Дифракция звуковых волн на деформируемых телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Толоконников, Лев Алексеевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Тула
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
_
ТОЛОКОННИКОВ Лев Алексеевич
\
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛАХ
Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Тула 1998
Работа выполнена в Тульском государственном университете.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Исраилов М.Ш.
доктор физико-математических наук,
профессор
Кийко И.А.
доктор физико-математических наук,
профессор
Тарлаковский Д.В.
Ведущая организация: Институт механики МГУ
Защита диссертации состоится июня 1998 г. в 4М ч. на
заседании диссертационного совета Д 063.47.07 Тульского государственного университета по адресу: 300600, г.Тула, пр.Ленина, 92.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета
Автореферат разослан "2.0" мая 1998 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат.наук, профессор
Пеньков В.Б.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Проблема дифракции звуковых волн является одной из классических. Однако она постоянно привлекает внимание исследователей. С прикладной точки зрения это объясняется тем, что развитие приложений теории звука поставило перед теорией дифракции ряд новых актуальных проблем. С теоретической точки зрения непрерывный интерес к теории дифракции обусловлен тем, что не существует общего метода решения дифракционных задач для тел произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала рассеивателя, окружающей среды при различной геометрии поля падающей волны.
Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих реально наблюдаемые дифракционные процессы, заставляет искать новые пути теоретического подхода, разрабатывать новые методы исследования.
Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с различными телами. В настоящее время известны решения задач дифракции звуковых волн на телах различной геометрической формы. Так, например, в многочисленных работах проведены детальные исследования для тел, имеющих плоские границы, для круговых цилиндров и сфер. При этом указанные тела рассматривались не только как идеальные, но и как упругие. Они стали выполнять роль эталонных тел при исследовании дифракции звука на телах более сложной формы.
Развитие теории дифракции происходит по пути построения решений дифракционных задач для тел более сложной формы с учетом реальных свойств материалов тел и среды, в которой они находятся.
Значительный интерес для теории и практики представляют исследования дифракции звуковых волн на телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и эллипсоида вращения (сфероида). Многие объекты достаточно хорошо могут быть аппроксимированы телами указанной формы. Эллиптический цилиндр и сфероид относятся к типам препятствий, представляющих самостоятельный интерес, а также служащих полезными ступенями в последовательном изучении дифракции волн на телах более сложной конфигурации. Геометрией этих тел охватывается большое разнообразие форм. Дифракция звука на упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах изучалась в ряде работ (Клещев A.A., Graunard G., Elax L., Hackman R.H., Pillai T.A.K., Varadan V.K., Varadan V.V., Werby M.F. и др.). Но
при этом полагалось, что тела помещены в идеальную жидкость. Такой подход сужает область практического применения полученных результатов, так как в ряде случаев реальные свойства жидкости нельзя не принимать во внимание. Например, большое влияние вязкость среды оказывает на распространение звуковых волн в микронеоднородных средах (суспензиях, эмульсиях), в волокнистых и пористых материалах. В этих и ряде других случаев необходим учет поглощения звука. Таким образом, актуальным является изучение взаимодействия упругих волн в телах сложной формы с волнами в вязкой жидкости.
Большинство исследований в теории дифракции звуковых волн посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных средах. Но характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Отвлечение от имеющейся почти всегда неоднородности тел в большинстве решаемых задач оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако современные техника и технологий требуют уточненного подхода к рассмотрению дифракции звуковых волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в неоднородных средах. Вот почему к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес, относится проблема дифракции звуковых волн на неоднородных телах. Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных телах, характеризуемых переменными плотностью материала и скоростью звука, достаточно узок. Исследования касались неоднородных тел, имеющих плоско-параллельные границы, а также круговых цилиндров и сфер (Бреховских Л.М., Завадский В.Ю., Молотков JI.A., Селезов И.Т., Яковлев В.В., Bur-man Е., Epstein Р., Forsterling К., Heller G.S. и др.). При этом многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их неоднородности не изучены. Речь идет не только об объектах сложной формы. Например, до сих пор рассматривалась дифракция на неоднородных телах только плоской волны. Но плоская волна является идеализацией реально существующих волн. Поэтому важно оценить как влияет расходимость падающей волны на рассеяние звука неоднородным телом. Особый интерес представляют исследования дифракции звука на движущихся телах.
В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, принимаемыми за изотропные и однородные, используются анизотропные неоднородные материалы. Актуальности исследований дифракции звуковых волн на телах со сложной реологией способ-
ствуют современные задачи гидроакустики, судовой акустики, дефектоскопии, медицинской диагностики и др. Дифракция звука на анизотропных и неоднородных упругих телах является малоисследованной проблемой. Известно небольшое число работ по изучению дифракции звуковых волн на неоднородных изотропных и на однородных анизотропных телах, находящихся в идеальной жидкости (Коваленко Г.П., Приходько В.Ю., Тютекин В.В., Лонкевич М.П., Соляник Ф.И., Шендеров Е.Л., БсЬоепЬе^ М. и др.). Поэтому важной проблемой является изучение совместного влияния анизотропии и неоднородности упругих тел, помещенных как в идеальную, так и в вязкую жидкости, на дифракционные процессы.
Целью работы является исследование дифракции гармонических звуковых волн на деформируемых телах с учетом неоднородности и анизотропии материала тел и вязкости среды, в которой эти тела находятся.
Научная новизна работы заключается в следующем:
— исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние гармонических звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида; рассмотрено взаимодействие упругих волн в рассепвателях с волнами в вязкой жидкости;
— изучена дифракция звука на неоднородных телах с переменной плотностью и переменной скоростью звука, находящихся в однородной жидкости; выявлено существенное влияние неоднородности на рассеяние плоских, цилиндрических и сферических волн на телах различной геометрической формы; рассмотрена дифракция звуковых волн на движущихся объектах;
— предложен метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на анизотропных неоднородных упругих телах, с помощью которого исследовано влияние неоднородности и анизотропии на рассеяние звука толстостенными пластинами и оболочками, граничащими как с идеальными, так и с вязкими жидкостями; показано, что характеристики рассеянного поля могут быть использованы для идентификации неоднородности и анизотропии материала тела.
Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных и предельных случаев.
Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для получения информации, необходимой в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях; при изучении распространения звука в микронеоднородных средах. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.
Диссертационная работа связана с планом основных научно-исследовательских работ Тульского государственного университета. Работа выполнялась в рамках госбюджетных работ "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (Nгос. per. 01860084679 и N гос. per. 01910046438), хоздоговорных работ "Разработка математических моделей гидродинамических процессов" (N гос. per. 01870031086) и "Разработка математического и программного обеспечения идентификации характеристик динамического взаимодействия элементов сложных динамических систем" (N гос. per. 01890036767).
Некоторые теоретические результаты, полученные в диссертации, использованы для построения математических моделей и разработки соответствующего программного обеспечения, которые внедрены в НПО "Сплав".
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:
— результаты исследования влияния вязкости жидкости на рассеяние звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида;
— аналитические и численные исследования дифракции звука на неоднородных телах (с переменными плотностью и скоростью звука) различной конфигурации (шар, эллиптический цилиндр, сфероид) с учетом различной геометрии поля падающей волны (плоские, сферические, цилиндрические волны) и с учетом движения тела;
— метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах и полученные
с его помощью решения дифракционных задач на толстостенных пластинах и оболочках;
— результаты численных исследований влияния анизотропии и неоднородности тел на рассеяние звука упругими телами, позволяющие идентифицировать анизотропию и неоднородность материалов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на семинаре "Проблемы чистой и прикладной математики" (МИАН СССР, ТулПИ. Тула, 1987); семинаре по теории нелинейных колебаний и волн Института проблем механики АН СССР (Москва, 1987); научной конференции "Проблемы чистой и прикладной математики" (МИАН СССР, ТулПИ. Тула, 1988); Всесоюзных конференциях, посвященных Дню советской науки (Тула, 1989, 1990); 1У Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов" (Тула, 1990): совещании головного совета секции "Машиностроение" Министерства общего и профессионального образования РФ (Тула, 1997); Международном симпозиуме " Механика и технология в процессах формоизменения" (Орел, 1997); семинаре по механике деформируемого твердого тела Тульского гос. ун-та под руководством профессора Толокон-никова Л.А. (Тула, 1997); семинара по механике деформируемого твердого тела Института механики МГУ (Москва, 1998); Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998); на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (1987-1998).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 40 статей. В автореферате приведен список 25 основных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 334 страницы, в том числе 117 рисунков и 11 таблиц. Список литературы включает 229 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, указаны цель и основные направления намеченных исследований, отмечена научная новизна работы, кратко очерчена область возможных приложений, излагаются основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава состоит из двух разделов. Первый раздел содержит обзор литературы по проблеме дифракции звуковых волн на
упругих однородных и неоднородных телах.
Необходимо отметить большой вклад в развитие математической теории распространения и дифракции волн и теории звука отечественных ученых В.М.Бабича, В.А.Боровикова, Л.М.Бреховских, Н.В.Зволинского, М.Ш.Исраилова, Л.М.Лямшева, Л.А.Молоткова, Г.И.Петрашеня, В.Б.Поручикова, С.А.Рыбака, В.И.Смирнова, С.Л.Соболева, В.В.Тютекина, В.А.Фока, Е.Л.Шендерова и др.
Обзор литературы показывает, что:
— исследования дифракции звуковых волн на деформируемых телах (однородных упругих; неоднородных, заполненных акустической средой; неоднородных упругих; анизотропных) представляют интерес как с точки зрения теории, так и в плане приложений;
— учет вязкости среды при дифракции звука на однородных упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах, что необходимо в ряде случаев, не осуществлялся;
— недостаточно изучена проблема дифракции звуковых волн на неоднородных телах, характеризуемых переменной плотностью и переменной скоростью звука;
— исследования совместного влияния неоднородности и анизотропии упругих тел на процесс дифракции звуковых волн не проводились.
Во втором разделе первой главы приводятся математические модели, описывающие волновые поля в жидкостях и твердых телах в случае малых возмущений.
В работе рассматривается дифракция монохроматических звуковых волн с круговой частотой ш.
Для установившегося режима колебаний с временным множителем е~%шЬ движение вязкой сжимаемой жидкости в случае малых возмущений описывается системой волновых уравнений Гельмгольца
ДФ<1> + к^Ч^ = 0; ДФ(1) + 4')ф(1) =0. (!)
а движение однородной упругой среды — системой
Дф(2)+А(2)ф(а) = 0; Дф(2) + 42)ф(2) = 0> (2)
где фО, Ф^2) и ф'1), Ф^2' — скалярные и векторные потенциалы скорости и смещения соответственно; V = gradф(1) и = grad + го1ф(2); (г, 7" =1,2) — волновые числа.
Распространение звука в неоднородной среде с переменными плотностью ро и скоростью звука с описывается уравнением
1 д2Р ( 1 От2 \Ро
„2 <¡,2 ~ { ~ 5Гас1Р) = (3)
где р — акустическое давление.
Распространение упругих волн в неоднородных анизотропных телах будем описывать общими уравнениями движения упругой среды
д2Щ /• , о оч /л\
(' = 1'2'3>'
так как в общем случае анизотропия и неоднородность не позволяют свести уравнения движения к уравнениям типа волновых. Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций следующим образом:
Оу = (5)
где \ijki — модули упругости анизотропного материала.
В математической постановке задачи дифракции звуковых волн на деформируемых телах состоят в нахождении решений соответствующих уравнений движения, удовлетворяющих граничным условиям, а также условиям излучения на бесконечности для рассеянного поля и условию ограниченности для поля внутри тела.
Во второй главе исследуется дифракция звуковых волн на упругих однородных изотропных телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и сфероида.
В первых двух разделах главы изучается влияние вязкости содержащей среды на дифракцию гармонических звуковых волн.
В первом разделе рассматривается задача дифракции плоской волны на эллиптическом цилиндре в вязкой среде. Полагается, что величина е, равная квадрату эксцентриситета эллиптического сечения цилиндра, является малой. Для определения волновых полей вне и внутри тела воспользуемся методом возмущений. Задачу будем решать в системе координат кругового цилиндра г, 9, г. Представим искомые функции в виде разложений по степеням е, ограничиваясь при этом линейными относительно е членами:
Ф, = Ф,о + еФ,1 + ...;
ф<2) = ф(2> + ефр> + ...; (6)
Ф<Я = Ф<Л + еФ^ + ..., ^ = 1,2, .
где Ф, — потенциал скоростей рассеянной звуковой волны.
При этом учитываем, что Ф^' = в)\ Ф^' = 0)е2.
Граничные условия на поверхности цилиндра г(в) = а(1 — евш2 б)-1/2 (а — большая полуось эллиптического сечения цилиндра) заключаются в непрерывности вектора скорости и нормальных и касательных компонент тензора напряжений на поверхности тела.
Подстановка разложений (6) в волновые уравнения (1), (2) приводит к системе уравнений Гельмгольца относительно функций Ф.,9, Ф^2), = 0,1). Последние с учетом условий излучения на бес-
конечности и условий ограниченности ищутся в виде разложений по цилиндрическим функциям Бесселя.'
со ...
*„= £ Л'Яп^'гУ"«'-'-);
п=—оо
Ф<1] = £
(7)
гг ~ — со
где Зп, Нп — цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля первого рода соответственно.
Коэффициенты разложений /1?, О'^ определяются из
условий при г = а, которые получаем после подстановки разложений (6) в граничные условия. В результате находим приближенное аналитическое решение задачи.
Определены потери акустической энергии при рассеянии плоской волны на цилиндре в вязкой жидкости. Полученные результаты позволяют количественно оценить величину энергии звуковых волн, поглощенной вследствие вязкости и рассеянной на цилиндре как на препятствии. С помощью численных расчетов исследованы зависимости поглощенной и рассеянной энергий от полуоси эллиптического цилиндра при различных частотах падающей волны и значениях эксцентриситета цилиндра.
Во втором разделе главы изучается дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с учетом вязкости содержащей среды. Полагается, что плоская волна падает на сфероид произвольным образом.
С помощью представлений векторных потенциалов скорости и смещения в виде
= v х V х (rUU]er) + 4я V х(гИлег), j = 1,2,
где ег — орт сферической координатной оси г, вместо каждого из векторных уравнений (1), (2) получено по два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных скалярных функций
Сначала рассматривается случай, когда квадрат эксцентриситета сфероида есть малая величина, и задача решается методом возмущений. При этом функции Ф,, ф'2), V^1 (j — 1,2) представляются в виде разложений, аналогичных разложениям (б), а каждая составляющая этих разложений ищется в виде ряда по сферическим функциям.
После нахождения приближенного решения дифракционной задачи была проведена оценка диссипации энергии звуковых волн при рассеянии плоской волны сфероидом. Получены выражения для определения энергии звуковых волн, поглощенной в единицу времени вследствие вязкости жидкости, и энергии, рассеянной в единицу времени на сфероиде как на препятствии. Проведены численные исследования диссипации акустической энергии.
Затем ограничение на величину е было снято. Для решения задачи предлагается метод, позволяющий избежать записи волновых полей через сфероидальные функции (в том числе и с комплексным параметром) и построить эффективный алгоритм расчета рассеянного акустического поля. Для решения задачи наряду со сфероидальной вводится сферическая система координат г, 0, <р. Искомые функции ищутся в виде:
{ Ih }= £ Е I 5) 1 г)Р™ (cos в) cos m(tp — v?o);
I. * > п=от=о I Атп \
{ $ }= £ £ I U^Mwcos»),
I Vй' J п~о т~о [ Cmh COS т(<р - ip0) J
(8)
где г/,1— сферическая функция Ханкеля первого рода; Zn '1 — сферическая функция Бесселя; Р— присоединенный полином Лежан-дра.
Коэффициенты разложений (8) подлежат определению из граничных условий на поверхности сфероида, аналогичных указанным в
задаче дифракции на эллиптическом цилиндре, которые записываются в сфероидальной системе координат, а затем с помощью формул векторного анализа переписываются с использовнием сфериче-
а)
ских координат. В результате для определения коэффициентов Л™, Втп. Стп получаем бесконечную систему линейных уравнений, которая после регуляризации решается методом редукции.
Необходимо отметить, что представление волновых полей в виде (8) при решении рассматриваемой задачи возможно, если поверхность сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея, то есть выполняется условие е < 1/\/2, где е — эксцентриситет сфероида.
Исследовалась дальняя зона акустического поля. Проведены численные расчеты частотной характеристики отраженного эхо-сигнала для металлических сфероидов различной конфигурации. Сравнение рассчитанных частотных характеристик для упругих и абсолютно жестких тел показывает значительное влияние упругих волн в сфероидальном теле на дифракцию звука. Зависимость эхо-сигнала от волнового размера упругого сфероида носит ярко выраженный резонансный характер. При этом положения резонансов на частотных характеристиках строго индивидуальны для рассеивате-лей определенной конфигурации и данного материала, что позволяет использовать полученные результаты при решении обратной задачи рассеяния.
В третьем разделе второй главы рассматривается дифракция плоской волны на сфероиде со смешанными граничными условиями, когда одна часть 51 поверхности тела является абсолютно жесткой, а на другой части заданы импедансные условия. Полагается,что сфероид помещен в идеальную жидкость. Для построения решения задачи используется интегральный метод наименьших квадратов.
Рассеянное поле представляется в виде конечного ряда по координатным функциям, в качестве которых выбраны волновые сфероидальные функции:
N п
= Е £ А^пЗтп(я^)^1(яЛ)совт(Г - >р0),
п=0 т=О
(3)
где Бтп — угловая сфероидальная функция; Ятп — радиальная сфероидальная функция третьего рода; д — волновой размер сфероида.
Выдвигается требование выполнения граничных условий на поверхности сфероида в среднем. Для этого строится функционал
вида
сг
У»
«ЭФ" дУ? 2
—— Н--—
дЦ
¿5+
+С-21, + ФГ) + +
¿5,
где Ф,- — потенциал скоростей падающей волны; р\ — плотность окружающей жидкости; с — скорость звука; — импеданс поверхности сфероида; сг — весовой множитель специального вида; — коэффициент Ламе сфероидальной системы координат т), ¡р.
Для отыскания наилучшего приближенного решения, коэффициенты А%п определим из условия минимума функционала:
дР = 0, ¿ = 0,1,...,/; / = 0,1,...,ТУ,
дТГ
ы
где чертой обозначена комплексно-сопряженная величина.
Проведены расчеты диаграмм направленности рассеянного поля в дальней зоне для жесткого, мягкого и жестко-мягкого сфероидов с различными волновыми размерами. Показано, что рассеянное поле весьма чувствительно к соотношению размеров частей поверхности сфероида, обладающих различными акустическими свойствами, и величине волнового размера тела.
Третья глава, состоящая из пяти разделов, посвящена исследованию влияния на дифракцию монохроматических звуковых волн неоднородности материала тел, находящихся в однородной идеальной жидкости. При этом рассматривались неоднородные тела, характеризуемые переменными плотностью и скоростью звука.
В первом разделе главы рассмотрена дифракция плоских волн, падающих произвольным образом на неоднородный эллиптический цилиндр.
Во внешней области движение среды описывается уравнением Гельмгольца
ДР1 + *?Р1=0, (9)
где р\ = р; + р,\ р,-, р, — акустические давления в падающей и рассеянной волнах; — волновое число внешней среды.
Внутри тела движение неоднородной среды- описывается уравнением (3). Полагаем, что плотность тела ро в невозмущенном состо-
янии и скорость звука с в неоднородном теле являются функциями радиальной координаты.
Искомые функции ря и р на границе раздела сред должны удовлетворять условиям сопряжения, выражающим равенство давлений и нормальных скоростей при переходе от однородной среды к неоднородной.
Уравнения (3) и (9) решаются методом разделения переменных. Функция р, ищется с учетом условий излучения на бесконечности в виде следующего ряда:
со
Л=е.-*,»соэфо £ АпНп(к1Гзтф0уп{-в-е°\ (10)
п = —со
где фо и во — полярный и азимутальный углы падения плоской волны.
Решение уравнения (3) запишем в виде
со
р=е*.*со.*о ВпНп{г)е^в-в"\ (11)
п=—оо
где функция Лп(г) является решением обыкновенного дифференциального уравнения
(1__ЛКп |
йг2 \Т ро(г) с£г ) (1г
к2(г) сое2 фо
йп = 0 (12)
и должна удовлетворять условию ограниченности; к(г) = и/с(г).
Указываются некоторые частные виды неоднородности, при которых уравнение (12) допускает построение точных решений. В общем случае при произвольных законах изменения плотности и скорости звука в неоднородном теле находятся приближенные решения уравнения (12).
Неизвестные коэффициенты Ап, Вп определяются из граничных условий. Представление акустических полей в виде (10) и (11) возможно, если поверхность эллиптического цилиндра удовлетворяет гипотезе Рэлея, то есть выполняется условие е < 1/\/2-
Отдельно рассматривается случай, когда квадрат эксцентриситета эллиптического сечения цилиндра е является малой величиной. Тогда задача дифракции плоской волны на эллиптическом цилиндре решается методом возмущений. При этом функции р, и р представляются в виде разложений по степеням малого параметра е.
Исследуется дальняя зона акустического поля. Проведены численные расчеты диаграмм направленности для неоднородных и однородных цилиндров различной конфигурации. Рассматриваются различные виды неоднородности. Выявлено существенное отличие характеристик рассеяния для однородных и неоднородных тел. Причем с возрастанием волнового размера цилиндра это отличие становится все более контрастным. С увеличением частоты падающей волны происходит углубление различий в диаграммах направленности для цилиндров различной конфигурации.
Во втором разделе главы рассматривается задача дифракции плоских звуковых волн на неоднородном сфероиде. Задача решается двумя методами: методом, использующим гипотезу Рэлея, и методом возмущений.
В третьем разделе изучается дифракция цилиндрических и сферических волн на неоднородном шаре. При этом полагается, что плотность шара и скорость звука в шаре являются функциями радиальной координаты г.
При рассмотрении дифракции цилиндрических волн считается, что падающая волна излучается бесконечно длинным линейным источником. Для решения задачи выбираются цилиндрическая система координат, связанная с источником, и сферическая система координат с началом в центре шара. Хотя падающее поле двумерно, давления р, и р удовлетворяют трехмерным уравнениям (9) и (3) соответственно. Эти функции ищутся в виде:
со п
^mnг)(cos0) COS m[lf - tpi)\
n=0 m—0 oo n
P= £ £ ВmnRn(r)P™{cos 9) cosm((fi —
n—0m~0
где hn — сферическая функция Ханкеля первого рода, а функция /¿„(г) является решением уравнения
агг \г ро{г) ar J dr гг
и удовлетворяет условию ограниченности при г = 0.
Коэффициенты Amn, Втп определяются из граничных условий. Причем для их нахождения используются интегральные соотноше-
ния между цилиндрическими и сферическими функциями:
7Г
j Jm(xsinO)Р™(cosв) 8тИЬ2Г-т;„(г)С(0)|
о
7Г
J J'n (х sin ^)Ptr(cos 0) sin2 = 2¿"-mi; (x)P™(0),
o
где jn — сферическая функция Бесселя.
В этом же разделе решена дифракционная задача в случае, когда падающая волна является сферической и излучается точечным источником.
Были проведены численные исследования диаграмм направленности рассеянного поля в дальней зоне и распределения акустического давления на поверхности шара. Анализ результатов выявил, что характер дифракции цилиндрической и сферической воли качественно отличается от характера дифракции плоской волны. Сравнение амплитуд рассеяния и акустического давления на поверхности шара для переменной и постоянной плотности материала тела показало, что учет градиента плотности, а также различные законы неоднородности существенно влияют на характеристики рассеяния.
В четвертом разделе третьей главы решена задача дифракции плоских звуковых волн на неоднородном шаре, движущемся прямолинейно с постоянной скоростью Vq.
Полагается, что скорость шара много меньше скорости звука в однородной среде ci. Тогда уравнения (9) и (3), записанные в подвижной системе координат, связанной с шаром, принимают вид:
APi - + k\Pl =0, (13)
Ар—— grad/>о grad р + к?р = 0, (14)
Ро
где М = — — число Маха. Причем уравнение (13) получено при
пренебрежении величинами порядка М2.
Преобразование pi = petklMz переводит уравнение (13) в уравнение Гельмгольца относительно функции р.
Функции pup ищутся в виде разложений по сферическим функциям. Коэффициенты разложений определяются из граничных условий на поверхности движущегося тела.
Для изучения эффекта вращения на рассеяние звука в пятом разделе третьей главы рассмотрена задача рассеяния плоской волны вращающимся сфероидом. Полагается, что однородный сфероид, заполненный акустической средой, вращается с постоянной угловой скоростью сг внутри неподвижной однородной идеальной жидкости.
Представим скорость частиц сфероида \2, давление р и плотность р в виде:
у2=и-ЬУг; р=ра+рг; р=р2(1 + *),
где и и уг — скорости частиц, обусловленные акустическим возмущением и вращением соответственно; ро — давление невозмущенной вращающейся среды; рг — акустическое давление во вращающейся среде; — плотность невозмущенной вращающейся среды; 5 —
I
сжатие. При этом ро = ■^р20'212, где I — расстояние вращающейся частицы сфероида от оси вращения.
Уравнения движения и непрерывности для вращающейся среды имеют вид:
где С2 — скорость звука внутри сфероида. При получении уравнений (15) и (16) отбрасывались члены второго порядка малости по величинам и, рг, в, а также величины порядка (<т/ш)2^2Л, где ¿2 = ш/с2 — волновое число среды внутри сфероида; Л — половина межфокусного расстояния сфероида.
Во внешней среде акустическое давление в рассеянной волне удовлетворяет уравнению Гельмгольца.
Для решения задачи вводится неподвижная сфероидальная система координат <р с началом в центре сфероида. Компоненты вектора и и давление рг представляются в виде разложений в ряды Фурье, так как являются периодическими функциями угла >р\
со
со
т=—оо оо
ТП — — 00
оо
С помощью уравнений (15), (16) величины г(,,т, выражаются через ргт, а для нахождения ргт получаем дифференциальное уравнение в частных производных
С 2 ,,<92Ргт . , 2 л\д21>гт , оедРгт
-----2 '„2
-(е-п2)
Л2/!2 т"
+
Ргт = О,
где К = — i(u + та).
Решение этого уравнения с учетом условия ограниченности находим в виде разложения по сфероидальным функциям:
со
Ргт — ^ 1 BmnSmn (Ят, V)Кт1(Ят,0,
п=0
где дт = h(u + m<r)/c2.
Давление ps с учетом условий излучения на бесконечности ищется в виде
СО Т1
n=0 m= —n
где q — k\h, k\ — волновое число внешней среды..
Коэффициенты Атп, Втп определяются из граничных условий, которые заключаются в непрерывности давления и нормального смещения частиц на поверхности сфероида £ = £о- Численные расчеты показали, что с увеличением скорости вращения сфероида эффект вращения сказывается на диаграммы направленности расеян-ного поля более сильно.
В четвертой главе рассматривается проблема дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах, граничащих с идеальными жидкостями.
Предложен метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на упругих толстостенных пластинах и оболочках. Согласно методу акустические поля описываются аналитически, а для определения поля смещений в упругом теле строится краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая сводится к решению задач с начальными условиями.
В первом разделе главы изучено прохождение плоской звуковой волны через неоднородный по толщине плоский упругий слой, материал которого обладает анизотропией общего вида.
Рассматривается слой толщиной 2/1, модули упругости и плотность материала которого описываются непрерывными функциями координаты жз. При этом система прямоугольных координат £ 1, .г2! -Ез выбрана так, что ось Х\ лежит в средней плоскости слоя, а ось хз направлена по нормали к поверхности слоя. Из полупространства хз < —к на слой падает плоская монохроматическая волна, волновой вектор которой к] расположен в плоскости г^Охз.
Потенциалы скоростей отраженной от слоя Ф] и прошедшей через слой Ф2 волн будем искать в виде:
Фх = А\ ехр{г[&ц£1 - ¿13(23 + /г)]};
Ф2 = Л2ехр{|[Л21г1 +Ы«з-Л)]}, 1 '
где kij — проекции волнового вектора к,- на ось х^.
Распространение упругих волн в неоднородном анизотропном слое описывается уравнениями движения упругой среды (4).
Так как возбуждающее поле не зависит от координаты х2, а неоднородность материала слоя проявляется лишь по оси £3, то от координаты г:2 не должны зависеть ни отраженное, ни прошедшее в полупространство хз > И, ни возбужденное в упругом слое поля. Тогда с учетом закона Снеллиуса компоненты вектора смещения представляются в виде
щ - и{{х3) ехр(гкцх1), г = 1,2,3. (18)
Для определения неизвестных функций (/,(хз) из уравнений движения (4) с привлечением обобщенного закона Гука (5) получаем систему однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
Ли" + ВЦ' + Си = 0, (19)
где и = ({/1,1/2, %)Т) а элементы матриц А, В, С являются функциями параметров материала и частоты. Причем в элементы матриц В и С входят первые производные по хз модулей упругости.
Граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на обеих поверхностях плоского слоя, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления.
Из граничных условий получаем выражения для коэффициентов отражения А\ и преломления Л2 через функцию {/3 , вычисленную на
границах слоя, и шесть условий для нахождения частного решения системы (19):
(Ли'+£и)г,=-Л (20)
+ =0. (21)
Таким образом, для определения поля смещений необходимо решить краевую задачу (19)-(21) для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. При этом условиями существования и единственности решения краевой задачи являются непрерывность плотности и модулей упругости по толщине слоя, непрерывность первых производных модулей упругости, а также отличие от нуля определителя матрицы А.
Показано, что наиболее общим способом решения полученной краевой задачи является построение фундаментальной системы решений системы (19) на интервале (—/г, /г), состоящей из шести функций. При этом в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать любые шесть решений задач Коши для системы (19) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми.
Однако однородность краевого условия (21) позволяет сократить вычисления вдвое. Действительно, в качестве базисных решений системы (19) можно выбрать три линейно независимых решения иь и2, Чз, удовлетворяющих граничному условию (21). Тогда в силу однородности как самой системы дифференциальных уравнений, так и граничного условия (21), любая линейная комбинация и = С^ТЛ] + Сги2 + СзЧз является также решением системы (19), удовлетворяющим условию (21). Три неизвестных весовых множителя определяются из краевых условий (20).
Базисные решения Т-Г,- строятся путем решения трех задач Коши с начальной точкой хз = к. В качестве начальных значений выбираются следующие:
и,|Гз=Л = (¿ц-ЛЛ-Г; и;-и=л = -А^РЩ^ь, (22)
где = 1, 2,3 — номер задачи Коши.
Таким образом, в этом случае для нахождения решения краевой задачи требуется решить лишь три задачи Коши (19), (22) и систему трех линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С'у
Решение задач Коши можно провести одним из численных методов.
После нахождения решения краевой задачи поле смещений в упругом слое описывается согласно (18), а отраженное от слоя и прошедшее через слой звуковые поля определяются формулами (17).
На примере рассматриваемой задачи о прохождении звука через плоский слой показана возможность построения приближенного аналитического решения краевой задачи.
Предполагается, что модули упругости и плотность материала слоя имеют вид многочленов (или аппроксимированы многочленами). В этом случае при выполнении условия с!е1Л ф 0 решения уравнений (19) являются регулярными функциями и могут быть представлены сходящимися степенными рядами.
Получены рекуррентные соотношения для нахождения всех коэффициентов разложений за исключением первых двух. Последние определяются с помощью начальных условий для каждой из трех задач Коши.
Были проведены расчеты коэффициента прозрачности по интенсивности Т = \А\2 для трансверсально-изотропных слоев. Рассматривались материалы с двумя типами анизотропии и тремя видами неоднородности. Для оценки влияния неоднородности и анизотропии слоя на прохождение звука расчеты выполнялись для однородных и изотропных слоев.
Рассчитывались зависимости коэффициента прозрачности от угла падения плоской волны. Сравнение угловых зависимостей показывает заметное влияние анизотропии и неоднородности на характер прохождения звука.
Обнаружено, что анизотропия вызывает смещение максимумов угловых характеристик (по отношению к соответствующим максимумам в изотропном материале), обусловленных свободными (нормальными) волнами в упругом слое.
Неоднородность слоя приводит как к сдвигу максимумов коэффициента Т, так и к изменению его уровня. Выявлены характерные черты влияния отдельных видов неоднородности и типов анизотропии.
Были рассчитаны частотные характеристики для коэффициента прозрачности при нормальном падении волны, то есть исследовались зависимости коэффициента прозрачности от волнового размера пластины. В области низких частот на прохождение звука практически не сказываются ни анизотропия, ни неоднородность. Для однородных пластин как изотропных, так и трансверсально-изотропных наблюдается строгая периодичность резонансов. Неоднородность вы-
зывает смещение резонансных частот, а также приводит к нарушению их периодичности. Кроме того, для некоторых видов неоднородности обнаруживается эффект снижения амплитуды резонансов.
Анализ численных результатов позволяет сделать вывод о том, что частотные характеристики могут быть использованы для идентификации неоднородности и анизотропии материала слоя.
Во втором разделе четвертой главы исследовано рассеяние плоской волны полым радиально-неоднородным цилиндром, материал которого обладает анизотропией общего вида.
Рассматривается бесконечный круговой цилиндр, модули упругости и плотность материала которого описываются непрерывными функциями цилиндрической координаты г. Полагается, что плоская волна наклонно падает на упругий цилиндр.
Задача решается методом, изложенным выше.
Потенциалы скоростей отраженной от цилиндра и возбужденной в его полости звуковых волн ищутся в виде:
со
£ АтНт(к1гг)е*т&-ч">)-, т=-°° (23)
т=—со
где к\г — проекция волнового вектора падающей волны на ось г; к2г = \А'| — А'2г; к2 — волновое число среды, заполняющей полость цилиндра.
Поскольку неоднородность материала цилиндра проявляется лишь в радиальном направлении, то зависимость составляющих вектора смещения от координаты г согласно закону Снеллиуса имеет вид ехр(¿¿1гг). Поэтому компоненты иг, и<р и иг представляются в виде:
иг = и\(г,<р)е\у{1ки), и9 = 1/2{г, <р) ехр(гк1г), иг = 11ф, ф) ехр(г'А;ь)
Наряду с компонентами вектора смещения вводятся дополнительные неизвестные — компоненты тензора напряжений суГ, аГ1р и сггг, которые записываются в виде:
(гrj = <ту ехр(гк1г2).
Вектор смещения в упругом слое является периодической функцией полярной координаты <р. Поэтому множители 1/] и а^ (] = 1,2, 3) представляются следующими рядами Фурье:
оо т= — со
со
а3 ~ <7jm(r) exp(imp).
т = — оо
Подставляя последние выражения в уравнения движения и соотношения Гука, учитывая ортогональность функций ехр(гт^), получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций Ujm, (Tjm для каждого т = 0, ±1, ±2,...:
и' = Ли + ВР, P' = CU+DP, (24)
где U = (Ulm, U2m, U3m)T, Р = (o-lm, <T2m, <?3m)T ■
Из граничных условий на поверхностях упругого цилиндра получены выражения для неизвестных коэффициентов Ат и Вт через компоненту U\m вектора U на границах оболочки и шесть краевых условий для решения системы (24):
[i?U + P]r=rj = G, [FU + Р]г=гз = 0. (25)
Коэффициенты Ат, Вт могут быть вычислены лишь после определения значений функции U\m на поверхностях слоя.
Краевая задача (24)-(25) сводится к задачам с начальными условиями точно также, как и в случае плоского слоя.
Определив функции Ui т И ВЫЧИСЛИВ коэффициенты Ат п Вт, получаем возможность анализировать волновые поля вне и внутри оболочки с помощью разложений (23).
На основе полученного решения рассмотрен случай рассеяния плоской волны неоднородным трансверсально- изотропным упругим цилиндром.
Для анализа рассеяния звука неоднородными анизотропными телами было проведено обобщение резонансной теории рассеяния звука, разработанной для однородных изотропных упругих тел. Получены соотношения, позволяющие проводить идентификацию резо-нансов в отраженном сигнале, связанных с возбуждением в оболочке упругих поверхностных волн.
Были проведены расчеты характеристик рассеяния звука для неоднородного трансверсально-изотропного цилиндрического слоя при нормальном падении на него плоской волны.
Представлены расчеты круговых диаграмм направленности рассеянного поля в дальней зоне при различных значениях волнового размера цилиндра, а также частотные зависимости амплитуды рассеяния в обратном направлении.
Анализ углового распределения амплитуды рассеяния обнаруживает влияние неоднородности и анизотропии. Причем увеличение волнового размера тела приводит к углублению различий в диаграммах направленности для цилиндров из материалов с различными типами анизотропии и видами неоднородности.
Подробно изучено влияние анизотропии и неоднородности на частотные характеристики обратного рассеяния. Выявлен ряд характерных черт этого влияния (сдвиги резонансов, появление и исчезновение отдельных резонансных пиков) для цилиндров из материалов с различными свойствами.
Таким образом, частотные характеристики могут быть использованы для идентификации неоднородности и анизотропии материала упругих толстостенных цилиндрических оболочек.
В этом же разделе показана возможность применения предложенного метода к решению задач дифракции звука на анизотропных неоднородных цилиндрических телах в случае, когда падающая волна является цилиндрической. С использованием теоремы сложения для цилиндрических функций Бесселя найдено решение задачи дифракции звуковых волн, излучаемых произвольным цилиндрическим источником, на трансверсалыю-изотропной цилиндрической оболочке. Проведены расчеты диаграмм направленности рассеянного поля для различных волновых размеров тела и при различном удалении источника от рассеивателя. Показано, что при приближении источника к цилиндрической оболочке происходит существенное изменение формы диаграммы по отношению к диаграмме рассеяния плоской волны.
В третьем разделе четвертой главы рассматривается рассеяние плоской звуковой волны неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем. Предполагается, что содержащая и находящаяся в полости жидкости являются различными однородными идеальными жидкостями, а модули упругости и плотность материала сферического слоя являются непрерывными функциями радиальной координаты г сферической системы координат г, в, (р.
Ввиду осевой симметрии задачи и свойств упругого слоя падающее и возбуждаемые волновые поля не будут зависеть от координаты <р.
Потенциалы скоростей рассеянного и возбужденного в полости
шара звуковых полей ищутся в виде:
со
*1 =£/1пЛ„(А1Г)Л.(сов 6);
л=0
оо
92=£ВПЛ(*2Г)РП(СО3 0).
п=0
Для разделения переменных в уравнениях движения упругого слоя в сферических кординатах вводится вспомогательная функция дио
и2 такая, что ив = -тгтг-о 9
Компоненты вектора смещения в упругом слое представляются следующим образом:
со
«ГМ)= Е и1п(г)Рп(со5ву,
п=О
со
и2(М) = £ и2п(г)Рп(сов в).
п=0
Для определения неизвестных функций [¡\п('-), из уравне-
ний движения получена система линейных однородных уравнений второго порядка вида (19), в которой и = (II\п, ^2п)Т■
Из граничных условий на поверхностях оболочки определяются выражения для коэффициентов Ап, Вп и четыре краевые условия:
(Пи'+Еи)г=г1 =С; (£>и' + ^и)г=г2 = 0.
Полученная краевая задача сводится к задачам с начальными условиями аналогично тому, как это сделано при решении задачи о прохождении звука через плоский слой.
Были проведены расчеты характеристик рассеяния плоской волны сферическим слоем для материалов с различными типами анизотропии и видами неоднородности.
Анализ диаграмм направленности рассеянного поля и частотных характеристик показывает существенное и взаимосвязанное влияние анизотропии и неоднородности на характер рассеяния звука. Установлено, что качественно это воздействие в основном аналогично тому, которое было отмечено в случае цилиндрического слоя, хотя и имеет ряд характерных особенностей. •
Пятая глава посвящена исследованию влияния вязкости окружающей жидкости на дифракцию звука'неоднородными анизотропными упругими телами.
В первом разделе главы рассмотрено отражение и прохождение плоской звуковой волны через плоский неоднородный слой, материал которого обладает анизотропией общего вида, а граничащие с упругим слоем жидкости являются вязкими. Постановка задачи проводится аналогично постановке, приведенной в первом разделе четвертой главы. Однако для описания полей вне упругого слоя необходимо найти решения скалярного и векторного уравнений (1).
Заметим, что несмотря на двумерный характер падающей волны (ее волновой вектор расположен в плоскости Ж1ОГ3) из-за анизотропии слоя отраженное и прошедшее через слой волновые поля являются пространственными.
При определении поля смещений в упругом слое наряду с неизвестными величинами t«i, и?, и3 в качестве дополнительных вводятся неизвестные cr13, стэз, <733. Эти величины представляются в виде:
Uj = i/j(x3)exp(ifcna:i); crj3 = Oj{x3) exp(ikuxi), j = 1,2,3.
Для определения функций Uj(x3) и crj(x3) получаем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (24), где U = (i/b t/2, U3)T; Р = (""ь <?з)т- При этом коэффициенты системы не содержат производных модулей упругости, что позволяет ограничиться требованием непрерывности модулей упругости и плотности материала слоя.
Потенциалы скоростей продольных волн, а также проекции на ось Х2 векторных потенциалов скоростей вязких волн и векторов скорости в отраженном и преломленном полях ищутся в виде:
Ф1 = А\ ехр[гАцХ1 - гк13(х3 + А)];
Ф12 = A^expliknxi - ik^(x3 + h)];
"12 = A3 exp[iAnXi - ik\^(x3 + h)]; Ф2 = Вi exp[i&n£i + ik23(x3 — A)];
Ф22 = B2exp[iknxi + - /г)];
V22 = Вз ехр[г'А-цл:1 -f iky (x3 - h)].
Коэффициенты в выражениях (26) находятся из граничных условий, которые заключаются в непрерывности скоростей и напряжений на обеих поверхностях упругого слоя. Из граничных условий
(26)
выводятся также шесть условий для нахождения частного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решение краевой задачи проводится, как и выше, путем сведения ее к задачам Коши.
Для оценки влияния вязкости окружающих слой жидкостей на отражение и прохождение звука через слой были проведены расчеты зависимости коэффициента поглощения от угла падения плоской волны. Коэффициент поглощения характеризует потерю энергии падающей звуковой волны вследствие вязкости жидкостей. Показано, что наибольшее влияние анизотропия и неоднородность упругого слоя оказывают на коэффициент поглощения в области критического угла, где достигается максимум диссипации звуковой энергии.
Во втором разделе главы представлено решение задачи об отражении и прохождении плоской звуковой волны через неоднородный анизотропный слой с произвольной кривизной поверхности. Рассматривается тонкий криволинейный слой толщиной 2/г с регулярной поверхностью, модули упругости и плотность материала которого являются непрерывными функциями его толщины.
Приближенное решение задачи получено с помощью метода локального поля. Предполагается, что акустическое поле в окрестности произвольной точки, лежащей на поверхности слоя, имеет локальный характер и зависит только от поля падающей волны и геометрической формы участка поверхности слоя вблизи этой точки. Для того, чтобы принцип локального поля был справедлив, необходимо выполнение определенных соотношений между длиной звуковой волны, кривизной поверхности слоя, толщинами упругого и вязких пограничных слоев. Решения уравнений движения вязких жидкостей и упругого слоя ищутся в малой области около произвольной точки М, находящейся на серединной поверхности слоя. Эта область имеет высоту <$ = 2И + /З^1 + (З^1 и типичный боковой размер т ~ 5, где /б^1, /З^1 — толщины вязких пограничных слоев.
Полагается, что выполняются условия I! > (! и Л » где Я — минимальный радиус кривизны серединной поверхности упругого слоя; А^Лг — длины звуковых волн в жидкостях, граничащих с упругим слоем.
Решение задачи проводится в локальной криволинейной ортогональной системе координат <71, <72, ?з- При этом предполагается, что характер возбуждения и геометрия слоя таковы, что движение в вяз-
ких жидкостях и упругом слое не зависит от координаты 92- Такая ситуация возникает, например, при нормальном падении плоской волны на любую цилиндрическую оболочку.
Рассматриваемая задача решается по схеме задачи для плоского слоя. Причем в уравнениях для отыскания потенциалов продольных звуковых волн, проекций на ось 92 векторных потенциалов скоростей вязких волн и векторов скоростей частиц вязких жидкостей, а также компонент вектора смещения иЧ1, и92, иЧз и тензора напряжений <Тд,дз, с?з7з отбрасываются величины порядка (6/И)2.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
В диссертационной работе получила развитие теория распространения и дифракции звуковых волн. При проведении теоретических исследований дифракции монохроматических звуковых волн на деформируемых телах получен ряд новых : результатов,
краткое содержание которых излагается ниже.
1. Исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида.
На. основе полученных аналитических решений задач дифракции плоских волн найдены выражения, позволяющие количественно оценить величину энергии звуковых волн, поглощенной вследствие вязкости и рассеянной на эллиптическом цилиндре и сфероиде как на препятствиях. Исследована зависимость диссипации акустической энергии от размеров рассеивателей при различных значениях частоты падающей звуковой волны.
2. Исследовано взаимодействие звуковых волн с упругими телами. Численные исследования частотных характеристик амплитуды рассеяния показали, что положения резонансов на характеристиках строго индивидуальны для рассеивателей определенной конфигурации и данного материала. Это позволяет использовать полученные теоретические результаты при решении обратной задачи рассеяния.
3. Найдено решение задачи дифракции плоской волны на сфероиде со смешанными граничными условиями. Проведенные расчеты диаграмм направленности рассе'нного поля в дальней зоне показали, что рассеянное поле весьма чувствительно к соотношению размеров частей поверхности сфероида, обладающих различными акустическими свойствами, и величине волнового размера тела.
4. Найдены решения задач дифракции плоских волн на эллиптическом цилиндре и сфероиде, материал которых имеет переменную плотность и переменную скорость звука.
Численные расчеты показали, что неоднородность материала тел существенно сказывается на характеристиках рассеяния звуковых волн.
5. Для выяснения влияния расходимости падающей волны на дифракцию звука решены задачи дифракции цилиндрических и сферических волн на. неоднородном шаре. Сравнение полученных результатов с характеристиками рассеяния плоской волны показало, что характер дифракции цилиндрических и сферических волн заметно отличается от характера дифракции плоской волны. Это отличие становится более выраженным при приближении источника к рас-сеивателю.
6. Получено решение задачи дифракции звука на неоднородном шаре, движущемся прямолинейно с постоянной скоростью, много меньшей скорости звука. Эффект вращения тела рассмотрен при решении задачи рассеяния звука однородным сфероидом.
7. Изучено влияние неоднородности и анизотропии упругих тел на рассеяние звука. Предложен метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на анизотропных неоднородных толстостенных пластинах и оболочках. С использованием этого метода исследована проблема дифракции звука на анизотропных упругих телах, когда неоднородность свойств материала проявляется в направлении, нормальном к поверхности тела.
Исследовано отражение и прохождение плоской звуковой волны через неоднородный анизотропный плоский слой, граничащий с идеальными жидкостями. Рассмотрено рассеяние плоской волны радиально-неоднородными анизотропными полыми цилиндром и шаром, когда жидкости, окружающие тела и находящиеся в их полостях, являются идеальными.
На примере плоского слоя показана возможность построения приближенного аналитического решения для произвольных законов неоднородности и анизотропии.
Получено решение задачи дифракции цилиндрической волны на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке.
Проведено обобщение резонансной теории рассеяния на случай неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрических и сферических слоев. Получены соотношения для определения положения
и идентификации каждого резонанса в отраженном сигнале.
8. Анализ результатов численных расчетов выявил значительное и взаимосвязанное влияние различных типов анизотропии и видов неоднородности на рассеяние звука упругими телами. Обнаружен ряд характерных черт этого влияния, которые являются следствием особенностей рассмотренных материалов. Поэтому характеристики рассеяния могут быть использованы для идентификации анизотропии и неоднородности материала упругих толстостенных пластин и оболочек.
9. Рассмотрено отражение и прохождение плоской звуковой волны через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями. Проведены расчеты и анализ потерь акустической энергии вследствие вязкости окружающих упругий слой жидкостей. Исследовано взаимодействие упругих и вязких волн. Показано, что потери энергии заметно зависят от характера анизотропии и неоднородности. Выявлено, что чем сильнее отличаются волновые сопротивления жидкости и твердого тела, тем меньшее влияние оказывают неоднородность и анизотропия упругого тела на поглощение акустической энергии в вязкой жидкости.
10. С использованием метода локального поля получено решение задачи об отражении и прохождении плоской волны через тонкий неоднородный анизотропный слой с произвольной кривизной поверхности, граничащий с вязкими жидкостями.
Основные результаты и защищаемые положения отражены в следующих публикациях:
1. Цой П.И., Толоконников Л.А. Рассеяние коротких звуковых волн эллипсоидом вращения в вязкой среде // Некоторые вопросы дифференц. ур-ний в решении прикл. задач.— Тула: Изд-во ТУлПИ, 1980. С.112-117.
1. Цой П.И., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны сфероидом, взвешенным в вязкой жидкости // Некоторые вопросы диффреренц. уравнений в решении прикл. задач.— Тула: Изд-во ТулПИ, 1984. С.67-72.
3. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном эллиптическом цилиндре // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Межвуз.сб. —Тула: Изд-во ТПИ, 1985. С.116-121.
4. Толоконников Л.А., Устинова Е.А. Дифракция цилиндрических и сферических волн на неоднородной сфере // Прикладная ме-
ханика. —1987. Т.23. N 7. С.87-91.
5. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на сфероиде со смешанными граничными условиями // Акустический журнал, 1988. Т.34. Вып.5. С.925-928.
6. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. Акустические течения около сфероида // Журнал прикладной механики и технической физики,1988. N 6. С.99-102.
7. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Исследование дифракции звуковых волн на сфероиде в вязкой среде // Математическое моделирование в физико-технических задачах. Труды Всесоюзной конф., посвященной Дню советской науки. - Т^ла: Приокское книжн. изд-во, 1989. С.55-58.
8. Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звука вращающимся сфероидом // Акустический журнал, 1989. Т.35. Вып.5. С.895-899.
9. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Анализ акустических полей, рассеянных неоднородными сферическими оболочками / Тезисы докл. IV Всесоюзн. конф. "Перспективы и опыт внедрения статистич. методов". —Тула, 1990. С.68-69.
10. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журнал, 1990. Т.36. Вып.4. С.740-744.
11. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акустический журнал, 1990. Т.36. Вып.5. С.927-930.
12. Толоконников Л.А., С.А.Скобельцын. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде при наклонном падении // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Межвуз. сб. — Тула: Изд-во ТулПИ, 1991. С.113-119.
13. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал, 1995. Т.41. Вып.1. С.134-138.
14. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн в вязкой жидкости неоднородной анизотропной оболочкой с произвольной кривизной поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика., 1995. Т.1. Вып.2. Механика. С.135-143.
15. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на движущемся неоднородном шаре // Известия Тульск. гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика.,1995. Т.1. Вып.2. Механика.
С.151-157.
16. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т.41. Вып.6. С.917-923.
17. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Межвуз. сб. — Тула: Изд-во ТулГТУ, 1995. С.82-86.
18. Толоконников Л.А., Шапошник Л.М. Дифракция звуковых волн на неоднородном сфероиде и неоднородном эллиптическом цилиндре // Известия Тульск. гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика., 1996. Т.2. Вып.2. Механика. С.141-151.
19. Толоконников Л.А. Отражение и преломление звуковых волн анизотропным неоднородным слоем // Тезисы докл. Международного симпозиума "Механика и технология в процессах формоизменения". — Орел, 1997. С.Зб.
20. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Известия Тульского гос. ун-та. Серия Математика.Механика. Информатика.,1997. Т.З. Вып.1. Математика.Механика. С.152-157.
21. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и газодинамики.—Тула: Изд-во ТулГУ, 1997. С. 167172.
22. Толоконников Л.А.Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном эллипсоиде вращения с малым эксцентриситетом // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи.Межвуз. сб.— Тула: Изд-во ТулГУ, 1997. С.90-96.
23. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника.— 1998.Ш-И4.
24. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны сфероидом со смешанными граничными условиями // Тезисы докл. Международной конф. "Теория приближений и гармонический анализ".—Тула, 1998. С.246.
25. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-иэотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника.— 1998. Ш-М.
Считаю своим долгом выразить глубокую благодарность заслуженному деятелю науки и техники России, доктору физико-математических наук, профессору Толоконникову Леониду Александровичу и доктору физико-математических наук, профессору Маркину Алексею Александровичу за конструктивное обсуждение результатов исследований и содействие при выполнении данной работы.
Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 97-0101045).
/Л-
у
Тульский государственный университет
На правах рукописи
Толоконников Лев Алексеевич
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ волн НА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛАХ
Специальность 01.02.04. — механика деформируемого
твердого тела
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Тула 1998
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
Глава 1. О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА УПРУГИХ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛАХ ^ 1.1. Обзор литературы по проблеме дифракции звуковых волн на упругих однородных и неоднородных телах
15
1.2. Уравнения волновых полей в жидкости и твердом теле 24
Глава 2. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА УПРУГИХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛАХ 33
2.1. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде ^ 34
2.2. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде в вязкой среде 50
2.2.1. Решение задачи методом возмущений 54
2.2.2. Решение задачи с использованием гипотезы Рэлея gg
2.3. Дифракция звуковых волн на сфероиде со смешанными граничными условиями 81
Глава 3. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКА НА НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛАХ 93
3.1. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном эллиптическом цилиндре 94
3.1.1. Решение задачи с использованием цилиндрических функций
3.1.2. Дифракция звука на эллиптическом цилиндре с малым эксцентриситетом сечения 100
3.2. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном сфероиде Ю9
3.2.1. Решение задачи с использованием сферических функций III
3.2.2. Дифракция звука на сфероиде с малым эксцентриситетом
ИЗ
3.3. Дифракция цилиндрических и сферических волн на неоднородном шаре
3.4. Дифракция звуковых волн на движущемся неоднородном шаре
3.5. Рассеяние звука вращающимся сфероидом 132
1Г?
125
Глава 4. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТЕЛАХ 141
4.1. Прохождение звука через неоднородный анизотропный плоский слой 141
4.1.1. Отражение и преломление плоской волны неоднородным анизотропным слоем 14<
4.1.2. Приближенное аналитическое решение задачи о прохождении плоской волны через неоднородный анизотропный слой 15С
4.1.3. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный слой 15£
4.2. Рассеяние звуковых волн радиально-слоистым анизотропным полым цилиндром 18с
4.2.1. Рассеяние плоской наклонно падающей волны слоисто-неоднородным анизотропным цилиндрическим слоем 18с
4.2.2. Рассеяние плоской волны неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой
4.2.3. Использование резонансной теории для анализа рассеяния звука трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем
4.2.4. Численное исследование рассеяния плоской волны неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой
4.2.5. Дифракция цилиндрических волн на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре 24(
4.3. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем 24е. 4.3.1. Рассеяние плоской волны радиально-неоднородным анизотропным сферическим слоем 24^
№
19?
4.3.2. Численное исследование рассеяния плоской волны неоднородным трансверсально-изотропным полым шаром
Глава 5. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ ОКРУЖАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ НА РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМИ АНИЗОТРОПНЫМИ УПРУГИМИ ТЕЛАМИ 292
5.1. Отражение и прохождение звука через неоднородный анизотропный плоский слой, граничащий с вязкими
292
жидкостями ^
5.2. Отражение и прохождение звуковых волн через неоднородный анизотропный слой с произвольной кривизной
ЗОЯ
поверхности
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 312
ЛИТЕРАТУРА 315
ВВЕДЕНИЕ
Проблема дифракции звуковых волн является одной из классических, однако она постоянно привлекает внимание исследователей. С прикладной точки зрения это объясняется тем, что развитие приложений теории волн поставило перед теорией дифракции ряд новых актуальных проблем. С теоретической точки зрения непрерывный интерес к теории дифракции обусловлен тем, что не существует общего метода решения дифракционных задач для тел произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала рассеивателя и окружающей среды и при различной геометрии поля падающей волны.
Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих реально существующие дифракционные процессы, заставляет искать новые пути теоретического подхода, разрабатывать новые методы исследования.
Большой вклад в развитие математической теории распространения и дифракции волн и теории звука внесли отечественные ученые В.М. Бабич, Д.И. Блохинцев, В.А. Боровиков, Л.М. Брехов-ских, Н.В. Зволинский, М.Ш. Исраилов, Л.М. Лямшев, Л.А. Молотков, Г.И. Петрашень, В.Б. Поручиков, С.А. Рыбак, В.И. Смирнов, С.Л. Соболев, В.В. Тютекин, В.А. Фок, Л.А. Чернов, Е.Л. Шендеров и др.
Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с различными телами. В настоящее время известны решения задач дифракции звуковых волн на телах различной геометрической формы. Так, например, в многочисленных работах проведены детальные исследования для тел, имеющих плоские границы, а также для круговых цилиндров и сфер. При этом тела рассматривались не только как идеальные, но и как упругие. Они стали выполнять роль эталонных тел при исследовании дифракции звука на телах более сложной формы.
Развитие теории дифракции происходит по пути построения ре-
шений задач для тел все более сложной формы с учетом реальных свойств материалов тел и среды, в которой они находятся.
Значительный интерес для теории и практики представляют исследования дифракции звука на телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и эллипсоида вращения ( сфероида ). Многие объекты могут быть достаточно хорошо аппроксимированы телами указанной формы. Эллиптический цилиндр и сфероид относятся к типам препятствий, представляющих самостоятельный интерес, а также служащих полезными ступенями в последовательном изучении дифракции волн на телах более сложной конфигурации. Геометрией этих тел охватывается большое разнообразие форм. Например, сфероид (вытянутый и сплюснутый) в предельных случаях превращается в сферу, диск, иглообразное тело.
Дифракция звука на упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах изучалась в ряде работ (Клещев A.A., Graunard G., Flax L., Hackman R.H., Pillay T.A.K., Varadan V.K., Varadan V.V., Werby M.F. и др.). Однако при этом полагалось, что тела помещены в идеальную жидкость. Такой подход сужает область практического применения полученных результатов, так как в ряде случаев реальные свойства жидкости нельзя не принимать во внимание. Например, большое влияние вязкость среды оказывает на распространение звуковых волн в микронеоднородных средах (суспензиях, эмульсиях), в волокнистых и пористых материалах. В этих и ряде других случаев необходим учет поглощения звука. Таким образом, актуальным является изучение взаимодействия упругих волн в телах сложной формы с волнами в вязкой жидкости.
Большинство исследований в теории звука посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных средах. Но характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Отвлечение от имеющейся почти всегда неоднородности тел в большинстве решаемых задач оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако современные техника и технологии требуют уточненного подхода к рассмотрению дифракции звуковых волн с учетом сложных внутренних процессов,происходящих в неоднородных средах. Например, знание законов распространения
звуковых волн в неоднородных средах необходимо специалистам, разрабатывающим гидроакустическую аппаратуру. Вот почему к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес, относится проблема дифракции звуковых волн на неоднородных телах.
Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных телах, заполненных акустической средой, достаточно узок. Исследования касались неоднородных тел, имеющих плоско-параллельные границы, а также для круговых цилиндров и сфер (Бреховских JI.M., Завадский В.Ю.,Молотков JI.A., Селезов И.Т., Яковлев В.В., Bur-man R., Epstein Р., Forsterling К., Heller G.S. и др.). Но даже в этих наиболее простых случаях точные решения получены только для некоторых частных законов изменения свойств среды. Построение решений для произвольных законов изменения свойств неоднородной среды связано с большими трудностями. Следует отметить, что многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их неоднородности не изучены. Например, в известных работах по дифракции волн на неоднородных телах падающее акустическое поле полагалось плоским, что является идеализацией реально существующих волн. Практически всегда любая звуковая волна имеет определенную расходимость. Поэтому важно оценить как влияет расходимость волны на рассеяние звука. Особый интерес представляют исследования дифракции звука на движущихся объектах. Такие исследования для неоднородных ограниченных тел не проводились.
Заметим, что результаты исследований дифракции волн на жидких неоднородных телах оказываются полезными и для исследования рассеяния звука твердыми телами, материалы которых по акустическим характеристикам сходны с жидкостями. К таким материалам относятся, например, резина, некоторые типы мягких пластмасс. В них волны сдвига практически не распространяются.
В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, обычно принимаемыми за однородные и изотропные, используются также неоднородные и анизотропные материалы, у которых наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений.
Практическое значение изучения процессов дифракции волн на телах со сложной реологией особенно возросло в последнее время в связи с применением ультразвука в дефектоскопии и медицинской диагностике, в связи с проектированием конструкций для защиты от шума. Кроме того, актуальности указанной проблемы способствуют современные задачи гидроакустики, геофизики, сейсмологии, судовой акустики и др. Например, при изучении акустических характеристик судовых конструкций приходится вычислять параметры звуковых полей, связанных с звукоизлучением сложных конструкций, дифракцией звука на корпусе судна и других препятствиях, с прохождением волн через упругие пластины и оболочки. Поэтому важной проблемой является создание эффективных методов расчета акустических полей, рассеянных неоднородными и анизотропными упругими телами.
Неоднородность и анизотропия материала упругих тел могут возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также в процессе эксплуатации конструкций. Заданного рода неоднородность и анизотропия, обеспечивающие определенные характеристики, программируются при разработке современных материалов. Наконец, всречаемся с естественной неоднородностью и анизотропией грунтов и горных пород.
Дифракция звука на неоднородных и анизотропных упругих телах является малоисследованной проблемой. Известно небольшое число работ по изучению дифракции звуковых волн на неоднородных изотропных и на однородных анизотропных упругих телах, находящихся в идеальной жидкости (Коваленко Г.П., Приходько В.Ю., Тютекин В.В., Лонкевич М.П., Соляник Ф.И., Шендеров Е.Л., БсИоепЬе^ М. и др.) До сих пор не рассматривалось рассеяние звука на неоднородных или на анизотропных телах, находящихся в вязкой жидкости. Поэтому важной проблемой является изучение совместного влияния анизотропии и неоднородности упругих тел, помещенных как в идеальную, так и в вязкую жидкости, на дифракционные процессы.
Целью работы является исследование дифракции гармонических
звуковых волн на деформируемых телах с учетом неоднородности и анизотропии материала тел и вязкости среды, в которой эти тела находятся.
Научная новизна работы заключается в следующем:
— исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние гармонических звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида; рассмотрено взаимодействие упругих волн в рассеивателях с волнами в вязкой жидкости;
— изучена дифракция звука на неоднородных телах, находящихся в однородной жидкости; выявлено существенное влияние неоднородности на рассеяние плоских, цилиндрических и сферических волн на телах различной геометрической формы; рассмотрена дифракция звуковых волн на движущихся объектах;
— предложен метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на анизотропных неоднородных упругих телах, с помощью которого исследовано влияние неоднородности и анизотропии на рассеяние звука толстостенными пластинами и оболочками, граничащими как с идеальными, так и вязкими жидкостями; показано, что характеристики рассеянного поля могут быть использованы для идентификации неоднородности и анизотропии материала тела.
Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных и предельных случаев.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы для получения информации, необходимой в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях; при изучении распространения звука в микронеоднородных средах. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обрат-
ных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.
Диссертационная работа связана с планом основных научно-исследовательских работ Тульского государственного университета. Работа выполнялась в рамках госбюджетных работ "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (N гос. per. 01860084679 и N гос. per. 01910046438), хоздоговорных работ "Разработка математических моделей гидродинамических процессов" (N гос. per. 01870031086) и "Разработка математического и программного обеспечения идентификации характеристик динамического взаимодействия элементов сложных динамических систем" (N гос. per. 01890036767).
Некоторые теоретические результаты, полученные в диссертации, использованы для построения математических моделей и раз, работки соответствующего программного обеспечения, которые внедрены в НПО "Сплав".
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:
— результаты исследования влияния вязкости жидкости на рассеяние звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида;
— аналитические и численные исследования дифракции звука на неоднородных телах различной конфигурации (шар, эллиптический цилиндр, сфероид) с учетом различной геометрии поля падающей волны (плоские, сферические, цилиндрические волны) и с учетом движения тела;
— метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах и полученные с его помощью решения дифракционных задач на толстостенных пластинах и оболочках;
— результаты численных исследований влияния анизотропии и неоднородности тел на рассеяние звука упругими телами, позволяющие идентифицировать анизотропию и неоднородность материалов.
Основные результаты диссертационной работы доложены на семинаре "Проблемы чистой и прикладной математики" (МИАН СССР, ТулПИ. Тула, 1987); семинаре по теории нелинейных колебаний и волн Института проблем механики АН СССР (Москва, 1987); научной конференции "Проблемы чистой и прикладной математики" (МИАН СССР, ТулПИ. Тула, 1988); Всесоюзных конференциях, посвященных Дню советской науки (Тула, 1989, 1990); 1У Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов" (Тула, 1990): совещании головного совета секции "Машиностроение" Министерства общего и профессионального образования РФ (Тула, 1997); Международном симпозиуме "Механика и технология в процессах формоизменения" (Орел, 1997); семинаре по механике деформируемого твердого тела Тульского гос. ун-та под руководством профессора Толоконни-кова Л.А. (Тула, 1997); семинаре по механике деформируемого твердого тела Института механики МГУ (Москва, 1998); Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998); на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (1987-1998).
По результатам выполненных исследований опубликовано 40 статей.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, закл
