШ в

дт2

0 = 1.2) (И)

- уравнения движения трансверсально изотропной неоднородной среды бег 1 д<тгв 1 , д2и,

дг г дв г дт ^

д<?гв , 1 дов0 (с-вв-стЭ9)с%в + Ъ<тгв д ив

--1----1--= р——

дг г дв г дт

„ / \ диг „„ / \(1 диа _„ / ч

г дв

с \

иг , „й, —+

г г

у

мя

(1 3)

дг г

где Е - модуль упругости первого рода в направлении оси е.г, Е] - модуль упругости первого рода в трансверсальном направлении, 01 - модуль сдвига - граничные условия сопряжения

т,и.

+ ИМ =иг\г__г, т,*Щ

1Г=К ' '» I

= сг„

т.

, 0=1,2), (14)

1 + I = агв\г=г = К ЫМ'в + ив] ~Щ ) > 1 = !>

1/*=/| I/*—' \ ' \г=г

где кх = А:2 = 0 соответствует свободному проскальзыванию граничных

поверхностей, = £2 да - жесткому сцеплению упругих сред, /я, = 1, /я2 = 0 -внешней задаче дифракции, а т1 = 0, /и2 = 1 - внутренней - начальные условия

<Р

дф

и=о дт

„ = "я „ Пг=0 ** 1г=0

= 0, у/

дт

■О,

= 0,

диг

~д7

дщ_ дт

О 5)

= 0

- условия ограниченности решения

<р{1\г,в,т) = 0( 1), уг*\г,е,х) = 0(\), г-л со,

<р{2\г,0,т) = 0{\), у,*\г,в,г) = 0{ 1), г-> О

Частным случаем внешней и внутренней упругих сред является акустическая, уравнения движения которой в безразмерном виде записываются так

У<0=§га<М'\ (г =1,2) (1.7)

В этом варианте на границе акустической и упругой сред ставятся условия непротекания

ди.

т + у^ =

I *аг [ аг ( л,

ЩрР\ +Р{,}\ = ~°Л-г> 0=1,2),

а начальные условия примут вид

№

(1 8)

(1-9)

г=0

1г=о дт

Также для акустической среды должны выполняться условия ограниченности решения

<р?(г,в,т) = 0( I), г-*оо, р®(г,в,т) = 0( 1), г-> 0 (110) Для установившегося движения частиц тела зависимость параметров среды от времени учитывается сомножителем е'"т, где а - волновой размер Поэтому для задачи о дифракции гармонических волн получаем следующую математическую постановку относительно амплитуд потенциалов перемещений 1/г, ив, напряжений сга/):

ЛФ(,)+а,2Ф(,)=0, Эег 1 дет. 1

г вш2 в

+ Д2* = 0, 0 = 1,2)

-+ —

+ -(2сгп- + <Гг0<*ё>в) = -<х2риг,

дг г дв г дагв 1 давв (сгвв-ад9)с1щв+3сг,в _ ,

а ал " в

ОГ Г дв Г

(1 Н) (1 12)

Граничные условия при г -» 0 в (1.6) остаются без изменений Также не меняются условия сопряжения (1.4) Входящие в эти формулы величины имеют смысл амплитуд

На бесконечности в этом случае должны выполняться условия излучения Зоммерфельда

ГЭФ^

дг

- + га,Ф

0)

= о1 ~

дУ

0)

дг

0)

Г -> ОО

(1 13)

Для решения поставленных задач используется метод неполного

разделения переменных Фурье по угловой координате (Рп(х) - полиномы

Лежандра, С^ (х) - полиномы Гегенбауэра)

00 00 иг(г,е, т) = Х>га(г,г)Р„(со50), ив{г,6,г) = -%тв^и9п{г,г)С^(0ХАв\

п=О л=1

= (1 14)

уг(,> {г,в,г) = -sine^wV (г,т)С%(eos0)

n=i

В аналогичном виде представляются и другие искомые функции для упругих и акустических сред.

После отделения угловой координаты в получаем следующую математическую постановку задачи о дифракции относительно коэффициентов рядов (штрихом обозначена производная по пространственной координате г ) - уравнения движения однородных упругих сред

дгг г дг ^ г2

дг2

дг2 г дг Щ гг л дхг

(115)

- уравнения движения неоднородной трансверсально изотропной сферы

«12 д\0 дг2 8ur0 -+a,t—— dr + <ÚoUrO = P"

dr2 dr Эг

д2Щп дгг диВn ./.И dr dr

дг

"«о s °>

где ац - зависят от радиальнои координаты г - граничные условия

m,u-l[__r =«МЦ, mA[__r

+ СГ

«I

дт2 '

= <у„

(116)

(1.17)

™А\ I =are¿r=k\mMÍ+u$-«A , (* = 1,2)

ir=r, lr=r¡ ''-'i ^ ' \r=r

(1 18)

■ начальные условия

№

r=o 5r

9M„

.0)1

lr=0 ¿5r

du

= 0, (/ = 1,2),

r=0 = 0

(1.19)

- условия ограниченности

<рМ(г,т) = 0{ 1), у®(г,т) = 0(1), г-юо, (1.20)

<р?М = 0{\), ^2)(г,т) = 0( 1), г-> 0 (121)

В случае гармонических воздействий изменятся

- уравнения движения

апи;0 + апи;0 + а^игй = -a2pUr0, Um = 0, (1 22)

+ auU'm + <$Un +#}и'ва +фдп = -агрит,

ЬЖ + +4"Ч„ +а21и'т+агйип,^-агрив„, («ей)

- условия ограниченности

Ф!2)(Г) = О(1), = #■-> о

- условия непротекания

г со,

(123)

(124)

+К«| =/а £/„,!_, <rj_ =0,

I r=r, !г=г —

ir=r \r-r, ir=rt

(125)

Рассмотренная математическая постановка задач о дифракции позволяет исследовать и другие возможные комбинации типов внешних и внутренних однородных сред

Вторая глава диссертации посвящена решению задач о дифракции гармонических волн на анизотропном неоднородном сферическом препятствии На первом этапе определяются граничные коэффициенты влияния для бесконечной упругой и акустической среды с полостью, а также для упругого и акустического шара

Для этого ставятся две вспомогательные краевые задачи для системы уравнений

(2 1)

г г

г г

Задача 1 (полость в упругой среде)

<$1 , = 4 , = А* =В, (л > 1 А,В е К), (2 2)

1)-=] 1г=1 1г=1

Ф«Ч^Ф«)-^!), г->« (23)

Задача 2 (упругий шар)

(2)1 о£>| = А, ст{±I =В, (п>\ А,ВеШ), (2 4)

lr=r2 I r=r2

Ф(„2)(0 = О(1), Tf(r) = 0(l), r^O (2 5)

rrO

Решая их, на граничных поверхностях находим перемещения

иг0\ 0,1! ггО I '

игп\ ия11с>/гя п 12 гвп '

, (2.6)

.. , ____ гвп

-Г-Гк \г=Гк

77« | =<?(*)а(*)| + (№ (и >11

>г=:г4 1г=г,

где к - номер задачи, а граничные коэффициенты влияния определяются так

о(к)

1,те{ 1,2}, (¿=1,2), (2 8)

\к

где и Апк зависят от сферических функция Ханкеля и Бесселя

Определитель Ди1 не имеет нулей, так как в задаче 1 рассматриваемая область является неограниченной Равенство знаменателя Дл2 нулю граничных коэффициентов С?'2^ приводит к частотным уравнениям для сплошного упругого шара, поверхность которого г = г, свободна от нагрузки.

где а)^1 - собственная частота, к - номер частоты

Для акустического случая с использованием аналогичного подхода получена связь граничных значений амплитуд скорости У^1(гк) и

заданного давления Р„ {гк)

уЩ _ /7^) г>| укк)\ _(-(') р I (2

ат "ст 11 п \г ' уава\ ~ 21 г» |,■ > Vй

где

С7^=^:»22=0, /,«е{1,2}, (¿ = 1,2). (210)

Для неоднородной трансверсально изотропной среды уравнения движения (1 22) - (1 23) преобразуется в следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая записывается в матричном виде

^ + Мй(г)и„=0, (2 11)

аг

ио0-ИМг), ии (г))т, (212)

Мо (Г) = (<> (г)), М„ (г) = ((,)) ,(*>])

Граничные условия сопряжения (1 18), а также коэффициенты влияния

<3^2,, позволяют получить краевые условия для неоднородного включения в

замкнутом виде, не содержащем неизвестных параметров внешней и внутренней однородных сред

В случае жесткое сцепления граничные условия имеют вид

{К ->«>)

(2 13)

где

г«-

О 1 - Уои» "и! -

ГФ о{,) л

*гл11 Ь£л 1:

(«>1),

(2 14)

¿¿п 21 1£л,22

Рл(,)=^-С«В,(0. Е2=Ша§(1,1), (2.15)

Р«=(А0„ 0), *<;> =

о

о

А„,

о о о о

и«=ии(г,),

(2 16)

(2 17)

и2 =(£/.„(/;), (О) > и«=с/„0(г,)

В.(г) = (Вв(г), В,„(,))Т, Вв(г) = Вл(г),

Вт(г) = г-,£,(г)(2Д -и,/?, а/-, 0),

Вг0 (г) = Г% (г)(2р, аг),

= -1, 0, г), п> 1

= о&(г))Т, «.(г)-(а« (г), о-«(г))Т;

= оПЦт). = в.(г) = В.(г)и.(г),

В случае свободного проскальзывания упругих сред (кх =к2=0) и контакта акустической и упругой сред граничные условие также представлялись в матричном виде (2 13) с видоизмененными матрицами Р^ и С^''

В качестве падающей волны рассматривались возмущения двух типов плоская волна расширения и сферический волновой источник

Краевая задача для системы (2 11) с граничными условиями вида (2 13) интегрировалась с использованием проекционно-сеточного метода Бубнова-Галеркина В качестве базисных функций применялись стандартные кубические сплайны дефекта 1

Также получено аналитическое решение задачи о радиальных гармонических колебаниях неоднородной трансверсально изотропной сферы, помещенной в неограниченную упругую среду, под действием внутреннего давления Данная задача при степенной неоднородности гк имеет аналитическое решение, которое используется в качестве тестовой задачи для конечно-элементной схемы

На рис 1 изображены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ)

модуля интенсивности тензора напряжений (г,с/) = г, (>*,с/)| в зависимости от волнового размера с/ при различных значениях координаты г. Символами «а» представлены результаты решения задачи с использованием 24 пятиузловых конечных элементов. Необходимо отметить хорошее совпадение результатов численного расчета с аналитическим решением.

1Л 12

ол

0.4 03

S 10 15 я К 50

Ч

Рис. 1. Интенсивность тензора напряжений С использованием разработанного алгоритма решены задачи о дифракции плоской упругой, а также акустической волн давления на неоднородной заполненной сфере (г, = 0.5). Параметры упругой внешней среды

соответствовали алюминию, а внутренней - свинцу, акустическая среда моделировалась водой. Неоднородность материала принималась в виде £,(>') = £(/•) = б, {/') = ;■*, к е К, безразмерные параметры сферы полагались следующими £, £ = 0,5, V -0,25, V, =0,28, С, =0,2, р = \. Результаты расчета для плоской волны единичной амплитуды для параметра

2 5 2.0 1.5 1.0 0.5 О

Рис 2. Интенсивность напряжений |/г| { аг1 =1,1) На рис. 3 изображена АЧХ для модуля радиального перемещения \агг\ в

лобовой точке сферы (V =!, в = 0° ] Сравнение результатов расчета для однородной (А = 0) и неоднородной сфер (¿ = -3/2) показывает, что

анизотропная сфера характеризуется вполне определенным сдвигом положений резонансов относительно однородного материала. Неоднородность материала оболочки проявляется в смещении резонансных частот в область больших значений а,. Это в первую очередь связано с перераспределением массово-жесткостных нарметров неоднородного материала по сравнению с однородным. Необходимо отметить, что неоднородность материала сферы приводит к заметным эффектам исчезновения и появления отдельных резонансных

Рис. 3

С помощью разработанного метода решена внутренняя задача о дифракции упругих волн на неоднородной сфере, находящейся в акустической среде и заполненной упругой средой, геометрические и физико-механические характеристики материалов соответствуют предыдущей задаче.

На рис. 4 представлена диаграмма направленности давления ¡^(1,0)1,

излученного в акустическую среду поверхностью сферы г = 1 для двух значений волнового размера а2 = 0,5 и а, =5 при действии источника сферических волн, лежащем на расстоянии ¿/=0,3 от центра сферы. Сплошные линии соответствуют неоднородной сфере (к ~ -3/2 ), жесткостные параметры которой изменяются по закону

а штриховые линии соответствуют однородному материалу (к = 0) Из приведенного рисунка видно, что при малых значениях частоты падающей волны (а,-0,5) диаграмма направленности близка к равномерной как для однородного, так и неоднородного материалов. Увеличение волнового числа (|а2 = 5) приводит к увеличению количества лепестков характеристик направленности и перераспределению давлений между ними.

Кроме того, анализ диаграмм направленности показывает, что неоднородность материала может приводить к существенному изменению как качественных, так и количественных излучательных характеристик сферы.

Рис. 4. Диаграмма направленности излученного поля давления |

Третья глава диссертации посвящена разработке и реализации методов решении нестационарных задач о дифракции на неоднородной грансвсрсально изотропной сфере.

На первом этапе строятся граничные функции влияния для

однородной бесконечной упругой среды с полостью и шара. Для этого рассматриваются две вспомогательные начально-краевые задачи для уравнений (1,15), однородных начальных условий (1,19) и следующих граничных условий Задача I (полость в упругой среде):

=АЗ{г% («>!). (3.0

1|*=!

(г.г) = 0(1), г-»«; (3-2)

Задача 2 (упругий шар).

=Аб(т), о™ I =ЛШ)> =В5{Т), (»>]), (3.3)

!/•-/) \Г=ГХ 1г=Г,

= г^О, (3.4)

где 5 ( г) -дельта-функция Дирака.

Решение начально-краевой задачи (1.15), (1.19), (3.1), (3.2) (или (3.3), (3.4)) строится с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени г (5- параметр преобразования, трансформанты обозначены чертой над соответствующими функциями), В пространстве преобразований на границе расчетной области получим следующую связь компонент вектора перемещений иил и тензора напряжений

(3.5)

где к - номер задачи.

Трансформанты функций влияния (5) имеют следующую структуру

!(36)

П„{$) д=1 / г=1

где (Упк}т (.?), ()п1т11 (.?), Нп (5) и - многочлены относительно параметрам

Оригиналы выражений 0[к) (л) в (3 6) находятся с помощью теории вычетов и техники разложения по системе обобщенных сферических волн.

2{л+2) п(\) ( Ч

(3 7)

4

4=1 1 (3 8)

х I М„ 1тд [г-- Д, (А, Л Дз) ,к, ,к2 Л ] я [ г - /?, (А, ,*2 Л)]

В пространстве оригиналов из (3 5) вытекает следующее интегральное представление

= (3.9)

где символом « * » обозначена операция свертки по времени

С использованием аналогичного подхода построены поверхностные функции влияния для акустической среды

Функции влияния (г) позволяют свести задачу о дифракции на

неоднородном включении к интегрированию начально-краевой задачи для системы уравнений в частных производных первого порядка, описывающей динамику включения (1.16) - (1 17)

5Ч". + Кй(г)^+М„(,)ия =0, (3 10)

дт дг

где

(3 11)

и0 = («10 «30 «50 ) = «20= И40 = М60 =

и„ = ("и мз„ «б«/' (ие1ч0>

а» И=И)6х6'м" (г)=(Чи> М)^> (»* к)

Для всех рассматриваемых типов граничных условий контакта краевые условия для системы (3 10) представляются в матричном виде

+ = (3 12)

В формуле (3 12) операция свертки по времени производится

покомпонентно для соответствующих матриц и векторов

Для интегрирования начально-краевой задачи разработана конечно-разностная схема первого порядка точности типа Куранта-Изаксона-Риса +КА](^,/2-\Ун/2) + АгВХ =0, ] —2,М — \,

П,(х)М(х)-

ах

(313)

(3 14)

где £2Д - матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы Ы .

Краевые условия (3 12), содержащие интегральный оператор типа свертки аппроксимировались квадратурными формулами Ньютона-Котеса

С^А.+А^Х+^Н (3 15)

1=1 ?=1

Разработанная разностная схема тестировалась на задаче о радиальных колебаниях неоднородной сферы со степенным законом изменения жесткостных параметров материала в неограниченной акустической среде, для которой построено аналитическое решение для начальных этапов возмущения

На рис 5 значками «А», «•» и «■» показана зависимость радиального напряжения ап (V, 1) на поверхности контакта упругой и акустических сред при

различном количестве членов N асимптотических разложений решения в пространстве изображений по Лапласу. Сплошной линией на графике приведено решение, полученное с помощью конечно-разностной схемы Как следует из графика, полученное решение хорошо начальный этап взаимодействия сред

Рис 5 Радиальные напряжения при г = 1 С помощью разработанного алгоритма решена задача о дифракции

плоской упругой волны напряжения на заполненной упругой средой неоднородной сфере. На границе контакта реал и зовы вались условия абсолютно жесткого сцепления. На рис. 6 представлены пространственные распределения интенсивности напряжений !$ в указанный момент времени.

1.15 0.98 0,82 0.66 0.49 0.33 0.16 0 Рис. 6. Интенсивность напряжений /, (г = 0,5) Распределение нормальных итт и касательных напряжений аг0 в характерных сечениях сферы в различные моменты времени представлено на

Рис. 8. Распределение напряжений агВ по радиусу сферы при 0 ~ я/2 В главе также приведены результаты решения задачи о дифракции

плоской акустической волны давления на неоднородном включении. На границе контакта при г = 1 реализуются условия не протекания, а внутренняя поверхность сферы свободна от нагрузки.

Отсутствие внутренней среды приводит к качественному перераспределению компонент тензора напряжений в сечениях сферы. На рис. 9 представлена пространственная зависимости нормального напряжения а^ при

б ■= 0°.

Рис. 9, Распределение напряжений а„ по радиусу сферы при 9 = О'

Также были рассмотрены внутренние задачи дифракции сферической упругой волны на неоднородной сфере, внешняя поверхность которой г-1 свободна от нагрузки, а на внутренней реализуется условия жесткого сцепления упругих сред. Проанализировано влияние параметра к неоднородности материала.

Результаты расчетов показывают, что максимальный уровень интенсивности напряжения для рассматриваемых времен взаимодействия локализуются и окрестности точки касания фронта сферической волны внутренней поверхности сферы, причем в отличие от дифракции плоской волны максимальный уровень достигается в начальный момент времени.

Для оценки влияния вида неоднородности рассмотрена задача при периодическом дифференцируемом изменении жесткостных свойств материала но толщине включения, моделирующем «с па истую» сферу.

= = = (3.16)

щ

Сг))Щг-ги

где N количество слоев.

На рис. 10-11 представлены результаты расчета внутренней задачи

дифракции для сферы, состоящей из четырех слоев (Л,г = 4). Результаты расчета

приведены до времен взаимодействия, соответствующих приходу волны расширения-сжатия на внешнюю поверхность сферы /- = 1. В данном временном диапазоне реализуется максимальный уровень интенсивности напряжений 11 в полюсном сечении сферы и дальнейшая релаксация интенсивности напряжений по времени.

/

овг ом над о',и о

Рис. 10. Интенсивность напряжений Рис. 11. Интенсивность напряжений 4 (г = 0,05} <г = 0,2)

Разработанная методика решения нестационарных задач о дифракции позволяет провести и другие виды параметрического анализа. 13 частности исследовать влияние трансверсально-изотропных свойств материала (параметры Е, С,, V, ^ ).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Дана математическая постановка внешних и внутренних, стационарных и нестационарных осесимметричных задач о дифракции упругих и акустических волн на упругой неоднородной сферически трансверсально изотропной сфере, окруженной, а также заполненной однородными упругими изотропными средами.

2. Построены поверхностные функции влияния для однородной изотропной упругой и акустической сред, содержащей полость, а также для упругого шара, как в случае гармонического воздействия, так и при нестационарной нагрузке.

3. Предложен и реализован метод решения дифракционных задач, основанный на использовании функций влияния и сведении их к краевой и начально-краевой задаче для систем ОДУ и уравнений в частных производных.

4. Разработана конечно-разностная схема интегрирования начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка с граничным оператором интегрального типа по времени.

5. Получены аналитические решения для радиальных колебаний полого неоднородного сферического включения, жесткостные параметры которого меняются по степенному закону, помещенного в упругую или акустическую среду Решение получено, как для гармонического, так и нестационарного воздействия

6 Получены решения новых внешних и внутренних задач о дифракции гармонических и нестационарных упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально изотропной упругой сфере

7 Проанализировано влияние анизотропии и неоднородности на развитие волнового процесса в сферическом включении при действии внутренней упругой сферической волны

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Бригадирова ТЕ Решение задачи о рассеянии упругой волны неоднородным шаром методом конечных элементов // Известия ТулГУ. Серия Математика Механика Информатика Т9 Вып 2 - Тула Изд-во ТулГУ, 2003. - С 16 - 22

2 Бригадирова ТЕ Использование метода конечных элементов для решения задач о рассеянии упругой волны неоднородным сферическим включением // Материалы IX международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» - М Изд-во МАИ, 2003 - С 4 - 5

3 Бригадирова ТЕ, Горшков АГ, Медведский АЛ Одномерная нестационарная задача теории упругости для неоднородной сферы // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» посвященная 80-летию со дня рождения профессора Л А Толоконникова Тезисы докладов - Тула, 2003 -С 86-87

4 Бригадирова ТЕ, Горшков АГ, Медведский АЛ Динамическое поведение упругой трансверсально-изотропной толстостенной сферы под действием внутреннего и внешнего давления. // Материалы X международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Т 2 - М Изд-во МАИ, 2004 - С 38-47

5 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Дифракция упругих волн на неоднородном сферическом включении // Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов Тезисы докладов XXI международной конференции 4-7 октября 2005г - СПб ВВМ,2005 -С. 119-129

6 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Осесимметричная задача динамики для неоднородной трансверсально-изотропной сферы // Материалы XI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Т2, Избранные доклады -М Изд-во МАИ, 2005 -С 8-16

7 Бригадирова ТЕ Дифракция нестационарных акустических волн на

сферическом неоднородном трансверсально-изотропном включении // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов. ТIII - Нижний Новгород Изд-во нижегородского госуниверситета им НИ Лобачевского, 2006 - С 46.

8 Бригадирова ТЕ, Горшков А.Г, Медведский АЛ. Динамика неоднородной изотропной сферы в случае радиальной симметрии // Материалы XII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Избранные доклады - М : Изд-во МАИ, 2006. - С 42-51

9 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Дифракция гармонических волн на неподвижном трансверсально-изотропном неоднородном шаре // 5-я Международная конференция «Авиация и космонавтика - 2006» 23 -26 октября 2006 года Москва. Тезисы докладов - М йзд-во МАИ, 2006 -С 115

10 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере // Механика композиционных материалов и конструкций - 2006 - Т 12, №4 - С. 530-540.

11 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Дифракция плоской нестационарной акустической волны давления на неоднородном трансверсально-изотропном шаре // Материалы XII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Избранные доклады - М Изд-во МАИ, 2006 - С 24 - 34.

12 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере // Механика композиционных материалов и конструкций -2007 -Т 13,№1.-С. 119-130

13 Бригадирова ТЕ, Медведский АЛ Дифракция нестационарных упругих волн на неоднородном сферическом включении // Материалы XIII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им А Г Горшкова Избранные доклады. - М Изд-во МАИ, 2007 - С 58-76

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЕ.

1.1. Современное состояние вопроса.

1.2. Геометрия задачи и уравнения движения сред.

1.3. Постановка внутренних и внешних задач о дифракции упругих волн на неоднородной толстостенной сфере.

1.4. Представление решения в виде рядов по угловой координате.

ГЛАВА 2. ДИФРАКЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ УПРУГИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЕ.

2.1. Граничные функции влияния в сферической системе координат.

2.2. Сведение гармонической задачи к краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.3. Радиальные колебания неоднородной трансверсально изотропной толстостенной сферы в упругой среде под действием гармонической нагрузки.

2.4. Примеры решения задач о дифракции гармонических волн на неоднородном сферическом включении.

ГЛАВА 3. ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЕ.

3.1. Поверхностные функции влияния для упругой однородной изотропной среды.

3.2. Функции влияния для акустической среды.

3.3. Начально-краевая задача для системы уравнений первого порядка нестационарной динамики неоднородного включения.

3.4. Конечно-разностная схема для системы уравнений, разрешающая нестационарную задачу.

3.5. Радиальные колебания неоднородной трансверсально изотропной сферы в акустической среде.

3.6. Внешние задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном трансверсально изотропном включении.

3.7. Внутренние задачи дифракции для неоднородного включения.

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам элементов конструкций, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к динамическим задачам теории упругости неоднородных тел.

Неоднородность упругих свойств материала часто возникает на этапе формирования тела, например при кристаллизации отливки вследствие различных температурных условий отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в разных областях отливки. Такого же типа естественная неоднородность имеет место в грунтах и горных породах. Неоднородность свойств также имеет место благодаря особенностям технологических процессов получения соответствующих изделий и полуфабрикатов, в том числе, из-за различной упрочняющей технологии (термическая, химико-термическая и другие виды обработок). В процессе эксплуатации элементов конструкции структурная неоднородность свойств может появиться под влиянием окружающей среды (воздействие активных жидкостей и газов, термическое влияние, радиационное облучение и т. п.).

Необходимо отметить, что все реальные материалы обладают определенной структурной неоднородностью (дефекты и неправильности кристаллической решетки, поликристаллическая структура технических металлов и сплавов, молекулярная и надмолекулярная структура полимерных материалов и т. п.). Однако при феноменологическом подходе к изучению механики сплошной среды [64, 41] используют модель макроскопически однородной среды. В дальнейшем будем рассматривать линейно упругие тела с непрерывной неоднородностью, под которыми понимаются материалы, характеризуемые зависимостью от пространственной координаты определяющих свойства среды параметров, осредненных по области, большой по сравнению с размерами структурных областей.

Линейная теория упругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором компоненты тензора упругих постоянных являются функциями координат точек тела [54, 53, 81]. При этом различают кусочно-однородные тела, у которых указанные функции являются кусочно-постоянными, и упругие тела с непрерывной неоднородностью. Задачи второго класса в настоящее время являются наименее исследованными, так как с математической точки зрения они сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) с переменными коэффициентами. Согласно установившейся терминологии, среды такого типа называют функционально - градиентными [2].

В настоящее время достаточное большое количество работ посвящено решению статических задач неоднородной теории упругости [54, 53, 81, 63, 31, 32]. Однако большинство процессов взаимодействия упругих сред носят динамический характер. Поэтому разработка методов решения как гармонических, так и нестационарных динамических задач неоднородной теории упругости, к которым относятся и задачи о дифракции акустических и упругих волн является актуальной. Целями диссертационной работы являются:

1. Постановка задач о дифракции гармонических и нестационарных акустических и упругих волн на неоднородном трансверсально изотропном сферическом включении, материал которого обладает радиальным типом неоднородности.

2. Разработка численно-аналитических методов решения задач дифракции гармонических волн на неоднородном включении при различных контактных условиях на поверхностях сопряжения сплошных сред.

3. Построение аналитических решений задач стационарной и нестационарной динамики для неоднородной трансверсально изотропной сферы со степенным законом изменения жесткостных параметров материала, помещенной в однородную упругую или акустическую среды.

4. Сведение задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном сферическом включении к начально-краевой задаче для системы уравнений в частных производных с граничным оператором интегрального вида типа свертки с использованием аппарата граничных функций влияния. Создание конечно-разностной схемы интегрирования этой начально-краевой задачи.

5. Решение внешних и внутренних задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере.

Научную новизну работы составляют:

1. Разработка численно-аналитических методов решения задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородных трансверсально изотропных включениях сферической формы.

2. Использование граничных функций влияния в сферической системе координат в нестационарных задачах о взаимодействии упругих и акустических сред с анизотропным неоднородными включениями сферической формы.

3. Алгоритмы и результаты решения динамических задач о дифракции упругих и акустических волн на анизотропных сферических включениях.

Практическая ценность диссертации состоит в возможности использования результатов работы для качественного и количественного исследования сложных волновых явлений, возникающих в неоднородных анизотропных средах. Они могут служить основой для получения новых структурно-неоднородных материалов с указанными свойствами.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется использованием корректных математических моделей для сред, выбором апробированных методов решения краевых и начально-краевых задач уравнений математической физики, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов, сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями.

По теме диссертации имеется 13 публикаций, в том числе 8 статей [10, 11,12,15,16,17,19,20].

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Дана математическая постановка внешних и внутренних, стационарных и нестационарных осесимметричных задач о дифракции упругих и акустических волн на упругой неоднородной сферически трансверсально изотропной сфере, окруженной, а также заполненной однородными упругими изотропными средами.

2. Построены поверхностные функции влияния для однородной изотропной упругой и акустической сред, содержащей полость, а также для упругого шара, как в случае гармонического воздействия, так и при нестационарной нагрузке.

3. Предложен и реализован метод решения дифракционных задач, основанный на использовании функций влияния и сведении их к краевой и начально-краевой задаче для систем ОДУ и уравнений в частных производных.

4. Разработана конечно-разностная схема интегрирования начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка с граничным оператором интегрального типа по времени.

5. Получены аналитические решения для радиальных колебаний полого неоднородного сферического включения, жесткостные параметры которого меняются по степенному закону, помещенного в упругую или акустическую среду. Решение получено, как для гармонического, так и нестационарного воздействия.

6. Получены решения новых внешних и внутренних задач о дифракции гармонических и нестационарных упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально изотропной упругой сфере.

7. Проанализировано влияние анизотропии и неоднородности на развитие волнового процесса в сферическом включении при действии внутренней упругой сферической волны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Агошков В.И. Методы решения задач математической физики. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

2. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. -М.: Наука, 1989. 343 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.

4. Беркович В.Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач динамики неоднородной клиновидной среды. // .Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - №4. - С. 1518.

5. Беркович В.Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2005. - №3. - С. 14-20.

6. Бреховских Л.М., Година О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.-412 с.

7. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред: В приложении к теории волн. М.:Наука, 1982. - 335 с.

8. Бригадирова Т.Е. Решение задачи о рассеянии упругой волны неоднородным шаром методом конечных элементов. // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т9. Вып.2 -Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 16 - 22.

9. Бригадирова Т.Е., Медведский A.JI. Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. - Т. 12, №4.-С. 530-540.

10. Бригадирова Т.Е., Медведский A.JI. Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. - Т. 13,№1.-С. 119-130.

11. Васильев В.В., Протасов В. Д. Композиционные материалы. Справочник. -М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

12. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Т.1 М.: Иностранная литература, 1949. - 789 с.

13. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарноевзаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: Изд. ВИНИТИ, 1983. -Т.15. С. 69-148.

14. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

15. Герасимов А.В., Кректулева Р.А. Модель деформирования и разрушения многокомпонентной пористой упругопластической среды с непрерывным изменением физико-механических характеристик. // Проблемы прочности. 1999. - №2. - С. 139-150.

16. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. М.: Наука, 2000.-214 с.

17. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.

18. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука, 1990. - 264 с.

19. Гофман М. Н., Космодамианский А. С., Урбанский Р. Е. Установившиеся колебания неоднородной многослойной сферы. // Докл. АН УССР. 1991.-№ 4.-С. 37-41.

20. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. — Л.: Судостроение, 1976. 200 с.

21. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных, неоднородных оболочек. (Обзор). // Прикл. мех. (Киев), 1997. Т.ЗЗ. -№11. -С. 3-37.

22. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Задачи теории упругости неоднородного тела. Киев.: Наук, думка., 1991. -216 с.

23. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Методы расчета оболочек. Т.5. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев: Наукова думка, 1982.-399 с.

24. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. -Киев: Наукова думка, 1978. 303 с.

25. Данциг Дж. Линейное программирование его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1968. 600 с.

26. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. - 288 с.

27. Добринский В. И., Лисин А. М., Воронина Т. А. Исследование свойств сейсмического излучателя в сферически-неоднородной среде. // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Мат. моделир. в геофиз. 1993. - № 2. - С. 15-24.

28. Дьяконов В. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 608 с.

29. Жерняк Г. Ф. К задаче рассеяния упругих волн в "пространственно неоднородной среде. // Геол. и геофиз. -1987. № 5. - С. 106-115.

30. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М: Наука, 1980. - 352 с.

31. Илюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Московск. унта, 1990.-310 с.

32. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. -М.: Изд-во Московск. ун-та, 1992. 208 с.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976. -576 с.

34. Киселев А.П. Точечные источники колебаний в слабо анизотропной1 упругой среде. // Докл. АН СССР. 1988. -Т. 300, № 4. - С. 824-826.

35. Коваленко Г.П. К задаче дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле. // Акустический журнал. 1987. - Т.ЗЗ, №6.-С. 1060-1063.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Наука, 1968. - 720с.

37. Кудрявцев В.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1989, Т.2-584 с.

38. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.

39. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 608 с.

40. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексной переменной. -М.: Мир, 1991, 504 с.

41. Ларин Н. В. Дифракция сферических звуковых волн на неоднородной термоупругой сферической оболочке. // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. 2003. - № 2. - С. 115-128.

42. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном термоупругом сферическом слое // Оборонная техника. -2001.-№11-12.-С. 45-48.

43. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука. 1977,416 с.

44. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1976.-386 с.

45. Марченко В. А. Динамика неоднородных пологих сферических оболочек: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. / Самар. гос. архит.-строит. акад. Самара, 2000. - 19 с.

46. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук. Думка, 1989. - 272 с.

47. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.:Изд. иностр. лит., 1960. - 886 с.

48. Новацкий В. Теория упругости. М.:Мир, 1975. - 872 с.

49. Норри Д., Ж. Де Фриз Введение в метод конечных элементов Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-304 с.

50. Поручиков В.Б Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.-328 с.

51. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. О собственных частотах и формах колебаний радиально-слоистых упругих тел // Прикл. механика. -1987. Т.23, №6. - С. 9-14.

52. Родионова Г. А., Скобельцын С. А. Рассеяние звука вращающейся жидкой сферой. // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. -2003.-№2.-С. 197-202.

53. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-воЕреванского ун-та, 1976. - 310 с.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1976. - 576 с.

55. Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция волн на симметричных неоднородностях. Киев: Наук, думка, 1978. - 145с.

56. Сеницкий Ю.Э. Нестационарная динамическая задача для неоднородных анизотропных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек. // Прикл. пробл. прочн. и пластич. -1991. -№ 49. -С. 63-72.

57. Сеницкий Ю. Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных цилиндра, сферы и стержня. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев.: Будивельник, 1984. - Вып. 45.-С. 27-32.

58. Сеницкий Ю. Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки. // Прикладная механика. 1978. - Т. 14, № 5. -С. 9-15.

59. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном анизотропном цилиндрическом слое. // Тул. политехи, ин-т. Тула, 1990. С. 8.

60. Скобелицын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журнал. 1990. - Т.36, №5. - С. 740-744.

61. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем. '// Акустический журнал. 1995. - Т. 41, № 6. - С. 917-923.

62. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем. // Акустический журнал. -1995.-Т. 41, № 1.-С. 134-138.

63. Скучик Е. Основы акустики, Т.2. М.:Мир, 1976. - 542 с.

64. Справочник по специальным функциям. / Под. ред. Абрамовича М., Стиган И. М.:Наука, 1979. - 830 с.

65. Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.: Под общей редакцией В.В. Васильева, Ю.М. Тарнапольского. М.: Машиностроение, 1990.-512 с.

66. Толоконников Л. А., Устинова Е. А. Дифракция цилиндрических и сферических звуковых волн на неоднородной сфере. // Прикл. мех. (Киев). -1987. -Т. 23, № 7. С. 87-91.

67. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. -73 с.

68. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -90 с.

69. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC.Nastran for Windows. М.: ДМК Пресс, 2004. - 704 с.

70. Шульга И.А. Собственные колебания трансверсально-изотропный полой сферы // Прикл. механика. 1980. - Т. 16, №12. - С. 108-111.

71. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids, Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973.-436 p.

72. Abd-Alla A.M., Abd-Alla A.N., Zeidan N.A. Transient thermal stresses in spherically orthotropic elastic medium with spherical cavity. J Appl Math and Comput. 1999. - Vol. 105. - P. 232-252.

73. De Sasadhar. Dynamic vibrations and stresses in a circular annulus of non-isotropic elastic material // Pure and Appl. Geophus. 1972. - Vol.93, №1. - P.68-72.

74. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Analytical thermo-elasodynamic solutions for a nonhomogeneous transversely isotropic hollow sphere. // Archive of Applied Mechanics. 2002. - Vol.72. - P. 545-553.

75. Chen W.Q, Wang X, Ding H.J. Free vibration of a fluid-filled hollowsphere of a functionally graded material with spherical isotropy. // J Acoust Soc Am.- 1999.-Vol. 106.-P. 2588-2594.

76. Ghosh A. K., Agrawal M. K. Radial vibrations of spheres. // J. Sound and Vibr. 1994. - Vol. 171, № 3, -P. 315-322.

77. Han X., Liu G.R., Xi Z.C., Lam K.Y. Transient waves in a functionally graded cylinder // International Journal of Solids and Structures. 2001. -Vol. 38.-P. 3021-3037.

78. Mukhopadhyay J. Radial vibration of an inhomogeneous spherical shell of aelotropic material with variable density // Rev. roum. sci. techn. Ser. mec. appl. 1986. - Vol.31, №1. - P.71-75.