Предельное состояние призматических тел при кручении, находящихся под переменной нагрузкой вдоль образующей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Козлова Людмила Святославовна

ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ ПРИ КРУЧЕНИИ, НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ПЕРЕМЕННОЙ НАГРУЗКОЙ ВДОЛЬ ОБРАЗУЮЩЕЙ

01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о июн 2010

Чебоксары-2010

004603775

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Миронов Борис Гурьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ковалев Владимир Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Васильева Анна Михайловна Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Защита состоится: 1 июля 2010 г. в 10.00 на заседании диссертацион-

ного совета ДМ 212.300.02, ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева», 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева».

Автореферат разослан «27» мая 2010 г. Ученый секретарь

диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Тихонов С. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния цилиндрических и призматических стержней при кручении, находящихся под действием внешнего переменного давления вдоль образующей. Кручение один из основных видов нагружений, действующих на элементы сооружений: стержни, балки, пластины, оболочки и т.д.

Кручению упругопластических стержней, предельному состоянию стержней при кручении, аптиплоской деформации посвящены работы Сен-Венана, Прандтля, Надаи, Прагера, В.В. Соколовского, А.Ю. Ишлинского, Б.Д. Анина, И.А. Бережного, Г.И. Быковцева, Г.А. Гениева, В.В. Дудукаленко, Д.Д. Ивлева, JI.M. Качанова, В.А. Ковалева, Е.В. Ломакина, A.A. Маркина, Н.М. Матченко, Л.А. Максимовой, Б.Г. Миронова, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, А.Р. Ржаницына, С.И. Сенашова, Л.А. Толо-конникова, В. Фрейбергера, Г.П. Черепанова, А.Д. Чернышова, Г.С. Шапиро, Е.И. Шемякина и др.

Исследование предельного состояния деформируемых тел при кручении нашло широкое применение в расчетах несущих способностей конструкций, работающих в условиях переменного внешнего давления.

Цель работы. Исследование предельного состояния цилиндрических и призматических стержней при кручении, находящихся под действием внешнего переменного давления вдоль образующей.

Научная новизна. Исследованы задачи теории идеальной пластичности в случае кручения цилицдрических и призматических стержней при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Исследовано напряженно-деформированное состояние анизотропных тел при кручении, находящихся под действием переменного внешнего давления.

Достоверность полученных результатов основана на использовании фундаментальных представлений теории идеальной пластичности и строгих математических методов исследования, совпадения полученных результатов с известными результатами для частных случаев.

Практическая значимость. Результаты работы позволяют получить решение ряда новых задач теории предельного состояния. В частности, полученные результаты могут быть использованы в расчетах несущих способностей конструкций.

Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались: на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора фйз.-мат. наук, профессора Ивлева Д.Д. - г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 200820010 гг.;

на ежегодных итоговых научно-практических конференциях преподавателей и сотрудников ЧГПУ им. И.Я. Яковлева - г. Чебоксары, 2008 - 2010 гг.;

на ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и научных работников ЧГПУ им. И.Я. Яковлева - г. Чебоксары, 2008-20010 гг.

на XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2010 г.

На защиту выносятся результаты:

■ определение напряженно-деформированного состояния призматических стержней при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей;

■ определение пластического напряженно-деформированного состояния цилиндрических и призматических стержней с полостями, находящихся под действием переменного внешнего давления вдоль образующей;

■ определение напряженно-деформированного состояния анизотропных стержней, находящихся под действием линейного давления, в случае гладкого и многоугольного контура сечения стержня;

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в четырех научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих шесть параграфов, заключения и списка используемой литературы из 89 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приводится обзор публикаций по исследуемой проблеме, определяются цели исследования, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится структура диссертационной работы.

Глава первая «Кручение цилиндрических и призматических стержней при действии переменного внешнего давления» состоит из трех параграфов.

В первом параграфе определено напряженное состояние призматических стержней при кручении в случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол.

Рассмотрен призматический стержень, ориентированный в декартовой системе координат хуг, причем образующие стержня направлены параллельно оси 2. Предполагается, что стержень закручивается вокруг своей оси и находится под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Рассмотрено напряженное состояние стержня, характеризуещееся условием пластичности Мизеса

(сгх-ау}+(<ту-а^У + (а2-ах)2 +б(т^ +т% + г?г)=6, (1)

и уравнения равновесия

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

дх ду cfc

дх ду dz

(2)

дх ду dz

В предположении

стх =Oy=az=-te + c,Txy= 0, тху = т-у (х, у\ тх: = xxz (х, у)

(3)

где X = const, с = const, из (2) и (3) получим

Согласно замене переменных

тХ1 =соэ(р, гк = вт^ (5)

из первого уравнения (4), следует

8<р д<р . — БШ —— + СОБ (р — — А. (6)

дх ду

Характеристики системы (6) определяются из соотношений

= = (7)

втр со ъ(р X

из которых следует

Лх = с<35<р + с\, Ау = 5т<р+С2. (8)

Согласно (8) характеристики соотношения (6) имеют вид

'Т <*

Обозначим через Ь контур поперечного сечения стержня плоскостью 2~-=сот1. Согласно (5)

^- = 49. (Ю)

Г**

где (р — угол наклона касательного напряжения х к оси х. Из (7) следует, что вдоль характеристик (9)

^ = (11) ах

Следовательно, вектор касательного напряжения х всегда направлен ортогонально к характеристике.

Вследствие того, что боковая поверхность стержня свободна от касательных усилий, вектор касательного напряжения х во всех точках контура £ направлен по касательной к нему. Отсюда следует, что характеристики соотношения (6) есть ок-

1

ружности, нормальные к контуру, радиуса т—г, центры которых расположены на ка-

щ

сательных к контуру Ь.

Исследован случай, когда контур поперечного сечения Ь стержня образует произвольный угол в, одна из сторон которого совпадает с отрицательной осью ОХ и с вершиной в начале координат. В этом случае имеет место линия разрыва напряжений, которая определяется из соотношения

—5ш2а - УБШ а + вша •, (¡у _ 2

-у- - (лета + усоэа) А (12)

а + ~ соБа^— - (хБша + усоза)

и имеет вид:

2 2 -зт29-2хувш:2 в -— бш 20 + 2 2

Я2

ж

В случае, когда в = у, из (12) следует:

(х вт в + у сое -(хБтв + усозв)2 +

= 0 (13)

агсвш Л(хыав + у соб в)+ У.—;— у2 + -4- агсвт Лу

л'

Л:

2 2

У

з* Узу

4 + 4

л/3;

(14)

V

VI*2

Я2 у 2

Линия разрыва напряжений определяется уравнением

N ^

2 2

+—агсБтЯ Я2

'Лг

V 2 Ч

1 л 1

\Я2 Я2

(15)

На рис. 1 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений. На отрезке ВС касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль отрезка ВС необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к левому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения г к правому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик А ВО, вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси г, уравновешивающие перепад давления ег,.

Г

Рис. 1

я

В случае, когда в- — ,т (12) имеем:

¿¡х

1

—у

Уравнение линии разрыва

+уИ~у21 я2

Н—у (агсэт Ях + агсвт Лу)-2 ху = О Я

На рис. 2 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений.

(16)

В случае, когда

1л

Рис.2 , из (12) имеем:

ф ах'

л/Здг ЭУ|Уз 4 4 2

ГЯх у

4 4 \л2 2

•ч/Злс у 2 2

Уравнение линии разрыва

-----ЛУН--—

4 2 4

ГУз. / . Уз* _ у

12 А \л2 2 2

-агсэтЛ

Уз* у' 2 2

1 2 1 + УЛ1—"У +—агсз1пДу = 0.

IА А

На рис. 3 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений.

Г-

(20)

Рис. 3

Рассмотрен случай, когда контур поперечного сечения Ь стержня есть квадрат, сторона которого равна 2а.

В случае, когда радиус окружности т^т меньше а, на рис. 4 приведено

Н

расположение характеристик и линий разрыва напряжений.

А

\ 1 у в/Ьч! с,

/Ж

о

с

Рис. 4

На отрезках А^, 8^2,0^2, Д£>2 касательное напряжение не спрягается. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик А^^В^^С^ и /Ц й1. Вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси г, уравновешивающие перепад давления <у2.

Рис. 5

Кривые АА2, ВВ2, СС2, ВВ2 — линии разрыва напряжений.

Рассмотрен также случай, когда контур поперечного сечения Ь стержня есть правильный шестиугольник, сторона которого равна 2а.

В случае, когда радиус окружности т^г меньше а, расположение харак-

\Я\

теристик и линий разрыва напряжений данного контура приведено на рис. 6.

Случай, когда радиус окружности -¡—г больше а, представлен на рис. 5.

Рис. 6

Кривые АА2, ВВ2, СС2,002, ££2, РЕ2 - линии разрыва напряжений. На отрезках А^, В^, касательное напряжение не сопрягает-

ся. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Контур А^С^Е^ является огибающей характеристик, внутрь этой области решение задачи не может быть продолжено.

Случай, когда радиус окружности т^у больше а, представлен на рис. 7.

П

Кривые .4А2, ВВ2, СС2, ОЭ2, ЕЕ2, /Т2 - линии разрыва напряжений.

Во втором параграфе рассмотрено деформированное состояние призматических стержней при кручении.

Соотношения ассоциированного закона пластического течения согласно (3) имеют вид

Ех = Еу = Е2 = £Ху = 0, £уЛх2 — еХ2Ту2. (21)

Считая деформации настолько малыми, что изменениями геометрии тела можно пренебречь, имеем, что при кручении напряжения в данной точке тела остаются постоянными по величине и направлению. В этом случае соотношения ассоциированного закона течения интегрируются, и так как в начальный момент закручивания все компоненты деформации раны нулю, то из (21) следует

ех — ву — ег еХу — 0, ву2тХ2 — ёХ2Ту2. (22)

Согласно соотношениям связи между компонентами деформаций и компонентами перемещений, из (22) получим

ди dv dw ди dv . , , , —

— = — = —, —+— = 0, — + — cos® = — дх ду dz ду дх 1 1 1

(dv ЗиЛ (ди ЗиЛ . ,„,s

[ъ + ъГ'^ъ + ьГ9- (23)

Соотношениям (23) удовлетворим в предположении

и = pyz, v -- —pxz, w = w(x,y), (24)

ще p = const.

Тогда, с учетом (24), из (23) следует

dw . dw t . \ ,„,.

--sinp +—cos q> = p\x sm <p + у cos <p l (25)

дх ду

Характеристики соотношения (25) определяются из системы уравнений dx dy _ dw

-—----¡—.-У (26)

БШр СОБ<Э руХЫГир + уСОЬф)

Из (26) вытекает, что характеристики уравнений (6) и (25) совпадают.

Из (7) и (26) следует

ы = -^((р-с1со$(р + сг&т<р) + с, (27)

А

где с - постоянная, своя вдоль каждой характеристики.

Постоянная с определяется из граничных условий для перемещения ч/. Линия разрыва напряжений / рассматривается как предельное положение жесткого слоя, деформация сдвига на этих линиях равна нулю

дм' dw

2е«г = + АУ = 0> 2е = ~ -рх = 0. (28)

дх оу

Согласно (28), вдоль линии разрыва напряжений имеем

сЬ = р{-усЬс + дф). (29)

Так как м> определяется с точностью до жесткого перемещения, то, принимая в какой-нибудь точке линии разрыва напряжений м>=0 и интегрируя (28) вдоль линии разрыва напряжений, находим значение и> во всех точках линии разрыва напряжений, а, следовательно, сможем определить константу с для каждой характеристики.

В третьем параграфе исследовано кручение цилиндрических и призматических стержней с отверстием.

Рассмотрено кручение цилиндрического стержня с круговым отверстием. В этом случае напряженное состояние определено только в кольце, ограниченном окружностями Ь и где Ь — внутренний контур стержня, Ь1 - огибающая характеристик (рис. 8). Характеристики уравнения (6) ортогональны к контуру I и касаются огибающей Л;. Вектор касательного напряжения т во всех точках направлен к ней ортогонально вдоль образующей стержня. Решение задачи не может быть продолжено за круг, ограниченный огибающей .

Рис.8

Рассмотрен случай, когда контур поперечного сечения Ь отверстия стержня образует произвольный угол в , одна из сторон которого совпадает с положительной полуосью ОХ, с вершиной в начале координат.

В вершине угла в имеет место семейство характеристик, уравнение которого имеет вид:

1

а2+Ь2=-

>2'

(.х-а)2+(у-Ь)2

Л'

Уравнение огибающей данного семейства характеристик имеет вид:

На рис. 9 построено поле характеристик для рассматриваемого угла в.

? '

(28)

(29)

Рис. 9

На отрезке ВС касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль отрезка ВС необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к левому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к правому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик ЕВАБР, вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси г, уравновешивающие перепад давления и2.

Глава вторая «Кручения анизотропных тел при действии переменного внешнего давления» состоит из трех параграфов.

В первом параграфе исследованы предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации.

Напряженное состояние анизотропного тела определено следующими условиями

Gx=ay = (jz=-te,Txy=0, (30)

Txz = Txz (*> У\Tyz = Tyz (*, у\ (31)

/(»■„, i>)=0' (32)

где Л = const.

Уравнения равновесия (2) согласно (30) и (31) принимают вид

^ + ^ = (33)

дх у

При замене переменных

тХ2 = к eos i¡/, Tyz =k$in<f/, (34)

k2=TÍ + T2yz,^ = tgV,, (35)

ryz

условие (32) запишется в виде

к = ф) (36)

В случае изотропного тела к = const.

В предположении, что условие пластичности (32) для анизотропного тела имеет

вид

£r¿+Fr¿=*o, (37)

где к0 = const. Е и F— константы анизотропии, из (34) следует

I - • (38)

Е cos у/+ F sin t//

Соотношение (38) запишется в виде

ф)= ■ "E + F (39)

I E-F

/1 +-coslw

I E + F

На рис. 10 показана зависимость к - к(у/) от угла (// согласно соотношению

(39).

Рис. 10

Учитывая (34) и (38) соотношение (33) примет вид

(к' cos у/ - к sin + {к' sin у/ + к cos = Л, (40)

дх у

,, dk

где к =-.

d\¡J

Характеристики системы (40) определяются из соотношений dx _ _ dy _d\y

(41)

(43)

(к'созцг-kúny/) (i'sin^ + Axos;«'') Л из которых следует

Лх = kcosiy + c1, Xy = ksinif/ + C2- (42)

dy _ к' sin у/ + к cost// dx к' cosi//~ к sin v Согласно (42), учитывая (38), уравнения характеристик соотношения (41) имеют

вид

знг-знь

Отсюда следует, что характеристики уравнения (41) есть эллипсы, полуоси к к

которого равны ——причем центры этих эллипсов расположены на каса-

Л\Е ЛЯР тельных к контуру тела.

Соотношение (43) представим в виде dy

= fg(y/ + a), (45)

dx

к'

где cosa = . , smа ■■

Согласно (35) и (45), а является углом между вектором касательного напряжения т = тхЛ + ryzj и характеристикой, который зависит от ориентации вектора т в плоскости ху. В тех точках контура, в которых угол наклона вектора т к оси ОХ не изменен, характеристики пересекают контур поперечного сечения под одним и тем же углом а. В частности, когда контур содержит прямолинейный участок, характеристики ортогональны к этому участку контура тела.

Во втором параграфе исследовано кручение анизотропных стержней при действии переменного внешнего давления.

Напряженное состояние стержня определяется соотношениями

ах = а у = az = -Лг + с, тху = 0, тХ1 = тХ2 (х, у\ г>2 = ту2 {х,у\- (46)

где X, = const, с = const и

= Er^+Fri=l. (47)

дх ду

Согласно замене

где а = , Ъ = —, из первого уравнения (47), следует

■Jp V£

-аэтр—+Ьсоэ/р— = Я. (49)

дх ду

Система уравнений для определения характеристик (49) имеет вид ск _ ф _с1<р

(50)

автср Ьсоъ<р Л из которой следует

Хх = а сое <р + с^ Ху = Ъ$т<р + с2. (51)

Согласно (51) уравнения характеристик соотношения (49) имеют вид

Согласно (48)

^ = = (53)

^ «

где Р - угол, который образует вектор касательного напряжения т с осью ОХ. Тогда

Р = <р-У, (54)

где —, ;// - угол анизотропии. В изотропном случае 6=а=1, у/=0, <р=р.

Ь + а tg <р

Из (50) следует, что вдоль характеристик (52)

£ = (55)

ах а

Следовательно,

= (56) где а - угол между вектором касательного напряжения т и характеристикой.

Г

I

Рис. 1 1

Из (52) следует, что характеристики уравнения (49) в плоскости ху есть эллип-а Ь

сы, полуоси которого равны —, —, причем центры этих эллипсов расположены на

X X

касательных к контуру стержня (рис. 11). В изотропном случае эллипс переходит в л

окружность, а а = —.

Рассмотрено также кручение анизотропного призматического стержня, поперечное сечение которого есть квадрат.

На рис. 12 построено поле характеристик для случая, когда контур поперечного сечения стержня образует угол —.

О

Рис. 12

В этом случае линия разрыва напряжений определяется соотношением

dy +

ay.

J2 11 32

Я а ( А

-(а2-Ь*У

dx = 0. (57)

Деформированное состояние стержня определяется соотношениями

ех ~ еу ~ez ~ exv = Fevz^xz = Еехz*y

^ху ~ v>i ^yz xz ^xz"yz> (58)

Из соотношений связи между компонентами деформаций и компонентами перемещений, получим

ди dv 8w . ди dv . f dv ЗиЛ, (ди «ЗиЛ . ,.m

—=— = — = 0, — + — = 0, — + — 6cos(z>= — + — tasmp. (59) дх ду dz ду дх \dz ду) \dz дх)

Удовлетворим соотношениям (59), полагая

и = pyz,v = ~pxz,w = M>{x,y\ (60)

где р = const.

С учетом (60) из (59) следует

-—asmq) +—bcos<p = p{yasmq> + xbcostp\ (61)

дх ду

Система уравнений для определения характеристик соотношения (61)

имеет вид

dx

dy

dw

asin(9 bcosip p(yasvn.(p + xbco$(p) Из (62) вытекает, что характеристики уравнений (49) и (61) совпадают. Из (51) и (62) следует

w = -^r (ab<p + сф sin (j> - с2а cos (р)+ с.

(62)

(63)

где с - постоянная, своя вдоль каждой характеристики.

В третьем параграфе рассмотрено кручение сектора анизотропного кругового

кольца, ориентированного в цилиндрической системе координат гвг. Ось z является осью симметрии кругового кольца.

Напряженное состояние сектора определяется соотношениями

о> = ав = crz = -цв + q, = 0, тгв = тгв (г, г), = т& {г, г), (64)

где и - const, с ¡ = const, и

+ ^ = Dr?e+Erl^. (65)

or dz r

Согласно замене переменных

Trg = a cos cp, Tg¡ =b sin <p, (66)

где a = —p=-, b = —i=-, из первого уравнения (65) следует y¡D -JE

.'да , д<р u-2acos<p

-asrnp— + écos(3— =—--. (67)

дг dz г

Характеристики системы (67) определяются из соотношений

dr _ dz _ rd(p

asiaip bcostp ¿í-2acos

из которых следует

dz а

где с2 = const.

Согласно (68) уравнение характеристики имеет вид

^((2a-Py2+c2l(2a + My2-c2j

Из (71) и (66) имеем

(68)

= -—ctgp (69)

dr b

r2{jj-2acostp)=c2, (70)

±L , (71)

2аг

■Jfaar2 -fj(r2-г2 )- 2ar02 costar2 + /i(r2 - r¿)+ 2ar02 cosp) ,(72)

_Дг2-г02 +2ay02cosffl

тгв= - 2-'

2r¿

где (г0,*0)е£, <р(г0,г0)=<рц.

После того как построено поле характеристик, задача определения напряженного состояния может считаться решенной. Касательные усилия в точках характеристик определены соотношениями (72), (73).

Определено деформированное состояние сектора анизотропного кругового

кольца.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Определено пластическое напряженно-деформированное состояние изотропных призматических стержней при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Найдены линии разрыва напряжений в случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол. Построено поле характеристик для различных контуров призматических стержней, определены перемещения.

2. Исследовано пластическое напряженно - деформированное состояние изотропных цилиндрических и призматических стержней с отверстием при действии пе-

ременного давления вдоль образующей. Построено поле характеристик в случае, когда внутренний контур сечения образует произвольный угол.

3. Исследованы предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Определена зависимость величины максимального касательного напряжения от ориентации вектора касательного напряжения на плоскости для конкретного условия предельного состояния.

4. Определено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, находящихся под действием линейного давления, меняющегося вдоль образующей. Определены линии разрыва напряжений в случае прямоугольного контура сечения стержня, построено поле характеристик, определены деформации.

5. Решена задача о кручении сектора анизотропного кругового кольца, когда боковая поверхность сектора находится под давлением, линейно зависящим от угла поворота вокруг оси сектора. Определено напряженное состояние сектора, найдены характеристики, определены деформации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Козлова, Л. С. Предельное состояние цилиндрических и призматических стержней с отверстием при кручении I Л. С. Козлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2010. - № 2 (66). - С. 69-74.

2. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических тел при кручении / Л. С. Козлова// Чуваш, гос. пед. ун-т. - 2010. - Депонировано в ВИНИТИ РАН 29.04.10 № 232-В2010.-7 с.

3. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней, находящихся под давлением / Л. С. Козлова, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2009. - № 3 - 4 (63). - С. 6-14.

4. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней при кручении / Л. С. Козлова, Б. Г. Миронов // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чуваш, гос. пед. ун-т. — 2009. - № 2(14). - С. 8-17.

Подписано к печати 25.05.2010 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ДЗУ.

Отпечатано в отделе полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 428000 Чебоксары, ул. К. Маркса, 38

Введение

Глава 1. Кручение цилиндрических и призматических стержней при действии переменного внешнего давления

§1.1. Кручение призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей

§ 1.2. Определение перемещений при кручении призматических стержней, находящихся под действием линейного давления

§ 1.3. Кручение цилиндрических и призматических стержней с отверстием, при действии переменного давления

Глава 2. Кручение анизотропных тел при действии переменного внешнего давления 36.

§ 2.1. О предельном состоянии анизотропных тел

§ 2.2. Кручение анизотропных призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей

§ 2.3. Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления

Теория предельного состояния принадлежит к числу фундаментальных разделов механики твердого деформируемого тела. Она нашла широкое применение в области технологии обработки металлов давлением, оценки несущей способности конструкций, исследования распространения волн возмущений в металлах и грунтах, статике и динамике сыпучих сред. В основе теорий предельного состояния и идеальной пластичности лежит представление о поверхности нагружения (определяющей границу упругого поведения элемента тела в данном его состоянии) и ассоциированном законе течения, выражающем ортогональность приращения пластической деформации поверхности нагружения. В рамках этих теорий и в настоящее время продолжают развиваться и совершенствоваться методы расчета напряжений.

Основные представления о предельном состоянии тел заложены Галилеем и Кулоном (1776 г.). Первые систематические исследования пластических течений металлов были проведены Г. Треска [88]. В 1864 г. им был опубликован ряд результатов своих экспериментальных исследований, в которых он пришел к заключению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения.

Начало развития теории пластичности восходит к семидесятым годам 19 века. Сен-Венан сформулировал уравнения теории идеальной пластичности для плоской задачи, сохраняющие свое значение до настоящего времени. Этот успех во многом был обязан экспериментальным исследованиям А. Треска, поставившего в конце шестидесятых годов серию опытов по штамповке и выдавливанию металлов через отверстия. С упоминания об этих опытах и начинается классическая работа Сен-Венана об уравнениях для «внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости». Теоретические основы описания этого явления были заложены Сен-Венаном [86] в 1870 г. Им были впервые сформулированы статически определимые соотношения теории идеальной пластичности для случая плоской задачи: два уравнения равновесия и условие пластичности Треска

Л. Прандтль и Г. Генки и обратили внимание на двумерные задачи теории идеальной пластичности, в первую очередь на задачи о плоской деформации. Прандтль (1921 г.) показал, что плоская задача пластичности является гиперболической, ввел понятие идеального жесткопластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеально-пластическое полупространство и в усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Генки [13], ко ^ = 0 дТху ■ =

1) дх ду ' дх ду их - <уу У + 4т\у = 4к2, к =

2) торый предложил использовать условие полной пластичности Хаара - Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния. Он сформулировал две теоремы для статически определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности.

Прандтль (1923 г.) [64] указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. В этой работе дано асимптотическое аналитическое решение задачи о течении полосы, сжатой жесткими шероховатыми плитами, которое послужило основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением. Позднее Надаи дополнил это решение построением поля скоростей перемещений

Вместе с работой X. Гейрингер (1930 г.), в которой были получены уравнения для скоростей на линиях скольжения, эти работы дали толчок широкому развитию исследований по плоской задаче теории идеальной пластичности в конце тридцатых годов и позднее.

Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок.

Одни из первых работ по теории пластичности в нашей стране были выполнены А. А. Ильюшиным и С.А. Христианович.

В 1944 г. А. Ю. Ишлинский [32] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеально пластическое пространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара — Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским, который также использовал обобщенный закон-пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и. девиатора тензора напряжений.

Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [20-23], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара — Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.

Отметим, что как статические, так и кинематические уравнения осе-симметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [22].

С.А. Христианович и Е.И. Шемякин рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния и пришли к выводу, что пластическое состояние может наступать только через полную пластичность.

Б.Г. Миронов [49-52] исследовал статически определимые состояния пластических тел при различных условиях предельного состояния, не совпадающих с условием полной пластичности. Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, включающие в себя, как частный случай, состояния плоской и антиплоской деформации рассмотрены в работах [49], [54].

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [4], Г.И. Быковцевым [7], В.Г. Зубчанино-вым [17], Д.Д. Ивлевым [21], А.А. Ильюшиным [29], А.Ю. Ишлинским [31], Л.М. Качановым [33], А.А. Маркиным [44], Р.И. Непершиным [59], Ю.Н. Ра-ботновым [65], Ю.Н. Радаевым [66], В.В. Соколовским [71], С.А. Христиановичем [75], Е.И. Шемякиным [76].

Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния цилиндрических и призматических стержней при кручении, находящихся под действием переменного внешнего давления вдоль образующей.

Частным случаем антиплоской деформации является кручение. Кручение — вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней при кручении остаются плоскими. При кручении призматических стержней происходит деплана-ция сечения. Если депланация в разных сечениях различна, то наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях стержня возникают также нормальные напряжения. В этом случае кручение называется стеснённым. При свободном кручении в поперечном сечении возникают только касательные напряжения.

Задача о чисто пластическом кручении призматического стержня, рассмотрена А. Надаи [58]. Функция напряжений Р(х,у) д^ ду'Тух" дх { ) удовлетворяет условию постоянства на каждом из ограничивающих контуров. Поверхность напряжений г=Е(х,у) является поверхностью постоянного ската, «крышей», построенной на заданном контуре; она определяется без особых затруднений. Ребра и конические точки поверхности напряжений соответствуют линиям и точкам разрыва касательных напряжений. При этом величина вектора касательных напряжений постоянна, скачком изменяется его направление.

Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения сектора кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная В. Фрейбергером, а также А. Вангом и В. Прагером (в 1953 - 1954 гг.)

В отличие от кручения прямого стержня здесь характеристики могут быть криволинейными.

К аналогичной системе уравнений для напряжений приводит задача кручения прямого круглого стержня переменного диаметра (ось 2 направлена по оси стержня), изученная В. В. Соколовским (1945, 1950 г.).

Г.И. Быковцев в работе [10] рассмотрел кручение призматических стержней из идеального жесткопластического анизотропного материала.

Кручение изотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при действии внешнего давления, рассмотрены в работах Б.Г. Миронова.

Целью диссертационной работы является исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических и призматических тел из изотропного и анизотропного материалов при кручении, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей стержня.

Работа состоит из введения, двух глав и заключения.

В первой главе рассматривается кручение изотропных призматических стержней в предположении, что боковая поверхность стержня находится под действием переменного давления. В первом параграфе решена задача определения напряженного состояния призматических стержней, которое линейно меняется вдоль образующей. В случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол, найдены линии разрыва напряжений и построено поле характеристик. Второй параграф продолжает исследования первого параграфа и посвящен изучению деформированного состояния призматических стержней и определению компонентов перемещений. В третьем параграфе исследовано кручение цилиндрических и призматических стержней с полостями. Построено поле характеристик для случая, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол.

Во второй главе исследуется кручение анизотропных призматических стержней при условии пластичности Мизеса при действии давления, линейно меняющегося вдоль образующей. В первом параграфе рассмотрены предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Во втором параграфе изучено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней. В третьем параграфе исследовано кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления, линейно зависящего от угла поворота вокруг оси кольца. и

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1) Определено пластическое напряженно-деформированное состояние изотропных призматических стержней при действии линейно меняющегося давления. Найдены линии разрыва напряжений в случае, когда контур поперечного сечения стержня образует произвольный угол. Построено поле характеристик для различных контуров призматических стержней, определены перемещения.

2) Исследовано и определено пластическое напряженно - деформированное состояние изотропных цилиндрических и призматических стержней с отверстием при действии переменного давления. Построено поле характеристик в случае, когда внутренний контур сечения образует произвольный угол.

3) Исследованы предельные статически определимые состояния анизотропных тел в случае антиплоской деформации. Определена зависимость величины максимального касательного напряжения от ориентации вектора касательного напряжения на плоскости для конкретного условия предельного состояния.

4) Определено пластическое напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и прямоугольных призматических стержней, находящихся под действием линейного давления. Определены линии разрыва напряжений в случае прямоугольного контура сечения стержня, построено поле характеристик.

5) Решена задача о кручении сектора анизотропного кругового кольца, когда боковая поверхность сектора находится под давлением, линейно зависящим от угла поворота вокруг оси сектора. Определено напряженное состояние сектора, найдены характеристики, определены деформации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров, С. Е. Плоские установившиеся идеальные течения в теории пластичности / С. Е. Александров // Изв. РАН. МТТ. -2000. - №2. - С. 136-141.

2. Александров, С. Б. Сингулярные решения при плоском пластическом течении материалов, чувствительных к среднему напряжению / С. Б. Александров, Лямина Е. А. // ДАН РАН. 2002. - Т. 383, № 4. - С. 492^194.

3. Арутюнян, Н. X Кручение упругих тел / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян. -М. : Физматгиз, 1962. 686 с.

4. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенашев Новосибирск : Наука, 1984. - 143 с.

5. Бережной, И. А. Диссипативная функция в теории пластичности Бережной / И. А. Бережной, Д. Д. Ивлев // Механика деформируемого тела, Межвузовский сборник, Куйбышев. 1977. - Вып. 3. - С. 5-22.

6. Бриджмен, П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва: Пер. с англ / П. Бриджмен. М. : ИЛ, 1955. - 444 с.

7. Быковцев, Г. И. Теория идеальной пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. Владивосток : Дальнаука, 1998. - 528 с.

8. Быковцев, Г. И. Свойства уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности / Г. И. Быковцев, И. А. Власова // Механика деформируемых сред. Межвузовский сборник. Куйбышев. — 1977. Вып. 2. С. 33-68.

9. Быковцев, Г. И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально пластического материала / Г. И. Быковцев // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. имашиностр.- 1961.-№3.-С. 151-157.

10. Быковцев, Г. И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред: Сборник статей. / Г. И. Быковцев. Владивосток : Дальнаука, 2002. - 566 с.11 .Галин, Л. А. Упруго-пластические задачи / Л. А. Галин. М. : НаукаД984. -232 с.

11. Друянов, К. А. Теория технологической пластичности / К. А. Друянов, Р.

12. Зубчанинов, В. Г. Определяющие соотношения общей теории пластичности / В. Г. Зубчанинов // Устойчивость и пластичность при сложном на-гружении Тверь : ТГТУ. - 1994. - С. 14-37.

13. Ивлев, Д. Д. О дйссипативной функции в теории пластических сред / Д. Д. Ивлев // ДАН СССР 1967. - Т. 176, № 5. - С. 1037-1039.

14. Ивлев, Д. Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при . условии пластичности Треска, и его обобщениях / Д. Д. Ивлев 7/ ДАН

15. СССР 1959. - Т. 124, № 3. - С. 576-548. 21 .Ивлев, Д Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. — М. : Наука, 1966.-232 с.

16. Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 448 с.

17. Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.2. Общие вопросы. Же-сткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. / Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 448 с.

18. Ивлев, Д. Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д. Д. Ивлев, Г. И. Быковцев. М. : Наука, 1971. - 231 с.25 .Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. М. : Наука, 1978. - 208 с.

19. Ивлев, Д Д. Предельное состояние деформируемых тел и горных пород. / Д. Д. Ивлев и др. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 832 с.

20. Ивлев, Д. Д. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова // ДАН РАН — 2000. — Т. 373, № 1.-С. 39—41.

21. Ивлев, Д. Д. О соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова // Известия ИТА ЧР, Чебоксары Сводный том № 3(13), № 4(14), 1998, № 1(15), № 2(16), 1999 - С. 13-15.

22. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. — М. : Изд-во Московского ун-та, 1978. 288 с.

23. Ильюшин, А. А. Пластичность. / А. А. Ильюшин. М. : Гостехиздат, 1948. -376 с.31 .Ишлинский, А, Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлин-ский, Д. Д. Ивлев. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 704 с.

24. Ишлинский, А. Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. / А. Ю. Ишлинский. М. : Наука, 1986. - 359 с.

25. ЪЪ.Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. М. : Наука, 1969. - 420 с.

26. Ъ А.Козлова, Л. С. Предельное состояние цилиндрических и призматических стержней с отверстием при кручении / JI. С. Козлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. — 2010. № 2 (66). - С. 69-74.

27. Ъв.Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней;, находящихся под давлением / JL С. Козлова, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. -2009. № 3 - 4 (63). - С. 6-14.

28. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней при кручении / JL С. Козлова, Б. Г. Миронов // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чуваш, гос. пед. ун-т. — 2009. — № 2(14).-С. 8-17.

29. ЪЪ.Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических тел при кручении / JI. С. Козлова // Чуваш, гос. пед. ун-т. — 2010. — Депонировано в ВИНИТИ РАН 29.04.10 № 232-В2010. 7 с.

30. Кузнецов, А. И. Кручение неоднородных пластических стержней / А. И.

31. Маркин, А. А. К выбору критерия направленного разделения упругопла-стических материалов / А. А. Маркин, В. В. Глаголев // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003 - С. 546-554.

32. Маркин, А. А. Моделирование процесса разделения материала. / А. А. Маркин, В. В. Глаголев // Проблемы механики неупругих деформаций. -М. : Физматлит, 2001. С. 191-198.

33. Мизес, Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / Р. Мизес // Теория пластичности, Сб. переводов М. : Ил, 1948. - с.57.69.

34. АЛ .Миронов, Б. Г. О предельном состоянии идеальнопластического анизотропного бруса и плиты / Б. Г. Миронов // Изв. РАН МТТ. 2000. — № 5 — С. 13-20.

35. Миронов, Б. Г. О кручении призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей / Б. Г. Миронов // Вестник Чуваш, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. 2006. - № 1(48).-С. 98-101.

36. Миронов, Б. Г. Кручение сектора кругового кольца при действии переменного давления / Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. 2009. - № 2(62). - С. 23-26.

37. Миронов, Б. Г. Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности / Б. Г. Миронов // ДАН РАН. 1999. - Т. 364, № 5. - С. 617-619.

38. ЪЪ.Миронов, Б. Г. О соотношениях теории анизотропной идеально пластической среды / Б. Г. Миронов // Изв. РАН МТТ. 2005. - № 1. - С. 120-125.

39. Миронов, Б. Г. Об основных соотношениях статически определимых состояний идеальнопластических тел / Б. Г. Миронов // Вестник ЧГПУ. -2005. № 2(44). - С. 44-49.

40. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. М. : Наука 1965. - 456 с.5%.Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел: Пер. с англ / А. Надаи. М. : ИЛ, 1954. - 648 с.

41. Непершин, Р. И. Пластическое течение при сжатии диска между параллельными плитами / Р. И. Непершин // Машиноведение. 1968. - № 1. — С. 97-100.

42. Работное, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работ-нов. -М. : Наука, 1988. 712 с.

43. Радаее, Ю. Н. К теории трехмерных уравнений математической теории пластичности / Ю. Н. Радаев // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2003.-№ 5. -С. 102-120.

44. Сен-Венан, Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения / Б. Сен-Венан // Сб. ст.: Теория пластичности. М. : ИЛ, 1948. - С. 24-33.

45. Сен-Венан, Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости / Б. Сен-Венан // Теория пластичности. Сб. переводов. М. : Ил, 1948. - С. 11-19.

46. Сен-Венан, Б. Мемуар о кручении призм. / Б. Сен-Венан. — Физматгиз, Москва, 1961.-519 с.

47. Соколовский, В. В. Статика сыпучей среды / В. В. Соколовский. — М. : ГИТТЛ, 1954.-276 с.

48. Х.Соколовский, В. В. Теория пластичности / В. В. Соколовский. — М. : Высшая школа, 1969. — 608 с. 72.Фрейденталъ, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А.

49. Христианович, С. А. К теории идеальной пластичности / С. А. Христиано-вич, Е. И. Шемякин // Изв. АН СССР, МТТ . 1967. - № 5. - С 86-97.

50. Шестериков, С. А. К построению теории идеальнопластического тела / С.

51. А. Шестериков // ПММ. 1960. - Т. 24, Вып.З. - С. 47-54. 19.Шилд, Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии

52. Р. Шилд//Сб. пер. "Механика".- 1957.-№ 1.-С. 102-122. 80.Hill, R. On the problem of uniqueness in the theory of a rigid-plastic solid / R.

53. Hill // J. Mech. and Phys. Solids. № 4. - 1956. - P. 247-255. 81 .Drucker, D. C. On uniqueness in theory of plasticity / D. C. Drucker // Quart.

54. Appl. Math. 1956. - № 1. - 35^12. 82.Mises, R. Mechanic der festen Korper im plastish derformablen Zustand / R.

55. SI.Shield. R. T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry / R. T. Shield // Proc. Roy. Soc. Lond. 1955. - V. 233A. - No. 1193. - pp. 267-287.