Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости

Молчанов, Александр Алексеевич

Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Молчанов, Александр Алексеевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости»

Автореферат диссертации на тему "Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости"

005003698

На правах рукописи 00^

Молчанов Александр Алексеевич

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ОБЛАСТИ КОНТАКТА ЗУБЧАТЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЙ НОВИКОВА И СТЕРЖНЕЙ ПРИ КРУЧЕНИИ, ОСНОВАННЫЕ НА РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УПРУГОСТИ

Специальность 01.02.04 — «Механика деформируемого твердого тела»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 НОЯ 2011

Ростов-на-Дону — 2011

005003698

Диссертационная работа выполнена в Донском государственном техническом университете на кафедре «Прикладная математика»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Пожарский Дмитрий Александрович

доктор технических наук, профессор Бескопыльный Алексей Николаевич;

Ведущая организация:

доктор технических наук, доцент Сметанин Борис Иванович

Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики имени И.И. Воровича Южного федерального университета

Защита состоится «21» декабря 2011 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.058.03 в Донском государственном техническом университете (ДГГУ) по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, аудитория № 252.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДГТУ. Автореферат разослан « /л ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

__^

Кренев Л. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию и разработке методов оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанных на решении краевых задач упругости. Тема актуальна в связи с широким внедрением в машиностроении зубчатых зацеплений Новикова, а также в связи с кручением валов, осей и деталей машин.

До 1990-х годов расчет на контактную прочность зубчатых передач Новикова проводился на основе теории Герца (контактная задача для упругого полупространства). Построение аналитических функций Грина для трехмерного упругого клина позволило уточнить методику расчета зубчатых передач Новикова, учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина). Оценка напряженного состояния зубчатых передач остается актуальной, поскольку возможен контакт фазу по нескольким областям (шероховатая поверхность, передачи с двумя линиями зацепления).

В прикладной механике твердого тела по-прежнему актуальна также оценка с высокой точностью напряженного состояния стержней произвольной формы поперечного сечения при кручении, особенно для неодносвязных областей сечении. Случай многосвязного сечения стержня осложняется тем, что в соответствующей краевой задаче имеются неизвестные заранее параметры, число которых определяется порядком связности области.

С середины 80-х годов ХХ-го столетия решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями становятся в центре внимания многих ученых и специалистов научно-исследовательских организаций и высших учебных заведений. Среди них ведущую роль занимают Институт проблем механики Российской академии наук (Москва), НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, ДГТУ и др. Значительный вклад в становление и развитие механики контактного взаимодействия внесли ученые С.М. Айзикович, В.М. Александров, Ю.А. Антипов, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, В.Н. Беркович, А.Н. Бес-копыльный, Н.М. Бородачев, Ф.М. Бородич, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.А. Галанов, Л.А. Галин, Е.В. Глушков, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, A.A. Евтушенко, А.Б. Ефимов, Е.В. Коваленко, В.И. Короткин, A.C. Кравчук, A.B. Манжиров, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, О.В Онищук, В.В. Панасюк, ВЗ. Партон, П.И. Перлин, Б.Е. Победря, Д.А. Пожарский, Г.Я. Попов, B.C. Проценко, О.Д. Пряхина, Ю.Н. Работное, В.Л. Рвачев, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, В.М. Толкачев, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, И.Я. Штаерман, J.R. Barber, G.M.L. Gladwell, K.L. Johnson, JJ. Kalker, L.M. Keer и др. Исследованию задач кручения посвящены труды Б.Л. Абрамяна, Н.Х. Арутюняна, И.А. Александрова, П.П. Куфарева, Н.И. Мусхелишвили, Ю.А. Устинова, CY. Wang, H. Hasegawa, H. Akiyama, S. Takahashi, A. Morassi и др.

Соответствие научному плану работ и целевым комплексным программам. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00004-а «Смешанные задачи для однородных и составных упругих областей с угловыми и коническими точками », а также в соответствии с научным планом работ ДГТУ в рамках научного направления «Исследование краевых задач теории упругости для полосы,

слоя, стержней и мембран».

Цель исследования. Получить новые знания о напряженном состоянии в области зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, которые основаны на применении развитых строгих математических методов решения краевых задач упругости.

Идея работы. Моделирование зуба зубчатой передачи Новикова трехмерным упругим клином для учета краевого эффекта вблизи кромки зуба и разработка новых высокоточных методов определения напряженного состояния стержня при кручении.

Методы исследования. Асимптотические методы, -метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), метод парных интегральных уравнений, метод интегральных преобразований, метод конформных отображений.

Основные научные положения, защищаемые автором:

- асимптотический метод определения напряженного состояния в двух заданных симметричных областях контакта трехмерного упругого клина (модель зуба зацепления Новикова) эффективен вдали от ребра клина (кромки зуба); численный метод ГИУ для определения напряженного состояния в двух неизвестных областях контакта трехмерного упругого клина эффективен вблизи ребра клина;

- на регулярной поверхности зуба, моделируемой слоей; конечной толщины, метод ГИУ позволяет определить напряжения в двух неизвестных симмегтричных областях контакта при учете сил трения;

- развиты методы определения напряженного состояния в области контакта трехмерного упругого клина при действии дополнительной пригрузки вне области контакта (асимптотический метод для заданной области контакта и метод ГИУ для неизвестной области контакта), позволяющие в дальнейшем при помощи метода Андрейкива-Панасюка исследовать контакт по нескольким несимметричным областям произвольной формы;

- развит метод определения напряженного состояния в области контакта для пространственного упругого клина, одна грань которого взаимодействует со штампом, а на другой грани граничные условия разделены по линии параллельной ребру клина (часть грани, примыкающая к ребру, свободна от напряжений, другая часть лежит без трения на недеформируемом основании);

- для регулярной поверхности зуба, моделируемой полосой или слоем, развит метод решения плоской контактной задачи для упругой полосы, в одну грань которой внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется дополнительная линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть свободна от напряжений либо жестко защемлена); для осесимметричного контакта упругого слоя развит метод определения давлений, когда в одну грань слоя внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется круговая линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть под областью контакта жестко защемлена либо свободна от напряжений);

- для определения напряженного состояния стрежня при кручении с произвольной односвязной областью сечения разработан устойчивый численный метод, основанный на прямом решении краевой задачи для гармонических функций в неклассической дискретной постановке с процедурой регуляризации. В случае двусвязного поперечного сечения произвольной

формы развит метод конформного отображения. Полученные методы позволяют также вычислять крутильную жесткость стержня.

Научная новизна работы:

- получены модели взаимодействия зубьев зубчатых передач Новикова, при использовании фундаментальных решений трехмерных краевых задач для упругого клина, с учетом нескольких областей контакта, моделирующих шероховатости контактирующих поверхностей; это позволяет учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина)^

- впервые развит асимптотическим метод решения контактной задачи о взаимодеиствии двух штампов на одной грани упругого пространственного клина; развит метод ГИУ исследования контакта для трехмерного клина (регуляризация ядра ИУ на ребре клина, куда может выйти область контакта);

- впервые учтены силы трения при исследовании контакта в двух областях на регулярной поверхности зуба, моделируемого упругим слоем конечной толщины;

- обобщена трехмерная контактная задача Л.А. Галина для упругого полупространства на случай трехмерного клина об одновременном действии на грани упругого клина штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта;

- впервые развиты методы решения контактных задач для полосы, слоя, пространственного клина при дополнительных линиях раздела граничных условий на другой грани полосы, слоя, клина;

- развит метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольной односвязной области сечения в форме разновидности метода наименьших квадратов на основе аппроксимации регулярных функций многочленами и минимизации квадратичных невязок граничных значений соответствующей краевой задачи Дирихле с применением процедуры регуляризации по Тихонову для устойчивости решения;

- разработан метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня, основанный на предварительном конформном отображении данной области на круговое кольцо и последующем решении редуцированной краевой задачи Дирихле методом тригонометрических ^рядов. Предложен новый метод вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается математической корректностью постановок решаемых задач, применением строгих математических аналитических и численных методов решения, совпадением результатов при применении для решения одной и той же задачи разных методов, совпадением результатов в частных случаях с результатами других авторов, совпадением результатов с экспериментом.

Научное значение результатов исследований. Развиты численные и аналитические методы решения сложных смешанных (контактных) задач, преимущественно пространственных, теории упругости для полосы, пространственных слоя и клина, которые могут быть использованы при решении других подобных задач математической физики. Полученные результаты для трехмернопо клина позволяют контролировать результаты решения аналогичных задач, получаемые методом конечных элементов (МКЭ), точность которого может ухудшаться вблизи угловых точек. Разработанные методы

решения задачи Сен-Венана о кручении стержня, внеся незначительные изменения, можно применить также и к решению общих краевых задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для гармонических функций на плоскости.

Практическая ценность работы. Результаты позволяют уточнить методику расчета на прочность зубчатых передач Новикова, получивших широкое распространение в отечественном машиностроении. Разработанные программы для решения задачи о кручении стержней могут быть использованы в инженерной практике при автоматизированном проектировании валов, осей и деталей машин для исследования зависимости крутильной жесткости стержня от геометрических параметров и конфигурации его области сечения.

Реализация работы. Полученные решения новых контактных задач и разработанные методы решения задачи о кручении стержней приняты к внедрению в проектную и конструкторскую документацию ЗАО «Ростовгормаш». Материалы диссертационнои работы используются в учебном процессе кафедрой «Прикладная математика» ДГТУ для обучения студентов специальностей 230104 «Прикладная математика», 151001 «Технология машиностроения» и 110304 «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК».

Личныи вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические и численные исследования й основные результаты — автору диссертационнои работы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 2009 г.), И международной научно-практической конференции «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук» (Москва, 2010 г.), XXIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010 г.), V Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2010 г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011 г., участие поддержано грантом Российского фонда фундаментальных исследований 11-01-16081-мо6_з_рос), международной научно-практической конференции «Инновационные технологии в машиностроении и металлургии» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), а также на ежегодных научных конференциях ДГТУ (Ростов-на-Дону, 2010, 2011 гг.). 1

Награды. Соискатель получил стипендии Президента Российской Федерации и Губернатора Ростовской области (2010-2011 уч. г.), стал стипендиатом Программы поддержки технического образования Фонда А1соа (20102011 уч. г.); дипломант конкурса инновационных проектов молодых ученых, аспирантов и студентов, проводимого в рамках I молодежного инновационного конвента Южного федерального округа (Ростов-на-Дону, 2009 г.); дипломант международного конкурса молодых ученых «Современные технологии агропромышленного комплекса», проводимого в рамках 13-й междуна-РОДнои агропромышленной выставки «Интерагормаш-2010» (Ростов-на-Дону,

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 16

печ. работах, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем работы составляет 152 страницы машинописного текста, содержит 20 рисунков, 39 таблиц, список литературы из 158 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, определяется цель исследования, излагается научная новизна и практическая значимость работы, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводятся сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе рассмотрены методы расчета контактных напряжений, возникающих в зубчатых передачах Новикова. Вблизи кромки зуба для моделирования контакта взят пространственный упругий клин (кромка зуба -ребро клина). Рассматривается взаимодействие двух симметричных штампов на грани клина. Контакт может происходить по нескольким участкам для шероховатой поверхности зуба, а также для зубчатых передач с двумя линиями зацепления. Вдали от кромки зуба, на регулярной повбрхности, взаимодействие зубьев моделируется взаимодействием штампов с упругим слоем при учете трения.

В п. 1.1 рассматривается взаимодействие штампов на грани упругого клина. В цилиндрических координатах г, <р, г рассмотрим трехмерный

упругий клин {/• е [о, оо), ф б [о, a], z е (- «>, œ)} угла раствора а , ось z направлена по ребру клина. Материал клина характеризуется модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона v. Грань <р = 0 свободна от напряжений либо находится в условиях скользящей или жесткой заделки (задачи А, Б и В соответственно). В грань <р=а без перекоса вдавливаются два одинаковых эллиптических в плане штампа с плоским основанием, к которым приложены равные силы Р . Для простоты считаем задачи симметричными по координате г. Осадка штампов равна S. Пусть области контакта — известные эллипсы Q± = ^r-bf /аг + (z±h)2le2], b>a£.c, h>с. При заданных величинах а, G ,v, а , Ь, с, h и 5 требуется определить контактное давление под штампами av=-q(r,z), (r,z)e ф = а, и затем найти силу Р.

Используя известные функции Грина для трехмерного клина и обозначения

z, = z-h,y.=y-h, q,[r ,z,) = q(r ,z) , Q = {(г - b)2 / a2 + z2 /с2} , (1.1) в силу симметрии получим относительно функции q{r,z) следующее ИУ (во избежание громоздкости примем v=0.5 ):

\nq,{x,y,)K{x,y.,r,z,)dxdy. =4nG5 , (r,z,)eQ , (1.2)

K(x,y,r,z) = 4n2 ¡°shitunu)KhlOx)KhXtr)x x[cos t(z-y) + cos t(z + y + 2h)}dtdu . '

где К,„(г) — функция Беоселя, а для задач А, Б и В следует соответственно

положить

W(u) ■■

sh2a« + Hsin2a

fV{u) =

chlau - cos 2a

ch2a«-l-2w2sin2a ' sh2a« + i/sin2a

.... . sh2a«-Msin2a

tr(u)=--—-—. .

ch 2сш +1 + 2гг sin2 a

(1-3) (1.4)

Введем безразмерные величины

, r-b , z. , b h

r =-, z,-—, X — —, к = —

a a a a

F\x\y\r\z') =

, e = —, 5'=-a a

F(x,y,r,z)

!?=-, i (1-5)

a a

P'~ P/(2Ga2), fi'efi (1.6)

2 G a

и т.д. (штрихи и звездочки далее опускаем). Уравнение (1.2) в обозначениях (1.5), (1.6) принимает вид

IjtfO'i.yH/? 1 + Rl[ + F(x,y,r,z)]dxdy~2n8, (r,z)eii , (1.7)

F(x,y,r,z) = |°shпи[Щи) - сЛтги]^„(<(х + X))K,„(t{r + X)) х

x[cos t(z - у) + cos t(z + у + 2K)]dtdu .

Для решения ИУ (1.7) применим регулярный асимптотическии метод, эффективный при больших значениях параметра X. При этом положим к-X/d, rf=const=6//r=ctg у, где у — угол между линией, соединяющий центр размерного эллипса контакта с началом координат, и полуосью г (рис. 1.1). При увеличении значения X (и фиксированном а) области контакта удаляются друг от друга и от ребра клина вдоль пунктирных линий Рис. 1.1. Расположение штампов под углом у (рис. 1.1).

на грани упругого клина, <р=а с применением регулярного

асимптотического метода получено решение для штампов, относительно удаленных как друг от друга, так и от ребра клина.

Результаты численных экспериментов показали, что для случая жесткой заделки (задача В] значения силы больше, чем для случаев А и Б. Для клина с одной свободной гранью (задача А) значения силы уменьшаются при приближении области контакта к круговой (с ростом е).

В случае близкого подхода штампов — эллиптических параболоидов — к ребру клина, области контакта, очевидно, перестают иметь эллиптическую форму. В этом случае будем использовать метод нелинейных ГИУ типа Гам-мерштейна, предложенный Б.А. Галановым, позволяющим одновременно определять нормальные контактные давления и неизвестную область контакта.

Изменим немного постановку задачи. Пусть два одинаковых штампа, имеющих-форму эллиптических параболоидов /±(^Нг-£)2/(2/?, )+(z±6)V(2fl2),

(1.9)

/?1>:/?2, вдавливаются без перекоса вблизи ребра клина. Симметричные по г области контакта неизвестны. С учетом первых трех обозначений (1.1) задача сводится к ИУ

j^q.(x,y.)K(x,y.,r,z,)dxdy.=4^^Gg[r,z), , (1.8)

£(г,г) = 5-(г-*)7(2Л,) + г2/(2Л2), где О — неизвестная область контакта, а ядро для задач А, Б и В имеет вид (1.3), (1.4).

Пусть область £1 не достигает ребра клина и целиком содержится в прямоугольнике 5 = {\г-Ь\<а,\:.\йс},Ь>а>с. Уравнение (1.8) дополним условиями неотрицательности контактного давления в области контакта, отсутствия контакта и обращения в нуль давления в дополнительной области записав их все в виде системы

= <7.(М)>0, М еП,

где введены обозначения м = (г,:.),М = (х,у.).

Идея метода состоит в представлении искомого давления в форме ч.=ч.{м) = ч:{м)+ч;{м), (1.10)

где введены нелинейные операторы

«7,+(ЛО = 5ир{<7.+(М),0}, <7.-(ЛО = га«9;(ЛО,0} • (1.11)

При учете (1.10) интегральное неравенство (1.9) будет удовлетворено в результате решения нелинейного операторного уравнения типа Гаммерштейна

0р.=О (МеП), 0р.=р; + к,р:-4лС8, (1.12)

где

р.=р.ш), /?.*=рНю, = .

Контактное давление выражается через решение уравнения (1.12) по формуле q, = р!, а область контакта находится из условия П = {А/:р,>0}. Доказана эквивалентность системы (1.9) и уравнения (1.12).

Используем безразмерные величины

, г-Ь ,2, Ь И с 8 а а , 1? ,. п,

г=-, г. = —, А.= —, к = -, £ = -, 5=-, // =—, В = —, Л= —Д1.13)

а а а а а а 2 щ 2 к2 а

= д(г,г)/(4яС), Р'= Я/(4лСо2), О , о 5 (1.14) и т.д. В обозначениях (1.13) Х>1.

Для задачи А (одна грань клина г. свободна от напряжений) рассмотрим

_также случай, когда область о может

—-^ выходить на ребро клина. Тогда на

ребро клина поместим и одну сторону прямоугольника

-$ = {\г-а\<а,\г.\<с} ,а>с,а£Ь

(см. рис. 1.2). При А.21 также используем обозначения (1.13), (1.14) с заменой первого равенства (1.13) на г'=(г-а)/а. Штрихи и звездочки далее опускаем.

Рис. 1.2. Прямоугольник п Л^'^016™" зна~чений яДРа контакта 5 в уэлах Равномерной сетки, по-

, пп , крывающий прямоугольник 5 с шагом

формуле? °СИ еГ° особенность вне РебРа Регуляризуется по

а на ребре '

ЦО,г,х,у)->А,0/Ц + \/%), я' =[х2+(г-у)2 + 50]|/2,

2(сг-81гга) »->о "

где функция Щи) определяется первой формулой (1 3)

/тпо^Г™ показзли' ч™ Два штампа вдавить легче, чем один штамп ?&меньшая сила)- ^имодейсгаие штампов вблизи ребра кли на (в смысле отличия значения силы для двух штампов от соответсг-

зТачГв гГстГГ °ЯН0Г0 даенно уменьшается для

* ? ^есткая задетка одной грани клина) по сравнению с задача-

1Аи1 ДБ- заДачи 8 плоВДдь области контакта наибольшая, а для

задачи А - наименьшая по сравнению с другими задачами

трехмерного клина позволяет учесть краевые эффекты, которые не учитывались при герцевском контакте, использовавшем^ ш-нее для расчетов зубчатых передач на контактную прочность Р на рис. 1.3 заштрихованы верхние половины областей контакта П для углов а = 65- и а = 135" (а и б соответственно) при е=0 15 л-0 1 5=0.005, у=0.3, 5=0.005, к=15.ПРи Х=0 граница области Писана сплошной линией, при - пунктиром. Видно, что при а = 65» площадь области п значительно меньше, чем при а = 135' (этот факт имеет место и в случае Л<в). Для достаточно острых углов а и Л->0 наблюдается эффект нарушения контакта в окрестности точки пеовона-

ГаГГвдоль НреЦРебР° КЭК бЫ °™ДИТ)' °Собенно вытя^ос™

Приведем пример, показывающий, что для клина с одной свободной от напряжений гранью, при постоянной вдавливающей штамп (эллиптический параболоид) силе, при приближении области контакта к ребру клина могут возникать более высокие максимальные контактные напряжения, чем, при расположении штампа вдали от ребра. Пусть £=/<=5=1, v=0.5, а=90° к=со, р=0.286. Тогда при Л=10 (вдали от ребра) осадка 5=1, максимальное контактное давление (в центре области контакта) ímax=0.288. При выходе прямоугольника контакта на ребро клина, ЫХ1, осадка возрастает до значения S=1.88, максимальное контактное давление увеличивается до qmm=0.304. Таким образом, при постоянной вдавливающей штамп силе на кромке зуба вследствие уменьшения площади области контакта могут возникать более высокие, опасные с точки зрения контактной прочности, контактные напряжения, чем на регулярной поверхности зуба. Аналогичный вывод сделан в монографии В.И. Короткина, Н.П. Онишкова, Ю.Д. Харитонова «Зубчатые передачи Новикова. Достижения и развитие» (М.: Машиностроение-1 2007 384 е.). '

В п. 1.2 рассмотрен контакт на регулярной поверхности зуба (вдали от кромки), моделируемый взаимодействием штампов на слое с учетом трения.

В декартовых координатах рассмотрим слой {д-^е^оо.оо^ге^./г]} толщины /г, нижняя грань которого z=0 находится в жесткой или скользящей заделки (задачи А и Б соответственно). Упругий материал слоя имеет коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G. Верхняя грань слоя z=h взаимодействует с двумя одинаковыми штампами. Формы основания штампов имеют вид эллиптических параболоидов и описываются функциями g±(xj,)=(x±c)2WiW/(2R2), R2>Rt.

Между поверхностью слоя и штампов действуют силы кулоновского трения с коэффициентом трения ц. Штампы начинают достаточно медленно двигаться вдоль оси х так, что задачи симметричны относительно оси у. Силы трения направлены против движения. При ц>0 штампы удаляются друг друга, а при ц<0 — начинают сближаться. К штампам приложены симметричные касательные силы Г, нормальные силы Р. Пусть осадка штампов равна 6, а перекос отсутствует. Симметричные по ^ области контакта П± неизвестны (область при ,*<0). При известных величинах G, v, ц, h, с, Ru У?, и 5 и заданной функции J[r,¿) требуется определить контактные "давления

сами области контакта Q± и величину Р.

Как и в предыдущем случае задачи сведены к ИУ относительно контактного давления, для решения которого применяется метод Галанова. Ввиду того, что область контакта неизвестна, получается система ИУ (в области контакта) и интегрального неравенства (в дополнительной области). Вводятся специальные нелинейные операторы, позволяющие получить одно нели-

0 е -в 0

а) 6)

Рис. 1.3. Области контакта Q

нейное операторное уравнение типа Гаммершгейна, эквивалентное системе. В ходе решение этого уравнения удается одновременно определить контактные давления и область контакта (область, где функция давлений положительна).

Сделаны расчеты при разных значениях относительной толщины слоя и относительного расстояния между штампами. Для задачи Б значения давления и силы меньше, чем для задачи А, как и должно быть. В обоих случаях контактное давление меньше на той стороне области контакта, которая ближе к участку, расположенному между штампами.

Во второй главе рассматривается напряженное состояние зубчатой передачи Новикова, дополнительно пригруженной вне области контакта. В качестве модели зуба взят трехмерный упругий клин, развит асимптотический метод (область контакт известна) и метод Галанова (область контакта неизвестна), обобщена задача Галина для упругого полупространства на случай трехмерного клина.

В п. 2.1 рассматривается пригрузка вне известной области контакта на ребре клина (кромке зуба^. В цилиндрических координатах г, ф, г рассмотрим пространственный упругии клин {0</-<°о, о<ф<а, -аххоо} угла раствора а, ось г направлена по ребру клина. Материал клина характеризуется модулем сдвига О и коэффициентом Пуассона V. Грань <р=0 свободна от напряжений (задача А) или находится в условиях скользящей заделки (задача Б). В грань Ф=а без перекоса вдавливается эллиптический в плане штамп с плоским основанием, к которому приложена сила Р. Область контакта — эллипс П={(/^я) /с2+г/Ь2}, Ь>с, а>с. В начале координат л=г=0 к грани ф=а приложена нормальная сосредоточенная сила д. Для простоты считаем задачу симметричной по г. Осадка штампа равна 8. При заданных величинах а, О, а, Ь, с и 8 требуется определить контактное давление в области О и затем

найти силу Р. Для задачи А сила <2 вызывает в заданной области контакта О дополнительное нормальное перемещение (для задачи Б все аналогично)

u^r,a,z) = -QAo(r,z)/\2nQ^r2+z2y 0 = G/(l-v), (2.1)

2 f3 mi

A0(r,z) = A + - I th — [W+(u)F+ (u)~ W_(u)F_(u)]x

71 •*> 2

xcos

. Jr2+z2 + \z\ и ln--—■

, . 2a + sin2a „. . . , chcwícosa .. dutA = я——rT—,^±(¡/) = ±_— , .(2.2) 2(a -sin a) sha« ±u sin a

s /

Используя (2.1), (2.2) и известные функции Грина для трехмерного клина, для задачи А получим ИУ вида (K¡„(r) - функция Бесселя)

е-' ytx,y)K{x,y,r,z)dxcly = 2rc(6-04,(r,z)/(2Wr2 + г2 jj,(r,z)eO, (2.3)

К{х,у,г,г)=^ + Р{х,у,г,г), Л = [(Г-х)2+(2-^)2]'/2,

F(x,y, г, z) = -i |°sh nu(W(u) - cth пи)Кы (p*) +

+sb{ml2)[W¿u)F,{u$x)-^(¡í)/=l(«,f5jc)]}^„(pr)cosp(z- , (2.4) W{u) = [WM~W^u)V 2.

Функции F±(u), F±(u$x) в (2.2) и (2.4) удовлетворяют ИУ Фредгольма второго рода (0</коо)

F±(«)-(1-2v)[L±(»,>')/;;(^ = |(1-2V)¿±(I(,0),

L±(u,y)-2ch^sh^W±(y) Г-2 2 -о (

(ch nt + ch жи){cli ni -l ch жу) '

L±(u,0) = ±w1TcosachH ГМШ a ± sin a 2 -b chn/ + chm<

g±0) = (cthfal/2j)i

sin2u

cha/T cos 2a

Для решения ИУ (2.3) и аналогичного ИУ в задаче Б использован регулярный асимптотический метод, эффективный для относительно удаленной от ребра клина области П. Контактное давление разложено в ряд по отрицательным степеням геометрического параметра Х=а/Ь. При a=it для задачи А, когда Q — круг, построенное решение совпадает с разложением в ряд точного решения контактной задачи Галина.

В п. 2.2 рассматривается обобщение задачи Галина для клина, когда область контакта неизвестна. Сравнение значений силы для угла раствора клина а=90° показывает, что для случая скользящей заделки значения силы больше, чем в соответствующих случаях клина с одной свободной гранью, что очевидно из механических соображений. При возрастании дополнительной силы, приложенной вне штампа, вдавливающая штамп сила снижается (при этом уменьшается и площадь области контакта) как в задаче А, так и задаче Б. Также сила уменьшается при уменьшении угла раствора клина а в диапазоне а>90°.

Реальный зуб зубчатого зацепления имеет конечный размер, на определенном расстоянии от кромки тип граничных условий на грани зуба может меняться. В связи с этим в третьей главе развиваются методы исследования напряженного состояния упругих тел (полоса, слой, клин) в контакте с жестким штампом при дополнительных линиях раздела граничных условий: метод парных ИУ, асимптотический метод, метод Галанова.

В п. 3.1. изучен плоский контакт для упругой полосы, в одну грань которой внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется дополнительная линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть свободна от напряжений либо жестко защемлена).

В декартовых координатах *, у рассмотрим упругую полосу fx 6 (- да, с»), у е [о, /?]} толщины h с двумя параметрами упругости материала (модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v ). Будем использовать общее решение дифференциальных уравнений равновесия Ламе плоской задачи теории упругости в форме Папковича-Нейбера. Пусть верхняя грань полосы y-h нагружена заданной четной по х нормальной нагрузкой д(х) по участку .v е (-а, а) и свободна от напряжений вне этого участка. Нижняя грань полосы у = 0 жестко заделана по участку

xe(~b,b) (задача А) или свободна от напряжений на участке xe(-b,b)

(задача В), а вне этого участка находится в условиях скользящей заделки (т.е. лежит без трения на жестком основании).

Граничные условия сформулированных краевых задач можно представить в форме

>> = (): А) иу= 0; м, = 0 (¡*|<б), ^ = 0 У = 0: В) тху = 0; ст,=0 (¡л|<б), н,= 0 |*|>й); y = h\ хху=Ъ) оy = -q{x) (jjfj<я), CTj, =0 |*|>а).

При помощи интегрального преобразования Фурье задача А сводится к парным ИУ вида

|c(x)[l-g(>.)]sinX.x^ = /(^ (о<X<ь), j\c(X.)sinX«a = 0 {x>b),

где с{х) — неизвестная функция; g(x), /(*) — известные функции.

В задаче В возникают парные уравнения вида

f.D(4l-6'(l)]cosb^ = F(x) (0<*<й), (b(x)cos^ = 0 {x>b),

где d{x) — неизвестная функция; g(x), f{x) — известные функции.

Для решения парных уравнений используем метод преобразующих операторов, сводя их к ИУ Фредгольма второго рода относительно вспомогательных функций,

На основе решении задач А и В выводятся ИУ первого рода соответствующих контактных задач для полосы относительно неизвестного контактного давления под штампом q{x) в области контакта хе(-а,а). Ядра ИУ контактных задач зависят от решений ИУ Фредгольма^ второго рода. Для решения ИУ контактных задач развит регулярный асимптотический метод, эффективный для относительно толстой полосы.

В п. 3.2 изучен осесимметричный контакт для упругого слоя, в одну грань которого внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется круговая линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть под областью контакта жестко защемлена либо свободна от напряжений).

В цилиндрических координатах г, <р, г (при условии осевой симметрии решение не зависит от третьей координаты <р) рассмотрим упругий слой {г е [о, со), z е [о, л]} толщины h с двумя параметрами упругости материала, (модуль сдвига g и коэффициент Пуассона v). Будем использовать общее решение дифференциальных уравнений равновесия Ламе осесимметричной задачи теории упругости в форме Папковича-Нейбера. Пусть верхняя грань слоя z=h нагружена заданной нормальной нагрузкой <?(/■) по участку г е [о, а) и свободна от напряжений вне этого участка. Нижняя грань слоя 2 = 0 жестко заделана по участку г е [о, Ь) (задача А) или свободна от напряжений на участке re [о, ь) (задача В), а вне этого участка находится в условиях

скользящей заделки (т.е. лежит без трения на жестком основании).

Граничные условия сформулированных краевых задач можно представить в форме

z = 0 : А) иг=0 } иг= 0 (0£г<ь), т„=0 (г>Ь); 2 = 0: В) т„=0; ох = 0 (Ойг<Ь), и, = 0 (г>А); j> = A: Т„=0; ог=-д(г) (О<,г<а), аг=0 (г>а).

При помощи интегрального преобразования Ханкеля задача А сводится к парным ИУ вида

=/(/•) (о< /• < б),

где с(А.) — неизвестная функция; g(A.), /(/■) — известные функции. Здесь и далее У„(г) — цилиндрические функции (« = 0, l).

В задаче В возникают парные уравнения вида

= F(r) (о<г <б), |Ъ(ф0(Аг)л = 0 (r>b),

где D(l) — неизвестная функция; с(я), f(r) — известные функции.

Для решения парных уравнений используем метод сведения их к ИУ Фредгольма второго рода относительно вспомогательных функций.

На основе решений задач А и В выводятся ИУ первого рода соответствующих контактных задач для слоя относительно неизвестного контактного давления под штампом <?(/■) в области контакта /-е[о, а).

Ядра ИУ контактных задач зависят от решений ИУ Фредгольма второго рода. Для решения ИУ контактных задач развит ре^лярный асимптотический метод, эффективный для относительно толстого слоя (по сравнению с характерным размером области контакта).

В п. 3.3 исследован трехмерный контакт для упругого клина, одна грань которого взаимодействует со штампом (эллиптическим параболоидом), на другой грани граничные условия разделены по линии параллельной ребру клина (часть грани, примыкающая к ребру, свободна от напряжений, другая часть лежит без трения на недеформируе-мом основании).

Рассмотрим, используя цилиндрические координаты, трехмерный упругий клин {ге[0,оо]; <рб[0,а]; гб(-®,оо)} угла раствора а; ось г направлена по ребру клина. Материал клина для простоты принят несжимаемым (v=0.5). На грань клина <р=а действует нормальная сосредоточенная сила Р. Грань клина ф=0 свободна от напряжений при г<Ь и лежит без трения на недеформируемом основании (скользящая заделка) при г>Ь. Граничные условия сформулированной задачи можно записать в форме

Ф = а: av = -/>§(г - ,*)о(г - у\ т,„ = v = 0;

Ф = 0: стф=0(г<4 «ф = 0 (r>b), = тщ = 0.

При помощи интегральных преобразований Фурье и Конторови-ча—Лебедева поставленная задача сводится к парным ИУ вида

р(т)Цт)*А7гт£,,(А,г)Л = 0 (0<г<Ь), p(z)s/inrKIT(kr)äT = /(r) (r>b),

где л(т) — неизвестная функция; кп(г) — функция Бесселя; ю(т), /(г) — известные функции, причем ш(т) по своим асимптотическим свойствам в нуле и на бесконечности является функцией типа 1Ь (Ят),

В=СОП51.

Полученные парные уравнения, связанные с преобразованием Конторовича—Лебедева, сводятся к ИУ Фредгольма второго рода относительно вспомогательной функции.

На основе полученной функции Грина для трехмерного клина выводится двумерное ИУ первого рода контактной задачи с неизвестной областью контакта для клина. Жесткий штамп имеет форму эллиптического параболоида. Ядро ИУ контактной задачи зависит от решения ИУ Фредгольма второго рода. Для решения контактной задачи используем метод нелинейных граничных уравнений, позволяющий определить область контакта и давление в этой области.

В четвертой главе разработаны новые методы исследования напряженного состояния стержней сложного поперечного сечения при кручении.

В п. 4.1 проведен анализ существующих способов оценки напряженного состояния стержней при кручении.

В п. 4.2 рассматривается кручение стержня с поперечным односвяз-ным сечением произвольной формы, скручиваемого моментами силы, приложенными к концам стержня.

Пусть поперечное сечение однородного по всей длине стержня представляет собой односвязную область О. За ось стержня принимается линия, соединяющая центр тяжести поперечного сечения. Система координат приведена к главным осям инерции области £>.

Решение задачи Сен-Венана сводится к определению функции кручения ф(л-,>>) — гармонической функции в области сечения стержня О с условием на границе Г области Б: Эф/5у|г = усоз(у,;с)-*со5(у,>>). Здесь Э/0у означает производную в направлении внешней нормали к границе области сечения, соз(у.х), соя(у,у) — направляющие косинусы нормали.

С точки зрения решения инженерных задач интерес представляет значение жесткости при кручении стержня, которое выражается произведением С = цЯ модуля сдвига ¡л на геометрическую жесткость при

кручении И = ^1$г+уг+хд1р1ду-уд<$1дх)к{1у .

Другая равносильная форма представления геометрической жесткости через функцию ч> = , гармонически сопряженную к функции кручения ф и связанную с л|/ известными условиями Коши-Римана, дается равенством Н= ^{х2 + у2-хду1дх-уду1ду\к(1у. При этом \|/ должна быть решением краевой задачи Дирихле с условием

ч<|г=42+/)/2. (4.1)

Кратко опишем суть разработанного метода решения. Перейдем к полярным координатам г- = |г|=|*+/у|> В = А^(х + 1у). Функции ф(х,у),

чЧ^.у) можно приближенно определить формулами

у) = «о + ле + 5111 АО), (4.2)

Ч^.^-^ + ^.^-^созАе+а^тЛО), (4.3)

с некоторым номером п и коэффициентами ак, Ьк, выбранными так, чтобы при заданном е > 0 выполнялось условие

+ г'(ь*с°зМ-а*Б1пА.б)+0.5г2 <е, (г,0)еГ. (4.4)

Задавшись номером п, определим коэффициенты Ь0,щ,...,Ь„ в соответствие с условием (4.4) по методу регуляризующего функционала, т.е. так, чтобы квадратичная невязка граничного условия (4.1) по контуру Г была согласована с условием (4.4) и при этом высокие гармоники многочленов (4.2), (4.3) были «подавлены». Именно, потребуем, чтобы было

Ма = Ма(Ь0,а1,Ь.....,я„,6„) = ст + аО->тт .

Здесь

а = (г[*|/„) = а(Ьо,а„Ъх,...,а„,Ь„) = (¿(г)) ' |(у„(ге'е )- г2 /2fds; в качестве «стабилизатора» взят функционал

П = £2[у„] = = (ДО)4 + |ёгас1 ,

¿(Г) означает длину границы Г, Л — элемент длины дуги; а, а>0,

— параметр регуляризации, который необходимо определить.

Согласно теории некорректных задач, задача на минимум Ма на множестве всех функций удовлетворяющих при заданном б0, О < 80 < о[0], условию ст[\(у,, ] < 80, имеет единственное решение, которое достигается в случае равенства с[у„] = 50. Записывая необходимые условия минимума

8Ма/8Ьй = О, дма/дак = 0, дМа 1дЬк =0 (к = 1,2,...,п), приходим к СЛАУ следующего вида

+ = (¿ = 0,1.....п).

Здесь Ак,{ а), Вк1(а), В'к1( а),' Ек, Е"к — известные функции.

Симметричная матрица СЛАУ (4.5) является матрицей Грама системы линейно независимых функций, поэтому она положительно определенная и имеет единственное решение.

Параметр регуляризации а > 0 найдем по методу невязки из уравнения ст„(а) = 80. Здесь а „(а) = а{Ь0(а),а,(а),...,¿„(а)), Ыа),о,(а),...А,(а)

— решение системы уравнений (4.5) при фиксированном а > 0.

Величину допустимой невязки 80 > 0 зададим с учетом требуемого уровня точности б > 0 аппроксимации функции у на г: 80 = с2. Уравне-

(4.5)

ние невязки имеет (и притом единственное) решение а тогда и только тогда, когда выполняются условия о„(0)<е2 <а(х), где ог<°°) = а[0] = (4i(r))"' JrV.v. В диссертационной работе показано, что при

любом б > 0 условию ст„(0)<Е2 можно удовлетворить выбором достаточно большого п .

Примем приближенно за величину геометрической жесткости при кручении Н, применяя формулу Остроградского-Грина,

Н„ = <£(-хгу-xq,)jx +(хуг -yq>„)jy .

В диссертационной работе предлагается оценка погрешности при численном вычислении Н. Пусть ^ = (tri) — произвольно фиксированная точка на Г и = — ближайшая к £ узловая точка, описывающая заданное поперечное сечение стержня, 5, — такое положительное число, что граница Г покрывается системой замкнутых кругов радиусов 5, с центрами в узловых точках С,„, расположенных на Г. R[m — наибольшее из расстояний точек от начала координат. Тогда дн„ = |я - н„| < д„ = 2б'„s(d) , где s(d) — площадь области d,

е« = 8| (Лт„ + К„ + 5, / 2)+ е2, К„ = max У" krf'1 ja2k+bj ,

E2 = max|v|/„(c(.)-(^ + iiy)/2(.

В работе выполнено опробование метода расчетами для различных видов и размеров областей сечений. Для сравнения использовались соответствующие приближенные значения величины Н, полученные по методу МГЭ (прямая формулировка).

В результате проведенных численных экспериментов установлено, что с увеличением числа узлов на границе, а также с увеличением порядка п гармонического многочлена и уменьшением е, точность решений, как правило, увеличивается. Для полигональных областей достаточно высокая точность достигается даже без регуляризации (т.е. при а = О — по существу, методом наименьших квадратов). Для областей с криволинейными границами, когда дополнительно сгенерированные узлы не лежат точно на границе, применение процедуры регуляризации повышает точность.

Для невыпуклых областей с угловыми граничными точками, при которых внутренние углы больше 180°, расчет предельных погрешностей д„ приводит к величинам, которые не несут полезной информации, что несколько снижает ценность метода. Однако и в этих случаях приближенные значения //,, близки к результатам, получаемым по методу ГЭ.

В сопоставимых условиях, при одинаковых порядках СЛАУ, решаемых нашим методом и методом ГЭ, величины Я„ и H2„,i получаются близкими, однако для выпуклых областей или областей с гладкими границами

предложенный метод точнее. Высокая точность результатов, полученных в моделях с известными решениями, дает основание считать метод надежным. Степень «доверия» к полученному приближенно значению я оценивается по расчетной величине Л„: интервал (//„-д„;//„+д„) гарантированно покрывает истинное значение Н. Метод позволяет получать величину Н с использованием значений функции у только на границе области сечения без привлечения значений ее частных производных. Метод прост, не требует больших затрат времени для подготовки модели к обсчету, достаточно эффективен и обеспечивает приемлемую, и притом контролируемую, точность решения задачи Сен-Венана для широкого класса областей: выпуклых или с гладкими границами. По затратам машинного времени он сопоставим с МГЭ, несколько уступая последнему, в основном за счет применения процедуры регуляризации; без ее применения быстродействие практически такое же: проигрывая методу ПЭ во времени подсчета каждого элемента матрицы СЛАУ за счет использования в квадратурах большего числа граничных точек, предлагаемый метод выигрывает за счет симметричности матрицы.

По описанному методу разработана программа «Программа численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного од-носвязного поперечного сечения», позволяющая определять значения функции кручения и частных производных функции кручения в любой точке плоскости сечения стержня, касательные напряжения, отображать линии равных напряжений, а также значение жесткости стержня при кручении. * и

В п. 4.3 рассматривается кручение полого стержня, скручиваемого моментами силы, приложенными к концам стержня. Пусть поперечное сечение однородного стержня представляет собой ограниченную дву-. связную область й в плоскости комплексного переменного £ = * + г+

ис г" ~ соответственно внешняя и внутренняя граничные компоненты области и, являющиеся замкнутыми кусочно-гладкими жордановыми кривыми без точек возврата.

Решение сводится к определению гармонической в области в функ- ' ции ч'(0 / принимающей на границе Г = г+ и Г" значения = /¡(д,

у|г_ =/г(0 + С, где А(С) = |сГ/2. Постоянная с должна быть выбрана так,

чтобы выполнялось условие Прандтля |_д\у/дпсИ = 0.

С помощью конформного отображения поставленная краевая задача редуцируется к задаче в круговом кольце. Пусть w=g(Q — аналитическая функция, осуществляющая конформное отображение области О на круговое кольцо А',, = {»:<-/ <|н|< 1} с некоторым значением радиуса внутренней окружности кольца 0<ч<1, и ¿; = /(*,) — обратная функция. Тогда для гармонической в Кч функции у'М^/М) имеем

У V) = Л!пл + й0+ +7Г1 £ (к {г, (т) - К^г, I, т)/>~(фт, ч^г<1. (4.6)

Здесь

К(р,(,т)= ]Гр"(1-42")Чсо8«(/-т), />+(т) = /г(/(е")), Г(т) = А(/(?е")),

/1 = (с + До - ао)/ 1п с/, с/д = (2 71)'' Г /¡+(т)л , йо =(2я)"' Г/г(т)Л.

Формула (4.6), а также вид ядровой функции к(р,1,х) известны из

литературы^ однако мы приводим их в ином виде, более удобном для наших целей.

Условие Прандтля приводит к равенству

Л = ^(1-У'У ]" /Г (т)со5«(/-т)л|л.

Интегрируя ряд почленно, получаем А-О, и, следовательно, С = а,; -а0.

В основу практического построения функции # положен известный метод альтернации. На завершающем этапе построения отображения, когда уже в качестве образа получена область близкая к круговому кольцу и продолжение итераций в методе альтернации не приводит к улучшению отображения, используется прием улучшения отображений, основанный на методе граничных вариаций М.А. Лаврентьева.

Геометрическая жесткость стержня определяется равенством

Н = + (4.7)

где 5(Г") — площадь области, ограниченной контуром Г'.

Для численного определения интеграла /(£>)= в (4.7) при-

меняем метод статистических испытаний Монте-Карло (М-К).

Установлено, что стабильность результатов приближенных вычислений геометрической жесткости стержня наступает при количестве узлов около 200 на каждой из внешней и внутренней граничных компонент области и числе случайных реализаций в методе М-К около 3000.

По описанному методу разработана программа «Программа численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного дву-связного поперечного сечения», позволяющая строить конформное отображение g:D->К,, по методу альтернации и граничных вариаций Лаврентьева, определять постоянные А и С и вычислять значения 1|/(0 = согласно (4.6), а также определение крутильной жесткости стержня Н с применением метода М-К для вычисления интеграла по области О в (4.7). Также в программе реализованы возможности определения значения частных производных функции кручения в любой точке плоскости сечения стержня, касательных напряжений и отображения линии равных напряжений и уровней функции у.

В 4.4 описаны результаты натурных экспериментов кручения стержней на испытательной машине на кручение КМ50 и приведены результаты расчетных значений по предложенным методам. Исследования показали, что расхождения вычислений крутильной жесткости стержня с практическими экспериментами не превышает 4.8 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена научно-техническая задача оценки напряженного состояния зубчатых зацеплений Новикова в нескольких областях контакта и стержней одно- и двусвязного сечения при кручении. Развиты и разработаны методы, основанные на решении краевых задач упругости. Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволили получить следующие основные научные выводы и практические результаты:

1) разработаны новые модели контактного взаимодействия зубьев зубчатых передач Новикова, основанные на фундаментальных решениях краевых задач теории упругости для трехмерного клина, что позволило учесгь краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина) с учетом шероховатости контактирующей поверхности (несколько областей контакта); в частности, установлена возможность увеличения максимальных контактных давлений при приближении области контакта к кромке зуба (при постоянной вдавливающей силе);

2) в трехмерной постановке исследован контакт по двум симметричным областям на одной грани зуба (упругого клина). При заданных областях контакта получено регулярное асимптотическое решение для областей, относительно удаленных как друг от друга, так и от кромки зуба. Для случая, когда области контакта расположены относительно близко от кромки зуба (или выходят на кромку; области контакта неизвестны), развит численныи метод, основанный на решении нелинейных ГИУ;

3) для регулярной поверхности зуба, моделируемой упругим слоем, изучен пространственный контакт в случае двух неизвестных областей контакта при учете сил трения. Метод нелинейных ГИУ позволяет одновременно определить контактные давления и области контакта;

4) для случая действия дополнительной нагрузки на грани зуба (трехмерного упругого клина) вне области контакта развиты методы определения контактных давлений (асимптотический метод для заданной области контакта и метод ГИУ для неизвестной области контакта). Полученные результаты позволяют в дальнейшем исследовать контакт для зуба по нескольким несимметричным областям произвольной формы при помощи метода Андрейкива-Панасюка. Получены обобщения решения контактной задачи Л.А. Галина для упругого полупространства на случай пространственного клина об одновременном действии на грани упругого клина эллиптического в плане штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта. Найденное асимптотическое решение в частном случае (одна грань клина свободна от напряжений, угол клина равен 180 , круговой штамп) совпадает с разложением в ряд точного решения Л .А. Галина, что подтверждает достоверность полученного решения;

„ 5) развиты методы определения контактных давлений на грани упругой полосы, слоя, пространственного клина, моделирующих зуб передачи Новикова, при наличии дополнительных линий раздела граничных условии на другой грани полосы, слоя, клина;

6) разработанный метод устойчивого численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения обеспечивает достаточно высокую точность вычислений, дает простые

аналитические представления для функции кручения и функции, сопряженной к ней, как на границе области, так и внутри нее, позволяет дать оценку предельной погрешности в определении величины геометрической жесткости. Как показывают результаты экспериментов, для большого класса областей сечений высокая точность результатов достигается даже при сравнительно небольших порядках аппроксимационного многочлена;

7) высокая точность результатов, полученных для моделей с известными точными решениями, дает основание считать разработанный метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня надежным^. Предложен новый способ вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который ^приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме;

8) разработана программа «Программа численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного поперечного сечения» и пакет программ «Программы численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного поперечного сечения», реализующие разработанные методы решения задач о кручении стержней.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Молчанов, A.A. Взаимодействие штампов на грани упругого клина /

A.A. Молчанов, Д.А. Пожарский // Прикладная математика и механика. -2010. - Т. 74, вып. 4. - С. 681-690. -

2. Пожарский, Д.А. Асимптотические решения смешанных задач для упругой полосы и клина / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Вестник Донского гос. технического университета. - 2010. - Т. 10, № 4 (47). - С.447-454.

3. Соболев, В.В. Численный метод определения жесткости при кручении стержня произвольного сечения / В.В. Соболев, A.A. Молчанов // Изв. вузов. Сев.-Кавказский регион. Серия: Естеств. науки. - 2010. - №1. - С. 34-40.

4. Соболев, В.В. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения методом конформного отображения /

B.В. Соболев, A.A. Молчанов // Вестник Томского гос. университета. Математика и механика. - 2011. - №2 (14). - С. 25-37.

5. Молчанов, A.A. Обобщения контактной задачи Галина и взаимодействие штампов / A.A. Молчанов, Д.А. Пожарский // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4, ч. 4. - С. 1636-1638..........

6. Пожарский, Д.А. Контактные задачи с дополнительными линиями раздела / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Сб. материалов межд. науч.-практ. конф. «Состояние и перспективы развития сельскохоз. машиностроения» (Ростов н/Д, 3-6 марта 2009 г.). - Ростов н/Д: РГАСХМ. - 2009. -С. 44-46.

7. Пожарский, Д.А. Контактные задачи для слоя и клина при дополнительных линиях раздела граничных условий / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Сб. науч. тр. РГАСХМ. - Ростов н/Д: РГАСХМ. - 2009. - С. 1820.

8. Молчанов, A.A. Устойчивый метод решения задачи Сен-Венана о

кручении стержня произвольного односвязного сечения / A.A. Молчанов // Безопасность жизнедеятельности. Охрана труда и окружающей среды. Межвузовским сб. науч. тр. Вып. 13. - Ростов н/Д: РГАСХМ, 2009. - С. 124-128.

9. Молчанов, A.A. Алгоритм численного определения жесткости при кручении стержня произвольного сечения и его программная реализация /ААМолчанов// Сб. науч. тр. РГАСХМ. - Ростов н/Д: РГАСХМ.-2009. - С.

10. Соболев, В.В. Численное решение задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного сечения с применением конформного отображения /В.В. Соболев, A.A. Молчанов // Современные пробл. гуман. и естеств. наук. Мат. И межд. науч.-практ. конф. (Москва, 15-25 янв. 2010 г.). (Спецвып. ж. «Актуальные пробл. гуман. и естеств. наук».) - 2010. - Т.2. — С. 18—23.

11. Соболев, В.В. Численный метод определения крутильной жесткости полого стержня произвольного сечения / В.В, Соболев, A.A. Молчанов // Сб. тр. XXIII межд, науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 22-25 июня 2010 г.). - Т. 5. - Саратов: СГТУ. -2010» С< 33-35.

12. Соболев, В.В. Численное решение задачи Сен-Венана о кручении полого стержня методом конформного отображения /В.В.Соболев, А.А.Молчанов // Матер. V Петрозаводской межд. конф. «Комплексный

ПетрГУ И2010 ПРсЛ29' зГ"* ИЮНЯ ~ 3 ИШЯ 201° ^ ~ ПетР03ав°Дск:

13. Mokhanov, A.A. The interaction of punches on the face of an elastic wedge /A.A.Molchanov, DAPozharskii// J. Appl. Math, and Mech. - 2010. - V. 74 (4). - P. 486-493.

14. Молчанов, A.A. Экспериментальное исследование стержней на кручение / A.A. Молчанов // Сб. ст. межд. науч.-практ. конф. «Инновационные технологии в машиностроении и металлургии» в рамках VII про-мышл.^конгр. юга России (Ростов н/Д, 7-9 сент. 2011 г.). - Ростов н/Д:

15. ИКАП И101227153934. Программа численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения / A.A. Молчанов. - №50201150054; заявл. 27,12.2010; опубл. 12.01.2011.

16. ИКАП И101227155000. Программы численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного поперечного

B'B¿ АА- Молчанов. - №50201150055; заявл.

27.12.2010; опубл. 12.01.2011.

В печать 09. И. 14. ~

Объем 1 усл. п. л. Офсет. Формат 60x84/16. Бумага тип №3. Заказ №¿"7/. Тираж 100. Бесплатно

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Молчанов, Александр Алексеевич

Введение

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ОБЛАСТЯХ КОНТАКТА ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА

1.1. Задачи о взаимодействии штампов на грани упругого клина

1.1.1. Асимптотическое решение для случая относительно удаленных как друг от друга, так и от ребра клина штампов

1.1.2. Метод нелинейных граничных интегральных уравнений для случая, когда штампы расположены относительно близко от ребра клина или выходят на ребро

1.2. Задачи о взаимодействии штампов на грани упругого слоя

1.3. Выводы по главе

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА, ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПРИГРУЖЕННОЙ ВНЕ ОБЛАСТИ КОНТАКТА

2.1. Задачи Галина для пространственного упругого клина (область контакта известна)

2.1.1. Задача Галина для клина при свободной от напряжений другой грани

2.1.2. Задача Галина для пространственного упругого клина при скользящей заделке

2.2. Задачи Галина для пространственного упругого клина (область контакта известна) при различных условиях на другой грани

2.3. Выводы по главе

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ В КОНТАКТЕ С ЖЕСТКИМ ШТАМПОМ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ РАЗДЕЛА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

3.1. Контактные задачи для полосы при наличии дополнительных линий раздела граничных условий

3.1.1. Нагружение полосы при сложных смешанных условиях на другой ее грани

3.1.2. Задача о штампе на грани полосы при смешанных условиях на другой грани

3.2. Контактные задачи для слоя при наличии дополнительных линий раздела граничных условий

3.2.1. Нагружение слоя при сложных смешанных условиях на другой его грани

3.2.2. Задача о штампе на грани слоя при смешанных условиях на другой грани.

3.3. Контактная задача для трехмерного клина при разделенных по линии граничных условиях на другой грани

3.4. Выводы по главе

ГЛАВА 4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЕЙ СЛОЖНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

4.1. Обзор задач о кручении и выбор методов решения соответствующих краевых задач

4.2. Задача Сен-Венана о кручении стержня произвольного одно-связного сечения

4.2.1. Постановка задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения

4.2.2. Устойчивый численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения

4.2.3. Программная реализация численного метода решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения

4.2.4. Численные эксперименты решения задачи о кручении стержня произвольного односвязного сечения

4.3. Задача Сен-Венана о кручении стержня произвольного дву-связного сечения

4.3.1. Постановка задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной двусвязной областью сечения

4.3.2. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стержня методом конформного отображения

4.3.3. Программная реализация численного метода решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного дву-связного сечения

4.3.4. Численные эксперименты решения задачи о кручении стержня произвольного двусвязного сечения

4.4. Экспериментальное исследование стержней на кручение

4.5. Выводы по главе 4 136 Выводы по работе 137 Список литературы 139 Приложение

Введение диссертация по механике, на тему "Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости"

До 1990-х годов расчет на контактную прочность зубчатых передач Новикова проводился на основе теории Герца (контактная задача для упругого полупространства). Построение аналитических функций Грина для трехмерного упругого клина позволило уточнить методику расчета зубчатых передач Новикова, учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина). Оценка напряженного состояния зубчатых передач остается актуальной, поскольку возможен контакт сразу по нескольким областям (шероховатая поверхность, передачи с двумя линиями зацепления).

В прикладной механике твердого тела по-прежнему актуальна также оценка с высокой точностью напряженного состояния стержней произвольной формы поперечного сечения при кручении, особенно для неодносвязных областей сечений. Случай многосвязного сечения стержня осложняется тем, что в соответствующей краевой задаче имеются неизвестные заранее параметры, число которых определяется порядком связности области.

С середины 80-х годов ХХ-го столетия решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями становятся в центре внимания многих ученых и специалистов научно-исследовательских организаций и высших учебных заведений. Среди них ведущую роль занимают Институт проблем механики Российской академии наук (Москва), НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Донской государственный технический университет (ДГТУ) и др. Значительный вклад в становление и развитие механики контактного взаимодействия внесли ученые С.М. Айзикович, В.М. Александров, Ю.А. Антипов, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, В.Н. Беркович, Н.М. Бородачев, Ф.М. Бородич, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.А. Галанов, JI.A. Галин, Е.В. Глушков, Р.В. Голь-дштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, A.A. Евтушенко, А.Б. Ефимов, Е.В. Коваленко, A.C. Кравчук, A.B. Манжиров, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, О.В. Онищук, В.В. Панасюк, В.З. Партон, П.И. Перлин, Б.Е. По-бедря, Д.А. Пожарский, Г.Я. Попов, B.C. Проценко, О.Д. Пряхина, Ю.Н. Работ-нов, B.JI. Рвачев, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, В.М. Толкачев, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, И.Я. Штаерман, J.R. Barber, G.M.L. Gladwell, K.L. Johnson, JJ. Kalker, L.M. Keer и др. Исследованию задач кручения посвящены труды Б.Л. Абрамяна, Н.Х. Арутюняна, И.А. Александрова, П.П. Куфарева, Н.И. Мусхелишвили, Ю.А. Устинова, C.Y. Wang, H. Haseg-awa, H. Akiyama, S. Takahashi, A. Morassi и др.

Соответствие научному плану работ и целевым комплексным программам. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00004-а «Смешанные задачи для однородных и составных упругих областей с угловыми и коническими точками», а также в соответствии с научным планом работ ДГТУ в рамках научного направления

Исследование краевых задач теории упругости для полосы, слоя, стержней и мембран».

Методы исследования. Асимптотические методы, метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), метод парных интегральных уравнений (ИУ), метод интегральных преобразований, метод конформных отображений.

Основные научные положения, защищаемые автором:

- на регулярной поверхности зуба, моделируемой слоем конечной толщины, метод ГИУ позволяет определить напряжения в двух неизвестных симметричных областях контакта при учете сил трения;

Научная новизна работы:

- впервые развит асимптотический метод решения контактной задачи о взаимодействии двух штампов на одной грани упругого пространственного клина; развит метод ГИУ исследования контакта для трехмерного клина (регуляризация ядра ИУ на ребре клина, куда может выйти область контакта);

- разработан метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня, основанный на предварительном конформном отображении данной области на круговое кольцо и последующем решении редуцированной краевой задачи Дирихле методом тригонометрических рядов. Предложен новый метод вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме.

Научное значение результатов исследований. Развиты численные и аналитические методы решения сложных смешанных (контактных) задач, преимущественно пространственных, теории упругости для полосы, пространственных слоя и клина, которые могут быть использованы при решении других подобных задач математической физики. Полученные результаты для трехмерного клина позволяют контролировать результаты решения аналогичных задач, получаемые методом конечных элементов (МКЭ), точность которого может ухудшаться вблизи угловых точек. Разработанные методы решения задачи Сен-Венана о кручении стержня, внеся незначительные изменения, можно применить также и к решению общих краевых задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для гармонических функций на плоскости.

Реализация работы. Полученные решения новых контактных задач и разработанные методы решения задачи о кручении стержней приняты к внедрению в проектную и конструкторскую документацию ЗАО «Ростовгормаш». Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе кафедрой «Прикладная математика» ДГТУ для обучения студентов специальностей 230104 «Прикладная математика», 151001 «Технология машиностроения» и 110304 «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК».

Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические и численные исследования и основные результаты — автору диссертационной работы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 2009 г.), II международной научно-практической конференции «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук» (Москва, 2010 г.), XXIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010 г.), V Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2010 г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011 г., участие поддержано грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 11-01-16081-мобзрос), международной научно-практический конференций «Инновационные технологии в машиностроении и металлургии» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), а также на ежегодных научных конференциях ДГТУ (Ростов-на-Дону, 2010,2011 гг.).

Награды. Соискатель получил стипендии Президента Российской Федерации и Губернатора Ростовской области (2010-2011 уч. г.), стал стипендиатом Программы поддержки технического образования Фонда Alcoa (2010-2011 уч. г.); дипломант конкурса инновационных проектов молодых ученых, аспирантов и студентов, проводимого в рамках I молодежного инновационного конвента Южного федерального округа (Ростов-на-Дону, 2009 г.); дипломант международного конкурса молодых ученых «Современные технологии агропромышленного комплекса», проводимого в рамках 13-й международной агропромышленной выставки «Интерагормаш-2010» (Ростов-на-Дону, 2010 г.).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 14 печ. работах, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, зарегистрированы 2 программы для ЭВМ в Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти».

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В диссертационной работе решена научно-техническая задача получения новых знаний о напряженном состоянии в области контакта зубчатых передач Новикова и стержней произвольного одно или двусвязного поперечного сечения при кручении при развитии методов решения контактных и краевых задач теории упругости. Зубья передачи Новикова моделируются упругим клином, слоем или полосой. Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволили получить следующие основные научные выводы и практические результаты:

1) разработаны новые модели контактного взаимодействия зубьев зубчатых передач Новикова, основанные на фундаментальных решениях краевых задач теории упругости для трехмерного клина, что позволило учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина) с учетом шероховатости контактирующей поверхности (несколько областей контакта); в частности, установлена возможность увеличения максимальных контактных давлений при приближении области контакта к кромке зуба (при постоянной вдавливающей силе);

2) в трехмерной постановке исследован контакт по двум симметричным областям на одной грани зуба (упругого клина). При заданных областях контакта получено регулярное асимптотическое решение для областей, относительно удаленных как друг от друга, так и от кромки зуба. Для случая, когда области контакта расположены относительно близко от кромки зуба (или выходят на кромку; области контакта неизвестны), развит численный метод, основанный на решении нелинейных ГИУ;

3) для ре1улярной поверхности зуба, моделируемой упругим слоем, изучен пространственный контакт в случае двух неизвестных областей контакта при учете сил трения. Метод нелинейных ПТУ позволяет одновременно определить контактные давления и области контакта;

4) для случая действия дополнительной нагрузки на грани зуба (трехмерного упругого клина) вне области контакта развиты методы определения контактных давлений (асимптотический метод для заданной области контакта и метод ГИУ для неизвестной области контакта). Полученные результаты позволяют в дальнейшем исследовать контакт для зуба по нескольким несимметричным областям произвольной формы при помощи метода Андрейкива-Панасюка. Получены обобщения решения контактной задачи JI.A. Галина для упругого полупространства на случай пространственного клина об одновременном действии на грани упругого клина эллиптического в плане штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта. Найденное асимптотическое решение в частном случае (одна грань клина свободна от напряжений, угол клина равен 180°, круговой штамп) совпадает с разложением в ряд точного решения JI.A. Галина, что подтверждает достоверность полученного решения;

5) развиты методы определения контактных давлений на грани упругой полосы, слоя, пространственного клина, моделирующих зуб передачи Новикова, при наличии дополнительных линий раздела граничных условий на другой грани полосы, слоя, клина;

6) разработанный метод устойчивого численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного. сечения обеспечивает достаточно высокую точность вычислений, дает простые аналитические представления для функции кручения и функции, сопряженной к ней, как на границе области, так и внутри нее, позволяет дать оценку предельной погрешности в определении величины геометрической жесткости. Как показывают результаты экспериментов, для большого класса областей сечений высокая точность результатов достигается даже при сравнительно небольших порядках аппроксимацион-ного многочлена;

7) высокая точность результатов, полученных для моделей с известными точными решениями, дает основание считать разработанный метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня надежным. Предложен новый способ вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме;

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Молчанов, Александр Алексеевич, Ростов-на-Дону

1. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями /В.М. Александров, Е.В. Коваленко. М.: Наука, 1986.-336 с.

2. Александров, В.М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел / В.М. Александров, Д.А. Пожарский. -М.: Факториал, 1998.-288 с.

3. Александров, В.М. Трехмерные контактные задачи при учете трения и нелинейной шероховатости /В.М. Александров, Д.А. Пожарский// ПММ. 2004. -Т.68, вып.З.-С.516-527.

4. Александров, В.М. Трехмерные контактные задачи для упругого клина с покрытием /В.М. Александров, Д.А. Пожарский// ПММ. 2008. - Т.72, вып.1. - С. 103109.

5. Александров, В.М. Задачи о разрезах в составном упругом клине / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // ПММ. 2009. - Т. 73, вып. 1. - С. 143-149.

6. Александров, В.М. Пространственные контактные задачи с трением для составного упругого клина / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 6.-С. 971-979.

7. Александров, В.М. Пространственная задача о включении в составном упругом клине /В.М. Александров, Д.А. Пожарский// ПММ. 2011. - Т. 75, вып. 5. -С. 845-851.

8. Александров, В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. М.: Машиностроение, 1986. - 176 с.

9. Александров, В.М. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах / В.М. Александров, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь. М.: Наука, 1993. - 224 с.

10. Александров, В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров, М.И. Чебаков. М.: Физматлит, 2004. - 301 с.

11. Александров, В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В.М. Александров, М.И. Чебаков. Ростов н/Д: ЦВВР, 2005. - 108 с.

12. Александров, И.А. Конформные отображения односвязных и многосвязных областей / И.А. Александров. Томск: ТГУ, 1976. - 156 с.

13. Александров, И.А. Кручение упругого стержня с кратно-круговой областью поперечного сечения / И.А. Александров // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. - №4(12). - С. 56 - 63.

14. Аргатов, И.И. Взаимодействие между штампами на упругом полупространстве/ И.И. Аргатов // Успехи механики. 2002. Т. 1. - № 4. - С. 8-40.

15. Аргатов, И.И. Асимптотические модели упругого контакта / И.И. Аргатов. СПб.: Наука, 2005. - 448 с.

16. Аргатов, И.И. Асимптотические модели контактного взаимодействия между эллиптическими штампами на квазиклассическом основании / И.И. Аргатов // Прикладная механика. 2006. - Т. 42, № 1. - С. 78-96.

17. Аргатов, И.И. Основы теории упругого дискретного контакта: учеб. пособие / И.И. Аргатов, H.H. Дмитриев. СПб.: Политехника, 2003. - 233 с.

18. Арутюнян, Н.Х. Решение задачи о кручении стержня полигонального поперечного сечения / Н.Х. Арутюнян // ПММ. 1949. - Т. 13, вып. 1.

19. Арутюнян, Н.Х. Кручение упругих тел / Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян. — М.: Физматгиз, 1963. 688 с.

20. Бабешко, В.А. К теории смешанных задач для пространственного упругого клина/В.А. Бабешко, В.Н. Беркович//ПММ.-1972. Т.36, вып.5.-С. 943-947.

21. Беляев, Н.М. Местные напряжения при сжатии упругих тел / Н.М. Беляев // Инженерные сооружения и строительная механика. Л.: Путь, 1924. - С. 27-108.

22. Беркович, В.Н. Метод факторизации матриц в смешанных задачах статики упругого клина / В.Н. Беркович // ПММ. 1976. - Т. 40, вып. 4. - С. 674-681.

23. Беркович, В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов/В.Н. Беркович// Доклады АН СССР. -1990.-Т. 314.-№. 1.-С. 172-175.

24. Бреббия, К Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

25. Ватулъян, К.А. Решения задач Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией /К.А. Ватульян, Ю.А. Устинов// Владикавк. матем. ж. 2008. - Т.10,вып.4. С. 23-30.

26. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. - 456 с.

27. Галанов, Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта /Б.А. Галанов// ПММ. 1985. - Т. 49., вып. 5. - С. 827-835.

28. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / J1.A. Галин. М.: Наука, 1980. - 304 с.

29. Галин, Л.А. Пространственная контактная задача о движении штампа с трением / Л.А. Галин, И.Г. Горячева // ПММ. 1982. - Т. 46, вып. 6. - С. 1016-1022.

30. Геккелер, И. В. Статика упругого тела /И.В. Геккелер. М.: КомКнига, 2005.-287 с.

31. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

32. Голузин, Г.М. О конформном отображении двусвязных областей, ограниченных прямолинейными и круговыми многоугольниками / Г.М. Голузин // Конформные отобр. односвязных и многосвязных областей. М.-Л., 1937 - С. 90-97.

33. Горячева, И.Г. Плоские и осесимметричные контактные задачи для шероховатых упругих тел / И.Г. Горячева // ПММ. 1979. - Т. 43, вып. 1. - С. 99-105.

34. Горячева, И.Г Механика фрикционного взаимодействия / И.Г. Горячева. -М.: Наука, 2001.-478 с.

35. Горячева, И.Г. Контактные задачи в трибологии / И.Г. Горячева, М.Н. До-бычин. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

36. Громадна, Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах / Т. Громадка, Ч. Лей. М.: Мир, 1990. - 303 с.

37. Иванов, Э.Г. Основные задачи теории упругости для составного клина / Э.Г. Иванов // Дисс. . канд. физ.-мат. н. по специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела». Чебоксары, 2009. -189 с.

38. ИКАП И101227153934. Программа численного решения задачи Сен

39. Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения / A.A. Молчанов. -№50201150054; заявл. 27.12.2010; опубл. 12.01.2011.

40. ИКАЛ И101227155000. Программы численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного поперечного сечения / В.В.Соболев, А.А.Молчанов.-№50201150055; заявл. 27.12.2010; опубл. 12.01.2011.

41. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / JI.B. Канторович, В.И. Крылов. M.,JL: Физматгиз, 1962. - 708 с.

42. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений / В. Коппенфельс, Ф. Штальман. М., 1963. - 406 с.

43. Короткий, В.И. Об учете краевых эффектов при расчете передач Новикова на контактную выносливость / В.И. Короткин // Вестник машиностроения. -1997.-№6. -С. 8-11.

44. Короткин, В.И. Зубчатые передачи Новикова. Достижения и развитие / В.И. Короткин, Н.П. Онишков, Ю. Д. Харитонов. -М. .-Машиностроение-1,2007. -384с.

45. Короткин, В.И. Вдавливание штампа в упругий пространственный клин как модель контактного взаимодействия поверхностей зубьев зубчатых передач / В.И. Короткин, Д.А. Пожарский // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996. -№3. - С. 107-113.

46. Короткин, В.И. Зубчатые передачи Новикова / В.И. Короткин, Ю.Д. Харитонов. Ростов н/Д: РГУ, 1991.-208 с.

47. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения /М.Л.Краснов. -М.: Наука, 1975.304 с.

48. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твёрдого тела / С. Крауч, А.Старфилд. М.: Мир, 1987. - 328 с.

49. Куфарев, П.П. К вопросу о кручении и изгибе стержней полигонального сечения / П.П. Куфарев // ПММ. 1937. - Т.1, вып.1. - С. 43-76.

50. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1965. - 716 с.

51. Лебедев, H.H. Парные интегральные уравнения, связанные с преобразованием Конторовича—Лебедева / H.H. Лебедев, И.П. Скальская // ПММ. 1974. - Т. 38, вып. 6.-С. 1090-1097.

52. Лейбензон, JI.C. Курс теории упругости / Л.С. Лейбензон. М.: Гостехзиз-дат, 1947. - 464 с.

53. Лубягин, И.А. Внедрение штампа в форме эллиптического параболоида в упругий пространственный клин / И.А. Лубягин, Д.А. Пожарский, М.И. Чебаков // ПММ. 1992. - Т. 56, вып. 2. - С. 286-295.

54. Медведев, В.И. Метод определения контактных и изгибных напряжений в зубчатых колесах / В.И. Медведев, Г.И.Шевелева // Пробл. машиностроения и надежности машин. 1993. - № 6. - С. 35-40.

55. Михлин, С.Г. Прямые методы в математической физике / С.Г. Михлин. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 428 с.

56. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1970. 512 с.

57. Молотников, В.Я. Курс сопротивления материалов / В .Я. Молотников.— С.-Пб.-М.-Краснодар: Лань, 2006. 384 с.

58. Молчанов A.A. Алгоритм численного определения жёсткости при кручении стержня произвольного сечения и его программная реализация /A.A. Молчанов // Сб. науч. тр. РГАСХМ. Ростов н/Д: РГАСХМ. - 2009. - С. 131-133.

59. Молчанов, A.A. Взаимодействие штампов на грани упругого клина / A.A. Молчанов, Д.А. Пожарский // ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 4. - С. 681-690.

60. Пожарский, Д.А. Контактные задачи для двухслойного упругого клина / Д.А. Пожарский // Известия АН. Мех. твердого тела. 2009. - № 2. - С. 67-77.

61. Пожарский, Д.А. Накладка на несжимаемом упругом клине /Д.А. Пожарский// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. - № 2. - С. 30-31.

62. Пожарский, Д.А. К расчету напряжений в трехмерном упругом клине / Д.А. Пожарский, H.A. Ларцева // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. -2007.-№2.-С. 31-32.

63. Пожарский, Д.А. Контактные задачи для слоя и клина при дополнительных линиях раздела граничных условий / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Сб. науч. тр. РГАСХМ. Ростов н/Д: РГАСХМ. - 2009. - С. 18-20.

64. Пожарский, Д.А. Асимптотические решения смешанных задач для упругой полосы и клина / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Вестник Донского государственного технического университета. 2010. - Т. 10, № 4 (47) - С. 447-454.

65. Привалов, И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. М.-Л., 1950. - 338 с.

66. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3 т. Т.1. / Под общей редакцией И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.

67. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 750 с.

68. Саусвелл, Р.В. Введение в теорию упругости (для инженеров и физиков) / Р.В. Саусвелл. -М.: ИЛ, 1948. 675 с.

69. Сметанин, Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое / Б.И. Сметанин // Инж. журн. Механика твердого тела. 1968. - № 2. - С. 115-122.

70. Сметанин, Б.И. О расклинивании упругого бесконечного клина /Б.И. Сметанин// ПММ.- 1969.- Т. 33, вып.5. С. 935-940.

71. Сметанш, Б.И. Растяжение упругого полупространства с трещиной, расположенной перпендикулярно к его поверхности / Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь // ПММ. 1981. - Т.45, вып.5. - С. 940-943.

72. Соболев, В.В. Устойчивый численный метод решения краевой задачи Дирихле для гармонических функций / В.В. Соболев //Тр. XIX Междунар. науч. конф. «Матем. методы в технике и техн.»,- Воронеж: ВГТА, 2006. Т.1. - С.15-18.

73. Соболев, В.В. Численный метод конформных отображений выпуклых областей с острыми углами /В.В. Соболев//Тр. XIX Междунар. научн. конфер. «Матем. методы в технике и техн.». Воронеж: ВГТА, 2006. - Т.1. - С. 19-21.

74. Соболев, В.В. Алгоритм численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона / В.В. Соболев // Тр. XX Междунар. науч. конф. «Матем. методы в технике и техн.» (Ярославль, 30 мая 1 июня 2007 г.). - Ярославль: ЯГТУ. - 2007. -Т. 1.-С. 208-211.

75. Соболев, В.В. Численный метод устойчивого решения смешанной краевой задачи для гармонических функций в двусвязных областях /В.В. Соболев // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. — 2007. — №1. — С. 15-20.

76. Соболев, В.В. Численное интегрирование / В.В. Соболев, Н.В. Ищенко. -Метод, указ. к лаб. раб. с использованием ЭВМ. Ростов н/Д:РГАСХМ, 1999. 28 с.

77. Соболев, В.В. Программа численного построения конформного отображения внешней области на внешность круга и обратного отображения. / В.В. Соболев, Н.В. Ищенко. — Ростов н/Д: РГАСХМ. Зарегистрир. ГОФАП РФ (ВНТИЦ), №50200000227,2000. 28 с.

78. Соболев, В.В. Численный метод конформного отображения кругового кольца на ограниченную двусвязную область / В.В. Соболев, Н.В. Ищенко // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. — 2001. — №3. — С. 23-26.

79. Соболев, В.В. Численный метод определения жёсткости при кручении стержня произвольного сечения / В.В. Соболев, A.A. Молчанов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. - №1 - С. 34-40.

80. Соболев, В.В. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения методом конформного отображения / В.В. Соболев,

81. A.A. Молчанов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. - №2 (14) - С. 25-37.

82. Соболев, В.В. Комплексный алгоритм численного построения конформного отображения ограниченной жордановой области на круг и обратного отображения /В.В. Соболев, Н.В. Соболева // Науч. тр. РИАТМа, вып. 2. Ростов н/Д: РИАТМ, 1995. С. 21-34.

83. Соболев, В.В. Программа численного построения конформного отображения ограниченной односвязной жордановой области на круг и обратного отображения /В.В. Соболев, Н.В. Соболева. Ростов н/Д, РГАСХМ. Зарегистрир. ГОФАП РФ 27.02.1997, № 50970000006.-20 с.

84. Соболев, В.В. Об одном численном методе построения конформного отображения ограниченной жордановой области на круг и обратного отображения /

85. B.В. Соболев, Н.В. Соболева. Ростов н/Д: РГАСХМ, 1998. Деп. в ВИНИТИ 19.03.98, № 783-В98.-17 с.

86. Соболь, Б.В. Пространственная задача о контакте системы штампов с упругим слоем / Б.В. Соболь, И.М. Пешхоев // Экологический вестник научныхцентров ЧЭС. 2011. № 1. - С. 69-76.

87. Соболь, ИМ. Численные методы Монте-Карло /И.М.Соболь. М., 1973.64 с.

88. Соляник-Красса, К.В. Кручение валов переменного сечения / К.В. Соля-ник-Красса. Л.-М., 1949. - 166 с.

89. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана. М.: Наука, 1979. - 832 с.

90. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1975. - 576 с.

91. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. -М.: Наука, 1979. 288 с.

92. Толстых, А.И. Бессеточный метод на основе радиальных базисных функций / А.И. Толстых, Д.А. Широбоков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2005. Т. 45, №8. - С. 1498-1505.

93. Устинов, Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров /Ю.А. Устинов// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естествен, науки.-2001. Спец. вып.-С. 146-149.

94. Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. М.,Л: Изд-во АН СССР, 1963.-367 с.

95. Уфлянд, Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики / Я.С. Уфлянд. Л.: Наука, 1977. - 220 с.

96. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. М.: Физматгиз, 1959.-364 с.

97. Филъчаков, П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики / П.Ф. Фильчаков. Киев: Наук, думка, 1970. - 800 с.

98. Чебаков, М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетомтрения в неизвестной области контакта / М. И. Чебаков // Доклады АН. 2002. - Т. 383.-№ 1.с. 67-70.

99. Чебаков, М.И. Трехмерная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта / М. И. Чебаков // Известия АН. Механика твердого тела. 2002. - № 6. - С. 59—68.

100. Шевелева, Г.И. Расчет упругих контактных перемещений на поверхностях деталей ограниченных размеров / Г.И. Шевелева // Машиноведение. 1984. -№4.-С. 92-98.

101. Шевелева, Г.И. Решение контактных задач методом последовательного нагружения при разных условиях равновесия / Г.И. Шевелева // Пробл. машиностроения и надежности машин. 1990. - № 4. - С. 68-74.

102. Alexandrov, V.M. Three-dimensional contact problems / V.M. Alexandrav, D.A. Pozharskii. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001. — 406 p.

103. Argatov, I.I. Electrical contact resistance, thermal contact conductance and elastic incremental stiffness for a cluster of microcontacts: asymptotic modelling Л.1. Argatov //Quarterly Journal of Mech. and Applied Math. 2010. - V.64, No.l. - P. 1-24.

104. Argatov, I.I. Axisymmetric contact problem for a biphasic cartilage layer with allowance for tangential displacements on the contact surface /1.1. Argatov, G.S. Mishuris // European Journal of Mechanics A/Solids. 2010. - V.29. - P.l 051-1064.

105. Bach, M. 3-D Contact problems for elastic wedges with Coulomb friction / M. Bach, D.A. Pozharskii // Math. Methods in the Applied Sciences. 2004. - V.27, No.2. -P.l 93-220.

106. Baniotopoulos, C.C. Contact problems with nonmonotone friction: discretization and numerical realization / C.C. Baniotopoulos, J. Haslinger, Z. Moravkova // Computational Mechanics. 2007. - V. 40. - P. 157-165.