Предельное состояние слоистых круговых цилиндров из анизотропного материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Ивлев, Дмитрий Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Чебоксары
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
О
Ивлев Дмитрий Александрович
Предельное состояние слоистых круговых цилиндров из анизотропного материала
01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Чебоксары 2010 г.
004606110
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева»
Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,
доцент Миронов Борис Гурьевич
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,
профессор Глаголев Вадим Вадимович кандидат физико-математических наук, доцент Максимов Алексей Николаевич
Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский государственный
педагогический университет»
Защита состоится: 2 июля 2010 г. в 12.00 на заседании диссертацион-
ного совета ДМ 212.300.02, ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева», 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева».
Автореферат разослан «31» мая 2010 г. Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Составные цилиндры являются важным конструкционным элементом в машиностроении, строительной механике, горном деле. Потребности производства ставят задачи всемерного использования прочностных свойств материала, в том числе композиционных, изучение несущей способности конструкций, работающих в различных условиях нагружения.
Теория предельного состояния тел и конструкций получила развитие в трудах Кулона, Рекина, Сен-Венана, Треска, Мизеса, Прандтля, Гейрингер, Рейса, Прагера, Хилла, Койтера, В.В. Соколовского, A.A. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, а также Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, Г.А. Гениева, Д.Д. Ивлева, JI.A. Максимовой, A.A. Маркина, Н.М. Матченко, Ю.Н. Радаева, А.Р. Ржаницына, Р.И. Непершина, А.И. Хромова, Е.И. Шемякина и др.
Вопросами прочности составных труб занимались И. А. Биргер, Д.В. Гоцев, А.Н. Гузь, Л.В. Ершов, A.B. Ковалев, A.A. Ильюшин, П.М. Огибалов, Г.Н. Савин, А.Н. Спо-рыхин, Н.Д. Тарабасов, А.И. Шашкин и др.
Основы теории анизотропного идеальнопластического материала сформулированы Мизесом и Хиллом, развитие теории содержится в работах Г.А. Гениева, Г.И. Быковцева, Д.Д. Ивлева, A.A. Маркина, И.М. Матченко, Н.М. Матченко, Б.Г. Миронова, Л.А. Толоконникова, Л.Б. Шитовой и др.
В реферируемой работе рассматривается предельное напряженно-деформированное состояние составных цилиндров из анизотропного пластического материала под действием внешней нагрузки.
Новые результаты в области определения несущей способности, предельного состояния составных тел и конструкций с учетом анизотропии материала являются важными и актуальными.
Цель работы. Целью работы является определение предельного состояния составных цилиндров, материал которых обладает свойствами продольной анизотропии, установление взаимовлияния составных цилиндров при потере несущей способности.
Научная новизна состоит в исследовании влияния наложения свойств поперечной пластической анизотропии на потерю несущей способности составными цилиндрами.
Достоверность. Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования
Практическая значимость. Полученные результаты позволяют производить оценку влияния свойств поперечной пластической анизотропии на предельное состояние составных цилиндров.
Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались:
- на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, доцента, Миронова Б.Г. - г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 20072010 гг.;
- на научном семинаре «Современные проблемы механики деформируемого твердого тела» под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Кулиева В.Д. - г. Москва, МГОУ, 2007-2010 гг.;
- на Первой международной научно-практической конференции. - г. Новосибирск, 2010 г.
\
\
На защиту выносятся результаты:
■ определение свойств условий пластичности анизотропного тела, используемые в диссертационной работе;
■ определение предельного напряженного состояния в слоистых круговых цилиндрах при одинаковой ориентации осей продольной анизотропии в каждом из цилиндров. Алгоритм последовательного определения предельного напряженного состояния в слоях;
■ определение предельного напряженного состояния в слоистых круговых цилиндрах при несовпадении осей продольной анизотропии в цилиндрах. Алгоритм последовательного определения предельного напряженного состояния в слоях;
■ определение предельного деформированного состояния в слоистых круговых цилиндрах при совпадении осей продольной анизотропии;
■ определение предельного деформированного состояния в слоистых круговых цилиндрах при несовпадении осей продольной анизотропии.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в трех научных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, дан обзор результатов, примыкающих к рассматриваемой проблеме, определяются цели исследования, формулируются основные результаты, выносимые на защиту.
Глава первая «К анизотропии пластических тел» содержит обсуждение условий предельного состояния анизотропных тел, используемых в работе.
Условие пластичности Хилла для случая плоской деформации может быть записано в виде
А(сх-су)2+4Вт1=4к20, А,В,к0-сошй. (1)
Используется замена переменных
ах = а + Асо$20, ау = а-ксо52в, х^ = £зт20 , (2)
где
о = tg2Q = * = ^ = (3)
где ттт - максимальное касательное напряжение.
Из (1), (2) следует, что условие пластичности (1) может быть записано в виде
(о1-о,),+4т^ = 4А,(0), (4)
где
fc(0) = , к° (5)
■JA cos2 29 + В sin2 20
Величина к(д) является переменным пределом текучести на сдвиг в зависимости от угла 6.
Соотношение (5) может быть записано в виде
/с(9) = ,-1 .
iilLfiziU«
2 V Ч^ + bJ
При разложении соотношения (6) в ряд имеет место
*(в) =
•J2L
■JA + B
1--I-г |cos40 + —|-| cos 49-
(6)
(7)
2\А + В) %{А + В
Полагая разность А — В достаточно малой, можно представить характер зависимости (7) на рис. 1
Рис. 1
Рассматривается условие пластичности анизотропного тела.
А(ах -ау)2 + + 2С(ах - = 4£02, А,В,С,к0 - const. (8)
Из (3), (8) следует, что условие пластичности может быть записано в виде (4),
где
¿(9) =
■J2L
(V^ + 5)7l + 2ncos4(9-90)'
(9)
-В
А + В
С
, ig4е0 =■
с
КА + В) ' ~ " А + В На рис. 2 показан характер зависимости (9) при достаточно малых величинах А-В, С:
Лк
т-
7-—I l--rcos4(e-90) + -r2cos24(9-e0)-yJA + B\ 2
(10)
Рис. 2
Во второй главе «Предельное состояние слоистых круговых анизотропных цилиндров при сооснон продольной анизотропии» рассматривается предельное состояние слоистых круговых цилиндров, находящихся под действием внутреннего давления. Предполагается, что каждый слой обладает своими свойствами продольной анизотропии, причем оси симметрии соосны. Определен алгоритм нахождения предельного напряженного состояния тел для произвольного числа слоев.
Рассматривается слоистый круговой цилиндр, находящийся под действием внутреннего давления р (рис. 3).
Через о,, аг обозначаются внутренний и внешний радиусы 1-го цилиндра, через о2, аъ - внутренний и внешний радиусы 2-го цилиндра, через ап, ап+1 - внутренний и внешний радиусы я -го цилиндра.
Условие предельного состояния для и-го слоя принимается в виде
А к - + = <> д.. в. - const> n =1'2'- (11)
где а^а^.т,^- компоненты напряжения в n-ом слое в декартовой системе координат х,у ; АП,ВП- константы анизотропии.
К выражениям компонент напряжений в полярной системе координат г, 9 перейдем по формулам [1]
= He±£s. + ^lcos26 - тл sin 20, c, = - ar~a° eos 28 + T^, sin 28, (12)
= -Pr~Pesm29 + cos28,
где ar, cr0, x^ - компоненты напряжения в полярной системе координат г, 8.
В дальнейшем переход к безразмерным величинам: все компоненты напряжения отнесены к величине предела текучести к и обозначим
Н' Iе* (13)
все величины, имеющие размерность длины отнесены к некоторой характерной величине г0:
— ~а„> ~~ = Р- (14)
га г0
Согласно (12 - 14), запишем соотношения (11) в виде К„ -се„)2 [Л„ eos2 29 + В„ sin2 20] + 4т% [Л sin2 28 + В„ eos2 20] - ^ -2(<V V (Д, -Я>ш40 = 4Х2. Решение ищется в виде разложений по степеням некоторого малого безразмерного параметра 5:
Предполагается, что нулевое, исходное напряженное состояние является осе-симметричным
тХ = 0, w = l,2,... (17)
В нулевом исходном состоянии имеет место
а0р„-а°„=±2х„. (18)
При действии внутреннего давления ае„ >ар„, в (18) имеет место нижний
знак
Из уравнений равновесия, (18) и граничного условия
сг°,=-0 при р = а,, (19)
имеет место
«i
( л (20)
n0eI=-9 + 2X|l + lnM ^=0
Из условий сопряжения решений
CTpi=ap2 ПРИ Р = а2 (21)
имеет место
<*p2 =-i + 2x2in—+ 2Xjln-
a, J a,
a, a,
/
<& = ~q + 2x2
Аналогично имеет место
С =+ 2X„ In—+ 2x„_! +... + 2Xl In-
<=2x„+<„, t°0„=O. Линеаризированное соотношение (15) имеет вид
°рл ~ ЗСл Уравнениям равновесия
-=-+-2—=-cos49
удовлетворим, полагая
ф р 30 р fr'ps» , 1 Sal ,
ф р 59 р
, 15Ф' 1 52Ф'
р ф р1 двг , 52Ф'„
з fi эф:
где
V " ф^р 99
Из (24), (26) найдем
а2Ф'„ 1 дФ' 1 дгФ'„ ^ Г7
—f----- —г—г- = G. + H„ cos 49,
ф2 р ф р2 S92 " "
„ , a„ +Ь„ ) (а-Ь„
<7л=Х„|--рЧ, Я„=Х*I—^
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Решение уравнения (27) представим как сумму решений общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения
(29)
(30)
Полагая
Ф' =Ф' +Ф'
п я оон п части
Ф'п0т=Ксозте,
получим
Д„=СГ+С при т = 0, Я =р(С« + С£>1пр) при т = 1,
R„ = р[С cos(Vm2-llnp) + C(:i sin(^lnp)] при
Частное решение неоднородного уравнения (27) имеет вид
G Н
Ф^«™» = у(р2 In Р - р) + -j^p2 cos 49 .
mS2.
(31)
(32)
(33)
Согласно (26-34) имеет место
= +Ь^соз(е+е0)+ р
i £ {с;, [(l - ) cos (vV-I top) - (7m2-I j sin (v'm2-l In p) J + (35) +Vm2 -1 cos (V«2-lta p)| cos(«e + 90)+<7„ In p - ^ tf„ cos 40,
= < Л + G„ (1 + tap) + Iff, cos40, (36)
rM
^„=^-sin(e+0o)+ (mVwMjj^-ci"/sin^VmM tap) + Cm2cos(Vm2-ltap)Jsin(m0 + 0O),
(37)
P
где С", С" С« - const при m > 1, op„ № получается из (35) при G„ = Я„ = 0. Граничные условия на внутреннем контуре трубы имеют вид
CTpi = °. т^1=0прир = а,. (38)
Из (35), (38) следует
CS>=-GlIna1=-xl^-taa1. (39)
Для определения постоянных С^1,', СЩ имеет место система уравнений CJ" • М (ai) + C^l ■ N (a,) =
-V3a (40)
^„(-smraJ + C^cosc), = —^-¡-Я,,
где
М(а„) = -Зсо8шл->/3sum„, iV(a„) = >/3cosran-3smm„, <э„ = л/3 lna„. Согласно (39) имеет место
с^^, Д,=-3, Д„=-3, (41)
д, д,
где
Ди = ^-tf1(l3cosco, + %/38ШЮ,),Д21 =-^-^(l3sinco1 -N/Зсо SCO,).
Согласно (35), (36), (37), (38), (40), (41) компоненты напряженного состояния а'}1 в первом слое определены.
Далее определяются компоненты напряженного состояния во втором и
последующих слоях.
Из условий сопряжения
ap2=°'pL> ^2=461 при P = a2> (42)
из (35), (37) найдем
<?£>+ — |c'í'[-3cosm2 - VJsinffljJ + C^^VScosfflj -3sin©2]Jcos49 cc2
7
= Gp,(a2)-G2lna2 +—Я2соз49
8
-—[-С™ sinco2 + С™ coscoj] = x^(a2)-jH2.
Из (35), (43) получим
Из (43) следует
C®=-G2Ina2 + G,lna,.
cosco -Q2-N(a2)), C<?=-i(i>2sme> + ß2-M(a2)),
(44)
(45)
где
Р2=а2
aj3
12
£„,(«,)+ -(Я2 +Я,) ^.(а.Ь^Я.+Я,)
1р1 (р)=-(с™[-3eos га - ^sino]+cosco-3sin©]), 4 -Л
2рв.(р) = ^-[-СГ,' sino+С£> coso], ffl = V31np
Согласно (35), (36), (37), (44), (45), компоненты напряженного состояния &IJ2 определены.
Аналогично методом математической индукции определяются компоненты напряжений cs'¡jn при условии, что компоненты a'¡jr¡_t определены. Аналогично (44) получим
cw = ~Gn toa, - Gn lna„ - G„ lna„-...-Gí lna,. Из условий сопряжения решений
<С С =С> прир = а„,
Из (35), (37), аналогично (45), будем иметь
(46)
(47)
C^^sinc^-a-MO).
(48)
где
P.=OL.
1р,(ал)+-(Я„ + Я„_1 + ...+ Я1)
12
Spa. (О п)-^Нп+Н„_1+...+ Н1)
2|>.(р) = -(с<(Г,[-Зсо8а). -735тсо„] + С[73со5ш„ -Звтш.]),
Р г (50)
(Р) = ^[-С + С£> С08Ш,].
где Рл, ()„ определены при известных значениях .
Компоненты напряжений ст)у„ определяются согласно (35-50).
Из (35-50) следует, что свойства анизотропии последовательно оказывают влияние на напряженное состояние последующих слоев: напряженное состояние в п-ом слое будет зависеть от свойств анизотропии всех предыдущих п-1 -х слоев.
В третьей главе «Предельное состояние слоистых круговых анизотропных цилиндров при произвольной ориентации осей анизотропии» рассматривается предельное состояние слоистых круговых цилиндров, находящихся под действием внутреннего давления. Предполагается, что каждый слой обладает своими свойствами продольной анизотропии, причем оси симметрии анизотропии в каждом слое ориентированы под своим углом 6° к оси х. Определяем алгоритм нахождения предельного напряженного состояния для произвольного числа слоев.
1. Рассматриваются оси координат х'пу[, образующие угол 9° с осями координат ху (рис. 4).
Условие предельного состояния для п — го слоя примем в виде
X„,A„,Br-const. (51)
Имеют место формулы перехода от компонент напряжений в системе координат к компонентам напряжений в системе координат ху
О™-П Л
ах.п ---—+ —^-—cos20° -т sin20°,
2 2 п *у
СУ™ + СУ,,, СУ„, — СУ,- Л
оу„ = —2-__iC0S29° + 1^20°, (52)
°ху„ = sin 29° - т^, cos 20° .
Условие предельного состояния (51) для компонент напряжений сгга, а^, т^ , отнесенных к системе координат ху примет вид
4,[K -cv)cos2e°„ -2x^sin2G:]2 + -a^sú^ +2x^cos20!j = 4X2 (52)
или
+ = 4Z2, (53)
где
Л = Л cos2 29° + В sin2 29°
Я Я ЯЛ Л7
5„=^sin22ñ°+S„cos229°, (54)
Cn=(4,-5jsin40:. Наклон осей анизотропии на угол 0° приводит к дополнительному члену в условии предельного состояния (53)
С„=(Л„-Я„)зт4е (55)
Используя формулы перехода компонент напряжений в декартовой системе координат к компонентам напряжений в полярной системе координат, (12), из (53) имеет место
К - Se )2 [4, cos2 20 + В. sin2 20] + 4т^„ [Д, sin2 20 + В, cos2 20] -
(<тр„ - сте„) хр9„ [~Ап~В^ sin 40 + (56)
[К - )2 - ] sin 40 + 4(стр - сте) хр9 cos 40 = 4%2
Положим
4,=1 + 8«„, В„=\ + ЬаЬп, (57)
а —— н—-—ü-cos40°, Ъ„~-—2—-cos 40°. (58)
2 2 »'»22
Линеаризируя условие предельного состояния (56), найдем
С +—
2
Сто* = X,
^iA + ———cos 49° • cos 40 + 49 . sjn 49
2 2 2
(59)
Соотношение (59) отличается от соотношения (24) наличием множителя соз49° перед сое 49 и слагаемым
. (60)
Для использования результатов главы 2 полученные для случая 0° = 0 в дальнейшем ниже следует положить
(61)
Компоненты напряжения соответствующие двум первым слагаемым в (59) полностью определены в гл. 2. Компоненты напряжения, соответствующие третьему слагаемому в (59), подлежат определению.
В дальнейшем обозначим составляющие компонент напряжения, соответствующие третьему слагаемому - .
Согласно (59), рассматривается соотношение
=4*т40,
где ¿„=Х,,|^-^5т4е0л.
Аналогично (30-37) найдем
= С$ +^[[-Зс|;) +%/зсМ]со8(а + [->/зсМ -ЗС^1 ]зтга}БШ49 - эт 49, (62)
О
^ = ~^^-с£^ш + с£)созш]соз49 + ^соз4е. (64)
Предположим, что на внутреннем контуре трубы имеет место
5'р1 = 0 , Три =0 при р = а . (65)
Для слагаемых решений содержащих множители со$40 задача решена, ее результаты полностью сохраняют силу при условии (61). Из (62), (64), (65) найдем
С« = 0, Д,=-3, (66)
Д, А,
Д„ =— ¿¡(ПсозЮ; -ТЗвтш,) , Д21 = —^(Пвтш! +-УЗсозш,). 16 * ' 16 * '
Напряженное состояние определяется согласно (62), (63), (64) ,(66), (67).
2. Перейдем к определению слагаемых напряженного состояния, соответствующих уравнению (59) для второго и последующих слоях. Из условий сопряжения
5р2 = 5р1 > %эг = %в1 при р = а2. (67)
Из (62), (64) найдем
с£> +—|с^[-Зсозш2 -лЯзтш2] + С4(22)[л/Зсозш2 -Ззтш2]8т40| =
_ 7
= CTpl(«z) + 7¿2SÍn4e>
(68)
sin ш2 + С]22) sin со2 ] • cos 49 = Тра (а2)+cos 49. (69)
Из (68) следует
с£' = 0. (70)
Аналогично имеет место
= 0 при п = \, 2,...,п. (71)
Обозначим
g;„ = Ёр„ -COS49, = sin40. (72)
Из (68), (69) следует
*гй А„ 1г-
С4<? = = cosca, - (а,)], 3? = sinca, + &М(а2)], А„ = -3,
5= а2
вг =
a2S
12
1(А + А)].
Согласно (73), (74), (62), (63), (64) компоненты напряжения определены. Методом математической индукции определяются компоненты напряжения ст^ при условии, что компоненты напряжений определены. Будем иметь
(74)
где
Р.=а.
0, = ^
12
+£„., + ••• +А)
где 2Р„, Ера, определены согласно (72).
Общий вид решения для напряжения, соответствующий п - ому слою имеет
Ч» = + «>]со5<Э+[-7ЗС« -ЗС^т®}«^ +
+1[[-ЗС|^л/зс|?]созт + [-7зсМ -ЗС"]зт(а]8т48+ (75)
вид
7 7
+G„ ln р — #„ eos 49 — L„ eos 48, " у 8 " 8
°e» =G„(l + lnp)+-í-Ar„cos40 + Í4sin40, 8 $
(76)
Т'рел = ——[-С41 sin® + С42 coso] sin 49 - —sin со + С<2 eos со] eos 40 +
Р Р (77)
+—®-sin49 н—-cos49, 4 4
где со = 731пр, постоянные C¿', cj"', определяются согласно (48), (61) постоянные С^, определяются согласно (74).
Из (74 — 77) следует, что свойства анизотропии последовательно оказывают влияние на напряженное состояние последующих слоев, напряженное состояние в пом слое будет зависеть от свойств анизотропии всех предыдущих п-1 слоев, от каждого значения углов 9",..., 9°ч.
В четвертой главе «Определение деформированного состояния круговых анизотропных цилиндров при предельном состоянии» рассматривается деформированное состояние круговых цилиндров, соответствующего условиям предельного состояния
К~ае,)2Л + -2(ар„-К -B„)sin48-4Х„ = 0, (78)
T = Ancos22Q + B„sm22Q = ^+B"+A"~B"cos4Q = l + ^^+^^-cos4Q, " 2 2 2 2
~В„=А„ sin2 29 + В„ eos2 29 = - ^-3lcos49 = i + _ 5lZ¿C0S 49.
" " " 2 2 2 2
Согласно ассоциированному закону течения, получим
= 2dX.[K- -а^-т^ДД, -B„)sin49],
(79)
= 2Л.„[4Вт^-(ар„-о0„)(Л„ -B„)sin49],
где - приращение пластических деформаций, с/>.„ - неопределенный
множитель.
В рассматриваемом случае предельного состояния компоненты напряженного состояния определены, правые части соотношений (79) фиксированы, следовательно, соотношения (79) могут быть проинтегрированы. Пренебрегая упругими деформациями, из (79) найдем
sp„ = 2Хп [(стр„ -а0л)Т- v (А - В)sin 49],
е0п=-ер„, (80)
^ = К¡3V -(арл -ае„)(А„ - B„)sin40],
Исключая величину Хп из (80), получим
ер0п __ 4ДЛоо* Д„Ж„ ~°е„>Ь4Э 4(стр„ - а0„) Д, -2тр0„(Л - В)sin 49'
В исходном нулевом состоянии уравнение несжимаемости примет вид
ря + 9л
откуда
<„+eL=0, (82)
^ + ^• = 0, (83)
¿р р
где и0 - компонента перемещения вдоль радиуса р, компонента перемещения v° вдоль 9 равна нулю: v° = 0.
Из (83) имеет место
и° = ^l, С,- const. (84)
Р
Из условий сопряжения
«°=Ч?+1 при р = <х„ (85)
и (85) получим
С„=С„+1. (86)
Согласно (86), выражение (84) можно записать в виде
и=—, С-СОПИ. (87)
Р
справедливое для всех слоев труб. Из (87) найдем
Положим из (87), (88), (89) следует
С ,_«°_с
■ —----Т' 6е - — ~~Т
с/р р р р
прир = а1, (89)
и„ -а, „ „ и „• а, «о = < = = —^г1. (90)
Для определения компонент перемещений в первом приближении использу ется уравнение несжимаемости
ди„ .«11 5у, _2. р = .1---1
ф р р бв
Ер„+4=°. 4,= —+ (91)
дип ^ и„ ^ 1 ду„ _ ^ ф р р 50
где - компоненты перемещения в первом приближении в я-ом слое вдоль осей
полярной системы координат р0 и линеаризованное соотношение (81)
4«-сйКел =«-ее)[4х^-К-а°„)(а„-6„)зш49]. (92)
Имеет место
Ере"~2[ ф
Уравнение (92) принимает вид
V, , 1 ди, = к, 5р р р 50 2Х2р2 где С'^уС'ы определены согласно (39 - 50).
Уравнение несжимаемости (92) удовлетворяется при
(93)
зт40, (94)
где
" р 50 " ф У
Из (94), (95) получим
(1) (I) ,2.,/ Г л )
^ V " = 1 р ^ + С05Ю'>П49 + <9б>
16л/3и°-а. ,ч г,
А„ =--^ А„=-^-Чч-А)>«> = л/з1пр
Частное решение уравнения (96) имеет вид
V, часп. = -|А зтса + Т„ созю]зт40 + <2п зт40, (97)
Из (91), (95), (97) получим
"л часта =—ТгГ5'.5Щ<а + 7:сО5ш1сО540--^1-СО340, р р
V; + Г,)8шш + (22; +Л^.)со8о]оп4в,
= |^[(25, + л/ЗГ,)апш + (27; + ч/35„)созю]+^|соз49,
л части — частя» (^9)
^ + >/зГ,)мпсв + (-л/35, + 4Гя)созш]зш4Л + ^зщ4Л.
Компоненты перемещения и деформации в пластической области, соответствующие решению однородного уравнения, имеют вид
Г*(л) ,
4ода + С>1пР)соз(0 + 0о)-
« С'ЦТ^Тшр) + су&т(\1т2 — 1 !пр^соз(/ив + 0О),
=[С+С(1+1пр)>Ц0+ео)+ 0°0)
-1С™ + С™ )зЦл/ет2-11п (от9 + е0),
✓-.•(л) .-.'(л)
= Ь-СО8(в + 0о) +
С"зт(V«2-11пр)-С>сое(л/ю2-Ппр^соз(т0 + 0О), (101)
®рв одн =
где С*'"1, С*1,' - произвольные постоянные. Предполагая,
Ц, =°.
Ц=о>
из (98), (100), (102) получим
С05Ш1 + С^" 8Ш0)1 =--БШСй, + Ту соэю,] - —, (103)
С^" (сова, - -/ЗБтсо,^ + С^1' ^тсо, + >/з вшю,) =
= -^(-25, +л/зГ1)зтсо1+(2Г1 + л/з^совю,]. Из системы уравнений (103), (104) получим
(102)
где
Д* =(si-5j)sinraI-V3S1 coscü], Д2 = ~(s¡ -S2)cosco, + ViS,sin®,,
S, =——[S, sino),+ 7¡ cosca,], ai
S¡ = jJ-25; + V3r,)s inm, +^27¡ + Sst )cose>, j.
Согласно (98 - 105), компоненты перемещения в слое «1» определены. Далее
из условия сопряжения
и[ =и'2, v'¡ =v'2 при р = ос2 .
Аналогично определяются константы Cjj2', Cj22> и т.д.
Алгоритм определения компонент перемещений u'„ ,v'„ и деформаций
е^, е'Вл, е^,, по существу, совпадает с алгоритмом определения компонент перемещений а,,, и здесь опущен.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты и выводы диссертационной работы
* определены свойства условий пластичности анизотропного тела, используемые в диссертационной работе;
" развитие алгоритма последовательного определения предельного напряженного состояния в слоях круговых цилиндров при продольной анизотропии и одинаковой ориентации осей продольной анизотропии в каждом из цилиндров. Установление последовательной зависимости напряженного состояния в ш-ом» цилиндре от вида напряженного состояния всех предыдущих «я-/» цилиндров в зависимости от параметров анизотропии;
* развитие алгоритма последовательного определения предельного напряженного состояния в слоях круговых цилиндров при несовпадении осей продольной анизотропии в каждом из цилиндров. Установление последовательной зависимости напряженного состояния в «л-ом» цилиндре от вида напряженного состояния всех предыдущих ««-/» цилиндров в зависимости от параметров анизотропии и угла в1 (и = 1,..., п -1) - угла наклона оси симметрии продольной анизотропии к оси х;
* развитие алгоритма определения деформированного состояния для всех случаев напряженного состояния, рассмотренных в диссертационной работе.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Henee, Д. А. О предельном состоянии слоистых круговых цилиндров из анизотропного материала под действием внутреннего давления / Д. А. Ивлев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. -2010. — № 2 (66). - С. 57-63.
2. Ивлев, Д. А. Об анизотропии пластических тел / Д. А. Ивлев И Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. — 2010. -№2 (66).-С. 64-68.
3. Иалев, Д. А. О несущей способности составных анизотропных цилиндров под действием внутреннего давления / Д. А. Ивлев // Чуваш, гос. пед. ун-т. Чебоксары, 2010, 7 е., Библиогр. 2 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.10 № 223-В2010).
Подписано к печати 25.05.2010 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № L5-S.1L _
Отпечатано в отделе полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И,Я. Яковлева» 428000 Чебоксары, ул. К. Маркса, 38
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. К АНИЗОТРОПИИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ КРУГОВЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРОВ ПРИ СООСНОЙ ПРОДОЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИИ.
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ КРУГОВЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИИ ОСЕЙ
АНИЗОТРОПИИ.
ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРУГОВЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРОВ ПРИ ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ
Содержание диссертационной работы связано с представлениями теории предельного состояния, анизотропии идеально пластических тел и напряженно деформированном состоянии слоистых круговых цилиндров. Указанным вопросам посвящена обширная литература.
Обзоры работ, посвященные указанным вопросам, содержатся в источниках, отмеченных в списке цитируемой литературы, поэтому в введении кратко остановимся на основных результатах.
Основы теории предельного состояния были заложены Кулоном и Решенным. Начало теории идеальной пластичности следует отнести ко времени появления работы французского инженера Треска (1864 г.). Треска принадлежит экспериментально обоснованная гипотеза, согласно которой пластическое течение возникает при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения к-const, (1) где ттах— максимальное касательное напряжение, ст.— главные напряжение и к — предел текучести при сдвиге.
Сен-Венан (1970 г.) предложил соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности
Ягг дх дт д(у + —^ = 0, + = (2) дх ду дх ду где а^ст^т,^ - компоненты напряжения, условие пластичности Треска ст, ~oyf+ 4т1 = 4к2, k-const, (3) условие несжимаемости 0, (4) условие изотропии, устанавливающее коаксиальность тензора напряжений и тензора скорости деформации т 8
---(5) ст —a s—s
X у X у ди dv I ди dv
Аду дх где er,sv,s„. - компоненты скорости пластической деформации, u,v - скорости л у лу перемещений.
Соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности (1-2), сформулированные Сен-Венаном, полностью сохраняют свое значение.
Хаар и Карман. (1907 г.) показали, что теории предельного состояния и идеальной пластичности имеют общие основания.
Леви (1871 г.) при помощи замены переменных зх = a + &cos29, ст =ct-A:cos29, \ (6) Хху sin 20, ст=4(сгх + а,), удовлетворил условию (3) и получил квазилинейную систему уравнений
- 2£sin29 — + 2&cos29 — = 0, дх дх ду ^ 2к cos 29 — + 2к sin 20 — = 0. ду дх ду
Прандтль установил, что система уравнений (7) принадлежит к гиперболическому типу.
Генки показал, что характеристики системы уравнений (7) имеют вид dy Г -Л dx ^
9± — 2
В)
V ^;
Вдоль характеристик (8) имеют место соотношения ст ± 2kQ = const, (9) получившие название интегралов Генки.
Результаты исследований, по теории идеальной пластичности нашли отражение в монографиях В.В. Соколовского [76,77], Хилла [92], Прагера и Ход4 жа [69], Д.Д. Ивлева [32], А.Д. Томленова [89, 90], Б.А. Друянова и Р.И. Не-першина [27], Д.Д. Ивлева, JI.A. Максимовой, Ю.Н. Радаева, Р.И. Непершина, С.И. Сенашева, Е.И. Шемякина и др.
Осесимметричная задача теории идеальной пластичности рассматривались рядом авторов. Широкое использование получила гипотеза Генки о состоянии полной пластичности. Согласно условию полной пластичности, напряженное состояние соответствует пересечению двух граней условия пластичности Треска сг3 - ах = 2к, сг3 - сг2 = 2к, (10) откуда следует сг,=сг2, <тъ=<Гу + 2к. (11)
А.Ю. Ишлинский [38] впервые предложил на основе условия полной пластичности численное решение задачи о вдавливании жесткого осесимметриче-ского штампа в идеальнопластическое с плоским и сферическим основаниями.
Соотношения пространственной задачи впервые предложены Леви (1870). Леви выразил уравнение грани Треска (1) в компонентах напряжений
4(q' - к2)(4к2 - q'f - 27г'2 = 0, (12) = = (13) где q, г'— соответственно второй и третий инварианты девиатора напряжений, штрих наверху приписан компонентам девиатора. Леви использовал условие несжимаемости sx + sy + €:= 0, (14) и условие пропорциональности компонент напряжений и скорости деформаций
Sx~Sy ^ ^ ^
15)
Девять уравнений: три уравнения равновесия, условие пластичности (12), условие несжимаемости (14) и четыре уравнения (15) (среди пяти уравнений (15) - независимых четыре) образуют замкнутую систему девяти уравнений относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений ст. и трех компонент скорости перемещения и, v, w.
16)
На рисунке 1 показан шестиугольник Треска в девиаторной плоскости и направления пластического течения, определяемые соотношениями Леви (15).
Рис. 1
Мизес (1913) предложил вместо условия пластичности (12) использовать условие пластичности
Рис. 2
На рисунке 2 показана окружность Мизеса в девиаторной плоскости и направления пластического течения, определяемые соотношениями (15).
В 1928 году Мизес предложил соотношения ассоциированного закона пластического течения
Да,) = О, Л>0, (17) if где /(сГу) = 0 — условие пластичности.
Согласно ассоциированному закону течения Мизеса компоненты скорости пластической деформации ортогональны к поверхности /(сг ) = 0 в пространстве напряжений от.
Рейсе распространил соотношения ассоциированного закона пластического течения Мизеса (17) на случай кусочно-гладких поверхностей текучести е^Я.^ + Я,^ fl(aIJ.) = 0if2(aIJ) = 0, А,, ^>0. (18)
Рис. 3
На рисунке 3 показан шестиугольник Треска в девиаторной плоскости и направления пластического течения, согласно соотношениям обобщенного ассоциированного закона пластического течения (18).
А.Ю. Ишлинский (1946 г.) предложил соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности в следующем виде: три уравнения равновесия, два условия пластичности
Я<^) = 0,/2(^) = 0 (19) и условия изотропии, утверждающие совпадение главных направлений тензоров напряжений и скорости деформации crfy=£ij°'jk- (2°)
Соотношения пространственной задачи при условии полной пластичности были получены Д.Д. Ивлевым [37]. Установлена статическая определимость полученных соотношений, гиперболический характер уравнений для напряжений и компонент скорости деформации.
Условие пластичности для анизотропного идеальнопластического тела впервые сформулировано Мизесом (1928 г.) в виде квадратичной формы
М^х - °yf + «23 " °SY + «31 - axf + bn(ax - <7^ + c12(crx - С7у)тг + g12(ax - сг,)^ + b22(ay - а^т^ + с23(сту - сг,)^ + g23(ay - сгг)гя + (21) bl3(<j: - ах)т^ + с13(о\ -<х>^ + gn(az - сгх)т^ +
12*% + "аз + щА + гпит^ + т^т^ + т^хуТу. = к2, где а., Ь., с ip g., n,., m., к-const.
Позднее Хилл [92] выделил из условия пластичности Мизеса (21) условие пластичности для анизотропного идеальнопластического материала, получившее широкое распространение в задачах обработки металлов давлением и др.
Л(сгх - cryf + В(сту -а:)2 + С(а - axf + Fz% + Gz% + Hr2xz = к20, (22) где A,B,C,F,G,H, к0 - const.
Условие пластичности (22) характеризует продольную анизотропию, потому что условие пластичности (22) одинаково вдоль прямоугольной ортогональной координатной сетки xyz. Условие пластичности
А(ар -<тв)2 + В(а0 - а9)2 + С(ар - ар)2 + Fr% + От2в<р + Нт2рр = к2, где рО(р — координаты сферической системы координат характеризуют сферическую или центральную анизотропию.
Вопросам прочности, устойчивости, предельного состояния толстостенных и слоистых труб посвящены многочисленные исследования. Впервые задачу об упругой толстостенной трубе, находящейся под действием внутреннего давления, решил Ламе (задача Ламе).
Далее последовали многочисленные исследования напряженнодеформи-рованного упругого, упругопластического, упруговязкого, упруговязкопласти-ческого и т.п. состояния толстостенных и составных труб.
Вопросам концентрации напряжений вблизи отверстий посвящена монография Г.Н. Савина [73]. В ней рассмотрен широкий круг задач определения напряжений вблизи отверстий, в том числе подкрепленных упругими кольцами. Определению напряжений в плоскости с запрессованными в нее несколькими круговыми шайбами посвящены работы Н.Д. Тарабасова [84, 85].
Моделирование процессов деформирования горных выработок с многослойными крепями дано в работах А.Н. Спорыхина и А.И. Шашкина [82], а также их учеников.
Приведем общую характеристику диссертационной работы.
Актуальность темы. Составные цилиндры являются важным конструкционным элементом в машиностроении, строительной механике, горном деле. j
Потребности производства ставят задачи всемерного использования прочностных свойств материала, в том числе композиционных, изучение несущей способности конструкций, работающих в различных условиях нагружения.
Теория предельного состояния тел и конструкций получила развитие в трудах
Кулона, Рекина, Сен-Венана, Треска, Мизеса, Прандтля, Гейрингер, Рейса, Прагера, Хилла, Койтера, В.В. Соколовского, А.А. Ильюшина, А.Ю. Иш-линского, а также Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, Г.А. Гениева, Д.Д. Ивлева, Л.А. Максимовой, А.А. Маркина, Н.М. Матченко, Ю.Н. Радаева, А.Р. Ржаницына, Р.И. Непершина, А.И. Хромова, Е.И. Шемякина и др.
Основы теории анизотропного идеальнопластического материала сформулированы Мизесом и Хиллом, развитие теории содержится в работах Г.А. Гениева, Г.И. Быковцева, Д.Д. Ивлева, А.А. Маркина, И.М. Матченко, Н.М.
Матченко, Б.Г. Миронова, JI.A. Толоконникова, Л.Б. Шитовой, С.П. Яковлева и др.
Вопросами прочности составных труб занимались И.А. Биргер, Д.В. Го-цев, А.Н. Гузь, Л.В. Ершов, А.В. Ковалев, А.А. Ильюшин, П.М. Огибалов, Г.Н. Савин, А.Н. Спорыхин, Н.Д. Тарабасов, А.И. Шашкин и др.
В реферируемой работе рассматривается предельное напряженно-деформированное состояние составных цилиндров из анизотропного пластического материала под действием внешней нагрузки.
Новые результаты в области определения несущей способности, предельного состояния составных тел и конструкций с учетом анизотропии материала являются важными и актуальными.
Цель работы. Целью работы является определение предельного состояния составных цилиндров, материал которых обладает свойствами продольной анизотропии, установление взаимовлияния составных цилиндров при потере несущей способности.
Научная новизна состоит в исследовании влияния наложения свойств поперечной пластической анизотропии на потерю несущей способности составными цилиндрами.
Достоверность. Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования
Практическая значимость. Полученные результаты позволяют производить оценку влияния свойств поперечной пластической анизотропии на предельное состояние составных цилиндров.
На защиту выносятся результаты: определение свойств условий пластичности анизотропного тела, используемые в диссертационной работе; определение предельного напряженного состояния в слоистых круговых цилиндрах при одинаковой ориентации осей продольной анизотропии в каждом из цилиндров. Алгоритм последовательного определения предельного напряженного состояния в слоях; определение предельного напряженного состояния в слоистых круговых цилиндрах при несовпадении осей продольной анизотропии в цилиндрах. Алгоритм последовательного определения предельного напряженного состояния в слоях; определение предельного деформированного состояния в слоистых круговых цилиндрах при совпадении осей продольной анизотропии; определение предельного деформированного состояния в слоистых круговых цилиндрах при несовпадении осей продольной анизотропии.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в трех научных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
1. Алимжанов, М. Т. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием / М. Т. Алимжанов, Е. К. Естаев // Механика деформируемого твердого тела. - 1982. — С. 105-115.
2. Аннин, Б. Д. Упругопластическая задача / Б. Д. Аннин, Г. П. Черепанов. — Новосибирск : Наука, 1983. 238 с.
3. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов. Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1985.-142 с.
4. Безухое, Н. И. Теория упругости и пластичности / Н. И. Безухов. — М. : Изд-во техн.-теорет. лит., 1953.
5. Бицено, К. Б. Техническая динамика / К. Б. Бицено, Р. Граммель. М. : Гостеоретиздат, 1950.-Т. 1.
6. Быковцев, Г. И. Применение метода возмущений к теории кручения упру-гопластических стержней / Г. И. Быковцев, Ю. Д. Цветков // Прикладная математическая механика. 1961. - Т. 45, № 5. - С. 932-939.
7. Быковцев, Г. И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред : сб. статей / Г. И. Быковцев. Владивосток : Дальнаука, 2002. - 566 с.
8. Быковцев, Г. И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально пластического материала / Г. И. Быковцев // Известия Ан СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. - № 3. - С. 151-157.
9. Быковцев, Г. И. Модель анизотропно упрочняющейся среды, имеющей различные законы упрочнения при растяжении и сжатии / Г. И. Быковцев, Е. Б. Лаврова // Известия Ан СССР. МТТ. 1989. - № 2. - С. 149-151.
10. Быковцев, Г. И. О плоской деформации анизотропных идеальнопластиче-ских тел / Г. И. Быковцев // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. — № 2.
11. Быковцев, Г. И. Теория пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. -Владивосток : Дальнаука, 1998. 527 с.
12. Васильева, А. М. Определение напряженного состояния анизотропного пространства, ослабленного полостью / А. М. Васильева // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Серия Механика предельного состояния. Чебоксары, 2007. -№1.- С. 26-32.
13. Вульман, С. А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра / С. А. Вульман // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1969. -№3. С. 164-169.
14. Вульман, С. А. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением / С. А. Вульман, Т. Д. Семыкина // Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж, 1988. - С. 48-51.
15. Галин, Л. А. Плоская упругопластическая задача / Л. А. Галин // Прикладная математика и механика, 1946. — Т. 10, вып. 3.
16. Галин, Л. А. Упруго-пластические задачи / JI. А. Галин. М. : Наука, 1984.
17. Гениев, Г. А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов / Г. А. Гениев, А. С. Курбатов, Ф. А. Самедов. М. : Интербук, 1993. - 183 с.
18. Гениев, Г. А. Об уравнениях статики и кинематики анизотропной пластической среды при сопротивлении отрыву / Г. А. Гениев // Строительная механика и расчет сооружений. — 1983. № 2.
19. Гениев, Г. А. Плоская деформация анизотропной идеально-пластической среды / Г. А. Гениев // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. — №3.
20. Гениев, Г. А. Плоская деформация анизотропной сыпучей среды / Г. А. Гениев // Строительная механика и расчет сооружений. — 1986. — № 5.
21. Геогджаев, В.О. Пластическое кручение анизотропных стержней / В. О. Геогджаев // Труды МФТИ. 1959. - Вып. 3.
22. Гофман, О. Введение в теорию пластичности для инженеров / О. Гофман, Г. Закс. : пер. с англ. под ред. 3. И. Григолюка. М. : Машгиз, 1957.
23. Губкин, С. К Теория обработки металла давлением / С. И. Губкин. М. : Металлургиздат, 1947.
24. Гузъ, А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок / А. Н. Гузь. — Киев : Наук, думка, 1977. 203 с.
25. Друянов, Б. А. Теория технологической пластичности / Б. А. Друянов, Р. И. Непершин. — М.: Машиностроение, 1990. 272 с.
26. Ершов, Л. В. Упругопластическое напряженное состояние полого тора, находящегося под действием равномерного давления / Л. В. Ершов, Д. Д. Ивлев // Известия АН СССР. ОТН. 1957. - № 7. - С. 129-131.
27. Захарова, Т. Л. Об образовании шейки при растяжении идеальнопласти-ческой неоднородной анизотропной полосы / Т. Л. Захарова // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Чебоксары, 1996. - № 2 (3). - С. 33-35.
28. Захарова, Т. Л. О влиянии «винтовой» анизотропии на напряженное состояние кольцевой пластины из идеальнопластического материала / Т. Л. Захарова // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Чебоксары, 1996. -№1(2).-С. 46-53.
29. Ивлев, Д. Д. К теории идеальной пластической анизотропии / Д. Д. Ивлев // ПММ. — 1959. Вып. 6.
30. Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. М. : Наука, 1966.-232 с.
31. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, JI. В. Ершов. -М. : Наука, 1978.
32. Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред / Д. Д. Ивлев. М. : Физматлит, 2001.-Т. 1.-445 с.
33. Ильюшин, А. А. Деформация вязкопластического тела / А. А. Ильюшин // Учёные записки МГУ. 1940. - вып. 39.
34. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. М. : Гостехиздат, 1948.
35. Ишлинский, А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута / А. Ю. Ишлинский // Прикладная математика и механика-1943.-Т. 7, вып. 3.
36. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. М. : Физматлит, 2001. - 700 с.
37. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / JI. М. Качанов. М. : Наука, 1969.-420 с.
38. Клюшников, В. Д. Математическая теория пластичности / В. Д. Клюшни-ков. М.: МГУ, 1979. - 207 с.
39. Ковалев А. В. Об одном приближенном решении задачи Галина-Ивлева для сложной модели среды / А. В. Ковалев, А. Н. Спорыхин // Проблемы механики неупругих деформаций. М., 2001. - С. 167-173.
40. Ковалев, А. В. О нахождении поля напряжений в эксцентричной трубе, подверженной действию внутреннего давления / А. В. Ковалев, А. Н. Спорыхин // Вестник факультета прикладной математики и механики / Воронеж, гос. ун-т. 1998. — № 1. — С. 85-90.
41. Ковалев, А.В. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением среды / А. В. Ковалев, А. Н. Спорыхин, А. Ю. Яковлев // НАН Украины. Прикладная механика. 2000. - Т. 36, № 6. - С. 114120.
42. Кузнецов, В. В. Концентрация напряжений вблизи эллиптического отверстия упругопластического тела / В. В. Кузнецов // Прикладная механика. -1972.- №5.
43. Кузнецов, Е. Е. Условие полной пластичности квазинесжимаемых орто-тропных сред / Е. Е. Кузнецов, И.Н. Матченко, Н.М. Матченко // Науч. изд. Проблемы нелинейной механики. Сб. статей к 80-летию JI.A. Толоконникова. — Тула: Изд-во ТулГУ. 2003. С 195-205.
44. Кузнецов, Е. Е. К построению теории идеальной пластичности ортотроп-ных сред / Е. Е. Кузнецов, И. Н. Матченко, Н. М. Матченко // Проблемы механики неупругих деформаций : сб. статей к 75-летию Д. Д. Ивлева. М. : ФИЗ-МАТЛИТ. -2001. - С. 166-172.
45. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. М. : Машиностроение, 1975. — 400 с.
46. Малинин, Н. Н. Большие деформации при пластическом изгибе / Н. Н. Малинин // Известия АН СССР. Механика. 1965. - № 2.
47. Малинин, Н. Н. Волочение труб через конические матрицы / Н. Н. Малинин // Известия АН СССР. Механика. 1965. - № 5.
48. Марушкей, Ю. М. Двуосное растяжение упругопластического у пространства с включением / Ю. М. Марушкей // Известия ВУЗов. Машиностроение. — 1975. -№ 12.-С. 25-30.
49. Матвеев, С. В. Упругопластическое состояние анизотропной среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести / С. В. Матвеев // Вестник ЧГПУ им. И .Я. Яковлева.- 2007. № 3 (55). - С. 12-18.
50. Матченко, И. Н. Основные соотношения теории идеальной пластичности квазинесжимаемых анизотропных сред / И.Н. Матченко // Изв. ТулГУ. Серия : Строительные материалы, конструкции и сооружения. Вып. 7. — Тула : Изд-во ТулГУ. 2003. С. 180-187.
51. Матченко, Н. М. Вариант построения теории пластичности ортотропных сред / Н.М. Матченко // Изв. ТулГУ. Серия : Машиностроение. Вып. 7. Тула : Изд-во ТулГУ. 2002. - С. 23-32.
52. Матченко, Н. М. Влияние начальной пластической анизотропии на напряженное состояние пластины с отверстием / Н. М. Матченко, А. Г. Митяев, С. Д. Фейгин // Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула, 1980. - С. 14-19.
53. Матченко, Н. М. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов / Н. М. Матченко, JI. А. Толоконников // Известия АН СССР. МТТ. 1975. -№ 1. - С. 169-170.
54. Миронов, Б. Г. К теории анизотропной идеально-пластической среды / Б. Г. Миронов // Проблемы механики : сб. статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. -М., 2003. С. 564-568.
55. Мирсалимов, В. М. Неодномерные упругопластические задачи / В. М. Мирсалимов. М.: Наука, 1987. - 225 с.
56. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи ; пер с англ. под ред. Г. С. Шапиро. М. : Изд-во иностр. лит, 1954.
57. Надаи, А. Пластичность / А. Надаи // ОНТИ НКТП. 1936. - С. 158.
58. Найфе, А. X. Введение в методы возмущений / А. X. Найфе. М. : Мир, 1984.-526 с.
59. Найфе, А. X Методы возмущений / А.Х. Найфе. М. : Мир, 1976. - 456 с.
60. Остросаблин, Н. Н. Определение смещений в задаче JI. А. Галина / Н. Н. Остросаблин // Динамика сплошных сред. Новосибирск, 1973. - Вып. 14. - С. 67-70.
61. Парасюк, О. С. Упруго-пластическая задача с небигармоническим пластическим состоянием / О. С. Парасюк // Доклады Академии наук СССР. -1948.-Т. 63, №4.
62. Попов, Е. А. Основы листовой штамповки / Е. А. Попов. — М. : Машиностроение, 1968.-283 с.
63. Прагер, В. Проблемы теории пластичности / В. Прагер. М. : Физматгиз, 1958.- 136 с.
64. Прагер В. Теория идеально пластических тел / В. Прагер, Ф. Г. Ходж. -М.: Иностр. лит, 1956. 398 с.
65. Савин, Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий / Г. Н. Савин. -М.: Техн.-теорт. лит., 1951. 496 с.
66. Савин, Г. Н. Влияние неоднородно напряженного поля на пластическую зону возле отверстия / Г. Н. Савин, О. С. Парасюк // Доклады Академии наук УССР. -1948.-№3.
67. Савин, Г. Н. Пластические зоны возле отверстия в неоднородно напряженном плоском поле / Г. Н. Савин, О. С. Парасюк // Ученые записки Львовского госуниверситета. 1949. - Т. 12, сер. физ.-мат., вып. 3.
68. Савин, Г. Н. Распределение напряжений около отверстий / Г. Н. Савин. — Киев : Наук, думка, 1968.
69. Савин, Г. Н. Влияние неоднородного напряженного поля на пластическую зону возле отверстия / Г. Н. Савин, О. С. Парасюк // Доклады Академии наук УССР.- 1948. -№3.
70. Соколов, А. П. Об упругопластическом состоянии пластинки / А. П. Соколов // Доклады Академии наук АН СССР. 1948. - Т. 10, № 5. с. 33-36.
71. Соколовский, В. В. Статика сыпучей среды / В. В. Соколовский. — М. : Изд. АН СССР, 1942. 272 с.V
72. Соколовский, В. В. Теория пластичности / В. В. Соколовский. М. : Высш. шк., 1969.
73. Спорыхин, А. Н Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной границей / А. Н. Спорыхин, А. В. Ковалев, Ю. Д. Щеглова. Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2004. - 219 с.
74. Спорыхин, А. Н. К устойчивости горизонтальных выработок в массивах, обладающих упруго-вязко-пластическими свойствами / А. Н. Спорыхин // Известия АНКазССР. Сер. физ.-мат. 1975. - № 1. - С. 67-72.
75. Спорыхин, А. Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред / А. Н. Спорыхин. Воронеж : Изд-ние ВГУ, 1997. - 361 с.
76. Спорыхин, А. Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний / А. Н. Спорыхин, Е. Н. Чиканова, А. Н. Ковалев // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1994. -Ч. 3.- С. 11-15.
77. Спорыхин, А. Н. Устойчивость равновесие пространственных тел и задачи механики горных пород / А. Н. Спорыхин, А. И. Шашкин. М. : Физматлит, 2004.
78. Сторожев, М. В. Теория обработки металла давлением / М. В. Сторожев, Е. А. Попов. М.: Высш. шк., 1963.
79. Трарабасов, Н.Д. Определение напряжений в некоторых плоских, упругих и однородных средах, составленных из тел, соединенных между собою посредством посадки / Н.Д. Тарабасов // Инженерный сборник. 1947. - Т. 3, в. 2. С. 3-14.
80. Трарабасов, Н. Д. Определение напряжений в пластинке с несколькими запрессованными в нее круглыми шайбами / Н.Д. Тарабасов // ДАН СССР. -1948. Т. LXIII, №1. — С. 15.
81. Терегулов, И. Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности / И. Г. Терегулов. М. : Высш. шк., 1984.
82. Толоконников, JI. А. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией / JL А. Толоконников, С. П. Яковлев, В. Ф. Кузин // Прикладная механика. 1969. - Т. 5, № 8. - С. 71-76.
83. Толоконников, JI. А. Механика деформируемого твердого тела / Л. А. То-локонников. — М.: Высш. шк., 1979.
84. Томленое, А. Д. Механика процессов обработки металлов давлением / А. Д. Томленов. -М.: Машгиз, 1963.
85. Томленов, А. Д. Теория пластических деформаций металлов / А. Д. Томленов. -М. : Машгиз, 1951.
86. Филоненко-Бородич, М. М. Об условиях прочности материалов, обладающих различным сопротивлением сжатию и растяжению / М. М. Филоненко-Бородич // Инженерный сборник. — 1954. — Т. 19.
87. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. М. : Гостехиз-дат, 1956.-407 с.
88. Христианович, С. А. К теории идеальной пластичности / С. А. Христиа-нович , Е. И. Шемякин // МТТ. № 5. - 1967.
89. Черепанов, Г. П. Об одном методе решения упругопластической задачи / Г. П. Черепанов // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, вып. 3.
90. Шемякин, Е. И. Анизотропия пластического состояния / Е. И. Шемякин // Численные методы сплошной среды : сборник. Новосибирск, 1973. - Т.4, № 4.
91. Шемякин, Е. И. Синтетическая теория прочности / Е. И. Шемякин // Физ. Мезомеханика. 1999. - Т. 2, ч. 1, № 6.
92. Шитова, Л. А. О плоской задаче теории анизотропных упругопластиче-ских сред / JI. А. Шитова. Чебоксары, 1990. - Деп. в ВИНИТИ 3.07.90, №3749-В90.
93. Шофман, Л. А. Теория и расчеты процессов холодной штамповки / JI. А. Шофман. -М. : Машиностроение, 1964.
94. Щеглова, Ю. Д. Метод малого параметра в задачах упругопластического кручения стержней / Ю. Д. Щеглова. Воронеж, 1999. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.04.99, №1269-В99.
95. Bland, D. R. Elastoplastic thick-walled tubes of work-hardening material subject to internal and external pressures and to temperature gradients / D. R. Bland // Mech. and phys. solids. I. 1956. - 4, № 4.
96. Deffet, L. Le comportement des tubes a parois epaisses soumis a des pressions elevecs / L. Deffet, J. Gelbgras // Rev. univers. menes. 1953. - 9, № 10.
97. Deprit, A. Canonicel trasformations depending on a small parametr / A. Deprit // Ceslial Mech. Vol. 1. - P. 12-30.
98. Dollar, А. Влияние неоднородности металла из формы нёкруговых сечений толстостенных цилиндров в состоянии полной пластичности и стадии разрушения / A. Dollar // Rozpz. Inz. 1983. - Vol. 31, № 2. - P. 241-257.
99. Hodge, P. G. The mathematical theory of plasticity / P. G. Hodge. New York, 1958.
100. Johnson, W. Plastisity for mechanical Engineers / W. Johnson, P. B. Mellor. -D. vanNostrand Co, 1962.
101. Mac-Gregor, J. The plastic flow of thick-walled tubes with large strains / J. Mac-Gregor // Journal of Applied Physics. Vol. 19. - March, №. 3. - 1948.
102. Mises, R. Mechanik der plastichen Formanderung von Kristallen / R. Mises // ZAMM.- 1928.-Bd. 8 m.
103. Moufang, R. Das plastische Verhalten von dunn wandigen Rohren unter sta-tischen Innerdruck / R. Moufang // ZAMM. 1940. - Bd. 20.
104. Olszak, W. Applications of the theory of plasticity to problems of non-homogeneous and anisotropic plates and shells / W. Olszak // 4 Yougoslov. Congr. Theor. Appl. Mech., Opatija. 1958.
105. Rychlewski, J. О произвольной малой пластической неоднородности / J. Rychlewski II Бюллетень Польской Академии Наук. Серия технических наук. — 1963. Vol. 11. - № 6. - Р. 215-223.
106. Rychlewski, J. On the initial plastic flow of a body with arbitrarily small non-homogeneity / J. Rychlewski, J. Ostarowska // Arch. Mech. Stos. 1963. - Vol. 5. -P. 687-710.
107. Spenser, A. M. Perturbation methods in plasticity. 2 : Plane strain of slightly irregular bodies / A. M. Spenser // Journal Mech. and Phys. Solid. 1962. - Vol. 10, № l.-P. 17-26.
108. Spenser, A. M. Perturbation methods in plasticity. 1 : Plane strain of non-homogeneity plastic solids / A. M. Spenser // Journal Mech. and Phys. Solid. 1961. - Vol. 9, № 4. - P. 279-288.
109. Spenser, A. M. Perturbation methods in plasticity. 3 : Plane strain solids with body forces / A. M. Spenser // Journal Mech. and Phys. Solid. 1962. - Vol. 10, № l.-P. 165-177.
110. Swift, H. W. Stresses and in Tube-drawing / H. W. Swift // Phil. Mag. 1949. -Ser. 7, 11.
111. Ивлев, Д. А. Об анизотропии пластических тел / Д. А. Ивлев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. 2010. - № 2 (66). - С. 64-68.
112. Ивлев, Д. А. О несущей способности составных анизотропных цилиндров под действием внутреннего давления / Д. А. Ивлев // Чуваш, гос. пед. ун-т. Чебоксары, 2010, 7 е., Библиогр. 2 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.10 № 223-В2010).
