Нестационарные задачи дифракции акустических волн на деформируемых криволинейных препятствиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 534.1:539.3

РАЕИНСКИЙ ЛЕВ НАУМОВИЧ

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ

АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ДЕФОРМИРУЕМЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЯХ

Специальность 01.02.04 Механика деформируемого твердой.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степеш доктора физико-математических наук

ООЗОб130Э

МОСКВА-2007

003061309

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор 1 Горшков Анатолий Герасимович!

Официальные доктор физико-математических наук

оппоненты Бужинский Валерий Алексеевич,

Центральный научно-исследовательский институт машиностроения Российского авиационно-космического агентства

доктор физико-математических наук, профессор Попов Александр Леонидович, Институт проблем механики Российской академии наук

доктор технических наук, профессор Шклярчук Федор Николаевич, Московский авиационный институт (государственный технический университет), кафедра «Строительная механика и прочность»

Ведущая организация Институт прикладной механики Российской академии

наук

Защита состоится 12 сентября 2007 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212 125 05 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба от-правтять по вышеуказанному адресу

Автореферат разослан ¿//¿Pí-fU? 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета к т н, доцент

Зайцев В Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из наиболее актуальных проблем современной механики является изучение нестационарного взаимодействия распространяющихся в сплошных средах волн с различными деформируемыми преградами Исследования в данной области представляют интерес как с точки зрения развития методов решения начально-краевых задач механики, так и с точки зрения технических приложений, в частности, для расчета тонкостенных элементов конструкций, находящихся под действием ударных волн в жидкости В то же время на сегодняшний день отсутствует единый подход к решению задач о дифракции акустических волн на оболочках с произвольными гладкими выпуклыми срединными поверхностями

В представленной работе изучается динамическое поведение тонкостенных упругих изотропных оболочек, погруженных в жидкость и подверженных воздействию акустических волн Основное внимание уделяется построению приближенных моделей взаимодействия неподвижных криволинейных препятствий и деформируемых оболочек с воздействующей на них волной Введение приближенной модели позволяет сократить размерность задачи, заметно упростить численное решение на основе конечно-элементного или конечно-разностного подхода, а в некоторых важных частных случаях построить аналитические решения

Цель работы состоит в разработке эффективного метода решения и исследовании класса задач о дифракции акустических волн на деформируемых и недеформируемых препятствиях, ограниченных произвольными выпуклыми поверхностями

Для реализации этой цели решены следующие задачи

- построены приближенные модели дифракции акустических волн на гладких выпуклых препятствиях, основанные на введении ряда упрощающих гипотез,

- проведен анализ точности принимаемых гипотез и выбор основной гипотезы,

- построено фундаментальное решение задачи о дифракции акустической волны на выпуклой алгебраической поверхности второго порядка,

- дан вывод интегро-дифференциальных уравнений движения упругой оболочки с учетом взаимодействия с акустической средой и разработаны численные методы их решения,

- проведено исследование сходимости применяемых разностных схем;

- дано обоснование эффективности предлагаемого метода путем сравнения построенных приближенных решений с численными решениями, полученными в точной постановке задачи дифракции;

на базе разработанного метода проведено исследование нестационарного напряженно-деформированного состояния тонких оболочек переменной кривизны, взаимодействующих с акустическими волнами

Методы исследования.

В основу работы положен аппарат переходных функций (функций влияния), обеспечивающий переход от решения связанной задачи совместного движения акустической среды и деформируемой оболочки к решению задачи динамики только для оболочки, математическая модель которой учитывает взаимодействие с внешней средой в интегральной форме Ядра интегральных членов уравнений движения препятствия формируются на основе переходных функций - фундаментальных решений начально-краевой задачи для акустической среды Для последних используются гипотезы, с одной стороны, упрощающие уравнения, а с другой стороны - обеспечивающие достаточную точность При решении задач о движении упругих оболочек переменной кривизны применяется метод конечных разностей

Научная новизна полученных результатов заключается в

- формулировке и обосновании упрощающих гипотез, применяемых при построении фундаментальных решений задачи о дифракции акустических волн на гладких выпуклых препятствиях,

- получении переходных функций для нового класса задач о взаимодействии акустической волны с абсолютно жесткими и деформируемыми препятствиями,

- решении новых задач о дифракции акустических волн на алгебраических поверхностях второго порядка,

- построении новых математических моделей взаимодействия упругих оболочек с акустическими средами в форме интегро-дифференциальных уравнений движения с непрерывными ядрами,

- построении конечно-разностных схем решения интегро-дифференциальных уравнений движения упругих оболочек в акустической среде и исследовании их сходимости,

получении решений новых задач о нестационарном напряженно-деформированном состоянии упругих оболочек переменной кривизны, подверженных воздействию акустических волн

Достоверность результатов работы обеспечивается

- выбором методики исследования на основе критического анализа полученных ранее известных результатов,

- применением апробированного математического аппарата при построении аналитических и численных решений,

- проведением исследования погрешности, вносимой различными вариантами принимаемых гипотез, относительно решения задач в точной постановке;

- сопоставлением полученных решений с результатами, полученными ранее другими авторами

Практическая и теоретическая ценность работы.

Результаты могут являться основой для создания прикладных методов вычисления давления акустической среды на поверхности упругой оболочки при воздействии слабых ударных волн, а также приближенных методов расчета оболочек, взаимодействующих с акустическими волнами

Публикация результатов работы.

По материалам диссертации опубликованы 22 работы, в том числе 11 статей, из них 5 - в периодических изданиях, рекомендованных ВАК.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г ), III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003 г.), XIX-XX Всероссийских конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003-2005 г ), IX-XIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2003-2007 г), Международных конференциях «Авиация и космонавтика» (Москва, 2001-2006 г)

Также работа регулярно обсуждалась научном семинаре «Проблемы механики деформируемого твердого тела» Московского авиационного института

Структура н объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, в котором приведены основные результаты и выводы Общий объем диссертации 245 страниц (в том числе 134 рисунка и 297 библиографических ссылок)

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы проводимого исследования и новизна результатов работы, сформулирована цель и основные задачи работы, представлены положения, выносимые на защиту

В первой главе диссертации проведен анализ основных результатов, достигнутых в области нестационарных задач дифракции акустических волн на жестких и упругих препятствиях Основное внимание уделяется работам, посвященным построению приближенных моделей взаимодействия оболочки с акустической средой на основе введения тех или иных упрощающих допущений

К настоящему времени получено достаточно много результатов, относящихся в основном к идеализированным объектам - твердым телам, пла-

стинам, гладким замкнутым оболочкам вращения В ранних работах при оценке гидродинамических сил использовались те или иные упрощения гипотеза несжимаемости жидкости (Б В Замышляев, Ю С Яковлев), гипотеза цилиндрического, сферического или сфероидального отражения, гипотеза плоского отражения (R D Midliri и Н Н Bleich, Э И Григолюк, Л М Куршин и В JI Присекин, А Г Горшков, Э Г Платонов, J Н Haywood)

Предварительным этапом решения задач о нестационарной дифракции волн на упругих препятствиях как правило являются исследования задач о дифракции на жестких преградах аналогичной формы Основными методами их решения является метод функционально-инвариантных решений (В И Смирнов и С J1 Соболев), метод Винера-Хопфа, метод интегральных преобразований (А Я Сагомонян, В Б Поручиков), метод интегральных уравнений (JI В Блохина, JI И.Слепян, С М Горский, А А Залеский, А И Зиновьев, С В Сорокин), обобщенные методы Вольтерра и Адамара, лучевой метод, метод характеристик, метод плоских волн, метод разделения переменных, численные методы (В М Бабич, В С Булдырев, И А.Молотков, А Г Багдоев, Г И Макаров, Г.И Петрашень, Б Г Николаев, И Г.Филиппов) Некоторые наиболее простые пути решения подобных задач приводятся в монографии Б В Замышляева и ЮС Яковлева Точное решение задачи о распределении падающего и отраженного давлений в лобовых точках параболического цилиндра и параболоида вращения при действии прямой плоской волны давления было получено Ф Фридлендером При постановке задачи динамики акустической среды в потенциалах неизвестные можно выразить через так называемые переходные функции (А.Г.Горшков, Э И Григолюк, Б В Замышляев, Е Н Мнев, А К Перцев, Д В Тарлаковский, Ю С Яковлев и др )

Решение задач об излучении акустической волны движущимся телом необходимо при определении составляющей суммарного давления на поверхности деформируемого препятствия В случае акустических сред нестационарное движение рассматривалось в основном для пластин и цилиндрических оболочек (Ю.В Горяинов, Ю И Кадашевич, И JI Миронов, Э И Григолюк, А Г Горшков, А Н Гузь, В.Д Кубенко, А Э.Бабаев, Т L Geers, Н Herman, J М Klosner, J.E Russell и др ) Аналитическое решение задачи о динамике цилиндрических оболочек получено в работах М.В Айзенберга, Т Алиева, Н Г Гурьянова, С Г Пшеничнова, Е А.Вольмира, М В Дубинкина, В.Д Кубенко, Н Н Панасюк, А К Перцева, JI И Слепяна, Ю С Шкенева, М G Cottis'a, J S Humphreys'a, R Wmter'a, D Muster'a, H Reismann'a, W J Schuman'a и др Соответствующие результаты, полученные методом конечных разностей, опубликованы в работах А Г Горшкова, Н.Д Векслера, Э И Григолгока, В В Карачуна, В Г Лозовика, А В Хромушкина, Ф Н Шклярчука, М Э Кутсера, Т Belytschko, R Mullen'a, В S Berger'a Для решения задач дифракции на объектах сферической формы применяются те же методы, что и при решении задач для цилиндрических преград

Большинство исследований в области дифракции акустических волн на тонкостенных преградах посвящено плоским волнам Волну можно при-

ближенно считать плоской при удалении источника на расстояние порядка десяти радиусов от поверхности цилиндрическои или сферической оболочки Если волновой источник расположен вблизи тела, то волну следует рассматривать как сферическую или цилиндрическую Общая теория распространения нестационарных сферических и цилиндрических волн применительно к рассматриваемым задачам изложена в работах Л И Слепяна, Ю С Яковлева, А Н Иванова и С Ю Чернявского

Из анализа публикаций сделаны следующие выводы 1. Одним из наиболее универсальных подходов к решению нестационарных задач о взаимодействия акустических волн с препятствиями является построение переходных функций с использованием ряда упрощающих гипотез

2 Для решения задачи о дифракции на произвольной гладкой поверхности требуется обобщение известных ранее гипотез

3 Применение переходных функций к исследованию движения упругой оболочки, взаимодействующей с акустической волной, позволяет перейти к решению задачи динамики оболочки на основе модели с дополнительными членами уравнений движения, учитывающими влияние внешней среды

Далее приведена постановка начально-краевой задачи о взаимодействии упругой оболочки с акустической средой Движение среды в акустическом приближении описывается следующими соотношениями.

— = с02Дф, У=ёгас1<р, р = (1)

где V - вектор скорости сплошной среды, р — плотность, р - давление, I - время, с0 - скорость звука в среде, <р - потенциал скорости

Вводится специальная криволинейная система координат, связанная с гладкой поверхностью препятствия П, задаваемой вектор-функцией г = г0(^,£2),(^2)ею (рис 1)

Г = Г0($\42)-Т1П0> (2)

Здесь п0 - вектор единичной нормали поверхности, а ковариантный базис э„э2,э3 и ковариантные компоненты метрического тензора определяются соотношениями

э«=э0а-Л^г, э3=-п0, э0а=—, п0 =-(э01хэ02/|э01хэ02|),

Яар=(э«,эр), ^=1, яа3=0 (сх,(3 = 1,2).

Рис 1

Полагая, что - главные коорди-

наты (яар = = 0, а * р), приходим к следующим равенствам для главных кривизн £а(£,',£,2) и параметров Ламе ЯД- модуль касательных векторов) *„=-( э0а,ап0/5^)/|э0а[2, (4)

Я,=1

Безразмерная форма волнового уравнения (1) в построенной системе координат имеет вид

(щ1)

д2ц>

(5)

где точкой обозначено дифференцирование по безразмерному временит, а

коэффициенты Д есть функции от итаД',Е,2)

Уравнения движения, физические и кинематические соотношения модели Тимошенко тонкой изотропной оболочки записываются так

и^сф/Г*-^), ™ = + (6)

гру = аз (е66ЯРт + 2Деру), = а4 (к^Р/ + 2Дкр,),

= а3^2е, Л^р = Г15 + аДг М8р, кРу =МурХ7 + (¿gV.ii, +

гдеГаР,А/"р- безразмерные компоненты тензоров тангенциальных сил и моментов, иа,0а- безразмерные компоненты векторов тангенциального перемещения и перерезывающих сил, - безразмерный прогиб оболочки, ецр,£ар -

компоненты тензоров тангенциальной деформации и изменения кривизн, а, -безразмерные коэффициенты, зависящие от толщины и свойств материала оболочки

Начальные условия имеют вид

г,р|т=0 = ир' ири=у2' Ч-о=^0' н,и=уз0'

Краевые условия в общем случае смешанные

ир1г, =«рг> Нг. Хр|г=Хрг, ЛГЧ|Г„

=мгр, е%р|г =&,

(7)

(8)

г1г„

где Г = Г„ Гст — граница срединной поверхности оболочки П, - компоненты единичного вектора нормали v к боковой поверхности оболочки

Предполагается, что в безграничной акустической среде распространяется волна давления р,(Е,',т) с потенциалом скоростиф,(£/,т) В начальный момент времени фронт волны касается оболочки На ее срединной поверхности ставится условие непротекания

Здесь V.- вектор скорости в падающей волне, V- вектор скорости в отраженной и излученной волнах, у,„ = (у,,п„) ,у„ =(у,п0)- нормальные составляющие скоростей в падающей волне и в отраженной и излученной волнах

Давление р на поверхности оболочки может быть представлено в виде р = р,+с7, где <7 = -ср - давление в отраженной и излученной волнах Для его определения с учетом отсуствия возмущений на бесконечности, не-возмущенности среды в начальный момент времени и условия непротекания имеем следующую начально-краевую задачу

ф=а<Р> Фи=Со=°> (9)

Ее решение есть суперпозиция решений двух следующих задач

- о дифракции волны на неподвижном препятствии

ф, = Дф.» Р\ = ~ф]> Ф.[ж_о =Ф1|„о =0' (10)

(к„+^л)[п=0, ф1=0(1), г->«>

- об определении давления в излученной волне (при деформируемом препятствии)

ф2 = Дф2, рг = -ф2, ф2|г_0 = ф2|тг0 =0, у2„|п = У9, ф2 = 0(1), г -> 00.

(И)

Задачам (10) и (11) соответствуют функции влияния (переходные функции) удовлетворяющие следующей задаче

С = АС, л.т,^2), С|т=0=с|то=0,

Щ- ~ -<;2,т), 0($\|2,л,т,<;\<;2) = 0(1) (г->оо), (12)

^ п

где -дельта-функция Дирака

При этом давление в отраженной и излученной акустических волнах имеет вид (символом «*» обозначена операция свертки по времени)

II п

С„ , л, т, д1, ?2) = -аа1

Во второй главе диссертации рассматриваются различные гипотезы, позволяющие построить решение задачи (12) для произвольных выпуклых поверхностей в замкнутой форме

Гипотеза 1 предполагает, что основной вклад в гидродинамическую нагрузку вносит движение среды по нормали к поверхности Полагая все производные по координатам и с2 равными нулю, получаем начально-краевую задачу для переходной функции

(М)

0,1 =6,1 =0, в.

= 6(т), С1(г,х) = 0(1),

п=0

С помощью преобразования Лапласа по времени т и разложения изображения в ряд по величине, обратной параметру преобразования, построено ее асимптотическое решение при т —> О

/?(^^2,л,т)=:£а„(^^2,л)(т-лГ7(«-1)'. (15)

п-1

«1 п) = -1 + Л «И (*) + лЧг (*> к) + лЧз (*>к) >

а2 л) = «21 (*) + ца22 (к,к) + л2а21 (к, к),

Здесь к и к - средняя и гауссова кривизны поверхности П Поверхностная переходная функция (т] = 0) при этом имеет вид

Ою£ Л2, т) = о, а1, ¥, 0. т) = - Я (тК (*т, кт2). (16)

Гипотеза 2 предполагает независимость коэффициентов от координаты г] по нормали к поверхности П Полагая г) = 0, получаем следующую начально-краевую задачу

дв

= 5(т)бй1-?1)^2-^), = 1), г->®.

п-0

Решение задачи (17) возможно только для конкретной параметризации поверхности на основе метода разделения переменных и преобразования Лапласа во временной области Например, решение для тела сферической формы =8, = ср) имеет вид

О0 (е, ср, т,д2) = £ Ъ Шп+1), т) £ а„; (с;1, с;2) У„('> (0, Ф) , (18)

п-0 '

где ап, - коэффициенты, выражающиеся через полиномы Лежанд-

ра,У„(/)(0,ф)- сферические функции, а функция (х, т) связана с обобщенными гипергеомегрическими функциями

Гипотеза 3 предполагает, что основной вклад в нагрузку вносит движение среды по нормали к поверхности препятствия (гипотеза /). а правая часть уравнения (5) вычисляется при = 0 ( гипотеза 2) Совместное использование этих предположений носит название гипотезы тонкого слоя При этом с учетом равенстваА5(£,1,Е,2,ц) = 2к(Е,\Е,2} начально-краевая задача для переходной функции принимает вид

дг\ дП

<^0=4.0-°-

&Ч

= 5(т), <3,(^ = 0(1),

(19)

„-0

Для ее решения используется преобразование Лапласа по времени Соответствующий оригинал переходной функции на поверхности препятствия (г) = 0) записывается в явном виде

с,£ Л2,0, т) = с,„ (!? л2, Т) = -Я(Т)Я,(*),

0,(2) = -г+ Л ([-1/2],[1/2,1],, г = к&'Л2)т (20)

Здесь ^ ([а],[й,с],г) - обобщенная гипергеометрическая функция

График функции Я} (г) изображен на рис 2

Функция ,т), входящая в выражения (13), при этом опреде-

ляется так:

ож = ■

д1

(21)

где Я,'(г) = -1+*,^ ([1/2],[3/2,2],-22/4)

Для сравнения переходных функций, полученных на базе разных гипотез, рассмотрена задача о воздействии плоской ступенчатой волны давления на абсолютно жесткую сферу радиуса /?0 = 1

р* (в, л,-с) = р0н[^+(я0 +г|)со5е-;г0]

Показано, что отраженное давление (0,т) (значение /=1,2,3 соответствуют гипотезам 1,2,3, а / — 0 - точному решению) определяется формулами

р\ (б,т) = со5 0#[т-1 + со5 0]/?, [т-1 + со5 0],

соч0

Е

р! (е, т) = - сое е/^ (о, т+соб 0 -1)+

агссо«;(1-т)

+ я(х - 2)]л(л/»(«+1), т + с08 51 -1)/( <;>)

о

р1 (0, т) = соч 0я [х --1+ со8 0] [х -1 + сое 0],

1" [1 <1

-- —,1 --

v 2. 2

соб0 ^ л-1

р° (0,х) = -сое0<5о (1,х + сое0 -1) +

агссо5(1-т)

я( 2-х) | ^(1,х + со5<;1-1)/(д,)^,+

+ я(х - 2) / д, (1, т + с05 -1) /( ) ^

о

я„ (*, х) = а„ (л, х) -О0 (х, х) ме,т)

рис 3

(22)

я(2-х) } й(л/«(« + 1),х + со8?1-1)/(^)^1+ (23)

(24)

(25)

На рис 3 представлены зависимости отраженного давления р\ (0,т), а па рис 4 приведены относительные квадратичные погрешности для р[(в,т),1 =1,2,3

А,,)(в,т)-А(0)(е,т)

|(/(0,х)|;„ = ]1!/(0,01Гп л = =

о о п

т я

= 2л|л|/2(е,0со8е^е

(26)

02 04 06 08 1 12 Рис 4

Отсюда следует, что при использовании различных гипотез результаты мало отличаются от точного решения Поэтому далее используется переходная функция, полученная в рамках гипотезы тонкого слоя (гипотеза 3) , т.к в этом случае значительно упрощаются формулы для определения отраженного и излученного давлений Аналогичные результаты получены и для двумерного случая

В третьей главе рассматриваются пространственные и плоские задачи о дифракции волны давления на абсолютно жестком неподвижном криволинейном препятствии, ограниченном гладкой выпуклой поверхностью П.

Пространственная задача, плоская волна Предполагается, что волна с фронтом, составляющим углы а, с осями Ох' (/=1,2,3) прямоугольной декартовой системы координат в момент времени т = 0 касается поверхности П в точке А (рис. 5)

/>.(г',т) = /?0//(т-/(х',а,)),/(*',а,) = *' cosa, +С

(27)

Рис 5

Здесь константа С задает положение фронта волны в начальный момент времени Давлению (27) соответствует производная по нормали к поверхности П от потенциала скорости падающей волны

д<р.(ху, т)

= р0пи - cosa*

п=0

где п0 - координаты единичного нормального вектора При этом давление р, в отраженной волне имеет вид

о ¿>П

(28)

= ~Ра ri cos a, G0 [£, , т - f0 , ^, a,)]

Даны примеры решения задач о дифракции плоской косой волны давления на различных выпуклых препятствиях Соответствующее решение для параболоида вращения

приведено на рис 6-9 На рис 6 и 7 представлены кривые суммарного давления на поверхности для прямой плоской волны (ос, = я/2, сс2=л/2,

а3 = 0 , е R, £,„ = С = 0 ) при различных значениях Е,2 и х Рис 6 демонстрирует хорошее совпадение полученных результатов (кривая =0) с точным решением Ф Фридлендера (пунктир)

Рис 7

На рис 8,9 представлены кривые суммарного давления на поверхности для косой волны давления (а, =п/3, а2 = л/4, = л/3, £,{> =агс\.&\/2, £ =1,5 , С =1,341) при различных значениях и т

20 20

11 1 8

К 16

14 14

12 и

10 . 10

1Л 20 2}

Рис 8

Рис 9

Пространственная задача, сферическая волна Полагается, что центр сферической акустической волны расположен в точке К с координатами (о„, Ь0, с0) (рис 10) В момент времени т = 0 волна касается поверхности П в точке А Давление за фронтом волны задается соотношением

р.(х',х) = р0Н(х-г + с1)/г, (29)

где с! — расстояние между точками К и А Давлению (29) соответствует следующая производная потенциала ф. по нормали к поверхности П

ар. л,

Эп

Ро-

п=0

дхГ

5л

Н{х-г + с1)

(30)

п=о

Рис 10

Давление р, в отраженной волне задается формулой

+ 4 оОм(^,т-г + <0 (31)

ах дг\

Рассмотрены примеры решения задач о дифракции сферической волны единичной амплитуды на канонических поверхностях вращения

На рисунках 11 и 12 представлены кривые суммарного давления р(£,\£,2,х) для двуполостного гиперболоида вращения

П хх=с'%2 х2 - с~'Е,2 бш 2;1, х" + с2 при раз-

личных значениях и т соответственно

0 02 04 06 01 101-3 -2 -1 0 I 2 3 £

Рис 11 Рис 12

Плоская задача, плоская волна Косая плоская волна с фронтом, составляющим угол 9 с осью Ох', в начальный момент времени т=0 касается в точке А поверхности цилиндра с направляющей Г (рис 13)

Рис 13

Давление

амплитудой р0 в прямоугольной декартовой системе координат Ох' (/ =1,2) задается соотношением

т) = Роя[т-/(х',9)], (32)

/(*',&) = х1 cos 9 + х2 sin 9 +С, где константа С определяет положение фронта волны в момент временит = 0

Давлению (32) соответствует следующая производная потенциала падающей волны по нормали к поверхности

дх\

= р0 («¿ cos 9 + ni sin 9) И (т - fu & 9)),

п=0

Давление в отраженной волне определяется равенством Р\ fe т) = -ра (n¿ cos 9 + ni sin 9)G0fe т - f0 ft,»)), где G0(^,t) - задается соотношением (20) для плоского случая

Приведены примеры решения задач о дифракции плоской волны единичной амплитуды на некоторых криволинейных цилиндрических поверхностях второго порядка

На рис 14, 15 дан ел кривые суммарного давления /;(£,, т) для параболического цилиндра

Г =1;12, *2=5, (34)

при действии прямой волны давления (0 = 0) для различных значений Е,2 и т соответственно Пунктиром на рис 14 показано точное решение Ф Фридлен-дера в лобовой точке

20

1 8

16

14

12

10

ХМ

02

04 06

Рис 14

08

10 1

14

12

1 0

•хм

,т=0.3

-1 5

-05 0 05 Рис 15

15 £

Плоская задача, цилиндрическая волна В этом случае источник возмущения расположен в точке К (с0,Ь0),А- точка касания фронта волны цилиндрической поверхности с образующей Г, величина (1 =\ КА\ определяет положение фронта волны в начальный момент времени (рис 16)

Показано, что давление и скорость в цилиндрической волне определяются соотношениями

р,(г,х) = 2л/2тГ' (т + г + К(т)Н(т:-г + сГ),

V. (г, т) = -л/2 (яг )"' (т - г + * Н (т - г + «/) *[гК{т)-(1 + г + с1)Е{т)]

(35)

т =

т — г + й

'т + г + с/'

где К(т), Е(т) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода Давление в отраженной волне имеет вид

1-г«) + </

(36)

4=0

е1 /хч^-з

Рис 16 20

Рассмотрены примеры решения задач о дифракции цилиндрических волн на различных криволинейных цилиндрических поверхностях второго порядка

На рис 17, 18 приведены кривые суммарного давления для гиперболического цилиндра

Г- ^ЦДеК, Р = #(ф/2) (37)

при действии цилиндрической волны (р0 -1) с источником в точке К(-2,-2)

20

151

10

05

-р&Х) 53

^Лг0 5

10 Т

Рис 18

В четвертой главе рассматривается задача о дифракции нестационарных акустических волн на тонких упругих выпуклых оболочках Интегрирование уравнений движения оболочек осуществляется методом конечных разностей Гидродинамическое давление на поверхности оболочки определяется либо приближенно на основе гипотезы тонкого слоя, либо из численного решения связанной задачи движения акустической среды на основе метода конечных разностей

Задача динамики акустической среды записывается в безразмерной

форме

У = АУ, (38)

где А - линейный матричный оператор задачи с переменными коэффициентами

Вводится конечно-разностная сетка со на области О х (О, ) = [0,/] х [О, г), ] и сеточная неизвестная вектор-функция

{у" I4-0 м

© = {©5Ч. =Л,1=0,ЛГ?}х{©ч х\т =Д,;=1...ЛГ„}х

х{юх:т„ =кИ„к = 07к]

Шаблон конечно-разностной схемы типа «крест» по пространственным переменным содержит 9 узлов (рис 19) Разностные производные записываются в виде

(39)

Vй -Ук

2\

ук -ук ук -о Ук + Ук

2К

V

Разностный аналог уравнения движения (38) с учетом (40) приводится к виду

С-(25(41)

где А:/ - разностные матричные операторы с переменными коэффициентами

Двумерная задача динамики оболочки записывается в операторном

виде

0 = Lu + p, + (42)

ох д% di,

«.L=».L=0, = В±(т),

где и - вектор перемещений точки срединной поверхности оболочки, L -дифференциальный оператор начально-краевой задачи, р- вектор-функция правых частей, А, В, С - переменные матрицы-коэффициенты при неизвестной и и ее частных производных, 1?±- оператор краевых условий, В±- вектор краевых значений Форма записи оператора (42) зависит от системы криволинейных координат, связанной со срединной поверхностью оболочки Переход от инвариантной к координатной форме записи автоматизирован на основе системы компьютерной алгебры Maple с использованием стандартного пакета расширения Tensor

Вводится разностная аппроксимация оператора на следующей пространственно-временной сетке с постоянными шагами hx и/г,

со = |т4 = khz\h, = = = г\I \ =' = O^V

(43)

вобласти Q = Q,xfi^; Q, =[t0,t.]c:K + í/{O}, Ц, = R

Вектор-функция приближена сеточной функци-

ей (У* =í7(^,,x() , есо",т* =wf Решение уравнений (42) с начальными и

краевыми условиями на основании явной конечно-разностной схемы типа «крест» определяется соотношением

При построении матрицы ¿у используется пятиточечный шаблон по пространственной переменной, на котором первые и вторые производные имеют вид

32и(4) »[-и1+2 +1би1+1 -ЗОи, +16«,., -и,_2](12^)"2 ,

Аппроксимация производной второго порядка по времени имеет вид

и,*+1 — 2м* + «.*"' 3 „ = -1-—!— (45)

(Л,)2

Начально-краевой задаче (42) ставится в соответствие разностный

аналог

и, = «о,, (-3и, +4«; -к,2)(12/зг) ' = у0,, (46)

где коэффициенты А, В, С оператора Ь определяются геометрией срединной поверхности оболочки, производные по пространственной переменной заменяются соотношениями (44), по временной переменной - соотношениями (45). Доказана сходимость схемы, при этом число Куранта составляет г = а2%К1< 3/4

Давление на поверхности оболочки представляется суммой р - р, + р1+ р2, где р. - давление в падающей волне, а слагаемые рх, р2

определяются формулами (13)

Таким образом, уравнения движения оболочки под действием нестационарной акустической волны давления являются интегро-дифференциальными

+ (47)

са £ 61

Здесь С ~ матричное ядро интегрального оператора, имеющее вид

/о о о" О -ор(&) о

V

о

о

о

(48)

Интегральный оператор в (47) аппроксимируется квадратурами, в результате чего дискретный аналог системы уравнений движения оболочки, погруженной в акустическую среду, имеет вид

р„=(о а<*>+а« о), (49)

где р - вектор правых частей, р}ь) = р, (Е,, хк),

А(Л) у,"1 =Зф.(^,0,т-т,)/4

1

к-1

Таким образом, построены дискретные конечно-разностные аналоги связанных начально-краевых задач акустической среды и упругой оболочки для численного решения поставленной нестационарной задачи

В пятой главе рассматриваются плоские задачи о взаимодействии акустических волн с упругими оболочками на основе разрешающих уравнений (47) и их разностных аналогов (49), (50) Давление в излученной волне определяется соотношением

R"(z) = Jl(z)/z, Jn(z) ~ функции Бесселя I рода порядка«. Рассмотрены оболочки в форме эллиптического, параболического и гиперболического цилиндра

Плоская волна Зависимости прогиба и нормальной скорости оболочки в форме эллиптического цилиндра с соотношением полуосей р -Ь/а в лобовой точке и точке касания от безразмерного времени т представлены на рис 20, 21 для помещенной в воду (плотность р0 = 1000 кг/м3, скорость звука^ = 1500м/с) оболочки со следующими параметрами- плотность р = 7800 кг/м3, модуль упругости Е = 2,1 105 МПа, коэффициент Пуассона V =03, толщина оболочки И = 0 02 м, соотношение между полуосями (5 = Ь/а =0 5, а = 1 м Интенсивность давления на фронте падающей волны в начальный момент времени р0 = 105 Па, угол падения плоской косой волны давления 9 = 20

ак^х), т т(

^.тОЯ'^т-тО^-^т) , (51)

дт 2 Ц

Л « I-1-1-с--J-1-^-'-1-1—

0 01 0.2 в-} 0> 05 0^ 07 04 0.»

Рис 20

Рис 21

Та же задача рассмотрена в точной постановке, при моделировании акустической среды разностным аналогом (49), (50) На рисунках 22, 23 приведены абсолютные величины кинематических параметров в характерных точках оболочки, полученных с использованием гипотезы тонкого слоя (+) с графиками кинематических параметров, полученных при решении связанной задачи методом конечных разностей (сплошная линия)

Рис 22 Рис 23

Цилиндрическая волна Потенциал, давление и скорость за фронтом падающей волны определяются аналогично случаю дифракции на абсолютно жестком препятствии

Приведены примеры решения задач динамики оболочек оболочки в форме эллиптического, параболического и гиперболического цилиндра под действием цилиндрических волн давления

Например, геометрия оболочки в форме гиперболического цилиндра описывается соотношениями (37) Источник возмущения расположенным в точке К(Ь = -1, с = -2), амплитуда давления в падающей волне Р0 —■1 К)4 Па Оболочка жестко защемлена Параметры среды и константы материала оболочки те же, что и в предыдущих задачах На рис 24-25 пред-

ставлены зависимости прогиба и нормальной скорости от координаты в различные моменты времени

Кривая зависимости суммарного давления р от безразмерного времени приведена на рис 26

Рис 24

■ щйвеа™^ 1000 017$ А

оЭзо |

1 \ \<Ш0 \ 0125 \ \ \<иоо\ > 0Л75 \ \

1-0

•ОЛ 44 4 4 -0.2 0 0.2 0 4 Рис 25 94 9Л

Рис 26

В шестой главе приводятся примеры решения осесимметричных нестационарных задач о взаимодействии оболочек в форме параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения с плоскими прямыми и сферическими акустическими волнами

Дифракция плоской волны давления на оболочке в форме параболоида вращения Плоская ступенчатая акустическая волна с фронтом, нормальным

оси симметрии срединной поверхности П оболочки толщиной И = 0 02 м, с фокальным параметром а -1 м, в момент времени т = 0 касается оболочки в вершине Решение задачи строится при однородных начальных условиях и жестком защемлении краев Параметры среды и материала оболочки те же, что и в предыдущих примерах Интенсивность плоской волны давления ра = 100 КПа На рис 27-28 представлены кривые прогиба и нормальной скорости оболочки

Рис 27

?

Рис 28

Дифракция сферической волны давления на оболочке в форме элчип-соида вращения Сферическая акустическая волна единичной амплитуды в момент времени т = 0 касается срединной поверхности в лобовой точке Приведены результаты расчетов для стальной оболочки в виде эллипсоида вращения с параметрами а = Ь = 1, с = Ъ м, толщиной И = 0 02 м , помещенной в воду Параметры среды и материала оболочки следующие с0 =1500 м/с, р0 = 1000кг/м3, £ = 2 1 10й Па, у = 0 32, р = 7800 кг/м3 На рис 29-30 представлены кривые прогиба и нормальной скорости оболочки в различные моменты времени

5

Рис 29

Рис 30

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе получены следующие результаты

1 На основе критического анализа существующих методов построения точных и приближенных решений задачи дифракции слабой ударной волны в акустической среде на жестком или деформируемом выпуклом препятствии обосновано применение аппарата переходных функций

2 Нестационарная задача динамики акустической среды сформулирована в криволинейной ортогональной системе координат, нормально связанной с препятствием - жестким телом или упругой оболочкой

3. На базе решения задачи дифракции акустической волны на криволинейном выпуклом препятствии обоснованы гипотезы, позволяющие аналитически построить переходную функцию данной задачи Сформулирована гипотеза тонкого слоя, являющаяся обобщением известной гипотезы плоского отражения благодаря учету кривизны препятствия

4. Исследованы задачи о дифракции на алгебраических поверхностях второго порядка акустических волн с различными формами фронтов и на основе гипотезы тонкого слоя впервые построены в гипергеометрических функциях их фундаментальные решения. Показана эффективность применяемой методики полуаналитического вычисления давления на жестком препятствии

5 Для оценки точности применяемого приближенного подхода к решению задач, не допускающих точного аналитического решения, построена явная конечно-разностная схема интегрирования уравнений динамики акустической среды в криволинейной системе координат, нормально связанной с препятствием, и показана сходимость дискретного конечно-разностного аналога к исходной начально-краевой задаче

6 Получены интегро-дифференциальные уравнения движения податливых на сдвиг упругих оболочек под действием слабых ударных волн различной формы в акустической среде Взаимодействие с окружающей сплошной средой моделируется интегральными членами уравнений

7 Построены разностные схемы численного решения интегро-дифференциальных уравнений движения оболочки, исследованы их порядок аппроксимации, устойчивость и сходимость Исследовано ослабление устойчивости разностных схем при увеличении их точности.

8 На базе разработанного метода построены решения задач динамики некруговых цилиндрических оболочек в плоской постановке и оболочек вращения в пространственной постановке На числовых примерах показана эффективность метода при решении задач нестационарного взаимодействия оболочек с окружающей сплошной средой

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Медведский АЛ, Рабинский ЛН Плоская задача дифракции нестационарной акустической волны давления на жестком криволинейном препятствии Материалы IX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 10-14 февраля 2003 г) -М «Оптимпресс» С. 251-260

2 Горшков А Г, Егорова ОВ, Медведский AJI, Рабинский ЛН Плоская задача дифракции акустической волны давления на криволинейном препятствии // Изв РАН МТТ №3 2003 С 148-154

3. Горшков А Г, Медведский АЛ, Рабинский Л Н Пространственная задача дифракции нестационарной акустической волны давления на жестком криволинейном препятствии // Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов / Труды XX Международной конференции - СПб 24-26 сентября 2003 Т2 -С. 158164

4. Егорова О В, Жаворонок СИ, Медведский А Л, Рабинский Л Н Численно-аналитическое решение плоской нестационарной задачи дифракции акустической волны давления на упругой криволинейной ортотропной оболочке с использованием средств компьютерной алгебры // Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов / Труды XX Международной конференции - СПб 24-26 сентября, 2003, Т 2 - С 200-205.

5 Жаворонок СИ, Медведский АЛ, Рабинский ЛН Плоская задача дифракции акустической волны давления на тонкой ортотропной панели, помещенной в жесткий экран // Изв. РАН. МТТ. №1 2004. С.209-220

6 Горшков А Г, Жаворонок СИ, Медведский А Л, Рабинский ЛН Нестационарные задачи дифракции плоских акустических волн на ортотропных оболочках // Материалы X Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Т2 -М Изд-воМАИ,2004 - С 80-88.

7. Gorshkov A G, Medvedsky A L, Rabmskij L N, Zhavoronok SI International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, V 1, Issue 2, 2005 -P 423-424

8. Рабинский Л H Нестационарная задача дифракции плоской акустической волны давления на тонкой эллиптической оболочке // Изв РАН МТТ. №5 2005 С 184-191

9. Рабинский Л Н Действие плоской волны давления на шарнирно опертую эллиптическую оболочку в акустической среде // Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов Труды XXI Международной конференции - СПб 4-7 октября, 2005, Т 2-С. 387-395

10 Горшков А Г, Жаворонок СИ, Медведский А Л, Рабинский ЛН Движение абсолютно твердого тела акустической среде под действием нестационарной сферической волны давления // Изв РАН МТТ №1 2006 с 173-186

11 ЖаворонокСИ, Рабинский ЛН Осесимметричная задача нестационарного взаимодействия акустической волны давления с упругой оболочкой вращения // Механика композиционных материалов и конструкций 2006, т 12, №4, с.541-554

Множительный центр МАИ Зак. от 27.06 2007 г. Тир 100 экз

Содержание.

Введение.

Глава 1. Постановка задачи исследования.

1.1. Современное состояние проблемы.

1.2. Уравнения движения акустической среды в специальной криволинейной системе координат.

1.3. Основные соотношения теории тонких упругих оболочек.

1.4. Постановка начально-краевых задач о дифракции акустических волн.

1.5. Функции влияния в нестационарных задачах дифракции акустических волн на криволинейных препятствиях.

Глава 2. Определение переходных функций в задачах гидроупругости.

2.1. Гипотеза 1 для пространственной задачи.

2.2. Гипотеза 2 для пространственной задачи.

2.3. Гипотеза 3 для пространственной задачи.

2.4. Оценка точности гипотез для пространственной задачи.

2.5. Переходная функция в плоской задаче дифракции.

2.6. Гипотеза 1 для плоской задачи.

2.7. Гипотеза 2 для решения плоской задачи.

2.8. Гипотеза 3 для плоского случая.

2.9. Оценка точности гипотез для плоской задачи.

Глава 3. Дифракция акустических волн давления на выпуклых поверхностях.

3.1. Дифракция плоской волны давления на выпуклых поверхностях (пространственная задача).

3.2. Дифракции сферической волны давления на выпуклых поверхностях.

3.3. Дифракция плоской волны давления на выпуклых поверхностях плоская задача).

3.4. Дифракция цилиндрической волны давления на выпуклых поверхностях (плоская задача).

Глава 4. Построение конечно-разностных схем для интегрирования связанных задач гидроупругости тонких оболочек.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения акустической среды.

4.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения оболочек.

4.3.1 Операторная запись уравнений движения оболочки.

4.3.2 Разностная аппроксимация дифференциальных операторов .145 4.3.3. Сходимость конечно-разностных схем.

4.4. Аппроксимация внешней нагрузки, действующей на оболочку.

4.5. Сравнительное исследование используемых разностных схем.

Глава 5. Плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн на оболочках в форме криволинейного цилиндра.

5.1. Дифракция плоской косой акустической волны давления на упругих криволинейных цилиндрических оболочках.

5.1.1 Дифракция плоской косой волны давления на параболической оболочке.

5.1.2 Дифракция плоской косой волны давления на эллиптической оболочке.

5.2. Дифракция цилиндрической волны давления на упругих криволинейных оболочках.

5.2.1 Дифракция цилиндрической волны давления на гиперболической оболочке.

Глава 6. Осесимметричные задачи дифракции акустических волн давления на оболочках вращения.

6.1 Дифракция плоской акустической волны давления на оболочках вращения.

6.1.1 Дифракция плоской волны давления на оболочке в форме параболоида вращения.

6.1.2 Дифракция плоской волны давления на оболочке в виде эллипсоида вращения.

6.1.3 Дифракция плоской волны давления на оболочке в виде гиперболоида вращения.

6.2 Дифракция сферической акустической волны давления на оболочках вращения.

Актуальность темы. Одной из наиболее актуальных проблем современной механики является исследование нестационарного взаимодействия ударных волн, распространяющихся в сплошных средах, с различными деформируемыми преградами. К настоящему моменту существует всего несколько точных решений задач такого класса лишь для простейших частных случаев. Исследования в данной области представляют значительный интерес как с точки зрения развития математических методов решения начально-краевых задач механики, так и для ряда технических приложений, в частности, расчета тонкостенных элементов конструкций, нагружаемых ударными волнами в жидкости.

В настоящей работе изучается динамическое поведение тонкостенных упругих изотропных оболочек, погруженных в жидкость и подверженных воздействию акустических ударных волн. Основное внимание уделяется построению приближенных моделей взаимодействия деформируемой оболочки с дифрагирующей на ней волной. Основным математическим аппаратом, развиваемым в работе, являются переходные функции -фундаментальные решения нестационарной начально-краевой задачи дифракции акустической среды на гладкой выпуклой поверхности. Применение переходных функций обеспечивает переход от решения связанной нестационарной задачи совместного движения акустической среды и деформируемого препятствия к решению задачи только для препятствия, математическая модель которого учитывает взаимодействие с окружающей средой в форме интегральных соотношений. Ядра интегральных членов уравнений движения препятствия формируются на основе переходных функций задачи дифракции. Таким образом, сокращается размерность задачи, что позволяет заметно упростить численное решение на основе конечно-элементного или конечно-разностного подхода, а в некоторых важных частных случаях построить аналитические решения и провести оценку погрешности, вносимую принимаемыми гипотезами.

Целью работы является построение приближенных моделей взаимодействия акустической волны в идеальной жидкости с деформируемым препятствием, позволяющих получить фундаментальные решения в замкнутой форме, постановка начально-краевых задач движения упругих оболочек с учетом влияния внешней среды в виде интегральных соотношений на основе построенных фундаментальных решений и разработка методик их решения.

Для реализации цели работы поставлены следующие задачи:

- критический анализ существующих методов решения нестационарных задач дифракции акустической среды на деформируемых препятствиях,

- построение приближенных моделей дифракции акустических волн на гладких выпуклых препятствиях, основанных на введении ряда упрощающих гипотез,

- анализ принимаемых гипотез на основе оценки погрешности, вносимой в постановку задачи их применением, и выбор основной гипотезы,

- построение в специальных функциях фундаментального решения задачи дифракции акустической волны на произвольной канонической поверхности второго порядка,

- вывод интегро-дифференциальных уравнений движения упругой оболочки, учитывающих взаимодействие с жидкостью за счет введения интегральных членов на основе построенных фундаментальных решений,

- разработка численных методов решения полученных интегро-дифференциальных уравнений движения упругих оболочек,

- исследование сходимости применяемых разностных схем при различных разностных шаблонах и выбор наилучшей схемы,

- обоснование эффективности предлагаемого метода путем сравнения построенных приближенных решений с численными решениями, полученными в точной постановке задачи дифракции,

- исследование нестационарного деформированного состояния тонких оболочек переменной кривизны, взаимодействующих со слабыми ударными волнами, на базе разработанного метода.

Научная новизна заключается в следующих результатах работы:

- формулировке и теоретическом обосновании упрощающих гипотез, применяемых при построении фундаментальных решений задачи дифракции акустических волн на гладких выпуклых препятствиях,

- получении новых переходных функций задач взаимодействия акустической среды с абсолютно жесткими препятствиями,

- построении новых приближенных аналитических решений ряда задач дифракции акустических волн на канонических поверхностях второго порядка,

- формулировке новых математических моделей взаимодействия упругих оболочек с акустическими средами в форме интегро-дифференциальных уравнений движения с непрерывными ядрами интегральных операторов,

- построении конечно-разностных схем решения интегро-дифферен-циальных уравнений движения упругих оболочек в акустической среде,

- исследовании сходимости разностных схем, построенных на различных разностных шаблонах в пространственной и временной области, и выборе наивыгоднейшей разностной схемы,

- получении численных решений ряда задач о нестационарном деформированном состоянии упругих оболочек переменной кривизны, подверженных воздействию акустических ударных волн.

Достоверность результатов работы обосновывается:

- выбором развиваемой методики на основе критического анализа результатов, полученных ранее в области проводимого исследования,

- применением апробированного математического аппарата при построении аналитических и численных решений,

- проведением исследования погрешности, вносимой различными вариантами гипотез, путем сравнения с решением задачи в точной постановке,

- сопоставлением полученных решений с результатами, полученными ранее рядом авторов на основе различных методов.

Апробация работы. Результаты работы представлены в форме докладов на следующих конференциях:

1. IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.),

2. III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003 г.),

3. XIX-XX Всероссийских конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003-2005 г.),

4. I-XIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 19952007 г.),

5. Международных конференциях «Авиация и космонавтика» (Москва, 2001-2006 г.),

6. семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (государственного технического университета).

Основные результаты работы опубликованы в 12 статьях, в том числе 5 - в периодических изданиях, рекомендованных ВАК.

На защиту выносятся:

- модифицированная гипотеза тонкого слоя, применяемая при построении приближенных решений задач дифракции акустической среды на гладких выпуклых препятствиях,

- фундаментальные решения двумерных задач дифракции плоских и цилиндрических акустических волн на криволинейных цилиндрах,

- фундаментальные решения пространственных задач дифракции плоских и сферических акустических волн на поверхностях вращения,

- интегродифференциальные уравнения движения упругих оболочек в акустических средах с ядрами, полученными на основе предложенных фундаментальных решений,

- разностные схемы численного решения интегродифференциальных уравнений движения упругих оболочек в акустической среде,

- результаты исследования динамического поведения упругих оболочек под действием акустических волн в жидкости предложенным методом.

Содержание работы.

1. Первая глава посвящена постановке задач исследования на основе анализа основных результатов, достигнутых к настоящему времени.

1.1. Первый параграф главы посвящен развернутому обзору опубликованных работ и критическому анализу основных методов решения рассматриваемого класса задач. Отдельно рассматриваются точные и приближенные, в том числе и численные, методы решения нестационарных задач дифракции акустических волн на различных препятствиях, как жестких, так и деформируемых, и задач излучения акустических волн движущимися препятствиями.

1.2. Во втором параграфе главы приводится постановка нестационарной задачи динамики идеальной сжимаемой жидкости и линеаризованная модель акустической среды. Задача сформулирована в произвольной криволинейной системе координат, как частный случай, рассматривается ортогональная система координат, связанная с гладкой выпуклой поверхностью. Приведена постановка задачи динамики акустической среды в потенциалах, сводящаяся к одному волновому уравнению.

1.3. В третьем параграфе главы 1 приведена постановка нестационарной задачи динамики упругой оболочки средней толщины, основанная на сдвиговой модели (Райсснера-Миндлина-Тимошенко).

1.4. В четвертом параграфе формулируется задача о дифракции акустической волны на жестком или деформируемом препятствии. В последнем случае в силу линейности модели акустической среды решение сведено к суперпозиция решений задачи о дифракции волны на неподвижной абсолютно жесткой поверхности и задачи об излучении акустической волны движущейся поверхностью.

1.5. В пятом параграфе излагается постановка задачи об определении фундаментального решения нестационарной задачи о дифракции акустических волн на гладких поверхностях и метод определения давления акустической среды на поверхностях жестких или деформируемых препятствий на основе фундаментальных решений.

2. Вторая глава диссертации посвящена исследованию различных гипотез, применяемых при упрощении постановки задачи о дифракции акустической волны на выпуклом препятствии, обоснованию и выбору оптимальной гипотезы.

2.1. В первом параграфе рассматривается гипотеза нормального движения, согласно которой давление на поверхности препятствия создается в основном за счет движения акустической среды по нормали к поверхности, влияние движения по касательной мало. За счет пренебрежения производными по криволинейным координатам и сохранения в волновом уравнении только производной по нормальной координате трехмерная начально-краевая задача сводится к одномерной, допускающей аналитическое решение на основе интегрального преобразования Лапласа по времени.

2.2. Во втором параграфе рассматривается гипотеза о независимости коэффициентов волнового уравнения от координаты, нормальной к поверхности. Таким образом, разыскивается решение волнового уравнения, соответствующее состоянию акустической среды на поверхности препятствия. Показано, что данное приближение приводит к трехмерной начально-краевой задаче, допускающей решение только для ряда частных случаев геометрии препятствия.

2.3. В третьем параграфе вводится гипотеза тонкого слоя, представляющая собой комбинацию гипотезы нормального движения и гипотезы постоянных коэффициентов. Предполагается, что основное давление на поверхности препятствия развивается за счет нормального движения акустической среды, при этом коэффициенты волнового уравнения считаются не зависящими от нормальной координаты. Показано, что в этом случае преобразованием Лапласа по времени волновое уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, имеющему аналитическое решение, которое, в свою очередь, допускает обратное преобразование Лапласа. Таким образом удается построить фундаментальное решение нестационарной задачи на поверхности препятствия.

2.4. В четвертом параграфе проводится исследование погрешности, вносимой применением гипотез в постановку задачи. Приведено решение модельных задач и на основе сравнения приближенных решений с точными показано, что на начальном этапе дифракции акустической волны погрешность любой из трех приближенных моделей не превышает 10-12%. Дается обоснование использования модифицированной гипотезы тонкого слоя, как наиболее простой, во всех дальнейших исследованиях.

2.5. В пятом-девятом параграфах второй главы аналогичные исследования проводятся для плоской задачи о дифракции акустической волны на криволинейном цилиндрическом препятствии. Показано, что погрешность, вносимая применением гипотезы тонкого слоя в случае плоской задачи, не превышает 8-11%.

3. Третья глава диссертации посвящена построению фундаментальных решений плоской задачи о дифракции косых плоских и цилиндрических акустических волн на криволинейных цилиндрах и пространственной задачи о дифракции косых плоских и сферических волн на поверхностях вращения.

3.1. В первом параграфе главы 3 в пространственной постановке рассматриваются задачи о дифракции плоских косых акустических волн на поверхностях вращения второго порядка - параболоиде, гиперболоиде и эллипсоиде вращения. На примере задачи о лобовом набегании плоской акустической волны давления на параболоид вращения показано хорошее совпадение результатов, полученных с использованием гипотезы тонкого слоя, с точным решением Ф.Фридлендера.

3.2. Во втором параграфе рассмотрены пространственные задачи о дифракции сферической волны с произвольным расположением источника на параболоиде, гиперболоиде и эллипсоиде вращения.

3.3. В третьем параграфе приводится решение плоских задач о дифракции косых плоских волн на криволинейных цилиндрических поверхностях - параболическом, гиперболическом и эллиптическом цилиндре. На примере задачи о лобовом набегании плоской акустической волны давления на параболический цилиндр показано хорошее совпадение результатов, полученных с использованием гипотезы тонкого слоя, с точным решением Ф.Фридлендера.

3.4. В четвертом параграфе главы приведены решения плоских задач о дифракции цилиндрических волн с произвольным расположением источника на гиперболических, эллиптических и параболических цилиндрах.

4. Четвертая глава диссертации посвящена построению конечно-разностных схем для численного решения нестационарной задачи динамики акустической среды и нестационарной динамики упругой оболочки.

4.1. В первом параграфе главы приведена постановка связанной задачи динамики акустической среды и упругой оболочки для случая малых деформаций.

4.2. Во втором параграфе среды приводится постановка плоской задачи динамики акустической среды в форме системы уравнений второго порядка, записанной в скоростях, в системе координат, нормально связанной с поверхностью оболочки для случая малых деформаций. Описан девятиточечный шаблон разностной схемы и приведены разностные операторы дифференцирования по пространственным и временным переменным.

4.3. В параграфе 3 описана конечно-разностная аппроксимация уравнений движения упругой оболочки на основе сдвиговой модели Райсснера-Тимошенко. Уравнения движения оболочки даны в матричной форме. Описываются трехточечный и пятиточечный разностные шаблоны по пространственной переменной и выписаны основные разностные соотношения. Приведено доказательство сходимости разностных схем. Устойчивость схемы исследуется методом гармонического анализа. Для разностной схемы на пятиточечном шаблоне получено число Куранта и показано ослабление устойчивости при повышении точности схемы по сравнению с трехточечным шаблоном.

4.4. В четвертом параграфе описана аппроксимация интегрального оператора типа свертки, входящего в уравнения движения оболочки в акустической среде, на основе метода трапеций, и построена аппроксимация интегро-дифференциальных уравнений движения.

4.5. В параграфе 5 приведено сравнение численных решений с использованием разностных схем на трехточечном и пятиточечном шаблонах.

5. Пятая глава диссертации посвящена решению задач о нестационарном взаимодействии плоских косых и цилиндрических акустических волн на упругих оболочках в форме криволинейных цилиндров.

5.1. Первый параграф главы посвящен исследованию взаимодействия оболочек в форме параболического и эллиптического цилиндров с плоскими акустическими волнами. Приведено сравнение решения на основе гипотезы тонкого слоя и численного решения связанной задачи динамики оболочки и акустической среды в точной постановке методом конечных разностей.

5.2. Во втором параграфе исследуется взаимодействие оболочки в форме гиперболического и эллиптического цилиндров с цилиндрической волной давления с произвольным расположением источника.

6. В шестой главе работы рассмотрены осесимметричные задачи дифракции акустических волн давления на оболочках вращения со срединными поверхностями второго порядка - параболоидами, гиперболоидами и эллипсоидами вращения

6.1. В первом параграфе получены кинематические параметры оболочек в форме параболоида, эллипсоида и гиперболоида вращения при действии плоской прямой акустической волны.

6.2. Во втором параграфе приведены результаты исследования взаимодействия оболочки в форме эллипсоида вращения со сферической акустической волной.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

На основе критического анализа существующих методов построения точных и приближенных решений задачи дифракции слабой ударной волны в акустической среде на жестком или деформируемом выпуклом препятствии обосновано применение аппарата переходных функций. Нестационарная задача динамики акустической среды сформулирована в криволинейной ортогональной системе координат, нормально связанной с препятствием - жестким телом или упругой оболочкой. В последнем случае задачи динамики упругой оболочки и акустической среды поставлены в единой системе координат.

На базе решения задачи дифракции акустической волны на криволинейном выпуклом препятствии обоснованы гипотезы, позволяющие аналитически построить переходную функцию данной задачи. Сформулирована гипотеза тонкого слоя, являющаяся обобщением известной гипотезы плоского отражения благодаря учету кривизны препятствия. Проведено сравнение приближенных решений, полученных на базе гипотезы тонкого слоя, с точными решениями модельных задач и показана эффективность применения гипотезы для определения давления в акустической волне на поверхности выпуклого препятствия. Исследованы задачи дифракции акустических волн с различными формами фронтов и распределениями давления за фронтом на канонических поверхностях второго порядка и на основе гипотезы тонкого слоя впервые построены фундаментальные решения в гипергеометрических функциях.

В рамках плоской задачи получены переходные функции для препятствия с параболической, гиперболической или эллиптической цилиндрической поверхностью, в пространственной постановке - для параболоида, гиперболоида или эллипсоида вращения.

- Построены профили давления плоских волн с произвольной ориентацией фронта и сферических или цилиндрических волн с произвольным расположением источника, дифрагирующих на параболических, гиперболических и эллиптических цилиндрах в плоской постановке задачи; на параболоидах, эллипсоидах и гиперболоидах вращения - в пространственной постановке задачи. На примерах показана эффективность применяемой методики вычисления давления на жестком препятствии.

- Для оценки точности применяемого приближенного подхода к решению задач, не допускающих точного аналитического решения, построена явная конечно-разностная схема интегрирования уравнений динамики акустической среды в криволинейной системе координат, нормально связанной с препятствием, и показана сходимость дискретного конечно-разностного аналога к исходной начально-краевой задаче.

- На основе построенных переходных функций получены интегро-дифференциальные уравнения движения податливых на сдвиг упругих оболочек под действием слабых ударных волн различной формы в акустической среде. Взаимодействие с окружающей сплошной средой моделируется интегральными членами уравнений с непрерывными ядрами.

- Для численного решения интегро-дифференциальных уравнений движения оболочки построены разностные схемы, исследована их сходимость, определены числа Куранта и показано ослабление устойчивости разностных схем при повышении порядка точности.

- На базе модельной задачи дифракции плоской акустической волны на круговом цилиндре проведено сравнение разностных схем, построенных на различных шаблонах, и предложено использование пятиточечной разностной схемы по пространственной переменной при трехточечной схеме по временной переменной.

На базе разработанного метода построены решения задач динамики некруговых цилиндрических оболочек в плоской постановке и оболочек вращения в пространственной постановке. На числовых примерах показана эффективность метода при решении задач нестационарного взаимодействия оболочек с окружающей сплошной средой.

1. Александрова Н.И. Аппроксимация граничных условий в задачах гидроупругости // Математич. моделирование. 1991, Т.З, № 12, С.16-30.

2. Алумяэ Н.А. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластинок. Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пластинок, 1966. М.: «Недра», 1966, С. 883-889.

3. Аныкъев И.И., Михайлова М.И., Сущенко Е.А. Динамика нагружения цилиндрических и сферических тел при взаимодействии с ударной волной Прикл. мех. 2004. 40, № 12, С. 117-123.

4. Анисимов С.А., Вогульский И.О. Численное решение задач динамики упругих тел. Новосибирск, изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1995.

5. Арцыкова Н.А., Перцев А.К., Яковлев С.В. Воздействие сферической ударной волны на упругую круговую цилиндрическую оболочку Прикл. мех. 2004.40, № 9, С. 94-104.

6. Афанасьев Е.Ф. Отражение волны давления от плоскости с деформируемой частью в виде мембраны. Инж. ж., 1961. № 2, С. 158-163.

7. Афанасьев Е. Ф. Об одной задаче дифракции ударных волн. Инженерный ж., 1965, 5, № 4, С. 612-622.

8. Афанасьев Е.Ф. Дифракция нестационарной волны на полуплоскости. Инженерный ж., 1962, 2, № 4, С. 337-340.

9. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Некоторые математические методы, применяемые в теории дифракции. В сб.: 1-я Всес. школа-семинар по дифракции и распростр. волн, 1965. Тексты лекций. Москва-Харьков, 1968. С. 3-92.

10. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван, АН АрмССР, 1961.

11. Багдоев А.Г. Определение параметров движения жидкости в задаче отражения ударной волны от пластинки в линейной и нелинейной постановке. Изв. АН АрмССР. Механика, 1974, № 6, С. 18-32.

12. Баженов В.Г., Кочетков А.В., Михайлов Г.С. Численное решение плоских и осесимметричных задач взаимодействия упругопластических оболочек с ударными волнами // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд-во ГТУ, 1978. №7. С. 55-68.

13. Баженов В.Г., Михайлов Г.С. Нелинейное динамическое взаимодействие тонкостенных конструкций с идеальными сжимаемыми средами // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд-во ГТУ, 1979. № 10. С. 41-55.

14. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Изв. РАН. МТТ. 2001. №5. С. 156-173.

15. Балабух ЛИ. Взаимодействие оболочек с жидкостью и газом. Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пластинок, 1966. М.: «Наука» 1966, С. 935-944.

16. Белов А.В. Применение уточненной асимптотической модели в задаче рассеяния плоской акустической волны цилиндрической оболочкой Тез. докл. 3 Междунар. симп. "Динам, и технол. пробл. мех. конструкций и сплош. сред", (Москва, 1997). М.: 1997, с. 16.

17. Березина М.Х., Epuioe JI.B. О численном интегрировании уравнений плоской задачи динамики упругих тонкостенных цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №3.

18. Беспалова Е.И., Воротникова М.И., Кононеяко В.О. О дифракции ударной волны в воде на абсолютно жестком неподвижном цилиндре. Прикл механика, 1972, 8, С. 3-8.

19. Билянский Ю.С., Жирное М.В. Осесимметричная задача гидроупругости для цилиндрических конструкций конечной длины Прикл. мех. (Киев). 1995. 31, N 12, С. 31-37.

20. Борисова Н.М., Остапенко В.В. О точности расчета нестационарных ударных волн в методах с выделением разрывов Ж. вычисл. мат. и мат.физ. 2003.43, № 10, С. 1494-1516.

21. Борисовская В.П., Иванов А.Н. Взаимодействие сферической ударной волны с пластиной. Уч. зап. центр, аэрогидродинам. ин-та, 1977, 8, №2, 91—т.

22. Бурдун Е.Т. Действие акустической ударной волны на трехслойную цилиндрическую оболочку. Тр. Николаев, кораблестроит. ин-та, 1974, вып. 84, С. 53-57.

23. Валиков КВ., Гоц А.Н. О расчете сферической оболочки на действие ударной волны. Расчет и оптим. проектир. строит, конструкций: Матер. Междунар. симп., Владимир, 22-24 мая, 1996. Владимир. 1996, С.109-112.

24. Векслер Н.Д. Взаимодействие акустического импульса с заполненной жидкостью упругой сферической оболочкой. В сб.: IX Всес. акуст конф., 1977. Секц. А. М., 1977, С. 47-50.

25. Векслер Н.Д. О применении рациональной аппроксимации функций Макдояальда при анализе осесимметричных волновых процессов деформации круговых пластин методом преобразования Лапласа Изв АН ЭстССР. Физ., мат., 1970, 19, № 4, С. 473-475.

26. Векслер Н.Д. Дифракция плоской звуковой волны на тонкой упругой сферической оболочке. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1974 № 3, С. 130-138.

27. Векслер Н.Д. Осесимметричная дифракция плоской звуковой волны на замкнутой тонкой упругой оболочке вращения. Изв. АН СССР Мех тверд, тела, 1975, № 1, С. 69-78.

28. Векслер Н.Д. О дифракции акустического импульса на цилиндрической оболочке, заполненной жидкостью. Изв. АН СССР Мех тверд тела 1977, №2, С.182.

29. Векслер Н.Д., Дюбюс Б., Лави А. Рассеяние акустической волны эллипсоидальной оболочкой Акуст. ж. 1999. 45, N 1, С. 53-58.

30. Векслер Н.Д., Кутсер М.Э. Асимптотика поля давления в определенном скачке при дифракции плоской акустической волны на упругой цилиндрической оболочке. Прикл. мат. и мех. 1976,40, №3, С.509-519.

31. Векслер Н.Д., Нигул У.К., Лукк Р.А. Об алгоритме вычисления в рядах Фурье эхо-сигналов от упругих сферических объектов в идеальной жидкости. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1970, № 6, С. 71-83.

32. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. // Итоги науки и техники. МДТТ. М.: ВИНИТИ 1983 г. т. 15 С. 69-148.

33. Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом / Под ред. А.Г. Горшкова. -М.: Изд-во МГУ, 1984. 168 с.

34. Вильде М.В., Каплунов Ю.В., Ковалев В.А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой. Изв. РАН. МТТ. №3. 2002. С. 180-186.

35. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. - 416 с.

36. Вольмир А.С., Герштейн М.С. Поведение упругих цилиндрических оболочек при действии плоской акустической волны. Инженерный ж., 1965, 5, №6, С. 1127-1130.

37. Вольмир Е.А. Поведение упругой цилиндрической панели под действием ударной волны в жидкости. Изв. АН СССР. Мех. Тверд, тела,1969, № 1, С. 180-184.

38. Вороненок Е.Я. Задачи дифракции акустической волны давления на бесконечном некруговом цилиндре. Изв. АН СССР. Механика, 1965,3, С. 33-39.

39. Вороненок Е.Я. О нестационарных продольных деформациях цилиндрической оболочки под действием акустической волны давления. Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пластинок, 1966 М., «Наука», 1966, С. 255-260.

40. Вороненок Е.Я. Задачи нестационарной гидроупругости для системы двух цилиндрических оболочек. В сб.: Теория пластин и оболочек. М., «Наука», 1971, С. 33-39.

41. Вороненок Е.Я. Численный метод обратного преобразования Лапласа и его реализация в одной задаче гидроупругости. В сб.: Пробл. строит, мех. корабля. Л., «Судостроение», 1973, С. 43-51.t

42. Галиев Ш.У., Писаренко Г.С. Теория нелинейного взаимодействия деформируемых тел с волной давления в жидкости. Докл. АН УССР, 1978, А, №2, С. 140-144.

43. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.

44. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М: Добросвет, Т.1, Москва. 2000. 402 с.

45. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

46. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

47. Голубинский А.П., Коган М.Н. Об импульсе нестационарного давления, действующего на тела в жидкости или газе. Изв. АН СССР Мех. жидкости и газа, 1970, № 1, С. 113-120.

48. Горшков А.Г. Динамическое взаимодействие оболочек и пластин с окружающей средой. Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 2, С. 165-178.

49. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Изд. ВИНИТИ, 1989. Т. 13. С. 105-186.

50. Горшков А.Г. Динамическое взаимодействие оболочек и пластин с окружающей средой. Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 2, С. 165-178.

51. Горшков А.Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 4. С. 177-189.

52. Горшков А.Г. Взаимодействие плоских акустических ударных волн с жесткими и упругими оболочками / Инженерный, ж. Мех. тверд, тела, 1968. № 1. 157-158.

53. Горшков А.Г. Взаимодействие слабых нестационарных волн давления с упругими оболочками. Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 3, С. 155-164.

54. Горшков А.Г., Егорова О.В., Медведский А.Л., Рабинский J1.H. Плоская задача дифракции акустической волны давления на криволинейном препятствии // Изв. РАН. МТТ. №3. 2003. С.148-154.

55. Горшков А.Г., Жаворонок С.И., Медведский A.JI., Рабинский Л.Н. Плоская задача дифракции акустической волны давления на тонкой орто-тропной панели, помещенной в жесткий экран. Изв. РАН. МТТ. №1. 2004. С.209-220.

56. Горшков А.Г., Жаворонок С.И., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Движение абсолютно твердого тела акустической среде под действием нестационарной сферической волны давления. Изв. РАН. МТТ. №1. 2006 СЛ 73-186.

57. Горшков А.Г., Медведский A.JI., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах: Учебное пособие для вузов. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004.- 632 с.

58. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогид-роупругость конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 592 с.

59. Горшков А.Г., Рабинский J1.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. М.: Наука, 2000.-214 с.

60. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука, 1990 .-351 с.

61. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974. - 208 с.

62. Григолюк Э.И., Калган В.П., Кузнецов Е.Б. Реакция трехслойной цилиндрической оболочки на действие воздушной ударной волны Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1975, № 1, С. 62-64.

63. Григолюк Э.И., Куршин Л.М., Присекин B.JI. К уточнению гипотезы плоскою отражения. Докл. АН СССР, 1964, № 1, С. 65-66.

64. Григолюк Э.И., Кузнецов Е.Б. Реакция трехслойной сферической оболочки, соединенной с жесткими массами, на акустическую волну давления. В сб.: Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск, Томск, ун-т, 1975, С. 53-59.

65. Григолюк Э.И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью. В кн.: Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969 г. М.: Наука, 1970, С. 755-778.

66. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарные колебания панели при ударе в акустической среде. Тр. Всес. симпозиума по переходным процессам деформаций оболочек и пластин, Тарту; 1967. Таллин, Изд-во ЦБТИ ЭстССР, 1967, С. 77-87.

67. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Действие плоской волны давления на упругие конструкции с жесткими элементами. В кн.: Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1972, С. 62-72.

68. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Шклярчук Ф.Н. О воздействии ударной акустической волны на упругую цилиндрическую оболочку. Инженерный ж. Мех. тверд, тела, 1967, № 3, С. 60-65.

69. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Действие акустической волны давления на пологую сферическую оболочку. Докл. АН СССР, 1968, 18.2, №4, С. 787-789.

70. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие слабых ударных волн с упругими конструкциями. М., 1971. 180 с. Науч. тр. / Ин-т механики Моск. ун-та; № 13.

71. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Действие акустической волны давления на упругую коническую оболочку, закрепленную в экране. Докл. АН СССР, 1972, 202, № 5, С. 1028-1030.

72. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Реакция сферических оболочек на действие ударных волн. В сб.: Динамика упругих и тверд, тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск, Томск, ун-т, 1972, С. 73-80.

73. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Определение гидродинамических нагрузок при взаимодействии слабых нестационарных волн давления с упругими оболочками. В сб.: Колебания, излуч. и демпфирование упруг, структур. М., «Наука», 1973, С. 3-11.

74. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарные гид-ррупругие колебания толстостенной сферы. Дока: АН СССР, 1977, 233, №5; С. 812-815.

75. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Хромушкин А.В. Реакция сферических и цилиндрических оболочек на акустическую волну давления. В сб.: Избр. пробл. прикл. мех, М., 1974, С. 259-269.

76. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Шклярчук Ф.Н. Прощелкивание цилиндрической панели под действием ударной акустической волны давления. Инженерный ж. Мех. тверд, тела, 1967, №5, С. 50-55.

77. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. К определению гидродинамических сил взаимодействия слабых ударных волн с упругой сферой. Докл. АН СССР, 1976,230, № 1, С. 60-63.

78. Григолюк Э.И., Кузнецов Е.Б. Поведение трехслойной цилиндрической оболочки, соединенной с жесткими массами, под действием акустической волны давления. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1975, №2, С. 183188.

79. Григолюк Э.И., Хромушкин А.В. Поведение трехслойной цилиндрической оболочки под действием акустической ударной волны. В сб.: Расчет пространственных конструкций. Вып. 16. М., Стройиздат, 1974. С. 62-76.

80. Григолюк Э.И., Кузнецов Е.Б. Коническая оболочка под воздействием слабой ударной волны. Докл. АН СССР, 1976, №> 2, С. 300-301.

81. Гузенко Н.Н., Сидляр Ж.М. Дифракция ударной волны при взаимодействии ее с плоской пластиной. Тр. 1-й респ. конференции по аэрогидромеханике, теплообмену и массообмену: Киев, Киевский ун-т, 1969, С. 73-76.

82. Гузь А.Н., Кубенко ВД. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев: Наук, думка, 1982, Т.5. 400 с.

83. Гуляев В.К, Никитин С.К. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке переменной толщины // Прикладная механика. 1975. Т.П. Вып.4. С. 37-41.

84. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Изд-во «Высшая школа», 1965. - 467 с.

85. Дятловицкий JI.K, Лемберг Э.Д. Плоская нестационарная задача гидроупругости. Тр. V Междунар. конф. по нелинейн. колебаниям. Т. 3. Киев, Ин-т мат. АН УССР, 1970, С. 280-288.

86. Евсеев Е.Г. Семенов А.Ю. Метод для численного решения уравнений динамики тонкостенных оболочек, основанный на выделении сильно-осциллирующих компонент // Докл. АН СССР, 1990, № 4. С. 785-788.

87. Евсеев Е.Г., Семенов А.Ю. Численный метод решения систем уравнений динамики тонкостенных оболочек. Препринт № 20, Ин-т общей физики АН СССР, Москва, 1989.

88. Жулева И.С., Шейнин КС. Гидродинамические силы при нестационарных колебаниях цилиндрических оболочек в водной среде с учетом деформаций поперечного сечения. В сб.: Теория оболочек и пластин. М., «Наука», 1973, С. 469-474.

89. Замышляев Б.В., Яковлев Ю.С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. Л., «Судостроение», 1967. 387 с.

90. Иванов А.Н., Чернявский С.Ю. Исследование взаимодействия сферической ударной волны с телами. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1969, № 6, С.115-119.

91. Иванов В.Л. Метод аппроксимации систем гиперболических уравнений, содержащих большие параметры в недифференциальных членах // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1987, №9. С. 1388-1394.

92. Ильгамов М.А., Шакирьянов М.М. Нелинейные колебания круглой пластины в жидкости при действии плоской ударной волны Вестн. УГАТУ. 2001, N2, С. 58-63.

93. Ильгамов М.А. Обзор исследований по взаимодействию акустической среды и упругих оболочек. В сб.: Исслед. по вибрац. горению и смежн. вопр., Казань, Казан, ун-т, 1974, С. 3-18.

94. Ильгамов М.А. Об условиях на поверхности контакта упругой оболочки и идеальной жидкости в лагранжевом представлении. Прикл. мат. и мех., 1977, 41, №3, С. 509-519.

95. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.:Изд-во МГУ, 1990. 310 с

96. Исраилов М.Ш. Дифракция акустической волны на пластине Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1975, № 1, С. 159-163.

97. Карачун В.В., Лозовик В.Г. Напряженно-деформированное состояние поверхности круговой цилиндрической оболочки под действием акустической волны. Пробл. прочн. 1997, № 3, С. 139-144.

98. Хв.Кармишин А.В., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фелъдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1982.-240 с.

99. Ковалев В.А. О применении модели типа плоского слоя в задаче рассеяния плоской акустической волны упругой эллиптической цилиндрической оболочкой Вопр. исслед. прочн. деталей машин. 2003, N 8, С. 26-31.

100. Ковалев В.А. Синтез акустического давления, рассеянного упругой цилиндрической оболочкой, основанный на сращивании асимптотических приближений Изв. РАН. МТТ. 2003, N 4, С. 215-224.

101. Козина О.Г., Макаров Г.И., Шапошников Н.Н. Переходные процессы в акустических полях, возникающих при колебаниях сферического сегмента. Акуст. ж., 1962, 8, № 1, С. 72-78.

102. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 832 с.

103. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1986.

104. Красилыцикова Е.А. Дифракция акустической волны на неподвижной пластинке Изв. АН СССР. МЖГ, 1972, № 2, С. 123-130.

105. Красилыцикова Е.А. Дифракция акустической волны на движущейся и неподвижной пластинке. Докл. АН СССР, 1972, 203, № 2, С.311-314.

106. Красилыцикова Е.А. Акустическое поле в газе от произвольных возмущений на движущейся пластинке. Докл. АН СССР, 1973, 209 № 3, С.589-592.

107. Красилъщикова Е.А. Давление произвольной акустической волны на плоскость. Изв. АН СССР, Мех. жидкости и газа, 1975, № 1, С.114-116

108. Красилъщикова Е.А. Дифракция акустической волны на щели Докл. АН СССР, 1974,217, № 1, С.59-62.

109. Крутиков B.C. О взаимодействии слабых ударных волн со сферической оболочкой с учетом подвижности границ. МТТ №2 1992. С. 170178.

110. Кубенко В.Д. Нестационарное деформирование заполненной жидкостью оболочки под действием слабых ударных волн. Прикл. механика, 1975, 11, №6, С.64-71.

111. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наукова думка, 1979. - 184 с.

112. Кубенко В.Д. Действие нестационарной сферической волны на тонкую мембрану, покрывавшую акустическое полупространство. Прикл. механика, 1971, 7, №5, С. 68-72.

113. Кубенко В Д. Деформирование сферической оболочки под действием нестационарной сферической гидроакустической волны. Прикл. механика, 1972, 8. №10, С. 106-110.

114. Кубенко В.Д. Смещение в цилиндрической оболочке при действии цилиндрической волны в акустической среде. Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 6, С. 67-72.

115. Кубенко В.Д., Панасюк Я.Н. Действие нестационарных волн на цилиндрические тела в сжимаемой жидкости. Прикл. механика 1973 9 № 12, С.77-82.

116. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного интегрирования гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.

117. Кусков A.M. Об учете дифракции при воздействии на пластину слабой ударной волны. Вести. Ленингр. ун-та, 1972, № 19, С. 95-102.

118. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука 1987, 840 с.

119. Луговой П.З., Мейш В.Ф. К решению осесимметричных задач динамики цилиндрических оболочек численными методами // Прикл. механика, 1986, 22, №2. С. 29-33.

120. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

121. Мнев Е.Н. Нестационарные упругие волны в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, соприкасающейся с акустической средой. В сб.: 2-й Всес. съезд по теор. и прикл. мех., 1964. Аннотации докл. М„1964, С. 149.

122. Мнев Е.Н., Перцев А.К. Воздействие движущейся нагрузки на цилиндрическую оболочку, соприкасающуюся с акустической средой. В сб.: Прочность и пластичность. М., «Наука», 1971, С.303-307.

123. Мнев Е.Н., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. JI.: Судостроение, 1970-366 с.

124. Нетребко В.П., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. Сравнение решений уравнений динамики цилиндрических оболочек по теориям Тимошенко и Кирхгофа-Лява // Изв. РАН, МТТ, 1999, № 3. С. 140-149.

125. Панасенко А.В. Общий анализ картины дифракции плоской акустической волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1975, № 2, С. 172-175.

126. Перцев А.К, Курочкин В.А. О поведении пологой сферической оболочки под действием акустической волны давления. Изв АН СССР. МТТ, 1977, № 2, С.190.

127. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987.

128. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Развитие решения задач нестационарной гидроупругости оболочек. В кн.: Тр. IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Ленинград, 1973 г. Л: Судостроение. 1975, С.78-82.

129. Перцев А.К., Слепнева JI.B. Воздействие акустической волны давления на цилиндрическую оболочку, подкрепленную ребрами жесткости. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1977, № 2, С. 190.

130. Пищик Г.Ф., Пищик М.Ф. Напряжения, возникающие в круглой пластинке при подводном взрыве. Тр. Юбилейн. науч.-техн. конф. Ле-нингр. электротехн. ин-та. Ч. 1. Новгород, 1971, С. 99-106.

131. Платонов З.Г. Напряжения в упругих тонкостенных сферических и цилиндрических оболочках при воздействии на них акустической волны давления. Тр. VI Всес. конф. по теории оболочек и пластинок, 1966. М., «Наука», 1966, С. 618-625.

132. Платонов Э.Г. Интегральная форма внешних сил при взаимодействии акустической волны давления с цилиндрической оболочкой. Тр. X Всес. конф по теории оболочек и пластин, Кутаиси, 1975. Тбилиси, -«Мецниереба», 1975, С.310-316.

133. Пономарев А. Т. Динамика тонкостенных элементов летательных аппаратов в нестационарном потоке. Изв.АН СССР. МТТ, 1977, № 4, С. 198.

134. Поручиков В.Б. Решение задачи о дифракций акустической волны на конусе. Прикл. мат. и мех., 1968, 32, № 2, С.319-323.

135. Поручиков В.Б. Дифракция сферической акустической волны на конусе Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1976, № 2, С.200-204.

136. Поручиков В.Б. Дифракция акустической волны на упругой тонкой полосе, жестко заделанной в бесконечной твердой стенке. В сб.: Науч. конф. Ин-т мех. Моск. ун-та. Тезисы докл. М: 1970, С.53-54

137. Потемкин В.Г. Matlab 6: среда проектирования инженерных приложений. Диалог-МИФИ. 2003.

138. Присекин В.Л. Взаимодействие пластинки, лежащей на упругом слое, с акустической волной. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1961 № 6, С. 165-166.

139. Присекин В.Л. Взаимодействие трехслойной пластины с акустической волной. В сб.: Расчеты элементов авиац. конструкций. Вып. 4. М. «Машиностроение», 1965, С. 157-167.

140. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 800 с.

141. Рабинский JI.H. Дифракция акустической волны давления на жесткой сплошной сфере. Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики Труды XXIX академических чтений по космонавтике Москва январь 2005 г. М: Война и мир,2005. 492 с.

142. Рабинский JI.H. Дифракция плоской акустической волны давления на тонкой эллиптической оболочке. Материалы XI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». T.l. -М.: Изд-во МАИ, 2005. С. 206.

143. Рабинский JI.H. Нестационарная задача дифракции плоской акустической волны давления на тонкой эллиптической оболочке. Изв. РАН. МТТ. №5. 2005. С.184-191.

144. Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1961, № 2, С.267-279.

145. Сагомонян А.Я. Пространственные задачи по неустановившемуся движению сжимаемой жидкости. М., Моск. ун-т, 1962.181 .Сагомонян А.Я., Поручиков В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М., Моск. ун-т, 1970.

146. Самарский А.А., Попов ЮЛ. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.

147. Скобеев A.M. Взаимодействие акустической волны с пластинкой. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1972, № 1, С.84-91.

148. Скобеев A.M. Взаимодействие упругой волны с пластинкой. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1972, № 2, С.74-85.

149. СкучикЕ. Основы акустики. Том 1. М.: МИР, 1976, 494 с.

150. Ш.СкучикЕ. Основы акустики. Том 2. М.: МИР, 1976, 542 с.

151. Слепнева JI.В. О взаимодействии цилиндрической оболочки, подкрепленной жесткими шпангоутами, с акустической ударной волной. Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин, Кутаиси, 19.75. Тбилиси, «Мецниереба», 1975, С.332-340.

152. Слепян J7.M. Нестационарные упругие волны. Л., «Судостроение», 1972.

153. Слепян JI.M. Исследование нестационарных деформаций с помощью рядов, определенных на переменном интервале. Изв. АН СССР. Механика, 1965, №4, С.62-69.

154. Смирнов В.И., Соболев СЛ. Новый метод в плоской задаче упругих колебаний. Тр. Сейсмология, ин-та АН СССР, 1932, №20, С Л-37.

155. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовица М., Стиган И. М.:Наука. - 1979. - 830 с.

156. Суркова Е.М. Решение некоторых частных пространственных задач дифракции и отражения обобщенным методом Адамара. Сб. Ин:т мех. Мех мат: фак. Моск. ун-та, 1973, № 1, С.53-61.

157. Тарлаковский Д.В. Нестационарное поведение толстостенной упругой сферы в жидкости. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1977, № 2, С. 186.

158. Третьяков В.В. Новые аналитические решения волнового уравнения изадача дифракции. Прикл. мат. и мех., 1975, 39, № 1, С.80-85.

159. Тривайло М.С. Действие внешней нестационарной акустической волны на систему вложенных цилиндрических оболочек Мех. композиц. матер. и конструкций. 2000. 6, N 4, С. 510-520.

160. Филиппов И.Г К теории линейных пространственных нестационарных задач дифракции и некоторые нелинейные задачи. Прикл. мат и мех. 1963, 27, №4, С.708-714.

161. Филиппов И.Г. К теории дифракции цилиндрических упругих и слабых ударных волн. Прикл. мат. и мех., 1964, 28, № 2, С.296-304.

162. Филиппов И.Г. О некоторых, задачах дифракции слабых упругих и ударных волн Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1965, 5, № 6, С. 1024-1031.

163. Филиппов И.Г. К теории дифракции слабых ударных волн около контуров произвольной формы. Прикл. мат. и мех., 1963, 27, № 1, С.75-84.

164. Филиппов И.Г, Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических средах. М: Машиностроение, 1977. 304 с.201 .Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. Учебное пособие для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 632 с.

165. Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. М,: Изд. иностр. лит., 1962. 232 с.

166. Харкевич А.А. Неустановившиеся волновые процессы. М.-Л., Гостех-издат, 1950.

167. Хоскин Н., Лембурн Б. Расчет общих одномерных нестационарных задач с помощью метода характеристик // Численные методы в механике жидкостей / М.: Мир. 1973. С. 83-93.

168. Хромуилкин А.В. Нелинейные колебания и устойчивость цилиндрических панелей под действием нестационарных акустических волн. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1975, №5, С. 174-179.

169. Чечеткина Е.Ы. Об одном методе решения задач дифракции на осе-сим-метричных телах. Вести. Моск. ун-та, Мат., мех., 1973, №6, С. 107-113.

170. Юбералл X Акустика оболочек: Обзор. Акуст. ж. 2001. 47, N 2, с. 149177.208Яковлев Ю.С. Гидродинамика взрыва, Л., Судпромгиз, 1961.

171. Якупов Р.Г. Динамика пластины при действии нестационарной волны давления. В сб.: Прочность конструкций. № 1. Уфа 1976, С. 21-25.

172. Akkas N., Yilmaz С. Dynamics of elastic structures in acoustic media using general purpose finite element programs. Wiss. Z. Hochsch Arch, und Baoiw. Weimar, 1978, 25, № 1, C. 4-6.

173. Andronov I. V., Belinskiy B.P. Acoustic scattering on an elastic plate described by the Timoshenko model: Contact conditions and uniqueness of the solution J. Acoust. Soc. Amer. 1998. 103, N 2, p. 673-682.

174. Baron M.L. A further study of the resiponse of an elastic cylindrical shell о a transverse shock wave, p.roc. 2nd U. S iNat. Cong. Appl Mech. ASME. N. Y., 1954, P.201-212.

175. Bedrosian В., DiMaggio F.L. Acoustic .approximations in fluid-shell interactions. J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1972, 98, № 3, P.731-742.

176. Belytschko Т., Kennedy J.M. Finite element study of pressure wave abtenua-tion by reactor fuel subaesemblies. Trans. ASME, 1975, N 3, P.172-177.

177. Belytschko Т., Mullen R. Mesh partitions of explicit-implicit integrations in transient analysis. Theor. -and Appl. Mech. 14h IUTAM Congr., Delft, 1976. Abstrs. Amsterdam e. a., 1976, 95.

178. Belov V.E., Gorsky S.M., Zalezsky A.A., Zinovyev A. Y. Application of theintegral equation method to acoustic wave diffraction from elastic bodies in a fluid layer J. Acoust. Soc. Amer. 1998. 103, N 3, P. 1288-1295.

179. Berger B.S., Schur W. Vibrations of an infinite cylindrical shell in an acoustic medium. CANCAM 75. Proc. 5th Can. Congr. Appl Mech., Fredericton, N.B. 1975. Fredericton, 1975, P.349-350.

180. Berger B.S., Klein D. Application of the cesaro mean to the transient interaction of a spherical acoustic wave and a spherical elastic shell. Trans. ASME, 1972, E39, № 2, P.623-625.

181. Berger B.S. Dynamic response of an infinite cylindrical shell in an acoustic medium Trans ASME, 1969, E36, № 3, P.342-345

182. Berglund J.W., Klosner J.M. Interaction of a ring-reinforced shell and a fluid medium. Trans. ASME, 1968, E35, N 1, P.139-147.

183. Carrier G.F. The interaction of an acoustic wave and an elastic cylindrical shell. Brown Univ., Contract № 7 onr-35810, Techn. iRept, 1951, N 4, P. 112.

184. Chester W. The reflection of a transient pulse by a parabolic cylinder and paraboloid of revolution. Quart J. Mech. and App'l Math -1952 5 N 2,1. Р Л 96-205.

185. Cole R.H. Underwater explosions. Princeton, Princeton Univ. Press, 1948. Перевод: Коул P. Подводные взрывы. M., Изд-во ин. лит., 1950.

186. Crocker M.J., Hudson R.R. Structural response to sonic booms. J.Sound and Vibr., 1969,9, N 3, P.454-468.

187. Crocker M.L. Response of panels to oscillating .and -to moving shock waves J Sound and Vilbr., 1967, 6, N 1, P.38-58.

188. Crocker M.L. Multtmode response of panels to normal and to traveling'; sonic booms. J. Acaust. Soc. Amer., 1967, 42, N 5, P.1070-1079.

189. Crouzet-Pascal J., Garnet H. Response of ring-reinforced cylindrical shell immersed in a fluid medium, to an axisyrnmetric step pulse. Trans. ASME, 1972, £59, N2, P.521-526.

190. Dzigadlo Z. Asymptotic theory of the pressure on a cylindrical shell performing unsteady oscillation in external or internal supersonic flow. Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn., 1968,16, N 11-12, P.857-864.

191. Enhamre E. Effect of underwater explosions on elastic structures in water. Acta polytechn. Phys. iSer., 1954, 2, N 12, P. 1-79.

192. Farn C.L., Huang H. Transient .acoustic fields generated by a body of arbitrary shape. J. Acoust. Soc. Amer., 1968,43, N 2, P.252-257.

193. Friedlander F.G. Diffraction of puses by a circular cylinder. Comm Pure and Appl. Math., 1954, 7, N4, P.705-732.

194. Friedlander F.G. Sound pulses. Cambridge, Univ. Press, 1958. Перевод: Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. М., Изд-во ин. лит., 1962.

195. Friedman М.В., Shaw. К. Diffraction of pulses by cylindrical obstacles of arbitrary cross section. Trans. ASME, 1962, E29, N 1, P.40-46.

196. Geers T.L. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse acoustic shock wave in a light fluid medium. J, Acoust .Soc. Amer., 1970, 48, N 3, part 2, P.692-701.

197. Geers T.L. Resudual potential and approximate methods for three-dimensional fluid-structure interaction problems. J. Acoust. Soc. Amer., 1971,49, N5, part 2, P.1505-1510.

198. Geers T.L. Exoita.tion of an elastic cylindrical shell by a transient acoustic wave. Trans. ASME, 1969, E36, N 3,459-469.

199. Guruswamy Guru P. A review of numerical fluids/structures interface methods for computations using high-fidelity equations Comput. and Struct. 2002. 80, N 1, P.31-41.

200. Haywood J.H. Response of .an elastic cylindrical shell to a pressure pulse Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1958, 77, part 2, P.129-141.

201. He You-sheng, Xie Zhi-kui, Ye Qu-yuan Radiation and scattering of sound waves by a screened prolate spheroid Int. Conf. Hydrodyn., Wuxi, 30th Oct. 3rd Nov., 1994: ICHD'94. Beijing. 1994, P.640-644.

202. Herman H., Ktosner M. Transient response of a perioidically sypported cylindrical shell immersed in a fluid medium. Trans. ASME, 1965, E32, N 3, P.562-568.

203. Hori Yasuro, Hori Kenji Two-dimensional coupling vibration analysis of fluid and structure using an FEM displacement method. 2nd report. Extraction method of spurious modes Nippon kagaku kaishi J. Chem. Soc. Jap. 1998, N 3, P.381-385.

204. Huang H. Transient interaction of plane acoustic waves with a spherical elastic shell. J. Acoust. Soc. Amer., 1969,45, N 3, P.661-670.

205. Huang H. An exact analysis of the transient interaction of acoustic plane waves with a cylindrical elastic shell. Trans; ASME, 1970, E37 N 4, P.1091-1099.

206. Huang H. Transient bending of a large elastic plate by an incident spherical pressure wave. Trans. ASME, 1974, E41, N 3, P.772-776.

207. Huang H., Lu Y.P., Wang Y.F. Transient interaction of spherical acoustic waves and a spherical elastic shell. Pap. Amer. Soc. Mech. Eng., 1970, N WA/APM-29, 4 pp.

208. Hunt D.A. A general principle in dynamic response of fluid-structure interaction. Trans. ASME, 1976, E43, N4, P.697-698.

209. James D.A. Acoustic scattering from a semi-infinite, elastic, cylindrical shell J. Sound and Vibr. 1996. 196, N 2, P.203-236.

210. Jones D.S. The scatering of a scalar wave by a semi-infinite rod of circular cross section. Phil.Trans.Roy.Soc. London, 1955, A247, N 934, P.499-528.

211. Kenner V.H Goldsmih W. Dynamic loading of a fluid-filled spherical shell Int. J. Mech. Soi., 1972,14, N9, P.557-568.

212. Lou Y.K, Klosner J.M. Transient response of a point-excited submerged spherical shell. Trans. ASME, 1973, E40, N4, P. 1078-1084.

213. Mandl P. Reflection of a plane acoustic shock by a surface of revolution, N.R.C. Kept, I960, N L. R. P.289.

214. Mann-Nachbar P. The interaction of an acoustic wave and an elastic spherical shell. Quart. Appl. Math., 1957, 15, N 1, P.83-93.

215. Mayes W.H., Edge P.M., Jr. Effects of sonic boom and other shock waves on buildings. Mater. iRes. and Standards, 1964, -4, N 11, P.588-592.

216. Mindlin R.D., Bleich H.H. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse step shock wave. J. Appl. Mech., 1953,20, N 2, P. 189-195.

217. Nath B. Dynamics of structure-fluid sysems. Adv. Hydrosci. Vol. 9. New York-London, 1973, P.85-118.21A.Norris A.N. Acoustic diffraction from the junction of two joined parallel plates J. Acoust. Soc. Amer. 1996. 99, N 3, P.1475-1483.

218. Norris A.N., Wickham G.R. Acoustic diffraction from the junction of two flat plates Proc. Roy. Soc. London. A. 1995. 451, N 1943, P.631-655.

219. Pack D.C. The reflexion and diffraction of shock waves. J. Fluid Mech., 1964. 18, N4, P.549-576.

220. Peralta L.A., Carrier G.F., Mow C.C. An approximate procedure for the solution of a class of transieent-wave diffraction problems Trans ASME 1966, E33,N 1, P.168-172.

221. Rao B.M., Zumwalt G.W. Diffraction and reflection of sonic boom waves J. mec, 1970, 9, N2, P.309-324.

222. Reismann H. Response of a cylindrical shell to an inclined, moving pressure discontinuity (shock wave). J. Sound and Vibr., 1968, 8, N2, P.240-255.

223. Sharpe R.L., Kost Garrison Structural response to sonic booms. J. Struct JDiv. Proc. Amer. -Soc, Civ. Eng, 1971, 97, N4, P. 1157-1174.

224. Shaw R.P. Retarded potential approach to the scattering of elastic pulses by rigid oibstacles of arbitrary shape. J. Acoust, iSoc. Amer, 1968, 44, N 3, P.745-748.

225. Shaw R.P., Friedman M.B. Diffraction of pulses by deformable cylindrical obstacles of arbitrary cross section. Proc. 4th U. S. Nat. Congr. Appl. Mech, Berkeley, Calif, 1962. Vol. 1. Oxford -London New York -Paris,

226. Pergamon Press, 1962, P.371-379.291 .Singh В., Jain A.K. Hydrodynamic pressures generated during earthquakes on structures surrounded by water. J. Inst. Eng. (India) Civ. Eng. Div., 1966,47, N 1-3, Parts 1-2, P.5-22.

227. SkalakR., Friedman M.B. Reflection of an lacoustic step wave from anelas-tic cylinder. J. Appl. Mech, 1958, 25, N1, P.103-108.

228. Sorokin S.V. Analysis of structural-acoustic coupling problems by a two-level boundary integral equations method. Part 2. Vibrations of a cylindrical sheel of finite length in an acoustic medium J. Sound and Vibr. 1995. 184, N2, P.213-228.

229. Tupholme G.E. Generation of acoustic pulses by baffled plane pistons Mathematika, 1969,16, N 2, P.209-224.

230. Wagner M. Hybride Randelementmethode in der Akustik und zur Struktur-Fluid-Interaktion Ber. Inst. A Mech. 2000, N 4, P. 1-182.

231. Wang Y.F., Berger B.S. Dynamic interaction between an elastic cylindrical shell subjected to point loading and an acoustic medium J Acoust Soc. Amer., 1971,49, N 1, Part 2, P.293-298.

232. Yue D.K.P., Chen H. S., Mei C.C. A hybrid element method for diffraction of water waves by three-dimensional bodies. Int. J. Num.-Meth. Eng., 1978, 12, N 2, P.245-266.