Некоторые пространственные контактные задачи для двусвязных областей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ 6

о,.

/ и ¡'Г::; МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАН/Я УКРАИНЫ

** " 'и! 1-..

•ЗАПОРОЖСКИЙ ОРДЕНА "ЗНАК ПОЧЕТА" МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.Я.ЧУБАРЯ

На правах рукописи

ЗАПЦЕВА ТАТЬЯНА АНАТОЛЬЕВНА

НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Специальность 01.02.04 "Механика деформируемого

твердого тела"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Запорожье - 1993

Диссертация выполнена на кафедре программного обеспечения и математического моделирования Запорожского индустриального института

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Похуев В.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Бородачев Н.М.

доктор физико-математических наук, профессор Ольшанский В.П.

Ведущая организация - Институт проблем прочности Академии наук

Украины, г.Киев

Защита состоится "199^ г. в час.'

на заседании специализированного ученого совета к.068.38.01 при Запорожском ордена "ЗНАК ПОЧЕТА" машиностроительном институте им. В.Я.Чубаря по адресу: ззообз, г.Запорожье, ГСП-39, ул. Жуковского, 64.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан _ 199^ г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета д.т.н., профессор

- / ^

И.П.Волчок

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы . В современной инженерной практике широко используются решения задач распределения деформаций и напряжений в системе упругих тел, имеющих общие участки границ. Эти решения находят свое применение в машино- и приборостроении, авиации, космонавтике и ракетной технике, а также в строительстве, где разнообразие форм контактного взаимодействия является характерным. В связи с развитием современной техники возрастает роль высокоточных прочностных расчетов элементов различного рода конструкций и сооружений, но достаточно простые и в то же время надежные методы решения контактных задач разработаны все еще недостаточно.

К настоящему времени имеется значительное число исследований по указанным проблемам.

Большой вклад в развитие теории контактных задач (смешанных задач теории упругости) внесли В.М.Абрамов, В.М.Александров, Н.М.Беляев, Н.М.Бородачев, Л.А.Галин, В.С.Губенко, Д.В.Грилицкий, В.Т.Гринченко, А.Н.Динник, К.Е.Егоров, М.Я.Леонов, А.И.Лурье, М.Д.Мартыненко, В.И.Моссаковский, Г.Я.Попов, В.С.Проценко, В.Л.Рвачев, А.Ф.Улитко, И.Я.Штаерман, J.BouBsinesgue, H.Hertz, L.Solomon, J.Sneddon И др.

Обширное число публикаций посвящено задачам о вдавливании кругового и эллиптического в плане штампов для симметричного и несимметричного нагружений.

Значительно меньше изучены контактные задачи с отличной от круговой и эллиптической областью контакта, так как решение таких задач связано с большими математическими сложностями. Здесь

- г -

следует отметить работы Л.А.Галина, М.Я.Леонова, В.И.Моссаковского, В.Л.Рвачева, 1.Solomon, I.ZamXireßou.

Из числа работ, пссЕздеккш проблеме кругового кольцевого штампа,необходимо отметить исследования В.М.Александрова, Н.М.Бо-родачева, Ф.Н.Бородачевой, В.С.Губенко, В.И.Моссаковского, Г.Я.Попова.

Контактные задачи со сложной двусвязной площадкой контакта исследовались гораздо меньше, чем для кольцевой. В виду сложности рассматриваемых- задач использовался различный математический аппарат, что позволило некоторым авторам довести до числа лишь очень ограниченное число конкретных задач. Большой вклад в исследование данного вопроса внесен В.Л.Рвачевым, В.С.Проценко, М.Д.Мартыненко. Необходимо так же отметить последние работы В.И.Моссаковского, А.Б.Кавуры, В.И.Самарского*.

В связи с появлением быстродействующих ЭВМ стало возможным применение численных методов (метод граничных интегральных уравнений, метод конечных элементов и др.) к решению контактных задач

Существующие алгоритмы анализа прикладных контактных задач не являются достаточно универсальными, так как ориентированы на решение задач определенного класса. Попытки построения более общих алгоритмов решения приводят, как правило, к наложению итерационных процессов, что приводит к громоздким вычислительным схемам, и как следствие, к ухудшению сходимости процесса, дополнительным затратам машинного времени. Поэтому поиск простых и эффективных методов решения контактных задач с учетом сложной геометрии, условий нагружения, характера деформирования по-прежнему остается актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

- з -

Цель диссертационной работы формулируется следующим образом:

- путем привлечения варианта метода возмущений, основанного на использовании разложения по малому параметру потенциала простого слоя, распределенного по двусвязной области, свести задачи о давлении плоского штампа, в плане занимающего область некругового кольца, к последовательности аналогичных задач для штампа в форме кругового кольца, что позволит использовать решения, известные для кольцевого кругового штампа;

- на основании разработанного алгоритма решить новые, практически важные пространственные осесимметричные и неосе-симметричные контактные задачи теории упругости.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработан эффективный алгоритм решения пространственной контактной задачи о вдавливании плоского некругового кольцевого в плане штампа в упругое полупространство, который позволяет свести. задачу к последовательности аналогичных задач для кругового кольцевого в плане штампа. В алгоритме используется вариант метода возмущений, основанный на разложении по малому параметру потенциала простого слоя, распределенного по двусвязной области;

- с использованием разработанного алгоритма решены новые, практически важные пространственные осесимметричные и неосесим-метричные контактные задачи об определении давлений под штампами в виде симметрично- и несимметрично сдеформированных эллиптических колец, прямоугольного, треугольного, квадратного колец. Исследован характер распределения напряжений, определены зоны минимальных давлений, получены осадки и определены проекции вектора поворота штампа;

- получено решение с использованием формулы Л.А.Галина для

кольцевого штампа в осесимметричном случае с учетом сил трения;

-решена задача о0 отрыве кольцевого штампа от упругого полупространства под действием внецентренной вертикальной силы с учетом изменения области контакта штампа во времени. Определена зона, в области которой действие приложенной нагрузки не вызывает отрыва штампа от полупространства.

Достоверность основных научных результатов и выводов диссертации обеспечивается строгостью постановки задач и математических методов, применяемых для их анализа; сравнением результатов с полученными ранее для односвязных штампов, использованием аналогий для анализа картин распределений давлений, выполнением неравенства Л.А.Галина.

Научная и практическая ценность работы1 заключается в создании эффективного алгоритма решения пространственной контактной задачи теории упругости о вдавливании в упругое, однородное и изотропное полупространство цилиндрического штампа, когда площадка контакта занимает двусвязную область, граничный контур которой состоит из двух непересекающихся кривых. Разработанный алгоритм позволил решить новые, практически важные задачи. Полученные результаты могут быть использованы в практике организаций, занимающихся проектированием и расчетом фундаментов, исследованием и оценкой контактной прочности в машиностроении, прогнозированием долговечности и надежности металлоконструкций.

Апробация работы.Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:

- I Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" (г.Запорожье, 1991г.);

- I Украинско-Польском семинаре по механике материалов и конструкция (г.Днепропетровск, 1993г.);

- и Республиканской научно-технической конференции "Повышение надежности и долговечности машин и сооружений" (г.Одесса, 1991Г.);

- научно- методической конференции "Современные проблемы подготовки инженерных кадров" (г.Запорожье, 1993г.);

-Ж Всесоюзной научно-технической конференции "Новые конструкционные стали и сплавы и методы повышения надежности и долговечности изделий" (г.Запорожье, 1986г.);

- Республиканской научно-технической конференции "Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела" (г.Харьков, 1989г.);

- I Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение надежности и долговечности машин и сооружений" (г.Киев, 1988г.);

- Областной научно-практической конференции, посвященной 275-летию со дня рождения М.В.Ломоносова (г.Запорожье, 1986г.);

- научных семинарах кафедры теоретической механики Запорожского индустриального института ( 1990-1993гг.);

- городском межкафедральном тематическом семинаре по специальности 01.02.04-"Механика деформируемого твердого тела" Запорожского машиностроительного института.

Публикации. По теме диссертации имеется 12 публикаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 112 наименований.

приложения и содержит 151 страницы машинописного текста, % рисунка, 2 таблицы. Общий объем диссертации 204 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, проблемы, составившей предмет исследования, выполнен анализ современного состояния вопроса, дан краткий обзор работ, посвященных задачам о давлении штампа на упругое полупространство.

Анализ состояния вопроса позволил поставить цели и задачи исследования, которые приведены во введении. Изложено краткое содержание диссертации по главам, формулируются основные научные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе изложен . алгоритм1 сведения задачи о вдавливании в упругое однородное и изотропное полупространство цилиндрического штампа с плоским основанием, когда площадка контакта занимает двусвязную область, граничный контур которой состоит из двух непересекающихся кривых с уравнениями, зависящими от одного и того же малого параметра, к последовательности задач о вдавливании штампа с площадкой контакта в форме кругового кольца. При этом используется точное решение задачи о круговом кольцевом штампе в форме двойного бесконечного ряда, коэффициенты которого определятся из рекуррентных соотношений. Применяется разложение функции по полиномам Лехандра. Используется представление для силовой функции простого слоя, распределенного по круговому кольцу, когда притягиваемая точка составляет часть притягивающей массы, полученное Г.Н.Дубошиным, а также используется • разложение потенциала простого слоя.

Рассматривается задача о давлении ва однородное а изотропное упругое полупространство 1в>0 жесткого цилиндрического штампа, имеющего в плане форму некругового кольца, с плоским основанием. Основание штампа считается абсолютно гладким, поэтому принимается, что касательные напряжения а1Я и агя отсутствуют по всей плоскости хв-0:

Нормальные напряжения отсутствуют на плоскости хв-0 вне области П соприкасания штампа с полупространством. В точках х(хд,х2,0) области П упругая среда полупространства подвергается действию сжимающей нагрузки р(х), так что

Краевое условие в случав плоского штампа для вертикального перемещения точек области П, которое выражается через неизвестные величины, определяющие перемещения штампа, сводится к двумерному интегральному уравнению первого рода для искомого распределения нормального давления р(х):

где а- модуль сдвига; V- коэффициент Пуассона; О- поступательное перемещение штампа параллельно оси х,; р,,р,-проекции вектора поворота штампа. Неизвестные величины 0,р4,р, определяются из уравнений равновесия штампа

а1»=0» °1«=0' °РИ ^^

(1)

(2)

(3)

- о -

Р = //р(х)йх, М,- //х^р(х)с11, М2 = -Лх1Р(х)<1х (4)

а о п

в которых Р, , иг-главный вектор и главные моменты приложенных к штампу сил.

Рассмотрен случай, когда уравнения линий Г4 и Гж, ограничивающих П, область контакта штампа с полупространством, могут быть представлены в виде следующих функций:

Г4: р= а(1+Г(е,6)) (5)

Тг: р= Ь(1+Г(е,6)),

где р, 6 - полярные координаты, а<ь, е<1, х%- рооев, хг= рв!п9, 1(е,8)- непрерывная и-однозначная функция представима рядом по .степеням е, который имеет вид

г

Г(8,0) = ега (вн Е1га(в)+ ... (б)

* *

Штамп вдавливается в полупространство вертикальной силой о. Так как уравнения линий (5), -ограничивающих область П .зависят от малого параметра е , то, очевидно, и искомое распределение нормальных давлений р(р,6) зависит от е. Решение уравнения (3) ищется в виде

■п'

со

Р(р.в) = £р„ (р,е)е" . '•■ (7)

к«0

Введены новые переменные (И.ф), связанные со старыми (р,6) следущими зависимостями:

Г р • Н(1+Г(Е,8)) (8)

I 6 = ф

Здесь г(е,6) определяется выражением (б). При этом область П, ограниченная линиями (5), перейдет в круговое кольцо Б,

ограниченное окружностями R = а , R =ь.

В новых переменных решение (7) уравнения (3) представим

в виде ряда по степеням е: 00

р(р(й,ф,Б),ф)- £ Рк (Н,ф)Бк (9)

к «О

Интеграл, входящий в уравнение (3), представим в виде

разложения по степеням е :

гг р(р,9) ¿5

и = Jj —-— dfl = ^ ике (10)

а

Гх= |х-у|* = рг+ р*~ 2рро00в(6-ео), (ро,ео) с Q (11)

Так как подынтегральная функция в интеграле (10) обращается в бесконечность в точке (ро,0о). то при нахождении производных для разложения (10) нужно сначала исключить эту точку из области П. Для этого вырезается из П точка (р0,80) кругом радиуса а определяются производные, затем осуществляется предельный переход при а стремящемся к нулю.

Входящие в выражение (Ю) производные являются производными по параметру е от двойного интеграла, у которого-' не только подынтегральная функция зависит от этого параметра, но и уравнения границы зависят от е.

Неизвестное поступательное перемещение штампа 0 и проекции вектора поворота штампа и ра записываются в виде рядов по степеням е:

С=Кек» Рш'ЛЬы* (12)

к - О к = О к * О

Получены следующие системы уравнений для определения Рк(р,9),

6.2*0 ггРк(р,6)

—- = - (1в + ф. (Р

1-у М г

О

Ск2*С

о

К- йк+ р»к Рв1п9 ~ р^кР00®9

".ь^Рь (р.0)рв1пвс1в + уь (Ро,Р4.....рк_1 )

о

(14)

М2к=^к(р,0)роове<1в + *к (Ро,Р4 ,....Рк_,), (к=0,1,2,...)

где о - круговое кольцо, а<р<ь, а Фк, Рк, Ук, \ - интегро- дифференциальные операторы, определяемые в каждом приближении через известное решение задачи полученное на предыдущем шаге.

Таким образом, при определении поступательного' перемещения штампа 0, проекций вектора поворота Р,, ра (12) и функции р(р,6) (7), характеризующей распределение нормального давления под штампом, которые являются решением задачи (Э) ,(4) для области П, получена последовательность задач для кругового кольца Б.

В качестве тестового примера рассмотрена задача о вдавливании плоского цилиндрического штампа эллиптического в плане. Приведен пример о вычислении давлений и заглубления плоского од-носвязного, произвольной формы в плане штампа, представляющего собой симметрично сформированный эллипс.

Вторая глава посвящена решению контактных задач о распределении давлений и определении осадок под двусвязными штампами в форме симметричного некругового кольца, когда штамп вдавливается в упругое, однородное и изотропное полупространство центральной силой без трения. Рассмотрен ряд конкретных задач, когда плоский штамп ограничен в плане двумя концентрическими кривыми: эллипсами (рис.1.1.2), симметрично сдеформированними

о

эллипсами (рис.1.2.2), прямоугольниками (рио.1.3.2) и квадратами (рис.1.4.2). Полученное решение приведено к виду удобному для

Для эллиптического кольцевого штампа проведены расчеты для различных значений параметров, характеризующих размеры эллиптического кольца. Проведен анализ зависимости напряжений от размеров ширины кольца, экцентриситета. Определены зоны быстрого и медленного изменений напряжений.

* 2ТСЬ2

Графики распределения нормальных давлений р =р(р,б) -

0

для эллиптических кольцевых штампов различной ширины приведены на рис.2, где линиями 1,2,3,4,5,6,7,8 представлены графики нормального давления Р* под штампом вдоль оси Ох (6=0) для а/ь=0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.б;0.7;0.8 - соответственное£=о,6).

Выполнены аналогичные . расчеты 1 для симметрично сдеформированного эллиптического кольцевого штампа. Проведен анализ влияния на изменение напряжений малой симметричной деформации эллипса, которая может быть следствием ряда факторов: погрешности технологической обработки, износ деталей, последствия модаЗикации конструкции и т.д.

практических расчетов. р#

Рис 2.

1 /

.........Га 1 / \/ . .»ш.т-т -/»■ • - - • • /\ у^- / 1 х У 1 У у7 "Г У / % ... ч\ \ - ------ \ \

1 • • 1 1 -г--г С-— Ь-г5

Графики представленные на рис.3 характеризуют

распределение нормального

* 2тсь* давления Р =р(р,8) --

0

Рис.3

для эллиптического кольцевого (линии 1,2) и симметрично (деформированного эллиптического кольцевого (линии 3,4) штампов вдоль линии, отстоящей от внутреннего контура штампа на 0,02 его ширины, для а/ъ=о,5 и различных е=о,б(линии 1,3), 6=0,5 (линии 2,4). Из рис.з видно, что нормальное давление растет с увеличением эксцентриситета для обеих конфигураций поперечных сечений штампов. Для симметрично сдеформированного эллиптического кольцевого сечения нормальные давления в области вершин превышают нормальные давления в этих же областях для эллиптического кольцевого штампа.

Для эллиптического кольцевого, как и для симметрично еде--формированного эллиптического кольцевого штампов установлено две зоны минимальных давлений.

Решены задачи по определению давлений и осадок под штампами в форме прямоугольного кольца и квадратного кольца, которые вахны при расчетах фундаментов, плит на упругих основаниях и т. д. При этом установлено четыре зоны минимальных давлений.

На рис.4 изображены кривые равных давлений для штампа, имеющего в плане форму квадратного кольца.

Рис.4

Цифрами 1,2,3,4,5 обозначены линии, нормальные давления Р*=21съар(р,е)/<э (Ь=2а) вдоль которых равны соответственно 1,01;1,1 б; 1,4;1,6;2,4. Ввиду симметричности задачи кривые равных давлений приведены для первой четверти координатной плоскости (0<9<%/2).

На рис.5 линиями 1,2,3,4,5,6,7,8 соответственно пред-

ставлены графики распределения нормального давления р =р(р,9)-

2ТСЬа

под квадратным кольцевым штампом при Ъ=2а н зависимости от 6 в точках линий, для которых р/рг =0.51;0.525;0.55;0.65;0.35;0.9;

а

0.95,0.975 - соответственно.

У?4 0

Рис.5

В заключительном параграфе второй главы для кольцевых штампов рассмотрена осесимметричная задача с силами трения. В этом случае штамп, который прижимается к упругому телу, вращается вокруг своей оси. Возникающие силы трения обладают осевой симметрией. Получено решение с использованием формулы Л.А.Галина для кольцевого штампа в осесимметричном случае с учетом сил трения.

В третьей главе рассматриваются неосесимметричные задачи о давлении некругового кольцевого штампа (рис.6) на упругое полупространство. Определяются распределение нормальных давлений под штампом, осадка штампа и проекции вектора поворота штампа. Рассмотрен штамп в форме треугольного кольца (рис.6.1.2) под подошвой которого установлено три зоны минимальных давлений, а также несимметрично сдеформированный эллиптический кольцевой штамп (рис.б.2.2). Проведен анализ численных результатов. Построены картины распределения давлений для штампов с различными геометрическими характеристиками.

На рис.7 линиями 1,2,3, 4,5 соответственно

представлены графики распределения нормального давления Р*= 2тсь2

=р(р,б)-под по-

0

дошвой штампа при а/ь=о,4 0=0; тс/12; тс/6; %/А; к/Э. < для треугольного кольцевого)

4

Рис.7

I

Рис.6

Решена задача о давлении кольцевого штампа на упругое полупространство под действием внецентренноА вертикальной силы (рис.6.3.2), где точка А - точка приложения силы. Определена зона, в области которой действие приложенной нагрузки не вызывает отрыва штампа от полупространства. Сделан анализ картин распределения давлений для случая отрыва штампа и без отрыва. Рассмотрено влияние изменения зоны отрыва штампа на обеспечение долговечности металлоемких конструкций, работающих на упругом основании в условиях чрезвычайно агрессивной среды, изменяющей со временем жесткость, массу и размеры конструкции. Получены формулы зависимости размеров зоны,в области которой действие приложенной нагрузки не вызывает отрыва штампа от полупространства,, в случав когда линейные размеры конструкции изменяются по экспоненциальному или линейному законам.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые состоят в следующем:

1.Проведен анализ ранее выполненых исследований пространственных контактных задач теории упругости от классических работ Н.Hertz и J.BoussineBque до настоящего времени. Особое внимание обращено на задачи о кольцевом штампе и штампе с даусвязной площадкой контакта.

2.Построен алгоритм сведения'задачи о вдавливании в упругое, однородное и изотропное полупространство цилиндрического штампа с плоским основанием, когда площадка контакта занимает двусвязную область, граничный контур которой состоит из двух' непересекающихся кривых. Получены выражения для определения поступательного перемещения штампа, проекций вектора поворота и функции, характеризующей распределение давления под штампом.

3.Решены контактные задачи о распределении давлений и опреде нии осадок под двусвязными штампами в форме симметричного некруго го кольца, когда штамп вдавливается в упругое, однородное и изотр ное полупространство центральной силой без трения.

Рассмотрены задачи когда плоский штамп ограничен в плане дв концентрическими кривыми: эллипсами, симметрично сдеформирована эллипсами, прямоугольниками и квадратами. Проведен анализ зави мости напряжений от ширины кольца, от эксцентриситета. Прове анализ изменения напряжения под штампом в виде симметрично сдеф мированного эллипса по сравнению с эллиптическим кольцом. Решены дачи по определению осадок и давлений под штампами в форме пря угольного и квадратного кольца. Получены распределения напряжен установлены зоны минимальных давлений.

Получено решение с использованием формулы Л.А.Галина дл* кольцевого штампа в осесимметричном случае с учетом сил трения.

4.Рассмотрены неосесимметричные задачи о давлении некруговог кольцевого штампа на упругое полупространство.

. Решена задача о штампе в форме треугольного кольца, под подошвой которого определены • зоны минимальных давлений. Полученс решение задачи о несимметрично сформированном эллиптическое кольцевом штампе. Проведен анализ численных результатов. Построены картины распределения нормальных давлений.

5. Решена задача о давлении кольцевого ■ штампа на упругое полупространство под действием внецентренной вертикальной силы. Определена зона, в области которой действие приложенной нагрузки не вызывает отрыва штампа от полупространства. Получены выражения для размеров зоны, которые необходимы для

оценки состояния при длительной эксплуатации конструкций, работающих в агрессивных средах.

6. Предложенные алгоритмы и программы их реализации на современных персональных компьютерах могут быть использованы в практике организаций, занимающихся проектированием и расчетом фундаментов, исследованием и оценкой контактной прочности в машиностроении, прогнозированием долговечности и надежности металлоконструкций.

7.Материалы диссертации используются в исследованиях, выполняемых НИПИокеанмаш (г.Днепропетровск) и связанных с расчетами глубоководных технических средств, опирающихся на упругое донное основание, что подтверждено соответствующим Актом.

По теме настоящего .исследования выполнены 12 научных работ, полный список которых приводится в диссертации. Основными из них являются следующие:

1. Пожуев В.И., Зайцева Т.А. Вдавливание штампа в форме некругового кольца под действием центральной силы//"Технологические проблемы прочности несущих конструкций".I Всесоюзной конф. 1991Т.2.- С. 138-143.

2. Пожуев В.И., Зайцева Т.А. О решении задачи для некругового штампа//Изв. РАН.-МТТ.- 1993.- Т.б.

3. Пожуев В.И., Зайцева Т.А. Приложение задач о давлении жесткого штампа на упругое полупространство к техническим проблемам// "Современные проблемы подготовки инженерных кадров". Науч.-мет.конф.- Запорожье.- ЗМИ.- 1993.- С.89.

4. Пожуев В.И., Зайцева Т.А. О возможности применения вибрацион ной диагностики повреждаемости гидротехнических сооружений условиях интенсивной коррозии// "Повышение надежности долговечности машин и сооружений". U Респ. науч.-тех. конф. Киев: ИПП АН УССР.-1991-Ч.2.- С.45-46.

5. Пожуев В.И., Зайцева Т.А. Определение давлений под штампом ограниченным в плане кривыми близкими к квадратам//Извести вузов. Строительство.- 1993.- Вып.ю.

6. Зайцева Т.А.(в соавторстве) Повышение долговечности метал локонструкций, работающих в агрессивных средах с учетом динамик массы//"Новые конструкционные стали и сплавы и методы повышени надежности и долговечности изделий".-III Всес. науч.-тех. конф.. Запорожье.- 1986.- С.124-125.

7. Зайцева Т.А. (в соавторстве) Пространственные контактны задачи для двусвязных областей, ограниченных сложными контурами/ "Эффективные численные методы решения краевых задач механик твердого деформируемого тела".- Респ. науч.-тех. конф. - Харьков.- 1989.- 4.1.- С.115-116.

8. Зайцева Т. А. Определение давлений под штампом в вид симметрично сформированного эллипса//"Технологические проблем прочности несущих конструкций". I Всесоюзной конф. - Запорожье. 1991.- Т.2.- С.11-13.

9. Зайцева Т.А. Использование аналогий (гидродинамической Прандтля) при расчетах двусвязных фундаментов//"Прочность и кол бания конструкций при вибрационных и сейсмических нагрузках Науч. конф.- Севастополь.- 1993.- С.13.

10. Zajtseva Т.A. The pressure definition under the punch in sha

of uncircule ring//I Ukr.-Polish. "Theoretical Foundations i Oivii Hnelnoorine"• - War-osw.- 1993,- P.29-34.