Кручение неоднородного анизотропного стержня

Олехова, Любовь Владимировна

Кручение неоднородного анизотропного стержня тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Олехова, Любовь Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Кручение неоднородного анизотропного стержня»

Автореферат диссертации на тему "Кручение неоднородного анизотропного стержня"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 539.3

003461750

ОЛЕХОВА Любовь Владимировна

Кручение неоднородного анизотропного стержня

Специальность: 01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/ ?

Москва 2009 <

003461750

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук профессор В.И. Горбачев

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук профессор А.Н. Полилов Доктор физико-математических наук профессор A.A. Ташкинов

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред УоРАН

Защита состоится 13 февраля 2009 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан «12» января 2009 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.91

профессор

С.В. Шешенин

Объект исследования и актуальность темы

При интенсивном развитии техники, конструировании машин и проектировании инженерных сооружений важное место занимают расчёты их элементов на прочность. Высокие темпы разработки и внедрения новых конструкционных материалов приводят к необходимости учёта неоднородности механических свойств. Кроме этого многие задачи различных разделов механики деформируемого твёрдого тела сводятся к задачам неоднородной теории упругости. Это подтверждается выходом большого количества книг и статей. К 1977 году Колчиным Г.Б. и Фаверманом Э.А. было издано два весьма полных библиографических указателя, в которых систематизировано 2611 работ советских и иностранных авторов, вышедших только до 1973 г. Особое место в теории неоднородных тел занимает механика композитов. К настоящему времени механика композитов выделилась в самостоятельное направление в МДТТ. По механике композитов во всем мире выходит огромное количество информации. В обзоре Тарноиольского Ю.М. были проанализированы наиболее ценные работы в этой области, вышедшие до 1989 года. Методы решения краевых задач теории упругости неоднородного тела во многом определяются формой области и видом функций, характеризующих зависимость упругих свойств от координат. Большое количество частных задач для непрерывно неоднородных тел было рассмотрено Ломакиным В.А., Колчиным Г.Б. Общая теория расчета упругих брусьев, составленных из материалов с различными механическими характеристиками, развивалась Мусхелишвили Н.И. Им рассмотрены задачи изгиба, растяжения и кручения неоднородных (кусочно-однородных) в сечении изотропных брусьев в плане пространственной задачи теории упругости. Кручение анизотропные стержней рассматривались в работах Лехницкого С.Г. В настоящее время наиболее распространенными методами решения задач механики композитов являются два метода — это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). Первым был предложен ММГП. В 1974 и 1975 годах Бахвалов Н.С. в ДАН СССР опубликовал две статьи по осреднённым характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. МТГ был предложен Горбачевым В.И. в 1991 году, т.е на 17 лет позже. В этом методе рассматривается произвольно неоднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой линейной краевой задачи для тела с одними упругими

характеристиками через решение такой же задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками. В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием для выбора названия метода.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является создание метода осреднения для решения задачи о кручении прямого, неоднородного в сечении, анизотропного стержня.

Научная новизна

2. Из интегральной формулы найдено эквивалентное представление решения задачи о кручении неоднородного стержня в виде ряда по производным от решения задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Для коэффициентов ряда (^-функций) выведена система вспомогательных рекуррентных краевых задач на поперечном сечении.

3. Получено выражение для эффективных характеристик при кручении через функцию Грина. Показана их симметрия и положительная определенность.

4. Создана программа численного нахождения методом конечных элементов Лг-функций с одним индексом и эффективных подат-ливостей при кручении неоднородного стержня.

5. Исследованы периодические структуры. Показано, что при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором ^-функции не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела Аг-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности. Показано, что эффективные характеристики, найденные через периодическое решение вспомогательной задачи

на ячейке, практически не отличаются от эффективных характеристик, определяемых через решение краевой вспомогательной задачи на ячейке.

Достоверность результатов обусловлена использованием корректных постановок задач теории упругости, математического анализа, численных методов, сравнением полученных результатов и точных аналитических решений (задачи о кручении неограниченного слоя).

Научная и практическая ценность работы.

Созданы методы, алгоритмы и программные средства, позволяющие проводить численные расчеты для нахождения эффективных характеристик и напряжений при кручении анизотропного неоднородного стержня любого поперечного сечения, что имеет важное значения при расчёте инженерных сооружений, сделанных, например, из волокнистых композиционных материалов.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались

на:

• Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2002, 2004, 2005, 2007 гг.

• Аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ

им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. По-бедри, 2003-2008 гг.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Нумерация формул в каждой главе автономная. Каждая формула нумеруется тремя числами; первая из них указывает на номер главы, вторая — номер пункта в этой главе, а третья порядковый номер формулы в этом пункте.

Диссертация содержит 116 страницы, включая 32 иллюстрации и 7 страниц списка литературы с 78-ю наименованиями.

Во введении даётся краткий обзор литературы по теме диссертации и излагается краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе даётся общая постановка трёхмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня. Используя принцип Сен-Венана, даётся приближенная постановка для этой же задачи: вместо распределенных по торцам усилий рассматривается статически эквивалентная им система сил и моментов, приложенных в центрах тяжести торцов. Даётся общая постановка задачи Сен-Венана и вводятся ограничения на тип анизотропии и вид неоднородности, полагая, что любое поперечное сечение бруса является плоскостью симметрии упругих свойств, а свойства являются функциями координат точки в поперечном сечении. В этом случае, если выбрать декартову систему координат и ось хз направить по оси стержня, то все коэффициенты с нечётным количеством индексов «3» обратятся в нуль, а компоненты тензора по-датливостей будут зависеть только от координат х\ и

Далее рассматривается чистое кручение, то есть полагается, что внешние силы, распределённые на торце, приводятся только к крутящему вокруг оси £3 моменту — М. Используя полуобратный метод Сен-Венана, даётся окончательная постановка задачи Сен-Венана, которая состоит из: уравнений равновесия:

<тги = 0 (1)

закона Гука:

£/з = £/з {хъх2) = 2 3пк^ъх2)скг{х1,х2) (2)

условия совместности:

ел еы,1Т = 0 (3)

граничных условий:

О'з./гс.Яг = О, Г — контур поперечного сечения, (4)

интегрального условия:

J eJKXJ(ткзdY,L = !{хх (723 - ¡г2сг13)сЕь = М. (5)

Вводятся функция напряжений при кручении тр(х\,х2) и функция кручения (депланация) х1,х2).

Функция напряжений вводится следующим образом:

1 = ге1ь'ф<ь. (6)

Константа г по размерности обратна размерности длины и называется круткой. Она представляет собой изменение угла поворота окрестности точки относительно оси £3, отнесённое к единице длины. Выводится постановка задачи для гр в односвязной области:

= - 2, ^|г = 0, (7)

где

Бть = 4 е/г екь 31зкз, (8)

Бть — симметрическая матрица, причем

^11=4^2323 = 7^-, £>22 = 4 Лз13 = 012 = #21 = -4 Л323, (9)

Ь2 0-1

где Сь (?2 — модули сдвига. Находится крутка т:

Т=2т£й- (10)

Выражение, стоящее в знаменателе формулы (10) называется жёсткостью при кручении и обозначается

= 2 У гр(Е. (11)

Даётся оценка снизу для жёсткости при кручении.

Функция р определяет осевое перемещение точки поперечного сечения, в результате которого первоначально плоское поперечное сечение становится искривлённым:

и3{х1,х2) =т^(х1,х2). (12)

Даётся постановка задачи для нахождения (р. Также в первой главе приводятся примеры точного решения известных задач о кручении однородного изотропного стержня, а именно: кручение круглого стержня,

кручение бесконечного слоя, кручение стержня прямоугольного сечения.

0°иФ°и = ~ 2, / |г = 0, (13)

где D®j — коэффициенты, независящие от координат, например

D°u = (14)

Смысл метода осреднения в данной работе заключается в том, чтобы выразить решение исходной задачи через решение сопутствующей.

Вводится функция Грина исходной задачи

(DuTrf.j^-Six-O, T|ser = 0, (15)

где 8{х - £) = 5(xi — £i) S(x2 - £2) — дельта-функция Дирака.

После этого даётся вывод интегрального представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи и функции Грина исходной задачи:

ф(х) = ф°(х) + J [Djj - т,xe, х) dE€. (16)

Для получение представления в виде ряда, раскладываем функцию напряжений для сопутствующей задачи 1р° в ряд Тейлора в окрестности точки предполагая её гладкость:

оо

/(о = £П, ^я)^.../»- (17)

9=0 1 '

R^jitrf^^th-xh)--ль,-*!,)- (is)

Затем (17) подставляем в интегральное представление (16):

оо <7=0

'О, при д < О,

Ч ПРИ^°'(20)

] (Г>?1<7 - и71ЛО) ТГ^ П/2.../ч при ? >

ч:

Поскольку функция Грина исходной задачи нам неизвестна, считаем, что коэффициенты ряда (19) являются искомыми функциями координат XI и Х2- Для их нахождения подставим ряд (19) в уравнение (7) и, учитывая уравнение (13) сопутствующей задачи, получаем систему рекуррентных уравнений:

(Лл/Л^,/+ 2^.7)^ = 0, (21)

(£>/; л^,/ + + вп, И1и1 + В1Л = (22)

+Вця Ьтк.„1я_и1 + Л^.../,., = 0, при^ ^ 3. (23)

К уравнениям (21)—(23) необходимо добавить граничные условия для Л/'-функций, которые следуют из граничного условия (7) (ф\г — 0) сопутствующей задачи и представления в виде ряда функции напряжений (19):

= О.прид ^ 1. (24)

В том случае когда ф° является полиномом конечной степени, функция напряжений ф представляется через ф° в виде конечной суммы, и ф будет точным решением задачи о кручении неоднородного стержня1. В выражения для функций будут входить коэффициенты

однако после преобразования конечной суммы и приведения подобных членов эти коэффициенты исчезают из точного решения о кручении неоднородного стержня.

В том случае когда все производные функции ф° отличны от нуля, то конечная сумма для ф будет приближенным решением исходной задачи и, естественно, в него будут входить коэффициенты Качество приближения будет зависеть не только от количества членов в этой сумме, но и от выбора коэффициентов Наиболее лучшие результаты будет давать тот случай, когда коэффициенты являются эффективными коэффициентами для исходной задачи (7), о которых речь будет идти в третьей главе.

1 конечно, для этого нужно найти соответствующие ДГ-функции

где А^.../, = <

Далее, в виде примера, подробно рассматривается задача, когда поперечное сечение — неограниченный слой. Находятся N^ Nj1i2-функции для неоднородного по толщине анизотропного слоя. Делается вывод, что для анизотропного материала функции Ni, N12 и N21 отличны от тождественного нуля, причем N12 ф N21. В ортотропном случае коэффициенты Z?i2 = D'21 = 0 и функции N\, N12, N21 тождественно равны нулю. Остальные функции будут ненулевые. Также приводятся явные выражения для N2,NU, Л^г-функций для изотропного и неоднородного слоя и ^1-^5-функции для однородного слоя при обозначении

... 2 — Nq. Для однородного случая приводятся графики.

В конце второй главы приводится постановка более общей задачи:

= -Л®). 9, =Ьы(х)т]^ •nJ=$iJ, (xeF)

Ф\Г1=Му), ЯгПг\Г2=МУ). (г/еГ-Г^Гг) (25)

Наряду с исходной задачей (25), рассматривается точно такая же задача для уравнения с постоянными коэффициентами Щ = const в односвязной области той же самой формы (сопутствующая задача):

= (XGF)

ЛГ1=/1(у), ^\га=Ш- (у 6 Г = Г1 UГ2) (26)

При f(x) = 2, fi(y) = 0, f2(y) - 0, bij = Dij и Fj = Г исходная задача (25) описывает чистое кручение неоднородного стержня, а сопутствующая задача (26) описывает чистое кручение однородного стержня. Решение такой задачи было показано ранее. В этом случае напряжения при кручении моментом М однородного стержня будут следующие:

°»=т°е1К1>0к, (27)

где т° — крутка однородного стержня жесткости D0, причем

= D° = 2j^dF. (28)

Приводится интегральная формула представления решения исходного уравнения (25) через решение уравнения (26) сопутствующей задачи:

^(х) = ф°(х) + J (6?,-МО) Т iJ(^x)i>l(OdFi. (29)

Индекс после вертикальной черты означает производную по соответствующей переменной а Т(х, £) — функция Грина смешагаюй краевой задачи (25), т. е.

(Ь„(а:)Т .,(*,£)) , = -6(х-0, при х,£ £ F, Т(У,01„6Г1 = О' Ь« (у, 0"x(t/) |„еГа = 0. (30)

Здесь ¿(я - £) — ¿-функция Дирака, сосредоточенная в точке

В случае второй краевой задачи (Гг s Г) для функции ф справедливо тождество:

- /bu(OT^,x)^!{OdFi = 0, (31)

поэтому интегральная формула (29) примет вид:

(32)

В третьей главе рассматриваются эффективные характеристики при кручении. Вводится понятие первой специальной краевой задачи

(СКЗ):

K(x)1>,j],J = = ЪУг. 1, = const {х е F, у е Г). (33)

и второй СКЗ, отличие которой от первой состоит в виде граничных условий:

hrh\r ~ ^irh> А, = const. (34)

Доказывается, что в первой СКЗ:

Ш = (35)

где угловые скобки обозначают среднее значение функции в области F, а во второй:

(<?,} = V (36)

Вводится определение эффективных коэффициентов Ь, J (эффективные податливости) в случае первой СКЗ:

(яг) = Ь„ {ъ) =Ь„Ъ> (37)

и аи (эффективные модули сдвига) в случае второй СКЗ: (711) = аи {qJ}=aIJXJ. И вводится сопутствующая задача. Для первой СКЗ:

(39)

или

(40)

Для второй СКЗ:

(41)

Если считать, что Би = Ьи, где Би — коэффициенты в уравнении для функции напряжений при кручении, тогда к эффективным коэффициентам Ьи и аи должны быть предъявлены дополнительные требования симметрии и положительной определённости:

Ьи = Ьп , Ьих1н} ^ тх1х1, для V хг и тп > 0, а17 = ап , а1:,>с1к3 ^ т\я1х1, для V х, и т,1 > 0.

Выводятся интегральные формулы для эффективных коэффициентов Ь,, и а,,:

где Т(ж,£) — функция Грина первой краевой задачи, то есть функция, в области Р удовлетворяющая уравнению (30), а на всём контуре Г однородному условию первого рода Т(у € Г, 4) = 0;

Ьи = (ьм-ь1к(х) I (42)

а здесь Т(х,£) — функция Грина второй краевой задачи, то есть функция, в области Р удовлетворяющая уравнению (30), а на всём контуре Г однородному условию второго рода Ь^(у)Т ^(у,^)пг(у) — 0.

Для вычисления эффективных податливостей нужно знать не саму функцию Грина, а лишь интегралы по области от величин, в которые входит функция Грина. Для их вычисления введём вспомогательные обозначения, положив

Н, (®) = - У Ь1ь (£) б|ь (£, х) Щ, (44)

Выводится краевая задача для нахождения ДГ-функций:

(Ь„ + Ь,Ак),,=0, ^1г = 0. (45)

После решения этой задачи эффективные коэффициенты Ьи находятся по формуле:

Ьи = К+Ь:Лк) , (46)

или же

Ь„ = (Ъ1КФ,1К), (47)

Также даётся две постановки краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига. Обозначим

Мк(х) = I (48)

тогда

Ч,=Ъ„Т1,=ЪЫМК>11 Хк. (49)

Отсюда и из постановки второй СКЗ следует постановка задачи для М-функций:

(Ь,АД,=0, ЬиМк^п1\Г — пк. (50)

После решения этой задачи, учитывая (38), найдем эффективные коэффициенты :

Задачу (50) удобно представить в ином виде. Для этого положим А1К=ЬЫМК<J => Мк<3=а31А1К. (52)

Здесь аи симметричная матрица коэффициентов, обратная к матрице

Так как постоянные величины \1 произвольны и д, = ЬиМК }Хк = КкК и {?,) = Л,, то {А1К) = 8,к.

Получаем две формулы для эффективных величин а13:

= КНк;) = (акьАщАьЛ • (53)

Величины находятся из решения следующей краевой задачи:

= 0» = (54) Если теперь ввести другие неизвестные так, чтобы

^ (55)

тогда первое уравнение из (54) удовлетворяется тождественно, а из второго уравнения и граничного условия вытекает постановка задачи для Ь-функций:

Кк + ал£1иьк,м):11 = 0, (56)

Ь}\т - со!^ = 0. (57)

В случае односвязной области 2*1 константу можно положить равной нулю.

Функции N и Ь определяются только функциональной зависимостью тензоров Ъ и а от координат и обращаются в нуль для однородного материала.

Задачу (56) легко можно преобразовать к виду:

{C13JЗeKJ + С^зО., = Ьк\г = О- (58)

Находится связь решений задач (58) и (45):

= екМС,х), АГк(Ъ,х) = екзЬв(Ь,х). (59)

Решив уравнения (56) с учетом граничных условий (57), найдём Ь-функции, а затем по формуле (53) найдём эффективные величины а,у.

РЗОЗ'

(60)

В изотропном случае = = 5„/С{х),аи = - 6„0(х),

где й — переменный по сечению модуль сдвига материала стержня. Уравнения для N и Ь функций примут вид:

а эффективные характеристики будут определяться по формулам:

Доказаны теоремы о симметрии и положительной определённости эффективных податливостей и эффективных модулей сдвига.

Подробно рассматривается случай неоднородного по толщине слоя. Получены явные аналитические выражения эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей неоднородного по толщине слоя. Показано, что в этом случае эффективные характеристики, найденные через решения первой и второй специальных краевых задач, являются взаимно обратными.

В конце третьей главы обсуждается, так называемое, нулевое приближение в механике композитов, введённое Б.Е Победрей. Рассматривается нулевое приближении в задаче о кручении неоднородного стержня.

В четвертой главе применяется метод конечных элементов для нахождения ЛГ-функций и эффективных податливостей. Даётся краткое описание метода конечных элементов.

Численно решается несколько задач, а именно: кручение стержня, поперечное сечение которого — длинная полоса, кручение стержня, когда поперечное сечение — слоистый круг и случай, когда поперечное сечение — квадрат с различным (1, 9, 25) количеством квадратных включений.

Во всех задачах рассматривается следующие модули сдвига:

(СбК1+С1К1,)г= 0, (61)

тлвнешн _ ( О О \ пвнутр _ ( О О \ ,

- V 0 1 / ~ V 0 о-1 / '

случай b

^внешн = ( °0 J ) , =(°0 «). (64)

На рисунках 1-3 приводятся iVi-функция, эффективные податливости D^a, функция напряжений ф(х 1,0:2) и напряжения а — \J+ а^з (в нулевом приближении) для квадратного сечения с 1, 9, 25 квадратными включениями соответственно. Функции N\, N2 симметричны друг другу при замене координат xi на х2 и наоборот, т.е. горизонтальные сечения N1 равны вертикальным сечениям N2 и функции симметричны относительно нуля, поэтому приведены только функция Ni.

Расчёты выполнены на суперкомпьютерном комплексе НИВЦ МГУ — кластере "Скиф". Адрес в сети Интернет: http://parallel.ru/cluster.

В первом приложении дается подробное описание комплекса программного обеспечения, с помощью которого вычисляются ЛГ-функции и эффективные податливости.

В втором приложении даются технические характеристики подсчитанных областей.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф-м.н., проф. Горбачеву Владимиру Ивановичу за его постоянное внимание к работе, личное участие и поддержку моей уверенности и интереса, терявшихся в многочисленных трудностях.

¿А' А

ЕВ

Е1 □

□ □

+0.29 +0.19 +0.10 +0.00 -0.10 -0.19 -0.29

+0.27 +0.18 +0.09 +0.00 -0.09 -0.18 -0.27

Л?!-функция

ОЧс = 0.8259

Риаа = 1-2152

□

□ □

+0.52 +0.43 +0.35 +0.26 +0.17

Рис. 1: Функция эффективные податливости, функции ф и а для квадратного сечения с одним квадратным включением.

+0.10 +0.06 +0.03 +0.00 -0.03 -0.06 -0.10

ж □

о о о

+0.09 +0.06 +0.03 +0.00 -0.03 -0.06 -0.09

Щ~а = 0.8256

^-функция

О0аа = 1.2141

—4 _..-Г"

Д;; 1

я I'

щ ^ ^ ' 7 г г гЙ П ---------]-.....'

+0.71 +0.59 +0,48 +0.36 +0.24 +0.12 +0.00

¡9г

—

а в

тш

а'

■т\а

+0.49 +0.41 +0.33 +0.24 +0.16 +0.08 +0.00

/ш

"а

/1й> ■

□

г*. :• • ■

+974.89 +813.11 +651.33 +489.55 +327.77 +165.99 +4 .21

'ГТ

«Г

а—^

□

I с

□

-Г.:

ШШг

+768.44 +640.52 +512.61 +384.70 +256,78 +128.87 +0.95

Рис. 2: Функция М\, эффективные податливости, функции тр и а для квадратного сечения с девятью квадратными включениями.

щ ® ш Ц® 15 ■СЕ

л! ® 1$ © ■9 1 ж лЕ

(I т « 1 (I 1 ($ § а 1;

I; а щ 1 1' (В Ш ===

® 1 щ а 1 (1 I Г- =

+0.06 +0.04 +0.02 +0.00 -0.02 -0.04 -0.06

1 1 1 © ® ©: ! 1) 1 ®

€ 1 1 1 1 ■I : |

1 ® 1 © 1 1 ® © | Ьз ЕЗ

1 © 1 © '1 1) 1 $>' | I). □

1 1) 1 1 © 1 п." 1 а □

+0.05 +0.04 +0.02 +0.00 -0.02 -0.04 -0.05

/VI-функция

Я" - 0.8260

£>"„ = 1.2146

К щ 'Й'Шг

ш ■ Йр\ \о)

№ 1'Ф)

Ь! —1—

!□

□

+0.49 +0.41 +0.32 +0.24 +0.16 +0.08 +0.00

ш Я- 1 V / 1 ГЕР ш V1 V-; л4 У/ - +829.12

'Й А Ч Ш- ГР) ж ц Щ

'Ш. Щ □ ■Ш- +866.17 +692.93 +519.70 +346.47 +173.23 +0.00 Й/ □ К' ! г; 1=Ш +690.93

щ ж щ> Й +414.56 =М +276.37 =4 +138.19 —' +0.00

щ -ич •с.ч & й Л

Рис. 3: Функция N1, эффективные податливости, функции ф и а для квадратного сечения с 25 квадратными включениями.

Основные результаты и выводы

1. Получена новая интегральная формула для представления решения задачи о кручении неоднородного стержня через решение задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Из интегральной формулы найдено эквивалентное представление решения задачи о кручении неоднородного стержня в виде ряда по производным от решения задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Для коэффициентов ряда (ЛГ-функций) выведена система вспомогательных рекуррентных краевых задач на поперечном сечении.

2. Получено выражение для эффективных характеристик при кручении через функцию Грина. Показана их симметрия и положительная определённость.

3. Программно реализован метод конечных элементов для нахождения Л^-функций с одним индексом, необходимых для расчёта эффективных податливостей и решения задачи о кручении в нулевом приближении. Численно решено несколько конкретных задач, а именно: задача о кручении длинной полосы, задача о кручении стержня, когда поперечное сечение — слоистый круг и когда поперечное сечение — квадрат с различным количеством (1, 9, 25) квадратных включений. Проведено сравнение численного решения с точным решением для случая длинной полосы. Проанализированы полученные результаты.

4. Исследованы периодические структуры. Показано, что при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором А'-функции не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела Аг-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности. Показано, что эффективные характеристики, найденные через периодическое решение вспомогательной задачи на ячейке, практически не отличаются от эффективных характеристик, определяемых через решение краевой вспомогательной задачи на ячейке.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Горбачев В.И., Зуйкова Л.В. Кручение неоднородного стержня// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002.

2. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Расчёт эффективных свойств при кручении неоднородного стержня// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004.

3. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Расчёт напряжений при кручении стержня из композиционного материала. // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция меха-ника. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005.

4. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Эффективные свойства неоднородного стержня при кручении// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2007. № 5. С. 41-48.

5. Горбачев В.И., Олехова Л.В. Численное моделирование эффективных свойств при кручении стержня из волокнистого композита// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007.

6. Олехова Л.В. Эффективные свойства при кручении стержня из композиционного материала// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009.(Принята к публикации)

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ISC экз. Заказ № ¡2

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Олехова, Любовь Владимировна

Введение.

Краткий обзор литературы.

Краткое содержание работы.

1 Постановка задачи

1.1 Постановка трехмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня (бруса)

1.2 Приближённая постановка задачи для длинного стержня

1.3 Общая задача Сен-Венана.

1.4 Задача Сен-Венана о кручении стержня.

1.4.1 Полная система уравнений теории кручения неоднородного анизотропного стержня.

1.5 Функция напряжений при кручении.

1.5.1 Функция напряжений.

1.5.2 Постановка задачи для функции напряжений

1.5.3 Крутка и жесткость при кручении. Выражение через функцию напряжений

1.5.4 Оценка снизу для жёсткости при кручении.

1.6 Функция кручения (депланация)

1.6.1 Выражение для перемещений при кручении.

1.6.2 Постановка задачи для функции кручения.

1.6.3 Крутка и жёсткость при кручении. Выражение через функцию кручения.

1.6.4 Формула связи между функцией напряжений и функцией кручения и определение перемещений по функции напряжений.

1.7 Примеры решения известных задач о кручении изотропных стержней.

1.7.1 Кручение круглого стержня неоднородного по радиусу

1.7.2 Кручение бесконечного слоя неоднородного по толщине

1.7.3 Кручение однородного стержня прямоугольного сечения.

2 Осреднение задачи для функции напряжений

2.1 Сопутствующая задача.

2.2 Интегральное представление решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи.

2.2.1 Функция Грина при кручении.

2.2.2 Интегральная формула.

2.3 Представление решения в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи.

2.4 Рекуррентные задачи для коэффициентов ряда.

2.4.1 Случай неоднородного по толщине анизотропного слоя.

2.4.2 Случай изотропного и неоднородного по толщине слоя

2.4.3 Случай однородного слоя.

2.5 Обобщенное уравнение для функции напряжений.

2.5.1 Интегральная формула для решения обобщенного уравнения.

3 Эффективные характеристики при кручении

3.1 Математическое определение эффективных коэффициентов в обобщенной задаче.

3.1.1 Эффективные коэффициенты, полученные из первой специальной краевой задачи.

3.1.2 Эффективные коэффициенты, полученные из второй специальной краевой задачи.

3.1.3 Замечания по поводу двух типов эффективных коэффициентов

3.2 Постановка задачи об определении эффективных податлц-востей.

3.2.1 Интегральная формула для эффективных податли-востей при кручении

3.2.2 Постановка новой краевой задачи для вычисления эффективных податливостей.

3.2.3 Симметрия и положительная определенность эффективных податливостей.

3.2.4 Интегральная формула для эффективных модулей сдвига при кручении

3.2.5 Постановка новой краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига.

3.2.6 Симметрия и положительная определенность эффективных модулей сдвига.

3.2.7 Ещё одна форма краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига.

3.3 Случай неоднородного по толщине слоя.

3.4 Нулевое приближение в теории кручения неоднородных стержней.

3.4.1 О нулевом приближении в механике композитов

3.4.2 Нулевое приближение при кручении.

4 Применение метода конечных элементов для расчета ЛГфункций и эффективных податливостей

4.1 Описание методики.

4.2 Случай длинной полосы с тремя чередующимися слоями

4.3 Случай круглого сечения.

4.4 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением

4.5 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями.

4.6 Случай квадратного сечения с девятью квадратными включениями

4.7 Случай квадратного сечения с 25 квадратными включениями

4.8 Выводы к четвёртой главе.

4.8.1 Точность результатов.

4.8.2 Краевой эффект для ЛГ-функцин.

4.8.3 Взаимная обратность эффективных податливостей

4.8.4 Совпадение эффективных характеристик, вычисленных на ячейке с нулевыми граничными условиями, с характеристиками, вычисленными на ячейке с периодическими граничными условиями.

4.8.5 Независимость формы включений для вычислений эффективных податливостей.

Введение диссертация по механике, на тему "Кручение неоднородного анизотропного стержня"

Краткий обзор литературы

Среди многочисленных технических задач при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений важное место занимают расчеты их элементов на прочность. Высокие темпы разработки и внедрения новых конструкционных материалов приводят к необходимости учета неоднородности механических свойств. Это подтверждается выходом большого количества книг, монографий и научных статей.

Общая теория кручения неоднородного анизотропного стержня с упругими характеристиками, являющимися непрерывными функциями координат была развита в работах Чао Вей-Юаня [73], Лехницкого С.Г. [34], Ломакина В.А. [38] и в ряде работ других авторов. Большое количество работ по кручению неоднородных стержней собрано в двух библиографических указателях, опубликованных Колчиным Г.Б. и Фавермаиом Э.А. [29, 30], в которых систематизировано 2611 работ советских и иностранных авторов, вышедших только до 1973 г.

Систематическое изложение теории упругости тел с непрерывной неоднородностью, в частности, обобщение задачи Сен-Венана на случаи неоднородных брусьев, дано в книге Ломакина В.А. [38].

Наиболее общий подход к проблеме Сен-Венана при трехмерной неоднородности без применения полуобратного метода Сен-Венана основан на использовании шести функций Бельтрами, через которые выражаются все компоненты напряжений [78]. Уравнения равновесия при этом удовлетворяются, а шесть уравнений совместности являются определяющими для шести неизвестных функций. В работе [78] показано также, что в случае трансверсальной неоднородности (модули упругости — функции координат поперечного сечения) напряженное состояние имеет трехмерный характер, а для удовлетворения уравнениям совместности и граничным условиям достаточно введения двух неизвестных функций.

Постановка задачи Сен-Венана для анизотропного (и более подробно для ортотропного) бруса в случае трансверсальной неоднородности дана Лехницким С.Г. [34, 35]. Им использован полуобратный метод Сен-Венана, в котором искомые компоненты тензора напряжений считаются функциями координат поперечного сечения. Задача сведена к решению краевых задач относительно двух функций напряженна, причем определяющим для каждой из них является уравнение в частных производных эллиптического типа с переменными коэффициентами второго и четвертого порядка.

Из вышеуказанных работ следует, что в случае изотропного бруса при переменном по сечению модуле сдвига G = G(x, у) и постоянном коэффициенте Пуассона и = const как задача о кручении, так и об изгибе бруса сводится к решению краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка относительно одной неизвестной функции. В задаче о кручении эта функция может быть введена двумя способами. В первом случае она носит название функции напряжении ф(х, у) и вводится таким образом, чтобы тождественно удовлетворить уравнениям равновесия. Уравнения совместности и граничное условие на контуре приводят к задаче Дирихле относительно ф(х,у). Во втором случае вводится функция кручения <р(х,у), которая удовлетворяет уравнению совместности, а уравнение равновесия и граничное условие дают задачу Неймана для функции кручения. Обе постановки подробно изложены, например, в работах [34, 38, 74].

Построению общего теоретического решения указанных краевых задач в случае изотропного бруса, сечение которого — многосвязная область с видом неоднородности G = G(x, у), и — const посвящены работы Раду [76, 77]. В указанных работах исходная задача при помощи теории обобщенных аналитических функций Векуа [15] сводится к обобщенной задаче Римана-Гильберта, которая в свою очередь приводится к сингулярному интегральному уравнению относительно одной неизвестной функции действительного аргумента, чем в конечном счете доказывается существование и единственность решения задачи Сен-Венана для неоднородного бруса с многосвязным поперечным сечением.

Решения задач изгиба и кручения ортотропных брусьев прямоугольного сечения, когда модули сдвига принимаются в виде степенных или экспоненциальных функций одной из координат, приведены в работах Колчина Г.В. [28] и Лехницкого С.Г. [34, 35]. В работе Колчина также приводится точное решение задачи о кручении круглого сплошного бруса при произвольной зависимости модуля сдвига от радиуса сечения; аналогичная задача для анизотропного бруса исследована в работах Лехницкого С.Г. [32, 33].

Точное решение может быть иногда построено обратным методом, являющимся специфическим для теории упругости неоднородных тел.

Он состоит в задании a priori вида напряженного состояния и получения затем из основных уравнений соответствующего типа неоднородности, а иногда п вида поперечного сечения. Так в работе [74] приведены примеры точных решений для круглого и эллиптического сечений методом задания функции кручения, при этом вид сечения определяется из граничного условия, а вид функции G{x, у) — из основного уравнения для ф{х,у).

Найденные точные решения позволяют выбрать необходимый для построения замкнутого решения вид аппроксимации для функций, характеризующих неоднородность тела. Точные решения также могут быть использованы для оценки степени пригодности приближенных методов решения более сложных задач.

Особое место в теории неоднородных тел занимает механика композитов, которая к настоящему времени выделилась в самостоятельное направление в МДТТ. Наиболее ценные работы в этой области, вышедшие до 1989 года, были проанализированы в обзоре Ю.М. Тарнопольского [65].

Методы решения краевых задач теории упругости неоднородного тела во многом определяются видом функций, характеризующих зависимость упругих свойств от координат. Большое количество частных задач для непрерывно неоднородных тел было рассмотрено В.А. Ломакиным [37, 38], а также Г.Б. Колчиным [28].

Общая теория расчета упругих брусьев, составленных из материалов с различными механическими характеристиками, развивалась H.H. Му-схелишвили [43]. Им рассмотрены задачи изгиба, растяжения и кручения неоднородных (кусочно-однородных) в сечении изотропных брусьев в плане пространственной задачи теории упругости.

Многослойная среда в условиях плоской деформации была рассмотрена И.Г. Альпериным [1]. Альперин рассмотрел плоскую деформацию полуплоскости, состоящей из п слоев, на границах которых отсутствует трение. Решение строится с помощью интегрального преобразования Фурье через бигармоничеекпе функции напряжений для каждого слоя. В итоге задача сводится к системе из п функциональных уравнений относительно п неизвестных функций.

В 1942 году была опубликована работа Г.С. Шаппро [67], в которой рассмотрена осесимметричная задача для многослойной плиты, а также для многослойного цилиндра. Методом интегрального преобразования Ханкеля дается точное решение задачи. Конструкция такого решения получается с помощью общего представления решения осесимметричной задачи теории упругости А. Лява [41]. Если плита имеет п слоев, то задача в конечном итоге сводится к решению системы из 4п функциональных уравнений. Применяя этот метод, Г.С. Шапиро в 1944 году в работе [68] довел до числовых результатов решение задачи для одного слоя, опирающегося на абсолютно гладкое и жесткое основание при воздействии па границе слоя равномерно распределенной нагрузки но площади круга. Дальнейшее развитие этот метод получил в монографиях [44, 45].

В 1948 году была опубликована работа P.M. Раппопорт [56], в которой с помощью интегрального преобразования Ханкеля решена осесиммет-ричная задача Буссинеска, а с помощью интегрального преобразования Фурье — плоская задача Фламана для двухслойного полупространства. Позже в ряде работ Раппопорт [57, 60, 59, 58] и Буфлера [71, 70, 72] был развит метод послойного решения осесимметричной и плоской задач теории упругости для многослойных сред. В работах Раппопорт [60, 59] этот метод был распространен на трехмерную задачу для многослойного полупространства. В методе послойного решения задача для га-слойной плиты в итоге сводится к решению системы из 2(n — 1) уравнения относительно трансформант Ханкеля (Фурье) нормальных и касательных напряжений на одной из плоскостей слоя. В указанных работах Раппопорт и Буфлера решения доведены до числовых результатов лишь в отдельных частных случаях для сред из двух, трех слоев.

В работе В.И. Петришина и А.К. Приварпикова [49] был предложен метод послойного решения для случая, когда на одной поверхности многослойной плиты задана нормальная и касательная нагрузка, а на другой обращаются в нуль перемещения.

Для случая непрерывной неоднородности В.А. Ломакиным был развит метод возмущений [37, 38]. При практическом использовании метода возмущений обычно ограничиваются первым приближением. Границы применимости получаемых решений и оценка погрешностей дана в работе В.А. Ломакина и В.И. Шейнина [39].

Приближенные теории упругой многослойной среды, основой которых являются различные ограничения, накладываемые на геометрические и упругие характеристики всей среды в целом и отдельных ее слоев развивались в работах В.В. Болотина [9, 10, 11], в книге В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [13], в книге В.В. Васильева [14] и в ряде других работ. Обзор различных инженерных подходов применительно к изделиям из композитов дан в работах [65, 37, 12].

В настоящее время наиболее распространенными методами решения задач механикн композитов являются два метода — это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). Первым был предложен ММГП. В 1974 и 1975 годах Бахвалов Н.С. в ДАН СССР опубликовал две статьи [3, 4] по осредненным характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. В работе [3] получены осреднения уравнений параболического и гиперболического типов, а также осреднение стационарной и нестационарной систем уравнений теории упругости. Асимптотическое разложение решений нестационарных систем уравнений второго порядка и осредненные системы строятся в [4]. Результаты работ [3, 4] обобщаются на нелинейные уравнения второго [5, 7] и высших порядков [5] и операторные уравнения. В работах Панасенко [47, 48] исследуются вопросы осреднения композиционных сред с сильно изменяющимися свойствами компонентов. В 1984 году вышла книга Бахвалова Н.С. и Панасенко Г.П. [8], в которой подробно рассмотрено осреднение различных математических моделей.

Дальнейшее развитие и применение ММГП к линейным и нелинейным задачам механики деформируемого тела было дано в работах По-бедри Б.Е. и его учеников [52, 53, 55, 17, 19, 42, 69].

В ММГП решение исходной краевой задачи для периодически неоднородного тела ищется в виде формального асимптотического ряда по малому геометрическому параметру, равного отношению размера ячейки периодичности к характерному размеру тела. В итоге исходная задача сводится к двум рекуррентным последовательностям задач.

Вначале решаются вспомогательные рекуррентные задачи на ячейке периодичности, из решения которых находятся периодические М-функции Бахвалова-Победри первого, второго, и т.д. порядков. Из решения самой первой задачи на ячейке находятся ^-функции первого порядка и эффективные упругие характеристики композиционного материала.

Вторая рекуррентная последовательность задач заключается в решении краевых задач для тела той же формы, что и исходное, но с постоянными (эффективными) характеристиками и с различными входными данными, зависящими от решений предыдущих задач. В начальной задаче в качестве входных данных используются те же самые данные, что и в исходной задаче.

Если решены начальные задачи в первой и второй рекуррентных последовательностях, то по решению начальной краевой задачи для тела с эффективными характеристиками и Аг-функциям первого порядка находятся напряжения, деформации и перемещения в компонентах композита, т.е. строится, так называемое, нулевое приближение в исходной задаче [52]. В большинстве практических задач ограничиваются нулевым приближением.

Для уточнения решения исходной задачи необходимо найтн Л^-функцин следующего порядка. Для этого нужно снова решать задачу на ячейке периодичности с новыми входными данными, определяемыми через тУ-функции первого порядка. После этого, опять же, нужно снова решать краевую задачу для тела с эффективными характеристиками, но с другими входными данными. В работе В.И. Горбачева [18] приведено нулевое, первое и второе приближение к точному решению задачи о неоднородной по радиусу трубе под давлением. Показано, что при фиксированном числе ячеек периодичности с увеличением номера приближений уменьшается разница между приближеиным и точным решениями. В первом и последующими приближениями разница между приближенным и точным решениями уменьшается также и с увеличением числа ячеек периодичности, укладывающихся на заданной толщине трубы (с измельчением структуры).

Будучи асимптотическим, метод малого геометрического параметра тем не менее даёт хорошее приближение к точному решению даже в том случае, когда геометрический параметр близок или равен единице [18]. В некоторых частных случаях этот метод позволяет получить точное решение краевых задач при любом виде неоднородности. Последнее относится в основном к задачам для неоднородных полос. При простых видах нагружения ряды по малому параметру оказываются сходящимися и их удается просуммировать. Впервые этот результат был получен В.И. Горбачевым и Б.Е. Победрей в 1979 году в работе [54], в которой методом суммирования рядов были получены новые точные решения нескольких задач о равновесии неоднородной по высоте изотропной полосы. Позже в 1993 году [21] В.И. Горбачеву удалось получить решение этих же задач для произвольно анизотропной полосы.

Другой метод решения задач механики композитов — МТГ (метод тензоров Грина) был предложен Горбачевым В.И. чуть позднее. Первая работа вышла в 1991 году [20]. В этом методе рассматривается произвольно неоднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой линейной краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой же задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками. В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием для выбора названия метода.

В работах [22, 23, 24], было получено интегральное соотношение, связывающее решение любой начально-краевой задачи для произвольного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами с решением точно такой же задачи для уравнения того же типа, но с постоянными коэффициентами.

Интегральное соотношение легко может быть заменено на эквивалентное представление в виде ряда. Таким образом, решение краевой задает для неоднородного упругого тела моэюет быть представлено в виде ряда по градиентам решения такой же краевой задачи для однородного (можно даже и изотропного) упругого тела. Коэффициенты ряда находятся из рекуррентной последовательности краевых задач в области занятой телом с однородными граиичными условиями. Отметим, что "сложность" уравнений в рекуррентной последовательности задач для коэффициентов определяется видом зависимости упругих характеристик от координат, а также видом области занимаемой упругим телом. Например, в случае неоднородного по толщине слоя все уравнения в рекуррентной последовательности являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, которые легко интегрируются в общем виде.

Краткое содержание работы

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы.

В первой главе дается общая постановка трёхмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня. Используя принцип Сен-Венана, даётся приближённая постановка для этой же задачи: вместо распределенных по торцам усилий рассматривается статически эквивалентная им система сил и моментов, приложенных в центрах тяжести торцов. Даётся общая постановка задачи Сен-Венана и вводятся ограничения на тип анизотропии и вид неоднородности, полагая, что любое поперечное сечение бруса является плоскостью симметрии упругих свойств, а свойства являются функциями координат точки в поперечном сечении. В случае, если выбрать декартову систему координат и ось гс3 направить по оси стержня, то все коэффициенты с нечетным количеством индексов «3» обратятся в нуль, а компоненты тензора податливостей будут зависеть только от координат х\ и ,т2.

Далее рассматривается чистое кручение, то есть полагается, что внешние силы, распределённые на торце приводятся только к крутящему вокруг оси хз моменту — М. Используя полуобратный метод Сен-Венана, даётся окончательная постановка задачи Сен-Венана, которая состоит из условий равновесия, закона Гука, условий совместности, граничных условий на контуре поперечного сечения и интегральных условий на правом торце.

Вводятся функцня напряжений при кручении и функция кручения депланация), выводятся постановки задач для нахождения этих функции, также выводятся выражения для крутки и жесткости при кручении через эти функции, определяются перемещения. Приводится формула, которая связывает функцию кручения и функцию напряжений при кручении.

Приводятся примеры точного решения известных задач о кручении однородного изотропного стержня, а именно: кручение круглого стержня, кручение бесконечного слоя, кручение стержня прямоугольного сечения.

Во второй главе рассматривается метод осреднения для функции кручения. Вводится сопутствующая задача — такая же задача, как и для нахождения функции кручения, только с постоянными коэффициентами. Смысл метода осреднения в данной работе заключается в том, чтобы выразить решение исходной задачи через решение сопутствующей.

Вводится функция Грина исходной задачи Т(ж, £), после этого дается вывод интегрального представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи и функции Грина исходной задачи.

Далее раскладывается в ряд Тейлора функция напряжений ф° сопутствующей задачи. После подстановки этого разложения в интегральное представление получаем представление в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи. Коэффициентами ряда являются ./V"-функции. После подстановки ряда в исходную задачу получается система рекуррентных соотношений для нахождения А^-функции.

Данным методом аналитически решаются задачи, когда поперечное сечение — однородная и трехслойная полоса.

В третьей главе рассматриваются эффективные характеристики при кручении. Даётся математическое определение эффективных модулей сдвига II эффективных податливостей при кручении неоднородного стержня. Получены интегральные формулы для эффективных характеристик при кручении. Эти формулы позволяют представить эффективные податливости при кручении через тензор Грина первой краевой задачи уравнения для функции напряжений, а эффективные модули сдвига при кручении — через тензор Грина второй краевой задачи этого же уравнения. Доказаны теоремы о симметрии и положительной определенности тензора эффективных податливостей и тензора эффективных модулей сдвига. Подробно рассматривается случай неоднородного по толщине слоя. Получены явные аналитические выражения эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей неоднородного по толщине слоя. Показано, что в этом случае эффективные характеристики, найденные через решения первой и второй специальных краевых задач, являются взаимно обратными.

В конце третьей главы обсуждается, так называемое, нулевое приближение в механике композитов, введенное Б.Е Победрей в 1984 году в работе [52]. Рассматривается нулевое приближении в задаче о кручении неоднородного стержня.

В четвертой главе применяется метод конечных элементов для нахождения ^-функций и эффективных податливостей. Дается краткое описания метода конечных элементов и численно решается несколько задач, а именно: задача о кручении длинной полосы, задача о кручении стержня, поперечное сечение которого слоистый круг и задача о кручении стержня, когда поперечное сечение — квадрат с различным количеством квадратных включений.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первом приложении дается подробное описание комплекса программного обеспечения, с помощью которого вычисляются ТУ-функции и эффективные податливости.

Во втором приложении приводятся технические характеристики областей при проведении численных расчётов.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

4.8 Выводы к четвёртой главе

4.8.1 Точность результатов

На рисунке (рис.4.16) представлены графики нулевого приближения функции напряжений ф для задачи о кручении стержня, поперечное сечение которого — длинная полоса (случай а). Синий график — численное решение, красный — аналитическое.

На рисунке (рис.4.17) представлен график разницы этих двух решений. Относительная погрешность численного решения составляет 3% в случае мелкости разбиения / = 0.02 и 10% в случае / = 0.15.

0.02 £=0.15

Рис. 4.16: Нулевое приближение ф: численное (синий график) и аналитическое (красный график).

0.02 £=0.15

Рис. 4.17: Разница между численным и аналитическим нулевым приближением ф

4.8.2 Краевой эффект для /^-функций

Сравнивая Л^-функции па ячейках периодичности в задачах о кручении стержня квадратного сечения с 9 квадратными включениями (рис. 4.6) и с 25 включениями (рис. 4.7) можно сделать вывод, при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слон, в котором А^-функцни не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела //-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности.

4.8.3 Взаимная обратность эффективных податливостей

В таблице 4.1 приведены эффективные характеристики и результат вычисления выражения ДЙ • Иаа — 1. Можно утверждать, что значения в четвертом столбце почти равны нулю, это означает, что при взаимной обратности модулей сдвига, эффективные податливости получаются взаимно обратными.

Название задачи иаа тФ) ь'оа ПИ . Г)№ 1 Л-Уаа. ь/аа ±

Круглое сечение (§4.3) 0.6603 1.5143 -0.0001

Квадратное сечение с одним включением (§4.4) 0.8259 1.2152 0.0036

Квадратное сечение с одним включением с периодическими граничными условиями (§4.5) 0.8248 1.2126 0.0002

Квадратное сечение с девятью включениями (§4.6) 0.8256 1.2141 0.0024

Квадратное сечение с 25-ю включениями (§4.7) 0.8260 1.2146 0.0033

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Получена новая интегральная формула для представления решения задачи о кручении неоднородного стержня через решение задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Из интегральной формулы найдено эквивалентное представление решения задачи о кручении неоднородного стержня в виде ряда по производным от решения задачи о кручении однородного стержня с таким лее поперечным сечением. Для коэффициентов ряда (^-функций) выведена система вспомогательных рекуррентных краевых задач на поперечном сечении.

4. Исследованы периодические структуры. Показано, что при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором ./V-функции не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела Аг-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности. Показано, что эффективные характеристики, найденные через периодическое решение вспомогательной задачи на ячейке, практически не отличаются от эффективных характеристик, определяемых через решение краевой вспомогательной задачи на ячейке.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Олехова, Любовь Владимировна, Москва

1. Альперин И. Г.: Задача о бесконечно длинной балке па упругой полу-плоскостиЗадача о бесконечно длинной балке на упругой полуплоскости. Прикл. матем. и механ., 2(3):287-315, 1939. 9

2. Арутюнян II. X. Абрамян Б. JL: Кручение упругих тел. Физматгиз, Москва, 1963. 40

3. Бахвалов Н. С.: Осредненные характеристики тел с периодической структуройОсредненные характеристики тел с периодической структурой. ДАН СССР, 218(5):1040-1048, 1974. 10, 11

4. Бахвалов Н. С.: Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осцилиируюищми коэффициентамиОсреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 225(2):249-252, 1975. 11

5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П. Кобельков Г. М.: Численные методы. Физматлит, Москва Санкт-Петербург, 2001. 74

6. Бахвалов Н. С. Панасенко, Г. П.: Осредненние процессов в переио-дических средах. Наука, Москва, 1984. 11, 26

7. Болотин В. В.: К теории слоистых плит К теории слоистых плит. Известия АН СССР. Механика и машиностроение, (3), 1963. 10

8. Болотин В. В.: Об изгибе v/tum, состоящие из большого числа сло-евОб изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. Известия АН СССР. Механика и машиностроение, (1), 1964. 10

9. Болотин В. В.: Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. В сб. Расчеты па прочность. Вып. 11, 31-63. Машиностроение, Москва, 1965. 10

10. Болотин В. В., Гольденблат II. И. Смирнов А. Ф.: Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Наука, Москва, 1972. 10

11. Болотин В. В. Новичков Ю. Н.: Механика многослойных конструкций. Машиностроение, Москва, 1980. 10

12. Васильев В. В.: Механика конструкций из композиционных материалов. Машиностроение, Москва, 1988. 10

13. Векуа И.Н.: Обобщенные аналитические функции. Москва, 1959. 8

14. Владимиров B.C.: Обобщенные функции в математической физике. Наука, Москва, 1976. 26, 44

15. Горбачев В. И.: Эффективные механические характеристики неоднородных тел с периодической структуройЭффективпые механические характеристики неоднородных тел с периодической структурой. Упругость и неупругость, 7-11. Изд-во МГУ, Москва, 1977. 11

16. Горбачев В. И.: Задача приведения для упругого пространства ослабленного системой цилиндрических порЗадача приведения для упругого пространства ослабленного системой цилиндрических пор. Известия АН СССР. МТТ, (5):63-67, 1984. 11

17. Горбачев В. И.: О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентамиО представлении решений линейных дифференциальных уравнений с пере~менны-лш коэффициентами. Вестник МГУ, (6):68-71, 2000. 12, 45

18. Горбачев В. И.: Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородностиОсреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности. Известия РАН. МТТ, (1), 2001. 12, 43

19. Горбачев В. И.: Осреднение процессов в неоднородных телахОсред-нение процессов в неоднородных телах. Сборник трудов Meotcdy-нар. Конф. повящеп. 90-летию A.A. Ильюшина, 294. МГУ, Москва, 2001. 12

20. Горбачев В. И. Победря Б. Е.: Эффективные характеристики неоднородных средЭффективные характеристики неоднородных сред. Прикладная математика и механика, 61 (1): 149—156, 1997. 69

21. Зенкевич О. Морган К.: Конечные элементы и аппроксимация. Мир, Москва, 1986. 74

22. Кеч В. Теодореску П.: Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. Мир, Москва, 1978. 57

23. Колчин Г. Б.: Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Картя молдовеняска, Кишинев, 1971. 8, 9

24. Колчин Г. Б. Фаверман Э. А.: Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указат,ель отечественной и иностранной литературы. Штиинца, Кишинев, 1972. 7

25. Колчин Г. Б. Фаверман Э. А.: Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1970-1973 г. Штиинца, Кишинев, 1977. 7

26. Лейбензон Л. С.: Курс теории упругости. Гостехиздат, Москва, 1947. 19

27. Лехницкий С. Г.: Кручение анизотропного тела вращения с переменными модулями сдвигаКручение анизотропного тела вращения с переменными модулями сдвига. ПММ, 6(28), 1964. 8, 35

28. Лехницкий С. Г.: Кручение анизотропных и неоднородных стержней. Наука, Москва, 1971. 7, 8, 21, 25, 35, 38, 40

29. Лехницкий С. Г.: Задача сен-венана для непрерывно неоднородного анизотропного брусаЗадача Сен-Венана для непрерывно неоднородного анизотропного бруса, сб. Механика сплошных сред и родственные проблемы науки, 1972. 8

30. Лехницкий С. Г.: Теория упругости анизотропного тела. Наука, Москва, 1977. 35, 38, 40

31. Ломакин В. А.: Статистические задачи механики деформируемых твердых тел. Наука, Москва, 1970. 9, 10

32. Ломакин В. А.: Теория упругости неоднородных тел. МГУ, Москва, 1976. 7, 8, 9, 10, 19, 21, 25, 29

33. Ломакин В. А. Шейнин В. И.: О применимости метода малого параметра для оценки напряжений в неоднородных упругих средахО применимости метода малого параметра для оценки напряжений в неоднородных упругих средах. МТТ, (3):33-39, 1972. 10

34. Лурье А. И.: Теория упругости. Наука, Москва, 1970. 20

35. Ляв А.: Математическая теория упругости. ОНТИ НКТП СССР, М-Л, 1935. 9

36. Мольков В. А. Победря Б. Е.: Эффективные модули упругости однонаправленного волокнистого композитаЭффсктивные модули упругости однонаправленного волокнистого композита. ДАН СССР, 275(3):586-589, 1984. 11

37. Мусхелишвили Н. И.: Некоторые основные задачи математической теории упругости. Наука, Москва, 1966. 9

38. Никишин В. С. Шапиро Г. С.: Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. Труды ВЦ АН СССР, Москва, 1970. 10

39. Никишин В. С. Шапиро Г. С.: Задачи задачи теории упругости длямногослойных сред. Наука, Москва, 1973. 10

40. Новацкий В.: Теория упругости. Мир, Москва, 1975. 17, 19, 20, 21, 56

41. Панасенко Г.П.: Осреднение периодических структур с хорошо производящими неоднородностямиОсреднение периодических структур с хорогио производящими неоднородностями. Вестник МГУ, (3):4—11, 1980. 11

42. Панасенко Г.П.: Осреднение полей в композиционных материалах с высокомодульной арматуройОсреднение полей в композиционных материалах с высокомодульной арматурой. Вестник МГУ, (2):20-27, 1983. 11

43. Петришин В. И. Приварников А. К.: Основные граничные задачи теории упругости для многослойных основанийОсновные граничные задачи теории упругости для многослойных оснований. Прикладная механика, 1(4):58-66, 1965. 10

44. Победря Б. Е.: Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. МГУ, Москва, 1979. 18

45. Победря Б. Е.: Численные методы в теории упругости и пластичности. МГУ, Москва, 1981. 74

46. Победря Б. Е.: Механика композиционных материалов. МГУ, Москва, 1984. 11, 15, 58, 70

47. Победря Б. Е. Горбачев В. И.: О статических задачах упругих композитовО статических задачах упругих композитов. Вестник МГУ, (5):101—111, 1975. 11

48. Победря Б. Е. Горбачев В. И.: Об упругом равновесии неоднородных полосОб упругом равновесии неоднородных полос. Известия АН СССР. МТТ, (5):111-118, 1979. 12

49. Победря Б. Е. Горбачев В. И.: Концентрация напряо/сений и деформаций в композитахКонцентрация напряэюений и деформаций в композитах. Механика композитных материалов, (2), 1984. 11

50. Раппопорт Р. М.: Задача буссинеска для слоистого упругого полу-пространстваЗадача Буссинеска для ааоистого упругого полупространства. 5, Ленинградский политехнический институт, 1948. 10

51. Раппопорт Р. М.: К вопросу о построении решений осесимметрич-ной и плоской задач теории упругости многослойной средыК вопросу о построении решений осесимметричной и плоской задач теории упругости многослойной среды. , ВНИИГ, 1963. 10

52. Раппопорт Р. М.: К вопросу о построе^ши интерполяционных решений обобщенной плоской и осесимметричной задач теории упругости многослойной среды. ЭЦВМ в строительной технике, 373-382. Стройнздат, Москва, 1966. 10

53. Раппопорт Р. М.: К вопросу о построении решения задачи о равновесии многослойного полупространства в перемещенияхК вопросу о построении региения задачи о равновесии многослойного полупространства в перемещениях. , ВНИИГ, 1966. 10

54. Раппопорт Р. М.: Равновесие упругого слоистого полупространства при действии поверхностных сил (трехмерная задача)Равновесие упругого слоистого полупространства при действии поверхностных сил (трехмерная задача). , ВНИИГ, 1966. 10

55. Сегерлинд Л.: Применение метода конечных элементов. Мир, Москва, 1979. 74

56. Седов Л. И.: Механика сплошной среды. Наука, Москва, 1973. 35

57. Сен-Венап В.: Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. Физматгиз, Москва, 1961. 19, 21

58. Соболев С.Л.: Уравнения математической физики. Наука, Москва, 1966. 26

59. Тарнопольский Ю. М.: Ино/сенерная механика композитов, обзо-рИнженерная механика композитов. Обзор. Прикладная механика композитов. Серия "Новое в зарубежной механике ". Вып. 44 > 342— 357. Мир, Москва, 1989. 9, 10

60. Фихтенгольц Г.М.: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З. Наука, Москва, 1966. 34, 65

61. Шапиро Г. С.: Напряоюенное состояние бесконечной цилиндрической оболочки и неограниченной толстой плитыНапряженное состояние бесконечной цилиндрической оболочки и неограниченной толстой плиты. ДАН СССР, 37(9):299-290, 1942. 9

62. Шапиро Г. С.: О распределении напряжений в неограниченном слоеО распрсдс.лспии напряжений в неограниченном слое. Прикл. матем. и механ., 8(2):167-168, 1944. 10

63. Шешенин С. В.: Осредненные модули одного композшпаОсреднен-ные модули одного композита. Вестник МГУ, (6):79-83, 1980. 11

64. Bufler N.: Der spannungszustand in einem geschichteten körper bei axialsimmetrischen belastungDer Spannungszustand in einem geschichteten Körper bei axialsimmetrischen Belastung. Ingr. Archiv, 30(6):417-430, 1961. 10

65. Bufler N.: Der spannungszustand in einem geschichteten scheibeDer Spannungszustand in einem geschichteten Scheibe. Z. angeew. Math, und Mech., 41(4):84-86, 1961. 10

66. Chao Hwci-yuan: On the torsion of non-homogeneous anisotropic elastic cylindersOn the torsion of non-homogeneous anisotropic elastic cylinders. Scientia sinica, 9(1), 1960. 7

67. Chen Yu: Torsion of nonhomogeneous barsTorsion of nonhomogeneous bars. J. Franklin. Jnst., 277(1), 1964. 8, 9

68. Hashin Z. Rosen B.W. J. Appl. Mech, 31(2):223, 1964. 59

69. Radu A.: La tortion des barres élastiques non homogenesLa toriion des barres élastiques non homogenes. An. stiint. Unw. Jasi, 12, la(l):197— 204, 1966. 8

70. Radu A.: Problem,a lui saint-venant pentru bare noemogeneProblema lui Saint-Venant pentru bare noemogene. An. stiint. Unw. Jasi, 12, la(2):415-428, 1966. 8

71. Schile R.D. Sierakovski R.L.: On the saint-venant problem for a nonhomogeneoiLs elastic matenalOn the Saint-Venant problem for a nonhomogeneous elastic material. Quart. Appl. Mech, 23(l):19-25,1965. 7