Нестационарные волновые процессы в упругих двусвязных областях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи

Ц1УКУРОВ Амон Мусурманович

УДК 539.3

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГИХ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва Издательство МАИ 1992

Работа выполнена в Московском авиационном институте

- доктор физико-математических наук, профессор Горшков А.Г.

- доктор физико-математических наук, доценг Тарлаковский Д.В.

- доктор физико-математических наук, профессор Новичков Ю.Н.

- кандидат физико-датематических наук, доцент Евсеев Е.Г.

Ведущая организация - Институт механики МГУ.

Научный руководитель Научный консультант

Официальные оппоненты

I-

4£

Защита диссертации состоится "Л " Цд-С^ 1992 г. в час. О О мин. на заседании специализированного Совета

Д 053.18.07 при Московском авиационном институте по адресу: 125871, Москва, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке МАИ. Автореферат разослан Ц> 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат технических наук, у/ доцент

/ Зайцев В.Н.

,. I ОНЦАЯ ХАРАКТЕШСТЖА РАБОТЫ

"^'-^./Диссертационная работа посвящена исследовании волновых процессов при распространении и дифракции нестационарных волн в упругих двусвязных областях.

Актуальность темы. Анализ нестационарных волновых процессов в упругих средах с границами представляет собой сложное и, вместе с тем, важное шправление волновой динамики механики деформируемого тела. Задачи о распространении и дифракции нестационарных волн в упругих телах имеют большое теоретическое и практическое значение в таких областях науки и техники, как самолетостроение, судостроение, сейсморазведка полезных ископаемых, сейсмостойкость сооружений и многих других. Основная сложность решения задач подобного рода связана с учетом влияния граничных поверхностей на напряженно-деформированное состояние в среде и преграде.

В настоящее время достаточно подробно изучены нестационарные задачи о распространении волн в односвязных или многосвязных областях с границами, заданными координатными поверхностями одного-семейства. Для важных, с точки зрения практического приложения нестационарных задач динамики.сплошных сред, занишвдих многосвязные области с границами в ввде различных координатных поверхностей, имеется лишь ограниченное число публикаций. В основном, они посвящены распространению волн в акустическом полупространстве со сферическим или цилиндрическим включением. Применяемые при этом методы решения, как правило, связаны с использованием метода редукции для бесконечных систем алгебраических или интегральных уравнений.

Поэтому актуальным является исследование волновых процессов в двусвязных упругих областях, разработка подходов к их решению, а также расширение возможных классов граничных поверх-

3

ноетей.

Теш диссертации связана с научно-исследовательскими работами, проводимыми в Московском авиационном институте по теме "Исследование динамического поведения неоднородных конструкций и структур при высокоинтенсивных нестационарных воздействиях" (гос.per. # 0I8800II204), входящей в научно-техническую программу "Надежность" (шифр программы II.03.H2), а также в координационный план АН СССР (шифр I.10.2.II).

Цели работы:

- исследование распространения волн в двусвязных областях, применительно к полупространству со сферическим включением,- а также в случае границ в виде двух эксцентрических сфер;

- изучение влияния граничных поверхностей на напряженно-деформированное состояние упругой среды;

- разработка методов решения нестационарных задач при наличии границ, описываемых различными координатными поверхностями.

Научная новизна. Построены решения нестационарных динамических задач для упругого полупространства со сферическим включением. Исследована задача о распространении волн в упругом теле, ограниченном эксцентричными сферическими поверхностями. Разработан метод решения указанных задач, основанный на методе неполного разделения переменных и представлении искомых функций в виде сумм, отраженных от граничных поверхностей обобщенных сферических волн. Предложенный способ не требует применения метода редукции бесконечных систем. Исследовано влияние отражающих поверхностей на напряженно-деформированное состояние среды в окрестности сферического включения.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что используемые модели сплошной среды базируются на известных уравнениях 4

движения теории упругости и акустической среды. Используется апробированный математический аппарат. Полученные.результаты и выводы согласуются с известными для частных случаев решениями.

Научная и практическая ценность. В теоретическом плане результаты работы представляют интерес с точки зрения построения решений новых задач для некоторых двусвязных упругих областей. Полученные результаты и разработанные метода могут быть использованы в более сложных задачах, в том числе и при разработке численных методов.

Проведенный анализ влияния граничных поверхностей на напряженно-деформированное состояние среды может быть использован при расчетах на динамическую прочность и сейсмостойкость конструкций в научно-исследовательских и проектных организациях.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на республиканском семинаре "Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии динамических физико-механических полей" (г.Киев, 1990 г.);

- ва Ш Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (г.Львов, 1991 г.);

- на научном семинаре Московского авиационного института им. Серго Орджоникидзе (г.Москва, 1989-1991 гг.).

По теме диссертации опубликованы три научные работы.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из III наименований. Общий объем диссертации 117 страниц, включая страниц машинописного текста и 15 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор и анализ опубликованных исследований, относящихся к теме диссертация, по двум направлениям: стационарные и нестационарные волновые процессы в ыногосвязных областях, занятых упругой или акустической средами. Обоснована актуальность темы исследования, определена цель работы. Кратко изложены основные результаты по главам диссертации.

Первая глава посвящена постановке и обоснованно подходов к решению нестационарных задач динамики упругих двусвязных областей.

В § 1.1 дана общая постановка задач о распространении нестационарных волн в упругой среде, занишющей двусвязную область с границей, состоящей из двух различных координатных поверхностей

В, и Р2 .

Полагается, что среда является линейно упругой однородной и изотропной. Соответствующая начально-краевая задача имеет вид:

сТ к* ^Г^й> ' (1)

или и\ = % (к=Н,2), (2)

где ^Р и ^р - скалярный и векторный потенциалы смещений; Та и Тк - вектор напряжения на поверхности "Р* с нормалью П. и вектор поверхностной нагрузки; Н и - вектор перемещения и вектор заданного перемещения на поверхности 1? к ; сн и С.> - скорости продольной и поперечной волны; t - время.

Однако построение решения в произвольной криволинейной системе координат достаточно сложно. Поэтому в работе рассмотрены следующие частные случаи:

а) Ра - плоскость, а - сферическая поверхность. Это соответствует задаче о распространении возмущений от сферической полости;

б) Р< и Ра - эксцентричные сферические поверхности, что соответствует задаче о колебании упругой среды, ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями.

Отмечается, что задача о дифракции волн на сферическом препятствии является частным случаем задач (1)-(3) со специальными правыми частями граничных условий (2).

В § 1.2 приведены уравнения движения упругой среды относительно безразмерных скалярного Ч3 и ненулевой компоненты векторного ^ потенциалов в случае осевой симметрии:

¿1-дФ УА££-ДФ„„и», (4) -д-р-Ат, Г «и8в' г С, ' (4)

где Д - оператор Лапласа в сферической системе координат ( 1 , & , "О ) с началом 0 в центре сферической поверхности Р^ ; Т - безразмерное время.

Изложен метод неполного разделения переменных, который применяется в работе. Приведены также основные зависимости динамической теории упругости и граничные условия для случаев а) и б) в сферической и декартовой системах координат.

В § 1.3 даны некоторые свойства модифицированных функций Бесселя и полиномов Лежандра. Приведены теоремы сложения для сферических функций Бесселя I и П рода, на которых базируется метод решения исследуемых задач.

Во второй главе подробно исследована нестационарная задача о распространении волн в упргугом полупространстве со сферическим включением.

В § 2.1 решена осесимметричная задача о распространении в упругом полупространстве нестационарных возмущений от сферической полости единичного радиуса, расположенной на расстоянии ti от плоской границы полупространства. На поверхности Р^ полости заданы напряжения, что соответствует следующим граничным условиям:

= Hi-Г (5>

где (э^ , G^je ~ радиальная и тангенциальная физические компоненты тензора напряжений; р ( , 6 ) и ( t >: ® ) -нормальная и касательная осесимметричные поверхностные нагрузки, приложенные в момент времени Т = 0 к стенке сферической полости.

Используется также прямоугольная декартовая система координат 0а0су2 (ось 022 перпендикулярна граничной плоскости и направлена вглубь полупространства). На плоской границе полупространства P¿ ( 2 = 0 ) либо отсутствуют напряжения, либо перемещения равны нулю. Упругие потенциалы смещений f и ^ с учетом осевой симметрии удовлетворяют волновым уравнениям 14). Начальные условия однородные (3). Возмущения ш бесконечности отсутствуют.

Начально-краевая задача решается с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени Т • ( á - параметр преобразования, L - изображение). В пространстве изображений потенциалы ^Р и ^ о учетом отсутствия возмущений на бесконечности представлены в щде:

I оо

<Р =П

п=о

I ь 00

г=п

а=1

Здесь ( , Э-| , ) - сферические координаты с центром в точке 0 4 , симметричной точке 0 относительно плоскости Тц ;

К са) - модифицированные функции Бесселя П рода; Р„1С*) . и (Э-) - полиномы Лежандра и Гегенбауэра; Лп,

и и ГЦ (V) - неизвестные функции параметра .

С использованием свойств функций Бесселя и полиномов Лежавдра, а также связи переменных 1,8- и , на Ра »

удовлетворяются граничные условия при X = О . Это приводит к следующей связи неизвестных функций в (6):

(£(6) = + нГА^) , + Н)^а), (7)

где верхний знак соответствует свободной поверхности, а нижний -жесткой стенке.

С помощью теоремы сложения для функций осуще-

ствляется переходы во вторых слагаемых в (6) из системы координат

( ^ I . ) к системе координат ( 1 , Э , Т? ). Полученные таким образом выражения для коэффициентов разложений потенциалов и ^ позволяют определить формулы для соответствующих коэффициентов разложений компоненты вектора перемещений и .

V и тензора напряжений в ряды по полиномам Дежандра и

Гегенбауэра. Раскладывая поверхностные нагрузки

^(Ь,е) в ряды по "Ра(С.05б) и 0^(2056) с коэффициентами (4) , ^(5) и удовлетворяя граничным условиям на поверхности

6«»|1в = > ®Нг=Г ^' (8>

приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно бесконечных векторов Д и В :

Ми,А2аУ¥ + Лх ш-РЪН^+М'Ъ^

<

^/í4)AíSW+Tw)AXW-T(a)AXZ2W+ЛzW2+ (9) +т»ш -ТмВУ2М,=КвЬ\01

х=е2К1, у=е2кп г=е4, *=е15,

где р * , "У' - бесконечные матрицы ( I = I, 2, 3, 4);

. - бесконечные диагональные штрицы ( ^ =1,2);

К - бесконечные известные векторы ( С = I, 2).

Решение системы (9) ищется в виде рядов по экспонентам X ,

У . Ъ М :

ОО ; , а

А =71 ач«14)хУг V

(10)

ОО И

где коэффициенты СЬц^СЗ) и (-5) - неизвестные векто-

ры с элементами . ¿¿^ке^^

Для коэффициентов О-с^к«.^ и ^¿¿ие^ получены рекуррентные соотношения, не требующие применения метода редукции.

Таким образом, построенное решение системы (9) позволяет найти в пространстве изображений выражения для коэффициентов разложений компонент вектора перемещения И , чГ и тензора напряжений по Р^Ссойб) и •

Коэффициенты при экспонентах X , У ,2 и \Л/ являются рациональными функциями параметра ■£> . Их оригиналы вычисляются с использованием теоремы запаздывания и теории вычетов. Суммирование соответствующих рядов по полиномам Лежандра и Гегенба-уэра позволяет получить решение рассмотренной нестационарной задачи.

В § 2.2 предельным переходом при в качестве част-

ного случая из результатов § 2.1 получено решение соответствующей задачи для акустической среды.

В § 2.3 приведен удобный для вычислений алгоритм нахождения оригиналов изображений, входящих в полученные решения.

Далее в § 2.4 изучены задачи о дифракции нестационарных упругих волн на сферическом препятствии (полость, жесткий неподвижный пар), расположенном в упругом полупространстве. Предполагает-

II

ся, что в момент времени Т = 0 поверхности сферического включения касается плоская волна расширения-сжатия, фронт которой параллелен к плоской границе полупространства, а потенциал имеет вид:

Ч^^г+ъсвзе-ОНСг+гсоав-О, ш)

где ^ (*£) - функция, задающая закон изменения потенциала во времени; Нйг) — единичная функция Хевисайца.

На плоской границе упругого полупространства отсутствуют напряжения или перемещения равны нулю. На поверхности сферического включения граничные условия имеют следующий ввд:

- в случае полости

(б(г + 6гг)|ги=°' (б« + (м)

- в случае абсолютно жесткого пара

(и + и*)|,=1=о, + <13,

Здесь и , т/ и - компоненты суммарного вектора пе-

ремещения и тензора напряжений, обусловленные набегающей и отраженной плоскими волнами; И , \Г и (5^ - компоненты дополнительного напряженно-деформированного состояния среды, вызван-

т

ного дифракцией волн; - коэффициент, который позволяет рас-

смотреть два случая граничных условий: абсолютно жесткое сцепление ( оо ) и свободное проскальзывание ('К — О ).

Упругие потенциалы смещений и ^ удовлетворяют вол-

новым уравнениям (4). Начальные условия предполагаются нулевыми. Начально-краевая задача решается методом, аналогичным приведенно-

му в § 2.1.

В § 2.5 приведены численные результаты расчетов по полученным решениям.

Третья глава посвящена задаче о динамике упругой среды, ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями.

В § 3.1 даю постановка соответствующей начально-краевой задачи. Расстояние между центрами сферических поверхностей равно (Г . Введены две сферические системы координат (. , ^ , ) и ( » . "¡Л )• Начало первой системы координат расположено в центре внутренней сферы Р1 безразмерного единичного радиуса, а начало второй находится в центре внешней сферы Та радиуса К .

Граничные условия имеют следующий ввд:

- на поверхности Р| (1^ = 1)

или

или

где

- на границе Ра (^2= Я )

^к-г0'

ис , яД , Сы^

тС^-Г^Сг.вО-,

(14)

(15)

- компоненты вектора перемещения и тензора напряжений в системе координат ( Тс , , ) ( £ = = I, 2).

Упругие потенциалы ^Р и ^ удовлетворяют волновым уравнениям (4) при нулевых начальных условиях (3). Аналогично главе 2 к задаче применяются интегральное преобразование Лапласа и метод неполного разделения переменных. В пространстве изложений потен-

циалы Т ит представляются в виде: X 23.

(16)

V и V где J-H.+4-

- модифицированные функции Бесселя I рода.

С псмощью теории сложения для функций Кц+-^ и осуществляется переход из одной системы координат к другой и обратно в формулах (16). Затем получены выражения^для коэффициентов ^Pcrv 5 fiti, "W-in) iftn } GíiZitt И

^{Sirt. в каадой из двух систем координат ( 1¿ , 6¿ , тЛ ) ( I- =1,2). Далее получена бесконечная система алгебраических уравнений относительно Ац^, bri^ » и "b^tó) ,

аналогичная (9).

В § 3.2 приведены рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения в ряды по экспонентам решения бесконечной системы.

В § 3.3 в качестве частного случая ( ^L-"*" 00 ) исследована задача о распространении нестационарной волны в акустической среде, ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями. В пространстве изображений получено выражение для коэффициентов разложения давления по Рп, С0-0^ ®<) в виде ряда по экспонентам. При замене рядов частичными суммами коэффициенты при экспонентах являются рациональными функциями. Проведено параыет-

рическое исследование задачи. Результаты представлены в виде графиков.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Дана математическая постановка нестационарных задач о распространении упругих волн в двусвязных областях, ограниченных поверхностями различных координатных семейств.

2. Построен алгоритм решения нестационарных осесимметричных задач для упругого полупространства со сферическим включением (полость или неподвижный жесткий шар), а также для упругой среды, ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями. Предложенный метод сводит задачи к бесконечной системе алгебраических уравнений в пространстве изображений Лапласа по времени. Решзние последней ищется в виде рядов по экспонентам, что позволяет построить решение бесконечной системы без применения метода редукции.

3. На основе общего алгоритма подробно исследованы различные типы краевых условий на граничных поверхностях. Решены задачи о дифракции нестационарных волн в полупространстве на различных сферических вклшениях. Изучено влияние отражающих поверхностей на напряженно-деформированное состояние среды в окрестности сферического включения.

4. Предельным переходом из полученных решений для упругих сред построены решения соответствующих задач для акустических сред.

5. Построен алгоритм численной реализации задач, позволяющий учесть произвольное число членов в разложениях искомых функций

в ряды по углу. Проведено параметрическое исследование рассматриваемых задач.

ПУБЛИКАЦИИ

По теые диссертации опубликованы следующие работы:

1. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Распространение волн от сферической полости в акустическом полупространстве // ирикл. мат. и мех. - 1991. - Т. 55, * I. - С. 172-174.

2. Горшков А.Г., Шукуров А.М. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в упругом полупространстве // Тезисы докл. Ш Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур, Львов, 16-19 сентября 1991 г. - Львов, 1991. - (J. 87.

3. Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Распространение нестационарных волн от сферической полости в упругом полупространстве // Тезисы докл. Республиканского семинара "Прочность и формоизм. элементов конст. при воздействии динамических физико-механических полей", Киев, 25-27 сентября 1990 г. - Киев: ИППАН УССР, 1990. -

С. 93.

Зак. аг35 / 5096. Тираж 100.

Типография издательства МАИ I2587I, Москва, Волоколамское шоссе,4

Бесплатно.