Решение некоторых задач кручения анизотропных призматических стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р К^тсте^тро высшего образования и науки Армении

2Э||0Я*_ ' .............

ЕреванскиП государственный унийерСкт<ет

Не правах рукописи

ХАЩЦ МОХАМВД ХШИД НУР

УДК 539-3

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЛ КРУЧЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ •

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1993

Работа выполнена на кафедре механики сплошной среда Ереванского государственного университета

Научный руководитель - член корр. НАН Армении, доктор физико-

математических паук, заслуженная деятель науки Армении, профессор САРКИСЯН B.C.

Научный коноультант - кандидат физико-математических наук,

доцент САРКИСЯН С.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор ЫХИТЛРЯН С.М.

кандидат физико-математических наук,

доцент МШСЛЕДЯН В.В.

Ведущая организация - Ереванский архитектурно-строительный

институт

Защита состоится " 5 " g/xa-д^М- 199Эг. в час в аудитории N 22 на заседании Специализированного Совета К 055.01.02 по приоуддвнию учено» степени кандидата физико - математических наук в Ереванском государственном университете по адресу: 375049, г. Ереван - 49. ул. А. Манукяна 1.

С дисоертациеА можно оаникомитьоя в библиотеке Ерэванокого государственного университета.

Автореферат разослан " 03 " HojufpA 1993 г.

Ученый оекретарь

Специализированного Совета

кандидат физико-математичео- .

ких наук ^iwrJ^ даилдвян С.А.

- 3 -

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвяодена решению некоторых задач кручения анизотропных призматических отеркней.

Актуальность теин.

В различных отрволях современное техники в качестве основных влементов конструкций широко применяются анизотропные стерккж как однородные, так и неоднородные.

В настоящее время в инженерной практике все более широкое распространение получают конструкции, изготовленные из композиционных материалов, оЯледанцих ани по тропив 4 я неоднородность». Созданные гехяоголичеокиын опособамж новые композиционные материалы, обладают такими наперед заданными свойствами, которые наилучшим обрезом обеопечивают повиненную надежность конструкции в целом и уменьшение материалоемкости и себестоимости изделий. В виде неоднородности анизотропные мвтнрнвли появляется в конструкциях стержней с прямолинейной анизотропией криволинейного оечания. Так, например, стержень с криволинейным четырехугольным или секториальным поперечным сечением, материал которого обладает прямолинейной анизотропией или стержень о прямоугольным сечением, материал которого обладает цилиндрической анизотропией и т.д.

Исследования задач теории упругости анизотропного тела, т.е. определение и изучение теоретическим путем напряженно - деформированного состояния упругого тела, изготовленного из анизотропного материала, у которого сопротивление механическим воздействиям различно для различных направлений, имеют важное значение для расчета прочности анизотропных деталей, испыгавигщих упругие деформации. Правильное использование анизотропных материалов повышает техкико-економичеохие показатели и уменьшает материалоемкость деталей машин и конструкций. Репение втой проблемы, в частности, связано оо снижением напряжений в влементах и деталях конструкций, позволяющим ооэдавать более надежные в вксплуатацин, а также еконоыичные конструкции.

Известно, что учет неоднородности н анизотропии материалов в различит задачах механики деформируемого твердого тела в математическом • отношении приводит к довольно большим трудностям. Но в физическом отношении рождаются новые качественные и коли-

чеотвенные эффекты.

Актуальность исследований задач анизотропных, и неоднородных упругих тел продиктована насущными запросами инженерной практики, необходимостью дальнейшего развития общей теории механики деформируемого твердого тол«, включающей в себя вопросы построения математических моделей и разработки е<Мектипных аналитических и численных методов решения конкретных практических задач.

Большое развитие в последнее время получили исследования, посвященные разработке и применению методов расчета упругих неоднородных и анизотропных конструкций.

Наибольший вклад в развитие механики вниэотротшх и неоднородных тал внесли Агвлопян Л.л., Аыбврцумян С.л., Багдасврян Iх. Е., Валубвкян М.В., Прилла И, Ворш К., Болотин В.В., Бурек ft.П., Василенко А.Т., Григоротсо Я.М., Гузь А.Н., Гнуки Н.Ц., Колчин Г.В., Лвхницкий С.Г., Ломакин В.А., Молмейотвр А.К., Ыовсислн Л.А., Нопичков Ю.Н., Панкратова Н.Д., Партон В.З., Пискунов В.Г., ПоОедрл В.Е., Рабинович Л.Л., Ростовцев H.A., Савин Г.Н., Серкисян B.C., Сен-Венан, Тетере Г.А.. Уэдалев А.И., Фролов В.Н., Фридман М.М., Хатиашвили Г.М., Черных К.Ф., Чжао-Хуей-Юаиь, ФоЙгт В. и другие авторы.

Многие работы, посвященные решению различных актуальных задач с учетом анизотропии и неоднородности среди, показывают существенное ьлиятеае ©тих факторов на напряженно - деформированное состояние упругого тела. Среди большого многообразия конструктивных едвментов, которые встречаются в практике, но последнее место занимают олементы н виде призматических анизотропных стержней с криволинейным и r/опоречным сечением, материалы которых обладают прямолинейной, цилиндрической и другой криволинейной (причем несовпадающих с координатными линиями поперечных сечений стержней) анизотропией. Повтому, учитывая актуальность тематики, в настоящей диссертационной работе в основном с применением метода малого параметра,исследуютсн различные задачи - кручение анизотропных призматических отеркнеП с различными поперечными сечениями (прямоугольным, криволинейным четырехугольным, секториальным и т.д.), материалы етих стержней обладают криволинейной или прямолинейной анизотропией, направления которых пе совпвдают о координатными линиями поперечны! сечений.

Цель работы.

- Разработки способа решения задачи кручения анизотропных призматических стержней о сечением в в иди чвоти кругового кольца (криволинейно1х> четырехугольника), причем материал стержня обладает прямолинейной анизотропией (ортотропиай и нвортатропией).

- Разработка способа решения задачи кручения призматического стержня прямоугольного сечения, материал которого обладает цилиндрической ортотропией и нвортотропмей.

- Определение напряженного состояния при кручении стержня криволинейного поперечного сочетая, материал которого обладает прямолинейной анизотропией (неортогропией).

- Для исследования игр по но П задачи кручения стержня с сечением в виде кругового сектора, материал которого обладает пряиолитИяоЯ неортотротеЯ или ортотропивй, » ряде случаев, в зависимости от степени ортотропности, получены нормальные дифференциальные уравнения задачи (уравнение Уатье, уравнение Хилла и др. ) и постровни фундаментальные решения. Иоследовано поведение касательных напряжений, зависящих от физических и геометрических параметров стержня.

Научная новизна.

Разработаны метода решения задачи кручения призматически! стержней с различными поперечными сечениями (прямоугольным, криволинейным четырехугольным, секториальным и т.д.), у которых направления анизотропии материалов не совпадают с координатными линиями поперечных печений. Иооладованы компоненты касательных напряжений при кручении стержня с криволинейным поперечным сечением, материал которого облвдает прямолинейной анизотропной (веортотропией). Показаны влияние анизотропии на картину напряженного состояния при кручении втих стержней.

Практическая ценность.

Результаты, получение в диссертационной работе, могут быть использованы при проектировании элементов анизотропных конструкций типа тонкостенных мементов в машиностроении, в строительном и авиационной дела и во многих отраслях народного хозяйства. Полученные результаты и развитые методики могут быть рг .¡огранены для решения других граничных задач механики

анизотропного и неоднородного твердого теле в криволинейных координат«*.

Доотрвернооть.

Достоверность исследований вытекает из математической строгости поотпноадси крпевых задач и обеспечения необходимой точности при поотроении решений. Полученные результаты в некоторых случаях сравнены с известными результатами Н.Х. Арутюнляо, Б.Л. Лгзряшшп, С.Г. Лехницкого, U.C. Свркиояна и др.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались: нп научном се>шшяро "Мехшппси сплошной с рода" Креваиского государственного уиииироитата (1992-93 г.г.) и на заседаниях кафидры кохимики оплошной среда ЯГУ (юоа - оэ г.г.).

Основные оодерзкания вшкытепых исследований отражены в пяти работах.

Структура и сбт»ем раОотм.

Лиооертициояная работа оостоит из введения, четырех глав, заключении и списка литературы пкушчающиЯ 9'3 наименования, приложений, рисууноп я гяблт.

Во введении приведен обзор научной литературы и изложено краткое содержание работа, определены цель, характер и актуальность работы.

Парвяя глава, состоящая из трех параграфов, носит вспомогательный характер. Кротко приведены основные понятия, положения, соотношения и основные урнмнения теории упругости аниэот1>отшх неоднородных и однородных тел.

Втохши глав» поошщена иооледоааяию кручения анизотропных npiraufiwiftoKiot. о терки« (t.

В первом nnparpmjio ряооматриваотоя задача чиотого кручения ггризмотмчооких оторжнеп с дочешем в ниде чаоти кругового кольца (криволинейного четырехуголывоса соответственно о радиусам» окружностей л «г ь, центральным углом «).

Предлсояпговтоя, что материал огержня оЛладпвт прямолинейной

неортотропиеЯ и имеет одну плоскость упругой симметрии. Вводятся малые физические параметры

6 = —4*-------С 0<<5< 1.» > а 3 (1)

а + а <л гк%

И

2»

49

С 23

/• г* ч

[\ - -г-^н

ЛЛ ЧЯ J

где » - упругие постоянные, удовлетворяющие условиям

а > О. а > О. а а - а* > О. С 33

44 99 49

Полагая

г»

6 = к 6

44 99

задача кручения рассматриваемого стержня сводится к определению следующей краевой задачи в чаотных производит о переменными коэффициентами с иераздаляющимиоя переменными, записанной в полярной координатной системе с г . ез

ГШ ♦ ЛЯП « - А , ¡А - -- I С

Га - -]

1 о а + я I

v 44 ПЯ

§Са.ЭЗ - »СЪ.вЗ - О, СЯЗ

«Сг.ОЗ а ÜCr.oO - О, СПЗ

где

тс 1 - ♦ — - JL _!».!_ . С75

аг* с ¿fr г 1Ю

Sil . а С03 Г-Л*---?---] - СЮ-?- С83

' 1- вгх гаг г2 ов* J * л- ч-аа-1

а CSD - cosae - k »ir)2S, л С 03 « slnZB + V. со«Зв, СОЗ

L t Ж I

о - относительный угол закручивания.

Во втором параграфе отой гловы предлагаотоя метод решения краевой задачи (4)-(6). Представляя »(г,в) в виде ряда по степеням малого параметра <5:

»(г.э) ж ао(г,е) +■ 6«t(r,o) + ¿'«^(r.ö) + .... с юз

из (4)-(6) для определения » (r,e) (1 - о. 1. г. . ..з получаются системы рекуррентных краевых задач. Для определения *0(Г.в) нужно решить задачу кручения'"однородного изотропного" призматического стержня криволинейного четырехугольного поперечного сечения со следующим приведенным модулем сдвига

о* - ----сиз

о а + а

44 зз

Затем для нахождения ® (г ,в) (i в 1,2, ...) последовательно

б

нужно решить залечу кручения "однородного изотропного" призматического стщгжпя кринолинеНного четырехугольного поперечного ончешгл, но у ко со олодуишпш "приведенным переменным модулем 0Д1ШГП"

<\ - "ЙГ" /4Сг.0Э. С13Э

где

/сг.05 » - sí® j с i -i. а.... э ci3J

i i-i

Решению задачи кручения ортотрошого цриаматичеокого отержнн

о оочеютм и ниде криволинейного четырехуголышкп поспящек третий

парпграф. lio о троены nepituo три ггрисимагопия авдпта

х -х.

SCr.ei - \ [с г k + D, г k * VL CrOjalnX в +

L Í

к

X -X

С г " + D г " * \ CrilsinX 0 ♦ r\t ! n

-X

СгО!*1пХ в * .... С14>

ó* У [с г ™ D г m + V Crol / { mji пж ni* J

где С. ., D , v - изпеоттше, а х = ni./а.

bj bj ^

йычиолвни нвоСходатш!« механические ивличины, характеризующие напрязшпюо состояние и коопсооть стержня.

В четвертом параграфе настоящей главы рассмотрен неортотропний призматический стержень о сечением в виде кршх>лимййного чотырохуголышкя. Поотроеяы первые три приближения решения амдачи.

поснятопиа решении задачи кручеиия неортотрониого стержня прямоугольного сечения, материал которого обладает цшгамдоичеокой неортотропиой. В первом пирвгрнфе «той гл<шм вводятся милые физические ппрпматры 4 я й, хпрпкторизуициа ортотропип и наортотротпп материала. Дмффорециальноо ypniumiMo задачи атшомвнотя в декартовых. координатах хну:

iAtai+¿>stei--A, С1вэ

О I Ú

Ы! - * —V- С1е°

ггу

уСк м-уЭ „• хСк у-хЭ .1 к Су1- х*Э *■ Еху

S ti - * * - 4 * • 1

* » » _ а » » .«

* у Л* х * у »у

- О -

- * у - к х х + к у

л __1_ а _t _в_

Я * 2 X

Яхву К+У (Ту ж -»у Лх

А - -. г , -, сгт>

о ш + * о а * а 1

«« за 4« ая

Затом решение дифференциального уравнения (15) при нулевой граничном условии для прямоугольнике представлено в виде ряда по степеням малого параметра 6. Получена системе рекуррентных краевых задач подобно тому же сечению, но уже обладаыциж прямолинейной анизотропией.

Кручение призматического, цилиндрического неортотропного стержня с прямоугольным сечением последовало по втором параграф».

Построены первые три приближения задачи. Они имеют такую структуру

00 к

V Су} |«1пХ.,Сх-х . СК - пк-Лх) . С1 - 0,1.2. ...5 С183

VI 1 J ко V

где Ак1 и В определены из граничных условия, а выражаются 4«рва некоторые интегралы, которые вычисляются достаточно точно численно. При помощи выражений (10) определена функция напряжений, затем по известным формулам определяются компоненты касагелышх напряжении и жвоткооть стержня.

В третьем параграф« рассматриваетоя решение задачи кручения призматического, цилиндрического ортотропного стержня с прямоугольным оочениеи. Получены первые три приближения задачи.

Чв та«ртв/(_('ля ви, состоящая из двух параграфов, по спяще на определению касательных напряжения при кручении стержня ' с криво линейной анизотропией (яеортогропие'Й).

В перпом параграфе рассмотрено кручение стержня о сечением в виде кругопого сектора, мате риал которого обладает прямолинейноЯ анизотропией (нвортотропивЛ). Задаче сводится к решении дифференциального уравнения (4) при граничных условиях

в (г . О) » • (■-. о) «• 0 сюэ

Решение уравнение (4) при (19) представлено так

в (г .в) - - - *

вв

сошСЗО-сО

- lo -

f грсеэ.

с С" - » >

1 49 99

сгоэ

Здесь

Г i - 6.

i ~г ~r„

X - t

Ал С ©5

(с^Св.ХЗ ♦ CVCe.Xil, (21) ^ 1 i * • J»

причем Sce.po, ^се.хэ фундвыоит в льмыв решения уравнения

v" (о) + ice>vc03 - о. сггз

где

пег « - ¿«^cs^J - гбксвг - A*Jx"bo + A^cejjJ сгзэ

>>св, - - 4- (г ♦

к - i

1 ♦ к*| + —'.■■>» ■ соиЛв * к si<v4e.

его

ь - i + у. ,

о а

Затем. удовлетворяя однородным граничным условиям

^(0) - »»(«) - О сгаз

и из существования нетривиального решения полученной системы, находится

v<0 .XJVCa.XD + V Ca.UV с о.хэ = О

с г en

Отсиди определяются вое собственные значения х^ нашей задачи, следовательно и собственные функции- Следовательно, общее решение ншшй задачи будет

« (г ,о)

_

У * ч^Т

1 - COsC2e-a3

cosot '

1-Х.

I'

1 - 6л. СОЭ _ 1

1 + 6'Г lint

fe * се. (_< ki

Х.Э • CVL С0.х Э

1 J k> k

]. (27!

Нахождение фундаментального решения v^co.xt, О^се.х; предетвиляет собой почти непреодолимую математическую проблему Ниже рассмотрены некоторые конкретные ввдачи-случаи, когда быв««1 возможно найти етм функции.

1? Г!уоть материал стержни изотропный. Тогда из (22), (23) (26) находигм

х

Ht

V се.к,} = -«1г\х в. V , се.х з = сохк о сгаз

•к к к »к к к

хк - пк/а. с к - ±1. ±г. ...5 саа)

что совпадает с результатами. полученными Арутшшшом Н.Х., Абрамяном Б.Л. и Свн-Вананом.

Предположим, что материал стержня обладает прямолинейной анизотропией, именно слабой ортотропивй, так что можно пренебречь а" и членами вы ошв го порядке. Тогда С « О, а из выражения (23) находим

1СЯЗ » х1 ♦ 26СХ* - 1Эсо»С29Э, С ЭОЗ

Дифференциальное уравнение (23) приводится к уравнению

Мвтье

* [» ♦ 1вчсохсгез)У »о. с э1 э

где

» - X*. ч = С323

Решенном уравнения (31 ) являются функции Матье порядка п с» Св.яЭ и ха^св.ф. Затем по известным процедурам из (26) определяются х^ и захгисываетоя выражение функции напряжений * (г .о).

3°. Пусть материал стержня неортотропен и ммеет такую анизотропии, что можно пренебречь Л* и членами еыошего порядка. Тогда

1сез « х* + глсх*-1ЭСсо*га - к пгвк сззэ

1

а (22) приводится к уравнению Хилла

Н1 V

+ 1а + 1Очу<203)7 о, (34)

ал'

где у(2в) = са%го - кя1пгв, ч = бс>/-1 э/а, у< имеет период п по аргументу е.

4-'.' Предположим, что материал стержня обладает прямолинейной

ортотропией общего вида. Выражение (23) моюга представить так

00

1свэ = + г^~ч|осо®гпв, сззз

где

ч» <5*СХ* - 13 ,г ЗСХ* - 13 ^ Чо * X + -д- + 6--д--♦ . . .

йч - 26хСХ* - 13 + <5*СХ* - 13 ♦ ... »

; . «. а'СХ* - 13 * . . . С 363

Rq^ - i tX

ID + - 15

В »том олучле ия (22) о учетом (35) придем к уравнвгооо Хиллв

л ш

—— * [я * вг\ с1 со«£п«1У - о. С 373

М,* I * /- °

п* I

Чтобы решить алдачу до конца необходимо определить ч^ (1 « О, 1, 2. ...), т.е. х.

Во втором параграфе в той главы предлагается метод определения ооОотвонних чисел и собственных. функций уравнения (22) с однородным граничным условием. Ятот метод шэволяет определить собственные вначенмл о любой наперед эадашгой точностью. С вюй целью функция V (в) и х* подставим в виде радов по степеням 6

V » V +67 + <5*У + . . .

\* а X. ♦ 6Х ♦ Д*Х + . . . О t ж

Здеоь vt(e) и х^ неизвестные функции и числе, определения из (22) о учетом (38) и (39) найдены

где

* ^ v. - 9. ok *k

go - О.

v tx + вех -13» сеээ о 1 о *

сэвз

сзоз Для их

(40)

с 413 с 423

о « - V (х [зл*с05 - ь 3 «• 2Х а с03 + x - <и*СвЭ - ж ) -

■ о)о 4 о 11 * 1 »j

- v tx +■ гсх -13а с«э j

а а о 1

С учетом однородных граничных условий получим

» ^ » ». *

X и X ■» n п /а ,

А ПП 1

V СвЭ « А «1п-

О П

С 433

(44) С4ВЗ

Имея функцию vo(«) из (40) при помощи (42)-(43). для

определения v (в) (r»ii ) соответственно имеем неоднородные дифференциальные уравнения. Иа условий разрешимости полученных неоднородных уравнения (п » 1. 2., Э. ...) и условия ортогоналънооги их ре пений о решением нулевого приближения,

находятся х (1 »1.2, ___) для данного приближения.

Тек, например, иайдеиы

х =

г

-г- к

С«1п2о» ♦ к со%2сО | 1 .1

С 40)

А Г X

v с в) - ■ л" к1па Э \в + Йпсо8-а О + с о«-л Эсо*а -

1п гг. бп I сЛ. оп ог>

^ Оп

- к со*-Л! &«1пг£> ♦ -^-вш1г\ге+к всо^гв! I

4 ОП »>' ■ ■"'» ОП 1 ОГЛ I I

/ Ог»

I-±-Г-|с X + СЛ -1ЭС*1п20 + к со*гвЭ -

I А-' I 4 о г» оп 1

«1пйУХ в

_Оп

гУК

оп

- в

- А [хХпЙУК всохРЛ -11

- к п2(91 + соя2УК в»1 п20 ♦ к сокйУ^ всо*гв I. С 473

1 оп } оп 1 оп I

Ограничиваясь нулевым и первым приближениями, решение нашей краевой задачи будет

»(г.еэ

0г 1сок2а - ео*С2в-оО

2л С соха * к' с:о«о0 аа л

1-Х Сб.сО

Г 1 - <5а СвЭ а

т + Ах Со5 X

1 А

1 + х'сЛ.оО

1 - бжСВЭ ' 2

1 ♦ ¿ж СоО м

1

I

-X Сб. оО

СУ » ¿V ) • ) г

Оп 1п

СУ ► «V ),

Оп 1п

С 485

Здеоь

О*.-) - /77

к - С 51 п2а+к сохЙаЗ

С 493

у^саэ . У^сээ определяются по формулам (45) и (47), где вместо а^ следует поставить а^. /з выражений, полученных для касательных напряжений видно, что поведение втих напряжений строго зависят как от упругих постоянных ., характеризующих материал отержня, так и от угла <*, а также от геометрических характеристик поперечных сечений стержня..

Получают» формулы упрощаются в о луч не, когда материал стержня ортотропен

* - о. к - о. » сез - cosse. л cffi - sirva© eso)

i<t ■

x*(<5,a) . -2ü- a tmlnza . , cod

В 8том случае приведено исследование поведения касательных напряжений, как во входящих (a>n), тек и в выотупапцкх вершинах (а<я) углов контура поперечного сечения стержня, некоторых материалов часто встречающих в инженерной практике. Появление или исчезновение концентраций напряжений в в тих случаях, зависит от угла a и от упругих конотантов и »ва.

И наконец отметим, что проведено уточнение етих результатов вычисляя и второе приближение.

Численная реализации рассмотренных в диссертационной работе задач проводились на ПК ibn^at.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Поставлена к решена задача кручения анизотропных, призматических стержней о сечением в виде части кругового кольце (криволинейного четырехугольнике), причем материал стержня обладает прлмсишавймой вниаогротсей (ор-гогропивй или наортотропивй).

2. Поставлена и решена задача кручения призматического стержня прямоугольного сечения, материал которого обладает цилиндрической ортотропкей или ноортотрогошй.

3. Вводится малый физический параметр Решение етих задач представлено в виде ряда по степеням л, вследствие которого поставленные вадачх сводятся к ряду рекуррентных задач кручения стержня уже о такой анизотропией, как координатные линии поперечного сечения.

4. Для иооледования краевой задачи кручения стержня в виде кругового сектора, материал которого обладает прямолинейной неортотропией, в ряде случаев, в зависимости от степени ортотропнооги материала, получены нормальные дифференциальные уравнения задачи (уравнение Матье, уравнение Хилла и др.) и построены фундаментальные решения.

5. Определено напряженное оостояние при кручении стержня криволинейного оечения, материал которого обладает прямолинейной анизотропией (неортотропией). Исследованы касательные напряжения.

- IS -

зависящие от фиэико-иоханических и геометрических параметров стержня. Для некоторых материалов, часто встречающихся в настоящее время в инженерной- практике, исследовано, как для входящих (а>п), так и для выступающие вершин углов («<") контура поперечного оечеяия стержня, появление или исчезновение концентраций напряжений зависящих от утла а и от упругих константов » и » .

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах--

1. Саркисян B.C., Hyp Х.М. Кручение призматического, цилиндрически ортотропного стержня о прямоугольным сечением. -Рукопись деп. в Арм. НИИНТИ 10.09.93, м 25-Ар93. - 8о.

2. Саркисян B.C., Hyp Х.М. О решении задачи кручения ортотропного призматического стержня с сечением в виде криволинейного четырехугольника. - Рукопись деп. в Ары. НИИНТИ 10.09.93, N 2б-Ар93. - 12о.

3. Саркисян B.C., Hyp Х.М. Об одной задаче теории кручения анизотроп&ых отержней. //Ученые записки ЕГУ, N 2, 1993 г. (в печати).

4. Саркисян B.C., Hyp Х.М. О решении задачи кручения призматического неортотронного стержня. //Ученые записки ЕГУ, и 3, 1993 г., (в печати).

5. Саркисян B.C., Саркисян C.B.,Hyp Х.М. К определению касательных напряжений при кручении стержня криволинейного поперечного сечения, обладающего прямолинейной анизотропией. Доклады HAH Армении, (в печати).

j