Задачи предельного состояния пластических анизотропных тел при кручении и плоской деформации

Деревянных, Евгения Анатольевна

Задачи предельного состояния пластических анизотропных тел при кручении и плоской деформации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Деревянных, Евгения Анатольевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чебоксары МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Задачи предельного состояния пластических анизотропных тел при кручении и плоской деформации»

Автореферат диссертации на тему "Задачи предельного состояния пластических анизотропных тел при кручении и плоской деформации"

На правах рукописи

ДЕРЕВЯННЫХ Евгения Анатольевна

ЗАДАЧИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ПРИ КРУЧЕНИИ И ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

17 ОКГ 2013

Ш/>

Чебоксары-2013

005535326

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель:

Максимова Людмила Анатольевна,

доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Хромов Александр Игоревич,

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»,

заслуженный деятель науки Российской Федерации, член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механики Петров Николай Ильич,

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей физики ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова»

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО университет»

«Воронежский государственный

Защита состоится:

23 октября 2013 года в 13.00 часов на заседании совета Д 212.300.02 при «Чувашский государственный

педагогический университет им. И. Я. Яковлева» по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406

диссертационного ФГБОУ ВПО

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Электронная версия автореферата размещена на сайте ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации http://vak2.ed.gov.ru и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева» по адресу: www.chgpu.edu.ru

Автореферат разослан «20» сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

С. В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных свойств тел и конструкций, обусловленных природными явлениями, технологическими и конструктивными решениями, является анизотропия материала.

В диссертационной работе рассматривается предельное состояние пластических тел при кручении и плоской деформации. Исследовано кручение неоднородных призматических стержней в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии и ее обобщениях, а также предельное состояние анизотропного клина при действии равномерного давления.

Задачам определения предельного состояния стержней, плоской деформации анизотропных тел посвящены работы И. А. Бережного, Г. И. Быковцева, Г. Генки, Б. А. Друянова, В. В. Дудукаленко, М. И. Ерхова, Л. В. Ершова, Д. Д. Ивлева,

A. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, Л. М. Качанова, В. А. Ковалева, Н. М. Матченко, Л. А. Максимовой, Р. Мизеса, Б. Г. Миронова, А. Надаи, Ю. В. Немировского, Р. И. Непершина, В. Прагера, Л. Прандтля, Ю. Н. Радаева, Б. Сен-Венана,

B. В. Соколовского, Г. Треска, Р. Хилла, Ф. Ходжа, А. И. Хромова, Г. П. Черепанова, А. В. Чигарева, Е. И. Шемякина и др.

Цель работы. Определение предельного состояния анизотропных неоднородных тел в случае кручения, а также напряженно-деформированного состояния анизотропного клина при действии равномерного давления.

Научная новизна. Исследованы задачи теории идеальной пластичности в случае кручения анизотропных кусочно-неоднородных призматических стержней, определена предельная нагрузка клина при действии равномерного давления в случае анизотропии Хилла и трансляционной анизотропии.

Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования, а также непротиворечивостью с результатами исследований других авторов.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть применены при решении новых задач теории предельного состояния. В частности, результаты могут быть применены при расчетах несущей способности конструкций и позволяют учитывать влияние анизотропии при определении предельных усилий при кручении и плоской деформации тел.

Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались на: семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ивлева Д. Д. (Чебоксары, 2010-2012), семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Миронова Б. Г. (Чебоксары, 2010-2013); научно-практических конференциях докторантов, аспирантов и соискателей (Чебоксары, 2011-2013); научной конференции «XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова» (Владивосток, 2012); 2-ой Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее» (Тула, 2012); III Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Современная российская наука глазами молодых исследователей» (Красноярск, 2013); международной научно-практической конференции «Наука и образование в XXI веке» (Москва, 2013); всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Г. И. Быковцева «Актуальные проблемы математики и механики» (Самара, 2013); научно-практической конференции Чебоксарского института экономики и менеджмента (филиала) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» в рамках Дней науки (Чебоксары, 2013); международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий (Чебоксары, 2013); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики,

информатики», посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л. А. Толоконникова (Тула, 2013), заседаниях кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева».

На защиту выносятся результаты:

• определение основных свойств общих соотношений теории кручения анизотропных стержней;

• определение диссипативной функции в общем случае кручения анизотропных стержней;

• определение зависимости диссипативной функции от предельного состояния в случае кручения анизотропных стержней;

• определение напряженно-деформированного состояния различных неоднородных анизотропных кусочно-неоднородных призматических стержней при кручении;

• определение предельной нагрузки клина при действии равномерного давления в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии;

• определение предельной нагрузки клина при действии равномерного давления при условии анизотропии Хилла.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 19 научных работах, из них 6 работ опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор публикаций по исследуемой проблеме, определены цели исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приведена структура диссертационной работы.

Глава первая состоит из двух параграфов и посвящена изучению общих вопросов кручения анизотропных стержней.

В первом параграфе исследованы общие соотношения теории кручения анизотропных стержней.

Рассмотрен стержень (призматический или цилиндрический), ориентированный в прямоугольной декартовой системе координат хуг. Образующие стержня направлены параллельно оси г. Предполагается, что стержень закручивается вокруг оси г равными и противоположными парами сил с моментом М. Боковая поверхность стержня считается свободной от нагрузок, влиянием массовых сил пренебрегаем.

Рассмотрено напряженное состояние стержня, характеризующееся условием пластичности

/Ы=0, (1)

где ая - компоненты тензора напряжения.

В случае кручения напряженное состояние, возникающее в стержне, определяется следующими значениями компонент напряжения

(2)

= У)> г» = У\

где <тх, ау, <тг, г^, г^, та - компоненты напряжений.

Согласно (2) условие пластичности запишется в виде

/(г=>^)=0, (3)

где т^ - касательные напряжения, зависящие от х и у.

Уравнения равновесия в этом случае имеют вид

Тогда уравнения характеристик соотношения (4) примут вид

у = -Ц^-х+С, (5)

где С — const.

Вдоль характеристик (5) выполняется соотношение

г = const, (6)

где

r = Tj + tyJ, (7)

i, j - единичные орты осей хну.

Из (5) следует, что характеристики соотношения (4) ортогональны вектору градиента к поверхности текучести (3)

= (8)

Соотношения ассоциированного закона пластического течения имеют вид

2еа=Х-У-,2еу1=лМ-. (9)

Отсюда следует, что вектор скорости деформации £ =е^ + еу] параллелен градиенту grad /(та, т^) к поверхности текучести (3) и соответственно ортогонален характеристикам соотношения (5).

В предположении, что компоненты скоростей перемещений имеют вид

u = v = -%xz, w = w{x,y), (10)

получены соотношения для компонент скоростей деформации

e,=ey=s,= sv=Q,

1 ( ЗиЛ l( ^ П 14

Согласно (9), (11) деформированное состояние стержня определяется из соотношения

сif dw в/ 8w _ _ dfyz дх Эг„ ду Уравнения характеристик имеют вид

д/

8f 8f дт„ 8т„

(12)

* = + (13)

где С - const.

Соотношения вдоль характеристик запишутся в виде

£ = - [ \ (14)

dx of

Сопоставляя (5), (13) можно сделать вывод о том, что характеристики уравнений, определяющих деформированное состояние, совпадают с характеристиками уравнений, определяющих напряженное состояние.

Следовательно, характеристики уравнений, определяющих как напряженное, так и деформированное состояние стержня ортогональны вектору градиента поверхности текучести и вектору скорости деформации. Согласно замене

r„=£cos6>, туг=катв, (15)

где

k = 4rl+T^,tge^, (16)

^хх

в - угол наклона вектора касательного напряжения к оси Ох, условие пластичности (3) имеет вид

+ (17)

Согласно (15), (16) уравнения характеристик соотношения (4) принимают вид

$-<—♦!). <■•>

где

к' к к' sma = -=^=,cosa= . ,tga = — . (19)

Вдоль характеристик в = const.

В случае изотропного материала к = const, а = 0 уравнения характеристик запишутся в

виде

В этом случае характеристики ортогональны вектору касательного напряжения (7). Определив компоненты скорости деформации

=jcos^, е^ =jsin(//, (20)

где

s = > tgV = — , (21)

E*z>Eyz ~ компоненты скорости деформации, учитывая (15), мощность рассеяния механической энергии имеет вид

N = 2(г„£„ +^угЕуг)= 2fa(cos в cos у/ + sin 0sin If/) = 2&SCOS (в - у/). (22)

В изотропном случае в = ц/ направления главных напряжений и скоростей деформаций совпадают между собой.

Угол а -в-у/, образованный направлениями главных напряжений и скоростей деформаций, назовем углом анизотропии.

Согласно (20), (22) диссипативная функция принимает вид

*J=2(r„£„ + v;J = 2focos(0-(iO= D(s, у/). (23)

Из (19), (23) следует

(24)

В частности, при анизотропии

Лт1+ВТ1=\ (25)

диссипативная функция имеет вид

D - 2Hs I д2 + + S{B2 - Л V*//)

^ В2 + A2tgzy, + 2¿{в> - ¿V+ Лге¥) • (26)

где

3 =

А-В

IА + В' А + В Получено максимальное значение угла анизотропии

А-В

а =

А + В

(27)

(28)

а п , п 7

при 6 = —I—п, лег. Н 4 2

Изотропный случай имеет место при А = В = 1.

Второй параграф посвящен определению вида диссипативной функции при различных условиях предельного состояния в случае кручения. При условии пластичности

(29)

диссипативная функция принимает вид

е в

А В 1 " 2 "

При условии пластичности

(Ет„-к1)1+{гт„-к2)2=\ диссипативная функция определяется соотношением

(30)

(31)

(32)

1Е2 Р2 Е ^ " Показана возможность построения теории пластичности, в основе которого лежит определение диссипативной функции.

Рассмотрена диссипативная функция вида

0 = +

, к*-"*)2

где л,, пг - соп^.

В этом случае условие пластичности имеет вид

А^-КУ+В^-кг}^,

(33)

(34)

не зависящее от постоянных л,, л2.

Глава вторая посвящена исследованию кручения неоднородных анизотропных стержней и состоит из трех параграфов.

В первом параграфе исследовано предельное состояние составных призматических анизотропных стержней прямоугольного сечения при кручении.

Рассмотрен составной прямоугольный анизотропный призматический стержень, разделенный на две области линией неоднородности АВ (рис. 1). Предполагается, что составляющие стержня являются идеальнопластическими при наличии трансляционной анизотропии.

с н с

Рис. 1

Условие пластичности в каждой области имеет вид

(«■-"O'+fc.-^Ñl. (35)

где ( = 1,2. В случае

= k¡ cos0, rw = k¡sin# (36)

из (35) следует

к,(в) = P¡ cos{0-д.)+ф-р]sin2(в-ц,), к,(в)>0, (37)

где

P¡=-Jkn+kh, — = соs/i,, — = sin д., tgfi¡=~, i = 1,2. (38)

Pi PÍ ka

Уравнения характеристик, соотношения (4) принимают вид k'sin0 + k,cose ^ ,„\ „ у' = К^о-к^ех+ФАе)'в=сот1'^2- (39)

Определено напряженно-деформированное состояние анизотропных призматических кусочно-неоднородных стержней прямоугольного сечения при различных значениях констант анизотропии.

Рассмотрен случай кручения прямоугольных анизотропных стержней, разделенных на две области линией неоднородности АВ, параллельной одной из сторон прямоугольного сечения (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрен случай кручения прямоугольных анизотропных стержней, разделенных на две области линией неоднородности АВ, соединяющей произвольно две противоположные стороны прямоугольного сечения (рис. 3).

Рис.3 8

Рассмотрен случай кручения прямоугольных анизотропных стержней, разделенных на две области линией неоднородности АС, являющейся диагональю прямоугольного сечения (рис. 4).

В каждой области найдены векторы касательных напряжений, характеристики соотношений, определяющих напряженно-деформированное состояние тела, и построены линии разрыва напряжений.

Во втором параграфе исследовано предельное состояние составных призматических анизотропных стержней треугольного сечения при кручении.

Определено напряженно-деформированное состояние анизотропных призматических кусочно-неоднородных стержней треугольного сечения при различных значениях констант анизотропии.

Рассмотрен случай кручения треугольных анизотропных стержней, разделенных на две области линией неоднородности СБ, соединяющей одну из вершин треугольного сечения с противоположной стороной (рис. 5).

Рассмотрен случай кручения треугольных анизотропных стержней, разделенных на две области линией неоднородности ОЕ, соединяющей две стороны треугольного сечения (рис. 6).

Рис.4

Рис. 5

Рис.6

Рассмотрен случай кручения треугольных анизотропных стержней, разделенных на три области линиями неоднородности АО, Вй, СО, исходящими из вершин треугольного сечения и сходящимися в одной точке (рис. 7).

Рассмотрен случай кручения треугольных анизотропных стержней, разделенных на две области линиями неоднородности ИЕ, ЕР, £>/•■, соединяющими две стороны треугольного сечения и образующими треугольник (рис. 8).

Рис. 8

В третьем параграфе исследовано предельное состояние анизотропных неоднородных стержней при кручении.

Предполагается, что напряженное состояние, возникающее в стержне, определяется соотношениями (2).

В предположении, что условия пластичности в случае кручения имеет вид

/(г-"».(«.Л ^-<?:(*, >>))= о, (40)

где , г)з — компоненты напряжений в декартовой системе координат ху, <7,(х, дг2 (дг, - известные функции, из (15) следует

Р{к,в,х,у) = 0. (41)

Тогда

к = к(в,х,у). (42)

Учитывая (15), (42) соотношение (4) примет вид

(дк . . . Лдв (дк . „ , Лдв дк , дк . .

-СО50-Л:31П0 -+ -51П$ + £СО50 -=--СО^в--51П0. (43)

)дх \дв )ду дх ду

При обозначениях

Эк*) ,2 . ~ 1 дк ~ к ....

— +к , 81па =---, С05а= —, (44)

дв) с 50 с

(46)

, /дк V (дк} 1 дк . ъ 1 дк

уравнения характеристик запишутся в виде

{45)

Вдоль характеристик имеют место дифференциальные уравнения

ав _ с/соб^-/?) сЬс сзт($-5)

Соотношения ассоциированного закона пластического течения определены из экстремума функционала

^ = :,у)), (47)

и имеют вид

2гг = Я— , 2г = Л-^, (48)

" п дг} К '

где ^ = г„ >), '/ = г>г -<72(*. дО-

В предположении, что компоненты скоростей перемещений записываются в виде (10),

получены уравнения характеристик

дп

Соотношения вдоль характеристик принимают вид

х{Уел+х5А

сЬу _ { дг! д£) дх д[_ '

дц

Сопоставляя (5), (49) можно сделать вывод о том, что характеристики уравнений, определяющих деформированное состояние, совпадают с характеристиками уравнений, определяющих напряженное состояние.

Глава третья посвящена исследованию предельного состояния анизотропных тел в случае плоской деформации при действии равномерного давления и состоит из двух параграфов.

Первый параграф посвящен исследованию предельного состояния клина при действии равномерного давления в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии.

Найдена предельная нагрузка тупого клина с углом раствора 2у>^ при действии

равномерного давления р, приложенного к правой грани (рис. 9). Материал клина предполагается анизотропным, однородным, жесткопластическим.

Предельное условие в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии для случая плоской деформации имеет вид

Рис. 9

где <Jx,ay,Tv - компоненты напряжения, к„к2, кг - const. Полагается

.--, у - -

1р р \ 2 )

Согласно замене переменных

к,-к, АР

(52)

а1=р + к(0)со$20, ау=р-к{в) cos 20,

(53)

т^ =к(в)%\п2в условие пластичности (51) запишется в виде

k2(e)-2k(e)pcos(2d-jj)-P2 =0.

(54)

Так как к(в) > 0, то ограничиваемся решением уравнения (54)

к(в)= р cos(2<9 -//)+^Jl-р2 sm2(20 ~ р),

(55)

где р,р-const.

Из (55) находим

Предельное давление определено из соотношения

у--X

j + J Jk'2+4k2d0 (57)

и имеет вид

р = - к - psin(2x -fi)~ psin(2y + arcsin(pcos(2f -//))+

(58)

+ агс5т(р со${2у + //))+^1-р2 С052(2/-//) + р1 соъ(2у + /л). При Аг, = = Аг3 = 0 имеет место анизотропия по Хиллу.

Второй параграф посвящен исследованию предельного состояния клина при действии равномерного давления в случае анизотропии Хилла.

Рассмотрено предельное условие в случае идеальнопластической анизотропии по Хиллу

' +Вт1= 1, (59)

где ax,ay,Tv- компоненты напряжения в декартовой системе координат, k0 - const. Согласно (53) из условия пластичности (59) получим

к{0) = ' (60) Ыа + Ъ cos 40

где

А+В , А-В

а = -

Ь = (61)

Предельное давление имеет вид

16а6 +31а462 +34а264 + 156s (- я

2 2 а +Ь

Р = / , + "

\6аг{аг+Ъ*У 2,| +

^а-Ьсоэ4# а V а б(а8 +31аб62 -59а"А4 -207а26б -70£>8) . , ¿>2(1564-а2 +18аУ)„;„0 ^

+ -т-гг-¿51П4^ +-*-?-гг-г81П8у +

4а>{аг+Ъг) 64а2(а2 +Ь У

Ь3(\За6 -ЗЗа'Ь1 -№а2Ь4 -35Ь6) .

--*-7?—,--Лу. (62)

6а5 (а2 + Ъг)

В изотропном случае при а = 1, 6 = 0 предельное давление определяется соотношением

Р=2(1 + 2г-| совпадающим с известным классическим решением.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

• определены основные свойства общих соотношений теории кручения анизотропных стержней;

• доказано, что соотношения, определяющие напряженно-деформированное состояние стержня, ортогональны градиенту поверхности текучести;

• определен вид диссипативной функции в общем случае кручения анизотропных стержней;

• определена зависимость диссипативной функции от предельного состояния в случае кручения анизотропных стержней;

• определено напряженно-деформированное состояние различных неоднородных анизотропных кусочно-неоднородных призматических стержней при кручении;

• определена предельная нагрузка клина при действии равномерного давления в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии;

• определена предельная нагрузка клина при действии равномерного давления при условии анизотропии Хилла.

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора:

Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ

1. Деревянных, Е. А. Об общих соотношениях теории кручения анизотропных стержней / Е. А. Деревянных, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Естественные и технические науки. - 2012. - № 4 (76). - С. 108-112 (0,62/0,31 пл.).

2. Деревянных, Е. А. О диссипативной функции при трансляционном напряжении при кручении / Е. А. Деревянных // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2011. -№ 2 (10). - С. 119-123 (0,62 п.л.).

3. Деревянных, Е. А. О предельной нагрузке клина при действии равномерного давления в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2012. - № 2 (12). - С. 66-70 (0,62 п.л.).

4. Деревянных, Е. А. О предельном состоянии анизотропных призматических стержней при кручении в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2012. - № 4 (14). - С. 174-184 (1,37 п.л.).

5. Деревянных, Е. А. О предельном состоянии кусочно-неоднородных анизотропных призматических стержней полигонального сечения при кручении / Е. А. Деревянных // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. -2012. -№ 1 (11). - С. 75-80 (0,75 п.л.).

6. Деревянных, Е. А. Предельное состояние анизотропных призматических кусочно-неоднородных стержней при кручении / Е. А. Деревянных // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2012. - № 3 (13). - С. 72-80 (1,12 п.л.).

Публикации в других научных изданиях

1. Деревянных, Е. А. Диссипативная функция при трансляционной анизотропии при кручении / Е. А. Деревянных // Наука и образование в XXI веке : сб. науч. тр. по материалам междунар. науч.-практ. конф. : в 6 ч. Ч. 3. - М. : АР-Консалт, 2013. -С. 137-139 (0,19 пл.).

8. Деревянных, Е. А. К вопросу о кручении неоднородных треугольных стержней в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных, Б. Г. Миронов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по материалам междунар. науч.-практ. конф. : в 2 ч. Ч. 1. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 80-87 (1/0,5 пл.).

9. Деревянных, Е. А. Кручение неоднородных призматических стержней в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Чуваш, гос. пед. ун-т. - Чебоксары,

2013. - 9 с. - Библиогр. : 7 назв. - Рус. - ил. - Деп. в ВИНИТИ РАН 02.04.2013, № 91. -В2013. (0,56 п.л.)

10. Деревянных, Е. А. Напряженное состояние составных призматических стержней в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Актуальные проблемы математики и механики : материалы и доклады всерос. науч. конф., посвященной 75-летию со дня рождения д-ра физ.-мат. наук, профессора Г. И. Быковцева. - Самара : Самарский университет, 2013. - С. 64-65 (0,25 п.л.).

11. Деревянных, Е. А. О диссипативной функции при трансляционной анизотропии при кручении / Е. А. Деревянных // Materialy VIII Mi^dzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji «Dynamika naukowych badan - 2012». - Techniczne nauki. : Przcmysl. Nauka I stadia, 2012. - Volume 24. - C. 17-20 (0,25 п.л.).

12. Деревянных, E. А. О кручении кусочно-неоднородных анизотропных призматических стержней прямоугольного сечения в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Международное научное издание «Современные фундаментальные и прикладные исследования» : в 2 т. Т. 1. - 2013. - № 1 (8). - Кисловодск : УЦ «Магистр», 2013.-С. 66-69(0,5 п.л.).

13. Деревянных, Е. А. О кручении неоднородных призматических стержней в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных ÍÍ Современная российская наука глазами молодых исследователей : материалы III Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2013. - С. 213-217 (0,31 п.л.).

14. Деревянных, Е. А. О предельном состоянии кусочно-неоднородных анизотропных призматических стержней полигонального сечения / Е. А. Деревянных // Материалы научно-практической конференции Чебоксарского института экономики и менеджмента (филиала) Санкт-Петербургского государственного политехнического университета в рамках Дней науки. - Чебоксары : ЧИЭМ СПбГПУ, 2013. - С. 97-101 (0,31 п.л.).

15. Деревянных, Е. А. О предельном состоянии кусочно-неоднородных призматических стержней в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Технические науки- от теории к практике : материалы XIXМеждународной заочной научно-практической конференции. - Новосибирск : СибАК, 2013. - С. 23-28 (0,38 п.л.).

16. Деревянных, Е. А. Предельная нагрузка клина при действии равномерного давления / Е. А. Деревянных // Опыт прошлого - взгляд в будущее : материалы 2-ой Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов. -Тула, ТулГУ, 2012. - С. 207-211 (0,31 п л.).

17. Деревянных, Е. А. Предельное состояние анизотропных призматических стержней прямоугольного сечения при кручении / Е. А. Деревянных // Новый университет. Серия : Вопросы естественных наук. -2012. -№1 (7). - С. 15-18 (0,25 п.л.).

18 .Деревянных, Е. А. Предельное состояние кусочно-неоднородных анизотропных призматических стержней полигонального сечения при кручении / Е. А. Деревянных // сб. материалов научной конференции «XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова». - Владивосток : ИАПУДВОРАН, 2012. -С. 110-114(0,38 п.л.).

19. Деревянных, Е. А. О диссипативной функции при кручении анизотропных стержней / Е. А. Деревянных, Б. Г. Миронов // Современные проблемы, материалы, механики, информатики : материалы международной конференции. - Тула : ТулГУ, 2013. -С. 265-271 (0,44 п.л.).

Автореферат разрешен к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 12.08.2013 г.

Подписано в печать 13.09.2013 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1405.

Отпечатано в отделе полиграфии

ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, д. 38

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Деревянных, Евгения Анатольевна, Чебоксары

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева»

На правах рукописи

04201362212

ДЕРЕВЯННЫХ Евгения Анатольевна

ЗАДАЧИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ПРИ КРУЧЕНИИ И ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук,

Максимова Людмила Анатольевна

Чебоксары 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................3

ГЛАВА 1. КРУЧЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ........................................11

1.1. Общие соотношения теории кручения анизотропных стержней...................11

1.2. Диссипативная функция при трансляционной анизотропии

при кручении..............................................................................................................24

ГЛАВА 2. КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ.....31

2.1. Предельное состояние кусочно-неоднородных анизотропных призматических стержней прямоугольного сечения при кручении.....................31

2.2. Предельное состояние кусочно-неоднородных анизотропных призматических стержней треугольного сечения при кручении..........................46

2.3. К теории кручения неоднородных стержней...................................................58

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

ПРИ ДЕЙСТВИИ РАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ.................................................61

3.1. Предельная нагрузка клина при действии равномерного давления

в случае трансляционной анизотропии...................................................................61

3.2. Предельная нагрузка клина при действии равномерного давления

в случае анизотропии Хил л а.....................................................................................66

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................................................................70

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.........................................................................71

ВВЕДЕНИЕ

Теория идеальной пластичности относится к числу наиболее развитых разделов механики деформируемого твердого тела. Теория предельного состояния используется в области технологических процессов обработке металлов давлением, расчетах предельных состояний конструкций, в механике предельных состояний грунтов и сыпучих сред и т. д.

Галилеем и Кулоном заложены основные представления о предельном состоянии. В 1773 г. Кулон рассматривал предельное состояние грунтов. Сен-Венаном была создана первая математическая теория пластичности. В 1870 г. Сен-Венан предложил соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности [108], изучая металлы. Основой теории идеальной пластичности являются представления о сдвиговом характере пластического деформирования, экспериментально подтвержденные Треска. Согласно условию пластичности Треска-Сен-Венана, пластическое течение возникает при достижении предельного значения максимальным касательным напряжением.

Основываясь на условии пластичности Треска-Сен-Венана и законе пластического течения, Леви в 1871 г. сформулировал соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности. Теория Леви, основанная на «неассоциированном» законе пластического течения, не нашла применения и в настоящее время представляет только исторический интерес.

В 1909 г. Хаар и Карман [113] показали, что общие основы связывают теории предельного состояния и идеальной пластичности.

Выдающийся вклад в развитие плоской задачи теории идеальной пластичности принадлежит Прандтлю и Генки. В 1921 г. Прандтлем введено понятие идеального жесткопластического тела и впервые предложено решение задач о вдавливание жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство и в усеченный идеальнопластический клин. При этом предполагалось, что свойства идеальнопластического материала зависят от среднего давления. В 1923 г. Генки предложены решения статически определимых задач о вдавливании

штампов, обобщающее решение Прандтля, предполагая, что статически определимые состояния могут иметь место для узко ограниченного круга задач. В 1923 г. Прандтль уточнил формулировки теорем Генки, установил гиперболический характер уравнений плоской задачи идеальнопластического напряженного состояния материала, предложил численные методы решения, определил постановку задач определения предельной нагрузки при вдавливании штампов в идеальнопластическую полосу и сдавливания пластического слоя шероховатыми плитами. Мизес в 1928 г. вывел соотношения ассоциированного закона течения для гладкой поверхности. В 1933 г. Рейс определил соотношения обобщенного ассоциированного закона течения.

В 1946 г. А. Ю. Ишлинским были проведены исследования в области пространственной задачи математической теории пластичности. Он доказал фундаментальное значение условия пластичности Хаара-Кармана для всей теории пластичности.

Д. Д. Ивлевым были предложены соотношения пространственной задачи при условии полной пластичности. Установлена статическая определимость полученных соотношений, гиперболический характер уравнений для напряжений и компонент скорости деформации.

Одним из важных свойств тел и конструкций, обусловленных природными явлениями, технологическими и конструктивными решениями, является анизотропия материала.

Мизесом [83] было предложено первое условие идеальной пластичности для анизотропного материала, содержащее 21 константу анизотропии. Более подробным изучением пластического течения при условии Мизеса занимался Хилл [114]. Он получил частный случай условия пластичности, включающий 6 компонент анизотропии. Условие пластичности Хилла применимо в задачах обработки металлов давлением.

Задачам определения предельного состояния стержней, плоской деформации анизотропных тел посвящены работы Б. Д. Аннина [1], И. А. Бережного [2], Г. И. Быковцева [3], [4], [5], [6], Г. А. Гениева [9], [10],

Б. А. Друянова [32], В. В. Дудукаленко [33], [34], Л.В.Ершова [44], В. Г. Зубчанинова [37], [38], Д. Д. Ивлева [42], [46], [56], А. А. Ильюшина [58],

A. Ю. Ишлинского [59], [60], JI. М. Качанова [63], В. А. Ковалева [65], Е. В. Ломакина [73], [74], Л. А. Максимовой [75], Р. Мизеса [83], Н. М. Матченко [77], [79], [80], Б. Г. Миронова [88], [89], [90], Т. В. Митрофановой [91], [92], [93], А. Надаи [96], [97], Р. И. Непершина [53],

B. Прагера [99], [100], [101], Л. Прандтля [129], Ю. Н. Радаева [104], Б. Сен-Венана [106], [107], [108], В.В.Соколовского [109], [110], Р. Хилла [114], [124], Ф. Ходжа [101], С. А. Христиановича [115], Г. П. Черепанова [1], Е. И. Шемякина [119] и др.

Диссертационная работа посвящена исследованию предельного состояния пластических тел при кручении и плоской деформации.

Кручение представляет собой один из видов деформации тела, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. При кручении поперечные сечения круглых стержней остаются плоскими. В случае кручения призматических стержней происходит депланация сечения. Стесненное кручение возникает в том случае, когда депланация в разных сечениях различна, т. е. в поперечных сечениях стержня наряду с касательными напряжениями возникают нормальные напряжения. В случае одинаковой депланации в поперечном сечении возникают только касательные напряжения. Тогда речь идет о свободном кручении.

Задача о чисто пластическом кручении призматического стержня рассмотрена А. Надаи.

Изучением теории трансляционного упрочнения занимались А. Ю. Ишлинский [59], В. Прагер [102], Ю. Н. Кадашевич, В. В. Новожилов. Фундаментальные исследования общих соотношений теории упрочняющегося пластического материала были проведены Д. Д. Ивлевым и Г. И. Быковцевым [57]. Д. Д. Ивлевым был предложен алгоритм построения

моделей сложных сред, обладающих внутренними механизмами пластичности, вязкости, упругости.

В работах А. Надаи [96], [97], В. В. Соколовского [109] и др. рассматривались вопросы кручения идеальнопластических призматических стержней. В работах Г. И. Быковцева [4] исследовалось кручение призматических анизотропных идеальнопластических тел при условии пластичности Мизеса-Хилла. А. И. Бережным и Д. Д. Ивлевым [2] рассматривались вопросы кручения призматических стержней с учетом микронапряжений. Д. Д. Ивлев [43] исследовал кручение призматических стержней из упрочняющегося материала при линеаризированном условии пластичности. Кручение анизотропно упрочняющихся призматических стержней при линеаризированном законе пластического течения рассмотрено В. В. Дудукаленко и Д. Д. Ивлевым [33]. Работы Б. Г. Миронова [85], [86], [87], Л. С. Козловой [67], [68], [69] посвящены кручению цилиндрических и призматических стержней, сектора кругового кольца, стержней переменного сечения при действии внешнего давления. Т. В. Митрофановой [94], [95] рассматривались вопросы кручения призматических стержней с учетом трансляционной анизотропии.

Постановка задач об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду, предложена Прандтлем [129]. Позднее эта постановка широко применялась В. В. Соколовским [110]. Решение задачи о вдавливании клина в пластическое полупространство предложили Хилл, Ли и Тапер. В общем случае решение задачи с подвижной границей приводит к серьезным трудностям. Прагером было показано, что существует решение Мизеса, при котором границы материала ограничены прямыми линиями.

В работе [39] в линеаризованной постановке рассматривалась плоская задача о вдавливании тонкого лезвия в пластическое полупространство. В работе [45] рассматривалась линеаризированная осесимметричная задача о вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство. Определена поверхность выпучившегося материала.

Вопросы вдавливания клина в анизотропную идеальнопластическую среду при условии пластичности Мизеса-Хилла рассмотрены Р. Хиллом [114], В. Прагером [100], Л. М. Качановым [63], Д. Д. Ивлевым [56],

Г. И. Быковцевым [6] и др.

Вопросы построения диссипативной функции в теории пластичности рассматривались Прагером, Циглером, Д. Д. Ивлевым, Е. И. Шемякиным и др. Показано, что эквивалентные построения соотношений теории пластичности могут быть получены исходя из определения функции нагружения и постулата максимума в пространстве напряжений (Мизес) и диссипативной функции и постулата максимума в пространстве скоростей пластических деформаций. В работах Д. Д. Ивлева рассматривались вопросы двойственного, эквивалентного построения теории пластичности: исходя из формулировки условия пластичности и ассоциированного закона пластического течения и исходя из определения диссипативной функции и ассоциированного закона нагружения.

Актуальность темы. В диссертационной работе рассматривается предельное состояние пластических тел при кручении и плоской деформации. Исследовано кручение неоднородных призматических стержней в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии и ее обобщениях, а также предельное состояние анизотропного клина при действии равномерного давления.

Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались:

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ивлева Д. Д. - г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, 2010-2012 гг.;

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Миронова Б. Г. - г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, 2010-2013 гг.;

• на научно-практической конференции докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы 2010-2011 гг. -г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, 2011 г.;

• на научно-практической конференции докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы 2011-2012 гг. -г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, 2012 г.;

• на научно-практической конференции докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы 2012-2013 гг. -г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, 2013 г.;

• на научной конференции «XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова» - г. Владивосток, 2012 г.;

• на 2-ой Международной научно-практическая конференция молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее» - г. Тула, Тульский государственный университет, 2012 г.;

• на III Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Современная российская наука глазами молодых исследователей» - г. Красноярск, 2013 г.;

• на международной научно-практической конференции «Наука и образование в XXI веке» - г. Москва, 2013 г.;

• на всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Г. И. Быковцева «Актуальные проблемы математики и механики» - г. Самара, Самарский университет, 2013 г.;

• на научно-практической конференции Чебоксарского института экономики и менеджмента Санкт-Петербургского государственного политехнического университета в рамках Дней науки - г. Чебоксары, Чебоксарский институт экономики и менеджмента (филиал) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», 2013 г.;

• на международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий - г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, 2013 г.;

• на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л. А. Толоконникова - г. Тула, Тульский государственный университет, 2013 г.

На защиту выносятся результаты:

• определение основных свойств общих соотношений теории кручения анизотропных стержней;

• определение диссипативной функции в общем случае кручения анизотропных стержней;

• определение напряженно-деформированного состояния различных неоднородных анизотропных призматических стержней при кручении;

• определение предельной нагрузки клина при действии равномерного давления при условии анизотропии Хилла.

ГЛАВА 1. КРУЧЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ 1.1. Общие соотношения теории кручения анизотропных стержней

1. Рассмотрим стержень (цилиндрический или призматический), ориентированный в прямоугольной декартовой системе координат хуг (рис. 1.1).

Ось 2 направим параллельно образующей стержня. Предположим, что стержень закручивается вокруг оси г равными и противоположными парами сил с моментом М. Боковая поверхность стержня считается свободной от нагрузок. Влиянием массовых сил можно пренебречь.

Напряженное состояние стержня характеризуется в общем случае условием пластичности

/К)=0, (1.1.1)

где <7.. - компоненты тензора напряжения.

К условию пластичности присоединим три уравнения равновесия

да. дтху Эг„, = 0

= 0, (1.1.2) = 0.

дх ду дг

дх н——- ду дг

дт Xу дт I ^

дх ду дг

дтх2

В случае кручения напряженное состояние, возникающее в стержне, характеризуется следующими значениями компонент напряжения

О" — (У — (Т = г = О,

(1.1.3)

У\ Ту; = Туг(Х> �